(6) - introducción a la geodesia
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Topografía General Angela Suckel D’Arcangeli Ingeniería Civil e Ingeniería Civil Ambiental Académico
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6. INTRODUCCION A LA GEODESIA.
CALCULO GEODESICO METODO DIRECTO.
Definiciones básicas:
- Topografía: Superficie física de la tierra.
- Geoide: Superficie equipotencial nivelada, también corresponde a una realidad física.
- Elipsoide: Superficie matemática o marco de referencia para los cálculos.
- Datums geodésicos: Punto de coincidencia entre Geoide y Elipsoide.
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Elipsoides usados en Chile en Propiedad Minera:
• Elipsoide Internacional de 1924, Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela
1956 (PSAD-56).
"elipselademeridianodelcuadradadadexcentriciº1"61180067226700,0a/)ba(:e
"toachatamien"2971
999998231,2961a/)ba(:f
"polarsemieje"m946,911.356.6:b
"ecuatorialsemieje"m000,388.378.6:a
2222 =−
≈=−
Obs. 1: La Propiedad Minera nacional al norte de la latitud Sur 43º30’ está referida al PSAD-
56.
Obs. 2: La cartografía nacional a escala 1:50.000 al norte de la latitud Sur 43º30’ está referida
al PSAD-56.
• Elipsoide Sudamericano de referencia 1969, Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969
(SAD-69).
"elipselademeridiano
delcuadradadadexcentriciº1"03870066945416,0a/(:e )ba
"toachatamien"25,298
1250011223,298
1a/)ba(:f
"polarsemieje"m720,774.356.6:b
"ecuatorialsemieje"m000,160.378.6:a
2222 =−
≈=−
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Obs. 1: La Propiedad Minera nacional al Sur de la latitud Sur 43º30’ está referida al SAD-69.
Obs. 2: La cartografía nacional a escala 1:25.000, está referida al SAD-69.
La cartografía nacional a escala 1:50.000 al sur de la latitud Sur 43º30’, está referida al
SAD-69.
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6.1- CALCULO DE COORDENADAS GEOGRAFICAS POR METODO DIRECTO.
1.- Método de vinculación geodésica: Triangulación.
Vértice con coordenadas geográficas conocidas
Vértice por conocer
"meridianoelencurvaturadeRadio")msene1(/)e1(aRm
"normalgranoelipsoidealNormal")msene1/(aNm
.elipsoidedelpolarejesemib
.elipsoidedelecuatorialejesemia
2/)λλ(.m
2/)(m
λλΔλ
triángulo.delladoc'Δ
triángulo.delladob'geográficaLongitudλ
o. triánguldel lado a'geográficaLatitud
2/3222
2/122
21
21
12
BA12
CA
C-B
ϕ−−=
ϕ−=
=
=
+=λ
ϕ+ϕ=ϕ
−=
=ϕ−ϕ=ϕ
==
==ϕ
−
−
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"elipselademeridianodeldadexcentricisegundalaes'e"donde,b/)ba('e
"elipselademeridianodeldadexcentriciprimeralaese"donde,a/)ba(e
2222
2222
−=
−=
- Condición angular de una triangulación en el elipsoide.
Teoría: θ + β + γ = 2R Práctica: θ + β + γ = 2R + ∈ ∠ )
∠ ) : Error de cierre angular ∈
∈ ∠ ) ⎜ ∠ ) ≤ Tolerancia ⇒ Compensación, ∈i = ± ⎜ ∈3
Si
i
i
i
''
scompensadoÁngulos'
∈+γ=γ∈+β=β∈+θ=θ
- Obtención de azimutes geodésicos.
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡λΔϕΔ−ϕλΔ
=αΔ+α2/cos)(Rm
mcosNmArctg2/
''1sencossen121F
F)''(2/secmsen''''
21
21
3
ϕϕ=
λΔ+ϕΔϕλΔ=αΔ−
0F)''(''900''Si 3 →λΔ⇒∠λΔ
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- Determinación del cuadrante en que se encuentra el azimut geodésico
(α + Δα/2)
Cuadrante ( α + Δα/2) Δλ Δϕ
+ - I
+ + II II III
- + III I IV
- - IV
Azimut geodésico de la base α = αg A-B
αΔ+±α=α
β+α=α
θ−α=α
−−
−−
−−
º180gg:nObservació
'gg
'gg
BAAB
ABCB
BACA
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- Obtención de distancias geodésicas.
Distancia geodésica de la base (dg ). A-B A-B
2/1222222
BA )2/cosRmmcosNm(dg λΔϕΔ+ϕλΔ=−
Obs. expresar en radianes. ϕΔλΔ y
Distancias geodésicas A-C (dg ) y B-C (dg
A-C B-C).
'sen/'sendgdg
'sen/'sendgdg
'sendg
'sendg
'sendg
BACB
BACA
CBBACA
γθ=
γβ=
θ=
γ=
β
−−
−−
−−−
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- Obtención de Δϕ y Δλ A-C A-C
)"1sensecgcosAE3(gcosdg2KP
)K2/1gsenh(EdgP
E)gsendg(hKh
gsendgCK
gcosdgBh
a6)sene1()tg31(
E
)sene1("1sencossene2/3
D
"1sen)e1(a2tg)sene1(
C
"1sen)e1(a)sene1(
B
"1sena)sene1(
A
2ACA
2CA
2CA2
CA22
CA1
2CACA
CA22
CA
CACA
2A
22A
2
A22
AA2
22A
2A
22
2
2/3A
22
2/1A
22
ϕα+α=
+α−=
α−+=ϕ∂−
α=
α=
ϕ−ϕ+=
ϕ−ϕϕ
=
−ϕϕ−
=
−ϕ−
=
ϕ−=
−−−
−−
−−
−−
−−
)secgsen)Nm/dg(sen(senArcsen
PPD)(Kh"
CCACACA
CAAC
212
CA
ϕα=λΔϕΔ+ϕ=ϕ
++ϕ∂++=ϕΔ−
−−−
−
−
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Obs. Argumento (dg /Nm) expresar en grados sexagesimales. A-C
CAAC
CAAC
−
−
λΔ+λ=λ
ϕΔ+ϕ=ϕCoordenadas geográficas de C a partir del vértice A.
Análogamente se obtienen las coordenadas geográficas de C, a partir de B.
CBBC
CBBC
'
'
−
−
λΔ+λ=λ
ϕΔ+ϕ=ϕ
Coordenadas geográficas definitivas del vértices C.
2/)'(
2/)'(
CCC
CCC
λ+λ=λ
ϕ+ϕ=ϕ
- Nivelación trigonométrica con transformación de distancia geodésica a distancia
horizontal.
"línealadecurvaturadeRadio"gsenRmgcosNm
RmNm
2/)ZZ(HM,)/HM1(/dgDH
hj)Zsen/DH(10
66,6Ztg/DHhiZZ
hj)Di(10
66,6HhiZZ
CA2
CA2
ACCACA
C2
CACA8CACAAAC
C2
CA8CAAAC
−−
−−
−−−−
−−
α+α=ρ
+=ρ−=
−+++=
−+++=
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Para reducir dg a DH se requiere ZA-C A-C C, por lo que primero se debe calcular un Zc” de altitud
aproximada usando dg . A-C
)/HM1/(dgDH,2/)ZZ(HM
hj)Zsen/dg(10
66,6Ztg/dghiZ"Z
CACAA"C
C2
CAAC8CACAAAC
ρ−=+=
−+++=
−−
−−−
Altitud de C a partir del vértice A.
C2
CACA8CACAAAC hj)Zsen/DH(10
66,6Ztg/DHhiZZ −+++= −−−−
Altitud de C a partir del vértice B.
"CdedefinitivaAltitud"2/)'ZZ(Z
hj)Zsen/DH(10
66,6Ztg/DHhiZ'Z
CCC
C2
CBCB8CBCBBBC
+=
−+++= −−−−
2.- Método de vinculación geodésica: Radiación electrónica
La radiación electrónica constituye un método alternativo de densificación de vértices de la
red geodésica, ya que para su utilización en vinculaciones para mensuras de concesiones mineras,
se requiere autorización del Servicio Nacional de Geología y Minería. No obstante lo anterior,
constituye el método más usado.
Consiste en definir la posición de un vértice o H.M., midiendo el ángulo horizontal
comprendido entre la base geodésica y el vértice o H.M. a crear, conjuntamente con la medición
de la distancia inclinada y el ángulo zenital entre la estación de instalación y el vértice o H.M. a
crear.
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• Operación de terreno.
Δ Vértice de coordenadas conocidas.
ο Punto creado para conocer coordenadas.
Instalado en A y orientado en B se mide en forma precisa el ángulo interior θ mediante
reiteraciones, y de la misma manera, se mide el ángulo exterior complementario a θ (β).
Conjuntamente se mide la distancia inclinada, los ángulos verticales en directo y tránsito,
la altura instrumental y altura de jalón, desde A hacia P y desde P hacia A.
Con aplicaciones en vinculaciones de mensuras a la Red Nacional, el número mínimo de
reiteraciones son cuatro, los errores angulares máximos admisibles son 17cc, la sumatoria de
ángulo interno y externo es de 400g ± 30cc La precisión instrumental y el error relativo al medir la
línea A-P, son las aplicables a la Poligonal electrónica.
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Procedimiento de Cálculo.
- Condición angular de una radiación.
Teoría: θ + β = 4R Práctica: θ + β = 4R + ∈ ∠ )
∠ ) : Error de cierre angular ∈
∈ ∠ ) ⎜ ∠ ) ≤ Tolerancia ⇒ Compensación, ∈i = ± ⎜ ∈2
Ajuste de ángulo horizontal (θ)
θ’ = θ + εi si ε > 0 ⇒ εi < 0 β’ = β + εi si ε < 0 ⇒ εi > 0
∠ ) ∈
∠ ) ∈
- Obtención de azimutes geodésicos.
( )
0F)"("900"Si
"1sencossen121F
F)"(2/secmsen""
2/cosRmmcosNmtgArc)2/(
3
21
21
3
→λΔ⇒<λΔ
ϕϕ=
λΔ+ϕΔϕλΔ=αΔ−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λΔϕΔ−
ϕλΔ=αΔ+α
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Azimut geodésico de la base α = αg A-B
'gg BAPA θ+α=α −−
- Obtención de la distancia geodésica
A-P (dg A-P) a partir de la Di A-P.
"línealadecurvaturadeRadio"gsenRmgcosNm
RmNm
2/)ZZ(HM,HM1DHDg
ZsenDiDH
PA2
PA2
APPAPA
PAPAPA
−−
−−
−−−
α+α=ρ
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
−=
=
- Obtención de Δϕ A-P y Δλ A-P.
2A
22A
2
A22
AA2
22A
2A
22
2
2/3A
22
2/1A
22
a6)sene1()tg31(
E
)sene1("1sencossene2/3
D
"1sen)e1(a2tg)sene1(
C
"1sen)e1(a)sene1(
B
"1sena)sene1(
A
ϕ−ϕ+=
ϕ−ϕϕ
=
−ϕϕ−
=
−ϕ−
=
ϕ−=
“Altitud de P a partir d
vértice A
el
.”
PA2
8PAPAAAP hjDi10
66,6ZcosDihiZZ −+⋅++= −−− P
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)"1sensecgcosAE3(gcosdg2KP
)K2/1gsenh(EdgP
E)gsendg(hKh
gsendgCK
gcosdgBh
2APA
2PAPA
22
PA2
PA2
1
2PAPA
PA22
PA
PAPA
ϕα+α=
+α−=
α−+=ϕ∂−
α=
α=
−−−
−−
−−
−−
−−
)secgsen)Nm/dg(sen(senArcsen
PPD)(Kh"
PPAPAPA
PAAP
212
PA
ϕα=λΔϕΔ+ϕ=ϕ
++ϕ∂++=ϕΔ−
−−−
−
−
PAA
PAA
−ρ
−ρ
λΔ+λ=λ
ϕΔ+ϕ=ϕ Coordenadas geográficas de P a partir del vértice A.
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Ejercicios de amarre geodésico usando cálculo por método directo para triangulación y radiación. 1.- Cálculo geodésico de una triangulación por el método directo.
Datos de la base
1.131,40080"71º08'06,4540"30º43'21,8B 616,93 932"71º08'49,1218"30º39'23,2A
(m) Altitud(Oeste) Longitud(Sur) LatitudVértice
Elipsoide Internacional de Referencia de
1924, Datum Sudamericano La Canoa, 1956.
p ngu s.
Desig. Observados Co os
3
379”30º41'22,5-m0,00672267e
m 9466.356.911, bm 00.378.388,06a
2
=ϕ=
==
1.- Com ensación de á los horizontale
mpensad1 37,5102g 37,5099g
89,9779g 89,9776g2 72,5128g g 72,5125g g 200,0009 Σ g 200,0000g
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.- Cálculo de la Normal al Elipsoide.
m
.- Cálculo del Radio de Curvatura del Meridiano.
4.- Cálculo de Azimutes Geodésicos.
2
,)m sen e - a/(1 Nm 22 3256.383.980 = ϕ= 1/2
3
m,)m sen e - (1/)e - a(1 Rm 222 0056.352.187 = ϕ= 3/2
( )
1321
21
3
10x390667349,7"1sencossen121F
"83700258,21F)"(2/secmsen""
"4210,29'48º82/cosRm
mcosNmArctg)2/(
−−=ϕϕ=
=λΔ+ϕΔϕλΔ=αΔ−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λΔϕΔ−
ϕλΔ=αΔ+α
Azimut geodésico de la base α = αg A-B = 351º11’41,498”
"085,07'10º252'2gg
"998,00'56º285'3gg
"661,19'11º171g
ABCB
BACA
AB
=+α=α
=−α=α
=α
−−
−−
−
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5.-
Distancia geodésica de la base A-B (dg A-B).
2/12 =
Distancias geodésicas A-C (dgA-C) y B-C (dgB-C).
Obtención de distancias geodésicas.
cosRmmcosNm(dg 22222BA λΔϕΔ+ϕλΔ=− m686,436.7)2/
'3sendg
'1sendg
'2sendg CBBACA −−− ==
Observación: 1’, 2’ y 3’ corresponden a los ángulos horizontales 1, 2 y 3 compensados.
m387,154.12'1sen/'3sendgdg
m068,217.13'1sen/'2sendgdg
BACB
BACA
==
==
−−
−−
.- Obtención de Δϕ A-C, Δλ A-C y Coordenadas Geográficas a partir de A.
6
152
A22
A2
8
A22
AA2
922
A2
A22
22
2/3A
22
22/1
A22
10x399703855,8a6
)sene1()tg31(E
10x148142768,2)sene1(
"1sencossene2/3D
10x507437947,1"1sen)e1(a2
tg)sene1(C
10x247162966,3"1sen)e1(a
)sene1(B
10x230980491,3"1sena
)sene1(A
−
−
−
−
−
=ϕ−ϕ+
=
−=ϕ−ϕϕ
=
−=−
ϕϕ−=
=−
ϕ−=
=ϕ−
=
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72
2ACA
2CA
2CA2
4CA
22CA1
2CACA
CA22
CA
CACA
10x928418132,1P
)"1sensecgcosAE3(gcosdg2KP
10x596755197,1)K2/1gsenh(EdgP
5762066,117E)gsendg(hKh
2434898878,0gsendgCK
8198563,117gcosdgBh
−
−−−
−−−
−−
−−
−−
−=
ϕα+α=
−=+α−=
=α−+=ϕ∂−
−=α=
=α=
"6838,51'00º71
"5094,57'07º0
10x315028604,2sen
)secgsen)Nm/dg(sen(senArcsen
"7977,20'41º30
5759096,117PPD)(Kh"
CAAC
CA
3CA
CCACACA
CAAC
212
CA
=λΔ+λ=λ
−=λΔ
−=λΔ
ϕα=λΔ
−=ϕΔ+ϕ=ϕ
=++ϕ∂++=ϕΔ−
−
−
−−
−−−
−
−
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7.- Obtención de Δϕ , Δλ
B-C B-C y Coordenadas Geográficas a partir de B.
A = 3,230969442 x 10-2
B = 3,247129654 x 10-2
C = -1,511396017 x 10-9
-8 D = -2,150871522 x 10
E = 8,422429204 x 10-15
h = -120,8540618 K = -0,2023408323 -∂ϕ = -121,0562664 P = 1,363970169 x 10-4
1 P = 7,563867878 x 10-8
2 -Δϕ” = -121,0565814 ϕ = ϕ + Δϕ = -30º41’20,7974” C B Δλ = -0º07’14,7241”
= 71º00’51,6839” λC
8.- Coordenadas Geográficas Definitivas del vértice C.
"6838,51'00º712/)'(
"7975,20'41º302/)'(
CCC
CCC
=λ+λ=λ
−=ϕ+ϕ=ϕ
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9.- Determinación de altitud de C.
Datos: L a d o Altura Altura Angulo Dist. Altitud De A Instrum. Jalón Zenital Geodésica A 616,93 A C 1,34 2,00 99,9363 13.217,068 B 1.131,40 B C 1,42 2,00 102,6148 12.154,387 - Nivelación trigonométrica con transformación de distancia geodésica a distancia horizontal.
"línealadecurvaturadeRadio"gsenRmgcosNm
NmRm
2/)ZZ(HM,)/HM1(/dgDH
hj)Zsen/DH(10
66,6Ztg/DHhiZZ
hj)Di(10
66,6HhiZZ
CA2
CA2
ACCACA
C2
CACA8CACAAAC
C2
CA8CAAAC
−−
−−
−−−−
−−
α+α=ρ
+=ρ−=
−+++=
−+++=
m08,156.12)/HM1/(dgDH
m372,218.13)/HM1/(dgDH
2/)ZZ(HM
hj)Zsen/dg(10
66,6Ztg/dghiZ"Z
CBCB
CACA
A"C
C2
CACA8CACAAAC
=ρ−=
=ρ−=
+=
−+++=
−−
−−
−−−−
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Altitud de C a partir del vértice A.
m13,641Z
hj)Zsen/DH(10
66,6Ztg/DHhiZZ
C
C2
CACA8CACAAAC
=
−+++= −−−−
Altitud de C a partir del vértice B.
m11,641'Z
hj)Zsen/DH(10
66,6Ztg/DHhiZ'Z
C
C2
CBCB8CBCBBBC
=
−+++= −−−−
Altitud Definitiva de C
m 641,122/)'ZZ(Z CCC =+= 2.- Cálculo Geodésico de una radiación por el método directo.
Datos de la Base:
Vértice Latitud (Sur) Longitud (Oeste) Altitud
A 30º00’04,9004” 70º37’28,6564” 945,67 B 30º01’36,2950” 70º36’02,1140” 950,03
θ = 252,5027g
β = 147,4967g
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- Condición angular de una radiación.
Teoría: θ + β = 4R Práctica: θ + β = 4R + ∈ ∠ )
∠ ) : Error de cierre angular = 0,006g
∈ ∈ ∠ ) ≤ Tolerancia ⇒ Compensación, ∈i = ± ⎜ ∠ ) ⎜ ∈ 2 1. Ajuste de ángulo horizontal (θ)
g
g
4970,147'
5030,252'
i
i
=ε+β=β
=ε+θ=θ
2. Obtención de azimut geodésico de la base.
( ) "0187,30'29º392/cos)(Rm
mcosNmtgArc2/ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡λΔϕΔ−
ϕλΔ=αΔ+α
1321
21
3
10x345235281,7''1sencossen121F
"28958414,43F)''(2/secmsen''''
−−=ϕϕ=
=λΔ+ϕΔϕλΔ=αΔ−
3. Azimut geodésico de la base α = αg = 320º30’51,6260” A-B
"3460,01'46º187'gg BAPA =θ+α=α −−
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4. Obtención de la distancia geodésica A-P (dg A-P) a partir de la Di A-P.
Datos: m 2,05 hj ; m 1,07 hi ; 93,7514 Z; m 1.773,757 Di PAg
P-A ====
"línealadecurvaturadeRadio"gsenRmgcosNm
RmNm
2/)ZZ(HM,HM1DHDg
ZsenDiDH
PA2
PA2
APPAPA
PAPAPA
−−
−−
−−−
α+α=ρ
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
−=
=
m 1.764,933 Dg
hjDi10
66,6ZcosDihiZZ
P-A
PPA2
8PAPAAAP
=
−+++= −−−
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5. Obtención de Δϕ
A-P y Δλ A-P y coordenadas geográficas de P.
132
2APA
2PAPA
22
8PA
2PA
21
2PAPA
5PA
22PA
PAPA
152
A22
A2
8
A22
AA2
922
A2
A22
22
2/3A
22
22/1
A22
10x558306825,4P
)"1sensecgcosAE3(gcosdg2KP
10x643025415,2)K2/1gsenh(EdgP
79027256,56E)gsendg(hKh
10x355360547,8gsendgCK
79018903,56gcosdgBh
10x179940164,8a6
)sene1()tg31(E
10x120562355,2)sene1(
"1sencossene2/3D
10x468604277,1"1sen)e1(a2
tg)sene1(C
10x247489888,3"1sen)e1(a
)sene1(B
10x231088918,3"1sena
)sene1(A
−
−−−
−−−
−−
−−−
−−
−
−
−
−
−
−=
ϕα+α=
=+α−=
−=α−+=ϕ∂−
−=α=
−=α=
=ϕ−ϕ+
=
−=ϕ−ϕϕ
=
−=−
ϕϕ−=
=−
ϕ−=
=ϕ−
=
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"7585,19'37º70
"8979,08'00º0
10x471625344,2
)secgsen)Nm/dg(sen(senArcsen
"1101,08'59º29
"7903,56'00º0
"79034095,56PPD)(Kh"
CPA
PA
3PA
PPAPAPA
PAAP
PA
212
PA
=λΔ+λ=λ
=λΔ
−=λΔ
ϕα=λΔ
−=ϕΔ+ϕ=ϕ
=ϕΔ
−=++ϕ∂++=ϕΔ−
−ρ
−
−−
−−−
−
−
−
6. Altitud de P.
m 1.118,72 Z
hjDi10
66,6ZcosDihiZZ
P
PPA2
8PAPAAAP
=
−+++= −−−
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Ejercicios propuestos 1.- Cálculo geodésico de una radiación por el método directo. Datos:
Vértice Latitud (Sur) Longitud (Oeste) Altitud
A 30º46’16,3410” 71º10’28,8110” 1.023,40 B 30º46’19,1650” 71º08’30,4110” 1.059,80
Estación Pto. Alt. Ángulos Dist. Alt. Obs. Instr. Horizontal Zenital Incl. Jalon
A B 1,02 0,0000 P 176,2340 103,7584 2.283,376 2,00
B P 1,02 0,0000 B 223,7654
m04,888Z
Oeste"4516,49'11º71
Sur"4000,41'46º30
P
P
P
=
−=λ
−=ϕ
2.- Cálculo geodésico de una radiación por el método directo.
Datos:
Vértice Latitud (Sur) Longitud (Oeste) Altitud
A 30º16’19,1764” 71º16’50,2593” 419,43 B 30º16’15,1247” 71º17’51,1565” 355,28
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Estación Pto. Alt. Ángulos Dist. Alt. Obs. Instr. Horizontal Zenital Incl. Jalon
A B 1,32 0,0000 P 389,9353 102,4807 1.633,875 2,00
B P 1,02 0,0000 B 10,0639
m28,355Z
Oeste"1327,51'17º71
Sur"4970,23'16º30
P
P
P
=
−=λ
−=ϕ
3.- Cálculo geodésico de una radiación por el método directo.
Datos:
Vértice Latitud (Sur) Longitud (Oeste) Altitud
A 29º32’44,3307” 71º03’12,5019” 1.243,08 B 29º33’38,1122” 71º03’09,6688” 1.110,97
Estación Pto. Alt. Ángulos Dist. Alt. Obs. Instr. Horizontal Zenital Incl. Jalon
A B 0,99 0,0000 P 289,1209 103,6300 367,590 2,00
B P 0,0000 B 110,8803
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m13,221.1Z
Oeste"1934,59'02º71
Sur"7658,41'32º29
P
P
P
=
−=λ
−=ϕ
4.- Cálculo geodésico de triangulación por método directo. Datos:
Vértice Latitud (Sur) Longitud (Oeste) Altitud
A 30º18’06,8696” 71º16’02,3612” 612,91 B 30º16’46,3807” 71º15’40,2714” 462,29
Desig. Ángulos horizontales
1 49,7416g 2 111,9152g 3 38,3418g
Lado Altura Altura Angulo De A Instr. Jalón Zenital A C 1,01 3,20 103,4385 B C 1,09 3,20 101,2760
m37,419Z
Oeste"2593,50'16º71
Sur"1764,19'16º30
C
C
C
=
−=λ
−=ϕ
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5.- Cálculo geodésico de triangulación por método directo. Datos:
Vértice Latitud (Sur) Longitud (Oeste) Altitud
A 31º10’57,5080” 71º37’03,5010” 375,27 B 31º09’10,7210” 71º35’06,0100” 648,38
Desig. Ángulos horizontales.
1 41,0677g 2 81,5303g
3 77,4009g Lado Altura Altura Angulo De A Instr. Jalón Zenital
A C 1,51 2,00 102,0369 B C 1,50 2,00 104,5360
m29,147Z
Oeste"8995,03'39º71
Sur"2593,27'07º31
C
C
C
=
−=λ
−=ϕ
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B B A A
6.- Cálculo geodésico de triangulación por método directo. 6.- Cálculo geodésico de triangulación por método directo. Datos: Datos:
Vértice Latitud Vértice Latitud (Sur) (Sur) Longitud (Oeste) Longitud (Oeste) Altitud Altitud
A 29ºA 29º21’01,6248” 21’01,6248” 70º56’04,4502” 70º56’04,4502” 922,41 922,41 B 29ºB 29º21’08,8043” 21’08,8043” 70º59’00,2404” 70º59’00,2404” 738,84 738,84
Desig. Ángulos horizontales. Desig. Ángulos horizontales. 1 48,5382g 1 48,5382g
2 73,4379g
3 78,0236g Lado Lado De A De A
Altura Altura Instr. Instr.
Altura Altura Jalon Jalon
Angulo Angulo Zenital Zenital
C C 1,49 2,00 97,7267 1,49 2,00 97,7267 C C 1,50 2,00 95,9902 1,50 2,00 95,9902
2 73,4379g
3 78,0236g
m08,149.1Z
Oeste"9688,12'57º70
Sur"67889,16'24º29
C
C
C
=
−=λ
−=ϕ
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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS A COORDENADAS UTM.
1222233
4
164422234
82
10Ko)cos'etg1(6
cosNm"1sinV
10Ko"1sincosNmIV
10Ko)cos'e4cos'e9tg5(24
cossin"1sinNmIII
10Ko2
"1sincossinNmII
KoSI
6sin0222625.04sin97619694.162sin03458.161075367.111136S
ϕ+ϕ−ϕ
=
ϕ=
ϕ+ϕ+ϕ−ϕϕ
=
ϕϕ=
=
ϕ−ϕ+ϕ−ϕ=
2022224255
5
2422224256
6
10Ko)sin'e58cos'e14tgtg185(120
cosNm"1sinp5B
10Ko)sin'e330cos'e270tgtg5861(720
cossinNm"1sinp6A
ϕ−ϕ+ϕ+ϕ−ϕ
=
ϕ−ϕ+ϕ+ϕ−ϕϕ
=
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)lsexagesimasistemaelenlatitud(
normal)gran o elipsoide al normal la como definido también tical,primer ver elen curvatura de (radio )sine1(aNm
)linealdadexcentricisegunda(b
bae'2
)linealdadexcentriciprimera(b
bae
)1956PSADpolarejesemi(m946,911.356.6b
)1956PSADecuatorialejesemi(m000,388.378.6a
9996.0Ko
'E00,000.500N5BpVpIV'E
'N00,000.000.10N6ApIIIpIII'N
2/122
2
22
2
222
3
42
=ϕ
ϕ−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
=
=
=
±=++=
−=+++=
−
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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS A COORDENADAS U.T.M.
"0001,0p'E000.500E
'N000.000.10N'EEFE
5BVpIVp'E'NNFN
AIIIpIIpI'N
3
642
λΔ=±=
−=±=
++=
−=+++=
rtransformaaPuntodelLongitudcentralMeridianodelLongitud
/
m000.500EFm000.000.10NF
p
o
po
=λ=λ
λ−λ=λΔ
==
Ingreso a Tabla I (tabulación grados y minutos de latitud).
1.- Se toma el valor de I para grados y minutos. Δ1” se multiplica por el número de
segundos. El valor de II, se obtiene de igual forma. El valor de III, se obtiene sólo para
grados y minutos.
2.- Para obtención de p debe ubicarse la longitud del M.C. de acuerdo a la zona, para luego
reemplazar en la fórmula.
, se obtiene con / λ - λ / en el gráfico, generalmente tiende a 0. 3.- A6 o p
4.- Se efectúa el reemplazo en la expresión de N’ para luego obtener N.
5.- IV y V, se obtienen igual a I y II, considerando el signo de Δ1”.
6.- B se obtiene entrando con / λ - λ / al gráfico. B5 o p
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7.- Se efectúa el reemplazo en la expresión de E’, para luego obtener E, considerando lo
siguiente:
(para puntos ubicados el Este M.C.) 'EEFE +=
' (para puntos ubicados al Oeste del M.C.) EEFE −=
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EJEMPLO DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.
A partir de las coordenadas geográficas, determinar las coordenadas U.T.M.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
m9966,780.345'EEFEm0034,219.154'E
0016,0P0001962,40P0042,165.258'E
0016,0B0001962.40V0042.258165IV0118038,046''114337574,946''11
00103,0''182319,0''I012,40V438,174.258IV'27º33
BPVPIV'E
m141,183.297.6Nm859,816.702.3'N
0P167,2P81,449.3068,585.701.3'N
12731103,0P0A213132424,0P
33,973.5''356806712,0P33''33'39º1597333,0P
/º6933''33'39º70/'/'/0001,0P
81,449.3II668,585.701.3I1639926.046''119391208,35246''1101431.0''179748,30''1
167,2III646,449.3II729,232.701.3I
AIIIPIIPI'NNNF'N
'NNFN
33''33'39º70S46''11'27º33
3
5
53
42
4
63
2
642
=−==
++=
===
−=−=−=−=
==
++=
==
+++=
=
==
=λΔ=
=λΔ=−=λΔλΔ=
==
====
===
+++=
−=−=
=λ−=ϕ
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CONVERGENCIA DE MERIDIANOS DESDE COORDENADAS GEOGRAFICAS
202445
5
12442222
2
222
004
53
10)tg2(15
CosSen''1SenPC
10)Cos'e2Cos'e31(3
CosSen''1SenXIII
bba'e
.C.M,10SenXII
''0001,0PCPXIIIPXIIC
⋅ϕ−ϕ⋅ϕ⋅⋅
=
⋅ϕ⋅+ϕ⋅⋅+ϕ⋅ϕ
=
−=
=λλ−λ=λΔ⋅ϕ=
λΔ⋅=++=
EJEMPLO:
W''554,36'52º70
S''605,51'52º29
=λ
=ϕ
g0392,1C97943718,2XIII
0025,4982XII6756554.0P
''554,6756''554,36'52º1
=
===
==λΔ
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CONVERGENCIA DE MERIDIANOS DESDE COORDENADAS U.T.M.
O
6
m
53
K10
''1SenNtgXV
FqXVIqXVC
⋅⋅
ϕ=
++=
9996,0K
EEF'E'E000001,0q
O =
−==
5O
3042
5m
5
5
3O
1844222
3m
K10)tg3tg52(
''1SenN15tgqF
K10)Cos'e2Cos'etg1(
''1SenN3tgXVI
⋅ϕ+ϕ+⋅⋅
ϕ⋅=
⋅ϕ⋅−ϕ−ϕ+⋅⋅ϕ
=
EJEMPLO:
N = 6.692.873,218 m q = 0.181254788
E = 318.745,212 m Nm = 6.383.716,127
XV = 18.572,87426
XVI = 201,4542561
C = 3366,422387”
C = 1.0308 g
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RELACIÓN ENTRE DISTANCIAS
1.- Distancia inclinada a distancia horizontal
ZSenDIDH =
2.- Distancia horizontal a distancia geodésica
gsenmgcosNmmNm
2HBHAHMHM1DHDG
22 αρ+αρ
=γ
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ
−=
3.- Distancia geodésica a distancia U.T.M.
DGKDUTM =
) q00003,0qXVIII1(KK 42O +−=
)KN/10()cos'e1(5,0XVIII'E000001,0q
9996,0K.C.calaenelMFactordees:K
Om622
O
O
ϕ+=
==
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