geodesia y gps

Curso de actualizació n

Geodesia y GPS

Facultad de Ciencias Astronó micas y Geofísicas de La Plata

Agosto del 2001 Daniel Del Cogliano

Raúl Perdomo

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Conceptos de Geodesia



Geodesia Satelital Sistemas de referencia

• Campo Inchauspe • Coordenadas geodésicas • Transformació n entre sistemas • Proyecció n plana Gauss-Krü ger • Sistemas de referencia verticales



El Sistema de referencia Reseñ a histórica.

Posició n astronó mica, latitud longitud referidas a la vertical.

Punto Datum: elipsoide y geoides tangentes.

1 astronó micas = elipsoidicas 2 H = h 3 Transporte de coordenadas

Se desarrolla la red planimétrica, latitud y longitud geodésicas.



El Sistema de referencia Reseñ a histórica. (Comentarios) Las coordenadas astronó micas (también llamadas naturales) no tienen significado geométrico porque por la forma en que se determinan, están referidas a la vertical de cada sitio. Si bien no es común, puede darse el caso de un punto A cuya latitud geodésica sea mayor que la de otro punto B, pero cuyas latitudes astronó micas muestren lo contrario, simplemente porque la desviació n de la vertical en A sea grande y esté apuntando al sur.

Las determinaciones astronó micas están basadas en la nivelació n del instrumento para medir el Cenit, y en consecuencia, el Cenit Astronó mico se refiere a la vertical (la direcci ó n de la plomada). No obstante, durante siglos estas determinaciones fueron fundamentales para definir el origen de cada red geodésica. En la suposició n que en un punto dado la vertical del lugar coincide con la normal al elipsoide de referencia, es decir, que elipsoide y geoide son tangentes, en dicho punto las coordenadas astronó micas coinciden con las geodésicas, y por añ adidura, la altura respecto de cualquiera de estas superficies será la misma. Dicho punto se denomina 'punto Datum', y en el caso de la antigua red geodésica argentina se situó en el Campo Inchauspe, pró ximo a Pehuajó . A partir de este punto datum se puede desarrollar una red geodésica mediante la medició n de triángulos (ángulos y distancias) y transportando coordenadas. En rigor, son necesarios otras determinaciones astronó micas en las llamadas "estaciones Laplace" para controlar la orientaci6n de la red. Las coordenadas finales resultan de una compensació n general.



El Sistema de Referencia C1ásico Argentino Campo Inchauspe '69

• El sistema planimétrico nacional se desarrolló a partir de un punto datum en las proximidades de Pehuajó (el denominado Campo Inchauspe).

• La designació n '69 tiene que ver con la época en la que se realizó la primer compensació n

integral.

• Llegó a tener unos 18000 puntos integrados en una red cuya precisió n se estima entre 3 y 10 ppm. con dates de latitud y longitud (cota aproximada).

Los puntos trigonométricos tienen un pilar de acimut en las proximidades, lo que permitía arrancar cualquier relevamiento con una coordenada de partida y una orientaci ó n Esta red no resultó có moda de utilizar, la mayoría de los puntos se sitúan en lugares altos, con frecuencia de difícil acceso, ya que la condici6n fundamental era la buena visibilidad. Las cotes de estos puntos se obtuvieron trigonometricamente, y en consecuencia no tienen precisi ó n altimétrica.

El sistema altimé trico • El sistema altimétrico nacional se desarrolló mediante nivelació n de alta precisió n a partir

del mareó grafo de Mar del Plata (origen). • Tiene decenas de miles de puntos acotados y aún se trabaja en el extreme sur. La mayoria

accesibles pró ximos a caminos y vías. • No tiene coordenadas planimétricas. No se han aplicado correcciones por gravedad medida.

Se advierte que estos sistemas evolucionaron separadamente, como era tradicional en la época en que fueron concebidos: los puntos fijos altimétricos no cuentan con buenas coordenadas planimétricas y viceversa.



El Sistema de Referencia Actual La nueva concepción:

Un sistema global con cuatro dimensiones. La precisió n actual de las coordenadas geodésicas ha permitido determinar movimientos tect ó nicos globales, regionales y locales. Esto obliga a que todas las redes de alta precisió n se calculen para una época determinada, por esa razó n se habla de cuatro dimensiones, las tres coordenadas, y la época a la que estas coordenadas corresponden. Una tabla de coordenadas del conjunto de puntos pertenecientes al sistema internacional ITRF contiene coordenadas y velocidades y una época de referencia. Las coordenadas en otra época cualquiera se pueden obtener aplicando a cada coordenada la velocidad por el intervalo de tiempo. Un sistema nacional integrado a un sistema global. El sistema nacional tiene que responder al esquema anterior de cuatro dimensiones. Sistemas provinciales integrados al sistema nacional. Los sistemas provinciales o locales son generalmente los utilizados en forma práctica, En estos cases, el tema de la variació n de coordenadas con el tiempo deberá ser evaluado en cada caso y en funció n de su magnitud, aplicado o no en funció n de la precisió n requerida.

El sistema altimé trico integrado al anterior: Un modelo de transformación de cotas elipsóidicas a cotas sobre el nivel del mar (modelo de geoide"). Para que el sistema altimétrico pueda apoyarse en las técnicas propias de la Geodesia Satelital es necesario disponer de un modelo de transformació n de cotas: de alturas respecto del elipsoide (que son las que naturalmente produce GPS) a cotas sobre el nivel del mar (que son las necesarias para los emprendimientos que requieren nivelació n precisa).



El Sistema de Referencia Actual La situación argentina y provincial Un sistema GPS nacional: POSGAR'94 En 1993 se midió una red GPS sobre los puntos Laplace de la vieja red geodésica (aproximadamente cada 200 km) que fue calculada en la FCAG añ os más tarde. Se denominó POSGAR'94. Fue referida al sistema internacional WGS84 y cumplió cabalmente con muchos demandas del memento. No obstante POSGAR'94 no es una red de muy alta calidad. Recientemente se realizó un recalculo y un ajuste al sistema internacional ITRF que se denominó POSGAR-98, que hasta el momento solo tiene aplicaciones académicas. Un sistema provincial integrado al sistema nacional: La red GPS provincial fue medida en 1998 en conjunto entre la FCAG y la direcció n de Geodesia del MOSP. Contiene más de 200 puntos. La calidad de la red provincial result ó superior a la de POSGAR'94 por lo que se decidió incluir un único punto común que permitió trasladar la red provincial de manera de hacer coincidir Las coordenadas provinciales con POSGAR'94 en el punto IGMO. En ese sentido se puede afirmar que la red provincial está referida al sistema nacional dentro de la precisió n de este último. El sistema altimé trico integrado al anterior: para ello es necesario un modelo de transformación de cotas elipsóidicas a cotas sobre el nivel del mar (modelo de "geoide"). Esta situació n solo se ha logrado en la Provincia de Buenos Aires donde se estima una precisió n para el modelo de transformació n mejor que 10 cm. La red está siendo densificada con el objeto de alcanzar una precisió n mejor que 5 cm para el añ o 2002.



El Sistema de referencia (1)

Coordenadas rectangulares: X, Y, Z son coordenadas cartesianas con respecto a una

terna de ejes fijos a al Tierra con origen en su baricentro. X está dirigido al meridiano de

Greenwich y Z hacia el Polo.

Coordenadas geodésicas: Latitud, Longitud, y altura elipsó idica (h) se miden con respecto a un

elipsoide de referencia caracterizado por su semieje major (a) y su achatamiento



El sistema de referencias (Comentarios). Las coordenadas cartesianas:

Las coordenadas cartesianas X, Y, Z son las que se obtienen naturalmente de las técnicas satelitales. Para su definició n es necesario fijar un origen, orientar los ejes y darle una métrica (es decir una unidad de medida).

En cuanto al origen, los satélites giran alrededor de la Tierra teniendo como “ centro” del movimiento al Centro de masas (baricentro) de la Tierra. Por eso es razonable elegir este origen para X, Y, Z. La orientació n de los ejes es la apropiada para transformar X, Y, Z en Latitud, Longitud y Altura. La unidad de medida de estas coordenadas es el metro.

Las coordenadas elipsoidales o geodésicas:

Las coordenadas cartesianas no son prácticas para visualizar la localizaci ó n de un punto, de manera que las tradicionales Latitud, Longitud y altura elipsoidal mantienen plenamente su vigencia.

Es claro que la definició n de las coordenadas geodésicas requiere el agregado de un nuevo elemento, un elipsoide asociado al sistema cartesiano. Asociado quiere decir que el centro del elipsoide coincide con el origen del sistema cartesiano, que está orientado de manera que los ejes X, Y yacen en el plano ecuatorial del elipsoide, que el meridiano que contiene a los ejes X y Z es el origen de las longitudes, y que el eje menor del elipsoide coincide con el eje Z.

No obstante, diversos elipsoides podrían cumplir con estas condiciones. El elipsoide de referencia queda completamente determinado con dos parámetros: el semieje mayor a y el achatamiento f, que fijan respectivamente el tama ñ o y la forma.

Estas expresiones permiten transformar Latitud, Longitud y altura elipsoidal (h) en X, Y, Z.

Como se puede advertir también intervienen r (que está presente en N) y f (a través de e). Las inversas también requieren obviamente de a y f. De manera que cartesianas y geodésicas son equivalentes y se puede transformar de unas a otras con la condici ó n de adoptar un elipsoide por medio de los parámetros a y f.



El sistema de referencias (2) (WGS’84 – Campo Inchauspe)

Transformación de coordenadas: En general entre dos sistemas de coordenadas se puede

establecer una transformació n lineal en base a 7 parámetros que describen la diferencia de

origen(3), la orientació n(3), y un factor de escala (1).

Campo Inchauspe – WGS’84: La transformació n entre estos dos sistemas de coordenadas es una simple traslació n en el

origen (3 parámetros). Pero atenció n porque los elipsoides son diferentes



El sistema de referencias (2) (WGS’84 – campo Inchauspe) (Comentarios) La transformació n mas general entre dos sistemas cartesianos X, Y, Z y U, V, W puede escribirse matricialmente:

Donde k es un factor de escala adimensional, alfa, beta, gamma son ángulos de rotació n respecto de los ejes x, y, z respectivamente y DX, DY, DZ son los desplazamientos en el origen. De manera que es necesario determinar 7 parámetros para transformar coordenadas entre dos sistemas cartesianos cualesquiera: tres giros, tres desplazamientos y un factor de escala. Campo Inchauspe ó WGS’84 El primer sistema terrestre internacional asociado con GPS se denominó WGS’84 (World Geodetic System de 1984) y fue un producto de la Agencia de Defensa Norteamericana (DMA). Por razones estratégicas, la DMA utilizando el sistema TRANSIT, antecesor de GPS, determin ó las posiciones de un conjunto de puntos del sistema nacional Campo Inchauspe (CI) en el sistema WGS84 y determinó los parámetros de transformació n entre ambos sistemas. La transformació n entre CI y WGS84 resultó ser una simple traslació n en el origen (3 parámetros).

Posteriores determinaciones realizadas en la FCAG confirmaron estos valores dentro del metro.



El sistema de referencia (3). (WGS’84 – Campo Inchauspe, geodésicas)

Elipsoide internacional (1924): a = 6 378 388 metros.

f = 1 / 279. 00

Elipsoide WGS’84: a = 6 378 137 metros.

f = 1 / 298. 257 223 563



El Sistema de referencias (3) (WGS’84 – Campo Inchauspe, geodésicas) (Comentarios) Cuando se trata de cartesianas, una simple traslaci ó n es suficiente para transformar coordenadas entre Campo Inchauspe y WGS84. En cambio en coordenadas geodésicas, es necesario tener en cuenta que los elipsoides asociados a cada uno de ellos son diferentes, a Campo Inchauspe se asoci ó el Elipsoide Intemacional de 1924.

a = 6378388 m f = 1 / 297.00

El elipsoide WGS84, en cambio tiene dos parámetros diferentes:

a = 6378137 m f = 1 / 298.257223563

Procedimiento de transformación de coordenadas geodésicas: Por ejemplo, partiendo de Geodésicas en WGS84, utilizando los a, f del elipsoide WGS84 y las expresiones que permiten transformar de geodésicas a cartesianas:

Lat.,Long.,h => {a, f} => X, Y, Z (wgs84)

Se obtienen como producto final las cartesianas en WGS84.

A continuació n se obtienen las cartesianas en Campo Inchauspe mediante la traslació n.

Xci = Xwgs84 + 148 m Yci = Ywgs84 - 136 m Zci = Zwgs84 - 090 m

El paso final consiste en obtener las geodésicas en Campo Inchauspe con las fó rmulas inversas de las del paso 1, pero utilizando ahora los parámetros del elipsoide internacional.

X,Y,Z => {a, f} => Lat.,Long.,h (Campo Inchauspe) Las formulas de Molodensky: El método explicitado es conceptualmente muy claro porque pone de manifiesto en que etapa intervienen los respectivos elipsoides, y donde la traslaci ó n entre ambos sistemas cartesianos. Sin embargo es posible desarrollar las fó rmulas de transformació n y obtener las expresiones de Molodensky, que permiten calcular directamente:

Latitud (CI)=F{[Latitud, Longitud, h (wgs84)], DX, DY, DZ, Da, Df}

Longitud (CI)= F'{[ Latitud, Longitud, h (wgs84)], DX, DY, DZ, Da, Df}

Las fórmulas de regresión mú ltiple: Otra técnica frecuentemente utilizada en este tipo de transformaciones hace uso de f ó rmulas de regresió n de la forma:

U (CI)= ul U + u2 U2 + ·· + v1 V + v2 V2 + ·· + UV U V +..

V (CI)= u'l U + u’2 U2 +.. + v’1 V + V’2 V2 +.. + UV' U V +..



U = (Latitud - Latitud Promedio) k

V = (Longitud - Longitud Promedio) k'

El procedimiento consiste en obtener un conjunto de coeficientes ul, u2, vl, v2, uv, u'l, u'2 , v’l , v’2

, uv’ ... a partir de las coordenadas conocidas de un conjunto de puntos comunes a ambos sistemas.

Normalmente las coordenadas se reducen restando el valor medio y multiplicando por un factor (15

k') que haga que las potencias de U y V sean cada vez más pequeñ as y las fó rmulas requieran el

menor numero de términos posibles.

Estas expresiones son muy eficientes cuando alguno de los sistemas tiene deformaciones regionales

que no pueden ser absorbidas por una transformació n geométrica. Sin embargo, no pueden ser

utilizadas fuera de la zona en la que se han calculado los coeficientes



El sistema de referencias (4) (proyección Gauss - Krü ger)

Las coordenadas planas Gauss-Krü ger resultan de un método de proyecció n de coordenadas geodésicas a planes La proyecció n de Gauss-Krü ger utiliza un cilindro de secció n elíptica, tangente a un meridiano determinado, sobre el cual se proyectan las coordenadas geodésicas Latitud y longitud. Las deformaciones aumentan cuando nos apartamos del meridiano central. Para evitar deformaciones exageradas, en Argentina se adoptan fajas con distintos meridianos centrales. El cilindro se "desenrolla" matemáticamente y se convierte en un plano sobre el cual se construye el sistema de coordenadas planas Xgk, Ygk. Xgk se mide desde el polo sur, a lo largo del meridiano de tangencia (central) Ygk se mide desde el meridiano central (mc) hacia el Este, sumando 500000 a todos los valores para que resulten positivos dentro de cada faja. Delante del valor que resulte se agrega la faja correspondiente. La faja 1 corresponde al mc de 72" La faja 2 corresponde al mc de 69" Y así siguiendo. En los limites de dos fajas consecutivas, un mismo punto tiene coordenadas distintas. Cuando esta situació n se produce dentro de una localidad o un partido es posible adoptar un meridiano central propio y disponer de una buena solució n local.



El sistema de referencias (5) (proyección Gauss - Krü ger)

La proyecció n de Gauss-Krü ger no define el sistema de referencia. Al contrario, depende del sistema en el que se expresen las coordenadas geodésicas originales. Las expresiones matemáticas dependen de los parámetros del elipsoide adoptado para el sistema de referencia en el cual se expresan las coordenadas rectangulares o geodésicas. Por ejemplo, partiendo de cartesianas en WGSS4:

X, Y, Z (WGS’84) => Lat,Long,h (wgs84)=> Xgk, Ygk (WGS84)

Utilizando a, f del elipsoide WGS’84. Las coordenadas planes que resultan NO SON COMPATIBLES CON LA CARTOGRAFÍA. Si se desea volcar un punto en una carta topográfica en Campo Inchauspe, debería utilizarse el procedimiento siguiente: Paso 1: X, Y, Z (WGS’84) => X, Y, Z (CI) mediante la traslación explicada. Paso 2: X, Y, Z (CI) => Lat., Long., h (CI) => Xgk, Ygk (CI) con los algoritmos correspondientes, utilizando los parámetros del elipsoide internacional de 1924. ESTAS SON LAS XGK, YGK DE LA CARTOGRAFÍA EXISTENTE.



El sistema de referencias vertical: 1) La cota sobre el nivel del mar H.

El sistema de alturas de Argentina está construido por nivelació n geométrica (en principio respecto del nivel medio del mar). Por esta metodología se obtienen cotas referidas a una superficie dinámica (física). El origen es el mareó grafo de Mar del Plata, cuyo nivel medio se transport ó cuidadosamente al PARN de Tandil. Este monumento PARN (Punto Altimétrico de Referencia Nacional) está construido sobre roca para asegurar su estabilidad. No obstante, no debe perderse de vista que es el nivel medio del mar (materializado en el mare ó grafo) el que establece el cero de la red de nivelació n nacional. Un reciente trabajo conjunto IGM - SHN de comparació n de cotas de la red de nivelació n con varios mareó grafos a lo largo del literal atlántico arrojó diferencias centimétricas muy satisfactorias. Es decir, que el nivel medio adoptado y trasportado por nivelaci ó n geométrica a otros mareó grafos es correcto dentro de unos pocos centímetros.



El sistema de referencia vertical: 2) La altura elipsóidica h:

El sistema GPS permite obtener alturas h respecto de un elipsoide adoptado (WGS84) y a partir de algún sistema geocéntrico determinado POSGAR 94, SIRGAS, ...).El sistema adoptado cambia los valores absolutos de h.

Estas alturas sobre un elipsoide de referencia no tienen sentido físico. Son puramente geométricas.

El Agua (o un líquido cualquiera) puede moverse desde un punto A a otro B aunque h(A)< h(B)

porque los líquidos responden a las fuerzas gravitatorias de la Tierra. En este sentido, las cotas con mayor cantidad de usos prácticos son las referidas al nivel medio del mar. Es decir que conceptualmente las alturas que se obtienen a partir de GPS no tienen aplicació n directa en relevamientos altimétricos.



El sistema de referencia vertical: 3) Los modelos de geoide (N).

La descnpci6n de la forma del nivel medio del mar (geoide) puede hacerse a partir de una superficie geométrica: el elipsoide. La altura del geoide respecto del elipsoide (ondulaci ó n del geoide) se denomina N. El conocimiento de N para cualquier punto resuelve el problema de transformar cotas ya que:

H=h-N Es decir que observando h con GPS y corrigiendo con la ondulació n del geoide N se puede recuperar la altura sobre el nivel medio del mar. En principio las técnicas geodésicas permiten determinar N a partir del conocimiento del potencial terrestre U (N = U / gn) y U se obtiene del movimiento de los satélites artificiales, la altimetría satelital y las mediciones de gravedad.



El sistema de referencia vertical: 4) Los modelos de geoide(N) con GPS:

• Haciendo GPS (h) sobre líneas de nivelació n (H) se obtiene N directamente a partir de (1)

• El conocimiento de N para cualquier punto se logra interpolando

• Puede utilizarse un modelo gravimétrico para aproximar los valores de N. El de mejor perfomance en este momento es el EGM96



4) Los modelos de geoide (n) con GPS (comenlarios) La medició n de h (con GPS) sobre puntos de la red altimetrica nacional, donde H era previamente conocida, permite obtener N directamente en puntos discretos:

N = h - H Si esta metodología se repite en muchos puntos bien distribuidos se puede obtener una estimaci ó n local muy precisa y construir un modelo numérico para interpolar en cualquier otro punto. Esta informació n solamente está disponible en la Provincia de Buenos Aires. La red GPS provincial fue íntegramente apoyada en la red altimétrica nacional, permitiendo la estimaci ó n de N en unos 200 puntos distribuidos sobre toda la superficie provincial. El modelo desarrollado en la FCAG se considera mas preciso que 10 cm. La condició n necesaria para su correcta utilizació n es determinar h en el sistema GPS provincial (es decir, a través del posicionamiento relativo a partir de puntos de la red).



GPS Global Positioning System



GPS • Los principios de funcionamiento • La señ al. • Los observables. • Los métodos de medició n.



Global Positioning System (GPS) • 24 satélites nominales. • 20000 km de altura. • 12 horas de periodo. • Posicionamiento instantáneo. • Todo clima, todo lugar. • Distintas precisiones.



Los principios de posicionamiento GPS(1)

• El sistema de control está constituido por un conjunto de estaciones permanentes con coordenadas bien conocidas en un sistema terrestre de referencia internacionalmente aceptado. Su misió n es la de rastrear a todos los satélites para calcular las ó rbitas (efemérides) y controlar sus relojes.

• El sistema espacial está constituido por la constelació n de satélites (nominalmente 24 activos). Cada satélite lleva a bordo varios relojes ató micos (5) para asegurar la exactitud de las marcas de tiempo y la estabilidad de la frecuencia de la se ñ al emitida.

• Los usuarios equipados con receptores de las señ ales satelitales reciben simultáneamente las componentes de la señ al que sirven para medir la distancia receptor-satélite, y el mensaje de navegació n principalmente constituido por las efemérides que permiten calcular las coordenadas de los satélites.



Los principios de posicionamiento GPS(1) (Comentarios) En general, cualquier sistema de posicionamiento satelital tiene estas tres componentes: una red de estaciones de control, los satélites mismos, y los usuarios que reciben las se ñ ales de los satélites. El sistema de control permite calcular las posiciones de los satélites, y en funció n de estas, y de las mediciones, se pueden calcular las posiciones de los usuarios. Un concepto muy importante: los satélites resultan posicionados en el sistema de referencia materializado por las estaciones de control. Por carácter transitivo, los usuarios resultan posicionados en el mismo sistema de referencia Los principios de posicionamiento GPS(2) (Comentarios) A partir del trabajo permanente del sistema de control el usuario dispone de coordenadas Xi,Yi,Zi para cada satélite (i)y para cada instante. Por otro lado, la señ al de GPS permite a los receptores la medici0n de las distancias Ri para cada satélite (i). La ecuació n de la distancia entre dos puntos en el espacio:

• Cada satélite "observado" permite construir una ecuaci ó n de esta forma para cada instante. Ya que se rastrean varios satélites simultáneamente, todas las ecuaciones de un instante determinado constituyen una sistema de ecuaciones con tres inc ó gnitas: las coordenadas del usuario Xu, Yu, Zu. Esta metodología permite obtener posiciones instantáneas si se dispone de 4 satélites, como se explicará más adelante.

• Las ecuaciones de distintos instantes se pueden acumular para obtener una soluci ó n compensada de mejor calidad.



Los principios de posicionamiento GPS(2)

• Cada satélite observado permite construir una ecuaci ó n de esta forma, y todas las ecuaciones de una época determinada constituyen un sistema de ecuaciones con tres incó gnitas: las coordenadas del usuario Xu, Yu, Zu.



Los principios de posicionamiento GPS (3) Principales errores:

• SA. viene de Selective Availavility y constituye en una degradaci ó n intencional de los relojes y las efemérides satelitales para usuarios "no calificados. No está activada.

• La atmó sfera introduce errores en la propagació n de la señ al de difícil modelizació n • EI reloj del receptor debería estar sincronizado con el tiempo de los satélites, de lo

contrario introduce un error que es comú n a todas las mediciones de una época determinada y se elimina agregando una nueva incó gnita a la ecuació n (I).



Los principios de posicionamiento GPS(3) (Comentarios) La llamada SA (Selective Availability, algo así como disponibilidad selectiva) imponía una limitació n en la precisió n del posicionamiento aislado (un solo receptor) que resultaba de la degradació n de las posiciones y los relojes de los satélites. Los errores podían alcanzar decenas de metros. Afortunadamente, la SA fue desactivada en mayo de 2000, y la precisi ó n mejoró sustancialmente. La mayor parte del tiempo, los errores en Latitud y Longitud son del orden de los 3 m aunque pueden llegar a los 10 m y excepcionalmente algo más. En todos los casos, la atmó sfera introduce errores en los cálculos, ya que la velocidad de la señ al sufre pequeñ as perturbaciones que no se pueden modelar simplemente. Estas perturbaciones atmosféricas son actualmente la principal causa de los errores en el posicionamiento aislado. El comportamiento de la señ al es diferente en la alta atmó sfera (ionó sfera), y en la baja atmó sfera (tropó sfera). Como se vera más adelante, la medició n de las distancias Ri están basadas en la determinació n del intervalo de tiempo que le toma a la señ al, recorrer la distancia entre el satélite y el receptor. Para que el intervalo medido en el receptor sea real, el reloj interno del receptor debería estar perfectamente sincronizado con los de los satélites. Esta situació n no puede asegurarse, de manera que el problema se resuelve agregando a la ecuació n de las distancias medidas un término c.dt, que representa el error en distancia producido por este efecto, siendo c la velocidad de la se ñ al y dt el error de sincronizació n del reloj local. Este término agrega una nueva incó gnita dt. Por esta razó n se necesitan 4 ecuaciones (o sea 4 satélites) para resolver 4 incó gnitas: 3 de posició n y una de tiempo.



Los principios de posicionamiento GPS(4) (El posicionamiento relativo)

Los errores son comunes a las dos estaciones. La posició n relativa resulta mucho más precisa que una posició n aislada. Es necesario conocer las coordenadas precisas de una estación.

• La SA.: la degradació n de los relojes satelitales, afecta estrictamente igual a las dos estaciones, los errores en las efemérides son importantes si la distancia entre las estaciones es muy grande (más de 50 km). En tal caso se utilizan efemérides precisas.

• La atmó sfera introduce errores muy similares para distancias de algunas decenas de kiló metros. Para distancias mayores es importante utilizar receptores de doble frecue ncia para eliminar los errores de la ionosfera.

• Es condició n necesaria para alcanzar una solució n apropiada contar con una buena posició n de partida, de lo contrario, la precisió n de la posició n relativa resultará afectada según una regla aproximada:

Error en la base => 1 PPM cada 10 m de error en las coordenadas de partida



Los principios de posicionamiento GPS(4) (Comentarios) Como ya se mencionó , la SA no está activada. No obstante, el comentario es válido porque la activació n es una decisió n unilateral de los EEUU. También es cierto que las posiciones satelitales que se transmiten con la se ñ al (efemérides transmitidas) resultan del cálculo de ó rbitas no exento de errores (aún en el caso de la SA desactivada). Estos errores en las posiciones satelitales afectan al posicionamiento relativo cuando la distancia entre los receptores se hace significativa. En tal caso, a posteriori, se puede contar con un recálculo de las posiciones satelitales (efemérides precisas) y eliminar completamente esta fuente de error. Es importante destacar el último párrafo:

• Es condición necesaria para alcanzar una solución apropiada contar con una buena posición de partida, de lo contrario, la precisión de la posición relativa resultará afectada segú n una regla aproximada:

Error en la base => 1 ppm cada 10 m de error en las coordenadas de partida Esto quiere decir que los errores en un extremo de la base no se propagan idénticamente sobre el otro extremo, sino que la base se deforma. Para procesar "la base" es necesario adoptar coordenadas para un extremo y calcular en forma relativa las coordenadas del otro extremo. La regla escrita arriba significa que si la distancia entre los dos receptores es de 50 km, 1 PPM es de 5 cm. Si el error en la coordenada de partida adoptado es de 10 m, el error en la base será del orden de los 5 Cm. Y se propaga aproximadamente linealmente: es decir, si el error en la coordenada de partida es de 20 m, el error en la base es de 10 cm, y así siguiendo.



Los principios de posicionamiento GPS(5) (Comentarios)

La geometría de los satélites visibles desde un determunado sitio es muy importante y se

mide con los parámetros de dilució n de la precisió n:

PDOP: posició n

HDOP: horizontal VDOP: vertical

MAL PDOP > 5

DOP viene de “Dilució n de la Precisió n”: es decir, que es un factor que multiplica a la precisi ó n de las mediciones desmejorando la precisió n real. Cuanto mayor es el PDOP más desfavorable es la situació n. Este es un indicador que puede predecirse con una planificaci ó n apropiada, es decir, que es posible elegir los horarios en los que el PDOP sea favorable. Los obstáculos locales juegan un papel importante, obstaculizando la recepci ó n de algunos satélites. Esto puede ser controlado por el Operador en el campo tomando la decisi ó n de permanecer más tiempo hasta tener un periodo de medició n con PDOP aceptable.




Las efemérides transmitidas en tiempo real son extrapoladas.

Para trabajos de alta precisió n y distancias

del orden de los 50 kiló metros o más se pueden utilizar efemérides precisas.

• Las efemérides trasmitidas (broadcast), son calculadas por el sistema oficial de control de GPS en base al rastreo de todos los satélites, y resultan de la extrapolació n de las ó rbitas ajustadas para que los usuarios puedan disponer de las posiciones de los satélites en tiempo real. La precisió n de estas efemérides es de algunos metros.

• Las efemérides precisas son calculadas por el Servicio GPS Internacional (IGS) y son accesibles posteriormente y por internet con una demora de varios días. Estas ó rbitas tienen una precisió n de pocos cm y resullan del AJUSTE de un arco observado y NO de una predicció n.

Para distancias razonables, por ejemplo inferiores a 50 km, como las que resultan de disponer de una red de apoyo como la de la Provincia de Buenos Aires, es suficiente utilizar las efemérides trasmitidas.




La atmó sfera perturba la propagació n de las señ ales GPS.

Los efectos son distintos en la ionó sfera (capa superior) y en la troposfera (capa inferior).

• La ionó sfera afecta a las señ ales en forma inversamente proporcional a la frecuencia de las mismas. Esto permite eliminar su efecto coordinando las componentes de las señ ales GPS en las dos frecuencias posibles L1 y L2. Para ello es necesario utilizar receptores de "doble frecuencia' ́

• La tropó sfera (baja atmó sfera) introduce errores muy similares para distancias de algunas decenas de kiló metros. Se modeliza muy aceptablemente la componente seca y con más incertidumbre la componente húmeda. En bases largas y con observació n prolongada (varias horas) es posible ajustar un coeficiente para mejorar la estimaci ó n de la correcció n. Afecta principalmente la determinació n de alturas con GPS.



Los principios de posicionamiento GPS(7) (Comentarios adicionales) La ionó sfera afecta a las señ ales de forma diferente según la frecuencia de las mismas. Esto ha sido utilizado desde los primeros sistemas satelitales de navegació n para trasmitir señ ales en dos frecuencias (por ejemplo, el sistema TRANSIT, antecesor de GPS, trasmitía en 400 y 150 Mhz). Las señ ales GPS se transmiten en dos frecuencias denominadas L1 y L2. La combinaci ó n de las observaciones realizadas sobre cada una de ellas permite eliminar la perturbaci ó n ionosférica. Sin embargo, para ello es necesario utilizar receptores de "doble frecuencia" que son bastante costosos. Se comercializan receptores muy precisos y relativamente econ ó micos que solo reciben una frecuencia (L1). Se dice que se trata de receptores de una frecuencia, o de frecuencia simple y no pueden eliminar el efecto ionosférico. Estos son especialmente apropiados para trabajar en distancias cortas (hasta 20 o 25 km) para que el error introducido por la ionó sfera en ambos extremes de la base sea muy similar y se elimine con la combinaci ó n de las observaciones de ambos receptores. El caso de la tropó sfera es distinto ya que sus efectos no pueden eliminarse sencillamente. No obstante, estos efectos cancelan aceptablemente con el posicionamiento relativo por varias decenas de kiló metros. Para trabajos de alta precisió n es posible agregar durante el procesamiento una inc ó gnita adicional para mejorar la modelizació n del efecto troposférico.



La señ al GPS(I) La señ al tiene dos componentes:

La de frecuencia L1: L1 = M CA Sen(w1.t) + M P1 Cos(w1.t)

Y la de frecuencia L2: L2 = M p2 Cos(w2.t)

• M: mensaje de navegació n, contiene principalmente las efemérides trasmitidas. • CA: có digo COARSE ACQUISITION para la medició n rápida del PseudoRange (o pseudo

distancia) entre el satélite y el receptor. Todos los receptores miden PseudoRange. • wl = pulsació n de la frecuencia L1. Los receptores de simple frecuencia recuperan la fase

de la onda Cos (wl.t). • PI: có digo PRECISO en la señ al L1. Solo los receptores más sofisticados acceden al có digo

P. • w2 = pulsació n de la frecuencia L2. Solo los receptores de doble frecuencia recuperan la

fase de la onda Cos (w2.1). • P2: có digo PRECISO en la señ al L2. Solo los receptores mas sofisticados acceden al có digo

P.



La señ al GPS(2)

CA tiene una longitud de onda de aproximadamente 300 metros. La precisió n de la medició n del pseudo rango es de unos 3 metros.

P tiene una longitud de onda de aproximadamente 30 metros. La precisió n del pseudo rango es de unos 30 centímetros.

L1 tiene una longitud de onda de aproximadamente 19 centímetros. L2 tiene una longitud de onda de aproximadamente 24 centímetros. La precisió n de la medició n de la diferencia de fase es de unos 2 milímetros.

El có digo P está encriptado para evitar su acceso a usuarios no calificados, de manera que no existen receptores solo de có digo P. No obstante, los receptores de doble frecuencia más modernos tienen estrategias para reconstruir el có digo P, lo que facilita la medició n de fase en L2 y permite mejorar la performance de los equipos.



La señ al GPS (comentarios) La señ al de GPS tiene diversas componentes que sirven para medir la distancia entre el satélite y el receptor. Sobre dos ondas portadoras (sinusoidales) de frecuencias L1 y L2 vienen montadas diversas modulaciones:

• la que tiene informació n sobre efemérides también denominada mensaje de navegació n (M) que provee los dates necesarios para el cálculo de la posició n del satélite en cualquier instante,

• la modulació n del có digo llamado C/A (coarse acquisition) que consiste en una sucesi ó n de multiplicaciones de la sinusoide portadora por +1 o -1, esta sucesió n constituye un có digo ya que es propia de cada satélite, y sirve entre otras cosas para identificar al satélite recibido. Ese có digo es leído e identificado por todo tipo de receptores. Es el observable primario de GPS y permite medir la distancia satélite-receptor( a menos del error de tiempo del receptor). La sucesió n de +1, -1 propia de cada satélite se emite a partir de instantes bien determinados, y llegan para ser identificados en el receptor algún tiempo después. El retardo estimado en el receptor es una medida de la distancia que se consigue con una precisió n del orden del metro.

• La modulació n del có digo P (precise), similar al anterior solo que más precise pero mucho más largo y plenamente habilitado solo para usuarios calificados. El c ó digo P medula a L1 (en este caso se denomina P1)y también a L2 (P2).

Los có digos sirven para medir directamente la distancia satélite-receptor con la única correcció n necesaria: el error del reloj local. Como el error de tiempo está presente en la medició n esta se denomina "Pseudo Range" o pseudo distancia, ya que no es estrictamente la distancia por el error de sincronizació n mencionado.

• Una vez decodificada, la señ al resultante, tanto en L1 como en L2, es la sinusoide portadora original.

• Estas ondas portadoras también son aptas para medir diferencias de fase sobre ellas con los siguientes comentarios: en primer lugar las fases medidas evolucionan con la distancia, de manera que constituyen también una manera de estimar la distancia satélite receptor; en segundo lugar, las mediciones de fase tienen una precisi ó n muy superior a la que se consigue con los có digos. Así es posible establecer una primera gruesa clasificaci ó n entre receptores de có digo que solo miden pseudo-range, y receptores geodésicos capaces de medir diferencias de fase.



Los observables Pseudo Range

Señ al generada en el satélite

Señ al recibida en el receptor

Señ al generada localmente

El Pseudo Range medido resulta de relacionar el có digo generado localmente (por el receptor) con có digo transportado por la señ al que arriba desfasado por el tiempo que tardó en viajar desde el satélite. La medició n del desfasaje es el Pseudo Range. No obstante, no es una medida de distancia porque los orígenes de tiempo en el satélite y en el receptor no son iguales por el error del reloj del receptor. Distancia = PseudoRange – error del reloj local



Los observables Diferencias de fase

Onda recibida

Onda generada localmente

Diferencia de fase medida

El concepto es en principio semejante al de la medició n del Pseudo Range. Consiste en comparar la onda portadora recibida con la misma onda generada localmente. Es evidente que si los relojes que generan las señ ales estuvieran sincronizados perfectamente, y no hubiera retardo por el tiempo que tarda la señ al en llegar desde el satélite, no tendría que haber diferencias de fase. Las diferencias medidas contienen informació n sobre la distancia satélite receptor y también del error de sincronizació n. Una ventaja: las diferencias de fase se miden al milímetro. Una desventaja: se puede medir solo una parte de la distancia y esto agrega una nueva inc ó gnita por cada satélite denominada ambigü edad.



Fases

Los principios de cálculo Se compara la observació n con la misma cantidad a partir de los parámetros conocidos.

La desigualdad se atribuye al desconocimiento de las coordenadas del observador.

Ecuación de Observación = Término (dX, dY, dZ) + residuo

Así surgen en las ecuaciones de Observació n de las incó gnitas:

dX dY dZ



Simples diferencias (SD)

SD (A, B, 1) = Fase (B, 1) – Fase(A, 1) Todo corresponde al mismo instante Ti

De acuerdo a la ecuació n anterior para las fases

Fueron eliminados o minimizados: • Inestabilidad del oscilador del satélite en la observació n • Los retardo atmosféricos en la observació n • Los errores orbitales (Xs Ys Zs) en el cálculo

Aún permanecen:

• Alta influencia de los relojes locales • No es posible resolver las ambigü edades



Dobles diferencias (DD)

SD (A, B, 1) = Fase (B, 1) – Fase (A, 1) SD (A, B, 2) = Fase (B, 2) – Fase (A, 2) Todo corresponde al mismo instante Ti DD (A, B, 1, 2) = SD(A, B, 2) – SD(A, B, 1)

De acuerdo a la ecuació n anterior para las simples diferencias:

Positivo:

• Se minimizan las inestabilidades de los osciladores locales (receptores) • Es posible resolver las ambigü edades

A tener en cuenta:

• Observaciones correlacionadas... • Errores de observació n más grandes.



Las mediciones de Fase (comentarios) La medició n de distancias de fase entre la onda recibida y la misma onda generada localmente es una funció n de:

• la distancia Satélite - Receptor (las coordenadas de los satélites y la del receptor) • los errores en los relojes del satélite donde se genera la onda recibida • los errores en el reloj local donde se genera la onda de referencia • la ambigü edad: o el número entero de ciclos contenidos en la distancia • los errores de propagació n atmosférica • errores de observació n

En los principios del posicionamiento relativo se planteó la eliminació n de los errores comunes a dos estaciones combinando (restando) las observaciones simultáneas. En particular, los errores orbitales y los de propagació n atmosférica. Simples diferencias: Se denominan simples diferencias a las que se forman restando las mediciones en dos estaciones. Además de disminuir los errores orbitales y los de propagaci ó n atmosférica, los errores de los relojes de los satélites se cancelan porque son comunes a ambas observaciones. Dobles diferencias: Se denominan dobles diferencias a las que se forman restando las simples diferencias a satélites distintos. Los errores de los relojes locales se cancelan porque son comunes a las mediciones realizadas a distintos satélites. Las ambigü edades siguen siendo números enteros, y ahora aparecen no mezcladas con otros errores por lo que en principio es posible estimarlas junto con las coordenadas del receptor.



Ecuación de observación Ejemplo para 5 satélites (y dos estaciones), en cada época: DD(1,2) = SD(2) – SD(1) DD(1,2) = SD(3) – SD(1) DD(1,4) = SD(4) – SD(1) DD(1,5) = SD(5) – SD(1) 1 satélite de referencia 4 ecuaciones de observació n Las dobles diferencias son las observaciones utilizadas en la resolució n de los vectores GPS. Incógnitas:

dX, dY, dZ de un extremo del vector GPS N12, N13, N14, N15 7 incó gnitas ð 4 ecuaciones con 7 incó gnitas

Si realizamos un registro cada 15 segundos en 30 minutos de observaci ó n:

ð 480 ecuaciones con 7 incó gnitas. La superabundancia de ecuaciones de observació n tiene como consecuencia:

• Obtener los mejores estimadores de las incó gnitas: • Obtener estimadores de los errores de las incó gnitas:

• Que cada ecuació n de observació n arroje un residuo:

Ojo!!!: La resolució n de las ambigü edades NO depende de la cantidad de observaciones, sino del cambio de geometría en la constelació n de satélites. Procesamiento convencional: Solució n flotante: Las ambigü edades son consideradas números reales y se hallan las incó gnitas:

Solució n fija (Fixed): Las ambigü edades son fijadas como números enteros y se vuelve a resolver todo el sistema, con solució n:



Análisis de la salida de una solución GPS Parámetros Estadísticos generales: · Reference Variance (Varianza de referencia) Es equivalente al Error Medio Cuadrático de la Unidad de Peso.

• Si los errores de observació n son del mismo orden que los considerados por el software A PRIORI su valor es 1 (uno)

• Si son mayores, su valor es MAYOR que 1 (uno) • Si son menores, su valor es MENOR que 1 (uno)

· Varience Ratio Es un parámetro que indica la confiabilidad del conjunto de ambigü edades adoptadas como FIJAS en la Solució n Fixed. Cuanto más grande, mejor es la solució n hallada Parámetros estadísticos de las incógnitas:

• Cada solució n contiene los errores de cada incó gnita. ¡Estos NO son los ERRORES REALES!

• Matríz de Covarianza (Aposteriori Covariance Matrix) Indica la Inter-dependencia (correlació n) que existe entre la solució n de una incó gnita y otra. Si las incó gnitas hubieran sido determinadas en forma independiente ..., los elementos no diagonales de la Matriz serían nulos Residuos: Para cada satélite son graficados los residuos de cada Ecuació n de Observació n de Doble Diferencia. En el caso de una buena solució n, los residuos son producidos por efecto de los errores observacionales, y en consecuencia deben distribuirse en forma aleatoria (sin tendencia) Si está distribució n tiene claras tendencias, los residuos responderán además a cuestiones sistemáticas que no han sido consideradas en los modelos matemáticos.



Las mediciones de fase-17rocesamiento (comentarios) En el procesamiento normalmente se realiza primero una soluci ó n de triples diferencias: Las triples diferencias son diferencias de "dobles diferencias" para instantes consecutivos. Estas triples diferencias cancelan las ambigü edades, lo que no debe interpretarse como una ventaja. No obstante, al diferenciar observaciones para instantes consecutivos pueden detectarse discontinuidades en las observaciones. Esta soluci ó n preliminar de triples diferencias permite detectar y reparar perdidas de señ al (saltos del ciclo) y depurar las observaciones. EI observable con el cual se realizan la solución final es la doble diferencia de fases. En primera aproximació n se realiza una solució n con ambigü edades flotantes, esto quiere decir, no imponiendo a estas incó gnitas la condició n de enteras. Inmediatamente después se analizan automáticamente distintas opciones para fijar las ambigü edades como números enteros. Esta condició n (de enteros) implica agregar informació n al problema y en consecuencia debería en todos los cases mejorar la solució n final. En efecto, la mejor solución posible es la llamada de ambigiiedades fijas. No obstante suele ocurrir que esta solució n no se alcanza, porque el software no puede decidir entre dos o más enteros posibles. En tal caso, la solució n final se dice flotante. Esta situació n es bastante común para bases largas, observaciones con poco tiempo, mala geometría de los satélites, propagació n atmosférica muy perturbada. No necesariamente estas soluciones flotantes son malas, pero esta claro que no son ó ptimas. También puede ocurrir que se alcance una solució n fija pero con estimadores estadísticos que nos indican que la soluci6n no es robusta, es decir, que hay otras soluciones posibles de calidad similar. El parámetro "ratio" de las soluciones fijas indica cuantas veces mejor es la soluci ó n adoptada respecto de la que le seguiría en calidad. Es decir que si este numero es pró ximo a la unidad, la solució n adoptada y la que le sigue serán del mismo orden. A la inversa, cuando este número es grande indica que la solució n adoptada es mucho mejor que la siguiente en calidad.



Los mé todos de medición GPS(1)

Estació n de referencia (punto de la red PBA, otras)

Punto fijo en la zona de trabajo

Mé todo estadístico (o estático rápido): un receptor permanece fijo en una estació n de referencia de coordenadas conocidas y el segundo se instala en el punto que se desea posicionar. La grabaci ó n de datos se hace habitualmente cada 15 segundos. Mé todo cinemático (stop and go y/o continuo): un receptor permanece fijo en una estaci ó n de coordenadas conocidas y el segundo se desplaza deteniéndose brevemente en los puntos a posicionar (Stop & Go). Normalmente es posible reconstruir la trayectoria. Para alta precisi ó n se requiere inicialitació n. La grabació n de datos se hace habitualmente cada 5 seg., puede ser hasta de 1 segundo. (desplazamientos a mucha velocidad). La técnica descripta puede aplicarse para obtener resultados en tiempo real (RTK: Real Time Kinematics) para lo cual es necesario agregar un transmisor en la estaci ó n base y un receptor en el equipo mó vil.



Los mé todos de medición GPS(2) (comentarios) El tiempo de medició n depende de:

• La técnica de medida • Distancia entre estaciones • Número y distribució n de satélites • Tipo de receptor empleado • Precisió n buscada.

Mé todo estático rápido: es un método estático en el que se reducen los tiempos de medició n, su efectividad depende (ADEMÁ S) fuertemente del receptor y el software. Mé todo cinemático (stop and go y/o continuo): Para alta precisió n se requiere inicializació n. Los receptores modernos tienen inicializaci ó n OTF (On The Fly), los más antiguos usan bases conocidas o swaping de antenas. Es necesario un operador calificado. No es recomendable alejarse mucho de la base (10-15 km). No es apta para zonas muy obstruidas. La técnica RTK es ideal porque no deja dudas en el terreno. El comentario respecto de las obstrucciones se hace crítico en este caso porque es necesario asegurar TAMBIÉ N la recepció n de la señ al emitida desde la base.



Anexo Publicaciones relacionadas.



La Vinculación de Mensuras en la Provincia de Buenos Aires Comentarios sobre los aspectos técnicos (Raú l Perdomo, 2000) 1. La red GPS de la Provincia: 1.1 Introducción: La red GPS de la Provincia de Buenos Aires ha sido concebida con propó sitos múltiples, servir de apoyo a la Cartografía, a las obras públicas y privadas, contribuir al ordenamiento territorial, permitir el desarrollo de un modelo de geoide, y sentar las bases para el estudio de movimientos tectó nicos en la regió n. En este trabajo se repasan las características generales de la red en cuanto a distribució n de puntos, sistema de referencia, y su aplicació n a la vinculació n de mensuras y su integració n a un sistema de informació n territorial (Di Geneva et al, 2000). 1.2 La Red GPS: La red, en su ajuste final, incluye un total de 210 puntos, 74 de los cuales fueron puntos dobles. Formaron parte de figuras cerradas 140 puntos que constituyen la red principal y 70 fueron radiaciones cortas desde puntos principales (figura 1). Esta red está íntegramente apoyada sobre la red de nivelació n nacional lo que constituye una característica única. Permite contar en todos sus puntos con la altura elipsoidal GPS y la cota sobre el nivel del mar preexistente. A partir de esta informaci ó n se ha desarrollado un modelo de transformació n con una precisió n superior a todos los modelos previos (Perdomo et al. 1999). Otra característica distintiva es la de los puntos dobles. Un punto principal integrado a la red, y un punto pró ximo auxiliar medido por radiació n tomando como referencia al primero. El sentido de los puntos auxiliares es múltiple: - Seguridad: contar con un segundo punto en las proximidades permite asegurar la perdurabilidad de la referencia en el tiempo, y la eventual reconstrucci ó n o reposició n de pilares destruidos. - Posibilitar el arranque y onentaci9n de poligonales construidas con mediciones de ángulos y distancias. ~ Detectar errores groseros en la determinaci ó n del geoide. Un error en la altura de la antena sobre la marca, o un error de imprenta en la fuente de informaci ó n de las cotes sobre el nivel del mar llevarían a deformaciones graves en el modelo de geoide generado.



Figura 1: esquema de las bases y puntos medidos

Los puntos principales fueron designados con los cuatro primeros dígitos de la localidad más pró xima, por ejemplo, LOBE, indica el punto principal pró ximo a Lobería, CARE, el principal de Carmen de Areco. Los puntos auxiliares tienen sus tres primeros caracteres en común con el principal más pró ximo, y en todos los casos, el cuarto carácter es un 1, por ejemplo, LOB1 es el secundario de Lobería, CAR1 el de Carmen de Areco, y así siguiendo. Por supuesto, la designació n anterior de cada punto es la que se encuentra gravada en las placas identificatorias en cada pilar. Por ejemplo, el punto principal pr ó ximo a la ciudad de 25 de Mayo se describe del modo siguiente: - Designación: anterior PF 38 N (85) (actual 25MA). Localización: próximo a 25 de Mayo, se accede desde ruta 46. Responde a su posición en la carta de 25 de Mayo. Una descripció n completa, coordenadas y monografías pueden encontrarse en la publicació n final: Red Geodésica de Alta precisió n de la Provincia de Buenos Aires, 1998. 1.3 El sistema de referencia:



Con el objeto de referir la red provincial al sistema GPS oficial POSGAR 94, se vincularon varios vértices de la red a diversos puntos POSGAR. Del mismo modo, y con el fin de contar con un segundo marco de referencia, se vincularon a la red tres puntos de la red SAGA (South Amencan Geodynamique Activities). Esta red fue establecida en 1993 y remedida en 1996 por el instituto de Geociencias de Potsdam (GFZ) en colaboració n con la Facultad de Ciencias Astronó micas y Geofísicas de La Plata (tabla 1).

Tabla 1 Puntos comunes a POSGAR y SAGA

Identificació n Red de origen Vinculados a: INPE (Campo inchauspe) POSGAR SALA, TLAU

ARRE (Arrecifes) POSGAR ARR0 IGM0 (Buenos Aires) POSGAR Varios puntos de la red del

conurbano ESBB (Balcarce) POSGAR MPLA, CVID, MIRA, LOBE,

NAPA PNIR (Cnel. Suarez) POSGAR SIVE, PIGU, LCOL

BHBL (Bahía Blanca) POSGAR VBCA SATO (Betino Juárez) POSGAR BJUA

ABMO (Abramo) POSGAR VIRI, DARR SIVE (Sierra de la Ventana) SAGA PILL, PNIR, TPIC

SITI (Tandil) SAGA DLCN, EGAN, AYAC, TURI LPGS (La Plata) SAGA Varios conurbano, ATAL,

GOME, MAGD El mecanismo más simple para referir la red provincial a POSGAR consiste en fijar las coordenadas de estos puntos en el ajuste general. En este caso se utiliz ó un procedimiento diferente. La red medida es largamente redundante lo que permite una buena compensaci ó n de los errores de cierre de figuras y una estimació n de errores más realista que la que se obtiene del procesamiento de las bases individuales. Compensación Libre En primera instancia se realizó un ajuste libre de la red. En este caso, el programa de compensaci ó n introduce condiciones internas asignando una posició n para el centroide de la red y no fija ninguna coordenada "a priori". La importancia de este cálculo radica en que permite evaluar la precisi ó n interna de la red prescindiendo de la deformació n que introducen las eventuales inconsistencias entre los puntos de control. El resultado de la compensación es muy bueno y los errores en las coordenadas son del orden del centímetro en las componentes horizontales y de 2.5 centímetros en la componente vertical. Por cierto que la deficiencia de este procedimiento es la falta de definici ó n del sistema de referencia. Ajuste y vinculación de la red En esta etapa del calculo se ajustó la red al marco de referencia POSGAR94. Con este objetivo, se introdujeron condiciones fijando las coordenadas de los puntos POSGAR94 incluidos en la red (ABMO, ARRE, IGMO, INPE, BHBL, ESBB, PNIR, SATO y VBCA).



El resultado de este ajuste no fue del todo satisfactorio. Del análisis de los residuos de la solució n, se desprende que esto es debido a las inconsistencias propias de POSGAR94. En consecuencia, se diseñ ó una estrategia alternativa. A partir de la red libre, se fijaron las coordenadas de los tres puntos SAGA que forman parte de la red (LPGS, SITI y SIVE). El resultado en este caso fue tan bueno que los residuos y los parámetros estadísticos de la solució n se mantuvieron en los mismos niveles de precisió n que en el ajuste libre. Esto es producto de haber introducido coordenadas fijas de una red de altísima calidad como es SAGA. Este resultado, que no ha sido publicado, pero que está a disposició n de quienes lo requieran, es la mejor aproximació n posible de una red provincial en el sistema internacional ITRF (Intemational Terrestrial Reference Frame). Con el objeto de llevar esta red (en ITRF) al marco POSGAR se aplicó una traslación en coordenadas cartesianas egocéntricas para hacer coincidir las coordenadas del punto IGM0. En otros términos la red resultante está orientada y escalada en ITRF, pero trasladada a POSGAR en el punto IGM0. El resultado es una red muy precisa vinculada al sistema que materializa POSGAR94, dentro de su propia precisió n. Pero la diferencia sustancial con el primer ajuste realizado, es que de esta manera los errores propios de POSGAR94 no degradan la precisió n interna de la Red. La red obtenida no tiene deformaciones regionales producto de los errores internos de POSGAR94. Como resultado de la transformació n, las coordenadas de los puntos POSGAR difieren de las publicadas oficialmente. Estas diferencias están dentro de los errores propios de POSGAR, de manera que no se han introducido errores que superen a los originales. El porqué de IGMO El procedimiento empleado podría haber sido adoptado con cualquier otro punto, un punto más pró ximo del centro de la red, o aquel que minimizara los residuos de todos los otros puntos POSGAR, o simplemente Campo Inchauspe (IMPE) por razones histó ricas. Cualquier solució n daría resultados apropiados, dentro de la precisió n propia de POSGAR. Pero un añ o antes de la culminaci8n de la red de Buenos Aires, se midió una red densa para el conurbano bonaerense entre El Tigre y La Plata y dentro del cintur ó n imaginario de la ruta 6. Esta red contaba con un único punto POSGAR, precisamente IGMO, de manera que la elecció n de este punto como origen de la red provincial permitir, integrar la red del conurbano a la red provincial sin ninguna transformació n adicional. Además en IGMO funciona una estació n permanente habitualmente utilizada por los usuarios de GPS en su zona de influencia. La adopció n de otra coordenada para este punto (en el marco de la red provincial) había sido un paso hacia la confusió n. 2. Normas y estrategias para la vinculación GPS a puntos de la red Geodésica PBA: La red geodésica GPS de la Provincia de BS. As. está materializada por puntos distantes entre 50 y 60 kms unos de otros, de manera tal que la vinculació n de nuevos puntos normalmente implicaría la medició n de vectores de pocos kiló metros. Las estrategias de medició n a utilizar en cada caso están en funció n de la distancia al punto mas pró ximo de la red y del equipamiento utilizado para la vinculació n (Actualizació n de Normas para la Ejecució n de Mensuras,1999). Los puntos vinculados, y puntos auxiliares de acimut se medirán con equipamiento y procedimientos propios de la técnica GPS. Solo se permitirá la vinculación mediante una poligonal medida con instrumental tradicional cuando la parcela a vincular se encuentre más cerca que 5 km de un punto de la red, y con la condición de que se incluya en la poligonal el punto auxiliar de la red que posibilite la orientación de la poligonal.



Las coordenadas de todos los puntos de la red, y eventualmente, de nuevos puntos incorporados por los propios profesionales (ver 2.4), son públicas (y gratuitas). En el momento de la oficializaci ó n de un plano de vinculació n, se abona un arancel por el uso de las coordenadas. 2.1 Equipamiento a utilizar para la vinculasión: En todos los cases se deben utilizar equipos de medici ó n de tipo "geodésico" capaces de medir diferencias de fase de la onda portadora de la señ al GPS con precisiones del orden de la centésima parte de la longitud de onda de la portadora (2 milímetros) o mejor. Se entiende por equipos de una sola frecuencia aquellos que miden diferencia de fase sobre la onda denominada L1 solamente, y en consecuencia no pueden eliminar efectos de propagació n de la señ al en la ionó sfera mediante la medició n en distintas frecuencias. Equipos de doble frecuencia son aquellos que miden diferencias de fase sobre las ondas L1 y L2 y permiten eliminar el efecto ionosférico mediante una apropiada combinació n de ambas mediciones. 2.3 Modalidad de medición estática: Para la modalidad de medició n estática, se recomiendan los siguientes modos y tiempos de medició n:

Distancias Equipos

Hasta 15km Hasta 25km Mayor que 25 km.

Simple frecuencia 2 sesiones

independientes de 1 hora cada una.

2 sesiones independientes de 2

horas cada una. Poligonal cerrada

Doble frecuencia 2 sesiones

independientes de ½ hora cada una.

2 sesiones independientes de 1

hora cada una.

2 sesiones independientes a dos puntos de la red de 2

horas cada una.

Dos sesiones estrictamente independientes son aquellas en las cuales el mismo vector se mide dos veces en momentos diferentes del día (o en días diferentes) volviendo a estacionar ambos equipos para evitar errores de puesta en estación. Para que dos sesiones puedan ser consideradas independientes, en el sentido que aquí se propone, debe haber un intervalo de al menos media hora entre la finalización de la primera y el comienzo de la segunda. En todos los casos, para que una sesión pueda considerarse aceptable el PDOP debe ser menor a 4 durante todo el tiempo de medición. El esquema de medició n y los dos párrafos anteriores pueden considerarse arbitrarios y subjetivos. Seguramente la consulta con especialistas en el tema llevaría a tantas propuestas como personas consultadas. Este procedimiento seguramente puede considerarse conservador, y cada profesional podrá optimizar los tiempos en funció n de su propia experiencia y equipo utilizado. El esquema de medició n debe entenderse del siguiente modo: Para equipos de una sola frecuencia: la medició n de vectores de hasta 15 kiló metros implica la realizació n de dos sesiones independientes de 1 hora cada una (tiempo total de medici ó n 2 horas). Si las distancias están entre 15 y 20 kiló metros, se medirán dos sesiones independientes de 2 horas cada una (tiempo total de medició n: 4 horas). Para distancias de más de 25 kiló metros será necesario realizar una poligonal cerrada en forma de cuadrilátero, incorporando dos puntos auxiliares de manera tal que los vectores no superen los 25 kil ó metros. Por ejemplo:



Para equipos de doble frecuencia: la medició n de vectores de hasta 15 kiló metros implica la realizació n de dos sesiones independientes de ½ hora cada una (tiempo total de medició n: 1 hora). Si las distancias están entre 15 y 20 kiló metros se medirán dos sesiones de 1 hora cada una (tiempo total de medició n: 2 horas). Para distancias de más de 25 kiló metros será necesario vincular a dos puntos de la red con sesiones independientes: una sesi ó n de dos horas en cada uno (tiempo total de medició n: 4 horas). Por ejemplo:

2.4 Densificación vs. Vinculación: La publicació n por la direcció n de Geodesia de la norma sobre la obligatoriedad de la vinculació n de mensuras rurales y emprendimientos especiales (barrios cerrados, cementerios, parques, etc.) ha conducido a algunas confusiones en cuanto a la obligatoriedad de los procedimientos discutidos en 2.3. Los procedimientos obligatorios para la densificación de la red: La norma establece la posibilidad de que los propios profesionales densifiquen la red para lo cual también se establecen los tipos de monumentació n nueva o existente para los puntos agregados. Para la densificació n, los procedimientos indicados en 2.3 son obligatorios. La Direcci ó n de Geodesia reprocesará la informació n suministrada por el Profesional y le dará coordenadas definitivas al nuevo punto. La precisió n requerida para un punto nuevo debe ser mejor que 10 cm en todas las componentes. Las coordenadas de los puntos agregados serán publicadas perió dicamente por la Direcció n y libradas al uso público. El profesional que realizó la tarea de densificació n podrá utilizar indefinidamente el nuevo punto sin el pago del arancel por el uso de las coordenadas. Notese que esta posibilidad de la densificación es independiente de lo que sigue, la vinculación de parcelas propiamente dicha. La vinculación tiene procedimientos obligatorios, y procedimientos librados al buen criterio del Profesional actuante. Los procedimientos obligatorios en la vinculación: La precisió n requerida para la vinculació n de un punto perteneciente al polígono que limita la parcela debe ser mejor que 30 cm en todas las componentes. Además, debe medirse un segundo punto de la parcela que asegure una precisió n de 30 centímetros en la orientació n de la mensura.



Los procedimientos obligatorios se refieren al equipamiento a emplear y a la realizaci ó n de dos sesiones independientes (separadas al memos 30 minutes) cuyos respectivos resultados deben estar dentro de los 30 centímetros. El resultado de la vinculació n es un esquema como el anterior, en el cual se vuelquen las coordenadas geodésicas de los tres puntos involucrados: Punto de la red: con las coordenadas de partida tomadas de la publicació n oficial Punto vértice del polígono: con las coordenadas que resulten de "compensar" las dos sesiones independientes. Evidentemente las dos sesiones darán resultados diferentes. La adopció n de las coordenadas definitivas la realiza el Profesional según su criterio. Por ejemplo, si ambos resultados tienen indicadores semejantes de precisió n, una solució n simple es el promedio. Si alguna de las dos sesiones aparece muy inferior en calidad, por ejemplo, una solució n es fija y la otra flotante, una posible solució n es adoptar la solució n fija. Por supuesto que en todos los cases, ambas soluciones deben ser coincidentes a nivel de la tolerancia (mejor que 30 cm). Punto auxiliar para acimut: con las coordenadas de este segundo punto, medidas en relació n al vértice del polígono con cl procedimiento que el Profesional juzgue apropiado para asegurar la orientació n de la línea (mejor que 30"). Lo mensura propiamente dicha podrá realizarse con la técnica que el Profesional considere apropiada, y deberá obligatoriamente incluir los dos puntos de la parcela que cuentan con coordenadas geodésicas. 3. Proyección plana: La red geodesia de la Provincia ha sido calculada en el marco de la red nacional POSGAR'94. El elipsoide asociado a la misma es el WGS84 cuyos parámetros semieje mayor y achatamiento son respectivamente: a = 6 378 137m f = 1 / 298.257223563 En consecuencia, las coordenadas geodésicas de la red de la provincia están referidas al elipsoide WGS’84. Las coordenadas planas en proyección Gauss-Krü ger, que resulten de la georreferenciación de parcelas u otros emprendimientos desde la red provincial deben calcularse utilizando los parámetros del elipsoide WGS’84.



Naturalmente estas coordenadas planas no son apropiadas para ser utilizadas con cartografía existente referenciada en el sistema Campo Inchauspe. Las diferencias sistemáticas en coordenadas Gauss-Krü ger, en el sentido Campo Inchauspe - Red de la Provincia, aproximadamente en el centro de la red son del orden de: Diferencia en Xgk = 212 mts. Diferencia en Ygk = 060 mts. Estas diferencias presentan variaciones de unos pocos metros en Xgk, y de unos -10 m en Ygk para puntos en el borde Este de la red y de +10 para puntos en el borde Oeste. 4. Referencias:

• Di Genova, R., Perdomo, R., Del Cogliano, D., Fernandez G, Castillo, E. La red GPS de la Prov. de Buenos Aires, su materializació n y primeras aplicaciones concretas. Actas del presente Congreso. Bs. As., Junio de 2000.

• Perdomo R. & Del Cogliano, D. The geoid in Buenos Aires region.. Intemational Geoid Service, Bull. Nro 9, 1999.

• Actualizació n de Normas para la Ejecució n de Mensuras, Dir. De Geodesia, MOSP, PBA, 1999.

• Red Geodésica de Alta Precisió n de la Provincia de Buenos Aires, Dir. De Geodesia, MOSP, PBA y Fac. de Cs. Astronó micas y Geofísicas, UNLP, 1998.



Módulo III

LA ALTURA A PARTIR DEL POSICIONAMIENTO SATELITAL Raú l Perdomo

Facultad de Ciencias Astronó micas y Geofísicas

INTRODUCCIÓN Cuando se determinan coordenadas por medios satelitales, por ejemplo, con posicionadores GPS, las alturas que se obtienen (h) están referidas a un marco de referencia determinado y a un elipsoide asociado y tienen un claro significado geométrico: h es la altura del punto relevado (P) respecto del elipsoide, medida a lo largo de la normal al mismo (ver figura 1). Las coordenadas cartesianas rectangulares x,y,z de un punto cualquier sobre la superficie de la tierra dependen de la orientació n, el origen y la escala de dicho marco. Las coordenadas geodésicas dependen además, del elipsoide adoptado. Este es el primer elemento (básicamente de índole geométrica) a considerar cuando se expresa una altura elips ó idica obtenida con GPS. Por ejemplo, si se parte de un punto PGA94 con coordenadas geodésicas conocidas, el sistema de referencia es PGA94 y los parámetros del elipsoide son los del WGS84 (ver tabla 1). El segundo elemento fundamental (básicamente físico) se refiere a que el elipsoide no es una superficie de nivel. Dicho de otra manera, las alturas medidas respecto del elipsoi de no tienen sentido físico y puede suceder que un liquido no esté en equilibrio entre dos puntos de igual h. Más aún, un líquido podría correr de un punto P2 a otro P1 aunque h1 > h2.

Figura 5: a -> P1 es la altura de P1 respecto de una superficie de nivel (H1); c->p2 es lo mismo para el punto

P2 (h2); b->P1 es la altura elipsó idica de P1 (h1); d->P2 es la altura elipsó idica de P2 (h2).

En la figura 5, un líquido correría de P2 a P1 puesto que las respectivas alturas respecto de la superficie física de referencia son tales que H2 > H1. En la Argentina, la superficie de nivel adoptada como referencia es el nivel medio del mar (geoide), que tiene como origen al mareó grafo de Mar del Plata. Este punto original fue trasladado al PARN (Punto Altimétrico de Referencia Nacional) situado en la ciudad de Tandil, mediante una nivelaci ó n geométrica de alta precisió n. El PARN está materializado por un profundo pilar basado en roca lo que asegura su estabilidad en el tiempo [Nivelaci ó n,1962]. Así planteado el problema, es evidente que no es posible utilizar directamente las alturas que se obtienen con GPS cuando se pretende realizar una nivelació n con la finalidad de determinar el movimiento del agua. Invirtiendo el razonamiento, el problema técnico a resolver es encontrar una transformació n que permita convertir en todo lugar h -> H. Despreciando pequeñ os términos que tienen que ver con el hecho de que h Y H no se miden a lo largo de la misma direcció n como se ve en la figura 5, en la cual se ha exagerado este efecto, se puede escribir:

h = N + H siendo N la altura de la superficie de nivel (en primera aproximaci ó n, igual a la ondulació n del geoide) respecto del elipsoide de referencia.



Resulta claro que si se dispone de un modelo (de geoide) a partir del cual calcula r valores de N para cualquier sitio, será posible transformar alturas elipsoidales (h) obtenidas con GPS, en alturas sobre el nivel medio del mar haciendo simplemente H = h -N. LOS MODELOS DE GEOIDE Los modelos de geoide permiten describir el comportamiento de una superficie de nivel (geoide) con respecto a una figura geométrica de referencia (elipsoide). Este comportamiento está gobernado por la distribució n de mesas dentro de la Tierra la cual genera un potencial gravílico cuya medició n más directa es la gravedad. Los modelos de geoide disponibles para la Argentina, son modelos globales, es decir que ajustan observaciones de distinto tipo (gravimétricas, modelos geopotenciales derivados de las perturbaciones observadas en ó rbitas de satélites artificiales, altimetría satelital, gradiometría desde satélites) a lo largo de todo el mundo y producen una solució n a escala global. Este tipo de modelos, cuya precisió n ha ido en rápido aumento en los últimos añ os, tienen poca resolució n. Esto significa que no pueden dar cuenta de las ondulaciones del geoide que se producen a escala de pocos kiló metros. Los desarrollados en la Ohio State University denominados OSU89 y OSU91A muy utilizados en los últimos añ os parecen haber sido superados por el modelo EGM96 de NIMA, el que ha sido testeado en la provincia de Buenos Aires con resultados muy interesantes [Perdomo y otros. 1998]. Estos modelos constituyen una buena referencia general y se pueden tomar corno base para desarrollos localizados. En las Universidades de La Plata y Rosario se está trabajando en el desarrollo de un geoide regional más apropiado para el país y para determinadas regiones. En principio, estos modelos regionales y locales están basados en mediciones gravimétricas y son controlados con los resultados de GPS. Es posible que la mejor solució n pueda lograrse a partir de una integració n de ambas mediciones. METODOLOGIA GPS PARA EL MEJORAMIENTO DE UN MODELO DE GEOIDE La medició n de una red GPS sobre puntos de nivelació n cuya H sea conocida permite establecer en dichos puntos las diferencias Nobs = h - 11. Las diferencias prácticas con relació n a las N calculadas a partir de un modelo gravimétrico son básicamente dos:

• La primera de ellas es una desventaja: las ondulaciones observadas con GPS solo se obtienen en forma discreta en aquellos puntos en los que se ha medido y deben ser interpoladas para todo otro punto con algún algoritmo matemático.

• La segunda diferencia es a favor de GPS: si se dispone de un número apropiado de puntos medidos en la regió n de trabajo para que la interpolació n resulte muy precisa, los errores del procedimiento son centímetros, una precisió n muy difícil de lograr con modelos gravimétricos.

Durante el mes de febrero de 1998, se midió una extensa red UPS en el norte de la provincia de Buenos Aires sobre puntos de la red de nivelació n argentina, o sobre puntos trigonométricos acotados. Para todos ellos se calculó puntualmente Nobs = h -11. Para ejemplificar la metodología expuesta se presenta la siguiente figura 6. Los ejes corresponden a longitud en abscisas y latitud en ordenadas (en grados y fracci ó n). Los símbolos representan la posició n de los puntos principales de la red GPS medida, en los que se puede evaluar Nobs. Los valores inclinados sobre los símbolos son los valores medidos en dichos sitios. Las curves de nivel son el resultado de una interpolaci ó n con un software comercial ("SurFer"). Este software (y otros que pueden usarse con el mismo fin) presenta una variedad de opciones de interpolació n. Es interesante comprobar que todas ellas producen resultados ligeramente diferentes. Si la equidistancia entre las curvas es grande, las distintas soluciones posibles difieren más allá de lo aceptable y la interpolaci0n entre curvas se hace dudosa.



Como puede apreciarse en este caso, la equidistancia entre líneas es de 10 cm y la variació n de este a oeste es mayor de 1 mt. En estos casos, la aplicació n de distintas herramientas del software produce variaciones de varios centímetros. Nó tese que más allá de esta discusió n fina, la figura muestra de manera contundente lo dicho en la explicació n de los conceptos fundamentales en cuanto al distinto comportamiento de h con respecto a H en unos 200 kiló metros.

Figura 6: Nobs (h –H) para el norte de la provincia de Buenos Aires

Figura 7: Nobs – Ncalc para el norte de la provincia de Buenos Aires.

LA INTEGRACIÓN GPS - MODELOS GRAVIMÉ TRICOS (una posibilidad sencilla)



Si los modelos locales, regionales o globales representán el comportamiento general (suavizado) para la zona de trabajo, la ondulació n del geoide calculada a partir de ellos podría interpretarse como la primera aproximació n al valor de ondulació n requerido. Si se denomina Ncal al valor obtenido de un modelo gravimétrico y se lo compara con lo observado por medio de GPS (Nobs = h - H) se obtiene una evaluació n del modelo en el área relevada. A modo de ejemplo, en la figura 7 se presentan los resultados para la misma regi ó n obtenidos con el modelo global EGM96 [Lemoine y otros, 1996]. Una evaluació n más detallada puede encontrarse en Perdomo y otros (1998) donde también se exponen los resultados obtenidos con los modelos OSU91a [Rapp y otros, 1991] y GFZ96r [Gruber y otros, 1996]. Las diferencias tienen una clara evolució n desde valores negativos grandes en el extreme sureste, hasta valores negativos pequeñ os en el oeste. La equidistancia es ahora de 5 cm y la variaci ó n total es de solo 0,6 mts. Este resultado sugiere que sería posible interpolar diferencias entre los valores observados y los del modelo con precisiones centimétricas. Este comportamiento sugiere que el modelo adoptado para la legi ó n puede ser una combinació n de un modelo global (el que mejor represente los valores observados) y una correcci ó n gráfica (o numérica tomada de la matriz de diferencias utilizada para generar el gráfico). Este planteo requiere una estimació n critica de los errores que se pueden cometer mediante su empleo. Por ejemplo, la figura muestra zonas donde indudablemente se requieren más puntos para asegurar el resultado (en -60.8,-34.6 existe un extremo y entre ese punto y el borde inferior de la figura se nota un gradiente importante). Otras regiones (al norte de -34.4) muestran variaciones muy suaves y no parece probable que existan extremos que introduzcan errores mayores a unos pocos centímetros . BIBLIOGRAFIA CITADA EN EL MODULO III Aguilar, F. (1941). Lecciones de geodesia. Universidad Nacional de La Plata. Boucher, C. & Z. Altamimi (1996). International Terrestrial Reference Frame. GPS World, Sep. 1997. DMA (1991). Department of Defense. World Geodetic Systen, 1984, Its definition and relationships with local geodetic systems. DMA Technical Repport 'IR 8350.2, 2’nd Ed. Gruber, Th., M. Anzenhofer & M. Rentsch (1996). Improvements in high resolution gravity field modeling at GFZ. Proceeding of IAG Symp. Gravity, Geoid and Marine Geodesy, Tokyo, en prensa.



Facultad de Ciencias Astronó micas y Geofísicas. Observatorio Astronó mico.

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Daniel Del Cogliano.

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