espØrance et espØrance conditionnelleneumann.hec.ca/~p240/c8064604/theme_1/3esperancecond.pdf ·...

Espérance

Indépendance

Probabilitéconditionnelle

Espérance

Moments

Espéranceconditionnelle

Espérance et espérance conditionnelle80-646-08

Calcul stochastique

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

Espérance

IndépendanceÉvénementsVariablesaléatoiresExemple


Espérance

Moments


Indépendance de deux événementsDénition

DenitionDénition. Soit (Ω,F ,P) , un espace probabilisé. Deuxévénements A et B sont dits indépendants si

P (A\ B) = P (A)P (B) .

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de deux variablesaléatoires

Dénition

DenitionDénition. Les variables aléatoires X et Y sont toutes deuxconstruites sur lespace probabilisé (Ω,F ,P), Card (Ω) < ∞.Soient PX = fA1, ...,Amg et PY = fB1, ...,Bng, deuxpartitions nies qui engendrent respectivement les tribus σ (X )et σ (Y ). Les variables aléatoires X et Y sont ditesindépendantes si

8A 2 PX et 8B 2 PY , P (A\ B) = P (A)P (B) .

Intuitivement, X et Y sont indépendantes lorsque le faitde détenir de linformation concernant lune dentre ellesne nous en fournit pas à propos de lautre.

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de deux variablesaléatoires I

Exemple

Exemple.

ω X Y P P

1 1 1 16 0

2 1 0 16

15

3 1 0 16

15

ω X Y P P

4 0 1 16

15

5 0 0 16

15

6 0 0 16

15

Si A =n1 , 2 , 3

oet B =

n1 , 4

oalors

PX = fA,Acg et PY = fB,Bcg .

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de deux variablesaléatoires II

ExempleLes variables aléatoires X et Y sont indépendantes surlespace probabilisé (Ω,F ,P) car

P (A)P (B) =12 13=16= P

n1o= P (A \ B) ,

P (Ac )P (B) =12 13=16= P

n4o= P (Ac \ B) ,

P (A)P (Bc ) =12 23=13= P

n2 , 3

o= P (A \ Bc ) ,

P (Ac )P (Bc ) =12 23=13= P

n5 , 6

o= P (Ac \ Bc ) .

Intuitivement, la réponse à la question un dé a été lancé;quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prennela valeur 1? est la même que la réponse à la question undé a été lancé et la variable aléatoire Y prend la valeur 1;quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenneaussi la valeur 1?. Cette réponse est une demie.

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de deux variablesaléatoires III

Exemple

Par contre, les mêmes variables aléatoires X et Y sontdépendantes sur lespace probabilisé (Ω,F ,P) puisque

P (A)P (B) =25 15=2256= 0 = P

n1o= P (A \ B) .

Intuitivement, la réponse à la question un dé a été lancé;quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prennela valeur 1? nest la même que la réponse à la question undé a été lancé et la variable aléatoire Y prend la valeur 1;quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenneaussi la valeur 1?. Dans le premier cas, la réponse est 25tandis que dans le second, la réponse est 0.

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de deux variablesaléatoires

Remarque

Remarque. Bien que les variables aléatoires naient nul besoindune mesure de probabilité pour exister (un espaceprobabilisable su¢ t), il est nécessaire de connaître la mesure deprobabilité qui prévaut sur lespace probabilisable pour parlerdindépendance.

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de variablesaléatoires I

Exemple

Exemple.

ω X Y Z P

ω1 1 1 0 18

ω2 1 0 0 18

ω3 1 0 1 18

ω4 1 0 1 18

ω X Y Z P

ω5 0 1 1 18

ω6 0 0 0 18

ω7 0 0 0 18

ω8 0 0 1 18

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de variablesaléatoires II

Exemple

Ces variables aléatoires sont deux à deux indépendantes puisque

P fX = 0gP fY = 0g =12 34=38= P fω6 ,ω7 ,ω8g = P (fX = 0g \ fY = 0g) ,

P fX = 1gP fY = 0g =12 34=38= P fω2 ,ω3 ,ω4g = P (fX = 1g \ fY = 0g) ,

P fX = 0gP fY = 1g =12 14=18= P fω5g = P (fX = 0g \ fY = 1g) ,

P fX = 1gP fY = 1g =12 14=18= P fω1g = P (fX = 1g \ fY = 1g) .

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de variablesaléatoires III

Exemple

P fX = 0gP fZ = 0g =12 12=14= P fω6 ,ω7g = P (fX = 0g \ fZ = 0g) ,



P fX = 1gP fZ = 1g =12 12=14= P fω3 ,ω4g = P (fX = 1g \ fZ = 1g) .

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de variablesaléatoires IV

Exemple

P fZ = 0gP fY = 0g =12 34=38= P fω2 ,ω6 ,ω7g = P (fZ = 0g \ fY = 0g) ,

P fZ = 1gP fY = 0g =12 34=38= P fω3 ,ω4 ,ω8g = P (fZ = 1g \ fY = 0g) ,

P fZ = 0gP fY = 1g =12 14=18= P fω1g = P (fZ = 0g \ fY = 1g) ,

P fZ = 1gP fY = 1g =12 14=18= P fω5g = P (fZ = 1g \ fY = 1g) .

Espérance



Espérance

Moments


Indépendance de variablesaléatoires V

Exemple

Mais ces variables ne sont pas mutuellement indépendantespuisque

P fX = 1gP fY = 1gP fZ = 1g

=12 14 12

=116

6= 0

= P f?g= P (fX = 1g \ fY = 1g \ fZ = 1g) .

Espérance

Indépendance

ProbabilitéconditionnelleTribuDénitionInterprétationExempleIndépendance

Espérance

Moments


Probabilité conditionnelleDénition

DenitionDénition. Soit (Ω,F ,P), un espace probabilisé tel queCard(Ω) < ∞. Pour tout événement A 2 F ayant uneprobabilité positive, P(A) > 0, la probabilité conditionnelleétant donné A, notée P ( jA ), eSt dénie par

8B 2 F , P (B jA ) = P (B \ A)P (A)

.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IInterprétation

Lexpérience aléatoire consiste à lancer un dé.

Si le dé est bien balancé, quelle est la probabilité dobtenirplus de trois points?

Il faudrait répondre: 12 .

Maintenant, si, après le lancer du dé, je vous informe quele nombre de points obtenus est pair, quelle est laprobabilité que la face du dé ait plus de trois points?

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IIInterprétation

Il faudrait modier la réponse donnée précédemment pourproter de linformation fournie. Comme sur les troissituations où le nombre de points est pair, il y en a deuxpour lesquelles le nombre de points est aussi supérieur àtrois, la réponse est 23 .

Pn

4 , 5 , 6o n 2 , 4 , 6 o

=Pn

4 , 5 , 6o\n2 , 4 , 6

oPn

2 , 4 , 6o

=Pn

4 , 6o

Pn

2 , 4 , 6o = 2

636

=23.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IIIInterprétation

Pourquoi exigeons-nous que la probabilité associée àlévénement selon lequel nous conditionnons soit positive?

Mathématiquement, cela est tout simplement pour éviterde faire la bêtise de diviser par zéro.Intuitivement, si après le lancer du dé, je vous informe quele résultat est négatif, les plus polis dentre voussexclameront sacrée farceuse! tandis que dautrespourrait me qualier de menteuse.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IExemple

Exemple. Reprenons le processus stochastique représentant leprix dune part dun titre auquel nous ajouterons une mesure deprobabilité P sur lespace probabilisable (Ω,F ). Rappelonsque la tribu utilisée est F = σ ffω1,ω2g , fω3g , fω4gg.

ω X0 (ω) X1 (ω) X2 (ω) X3 (ω) P (ω)

ω1 1 12 1 1

2 ?ω2 1 1

2 1 12 ?

ω3 1 2 1 1 38

ω4 1 2 2 2 28

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IIExemple

Question. Sachant que le prix du titre vaut un dollar au tempst = 2, est-ce que les probabilités associées aux prix possibles dutitre au temps t = 3 sont modiées?

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IIIExemple

Réponse. Oui. Soit

A = fω 2 Ω : X2 (ω) = 1g = fω1,ω2,ω3g .

Comme

P (A) = P fω1,ω2,ω3g = P fω1,ω2g+P fω3g =38+38=34

alors

P

X3 =

12

jfX2 = 1g

=

P (fω1,ω2g \ fω1,ω2,ω3g)P fω1,ω2,ω3g

=P fω1,ω2g

P (A)=38 43=12

6= 38= P

X3 =

12

;

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IVExemple

P (fX3 = 1g jfX2 = 1g )

=P (fω3g \ fω1,ω2,ω3g)

P fω1,ω2,ω3g=

P fω3gP (A)

=38 43=12

6= 38= P fX3 = 1g ;

P (fX3 = 2g jfX2 = 1g )

=P (fω4g \ fω1,ω2,ω3g)

P fω1,ω2,ω3g=

P (?)P (A)

= 0

6= 28= P fX3 = 2g .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle VExemple

ω X0 (ω) X1 (ω) X2 (ω) X3 (ω) P (ω)

ω1 1 12 1 1

2 ?

ω2 1 12 1 1

2 ?

ω3 1 2 1 1 38

ω4 1 2 2 2 28

Nous avions déterminé que F = σ ffω1,ω2g , fω3g , fω4gg.Alors

FA = σ ffω1,ω2g \ A, fω3g \ A, fω4g \ Ag= σ ffω1,ω2g , fω3g ,?g = fA, fω1,ω2g , fω3g ,?g .

Par conséquent, lespace probabilisable sur lequel est construiteP ( jfX2 = 1g ) est (fω1,ω2,ω3g , σ ffω1,ω2g , fω3gg) .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IIndépendance

Revenons à la dénition dindépendance entre deux variablesaléatoires.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IIIndépendance

TheoremThéorème. Les variables aléatoires X et Y sont toutes deuxconstruites sur lespace probabilisé (Ω,F ,P), Card (Ω) < ∞.Soient PX = fA1, ...,Amg et PY = fB1, ...,Bng, deuxpartitions nies qui engendrent respectivement les tribus σ (X )et σ (Y ). Si

8A 2 PX tel que P (A) > 0, P (B jA ) = P (B) , 8B 2 PY

ou encore, si

8B 2 PY tel que P (B) > 0,P (A jB ) = P (A) , 8A 2 PX ,

alors X et Y sont indépendantes.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IIIIndépendance

Preuve du théorème. Supposons que

8A 2 PX tel que P (A) > 0, P (B jA ) = P (B) , 8B 2 PY .

Nous voulons montrer que 8A 2 PX tel que P (A) > 0 et8B 2 PY ,

P (B \ A) = P (A)P (B) .

Mais 8A 2 PX tel que P (A) > 0 et 8B 2 PY ,

P (B) = P (B jA ) = P (B \ A)P (A)

) P (B \ A) = P (A)P (B)

et 8A 2 PX tel que P (A) = 0 et 8B 2 PY ,

0 P (B \ A) P (A) = 0) P (B \ A) = 0 = P (A)P (B) .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Probabilité conditionnelle IVIndépendance

Si nous utilisons

8B 2 PY tel que P (B) > 0,P (A jB ) = P (A) , 8A 2 PX ,

comme prémisse, nous obtenons un résultat identique enrépétant la démonstration.

Espérance

Indépendance


EspéranceDénitionPropriétésExempleRemarques

Moments


EspéranceDénition

DenitionDénition. Soit X une variable aléatoire construite surlespace probabilisé (Ω,F ,P) tel que Card (Ω) < ∞.Lespérance de X , notée EP [X ] est

EP [X ] = ∑ω2Ω

X (ω)P (ω) .

Si la variable aléatoire X prend n valeurs di¤érentes, disonsx1 < ... < xn alors

EP [X ] =n

∑i=1xiP fω 2 Ω : X (ω) = xig =

n

∑i=1xi fX (xi )

où fX est la fonction de masse de X .

Espérance

Indépendance



Moments


EspérancePropriétés

Soit X et Y , deux variables aléatoires construites sur lespaceprobabilisé (Ω,F ,P), Card (Ω) < ∞. Si a et b représententdes nombres réels alors

E1 EP [aX + bY ] = aEP [X ] + bEP [Y ] ;

E2 Si 8ω 2 Ω, X (ω) Y (ω) alors EP [X ] EP [Y ] ;

E3 De façon générale, EP [XY ] 6= EP [X ]EP [Y ] ;

E4 Si X et Y sont indépendantes alorsEP [XY ] = EP [X ]EP [Y ] .

Espérance

Indépendance



Moments


Espérance IExemple

Exemple. Reprenons la variable aléatoire W ainsi que les deuxmesures de probabilités P et Q :

ω W (ω) P (ω) Q (ω)

1 5 16

412

2 5 16

112

3 5 16

112

4 5 16

112

5 0 16

112

6 10 16

412

x P fW = xg Q fW = xg

0 16

112

5 46

712

10 16

412

Espérance

Indépendance



Moments


Espérance IIExemple

EP [W ] = ∑ω2Ω

W (ω)P (ω)

= 5 16+ 5 1

6+ 5 1

6+ 5 1

6+ 0 1

6+ 10 1

6=306= 5

EP [W ] =n

∑i=1

wi fW (wi ) = 016+ 5 4

6+ 10 1

6=306= 5

EQ [W ] = ∑ω2Ω

W (ω)Q (ω)

= 5 412+ 5 1

12+ 5 1

12+ 5 1

12+ 0 1

12+ 10 4

12=7512= 6, 25

EQ [W ] =n

∑i=1

wi fW (wi ) = 0112+ 5 7

12+ 10 4

12=7512= 6, 25

Espérance

Indépendance



Moments


EspéranceRemarques

Lespérance dune variable aléatoire est un nombre réel.Ce nest pas une quantité aléatoire.

Dans lexemple précédent, nous pouvons noter quelespérance dune variable aléatoire dépend de la mesurede probabilité utilisée.

Espérance

Indépendance


Espérance

MomentsDénitionVariancePropriétésCovariancePropriétés


Moments dune variable aléatoireDénition

DenitionDénition. Soit X une variable aléatoire construite surlespace probabilisé (Ω,F ,P) tel que Card (Ω) < ∞. Le kième moment de X , notée EP

X kest lespérance de la

variable X k :

EPhX ki= ∑

ω2ΩX k (ω)P (ω) =

n

∑i=1xki fX (xi )

où x1 < ... < xn sont les valeurs prises par X et fX est safonction de masse.

Espérance

Indépendance


Espérance



Variance IDénition

DenitionDénition. Soit X une variable aléatoire construite surlespace probabilisé (Ω,F ,P) tel que Card (Ω) < ∞. Lavariance de X , notée VarP [X ] est lespérance de la variablealéatoire

X EP [X ]

2:

VarP [X ] = ∑ω2Ω

X (ω) EP [X ]

2P (ω) (1)

=n

∑i=1

xi EP [X ]

2fX (xi ) (2)

où x1 < ... < xn sont les valeurs prises par X et fX est safonction de masse.

Espérance

Indépendance


Espérance



Variance IIDénition

Remarques.

La variance est une mesure de la dispersion des valeursx1, ..., xn prises par X autour de lespérance EP [X ].

Plus la variance est grande, plus les valeurs sont dispersées.

Tout comme lespérance et les moments, la variance estun nombre réel.

De plus, quelque soit la variable aléatoire, la variance nestjamais négative.

Lécart-type, fort utilisé en statistique, est la racine carréede la variance.

Espérance

Indépendance


Espérance



Moments dune variable aléatoirePropriétés de la variance

Exercice. Montrez que si a et b sont des nombres réels,

V1 VarP [X ] 0;V2 VarP [X ] = EP

X 2EP [X ]

2;

V3 8a 2 R, VarP [aX + b] = a2VarP [X ] ;

V4 Si X et Y sont indépendantes alorsVarP [X + Y ] = VarP [X ] +VarP [Y ]

Espérance

Indépendance


Espérance



Covariance IDénition

DenitionDénition. Soient X et Y , deux variables aléatoires construitessur lespace probabilisé (Ω,F ,P) tel que Card (Ω) < ∞. Lacovariance de X et Y , notée CovP [X ,Y ] est lespérance dela variable aléatoire

X EP [X ]

Y EP [Y ]

:

CovP [X ,Y ] = ∑ω2Ω

X (ω) EP [X ]

Y (ω) EP [Y ]

P (ω)

Espérance

Indépendance


Espérance



Covariance IIDénition

Interprétation.

Si la covariance est positive, cest que dans la somme

∑ω2Ω

X (ω) EP [X ]

Y (ω) EP [Y ]

P (ω) ,

ce sont les ω rendant le termeX (ω) EP [X ]

Y (ω) EP [Y ]

positif qui dominent,

ce qui signie que les variables aléatoires X et Y onttendance à être soit supérieures, soit inférieures à leurespérance pour les mêmes états du monde ω.

Si la covariance est négative alors ce sont les ω rendant leterme

X (ω) EP [X ]

Y (ω) EP [Y ]

négatif qui

dominent, ce qui signie que lorsque quune des variablesaléatoires X et Y est supérieure à son espérance, lautre atendance à être inférieure à son espérance.

Espérance

Indépendance


Espérance



CovariancePropriétés

Exercice. Montrez que

C1 CovP [X ,Y ] = EP [XY ] EP [X ]EP [Y ] ;

C2 Si X et Y sont indépendantes alors CovP [X ,Y ] = 0;

C3 8a, b 2 R,CovP [aX1 + bX2;Y ] = aCovP [X1;Y ] + bCovP [X2;Y ] ;

C4 VarP [X + Y ] = VarP [X ] +VarP [Y ] + 2CovP [X ,Y ] .

Espérance

Indépendance


Espérance



Autres momentsDéntion

Outre la variance, deux autres moments centrés sont beaucouputilisés en modélisation: les coe¢ cients de dissymétrie etdaplatissement. Vous en trouverez une description à lannexede ce document.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments

EspéranceconditionnelleDénitionExemplePropriétés

Espérance conditionnelleDénition

DenitionDénition. La variable aléatoire X est construite sur lespaceprobabilisé (Ω,F ,P), Card (Ω) < ∞. Soit G F , une tribuengendrée par la partition nie P = fA1, ...,Ang satisfaisant8i 2 f1, ..., ng, P (Ai ) > 0. Lespérance conditionnelle de Xétant donnée G, notée EP [X jG ] est

EP [X jG ] (ω) =n

∑i=1

IAi (ω)

P (Ai )∑

ω2AiX (ω)P (ω)

où IAi : Ω ! f0, 1g est la fonction indicatrice

IAi (ω) =

1 si ω 2 Ai0 si ω /2 Ai

.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IExemple

Exemple. Reprenons le processus stochastique représentant leprix dune part dun titre auquel nous ajouterons une mesure deprobabilité sur lespace probabilisable (Ω,F ).

ω X0 (ω) X1 (ω) X2 (ω) X3 (ω) P (ω)

ω1 1 12 1 1

218

ω2 1 12 1 1

228

ω3 1 2 1 1 38

ω4 1 2 2 2 28

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IIExemple

Nous avions déterminé que F1 = σ ffω1,ω2g , fω3,ω4gg.Alors

EP [X3 jF1 ] (ω)

=2

∑i=1

IAi (ω)

P (Ai )∑

ω2AiX3 (ω

)P (ω)

=IA1 (ω)

P (A1)∑

ω2A1X3 (ω

)P (ω) +IA2 (ω)

P (A2)∑

ω2A2X3 (ω

)P (ω)

=IA1 (ω)

38

12 18+12 28

+

IA2 (ω)58

1 3

8+ 2 2

8

=

12

IA1 (ω) +75

IA2 (ω) .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IIIExemple

Ainsi,

Si ω 2 fω1,ω2g alors

EP [X3 jF1 ] (ω) =12

IA1 (ω) +75

IA2 (ω) =12

et si ω 2 fω3,ω4g alors

EP [X3 jF1 ] (ω) =12

IA1 (ω) +75

IA2 (ω) =75.

Interprétation. Au temps t = 1, nous serons en mesurede déterminer si létat du monde est élément de fω1,ω2gou bien sil est élément de fω3,ω4g. Si ω 2 fω1,ω2galors la valeur espérée de la variable aléatoire X3 est 12 .Par contre, si ω 2 fω3,ω4g alors la valeur espérée de X3est 75 .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IRemarques

Lespérance conditionnelle sexprime à laide desprobabilités conditionnelles étant donné chacun deséléments de la partition qui engendre la tribu puisque

EP [X jG ] (ω)

=n

∑i=1

IAi (ω)

P (Ai )∑

ω2AiX (ω)P (ω)

=n

∑i=1

IAi (ω) ∑ω2Ai

X (ω)P (ω \ Ai )

P (Ai )

=n

∑i=1

IAi (ω) ∑ω2Ai

X (ω)P (ω jAi )

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IIRemarques

Remarque importante. Contrairement à lespérance,lespérance conditionnelle nest pas un nombre réel maisune variable aléatoire. En fait, comme elle est constantesur les atomes qui engendrent G, cest une variablealéatoire Gmesurable.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IPropriétés

Soit X et Y , deux variables aléatoires de lespaceprobabilisé (Ω,F ,P) .Les tribus G, G1 et G2 sont engendrées respectivement parles partitions nies P = fA1, ...,Ang etP1 = fB1, ...,Bmg et P2 = fC1, ...,Cng.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IIPropriétés

EC1 Si X est Gmesurable alors EP [X jG ] = X .EC2 Si G1 G2 sont des tribus alors

EPEP [X jG1 ] jG2

= EP [X jG1 ] .

EC3 Si G1 G2 sont des tribus alorsEPEP [X jG2 ] jG1

= EP [X jG1 ] .

EC4 EP [X jf?,Ωg ] = EP [X ] .

EC5 EPEP [X jG ]

= EP [X ] .

EC6 Si Y est Gmesurable alors EP [XY jG ] = YEP [X jG ] .EC7 Si X et Y sont indépendantes alors

EP [X jσ (Y ) ] = EP [X ] .

EC8 8a, b 2 R, EP [aX + bY jG ] = aEP [X jG ] + bEP [Y jG ] .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IDémonstration de EC1

À montrer. Si X est Gmesurable alors EP [X jG ] = X .

Puisque X est Gmesurable, alors elle est constante sur lesatomes de G. Posons donc

xi = X (ω) 8ω 2 Ai , 8i 2 f1, ..., ng .

Soit ω 2 Ai quelconque.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IIDémonstration de EC1

EP [X jG ] (ω) =n

∑j=1

IAj (ω)

P (Aj )∑

ω2AjX (ω)P (ω)

=1

P (Ai )∑

ω2AiX (ω)P (ω)

=1

P (Ai )∑

ω2AixiP (ω)

=xi

P (Ai )∑

ω2AiP (ω)

=xi

P (Ai )P (Ai )

= xi= X (ω) .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelle IIIDémonstration de EC1

Puisque ω était choisi de façon arbitraire, nous avons que

8ω 2 Ω, EP [X jG ] (ω) = X (ω) .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments


Espérance conditionnelleDémonstration de EC2

À montrer, Si G1 G2 F sont des tribus alorsEPEP [X jG1 ] jG2

= EP [X jG1 ] .

Puisque G1 G2 alors toute fonction G1mesurable est aussiG2mesurable. De plus, nous savons que EP [X jG1 ] estG1mesurable donc EP [X jG1 ] est aussi G2mesurable. Enutilisant (EC1),

EPhEP [X jG1 ] jG2

i= EP [X jG1 ] .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



À montrer. Si G1 G2 F sont des tribus alorsEPEP [X jG2 ] jG1

= EP [X jG1 ] .

Soit Bk , un atome de G1. Puisque Bk 2 G1 G2 alorsBk 2 G2 et, par conséquent, Bk peut se représenter comme uneunion de certains atomes de G2, cest-à-dire quil existeCk1 , ...,Ckq 2 P2 tels que Bk =

Sqi=1 Cki . De plus, notons que

EP [X jG2 ] étant G2mesurable, elle est constante sur lesatomes de G2. Posons 8k 2 f1, ..., ng , 8ω 2 Ck ,

xk EP [X jG2 ] (ω)

=n

∑j=1

ICj (ω)

P (Cj )∑

ω2CjX (ω)P (ω)

=1

P (Ck )∑

ω2CkX (ω)P (ω) .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



Soit ω 2 Ck 0 Bk quelconque.

EPhEP [X jG2 ] jG1

i(ω)

=m

∑j=1

IBj (ω)

P (Bj )∑

ω2BjEP [X jG2 ] (ω)P (ω)

=1

P (Bk )∑

ω2BkEP [X jG2 ] (ω)P (ω)

=1

P (Bk )

q

∑i=1

∑ω2Cki

EP [X jG2 ] (ω)| z xki

P (ω)

=1

P (Bk )

q

∑i=1xki ∑

ω2Cki

P (ω)

=1

P (Bk )

q

∑i=1xkiP (Cki )

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



=1

P (Bk )

q

∑i=1

0@ 1P (Cki )

∑ω2Cki

X (ω)P (ω)

1AP (Cki )

=1

P (Bk )

q

∑i=1

∑ω2Cki

X (ω)P (ω)

=1

P (Bk )∑

ω2BkX (ω)P (ω)

=m

∑j=1

IBj (ω)

P (Bj )∑

ω2BjX (ω)P (ω)

= EP [X jG1 ] (ω) .

Ainsi, 8ω 2 Ω, EPEP [X jG2 ] jG1

(ω) = EP [X jG1 ] (ω).

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



À montrer. EP [X jf?,Ωg ] = EP [X ].

Comme f?,Ωg est une tribu engendrée par Ω, alors enappliquant la dénition despérance conditionnelle de X parrapport à cette tribu, nous obtenons 8ω 2 Ω,

EP [X jf?,Ωg ] (ω) =1

∑j=1

IΩ (ω)

P (Ω) ∑ω2Ω

X (ω)P (ω)

= ∑ω2Ω

X (ω)P (ω)

= EP [X ] .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



À montrer. EPEP [X jG ]

= EP [X ].

Il su¢ t dappliquer la propriété (EC3) avec G2 = G etG1 = f?,Ωg.

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



À montrer. Si Y est Gmesurable alorsEP [XY jG ] = YEP [X jG ] .

Comme Y est Gmesurable, alors elle est constante sur lesatomes de G. Posons donc

yj = Y (ω) , 8ω 2 Aj , 8j 2 f1, ..., ng .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



Maintenant, soit ω 2 Ak .

EP [XY jG ] (ω) =n

∑j=1

IAj (ω)

P (Aj )∑

ω2AjX (ω)Y (ω)P (ω)

=IAk (ω)

P (Ak )∑

ω2AkX (ω)Y (ω)P (ω)

=1

P (Ak )∑

ω2AkX (ω) ykP (ω)

=yk

P (Ak )∑

ω2AkX (ω)P (ω)

= ykEP [X jG ] (ω)= Y (ω)EP [X jG ] (ω) .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



Puisque ω était choisi de façon arbitraire, nous avons que

8ω 2 Ω, EP [XY jG ] (ω) = Y (ω)EP [X jG ] (ω) .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



À montrer. Si X et Y sont indépendantes alorsEP [X jσ (Y ) ] = EP [X ] .

Soient PX = fA1, ...,Ang et PY = fB1, ...,Bmg, les partitionsnies qui engendrent, respectivement, σ (X ) et σ (Y ). PuisqueX et Y sont indépendantes, nous avons que

8i 2 f1, ..., ng et 8j 2 f1, ...,mg , P (Ai \ Bj ) = P (Ai )P (Bj ) .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



Posons xi = X (ω) 8ω 2 Ai , 8i 2 f1, ..., ng. Alors

EP [X jσ (Y ) ] =m

∑j=1

IBj

P (Bj )∑

ω2BjX (ω)P (ω)

=m

∑j=1

IBj

P (Bj )

n

∑i=1

∑ω2Ai\Bj

X (ω)P (ω)

=m

∑j=1

IBj

P (Bj )

n

∑i=1

∑ω2Ai\Bj

xiP (ω)

=m

∑j=1

IBj

P (Bj )

n

∑i=1xi ∑

ω2Ai\BjP (ω)| z

=P(Ai\Bj )=P(Ai )P(Bj )

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



=m

∑j=1

IBj

n

∑i=1xiP (Ai )

=m

∑j=1

IBjEP [X ]

= EP [X ]m

∑j=1

IBj

= EP [X ] IΩ

= EP [X ] .

Espérance

Indépendance


Espérance

Moments



À montrer. 8a, b 2 R,EP [aX + bY jG ] = aEP [X jG ] + bEP [Y jG ]

EP [aX + bY jG ]

=n

∑j=1

IAj

P (Aj )∑

ω2Aj(aX (ω) + bY (ω))P (ω)

= an

∑j=1

IAj

P (Aj )∑

ω2AjX (ω)P (ω)

+bn

∑j=1

IAj

P (Aj )∑

ω2AjY (ω)P (ω)

= aEP [X jG ] + bEP [Y jG ] .

Espérance

AnnexeProbabilitéCoe¢ cient dedissymétrieCoe¢ cientdaplatissement

Annexe

Annexe

Espérance


Probabilité conditionnelleIntroduction

Soit (Ω,F ,P), un espace probabilisé tel queCard(Ω) < ∞.Pour tout événement A 2 F ayant une probabilitépositive, P(A) > 0, il est possible de dénir une nouvellemesure de probabilité qui est nommée probabilitéconditionnelle étant donné A.

Soyons plus précis :

DenitionSoit

FA fF \ A : F 2 Fg .FA est une collection dévénements.

Dans les faits, à chaque événement F de la tribu F , nousenlevons les éléments qui nappartiennent pas à lévénement A.

Espérance


Probabilité conditionnelleExemple

Exemple. Ω =n1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

oF =

n?,n1 , 3 , 5

o,n2 , 4 , 6

o,Ωo.

et A =n1 , 2 , 3

o, cest-à-dire que je vous annonce que le

résultat du lancer du dé est inférieur à 4. Alors

FA =n?,n1 , 3

o,n2o,n1 , 2 , 3

oo.

Espérance


Probabilité conditionnelle ITribu

TheoremThéorème. FA est une tribu de A.

Preuve du théorème.

(T1) A 2 FA puisque Ω 2 F ) A = Ω \ A 2 FA.

Espérance


Probabilité conditionnelle IITribu

(T2) Soit B 2 FA. Nous voulons montrer que Bc 2 FA.Attention, nous travaillons présentement sur lensemblefondamental A donc Bc = A n (B \ A).

F

Ω

F'

B'

B

A

Puisque B 2 FA alors 9F 2 F tel que B = F \ A. Maiscomme Bc = F c \ A alors F c 2 F implique queBc = F c \ A 2 FA.

Espérance


Probabilité conditionnelle IIITribu

(T3) Soit B1,B2, ... 2 FA. Nous voulons montrer queSn1 Bn 2 FA.Pour tout n, Bn 2 FA implique lexistence de Fn 2 F telque Bn = Fn \ A. Or, comme

Sn1 Fn 2 F , alors

[n1

Bn =[n1

(Fn \ A) = [n1

Fn

!\ A 2 FA.

Espérance


Probabilité conditionnelle IProbabilité

DenitionDénition. Sur lespace probabilisable (A,FA), nousdénissons une fonction

P : FA ! [0, 1]

B 7! P (B \ A)P (A)

.

TheoremThéorème. P est une mesure de probabilité sur (A,FA).

Espérance


Probabilité conditionnelle IIProbabilité

Preuve du théorème.

(P1)

P (A) =P (A\ A)

P (A)=

P (A)P (A)

= 1.

Espérance


Probabilité conditionnelle IIIProbabilité

(P2)

Dune part,

8B 2 FA, P (B) =P (B \ A)

P (A) 0.

Dautre part, puisque 8B 2 FA, A = (B \ A) [ (Bc \ A)(A peut être représenté comme lunion de deuxévénements disjoints) et que P est une mesure deprobabilité sur (Ω,F ), alors

P (A) = P (B \ A) +P (Bc \ A)) P (B \ A) = P (A)P (Bc \ A) .

Ainsi,

P (B) =P (B \ A)

P (A)=

P (A)P (Bc \ A)P (A)

= 1 P (Bc \ A)P (A)

1.

Espérance


Probabilité conditionnelle IVProbabilité

(P3) Si B1, ...,Bn 2 FA sont des événements de Amutuellement disjoints, alors

P

n[i=1

Bi

!=

P ((Sni=1 Bi ) \ A)P (A)

=P (Sni=1 (Bi \ A))P (A)

=n

∑i=1

P (Bi \ A)P (A)

(car P est une mesure de probabilité)

=n

∑i=1

P (Bi ) .

Espérance


Annexe ICoe¢ cient de dissymétrie

Outre la variance, deux autres moments centrés sont beaucouputilisés en modélisation: les coe¢ cients de dissymétrie etdaplatissement.

DenitionDénition. Le coe¢ cient de dissymétrie dune variablealéatoire X construite sur lespace probabilisé (Ω,F ,P) estlespérance de la variable aléatoire0@X EP [X ]q

VarP [X ]

1A3

.

Espérance


Annexe IICoe¢ cient de dissymétrie

Lutilité de ce coe¢ cient est quil est nul si et seulement sila fonction de masse (fonction de densité, dans le cas desvariables continues) de la variable aléatoire est symétrique.Par exemples, la loi binomiale

n, 12

et la loi normale sont

symétriques.

Espérance


Annexe ICoe¢ cient daplatissement

DenitionDénition. Le coe¢ cient daplatissement dune variablealéatoire X construite sur lespace probabilisé (Ω,F ,P) estlespérance de la variable aléatoire0@X EP [X ]q

VarP [X ]

1A4

3.

Espérance


Annexe IICoe¢ cient daplatissement

Le coe¢ cient dapplatissement mesure la « lourdeur» desqueues dune distribution, cest-à-dire la probabilitédobserver des valeurs extrêmes. Pourquoisoustrayons-nous 3? La raison est que pour toute variablealéatoire X de distribution normale de moyenne µ etdécart-type σ,

EP

240@X EP [X ]qVarP [X ]

1A435 = 3.

Espérance


Annexe IIICoe¢ cient daplatissement

Donc, si le coe¢ cient daplatissement est négatif, cestque la probabilité dobserver des valeurs extrêmes est pluspetite que dans le cas dune distribution normale demêmes espérance et variance tandis que si le coe¢ cientdaplatissement est positif, alors lobservation de valeursextrêmes est plus grande que si nous observions unevariable aléatoire de distribution normale.

espØrance et espØrance conditionnelleneumann.hec.ca/~p240/c8064604/theme_1/3esperancecond.pdf ·...

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