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EDUC 6390: Estadstica aplicada en la educacinJulio E. Rodrguez TorresConferencia 14

Prueba de hiptesis cuando x es desconocidaBosquejoI. Introduccin ..................................................................................................................1II. La prueba de t para la media .......................................................................................1

A. La familia de distribuciones t...................................................................................1B. Prueba t de una cola ...............................................................................................2

III. Tipos de pruebas estadsticas de hiptesis .................................................................3A. Pruebas paramtricas .............................................................................................3

La robustez en las pruebas paramtricas ...............................................................4B. Pruebas libres de distribucin .................................................................................4C. Pruebas no paramtricas ........................................................................................4

IV. Supuestos para la prueba de z ...................................................................................4V. Supuestos para la prueba de t.....................................................................................4VI. El intervalo de confianza para la prueba de t..............................................................4

Determinacin del intervalo de confianza ...............................................................5VII. Significacin estadstica y significacin prctica ........................................................6

I. Introduccin

En la unidad anterior se hizo la prueba de hiptesis cuando se conoca la desviacin estndar de lapoblacin. Pero esto ocurre muy raramente. Por lo general, en los experimentos que se llevan acabo se conoce la desviacin estndar de la muestra solamente. En esos casos es necesarioutilizar otra prueba estadstica.

II. La prueba de t para la media

A. La familia de distribuciones t

Cuando no se conoce la desviacin estndar de la poblacin siempre se puede usar la desviacinestndar de la muestra, pero dividida entre la raz cuadrada de n.

pero no se pueden usar las tablas de la distribucin normal. Cuando se hace la sustitucin, sobretodo para muestras pequeas, la distribucin muestral es diferente de la normal. Realmente se usatoda una familia de distribuciones semejante a la familia de las distribuciones normales, pero quetienen ms rea bajo los extremos y menos en el centro. (Hinkle, p. 207)

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Sin embargo, a medida que el tamao de la muestra aumenta las distribuciones de t se parecenms a la normal.

Por esta razn cuando el tamao de la muestra es de ms de 120 se deja de utilizar la tablade t y se regresa a la tabla de z.

Sin embargo la tabla de t no es tan detallada como la de z. Slo aparecen los valores crticos deciertas reas de rechazo. (Hinkle p.637, Tabla C3)

Cada una de las distribuciones de t est asociada con el tamao de la muestra por medio de losllamados grados de libertad (degrees of freedom).

El grado de libertad de la distribucin corresponder a (n-1) donde n representa el tamao de lamuestra.

Mientras ms pequeo es el tamao de la muestra, hay ms rea bajo la curva en los extremos dela misma. Por lo tanto, a medida que aumentan los grados de libertad, las distribuciones de t separecen ms a la distribucin normal. A partir de 120 la diferencia es tan mnima que se utiliza lanormal.

Para las pruebas de hiptesis cuando se desconoce la desviacin estndar de la poblacin seutiliza la misma metodologa que se ha estudiado anteriormente, slo cambia la estadstica y latabla. La estadstica que se utiliza en estos casos es

B. Prueba t de una cola

Ejemplo:

En una fbrica la capacidad promedio de cierto tipo de batera es 140 amperes-horas. Ladistribucin de la capacidad es normal. Una agencia de servicio al consumidor quiere asegurarse ocomprobar que la media prometida por la fbrica es correcta y para hacerlo escogen una muestraaleatoria de 20 bateras. Su inters primordial es asegurarse de que no se estafe a losconsumidores. Los resultados son los siguientes:

137.4 140.0 138.8 139.1 144.4

139.2 141.8 137.3 133.5 138.2

141.1 139.7 136.7 136.3 135.6

138.0 140.9 140.6 136.7 134.1

La prueba de hiptesis en esta situacin debe ser una prueba de una cola donde la media y ladesviacin estndar ( obtenidas por medio de la calculadora) son s = 2.66; media = 138.47

Prueba de hiptesis

Paso 1 y 2:

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Ho: x 140 (no se estafa a los consumidores)

H1: x < 140 (se estafa a los consumidores)

Paso 3: = 0.05

Paso 4: n = 20 por lo tanto hay n -1 = 19 d.f.

Paso 5: En este caso donde x no es conocida se usa la prueba t

Paso 6: Para tener 5% del rea en la zona de rechazo para una prueba de una cola y 19 df. Estarea corresponde al valor crtico tc = -1.7291

Paso 7: Si t < -1.7291 entonces se rechaza H. Si t > -1.7291 entonces no se rechaza H 0.

Paso 8:

Paso 9: to cay en la zona de rechazo, por lo tanto se rechaza la hiptesis nula

Paso 10: Hay evidencia para concluir que la capacidad promedio de las bateras es menos de loque la compaa reclama.

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III. Tipos de pruebas estadsticas de hiptesis

Uno de los aspectos ms importantes de las estadsticas en la investigacin es comprender quepara poder utilizar una prueba estadstica el experimento tiene que cumplir con los supuestos queexige la prueba.

Las pruebas de hiptesis pueden ser paramtricas, libres de distribucin y noparamtricas.

A. Pruebas paramtricas

Requieren

1. variables medidas en la escala de razn o intervalar

2. anlisis de un parmetro de la poblacin y otros requisitos que dependen de la prueba enespecfico.

La robustez en las pruebas paramtricas

Una prueba paramtrica es robusta si a pesar de no cumplir cabalmente con todos los requisitos se

puede emplear sin que deforme mucho las conclusiones. Cuando la prueba no es robusta esnecesario utilizar otra prueba libre de distribucin o no paramtrica.

B. Pruebas libres de distribucin

1. La prueba estadstica no depende de la forma de la distribucin de la poblacin

2. Los datos estn en escala nominal u ordinal

C. Pruebas no paramtricas

No tienen que ver con los parmetros de la poblacin

IV. Supuestos para la prueba de z

La prueba de z es paramtrica por lo tanto requiere que:

1. las variables se midan en la escala de razn o la escala intervalar

2. se lleve a cabo el anlisis de un parmetro de la poblacin

Adems requiere que:

3. las observaciones sean independientes y seleccionadas aleatoriamente

4. la distribucin de la poblacin sea normal o que el tamao de la muestra sea mayor de 30 parapoder utilizar el Teorema Central del Lmite.

V. Supuestos para la prueba de t

Es paramtrica por lo tanto requiere que:

1. las variables se midan en la escala de razn o la escala intervalar

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2. se lleve a cabo el anlisis de un parmetro de la poblacin

Adems requiere que:

3. las observaciones sean independientes y seleccionadas aleatoriamente

4. la distribucin de la poblacin sea normal

La prueba de t es robusta si la distribucin de la poblacin difiere un poco de la normal, pero eltamao de la muestra es suficientemente grande (ms de 30). Sin embargo, si el tamao de lamuestra es menor de 30 y la poblacin no es normal, entonces es preferible olvidarse de la pruebay usar otra libre de distribucin.

VI. El intervalo de confianza para la prueba de t

Con la prueba de t se utiliza el intervalo de confianza como con la prueba de z, pero la frmulacambia para los lmites del intervalo. Se utiliza la siguiente frmula:

Ejemplo:

En una fbrica la capacidad promedio de cierto tipo de batera es 140 amperes-horas. Un tcnicode control de control de calidad quiere chequear que esto sea cierto y para hacerlo escoge unamuestra aleatoria de 20 bateras. Para hacerlo debe hallar el intervalo de confianza de 95% que lepermitira decir que la fbrica est funcionando adecuadamente.

137.4 140.0 138.8 139.1 144.4

139.2 141.8 137.3 133.5 138.2

141.1 139.7 136.7 136.3 135.6

138.0 140.9 140.6 136.7 134.1

Si se hiciese una prueba de hiptesis en esta situacin sta debera ser una prueba de dos colasdonde la media y la desviacin estndar ( obtenidas por medio de la calculadora) son s = 2.66;media = 138.47

Determinacin del intervalo de confianza

Utilizando la siguiente frmula

el intervalo es:

138.47 (2.093) (2.66/4.47)

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138.47 1.24

137.23 < X < 139.71

Por lo tanto la media de la poblacin se espera que est en ese intervalo

Como la media de la hiptesis nula no est en el intervalo de confianza se puede decir con un 95%de confianza que: Hay evidencia para concluir que la media es diferente de 140 amperes hora.

VII. Significacin estadstica y significacin prctica

Cuando se rechaza una hiptesis nula, en el lenguaje tcnico de las estadsticas se dice que

La diferencia entre el parmetro hipottico y la estadstica de la muestra es estadsticamentesignificativa.

La pregunta que queda por hacer es si el hecho de que la diferencia sea estadsticamentesignificativa indica que esta diferencia tenga importancia prctica. Cuando la muestra es grande unapequea diferencia entre estadstica y parmetro puede llegar a ser significativa. Esto se debe aque al aumentar el tamao de la muestra se logra ms precisin estadstica, pues el intervalo deconfianza se hace ms estrecho.

Por lo tanto es necesario, en trminos del experimento que se lleva a cabo, determinar si estadiferencia es de valor prctico. Puede ser que cueste ms parar la fbrica para reparar la mquinaque permitir que siga funcionando con un ligero desperfecto. Estas preguntas no las puede

responder la estadstica, sino la situacin en que se da el problema.

Lectura:

Hinkle capt. 8,9 pp.204-213; pp.217-227

Actividades:

Hinkle pp. 213 # 2,3,5,14; pp.227 ej. 6

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