exercício 5 - antonio italo

22nd International Congress of Mechanical Engineering (COBEM 2013)November 3-7, 2013, Ribeirão Preto, SP, Brazil

Copyright © 2013 by ABCM

APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE PROBLEMA ADJUNTO PARA ESTIMATIVA DE FUNÇÃO NO SISTEMA MASSA-MOLA COM

AMORTECIMENTO SUBCRÍTICO

Antônio Ítalo Rodrigues PedrosaInstituto Militar de Engenharia. Praia Vermelha, Rio de Janeiro – [email protected]

Resumo. O objetivo desse trabalho é analisar a aplicação da técnica do Problema Adjunto para Estimativa de Funções no clássico sistema massa-mola com subamortecimento, comparando o resultado encontrado pela solução analítica com os resultados adquiridos pela solução numérica do método. Os resultados encontrados mostram a eficiência do método de estimativa de função.

Palavras-chave: Sistema de Segunda Ordem, Problema Adjunto, Estimativa de Funções.

1. INTRODUÇÃO

Para análise do sistema massa-mola subamortecido, recorre-se aos conceitos de vibração.Qualquer movimento que ser repita após um intervalo de tempo é denominado vibração ou oscilação (Rao, 2009).Em geral, um sistema vibratório inclui um meio para armazenar energia potencial (mola ou elasticidade), um meio

para armazenar energia cinética (massa ou inércia) e um meio de perda gradual de energia (amortecedor) (Rao, 2009).Também se deve classificar a vibração quanto às condições iniciais e as do próprio sistema. Se um sistema, após

uma perturbação inicial, continuar a vibrar por conta própria, a vibração resultante é conhecida como vibração livre. Se um sistema estiver sujeito a uma força externa, a vibração resultante é conhecida com vibração forçada. Se nenhuma energia for perdida ou dissipada durante a oscilação, a vibração é conhecida como vibração não amortecida. Todavia, se qualquer energia for perdida dessa maneira, ela é denominada vibração amortecida (Rao, 2009).

Para o problema proposto, foi considerado que se tratava de um sistema de vibração forçada. A representação gráfica do modelo estudado pode ser vista na Fig. 1.

Figura 1. Representação da modelagem do sistema massa-mola amortecido (Rao,2009).

A equação que rege esse modelo será:

m x+ c x+k x=Gp (t ) (1)

onde, m é a massa, c é a constante de amortecimento, k é a constante elástica da mola e Gp uma função aplicada ao modelo. O valor de x representa a sua posição no tempo correspondente, e suas derivadas primeira e segunda representam a velocidade e a aceleração respectivamente.

Essa equação pode ser reescrita na forma:


x+2 ξ ωn x+ωn2 x=G p (t) (2)

em que ζ é o fator de amortecimento e ωn é a frequência natural de vibração do sistema. Considera-se um sistema sem amortecimento quando o valor de ζ é igual a zero. Para sistemas subamortecidos, o valor de ζ deve estar entre 0 e 1. E para valores maiores que os anteriores, considera-se que o sistema é do tipo superamortecido.

O estado de um sistema dinâmico é o conjunto mínimo de variáveis (chamadas de variáveis de estado) tal que o conhecimento destas variáveis, conjuntamente com as entradas, determina totalmente o comportamento do sistema para qualquer tempo. A solução para o sistema apresentado pode ser encontrada utilizando funções de estado, e considerando as variáveis de estado como x e x, obtém-se:

{ y= xy=−ωn

2 x−2ξ ωn x+G p(t)(3)

Escrevendo na forma matricial, o sistema acima apresenta-se como:

[ yy ]=[ 0 1

−ωn2 −2ξ ωn][ x

x ]+[01]G p( t) (4)

Como o objetivo do estudo é analisar os valores obtidos para x, representamos a resposta do sistema, também na forma matricial, como:

[ x ]=[ 10 ] [xx ]+ [ 0 ] G p(t) (5)

Dessa forma, tem-se um sistema de duas equações de primeira ordem com duas variáveis, podendo ser apresentado como:

{[ yy ]=A∗[ x

x]+B∗G p(t )

x=C∗[xx ]+D∗G p(t)(6)

1.1 Método de Minimização com o Gradiente Conjugado com Problema Adjunto para Estimativa de Função

O método de minimização com gradiente conjugado é estudado desde a década de 50, com base nos trabalhos de Hestenes e Stiefel. Esse método é utilizado para solucionar problemas de equações diferenciais parciais, e foi bastante aceito com o avanço computacional da atualidade para resolver problemas com soluções discretas ou contínuas.

O método do gradiente conjugado é uma estratégia de direções conjugadas em que os passos de busca são construídos pela conjugação dos resíduos de cada iteração, que são os opostos dos gradientes (Gardenghi, 2012).

Nesse método, dois problemas auxiliares são adicionados, chamados de problema de sensibilidade e problema adjunto, usados para resolver o passo de busca βk e a equação gradiente ∇S(Pk). A técnica é especialmente utilizada para problemas envolvendo a estimativa de coeficientes de funções experimentais usadas para aproximar a uma função inicialmente desconhecida (Ozisik, 2000).

Considerando-se a Eq. 2, faz-se necessário que a função a ser estimada atenda à condição:

∫t0

tf

[G p ( t ) ]2dt <∞ (7)

A função objetivo do problema será considerada como a minimização da diferença dos quadrados na forma:

S( P )=∫0

t

[ Y ( t )−X ( t )] ² dt(8)


Em que S(P) é a função objetivo a ser minimizada, Y(t) corresponde aos valores reais do experimento realizado e X(t) representa os valores encontrados numericamente pelo método proposto em cada instante de tempo no intervalo t.

O problema direto a ser solucionado é o apresentado pela Eq. 2, em que foram considerados que a posição inicial

x(0) e a velocidade inicial ˙x (O) são dadas, e será resolvido utilizando as Eq. 4 e Eq. 5.

O problema de sensibilidade pode ser obtido assumindo que a posição X(t) é perturbada por um incremento ΔX(t), quando a função desconhecida Gp(t) é perturbada pelo termo ΔGp(t) (Ozisik, 2000). O problema de sensibilidade é obtido então como:

d ² Δxdt ²

+2ωnζdΔxdt

+ωnΔx=ΔGp ( t )(9)

em que as condições iniciais para a equação do lado esquerdo da igualdade são nulas. O valor do incremento também pode ser calculado utilizando as equações de estado apresentadas anteriormente

{[ yy ]=A∗[∆ x

∆ x ]+B∗∆ G p(t)

∆ x=C∗[∆ x∆ x ]+D∗∆ G p(t)

(10)

Para realizar a minimização da função objetivo, deve-se utilizar um multiplicador de Langrange, porque o valor encontrado em cada função precisa satisfazer a uma constante, que é a solução do problema direto. Cada multiplicador é obtido através da solução do problema adjunto para o problema de sensibilidade dado pela Eq. 10 (Ozisik, 2000).

O limite do valor para o multiplicador de Lagrange é obtido pelo seguinte problema adjunto:

d ² λ( t )dt ²

−2ωnζdλ( t )

dt+ωnλ ( t )=2(Y ( t )−X ( t ))

(11)

em que as condições finais da equação do lado direito da igualdade torna-se nula. Para resolver esse tipo de equação, precisaríamos das condições iniciais do sistema, logo, utiliza-se de um artifício em que o t0 = tf para que a solução aconteça no sentido inverso do processo.

O gradiente da função objetivo é dado na forma:

∇ S j( P)=−∑ λ( t )∗C j( t )(12)

mas, como definido anteriormente, Cj(t) é unitário, então o∇ S j( P)assume o valor do próprio λ.O passo de busca β escolhido para o processo iterativo do método é aquele em que minimiza a função objetivo,

sendo:

βk=∑

0

t

(Y ( t )−X ( t ))∗ΔX i

∑0

t

ΔX i ²(13)

O parâmetro encontrado Bk será utilizado para calcular Bk+1, na forma:

Gpk+1=Gp

k −dk∗βk (14)

em que dk é a direção de descida, encontrado na forma:

dk=∇ S( Pk )+γk dk−1(15)


em que γk é um coeficiente de conjugação, que será adotado seguindo o modelo proposto por Fletcher-Reeves, assumindo:

γ k= ∑ [ ∇ S ( Pk ) ] ²

∑ [∇ S (Pk−1 ) ] ² (16)

Como esse é um método numérico, ele acumula certa imprecisão, logo, esse procedimento deve ser realizado até que se admita um valor de erro máximo para a função objetivo. Esse valor será avaliado como:

ε=∑0

t

[Y ( t )−X ( t ) ] ²(17)

2. APLICAÇÃO DO ALGORITMO NO SISTEMA MASSA-MOLA

Todos os algoritmos utilizados serão representados na linguagem do software MATLAB.

Experimentos foram realizados, e montou-se uma tabela com os valores de x e x para cada instante de tempo. A implementação do algoritmo foi iniciada na forma:

Considerando-se como Y a matriz que guardará os dados da tabela experimental, wn correspondendo à frequência natural ωn apresentada anteriormente e zeta como sendo o coeficiente de amortecimento ζ. Para que o programa pudesse

computar as próximas fórmulas utilizadas, foi necessário estipular valores para o ∇ S j+1 na forma de GRAD_1 igual a 1,

e de dk+1 em D_1 igual a 0.O algoritmo apresentado requer que o usuário estime um valor inicial para o parâmetro a ser calculado. Esse valor é

armazenado no vetor Gp indicado na linha 13 do algoritmo. Cada um dos valores estimados representa um ponto da função para cada instante de tempo.

O algoritmo deverá ser executado até que a mergem de erro estimada seja atendida, no caso, foi escolhido um erro máximo de 0.001. Caso esse valor não seja atingido, foi estipulado que o número máximo de iterações fosse de 1000 vezes.

A seguir, realiza-se a solução do sistema, que pode ser obtida utilizando as variáveis de estado apresentadas e o comando lsim do MATLAB, em que utiliza-se as matrizes A,B,C e D apresentados na Eq. 10 e a função Gp como parâmetros de entrada para o comando. A posição inicial e a posição final medidas estão representadas em [1 0] respectivamente, com base no tempo t estudado.


O valor de λ na Eq. 11 pode ser encontrado com o mesmo comando e as mesmas matrizes de entrada, no entanto, como só é conhecido o valor final de λ, deve-se utilizar um artifício já que esse comando não permite que o tempo escolhido seja decrescente, então, faz-se que a função de entrada (Y – X) fique ao contrário, assim:

Com esse ajuste, pode-se utilizar o comando para analisar a saída, que também deverá ser analisada no tempo contrário, seguindo como:

O gradiente é obtido como mostrado na Eq. 10, assim como o γk e o dk nas Eq. 16 e Eq. 15.

O problema de sensibilidade é calculado fazendo que a função de entrada seja igual ao dk encontrado para cada instante de tempo e condições iniciais nulas como na Eq. 9, assim:


O passo então é calculado como na Eq. 13 e o valor da função é corrigida como na Eq. 14.

Para o próximo processo iterativo, atualiza-se o valor do gradiente e do erro associado.

Os valores da função obtidos para 200, 400, 600 e 800 iterações são mostradas na Fig. 2, e o erro associado às iterações foi de 0.0084, 0.0059, 0.0049 e 0.0044. Esse erro, assim como a própria função, deverá ser diferente a cada vez que o algoritmo for executado, uma vez que os valores de entrada estão sendo considerados como aleatórios. No entanto, pode-se perceber que a função assume comportamento de função do primeiro grau decrescente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10Função Estimada

tempo0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15Função Estimada

tempo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10Função Estimada

tempo0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-20

-15

-10

-5

0

5

10Função Estimada

tempo

Figura 2 – valores de Gp(t) para 200, 400, 600 e 800 iterações

O gráfico para a função depois de 100 iterações é apresentado na Fig. 3, e a resposta do sistema para a função analisada é mostrada na Fig. 4. Nesse caso, o erro associado foi de 0.0039.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-20

-15

-10

-5

0

5

10Função Estimada

tempo

dados

linear

Figura 3 – Função encontrada depois de 1000 iterações

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Valor encontrado

Medições realizadas

Figura 4 – Saídas reais e com a função estimada

A linha vermelha mostrada na Fig. 3 equivale à interpolação linear da resposta obtida pelo algoritmo, e o MATLAB indica os valores dos coeficientes angular e linear dessa reta, como mostrado na Fig. 5, resultando em -8.9758 e 8.9306 respectivamente. Se essa reta for utilizada como entrada no algoritmo como estimativa inicial, em vez de apenas utilizar números aleatórios, obtém-se um erro associado de 9,7·10-4 em apenas 10 iterações, resultando na curva apresentada na Fig. 6 e resposta para o sistema na Fig. 7.


Figura 5 – Coeficientes da reta de interpolação dos resultados

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-20

-15

-10

-5

0

5

10Função Estimada

tempo

dados

Figura 6 – Curva otimizada para a função Gp(t)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Valor encontrado

Medições realizadas

Figura 7 – Resposta para a curva otimizada

3. CONCLUSÃO

O método mostra-se requer alto custo computacional para estimar os parâmetros de entrada quando não se conhece o comportamento dessa função, no entanto, se a estimativa inicial for próxima da real, o processo se mostra bastante eficaz e rápido.4. REFERÊNCIAS

GARDENGHI, J. L. C. 2012 “Minimização irrestrita usando gradientes conjugados e regiões de confiança”. IMECC. “Numerical Recipes In C: The Art Of Scientific Computing”. 22 Jun. 2013.

<http://denali.phys.uniroma1.it/twiki/pub/TNTgroup/AngeloVulpiani/runge.pdf>Ozisik, M. N and Helcio R. B. O, 1965. Invert Heat Transfer. Taylor & Francis, New York.Rao, S. S, 2008. Vibrações Mecânicas. Pearson Prentice Hall, 4a edição

5. NOTA DE RESPONSABILIDADE

O autor é o único responsável pelo material impresso neste artigo.

exercício 5 - antonio italo

Documents