DECISIONES ECONOMICO-FINANCIERAS EN EL MANEJO FORESTAL

IVAN CHACON CONTRERAS

Í N D I C E PRÓLOGO 15

CAPÍTULO I

CONCEPTOS ELEMENTALES DEL ANALISIS ECONOMICO-

FINANCIERO

1

1.1. Diferentes tipos de costo. 1

1.1.1. Costos relevantes e irrelevantes. 1

1.1.2. Costos evitables e inevitables. 2

1.1.3. Costos explícitos e implícitos. 3

1.2. El costo de oportunidad. 5

1.3. La tasa de interés. 9

1.3.1. Interés de captación y de colocación. 9

1.3.2. Interés nominal y real. 10

1.3.3. Interés simple y compuesto. 12

CAPÍTULO II

EQUIVALENCIAS FINANCIERAS. 17

2.1. Capitalización y actualización de sumas únicas. 18

2.2. Capitalización y actualización de sumas periódicas. 22

2.3. Sumas pagadas a intervalos.

2.4. Actualización de series infinitas de pagos periódicos e intervalares.

2.5. Transformación de tasas.

2.6. Otras equivalencias financieras de uso menos frecuente.

2.6.1. Cálculo de la cuota de un crédito con "años de gracia."

2.6.2. Capitalización y actualización de una serie finita creciente.

2.7. Indicadores de rentabilidad.

2.7.1. El valor actual neto (VAN).

Ejemplo de cálculo del valor actual neto.

2.7.2. Tasa interna de retorno (TIR).

2.7.3. Análisis comparativo de ambos indicadores

CAPÍTULO III

APLICACIONES GENERALES DEL ANALISIS ECONOMICO- FINANCIERO.

Tasa de descuento y costo de capital: una necesaria aclaración.

3.1. Ahorrantes.

3.2. Créditos.

3.3. ¿Comprar o arrendar?

El costo anual de una máquina.

3.4. Punto de indiferencia entre alternativas.

3.5. Vida útil económica.

CAPÍTULO IV

APLICACIONES DEL ANALISIS ECONOMICO-FINANCIERO AL MANEJO FORESTAL

4.1. Intervenciones de manejo.

4.2. Rentabilidad de la inversión forestal: efecto del subsidio y del impuesto a la utilidad.

4.3. Valorización del suelo y del vuelo forestal.

4.3.1. Valorización del suelo forestal.

4.3.2. Valorización del vuelo de rodales coetáneos.

4.4. Determinación de la rotación de rodales coetáneos.

4.4.1. Criterio volumétrico.

4.4.2. Criterio económico-financiero.

Determinación de la corta de un rodal pre-existente.

Efecto de una precosecha sobre el rodal pre-existente.

BIBLIOGRAFIA.

INDICE DE TABLAS Tabla Nº 1. Rendimiento y tasas de crecimiento según para pino radiata.

Tabla Nº 2. Tabla de amortización para cuotas fijas.

Tabla Nº 3. Tabla de amortización para cuotas decrecientes.

Tabla Nº 4. Flujo de caja de un proyecto de forestación supuesto

Tabla Nº 5. Tabla de amortización (Años de gracia cancelando intereses).

Tabla Nº 6. Tabla de amortización (Años de gracia sin cancelar intereses ni amortización).

Tabla Nº 7. Diferentes costos anuales equivalentes según tasa de descuento.

Tabla Nº 8. Antecedentes para el cálculo de la vida útil económica de un tractor forestal articulado supuesto.

Tabla Nº 9. Cálculo de la vida útil económica.

Tabla Nº 10. Tabla de rendimiento de un rodal supuesto.

Tabla Nº 11. Costos e ingresos de una inversión forestal no acogida al DL 701.

Tabla Nº 12. Costos y bonificaciones según tabla de CONAF.

Tabla Nº 13. Costos e ingresos de una inversión forestal acogida al DL 701.

Tabla Nº 14. Esquema de manejo de pino radiata para madera aserrada.

Tabla Nº 15. Esquema de manejo de pino radiata para pulpa.

Tabla Nº 16. Esquema de manejo de eucaliptus para leña.

Tabla Nº 17. Esquema de manejo de un rodal de pino radiata para tres métodos de valorización.

Tabla Nº 18. Rendimiento volumétrico y valorización del rodal para diferentes edades.

Tabla Nº 19. Tabla de rendimiento de un rodal de pino insigne.

Tabla Nº 20. Determinación de la edad de corta de un rodal sin manejo.

Tabla Nº 21. Determinación del valor económico del suelo (VES).

Tabla Nº 22. Proyección del rodal pre-existente.

Tabla Nº 23. Valor económico del suelo del rodal definitivo.

Tabla Nº 24. Determinación de la corta del rodal pre-existente.

Tabla Nº 25. Edad de corta del rodal pre-existente a partir de los 15 años.

Tabla Nº 26. Efecto de una pre-cosecha sobre el rodal pre-existente.

ÍNDICE DE GRAFICOS Gráfico Nº 1. Monto acumulado de una suma sometida a interés simple y

compuesto.

Gráfico Nº 2. Valor actual neto versus tasa de descuento.

Gráfico Nº 3. Desarrollo del VAN de dos proyectos para distintas tasas de descuento.

Gráfico Nº 4. Valores de costo, comercial y económico de un rodal de pino radiata.

Gráfico Nº 5. Relación entre las curvas de incremento corriente y medio anual.

Gráfico Nº 6. Relación entre las tasas alternativa, interna y productividad marginal.

P R O L O G O

El presente libro es un texto dirigido principalmente a profesionales del sector forestal y a estudiantes de Ciencias Forestales. Sin embargo, su contenido es útil para cualquier persona cuya posición profesional o empresarial lo obligue a tomar decisiones de tipo económico-financiero en el ámbito del manejo forestal.

En este texto se ha preferido utilizar el término económico-financiero para

destacar que se trata de un enfoque económico, pero dentro del extenso campo que abarca la economía, los problemas se abordan bajo una óptica monetaria, es decir, tomando en consideración exclusivamente los costos y beneficios en dinero que conllevan las decisiones de manejo del bosque. Con esto se quiere destacar que quedan expresamente fuera del análisis los costos y beneficios externos, denominados también externalidades. Estas cobran verdadera importancia en el ámbito forestal, ya que la sociedad reconoce al bosque múltiples funciones, principalmente en lo relacionado con la protección de recursos vitales para el hombre, como el suelo; el agua; la fauna silvestre y el medio ambiente en general. Sin embargo, el tratamiento de las externalidades del manejo forestal se encuentra en nuestro país en un nivel de desarrollo incipiente todavía, al menos en su enfoque cuantitativo, y es de esperar que una futura reedición de este libro (si llega a haberla) se amplíe hacia esas materias.

Se ha escogido para el título del libro el concepto de manejo forestal, a

pesar de que éste tiene cierto grado de ambigüedad, para resaltar el hecho de que los temas tratados son específicos del ámbito de la creación y administración del bosque como recurso económico, excluyendo los aspectos industriales de la actividad, ya que en materia de decisiones económico-financieras no existe gran diferencia entre la industria derivada de la madera y la producción manufacturera en general, la que dispone de suficiente material bibliográfico en el ámbito económico-financiero.

El enfoque del libro es cuantitativo, es decir, todas las materias se

abordan mediante ejemplos numéricos. Para la elaboración de los casos se ha tenido el cuidado de recoger estándares razonables para la realidad chilena, pero las cifras utilizadas son siempre supuestas, razón por la cual un determinado resultado no es necesariamente repetible en otros casos que el propio lector analice. Sin embargo, la aproximación metodológica a la toma de decisiones económico-financieras tiene carácter permanente.

En relación con la estructura misma del libro, el lector bien puede

abordarlo bajo la modalidad de un auto-aprendizaje, ya que todas las materias están tratadas mediante ejemplos numéricos desarrollados "in extenso". En muchas ocasiones, incluso, se presenta primero un problema resuelto a partir del cual se extraen conclusiones de carácter más general.

El primer capítulo aborda algunos conceptos básicos del análisis

económico-financiero, particularmente los distintos tipos de costo, con especial énfasis en el costo de oportunidad y la tasa de interés del capital, conceptos de gran importancia en el manejo forestal, ya que como la inversión en silvicultura tiene un período de maduración tan extenso, la variable "valor tiempo del dinero", como se le ha denominado también, pasa a ser muy relevante.

El capítulo siguiente trata la deducción y aplicación a ejemplos numéricos

resueltos de un gran número de equivalencias financieras. También se presenta y analiza los dos principales indicadores de rentabilidad utilizados en el manejo forestal, el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR), además de desarrollar el concepto de valor periódico equivalente (VPE) y las tablas de amortización de créditos.

El capítulo tercero contiene aplicaciones generales del análisis

económico-financiero, con una buena parte de los ejemplos tomados de la actividad forestal. Este capítulo se presenta bajo la forma de problemas resueltos numerados, con la finalidad principal de adiestrar al lector en el uso de las equivalencias financieras en la toma de decisiones. El capítulo trata también los temas del costo de uso de activos y vida útil económica, importantes aplicaciones del análisis económico-financiero.

Finalmente, el cuarto capítulo aborda cuatro temas claves de la economía

forestal: intervenciones silviculturales; rentabilidad de la inversión forestal; valorización del suelo y bosque en pie; y determinación de la edad de corta de rodales coetáneos.

Al lector que enfrenta por primera vez estas materias y desee aprenderlas

por sí mismo, se le recomienda seguir estrictamente la secuencia del libro. Pero quien tenga conocimientos previos de matemáticas financieras puede escoger directamente el tema de su interés en los capítulos tercero y cuarto, utilizando los dos primeros sólo cuando necesite recordar las equivalencias financieras.

El principal deseo del autor es que el libro signifique un aporte útil al

proceso de enseñanza-aprendizaje tanto de docentes como de estudiantes de la ingeniería forestal, además de proveer una base teórica y práctica para la toma de decisiones por parte de los profesionales y empresarios del sector silvícola, en una materia que hasta ahora ha sido un tanto dejada de lado por la literatura técnica en nuestro país.

IVAN CHACON CONTRERAS

CAPÍTULO I CONCEPTOS ELEMENTALES DEL ANALISIS ECONOMICO-FINANC IERO

Este primer capítulo está dedicado a revisar algunos conceptos básicos e indispensables para tratar los temas que le siguen. Se comenta en primer lugar algunas definiciones de distintos tipos de costo, tratando más extensamente el concepto de costo de oportunidad del capital y los diferentes tipos de tasa de interés, tópico muy pertinente en el tipo de análisis que se encontrará a lo largo de todo este libro. 1.1. Diferentes tipos de costo.

En la toma de decisiones económicas es importante reconocer diferentes tipos de costo que se encuentran presentes al momento de abordar el análisis de un caso determinado, por lo que este texto comienza con una breve clasificación de costos, ordenada de manera funcional al análisis económico-financiero. Esto significa que la clasificación utilizada no es muy estricta ni extensa, escapando del ámbito contable, recoge más bien los términos usuales para este tipo de materia. Si bien casi toda la clasificación se puede reducir a la primera de las categorías señaladas, no dejan de tener valor los demás conceptos, ya que cada uno de ellos aporta un matiz diferente dentro del análisis. 1.1.1. Costos relevantes e irrelevantes.

Se entiende como costo relevante, cuando se compara alternativas, aquellos costos que importan para la toma de una determinada decisión, a diferencia de aquellos que no interesan para elegir una opción y que se denominan irrelevantes. Para cada caso es diferente identificar un costo que sí es relevante en relación con otro que no lo es y, por tanto, no es posible sistematizar mucho en esta materia.

Cuando se está evaluando dos máquinas, por ejemplo (suponiendo que

tienen la misma vida útil, para hacerlas comparables), se puede encontrar entre ellas notables diferencias de precio de compra, valor residual al final de la vida útil, modalidad de financiamiento u otros ítemes relevantes, pero si los costos de operación (combustible, salario del operador, etc.) fuesen iguales, entonces estos costos pasan a ser irrelevantes para escoger entre una y la otra máquina.

Otro ejemplo de costo irrelevante, que se verá con más detalle en el capítulo correspondiente, es el caso de un propietario forestal que adquiere un bosque y debe decidir cuándo cortarlo. Como esta decisión depende de los costos e ingresos que el propietario tendrá a futuro, el precio de compra del vuelo no interviene para nada, si de lo que se trata es encontrar la fecha óptima de corta del rodal. En este caso el precio de compra del vuelo es lo que se ha llamado "costo histórico", porque ya está gastado y cualquiera sea su monto ya no influye en decisiones que se tomarán a futuro. También son un buen ejemplo de costo histórico todos los gastos en que ha incurrido el propietario de un bosque hasta cierta fecha, cuando se trata de conocer el valor económico del mismo, valor que no depende de lo que ha costado formar tal bosque sino de lo que éste será capaz de producir en el futuro. Así se pueden encontrar numerosos ejemplos, muchos de los cuales aparecerán a lo largo de estas páginas.

También ilustra el concepto de costo irrelevante aquel costo que no se

puede evitar, cualquiera sea la decisión que se adopte, por lo que tanto su monto como su misma existencia no influyen en la opción que se escoja. Dada la importancia de esta idea, éstos se conocen como costos evitables e inevitables, los que se señalan bajo el título siguiente.

1.1.2. Costos evitables e inevitables.

Se denomina costo evitable a aquél cuya ocurrencia depende de la decisión que se está estudiando. Por el contrario, costo inevitable es el que ocurre de todos modos (o que ha ocurrido ya), cualquiera sea la decisión que se adopte. El mejor ejemplo para ilustrar este concepto es aquél donde se evalúa la conveniencia de continuar o no operando una fábrica dada la situación en que el precio de venta del producto no alcanza a cubrir todos los costos del mismo, tema profusamente tratado en microeconomía. Como se sabe, algunos de los costos de producción se mantienen constantes aunque haya variaciones en la cantidad producida, e incluso aunque no se produzca nada, éstos continúan existiendo, dentro de cierto plazo. Tales costos reciben el nombre de fijos. Los costos variables, a su vez, dependen en forma directa de la cantidad producida, y si no se produce nada, éstos tampoco ocurren. Entonces, si durante cierto período el precio de venta es inferior al costo medio del producto, el que se compone de la suma de los costos fijos y variables medios, la decisión de dejar de producir le permite a la fábrica ahorrarse sólo los costos variables, ya que los fijos seguirán ocurriendo. Entonces, dentro de cierto plazo, en la decisión de suspender la producción interviene solamente el costo variable, ya que éste es evitable cuando se deja de producir, pero el costo fijo es inevitable y, por tanto, irrelevante en la decisión. Como el costo fijo ocurre de todos modos, la empresa continuará produciendo mientras el precio supere al costo variable por unidad (ayudando a solventar los costos fijos) y dejará de hacerlo solamente cuando el precio de venta no alcance a cubrir el costo variable por unidad.

Los costos históricos son también inevitables en una decisión donde lo

que importa es el comportamiento futuro de los costos y beneficios, como en los ejemplos ya mencionados. Los evaluadores de proyectos saben muy bien, por ejemplo, que cuando se está decidiendo respecto de reanudar la construcción de un proyecto que había sido dejado de lado tiempo atrás, en la decisión de reiniciar el proyecto ya no se toman en cuenta los gastos incurridos anteriormente, porque como ya están gastados nada se puede hacer, son históricos, y por tanto irrelevantes para la decisión. Si el proyecto se evaluara con posterioridad a su término, seguramente dará una rentabilidad negativa, pero si se trata de saber en un momento dado si conviene terminar su construcción cuando ya se ha gastado dinero en él, tal vez su evaluación resulte positiva en ese momento, precisamente porque en ese instante una parte del proyecto ya está hecha y los costos ya incurridos no se imputan entre los costos e ingresos futuros, que son los que intervienen en la evaluación.

El productor de un vivero de especies forestales destinadas a la

temporada de plantación se encuentra con que al final del ciclo de producción de plantas (que va aproximadamente desde agosto hasta mayo, en el caso de pino radiata), todo lo que ha gastado en producir sus plantas ya son costos históricos, inevitables, razón por la cual al momento de vender deberá atenerse estrictamente al precio que le señale el mercado, independientemente del costo por planta al que haya llegado. Así, si el precio en ese momento es superior al costo medio, ganará dinero, pero si el precio no alcanza a cubrir sus costos, igual deberá vender, por muy bajo que sea dicho precio. Este ejemplo es equivalente al caso de la fábrica, mostrado antes, sólo que en el vivero el costo variable por unidad es cero y todos los costos quedaron ya en la categoría de inevitables y por lo tanto irrelevantes para la decisión de vender o no las plantas. Es lo mismo que les ocurre a los productores agrícolas cada año, quienes se ven enfrentados al precio de mercado para sus productos cuando ya nada pueden hacer por modificar su decisión de producir o no hacerlo, ni cambiar tampoco la cantidad, calidad o tipo de producto.

1.1.3. Costos explícitos e implícitos.

En esta categoría de costos se hace hincapié en la diferencia que existe entre aquellos costos que constituyen un verdadero desembolso de dinero y aquellos que no representan un gasto, y por lo tanto no aparecen en algún registro formal de las empresas, como son los libros de contabilidad, pero que el propietario, inversionista o empresario sabe que existen. El más importante de los costos implícitos en una decisión económica es el llamado costo de oportunidad, cuya relevancia, particularmente en las decisiones del manejo forestal es tan significativa que se tratará extensamente en el próximo punto. Por ahora baste con señalar que la tasa alternativa del capital, que es la expresión concreta del costo de oportunidad de una inversión, opera en forma acumulativa en el tiempo, razón por la cual pasa a ser el más significativo de los costos de la producción forestal, dada la naturaleza de

la misma, cuya característica más distintiva, en este sentido, es el largo período de maduración que tiene la inversión silvícola.

Es interesante ilustrar el caso de costo implícito tomando en

consideración lo que ocurre con la depreciación de un activo cualquiera en la empresa. La depreciación, o pérdida de valor que sufre un activo por el uso o simple paso del tiempo, es un costo implícito de la producción, porque no constituye desembolso de dinero. Sin embargo, el dueño del activo sabe muy bien que después de transcurrido cierto tiempo (aún cuando éste no se hubiera usado o se hubiese usado muy poco), el valor de dicho activo es menor que al principio de su vida útil, es decir, se ha depreciado. Este costo no aparecería en los libros de contabilidad de la empresa si no fuera porque la ley permite expresamente incluirlo, calculado de la forma que establece el propio Servicio de Impuestos Internos. Por tal razón, cuando se determina el flujo de gastos e ingresos año por año para determinar la rentabilidad de un proyecto, el formulador del mismo incluye en cada período lo que corresponde legalmente por depreciación del activo, como si fuera un gasto efectivamente hecho, para los efectos de calcular cuánto habrá que pagar de impuesto a la utilidad cada año. Pero después de calculado este impuesto, el monto de la depreciación se vuelve a sumar, ahora como si fuera un ingreso, porque en realidad ese dinero no se ha gastado. En otras palabras, la depreciación es un costo implícito, pero que se hace explícito por disposición legal y para el solo efecto de calcular el impuesto a la utilidad.

Al evaluar una inversión, los costos por depreciación de los activos son

irrelevantes, excepto para calcular el impuesto a la utilidad, pero sí son relevantes las inversiones, que es el momento cuando se paga por la adquisición de tales activos. El siguiente ejemplo ilustra el tratamiento de la depreciación en el flujo de caja de una inversión hipotética para un año cualquiera:

ITEM MONTO ($)

Gastos operacionales -1.000

Depreciaciones - 200

Ingresos operacionales 2.000

Utilidad antes de impuesto 800

Impuesto a la utilidad (15 %) - 120

Utilidad después de impuesto 680

Depreciaciones 200

FLUJO NETO 880

Como se observa, la depreciación aparece explícitamente sólo para el cálculo del impuesto a la utilidad, pero luego se vuelve a sumar abajo, después de calculado el monto de dicho impuesto, porque en realidad se trata de un costo implícito, que como se dijo, no constituye desembolso monetario.

1.2. El costo de oportunidad.

El concepto de costo de oportunidad dice relación con beneficios que se dejan de percibir cuando se adopta la decisión de elegir una de entre varias posibilidades. El costo de oportunidad, si bien es común entenderlo referido a beneficios monetarios, no debe asociarse exclusivamente a este tipo de beneficios y el concepto puede entenderse en un sentido más general, aunque en el ámbito de la producción es difícil encontrar ejemplos que no se traduzcan en una expresión monetaria.

Supóngase que para elaborar un determinado producto existen tres

máquinas, de distinta productividad:

MAQUINA A MAQUINA B MAQUINA C

Rendimiento (Nº de piezas por hora)

50 60 75

Asúmase que el costo de operación por hora es igual en las tres máquinas y que el costo fijo asociado a cada máquina es el mismo. Si se escoge, por ejemplo la máquina B, porque la empresa sólo conoce la existencia de las máquinas A y B, incurrirá en un costo de oportunidad por haber descartado (aunque sea un acto involuntario), la utilización de la máquina C, capaz de producir 15 unidades más por cada hora de trabajo. Si es posible medir la contribución neta de esas 15 unidades por hora a las utilidades de la empresa, se tendrá una expresión monetaria del ingreso que ha dejado de percibir la empresa y que como tal pasa a ser un costo, si bien no es un desembolso de dinero.

Puede definirse costo de oportunidad, entonces, como el ingreso neto

que habría aportado, a quien toma la decisión, la mejor de las opciones descartadas en el momento de escoger. Dicho ingreso es un costo implícito para la opción elegida ya que no constituye un desembolso de dinero, sino que es una ganancia que se deja de percibir.

Hay muchos casos cotidianos donde se puede detectar la existencia de

un costo de oportunidad. Un estudiante de enseñanza superior, por ejemplo, no sólo debe afrontar todos los costos explícitos de estudiar su carrera, tales como arancel, libros, viajes, estadía (cuando proviene desde fuera de la ciudad) y otros, sino que

además, por haber tomado la decisión de ocupar su tiempo y capacidad en estudiar una profesión, durante todo ese lapso deja de ganar alguna remuneración por el empleo que tendría si, en vez de estudiar, trabajara. Los ingresos que le proporcionaría ese hipotético empleo constituyen el costo de oportunidad del estudiante del ejemplo. Por supuesto, dicho costo es diferente para cada persona que haga su propio cálculo, ya que cada cual tiene diferente oportunidad de encontrar empleo, con distinta remuneración esperada, de acuerdo con su capacidad, nivel de contactos y otras variables. El siguiente ejemplo numérico ahorra mayores explicaciones.

Caso del estudiante universitario. Costo mensual de estudiar una carrera.

ARANCEL $ 52.000

LIBROS, MATERIALES Y OTROS 10.000

ESTADIA 50.000

REMUNERACION ALTERNATIVA 80.000

TOTAL MENSUAL $ 192.000

Los tres primeros ítemes son costos explícitos. El último, en cambio, es implícito, ya que no involucra un egreso de dinero. Obviamente, otros gastos tales como vestuario, atención médica, para nombrar sólo algunos, deben excluirse del cálculo, ya que cualquiera sea la alternativa escogida (estudiar o trabajar), el estudiante deberá incurrir en ellos igualmente. Son costos irrelevantes para la decisión.

Un segundo ejemplo lo aporta el caso de un agricultor, propietario de un

predio, que ocupa su tiempo y capacidad en administrar su propio campo. Al hacer su balance anual, este empresario sumará todos sus costos, tales como semillas, fertilizantes, mano de obra y muchos otros insumos. Sin embargo, a los gastos mencionados se debe agregar a lo menos dos tipos de costo de oportunidad: el monto del arriendo anual de la tierra, en el caso que su propietario decidiera arrendarla en vez de trabajarla él mismo, y el monto anual de la remuneración que percibiría el dueño por estar empleado en otra parte al quedar liberado de trabajar su propio predio. Si este agricultor comprobara que la suma del probable arriendo anual a percibir por su campo más su remuneración alternativa fuese superior a la ganancia neta anual de trabajar su propio predio, entonces desde el punto de vista estrictamente financiero la decisión debiera ser entregar su tierra en arriendo y buscar empleo.

Caso del agricultor. Costo anual de trabajar su pro pio campo.

SEMILLAS $ 200.000

FERTILIZANTES Y PESTICIDAS 300.000

ARRIENDO EQUIPOS 170.000

MANO DE OBRA 450.000

OTROS 200.000

TOTAL ANUAL $ 1.320.000

Ahora, si este agricultor pudiera obtener, por ejemplo, $1.200.000 al año por entregar su campo en arriendo y al mismo tiempo pudiera obtener un empleo con una remuneración anual de $1.260.000, sus costos de oportunidad totalizarían $2.460.000, y en estas circunstancias la decisión de trabajar su propio campo debiera reportarle un ingreso bruto no inferior a 3.780.000 $/año, cifra que permite compensar los costos explícitos de hacer producir su predio más los costos implícitos (de oportunidad, en este caso), presentes en este ejemplo. Visto de otro modo, el beneficio neto debiera superar los $2.460.000 anuales para justificar la decisión de cultivar su propio predio. Muchos agricultores olvidan de considerar estos costos al momento de evaluar la conveniencia de cultivar su tierra.

En este punto puede surgir la interrogante: ¿qué ocurre con el potencial

ingreso que se puede percibir por la venta de la tierra? En este caso, el interés que podría recibir el dueño por la venta del campo es incompatible con el arriendo, ya que las alternativas de arrendar o vender son excluyentes entre sí. Si el precio de venta fuera, por ejemplo, $6.000.000 y este empresario puede obtener un 8 % anual por su dinero, entonces su ingreso anual por este concepto sería $480.000, cifra inferior que el beneficio de arrendar el campo, razón por la cual esta alternativa debe descartarse. Esta parte ilustra la definición de costo de oportunidad, como equivalente al ingreso proporcionado por la mejor alternativa descartada y también ejemplifica respecto de lo que es un costo implícito.

Un tercer ejemplo lo aporta un propietario de un bosque en crecimiento

que se pregunta cuándo es el momento de cortar sus árboles, desde un punto de vista económico-financiero, dejando de lado consideraciones tales como necesidades de abastecimiento de madera, falta de liquidez u otras. A una edad determinada del rodal, la decisión oscila entre cortar de inmediato o esperar un año más. El beneficio de esperar un año está dado por el incremento volumétrico del bosque durante ese año de espera, el que se traduce en su respectivo valor

monetario neto. El costo, por su parte, puede representarse por alguna tasa sobre el monto de la venta inmediata del bosque.

En el ejemplo hay que tomar en cuenta también que mantener el bosque

en pie otro año ocasiona gastos de administración que deberán calcularse y restarse del beneficio de esperar. El ingreso que percibiría el propietario por depositar su dinero en el banco (asumiendo que no tiene otra opción) constituye el costo de oportunidad de la alternativa de esperar un año, mientras que el gasto de administración del bosque durante ese lapso es un costo explícito de la decisión y debe ser, por lo tanto, descontado del incremento monetario que produce otro año de crecimiento. La comparación del costo versus beneficio de la alternativa permite tomar la decisión. En este ejemplo, y en muchos otros, se toma el costo de oportunidad como una tasa de interés, para efectos prácticos, aunque los conceptos no son sinónimos. Muchas veces se utiliza, también, la tasa bancaria o mínima como costo alternativo, por tratarse de una opción muy accesible, sin perjuicio de que en la realidad puede haber otras opciones mejores que esa.

Caso del propietario forestal. Cortar el bosque o e sperar.

Para determinar el beneficio de esperar un año, supóngase que

actualmente el bosque tiene 20 años de edad con una existencia volumétrica de 400 m3/ha y una superficie de 30 hectáreas. Si el m3 en pie se puede vender en $4.000 entonces por el bosque completo se puede obtener $48.000.000. A los 21 años el rendimiento será de 426 m3/ha con lo cual el incremento monetario del valor del vuelo será de $3.120.000 para el bosque completo, durante el próximo año (26 m3/ha x 30 ha x 4.000 $/m3). Para completar el cálculo hay que restar de este monto la estimación del gasto de administración, supuestamente unos $600.000 para todo el bosque, dejando un saldo final de $2.520.000, que es el beneficio neto de esperar un año.

Para calcular el costo de esperar, por su parte, supóngase que el

propietario tiene la alternativa de depositar su dinero en el banco a una tasa de interés real de 6 % anual. Esto significa que si corta el bosque a los 20 años ( o lo vende en pie, para el caso de este ejemplo) y deposita el producto de la venta, obtendría $2.880.000. Dado que esta cifra es superior al beneficio neto de esperar un año es preferible, entonces, cortar o vender en pie en el año 20.

La misma comparación se puede hacer en términos porcentuales: la

decisión de esperar un año significa un beneficio de 5,25 % ($2.520.000 sobre $48.000.000), en cambio cortar de inmediato rinde 6 %. El costo de oportunidad de esperar es más alto, por lo tanto es correcto cosechar el bosque. El ejemplo anotado debe tomarse con los respectivos resguardos, como suponer que la tasa bancaria en este caso es constante y que la tasa de crecimiento del valor del vuelo no tendrá incrementos importantes de nuevo en el futuro e incluso que el valor de la madera en pie es constante en términos reales, supuestos que no invalidan la naturaleza de

la decisión.

1.3. La tasa de interés. Dado que cualquier inversionista y, más aún, casi cualquier persona

puede obtener una remuneración por su dinero, bastando para ello depositar una suma en alguna de las muchas posibilidades que ofrecen las instituciones de intermediación financiera, la tasa de interés de mercado del sistema constituye el primer costo de oportunidad en cualquier toma de decisión económico-financiera. Esta alternativa, sin embargo, normalmente es la menos rentable de todas las posibilidades que un inversionista puede imaginar para utilizar su dinero con fines productivos, pero tiene la ventaja, a su vez, de ser la alternativa menos riesgosa, suponiendo que es muy baja la probabilidad de que una institución financiera quiebre y, por lo tanto, no responda por el dinero de sus ahorrantes. Por esta razón recibe el nombre de "tasa sin riesgo". Otras denominaciones son "tasa externa", para diferenciarla de la tasa interna de retorno (TIR), que es un indicador de rentabilidad de una inversión (como se verá más adelante) o simplemente "tasa bancaria promedio" aludiendo a la forma de estimarla.

Hay muchas explicaciones para justificar la existencia misma de la tasa

de interés en el sistema económico y no es éste el texto pertinente para reproducir la teoría del interés, muy bien tratada en numerosos libros. Baste pensar que el dinero es un bien demandable en el mercado, por lo que hay personas dispuestas a pagar por usarlo (los inversionistas), y que otras personas (los ahorrantes), están dispuestas a sacrificar consumo presente a cambio de una compensación futura. El monto que alcanza la tasa en el mercado, por su parte, depende principalmente de la escasez o abundancia relativas de dinero en el sistema.

Profundizando más en esta materia se analizan a continuación los

conceptos de tasa de captación y colocación, interés nominal y real e interés simple y compuesto, conceptos pertinentes para introducirse al análisis económico-financiero.

1.3.1. Interés de captación y de colocación.

Se denomina tasa de captación, en el lenguaje del sistema financiero, a la tasa que se paga a los ahorrantes por sus depósitos. La tasa de colocación, a su vez, es el interés que se cobra a los inversionistas o a cualquier empresa o persona que solicite un préstamo. La diferencia entre ambas tasas, denominada "spread" bancario, representa la ganancia bruta del sistema financiero por este tipo de operaciones. El costo de oportunidad mínimo para el poseedor de un capital corresponde a la tasa de captación, ya que ésta representa el ingreso que se deja de percibir por ocupar el capital en otra alternativa, y como ya se dijo, es implícito.

La tasa de colocación, por su parte, constituye un costo explícito de la decisión de invertir, habitualmente llamado "gasto financiero" (el monto de los intereses que pagan las empresas por los préstamos que solicitan aparece en los libros de contabilidad). También es necesario diferenciar la tasa de largo plazo, que no sufre variaciones en períodos breves, de la de corto plazo, que sufre fluctuaciones más frecuentes, aunque a la larga son dependientes entre sí. La primera, asociada a las libretas de ahorro de los bancos, cuenta Nº 2 de las AFP (Administradoras de Fondos de Pensiones) y otros medios de ahorro, es la adecuada para medir el costo de oportunidad de decisiones de inversión de los proyectos silvícolas, que son de largo plazo. Esta tasa fluctúa entre un 5 y un 8 % real anual en nuestro país, aproximadamente.

1.3.2. Interés nominal y real.

En un sistema económico con presencia de inflación, toda suma de dinero pierde una parte de su poder adquisitivo entre dos momentos del tiempo, como efecto del alza de los precios. Por tal razón, si se aplica una tasa de interés a una suma de dinero durante un período determinado, es de mucha importancia identificar qué parte de la tasa aplicada constituye una ganancia verdadera y qué parte representa sólo un ajuste para restituirle a la suma inicial su poder adquisitivo. Cuando una tasa lleva implícito el ajuste por inflación o éste no se especifica, se denomina tasa nominal y en el caso en que quede establecido que la tasa está libre del efecto de la inflación, o bien se señala el mecanismo de reajustabilidad separado del interés, entonces se habla de interés real. La especificación de este detalle tan significativo se hace corrientemente de dos formas: la primera consiste en pactar la tasa de interés más el reajuste según I.P.C. (Índice de Precios al Consumidor, indicador aceptado para medir la inflación mensual) y la segunda utiliza el mecanismo de expresar todas las cifras monetarias en U.F. (Unidad de Fomento), aplicando sobre esta equivalencia monetaria la tasa de interés, la que en este caso es real, ya que la inflación es recogida por el reajuste de la U.F. Esta, es una equivalencia monetaria que se reajusta diariamente, calculada a principios de cada mes para el mes siguiente, repartiendo el IPC del mes anterior en porciones equivalentes a un día, expresando el crecimiento diario de la inflación con un desfase de 40 días.

A lo largo de todo este texto, todos los ejemplos numéricos se plantean

bajo el supuesto de que todos los montos monetarios tienen el mismo poder adquisitivo, aunque estén ubicados en distintos momentos del tiempo. En otras palabras, se trabaja con cifras del mismo valor, o sea, reales.

Ejemplo numérico de interés real y nominal.

Supóngase que un ahorrante tomará un depósito a plazo a 30 días por $1.000.000 y que el banco le ofrece una tasa mensual de interés de 2,5 %. Dado que el documento respectivo no especifica reajuste por inflación, debe entenderse que esta tasa es nominal, por lo que el depositante ganará nominalmente $25.000 en un mes (2,5 % de un millón de pesos). Pero si se sabe que en el mismo período la inflación alcanzará a 1,8 % la ganancia en términos reales será bastante menor. Una manera rápida, aunque inexacta de calcular la ganancia real es aplicar la diferencia de las tasas nominal e inflación sobre el monto depositado, lo que da una tasa (provisoria aún) de 0,7 %, que aplicada sobre la suma depositada arroja la cifra de $7.000 como ganancia real. Sin embargo, el cálculo exacto debe hacerse reajustando primero el depósito inicial, que en este caso es $1.018.000 al final de los 30 días y luego obtener la diferencia entre esta cifra y $1.025.000, que es el monto resultante de aplicar la tasa nominal sobre el valor inicial. Dicha diferencia, que es $7.000, calculada como una tasa sobre el valor reajustado de $1.018.000 alcanza a 0,688 %, cifra muy cercana a 0,7, pero no exactamente igual. La explicación es que un mes más tarde la base sobre la cual se debe aplicar el interés no es la misma suma inicial depositada, sino ésta reajustada, para conservar el poder adquisitivo del dinero. Debe notarse que al agregar a la suma inicial un porcentaje de 1,8 y luego sobre el valor reajustado el porcentaje 0,688 el valor final resultante equivale a aplicar directamente 2,5 % sobre el valor inicial, lo que muestra que las tasas real e inflación se componen como un producto y no como una suma.

El ejemplo numérico permite darse cuenta de que cuando se trata de

tasas pequeñas se puede calcular la tasa real en forma rápida, simplemente restando la tasa de inflación de la tasa de interés nominal, pero si se está operando en un sistema con alta inflación y, por lo tanto, con altas tasas nominales, es imprescindible ejecutar el cálculo en la forma exacta. El lector puede repetir el ejercicio para el plazo de un año asumiendo, por ejemplo, una tasa anual de inflación de 30 % y una tasa nominal de interés de 40 %.

Si se denomina ip a la tasa de inflación, ir a la tasa de interés real e in

a la tasa nominal, todas en valor decimal, la relación entre ellas es la siguiente: ( ) ( ) npr i1i1 i1 +=++

de donde

1i1i1

ip

nr −

++=

( ) ( ) 1i1 i1i prn −++=

1i1i1

ir

np −

++=

La deducción de esta relación corresponde a lo que se ha denominado

"composición de tasas" y es fácil entenderlo en el capítulo dedicado a las equivalencias financieras, tratado más adelante. Sin embargo, un poco de aritmética muestra la deducción de la fórmula, tal como sigue:

Sea Vo una suma inicial y V1 la suma final después de aplicar a la

primera una tasa de interés en valor decimal durante un período.

V1 = V0 + V0 x i

V1 = V0 (1 + i)

Entonces el valor final luego de aplicar una tasa nominal es:

V1 = V0 (1 + in) Pero como ya sabemos por el ejemplo numérico que el proceso de

cálculo consiste en aplicar la tasa de interés real sobre la suma reajustada, entonces V1 queda conformada por:

V1 = V0 (1 + ip)(1 + ir)

Reemplazando V1 por Vo (1 + in):

1 + in = (1 + ip)(1 + ir)

Una última acotación en este punto, que volverá a ser mencionado más adelante, dice relación con la transformación de tasa cuando se cambia la longitud del período. La situación más frecuente ocurre cuando se desea transformar una tasa mensual en otra anual y viceversa, caso en que debe evitarse el error de calcular la tasa mensual como un doceavo de la tasa anual, o bien determinar ésta multiplicando el interés mensual por 12. Hacer esto equivale a componer la tasa anual como la suma de las tasas mensuales y no como el producto, que es la forma correcta ya explicada.

1.3.3. Interés simple y compuesto.

La materia que se trata en este capítulo es pertinente en las situaciones en que se aplica una tasa de capitalización por un tiempo superior a un período, que es precisamente la situación generalizada del análisis económico-financiero aplicado al manejo forestal. En efecto, el largo período de maduración que caracteriza a una inversión forestal de índole silvícola hace que este tópico de la tasa de capitalización cobre mucha importancia, de modo que se hace necesario una cabal comprensión de la naturaleza de la misma.

Se entiende como interés simple aquella tasacalculada sobre una base

inicial que permanece constante a lo largo de todos los períodos de aplicación de la tasa. El interés compuesto, en cambio, es una tasa que se aplica sobre una base creciente que acumula los intereses de todos los períodos anteriores.

Si llamamos is a la tasa de interés simple e ic a la tasa compuesta,

ambas en valor decimal de monto 0,1 y se hace el cálculo sobre una base inicial de 100 durante 5 períodos, el resultado sobre un eje que representa el tiempo es el siguiente:

V0 V1 V2 V3 V4 V5 is: 100 110 120 130 140 150 ic: 100 110 121 133,1 146,4 161,1

Donde V0 es la base inicial y V1, V2, hasta V5, son los valores resultantes en los períodos 1, 2, hasta 5, luego de aplicar a la base inicial tasas simple y compuesta.

Se puede apreciar una significativa diferencia entre las dos modalidades

en los totales acumulados hasta el período quinto. Obviamente, esta diferencia es mayor mientras más alta sea la tasa aplicada y mientras mayor sea el número de períodos considerado. La explicación de esta situación se fundamenta en que el interés simple se acumula en una relación lineal y en cambio el interés compuesto lo hace en forma exponencial, funciones que serán demostradas más adelante y cuyas expresiones generales son:

Interés simple:

Vn = V0 + V0 (is x n) Vn = V0(1 + is x n)

Interés compuesto:

Vn = V0(1 + ic)n

Es muy ilustrativo observar la diferencia que ocurre entre los dos tipos de tasa al desarrollar en un gráfico las respectivas curvas de las funciones de interés simple e interés compuesto, como se observa en el Gráfico Nº 1.

GRAFICO Nº 1

MONTO ACUMULADO DE UNA SUMA SOMETIDA A INTERES SIMPLE Y COMPUESTO (base = 100; tasa = 0,1)

La aplicación de una tasa de interés simple en situaciones reales no tiene lógica ni sentido alguno en un contexto finan ciero . La situación más cercana correspondería a un ahorrante que deposita una suma de dinero y retira cada período el interés ganado durante el mismo, de tal modo que la base permanece constante e igual a la suma inicial. Sin embargo, este caso no puede describirse por la relación

Vn = V0(1 + is x n)

ya que la suma inicial permanecerá constante, sin sumar intereses. Por otra parte, resulta imposible encontrar en la naturaleza ejemplos de interés simple, sino por el contrario, cualquier proceso de crecimiento de la vida real lo hace bajo la forma de una tasa compuesta. Ejemplos conocidos son, además de los cotidianos casos de ahorrantes e inversionistas, el incremento de cualquier población de organismos vivos, tal como la población humana o cualquier otra. En el caso de poblaciones forestales, sería imposible concebir que el crecimiento volumétrico de un rodal o de un bosque ocurra como una tasa simple de interés, ya que cada metro cúbico de incremento anual queda incorporado en el volumen acumulado hasta ese momento y contribuye a incrementar la base inicial.

No deja de ser frecuente el alegato de algún sufrido deudor moroso del

sistema financiero por la aplicación de "intereses acumulativos" o "intereses sobre intereses" sobre su deuda impaga, como se le denomina en lenguaje corriente al interés compuesto, sintiéndose perjudicado por lo que él califica de injusto. Sin embargo, el deudor debiera pensar que cada período que ha quedado impago equivale a que le hubieran prestado de nuevo ese dinero que ha dejado de pagar, o bien el acreedor podría haberlo prestado a otro, ganando los respectivos intereses. Para comprender cabalmente el asunto, el deudor de este ejemplo debiera ponerse en el papel del acreedor y observar cuál sería entonces su comportamiento.

Todavía es posible encontrar casas comerciales que utilizan un método

muy particular para calcular el monto de las cuotas de los créditos otorgados a sus clientes y que supuestamente emplea una tasa de interés simple, pero como se verá a continuación corresponde a algo bien diferente. El monto de la cuota del préstamo aparece calculada así:

( )

N iD ND

C××+=

Donde:

C = monto de la cuota, pesos.

D = monto de la deuda o crédito inicial, pesos. N = número de períodos para cancelar el crédito. i = tasa de interés "simple" en valor decimal.

Entonces, por la compra de un artículo cuyo precio es de $10.000 pagadero en 6 cuotas mensuales con una tasa de interés "simple" de 0,05 por mes (5 % mensual), el monto de la cuota es:

( )6

0,05 10.000 6 10.000 C

××+=

= $ 2.167 mensuales.

Como se verá más adelante, 6 cuotas de $2.167 mensuales por un

crédito de $10.000 equivalen a una tasa de interés compuesto de nada menos que 8 % mensual. Esta es también la forma más usual de cobrar los préstamos utilizada por los prestamistas ilegales, claro que con tasas todavía mayores. El ejemplo ahorra más comentarios.

CAPÍTULO II. EQUIVALENCIAS FINANCIERAS.

Este capítulo trata sobre la deducción y aplicación directa de las principales fórmulas matemáticas utilizadas para capitalizar y descontar sumas de dinero sometidas a interés compuesto.

Capitalizar es el proceso de acumular una tasa sobre una suma inicial

única o sumas periódicas, o llevar al futuro, como también se le llama. Actualizar, por su parte, (también llamado descontar o traer al presente) es el proceso inverso, consistente en quitar una tasa a una suma única o periódica. Es importante que el lector se familiarice tanto con el cálculo como con la naturaleza de las equivalencias financieras aquí tratadas, ya que muchas aplicaciones presentadas después requieren de una comprensión profunda de la forma cómo opera cada una de ellas.

La simbología empleada es la siguiente:

i = tasa compuesta en valor decimal. Debe entenderse que i es una tasa de interés real, a menos que se especifique que se trata de interés nominal, en cuyo caso se utiliza in.

n = número de períodos, habitualmente años o meses, o cualquiera otra unidad de tiempo debidamente especificada.

a = suma periódica constante (anual, mensual u otro), en pesos.

Vj= suma de dinero en pesos ubicada en un período j cualquiera. El subíndice j puede adoptar valores entre 0 y n.

V0 = suma de dinero en pesos ubicada en el período 0. Se le denomina valor actual o valor presente.

Vn = suma de dinero en pesos ubicada en el período n, habitualmente al final del tiempo de capitalización. Se le llama también valor futuro.

t = intervalo de tiempo compuesto de un cierto número constante de períodos.

A = suma de dinero en pesos que ocurre en intervalos t de tiempo.

N = número de intervalos. Queda definida también la relación

n = N x t .

Una parte de esta simbología se entiende mejor graficada en un eje que representa al tiempo y en el que se observan algunos de los principales símbolos.

V0 Vn Donde, para este caso: n = 12 t = 3 N = 4 Debe notarse en el gráfico que tanto las sumas periódicas a como las

intervalares A están ubicadas al final de cada período y de cada intervalo, respectivamente. Es importante tener en cuenta esta convención, la que será respetada en todas las equivalencias financieras desarrolladas más adelante, excepto en una de ellas que quedará expresamente especificada.

2.1. Capitalización y actualización de sumas únicas .

El problema consiste en calcular cuánto dinero se reúne a partir de una suma inicial Vo después de aplicarle una tasa de interés durante n períodos. Para un período cualquiera, la suma resultante se compone de dos partes: la suma inicial o base, que corresponde al total acumulado hasta el período anterior, más el interés del período, que es el producto de la tasa(en valor decimal) por la base.

Al final del primer período:

V1 = V0 + V0 x i

A A A A

a a a a a a a a a a a a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Períodos

V1 = V0(1 + i) Al final del segundo período:

V2 = V0(1 + i) + V0(1 + i) x i

V2 = V0(1 + i)2 Al final del tercer período:

V3 = V0(1 + i)2 + V0(1 + i) x i

V3 = V0(1 + i)3 Finalmente, al cabo de n períodos:

Vn = V0(1 + i)n [1] Donde Vn es la suma final después de capitalizar V0 durante n períodos

dada una tasa de interés i.

La expresión (1 + i)n se conoce como "factor de capitalización" para sumas únicas y tiene la particularidad de que, dada una tasa y un número de períodos, el producto de este factor y la suma inicial da como resultado el valor final. Este factor aparece tabulado para diferentes tasas y números de períodos en los textos de materias financieras, para facilitar los cálculos, tablas que eran muy útiles antes de la aparición de las calculadoras de bolsillo con funciones exponenciales.

Ejemplo. ¿Cuánto reúne un ahorrante que deposita $10.000 en el banco

si retira su dinero 5 años más tarde y se sabe que la tasa de interés anual es 6 % ? V0 = $10.000 i = 0,06 n = 5

Vn = 10.000 (1,06)5

= $13.382,26

Despejando V0 en la equivalencia [1] se deduce la expresión que permite conocer el valor actual V0 a partir de una suma futura Vn, descontada durante n

períodos, dada una tasa de interés compuesta i.

( ) n

n0

i1

VV+

= [2]

El factor 1 / (1 + i)n se denomina "factor de descuento". También es frecuente encontrarlo tabulado en los textos y permite conocer el valor actual de una suma futura multiplicando ésta por dicho factor.

Se considera innecesario presentar aquí un ejemplo de aplicación de esta

fórmula, ya que es exactamente el caso inverso del anterior. La equivalencia siguiente, deducible de cualquiera de las dos anteriores,

permite conocer el monto de la tasa de interés en valor decimal que transforma una suma inicial V0 en una suma final Vn, o a la inversa, dado un cierto número de períodos.

De [1] sabemos que Vn = V0 (1 + i)n , entonces

( )0

nn

VV

i1 =+

Obteniendo la enésima raíz de la expresión anterior y despejando i se

obtiene la tercera equivalencia financiera.

( ) n0

n

VV

i1 =+

1VV

i n0

n −= [3]

Debe notarse que la expresión [3] relaciona un monto inicial con un monto

final, por lo que la tasa i resultante actúa como una tasa compuesta constante durante todo el lapso comprendido entre los límites, independientemente de los incrementos marginales entre los períodos. El siguiente ejemplo muestra más claramente lo anterior.

Supóngase que un monto de $100 crece a tasas de 10 % durante el

primer período, 10 % también en el segundo, y 35 % durante el tercero. La suma final calculada paso a paso es

V1 = 100(1,1) = 110

V2 = 110(1,1) = 121 V3 = 121(1,35) = 163,35

Ahora, si se utiliza la expresión [3] para calcular la respectiva tasa compuesta obtenemos

1100

35,163i 3 −=

i = 0,1777

Luego, la tasa 0,1777 aplicada durante 3 períodos a partir de la suma

inicial $100 arroja como resultado $163,35. Sin embargo, se sabe que los incrementos marginales, es decir período a período, fueron 0,1; 0,1 y 0,35 respectivamente.

Tampoco la tasa compuesta es el promedio de las tasas marginales, ya

que como se puede apreciar en el ejemplo la media de éstas es 18,33 %:

1833,03

35,01,01,0 =++

Las afirmaciones anteriores quedan mejor demostradas en la Tabla Nº 1,

que es una tabla de rendimiento volumétrico de un rodal de pino radiata sin manejo de la VII Región, tomada de las tablas publicadas por el Instituto Forestal (INFOR, 1985).

TABLA Nº 1

RENDIMIENTO Y TASAS DE CRECIMIENTO SEGUN EDAD

PARA PINO RADIATA

EDAD VOLUMEN INCR. CORR. INCR. CORR. años m3/ha % m3/h

10 137

11 178 29,93 41

12 215 20,79 37

13 254 18,14 39

14 294 15,75 40

15 331 12,59 37

16 368 11,18 37

17 405 10,05 37

18 439 8,40 34

19 473 7,74 34

20 507 7,19 34

El promedio de las tasas de incremento corriente es 14,18 pero la tasa acumulativa anual es

1137507

i 10 −=

i = 0,1398 ó 13,98 %.

Nótese que ni la media de las tasas ni la tasa acumulativa anual reflejan, en este caso, que el incremento corriente anual del rodal es decreciente en términos relativos (o porcentaje), y que entre los 11 y 20 años del rodal el incremento corriente absoluto es casi constante y levemente decreciente hacia el final de la década considerada en el ejemplo. En definitiva, la tasa compuesta equivale a un promedio geométrico.

2.2. Capitalización y actualización de sumas periód icas.

Una suma periódica es aquella que ocurre en forma constante durante todos los períodos de un lapso determinado. El problema consiste en averiguar los valores futuro y actual de una serie de n pagos denominados a, dada una tasa de interés i. Es necesario recordar que todos los pagos ocurren al final de cada período, salvo que se especifique otra cosa y en cuyo caso la equivalencia financiera a utilizar cambia. El siguiente caso, cuyo gráfico se presenta a continuación, consiste en la capitalización de 5 pagos que ocurren al final de cada período, y servirá para deducir la expresión general (DAVIS, 1966).

Cada término capitalizado hasta el quinto período y luego la suma total son los siguientes:

a(1 + i)4 + a(1 + i)3 + a(1 + i)2 + a(1 + i) +a ___________ V5 = a(1 + i)4 + a(1 + i)3 + a(1 + i)2 + a(1 + i) + a

El producto de esta ecuación y (1 + i) es:

V5(1 + i) = a(1 + i)5 + a(1 + i)4+ a(1 + i)3 + a(1 + i)2 + a(1 + i)

Restando la primera de la segunda ecuación:

V5(1 + i) - V5 = a(1 + i)5 - a

a a a a a

0 1 2 3 4 5

tiempo

V0 V5

Factorizando y despejando V5:

( )[ ]i

1i1aV

5

5−+=

De la expresión particular anterior se puede deducir la expresión general:

( )[ ]i

1i1aV

n

n−+= [4]

El factor ( )

i1i1 n −+

es el factor de capitalización de una serie periódica conformada por n pagos constantes de monto a, dada una tasa de interés i.

Si bien inicialmente esta equivalencia fue ideada para períodos anuales

(de ahí el origen del símbolo a para designar a la cuota periódica o "anualidad", como aparece habitualmente en la literatura), la fórmula es igualmente válida para cualquier otro período (meses, trimestres, etc.) teniendo la precaución de que cada pago ocurra al final de cada período y que la tasa utilizada en la fórmula esté definida para la misma unidad de tiempo, es decir, si a representa a un mes, la tasa debe ser mensual, si representa a un año, la tasa debe ser anual, etc.

Ejemplo. Un ahorrante desea reunir una suma de dinero depositando en

el banco $10.000 cada mes con una tasa de interés mensual de 1,5 % ¿Cuánto reúne al cabo de un año ?

a = 10.000 i = 0,015

n = 12 meses ( )[ ]015,0

1015,1000.10V

12

n−=

Vn = $130.412,13

En este caso, de los $130.412 acumulados, 120 mil corresponden al

dinero depositado por el ahorrante, y los $10.412 restantes son los intereses acumulados durante el lapso de 12 meses. Insistiendo en la oportunidad de los pagos, en este caso el primer pago ocurrió un mes después de tomada la decisión de ahorrar, que es el momento cero, mientras que el último pago se hizo al final del duodécimo mes, instante en que se retiró todo el dinero acumulado.

Así, el primer depósito ganó los intereses de 11 períodos y en cambio el último no alcanzó a acumular interés alguno antes de proceder a su retiro.

Pagos al comienzo de cada período.

Como un caso de excepción respecto de lo habitual, podría darse alguna situación en que se use la modalidad de considerar pagos al comienzo de cada período, para lo cual se deduce la equivalencia financiera respectiva y se grafica la situación como sigue:

El total acumulado al final del quinto período es:

V5 = a(1 + i)5 + a(1 + i)4 + a(1 + i)3 + a(1 + i)2 + a(1 + i) Nuevamente, multiplicando por (1 + i) para obtener una segunda ecuación

y restando la primera de la segunda:

V5(1 + i) - V5 = a(1 + i)6 - a(1 + i)

( )[ ]( )i

i11i1aV

5

5+−+=

Generalizando la expresión:

( )[ ]( )i

i11i1aV

n

n+−+= [5]

La expresión [5] es el valor futuro de una serie de n pagos iguales de

monto a que ocurren al comienzo de cada período, dada una tasa de interés i. A diferencia del caso anterior, ahora el primer pago ocurre al mismo momento de tomar la decisión de ahorrar, que es el momento 0, mientras que el último se hace un período antes de retirar todo, que es el momento n. Nótese la similitud de la expresión [4] con la [5], donde la única diferencia es el factor (1 + i), que

a a a a a

0 1 2 3 4 5

tiempo

V0 Vn

incorporado en el numerador de la fórmula produce el efecto de hacer ganar un período de interés a todos los pagos de la serie, cosa bastante lógica, ya que toda la serie se encuentra desplazada un período hacia atrás, es el segundo caso.

Ejemplo. Supóngase que el ahorrante del caso anterior hace el primer

depósito junto con tomar la decisión de ahorrar y retira todo al final del año ¿Cuánto dinero reúne en ese momento?

( )[ ]( )015,0

015,11015,1000.10V

12

n−=

= $132.368,31

Obsérvese que la cifra 132.368,31 corresponde al resultado del ejemplo

anterior, más la ganancia del interés de un período, es decir 130.412,13 x 1,015, lo que ilustra lo afirmado en el párrafo anterior. En términos estrictos, entonces, la última expresión no es sino un caso particular de la anterior.

A continuación se deduce la equivalencia financiera del monto de una

serie de n pagos a necesaria para alcanzar un valor final Vn dada una tasa de interés i. De [4] se obtiene:

( ) 1i1

iVa

n

n

−+×= [6]

El factor ( ) 1i1

in −+

permite obtener la cuota equivalente a una suma futura Vn multiplicándolo por ésta. La fórmula es especialmente útil para quienes deseen averiguar cuánto deben ahorrar sistemáticamente durante un tiempo determinado para reunir una cierta suma de dinero, dada una tasa de interés. Antiguamente esta expresión era conocida como "fórmula de la dote", aludiendo a la costumbre medieval del padre de la novia de entregar una cierta suma de dinero al momento de casar a una hija, para lo cual empezaba a ahorrar con mucha anticipación para este fin.

El valor actual de una serie de pagos, por su parte, se deriva de las

expresiones [4] y [2].

Se sabe que ( )[ ]

i1i1a

Vn

n−+=

Multiplicando por el factor de actualización ( )ni1

1

+

( )( )[ ]

( )nn

nn

i1i

1i1a

i1

V

+−+=

+

( )[ ]( )n

n

0i1i

1i1aV

+−+= [7]

La expresión [7] es el valor actual de una serie de n pagos terminales

iguales a dada una tasa de interés i. Ejemplo. Un cliente de una institución financiera desea pedir un

préstamo a 10 meses plazo cancelando una cuota máxima de $100.000 mensuales. Si la tasa mensual de interés es de 3,5 % ¿ cuánto puede pedir prestado?

a = $100.000 i = 0,035 n = 10

( )[ ]( )10

10

0035,1035,0

1035,1000.100V

−=

= $831.660,6.

Mediante un sencillo reacomodo de los términos de la fórmula [7] se

deduce la equivalencia siguiente:

( )( ) 1i1

i1iVa

n

n0

−++×= [8]

La expresión [8] es el monto de la cuota periódica que hace

financieramente equivalentes un valor actual Vo y una serie de n pagos de monto a dada una tasa de interés i.

Esta equivalencia financiera tiene gran importancia por lo relevantes que

son algunas de sus aplicaciones. En primer lugar, la fórmula permite conocer la cuota periódica para la cancelación de un crédito cuyo monto, tasa de interés y número de pagos son conocidos.

El factor

( )( ) 1i1

i1in

n

−++

se identifica como "factor de recuperación del capital" y tiene la propiedad de recuperar en n cuotas tanto la suma original de dinero como los intereses devengados por el saldo de cada período, al multiplicar dicha suma por el citado factor. Este se encuentra tabulado para diferentes plazos y tasas de interés en la literatura del tema y es frecuentemente utilizado por los ejecutivos de cuenta y empleados de las instituciones financieras para calcular las cuotas del pago de un crédito.

Ejemplo . ¿Cuánto debe pagar anualmente una empresa que solicita un

crédito por $10.000.000 pagadero en 5 años si la tasa de interés anual es 10 %?

Vo = $10.000.000 i = 0,1 n = 5

( )( ) 11,1

1,11,0000.000.10a

5

5

−×=

= $2.637.974,8

El ejemplo recién mostrado tiene el siguiente aspecto gráfico (cifras en

miles de pesos): Sobre el eje aparece el monto del préstamo solicitado por la empresa en

el momento 0 y debajo las 5 cuotas a pagar, las que son financieramente equivalentes a la suma inicial. Desde el punto de vista financiero y dada una tasa de interés de 10 % anual, es lo mismo tener $10.000.000 ahora que $2.637.974,8cada año durante los próximos 5 años.

0 1 2 3 4 5

V0 V5

10.000

2.638 2.638 2.638 2.638 2.638

La naturaleza de esta equivalencia financiera, particularmente su

aplicación en el cálculo de las cuotas para pagar créditos, merece detenerse un poco más en el análisis de este aspecto. La cuota mencionada opera bajo la modalidad definida como "intereses aplicados sobre el saldo insoluto". Esto significa que el interés del préstamo se aplica cada período sobre el resto de deuda que permanece impago. Cada cuota puede descomponerse en dos partes: una parte corresponde a los intereses devengados en el período y el resto rebaja la deuda, lo que se denomina amortización. El concepto de amortizar es rebajar la deuda o "abonar al principal" como también se le llama en lenguaje contable. Lo recién expuesto se aprecia más claramente al desarrollar una tabla de amortización de la deuda del mismo ejemplo, como la siguiente Tabla Nº 2.

TABLA Nº 2

TABLA DE AMORTIZACION PARA CUOTAS FIJAS (cifras en miles de pesos)

AÑO SALDO ADEUDADO CUOTA INTERES AMORTIZACION

1 10.000,0 2.638 1.000,0 1.638,0

2 8.362,0 2.638 836,2 1.801,8

3 6.560,2 2.638 656,0 1.982,0

4 4.578,2 2.638 457,8 2.180,2

5 2.398,0 2.638 239,8 2.398,2

La columna de los intereses corresponde al 10 % de la columna del saldo

adeudado y la columna de amortización, a su vez, es la diferencia entre la cuota y el interés. Como se observa, la última amortización cancela completamente el saldo adeudado del último período, finalizando así el compromiso contraído por el deudor.(Nótese que la suma de las amortizaciones coincide con la deuda original).

Una forma alternativa de pagar un préstamo es dividir la deuda original en

cuotas iguales, pagando en cada período la cuota más el interés del saldo adeudado, componiendo así un pago variable decreciente. La Tabla Nº 3 que se presenta en seguida ilustra esta modalidad.

TABLA Nº 3

TABLA DE AMORTIZACION PARA CUOTAS DECRECIENTES (cifras en miles de pesos)

AÑO SALDO ADEUDADO CUOTA INTERES AMORTIZACION

1 10.000 3.000 1.000 2000

2 8.000 2.800 800 2000

3 6.000 2.600 600 2000

4 4.000 2.400 400 2000

5 2.000 2.200 200 2000

En este caso la amortización es constante y la cuota total es decreciente, tal como se explicó más arriba. Esta forma de pagar el préstamo es equivalente con la anterior, como se demuestra en el siguiente cálculo del valor actual de las cuotas:

54320

1,1

200.2

1,1

400.2

1,1

600.2

1,1

800.2

1,1

000.3V ++++=

= 10.000.

El deudor debería estar indiferente, desde el punto de vista financiero,

entre las dos formas de pago, aunque esta última tiene la desventaja de que los pagos son desiguales y más altos al principio. Estas dos no son las únicas formas de imaginar el pago de un préstamo, pero sí son las más usadas.

Una segunda aplicación relevante de la ecuación [8] se menciona sólo

brevemente en este capítulo, ya que será tratada extensamente más adelante. Ella se refiere al concepto de "valor anual equivalente", VAE, frecuentemente utilizado en la bibliografía pertinente y en artículos en materias de análisis financiero, y que en este texto se denominará "valor periódico equivalente", VPE, para darle un contenido general. El VPE permite repartir en su equivalente periódico una suma inicial o actual, dada una tasa de interés y un número de períodos. Entre otras aplicaciones, es útil para determinar el costo anual de un activo, para comparar proyectos de diferentes vidas útiles donde otros indicadores resultan insuficientes, y comparar la rentabilidad de inversiones forestales de distintos largos de rotación. Más adelante se encuentran desarrollados estos casos en forma de ejemplos prácticos.

El cálculo del valor periódico equivalente se hace como sigue:

( )( ) 1i1

i1i ACTUALVALORVPE

n

n

−++×=

El factor de recuperación del capital, multiplicado por el valor actual, transforma a éste en su equivalente periódico. Si se dispone del valor futuro, como ya se vio antes, el valor periódico equivalente se puede calcular de igual forma de la manera siguiente:

( ) 1i1

iFUTURO VALORVPE

n −+×=

Expresión que corresponde a la equivalencia financiera [6], ya

desarrollada antes.

2.3. Sumas pagadas a intervalos.

Se entenderá como intervalo a un espacio de tiempo compuesto de un

número constante de t períodos. El problema consiste ahora en capitalizar y actualizar sumas de dinero

que ocurren cada t períodos, cuotas que reciben el símbolo A. La tasa de interés se define para un período (y no para el intervalo, ya que de ese modo se estaría en el mismo caso anterior).

Gráficamente, la situación queda descrita bajo el siguiente esquema:

V0 Vn

A A A A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Períodos

Los pagos A ocurren en este caso cada 3 períodos, siendo el intervalo t de 3 períodos.

Si la tasa válida para cada período es i, entonces al final del duodécimo

período se tiene:

V12 = A (1 + i)9 + A (1 + i)6 + A (1 + i)3 + A

Multiplicando por (1 + i)3 se obtiene una segunda ecuación:

V12(1 + i)3 = A(1 + i)12 + A(1 + i)9 + A(1 + i)6 + A(1 + i)3 + A Restando la primera de la segunda:

( )[ ]( ) 1i1

1i1AV

3

12

12−+

−+=

Generalizando la expresión anterior para obtener la respectiva

equivalencia financiera, se tiene:

( )[ ]( ) 1i1

1i1AV

t

n

n−+−+= [9]

La expresión [9] es el valor futuro de n pagos de monto A que ocurren

cada t períodos, dada una tasa de interés periódica i. Debe recordarse que n también puede escribirse Nxt , donde N es el número de pagos o intervalos.

Ejemplo. ¿ Cuánto dinero se reúne al cabo de un año efectuando

depósitos trimestrales de $1.000 sabiendo que la tasa de interés mensual es de 1,5% ?

A = $1.000 n = 12 t = 3 N = 4 i = 0,015

( )[ ]( ) 1015,1

1015,1000.1V

3

12

n−

−=

= $ 4.282,51

Para determinar la fórmula del valor actual de una serie de pagos que

ocurren en intervalos constantes se procede igual que en el caso de la expresión [7], obteniendo la siguiente ecuación:

( )[ ]( )[ ]( )nt

n

0i11i1

1i1AV

+−+−+= [10]

Despejando A obtenemos el monto de la cuota de una serie finita de

pagos que ocurren cada t períodos dada una tasa de interés i.

( )[ ]( )( ) 1i1

i11i1VA

n

nt0

−++−+= [11]

Estas 3 últimas equivalencias financieras son utilizadas con menos

frecuencia que sus similares para pagos periódicos. Sin embargo tienen cierta utilidad práctica en casos de pagos de dividendos de acciones, por ejemplo, y particularmente en economía forestal en el caso de valorización de rodales heteroetáneos sometidos a un esquema de manejo con ciclos de corta que ocurren cada cierto número de años. Pero por la naturaleza de la expresión [10], el caso del bosque heteroetáneo no queda bien representado, ya que esta equivalencia financiera representa la situación de un capital que se agota en el tiempo determinado por n, en otras palabras el bosque se agotaría en este plazo, lo que no es técnicamente recomendable ni legalmente aceptable, por lo que resultan más adecuados para este caso los modelos de series infinitas que serán tratados en las próximas páginas.

2.4. Actualización de series infinitas de pagos per iódicos e intervalares.

Muchas situaciones reales presentan la particularidad de que la serie de

pagos iguales no tiene una fecha de término sino que es infinita. Los intereses de un capital depositado en el banco, por ejemplo, que es retirado año a año por su propietario tiene esa característica. La renta que produce a su propietario el arriendo de un bien raíz de vida útil suficientemente larga como para considerarla infinita, al menos en términos prácticos, es otro ejemplo habitual. En la producción forestal es asimilable el caso de un bosque completamente ordenado al que se le extrae cada año su incremento anual, igualmente válido para el caso en que la extracción sea en ciclos de corta y también para el caso del bosque coetáneo manejado en rotaciones

infinitas, todos los cuales se verán en los siguientes capítulos. Una serie infinita de pagos periódicos o intervalares no tiene valor futuro,

ya que éste se encuentra ubicado en el infinito, pero sí tiene valor presente. La expresión pertinente se deduce fácilmente a partir de la respectiva fórmula del valor actual.

Como ya se sabe:

( )[ ]( )n

n

0i1i

1i1aV

+

−+=

Luego hacemos n = ∞ , entonces:

( )[ ]( )∞

∞

+−+=

i1i

1i1aV0

pero como el cuociente ( )[ ]

( )∞∞

+−+

i1

1i1 tiende a 1, entonces:

ia

V0 = [12]

La expresión [12] es el valor actual de una serie infinita de pagos a dada

una tasa de interés i. Esta sencilla expresión, la cuota de una serie infinita dividida por la tasa

de interés, tiene mucha trascendencia práctica, ya que cualquier serie de pagos suficientemente larga se aproxima a una serie infinita, cuyo cálculo es bastante más rápido, aunque el resultado es aproximado. ("Largo" es una medida ambigua, pero dependiendo de la tasa de interés puede aceptarse un n _ 50, y en muchos casos menos). El lector puede hacer el ejercicio de dividir el monto mensual de arriendo de una vivienda (descontando lo pertinente al impuesto a los bienes raíces y gastos de mantención) por la tasa de oportunidad del capital del propietario y llegará a una cifra bastante aproximada al valor comercial del inmueble (suponiendo un mercado de los arriendos libre de distorsiones).

De la fórmula [12] se derivan otras dos expresiones interesantes, sobre las que vale la pena detenerse un momento y que son las siguientes:

a = V0 x i

0Va

i =

Estas expresiones pueden asimilarse a la idea de que V0 es un capital

generador de una renta neta periódica infinita cuyo monto está determinado por la tasa de interés. Otra idea afín con la anterior es la de un "stock" generador de un flujo a cierta tasa conocida. A la inversa, si son conocidos el flujo y el "stock", entonces i es la tasa que relaciona a ambos.

Ejemplo (a) . ¿Cuál es el monto del capital depositado en el banco si la

renta anual es $2.500.000 sabiendo que la tasa anual de captación es 0,08?

a = $2.500.000 i = 0,08

08,0000.500.2

V0 =

= $31.250.000.

Ejemplo (b) . ¿Cuál es el valor de una vivienda cuyo arriendo anual libre

de gastos de mantención e impuestos a los bienes raíces asciende a $960.000 si la tasa alternativa del capital es 8% anual?

08,0000.960

V0 =

= $12.000.000

Ahora el mismo ejemplo anterior, pero haciendo el supuesto de que la

casa tiene 50 años de vida útil, tiene el siguiente resultado:

a = $960.000 i = 0,08 n = 50

( )[ ]( )50

50

008,108,0

108,1000.960V

−=

= $11.744.145 La diferencia entre ambos resultados apenas sobrepasa el 2 %. Esto

sucede porque todos los arriendos a percibir por el propietario de la vivienda después de cierto tiempo tienen un valor actual muy bajo. A modo de ejemplo obsérvese el valor actual del arriendo anual a percibir el año 50:

50008,1

000.960V =

V0 = $20.468

El ingreso anual del año 50 aporta sólo $20.468 al valor del inmueble.

Mientras más largo es el plazo de la serie y más alta es la tasa de interés, mayor semejanza tendrán entre sí los valores actuales de una serie finita y la serie infinita correspondiente.

En el caso de una serie de pagos que ocurren en intervalos constantes,

del mismo modo que en el caso anterior, la expresión queda como sigue:

( ) 1i1

AV

t0−+

= [13]

Donde V0 expresa el valor actual de una serie infinita de pagos A que

ocurren cada t períodos, dada una tasa de interés i.

Ejemplo . ¿Cuánto es el monto de un capital invertido capaz de rendir

$100.000 trimestralmente si la tasa de interés mensual es 0,7 % ?

A = 100.000 i = 0,007 t = 3

( ) 1007,1

000.100V

30−

=

= $4.728.736.

2.5. Transformación de tasas.

Una situación corriente en el uso cotidiano de las equivalencias

financieras es la transformación de tasas anuales a tasas mensuales equivalentes o cualquier otro período (trimestre, semestre, trienio, etc.).

Si se capitaliza una suma de dinero durante el período de un año,

sabiendo que la tasa anual es ia, la operación es, como se sabe, la siguiente:

V1 = V0(1 + ia) Pero si se necesita, ahora, capitalizar Vo en períodos mensuales durante un año obteniendo la misma cifra final, entonces:

V1 = V0(1 + im)12

Donde im es la tasa mensual compuesta equivalente a la tasa anual ia. Igualando ambas ecuaciones y eliminando V0:

(1 + im)12 = 1 + ia De donde:

ia = (1 + im)12 - 1 [14]

( ) 1i1i 12

am −+= [15]

Las expresiones [14] y [15] son las correctas para transformar tasas entre

períodos de diferente extensión, conservando su equivalencia. Como se señaló antes, debe evitarse cometer el error de transformar tasas dividiendo por el número de veces que un período contiene al otro o, a la inversa, haciendo la multiplicación respectiva, salvo que las tasas sean tan pequeñas que el error sea insignificante.

Para transformar una tasa anual en su equivalente trimestral, por ejemplo,

basta con obtener la raíz cuarta de (1 + ia), o elevar al cubo (1 + im) y luego restar 1. Ejemplo . La tasa mensual equivalente de una tasa anual de 10 % es

0,0079741, o bien 0,797 %. La tasa trimestral equivalente es 0,024, ó 2,4%.

2.6. Otras equivalencias financieras de uso menos f recuente.

En esta sección se muestran las situaciones de los créditos con "años de

gracia" y las series finitas crecientes, tanto en montos absolutos como tasas, equivalencias de poca aplicación práctica, puesto que es difícil encontrar casos reales donde valga la pena su aplicación.

2.6.1. Cálculo de la cuota de un crédito con "años de gracia".

El concepto de "años de gracia" se utiliza para describir aquella situación

en que se posterga una parte o todo el pago de un crédito durante un cierto lapso convenido, que es el período de gracia. Esto se hace generalmente para fomentar la inversión en los casos en que los inversionistas necesiten de un cierto tiempo de consolidación de su proyecto antes de comenzar a cancelar el préstamo con que se financia la inversión. El monto del crédito, sin embargo, crece durante el período de gracia a la tasa de interés pactada, transformándose en una nueva base sobre la cual se calculan las cuotas.

Supóngase como ejemplo un crédito de $100.000 pagadero en 5 años,

con 2 años de gracia y una tasa de 10% anual. El caso queda graficado como sigue: Primero V0 se transforma en V2:

V2 = 100.000(1,1)2

= $121.000 Luego se calcula el monto de las 3 cuotas, según [8]:

( )( ) 11,1

1,11,0000.121a

3

3

−×=

= $48.656.

a a a

0 1 2 3 4 5

tiempo

V0 V5

Si se llama g al número de períodos de gracia, la expresión general

queda de la siguiente manera:

( ) ( )( ) 1i1

i1ii1Va

gn

gng0

−++×+= −

−

De donde:

( )( ) 1i1

i1iVa

gn

n0

−++×= − [16]

Otra modalidad del pago de un crédito con años de gracia consiste en

cancelar sólo los intereses durante el período de gracia. Este caso no reviste mayor complicación ya que al comenzar a amortizar propiamente el crédito, como éste se ha mantenido constante debido a que los intereses han sido pagados período a período, el modo de cálculo de las cuotas es el que determina directamente la fórmula [8], exceptuando el número de cuotas, el que depende del plazo restante.

Ejemplo . Un inversionista solicita un crédito a 10 años plazo con 3 de

gracia sólo para las amortizaciones, por un monto de US$ 100.000 y una tasa de 10% anual ¿cuánto es el monto de las cuotas?

Durante los 3 primeros años el deudor cancelará US$ 10.000 por año y al

final del 4º año deberá pagar una serie de 7 cuotas anuales cuyo monto se calcula como sigue:

( )( ) 11,1

1,11,0000.100a

7

7

−×=

= US$ 20.540,5

Gráficamente (en US$ miles): Los tres primeros años se paga los intereses y luego siete cuotas de

US$ 20.540 cada una.

10 10 10 20,5 20,5 20,5 20,5 20,5 20,5 20,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.6.2. Capitalización y actualización de una serie finita creciente.

Si bien no son frecuentes, pueden presentarse situaciones en que la serie

finita sea creciente en una forma constante, lo que puede hacer engorroso el cálculo término a término. En este caso pueden presentarse dos variantes: la primera es aquella en que la serie crece en una cantidad absoluta constante y en la segunda variante la serie crece a una tasa constante, la que opera en forma similar a una tasa de interés compuesta.

Serie creciente en una cantidad constante.

Esta variante queda representada por el siguiente esquema gráfico:

La cantidad constante que incrementa la serie, período a período, es en

este caso 10, de modo que el problema puede descomponerse en dos series, una constante e igual a 90 y la otra creciente de 10 en 10.

La primera cifra de cada término de la serie, en este caso 90, puede

capitalizarse o actualizarse de la forma ya conocida (fórmulas [4] y [7], respectivamente). La segunda cifra, (el incremento constante de 10 en 10), tiene el siguiente valor futuro:

0 1 2 3 4 5

100 110 120 130 140

0 1 2 3 4 5

90+10 90+20 90+30 90+40 90+50

V5 = 10 (1 + i)4 + 20 (1 + i)3 + 30 (1 + i)2 + 40 (1 + i) + 50 Esta expresión, en términos generales, queda como sigue:

Vn = k(1 + i)n-1 + 2k (1 + i)n-2 + 3k (1 + i)n-3 + 4k (1 + i)n-4 + 5k Donde k es el incremento constante, i es la tasa de interés y n el número

de períodos que abarca la serie. Esta serie tiene un extenso desarrollo algebraico, cuya reproducción es innecesaria, y que tiene como resultado:

( )[ ]ini1i1i

kV 1n

2n −×−−+= + [17]

Donde Vn es el valor final de una serie de n términos cuyo primer término

es k y cada uno de los términos siguientes adiciona k, siendo el último n x k . El valor actual de esta serie es:

( )( )[ ]ini1i1

i1i

kV 1n

n20 −×−−++

= + [18]

Ejemplo . ¿ Cuánto es el valor actual del arriendo de una propiedad que

empieza en $50.000 y que crecerá en $2.000 por mes hasta completar 6 meses, si la tasa de interés es 2 % mensual?

Gráficamente, el problema se presenta así: Donde 48.000 es el monto mensual constante y 2.000 es el incremento

mensual k. El planteamiento algebraico del problema es el siguiente:

( )[ ]( ) ( )

( )[ ]02,0602,0102,102,10004,0

000.2

02,102,0

102,1000.48V 7

66

6

n −×−−+−=

0 1 2 3 4 5 6

50.000 52.000 54.000 56.000 58.000 60.000

El primer término del lado derecho es el valor actual de la parte constante

de la serie y el segundo término es el valor actual de la parte incremental. Vn = $268.868,64 + $38.563,27 Vn = $307.431,9. Para verificar el resultado se presenta en seguida el cálculo del valor

actual de la serie original:

65432002,1

000.60

02,1

000.58

02,1

000.56

02,1

000.54

02,1

000.5202,1000.50

V +++++=

= $307.431,9. En el ejemplo precedente, dado que la serie consta de solo 6 términos, el

ahorro de tiempo al utilizar la fórmula [18] resulta casi insignificante respecto de efectuar el cálculo directamente, por lo que es preferible no complicarlo con esta engorrosa fórmula. Sin embargo, en una serie de muchos términos la fórmula resulta de gran utilidad, debido al notable ahorro de cálculos.

Serie creciente en una tasa constante.

La situación que se analiza ahora es el caso de una serie que crece a una

tasa constante expresada en valor decimal. Supóngase un monto base de $100 y una tasa de crecimiento de la serie

de 5% por período, una tasa alternativa de 8% y un total de 5 períodos. En forma gráfica: La equivalencia financiera para el valor actual de una serie de este tipo es

la siguiente (CLUTTER et al, 1983):

0 1 2 3 4 5

100 105 110,25 115,76 121,55 127,63

( ) ( )( )n

nn

00i1

g1i1

gi

g1CV

++−+×

−+×= [19]

Donde: C0 = valor base de la serie. G = tasa de incremento de la serie, en valor decimal. N = número de períodos. I = tasa alternativa, en valor decimal. El ejemplo se resuelve como sigue;

( ) ( )( )5

55

008,1

05,108,105,008,0

05,1100V

−×−

×=

= 459,84. Finalmente, para obtener la expresión del valor futuro en este tipo de

casos, basta con eliminar el factor de capitalización en la expresión [19], la que queda como sigue:

( ) ( )[ ]nn00 g1i1

gi

g1CV +−+×

−+×= [20]

Es necesario hacer una acotación final al terminar este capítulo, en

relación con las fórmulas [19] y [20]. No debe confundirse la tasa incremental de la serie (el término g) con otro tipo de tasa, como podría ser el reajuste por inflación, por ejemplo, dado que debe recordarse siempre que todas las cifras monetarias de las aplicaciones son montos que mantienen constante su poder adquisitivo a lo largo del tiempo. Así, $100 del período 1 son monetariamente equivalentes a $100 de otro período cualquiera (en el sentido de que sus valores adquisitivos son iguales, aunque nominalmente los valores sean distintos para expresar los ajustes por inflación), es decir, se trata de moneda del mismo valor. Esto es equivalente a suponer un contexto de inflación cero. Entonces g es una tasa de incremento real de la serie.

Sin embargo, si se utilizaran las expresiones [19] y [20] asumiendo que g es una tasa de inflación e i la tasa alternativa, entonces las sumas de dinero empleadas en este caso debieran ser cifras nominales y el resultado sería también un valor nominal. Estas fórmulas pueden ser empleadas para los fines de trabajar con cifras nominales y tasas de inflación constantes, aunque en términos prácticos nadie puede prever tasas de inflación para un período largo, por lo que su utilización de esta forma es muy restringida.

2.7. Indicadores de rentabilidad.

Se ha considerado pertinente incluir este capítulo que contiene una

descripción y análisis de los dos principales indicadores de rentabilidad usados en el caso de las inversiones forestales: el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR). Ambos indicadores tienen una aplicación muy frecuente en materias tan importantes como la valorización del suelo y del vuelo y la determinación de la edad de rotación de los rodales coetáneos, además de la medición de la rentabilidad de inversiones forestales, materias claves para planificar el bosque en el largo plazo. En las páginas siguientes se describirá a ambos indicadores, con ejemplos de sus usos y se entregará un análisis respecto de las bondades y limitaciones de cada uno de ellos.

2.7.1. El valor actual neto (VAN).

Cuando se debe tomar una decisión de tipo económico-financiera, tal

como un proyecto de inversión u otra cualquiera que implique efectuar ciertos egresos a cambio de obtener determinados beneficios, el encargado de tomar la decisión se enfrenta al problema de evaluar si su elección es buena o mala. Independientemente de muchas otras consideraciones que influyen sobre las personas al momento de tomar decisiones, desde un punto de vista estrictamente monetario una decisión es buena si los beneficios en dinero generados por ella superan a los costos monetarios involucrados en la misma decisión. A la inversa, la decisión es mala si los costos resultan más altos que los beneficios.

Siempre que sea posible identificar y localizar a lo largo del tiempo todos

los costos y beneficios generados por la decisión a tomar, se puede calcular el valor actual neto de ese flujo de egresos e ingresos. El criterio VAN consiste en obtener la diferencia entre los valores actualizados de los beneficios y los valores actualizados de los costos y dado que los primeros se anotan con signo positivo y los segundos con signo negativo, la decisión es buena si VAN > 0 y mala si VAN < 0.

El costo de oportunidad del capital, costo implícito que jamás debe ser pasado por alto en toda decisión económico-financiera, está incluido en el cálculo al momento de actualizar todas las sumas monetarias, de modo que la diferencia resultante entre beneficios y costos es neta incluso respecto del costo de oportunidad del capital, el que se expresa bajo la forma de una tasa de descuento, como se vio antes. De este modo, si el VAN es igual a cero, la decisión a tomar es indiferente, en términos financieros, con la tasa de descuento que se esté usando. En otras palabras, si se tomara en este caso igualmente la decisión, ésta tendría una rentabilidad igual al monto de la tasa alternativa.

La expresión general de este indicador en términos matemáticos, es la

siguiente:

( )∑= +

−=

n

0jjjj

i1

CBVAN

Donde: VAN = valor actual neto, en pesos. Bj = beneficios del período j, en pesos. Cj = costos del período j, en pesos. i = tasa alternativa, en valor decimal.

Ejemplo de cálculo del valor actual neto.

Supóngase que un propietario forestal desea saber si es conveniente

plantar eucaliptus para producir leña en su predio. Se estima que el costo de la plantación es de $160.000 por hectárea y que cosechará en el año 8, obteniendo un monto neto por su bosque de $1.200.000 por hectárea, descontados todos los gastos propios de la cosecha y venta de la madera. También se estima que se gastará anualmente $20.000 / ha (administración y otros, como quedará aclarado en capítulos posteriores), y que la tasa de descuento pertinente es 10 % real anual.

La tabla del flujo de caja anual es la siguiente:

TABLA Nº 4

FLUJO DE CAJA DE UN PROYECTO DE FORESTACION SUPUESTO

AÑO MONTO ($/ha) ITEM

0 -160.000 Plantación

1 -20.000 Adm. y otros

2 -20.000 Adm. y otros

3 -20.000 Adm. y otros

4 -20.000 Adm. y otros

5 -20.000 Adm. y otros

6 -20.000 Adm. y otros

7 -20.000 Adm. y otros

8 -20.000 Adm. y otros

8 1.200.000 Cosecha

El valor actual neto es:

( )[ ]( ) ( ) 88

8

1,1

000.200.1

1,11,0

11,1000.20000.160VAN +

−−−=

= 293.110 $/ha. La decisión de realizar esta inversión es buena, ya que el valor actual

neto por hectárea es bastante mayor que cero. El resultado se puede interpretar de la siguiente manera: si el propietario de este predio realiza esta inversión se hará $293.110/ha más rico que si no la hace, considerando incluso el costo de oportunidad del capital. En otras palabras, si en vez de hacer la plantación hubiera optado por invertir los $160.000 en alguna parte donde le paguen una tasa de 10 % real anual y cada año, desde el 1º hasta el 8º hubiera depositado también $20.000, habría reunido $293.110 menos que en el negocio de los eucaliptus, expresado en valor actual.

Siguiendo el mismo razonamiento del párrafo anterior, el valor futuro de estos ahorros sería:

( ) ( )[ ]1,0

11,1000.201,1 000.160V

88

8

−+=

= $400.205. Es decir, si el inversionista hubiera decidido invertir el dinero en la

alternativa, al final del octavo año tendría $400.205, pero si hace la inversión en eucaliptus esta suma futura es de $1.200.000, que es $799.795 más que el banco. Esta suma futura equivale a $293.110 en el año cero, que es el VAN calculado. Este rápido análisis numérico muestra que el valor actual neto es el excedente actualizado de los beneficios respecto de todos los costos, incluido el costo de oportunidad del capital. Así, si el resultado del cálculo del VAN es 0, el inversionista obtiene por su inversión una rentabilidad igual que la tasa alternativa. En el ejemplo aquí comentado, para que el VAN resulte 0, el monto de la cosecha debiera ser $400.205, o sea, lo mismo que se obtiene en la inversión alternativa.

En este punto, es frecuente escuchar el argumento de que si el VAN

resultante es 0, para un caso cualquiera, siempre será preferible la opción representada por la tasa alternativa, que frecuentemente está asociada a la tasa de una inversión más segura. Probablemente cualquier persona piense lo mismo. Sin embargo, debe quedar establecido que si tanto los beneficios como los costos identificados no son seguros, esto debe quedar reflejado de algún modo (habitualmente castigando los flujos del proyecto). Por tanto, las cifras definitivas que se empleen en el cálculo deben considerarse tan libres de riesgo como los valores de la alternativa con que se está comparand o.

2.7.2. Tasa interna de retorno (TIR).

Este segundo indicador de rentabilidad es prácticamente una derivación

del anterior, con la diferencia de que se expresa bajo la forma de una tasa de ganancia en vez de un monto en dinero. Conceptualmente, la tasa interna de retorno es la tasa de ganancia constante de una inversión expresada bajo la forma de un interés compuesto.

En la actualidad se ha llegado a cierto consenso, al menos en los círculos

académicos, acerca de la inutilidad de este indicador, pero sigue gozando de popularidad. A pesar de esto, en economía forestal se le sigue dando importancia, por lo que se dedicará espacio a demostrar su escasa utilidad.

Matemáticamente, la tasa interna de retorno es aquella tasa que hace al VAN igual a 0. Por lo tanto, si la ecuación del VAN se iguala a cero, dejando la tasa como incógnita, se obtiene la TIR:

( )0

i1

CBVAN

n

0jjjj =

+

−= ∑

=

Donde t = tasa interna de retorno. La tasa de actualización que iguala el

valor actual de los costos con el valor actual de los beneficios es la TIR. En otras palabras, la TIR es la tasa que expresa cuánto mayores son los beneficios que los costos de la decisión.

Para ejemplificar el cálculo de este indicador, supóngase que se trata de

tomar la decisión de plantar árboles con un costo inicial de plantación de $160.000 y con un beneficio de $ 1.800.000 (netos respecto de gastos de cosecha),al cabo de 15 años. Se asume también que no existe ningún otro gasto ni ingreso intermedio.

Según la equivalencia financiera [3]:

175,01000.160

000.800.1t 15 =−=

Este resultado significa que si se descuenta los $ 1.800.000 desde el año

15 hasta el año 0 a una tasa de 0,175 anual, esta suma llega a ser $160.000. A la inversa, si se capitaliza $ 160.000 desde el año 0 hasta el año 15 a una tasa anual de 0,175, el valor final es de $ 1.800 000. La tasa de ganancia es de 0,175, que en términos porcentuales equivale a 17,5 %.

El criterio de decisión con este indicador es el siguiente: si la TIR es

mayor que la tasa alternativa, entonces la decisión es buena; si TIR < i, es mala y si TIR = i, es indiferente elegir la opción planteada o la alternativa.

Como segundo ejemplo de cálculo de la TIR, considérense los datos del

ejemplo anterior, anotados en la Tabla Nº 4. La ecuación respectiva es:

( )[ ]( ) ( ) 88

8

t1

000.200.1

t1t

1t1000.20000.1600

++

+

−+−−=

t ≈ 0,229 ó 22,9 %. En ecuaciones más complejas, como ésta, a diferencia del ejemplo

anterior, ya no es posible obtener el valor de t despejando directamente de la ecuación, siendo necesario en estos casos buscar el resultado mediante

aproximaciones sucesivas, lo que es un procedimiento bastante largo. Hoy en día, con la existencia de las calculadoras llamadas financieras o de programas computacionales, se ahorra una buena cantidad de tediosos cálculos.

2.7.3. Análisis comparativo de ambos indicadores.

Algunos textos presentan extensas comparaciones entre ambos

indicadores, pero aquí se enfatizará en lo más relevante desde el punto de vista de sus aplicaciones al manejo forestal.

En primer lugar, es evidente que el VAN entrega una cifra en dinero, a

diferencia de la TIR, que arroja una tasa. El primero permite determinar en cuánto aumenta el patrimonio de un inversionista que decide desarrollar un determinado proyecto. La segunda, en cambio, sólo señala en términos relativos la bondad de la inversión. Por tal razón, la tasa interna de retorno no es un indicador suficiente para tomar la decisión entre 2 o más alternativas.

El siguiente ejemplo numérico, con dos proyectos de inversión muy

sencillos, compuestos tan sólo de una inversión inicial y un único retorno en el año 1, permite aclarar mejor esto:

PROYECTO A PROYECTO B

AÑO MONTO ($) AÑO MONTO ($)

0 -1.000 0 -100

1 1.200 1 120

VAN = 90,9 VAN = 9,09

TIR = 0,2 TIR = 0,2

Ambos proyectos tienen la misma TIR, lo que indica que son igualmente

buenos, de acuerdo con este indicador, pero el VAN señala que la rentabilidad del proyecto A es 10 veces mayor que la del proyecto B, porque aunque tienen la misma conformación, A es 10 veces más grande que B.

Un segundo alcance es que la TIR puede arrojar más de un resultado e

incluso soluciones imaginarias.

El siguiente ejemplo permite observar el caso de soluciones múltiples. Supóngase el proyecto:

AÑOS 0 1 2

FLUJO ANUAL -100 300 -209 La ecuación respectiva para el cálculo de la TIR es:

( ) ( )0

t1

209t1

300100

2=

+−

++

Multiplicando por -(1 + t)2 se obtiene:

100 (1 + t)2 - 300 (1 + t) + 209 = 0 Y de acuerdo con la expresión general de la ecuación de segundo grado,

siendo (1 + t) la incógnita:

( )200

209400000.90300t1

×−±=+

20080300

t1±=+

De donde: t' = 0,9 t" = 0,1 Ambos valores de t satisfacen la ecuación, por lo que la TIR puede ser 90

% ó 10 %. En este caso, la simple observación del flujo anual permite intuir que el proyecto no es muy bueno, y por lo tanto intuitivamente se puede decidir que la TIR de este caso es 10 %, pero otros casos más complejos pueden arrojar un conjunto más grande de soluciones, algunas con t menor que i, resultando imposible decidir si el proyecto es bueno o malo.

En el ejemplo que se está analizando, los VAN resultantes para distintas tasas alternativas son los siguientes, los que aparecen en el Gráfico Nº 2.

i VAN

0,0 -9,00

0,1 0,00

0,2 4,86

0,3 7,11

0,4 7,65

0,5 7,11

0,6 5,86

0,7 4,15

0,8 2,16

0,9 0,00

1,0 -2,25

GRAFICO Nº 2

VALOR ACTUAL NETO VERSUS TASA DE DESCUENTO

La curva del valor actual neto en función de la tasa alternativa corta al eje

horizontal en dos puntos - 0,1 y 0,9 - definiendo las respectivas tasas internas de retorno ya identificadas.

También la ecuación para el cálculo de la TIR puede arrojar soluciones

inexistentes o imaginarias. Si se tiene, a modo de ejemplo, el siguiente flujo de una inversión:

AÑOS 0 1 2

FLUJO ANUAL -100 240 -400

Planteando y resolviendo la ecuación correspondiente de la misma forma que en el ejemplo anterior, el resultado es una solución imaginaria. Esto significa que no es posible conocer el valor de la TIR de esta inversión. Si se grafica el VAN en función de la tasa alternativa, como en el caso anterior, la curva resultante no corta al eje.

En los casos recién analizados la conclusión obvia es que el valor actual

neto es un indicador más confiable que la tasa interna de retorno, aun cuando estas dificultades recién mostradas no son muy frecuentes. Pero hay aún otro alcance a este segundo indicador que tiene una relación más estrecha con una de las aplicaciones más importantes de los criterios de rentabilidad en el manejo forestal, como es el tema de la determinación de la edad de rotación, que se verá más adelante. Dicho alcance hace notar que el planteamiento de la ecuación para el cálculo de la TIR conlleva el supuesto de que todos los flujos de un proyecto capitalizan a la misma tasa TIR.

Véase el siguiente ejemplo de un proyecto cuya TIR es 0,25 ó 25 % :

AÑOS 0 1 2 3

FLUJO ANUAL -100 50 50 54,7

Si se capitalizan los flujos al 25 % se observa: -100 (1,25)3 -195,3 50 (1,25)2 78,1 50(1,25) 62,5 54,7 La suma algebraica de estos valores es cero, lo que indica que la tasa

interna es 25 %. Esto significa que para una rentabilidad de 25 %, todos los flujos del

proyecto capitalizan a esta tasa, lo que es posible sólo si se invierten en el mismo proyecto u otro de la misma rentabilidad. Este aspecto será tocado nuevamente, como ya se dijo, al analizar el tema de la edad de rotación.

Hay suficientes razones para afirmar que el indicador VAN es más

confiable que la TIR. Sin embargo, ésta goza de gran popularidad entre las personas que deben recomendar una decisión y entre quienes invierten, debido a que su expresión en forma de tasa o porcentaje es de muy fácil comprensión para

todos. Pero no es recomendable decidir entre alternativas sólo con la TIR, aunque se puede usar para conocer si la decisión es buena o no lo es. Lo correcto, siempre, es usar el VAN.

Finalmente, también es posible encontrar proyectos cuyos indicadores

VAN y TIR se muestran contradictorios, es decir, uno de los proyectos tiene más alto el VAN que el otro, pero más baja la TIR. En estos casos, si no se tiene clara noción de la naturaleza de ambos indicadores y de los problemas que presenta al menos uno de ellos, como se ha visto aquí, no se sabría cuál indicador es el que define la situación. En general, en estos casos, debe escogerse según el criterio del valor actual neto, pero la decisión depende del monto de la tasa alternativa del capital, como se verá a continuación.

Un ejemplo de lo señalado en el párrafo anterior se muestra al comparar

los siguientes proyectos (i = 0,1):

AÑOS: 0 1 2 3 TIR(%) VAN($)

PROYECTO A: -100 50 80 80 44 71,7

PROYECTO B: -100 100 50 30 48 54,8

El proyecto A tiene un VAN más alto que el proyecto B, pero la TIR del

primero es más baja. La decisión dependerá del monto de la tasa alternativa del capital. En este caso el VAN está calculado con una tasa alternativa del 10 %, pero los resultados cambian si se usa una tasa de descuento diferente, como se puede observar en el Gráfico Nº 3:

GRAFICO Nº 3

DESARROLLO DEL VAN DE DOS PROYECTOS PARA DISTINTAS TASAS DE DESCUENTO

Con una tasa de descuento de alrededor de 34 %, la que podría llamarse "tasa de equilibrio", los VAN de los proyectos son iguales, esto es aproximadamente $ 15. Esta tasa puede calcularse más exactamente igualando las ecuaciones de los valores actuales netos de cada proyecto, pero dejando la tasa como incógnita:

( ) ( ) ( ) ( )3232 t1

30

t1

50t1

100100

t1

80

t1

80t1

50100

++

++

++−=

++

++

++

Donde t = 0.34, aproximadamente, luego de aproximaciones sucesivas. Si la tasa de descuento fuese superior a 34 % es preferible el proyecto B,

pero si la tasa es inferior a esa cifra, entonces se prefiere el proyecto A. (Obsérvese que para una tasa de descuento de 10 % el proyecto A tiene un VAN notoriamente más alto que el proyecto B).

En este ejemplo la tasa de equilibrio es demasiado alta, por lo que no hay

mucha dificultad para saber que el proyecto A es mejor, ya que casi con toda seguridad la tasa alternativa se mantendrá por debajo de 34 % y por tanto el VAN de A será mayor que el de B. Pero si la tasa de equilibrio fuese más baja, por ejemplo entre 5 y 10 %, entonces la decisión entre ambas alternativas es mucho más difícil, puesto que el costo de oportunidad del capital habitualmente se puede ubicar dentro de ese rango, como se dijo antes, y costaría bastante tomar la decisión correcta en tal situación. En todo caso, como se desprende del análisis comparativo de estos indicadores, en general la decisión se toma mediante el VAN.

A pesar de esta afirmación reciente, puede haber casos en que la

decisión quede determinada por la TIR, cuando la diferencia entre los VAN de dos proyectos es pequeña, pero la inversión inicial de uno de ellos es más baja y su tasa interna más alta. Es el caso de los siguientes proyectos:

AÑOS: 0 1 2 3 TIR(%) VAN($)

PROYECTO A: -200 100 100 100 23,5 48,7

PROYECTO B: -100 58 58 58 34,0 44,2

El proyecto B tiene una tasa interna de retorno más alta que la del

proyecto A, pero su valor actual neto es más bajo (y también su inversión inicial, que es la mitad de la inversión de aquél). Si se sigue la norma de escoger el proyecto de VAN más alto habría que elegir el primero, pero en este caso resulta evidente que una decisión más inteligente es preferir el segundo proyecto, ya que su rentabilidad medida por el valor actual neto es ligeramente inferior a la del otro, pero se invierte la mitad, por lo que se puede reservar capital a la espera de otro proyecto más interesante que A, suponiendo que el proyecto B no se puede duplicar.

CAPITULO III APLICACIONES GENERALES DEL ANALISIS ECONOMICO-FINAN CIERO.

Este capítulo contiene aplicaciones del análisis económico-financiero a

diferentes casos de tipo general con la finalidad de acostumbrar al lector a enfrentar situaciones de distinta índole, aunque se ha procurado recoger los ejemplos en los ámbitos de la producción y del manejo forestales cada vez que esto ha sido posible.

El capítulo está organizado bajo la forma de problemas resueltos

numerados y cuando corresponda se presentan alcances de contenido más general a partir del propio ejemplo.

Se ha dividido esta parte en diferentes tipos de problema, en forma un

tanto arbitraria, ya que no existe una frontera clara entre los distintos tipos de ejemplo. También se ha intentado dar una secuencia según el grado de dificultad que presenta cada caso, al menos dentro de cada sección, con la finalidad de hacer más comprensible la forma de resolver las aplicaciones, especialmente para quienes enfrentan por primera vez estas materias.

Tasa de descuento y costo de capital: una necesaria aclaración .

En esta sección, así como en todas las aplicaciones específicas del resto

del libro, necesariamente debe asumirse una cierta tasa de descuento para efectos de resolver dichas aplicaciones. La tasa de descuento puede ser motivo de controversia entre los entendidos en finanzas. De hecho, entre los especialistas en finanzas que revisaron este libro antes de ser publicado hubo alcances en este tema.

En esencia, la discusión puede surgir a partir de que en este libro se

asume casi en todos los ejemplos, un escenario sin riesgo o con un nivel de riesgo que puede considerarse pequeño (un "plus" de 2 ó 3 %). Dado este contexto, es razonable emplear tasas de descuento del orden de 6 a 10 %. Sin embargo, este supuesto podría ser discutido bajo el argumento de que no es posible concebir en la realidad escenarios exentos de riesgo, por lo que la tasa de descuento a emplear debiera superar con creces a las cifras utilizadas en el texto y llegar con facilidad a guarismos del orden del 15 y 20 %, o tal vez más. Tasas de este orden, que incluyen riesgo, pasan a denominarse "costo de capital" en el lenguaje especializado de finanzas.

Pero el sector forestal, particularmente el silvícola es tal vez uno de los sectores más seguros de la economía. Hay dos riesgos claramente identificables en este tipo de producción. Uno de ellos son las plagas y enfermedades, el que habitualmente es un riesgo trasladable a costos, generalmente en el ítem de gasto anual de administración, a través de medidas de manejo específicas o de combate químico y biológico de las plagas y enfermedades. El otro riesgo importante, incendios forestales, también es trasladable a gastos anuales, tanto por la ejecución de planes de protección como por la contratación de seguros. Además, salvo en plantaciones muy nuevas, casi nunca las pérdidas por incendios son completas, desde el punto de vista del rendimiento maderero.

Digno de considerar puede ser también el riesgo de un precio

transitoriamente bajo del producto principal al momento de la cosecha. En situaciones así el propietario silvícola puede postergar la cosecha un año más, lo que le permite evitar ingresos anormalmente bajos, sin perder volumen de sus rodales, sino por el contrario, acrecentándolo. Incluso, en circunstancias de bajos precios una empresa integrada bosque-industria puede comprar madera a terceros y postergar la cosecha de sus bosques.

La verdad es que la inversión silvícola, de largo período de maduración,

bastante segura y flexible en cuanto a su momento de cosecha, no resistiría una tasa de descuento del orden de 15 a 20 % real anual. Tal vez no haya inversión legal alguna que rinda tasas de ese orden sostenibles durante períodos de 20 ó 30 años . Una inversión en forestación que cueste, por ejemplo, $240.000/ha (suelo más plantación) y $20.000/ha de gasto anual (protección, vigilancia, seguros y mantención), debería rendir casi 9 millones de pesos netos si se cosechara 20 años después, para obtener 17,5 % real anual de rentabilidad. Ninguna especie forestal en el mundo puede presentar hoy día tal rendimiento ¿cómo se explica la existencia de una cuantiosa inversión en forestación en Chile y varios países del mundo, entonces? Los inversionistas no están dispuestos a perder sistemáticamente su dinero, obviamente. La inversión forestal silvícola en Chile rinde tasas del orden del 10 al 15 %, dependiendo de la especie, del sitio y del esquema de manejo empleado.

No se puede evaluar una inversión relativamente segura y de largo plazo,

como es la silvícola, utilizando una tasa alternativa con riesgo pero válida para un plazo reducido. El mecanismo de cálculo del costo de capital generalmente se basa en la observación de un portafolio de acciones y, para que este costo de capital tenga una magnitud de entre 15 y 20 %, el portafolio necesita rendir tasas del orden del 20 % o más. Evidentemente esto es alcanzable solamente en períodos breves (algunos meses o un par de años), pero es imposible alcanzar tasas de ese orden, ni siquiera como promedio, sostenibles duran te 2 ó 3 décadas . La tasa de descuento que usan las empresas para evaluar sus proyectos es, en general, arbitraria y corresponde a un cota mínima bajo la cual el inversionista no está dispuesto a invertir.

Las empresas forestales chilenas usan tasas que no sobrepasan el 10 %, llegando excepcionalmente al 12 ó 13 cuando existe alguna incertidumbre respecto del sitio (caso de dunas litorales, arenales y secano interior de la zona central). Como ejemplo, la literatura inglesa recomienda agregar un "plus" de 2 ó 3 % por riesgo, llegando a 7 u 8 % en sus aplicaciones prácticas. La literatura norteamericana ejemplifica con tasas entre 6 y 8 %, etc.

El énfasis del libro está en la forma de abordar y de resolver

cuantitativamente un conjunto de decisiones características del manejo forestal. Para ello, la tasa de descuento es un dato, al igual que los costos, ingresos y otros razonables supuestos utilizados a lo largo de todo el texto. No se aborda, expresamente, el tema del costo de capital, como varios otros temas afines que, tal vez, una futura edición pueda abarcar.

Aún así, a juicio del autor, no es aconsejable incorporar la percepción del

riesgo del inversionista en la tasa de descuento, debido a que este mecanismo castiga por igual tanto los flujos riesgosos como aquellos que no lo son. En este sentido es preferible estimar flujos equivalentes ciertos. Quien desee incorporar en la tasa de descuento su percepción del riesgo, puede aumentar la tasa tanto como desee exigirle al proyecto. De hecho, los inversionistas siempre reexaminan las decisiones con tasas diferentes, casi siempre más altas que las propuestas por sus asesores técnicos. El texto no pierde su carácter de guía para tomar decisiones de manejo forestal, cualquiera sea la tasa que desee usar quien tome la decisión y no se propone ser un tratado de finanzas, materia que dispone de una suficiente cantidad de textos, incluso en castellano.

3.1. Ahorrantes. Problema 1.

¿Cada cuánto tiempo se duplica una suma de dinero invertida en un

instrumento de ahorro que paga una tasa de interés del 5 % anual? ¿ Y si paga 7 %, ó 10 % ?

Este problema sencillo permite conocer sin necesidad de cálculos

complicados, la rapidez con que capitalizan sumas de dinero sometidas a tasas de interés compuesto de uso más frecuente.

Para el caso de 5 %, el planteamiento es el siguiente:

(1,05)n = 2

El resultado se puede obtener mediante iteración o aplicando logaritmos.

n x log 1,05 = log 2

05,1log2log

n =

n = 14,207 años.

Del mismo modo, los resultados para 7 % y 10 % son respectivamente

10,2 y 7,3 años. Un ahorrante podría estimar aproximadamente cuánto crecerá su dinero

depositado por ejemplo al 7 % anual, sabiendo que se duplicará cada 10 años. Un peso se convertirá en $2 al cabo de 10 años, en $4 al cabo de 20 años, en $8 a los 30, etc.

Problema 2. Una persona desea adquirir un cierto bien de costo elevado en el plazo

de 2 años más a contar desde ahora. Actualmente tiene ahorrada una suma de $550.000 depositada en un banco, cuya tasa de interés de captación nominal mensual es de 1,6 %. Calcular la cuota que este ahorrante deberá depositar mensualmente para reunir una suma total de $2.500.000 en el plazo indicado.

Primero es necesario saber cuánto se juntará al final de los 2 años a

partir de la suma que ya tiene ahorrada.

Vn = 550.00024 (1,016)24

= $805.029 Luego, la diferencia entre esta cantidad y los 2,5 millones es lo que

necesita juntar mediante una cuota constante. Esta diferencia es de $1.694.971. Según [6]:

( ) 1016,1

016,0971.694.1a

24 −×=

= $58.486.

Este ahorrante deberá depositar $58.486 mensualmente, además de

mantener los 550.000 en el banco, para reunir la cantidad deseada.

Debe hacerse notar que tanto las cifras como la tasa son nominales, lo que significa que los 2,5 millones de hoy no tienen el mismo poder adquisitivo 24 meses más tarde si hay inflación.

Problema 3.

El poseedor de un documento liquidable en 3 años más por un monto real

de $500.000 desea venderlo ahora. ¿En cuánto podrá venderlo si la tasa de mercado es 9 % real anual?

Dado que la tasa de mercado es de 9 % anual, cualquier comprador para

este documento deberá pagar hoy por él una cifra tal que capitalizada a 3 años al 9 % anual se transforme en los $500.000 al momento de cobrarlo.

Según [2]:

3009,1

000.500V =

= $386.092.

El monto a pagar hoy por este documento es de $386.092 para asegurar

una rentabilidad de 9 % anual. Si por alguna razón el comprador del papel pagara por él más de esa cantidad, entonces su ganancia sería inferior a esa tasa.

Problema 4.

¿En cuánto puede venderse hoy un documento que pagará $150.000

anuales durante los próximos 6 años si la tasa de interés de mercado es de 9 % anual?

Este ejemplo es muy similar al anterior pero con la diferencia de que este

instrumento de ahorro reditúa una cuota anual constante, en vez de liquidarse de una sola vez, como en el caso anterior.

Según [7], el valor actual de una cuota constante es:

( )[ ]( )6

6

009,109,0

109,1000.150V

−=

= $672.888.

Entonces el precio máximo que deberá pagar un ahorrante hoy día por

este documento, para asegurar una rentabilidad de 9 % anual es de $672.888.

Si pudiera pagar menos su rentabilidad aumentaría. Supóngase que el vendedor del documento está dispuesto a recibir sólo $600.000 por él con tal de liquidarlo en forma muy rápida ¿ cuál sería la rentabilidad del comprador en caso de efectuar la transacción en estas condiciones?

En este caso se trata de conocer la tasa de interés que transforma

$600.000 en 6 cuotas de $150.000 por año.

( )[ ]( )6

6

i1i

1i1000.150000.600

+−+=

Donde i ≈ 12,9 %.

Recuérdese que la forma de calcular la tasa en casos donde no es posible despejar i es por aproximación sucesiva, si nose dispone de una calculadora financiera o de un programa computacional.

Problema 5.

Un ahorrante desea depositar una cierta cantidad de dinero en el banco,

el que le ofrece 2 alternativas para tomar el documento: una de ellas es la tasa de captación en pesos de 1,8 % mensual y la otra es depositar y retirar una suma en su equivalencia en U.F. más una tasa de interés de 6 % anual ¿Qué tasa de inflación mensual estima el banco?

Lo primero es identificar cuál tasa es real y cuál es nominal en la

información que entrega el banco. La tasa habitualmente denominada "en pesos" es nominal, ya que las cifras no sufrirán reajuste alguno por inflación. En cambio la suma expresada en U.F. se reajustará automáticamente según el índice de precios al consumidor, por lo que debe considerarse como una cifra real, ya que como conserva su poder adquisitivo, entonces el interés que se aplica sobre ella es un interés real.

En seguida, es necesario transformar la tasa anual en una tasa mensual

para hacer comparables las alternativas ofrecidas por el banco. Según [15]:

( ) 106,1i 12m −=

= 0,0048676.

Esta es la tasa real mensual de captación pagada por el banco. Luego se comparan las tasas mediante la relación entre tasa real (ir),

nominal (in) e inflación (ip), vista en el punto 1.3.2.

1i1

i1i

r

np −

++=

10048676,1

018,1ip −=

ip = 0,0130687

Entonces la estimación de inflación del banco es de 0,0131 mensual,

equivalente a 1,31 %. El ahorrante deberá tomar la decisión entre una y otra forma según su propia estimación de inflación que tenga para el período durante el cual estará depositado su dinero: si piensa que la inflación será superior a 1,31 % mensual, entonces deberá preferir la modalidad en UF, ya que así verá reajustado su dinero en el valor que adquiera la UF y asegurará una rentabilidad real de 6 %.

Problema 6.

El sistema de ahorro para la vivienda con subsidio habitacional consiste

en abrir una libreta especial para esos fines en un banco comercial, de modo de reunir al cabo de cierto tiempo el ahorro previo necesario para ganar el subsidio estatal y financiar la casa mediante tres aportes: ahorro previo, subsidio otorgado por el Estado y un préstamo adicional de largo plazo para la parte restante.

Se analiza el caso de un ahorrante que tiene una capacidad máxima de

pago de 5,5 U.F. mensuales. La tasa anual de captación para libretas de vivienda del banco donde esta persona es cliente es de 6 % anual y la tasa de colocación para este tipo de préstamos es de 9 % anual. La casa que desea adquirir este ahorrantetiene un precio de 920 U.F. y el monto del subsidio es de 120 U.F. Si al momento de iniciar la operación no tiene nada ahorrado ¿ Cuándo podrá comprar la casa yen qué plazo (meses) deberá contratar el crédito si el ahorro previo mínimo alcanza a 80 U.F.?

En primer lugar es necesario homogeneizar el período para el cual se

expresan las tasas de interés. Por el enunciado del problema es conveniente transformar las tasas anuales a mensuales para calcular todo en períodos mensuales.

La tasa de captación es:

( ) 106,1i 12m −=

= 0,0049.

Del mismo modo, la tasa de colocación es 0,0072 mensual ó 0,72 %. Luego se calcula el tiempo que le tomará al ahorrante reunir el ahorro

previo exigido. En este caso la incógnita será n dentro de la equivalencia financiera correspondiente.

Según [4]:

( )[ ]0049,0

10049,15,580

n −=

En esta ecuación no es posible encontrar directamente el valor de n que

satisface la igualdad, por lo que hay que iterar con distintos valores de esta variable hasta encontrar el resultado.

n ≈ 14 meses.(El resultado es casi exactamente 14,1). Luego se calcula el plazo del préstamo para la parte no financiada. Como

entre el ahorro previo y el subsidio se totalizan 200 U.F., el monto del préstamo será 720 U.F., usando ahora la tasa de colocación y siempre con una cuota de 5,5 U.F. mensuales.

Según [7]:

( )[ ]( )n

n

0072,10072,0

10072,15,5720

−=

Donde n ≈ 400 meses. Ningún banco otorgaría un préstamo de un plazo tan largo (equivale a

33,3 años), por lo que el postulante de este ejemplo deberá optar a la compra de una casa de menor valor si no está dispuesto a pagar más de 5,5 U.F. mensuales. Para entender claramente el problema que tiene el ahorrante, obsérvese que el monto de 5,5 U.F. representa, para el primer mes de la serie, una tasa de:

0,0076388720

5,5 =

Esta tasa levemente superior a la tasa de 0,0072 que el banco cobra por

el préstamo significa que apenas se alcanza a pagar el interés y queda una fracción muy pequeña para amortizar en el primer pago (la fracción es de 0,0004388 UF exactamente).

Considérese, por ejemplo, el pago de la primera cuota. Como la deuda es de 720 U.F., el interés adeudado al primer mes, expresado en U.F. es:

0,0072 x 720 = 5,184.

Y como la cuota es de 5,5 U.F., la amortización es de sólo 0,316 UF, cifra

que también se obtiene del producto de 720 y 0,0004388. Esto explica por qué el plazo resultante es tan largo.

Como una complementación final de este problema ¿cuánto debiera ser

la cuota para cancelar la deuda en un máximo de 12 años (144 meses), por ejemplo?

Según [8]:

( )( ) 10072,1

0072,10072,0720a

144

144

−×=

La cuota es de 8,0485 UF mensuales, bastante más alta que las 5,5 de

antes.

Problema 7.

Un empleado cotiza mensualmente en su Administradora de Fondos de

Pensiones (AFP) la cantidad de $15.000 reales netos (es decir, libres de descuentos de mantención o cotización mensual fija). Supóngase que la cotización será constante durante toda su vida laboral, estimada en 40 años. La AFP estima mediante tablas de esperanza de vida que sus afiliados vivirán en promedio 15 años más después de jubilar. ¿Cuánto será el monto de su pensión al momento de jubilar asumiendo que no hay descuentos tales como seguro de vida u otros y suponiendo una tasa de rentabilidad anual del fondo previsional de 6 % promedio?

El monto del fondo previsional que reunirá el afiliado después de 40 años

de cotizaciones, dada una tasa mensual de rentabilidad del fondo de 0,0048676 (calculada como es habitual), es el valor futuro:

( )[ ]0048676,0

10048676,1000.15V

480

n−=

= $28.615.624.

Ahora, este monto rendirá al afiliado al momento de jubilar una pensión

que corresponde a la cuota mensual que es capaz de generar este capital durante 15 años, equivalentes a 180 meses, asumiendo la misma tasa.

El monto de $28,6 millones de pesos, que se calculó como un valor futuro, pasa a ser un valor presente, ya que ahora el momento cero corresponde a la fecha en que este cotizante se retira. La equivalencia financiera es, por tanto:

( )( ) 10048676,1

0048676,10048676,0624.615.28a

180

180

−×=

= $239.026.

El resultado muestra que la pensión a recibir será muy conveniente, tanto

que su monto es más elevado que su sueldo antes de jubilar, el que con la información del problema se puede estimar en $150.000, ya que la cotización neta corresponde a un 10 % del sueldo imponible. (Vale la pena preguntarse por qué cuando las AFP hacen a sus afiliados este tipo de cálculo invariablemente obtienen cifras mucho menores).

Como una extensión del mismo caso, es interesante comparar la renta de

duración infinita que daría a su poseedor un capital como el calculado en este caso. Esta sería la situación en que el afiliado pudiera retirar todo el capital reunido y depositarlo a la misma tasa de los cálculos anteriores en una institución financiera y retirar sólo los intereses, dejando intacto el capital para sus herederos.

Derivado de [12], la renta infinita que genera un capital es:

a = V0 x i. a = 28.615.624 x 0,0048676 = $139.289.

Este sería el monto que percibiría por mes el dueño del capital sólo por los intereses del mismo, sin gastar el capital y en moneda del mismo valor siempre. Este es el tipo de cálculo que debieran hacer las personas que sueñan con ganar un suculento premio de la lotería u otro concurso parecido. Es frecuente en estos casos cometer el error de calcular la renta mensual o anual que les reportaría el premio mayor utilizando la tasa nominal de interés. Si el poseedor del capital retirara en cada período el interés nominal, su renta al principio sería bastante más alta que en el caso de retirar sólo el interés real, pero en tal caso los retiros serían nominalmente constantes, sin reajustes por inflación, perdiendo poder adquisitivo a medida que pase el tiempo.

3.2. Créditos. Problema 8.

Un artículo de una tienda tiene un precio al contado de $40.000. Para

venderlo al crédito la tienda cobra $8.000 de "pie" y 5 cuotas mensuales de $8.000 cada una. ¿Cuánto es la tasa de interés del crédito?

Dado que al momento de retirar el artículo de la tienda hay que cancelar

$8.000, la deuda por la cual se cobra las 5 cuotas asciende a $32.000. Este es el valor actual del crédito, por lo que la equivalencia financiera es la que muestran, primero el gráfico y luego la ecuación respectiva:

Por encima del eje aparecen los pagos correspondientes al crédito (un pie

de $8.000 en el momento cero y 5 cuotas de $8.000 al final de cada mes), y bajo el mismo el equivalente pago al contado.

La ecuación es:

( )[ ]( )5

5

i1i

1i1000.8000.32

+−+=

i ≈ 0,079 ó 7,9 %.

Como se recordará del capítulo 1.3.2., un comprador no debe aceptar el

argumento de un vendedor que le asegure que el interés que se le está cobrando "es bajo, ya que como el pago total será de $48.000 (8.000 + 5 x 8.000), o sea 20 % más que el precio al contado, repartido en 5 meses resulta un interés de 4 % mensual". Este argumento contiene el error de calcular el interés sobre el total de la deuda y no sobre los saldos adeudados período a período, como corresponde.

0 1 2 3 4 5

8.000 8.000 8.000 8.000 8.000 8.000

meses

40.000

Problema 9.

El precio al contado de un artículo es de $50.000. Una forma de venta al

crédito que ofrece la tienda es pagar $15.000 de "pie" pero con un cheque a 30 días y luego cancelar 10 cuotas de $5.500 cada mes pagando la primera al final del segundo mes. ¿ Cuánto es el interés mensual del crédito cobrado efectivamente por la tienda?

Aunque este problema tiene bastante similitud con el recién estudiado,

posee la particularidad de que todos los pagos se encuentran diferidos en un período. La forma más sencilla de resolverlo es fijar provisoriamente el momento cero un período más tarde (es decir al final del período uno), y luego actualizar el resultado. El siguiente gráfico explica mejor la situación (cifras en miles de pesos):

Sobre el eje aparece el pago del pie de $15.000 y las 10 cuotas

mensuales de $5.500 cada una, todas diferidas en un período respecto del momento cero. Al plantear la ecuación correspondiente debe recordarse que la fórmula para actualizar una cuota periódica asume que cada pago ocurre al final del respectivo período. Esto significa que hay que considerar como momento cero al período 1 para efectos de plantear la fórmula y actualizar toda la expresión desde el período 1 al 0, de la siguiente forma:

( )[ ]( ) ( )i1i1i

1i1500.5i1

000.15000.50

10

10

++−++

+=

Donde el valor de i que satisface la ecuación es 0,0705, que es la tasa

cobrada por el crédito, aproximadamente 7%. Este tipo de caso es aplicable a aquellas promociones publicitarias muy

frecuentes en ciertas épocas del año y cuyo lema es "compre ahora y pague después".

Nótese que si el crédito fuese "normal", es decir, sin diferir la serie de

pagos, el planteamiento de la solución sería:

15 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

50

( )[ ]( )10

10

i1i

1i1500.5000.15000.50

+−++=

Donde la tasa resultante es alrededor de 9 % mensual, lo que hace una

buena diferencia con el 7 % del planteamiento anterior. Esto se puede interpretar como que el efecto de diferir los pagos es significativo sobre la tasa de interés que verdaderamente se está cobrando al comprador, favoreciéndolo en este caso.

Problema 10. Se desea pedir prestada en una institución financiera la cantidad de

$100.000 pagando una cuota máxima de $8.000 al mes. Si la tasa de interés nominal es de 4 % mensual, ¿en cuántas cuotas deberá contratarse el préstamo si los gastos notariales y otros de la solicitud ascienden a $8.000, cargados al mismo préstamo?

Hay dos formas de interpretar este planteamiento. La primera es asumir

que el solicitante desea los $100.000 netos de gastos, por lo que el préstamo debe considerarse como si fuese de $108.000, y la segunda es que los gastos notariales se descuenten del préstamo y por lo tanto el monto recibido será $ 92.000. El planteamiento de ambas situaciones, en términos financieros, es el siguiente:

( )[ ]( )n

n

04,104,0

104,1000.8000.108

−=

n ≈ 20 meses.

La segunda situación se plantea:

( )[ ]( )n

n

04,104,0

104,1000.8000.100

−=

Siendo n en este caso aproximadamente 18 meses (sin olvidar que el

solicitante recibirá sólo $92.000, ya que pagará $8.000 de gastos al momento de recibir el dinero).

Un alcance más interesante derivado de este ejemplo es conocer la tasa

de interés que verdaderamente se le cobra al solicitante del crédito por el hecho de financiar gastos notariales y no recibir realmente la cantidad solicitada. A partir de la segunda situación planteada, la ecuación correspondiente es la siguiente:

( )[ ]( )18

18

i1i

1i1000.8000.8000.100

+−++=

Siendo i ≈ 0,052, es decir 5,2 %. El solicitante debe saber, entonces,

que al pedir un préstamo donde debe financiar gastos adicionales, la tasa que verdaderamente termina pagando es más alta que la declarada por la institución financiera que otorga el préstamo. Esto no significa que haya un engaño, ya que suscribir un crédito efectivamente tiene costos inherentes al contrato mismo, aunque es deseable que el solicitante conozca cabalmente esta información.

Problema 11.

Desarrollar la tabla de amortización de un crédito de US $1.000.000

pagadero en 10 años en cuotas iguales, con una tasa de interés de 10 % anual y 3 años de gracia.

Se desarrollarán las dos formas de interpretar un crédito con años de

gracia. La primera, que es más habitual, es asumir que durante el período de gracia el deudor paga los intereses, dejando la deuda constante, la que se amortiza durante los 7 años restantes.

La cuota a pagar es de 100.000 durante los 3 primeros años y para los 7

años restantes:

( )( ) 11,1

1,11,0000.000.1a

7

7

−×=

= US$ 205.405,5.

La Tabla Nº 5 contiene la tabla de amortización para el período completo

de 10 años, como se presenta a continuación. En ella se observa que durante los tres primeros años se paga solamente los intereses de la deuda, los que ascienden a US$ 100.000 por año, para recién comenzar a amortizar en el cuarto año.

TABLA Nº 5

TABLA DE AMORTIZACION (Años de gracia cancelando intereses)

AÑO SALDO ADEUDADO CUOTA INTERESES AMORTIZACION

1 1.000.000,0 - 100.000,0 -

2 1.000.000,0 - 100.000,0 -

3 1.000.000,0 - 100.000,0 -

4 1.000.000,0 205.405,5 100.000,0

5 894.594,5 205.405,5 89.459,5 115.946,0

6 778.648,5 205.405,5 77.864,9 127.540,6

7 651.107,9 205.405,5 65.110,8 140.294,7

8 510.813,2 205.405,5 51.081,3 154.324,2

9 356.489,0 205.405,5 35.648,9 169.756,6

10 186.732,4 205.405,5 18.673,2 186.732,3

La segunda forma de contratar el crédito es asumir que durante los años

de gracia no se cancela nada, por lo cual la deuda acumula los intereses durante 3 años, transformándose en:

Vn = 1.000.000 (1,1)3 = US $1.331.000.

Ahora la cuota para los 7 últimos años es:

( )( ) 11,1

1,11,0000.331.1a

7

7

−×=

= US$ 273.394,7.

Con esta información la nueva tabla de amortización aparece en la siguiente Tabla Nº 6.

TABLA Nº6

TABLA DE AMORTIZACION

(Años de gracia sin cancelar intereses ni amortización)

AÑO SALDO ADEUDADO CUOTA INTERESES AMORTIZACION

1 1.000.000,0 - - -

2 1.000.000,0 - - -

3 1.210.000,0 - - -

4 1.331.000,0 273.394,7 133.100,0 140.294,7

5 1.190.705,3 273.394,7 119.070,5 154.324,2

6 1.036.381,1 273.394,7 103.638,1 169.756,6

7 866.624,5 273.394,7 86.662,5 186.732,2

8 679.892,3 273.394,7 67.989,2 205.405,5

9 474.486,8 273.394,7 47.448,7 225.946,0

10 248.540,8 273.394,7 24.854,1 248.540,6

Problema 12.

Se desea solicitar un préstamo de $2.070.000 a dos años plazo. El banco ofrece 2 alternativas:

a) 24 cuotas de 6,5 U.F. mensuales. b) 24 cuotas de $122.257 mensuales. ¿Qué alternativa le conviene escoger al solicitante del préstamo? El valor

de la unidad de fomento (UF) al momento de solicitar el crédito se supone de $15.000.

La decisión del solicitante, desde el punto de vista financiero, depende de

la tasa de interés asociada a cada una de las alternativas.

La primera alternativa está asociada a una tasa de interés real, por estar expresada en una unidad reajustable, y la segunda se asocia a una tasa de interés nominal, ya que las cuotas no tienen incorporado mecanismo de reajuste alguno. Para comparar las alternativas es necesario conocer las respectivas tasas que se utilizan y luego expresar ambas en el mismo tipo de tasa según la estimación de inflación que se tenga para los próximos 2 años, que es el tiempo de duración del pago de las cuotas.

El monto del préstamo de la primera alternativa es:

U.F. 138000.15

000.070.2=

La tasa de interés de esta opción es:

( )[ ]( )24

24

i1i

1i15,6138

+−+=

Donde i ≈ 0,01. El interés real es aproximadamente 1 % mensual. La tasa de interés de la segunda alternativa es, por su parte, la siguiente:

( )[ ]( ) 24

24

i1i

1i1257.122000.070.2

+

−+=

Donde i ≈ 0,03, es decir, aproximadamente 3 % de interés nominal. El resto del análisis se puede hacer exclusivamente con las tasas de

ambas alternativas. Entre las dos existe una diferencia aproximada de 2 %, que es la estimación de inflación que tiene el propio banco. (Debe recordarse que el cálculo exacto de la inflación en estos casos no se obtiene mediante la diferencia entre las tasas sino a través de la relación ya conocida, pero tratándose de tasas pequeñas como éstas puede usarse una aproximación. El valor exacto aquí es 1,98 %).

Si el solicitante del préstamo piensa que la inflación promedio de los

próximos 24 meses será menor que 2 % mensual debiera preferir la primera alternativa, cuyo interés nominal resultará menor que la otra opción. Pero si piensa, en cambio, que la tasa de inflación en promedio en ese período superará el 2 %, entonces le conviene optar por el crédito en cuotas expresadas en pesos no reajustables.

Un alcance general en este tipo de situaciones es que las entidades

financieras disponen de mejor información que sus clientes para estimar la inflación, y que siempre se resguardan del riesgo sobreestimando esta tasa, de modo que habitualmente son preferibles los créditos pagados en UF.

Problema 13. La cuenta de ahorro de un banco ofrece una tasa de 5,7 % anual

expresada en UF. El mismo banco ofrece también un documento a plazo, renovable automáticamente cada 30 días con el 2,2 % de interés nominal mensual. ¿Qué alternativa es preferible si se estima una tasa de inflación anual de 24 %?

Este caso tiene características similares al anterior, por lo tanto no ofrece

mayores dificultades para resolverlo. Se ha querido incluir porque muestra una situación muy frecuente para los ahorrantes. Una forma de solución es comparar las tasas nominales.

La tasa final a pagar por la cuenta de ahorro es:

(1,24) (1,057) - 1 = 0,31068 La tasa nominal anual del documento renovable es:

(1,022)12 - 1 = 0,2984 Esto significa que es preferible la cuenta de ahorro, ya que 0,298 < 0,311. Debe tenerse en cuenta que la estimación de inflación nunca es

completamente segura, por lo que si la diferencia entre las alternativas no es muy significativa debe preferirse la opción expresada en UF + interés real.

Problema 14. El sitio para edificar una vivienda se vende en $3.000.000, cancelando el

25 % al contado y el resto a 3 años de plazo en pagos trimestrales expresados en U.F. Calcular el monto de las cuotas dado un valor de la U.F. de $15.000 y una tasa de interés anual de 11 %.

El valor de las cuotas se puede obtener de dos maneras. Una es calcular

la tasa de interés trimestral equivalente a 11 % anual y otra es usar la expresión [11] para pagos a intervalos. Se desarrollarán ambas a continuación, considerando que la deuda es de $2.250.000 (75 % de $3.000.000).

La tasa de interés trimestral, i(trim), es:

( ) 111,1i 4)trim( −=

= 0,0264.

Ahora el problema queda convertido en conocer el valor de una cuota

periódica constante con la fórmula usual.

( )( ) 10264,1

0264,10264,0000.250.2a

12

12

−

×=

= $221.209,6 trimestrales.

La segunda forma de calcular requiere de la tasa de interés mensual, que

es la siguiente:

( ) 111,1i 12m −=

= 0,00873

Siendo la cuota trimestral:

( )[ ]( )( ) 100873,1

00873,1100873,1000.250.2A

36

363

−

−=

El exponente 3 corresponde al intervalo de 3 meses y el exponente 36 es

el producto N x t , es decir el número de pagos por el intervalo, o tiempo total de la serie de pagos trimestrales.

A = $ 221.235,3 trimestrales.

La pequeña diferencia entre los dos resultados es atribuíble a las

aproximaciones en el cálculo de las tasas. Finalmente, como la deuda debe expresarse en U.F. según señala el

enunciado del presente caso, la cuota resultante es:

UF 749,14000.15

3,235.221= trimestrales.

Problema 15.

Se necesita comprar una motosierra cuyo precio contado es $300.000. La

casa comercial ofrece tres formas de pago: la primera es el pago en efectivo y al contado, por lo cual el vendedor hace un descuento de 5 % ; la segunda es pagar $50.000 al contado y 5 cuotas de $56.250 mensuales; y la tercera es 3 pagos iguales a 30, 60 y 90 días, sin el descuento de 5 % sobre $300.000 mencionado en la primera opción. ¿Cuál posibilidad es más conveniente? Se asume una tasa alternativa del capital de 2 % mensual.

El problema consiste en comparar las dos últimas formas de pago con el

precio contado. La particularidad de este caso es identificar correctamente el precio contado. En este sentido, dado que el vendedor descuenta 5 % en esta modalidad, entonces el precio contado del artículo es $285.000.

El valor actual de la segunda forma de pago es:

( )[ ]( )5

5

002,102,0

102,1250.56000.50V

−+=

= $315.132,1.

El valor actual de la tercera forma de pago es:

32002,1

000.100

02,1

000.10002,1000.100

V ++=

= $ 288.388,3.

Alternativamente esta opción se puede plantear, con el mismo resultado:

( )[ ]( )3

3

002,102,0

102,1000.100V

−=

Entre las 3 opciones es preferible la forma de pago en efectivo, en

segundo lugar los 3 pagos iguales y al final el crédito a 5 meses. Es interesante observar cuánto es la tasa de interés en las 2 opciones

con crédito. Los respectivos planteamientos son:

( )[ ]( )5

5

i1i

1i1250.56000.50000.285

+−++=

De donde i ≈ 0,063 para la segunda alternativa. Y la tercera, a su vez:

( )[ ]( )3

3

i1i

1i1000.100000.285

+−+=

Siendo en este caso i ≈ 0,026 ó 2,6 %. Estos resultados son consistentes con los anteriores, lo que era

previsible.

El problema también se puede resolver, entonces, mediante el análisis de las tasas, como se muestra aquí.

Problema 16.

Un sufrido deudor hipotecario contrató hace 4 años atrás un crédito para la compra de su vivienda a 12 años plazo y 10,5 % de interés anual, pagando dividendos mensuales de 11,2 U.F., excluyendo el pago por concepto de seguro de incendio y desgravamen, habitualmente exigidos por los bancos en este tipo de créditos. Transcurridos 4 años el deudor se encuentra impago del último año completo y acude a repactar su deuda con el banco. Este acepta una disminución de la tasa de interés a 9 % anual, acumular la parte de deuda morosa al nuevo saldo y otorgar nuevamente un plazo de 12 años a contar desde el momento de la repactación. Se desea calcular el monto del dividendo mensual que seguirá pagando el deudor del crédito luego de la repactación.

En primer lugar, cualquiera sea la forma de resolver el problema, es

necesario transformar las tasas anuales en mensuales. Estas son: Antes de la repactación:

( ) 105,1i 12m −=

= 0,008355.

Interés de la repactación:

( ) 109,1i 12m −=

= 0,007207.

El orden para resolver el problema será calcular primero el monto del

préstamo solicitado inicialmente, a partir de los antecedentes conocidos: dividendo, interés y plazo (144 meses en este caso).

El monto del préstamo es el valor actual de 144 cuotas de 11,2 UF cada

una:

( )[ ]( )144

144

0008355,1008355,0

1008355,12,11V

−=

= 936,0 U.F.

Luego se calculará el monto en mora y la deuda original que se debe al final del año 4, de acuerdo con el enunciado del caso.

La deuda morosa son 12 dividendos de 11,2 UF al final del año cuarto.

Este es un valor futuro, porque hay que llevar las 12 cuotas desde el principio hasta el final del tercer año:

( )[ ]008355,0

1008355,12,11V

12

n−=

= 140,75 U.F.

El saldo original adeudado al final del cuarto año es de 96 dividendos de

11,2 U.F. (12 meses x 8 años).

( )[ ]( )96

96

0008355,1008355,0

1008355,12,11V

−=

= 737,4279 U.F.

Ahora, el total adeudado al final del año 4 es la suma de este saldo y el

saldo moroso, es decir 878,1779 UF, que es el monto a repactar a 12 años plazo (144 meses), con la tasa de interés de la repactación, que es 0,007207 mensual. Las cuotas serán del siguiente monto:

( )( ) 1007207,1

007207,1007207,01779,878a

144

144

−×=

= 9,821 U.F. mensuales.

La cuota mensual es inferior a la anterior, que es el objetivo buscado en

la repactación. Es interesante hacer un alcance en este caso a una queja que es

frecuente encontrar entre los deudores habitacionales, quienes resaltan el hecho de que después de pagar durante un largo período siguen debiendo casi tanto como la deuda original. En esta apreciación del deudor existe una confusión entre valores ubicados en distintos momentos del tiempo y, por lo tanto, de diferente poder adquisitivo.

Tomando el caso desarrollado en este ejemplo, el deudor tenía una

deuda inicial de 936,0 UF y al final del tercer año la deuda es de 737,4279 UF (sólo el saldo adeudado, sin considerar la parte morosa).

Supóngase que en esos 3 años los porcentajes de aumento del Índice de Precios al Consumidor fueron 20 %, 26 % y 18 % respectivamente, por lo que el reajuste del poder adquisitivo del dinero en estos 3 años alcanza a:

1,20 x 1,26 x 1,18 = 1,78416

La unidad de fomento, entonces, ha tenido también un alza en esta

misma proporción. Si suponemos que al inicio del período el valor de ésta era de $5.000, entonces al final es $8.920,8. Esto significa que la deuda original en términos nominales era de $4.680 000 ($5.000 x 936,0 UF) y al final de los 3 años es de $6.578.438,7 ($8.920,8 x 737,4270 UF), claramente superior, a pesar de haber disminuido en términos reales. Sin embargo, la observación de las cifras nominales puede desanimar a cualquier deudor, que verá incrementar su deuda (nominal), a pesar de haber pagado una parte de la misma.

Un análisis más adecuado es comparar la relación entre el saldo

adeudado y la remuneración del deudor en un momento cualquiera para saber si ha habido cambios en la relación. Esta es la fuente de origen de una buena parte de los ataques que recibe la Unidad de Fomento como unidad de reajuste, debido a que para la mayoría de la gente se produce un desfase entre su deuda, que sube diariamente según el IPC, y su remuneración, que se reajusta en períodos mayores, habitualmente 1 año y a veces menos, según el contrato de trabajo. El problema se agrava cuando los reajustes de remuneraciones alcanzan un porcentaje inferior al IPC y obviamente más aún cuando el sueldo del deudor disminuye en términos absolutos.

Otra manera de hacer la comparación, tal vez más realista aún, es

comparar el monto adeudado en un momento cualquiera en relación con el valor comercial de la casa, puesto que debe tomarse en cuenta que este valor también crece con el tiempo. De esta forma se puede tener una idea más real de la relación entre lo que ha pagado el deudor y lo que aún resta por pagar, pero tomando en cuenta el valor corregido del inmueble que está comprando.

3.3. ¿Comprar o arrendar?

En este capítulo se analizarán casos donde hay que tomar la decisión entre adquirir un activo o arrendarlo. La dificultad básica para resolver este tipo de problemas es que entre este tipo de opciones hay una distinta distribución de los pagos en el tiempo, generalmente acumulados al comienzo en la opción de comprar y repartidos más equitativamente en el caso de arrendar. Adicionalmente, la primera opción también presenta la dificultad del financiamiento, aunque en términos estrictamente económico-financieros por lo general es más barata.

Problema 17. Una empresa contratista ha firmado un contrato para ejecutar una faena

de 15 meses de duración para la cual necesita un "jeep", el que puede comprar o arrendar.

Un vehículo usado cuesta $4.200.000 y la forma de pago es $2.400.000

al contado, más 3 pagos a 30, 60 y 90 días de $600.000 cada uno. Al término de la faena se estima que puede revenderse en $3.600.000, gastando unos $900.000 en repararlo completamente.

Alternativamente se puede arrendar un vehículo de similares

características por $258.000 mensuales. Todos los demás gastos son iguales en ambas opciones (combustible, mantención, reparaciones, etc.). Si la tasa alternativa del capital para esta empresa es de 1 % mensual, ¿le conviene comprar o arrendar el vehículo?

Dado que el plazo de duración de las dos posibilidades es similar, bastará

con comparar los valores actuales de los costos de ambas alternativas. La comparación entre costos es habitual cuando los beneficios asociados a las alternativas son similares, como en este caso, donde el servicio que prestarán tanto el vehículo propio como el arrendado es el mismo.

En el caso del vehículo propio los gastos son el precio de compra menos

el valor de reventa, el que asciende a $2.700.000 netos (15 meses más tarde), descontado el monto de las reparaciones para la venta.

El valor actual de costos del "jeep" propio, VAC(p), se calcula:

( )[ ]( ) ( )153

3

01,1

000.700.2

01,101,0

101,1000.600000.400.2)p(VAC −

−+=

= $1.838.948.

El valor actual de costos del "jeep" arrendado, VAC(a), es la

descapitalización de la cuota de arriendo mensual más el seguro, lo que totaliza $258.000 mensuales. (Habitualmente los contratos de arrendamiento obligan a tomar un seguro, pero como este gasto puede considerarse como válido también para el vehículo propio, pasa a ser un costo irrelevante, dado que el beneficio de tomar un seguro es similar en ambos casos).

( )[ ]( )15

15

01,101,0

101,1000.258)a(VAC

−=

= $3.357.184.

La alternativa de comprar el vehículo es más barata que arrendar. En este tipo de casos, como se señaló al comienzo, es habitual encontrar

que la opción de comprar es preferible a arrendar, en términos generales, ya que en el cobro por arriendo está incluido al menos la utilidad del dueño de la máquina. Las empresas que escogen la opción de arrendar lo hacen por diversas razones, entre otras por la dificultad de financiamiento de la compra al contado, o bien, si la intensidad del uso de la máquina es baja, situación en la que conviene arrendar. Tampoco es válido el argumento que alguien podría dar en favor de arrendar un activo, señalando que la máquina propia se deprecia o tiene costos de oportunidad, ya que estos costos con toda seguridad también deben estar incluidos en el precio del arriendo.

Otra consideración relevante es la que se relaciona con el distinto efecto

que tienen ambas alternativas sobre el impuesto a las utilidades: el valor de un arriendo es completamente imputable como costo, para efectos del cálculo del citado impuesto, en cambio cuando se compra un vehículo se imputa la depreciación y los intereses bancarios, si se compra al crédito.

Este mismo caso es útil para observar el cambio que se produce en el

caso de comprar el vehículo mediante un crédito. Supóngase que la compra del "jeep" se financia mediante un préstamo pagadero en 15 meses con el 18 % de interés anual. Esta tasa equivale a 0,0139 mensual.

La cuota del crédito es:

( )( ) 10139,1

0139,10139,0000.200.4a

15

15

−

×=

= $312.138 mensuales.

Entonces el valor actual de costos de la alternativa de "jeep" propio es

ahora:

( )[ ]( ) ( )1515

15

01,1

000.700.2

01,101,0

101,1312.138)p(VAC −

−=

= $2.002.166.

El costo ahora es un poco más elevado que la compra sin préstamo,

debido a los intereses, pero de todos modos resulta más conveniente comprar que arrendar en este caso, aún financiando la compra con un crédito.

Problema 18. Un aserradero firmó un contrato de venta de toda su producción de

madera durante 10 meses, a un comprador de Santiago, a razón de 22.500 pulgadas mensuales.

El precio del flete de madera aserrada es de $104 por pulgada, por

tratarse de un contrato de largo plazo, facturado mensualmente, en un camión con capacidad para 1.500 pulgadas por viaje.

Alternativamente, el dueño del aserradero piensa en la opción de comprar

un camión de capacidad similar para realizar la actividad de flete mediante gestión propia. Se asume que un camión de segunda mano se puede encontrar por un precio de $27.000.000, el que al cabo de 10 meses se puede revender en $25.200.000. Además se incurriría en los siguientes gastos: chofer, a $290.000; mantención y reparaciones, $110.000; gastos de viaje, $780.000; y otros (seguro, patente, etc.), $160.000 por mes.

La tasa alternativa mensual es de 2 % ¿cuál opción es preferible? Este caso, aunque ahora plantea la comparación entre comprar un medio

de transporte propio o pagar por el flete, tiene básicamente el mismo tipo de solución que el anterior. Dado que la duración de las alternativas es similar, bastaría con calcular los valores actuales de los costos de las opciones. Sin embargo, en este caso se planteará la solución mediante el costo mensual equivalente, utilizando la expresión [8].

El costo mensual de la opción de pagar a terceros por el flete, dado que

se transportarán 22.500 pulgadas a $104 por pulgada, es:

22.500 pulg/mes x $104 = $1.170.000 / mes. La opción del camión propio, por su parte, tiene algunos gastos definidos

mensualmente y otros, como el costo de adquisición y la recuperación por reventa, deben transformarse a su equivalente mensual para hacerlos comparables. Los gastos mensuales totalizan $1.340.000 y el costo equivalente mensual de la adquisición y recuperación, CEM, es:

( )( )

( ) 102,1

02,102,0

02,1

000.200.25000.000.27CEM

10

10

10 −

−=

= $ 704.388 mensuales.

Por lo tanto es más conveniente la alternativa de comprar el camión y ejecutar el transporte de la madera por gestión directa, ya que el gasto total mensual asciende a $2.044.388, inferior al gasto mensual de pagar por el flete a terceros, aunque se aprecia una diferencia poco significativa, en este ejemplo. Por tal razón, la empresa debiera revisar más cuidadosamente el efecto de cada opción sobre el impuesto a la utilidad contable.

Es interesante notar que la forma de repartir periódicamente el costo de

adquisición y su recuperación por reventa es mediante la fórmula [8] aquí empleada, expresión que entrega el equivalente periódico de un monto actual. Más adelante se reexaminará este concepto para mostrar la forma adecuada de calcular el costo anual de uso de un activo en los estudios de costo de máquinas y equipos.

Problema 19.

Una empresa forestal iniciará una faena de cosecha de un bosque

contratando motosierristas, a quienes entregará las máquinas bajo la modalidad de cobrarles por el arriendo de estos implementos, aunque sin obtener ganancia sino solamente recuperando el costo. La máquina tiene un precio de adquisición de $ 450.000 y una vida útil estimada de 2 años con valor de reventa nulo. Los gastos de operación y mantenimiento son de responsabilidad del propio operario, el que le cobra a la empresa por ese concepto. Si la tasa de descuento fijada por esta empresa es de 15 % anual, calcular el cobro por arriendo de la motosierra por m3, asumiendo un rendimiento de 200 m3 de producción mensual en las condiciones de esta faena.

Del mismo modo que en el caso anterior, la solución se encuentra

transformando el precio de adquisición de la máquina en su equivalente mensual, dividiendo el resultado por la producción estimada para este período, previa transformación de la tasa alternativa en su equivalente mensual.

El cálculo de esta parte es el siguiente:

( ) 115,1i 12m −=

im = 0,0117.

El costo mensual equivalente es:

( )( ) 10117,1

0117,10117,0000.450CME

24

24

−

×=

= $21.614 de arriendo mensual.

Ahora, el arriendo por m3 es:

3

3m/1,108$

m 200

614.21$=

Extendiendo el mismo caso: ¿le conviene más al operador de la máquina

comprar su propia motosierra en vez de pagarle arriendo a la empresa? La respuesta a esta interrogante es inmediata: depende del costo de oportunidad del capital que tenga el operario, si compra la máquina con fondos propios, o de la tasa del crédito en el caso en que deba comprar con un préstamo. En ambos casos la decisión deberá ser favorable a comprar su motosierra propia si las tasas respectivas son inferiores a 0,0117 mensual, dependiendo también del acceso al crédito que tenga esta persona.

Problema 20.

Se asume que en el mercado se cobra $30.800 por hora de arriendo de un tractor forestal articulado. Para una faena de un año, una empresa de servicios de explotación analiza la posibilidad de comprar una máquina similar cuyos antecedentes son: valor de adquisición por importación directa, US $125.000 incluidos todos los gastos, pagaderos en 5 cuotas mensuales de US $25.000 cada una, en su equivalente de moneda nacional; valor de reventa de mercado al cabo de un año de uso, $37.100.000; uso estimado de la máquina, 20 días por mes a razón de 5 horas efectivas por día. El contrato de arrendamiento estipula que se paga por hora efectivamente trabajada.

Se estima que el precio del dólar, que en el momento de hacer los

cálculos es de $520, durante los próximos 5 meses subirá 2 % mensual en términos reales. La tasa de oportunidad del capital del contratista es 1 % real mensual. Se pide tomar la decisión de arrendar o comprar el tractor.

Se comparará el costo horario del tractor propio versus el precio del

arriendo por hora. Este problema presenta la diferencia de que la cuota mensual a pagar sufrirá un incremento bajo la forma de una tasa constante.

Mediante el siguiente gráfico se observa con mayor claridad la serie

resultante, expresada en pesos:

0 1 2 3 4 5

13.260.000 13.525.200 13.795.704 14.071.618 14.353.050

Dado que se trata de una serie de pocos períodos, su valor actual se

puede calcular directamente, sin utilizar la fórmula correspondiente a una serie creciente a una tasa constante:

5432001,1

050.353.14

01,1

618.071.14

01,1

704.795.13

01,1

200.525.13

01,1

000.260.13V ++++=

V0 = $66.956.370. También este valor actual se puede calcular mediante la expresión [19],

siendo la tasa g = 0,02 y el monto inicial de la serie Co = $13.000.000 (US$ 35.000 x $520).

5

55

001,1

02,101,1

02,001,0

02,1 13.000.000V

−×

−×=

= $66.956.370.

En seguida corresponde distribuir este valor actual en 12 cuotas

mensuales, restando previamente el valor de reventa al cabo del año de uso.

( )( )

( ) 101,1

01,101,0

01,1

000.100.3766.956.370CME

12

12

12 −

−=

= $3.023.702.

Este es el costo mensual equivalente de una máquina propia. El costo mensual de arrendar un tractor por horas, de acuerdo con el

enunciado del caso es: 30.800 [$/hr] x 5 [hr/día] x 20 [días/mes] = 3.080.000 [$/mes] Resulta ligeramente más barato comprar el tractor forestal articulado que

arrendar uno. En este caso particular, si la empresa tuviera que afrontar la compra mediante un crédito, la diferencia entre las alternativas llega a ser insignificante. A continuación se analiza esta variante.

Supóngase que se aplica una tasa del 2 % por concepto de interés por el

crédito. Esta tasa es adicional al alza que experimentará el dólar.

El valor actual del monto adicional que tendrán las cuotas es de $4.153.865, el que repartido de la misma forma en 12 mensualidades agrega $369.066 por mes, arrojando un nuevo valor mensual equivalente para esta opción de $3.392.768, la que ahora es un poco más cara que arrendar una máquina por horas.

La decisión de la empresa, en este caso en que la diferencia entre las dos

opciones es pequeña, va a depender de otras consideraciones tales como la seguridad de contar siempre con la máquina arrendada o de utilizar a lo menos 5 horas diarias y 20 días al mes la máquina propia, ya que si el tiempo de uso fuera menor, sería más conveniente la máquina arrendada. Este análisis, denominado de punto de equilibrio, se detalla al final del problema 21, el que se presenta en seguida del análisis del costo anual de una máquina.

El costo anual de una máquina.

El caso Nº 20 recién desarrollado permite derivar una ecuación válida para calcular el costo de una máquina, equipo o de un activo cualquiera, en general, expresado por unidad de tiempo (año o mes, comúnmente). Si se denomina:

CPE = costo periódico equivalente, en $/unidad de tiempo. PC = precio de compra del activo, en pesos. R = valor de reventa del activo al final de su vida útil, en pesos. N = vida útil,en años o meses. I = tasa alternativa del capital, en valor decimal. Entonces el costo periódico equivalente del activo es:

( )( )

( ) 1i1

i1i

i1

RPCCPE

N

N

N −++×

+−=

El término en paréntesis representa el valor actualizado neto del activo y

el segundo término es el factor de recuperación del capital, como se vio anteriormente.

Obsérvese que la expresión de arriba incorpora en forma implícita el

costo por depreciación del activo, dado por la diferencia entre su precio de compra y el valor de reventa que alcanza éste una vez cumplida su vida útil. Para esta expresión debe señalarse un alcance que es necesario considerar cuando el caso lo requiera: si el valor de reventa del activo es mayor que el valor de libros o residuo contable al momento de desprenderse de él, tal diferencia debe corregirse por la tasa del impuesto a la utilidad, ya que dicha diferencia está afecta al cálculo de este impuesto.

Esta forma de repartir el costo de una máquina en su equivalente

periódico se usa con muy poca frecuencia en los estudios de costo de la producción forestal, y ha sido mucho más habitual utilizar para estos fines el cálculo de la depreciación más el costo de oportunidad de la inversión bajo una modalidad denominada IIMA (interés sobre la inversión media anual), que es un promedio de los costos de oportunidad aplicados período a período sobre el valor residual de la inversión, el que va disminuyendo a medida que se deprecia. Los resultados entre esta forma de cálculo (depreciación más IIMA) y la forma correcta del costo periódico equivalente difieren, aunque la diferencia depende del monto de la tasa de interés y del número de períodos de vida útil. Sin embargo, para las personas que no tienen dominio acabado del análisis económico-financiero, el cálculo de la depreciación más el IIMA es una buena aproximación al valor correcto del costo de uso de un activo por unidad de tiempo.

El siguiente ejemplo ilustra el cálculo de dicho costo mediante las dos

modalidades, y permite apreciar la diferencia entre ambos. PC = $ 1.000 R = $ 200 N = 5 años. I = 0,1. La depreciación lineal simple, D, se calcula:

5200000.1

NRPC

D−=−=

= $ 160 por año.

Y el interés sobre la inversión media anual, IIMA, es:

( )( )iR

N21NRPC

IIMA ×

+×

+−=

= $ 68 por año.

El costo de la máquina (D + IIMA) es $ 228 por año. El costo periódico

equivalente, CPE, es:

( )( )

( ) 11,1

1,11,0

1,1

200000.1CPE

5

5

5 −

−=

= $ 231 por año.

La primera modalidad subestima el costo en $ 3, cifra bastante pequeña

en el contexto del ejemplo. Esta forma siempre arroja valores menores que el costo periódico equivalente, porque en el fondo utiliza un tipo de interés simple al aplicar la tasa de interés como un promedio, tanto en el cálculo de la depreciación como en el IIMA. En efecto, nótese que dentro del paréntesis de la fórmula del IIMA se expresa el promedio de todos los valores residuales de la inversión, año por año, sobre el cual se aplica la tasa de interés. Problema 21.

Tomando la misma información del caso anterior y agregando una tercera

opción, la empresa tiene la posibilidad de arrendar un tractor similar bajo la modalidad de "leasing", que básicamente consiste en un arriendo con la opción de obtener la propiedad de la máquina pagando una cuota adicional al arriendo pactado. Se supone que el costo mensual del "leasing" para este caso es de $4.100.000 y que al cabo de 12 meses de arriendo la empresa se hace propietaria del tractor cancelando el equivalente de una 13º cuota. ¿Es más conveniente esta alternativa que las otras?

Esta variante tiene la particularidad de que son 13 cuotas que hay que

repartir en 12 mensualidades equivalentes para poder hacer la comparación, sin olvidar que al cabo del 13º mes la empresa queda en posesión del tractor, del que puede recuperar un valor de reventa, que se asumirá similar al caso de la alternativa de compra.

El valor actual de las 13 cuotas de la opción de "leasing" es:

( )[ ]( )13

13

001,101,0

101,1000.100.4V

−=

= $49.748.340.

El valor actual de la recuperación del valor de reventa al final del décimo

tercer mes es:

( )13001,1

26.500.000V =

= $23.284.558.

Entonces el valor actualizado de esta opción, neto de la recuperación de

la reventa, es:

VA neto = 49.748.340 - 23.284.558 = $26.463.782.

La distribución de este valor actual en la mensualidad equivalente, VME,

es la siguiente:

( )( ) 101,1

01,101,0782.463.26VME

12

12

−×=

= $2.351.275.

Esta opción resulta, en este caso, más cara que las otras dos, aunque la

diferencia es pequeña. Un breve alcance general a las opciones: si hay una buena oferta en el

mercado de arriendo de máquinas por horas, en el sentido de que la disponibilidad y el precio son competitivos, esta opción es preferible hasta una cierta intensidad de uso, medido en horas, de la máquina arrendada. Si la oferta de arriendos es limitada o insegura, la opción de comprar será preferible, al menos que la empresa tenga dificultades para financiar la compra, en cuyo caso el sistema de "leasing" pasa a ser la mejor opción, bastante accesible a la mayoría de las empresas.

Para ratificar este argumento, obsérvese que la opción de arrendar

resulta más barata que comprar con crédito al 2 % de interés sobre el alza del dólar, pero hasta una cierta cantidad de horas efectivamente trabajadas por la máquina. Basta dividir el costo mensual de una opción por el costo horario del arriendo para conocer este límite:

5,103$/hr 000.22$/mes 2.276.495 = horas mensuales

Esto significa que hasta una intensidad de uso de 103,5 horas por mes es

más conveniente arrendar una máquina, asumiendo que la oferta de arrendamiento no presenta problemas, pero si el número de horas de uso de la máquina supera esa cantidad, entonces es preferible comprar una.

Del mismo modo, en comparación con la opción "leasing", el límite que

hace más barato arrendar la máquina por horas es:

9,106$/hr 000.22$/mes 2.351.275 = horas mensuales

Finalmente, es muy importante dejar establecido que los resultados

numéricos no tienen carácter general (en el sentido de que en cada caso que se analice la decisión puede ser diferente) y tienen validez sólo para el caso aquí tratado, ya que las cifras son supuestas. Sin embargo, la sistematización de este problema permite tenerlo como modelo para enfrentar otros de similares características. La conclusión general es: dividir el costo mensual equivalente de una máquina propia por el costo horario de arriendo para encontrar el número de horas de intensidad de uso mensual que equipara las opciones.

3.4. Punto de indiferencia entre alternativas.

En este capítulo se enfatiza el tipo de decisiones financieras donde, ya sea porque falta información o simplemente porque el análisis así lo requiere, es necesario encontrar un valor que hace iguales a dos o más opciones, de modo que el responsable de tomar la decisión pueda optar el camino a seguir según su propia estimación del curso más probable que tengan las alternativas.

Los capítulos anteriores ya han tratado en parte este enfoque, específicamente en los problemas 12 y 13 respecto de la tasa de inflación y en el caso 21 recién visto, donde el punto de indiferencia es el número de horas que hace iguales entre sí las opciones de arriendo, compra y "leasing".

Problema 22.

Un aserradero tiene una partida de 10.000 pulgadas de madera encastillada en estado verde. El precio de la madera en estas condiciones es de $800 la unidad, pero si la deja secar durante 4 meses se espera que podrá venderla a mayor precio, aunque es difícil precisar cuánto más, en forma exacta. Si la tasa nominal bancaria de captación se espera sea del orden del 2% ¿es conveniente esperar o es preferible vender de inmediato?

El propietario del aserradero no dispone de suficiente información para

tomar la decisión. En este caso le falta saber cuánto puede subir el valor de la madera si la deja secar durante 4 meses. El costo de esperar está representado por la tasa de captación bancaria, ya que si vende de inmediato se podría depositar el dinero en el banco durante el mismo tiempo de secado del producto. El beneficio de esperar, por su parte, es el mayor precio que se puede obtener por la venta del producto en mejores condiciones de humedad (más seca).

La partida de madera tiene un valor de $8.000.000 en este momento

($800 x 10.000 pulgadas). Si se depositara esta suma, al cabo de 4 meses se transformaría en:

Vn = 8.000.000 (1,02)4

= $ 8.659.457.

Esto representa un alza de 8,24 % respecto del valor inicial de la madera. (También se puede llegar a esta cifra más rápidamente calculando la cuarta potencia de 1,02 cuyo resultado es 1,0824).

Ahora la toma de la decisión es más informada: si el propietario de la madera piensa que puede obtener más de un 8,24 % de mayor precio por venderla en estado seco, entonces deberá esperar. Por el contrario, si cree que nadie le pagará tal diferencia, entonces es preferible vender de inmediato. Problema 23.

El comprador de un bosque pagó recientemente por él la cantidad de $1.400.000 por hectárea, cometiendo el error de haber estimado equivocadamente la existencia maderera. Luego de efectuar la compra se da cuenta de que si lo vendiera de inmediato obtendría un precio de tan sólo $1.100.000 por hectárea. Sin embargo, la tasa de crecimiento del valor del bosque se estima en 14 % anual en promedio durante los próximos 10 años. ¿ Cuánto tiempo deberá esperar el propietario del bosque para recuperar por lo menos la inversión, si el costo de oportunidad del capital para este inversionista es de 8 % anual ?

El costo de la inversión aquí descrita está representado por lo que el comprador del bosque efectivamente pagó por él. Este costo, de $ 1.400.000, crecerá a la tasa alternativa del capital pertinente para el inversionista, que es 8 % anual.

El beneficio, por su parte, que tiene una cifra inicial de $ 1.100.000,

crecerá a la tasa de crecimiento del valor del bosque, es decir 14 % por año (con el supuesto implícito que el crecimiento de 14 % anual se debe al incremento volumétrico del bosque, asumiendo que el precio de cada m3 en pie se mantiene constante a distintas edades, lo que no es tan cierto en la realidad, ya que es legítimo esperar que la madera en pie aumente de valor por unidad con la edad debido al cambio que experimenta el diámetro de las trozas). El momento de recuperación de la inversión se encuentra cuando los costos y beneficios se igualen, lo que queda planteado de la siguiente manera:

1.400.000 (1,08)n = 1.100.000 (1,14)n

De donde se puede conocer el período que será necesario esperar para considerar recuperada la inversión:

000.400.1

000.100.1

14,1

08,1

n

n

=

0,9474 n = 0,7857

9474,0log7857,0log

n =

= 4,5 años.

Entonces es necesario esperar entre 4 y 5 años para recuperarse del

error cometido al comprar el bosque. El conocimiento de esta información no mejora por sí mismo el mal negocio ya efectuado, pero al menos permite saber cuánto hay que esperar para recuperar lo invertido. A pesar del error cometido, la inversión es buena, en este caso. Problema 24.

Una pequeña planta industrial de elaboración de madera comenzará trabajando a baja escala para ir aumentando su nivel de actividad en el futuro. Para eliminar el riesgo de contaminación por partículas de aserrín en suspensión, la planta está obligada a instalar ductos extractores de aire.

El costo de una pequeña instalación de extractores asciende a $6.400.000, la que se estima será necesario reemplazar en 8 años más. El costo de una instalación definitiva asciende a $13.440.000, recuperándose el 10 % del valor de la instalación antigua. La decisión que debe tomar la empresa es hacer la instalación pequeña para reemplazarla posteriormente por la grande o instalar de inmediato esta última. ¿ Qué tasa alternativa hace indiferentes a ambas opciones entre sí ?

El planteamiento de la solución es igualar las 2 opciones, dejando como

incógnita la tasa alternativa y cuidando de restar, en la segunda opción, el valor de recuperación de la instalación pequeña.

El costo actualizado de la primera opción es:

( ) 8i1

000.640000.440.13000.400.6

+

−+

En cambio hacer de inmediato la instalación grande tiene un costo actual de $13.440.000.

Entonces la tasa alternativa que hace indiferente la decisión entre las

opciones es:

( )13.440.000

i1

000.64013.440.000000.400.6

8=

+

−+

Simplificando y arreglando los términos:

(1 + i) 8 = 1,8181. De donde i ≈ 0,0776. Entonces, si la tasa alternativa de la empresa es superior a 7,76 % anual,

la opción de hacer la instalación pequeña primero para después proceder a reemplazarla, será preferible.

Los estudiantes que enfrentan por primera vez estas materias o cualquier persona poco habituada a tomar este tipo de decisiones, suelen cometer errores en la elección aún después de conocida la cifra que señala el punto de indiferencia que se está buscando, es decir la tasa de 7,76 % de este caso. Para estar seguro de que la elección ha sido correcta, basta con probar con un valor distinto del resultado obtenido, mayor que 7,76 en el caso de este ejemplo. Si se asume una tasa de 15 %, el costo actualizado de la opción de comprar el equipo pequeño para después cambiarlo es:

( ) 81,15

640.000- 13.440.000000.400.6CA +=

= $10.584.343.

Este monto es considerablemente inferior a la opción de hacer de

inmediato la instalación grande.

Nuevamente, como en casos anteriores, es necesario hacer notar que si la empresa tiene dificultades de financiamiento, entonces será preferible la alternativa menos exigente en cuanto a inversión inicial, como es la opción de comprar el equipo pequeño. Vale la pena señalar que si ésta fuera la situación, entonces no se podría con propiedad plantear la disyuntiva aquí analizada, pues la opción sería única: gastar lo menos posible al comienzo.

Problema 25.

Una empresa debe tomar la decisión de compra entre dos máquinas de distintos costos e igual vida útil, pero desconoce el valor de recuperación de una de ellas. Los antecedentes que se tiene son:

MAQUINA A MAQUINA B

COSTO ADQUISICION ($) 20.000.000 24.000.000

GASTOS ANUALES ($) 6.400.000 5.000.000

VIDA UTIL (años) 6 6

REVENTA ($) 8.000.000 DESCONOCIDA

Si el costo de oportunidad del capital es 8 % anual ¿qué valor de reventa de la máquina B hace indiferentes las alternativas?

La ecuación siguiente contiene al lado izquierdo el valor actual de los costos de la máquina A y al lado contrario (y más abajo), el valor actual de costos de la máquina B, denominando R(B) al valor de reventa que se desconoce. Las cifras se expresan en miles de pesos.

( )( )[ ]( ) ( )

( )[ ]( )6

6

66

6

6 08,108,0

108,1000.5

08,1

)B(R000.24

08,108,0

108,1400.6

08,1

000.8000.20

−+−=

−+−

De donde se obtiene que R(B) = M$ 4.077,197. Es decir, un valor de $4.077.197 por la reventa de la máquina B hace indiferente adquirir cualquiera de las dos. Por supuesto, cualquier valor de recuperación mayor que éste hace más atractiva la máquina B. La empresa debe ahora decidir tomando el valor de reventa calculado como referencia, situación más deseable que desconocer completamente esta información. Problema 26.

Una empresa que elabora un producto de consumo masivo desea lanzar una campaña de publicidad con la finalidad de aumentar sus ventas durante un largo período. La campaña se estima tiene un costo de $140.000.000 anuales durante los próximos 3 años.

¿Cuánto debiera ser el aumento mínimo de las ganancias netas producidas por la campaña, si la tasa alternativa del capital es 8 % anual? Se asumirá que los beneficios netos adicionales que tendrá la empresa como resultado de la campaña publicitaria serán constantes a partir del momento mismo del término de ésta, supuesto que no refleja exactamente lo que ocurrirá más probablemente, que será el progresivo aumento de las ventas desde el inicio mismo de la publicidad. También se asume que el aumento de los beneficios netos perdurarán durante un período suficiente como para considerarlo infinito.

El valor futuro, en 3 años más, del costo de la campaña publicitaria es:

( )[ ]08,0

108,1000.000.140V

3

n−

=

= $ 454.496.000.

Esta cifra es un capital capaz de generar una renta anual de duración

infinita igual a:

a = 454.496.000 x 0,08

= $ 36.359.680.

Lo que significa que para que la empresa tome la decisión de iniciar esta campaña, el aumento prolongado de sus utilidades no debe ser inferior a $ 36.359.680 anuales.

En este caso, como en cualquier otro, el ordenamiento de la información podría ser distinto, de acuerdo con las circunstancias de cada situación, pero la forma de resolverlo será la misma. Supóngase que la agencia de publicidad que atiende a la empresa del ejemplo ha dado seguridades de que el aumento marginal neto de las utilidades no será inferior a un cierto monto, estimado en $54.000.000 anuales. Ahora la empresa necesita saber cuánto es la cifra máxima que estaría dispuesta a pagar por la contratación de la campaña. El valor buscado es el capital capaz de generar la renta anual recién indicada, a partir de 3 años contados desde ahora.

El capital correspondiente a la renta mencionada es:

08,0

54.000.000V 0 =

= $ 675.000.000.

Este valor futuro repartido en una serie equivalente de 3 cuotas iguales

es:

( ) 108,1

08,00675.000.00a

3 −

×=

= $207.922.622.

Lo que significa que la empresa debe gastar como máximo alrededor de

208 millones de pesos anuales en una campaña como ésta para que se justifique la inversión en publicidad. Problema 27.

Un estudiante universitario está analizando desde el punto de vista "frío e impersonal del dinero" si verdaderamente le conviene estudiar determinada carrera universitaria. El estudiante acaba de quedar aceptado en la universidad en una carrera que demora 6 años (considerando un año de margen para posibles atrasos). El arancel anual cuesta $ 1.080.000 y dado su nivel de ingreso familiar estima que no podrá obtener crédito universitario ni becas.

El costo anual de la pensión asciende a $ 1.000.000 y los gastos de viajes a su casa y otros varios se estiman en $ 1.100.000 por año. Además, el estudiante piensa que si no ingresara a la universidad es posible obtener un empleo de $ 160.000 mensuales. Suponiendo una tasa alternativa del capital de 8 % anual ¿cuánto tendría que ser su remuneración mínima mensual después de egresar de la universidad, asumiendo que conseguirá empleo de inmediato, para que compense optar por estudiar esa carrera?

El esquema para resolver este caso es calcular el monto futuro que reuniría el estudiante (y sus padres) si optara por trabajar de inmediato en vez de estudiar en la universidad, para después calcular la renta anual que ese capital sería capaz de generar. En este caso existen dos tipos de costos involucrados en la decisión: costos explícitos (arancel, pensión y viajes) y el costo implícito de la remuneración alternativa, además del costo de oportunidad del capital. El costo total anual es entonces:

ARANCEL $ 1.080.000

PENSION $ 1.000.000

VIAJES Y OTROS $ 1.100.000

REMUNERACION ALTERNATIVA $ 1.920.000

TOTAL $ 5.100.000

El valor futuro del costo anual al cabo de 6 años es:

( )[ ]08,0

108,15.100.000V

6

n−

=

= $ 37.413.238.

Si se asume una vida laboral activa de 40 años, entonces este capital

podría generar una renta anual de:

( )( ) 108,1

08,108,037.413.238a

40

40

−

×=

= $3.137.480.

Lo que equivale a una renta mensual de $261.457. Entonces, la remuneración mínima que hace preferible la opción de

estudiar esta carrera universitaria es $ 421.457, sumando el sueldo alternativo a la renta que produce el capital que se formaría en esos años. La remuneración alternativa debe sumarse porque el estudiante puede obtenerla de todas formas, aunque no tenga un título universitario, de modo que los $261.457 es el ingreso marginal mínimo que debe obtener gracias a su título universitario, para que valga la pena obtenerlo, desde un punto de vista estrictamente monetario.

Es necesario hacer dos alcances a la solución de este problema. El primero es que para efectos de reducir cálculos, la renta anual resultante se transformó en su equivalente mensual simplemente dividiendo por 12, lo que es un resultado aproximado al valor correcto, como se sabe. Esta aclaración también es válida para los gastos de arancel y otros, que probablemente se paguen mensualmente, y para la remuneración mensual del sueldo alternativo, que se transformó en anual multiplicando por 12, sacrificando un poco de rigurosidad para no perder lo esencial de la solución del problema.

El segundo alcance es que, además de algunos supuestos implícitos

contenidos en la solución del problema, como asumir que las remuneraciones son constantes a lo largo de mucho tiempo, lo que no parece muy realista, se deja fuera del análisis el efecto de las distintas remuneraciones sobre el fondo de pensión (sueldo con y sin título universitario), aunque la influencia de este factor es pequeña, porque ocurre 40 años después del momento en que se toma la decisión.

Sin embargo, aprovechando este alcance, es interesante analizar un argumento esgrimido por algunos en contra de la tasa de interés, en el sentido de que ésta actúa en contra de los flujos alejados en el tiempo, minimizándolos. Así, el monto de la pensión mensual (cuando llegue el momento de jubilar) presenta un reducido monto expresado en valor actual, es decir desde el punto de vista financiero, pero nadie pondría en duda lo relevante que es ese dato para tomar opciones personales.

Obsérvese que las opciones difieren en $ 3.137.480 anual durante 40 años, lo que aporta $313.748 al fondo de pensiones anualmente, arrojando una diferencia de:

( )[ ]08,0

108,1313.748V

40

n

−=

= $ 81.278.462.

Este monto produce una renta mensual infinita de:

12

0,0881.278.462a

×=

= $ 541.856.

Que en valor actual es:

( )4601,08

541.856V =

= $ 15.718.

La diferencia de renta mensual infinita entre las dos opciones es de $

15.718, en valor actual, pero no cabe duda que $ 541.856 de diferencia en valor futuro es decisivo para inclinar la elección de cualquier persona. Con esto no se descalifica el concepto de valor actual neto, sino que se muestra que la percepción de las personas puede ser diferente según como se presente y se entienda la información.

Esta considerable reducción que la tasa de interés ocasiona en el valor

actual de los flujos alejados en el tiempo es un punto en discusión en materias de conservación ambiental, cuando existan efectos contaminantes de grandes proyectos prolongados en el tiempo. En estos casos el valor actual del costo de contaminar tiene una influencia casi insignificante sobre la evaluación del proyecto, aunque las generaciones futuras, que son las que sufrirán los efectos del deterioro del medio ambiente, evidentemente no lo pensarán así.

Debe tenerse en cuenta, entonces, este efecto en la evaluación de proyectos con externalidades negativas, particularmente aquellas que, aun cuando sean de un monto pequeño, permanecen prolongadamente en el tiempo. Problema 28.

El Departamento de Caminos de una empresa forestal está evaluando las opciones de construir una vía de acceso al bosque. Un camino de calidad inferior cuesta 1.000 unidades monetarias (u.m.) con un gasto de mantención anual de 200 u.m. y vida útil de 10 años. El camino de primera calidad, en cambio, tiene una inversión inicial 5 veces mayor, gastos de mantención de la mitad que el otro y una vida útil 3 veces mayor ¿qué alternativa es preferible?

Este caso presenta básicamente la particularidad de que enfrenta vidas útiles e inversiones iniciales muy disímiles entre las alternativas. Si no constituye una restricción la inversión inicial más cara, entonces para la comparación entre estas opciones se necesita el antecedente del costo de oportunidad del capital, para lo cual se hará un análisis de punto de equilibrio de los respectivos costos anuales equivalentes.

La igualdad de los respectivos costos anuales equivalentes tiene el siguiente planteamiento:

( )( )

( )( )

1001i1

i1i000.5 200

1i1

i1i000.130

30

10

10

+−++×=+

−++×

De donde se desprende que i ≈ 0,015 ó 1,5 % anual. A medida que la

tasa alternativa aumenta, obviamente ambas opciones se hacen más caras, pero la opción de mayor calidad aumenta más fuertemente su costo, haciéndose más conveniente la opción de menor calidad.

La siguiente Tabla Nº 7 muestra más claramente lo arriba señalado:

TABLA Nº 7

DIFERENTES COSTOS ANUALES EQUIVALENTES SEGUN TASA DE DESCUENTO

TASA (%) CAE camino CAE camino

calidad inferior calidad superior

0,0 300 267

1,0 306 294

1,5 308 308

2,0 311 323

5,0 329 420

10,0 362 630

20,0 438 1.104

Nótese que si se calcula el CAE (costo anual equivalente) con una tasa cero, el resultado es matemáticamente indeterminado, pero el sentido común señala que si se reparte 1.000 u.m. en 10 períodos, en ausencia de costo de oportunidad del capital, el monto anual es 1.000 / 10 = 100. Así están calculados los valores 300 y 267 de la primera línea.

El resultado de la tabla muestra que sólo con tasas alternativas cercanas a cero es más conveniente la segunda opción, lo que es bastante lógico, ya que el valor de una cuota equivalente es más alto mientras mayor sea la tasa de descuento. En la expresión del valor periódico equivalente se puede observar que el mayor efecto de la tasa de interés se produce en el numerador de la expresión, dado que en el denominador al factor (1+i)n se le resta 1, aminorándose el efecto de elevar la tasa. Pero en la segunda opción afecta más aún porque la inversión inicial es muy alta, lo que no alcanza a contrarrestarse con una vida útil más larga ni con un gasto de mantención anual más bajo.

Problema 29.

Se está evaluando la compra de una nueva máquina en una planta elaboradora de madera. Existen dos alternativas de tamaño en el mercado: la máquina A tiene un costo de adquisición de $ 20.000.000, vida útil de 8 años y una capacidad de producción de 100 unidades por hora; la máquina B, en cambio, cuesta $ 40.000.000, vida útil de 10 años y una capacidad de producción de 300 unidades por hora. Se asume que la recuperación por reventa es nula en ambas máquinas.

Se estima que se puede vender todo lo que se produzca y que se trabajará 6 horas diarias netas, 240 días en el año.

Asumiendo que las máquinas tienen costos variables unitarios distintos y que no hay costos fijos diferenciales ¿cuánto es el costo variable unitario de equilibrio entre las dos máquinas?

Es necesario tomar en cuenta dos consideraciones básicas para resolver

este caso: el distinto tamaño que presentan las máquinas (tanto de inversión inicial como de capacidad de producción) y que la variable a igualar en el análisis de equilibrio es la utilidad total, de modo que hay que encontrar el costo variable unitario que haga indiferentes entre sí a las opciones.

Como es sabido, la ecuación básica para determinar la utilidad de una operación cualquiera es:

Utilidad total (UT) = Ingreso total (IT) - Costo total (CT)

En este caso, además de ser desconocido, el monto de los ingresos totales es irrelevante y puede dejarse de lado del análisis, ya que al comparar las dos máquinas para niveles similares de producción y tratándose del mismo producto, los beneficios brutos o ventas totales son iguales para ambas. Por lo tanto bastará con igualar los costos totales para asegurar la misma utilidad en las dos opciones.

Pero el enunciado del problema pide encontrar el costo variable unitario que equilibre las opciones, por lo tanto es necesario expresar el costo total desglosado en sus componentes de costo fijo total (CFT) y costo variable unitario (CVu).

Como se sabe:

CT = CFT + CVu x Q

Donde Q es la cantidad producida.

La cantidad producida por año, que debe considerarse igual en las dos opciones, para hacerlas comparables, es de 432.000 unidades, lo que se consigue con tres máquinas A o una máquina B.

El costo fijo por año de cada máquina es el costo anual equivalente del valor de adquisición. La ecuación de costo total de cada máquina (para una tasa de descuento de 8 %) es:

( )( )

)A(CVu000.432108,1

08,108,0000.000.60)A(CT

8

8

×+−

×=

( )( )

)B(CVu000.432108,1

08,108,0000.000.40)B(CT

10

10

×+−

×=

Igualando y reduciendo las expresiones se obtiene que:

CVu(B) - CVu(A) = $ 8,06.

Esto significa que una diferencia de $8,06 de costo variable unitario entre las máquinas iguala los costos totales y por lo tanto las utilidades totales, es decir, es indiferente comprar la máquina B o tres máquinas A si el costo variable unitario de B es $ 8,06 más alto que A. Si la diferencia de CVu es superior a 8,06 es preferible la máquina A, y si la diferencia es menor resulta mejor la máquina B. 3.5. Vida útil económica.

Este tema de la determinación de la vida útil económica de un activo se presenta aparte, debido a que necesita de algunas explicaciones previas antes de mostrar un ejemplo aplicado, y además porque es un tópico de gran importancia dentro de la actividad productiva en general, y también en la producción forestal. (Una parte de esta sección está tomada de CHACON y NEUENSHWANDER, 1993).

El concepto general de vida útil de un activo dice relación con el tiempo de uso que transcurre desde que éste se incorpora al proceso productivo hasta que se hace abandono del mismo, ya sea revendiéndolo o simplemente desechándolo. Generalmente este período se determina en forma un tanto arbitraria, o bien se siguen indicaciones dictadas por el fabricante, pero lo recomendable es desprenderse de una máquina o equipo para reemplazarlo por otro más nuevo después de un cierto tiempo de uso que minimice el total de costos generados por la operación del activo, siempre con la finalidad de optimizar la decisión de reemplazo bajo una óptica económico-financiera.

Los costos ocasionados por la operación de una máquina o equipo y que son relevantes en la decisión de reemplazarla son el precio de compra de la máquina, el valor de reventa que tenga al momento de desprenderse de ella y los gastos de mantención y reparaciones, los que son esencialmente dependientes del tiempo de uso que acumule la máquina. Los gastos de operación tales como energía, remuneración del operador u otros de este tipo son irrelevantes para la decisión de reemplazar una máquina vieja por otra nueva, ya que este tipo de gastos son básicamente constantes, independientemente de la antigüedad del activo. Lo mismo se puede afirmar respecto de la depreciación contable (es decir, aquella que aparece en los libros de contabilidad y que es el monto que la ley autoriza a depreciar anualmente), la que como generalmente es del tipo lineal proporcional, o sea constante, es independiente de la antigüedad de la máquina, y por lo tanto no influye en la decisión de reemplazarla, excepto si la vida útil contable de la máquina antigua ha terminado.

Sí es relevante para la decisión de cambiar una máquina un factor de costo que se denomina disponibilidad , y que se relaciona con el hecho de que a medida que se va haciendo más antigua una máquina está menos tiempo disponible para su operación efectiva, debido a que los períodos de reparaciones se van haciendo más frecuentes y más largos cada vez. Esto ocasiona que la empresa tenga que recurrir a mayores gastos para sostener la producción en el mismo nivel que con una máquina nueva. La solución práctica del problema de la disponibilidad puede abordarse desde varios puntos de vista, tales como dotar a la empresa de un "sobre stock" de máquinas, recurrir al arriendo por horas de otra máquina similar o aumentar el gasto en mantención y reparaciones a tal punto que la máquina pueda cumplir con el requerimiento anual que se le haya asignado. Este mayor gasto en mantención y reparación puede provenir de la mantención de elevados inventarios de repuestos, una intensa mantención preventiva, la dotación de mecánicos y talleres especializados, etc. En este texto se presentan los dos primeros enfoques mediante ejemplos.

El problema de decidir cuánto tiempo es económicamente óptimo operar con una máquina hasta que resulte conveniente reemplazarla por otra de las mismas características, pero nueva, consiste en comparar proyectos repetibles de distinta duración, es decir, simular sucesivamente distintas vidas útiles para la máquina y escoger aquella que ofrezca menor costo. Pero como lo que se está comparando son opciones de diferente plazo de término, no es adecuado utilizar el valor actual de los costos, sino el valor periódico equivalente, ya que precisamente éste permite transformar los costos de una opción cualquiera en su equivalente por unidad de tiempo, haciendo comparables alternativas de distinta vida útil.

La expresión para calcular el valor actual de los costos, VAC, de una máquina que se usa durante N años, es:

( ) ( ) ( ) ( )N2N i1

)N(MR...

i1

)2(MRi1)1(MR

i1

)N(RPCVAC

+++

++

++

+−=

Donde PC = precio de compra de la máquina, en pesos. R(N) = valor de reventa de la máquina en el período N, en

pesos. MR(1), MR(2) ... MR(N) = gastos de mantención y

reparaciones de la máquina en los períodos 1, 2 ... N, en pesos.

i = tasa alternativa del capital, en valor decimal. Entonces, el producto del valor actual de costos de la máquina por el

factor de recuperación del capital, ya conocido, permite obtener su valor periódico equivalente, VPE:

( )( ) 1i1

i1iACVVPE

N

N

−++×=

La corrección por disponibilidad, bajo el enfoque del "sobre stock", se puede incorporar al final mediante un factor de disponibilidad, fD, para obtener el el VPE corregido, VPEcorr .

VPEcorr = VPE x fD

Problema 30.

Se presenta a continuación un ejemplo de determinación de la vida útil económica de un tractor forestal articulado. La información de costos del "skidder" es supuesta, aunque cercana a valores estándares. Los antecedentes son:

Precio de adquisición: $ 50 millones. Tasa de descuento pertinente : 15 % anual. La tasa de descuento de 15 % es bastante más alta que los niveles habitualmente empleados en este texto. Una tasa de este monto sólo puede entenderse en un contexto de riesgo. Si se asume que 8 % es un nivel aceptable para una tasa sin riesgo, entonces se ha agregado 7 % adicional como medida del riesgo. (Si bien el autor es partidario de incorporar el riesgo en los flujos y no en la tasa, éste es un procedimiento habitual en decisiones financieras).

Disponibilidad: 90 % a los 20 años de antigüedad. Significa que a los 20 años de uso la máquina sólo se encuentra disponible 90 % del tiempo de trabajo normal. Para el resto del tiempo se supone una pérdida de disponibilidad proporcional. Esto significa incluir el factor de disponibilidad como un aumento proporcional, partiendo con 1 en el primer año y aumentando 0,005 en cada período anual, valor que se deduce al repartir la pérdida de disponibilidad (0,1eneste caso) en 20 períodos. Mantención y reparaciones: se supone la función lineal

MR(N) = 350.000 + 85.000 x N

Donde MR(N) es el costo de mantención y reparaciones para un año N. Reventa: se estima una función lineal también del tipo:

R(N) = 50.000.000 - 1.500.000 x N

Vale la pena aclarar que la función del costo de mantención y reparaciones no es lineal en la realidad, así como la función del valor de reventa tampoco lo es, pero en favor de la simplicidad se prefiere presentarlas así en este caso. El valor de reventa es más bien una curva que decrece más fuerte en los primeros años y luego continúa cayendo en forma más suave y constante. La función MR(N), por su parte, se hace más pronunciada hacia arriba a medida que transcurren más años de uso de la máquina.

La Tabla Nº 8 entrega el desarrollo de los costos de mantención y reparaciones, el valor de reventa y el factor de disponibilidad, para un plazo de 15 años. Todas las cifras se expresan en miles de pesos.

TABLA Nº 8

ANTECEDENTES PARA EL CALCULO DE LA VIDA UTIL ECONOMICA DE UN TRACTOR FORESTAL ARTICULADO SUPUESTO

AÑOS MANTENCION Y

REPARACIONES REVENTA FACTOR DE

DISPONIBILIDAD M$ M$

1 435 48.500 1,000

2 520 47.000 1,005

3 605 45.500 1,010

4 690 44.000 1,015

5 775 42.500 1,020

6 860 41.000 1,025

7 945 39.500 1,030

8 1.030 38.000 1,035

9 1.115 36.500 1,040

10 1.200 35.000 1,045

11 1.285 33.500 1,050

12 1.370 32.000 1,055

13 1.455 30.500 1,060

14 1.540 29.000 1,065

15 1.625 27.500 1,070

La Tabla Nº 9, que se transcribe a continuación, contiene los cálculos del valor periódico equivalente (VPE) y este valor ponderado por su respectivo factor de disponibilidad (fD). También todas las cifras están en miles de pesos.

TABLA Nº 9

CALCULO DE LA VIDA UTIL ECONOMICA

AÑOS VPE VPE x fD 1 9.435,0 9.435,0 2 9.369,9 9.416,7 3 9.308,0 9.401,1 4 9.249,3 9.388,1 5 9.138,8 9.377,7 6 9.141,4 9.369,9 7 9.092,0 9.364,7 8 9.045,6 9.362,2 9 9.002,1 9.362,2 * 10 8.961,3 9.364,6

En la tabla se observa que el más bajo valor periódico equivalente, ponderado por el factor de disponibilidad, ocurre en el año 9, con un monto de $ 9.362.172. (La coincidencia entre los años 8 y 9 se debe a las aproximaciones). Esto significa que esta máquina conviene reemplazarla cada 9 años, dados los datos del problema.

Obsérvese que hasta el año 10, al menos, el VPE continúa bajando, lo que significa que si no se pondera por el factor de disponibilidad la vida útil económica es mucho más larga. Este factor puede interpretarse como la sobre-dotación del parque de máquinas del tipo que se está estudiando, pero debe tomarse con cautela, ya que en términos estrictos esta variable no es continua sino discreta, es decir, la dotación de máquinas no puede ir aumentando en una progresión de 0,005 por año, como en este ejemplo, sino una unidad cada cierto número de años, situación que obliga a modificar el esquema de cálculo.

También puede imaginarse la disponibilidad como un factor sumable creciente, si se piensa que las horas en que la máquina no está disponible son reemplazadas por horas de arriendo de una máquina similar. Si bien cada caso, obviamente, debe estudiarse en particular, el esquema presentado aquí es válido como orientación general, porque se puede incorporar en él la situación específica de cada empresario. A continuación se entregan los antecedentes para aplicar este enfoque de corregir la disponibilidad mediante una máquina arrendada.

Precio de compra: $ 50 millones.

Tasa de descuento: 15 % anual.

Mantención y reparaciones: se asume la función:

MR(N) = 250.000 + 200.000 x N

Disponibilidad: 80 % a los 10 años de antigüedad, repartidos en forma lineal, de modo que se pierde 2 % de disponibilidad por año. Si se asume que el requerimiento de trabajo del "Skidder" es 2.000 horas anuales, entonces el primer año hay que arrendar 40 horas, el segundo 80, etc. Si el precio de mercado de arriendos por hora alcanza a $13.500,la suma creciente por año es de $540.000. Dado que esta cifra se comporta en forma similar a MR(N), en la expresión para el cálculo del valor actual de costos pueden anotarse en conjunto de la siguiente forma:

[MR + A](N) = 250.000 + N (200.000 + 540.000)

siendo A el monto del arriendo por año de la máquina adicional.

Reventa: ahora se estima una disminución del valor de reventa del orden del 10 % anual, configurándose la función:

R(N) = PC x (1 - r)N

siendo r la pérdida anual de valor de reventa expresada en valor decimal (0,1 en este ejemplo).

La tabla siguiente presenta los antecedentes para calcular la vida útil económica del problema bajo este nuevo enfoque. Todas las cifras aparecen en miles de pesos.

AÑOS MANTENCION Y REPARACIONES más ARRIENDO

REVENTA

M$ M$

1 990 45.000

2 1.730 40.500

3 2.470 36.450

4 3.210 32.805

5 3.950 29.525

6 4.690 26.572

7 5.430 23.915

8 6.170 21.523

9 6.910 19.371

10 7.650 17.434

Con estos antecedentes, los respectivos valores periódicos equivalentes para una serie de 10 años son:

AÑOS VPE

1 13.489,5

2 13.252,8

3 13.063,4

4 12.915,0

5 12.801,6

6 12.718,3

7 12.659,9

8 12.622,7

9 12.602,9

10 12.597,5 *

11 12.603,7

Como se observa, el mínimo valor periódico equivalente ocurre a los 10 años, con un monto de $12.597.508. Los resultados entre las dos formas de resolver el problema de la disponibilidad ("sobre stock" y arriendo, respectivamente) obviamente no son comparables, ya que los datos numéricos son distintos. La finalidad de estos ejemplos es orientar el enfoque para resolver este problema según la situación particular de cada propietario de este tipo de máquinas. Estos dos enfoques no son los únicos que se pueden imaginar: también se podría mantener la disponibilidad en 100 % aun cuando la máquina se vaya haciendo antigua, pero en este caso probablemente los gastos de mantención y reparaciones crezcan de forma muy significativa, como se indicó antes. El tratamiento numérico de esta última forma es exactamente igual al caso de arrendar una máquina adicional.

Como una extensión de este caso resulta interesante preguntarse hasta

dónde es conveniente aumentar el gasto en el arriendo de una máquina adicional, dado que llegado el momento en que este gasto alcance cierto nivel, puede ser más conveniente comprar otra máquina y suspender los arriendos. Esta variante es del tipo que ya se trató antes bajo el nombre de punto de indiferencia entre alternativas, sección 3.4.

Dado que la máquina propia que se reemplaza cada 10 años tiene un costo anual de $12.597.508 y la hora de arriendo alcanza a $13.500, entonces el límite de gasto anual en arriendo de una máquina adicional es

933500.13

12.597.508 = horas.

De modo que cuando la disponibilidad de la máquina propia sea tan baja

que obligue a arrendar 933 horas de una máquina adicional, entonces será más conveniente comprar un segundo "Skidder". Este límite es bastante amplio para los datos de este ejemplo, ya que para un requerimiento de 2.000 horas anuales, 933 representa un 46,7 % de pérdida de disponibilidad. A razón de 2 % de pérdida de disponibilidad por año este límite ocurriría alrededor de los 23 años de uso de la máquina, más del doble de la vida útil económica.

CAPITULO IV APLICACIONES DEL ANALISIS ECONOMICO-FINANCIERO AL MANEJO FORESTAL.

El presente capítulo aborda diversas aplicaciones del análisis económico-financiero a problemas específicos de la producción forestal. El concepto de producción forestal, en este caso, se usa en el sentido de la formación y manejo del recurso bosque, con especial énfasis en los bosques coetáneos.

En el punto 4.1 se desarrollan algunos ejemplos del tratamiento económico-financiero que se puede dar a intervenciones silvícolas de variada índole, tales como podas, raleos y protección contra enfermedades. La sección está desarrollada presentando tres ejemplos representativos del enfoque que se puede dar a estos tópicos.

El punto 4.2 aborda el análisis de la rentabilidad de la inversión forestal, a través de una comparación entre dos alternativas: acoger el predio a los beneficios del DL 701 o mantenerlo fuera de dichas franquicias.

En el punto siguiente se trata el tema de la valorización del suelo y del vuelo de rodales coetáneos, materia que aparece sólo en parte desarrollada en textos de manejo forestal y que aquí recibe un tratamiento más práctico y con ejemplos con datos estandarizados.

Luego, en el punto 4.4 se estudia el caso de la determinación de la edad de rotación óptima de rodales coetáneos, con ejemplos de cálculo de diferentes situaciones y con un análisis comparado de las diferentes decisiones que cabe tomar según los objetivos del propietario del bosque y del indicador económico-financiero que se emplee en cada caso. 4.1. Intervenciones de manejo. Podas y raleos.

Supóngase que el dueño de una plantación de pino radiata de 10 años de edad está pensando la posibilidad de efectuar una poda a su bosque. Al tomar la decisión sabe el costo que tendría la faena, pero desconoce si vale la pena ejecutarla, desde el punto de vista monetario. Una forma de enfrentar el problema es capitalizar el costo de la operación hasta la edad de rotación estimada y decidir si este costo futuro supera al beneficio futuro esperable del hecho de vender una parte de la madera clasificada como de mayor calidad, por estar libre de nudos.

Si se asume un costo de una poda baja (3,5 m de altura) de $40.000 por

hectárea, cancelados a un contratista (para evitar el detalle de los cálculos), una tasa de costo de oportunidad de 8 % real anual y una edad de corta del rodal de 25 años, es decir 15 años más a contar de la fecha de ejecución de la faena, el valor futuro del costo de la poda es:

Vn = 40.000 (1,08)15 = $ 126.887 / ha.

Este es un antecedente importante en la decisión. Ahora el propietario

debe estimar si será posible obtener $126.887 adicionales por hectárea, por su bosque podado, en el momento en que ha decidido venderlo (15 años más), en relación con el mismo bosque sin podar. Si bien ahora el propietario dispone de un nuevo antecedente, valioso para tomar la decisión, también deberá conocer qué proporción del volumen total representa el volumen de madera libre de nudos y cuánto es la diferencia de precio de esta madera respecto de aquella con presencia de nudos, información posible de obtener mediante los modernos modelos de simulación de podas y estudios de precios de mercado, respectivamente.

No cabe duda que el análisis de las intervenciones de poda de un rodal son un poco más complejas que este ejemplo, ya que en laactualidad se practican varias podas a los árboles, llegando a la mayor altura posible del fuste, con la finalidad de obtener la mayor proporción de madera libre de nudos. Pero el análisis del aspecto económico de la faena será el mismo: comparar el costo de la operación versus el beneficio neto atribuíble a la decisión de podar los árboles.Por ejemplo, si el esquema de manejo del rodal especificara que se hará tres podas en años sucesivos, igualmente el valor futuro del costo de estas faenas es la capitalización de estos valores hasta el año de la corta y la comparación con el beneficio es de la misma forma que en el ejemplo numérico.

Un segundo ejemplo está dado por el caso delos raleos comerciales: ¿vale la pena ejecutar raleos comerciales, desde el punto de vista del negocio que éste representa, en relación con no intervenir el bosque hasta la cosecha final?

Para resolver esta interrogante es necesario disponer de un predictor de la respuesta del rodal a los raleos, información que se puede obtener de los modelos de rodal o simuladores.

En la Tabla Nº 10 que se presenta a continuación aparecen los datos de rendimiento de un rodal al que se le practican dos raleos, uno a los 10 y el otro a los 14 años de edad, asumiendo una edad de rotación de 20 años. La tabla recoge información tomada del Manual Nº 14 del Instituto Forestal. (INFOR, 1985)

TABLA Nº 10

TABLA DE RENDIMIENTO DE UN RODAL SUPUESTO

SIN RALEO COMERCIAL CON RALEO COMERCIAL

Edad Volumen Edad Volumen

(años) m3/ha (años) m3/ha

10 142 10 142

10 123

11 186 11 156

12 232 12 199

13 280 13 245

14 331 14 293

14 186

15 381 15 269

16 432 16 318

17 484 17 363

18 533 18 410

19 582 19 456

20 632 20 503

Puede observarse que en el año 20 la diferencia de volumen entre ambos rodales es de 129 m3/ha. Al mismo tiempo, nótese que al rodal raleado se le extrajo 19 m3/ha en el año 10 y 107 m3 en el año 14, lo que totaliza 126 m3/ha, de lo que se deduce que desde el punto de vista volumétrico prácticamente no hay diferencia en la producción total entre ambos rodales. Sin embargo, dado que los volúmenes de ambos rodales se encuentran distribuidos en diferentes momentos del tiempo, desde el punto de vista financiero sí hay diferencia, incluso sin tomar en cuenta que el precio de la madera de ambos rodales será distinto al momento de venderla, puesto que las trozas provenientes del bosque raleado tienen mayor diámetro, y por lo tanto son susceptibles de aprovecharse en productos de mayor valor agregado y mayor precio.

Si se asume un valor neto del m3 de $5.000 (supóngase este valor como el precio de la madera en pie, para evitar la complicación de cálculos que desvíen la atención de lo fundamental del ejemplo), y una tasa alternativa de 8% real anual, el valor actual (al año 10) de ambos rodales es el siguiente:

Rodal no raleado:

( )10

33

08,1

m/000.5$m 632VA

×=

= $1.463.691/ha.

Rodal raleado:

( ) ( )1043

08,1

000.5503

08,1

000.5107000.5$m 19VA

×+×+×=

= $1.653.173 / ha.

En el lado derecho de la ecuación para el rodal raleado, el primer término

representa el valor neto del raleo que se practicará en el mismo año de la decisión, es decir a los 10 años de edad. El segundo término representa el segundo raleo y el tercero la cosecha final a los 20 años de edad.

El rodal raleado produce un beneficio (en términos de valor actual) bastante más elevado que el respectivo rodal sin ralear, debido a los dos hechos ya señalados más arriba: se obtienen beneficios antes y el volumen del rodal se recupera en el futuro por el mayor incremento diamétrico que se obtiene de un rodal raleado.

Otro alcance que es necesario hacer dentro de este ejemplo, que no modifica la decisión a tomar aunque sí el resultado obtenido, es que probablemente cada m3 del rodal raleado tenga mayor precio que la madera proveniente del rodal sin ralear, debido a que las trozas del primero tendrán mayores dimensiones que las del segundo, que es precisamente uno de los principales efectos que se busca de una intervención de raleo. Esta consideración acentúa la diferencia obtenida en el cálculo de arriba, puesto que el valor neto de la cosecha del rodal raleado sería mayor. El origen de esta diferencia de precio entre ambas situaciones proviene tanto del mayor valor que tiene la madera destinada a aserrío como de la distinta proporción entre madera gruesa y delgada existente en rodales que han sido sometidos a intervenciones de raleo, lo que permite a sus propietarios obtener un precio más elevado por la venta de sus bosques manejados.

Intervenciones de protección.

El tercer ejemplo de esta sección trata el caso de una intervención de control de una enfermedad del bosque, situación que también se puede analizar desde el punto de vista de la comparación de los costos y beneficios directos de la actividad de control, especialmente cuando no existe riesgo de una propagación de la enfermedad más allá de los límites del rodal.

Supóngase que un rodal está afectado por la presencia de un hongo del follaje cuyo principal efecto está dado por una disminución del crecimiento, el que los expertos estiman del orden del 5 % en volumen a la edad de rotación. El rodal tiene en este momento 5 años de edad y se estima que para erradicar el agente dañino será necesario practicar fumigación aérea durante las 3 temporadas siguientes.

El costo de cada una de las fumigaciones alcanza a $30.000 por hectárea y el volumen del rodal sano alcanzará a 500 m3/ha a la edad de corta, estimada en 20 años. ¿Vale la pena efectuar el control del hongo? Asúmase una tasa alternativa del capital de 8 % anual.

El costo actualizado de la acción de control es:

( )[ ]( )3

3

08,108,0

108,1000.3VAC

−=

= $ 77.313 / ha.

El valor del beneficio de controlar el hongo es, por su parte, el 5 % del

valor neto de la cosecha. Si se asume un valor de $ 5.000 por el metro cúbico en pie, el monto del beneficio neto a los 20 años alcanza a:

VBN = 0,05 x 500 m3/ha x 5.000 $/m3.

= $ 125.000 / ha. Y el valor actual de esta cifra es:

( )1508,1

000.125VABN =

= $ 39.405 / ha.

A la luz de este resultado se puede afirmar que en este caso no vale la

pena tomar las medidas de control de esta enfermedad, puesto que los costos de la intervención superan a sus beneficios.

Una extensión de este caso es averiguar cuánta pérdida en crecimiento

del rodal, atribuible al hongo, justificaría el gasto en fumigación. Este gasto, en valor futuro, es:

77.313 (1,08)15 = 245.249,9.

La producción del rodal en ausencia de la enfermedad es:

5.000 $/m3 x 500 m3/ha = $2.500.000 $/ha.

El valor futuro del costo de fumigar respecto del beneficio del rodal a la cosecha es:

000.500.2245.249,9

= 0,102 ó 10,2 %.

Entonces, si la pérdida en volumen superara al 10,2 % valdría la pena

hacer el tratamiento contra la enfermedad.

Una segunda extensión de este caso consiste en averiguar qué tasa alternativa hace indiferentes entre sí las opciones de efectuar o no el control del hongo.

El valor actual de la primera opción (hacer el control), dada una tasa alternativa desconocida y asumiendo que todos los demás costos de ambas opciones son similares (por lo que no intervienen en la decisión), es:

( )[ ]( ) ( )15

33

3

3

i1

$/m 000.5ha/m 500

i1i

1i1000.30)1(VA

+×+

+−+−=

Y el valor actual de la segunda opción (no hacer el control) es:

( )15

33

i1

$/m 000.5ha/m 475)2(VA

+×=

Igualando las dos opciones y despejando el valor de i tenemos que i _ 0,026, lo que significa que si la tasa alternativa es 2,6 % anual es indiferente efectuar el control o no hacerlo, desde el punto de vista financiero. Una tasa mayor inclina la decisión hacia no controlar el hongo y una tasa menor que la tasa de indiferencia calculada, señala que es preferible hacerlo.

Nótese que la ecuación para calcular la tasa alternativa de indiferencia se puede también plantear como sigue (a lo que se llega como una derivación de las

ecuaciones anteriores o como una expresión de la comparación del costo y beneficio relevantes en la decisión):

( )[ ]( ) ( )15

33

3

3

i1

$/m 000.5ha/m 475

i1i

1i1000.30

+×=

+−+−

Arreglando los términos:

( )[ ]( ) ( )

0i1

000.125

i1i

1i1000.30153

3

=+

−+

−+−

El lector observará la similitud de este planteamiento con el cálculo de la tasa interna de retorno de la decisión de efectuar el control, en otras palabras, la TIR del proyecto de fumigar el bosque. Dado que la tasa resultante de 2,6 % es bastante inferior a la tasa alternativa de 8 %, el proyecto de realizar esta intervención de protección del rodal debe ser calificado como malo, de acuerdo con el criterio de selección ya señalado para este indicador. 4.2. Rentabilidad de la inversión forestal: Efecto del subsidio y del impuesto a la utilidad.

Una situación de mucho interés es aquella que presenta la existencia de varios subsidios y algunas obligaciones de la actividad forestal, contenidos en el DL 701 de 1974. Independientemente de las modificaciones que este decreto-ley ha tenido posteriormente, los aspectos básicos abarcados por el mismo, en lo que dice relación con el efecto sobre la rentabilidad de las inversiones forestales son los siguientes:

- Devolución del 75 % de los gastos de forestación, según una tabla de costos que publica CONAF (Corporación Nacional Forestal), al año siguiente de la plantación.

- Devolución del 75 % de los gastos de poda (bajo ciertas restricciones) y de los gastos de administración anual, según las tablas de costo de CONAF, ya mencionadas.

- Obligación de reforestar el suelo después de efectuada la cosecha del bosque acogido a las disposiciones del mencionado DL 701.

- Obligación de llevar contabilidad efectiva de los propietarios de predios afectos al DL 701, lo que los obliga a pagar impuesto a la utilidad sobre la renta efectiva y no sobre la renta presunta, como es el caso de los propietarios de predios no acogidos al citado decreto-ley y que no estén obligados a llevar contabilidad por otras razones especificadas en la Ley de Rentas.

Con estas disposiciones legales recién enunciadas, el flujo de costos e ingresos se ve fuertemente modificado para los predios acogidos al DL 701 en relación con aquellos que no lo están, pero este efecto es válido sólo para aquellos propietarios que por el hecho de acoger su predio a esta ley pasan a tener la obligación de tributar por renta efectiva. No es el caso de empresas, sociedades o cualquier otro propietario afecto a tributación por renta efectiva desde antes de optar a las franquicias de la citada ley, en cuyo caso el único costo relevante que le impone el DL 701 es la obligación de reforestar después de la cosecha, ya que el pago del impuesto a la utilidad, en el caso de estos propietarios es irrelevante, puesto que deben hacerlo de todas formas. Sin embargo, la rentabilidad de la inversión para ellos no puede sino mejorar, ya que los beneficios aportados por el decreto-ley son notables.

En este texto se analiza, entonces, el efecto del DL 701 sobre la rentabilidad de la inversión, para aquellos predios que modifican la situación tributaria de sus propietarios al acogerse a la ley.

Probablemente, al momento de la publicación de este libro, más de algún lector pensará que el análisis acerca de la conveniencia de acogerse o no al DL 701 resulte un tanto obsoleto, ya que el subsidio a la forestación expiró en 1994. Sin embargo, por una parte hay serias expectativas de una prórroga limitada de este beneficio, y por otra, el esquema de análisis es válido como tipología de este tipo de problemas, por lo que se ha decidido incluirlo.

A continuación se desarrolla la Tabla Nº 11, que contiene los costos e ingresos netos, año por año, con el cálculo de la rentabilidad mediante el valor actual neto, para el caso de un propietario no acogido al DL 701.

Se ha determinado arbitrariamente una edad de corta de 22 años. Los costos e ingresos de este ejemplo, si bien corresponden a cifras estándares, son completamente supuestos. La comparación se hace considerando sólo una rotación, para hacer más simple el ejemplo, pero después del capítulo destinado a analizar la edad de rotación, el lector puede extender el ejemplo a la situación de infinitas rotaciones. Pero además, dado que el propietario que tributa por renta presunta no está obligado a reforestar, es legítimo hacer la comparación sólo para la primera rotación.

TABLA Nº 11

COSTOS E INGRESOS DE UNA INVERSION FORESTAL

NO ACOGIDA AL DL 701.

EDAD ITEM MONTO años $/ha

0 Plantación - 90.000

1 Replante - 20.000

7 Raleo a desecho y 1ª. poda - 28.000

9 2ª. Poda - 25.000

14 Raleo comercial 180.000

22 Cosecha 3.000.000

Se estima, además, un gasto anual de $ 15.000, que incluye administración y costo de oportunidad del suelo. La tasa alternativa del capital es 8 % real anual.

El impuesto territorial y la renta presunta que afecta a los predios en esta situación (no acogidos a las franquicias) no se incluyen en el cálculo, ya que esté plantado o no, deben pagarse igual y son, por lo tanto, irrelevantes para los efectos de comparar rentabilidad. La rentabilidad según el valor actual neto es:

97 08,1

000.25

08,1

000.2808,1000.20

000.90VAN −−−−=

( )

221422

22

08,1

000.000.3

08,1

000.180

08,108,0

108,1000.15 ++×

−−

= $ 322.731 / ha.

Más adelante se presenta el flujo de gastos e ingresos considerando

ahora que el predio se acoge a los beneficios del DL 701. En este caso se incluyen los beneficios adicionales por las bonificaciones que otorga el decreto-ley: forestación en el año 2; primera poda, a recibir en el año 8 y segunda poda, a recibir en el año 10; y administración, durante toda la vida del rodal. Los valores de estos beneficios se extraen de la tabla pertinente publicada todos los años por CONAF en la revista Chile Forestal , en este caso del año 1992. Los costos adicionales, por su parte, en este ejemplo quedan restringidos a la estimación del impuesto a la utilidad y a la obligación de reforestar luego de la cosecha.

Se excluye el efecto de la percepción de las bonificaciones sobre el

cálculo de la renta, puesto que tal efecto es completamente diferente para cada propietario, ya que el monto final a pagar por este impuesto depende de otros ingresos que tiene cada empresa y cada persona. Asimismo, se excluye del cálculo la rebaja del 50 % del impuesto global complementario de las rentas provenientes de predios acogidos al DL 701, por las mismas razones.

Para calcular el impuesto a la utilidad es necesario previamente estimar el monto de los costos de formación del rodal. Este cálculo se hace en este ejemplo considerando los costos publicados por CONAF en las tablas ya mencionadas, aceptándose una tasa de capitalización del 12 % anual. El costo de formación puede calcularse, sin embargo, con montos de costo que presente el propietario, debidamente justificados.

La Tabla Nº 12 recoge la información de costos pertinentes para este ejemplo, publicadas por CONAF para el año 1992, cifras necesarias para calcular el costo de formación al año 22 y el impuesto a la utilidad a pagar ese mismo año. Se incluyen los beneficios correspondientes a las bonificaciones en los años respectivos, para incorporarlos posteriormente al cálculo de la rentabilidad.

TABLA Nº 12

COSTOS Y BONIFICACIONES SEGUN TABLA DE CONAF

EDAD ITEM COSTO BONIFICACION años $/ha $/ha

0 Plantación - 91.984

2 Forestación 68.988

7 1ª. Poda - 14.137

8 1ª. Poda 10.603

9 2ª. Poda - 12.483

10 2ª. Poda 9.362

Se considera también un gasto de administración anual de $ 2.116 entre 1 y 5 años y de $ 719 para edades superiores a 5 años. Las respectivas bonificaciones por este concepto son $ 1.587 y $539. Con estos antecedentes, el costo de formación para el año 22 es el siguiente:

( ) ( ) ( )131522 12,1483.1212,1137.1412,1984.91)22(CF ++=

( )( ) ( )12,0

112,171912,0

12,1112,1116.2 17175 −+−+

= $ 1.372.329 / ha.

Entonces el impuesto a la utilidad a pagar en el año 22 es la tasa del

impuesto (que se asume como 15 %) sobre la diferencia entre el ingreso de la cosecha y el costo de formación. Este impuesto es:

(3.000.000 - 1.372.329) x 0,15 = 244.151 $/ha.

La Tabla Nº 13 que se presenta en seguida resume los costos e ingresos de la inversión forestal del ejemplo acogida ahora al DL 701. Con los antecedentes de la tabla, el valor actual neto de esta inversión alcanza a:

9872 08,1

000.25

08,1

603.10

08,1

000.28

08,1

988.6808,1000.20

000.90VAN −+++−−=

( )( )5

5

22221410 08,108,0

108,1587.1

08,1

000.90

08,1

849.755.2

08,1

000.180

08,1

362.9 −+−+++

( )( ) ( )

( )( )22

22

517

17

08,108,0

108,1000.15

08,108,108,0

108,1539 −−−+

= $ 351.201 / ha.

TABLA Nº 13

COSTOS E INGRESOS DE UNA INVERSION FORESTAL ACOGIDA AL DL 701

EDAD ITEM MONTO años $/ha

0 Plantación - 90.000

1 Replante - 20.000

2 Bonificación forestación 68.988

7 Raleo desecho y 1ª. poda - 28.000

8 Bonificación 1ª. poda 10.603

9 2ª. Poda - 25.000

10 Bonificación 2ª. poda 9.362

14 Raleo 180.000

22 Cosecha (neto de impuesto) 2.755.849

22 Reforestación - 90.000

1 – 5 Bonificación administración 1.587

6 – 22 Bonificación administración 539

1 – 22 Gastos anuales (adm. y otros) - 15.000

La rentabilidad de la inversión en el caso de acogerse a los beneficios del DL 701 es de $ 351.201 / ha. En una situación real, para ser estrictos deberá agregarse el efecto de los ingresos de las bonificaciones sobre el impuesto global complementario de los inversionistas y restar el pago del impuesto territorial, exención que rige para la superficie acogida al DL 701.

Comparada con la rentabilidad del proyecto no acogido a las franquicias, que alcanza a $ 322.731, se puede constatar en el caso de este ejemplo una ventaja de poco más de $ 28.000 por hectárea, a favor de acoger el predio al decreto-ley. La diferencia en términos de valor actual neto no es muy significativa, como se puede apreciar, pero la distribución de los costos de forestación es sustancialmente diferente, particularmente en lo referido al costo de la plantación inicial. Este importante detalle ha significado un notorio incremento de la forestación por parte de empresarios privados en las dos últimas décadas.

También debe presumirse que la inversión en forestación en presencia del DL 701 modifica la percepción del riesgo en los inversionistas, porque disminuye notablemente la inversión inicial, aún cuando la rentabilidad privada no cambia demasiado, como se vio. 4.3. Valorización del suelo y del vuelo forestal.

Esta sección aborda un importante tema de la economía forestal, como es el tratamiento del problema de valorizar tanto el suelo de aptitud preferentemente forestal como el bosque mismo, materia que en este texto se aborda enfatizando los aspectos prácticos y cuantitativos, entregando ejemplos de la aplicación del análisis económico-financiero al tema. 4.3.1. Valorización del suelo forestal.

Se entiende como suelos forestales aquellos que técnicamente no son arables debido a las condiciones de pendiente y pluviometría, por lo que no pueden sustentar otra cubierta vegetal que no sea la arbórea, sin sufrir degradación. Según la clasificación de IREN (Instituto de Recursos Naturales) corresponden a la clase VII y VIII de uso de los suelos, y calificadamente a otras categorías.

Desde el punto de vista legal, de acuerdo con el D.L. 701de 1974, son terrenos de aptitud preferentemente forestal "todos aquellos terrenos que por las condiciones de clima y suelo no deben ararse en forma permanente, estén cubiertos o no de vegetación, excluyendo los que sin sufrir degradación puedan ser utilizados en agricultura, fruticultura o ganadería intensiva". Para tener esta calidad de forestal estos terrenos deben calificarse previamente como tales por un ingeniero forestal o agrónomo especializado. Pueden acogerse a esta calificación terrenos de otras clases distintas de la clase VII, para lo cual debe hacerse una reclasificación en el documento respectivo de declaración de terrenos de aptitud preferentemente forestal.

Otros alcances legales pertinentes para el desarrollo de esta sección son

los relacionados con la reforestación y con la explotación de bosque nativo. La corta de bosques en terrenos de aptitud forestal obliga a su propietario a reforestar una superficie de terreno a lo menos igual a la cortada, lo que significa que la obligación de reponer un bosque cortado es una obligación inherente a la cosecha y al propietario del suelo.

Respecto de la corta de bosque natural, por su parte, la ley obliga también a reforestar bajo la forma que el propio reglamento señala para cada tipo forestal definido, e impide la sustitución de especies, salvo en los casos calificados por el organismo fiscalizador y que se refieren a situaciones donde el nivel de degradación del bosque natural no permite su recuperación en términos económicos.

En directa relación con lo anterior, la valorización del suelo forestal es diferente para aquellos casos en que la cubierta vegetal es artificial o natural. En este último caso, que es la situación del bosque heteroetáneo, no es posible diferenciar el suelo desnudo de la cubierta vegetal, por lo que no puede valorizarse al suelo independientemente del vuelo, sino que debe encontrarse el valor al conjunto de suelo y vuelo, es decir al bosque completo.

En el caso del bosque generado artificialmente, el que resulta ser un bosque coetáneo, existe un momento en el tiempo en que el suelo está desnudo y sobre él se planifica un esquema de generación y manejo de una cubierta arbórea habitualmente con fines comerciales. La característica distintiva de este caso, respecto del bosque heteroetáneo, es que tiene definidas las fechas de inicio y término exacto del proceso productivo que se desarrollará sobre el suelo, por lo que éste (y no necesariamente el conjunto suelo más vuelo) puede considerarse como un capital capaz de producir bienes o servicios.

Independientemente del valor comercial que puede alcanzar un suelo forestal, como consecuencia de la oferta y demanda que este bien tenga en el mercado, el valor económico del suelo dependerá de la capacidad de producir bienes o servicios, y del valor que éstos alcancen en el mercado. La definición de valor económico del suelo, entonces, corresponde al mismo concepto de valor económico de cualquier bien de capital, el que en términos prácticos es el valor actual de todos los beneficios futuros netos generados por el suelo.

La definición anterior no dista mucho del concepto de valor actual neto, ya visto como indicador de rentabilidad de una inversión y, en efecto, el planteamiento matemático del valor económico del suelo tiene la siguiente expresión:

( )( )

( ) 1i1

i1CB

VESr

r

0j

jrjj

−+

+−

=∑=

−

Donde, VES = valor económico del suelo, pesos.

Bj = beneficio en un año j cualquiera, pesos. Cj = costo en un año j cualquiera, pesos. i = tasa alternativa del capital, valor decimal.

r = edad de rotación, años.

La expresión de arriba corresponde a la equivalencia financiera [13], que

es el valor actual de una serie infinita de pagos que ocurren cada cierto número de períodos. En el caso del VES, el numerador de la expresión recoge todos los beneficios y costos que ocurren a lo largo de toda la rotación, los primeros con signo positivo y los segundos con signo negativo, y los capitaliza mediante la tasa alternativa i, desde el año j en que ocurren hasta la edad de rotación r. En el denominador, por su parte, se encuentra el factor de actualización para llevar la cifra del numerador al año 0, acompañado de -1 para indicar que corresponde a una serie infinita de pagos constantes que ocurren cada r años, es decir, infinitas rotaciones. En otras palabras, el valor económico del suelo es el valor actual de los beneficios netos de todas las futuras rotaciones del bosque planificadas sobre dicho suelo, bajo un determinado esquema de manejo.

Si el denominador no tuviera ese -1 ya mencionado, el resultado debe interpretarse como el valor del suelo para una sola rotación, pero en términos estrictos el valor resultante no correspondería al valor económico, puesto que quedarían fuera todos los beneficios netos que ocurren a partir de la segunda rotación y que obviamente también son imputables a la capacidad del suelo para generar bienes transables en el mercado, más aún si la legislación obliga a regenerar un bosque luego de cortarlo. Sin embargo, el caso en que se considera una sola rotación es perfectamente imaginable en la situación de aquellos propietarios que, al no acogerse a los beneficios del DL 701, no están obligados a reforestar después de cosechar el bosque, asumiendo además que el suelo no tendrá otro destino económico después de cortado el bosque que sustenta.

Los lectores que se encuentren familiarizados con la clásica fórmula de Faustmann para encontrar el valor potencial del suelo ("land expectation value",Se), notarán que aquella extensísima expresión corresponde conceptualmente a lo mismo que se describe mediante la expresión de arriba, con la diferencia de que aquel autor incluyó todas las intervenciones posibles de una rotación, tales como plantación, cortas intermedias, costos de administración anual, etc.(DAVIS, 1966).

Para el caso de un bosque heteroetáneo, la valorización del conjunto suelo y vuelo se puede describir mediante la expresión general ya señalada, o equivalencia financiera [13]:

( ) 1i1

AVEB

t −+=

Donde VEB es el valor económico del bosque, considerando al conjunto

de suelo y vuelo como el capital capaz de producir renta, A es el valor monetario constante neto que rinde el bosque cada t años, siendo t el ciclo de corta definido para este bosque e i la tasa alternativa del capital.

Debe dejarse en claro, además, que el modelo es aplicable sólo a bosques perfectamente ordenados, en cuyo caso es posible imaginar que tanto los ciclos de corta como los rendimientos son constantes y sostenidos en el tiempo.

Si el ciclo de corta fuese anual, entonces la equivalencia financiera que representa mejor el valor del bosque heteroetáneo es aquella que actualiza una serie infinita de pagos anuales, es decir, Vo = a/i , donde a es el monto anual e i la tasa alternativa. La expresión matemática en este caso es:

iR

VEB =

Donde VEB = valor económico del conjunto suelo más vuelo de un

bosque capaz de producir una renta anual R dada una tasa alternativa del capital i.

Esta expresión también es válida para el caso de un bosque coetáneo perfectamente ordenado, dividido en tantos cuarteles como el número de años de la rotación, de modo que cada año se corta y regenera un cuartel. El rendimiento volumétrico de los cuarteles, y por lo tanto el rendimiento monetario, se asume constante. En términos estrictos, un bosque de estas características deja de ser coetáneo a nivel del conjunto, pero sí lo es a nivel de cada cuartel. En aras de la rigurosidad, no debe olvidarse que en la práctica el modelo se complica un poco debido a la existencia de múltiples intervenciones silvícolas, especialmente podas y raleos.

Debe enfatizarse el carácter de valores netos que tienen los términos R,

A y Bj de todas las expresiones descritas más arriba. El término R, que es anual, es el excedente final después de efectuadas todas las operaciones de cada año. Así por ejemplo, si se trata del último caso descrito, R resulta después de cosechar el cuartel y descontar todos los gastos de la faena y también el costo de volver a plantar el cuartel recién cortado. Asimismo, si ese año corresponde realizar otras intervenciones tales como podas o raléos, también estos gastos deben restarse para llegar al valor neto anual que considera la fórmula.

El término A, por su parte, corresponde a un valor neto que ocurre a intervalos o ciclos de corta. En este caso los costos intermedios que ocurran durante el desarrollo del ciclo deberán capitalizarse desde la fecha en que ocurren hasta la fecha en que corresponde hacer la cosecha principal y que es la que define el largo del ciclo.

Lo mismo ocurre con los beneficios Bj de la primera expresión registrada en esta sección. Dado que los costos Cj identifican más bien a las faenas propias del esquema de manejo definido para un caso cualquiera (tales como plantación, podas, raléos, protección, administración, etc.), los que tienen obviamente saldo negativo, los beneficios Bj ya mencionados son netos de los gastos necesarios para producirlos.

Si se trata de un raleo comercial o de la cosecha, por ejemplo, los gastos de la faena deben descontarse de la venta del producto final para obtener el excedente neto. En resumen, el valor que resulta en el denominador de la expresión es neto tanto de los costos de formación del rodal como de los gastos de las faenas de producción.

A continuación se desarrollan algunos ejemplos con aplicaciones de estos conceptos.

El primero muestra el caso de un bosque coetáneo completamente ordenado con rotación de 16 años. Cada cuartel tiene una superficie de 20 hectáreas y un rendimiento de 380 m3/ha. Si el precio del m3 en pie alcanza a $5.000 y los gastos anuales del propietario llegan a $5.040.000 en total (para todo el bosque) ¿cuál es el valor económico del bosque si la tasa alternativa del capital es de 10 % anual?

El rendimiento monetario neto del bosque es:

R = 20 ha x 380 m3/ha x 5.000 $/m3 - $5.040 000

= $32.960.000.

Por lo que el valor del bosque es:

1,0

000.960.32VEB =

= $329.600.000.

Que es el capital capaz de generar una renta infinita de $32.960.000

anuales dada una tasa alternativa de 10 %. Debe notarse lo relevante que es el monto de la tasa alternativa para valorizar el bosque.

El segundo ejemplo aborda el caso de un bosque heteroetáneo de quillay (Quillaja saponaria ) ordenado con ciclos de corta de 8 años. La cosecha rinde 60.000 kilos de corteza, aportando al propietario un ingreso neto de $20.000.000, deducidos los gastos de la faena de explotación. La reforestación se practica mediante el manejo de los renuevos de los tocones, para lo cual es necesario hacer una selección y raleo de los brotes durante el segundo año después de efectuada la cosecha. El costo de esta faena se estima en $200.000 y los gastos anuales (administración, protección contra incendios, vigilancia, costo de oportunidad del suelo, etc.) llegan a $720.000. Se desea calcular el valor económico del bosque, asumiendo una tasa alternativa de 10 %. En este ejemplo todos los valores están expresados para el bosque completo.

El siguiente gráfico ilustra el desarrollo de los ingresos y egresos del esquema de manejo a lo largo de un ciclo de corta (cifras en miles de pesos). Los ingresos aparecen sobre el eje y los egresos por debajo del mismo.

El monto neto capitalizado al octavo año (el término A ya individualizado en la respectiva equivalencia financiera) es el siguiente:

( )[ ] ( ) 000.201,1201,0

11,1720A 6

8

+−−−=

= $ 11.411.848.

El valor económico del bosque es entonces:

( ) 11,1

11.411.848VEB

8 −=

= $ 9.978.979.

Este caso permite hacer varios alcances que profundizan el análisis.

Nótese que el monto resultante del valor económico del bosque es inferior no sólo al valor neto de cada cosecha, sino también al valor de A, neto de los gastos de formación. Esto se debe al efecto de la tasa de descuento, que minimiza los valores alejados en el tiempo, tanto por el efecto del tiempo mismo como por lo elevado de la tasa.

Como la valorización se está haciendo en el momento 0, entonces los ingresos de la cosecha que se recibirán cada 8 años tienen una influencia cada vez menor sobre el valor actual de los beneficios. El siguiente cuadro muestra los valores actuales de las próximas 10 cosechas:

20.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

720 720 720 720 720 720 720 720

200

AÑO VALOR ACTUAL($) AÑO VALOR ACTUAL($)

8 9.330.148 48 206.149

16 4.352.583 56 96.170

24 2.030.512 64 44.864

32 947.249 72 20.929

40 441.899 80 9.764

Como se observa, las últimas cosechas de esta serie aportan muy poco al valor del bosque, por lo que una planificación de largo plazo debe considerar que sólo las primeras rotaciones tienen verdadera influencia sobre el valor económico del bosque. Este efecto es mayor mientras más largo sea el ciclo de corta o la rotación, por un lado, y la tasa de descuento que se emplee, por el otro.

Un segundo alcance, más interesante que el anterior, se refiere a la oportunidad en que ocurre la valorización. El valor calculado anteriormente es válido bajo el supuesto de que en el momento de efectuar la valorización resta aún todo un ciclo (de 8 años en el caso concreto de este ejemplo), antes de obtener la primera cosecha. En otras palabras, el planteamiento mismo de la equivalencia financiera respectiva, que supone que los pagos ocurren al final de cada intervalo, obliga a asumir que el estado en que se encuentra el bosque al momento de calcular el valor es el correspondiente al inicio del ciclo, es decir, en el momento en que la última cosecha efectuada ha ocurrido recién. Sin embargo, una situación más real es aquella en que se necesite hacer una valorización en un momento intermedio del ciclo de corta, de modo que la primera de las futuras cosechas ocurrirá antes de 8 años. Para ejemplificar esta variante supóngase el mismo caso ya resuelto, pero efectuando ahora la valorización justo en la mitad del ciclo.

De la resolución de este caso, ya vista, se sabe que el monto A, o capitalización de los beneficios y costos del ciclo de corta al octavo año, es de $11.411.848. Esta es una serie infinita que tiene la siguiente forma gráfica (la cifra monetaria aparece en millones de pesos):

0 8 16 24 ...

11,4 11,4 11,4

Ahora, la variante que se indicó recién tiene la forma siguiente:

El primer término de la serie infinita en este caso se produce en 4 años más, y no en 8 como en la situación original. El año 4 de este ejemplo es el momento 0 de la serie cuyo primer término está ubicado en el año 12, y cuyo valor es de $9.978.978. Este monto hay que actualizarlo 4 años, para expresarlo en el momento 0, pero además hay que llevar a cero los 11,4 millones ubicados en el año 4 y que se encuentran excluidos del valor actual de la serie, ya calculado. Se obtiene así el valor económico del conjunto suelo y vuelo de la variante tratada aquí y cuya expresión matemática es la siguiente:

( ) ( )44 1,1

978.978.9

1,1

11.411.848VEB +=

= $14.610.221.

El valor económico resulta obviamente superior al anterior, dado que el

bosque en esta variante está en un estado más desarrollado, con 4 años más de crecimiento, y por lo tanto debe valer más.

También se puede encontrar este valor simplemente capitalizando el monto originalmente calculado para el bosque, de $9.978.978, durante 4 años, que es el período que ha transcurrido entre el momento 0 original y la fecha en que se está efectuando la valorización. Gráficamente esta situación se puede representar como sigue:

0 4 12 20 28 ...

11,4 11,4 11,4 11,4

Matemáticamente: VEB = 9.978.978 (1,1)4

= $14.610.221.

Esta alternativa de cálculo, bastante más sencilla, encuentra su explicación en los 4 años de crecimiento que ha experimentado el bosque desde la fecha de cálculo del valor económico hasta la fecha de la valorización, en esta variante. En términos estrictos, el valor del bosque crece en directa relación con la tasa de crecimiento del vuelo, que no es necesariamente la tasa de descuento. Sin embargo, como no se puede técnica y legalmente, en este caso y en general, extraer parte del crecimiento en un momento distinto del fijado por el esquema de manejo previamente aprobado, entonces la tasa pertinente para incorporar el valor del tiempo es el costo de oportunidad de quien hace la valorización.

El tercer ejemplo, que se desarrolla a continuación, es el caso del valor económico del suelo sobre el cual se ha implantado un bosque coetáneo de pino radiata sometido al esquema de manejo que aparece en la Tabla Nº 14

0 4 8 16 24 años

Momento de la valorización

$9.978.978

TABLA Nº 14

ESQUEMA DE MANEJO DE PINO RADIATA PARA MADERA ASERRADA

EDAD TIPO DE INTERVENCION MONTO (años) ($/ha)

0 Plantación - 85.000

1 Replante - 15.000

2 Limpia - 13.000

3 Fertilización - 6.500

6 Poda y raleo a desecho - 28.500

8 Poda - 18.000

14 Raleo comercial 80.000

22 Cosecha 2.400.000

Se asume también un costo anual de 7.500 $/ha/año y una tasa alternativa para el capital de 8 % real anual.

El planteamiento matemático para el cálculo del valor económico del suelo se hará en dos partes, considerando lo extenso de la expresión. Primero se obtendrá el monto del numerador, capitalizando hasta el año 20 todos los valores indicados arriba (monto que se ha denominado A en este texto) y luego se actualizará esta cifra al año 0 considerando infinitas rotaciones.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1619202122 08,1500.2808,1500.608,1000.1308,1000.1508,1000.85A −−−−−=

( ) ( )[ ] ( ) 000.400.208,1000.8008,0

108,1500.708,1000.18 8

2214 ++−−−

= $1.355.382 / ha.

Y el valor económico del suelo para infinitas rotaciones es el siguiente:

( ) 108,1

1.355.382VES

22 −=

= $ 305.504 / ha.

Esto significa que, dado este esquema de manejo a practicar en este suelo, el valor que adquiere desde el punto de vista económico es de $305.504 por hectárea. Obsérvese que esta cifra mide también la rentabilidad de un proyecto de inversión en forestación bajo las características técnicas que se desprenden del esquema de manejo planteado en la Tabla Nº 14 y agregando el costo de otro insumo, que es el valor comercial del suelo, asumiendo que el inversionista tiene una tasa alternativa para el capital de 8 %, lo que mide ya sea una inversión alternativa sobre ese suelo o la tasa de cualquiera otra inversión alternativa, como por ejemplo un instrumento de ahorro.

Es muy importante notar la fuerte incidencia de la tasa de descuento sobre el valor económico del suelo, siendo tal vez el factor más importante en el monto que éste alcance. En este ejemplo recién desarrollado, si se sube la tasa desde 8 % solamente al 10 %, el nuevo valor económico del suelo resulta ser $126.958 por ha, lo que representa una disminución de 58 % respecto del valor calculado con una tasa de 8 %.

En este momento es oportuno hacer un alcance al tratamiento del valor comercial del suelo, el que tiene dos variantes: la primera es que el inversionista no es dueño del terreno y la segunda es que sí lo sea. Si bien el resultado numérico es similar en ambos casos, se entrega análisis detallado de cada uno de ellos, por su valor ilustrativo.

Si el inversionista no fuera dueño del terreno, en cuyo caso tendría que comprarlo pagando el valor comercial del suelo, el planteamiento para el cálculo del valor económico debería incluir el costo de este valor comercial como un insumo más de la inversión.

Denominando S al valor comercial del suelo y asumiendo que el terreno hay que comprarlo al inicio de la rotación y venderlo al final de la misma, entonces el valor futuro de S al final de la rotación es:

VF = - S (1 + i)r + S Después de factorizar queda:

VF = - S [(1 + i)r - 1]

Pero como el término en el paréntesis cuadrado es igual al factor de actualización considerando infinitas rotaciones, entonces el valor comercial del suelo queda incorporado simplemente como -S en la expresión general, a saber:

( )[ ]( ) 1i1

1i1SAVES

r

r

−+−+−=

( )S

1i1

AVES

r−

−+=

En otras palabras, el valor económico del suelo para el inversionista que

debe comprar el terreno excluye el valor comercial del mismo, el que pasa a ser un costo relevante en la decisión. Dicho de otro modo, el valor económico del suelo es el excedente de todos los ingresos respecto de todos los costos atribuíbles al suelo, incluso el costo de comprar el suelo para hacer la inversión.

En el caso de que el inversionista sea dueño del terreno, entonces el valor comercial del suelo constituye un capital capaz de producir renta, aunque ésta sea nada más que el producto de los intereses del valor S depositado en la banca comercial al 8 % real anual, que es la tasa alternativa usada en este ejemplo. El valor anual de esta renta es S x i y el valor futuro de todos estos pagos anuales, expresado al final de la rotación, es:

( ) ( )[ ]i

1i1iS)r(VF

r −+×=

Lo que simplificado queda:

VF(r) = S [(1 + i)r - 1]

Al igual que en la variante anterior, al actualizar este valor para infinitas

rotaciones el valor comercial del suelo se incorpora como -S en la expresión general.

También este valor comercial se puede incorporar como una anualidad de monto S x i , obteniéndose el mismo resultado numérico, aunque para facilitar los cálculos, en este caso se puede sumar este monto S x i al gasto de administración anual, a, de la siguiente forma, en valor actual:

[ ] ( )[ ]( )[ ]1i1i

1i1aiS

r

r

−+×

−++×

La forma más cómoda de tratar este costo anual es incluirlo dentro de los

gastos anuales (administración y otros), como se hace en este texto siempre.

En resumen, el inversionista que desea conocer el excedente neto de su inversión debe restar el valor comercial del valor económico. Este ejercicio habitualmente no se hace porque ha sido histórica la enorme diferencia que existe entre estos valores, siendo tan bajo el precio del suelo forestal que se considera insignificante como insumo, aunque esta situación es menos extrema actualmente, existiendo zonas donde el precio de los terrenos de aptitud forestal ha alcanzado cifras considerables.

El cuarto y último ejemplo desarrollado para la sección sobre el valor

económico del suelo es una comparación entre tres alternativas de cultivo forestal para un terreno determinado: dos esquemas de manejo diferentes de pino radiata y un esquema de eucalipto para fines de leña.

Alternativa uno: la primera alternativa de aprovechamiento del suelo corresponde a pino radiata con un esquema de manejo similar al caso recién tratado arriba, descrito en la Tabla Nº 14, cuyo destino es madera aserrada.

Alternativa dos: la segunda alternativa consiste en producir madera de pino radiata para pulpa, bajo un esquema de manejo como el que se reproduce a continuación en la Tabla Nº 15.

TABLA Nº 15

ESQUEMA DE MANEJO DE PINO RADIATA PARA PULPA

EDAD TIPO DE INTERVENCION MONTO (años) ($/ha)

0 Plantación - 70.000

1 Replante - 10.000

3 Fertilización - 6.500

5 Raleo a desecho - 5.500

15 Cosecha 1.300.000

Costo anual: 7.000 $/ha/año.

La alternativa de plantar eucaliptus para leña, que se describe en seguida, considera una plantación inicial y luego 4 cosechas a partir de los brotes del tocón, completando el ciclo el año 32, cuando se asume que deberá volver a plantarse y se da por terminada la primera rotación.

Alternativa tres: eucaliptus para leña, la que se presenta en la Tabla Nº 16

TABLA Nº 16

ESQUEMA DE MANEJO DE EUCALIPTUS PARA LEÑA EDAD TIPO DE INTERVENCION MONTO (años) ($/ha)

0 Plantación - 105.000

8 Cosecha 500.000

10 Clareo - 8.000

16 Cosecha 500.000

18 Clareo - 8.000

24 Cosecha 500.000

26 Clareo - 8.000

32 Cosecha 500.000

Costo anual: 7.000 $/ha/año.

Se desea saber cuál de las tres opciones de uso del suelo constituye una mejor inversión. La solución de este problema puede enfrentarse de tres maneras: uno, la que se analiza en esta sección, el valor económico del suelo; dos, el valor anual equivalente; y tres, igualar las vidas útiles de las tres opciones para hacerlas comparables. Se desarrollan a continuación las tres formas de resolver este problema. Solución uno: valor económico del suelo.

La alternativa uno tiene calculado el valor económico del suelo, que asciende a $305.504 / ha.

La alternativa dos se calcula en dos etapas, por razones de espacio. Primero aparece el numerador A y luego el valor económico del suelo, VES.

( ) ( ) ( ) ( )10121415 08,1500.508,1500.608,1000.1008,1000.70A −−−−=

( )000.300.1

08,0108,1

000.715

+−−

= $830.269.

( ) 11,08

830.269VES

15 −=

= $382.230 / ha.

La alternativa tres, eucalipto para leña tiene un numerador mucho más

extenso en la ecuación de cálculo. El planteamiento de esta ecuación ya no es estrictamente necesario, dado que se han presentado varios ejemplos. Sin embargo, se ha preferido exponerlo "in extenso", con fines principalmente de auto-aprendizaje para los estudiantes de pre-grado en estas materias.

( ) ( ) ( ) ( )16222432 08,1000.50008,1000.808,1000.50008,1000.105A +−+−=

( ) ( ) ( ) 000.50008,1000.808,1000.50008,1000.8 6814 +−+−

( )08,0

108,1000.7

32 −−

= $4.057.453.

( ) 11,08

4.057.453VES

32 −=

= $ 377.892 / ha.

De acuerdo con los resultados obtenidos, en este caso específico es

preferible la opción de utilizar el terreno con una plantación de pino radiata bajo un esquema de manejo para producir materia prima pulpable, con una pequeña diferencia de $4.338 / ha sobre la alternativa que le sigue inmediatamente, que es la producción de leña de eucalipto.

Es importante dejar en claro, igual como se ha señalado en casos anteriores, que el resultado de este caso no tiene validez general en el sentido de afirmar que un esquema de manejo de pino radiata destinado a pulpa es económicamente más rentable que producir madera para aserrío. Esto depende de cada situación particular y de factores tales como calidad del sitio, precio comercial de los productos, cercanía del sitio a los centros de consumo, sólo para nombrar algunos de los principales. Por el contrario, si algo se puede generalizar a la luz de antecedentes reales es que el negocio de madera aserrada resulta por lo general más rentable que el de madera rolliza para pulpa, excepto quizás cuando el bosque se encuentra muy cercano a una planta de pulpa o papel y a la vez alejado de los centros de consumo de madera aserrada.

Respecto del valor comercial del suelo, que como se explicó debe

restarse del valor económico para tomar la decisión, en este caso es irrelevante incorporarlo en el cálculo, ya que cualquiera sea su monto no hará cambiar la decisión al comparar las opciones. El concepto de valor económico del suelo es, como se ha visto en este ejemplo, un perfecto indicador para comparar entre alternativas de aprovechamiento del sitio, ya que plantea el problema exactamente como es: un proyecto forestal repetible y de duración infinita. Solución dos: valor anual equivalente.

Para proyectos que se repiten indefinidamente, que es el caso planteado aquí, es perfectamente posible aplicar el concepto de valor anual equivalente para comparar las opciones. La forma habitual de cálculo de este indicador es obtener primero el valor actual neto de cada alternativa de inversión y luego transformarlos en sus respectivas equivalencias anuales. Debe notarse que precisamente en este caso no es posible efectuar la comparación directamente entre los valores actuales netos resultantes debido a que cada uno de ellos representa una opción de diferente duración. Al transformarlos en su equivalente anual en cambio, la comparación sí es posible, ya que los valores se reducen a una misma unidad temporal, en este caso un año.

Los valores actuales netos (VAN) de las tres opciones son los siguientes:

Alternativa 1 (madera aserrada): $249.309 / ha. Alternativa 2 (madera pulpable): $261.735 / ha. Alternativa 3 (leña de eucalipto): $345.696 / ha.

Corroborando lo señalado en el párrafo anterior, obsérvese que el VAN

más alto es el de la alternativa 3, pero éste representa a un proyecto de 32 años, mucho más largo que las otras opciones, que son de 22 y 15 años respectivamente.

Las ecuaciones de cálculo se han omitido, ya que se supone conocidas. Sin embargo debe notarse que el VAN puede calcularse a partir de los VES mediante las siguientes relaciones:

( ) 1i1

AVES

r −+= ; A = VES [(1 +i)r - 1]

( )ri1

AVAN

+= ; A = VAN (1 + i)r

Igualando y despejando VAN se obtiene:

( )[ ]( )r

r

i1

1i1VESVAN

+−+= y

( )( ) 1i1

i1VANVES

r

r

−++=

Como se vio en la sección 2.2, la expresión del valor anual equivalente

es:

( )( ) 1i1

i1iVANVAE

n

n

−++×=

Por lo que los valores anuales equivalentes de este caso son:

Alternativa 1:

( )( ) 108,1

08,108,0309.249VAE

22

22

−=

= $24.440 / ha.

Alternativa 2:

( )( ) 108,1

08,108,0735.261VAE

15

15

−=

= $ 30.578 / ha.

Alternativa 3:

( )( ) 108,1

08,108,0696.345VAE

32

32

−=

= $ 30.231 / ha.

De donde se desprende que la mejor opción para este caso es pino radiata para pulpa, cuyo valor anual equivalente es el más alto. La solución es obviamente consistente con la forma anterior, puesto que la opción de mayor valor económico del suelo también debe tener el mayor valor anual equivalente.

Nótese que el valor anual equivalente corresponde al flujo anual que es capaz de generar un "stock" de la magnitud del valor económico del suelo, es decir, corresponde a la renta anual producida por el capital suelo. Desde este punto de vista conceptual, el cálculo del VAE es simplemente el VES multiplicado por la tasa alternativa del capital.

La expresión numérica resulta del siguiente desarrollo:

Si ( )

( ) 1i1

i1iVANVAE

n

n

−++×=

Pero como ya se vio más arriba:

( )[ ]( ) n

n

i1

1i1VESVAN

+

−+=

Entonces reemplazando la segunda expresión en la primera y

simplificando se obtiene:

VAE = VES x i

Lo que se puede comprobar utilizando los datos generados por este problema.

Finalmente, se presenta la tercera forma de resolver el problema. Solución tres: igualar las vidas útiles.

La manera menos eficiente (y por tanto menos usada) de resolver el problema de decidir entre opciones de distinta duración es la que se aborda en este punto y que no se desarrollará completamente debido a su gran extensión, aunque se entrega la orientación de su planteamiento.

La solución consiste en encontrar el mínimo común múltiplo de las vidas útiles de las tres alternativas, de modo de darle a cada opción tantas repeticiones como sea necesario para generar tres nuevos proyectos, ahora todos de la misma vida útil y así poder compararlos. La nueva vida útil común para los tres proyectos puede resultar tan larga que haga impracticable el método, sobre todo si se dispone de las otras formas de enfrentar la solución, ya descritas.

El presente ejemplo precisamente ilustra esta limitación, puesto que el común múltiplo más pequeño entre las vidas útiles de las tres opciones (22, 15 y 32 años) es 5.280 años.

Esto significa que el proyecto de madera aserrada de pino insigne, por ejemplo, hay que transformarlo en otro igual pero repetido 240 veces (5.280/22); la opción de madera pulpable 352 veces y así sucesivamente con todas las opciones que se esté comparando. Es obviamente imposible igualar las vidas útiles en un horizonte de 5.280 años, pero puede haber otras situaciones en que sí sea practicable este método, por lo que no debe descartarse de antemano.

Una vez calculada la vida útil común para todas las opciones se procede a plantear cada proyecto completo y calcular su VAN, escogiendo el proyecto que arroje el más alto valor de este indicador.

A modo de ejemplo, y aprovechando que ya se tiene calculado el VAN de las opciones, se entrega el gráfico y los cálculos de la primera de las alternativas de aprovechamiento del suelo, madera aserrada de pino insigne, para un horizonte de 5.280 años.

La ecuación para el cálculo, según [10], es:

( )[ ]( )[ ]( )

309.2491,0811,08

11,08 249.309VAN

23922

239

+−

−=

= 56.194 + 249.309 = $ 305.503 / ha.

En la ecuación, n es 239 y no 240 porque el último término de la serie ocurre al comienzo del último período (es decir en el año 5.258), y se le adiciona el primero de los VAN de la serie, el que ocurre en el año 0 y que la fórmula [10] no incluye. En todo caso, para una serie tan larga como ésta si alguien no toma en cuenta esta consideración y utiliza simplemente el valor 240, obtendrá el mismo resultado. En una serie corta, sin embargo, debe tenerse el cuidado de anotar el exponente con exactitud.

Nótese que el valor del VAN encontrado es casi igual al valor económico del suelo, ya conocido, y que es el valor actual neto de un proyecto de infinitas repeticiones.

0 22 44 66 88 5.280

249.309 249.309 249.309 249.309 249.309

Esto ocurre, como se explicó antes en el capítulo de las equivalencias financieras, debido a que un período muy largo de capitalización tiende a arrojar valores similares a una serie infinita, por el efecto minimizador que tiene la tasa de interés en los montos alejados en el tiempo.

Al finalizar esta sección sobre el valor económico del suelo cabe un último alcance de carácter general, para destacar la importancia que tiene este concepto en la planificación del recurso forestal con fines económicos. Si se tiene como principio la eficiencia en la toma de decisiones de manejo forestal, entonces el VES es el mejor indicador desde el punto de vista económico para encontrar, no sólo una especie adecuada, sino también el esquema de manejo óptimo para maximizar el aprovechamiento de un sitio determinado. 4.3.2. Valorización del vuelo de rodales coetáneos.

En la actividad forestal hay muchas razones que hacen necesario conocer con exactitud el valor del vuelo de un bosque, particularmente en el caso de rodales coetáneos, que son los que más frecuentemente están transándose en el mercado, y que sustentan la mayor parte de la producción de bienes provenientes del bosque.

En primer lugar, es necesario conocer el precio de bosques en pie con la finalidad de celebrar transacciones comerciales, actividad muy frecuente en los medios productivos, ya que es habitual que los dueños de empresas madereras medianas y pequeñas carezcan de abastecimiento de materia prima de bosques propios y deban, por tanto, comprar madera en pie o semi-procesada. También es necesario tasar madera en pie para los efectos de contratar seguros y para el pago de impuestos o simplemente para tomar decisiones económico-financieras de variada índole.

Las negociaciones de compraventa comúnmente se rigen por el libre juego de la oferta y la demanda. En otras palabras, el precio alcanzado en las transacciones de vuelos forestales corresponde al valor de mercado, el cual refleja aproximadamente el valor de los productos que el bosque es capaz de generar. Sin embargo, cuando se trata de bosques que no han alcanzado la madurez, es necesario hacer consideraciones que reflejen tanto su valor potencial como las inversiones efectuadas en el mismo, dado que aún su capacidad productiva se encuentra en desarrollo.

En esta sección se describen los métodos básicos para valorizar un vuelo forestal, y a la vez se analiza y discute los alcances de los mismos por medio de una aplicación práctica en la que se consideran cifras habituales de costo para las intervenciones silviculturales.

La sección corresponde a una trascripción bastante cercana de un artículo publicado por el autor, en asociación con un colega. (CHACON Y NEUENSCHWANDER, 1991). Métodos de valorización de rodales coetáneos.

En forma clásica se ha reconocido la existencia de tres métodos para valorizar rodales coetáneos : valor comercial o de consumo; valor de costo, también llamado de reposición; y valor económico o potencial, denominado asimismo valor de espera o esperado. A continuación se describirá sucintamente cada uno de ellos. Valor comercial de un rodal.

Se denomina valor comercial de un vuelo al precio de mercado de la madera en pie. Las especies más comunes tienen precio de mercado para una unidad de volumen de madera en pie, frecuentemente metro cúbico. Dado un volumen estimado para el bosque, o medido mediante un inventario, el producto del precio del m3 en pie por el volumen total expresado en la misma unidad, entrega el valor comercial del bosque completo. El origen de esta forma de estimación proviene del método denominado "valor residual de la madera en pie", que consiste en partir del precio de mercado de la unidad de volumen puesta en algún centro de consumo y descontar, paso a paso, los costos de transformación, transporte y utilidades de todas las etapas hasta llegar, por diferencia, al valor de la unidad volumétrica en pie. En la práctica, al estar estandarizados tanto los costos como los márgenes de utilidad de todas las etapas de transformación, se llega a valores relativamente conocidos, al menos entre los agentes habituales de la producción maderera.

El método del valor comercial también ha sido denominado valor de consumo, debido a que se supone válido para bosques con existencia maderera susceptible de ser aprovechada de inmediato, por lo que la principal limitación para su cálculo es la edad del rodal, siendo aplicable sólo a bosques con disponibilidad inmediata de algún producto. Para el caso de pino radiata, por ejemplo, desde los 13 ó 14 años, dependiendo de la calidad del sitio, se pueden obtener productos de buen precio en el mercado, como madera aserrada, y antes, entre 8 y 10 años se obtienen productos tales como postes para cercos y materia prima para las industrias de pulpa y papel. Así, en este texto el concepto de valor comercial de un rodal corresponde al monto a pagar por él en relación con la cantidad de productos que se pueden obtener de él en forma inmediata, y no guarda relación con el precio de transacción que puede alcanzar un rodal en un momento determinado, precio sobre el cual pueden influir otras variables, como se verá a continuación.

Valor de costo de un rodal.

El método del valor de costo, como lo indica su nombre, consiste en cuantificar el valor de un rodal desde el punto de vista de lo que ha costado formarlo, independientemente de su valor comercial y de su potencialidad productiva.

En forma práctica, consiste en identificar todos los costos de formación, tales como: plantación, replante, limpias o desbroces, podas, raleos, administración anual, costo de oportunidad del suelo, etc., capitalizados desde la fecha en que ocurren hasta la edad de valorización, a la tasa del costo de oportunidad del capital del propietario. Asimismo, si durante este período han tenido lugar ingresos, como por ejemplo venta de productos de un raleo, éstos deberán descontarse o, dicho de otro modo, incluirse en la ecuación de cálculo con signo negativo.

Una expresión general para el método puede escribirse de la siguiente forma:

( ) ( )[ ] ( )∑∑=

−

=

− +−−+

++=e

0j

jej

ee

0j

jeje i1I

i

1i1ai1CVC

Donde:

VCe = valor de costo del rodal a la edad e, en pesos.

E = edad del rodal a la fecha de la valorización, en años. Cj = costo de una intervención silvicultural en un año j cualquiera (j < e),

pesos.

I = costo de oportunidad del capital o tasa de interés real, en valor decimal.

a = gasto anual constante, en pesos. Incluye vigilancia, mantención de cercos y cortafuegos, seguros e impuestos fijos. También debe incluirse aquí el costo de oportunidad del recurso suelo, tal como se vio en el capítulo anterior, calculado como el producto del valor comercial del suelo y la tasa alternativa del capital, S x i .

Ij =ingresos monetarios para un año j cualquiera (j < e), pesos.

En este punto es necesario precisar dos alcances, uno en relación con el tratamiento de la inflación y el otro sobre la elección de las cifras de costo pertinentes para cada propietario.

Respecto del primer alcance, debe aclararse que para trabajar siempre con moneda del mismo valor y eliminar el efecto de la inflación, todos los cálculos de los costos deben hacerse con cifras del año en que se practica la valorización, es decir, moneda del mismo poder adquisitivo. Un error frecuente en este sentido es intentar calcular cifras nominales del año en que se efectuó el respectivo gasto, para luego reajustar el valor hasta la fecha de valorización, lo que además de engorroso, es equivocado, ya que los precios de los factores de costo no necesariamente se reajustan según el índice de precios al consumidor, sino más bien lo hacen de acuerdo con la variación de costo de los principales insumos.

El segundo es que los costos que deben considerarse para una intervención silvicultural determinada deben ser estándares y no el costo histórico o efectivamente incurrido por el propietario. De este modo, se eliminan distorsiones producidas por los diferentes niveles de eficiencia que los propietarios pudieron tener al manejar su bosque. Esta idea es importante, dado que pudiera darse la paradoja de que un propietario ineficiente, que gastó más de lo debido, valorice más alto su bosque que otro que operó eficientemente. Sin embargo, no hay forma de justificar que se valorice más alto a un rodal que otro que tiene la misma intensidad de manejo, densidad, clase de sitio e incluso la misma existencia maderera, por el solo hecho de que los costos históricos sean más altos. Para ahorrarse el trabajo de verificar cada costo, basta con utilizar razonables estándares para cada faena y condiciones de la misma.

La naturaleza del método descrito lo hace particularmente apto para bosques muy jóvenes, de edades inferiores a aquella en que comienza a producirse volumen comercial, aproximadamente 8 años para pino radiata. Es frecuente su uso por compañías aseguradoras contra incendios u otros siniestros, y también para el cálculo del impuesto a la utilidad que debe calcularse al momento de cosechar o vender en pie un rodal. En estos casos está permitido descontar de los ingresos el costo de formación del rodal, el que se calcula básicamente de la forma descrita, tomando en consideración los montos de costo y tasa de capitalización fijada por el organismo fiscalizador. (Véase la sección 4.2).

Es pertinente hacer la observación a la denominación valor de reposición, a veces utilizada como sinónimo para este método y cuyo empleo es inexacto. En efecto, el monto que se obtiene cuando se calcula el valor de costo de un rodal habitualmente es insuficiente para reponer al propietario un rodal de las mismas características, ya que en general el precio de mercado de los bosques, exceptuando tal vez los primeros años, se encuentra casi siempre por sobre el valor de costo. El término "reposición", que proviene de la valorización de obras civiles, no debiera aplicarse a un "stock" en crecimiento, como lo es un bosque, ya que conceptualmente el valor de costo no mide lo que cuesta reponer un rodal, sino lo que ha costado formarlo.

A la inversa, en el caso de una obra civil a la que se necesite valorizar, tal como podría ser un puente destruido por un aluvión, a modo de ejemplo, resultaría francamente absurdo asignarle el valor del costo de construcción original capitalizado a la fecha de la valorización (además de que se obtendrían cifras inmensas). En este ejemplo cabe, en cambio, otorgar al puente el valor de la obra de reemplazo o reposición. Valor económico de un rodal.

El valor económico de un rodal está basado en el concepto teórico de valor económico de cualquier bien de capital, es decir, la capacidad de éste para producir beneficios futuros. Así como una fábrica, una máquina o un mineral valen, en términos económicos, tanto como el valor actual de los beneficios netos futuros que prodigarán a sus propietarios, el valor económico de un bosque es el valor actual de todos sus ingresos futuros menos los costos en que será necesario incurrir para administrarlo y cosecharlo, incluyendo el costo de oportunidad del capital.

La expresión matemática del método es;

( ) ( ) ( )( )[ ]( ) er

er

ej

j

ej

j

er

re

i1i

1i1a

i1

C

i1

I

i1

RVE

−

−

−−− +

−+−

+−

++

+=

Donde:

VEe = valor económico del rodal a la edad e, pesos.

Rr = rendimiento monetario neto de gastos de explotación a la edad de cosecha r, pesos.

r = edad de cosecha o rotación, años.

i = tasa de descuento o costo de oportunidad del capital, en

valor decimal.

Ij = ingreso neto en un año j (j ≤ e), pesos.

Cj = costo a la edad j (j ≤ e), pesos.

a = gasto anual constante, pesos.

La expresión anterior muestra que el método considera solamente los costos e ingresos que ocurrirán entre la edad de valorización del bosque y la edad en que se realizará la cosecha, correspondiente a la edad de rotación, dejando de lado todos los costos e ingresos ocurridos antes de la fecha de valorización. En otras palabras, el bosque se valoriza por lo que es capaz de rendir y no por lo que ha costado formarlo. Para el cálculo del valor económico los costos de formación del rodal se consideran históricos, en el sentido de que su monto ya está gastado y por tanto no interesan para conocer la potencialidad futura del rodal.

Algunos años atrás se denominaba "valor de porvenir" a un método consistente en capitalizar todos los costos e ingresos desde la fecha en que ocurrieron hasta la edad de rotación, actualizando luego la cifra así obtenida hasta la edad en que se está valorizando. Dicho método puede ser útil para saber si el propietario ha hecho un buen negocio con su inversión, pero no expresa el valor económico del rodal.

Así como el valor de costo es utilizable en rodales jóvenes, el método del valor económico es útil para rodales mayores, de edades cercanas a la edad de rotación, o bien cuando existe la posibilidad cierta de estimar razonablemente el rendimiento futuro. Hoy en día, la disponibilidad de modelos de simulación de rodales hace más accesible el método, incluso para rodales muy jóvenes. Para el caso chileno del pino radiata el método resulta bastante seguro desde los 14 ó 15 años de edad, aunque se puede calcular prácticamente desde los ocho años, gracias a la posibilidad de los modernos simuladores de crecimiento ya mencionados. Sin embargo, las estimaciones del valor económico de rodales muy jóvenes (hay simuladores desde 5 años de edad), no tienen suficiente credibilidad para fines de transacción comercial. Aplicación a un caso práctico.

Con el fin de ilustrar el cálculo de los tres métodos reseñados, así como para comparar y analizar los resultados obtenidos, se desarrolla un caso práctico para un rodal supuesto de pino radiata, cuyos costos e ingresos a lo largo de su vida se presentan en la Tabla Nº 17. Las cifras negativas aparecen entre paréntesis.

TABLA Nº 17

ESQUEMA DE MANEJO DE UN RODAL DE PINO RADIATA PARA TRES METODOS DE VALORIZACION

EDAD TIPO DE INTERVENCION MONTO (años) ($/ha)

0 Plantación (60.000)

1 Replante ( 8.500)

2 Limpia o desbroce ( 7.500)

3 Fertilización ( 6.000)

6 Poda y raleo a desecho (24.000)

8 Poda (20.000)

14 Raleo comercial 150.000

22 Cosecha 1.949.900

Gasto anual ( 8.300)

Costo de oportunidad del capital : 7 % real anual. Edad de la valorización : 12 años.

i) Cálculo del valor de costo (VC).

VC12 = 60.000 (1.07)12 + 8.500 (1.07)11 + 7.500 (1.07)10 + 6.000 (1.07)9 +

24.000 (1,07)6 + 20.000 (1.07)4 + 8.300 [(1.07)12 - 1] / 0.07

= 389.515 $ / ha.

En consecuencia, hasta los 12 años, el costo de formación del bosque, dados los antecedentes de costo utilizados para este ejemplo, es de $ 389.515 por hectárea.

ii) Cálculo del valor económico (VE).

( ) ( )( )[ ]

( ) 10

10

21012

07,107,0

107,1300.8

07,1

000.150

07,1

900.949.1VE

−−+=

= 1.063.950 $/ha.

Por tanto, el valor actualizado a los 12 años de edad de todos los

ingresos netos futuros del rodal es $ 1.063.950 por hectárea, lo que constituye su valor económico (o valor potencial).

La diferencia entre las cifras obtenidas por ambos métodos es de $ 674.435. Dado que este valor es mayor que cero, el propietario del bosque puede sentirse satisfecho pues ha hecho un buen negocio. Efectivamente, la actualización de la cifra 674.435 al año cero alcanza a la suma de $ 299.457, que es el valor actual neto (VAN) y que por ser superior a cero prueba que la inversión es rentable. Esta cifra de $ 674.435 corresponde al antiguo concepto "valor de porvenir", mencionado antes, y que algunos indican como valor potencial del rodal, pero como se muestra en este ejemplo, en realidad corresponde a una capitalización del valor actual neto hasta una edad determinada. iii) Cálculo del valor comercial.

Para determinar el valor comercial es necesario identificar un antecedente adicional: que a los 12 años el rodal de este ejemplo tiene 215 metros cúbicos por hectárea. Si se asume un precio del metro cúbico en pie de $ 3.700, el valor comercial es de $ 795.500 por hectárea.

Ampliando el ejemplo, en la Tabla Nº 18 se desarrolla el cálculo de los valores de costo, económico y comercial para toda la vida del rodal. La información utilizada para la construcción de esta tabla es la misma ya usada en los cálculos anteriores. Se asume una edad de rotación arbitraria de 22 años.

TABLA Nº 18

RENDIMIENTO VOLUMETRICO Y VALORIZACION DEL RODAL PARA DIFERENTES EDADES

EDAD VOLUMEN VALOR DE COSTO VALOR ECONOMICO VALOR

COMERCIAL años m3/ha $/ha $/ha $/ha

1 81.000 392.920

2 102.470 437.819

3 123.943 484.791

4 140.919 533.447

5 159.083 579.088

6 202.519 627.924

7 224.995 705.859

8 68 269.045 763.569 251.600

9 100 296.178 846.719 370.000

10 137 325.211 914.289 506.900

11 178 356.275 986.589 658.600

12 215 389.515 1.063.950 795.500

13 254 425.081 1.146.727 939.800

14 260 313.136 1.235.298 962.000

15 300 343.356 1.169.569 1.110.000

16 333 375.691 1.259.783 1.232.100

17 367 410.289 1.356.220 1.357.900

18 401 447.309 1.459.456 1.483.700

19 433 486.921 1.569.917 1.602.100

20 463 529.306 1.688.112 1.713.100

21 495 574.657 1.814.579 1.831.500

22 527 623.183 1.949.900 1.949.900

Los antecedentes volumétricos utilizados en la tabla son supuestos, aunque bastante cercanos a la función de rendimiento para la Zona de Crecimiento Nº5, VII Región, Clase de Sitio I, manejado (INFOR, 1985).

Igualmente, se asume un precio neto constante de la madera en pie de $3.700 por metro cúbico, cifra bastante conservadora (casi completamente exenta de riesgo) en comparación con los precios que actualmente se observan en el mercado.

Otros valores utilizados también pueden calificarse como muy bajos en comparación con los valores que se alcanzan en la realidad, especialmente el gasto anual, cifra que fácilmente puede llegar a más del doble de la utilizada en el ejemplo, considerando que incluye el costo de oportunidad del suelo. Además, un caso real debiera incluir también el costo anual de un seguro, monto que no es constante, ya que habitualmente éste se fija como una proporción del valor del rodal, considerando el valor de costo al principio y el valor comercial, después de cierta edad. Hechas estas aclaraciones, quien tome este ejemplo como modelo para hacer sus propios cálculos debe estar consciente de que este caso subestima deliberadamente los valores de la realidad.

El Gráfico Nº 4, que se muestra más adelante, permite apreciar mejor las relaciones entre las curvas del valor comercial, valor de costo y valor económico, desarrolladas con los datos de la Tabla Nº 18.

Los antecedentes evidenciados en la tabla y en el gráfico recién citados indican que los valores de costo y económico se mantienen a una apreciable distancia entre sí a lo largo de toda la vida del rodal, lo que no constituye sorpresa, ya que como se ha señalado antes, dicha diferencia es indicadora de la bondad de la inversión. En este ejemplo, elaborado con datos estándares conservadores, esto también se muestra con claridad. La diferencia entre ambos valores se hace mayor a medida que se acerca la edad de rotación, ya que los costos, una vez pasado el período de formación más intensiva del bosque, crecen principalmente (y casi exclusivamente) debido a la tasa alternativa del capital. El valor económico, en cambio, más dependiente del rendimiento futuro del rodal, aumenta a medida que se acerca la cosecha final.

El valor comercial, por su parte, se observa recién a partir del octavo año, cuando aparece existencia maderera y se ubica entre los otros dos hasta alcanzar cifras semejantes al valor económico.

Para edades superiores a los 14 años, aproximadamente, y dependiendo de cada caso, la estrecha diferencia entre los valores económico y comercial permite escoger cualquiera de los dos sin temor a equivocarse. A esta edad, además, el valor de costo es completamente descartable sin necesidad de mayor análisis, ya que el potencial maderero del rodal se encuentra bien definido.

En edades inferiores a los 8 años, antes de la aparición de volumen comercial, si bien hay una importante diferencia entre los valores de costo y económico, los precios de transacción debieran acercarse al primero, ya que el valor económico exacto del bosque a esa edad es de difícil pronóstico. Tanto es así, que en este caso, antes de los 6 años aún no se ha ejecutado parte importante del manejo que definirá la suerte futura del rodal, especialmente el tipo de bienes que será capaz de producir.

Sin embargo, un propietario que esté dispuesto a vender a una edad temprana difícilmente se contentará con recibir por su bosque el valor de costo, ya que eso significaría para él algo equivalente a haber ahorrado su dinero a la tasa del costo de oportunidad del capital sin tomar en cuenta el riesgo que ha afrontado su inversión. Lo pertinente, entonces, es recalcular el valor de costo con una tasa de descuento más alta que la alternativa, obteniendo así una renta económica por la inversión. Dicha tasa debiera superar en no menos de 4 ó 5 puntos porcentuales a la tasa alternativa del capital, o lo que cada propietario estime pertinente según su percepción del riesgo.

GRAFICO Nº 4

VALORES DE COSTO, COMERCIAL Y ECONOMICO DE UN RODAL DE PINO RADIATA

Tasa (i) t i p r * r** Edad (años)

Las edades intermedias del rodal (entre los 8 y 14 años, aproximadamente, para este ejemplo), constituyen el período de mayor dificultad para establecer un precio que permita, tanto al vendedor como al comprador, iniciar una negociación. En este lapso se observa una diferencia clara entre los valores de costo y económico, los que se mantienen bastante separados entre sí a lo largo de toda la vida del rodal.

El valor comercial, en cambio, presenta una variación que va desde cifras

cercanas al primero hasta alcanzar valores prácticamente iguales al valor económico a una edad cercana a la corta. ¿Qué valor escoger, entonces?

Desde el punto de vista del vendedor, el precio deberá ser lo más alto posible, partiendo de la base del valor de costo, cifra mínima bajo la cual no debiera aceptar negociación alguna. Si es posible identificar el volumen comercial del rodal y el precio de mercado para los productos principales del mismo, entonces el valor comercial pasará a ser el mínimo aceptable para el vendedor.

Desde el punto de vista del comprador, por su parte, el precio de compra debiera ser el más bajo posible, aceptando el valor económico del bosque como límite máximo a pagar por él, ya que de sobrepasar esa cifra, su inversión no le arrojaría rentabilidad. El precio final se encontrará entre el valor económico, como máximo, y el valor de costo o el comercial si éste es claramente identificable, como mínimo, y el trato se cerrará más cerca de una u otra cifra según la fuerza negociadora que tengan tanto el comprador como el vendedor, la que a su vez dependerá de las respectivas necesidades de comprar y vender, por una parte, y de la información que cada cual posea del bosque, del mercado y del estado de la tecnología existente, pero sobre todo, del grado de conocimiento que cada uno tenga de su oponente.

Ilustrando esta última afirmación, si el vendedor sabe que el comprador tiene acceso a tecnología que le permite aprovechar mejor el potencial maderero del rodal y obtener, por tanto, mayores ganancias que aquellas de común conocimiento en el medio maderero, podrá elevar el precio por encima incluso del valor calculado para sí mismo, ya que él sabe que el valor potencial del bosque es más alto para su oponente.

Una de las informaciones más valiosas para el vendedor es el monto del valor económico del rodal calculado por el comprador. Y para éste, a su vez, un dato importante a saber durante el proceso de compraventa es el valor de costo calculado por el vendedor. Ambos montos constituyen el "techo" y "piso", respectivamente, de la negociación.

La situación que ilustra el ejemplo anterior es una muestra de una gama de otros antecedentes que pueden ser conocidos o ignorados por las partes involucradas en una negociación de compraventa de bosque en pie y que serán la base sobre la cual se acordará el precio definitivo.

Al término de esta sección vale la pena repetir una advertencia ya formulada en secciones anteriores: no debe olvidarse que los resultados numéricos, y por lo tanto todos los límites de edad mencionados en el análisis, son válidos para este ejemplo específico y debieran sufrir variaciones si cambian los parámetros del bosque o los antecedentes monetarios y la tasa de descuento, aunque la aproximación a la naturaleza del problema mantiene su validez general.

4.4. Determinación de la rotación de rodales coetán eos.

La determinación de la edad de rotación de los rodales coetáneos es una de las más importantes decisiones del manejo forestal y, exceptuando casos muy especiales, es un tipo de decisión donde el instrumental del análisis económico-financiero presta la mayor utilidad.

La decisión de cuándo cortar los árboles puede tener una naturaleza volumétrica (también denominada física y biológica) o económico-financiera. Si bien en este texto obviamente se tratará con mayor énfasis el segundo enfoque, se presenta un alcance al desarrollo del criterio volumétrico, especialmente para apoyar una mejor comprensión del tema a los estudiantes de ciencias forestales. 4.4.1. Criterio volumétrico.

El propietario de un bosque que desee hacer máxima la cantidad de madera a extraer de un rodal debe utilizar un criterio volumétrico para decidir la fecha óptima para la cosecha del vuelo. Esto se consigue maximizando la productividad media del rodal en relación con la edad, lo que en ciencias forestales se denomina incremento medio anual (IMA).

Como se sabe, la edad del rodal a la cual se produce el máximo IMA ocurre cuando la productividad marginal (denominada incremento corriente anual, ICA) se iguala con el IMA, lo que se muestra en la Tabla Nº 19, elaborada con antecedentes de las tablas de rendimiento del Instituto Forestal (INFOR, 1985)).

Como se observa en la Tabla Nº 19, señalado por un asterisco, el máximo valor del IMA se encuentra a los 29 años, con una productividad promedio de 25,1 m3/ha. Nótese que mientras el ICA se mantiene por sobre el IMA, éste aumenta, hasta que el incremento corriente o marginal disminuye a una cifra inferior al IMA. En el momento en que esto ocurre, el IMA alcanza su máximo valor.

TABLA Nº 19

TABLA DE RENDIMIENTO DE UN RODAL DE PINO INSIGNE

EDAD VOLUMEN TOTAL INCR. MEDIO ANUAL INCR. CORRIENTE años m3/ha m3/ha m3/ha

8 51 6,4

9 82 9,1 31

10 116 11,6 34

11 154 14,0 38

12 188 15,7 34

13 225 17,3 37

14 263 18,8 38

15 297 19,8 34

16 333 20,8 36

17 369 21,7 36

18 403 22,4 34

19 437 23,0 34

20 471 23,6 34

21 502 23,9 31

22 533 24,2 31

23 565 24,6 32

24 593 24,7 28

25 622 24,9 29

26 650 25,0 28

27 676 25,04 26

28 702 25,07 26

29 728 25,10 * 26

30 751 25,03 23

La edad de rotación óptima de este rodal, según el criterio del máximo IMA es 29 años. Si se corta y vuelve a plantar este rodal en sucesivas rotaciones, cortar cada 29 años asegura a su propietario la mayor cantidad de madera que puede obtener de su bosque en el largo plazo. Lo anterior queda demostrado con el siguiente ejemplo, en el que se establece una comparación para los tres largos de rotación alrededor del IMA máximo: 28, 29 y 30 años.

Supóngase un horizonte suficientemente largo, por ejemplo 12.180 años,

que es el mínimo común múltiplo de los tres largos de rotación (algo así como igualar vidas útiles, como se ha visto antes). En esta cantidad de tiempo se tiene 435 rotaciones de 28 años; 420 rotaciones de 29 años y 406 de 30 años. Las cantidades de madera que se obtendría en cada caso son las siguientes:

LARGO DE LA ROTACION

Nº DE ROTACIONES

RENDIMIENTO VOLUMEN A EXTRAER

años m3/ha m3

28 435 702 305.370

29 420 728 305.760

30 406 751 304.906

Obviamente, si este ejercicio se repitiera comparando rotaciones de 29 años con otras más alejadas de esta cifra, la diferencia con la edad de corta óptima se acentuaría. También la diferencia se acentúa a favor de la edad óptima a medida que se alarga el horizonte de análisis.

En el Gráfico Nº 5 que se presenta a continuación se observa con claridad la relación entre las curvas de incremento medio anual e incremento corriente anual, relación similar a la que ocurre entre la productividad media y marginal en cualquier proceso productivo. La curva del ICA corta a la curva del IMA en el punto más alto de ésta última. Esta relación ocurre por la definición misma de ambos conceptos: mientras el crecimiento del año siguiente (ICA) sea mayor que el promedio registrado hasta ese momento (IMA), el promedio subirá, hasta que el incremento del año siguiente sea inferior al promedio, que es el momento en que éste comience a disminuir. La forma de las curvas de este gráfico aparecen con su tendencia y no con los valores de la tabla, con la finalidad de mostrar más claramente la relación entre ellas.

GRAFICO Nº 5

RELACION ENTRE LAS CURVAS DE INCREMENTO CORRIENTE

Y MEDIO ANUAL 4.4.2. Criterio económico-financiero.

El criterio económico-financiero, así denominado en este texto para resaltar que se trata sólo de la dimensión monetaria del enfoque económico, es el criterio ampliamente usado por los propietarios de bosques, especialmente por los empresarios privados, cuyo principal objetivo es la maximización de sus excedentes monetarios.

Cuando se utiliza un enfoque económico en vez de uno volumétrico para determinar cuándo cortar los árboles, quien toma la decisión no está pensando en el volumen de madera a obtener del rodal, sino en la cantidad de dinero que le retribuirá el bosque según la opción escogida, tanto respecto del tipo e intensidad del manejo practicado al bosque como de la edad a la cual lo corte. La naturaleza del problema es que el valor neto a obtener de la cosecha del rodal cambia año a año debido al crecimiento de los árboles y, por otra parte, con el tiempo también se van acumulando costos, tanto los costos explícitos provenientes de la plantación, manejo silvícola y administración, como los implícitos: costo de oportunidad del capital y del valor comercial del suelo.

Volumen [m3/ha]

Edad [años]

IMA

ICA

Entonces hay un momento en que el incremento del valor de la madera

en pie originado en el crecimiento vegetativo de los árboles ya no es suficiente para justificar la permanencia de un "stock" cuyo costo de oportunidad crece cada año.

Como se vio en el capítulo 2.7, lo adecuado para examinar la magnitud de los excedentes monetarios de una alternativa cualquiera de inversión es el valor actual neto de todos los costos y beneficios futuros de la inversión. Esto es precisamente lo que se requiere hacer para determinar la edad de rotación óptima desde el punto de vista económico: calcular el valor actual neto para cada decisión de rotación escogida y seleccionar aquella que asegure la obtención del mayor excedente neto actualizado. Además del valor actual neto, la rentabilidad de una inversión se puede medir mediante la tasa interna de retorno, indicador que, se sabe, presta una utilidad casi nula, pero que en algunos casos muy excepcionales también es apropiado usar. A continuación se presenta el caso de un rodal de pino insigne sometido a un esquema de manejo muy simplificado (denominado "sin manejo", precisamente), pero que servirá para analizar desde el punto de vista económico-financiero la decisión de corta del rodal. En este ejemplo los antecedentes de rendimiento volumétrico del rodal son hipotéticos.

La Tabla Nº 20 contiene el desarrollo completo de un rodal de pino radiata, explicitando los distintos volúmenes, valor del vuelo, costo de formación, valor actual neto, tasa interna de retorno y tasa de incremento del ingreso neto para todas las edades del rodal entre los 5 y los 28 años de edad. Los antecedentes volumétricos son supuestos, aunque bastante cercanos a los valores esperables según las tablas de rendimiento usuales.

TABLA Nº 20

DETERMINACION DE LA EDAD DE CORTA DE UN RODAL SIN MANEJO

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

EDAD VOLUMEN VALOR VUELO C.FORMACION VAN TIR p años m3/ha $/ha $/ha $/ha % %

5 52,285 209.140 190.906 12.410 10,4

6 60,494 241.976 216.178 16.257 10,5 10,9

7 69,707 278.828 243.473 20.629 10,6 11,1

8 80,068 320.272 272.950 25.567 10,7 11,3

9 91,742 366.968 304.786 31.106 10,8 11,5

10 104,918 419.672 339.169 37.288 10,9 11,6

11 119,818 479.272 376.302 44.162 11,0 11,8

12 136,698 546.792 416.407 51.778 11,1 12,0

13 155,854 623.416 459.719 60.191 11,2* 12,2*

14 174,006 696.024 506.497 64.527 11,1 10,0

15 193,667 774.668 557.016 68.613 11,0 9,9

16 214,914 859.656 611.578 72.412 10,9 9,7

17 237,827 951.308 670.504 75.893 10,8 9,5

18 262,483 1.049.932 734.144 79.026 10,7 9,3

19 288,955 1.155.820 802.876 81.781 10,6 9,1

20 317,317 1.269.268 877.106 84.138 10,5 9,0

21 347,636 1.390.544 957.274 86.072 10,4 8,8

22 379,974 1.519.896 1.043.856 87.563 10,3 8,6

23 414,390 1.657.560 1.137.365 88.597 10,2 8,4

24 450,933 1.803.732 1.238.354 89.160 10,1 8,2

25 489,649 1.958.596 1.347.422 89.242* 10,0 8,0

26 530,570 2.122.280 1.465.216 88.836 9,9 7,8

27 573,724 2.294.896 1.592.433 87.939 9,8 7,7

28 619,126 2.476.504 1.729.828 86.550 9,7 7,5

Las explicaciones de la tabla precedente son:

* Valor más alto de la columna respectiva.

(1) Edad del rodal, en años. La columna se inicia en el quinto año, bajo el supuesto de que no hay

existencias madereras comerciales antes de esa edad.

(2) Volumen hipotético del rodal para cada edad, en m3/ha.

(3) Valor del vuelo o de la madera en pie, en $/ha para cada año. El valor está calculado sobre la base de un valor de $ 4.000 por m3 en pie, es decir, neto de gastos de cosecha. La columna se calcula multiplicando la columna (2) por 4.000. Corresponde también al valor comercial del rodal, como se vio antes.

(4) Costo de formación del rodal, en $/ha.

La columna se calcula sobre la base de un costo de plantación de $ 90.000 por hectárea, un costo anual de $ 10.000 / ha / año, y un costo de oportunidad del capital de 8 % real anual.

Para una edad e cualquiera, por ejemplo, el monto que alcanza el costo de formación, CFe, es el siguiente:

( ) ( )08,0

108,1000.1008,1000.90CF

ee

e

−+=

(5) Valor actual neto del rodal para cada edad, expresado en $/ha.

Corresponde al valor neto de la inversión actualizado al año cero, suponiendo que el rodal se corta a la edad para la cual se está haciendo el cálculo.

La forma general del cálculo de esta columna, para una edad e

cualquiera es la siguiente:

( )( ) e

e

e

ee

08,108,0

108,1000.10000.90

08,1

VVVAN

−−−=

Donde VVe es el valor del vuelo a la edad e.

Sin embargo, dado que ya se ha calculado el costo de formación del rodal, en este caso el valor actual neto se puede obtener más fácilmente así:

( ) e

eee

08,1

CFVVVAN

−=

(6) Tasa interna de retorno para cada edad de cosecha, expresada en

porcentaje. El cálculo de su monto para un año e cualquiera se hace mediante la siguiente expresión:

( )( )

( ) e

e

e

e

t1t

1t1000.10000.90

t1

VV0

+

−+−−

+=

Donde t es la tasa interna de retorno en valor decimal.

(7) Ingreso marginal bruto de cada año, en porcentaje.

La expresión matemática usada para su cálculo en un año e es la siguiente:

1001VV

000.10VVp

1e

e×

−

−=

−

Donde VVe-1 es el valor del vuelo del año anterior y 10.000 es el costo

anual constante. Dado que este gasto anual es relativamente pequeño en relación con el valor del vuelo, especialmente cuando el rodal se va haciendo mayor, p es un valor muy cercano a la tasa de crecimiento del valor de la madera en pie.

En la Tabla Nº 20 se puede observar que la edad de corta del rodal se produce a los 13 años según el criterio tasa interna de retorno, y a los 25 años según el criterio valor actual neto, edades a las cuales estos indicadores son máximos. El hecho de que las edades de corta determinadas por ambos criterios sean diferentes, hace que deba prestársele la máxima atención al análisis de la naturaleza de la decisión a tomar, para elegir correctamente. Los datos supuestos de este ejemplo arrojan una diferencia deliberadamente alta entre los dos indicadores, pero si se calcula con datos más ajustados a la realidad, la diferencia se mantiene, aunque más estrecha.

Nótese que la TIR es máxima cuando la tasa de incremento del ingreso marginal (y que, como ya se dijo, prácticamente corresponde a la tasa de incremento del valor del vuelo), se iguala con aquella. En efecto, el valor de p se mantiene por sobre el valor de la TIR mientras éste es ascendente, hasta que ambos valores se igualan, aproximadamente entre los 13 y 14 años, para luego el valor de p permanecer por debajo de la tasa interna. Aquí ocurre algo parecido a la relación existente entre las productividades media y marginal: si para un año cualquiera la tasa del ingreso marginal es mayor que la tasa interna de la inversión calculada para ese año, entonces ésta deberá volver a crecer, lo que se repite hasta que p comienza a "tirar" de la TIR hacia abajo. Esto ocurre porque la TIR es una tasa de productividad media de una inversión, mientras que la tasa de incremento del valor del vuelo es una tasa marginal.

En el caso del valor actual neto, éste alcanza su máximo valor cuando p

llega a ser 8 %, tasa del costo de oportunidad del capital usada en este ejemplo, y que como sabemos es constante e independiente tanto de la tasa interna de retorno como de la tasa de crecimiento del valor del vuelo. En forma análoga a lo señalado acerca de la relación entre la TIR y p, mientras el valor de p permanece por encima del costo de oportunidad del capital el valor actual neto crece, hasta que la productividad marginal llega a ser igual a la tasa alternativa, momento en que el VAN alcanza su máximo. Después de que esto ocurre, p se mantiene por debajo de 8 % y entonces el VAN decrece.

Excluyendo momentáneamente los $ 10.000 del costo anual, para facilitar la explicación, obsérvese que el costo de formación del rodal crece a una tasa constante igual a la alternativa de inversión del propietario, en este caso 8 %, mientras que el ingreso crece cada año a una tasa variable que corresponde exclusivamente al incremento del volumen del rodal (dado que el precio de la madera en pie se ha considerado constante). Como el VAN corresponde a la actualización de la diferencia entre el valor del rodal y el costo de formación del mismo, entonces parece obvio que crecerá mientras el valor del vuelo crezca a una tasa más alta que la tasa a la que crece el costo de formación. También puede verse esta relación, para dos años consecutivos cualesquiera e y e + 1, lo que sirve para ilustrar desde un punto de vista aritmético el desarrollo del cálculo del valor actual neto y de qué manera resulta inevitable que el máximo VAN se alcanza cuando la tasa de ingreso marginal decrece hasta coincidir con la tasa alternativa.

Para un año e:

( ) e

eee

08,1

CFVVVAN

−=

Y para el año siguiente, e + 1:

( ) 1e

1e1e1e

08,1

CFVVVAN

+

+++

−=

Para que el VAN del año e + 1 pueda superar al VAN del año e,el

numerador de la expresión deberá crecer a una tasa superior a 8 %, ya que el denominador crece en forma constante a esta tasa. Para que esto ocurra, el crecimiento del valor del vuelo deberá ser mayor que 8 % también, puesto que el costo de formación también crece a esa tasa constante.

La relación entre las tres tasas pertinentes para este análisis se puede apreciar mejor en forma gráfica, como se muestra en el Gráfico Nº 6, donde las curvas aparecen en forma generalizada, sin considerar los valores asumidos por las respectivas tasas en este caso particular, con la finalidad de mostrar más

claramente la situación. En el gráfico se observa que la curva del costo de oportunidad del capital

es un recta horizontal, ya que es una tasa constante. Por sobre ella se desarrolla la curva de la tasa interna de retorno, la que es creciente hasta un máximo y luego desciende. Más arriba se aprecia el recorrido de la curva del valor del vuelo, la que corta a la TIR en su punto máximo, determinando la edad de rotación r' , y luego corta a i, determinando la edad de rotación r" , que es donde el valor actual neto es máximo.

El citado gráfico aparece a continuación:

GRAFICO Nº 6

RELACION ENTRE LAS TASAS ALTERNATIVA, INTERNA Y PRODUCTIVIDAD MARGINAL.

Donde:

i = tasa alternativa del capital. p = tasa de incremento del ingreso marginal del vuelo. t = tasa interna de retorno. r' = edad de rotación según máxima TIR. r" = edad de rotación según máximo VAN.

Tasa

Edad del rodal [años]

t

p i

r’ r”

¿Cuál es la edad correcta para cosechar el rodal, desde el punto de vista

económico-financiero? ¿Debe cortarse a los 13 ó a los 25 años?

Para responder a estas preguntas es necesario conocer el verdadero costo de oportunidad que tiene el propietario del rodal. Si el caso que se está analizando corresponde a una sola rotación, en otras palabras, al completarse el ciclo productivo del bosque el propietario cortará los árboles y luego no continuará con el negocio, lo más probable es que el costo de oportunidad del capital del propietario sea la tasa alternativa, es decir 8 % en el caso que se estudia aquí. Esto significa que si el propietario tiene como alternativa para su dinero una tasa del 8 % (que probablemente así sea, ya que el cálculo del valor actual neto se hizo con esa tasa), le conviene mantener su bosque en pie mientras el valor de éste se encuentre creciendo por sobre la alternativa que tiene para su dinero después de cosechada la madera. Pero si el propietario del bosque tuviera la intención de invertir el dinero de la cosecha de nuevo en una inversión como la de este bosque, entonces deberá cosecharlo mucho antes, específicamente cuando la tasa interna de retorno es máxima, justamente porque la rentabilidad de esta inversión es el verdadero costo de oportunidad del propietario. Así, la respuesta a las preguntas recién formuladas no es única, sino que depende de las intenciones (u objetivos) del propietario y, desde luego, del costo de oportunidad pertinente al momento de adoptar la decisión.

Continuando con las posibilidades que proporciona el valor actual neto, también se puede analizar la decisión desde el punto de vista del comportamiento del costo e ingreso marginales para decidir año a año si conviene cortar o mantener el bosque en pie. Si se supone que el propietario está pensando cosechar el bosque y terminar con el negocio de los árboles, entonces la tasa alternativa pertinente para el inversionista es 8 %, y el razonamiento que deberá hacer será el siguiente: AÑO 24:

Costo marginal de esperar un año: Corresponde a lo que deja de ganar por concepto de una tasa aplicada el monto del valor del vuelo a la edad de 24 años, asumiendo que el 8 % es la tasa de mercado del sistema financiero.

$1.803.732 x 0,08 = $144.299.

Ingreso marginal de esperar un año: corresponde al incremento del valor del vuelo entre el año 24 y el 25, menos lo que gastará en administración durante el próximo año.

$1.958.596 - $1.803.732 - $10.000 = $144.864.

Como el ingreso de esperar un año es todavía mayor que el respectivo costo marginal de esta decisión, entonces el propietario debe esperar y no cortar aún ¿Qué decisión corresponde tomar al año siguiente?

AÑO 25:

Costo marginal de esperar un año:

$1.958.596 x 0,08 = $156.688.

Ingreso marginal de esperar un año:

$2.122.280 - $1.958.596 - $10.000 = $153.684.

En este caso el ingreso marginal de esperar un año más con el bosque en pie es inferior que el costo marginal de esta opción, razón suficiente para cortar los árboles en el año 25. Esta forma de análisis es perfectamente consecuente con aquella de calcular el valor actual neto máximo y, en cierta forma, ayuda a comprender por qué el máximo valor de este indicador es un óptimo: el momento de cosechar el rodal es aquél cuando el costo de mantener un "stock" en crecimiento (8 % en este caso) supera al beneficio de liquidarlo (tasa de crecimiento del valor de la madera en pie). No es otra cosa que la ratificación del eterno principio de la microeconomía para encontrar el óptimo: cuando el ingreso y costo marginales se igualan.

Esta forma recién expuesta de averiguar si ha llegado el momento de cortar los árboles es, obviamente, aplicable en cualquier edad del rodal, y no solamente alrededor de la edad de rotación, y es la que explica por qué los propietarios de bosques tienden a liquidar antes sus inversiones en bosques en períodos en que el sistema económico ofrece altas tasas de interés en el mercado financiero: simplemente, la opción de cortar el bosque se hace superior a la opción de mantenerlo en pie.

Todo lo anterior muestra que la edad de rotación óptima es muy sensible al costo de oportunidad del capital. En este mismo caso, si la tasa alternativa fuese por ejemplo, 9 %, entonces la edad de rotación óptima se hubiese alcanzado bastante antes del año 25, precisamente en el año 20. Si el propietario hubiese planificado su rodal desde un comienzo para ser cortado en el año 25, pero a los 20 años de edad se percata que su tasa alternativa ha subido y estima que se mantendrá en ese nivel más alto a lo largo de los próximos años, entonces debiera modificar la edad de corta antes planeada y ajustarla a la nueva condición. Obviamente el mismo tipo de conclusión debería extraerse si la tasa externa (como también se denomina al interés alternativo para la inversión) presentara una disminución estable en el tiempo, en cuyo caso la edad de corta debiera retrasarse. También vale la pena destacar que las modificaciones en la tasa externa afectan a la edad de corta tomando en cuenta solamente el criterio del máximo VAN, pero los cambios en la tasa alternativa no modifican la edad de corta según el criterio de la tasa interna de retorno, la que es independiente de la tasa alternativa del capital, a menos que ésta sufriera una modificación de tal magnitud que superara a la tasa

interna, razón suficiente para recomendarle al propietario del rodal que liquide su inversión de inmediato, porque ésta en realidad no debiera haberse efectuado nunca.

Retomando ahora el análisis asociado a la tasa interna de retorno, obsérvese que si el propietario se encontrara en el año 13 de la vida del rodal y si la tasa alternativa fuese 8 %, utilizando la comparación del ingreso marginal con el costo marginal, su decisión deberá ser la de mantener el rodal en pie (ya se sabe que deberá esperar hasta el año 25). Pero, ¿cuál es su decisión si el dueño pretende volver a plantar en ese sitio un bosque de las mismas características ? Si corta el bosque a los 13 años obtiene un beneficio monetario de $623.416 e incurrirá en un gasto de plantación (supóngase que reforestará de inmediato, en el mismo año) ascendente a $90.000, que corresponde a la inversión inicial del ciclo siguiente. Esta inversión, más los correspondientes gastos anuales de $10.000, tienen una rentabilidad de 11,2 %, siempre que vuelva a cortar a los 13 años y reinvierta en el mismo negocio indefinidamente. Planteado en forma esquemática, esta situación adopta el siguiente aspecto:

En la parte superior del eje que representa al tiempo se ubican los costos e ingresos en cada momento en que se producen, y en la parte inferior los montos netos. Estos montos se siguen repitiendo en forma indefinida cada 13 años, como lo indican los puntos suspensivos colocados al final de cada serie de números. En la figura no aparecen los costos anuales, por razones de espacio, pero deben tenerse en cuenta. La TIR para el esquema así presentado se calcula como sigue:

( ) t

000.10000.90

1t1

416.5330

13−−

−+=

De donde se obtiene que t = 11,2 %. Es decir, la tasa interna de retorno

de la inversión considerando tanto una sola rotación como infinitas rotaciones, alcanza al mismo valor, lo que era de esperar.

0 13 26 39 52 . . .

-90.000 -90.000 -90.000 -90.000 -90.000 . . .

-90.000 533.416 533.416 533.416 533.416

623.416 623.416 623.416 623.416 . . .

años

El primer término del segundo miembro de la ecuación representa el valor

actual de una serie infinita de beneficios netos que ocurren cada 13 años; el segundo término es el costo de plantación de la primera rotación (el que por la naturaleza de la equivalencia financiera no está incluido), y el tercero es el valor actual de la serie de gastos de administración anual.

¿Qué ocurre si se calcula la tasa interna para infinitas rotaciones de 25 años? Análogamente, el esquema es el siguiente:

Del mismo modo que antes, el respectivo planteamiento para calcular la TIR es:

( ) t

000.10000.90

1t1

596.868.10

25−−

−+=

Donde la tasa interna alcanza a 10,0 %. Si se trata de decidir cuál

alternativa tiene mayor tasa interna de retorno considerando infinitas rotaciones, entonces lo correcto es escoger una edad de corta de 13 años, en este caso.

Sin embargo, ¿es la tasa interna de retorno el criterio válido para decidir el largo de la rotación? Hasta ahora se tiene que, repitiendo la inversión infinitas veces, una de las edades de corta tiene más alta rentabilidad según la tasa interna de ganancia de la inversión, pero si se toma en consideración que el inversionista tiene para el proyecto completo, nuevamente, un costo de oportunidad del capital de 8 %, entonces el valor actual neto es más alto si se corta cada 25 años. Obsérvese el cálculo de los respectivos VAN para las edades de corta de 13 y 25 años, con un costo alternativo del capital de 8 %. 13 AÑOS:

( ) 08,0

000.10000.90

108,1

416.533VAN

13−−

−=

0 25 50 75 . . .

-90.000 -90.000 -90.000 -90.000 . . .

-90.000 1.868.596 1.868.596 1.868.596

1.958.596 1.958.596 1.958.596 . . .

tiempo

= $95.193. 25 AÑOS:

( ) 08,0

000.10000.90

108,1

596.868.1VAN

25−−

−=

= $104.501.

Al propietario le es más conveniente cosechar su bosque a los 25 años y

no a los 13. Pero ¿es ésta la edad óptima de rotación del bosque, dadas las nuevas condiciones? Indudablemente el proyecto de inversión ahora es distinto: consiste en un proyecto repetible infinitas veces, que es el caso más cercano a la situación de la empresa forestal estable en el tiempo y que debe mantener un patrimonio constante para abastecer una cierta capacidad industrial instalada. El valor actual neto de una serie infinita de rotaciones es lo que en el manejo forestal recibe el nombre de valor económico del suelo (VES) y también valor esperado o potencial del suelo (Se). Conceptualmente, corresponde a fijar la rotación del bosque a una edad que asegure el máximo aprovechamiento económico del suelo, extrayendo de él su mayor potencialidad, de manera que el propietario tenga el más alto incremento de su riqueza neta presente.

Este concepto es el correspondiente a la expresión del capítulo 4.3, que se transcribe más abajo, y como allí fue analizado, es básicamente una expresión general de la clásica fórmula de Faustmann para valorizar económicamente un suelo forestal cubierto por un bosque coetáneo.

( ) ( )

( ) 1i1

i1CB

VESjr

r

0j

jrjj

−+

+−

=−

=

−∑

Aunque la anterior es la expresión que tiene un carácter más general, si

se desea calcular la edad óptima de rotación mediante el criterio del valor económico del suelo, desde el punto de vista de la facilidad de los cálculos es preferible utilizar la información de la tabla Nº 20 ya mostrada unas pocas páginas atrás, y cuya formulación matemática, para un año e cualesquiera, es la siguiente:

( ) 1i1

CFVVVES

e

eee

−+

−=

Si ya se tiene calculado el VAN para una sola rotación, entonces el

cálculo es aún más fácil utilizando la expresión siguiente, financieramente

equivalente.

( )( ) 1i1

i1VANVES

e

ee

e−+

+=

A continuación se presenta la Tabla Nº 21, con el cálculo de las edades

de corta del mismo rodal antes estudiado, para un período entre los 12 y 25 años. En ella se presenta el valor del vuelo, el costo de formación y el valor actual neto de una rotación para los años mencionados, igual que en la tabla anterior ya indicada, agregándose ahora el cálculo del valor económico del suelo mediante cualquiera de las fórmulas anotadas arriba.

TABLA Nº 21

DETERMINACION DEL VALOR ECONOMICO DEL SUELO (VES)

EDAD VALOR VUELO C.FORMACION VAN VES años $/ha $/ha $/ha $/ha

12 546.792 416.407 51.778 85.884

13 623.416 459.719 60.191 95.193

14 696.024 506.497 64.527 97.837

15 774.668 557.016 68.613 100.200

16 859.656 611.578 72.412 102.261

17 951.308 670.504 75.893 104.001

18 1.049.932 734.144 79.029 105.403

19 1.155.820 802.876 81.781 106.446

20 1.269.268 877.106 84.138 107.121

21 1.390.544 957.274 86.072 107.410*

22 1.519.896 1.043.856 87.563 107.300

23 1.657.560 1.137.365 88.597 106.784

24 1.803.732 1.238.354 89.160 105.853

25 1.958.596 1.347.422 89.242 104.501

De acuerdo con este criterio, como se observa en la tabla, laedad de rotación de este rodal, considerando infinitas rotaciones, es 21 años, edad para la cual se alcanza el máximo valor económico del suelo, ascendente a $107.410 por

hectárea. Parece conveniente hacer notar que la edad de rotación determinada por

este criterio, al igual que en el caso del máximo VAN, es muy sensible a la tasa de descuento que use el inversionista, ya que es fácil observar que existe una estrecha relación entre ambos. Esta dependencia de la tasa de descuento utilizada para los flujos del proyecto es una de las razones por la cual a veces se prefiere utilizar la tasa interna de retorno para determinar la rentabilidad de la inversión. Pero ante este argumento no debe, a su vez, olvidarse las limitaciones de que adolece la TIR como indicador para comparar proyectos, tal como se discutió en la sección 2.7.3. Por ejemplo, respecto de la cantidad de soluciones que se encuentran al resolver la ecuación de cálculo de la tasa interna, el proyecto forestal analizado durante todo el desarrollo de este tema es un proyecto sencillo y que no presenta más de un cambio de signo a lo largo de todo el ciclo, ya que desde el año cero hasta el momento de la cosecha tiene solamente egresos, ofreciendo un único y gran ingreso en el año de la corta final. Este diseño no presenta el problema de soluciones múltiples. Sin embargo, los esquemas de manejo habitualmente practicados son por lo general más complejos, incorporando a lo menos un ingreso y a veces dos o tres en edades intermedias del rodal, generalmente producto de raléos comerciales o cortas de pre-cosecha. También pueden presentarse otros ingresos originados en la extracción de productos secundarios, aunque menos frecuentemente e incluso la bonificación por forestación a la que puede acceder el propietario durante la vigencia del D.L. 701. La existencia de algunos de estos beneficios intermedios en un ciclo de la vida económica del bosque transforma el simple proyecto antes analizado en otro más complejo, con varios cambios de signo y que podría presentar varias tasas internas de retorno razonablemente posibles.

Pero lo anterior no es todo. Debe recordarse lo señalado en el capítulo 2.7.3. ya mencionado, en lo referente a que el cálculo de la TIR presupone una capitalización de todos los flujos del proyecto precisamente a la propia tasa interna. Esto involucra una debilidad conceptual que impide aceptar a este indicador. Pensando en el mismo proyecto de este análisis: ¿como puede entenderse cabalmente el hecho de que los costos de administración, por ejemplo, capitalicen o actualicen al 11,2 %, que es la TIR del proyecto cuando los árboles se cortan a los 13 años? Se puede discutir este enfoque y alegar que en realidad la rentabilidad depende de la tasa alternativa del capital, y que si al mismo proyecto se le calculara el VAN con una tasa de descuento de 11,2 %, por ejemplo, sería más rentable cortar a los 13 que a los 25 ó 21 años (se recomienda al lector hacer el cálculo), pero ésta es la tasa alternativa pertinente sólo si el inversionista compara su proyecto de forestación con otro similar, lo que sería cierto solamente si estuvieran disponibles otros proyectos similares o fuera posible una amplificación sin límites del mismo.

Esta última reflexión lleva a pensar, finalmente, que aquellas empresas que se encuentren en un período de expansión y por lo tanto durante un cierto tiempo estén acrecentando su patrimonio utilizando todos sus fondos en proyectos de forestación con esa rentabilidad del 11,2 %, efectivamente les conviene cortar sus bosques a la edad en que su tasa interna de retorno es máxima.

Pero un período de expansión de tales características es sostenible tan

sólo unos pocos años, llegando pronto a estabilizar su patrimonio en el tamaño adecuado para abastecer sus plantas industriales o, incluso, hasta lo que es físicamente posible expanderse. Una vez alcanzado su tamaño definitivo, la empresa estable y permanente en el tiempo deberá fijar la rotación de los rodales de sus bosques a una edad tal que obtenga de ellos el máximo valor económico del suelo. Esto no significa que el propietario no pueda cambiar nunca más la edad de corta del bosque, sino por el contrario, nuevas condiciones del costo de oportunidad del capital, de los precios relativos de los productos e insumos o del esquema de manejo empleado, obligarán a la empresa a determinar el nuevo óptimo económico para la rotación de sus bosques.

Terminado el análisis sobre la edad de rotación, se presenta a continuación una situación especial de cálculo de la edad de corta, ahora para el caso en que se propone cambiar el esquema de manejo de los rodales que se implantará a futuro sobre un sitio que actualmente está ocupado por un rodal, que se denominará pre-existente, y cuyo tipo de manejo resulta no deseable, siendo a la vez demasiado tarde para practicarle las intervenciones silviculturales deseadas. Determinación de la edad de corta de un rodal pre-e xistente.

Como ya se dijo, en este texto se denomina rodal pre-existente a aquél que crece en un sitio sobre el cual se desea implantar un bosque que permanecerá en sucesivas rotaciones y que tendrá un tipo de manejo completamente distinto al bosque que actualmente sustenta este sitio. Este caso corresponde a una situación bastante frecuente para aquellas empresas de mediano y gran tamaño que adquieren predios que han sido plantados por sus propietarios anteriores, principalmente para aprovechar los beneficios que otorga el DL 701, y que posteriormente los venden antes de que el bosque alcance su madurez volumétrica o económica, ya sea porque no están dispuestos a esperar el tiempo necesario para cosechar o porque no disponen del capital financiero para instalar faenas de explotación. Este tipo de bosque por lo general ha sido sometido a un manejo de baja intensidad o incluso no se le ha practicado manejo alguno, por lo que la proyección del tipo de producto que será posible obtener del bosque en el futuro, queda normalmente restringida a productos de poco valor, tales como materia prima para las plantas de pulpa y papel o madera aserrada de baja calidad susceptible de venderse sólo en el mercado nacional, bastante menos exigente que los mercados de exportación.

El nuevo propietario (el caso sería igualmente válido si se tratara del

mismo dueño), por su parte, pretende obtener de su patrimonio el máximo aprovechamiento, lo que significa implantar un bosque intensamente manejado en lo que dice relación con las intervenciones silviculturales, para obtener productos de alto valor.

Debido a que la edad del rodal pre-existente ya no permite aplicarle los tratamientos necesarios para alcanzar estos nuevos objetivos, entonces la única alternativa para el nuevo dueño es cortar dicho rodal e implantar sobre el sitio uno nuevo con las características apropiadas para tales objetivos.

El caso que aquí se analiza es ejemplificado con un bosque de 10 años de edad en el momento en que hay que tomar la decisión de corta y cuyo desarrollo hasta entonces ha sido completamente sin manejo. Corresponde a un rodal de pino radiata en un sitio de clase II (24 m según García) de la Séptima Región (Maule). En la Tabla Nº 22 se muestra la proyección del rodal desde los 10 hasta los 22 años, incluyendo el volumen en m3 para dos índices de utilización; el valor del vuelo; el costo e ingreso marginales (CMg e IMg, respectivamente); y la tasa de incremento del ingreso marginal (valor muy cercano a la tasa de incremento del valor del vuelo, p). Las dos últimas columnas son para el cálculo de la edad de corta que tendría este rodal (según el criterio del VAN máximo, tal como se hizo en el ejemplo anterior), si no se tuviera el objetivo de cambiar a futuro el esquema de manejo y con la finalidad de comparar este resultado con la edad de corta que se obtenga al considerar el efecto que tiene el nuevo rodal sobre la decisión.

Los antecedentes utilizados en la construcción de la tabla son:

Precio de la madera en pie (IU=20 cm) : $ 8.000 / m3. Precio de la madera en pie (IU=10 cm) : $ 4.000 / m3. Gastos anuales (administración y otros) : $15.000 / ha. Costode oportunidaddel capital : 10%.

TABLA Nº 22

PROYECCION DEL RODAL PRE-EXISTENTE

EDAD VOLUMEN(m3/ha) VALOR VUELO C. Mg. I.Mg. p años IU=20 IU=10 $/ha $/ha $/ha %

10 0 69 276.000 27.600

11 0 98 392.000 39.200 101.000 36,6

12 3 127 532.000 53.200 125.000 31,9

13 16 148 720.000 72.000 173.000 32,5

14 30 165 900.000 90.000 165.000 22,9

15 46 181 1.092.000 109.200 177.000 19,7

16 65 196 1.304.000 130.400 197.000 18,0

17 92 199 1.532.000 153.200 213.000 16,3

18 113 210 1.744.000 174.400 197.000 12,9

19 136 219 1.964.000 196.400 205.000 11,8

20 159 225 2.172.000 217.200 193.000 9,8

21 184 230 2.392.000 239.200 205.000 9,4

22 211 233 2.620.000 262.000 213.000 8,9

De acuerdo con los resultados de la tabla Nº 22, la edad de corta de este rodal es de 20 años.

Ahora se desarrolla la Tabla Nº 23 que contiene los antecedentes de la proyección del rodal definitivo que se implantará una vez cosechado el rodal pre-existente. Este rodal tiene un raleo a desecho a la edad de 7 años, conjuntamente con una poda a la misma edad, más un raleo comercial a la edad de 12 años. La tabla contiene los volúmenes para dos índices de utilización, el valor del vuelo, el costo de formación y el valor económico del suelo (VES). La proyección contiene el período entre los 10 y 22 años de la edad de este rodal, pero para el VES sólo se anotan los valores cercanos a la edad de rotación.

Para este rodal ahora el precio de la madera en pie para un índice de utilización de 20 cm sube a $ 12.000 por metro cúbico, ya que tiene al menos la primera troza libre de nudos y mayor diámetro. El precio del m3 en pie para un índice de utilización de 10 cm, por su parte, es el mismo que el del rodal pre-existente, ya que se trata del mismo producto. También se mantienen iguales los gastos anuales (administración y otros), así como el costo de oportunidad del capital del propietario.

El costo de formación está conformado por un costo de plantación de $ 80.000 por hectárea, un costo de la poda y raleo a desecho a los 7 años ascendente a $ 25.000 / ha y un beneficio neto por concepto del raleo comercial practicado a los 12 años, de $ 111.000 por hectárea. Esta última cifra se incluye como una sustracción de los costos de formación a la edad respectiva, para facilitar los cálculos, ya que esta forma de planteamiento no afecta la determinación del valor económico del suelo.

TABLA Nº 23

VALOR ECONOMICO DEL SUELO DEL RODAL DEFINITIVO EDAD VOLUMEN(m3/ha) VALOR VUELO COSTO FORMACION VES años IU=20 IU=10 $/ha $/ha $/ha

10 29 79 664.000 479.836

11 73 66 1.140.000 542.819

12 89 83

12 89 47 1.256.000 501.101

13 115 50 1.580.000 566.211

14 139 56 1.892.000 637.833

15 165 61 2.224.000 716.616

16 194 63 2.580.000 803.277

17 226 64 2.968.000 898.605 510.398

18 259 63 2.360.000 1.003.466 516.793

19 295 60 3.780.000 1.118.812 520.179

20 331 56 4.196.000 1.245.693 515.113

21 370 49 4.636.000 1.385.263 507.908

22 409 42 5.076.000 1.538.789 495.389

La tabla muestra que el rodal definitivo que se implantará en este sitio tendrá una edad de rotación de 19 años y arrojará un valor económico del suelo de $ 520.179 /ha.

Para comprender enteramente la naturaleza de la decisión que se tomará respecto de la corta del rodal pre-existente es necesario recordar el significado del valor del VES del rodal definitivo: éste es el valor actualizado de la serie de beneficios netos que se obtendrá por las infinitas rotaciones del bosque y como tal es un valor que se encuentra ubicado en el momento cero o momento de inicio de la serie,en otras palabras, en el momento en que se efectúe la primera plantación del

rodal definitivo. De este modo, cada año que se retrase la corta del rodal pre-existente es un año de retraso del inicio de la serie de rotaciones del rodal definitivo, así que en la decisión de cortar el rodal pre-existente intervienen, no sólo el beneficio futuro por la cosecha de este rodal y los costos futuros de administración del mismo, sino que además debe considerarse como beneficio de la decisión de cosecharlo el VES del rodal definitivo que se implante a continuación.

Nótese que el beneficio que proporciona el rodal definitivo no es realmente un ingreso que ocurra justo al año siguiente de la corta del rodal pre-existente, sino que es la actualización de todos los beneficios netos futuros de dicho rodal, tal como corresponde al concepto de valor económico del suelo. En este sentido, el VES del rodal definitivo corresponde a una suerte de costo de oportunidad de la decisión de mantener el rodal pre-existente en pie, por la postergación que sufre el inicio de la serie infinita de rotaciones del rodal siguiente.

A continuación se presenta, por último, la Tabla Nº 24, donde se determina el momento en que debe cortarse el rodal pre-existente. Esta tabla se construye a partir de un momento cero que corresponde a la fecha en que este rodal tiene 10 años, según este ejemplo, y que es el momento en que se toma la decisión. La tabla contiene 11 años de proyección (desde 0 hasta 10), con las actualizaciones del valor de la cosecha futura del rodal y de los gastos acumulados futuros de administración, los que aparecen con signo negativo por tratarse de costos. Se incluye también el monto del VES del rodal definitivo (los $520.179), actualizado desde cada fecha en que correspondería dar inicio a la serie de rotaciones, hasta el año cero. La última columna de la tabla es la suma de las columnas anteriores, a la que se prefiere no llamar valor actual neto para evitar confusiones, pero que conceptualmente corresponde exactamente a eso, al valor actual de los beneficios netos de cortar el rodal pre-existente e implantar un rodal definitivo, con el esquema de manejo acorde con los objetivos del nuevo propietario del suelo.

En la tabla se aprecia que el rodal pre-existente deberá cortarse en 7 años más a contar del momento cero, esto es a los 17 años de edad en el caso que se ilustra aquí, donde se encuentra el máximo valor actualizado, ascendente a $965.066. Así se asegura que la decisión de cortar este rodal para luego implantar el rodal definitivo sobre ese sitio tenga el mayor beneficio económico para el propietario.

TABLA Nº 24

DETERMINACION DE LA CORTA DEL RODAL PRE-EXISTENTE

AÑO VALOR DEL VUELO ACTUALIZADO(RO-DAL PRE-EXIST.)

GASTOS ADM.ACUM. (RODAL PRE-EXIS-

TENTE)

VES ACTUALIZADO DEL RODAL DEFI-

NITIVO

SUMA

VVArp GAArp VESArd $/ha $/ha $/ha $/ha

0 276.000 - 15.000 520.179 781.179

1 356.364 - 28.636 472.890 800.618

2 439.669 - 41.033 429.900 828.536

3 540.947 - 52.303 390.818 879.462

4 614.712 - 62.548 355.289 907.453

5 678.046 - 71.862 322.990 929.174

6 736.074 - 80.329 293.627 949.372

7 786.158 - 88.026 266.934 965.066

8 813.589 - 95.024 242.677 961.232

9 832.928 - 101.385 220.607 952.150

10 837.400 - 107.169 200.552 930.783

Para mayor claridad se señala a continuación la forma de cálculo de la segunda, tercera y cuarta columnas de la tabla, tomando como ejemplo el año 3 (13 años de edad):

( ) 3rp

1,1

000.720VVA =

= $540.947.

++−=

2rp

1,1

000.15

1,1

000.15000.15GAA

= $52.303.

3rd

1,1

179.520VESA =

= $390.818.

Nótese que el momento de corta del rodal así determinado deberá ocurrir 3 años antes que la edad óptima calculada mediante el VAN. Estos tres años de diferencia constituyen el efecto del cambio de esquema de manejo para el rodal futuro, que valorizará más alto al suelo. No debe olvidarse que este resultado no tiene carácter de principio general, ya que la fecha de corta es estrictamente dependiente de las condiciones en que se encuentre el rodal pre-existente al momento de tomar la decisión, sobre todo en cuanto a la edad del mismo, cuestión clave para tener en cuenta la factibilidad técnica y económica de efectuar al bosque los tratamientos silviculturales necesarios para reorientar el manejo hacia los objetivos de largo plazo del propietario. Sin embargo, la metodología para aproximarse a la toma de la decisión será siempre del mismo tipo y, al menos en este caso, si se toman diferentes edades del rodal pre-existente la decisión de cuándo cortar no sufre mucha variación.

Para mostrar esto, supóngase ahora que este mismo caso debe resolverse en un momento tal que la edad del rodal pre-existente es de 15 años (el mismo rodal ya conocido). ¿Cuándo conviene cortarlo? La siguiente breve Tabla Nº 25 permite responder la pregunta. Dicha tabla contiene una proyección del mismo rodal pre-existente de antes, sólo que ahora tiene 15 años de edad al momento de decidir su corta. Por eso, en la tabla solamente cambia la columna que proyecta los rendimientos monetarios futuros, pero permanecen iguales las columnas de actualización de los gastos de administración y del valor económico del suelo del rodal definitivo, ya que la posición del momento cero arbitrario no afecta al cálculo de tales valores.

TABLA Nº 25

EDAD DE CORTA DEL RODAL PRE-EXISTENTE A PARTIR DE LOS 15 AÑOS

AÑOS VVArp GAArp VESArd Suma

0 1.092.000 - 15.000 520.179 1.597.179

1 1.185.455 - 28.636 472.890 1.629.709

2 1.266.116 - 41.033 429.900 1.654.983

3 1.310.293 - 52.303 390.818 1.648.808

4 1.341.438 - 62.548 355.289 1.634.179

5 1.348.641 - 71.862 322.990 1.599.769

VVArp = valor del suelo actualizado del rodal pre-existente GAArp = gastos anuales actualizados del rodal pre-existente VESArd = valor económico del suelo actualizado del rodal definitivo

La edad de corta recomendable es para dos años más, es decir cuando el rodal tenga 17 años de edad, la misma edad resultante que cuando la decisión se toma a los 10 años. El lector puede hacer cálculos para otras edades y observará que en este caso la decisión de cortar a esa edad es constante, pero no se puede garantizar que en otros casos el momento de corta sea siempre el mismo cada vez que se cambie el momento en que se tome la decisión.

Obsérvese que la fecha de corta resultante siempre es independiente del

precio que el nuevo propietario haya pagado por la madera en pie en el momento en que compró el rodal, puesto que la cifra es un valor ubicado en el año cero de la tabla de cálculos para tomar la decisión y como tal, si bien afectará al beneficio neto del comprador, no tendrá incidencia sobre la determinación del momento óptimo de corta. La situación es parecida a la de determinar el valor económico del suelo, donde el valor comercial del mismo no incide directamente sobre aquél, aunque sí modifica la apreciación del comprador del suelo acerca de cuán bueno o malo fue el negocio.

Hasta ahora, la decisión de cortar el rodal pre-existente se ha tomado permaneciendo invariable el esquema de manejo, sin intervenciones silviculturales ni extracciones por una cosecha intermedia. Es interesante observar que una corta de pre-cosecha puede hacer variar la decisión ya estudiada, ya que una intervención de corta en el rodal modifica el desarrollo de éste con posterioridad a la corta, además de modificar el calendario de flujos netos del proyecto, por proporcionar ingresos anticipadamente. El efecto de una precosecha sobre el rodal pre-existente se analiza en la siguiente sección. Efecto de una precosecha sobre el rodal pre-existen te.

Se entiende como pre-cosecha a una entresaca intensa practicada en una edad avanzada del rodal, pero que ocurre antes de la fecha predeterminada para la corta final. En este caso se interviene el rodal a la edad de 14 años, extrayendo 54 m3 del índice de utilización 10 cm, arrojando un beneficio neto de $ 216.000 / ha.

Se desarrolla a continuación la tabla Nº 26, que contiene la proyección de los valores futuros del vuelo del rodal, el respectivo valor actual de estos valores y de los gastos de administración y del VES del rodal definitivo, de la forma ya conocida, agregándose una columna que registra los valores actualizados del beneficio de la pre-cosecha, VABPCrp, efectuada al rodal en el año 14.

TABLA Nº 26

EFECTO DE UNA PRE-COSECHA SOBRE EL RODAL PRE-EXISTENTE

AÑOS VV VVArp VABPCrp GAArp VESArd Suma

$/ha $/ha $/ha $/ha $/ha $/ha

4 684.000 467.181 147.531 - 62.548 355.289 907.453

5 968.000 661.157 147.531 - 71.862 322.990 1.059.816

6 1.184.000 668.337 147.531 - 80.329 293.627 1.029.166

7 1.424.000 730.737 147.531 - 88.026 266.934 1.057.176

8 1.672.000 780.000 147.531 - 95.024 242.677 1.075.184

9 1.936.000 821.053 147.531 -101.385 220.607 1.087.806

10 2.208.000 851.280 147.531 -107.169 200.552 1.095.748

11 2.496.000 874.833 147.531 -112.426 182.320 1.092.258

12 2.784.000 887.068 147.531 -117.205 165.745 1.083.139

La tabla se muestra solamente desde los 14 años de edad del rodal hacia adelante, después de la precosecha, que es donde se producen cambios respecto de la tabla original para el cálculo de la corta del rodal pre-existente. El valor actual del beneficio de la pre-cosecha de este rodal, la cifra $147.531, resulta de actualizar los $216.000 desde el año 14 al año 10, y se mantiene constante porque el monto de $216.000 capitaliza al 10 % desde el año 14 hacia adelante y al actualizar la cifra ésta se mantiene igual porque los exponentes del numerador y del denominador crecen en la misma cantidad. Para el año 16, por ejemplo, el cálculo es el siguiente:

( )( ) ( )

531.1471,1

216.000

1,1

1,1216.000

46

2

==

Este mismo hecho de permanecer constante el valor actualizado del beneficio de la pre-cosecha, además de que la serie de valores que adopta el vuelo también cambia, por el efecto de la intensa extracción de ejemplares en el año 14, hace que la nueva fecha óptima para cortar el rodal pre-existente sea en 10 años más, es decir a los 20 años de edad, y no a los 17 como quedó determinado para el caso anterior (sin pre-cosecha). En otras palabras, la pre-cosecha tiene un doble efecto sobre el rodal: cambia la tasa de incremento del valor del vuelo residual, por una parte, y también cambia la tasa de crecimiento de la parte extraída, la que ahora crece a una tasa constante de 10 % anual, que es la tasa de descuento utilizada por el dueño del bosque.

Es interesante observar, finalmente, que al nuevo propietario del bosque le resulta más conveniente efectuar una pre-cosecha a este rodal, lo que se explica tanto por la obtención de beneficios más anticipadamente que en el caso anterior (sin precosecha), como porque después del fuerte raleo del bosque éste cambia a futuro la composición de los diámetros y por tanto su valor. Efectivamente, el valor actualizado de los beneficios netos en el último caso (con precosecha), alcanza a $1.095.748, mientras que en la situación anterior dicho beneficio neto asciende sólo a $965.066. Esta comparación tampoco se ve afectada por el precio de compra del bosque, ya que en ambos casos la compra se realiza en el año 10, es decir es el mismo rodal. No es posible comparar con el otro caso, aquél donde la compra se efectúa en el año 15, situación completamente diferente.

Este último ejercicio permite mostrar que el propietario de un bosque tiene muchas posibilidades frente a la decisión de qué hacer con el rodal. Tales posibilidades abarcan todas les intervenciones que es posible practicar en un bosque, de diferente tipo (podas y raléos), a distintas edades y con diferente intensidad, lo que arroja un número casi infinito de variantes, al menos en teoría. Para hacer esto basta con disponer de un modelo de simulación de intervenciones silvícolas y bastante tiempo para probar múltiples opciones. Por fortuna, en la realidad esta cantidad interminable de posibilidades es restringida, por razones de índole más bien prácticas, y no va más allá de unas dos o tres densidades de plantación, uno o dos raléos, el primero de ellos muy intenso y a muy temprana edad y podas hasta la mayor altura posible del fuste del árbol. Por otra parte, dado que los resultados que arroja un simulador de crecimiento corresponden a promedios de sitios a veces bastante extensos y que además es una estimación producto del ajuste matemático de muestras, vale la pena probar sólo opciones que arrojen diferencias significativas entre sí, debido a que el error normal que contienen los resultados de una proyección del rendimiento del bosque, hace que las diferencias entre alternativas muy parecidas en teoría, en la práctica no sean tan distintas.

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