CARRERA: INGENIERIA MECANICA

CATEDRA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

AÑO 2017

MATERIAL DE TRABAJO N° 4

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE USO FRECUENTE

1- Introducción

Así como en el estudio de fenómenos determinísticos algunas funciones (como las

lineales, las cuadráticas, las exponenciales, etc.) desempeñan un papel más importante

que otras; en el estudio del comportamiento de una variable aleatoria hay ciertas

distribuciones de probabilidad que aparecen más a menudo que otras. Se trata de

modelos relativamente simples que sirven para describir un gran número de fenómenos

aleatorios.

Como ya se mencionó en el Material N° 3, estos modelos resumen el comportamiento de

la variabilidad de los valores de una variable aleatoria (discreta o continua) en la

población, describen la proporción de elementos de la población que toman esos valores

y ayudan a comprender qué valores de la variable son posibles y con qué frecuencia

relativa aparecen dichos valores en la población, facilitando así la toma de decisiones.

Como todo modelo, constituyen una simplificación de la realidad. Para ellos vale la

expresión del estadístico George Box: “Todos los modelos son falsos; algunos modelos

son útiles”1

En la Sección 2 de este material se presentan algunos modelos de uso frecuente para el

estudio del comportamiento de variables aleatorias discretas y en la Sección 3, algunos

modelos de uso frecuente para el estudio del comportamiento de variables aleatorias

continuas.

1 Tomado de “Métodos Estadísticos. Control y Mejora de la Variabilidad” de Prat Bartés y otros.

Recuerde que, en el caso de variables aleatorias discretas, la función de probabilidad

puntual pX(x) brinda la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x; mientras

que, en el caso de variables aleatorias continuas, la probabilidad de que la variable aleatoria

tome valores en el intervalo (a,b) se obtiene integrando la función de densidad fX(x).

Para ambos tipos de variables, se define la función de distribución FX(x) = P(X ≤ x), la cual

también permite obtener probabilidades.

(Para recordar estos conceptos, vea el Material N° 3).

2- Distribuciones de probabilidad de uso frecuente para variables aleatorias

discretas

2-1- Distribución de Bernoulli

Considere una experiencia que admita sólo dos resultados posibles, A y su opuesto, A .

Esa experiencia se denomina “ensayo de Bernoulli”.

En el lenguaje corriente los resultados A y A se denominan respectivamente “éxito” y “fracaso”. El

término “éxito” no está asociado necesariamente con un resultado bueno, sino con lo que se

quiere observar o estudiar. Por ejemplo, en una empresa se está llevando a cabo una inspección y

puede definirse como “éxito” que una pieza sea defectuosa porque el interés está en el estudio de

las piezas defectuosas del proceso.

Suponga que se conoce que la probabilidad de que ocurra A es π, de modo que la

probabilidad de que ocurra A es (1 – π).

Se define la variable aleatoria Y: nº de veces que aparece A en un único ensayo de

Bernoulli (o bien en una muestra de tamaño n = 1).

RY = {0, 1} es decir que esta variable sólo puede asumir los valores 0 y 1:

y = 0 cada vez que al repetir la experiencia se presenta A

y = 1 cada vez que al repetir la experiencia se presenta A.

Distribución Función de

Probabilidad

p(y)

Esperanza

E(Y)

Variancia

Var(Y)

Bernoulli

Y Be(π) Π

y(1-π)

1-y

π π( 1 – π)

Ejemplo 2.1. En una empresa se conoce que el 20 % de los componentes producidos

por cierto proceso son defectuosos. Se selecciona al azar un componente y se observa si

este es defectuoso o no.

La población está conformada por los infinitos componentes de ese proceso.

La variable en estudio es Y: nº de componentes defectuosos en una muestra de n = 1.

Y ~ Be (0,20) y su recorrido es RX = {0, 1}

Su función de probabilidad se presenta en la Figura 2.1.

La probabilidad de que el componente sea defectuoso es: P(Y = 1) = 0,20

La probabilidad de que el componente no resulte defectuoso es: P(Y = 0) = 0,80.

El valor medio para esta variable es: E(Y) = 0,20, el cual coincide con la proporción

poblacional de componentes defectuosos.

Función de probabilidad del Modelo Bernoulli (0,20)

(x) pX(x)

0 0,80

1 0,20

Total 1

E(X) = 0,20 componentes

defectuosos

Var(X) = 0,20.0,80 = 0,16

(componentes defectuosos)2

DE(X) = 0,4 componentes

defectuosos

Figura 2.1 Distribución Bernoulli Be(0,20)

- Esta distribución es importante porque permite el trabajo con variables

originalmente cualitativas, a las que convierte en cuantitativas discretas.

- El parámetro de interés es la proporción (π) de elementos que cumplen cierta

condición. Este valor coincide con la esperanza o promedio de la distribución

2-2- Distribución Binomial

Considere n ensayos independientes de Bernoulli, de tal manera que la probabilidad (π)

de que se presente el resultado de interés (A) se mantiene constante de ensayo a ensayo.

Se define la variable aleatoria Y: n° de ensayos de Bernoulli en los que se presenta A,

entre los n (o en una muestra de tamaño n).

RY = {0, 1, 2, …, n} es decir que esta variable asume valores enteros entre 0 y n.

Distribución Función de

Probabilidad

p(y)

Esperanza

E(Y)

Variancia

Var(Y)

Binomial

Y Bi(n,π) n

y π

y(1-π)

n-y

nπ

nπ( 1 – π)

Según los valores de n y π, la distribución puede resultar simétrica, asimétrica a la

derecha o asimétrica a la izquierda. En las Figuras 2.2 se presentan diferentes

situaciones.

Observe que:

- Cuando π es pequeña, los valores de la variable más probables son los más pequeños

(0, 1, en este caso) y los menos probables son los mayores. La forma de la distribución es

asimétrica a la derecha.

- Cuando π es 0,50, los valores de la variable más probables son los valores intermedios

(2 y 3 en este caso). La forma de la distribución es simétrica.

- Cuando π es alta, los valores de la variable más probables son los más grandes (4 y 5

en este caso) y los menos probables son los menores. La forma de la distribución es

asimétrica a la izquierda.

- Si n aumenta, la forma de la distribución se va haciendo cada vez más simétrica,

independientemente del valor de π.

Distribuciones con mismo n, pero

distinto valor de π

Distribuciones con mismo valor de π, pero

distinto n

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 1 2 3 4 5

X ~ Bi(n = 5, π = 0,20)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 1 2 3 4 5

X ~ Bi(n = 5, π = 0,20).

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5

X ~ Bi(n = 5, π = 0,50)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X ~ Bi(n = 10,π = 0,20)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4 5

X ~ Bi(n = 5, π = 0,70)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930

X ~ Bi(n = 30,π = 0,20)

Figuras 2.2 Gráficas de distribuciones de probabilidad, correspondientes al Modelo Binomial,

con diferentes valores de π (primera columna) y con diferentes valores de n (segunda columna)

Ejemplo 2.2. Suponga que en una empresa que fabrica cierto tipo de piezas se conoce

por experiencia que el 3 % de las mismos resultan defectuosas. Las piezas se

comercializan en bolsas de 10 unidades. En la empresa desean estudiar el

comportamiento del n° de piezas defectuosas en cada bolsa.

La población está conformada por las infinitas bolsas de 10 piezas

La variable en estudio es X: n° de piezas defectuosas entre 10

X ~ Bi(10, 0,03) y su recorrido es RX = {0,1, 2, 3, ….10}

Su función de probabilidad se presenta en la Figura 2.3, junto con algunas medidas de

resumen.

Función de probabilidad del Modelo Binomial Bi(10, 0,03)

Binomial con n

= 10 y p = 0,03

x P( X = x )

0 0,737424

1 0,228069

2 0,031742

3 0,002618

4 0,000142

5 0,000005

6 0,000000

7 0,000000

8 0,000000

9 0,000000

10 0,000000

E(X) = 0,3 piezas defectuosas

Var(X) = 0,291 (piezas defectuosas)2 DE(X) = 0,54 piezas defectuosas

Figuras 2.3 Distribución de probabilidad Binomial, Bi(10, 0,03)

Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran número de

bolsas de 10 piezas, que:

- el número de piezas defectuosas en cada bolsa oscila entre 0 y 4, (ya que el resto de los

valores posibles tienen probabilidad nula)

- el número promedio de piezas defectuosas por bolsa es 0,30 unidades y su desviación

estándar es 0,54.

- aproximadamente en el 74 % de las bolsas no se encuentran piezas defectuosas (P(X =

0) = pX(0) = 0,74)

- Más frecuentemente no hay piezas defectuosas en las bolsas (Moda = 0).

¿Qué pensaría Ud. si en una bolsa de 10 componentes le informan que se

encuentran como mínimo 4 defectuosas?

¿Es ese un resultado posible? ¿Es un resultado probable?

2-3- Distribución Hipergeométrica

Considere un conjunto finito de N elementos (una población finita), cada uno de los cuales

se clasifica como A o A . Se sabe además que hay r elementos tipo A en ese conjunto.

Se seleccionan al azar y sin reposición, n elementos de dicha población.

Se define la variable aleatoria Y: n° de elementos de tipo A que aparecen entre los n

seleccionados.

RY = {0, 1, 2,… mín(n, r)} es decir que esta variable asume valores enteros entre 0 y el

mínimo entre n y r

Distribución o

modelo

Función de

probabilidad

pY(y)

Esperanza

E(Y)

Variancia

Var(Y)

Hipergeométrica

Y Hip(N, r,n)

r N r

y n y

N

n

rnN

r r N nnN N N

11

Ejemplo 2.3 Suponga que a una empresa llega un embarque de 15 contenedores con

cierta sustancia química. Dado que dicha sustancia es un insumo importante en el

proceso de producción, en la empresa deciden llevar a cabo lo siguiente:

Seleccionar al azar 3 contenedores del embarque y evaluar el nivel de pureza de la

sustancia en cada uno de ellos. Si dicho nivel no es el apropiado, en por lo menos 1

contenedor de los 3, se devuelve el embarque completo.

Interesa evaluar las posibilidades de devolución del embarque si se sospecha que en él

hay 2 contenedores con nivel inapropiado de pureza.

(Ejemplo adaptado del libro “Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería” de D. Montgomery

y G. Runger, Mc Graw-Hill, México, 1996)

La población está conformada por los grupos de 3 contenedores que pueden

seleccionarse de entre los 15.

La variable en estudio es X: n° de contenedores con nivel inapropiado de pureza entre

los 3 seleccionados.

X ~ Hipergeom(15, r, 3) y su recorrido es RX = {0, 1, 2, mín (r,3)}

Suponga que se sospecha que entre los 15 hay 2 con nivel inapropiado de pureza, de

donde r = 2.

X ~ Hipergeom(15, 2, 3) y su recorrido es RX = {0, 1, 2}

Su función de probabilidad se presenta en la Figura 2.4, junto con algunas medidas de

resumen.

La probabilidad de que el embarque se devuelva es: P(X ≥ 1) = pX(1) +pX(2) = 0,37

Función de probabilidad del Modelo Hipergeométrico(15,2,3)

Hipergeométrico

con N = 15, M = 2

y n = 3

x P( X = x )

0 0,628571

1 0,342857

2 0,028571

E(X) = 0,4 cont. con nivel inapropiado de

impureza entre 3

Var(X) =0,3466 (cont.inapropiados)

2

DE(X) = 0,59 (cont. con nivel inapr.)

210

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

N° de contenedores con nivel inapropiado de impurezas, entre 3

Pro

ba

bili

da

d

Observe que, aunque se inspeccionan 3 contenedores, no

puede haber 3 con nivel inapropiado porque en la

población sólo hay 2 con esas características.

Figuras 2.4 Distribución de probabilidad Hipergeométrica

Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran número de

muestras de 3 contenedores, que:

- el número promedio de contenedores con nivel inapropiado de pureza (entre los 3

evaluados) es 0,4 y su desviación estándar es 0,59.

- más frecuentemente, no habrá contenedores inapropiados entre los 3 evaluados (Moda

= 0)

- aproximadamente en el 63 % de las veces no se encontrarán contenedores inapropiados

entre los 3 y el embarque completo se aceptará.

- por lo tanto, un 37 % de las veces, se encontrarán 1 o 2 contenedores inapropiados y el

embarque completo se devolverá.

La probabilidad 0,37 puede ser vista como un riesgo para el proveedor de esa

sustancia, ya que mide la chance de que le devuelvan el lote enviado, con todo lo

que ello implica.

La probabilidad 0,63 puede ser vista como un riesgo para el comprador, ya que

mide la chance de que un embarque (que tiene algunos contenedores

inapropiados) pase a producción. Estas cuestiones se discutirán con más detalle

más adelante.

2-4- Distribución de Poisson

Considere intervalos de números reales, en los cuales se observa el número de

ocurrencias de un cierto evento. Suponga que estos intervalos pueden dividirse en

subintervalos lo suficientemente pequeños de manera que la probabilidad de que dos o

más eventos ocurran simultáneamente se pueda considerar nula. Suponga también que la

probabilidad de ocurrencia de los eventos es proporcional a la longitud de los intervalos y

que los eventos ocurren en cada subintervalo de manera independiente.

Se define la variable aleatoria Y: n° de ocurrencias del evento en intervalos (siempre de

igual amplitud).

RY = {0, 1, 2,… } es decir que esta variable está definida para el conjunto No

Distribución o

modelo

Función de

probabilidad

pY(y)

Esperanza

E(YT)

Variancia

Var(YT)

Poisson

YT Po(αT)

αα

!

T ye T

y

αT αT

En el recuadro, se presenta a YT, donde T es el tamaño de los intervalos que se

consideran y α es el número promedio de eventos por unidad.

YT representa a un conjunto de variables (Proceso de Poisson).

YT = {Y1, Y2, ………Yk, ….} donde, por ejemplo, Y1: n° de ocurrencias en intervalos de

amplitud 1 e Y2: n° de ocurrencias en intervalos de amplitud 2.

Los intervalos de números reales pueden ser períodos de tiempo, superficies, volúmenes,

etc.

Ejemplo 2.4. Se conoce que el número de partículas contaminantes que aparecen en

discos ópticos sigue una ley de Poisson con un promedio de 0,1 partículas por cm2. Se

van a revisar discos de 100 cm2 de superficie e interesa estudiar el comportamiento del

número de partículas contaminantes en dichos discos. Si este número es mayor que 12

unidades, en la empresa considerarían hacer modificaciones en el proceso de producción

de los discos.

(Ejemplo adaptado del libro “Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería” de Montgomery y Runger)

La población está conformada por los infinitos intervalos de 100 cm2 (en este caso, estos

intervalos son los discos ópticos con dicha superficie).

La variable en estudio es X100: n° de partículas contaminantes en intervalos de amplitud

100 (en discos).

X100 ~ Po(0,1 x 100) y su recorrido es RX = {0, 1, 2, …}

(recuerde que α = 0,1 partículas contaminantes por cm2)

Su función de probabilidad se presenta en la Figura 2.5, junto con algunas medidas de

resumen.

La probabilidad de interés, P(X100 > 12) se puede obtener de la siguiente manera:

P(X100 > 12) = 1 –P(X100 ≤ 12) = 1 – 0,79 = 0,21

Función de probabilidad del Modelo Poisson(10)

Poisson con media =

10

x P( X = x )

0 0,000045

1 0,000454

2 0,002270

3 0,007567

4 0,018917

5 0,037833

6 0,063055

7 0,090079

8 0,112599

9 0,125110

10 0,125110

11 0,113736

12 0,094780

13 0,072908

14 0,052077

15 0,034718

16 0,021699

17 0,012764

18 0,007091

….

E(X) = 10 partículas por disco de 100 cm2

Var(X) =10 (partículas)2

DE(X) = 3,16 (part por disco de 100 cm2.)

Figuras 2.5 Distribución de probabilidad Poisson

Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran número de

intervalos de 100 cm2 (discos), que:

- el número promedio de partículas contaminantes es 10 y su desviación estándar es

3,16

- más frecuentemente, se presentan entre 8 y 12 partículas por disco (Modas = 9 y 10)

- aproximadamente en el 21 % de los discos habrá más de 12 partículas contaminantes

(PX100 > 12) = 0,21. Este último dato debe ser considerado por los responsables del

laboratorio óptico, quienes tomarán la decisión de hacer modificaciones en el

proceso o no.

La distribución de Poisson resulta aproximadamente simétrica cuando el valor

promedio es alto, como en este caso. Para valores bajos de (αT), la distribución es

asimétrica a la derecha.

En las Tablas 2.1 y 2.2 se resumen las características principales de las distribuciones de

probabilidad para las variables aleatorias discretas consideradas en este material. En la

Tabla 2.1 se presentan las características generales, la variable y la población física

asociada. En la Tabla 2.2 se presentan la función de probabilidad, la esperanza y la

variancia.

Tabla 2.1 Características generales, variable y población física

correspondientes a las distribuciones discretas consideradas en este material

Distribución o

modelo

Variable Población física Características generales

Bernoulli X: N° de éxitos en 1

repetición de una

experiencia de

Bernoulli

RX= (0,1)

∞ repeticiones de una

experiencia de Bernoulli

Se lleva a cabo 1 único ensayo de Bernoulli,

donde la probabilidad de que ocurra un éxito

es π.

Interesa conocer el número de éxitos que se

presentan en ese ensayo (o repetición).

Binomial X: N° de éxitos en n

repeticiones

independientes de

una experiencia de

Bernoulli

RX= (0,1, 2, …, n)

∞ grupos o muestras de

n repeticiones indepen-

dientes de una experien-

cia de Bernoulli

Se lleva a cabo una secuencia de n ensayos

independientes de Bernoulli, donde la

probabilidad de que ocurra un éxito es π.

Interesa conocer el número de éxitos que se

presentan en los n ensayos (o repeticiones).

Hipergeométrica X: N° de éxitos en

una muestra de n

elementos tomada

de una población

finita

RX = (0, 1, 2, …. ,

mín{n, NE})

N

nmuestras de n

elementos que se

pueden tomar de la

población de N

elementos

Se tiene una población finita de N elementos,

de los cuales NE son “éxitos” y NF son

“fracasos”.

Se seleccionan muestras de n elementos sin

reposición.

Interesa conocer el número de éxitos en la

muestra.

Poisson RX= (0, 1, 2, 3, …) ∞ intervalos de amplitud

t. Estos intervalos

pueden ser de tiempo,

espacio, etc.

Se observa la ocurrencia de algún evento

(éxito) en intervalos de la misma amplitud.

Estos intervalos pueden ser de tiempo,

espacio, etc.

Considere, por ejemplo, el modelo binomial. Cuando se quiere indicar que una variable

sigue ese modelo, se simboliza: X Bi(n,π)

Se dice que n y π son los parámetros de la distribución en el sentido que son los valores

con los que se debe contar de antemano para que la función de probabilidad esté

completamente definida y se puedan obtener las probabilidades, así como también las

medidas de resumen de interés.

Se suele decir que son los parámetros “matemáticos” de la distribución.

Tabla 2.2 Función de probabilidad, esperanza y variancia

correspondientes a las distribuciones discretas consideradas en este material

Modelo

Función de probabilidad

puntual

pX(x)

Esperanza E(X) Variancia

Var(X)

Bernoulli

X Be(π) π

x(1-π)

1-x

Π π( 1 – π)

Binomial

X Bi(n,π) n

x π

x(1-π)

n-x

nπ

nπ( 1 – π)

Hipergeométrica

X Hip(N,

NE,n)

E FN N

x n x

N

x

(*)

ENn

N

E EN N N nn

N N N1

1

Poisson

X Po(α)

(**) (***)

αα

!

xe

x

Α α

(*) Si x > NE, tome EN

x= 0 y si (n-x) > NF, tome

FN

n x= 0. En cualquiera de las dos situaciones,

entonces, pX(x) = 0.

(**) α es el número promedio de eventos por unidad de tiempo, espacio, etc. En otros textos también se

utiliza la letra λ con el mismo significado

(***) Cuando se piensa en el Proceso de Poisson, se consideran ∞ variables XT, definidas como el número

de eventos que se observan en períodos de T unidades, con T > 0. En ese caso, se dice que XT Po(αT) y

la esperanza de dicha variable es αT, lo mismo que su variancia. También en la expresión de la función de

probabilidad se reemplaza α por αT. Se utiliza la letra T pensando en intervalos de tiempo; pero estos

“intervalos” pueden ser, por ejemplo, de volumen, de superficie, etc.

3- Distribuciones de probabilidad de uso frecuente para variables aleatorias

continuas

El cálculo de probabilidades en el caso de variables aleatorias continuas se

simplifica si se aplica la función de distribución o función de probabilidad

acumulada.

Contando con esta función, se puede obtener lo siguiente:

P(X < a) = FX(a)

P(X > a) = 1 - FX(a)

P(a < X < b) = FX(b) – FX(a)

donde FX(a) es la función de distribución valorizada en el punto a.

3-1- Distribución Uniforme

Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución uniforme, y se simboliza

Y U(a,b), si su función de densidad de probabilidad es fY(y) = b a

1 , para a ≤ y ≤ b

(y 0 en caso contrario).

Distribución

o modelo

Función de densidad de

probabilidad

fY(y)

Esperanza

E(Y)

Variancia

Var(Y)

Uniforme

Y U(a,b) (y)yf b a

1

(para valores de la variable entre a

y b)

a b

2 b a

2

12

La función de distribución para el modelo uniforme es: P(X ≤ x) = FX(x) = x a

b a

Ejemplo 3.1 Una empresa que vende productos por Internet conoce que el % de pedidos

diarios que requiere un envío especial oscila entre 5 y 15, de manera uniforme.

¿Cuál es el % promedio de pedidos con envío especial?

¿Qué proporción de los días se deben hacer entre un 10 y un 12 % de envíos especiales?

La población está conformada por los infinitos días.

La variable en estudio es X: % de pedidos que requieren envío especial.

X U(5,15) por lo que su función de densidad de probabilidad, fX(x) = ,1

0 1015 5

,

para 5 ≤ x ≤ 15 (y 0 en caso contrario).

Esta función, junto con algunas medidas de resumen y la probabilidad pedida se presenta

en la Figura 3.1.

P(10 < X < 12) = Fx(12) – Fx(10) = 0,70 – 0,50 = 0,20

Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran número de

días, que:

- el % promedio de pedidos que requieren envío especial es 10 %, y la desviación

estándar es 2,89 %

- aproximadamente en el 20 % de los días, el % de pedidos que requieren envío especial

está entre 10 y 12 %.

Función de densidad de probabilidad del Modelo Uniforme (5,15)

E(X) = (5+ 15)/2 =

10 %

Var(X) = 8,33 (%)2

DE(X) = 2,89 %

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

De

nsid

ad

10

0,2

125 15

Gráfica de distribuciónUniforme. Inferior=5. Superior=15

Una propiedad de la distribución uniforme continua es que para intervalos de

valores de la variable de igual amplitud, las probabilidades son iguales

(independientemente de la localización de estos intervalos)

3-2- Distribución Normal

Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución normal si su función de

densidad de probabilidad es

Distribución

o modelo

Función de densidad de

probabilidad

fY(y)

Esperanza

E(Y)

Variancia

Var(Y)

Normal

Y N(µ, σ)

μ( ) exp

σπσY

yf

21 1

22y

(para valores de la variable entre -

∞ y +∞)

µ σ2

La función de distribución para el modelo normal está tabulada para una variable

estandarizada Z, que se presentará más adelante.

La gráfica de la función de densidad del Modelo Normal se presenta en la Figura 3.2

Observando dicha gráfica puede decirse que la curva normal:

- tiene forma de campana

- es simétrica respecto al eje x = µ - presenta un máximo relativo en el punto (µ, 1 )

2πσ - presenta puntos de inflexión en x = µ - σ y en x = µ + σ

Figura 3.2. Curva normal

Si sólo varía el valor de µ, cambia la posición de la campana, sin variar su forma, como se

observa en la Figura 3.3.a. Si sólo cambia el valor de σ, varía la forma de la campana, sin

variar su posición, como se observa en la Figura 3.3.b. Si cambian µ y σ, se modifica tanto

la posición de la curva como su forma, como se observa en la Figura 3.3.c.

a. µ1 < µ2; σ1 = σ2 b. µ1 = µ2; σ1 < σ2

c. µ1 < µ2; σ1 < σ2

Figuras 3.3. Cambios en las curvas normales al variar µ y/o σ

Para obtener probabilidades en el caso del Modelo Normal, se requiere integrar la función

de densidad correspondiente, lo cual es una tarea compleja. Existen tablas donde se

presentan los valores de la función de distribución (probabilidad acumulada) para una

variable aleatoria Z, donde μ

σ

xZ

con µZ = 0 y σZ = 1. Para obtener las probabilidades se requiere, entonces, realizar el

cambio de variable y luego buscar los valores en la tabla correspondiente. En la Sección 5

de este material se presenta la tabla correspondiente.

Ejemplo 3.2. Una empresa produce un tipo de piezas metálicas para la industria

automotriz. La característica de calidad más importante para este tipo de piezas es su

longitud (X). Se conoce que la distribución de esta variable es normal con media 50 mm y

desviación estándar 5 mm. Interesa determinar lo siguiente: 1- La proporción de piezas con longitud inferior a 53,55 mm. 2- La proporción de piezas con longitud superior a 56,9 mm. 3- La proporción de piezas con longitud entre 42 y 52 mm. 4- La proporción de piezas con longitud entre: d1) 45 y 55 mm d2) 40 y 60 mm d3) 35 y 65 mm

a) P(X < 53,55 mm) = ?

Para obtener la probabilidad pedida, se utiliza la tabla Z; transformando el valor x = 53,55

mm en el correspondiente valor z = 0,71

P(X < 53,55 mm) = P(Z < 0,71) = FZ(0,71)

Para obtener FZ(0,71) se debe utilizar la tabla de la distribución normal estándar. En esa

tabla, primero se debe identificar el entero y el primer decimal en una fila; mientras que el

segundo decimal se encuentra en las columnas. Con una fila y una columna elegidas, se

obtiene el valor buscado. En la Figura 3.6.a se muestra la porción de la tabla de la

distribución normal estándar de la cual se obtiene el valor buscado.

En este caso, FZ(0,71) = 0,7611. Es decir, P(X < 53,55 mm) = 0,7611 (Ver Figura 3.4.a) ¿Cómo se interpreta el valor 0,7611? 1- Si se considera una gran cantidad de piezas producidas por la empresa,

aproximadamente el 76 % de las mismas tiene longitud menor que 53,55 mm. 2- Si se selecciona una pieza al azar, la chance (o probabilidad) de que su longitud sea

menor que 53,55 mm es aproximadamente 0,76.

Análogamente se obtienen las restantes probabilidades:

P(X > 56,9 mm) = P(Z > 1,38) = 1 – FZ(1,38) = 1 – 0,9162 = 0,0838 (Ver Figura 3.4.b)

P(42 mm < X < 52 mm) = P(-1,66 < Z < 0,40) = FZ(0,40) – FZ(-1,60) = 0,6554 – 0,0548

= 0,6006 (Ver Figura 3.4.c)

50 53,55 x

P(X < 53,55 mm) = 0,7611

50 56,9 x

P(X > 56,9 mm) = 0,0838

42 50 52 x

P(42 mm < X < 52 mm) = 0,6006

Figuras 3.4 Areas bajo la curva normal

d) Trabajando de la misma manera que se hizo en el punto anterior, se obtiene:

P(45 mm < X < 55 mm) = P(-1 < Z < 1) = FZ(1) – FZ(-1) = 0,8413 – 0,1587 = 0,6826

P(40 mm < X < 60 mm) = P(-2 < Z < 2) = FZ(2) – FZ(-2) = 0,9772 – 0,0228 = 0,9544

P(35 mm < X < 65 mm) = P(-3 < Z < 3) = FZ(3) – FZ(-3) = 0,9987 – 0,0013 = 0,9974

Las probabilidades obtenidas en el punto anterior ponen de manifiesto la siguiente

propiedad de la distribución normal (o regla empírica de la distribución normal), que se

ilustra en la Figura 3.5:

1. aproximadamente 68 % de los valores de la variable se encuentran en el intervalo µ+/- σ

2. aproximadamente 95 % de los valores de la variable se encuentran en el

intervalo µ+/- 2σ 3. aproximadamente 99,7 % de los valores de la variable se encuentran en el

intervalo µ+/- 3σ

Las probabilidades mencionadas son válidas para cualquier variable con distribución

normal, independientemente del valor de la media y la desviación estándar

Figura 3.5. Regla empírica de la distribución normal

e) Para el mismo ejemplo, ahora se busca conocer la longitud superada por el 20 % de las

piezas. En este caso, a partir de una probabilidad, se busca un valor de la variable.

P(X > x*) = P(Z > z*) = 0,20; es decir, FZ(z*) = 0,80

Buscando en el cuerpo de la tabla de la distribución normal estándar la probabilidad 0,80

(o el valor más próximo a 0,80 que se encuentre, en este caso, 0,7995) y ubicando a qué

fila y columna pertenece dicho valor, se obtiene que: FZ(0,84) = 0,7995. (Ver Figura 3.6.b)

Recordando que z x

, resulta:

x 50

0,84 5

Y, por lo tanto, x = 0,84x5 mm + 50 mm = 54,2 mm Es decir, el 20 % de las piezas tiene longitudes superiores a 54,2 mm

a Búsqueda del valor para el punto a b Búsqueda del valor para el punto e

Figuras 3.6 Tabla de la distribución normal estándar o reducida (fragmentos)

Las probabilidades también pueden obtenerse en Excel u otro software estadístico.

En el caso de Excel, se debe utilizar la siguiente secuencia:

Menú: Insertar Funciones Estadísticas DISTR.NORM.N De la misma manera puede obtenerse un valor de la variable como el pedido en el

punto e), utilizando la función INV.NORM

Las Figuras 3.7 y 3.8 muestran cómo obtener probabilidades acumuladas y valores de la

variable, a través de la inversa de la función de distribución, utilizando Excel. Los valores

obtenidos son P(X < 53,55) y x/P(X ≤ x) = 0,80 respectivamente.

Figura 3.7. Aplicación de Excel para obtener un valor de la función de distribución del Modelo Normal

Figura 3.8. Aplicación de Excel para obtener un valor de la inversa de la función de distribución del Modelo Normal

3-3- Distribución Exponencial

Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial si

su función de densidad de probabilidad es fY(y) = αe-αy , para y ≥ 0 (y 0 en caso

contrario).

Distribución

o modelo

Función de densidad de

probabilidad

fY(y)

Esperanza

E(Y)

Variancia

Var(Y)

Exponencial

Y Exp(α)

( ) α ( α )yf exp yy

(para valores de la variable

mayores que 0)

α

1

α2

1

En la bibliografía se usa indistintamente α o λ en la expresión de la función de densidad

y en el cálculo de los parámetros correspondientes al modelo exponencial

La función de distribución para el modelo exponencial es: P(X ≤ x) = FX(x) =

αxe1 , x>0

En la Figura 3.9 se presentan funciones de densidad exponenciales, para

diferentes valores de λ.

Figura 3.9 Distribuciones exponenciales, para diferentes valores de λ

Ejemplo 3.3 Suponga que el tiempo (en segundos) que transcurre desde que un

usuario realiza un pedido a una terminal de computadora hasta que esta le brinda

una respuesta, sigue una ley exponencial con λ = 0,2.

Para un pedido en particular, ¿cuál es la chance de que la terminal demore entre

5 y 10 segundos en responder?

¿Cuánto tiempo, demora, en promedio, la terminal en responder los pedidos?

¿Cuánto vale la variancia de la distribución?

La población está conformada por los infinitos pedidos que un usuario realiza a

una terminal de computadora.

La variable en estudio es X: tiempo que demora la computadora en responder al

pedido.

(recuerde que α = 0,1 partículas contaminantes por cm2)

Su función de probabilidad se presenta en la Figura 3.10, junto con algunas

medidas de resumen y la probabilidad pedida.

La probabilidad pedida se obtiene de la siguiente manera:

P(5 < X < 10) = FX(10) – FX(5) = (1 – e-10x0,2) – (1 – e-5x0,2) = 0,23

Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran

número de pedidos, que:

- el comportamiento del tiempo es asimétrico, a la derecha

- el tiempo promedio es de 5 segundos, lo mismo que la desviación estándar

- dada la asimetría, se obtiene la mediana y el rango intercuartílico como medidas

de centrado y variabilidad. Estas resultan respectivamente 3,5 segundos y (6,93 –

1,44) = 5,49 segundos.

- aproximadamente en el 23 % de los pedidos, el tiempo oscila entre 5 y 10

segundos

Función de densidad de probabilidad del Modelo Exponencial (0,2)

E(X) = 1/0,20 =

5 segundos

Var(X) = 1/0,202 = 25

(segundos)2

DE(X) = 5 segundos

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

De

nsid

ad

5

0,2325

100

Gráfica de distribuciónEXPONENCIAL

Figuras 3.10 Distribución Exponencial

Esta distribución es una de las que se puede utilizar para modelar

duraciones de componentes o sistemas (o tiempos hasta la falla) y

constituye el modelo correcto siempre y cuando la ocurrencia de los

eventos se pueda modelizar según un proceso de Poisson. En ese caso, el

valor de α (λ) representa el número promedio de eventos por unidad de

tiempo.

En los estudios de duraciones de componentes o sistemas, la variable

aleatoria T es el tiempo hasta la falla y se define “confiabilidad de

componente o sistema, en el tiempo to” a la probabilidad de que un

componente (o sistema) dure más (o sobreviva) a dicho tiempo. Se la

simboliza R(to) = P(T > to).

3-4- Distribución Triangular

Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución triangular

simétrica entre un valor mínimo y un máximo, si su función de densidad de

probabilidad es:

Fuera de ese rango de valores, la función se anula.

Distribución

o modelo

Función de densidad de probabilidad

fX(x)

Esperanza

E(X)

Variancia

Var(X)

Triangular

simétrica

(y 0 en caso contrario)

mín máx

2

máx mín2

24

La función de distribución para el modelo triangular simétrico es: FX(x) =

Esta distribución describe situaciones en las cuales se sabe que la variable toma

valores entre un mínimo y un máximo conocidos

y que cierto valor en ese intervalo tiene mayor probabilidad de ocurrencia que los

demás (un mínimo, un máximo y un valor más probable). En el caso simétrico, ese

valor es el punto medio del intervalo (mín,máx).

En la Figura 3.11 se presenta una distribución triangular simétrica entre los

valores mín = 2 y máx = 6. Observe que para esta distribución, la moda está en el

punto medio del intervalo (2,6), al igual que la media y la mediana.

65432

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsid

ad

Gráfica de distribuciónTriangular. Inferior=2. Moda=4. Superior=6

Figura 3.11 Distribución triangular simétrica en (2,6)

Ejemplo 3.4. Un recipiente volumétrico de 10 ml tiene un error asociado de +/- 0,2

ml. Al considerar los posibles valores que contiene la medida, de acuerdo al

máximo error permitido se puede decir que esta medida se ubica entre 9,8 y 10,2

ml. Si se piensa además que la función de densidad de probabilidad toma valores

mayores cerca de 10, se puede pensar que las mediciones de volumen con ese

recipiente siguen una ley triangular simétrica.

En este caso, el valor mínimo es 9,8 y el máximo, 10,2, por lo cual, se pueden

obtener

E(X) = 10 ml

Var(X) = , , , ,

,x

2 2 210 0 2 10 0 2 2 0 2 0 2

0 006724 24 6

D.Est(X) = 0,082 ml

Para este caso interesa la probabilidad de que la medición, a partir de ese

recipiente, arroje valores menores que 9,9 ml (es decir, entre 9,8 y 9,9 ml).

Esta probabilidad se obtiene de la siguiente manera:

, , ,( , , ) F ( , ) ,

, ( , ) ,xP X

x

29 9 9 8 0 01

9 8 9 9 9 9 0 1252 0 2 10 9 8 0 08

Este valor puede interpretarse de la siguiente manera: para una gran cantidad de

mediciones llevadas a cabo con ese recipiente, en el 12,5 % de las mismas, el

valor obtenido va a resultar menor que 9,9.

En la Figura 3.12 se presenta la distribución de probabilidad del valor de las

mediciones con ese recipiente y se señala la probabilidad obtenida.

5

4

3

2

1

0

X

De

nsid

ad

9,9

0,125

9,8 10 10,2

Gráfica de distribuciónTriangular. Inferior=9,8. Moda=10. Superior=10,2

Figura 3.12 Función de densidad triangular simétrica para el Ejemplo 3.4

Observe que si, como en el ejemplo 3.4 la variable toma valores en un

intervalo definido por un punto medio +/- un valor “a”, la función de

probabilidad, la función de distribución, la esperanza y la variancia de la

distribución se pueden escribir en función de esos valores.

Por ejemplo E(X) es el punto medio y Var(X) es a2/6

3-5- A modo de síntesis

En la Tabla 3.1 se presentan la función de densidad de probabilidad y algunos

parámetros para las variables aleatorias continuas consideradas en ese material.

Tabla 3.1 Función de densidad de probabilidad, función de distribución y parámetros “estadísticos”

correspondientes a las distribuciones continuas consideradas en este material

Distribución

o modelo

Función de densidad de

probabilidad

fX(x)

Función de

Distribución

FX(x)

Parámetros

Esperanza E(X) Variancia

Var(X)

Uniforme

X U(a,b)

para cualquier otro valor

x si ( ) ,

,

xf a x bb a

1

0

x a

b a

a b

2 b a

2

12

Normal

X N(µ, σ) x , -

μ( ) exp

σπσx

xf x

21 1

22

En tabla, para variable Z µ σ2

Exponencial

X Exp(α)

( ) α ( α )xf exp xx , x > 0 αxe1 , x>0

α

1

α2

1

Triangular

simétrica

(mín, máx)

mín máx

2

máx mín2

24

Excel y Minitab brindan la posibilidad de obtener la función de probabilidad

(o de densidad de probabilidad) y la función de distribución para cualquiera

de los modelos presentados en este material, de la siguiente manera:

Excel → Insertar → Fórmulas → Estadísticas

Aquí se encuentran, entre otras, las funciones:

distr.binom.n, distr.exp.n, distr.hipergeom.n, distr.norm.estand.n, distr.norm.n, poisson.dist,

negbinom.dist

y las funciones inversas: inv.binom, inv.norm, inv.norm.estand

Minitab → Calc → Distribuciones de Probabilidad

Aquí se encuentran todas las distribuciones presentadas en este material y

otras

4- Problemas propuestos

En todos los problemas se pide definir la población física, la variable

aleatoria, su recorrido y la población estadística. Se pide además indicar

cuál es el modelo correspondiente para la distribución de probabilidad.

1) En la producción de piezas metálicas, por parte de una industria local, a la larga

el porcentaje de piezas defectuosas es 3 %. Diariamente, en la empresa

seleccionan una muestra aleatoria de n = 25 piezas y registran el nº de piezas

defectuosas encontradas en dicha muestra.

a) Indique cuál es la distribución de probabilidad adecuada para la variable de

interés y escriba la correspondiente función de probabilidad.

b) En la Tabla 4.1 y en la Figura 4.1 se presenta la función de probabilidad para

todos los valores del recorrido de la variable. A modo de ejemplo, indique cómo se

obtuvo P(X = 2).

c) Obtenga e interprete en términos del problema las siguientes probabilidades:

c-1) P(X ≤ 2) c-2) P(X ≥ 5) c-3) P(1 ≤ X ≤ 4)

d) ¿Qué proporción de los días no se encontrarán piezas defectuosas en la

muestra?

e) ¿Cuál es el número promedio de piezas defectuosas en muestras de n = 25?

¿Y su variancia?

f) ¿Considera que las medidas obtenidas en el ítem anterior son apropiadas?

¿Qué otras puede proponer?

Tabla 4.1. Función de probabilidad de la variable en estudio (Problema 1)

X 0 1 2 3 4 5 6

pX(x) 0,46697471 0,36106292 0,13400273 0,03177384 0,00540483 0,00070207 7,2378E-05 Observación: los valores mayores o iguales que 7 no se incluyen porque su probabilidad es prácticamente nula.

252423222120191817161514131211109876543210

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

x

Pro

ba

bili

da

d

Figura 4.1. Función de probabilidad de x (Problema 1)

2) Una empresa sabe por experiencia que el 10 % de los artículos que produce

deben clasificarse como “de segunda” y venderse a un precio menor. Entre 6

artículos seleccionados al azar, a) ¿qué valores puede tomar la variable “nº de artículos de segunda entre 6”? b) Construya la distribución de probabilidades de dicha variable, obtenga E(X) y

Var(X) e interprete ambos valores en términos del problema. c) Obtenga la función de distribución de X. d) Obtenga las siguientes probabilidades, usando p(x) y F(x) d-1) P(X ≤ 2) d-2) P(X = 1) d-3) P(X ≥ 3) d-4) P(1 ≤ X ≤ 4)

3) Un lote muy grande de componentes ha llegado a un distribuidor. En la

empresa deciden aceptarlo si, al seleccionar una muestra aleatoria de n = 10

piezas, se encuentra a lo sumo 1 pieza defectuosa. En caso contrario, lo

devuelven al proveedor.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado? Escríbala en términos de

la proporción de piezas defectuosas del proveedor (π).

b) Si Ud. es el comprador, ¿querría que dicha probabilidad sea alta o baja?

Justifique.

c) Obtenga la probabilidad de que en la empresa acepten un lote suponiendo que

π vale 0,01; 0,05, 0,10 y 0,25. Comente, en relación a su respuesta al punto

anterior.

4) Para un proceso de producción en particular se conoce que el nº de piezas que

no cumplen las especificaciones en lotes de tamaño k se comporta según el

modelo Bi(k, 0,05).

a) Defina la población física e indique cuál es el valor de k si se conoce que la

probabilidad de que no haya piezas fuera de especificaciones en un lote

cualquiera es aproximadamente 0,2146.

b) Obtenga la probabilidad de que en un lote cualquiera como mínimo 8 piezas no

cumplan las especificaciones.

c) Ud. compra un lote de k piezas (siendo k el número obtenido en el punto b) y

encuentra que 8 piezas del lote no cumplen las especificaciones. ¿Qué piensa Ud.

sobre la proporción de piezas que no cumplen las especificaciones para ese

proceso de producción? Justifique su respuesta.

5) En una automotriz conocen que para uno de los modelos que fabrican, se

pueden producir fallas en el mecanismo de frenado. La distribución del número de

fallas en automóviles de este modelo puede considerarse Poisson, con α = 5/año.

La función de probabilidad de esta variable se presenta en la Figura 4.2.

Para un automóvil de este modelo…

a) Calcule la probabilidad de que..

a-1) ocurran 3 fallas en un año a-2) no ocurran fallas

b) ¿Cuál es el número promedio de fallas por año?

x prob 0 0,006738 1 0,033690 2 0,084224 3 0,140374 4 0,175467 5 0,175467 6 0,146223 7 0,104445 8 0,065278 9 0,036266 10 0,018133 11 0,008242 12 0,003434 13 0,001321 14 0,000472 15 0,000157 16 0,000049 17 0,000014 18 0,000004 19 0,000001

252423222120191817161514131211109876543210

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

x

Pro

ba

bili

da

d

Figura 4.2. Función de probabilidad de x (Poisson, α = 5) (Problema 5)

6) Una empresa prepara cajas de 25 artículos para su comercialización. Al final de

la línea, un operario selecciona al azar (y sin reposición) 3 artículos de cada caja.

Si encuentra alguno defectuoso, devuelve la caja para que sea rearmada. Si no, la

caja se embarca.

Considere dos casos posibles:

A: la caja tiene 4 artículos defectuosos B: la caja tiene 1 artículo defectuoso

Para cada caso, se presenta la función de probabilidad del número de artículos

defectuosos por caja en las Figuras 4.3

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la caja sea devuelta en cada uno de los casos?

b) Interprete el valor 0,578 en términos del problema. Indique cómo fue calculado

(escriba la función y valorícela).

c) Considere al que arma las cajas (ya sea un proveedor externo u otra sección de

la empresa), ¿en qué casos le preocuparía más la probabilidad P(X ≥ 1)?

Justifique.

d) Considere al que recibe y embarca las cajas (cliente externo u otra sección de

la empresa), ¿en qué casos le preocuparía más la probabilidad P(X = 0)?

Justifique.

7) Un fabricante de neumáticos reporta que de un cargamento de 5000 piezas que

se mandan a una automotriz, 1000 están ligeramente manchadas. Para armar

cada auto, se seleccionan al azar 5 neumáticos del cargamento. Obtenga la

probabilidad de que ninguno de ellos esté manchado.

x pX(x)

Caso A

0 0,578

1 0,365

2 0,054

3 0,001

3210

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

xP

rob

ab

ilid

ad

Caso A

x pX(x)

Caso B

0 0,88

1 0,12

2 0,00

3 0,00

3210

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

x

Pro

ba

bili

da

d

Caso B

Figuras 4.3. Función de probabilidad para la variable aleatoria correspondiente.

Casos A y B (Problema 6)

8) En ciertos experimentos, el error cometido en la determinación de una magnitud

es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (-0,025; 0,025).

a) Grafique la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria de

interés.

b) Obtenga la probabilidad de que al realizar la experiencia se cometa un error:

b-1) entre 0,01 y 0,015 b-2) entre -0,012 y 0,012

b-3) señale ambas probabilidades en el gráfico.

c) Interesa la probabilidad de que el error esté entre 0,02 y 0,025. Sin hacer

cálculos, indique si esta probabilidad es igual a alguna de las dos obtenidas en el

punto anterior. Justifique su respuesta.

9) Por estudios anteriores se conoce que los errores aleatorios que se cometen al

medir magnitudes siguen una ley uniforme en el intervalo (-2, 2).

a) Construya el diagrama de caja y bigotes para esta distribución.

b) Interprete en términos del problema las medidas obtenidas para la construcción

del diagrama.

c) Construya el diagrama de caja y bigotes si los errores aleatorios siguen una ley

triangular simétrica en el mismo intervalo.

d) Obtenga E(X) y Var(X) para ambos modelos y comente las diferencias

observadas.

10) Las fallas en una máquina ocurren según un proceso de Poisson con una tasa

α igual a 0,1 fallas/hora. Los encargados de dicha máquina están interesados en

estudiar el comportamiento del tiempo en que esta máquina funciona sin fallar.

a) Grafique a mano alzada la función de densidad de probabilidad correspondiente

a la variable aleatoria de interés.

b) Obtenga la probabilidad de que el equipo pase más de 30 horas sin fallas.

Señale esa probabilidad en el gráfico anterior.

c) En promedio, ¿cada cuántas horas se produce una falla en esa máquina?

Indique además el valor de la variancia.

d) ¿Considera que el promedio es una buena medida de centrado para esta

distribución? Justifique su respuesta y en caso de ser negativa, obtenga otra

medida.

11) La resistencia a la tracción de cierto tipo de componentes metálicos se

distribuye normalmente con media 10000 kg/cm2 y una desviación estándar 100

kg/cm2

a) ¿Qué proporción de estos componentes tiene resistencia a la tracción que

excede los 10150 kg/cm2?

b) Suponga que un comprador de estos componentes requiere que tengan

resistencias entre 9800 y 10200 kg/cm2.

¿Qué proporción de piezas no podrán

venderse a este comprador? Indique dicha proporción de manera aproximada sin

hacer los cálculos. Justifique.

12) En la producción de un tipo de barras de acero se conoce que el diámetro de

las mismas es una variable aleatoria distribuida normalmente, con media 60 mm.

Las especificaciones definidas para esa variable son (45mm-75mm) y se sabe que

sólo el 0,27 % de las barras no cumplen con dichas especificaciones.

a) ¿Cuál es el valor de la desviación estándar?

b) Un comprador requiere barras con diámetros comprendidos en el intervalo 62

+/- 6mm. ¿Qué proporción de las barras cumplirá las especificaciones de dicho

comprador?

13) Una empresa que produce cojinetes cuenta con dos máquinas para obtener

dichos cojinetes. En la máquina 1, el diámetro de los cojinetes se distribuye

aproximadamente normal con μ = 1,25 cm y σ = 0,01 cm; mientras que en la

máquina 2, se distribuye aproximadamente normal con μ = 1,252 cm y σ = 0,005

cm. ¿Qué máquina recomendaría utilizar a un comprador que requiere que los

diámetros de los cojinetes se encuentren en el intervalo (1,245 cm- 1,255 cm)?

Justifique su respuesta.

14) La longitud roscada de un perno está normalmente distribuida.

a) Se selecciona un perno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que….

a-1) su longitud esté a más de 2,5 desviaciones estándar del valor medio?

a-2) dentro de 1 desviación estándar de su valor medio?

b) Obtenga la longitud promedio de los pernos si se conoce que la desviación

estándar es 0,4 unidades y que el 5 % de los pernos tiene longitudes superiores a

3,2 unidades.

15) Los tiempos hasta la primera avería de cierto tipo de impresoras se distribuyen

según una ley exponencial, con α = 0,0005/hora

a) ¿Qué proporción de las impresoras fallarán antes de las 1000 horas?

b) ¿Cuál debe ser el tiempo máximo de garantía para esas impresoras si el

fabricante desea que sólo 5 % de las impresoras presenten averías dentro del

período de garantía?

16) Una empresa produce piezas metálicas de una aleación en particular. La

dureza Rockwell para piezas de dicha aleación está normalmente distribuida con

media 70 y desviación estándar 3 unidades. Para uno de los clientes de la

empresa, una pieza es aceptable sólo si su dureza toma valores entre 67 y 75

unidades.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar sea aceptable?

b) En una muestra de 10 piezas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar que todas

son aceptables?

c) Si el rango de dureza aceptable se plantea como (70 – c, 70 + c), encuentre el

valor de “c” para que el cual, 75 % de las piezas resultan aceptables.

5- Tablas para la Distribución Normal

Areas acumuladas debajo de la distribución NORMAL ESTANDAR

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z

-3,9 0,00005 0,00005 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00003 0,00003 -3,9 -3,8 0,00007 0,00007 0,00007 0,00006 0,00006 0,00006 0,00006 0,00005 0,00005 0,00005 -3,8 -3,7 0,00011 0,00010 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,00008 -3,7 -3,6 0,00016 0,00015 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,00011 -3,6 -3,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,00017 -3,5

-3,4 0,00034 0,00032 0,00031 0,00030 0,00029 0,00028 0,00027 0,00026 0,00025 0,00024 -3,4

-3,3 0,00048 0,00047 0,00045 0,00043 0,00042 0,00040 0,00039 0,00038 0,00036 0,00035 -3,3 -3,2 0,00069 0,00066 0,00064 0,00062 0,00060 0,00058 0,00056 0,00054 0,00052 0,00050 -3,2 -3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 -3,1 -3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 -3,0

-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 -2,9

-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 -2,8 -2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 -2,7 -2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 -2,6 -2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 -2,5

-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 -2,4

-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 -2,3 -2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 -2,2 -2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 -2,1 -2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 -2,0

-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 -1,9

-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 -1,8 -1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 -1,7 -1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -1,6 -1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 -1,5

-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 -1,4

-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 -1,3 -1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 -1,2 -1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 -1,1 -1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 -1,0

-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 -0,9

-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 -0,8 -0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 -0,7 -0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 -0,6 -0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 -0,5

-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 -0,4

-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 -0,3 -0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 -0,2 -0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 -0,1 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,0

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z

Areas acumuladas debajo de la distribución NORMAL ESTANDAR

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,0 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,1 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,2 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,3 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,4 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,5 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,6 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,7 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,8 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 0,9 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,0 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,1 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,2 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,3 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,4 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,5 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,6 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,7 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,8 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 1,9 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,0 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,1 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,2 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,3 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,4 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,5 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,6 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,7 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,8 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 2,9 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,0 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,1 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,2 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,3 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,4 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,5 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,6 3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 3,7 3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,8 3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 3,9

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z

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