UNIVERSITE DE LIEGELicence en sciences de gestionet ing enieurs de gestionGestion de la ProductionDaniel DE WOLFLi` ege, Septembre 2005Table des mati` eres1 Introduction 91.1 Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 D enition de la gestion de production . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Classication des syst` emes productifs . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Organisation de type s erie unitaire. . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Organisation en ateliers sp ecialis es . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Organisation en lignes de production . . . . . . . . . . . 131.3.4 Les industries de process . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Formulation en mod` eles math ematiques . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I Les d ecisions op erationnelles 212 Ordonnancement en ateliers sp ecialis es 232.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Ordonnancement sur une machine . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Le diagramme de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 La r` egle T.O.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Ordonnancement avec deux centres de production. . . . . . . . . 262.3.1 Cas o` u toutes les t aches sont ` a ex ecuter sur A puis B . . . 262.3.2 Cas de t aches ne seffectuant pas dans le m eme ordre . . . 282.4 Ordonnancement sur trois machines . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Ordonnancement de n t aches sur m centres de production . . . . . 3134 Tabledesmati`eres2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 La gestion calendaire de stock 353.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Les politiques de gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Les co uts associ es aux stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.1 Les co uts de possession . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.2 Les co uts de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.3 Les co uts de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Gestion calendaire de stock ` a rotation nulle . . . . . . . . . . . . 403.5 Cas dune loi de demande continue . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6 Les cons equences economiques de la solution optimale . . . . . . 483.7 Cas de stocks ` a rotation non nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7.1 D etermination de la solution optimale . . . . . . . . . . . 543.7.2 Cas dune loi de demande discr` ete. . . . . . . . . . . . . 563.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 La gestion par point de commande 594.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 D etermination du point de commande en univers certain . . . . . 604.3 D etermination de la quantit e economique de commande . . . . . . 614.4 Cas dune demande al eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.1 D etermination de q et s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.2 Cons equences economiques du choix . . . . . . . . . . . 674.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69II Les d ecisions tactiques 715 La planication de la production 735.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 La planication des besoins en composants . . . . . . . . . . . . 74Tabledesmati`eres 55.3 D etermination des besoins nets dun composant . . . . . . . . . . 785.3.1 D etermination de la couverture des besoins nets. . . . . . 805.3.2 Utilisation en cascade de la logique de calcul . . . . . . . 805.4 Ajustement charge-capacit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 Autres r` egles de calcul des lancements de production . . . . . . . 875.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896 Les techniques de juste ` a temps 916.1 Origine et principe du JAT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Les deux approches du JAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2.1 Augmenter la r eactivit e du syst` eme logistique. . . . . . . 936.2.2 La rationalisation de la production. . . . . . . . . . . . . 936.3 Les facteurs cl es du JAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3.1 Recherche dun plus grande r eactivit e . . . . . . . . . . . 946.3.2 Matrise des al eas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4 La m ethode Kanban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.4.1 Syst` eme Kanban ` a une boucle . . . . . . . . . . . . . . . 956.4.2 D etermination du nombre d etiquettes. . . . . . . . . . . 966.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99III Les d ecisions strat egiques 1017 Lordonnancement de projets 1037.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2 Formulation du probl` eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.3 Repr esentation graphique du probl` eme . . . . . . . . . . . . . . 1057.4 Existence dune solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.5 Calcul de lordonnancement au plus t ot . . . . . . . . . . . . . . 1097.6 Ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.7 Chemin critique et calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . 1117.8 Lordonnancement par la m ethode PERT . . . . . . . . . . . . . 1126 Tabledesmati`eres7.9 La minimisation des co uts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.10Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198 Conception dun centre de production 1238.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.2 Conguration dun centre de production. . . . . . . . . . . . . . 1248.2.1 Conguration en ateliers sp ecialis es . . . . . . . . . . . . 1248.2.2 Conguration en ligne de production . . . . . . . . . . . 1288.2.3 Conguration ` a poste xe . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.3 D ecisions de capacit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.4 D ecisions de localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.5 Utilisation de la programmation math ematique . . . . . . . . . . 1418.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145IVLes techniques doptimisation 1499 La programmation dynamique. 1519.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.2 Le probl` eme du voyageur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.2.1 Formulation en un probl` eme dynamique. . . . . . . . . . 1539.3 Proc edure de r esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.4 Un probl` eme daffectation de ressources rares . . . . . . . . . . . 1569.4.1 Formulation comme un probl` eme dynamique . . . . . . . 1569.4.2 R esolution par la programmation dynamique . . . . . . . 1589.5 Application ` a la planication de la production. . . . . . . . . . . 1599.5.1 Formulation en un probl` eme dynamique. . . . . . . . . . 1599.5.2 R esolution par la programmation dynamique . . . . . . . 1619.5.3 Algorithme en cas de co ut convexe . . . . . . . . . . . . 1639.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510 La programmation lin eaire. 167Tabledesmati`eres 710.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.2Un simple exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.3R esolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.4Le solveur dExcel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.5Les rapports du solveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.5.1 Le rapport des r eponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17610.5.2 Le rapport de sensibilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.5.3 Le rapport des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.6Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911 Analyse postoptimale. 18311.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18311.2Variation par rapport au second membre. . . . . . . . . . . . . . 18411.2.1 Calcul des prix cach es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18411.2.2 Analyse de sensibilit e au membre de droite . . . . . . . . 18611.3Variation des coefcients objectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . 18711.3.1 Analyse de sensibilit e aux coefcients objectif . . . . . . 18811.4Co ut r eduit des variables hors base . . . . . . . . . . . . . . . . . 19011.5Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19112 La programmation en nombres entiers. 19312.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19312.2Formulation des probl` emes mixtes. . . . . . . . . . . . . . . . . 19412.2.1 Probl` emes avec co uts xes . . . . . . . . . . . . . . . . . 19412.2.2 Probl` emes avec contrainte logique. . . . . . . . . . . . . 19712.2.3 M elange avec nombre limit e dingr edients . . . . . . . . 19812.2.4 Choix parmi un nombre discret de valeurs. . . . . . . . . 19912.3Principe de la m ethode de branch and bound . . . . . . . . . . . . 19912.4Application ` a lexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20112.5Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A Formulaire pour la gestion de production 2118 Tabledesmati`eresA.1 La gestion calendaire de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211A.2 La gestion par point de commande. . . . . . . . . . . . . . . . . 212A.3 Les techniques de juste ` a temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214A.4Equilibrage dune chane de production . . . . . . . . . . . . . . 214A.5 Calcul dannuit es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214B Tables pour la gestion de stocks 215B.1 Table de la loi Poisson() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215B.2 Table de la loi normale Z N(0, 1). . . . . . . . . . . . . . . . 220B.3 Table pour le calcul de Ir(S). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221A Solutions nales des exercices 223A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223A.2 Ordonnancement en ateliers sp ecialis es . . . . . . . . . . . . . . 225A.3 Gestion calendaire de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226A.4 Gestion de stock par point de commande . . . . . . . . . . . . . 228A.5 La planication de la production. . . . . . . . . . . . . . . . . . 229A.6 Les techniques de juste ` a temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230A.7 Lordonancement de projets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231A.8 Conception dun centre de production . . . . . . . . . . . . . . . 233A.9 La programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235A.10 La programmation lin eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237A.11 Analyse postoptimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238A.12 La programmation en nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . 240Chapitre 1Introduction1.1 Objectifs du coursLobjectif ducours est de donner une formation de base ` a lapproche quantitativedes probl` emes de gestion de lentreprise tels que :la planication de la production;lordonnancement de projets;la gestion des stocks;la gestion de la capacit e,. . .Pour cela, on essayer de d evelopper une double comp etence :La capacit e de formuler ces probl` emes en des mod` eles math ematiques :cest-` a-dire, partant de probl` emes enonc es de mani` ere litt eraire, de les tra-duire sous formes d equations math ematiques (cfr section 1.4 ` a la n de cechapitre).La connaissance doutils de r esolution de ces probl` emes : en effet, unefois le probl` eme formul e, souvent on tombe sur un probl` eme classique (telcelui de la gestion de stock), pour lequel il existe des m ethodes de r esolutionadapt ees (voir chapitres 3 et 4).Comme r ef erences, nous utiliserons les livres de Giard [4] et Baglin et al [1]pour tous les mod` eles classiques de gestion de la production. Pour ce qui est dela formulation en mod` eles math ematiques, une tr` es bonne r ef erence est le livre deWilliams [17].910 Chapitre1. Introduction1.2 D enition de la gestion de productionComme lindique Vincent Giard [4] dans son ouvrage, pour pouvoir donner uned enition de la gestion de production, il faut dabord d enir ce que lon entendpar la production. La production consiste en une transformation de ressources(humaines ou mat erielles) en vue de la cr eation de biens ou services :La production dun bien seffectue par une succession dop erations consom-mant des ressources et transformant les caract eristiques de la mati` ere. Unexemple classique est la production de voitures.La production dun service seffectue par une succession dop erations con-sommant des ressources sans quil ny ait n ecessairement transformationde mati` ere. Des exemples classiques sont la mise ` a disposition de produitsaux consommateurs (la vente), le traitement de dossier (par un notaire), lamaintenance d equipements.On peut alors d enir la gestion de production comme suit.D enition 1.1 La gestion de la production consiste en la recherche dune orga-nisation efcace de la production des biens et services.La gestion de production consiste donc ` a lobtention dun produit donn e dont lescaract eristiques sont connues en mettant en uvre un minimum de ressources.En gestion de production, on consid erera, g en eralement, comme donn ees les ca-ract eristiques du produit que sont :la d enition du produit;le processus de fabrication;la demande ` a satisfaire.Ces trois caract eristiques du produit rel` event des sciences de ling enieur et de lagestion commerciale. Nous verrons cependant au chapitre 7 la gestion de projetsqui est souvent utilis ee pour optimiser le processus de conception dun nouveauproduit. Nous verrons aussi au chapitre 8 comment optimiser le processus defabrication.Les outils de la gestion de la production sont un ensemble de techniquesdanalyse et de r esolution des probl` emes de mani` ere ` a produire au moindre co ut.Nous verrons dans ce cours un certain nombre de probl` emes types rencontr es engestion de production. Pour situer ces diff erents probl` emes entre eux, on classiesouvent les d ecisions de gestion en trois classes :Section1.2. Denitiondelagestiondeproduction 111. Les d ecisions strat egiques : il sagit de la formulation de la politique` along terme pour lentreprise (cest-` a-dire ` a un horizon de plus de deux ans).Entrent dans ces d ecisions :la d enition du portefeuille dactivit es;la d enitiondes ressources stables : aussi bienhumaines (engagements,licenciements, pr eretraites, . . . ) que mat erielles (d ecisions dinvestis-sement, de cession, de fermeture, . . . ).2. Les d ecisions tactiques :il sagit des d ecisions ` a moyen terme parmi les-quelles on trouve la planication de la production ` a 18 mois. Il sagit deproduire au moindre co ut pour satisfaire la demande pr evisible en sinscri-vant dans le cadre x e le plan strat egique de lentreprise (donc ` a ressourcesmat erielles et humaines connues).3. les d ecisions op erationnelles : il sagit des d ecisions de gestion quotidiennepour faire face ` a la demande au jour le jour, dans le respect des d ecisionstactiques. Parmi ces d ecisions, on trouve :la gestion de stocks;la gestion de la main duvre;la gestion des equipements.Ces trois classes de d ecisions de gestion de production se diff erencient par aumoins trois el ements :1. par lhorizon de temps consid er e :les d ecisions op erationnelles se prennent au jour le jour;les d ecisions tactiques concernent la planication ` a 18 mois;les d ecisions strat egiques concernent la planication ` a long terme.2. par le niveau dagr egation :les d ecisions op erationnelles se prennent au niveau dun atelier;les d ecisions tactiques se prennent au niveau dune usine;les d ecisions strat egiques se prennent au niveau de lensemble de len-treprise.3. par le niveau de responsabilit e:les d ecisions op erationnelles sont prises par les agents de matrise;les d ecisions tactiques sont prises par les cadres;les d ecisions strat egiques sont prises par la direction g en erale.12 Chapitre1. Introduction1.3 Classication des syst` emes productifsOn peut classer les modes dorganisation de la production en quatre grandesclasses :lorganisation en s erie unitaire;lorganisation en ateliers sp ecialis es;lorganisation en ligne de production;lorganisation en industries de process.Nous examinerons, dans chaque cas, le type de ressources ` a mettre en uvreet le probl` eme principal de leur utilisation.1.3.1 Organisation de type s erie unitaireD enition 1.2 La production de type s erie unitaire est une production mobili-sant sur une p eriode assez longue lessentiel des ressources dune entreprise pourr ealiser un nombre tr` es limit e de projets.Comme exemples, on peut citer la construction de navires de grande taille (quise font, le plus souvent, en quelques exemplaires), les grands travaux publics (telque le creusement du tunnel sous la manche ou la construction dun pont suspendu).En ce qui concerne les ressources mobilis ees, on fait le plus souvent appel ` aun personnel hautement quali e vu le caract` ere non r ep etitif des t aches.En ce qui concerne le probl` eme dordonnancement, le probl` eme majeur estlarbitrage entre la recherche dun co ut comp etitif et le respect des d elais. En effet,dune part, les commandes seront rapidement honor ees si beaucoup de ressourcessont mises en uvre. Mais, dautre part, le co ut des ressources est g en eralementcroissant avec leur niveau dutilisation : la location de machines suppl ementaireset lengagement dint erimaires co utent g en eralement plus cher que lutilisation desressources propres de lentreprise (cfr le chapitre 7 consacr e ` a lordonnancementde projets).Dans les deux cas, lordonnancement des t aches, cest-` a-dire la d eterminationde lordre dex ecution des t aches) est essentiel. En effet, non seulement lordredex ecution des t aches d etermine la date de livraison, mais, comme nous le verronsau chapitre 7, il inuence les co uts dans la mesure o` u une mauvaise coordinationsaccompagne souvent de ch omage technique pour certaines ressources et du paie-ment de p enalit es pour non respect des d elais.Section1.3. Classicationdessyst`emesproductifs 131.3.2 Organisation en ateliers sp ecialis esD enition 1.3 On parle dorganisation en ateliers sp ecialis es lorsque tous les equipements assurant une fonction sp ecialis ee sont r eunis en un m eme lieu.Comme exemple, on peut citer un atelier demboutissage des t oles de voitures ouun atelier de peinture dans une usine dassemblage automobile.Encequiconcerneles ressources mobilis ees, lamainduvreestplut otquali ee et les equipements sont polyvalents.En ce qui concerne le probl` eme de lorganisation efcace des ressources,deux probl` emes principaux sont ` a consid erer :Lors de la conception de latelier, le probl` eme principal est la gestion desco uts de manutention entre les diff erents postes de travail. An de diminuerces co uts on d etermine la meilleure localisation des machines les unes parrapport aux autres dans latelier. Ceci fait appel aux m ethodes dagencementdanslespace(cfrchapitre8consacr e` alacongurationduncentredeproduction).Lors de la gestion quotidienne de latelier, le probl` eme principalest ded eterminer lordre dex ecution des diverses t aches sur une ou plusieurs ma-chines (cfr chapitre 2 consacr e ` a lordonnancement en ateliers sp ecialis es).1.3.3 Organisation en lignes de productionD enition 1.4 On parle dorganisation en lignes de production lorsque quunux r egulier de produits passe dun poste ` a lautre, lordre de passage etant x e.Comme exemple, on peut citer les lignes dassemblage dautomobiles.Encequiconcerneles ressources mises en uvre, les equipementssontg en eralement tr` es sp ecialis es. En ce qui concerne lorganisation efcace desressources, le probl` eme majeur consiste en l equilibrage de la chane : cest-` a-dire ` a d enir les t aches ` a r ealiser ` a chaque poste de mani` ere ` a avoir le m eme tempsde r ealisation ` a chaque poste (cfr chapitre 8). En effet, un mauvais equilibrage dela chane entranera une sous-utilisation des ressources puisque la chane tourne ` ala vitesse de l el ement le plus lent.Deux autres probl` emes sont tr` es importants dans ce mode dorganisation de laproduction. Il sagit de : la abilit e de la chane (un maillon d efectueux et toutela chane sarr ete) et de la abilit e du syst` eme dinformations.14 Chapitre1. Introduction1.3.4 Les industries de processD enition 1.5 On parle dindustries de process lorsque le mode dorganisationest caract eris e par un ux r egulier et important de mati` eres premi` eres destin ees ` a etre transform ees en mati` eres plus elabor ees.Comme exemples, on peut citer la sid erurgie, la p etrochimie, le secteur de la chimielourde, le secteur agro-alimentaire, etc. . .En ce qui concerne lorganisation efcace des ressources, vues limportanceet la r egularit e de la demande, le probl` eme dorganisation au co ut minimum estg en eralement assez simple. Il peut etre r esolu par la programmation lin eaire.1.4 Formulation en mod` eles math ematiquesTerminons ce chapitre en introduisant la notion de mod` ele math ematique. Parmod` ele math ematique, on entend la repr esentation par des equations math ema-tiques dun probl` eme de la vie r eelle. Nous allons illustrer la construction dunmod` ele math ematique sur un exemple tr` es simpli e de planication de la produc-tion tir e de Williams [17]. Une usine peut produire cinq produits (not es PROD1 ` aPROD5). La marge b en eciaire unitaire, cest-` a-dire la diff erence entre le prix devente et le co ut de production dun produit, est donn ee pour chacun des produitsau tableau 1.1. Chaque produit n ecessite le passage par trois etapes de fabrication.Produit PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5Marge 550 600 350 400 200Tableau 1.1: Marge par produit.Les temps requis ` a chaque etape sont donn es en heures pour chaque produit autableau 1.2.Produit PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5Etape 1 12 20 0 25 15Etape 2 10 8 16 0 0Etape 3 20 20 20 20 20Tableau 1.2: Temps de fabrication (en heures par produit).Enn, il faut tenir compte des ressources en facteurs disponibles donn ees autableau 1.3. Les deux premi` eres etapes sont effectu ees sur machine tandis que laSection1.4. Formulationenmod`elesmathematiques 15Etape Ressources heures par jour jours par semaineEtape 1 3 machines 16 6Etape 2 2 machines 16 6Etape 3 8 personnes 8 6Tableau 1.3: Ressources en facteurstroisi` eme ne n ecessite que lintervention de main duvre. En ce qui concerne lesdeux premi` eres etapes, lusine travaille en deux pauses de huit heures par jour, etceci, au maximum six jours par semaine. En ce qui concerne la troisi` eme, chaquepersonne travaille 8 heures par jour et, au maximum, 6 jours par semaine.La question que se pose le gestionnaire de lusine est la suivante. Quelles sontles quantit es ` a fabriquer de chaque produit pour maximiser le prot net ?La construction dun mod` ele est, en g en eral, une op eration en trois etapes :1. le choix des variables de d ecisions,2. lexpression de lobjectif en fonction de ces variables,3. lexpression des contraintes en fonction de ces variables.La premi` ere etape consiste donc ` a d enir les variables de d ecision.D enition 1.6 On appelle variable de d ecision toute quantit e utile ` a la r esolutiondu probl` eme dont le mod` ele d etermine la valeur.G en eralement, elles sont not ees par les lettres de la n de lalphabet (x, y, z, etc...).Ici, on note simplement par xi, la quantit e du produit i fabriqu ee par semaine,iallant de un ` a cinq.Unepremi` ereremarqueimportantesimpose. Il est fondamental de bienpr eciser les unit es selon lesquelles sont exprim ees les variables. En effet, lordrede grandeur des coefcients de lobjectif et des contraintes d epend de ces unit es.La deuxi` eme etape consiste en la formulation de lobjectif.D enition 1.7 Lobjectif est la quantit e que lon veut minimiser ou maximiser.Ici, il sagit de la somme des contributions de chacune des productions au protnet de lusine. Elle sexprime simplement par :maxz= 550x1 + 600x2 + 350x3 + 400x4 + 200x5La troisi` eme etape consiste en la formulation des contraintes.16 Chapitre1. IntroductionD enition 1.8 Les contraintes sont toutes les relations entre les variables quilimitent les valeurs possibles que peuvent prendre ces variables.La premi` ere concerne la limite dutilisation des machines ` a l etape 1. Il ya trois machines, utilis ees 16 heures par jour et, au maximum, six jours parsemaine, ce qui donne un nombre maximum dheures par semaine1:3 (2 8) 6 = 288 heures disponibles.Une unit e de produit 1 demande 12 heures sur machine ` a l etape 1. Si x1unit es de produit 1 sont produites par semaine, cela demande 12 x1 heuressur la machine 1. Par un raisonnement semblable pour les autres produits,on obtient nalement la contrainte :12x1 + 20x2 + 0x3 + 25x4 + 15x5 288.La deuxi` eme contrainte concerne la limite dutilisation des machines ` a ladeuxi` eme etape. Le nombre maximum dheures dutilisation vaut :2 (2 8) 6 = 192 heures,et la contrainte sexprime comme :10x1 + 8x2 + 16x3 + 0x4 + 0x5 192.La troisi` eme contrainte concerne la limite dutilisation du personnel ` a latroisi` eme etape. Le nombre maximum dheures prest ees en une semaine parles 8 personnes est de :8 (1 8) 6 = 384 heures.Et donc la contrainte sexprime comme :20x1 + 20x2 + 20x3 + 20x4 + 20x5 384.Enn, il ne faut pas oublier les contraintes, presque toujours pr esentes, disantque lon ne peut pas produire des quantit es n egatives :x1, x2, . . .x5 0.1Remarquez ici limportance davoir pr ecis e que les quantit es produitesl etaient par semaine.Section1.5. Exercices 171.5 ExercicesOn demande de formuler chacun des probl` emes suivants.1.1. Un probl` eme de choix dinvestissements. Un epargnant veut investir1000 euros. Il a le choix entre trois investissements possibles : A, BetC. Les valeurs attendues et les valeurs minimales garanties apr` es un an sontdonn ees au tableau 1.4 par euro investi. L epargnant souhaite un int er et mi-Type valeur valeurdinvestissement attendue garantieA 1, 4 0, 9B 1, 2 1, 2C 1, 6 0, 5Tableau 1.4: Valeurs attendue et minimum garantie.nimum garanti de 5% sur un an. Cependant, il a promis dinvestir au moins600 euros surB etC ensemble. Comment l epargnant pourrait-il r epartirson investissement pour maximiser la valeur attendue globale apr` es un an ?On suppose que linvestisseur utilise toute la somme disponible.1.2. Un probl` eme de chargement dun haut fourneau. Une fonderie re coitune commande de 1000 tonnes dacier. Cet acier doit r epondre aux ca-ract eristiques suivantes : il doit contenir au moins 0,45 % de mangan` ese(Mn) tandis que son pourcentage en silicium (Si) doit se situer entre 3,25et 5,50. Pour couler cet acier, la fonderie dispose en quantit es illimit ees detrois types de minerais : A, B et C. Leurs teneurs en Si et Mn sont reprisesau tableau 1.5. Le proc ed e de production est tel quune addition directeMinerai A B CSi 4 % 1 % 0,6 %Mn 0,45 % 0,5 % 0,4 %Tableau 1.5: Teneurs en Silicium et Mangan` ese des diff erents minerais.de mangan` ese est envisageable. Ce mangan` ese est disponible au prix de 8millions la tonne. Les minerais co utent respectivement 21 millions les mille18 Chapitre1. Introductiontonnes pour le type A, 25 millions par mille tonnes pour B, et 15 millions parmille tonnes pour C. Si la fonderie envisage de vendre lacier produit 450millions les mille tonnes, quel doit etre son plan de production pour maxi-miser son prot, sachant que le co ut de fonte de mille tonnes de minerai estde 5 millions ? Le co ut de fonte ne sapplique pas au mangan` ese ajout e.1.3. Un probl` eme de planication sur co ut variable. Un industriel cherche ` a etablir son plan de production pour les quatre mois ` a venir, sachant que lesdemandes sont d ej` a connues (voir tableau 1.6).Mois 1 2 3 4Demande 900 1100 1700 1300Capacit e en heures normales 1200 1200 1200 1200Capacit e en heures suppl ementaires 400 400 400 400Tableau 1.6: Demande par moisEn r egime normal, la capacit e de production est de 1200 articles par mois.A laide dheures suppl ementaires, ce niveau peut etre elev e jusqu` a 400articles en plus, mais il faut compter, dans ce cas, un surco ut de 7 euros pararticle. La situation est telle quil peut se permettre en r egime normal deproduire moins de 1200 articles par mois. Cela naura aucune incidence surles co uts de production, ceux-ci etant xes en r egime normal, mais leffetsur les co uts de stockage peut etre b en eque. Les co uts de stockage sontde 3 euros par article en stock en n de mois. Comment lindustriel doit-ilplanier sa production pour minimiser les co uts variables, cest-` a-dire lesco uts occasionn es par les heures suppl ementaires et le stockage ?1.4. Affectation davions ` a des lignes a eriennes. Une compagniea erienner egionale d esire affecter sa otte davions aux4lignes quelle exploite (lignesA, B, C et D). Le nombre de passagers d esirant effectuer chaque jour unparcours sur chaque ligne est donn e au tableau 1.7. La compagnie disposede deux types davions : 8 petits avions de 40 places et 3 avions moyensde 180 places. Les avions, quils soient du mod` ele petit ou moyen, peuventeffectuer un trajet aller-retour par jour. Le co ut dexploitation journalier dunavion d epend de sa taille et de la ligne ` a laquelle il est affect e. Ces co utssont donn es au au tableau 1.7. On d esire minimiser le co ut dexploitationen satisfaisant la demande.(a) Faites un choix de variables.Section1.5. Exercices 19Ligne A B C DDemande 100 200 150 300Co ut dun petit avion 40 30 70 40Co ut dun moyen avion 200 100 300 350Tableau 1.7: Demande et co uts dexploitation des avions par ligne(b) Donnez lexpression de lobjectif.(c) Donnez lexpression des contraintes.(d) Vos variables peuvent-elles prendre toutes les valeurs r eelles non n e-gatives ?1.5. Production de denr ees p erissables. Une compagnie produit 2 denr eesp erissables, P et Q, qui sont achemin ees, chaque soir, chez le grossiste. Pourle transport, la compagnie dispose dune camionnette dont la capacit e permetdacheminer 2000 kg par jour. Lorsque la production quotidienne exc` edecette quantit e, la compagnie fait appel ` a un transporteur ind ependant. Leco ut de transport est de 2 euros par kg avec la camionnette propre, tandis quele transporteur ind ependant demande 3 euros par kg. La marge b en eciaire,hors co ut de transport, est 42 euros par unit e de P et 48 euros lunit e de Q.Les produits P et Q sont fabriqu es ` a partir de 2 composantes M et N selonles proportions pr esent ees au tableau 1.8. Consid erons une journ ee o` u laProduit Poids de M Poids de N Poids total(kg par unit e de (kg par unit e de (kg par unit e deproduit ni) produit ni) produit ni)P 4 3 7Q 2 1 3Tableau 1.8: Composition des produitscompagnie dispose de 3 200 kg de M et de 2 400 kg de N. Formuler leprobl` eme sachant que la compagnie cherche ` a maximiser son prot net.1.6. Ajout dun nouveau produit ` a la gamme. Une soci et e envisage lajoutde deux nouveaux produits ` a sa gamme : le mod` ele standard et le mod` elede luxe. Le mod` ele standard peut se fabriquer dans nimporte lequel des 3ateliers (A, B ou C) de la soci et e. Une unit e de mod` ele standard requiert en20 Chapitre1. Introductionmain duvre soit 5 heures dans latelier A, soit 4 heures dans latelier B,soit 5 heures dans C. Quant au mod` ele de luxe, latelier A ne dispose pasde l equipement n ecessaire et sa fabrication devra etre con ee aux ateliersB et C. Une unit e du mod` ele de luxe requiert en main duvre 5 heuresdans latelier B, ou 8 heures dans C. Les capacit es disponibles sont de 2 000heures pour latelier A, 8 000 heures pour B et 4 000 heures pour C. Lesalaire horaire vers e aux ouvriers est de 11,50 euros dans latelier A, de13 euros dans B et de 12 euros dans C. Le co ut des mat eriaux est evalu e` a 10 euros pour lunit e du mod` ele standard et` a 15 euros pour le mod` elede luxe. Lentreprise se propose de vendre le mod` ele standard ` a 135 euroslunit e et le mod` ele de luxe ` a 145 euros lunit e. Le service marketing estimequon ne peut esp erer vendre plus de 2 500 unit es du mod` ele standard niplus de 1 000 unit es du mod` ele de luxe. On suppose que toutes les unit esproduites jusqu` a ces niveaux trouvent acheteur.Formuler le probl` eme correspondant ` a la maximisation du prot d ecoulantdu lancement de ce produit.Partie ILes d ecisions op erationnelles21Chapitre 2Ordonnancement en ateliers sp ecialis es2.1 IntroductionRappelons quon parle dateliers sp ecialis es lorsque lensemble des equipementsn ecessaires pour assurer une fonction d etermin ee sont rassembl es dans un m emeatelier. Le probl` eme de gestion quotidienne est de d eterminer lordre dex ecutiondun certain nombre de t aches, la r ealisation dune t ache n ecessitant le passage surune ou plusieurs machines.Par exemple, lemboutissage de plusieurs types de porti` eres de voitures de-mande le passage sur une m eme presse, lordre de passage des diff erents types deporti` eres sur la presse n etant pas d etermin e ` a lavance.Parmi les mod` eles dordonnancement en ateliers sp ecialis es, on distingue Les mod` eles statiques pour lesquels on recherche lordonnancement opti-mal dun ensemble donn e de t aches sur une p eriode donn ee : autrement dit,au cours de la p eriode consid er ee, aucune nouvelle t ache non pr evue ne peut etre prise en compte dans lordonnancement; Les mod` eles dynamiques dordonnancement qui se caract erisent par desarriv ees successives de t aches, le plus souvent dans un univers al eatoire.Dans ce chapitre, nous allons nous limiter aux mod` eles statiques et voir suc-cessivement le probl` eme dordonnancement sur 1 machine, sur 2 machines. Enn,nous verrons la g en eralisation au probl` eme surm machines dont la r esolutiondemande le recours ` a la programmation en nombres entiers.2324 Chapitre2. Ordonnancementenateliersspecialises2.2 Ordonnancement sur une machineIllustrons le probl` eme sur lexemple suivant tir e de Giard [4]. On a cinq t aches` a effectuer sur la machine A. Le tableau 2.1 pr esente les diff erentes t aches ainsique leurs temps op eratoires. Il sagit de d eterminer lordre dans lequel on vaT ache (i) 1 2 3 4 5Temps op eratoire (ti) 50 150 80 200 30Tableau 2.1: Temps op eratoires (en centi` emes dheures).effectuer ces diff erentes t aches. Il est clair que, quel que soit lordre choisi, letemps op eratoire total est le m eme :il sagit de la somme des temps op eratoires.Il faudra donc d enir un autre crit` ere de choix entre tous les ordonnancementspossibles. Un ordonnancement possible est illustr e ` a la table 2.2.Ordre (j) 1 2 3 4 5T ache programm ee(i) 3 4 1 5 2Temps dex ecution (Tj) 80 200 50 30 150Tableau 2.2: Un ordonnancement possible.2.2.1 Le diagramme de GanttIllustrons tout dabord une technique de visualisation dun ordonnancement, lediagramme de Gantt. Celui-ci est construit ` a la gure 2.1 pour lordonnancementmachine A3 4152 Z1 2 3 4 5 temps(heures)0,8 2,8 3,3 3,65,1Figure 2.1: Diagramme de Gantt.du tableau 2.2. Le diagramme de Gantt permet de visualiser ` a la fois :lutilisation des moyens productifs;lavancement de lex ecution des t aches.Section2.2. Ordonnancementsurunemachine 25En effet, une ligne horizontale illustre l evolution du temps. Ensuite, pour chaquemoyen productif (ici, il y a seulement la machine A), on trace une ligne horizon-tale en dessous de la ligne du temps. Chaque t ache` a effectuer sur la machineest repr esent ee par un segment dont la longueur est proportionnelle ` a la dur eedex ecution de la t ache. On indiquera le num ero de la t ache au dessus du segmenttandis quune machine au repos est indiqu ee par un Z.Si lon veille ` a aligner verticalement lorigine du temps pour chaque machine,une ligne verticale indique donc ` a tout moment ` a quelle t ache est occup ee chacunedes machines. Un tableau mural peut etre ainsi dun grand recours pour les agentsde matrise responsable de laffectation des moyens humains et mat eriels.2.2.2 La r` egle T.O.M.Comme nous lavons indiqu e plus haut, tous les ordonnancements possibles con-duisent au m eme temps total dex ecution des t aches. Dans lexemple, lex ecutiondes 5 t aches n ecessite 510 centi` emes dheure. La question qui se pose est alors :comment choisir parmi les n! ordonnancements possibles ?Notons Aj le temps dach` evement de la t ache programm ee en position j. Letemps dach` evement dune t ache est la somme des temps dex ecution de la t acheavec ceux des t aches pr ec edentes. Par exemple,A4= T1 +T2 +T3 +T4Le calcul des diff erents temps dach` evement des t aches est repris au tableau 2.3.Ordre (j) 1 2 3 4 5Tj80 200 50 30 150Aj80 280 330 360 510Tableau 2.3: Temps dach` evement des t aches.Le temps dach` evement moyen vaut alors :A =80 + 280 + 330 + 360 + 5105= 312En g en eral :A =15n

j=1Aj=15 [T1 + (T1 +T2) + (T1 +T2 +T3)+(T1 +T2 +T3 +T4) + (T1 +T2 +T3 +T4 +T5)]=15 (5T1 + 4T2 + 3T3 + 2T4 +T5)26 Chapitre2. OrdonnancementenateliersspecialisesIl sagit donc dune somme pond er ee des temps op eratoires, chaque temps op era-toire etant pond er e par un facteur dautant plus grand quil se trouve ex ecut e plust ot dans lordonnancement. La r` egle dordonnancement qui minimise le temps da-ch` evement moyen est celle du temps op eratoire minimum : il sagit dex ecuterles t aches par ordre croissant de dur ee :T1 T2 . . . Tj . . . TnLapplication de cette r` egle donne lordonnancement illustr e au tableau 2.4. Cetteapplication donne le temps dach` evement moyen minimum :A = 218.Ordre (j) 1 2 3 4 5T aches (i) 5 1 3 2 4Tj30 50 80 150 200Aj30 80 160 310 510Tableau 2.4: Application de la r` egle TOM.On peut montrer que la r` egle T.O.M. revient ` a minimiser le retard moyen, leretard dune t ache etant la diff erence entre le moment o` u la t ache est termin ee etcelui o` u elle aurait et e termin ee si lon lavait commenc e en premier lieu.2.3 Ordonnancement avec deux centres de productionChaque t ache n ecessite pour son ex ecution le passage sur deux machines : lesmachines A et B. SoienttiAettiB, les temps dex ecution de la t achei sur lesmachines A et B respectivement. On va utiliser comme crit` ere dordonnancementla minimisation du temps total dex ecution des t aches sur les deux machines. Onva distinguer deux cas :le cas o` u toutes les t aches sont ` a ex ecuter sur A puis B;le cas o` u toutes les t aches nont pas le m eme ordre de passage sur les deuxmachines.2.3.1 Cas o` u toutes les t aches sont ` a ex ecuter sur A puis BSupposons donc que cinq t aches soient ` a ex ecuter sur les machines A puis B. Lestemps op eratoires (en centi` emes dheure) sont repris au tableau 2.5.Section2.3. Ordonnancementavecdeuxcentresdeproduction 27T aches (i) 1 2 3 4 5tiA50 150 80 200 30tiB60 50 150 70 200Tableau 2.5: Ordonnancement sur deux machines.machine B5 1 3 4 2machine A1 2 3 4 5 temps(heures)5 1 3 4 20,3 0,8 1,6 2,3 2,9 3,6 4,4 5,1 5,6Z ZFigure 2.2: Diagramme de Gantt.Lordonnancement optimal est illustr e ` a la gure 2.2. Remarquez que durantlex ecution de la premi` ere t ache sur A, la machine B dort. On a donc int er et ` amettre en t ete la t ache de tempstiAle plus faible. De fa con similaire, lors delex ecution de la derni` ere t ache sur la machine B, la machine A dort. On a doncint er et ` a mettre en n la t ache de dur ee dex ecution tiB minimum.En se basant sur ces deux observations, lalgorithme Johnson (1954) calculelordonnancement minimisant le temps total dex ecution des t aches :1. Rechercher la t ache i de temps dex ecution tim minimum.2. Si m = A, placer cette t ache ` a la premi` ere place disponible;Si m = B, placer cette t ache ` a la derni` ere place disponible.3. Supprimer la t ache i des t aches encore ` a programmer, retour en 1.Appliquons ceci ` a lexemple. Dabord, la t ache 5 (t5A=30) est mise enpremi` ere position. Puis, la t ache 1 (t1A= 50) est mise en deuxi` eme position. Puisla t ache 2 (t2B=50) est mise en derni` ere position. Puis la t ache 4 (t2B=70)est mise en avant derni` ere position. Enn, la t ache 3 est mise ` a la derni` ere placedisponible.5 1 3 4 2On obtient le graphique de Gantt de la gure 2.2 o` u le passage dune t ache dunemachine ` a lautre est visualis e ` a laide dune ` eche verticale.28 Chapitre2. Ordonnancementenateliersspecialises2.3.2 Cas de t aches ne seffectuant pas dans le m eme ordreDans ce cas plus g en eral, certaines t aches ne n ecessitent que le passage sur unemachine, dautres sur les deux dans un ordre ou lautre. Les donn ees num eriquessont reprises au tableau 2.6.T aches ` a effectuer sur A puis BT aches (i) 1 2 3 4 5 6tiA50 80 10 50 30 70tiB30 60 30 0 0 0T aches ` a effectuer sur B puis AT aches (i) 7 8 9 10 11tiB90 20 10 40 10tiA70 30 100 0 0Tableau 2.6: Illustration de lalgorithme de Jackson.Lordonnancement qui minimiseletempstotal dex ecutiondest achessurles deux machines est obtenu par lalgorithme de Jackson (1957) qui est uneg en eralisation de lalgorithme de Johnson. Il consiste tout simplement ` a :1. Faire une partition de lensemble des n t aches enlensemble A des t aches ne passant que sur A : A = {4, 5, 6};lensemble B des t aches ne passant que sur B : B = {10, 11};lensemble AB des t aches passant sur A puis B : AB = {1, 2, 3};lensemble BA des t aches passant sur B puis A : BA = {7, 8, 9}.2. Calculer un ordonnancement pour chaque sous-ensemble :lordonnancement optimal pour AB par Johnson :3, 2, 1;lordonnancement optimal pour BA par Johnson :9, 8, 7;un ordonnancement arbitraire pour A (par exemple, TOM) : 5, 4, 6;un ordonnancement arbitraire pour B (par exemple, TOM) : 11, 10.3. Remarquons que lon a int er et ` a d ebuter le plus vite possible sur Ales t achesqui doivent ensuite aller sur B et ` a mettre en derni` ere place sur A celles quidoivent dabord aller sur B. Ceci conduit ` a combiner ces ordonnancementde la mani` ere suivante :Section2.4. Ordonnancementsurtroismachines 29Pour la machine A : la s equence optimale pour le sous-ensemble AB,puis les t aches de A, puis la s equence optimale du sous-ensemble BA:3, 2, 1, 5, 4, 6, 9, 8, 7.Pour la machine B : la s equence optimale pour le sous-ensemble BA,puis les t aches de B, puis la s equence optimale du sous-ensemble AB :9, 8, 7, 11, 10, 3, 2, 1.On obtient le diagramme de Gantt de la gure 2.3.machine Amachine B3215 4 6 9 8 710 90 140170220290 390 420 4909 8 711 103 2 1 Z1030120 130170 200 260290 Figure 2.3: Algorithme de Jackson.2.4 Ordonnancement sur trois machinesLalgorithme de Johnson ne sapplique quen pr esence de deux machines. Cepen-dant, le cas de trois machines peut se ramener au cas de deux machines si la machineB est compl` etement domin ee par la machine A ou par la machine C, cest-` a-diresi lon se trouve dans le cas o` uminimum tiA maximum tiB,soit dans le cas o` uminimum tiC maximum tiB.Illustrons ceci sur lexemple du tableau 2.7. o` u lon constate que :minimum tiA= 12 =maximum tiB.On est donc bien dans les conditions dapplication enonc ees ci-dessus. Remarquezquil suft quune des deux conditions soit v eri ee. Ainsi dans lexemple, laseconde condition nest pas v eri ee et lalgorithme sapplique bien.30 Chapitre2. Ordonnancementenateliersspecialisest aches 1 2 3 4 5 6 7Assemblage 20 12 19 16 14 12 17Inspection 4 1 9 12 5 7 8Exp edition 7 11 4 18 18 3 6Tableau 2.7: Temps op eratoires avec trois machines.Lorsque lon se trouve dans un des deux cas, on reformule alors le probl` eme enun probl` eme ` a deux machines, la premi` ere groupant les machines A et B (tiAB=tiA +tiB) et la seconde groupant les machines B et C (tiBC= tiB +tiC).t aches 1 2 3 4 5 6 7Assemblage + Inspection 24 13 28 28 19 19 25Inspection + Exp edition 11 12 13 30 23 10 14On applique alors lalgorithme de Johnson ` a ce probl` eme ` a deux machines pourd eterminer lordonnancement optimal.Place 1 2 3 4 5 6 7t ache 5 4 7 3 2 1 6On peut alors tracer le diagramme de Gantt correspondant au probl` eme original,cest-` a-dire celui avec trois machines (voir gure 2.4).Assemblage5 1 7 4 2 35 1 7 4 2 366 Z Z Z Z ZZInspectionExpdition5 1 7 4 2 3 6 Z Z Z Z ZZ Z14 19 303742 47556066 75 78 79 90 98 102 109 110 117 120Figure 2.4: Ordonnancements avec 3 machines.Dans le cas o` u la machine centrale nest pas domin ee par la premi` ere o` u latroisi` eme machine, le probl` eme peut etre mod elis e comme un probl` eme en nombresentiers et r esolu par une technique de programmation en nombres entiers telle quela m ethode de branch and bound.Section2.5. Ordonnancementdent achessurmcentresdeproduction 312.5 Ordonnancement de n t aches sur m centres de productionComme lindique Giard [4], le probl` eme combinatoire pos e est formidable : il ya en effet (n!)mordonnancements possibles. Le probl` eme g en eral a et e formalis een termes de programmation dynamique et en termes de programme lin eaire ennombres entiers. La formulation permet dint egrer des contraintes suppl ementairescomme la date de livraison, une capacit e de production, . . . etc.Lorsque lordre de passage des t aches est identique et que le nombre de centresde production ne d epasse pas quelques dizaines, une solution souvent proche dela solution optimale peut etre trouv ee en utilisant lalgorithme de Johnson sur desgroupements de centres de production successifs exactement ` a la mani` ere de ce quenous avons fait ` a la section pr ec edente pour le cas de trois centres de productiondont celui du milieu est domin e.Attention que, au contraire des cas pr ec edents il ne sagit pas dun algorithmedonnant une solution optimale mais bien dune m ethode heuristique donnant unesolution approch ee.Prenons le cas de 5 centres de productions not es A, B, C, Det E. Il faut r esoudreles 4 probl` emes suivants par lalgorithme de Johnson (des parenth` eses signientque lon somme les temps des centres) :avec la premi` ere et la derni` ere machine :{A} {E}avec les deux premi` eres et les deux derni` eres machines :{AB} {DE}avec les trois premi` eres et les trois derni` eres machines :{A, B, C} {C, D, E}avec les quatre premi` eres et les quatre derni` eres machines :{A, B, C, D} {B, C, D, E}On prend alors le meilleur des temps totaux dex ecution des t aches ainsi trouv es.Illustrons ceci sur un exemple ` a 4 centres de production. Le tableau 2.8 reprendles donn ees du probl` eme.32 Chapitre2. Ordonnancementenateliersspecialisest aches tiAtiBtiCtiD1 50 43 15 42 89 99 95 773 7 47 20 984 8 64 12 945 61 19 65 146 1 80 66 78Tableau 2.8: Temps op eratoires avec quatre machines.Le premier probl` eme ctif consiste ` a ne consid erer que les machines A et D.Il conduit ` a lordonnancement suivant par la m ethode de Johnson :1 2 3 4 5 66 3 4 2 5 1qui conduit ` a un temps de 51,2 heures.Le deuxi` eme probl` eme ctif consiste ` a consid erer les machines A+B et C+Dcommeillustr eautableau2.9. Ilconduit ` alordonnancementsuivantparlat aches tiA +tiBtiC +tiD1 50 + 43 =93 15 + 4 = 192 89 + 99 = 188 95 + 77= 1723 7 + 47 = 54 20 + 98 = 1184 8 + 64 = 72 12 + 94 = 1065 61 + 19 = 80 65 + 14 = 796 1 + 80 = 81 66 + 78 = 144Tableau 2.9: Deuxi` eme probl` eme ctif.m ethode de Johnson :1 2 3 4 5 63 4 6 2 5 1qui conduit` a un temps de 48,7 heures. Le troisi` eme et dernier probl` eme ctifconsiste ` a consid erer A+B+Cet B+C+D. Il donne la m eme solutionque le probl` emectif 2. On a donc trouv e une solution de temps egal ` a 48,7 heures alors que lasolution optimale (qui peut etre calcul ee en faisant une enum eration explicite detous les ordonnancement possibles) conduit ` a un temps de 48,5 heures.Section2.6. Exercices 332.6 Exercices2.1. B atiments - travaux publics. UneentreprisedeB atimentset TravauxPublics est sp ecialis ee dans la r ealisation douvrages dart en b eton arm e.Pour effectuer ses travaux, elle dispose de deux corps de m etier, les coffreurset les ma cons. Cette entreprise doit faire les devis pour six r ealisations. Unepremi` ere analyse des travaux permet de d eterminer les temps suivants :Fabrication No 25Coffrage 2 joursB eton 4 joursFabrication No 26Coffrage 1 jourB eton 3 joursFabrication No 27Coffrage 5 joursB eton 7 joursFabrication No 28Coffrage 10 joursB eton 8 joursFabrication No 29Coffrage 5 joursB eton 2 joursFabrication No 30Coffrage 3 joursB eton 6 jours(a) Cherchant ` a optimiser lemploi de tous les corps de m etier, vous devezproposer ` a cette soci et e lordre de prise en compte des travaux.(b) Avec cet ordre, est le nombre de jours economis es par rapport ` a uneprise en compte des fabrications dans lordre de leur arriv ee ?(c) Si on doit tenir compte dun temps inter-op eratoire xe de deux joursentre la n du coffrage et le d ebut du b eton (1 jour imputable au coffrageet lautre au b eton), que devient lordre que vous avez propos e ?2.2. Usinage de pi` eces sur des machines. On veut organiser la production dedeux lots de pi` eces Pa et Pb qui doivent etre usin ees sur la machine M1 puissur la machine M2. Avant dusiner chaque lot, il faut proc eder au r eglage dechaque machine. Les dur ees des t aches de r eglage et dusinage de chacundes lots sur les deux machines sont donn ees au tableau ci-dessous en heures.Machine R eglage A Usinage A R eglage B Usinage BM1 1 2 2 2M2 1 3 6 1On veut minimiser le temps total dex ecution des pi` eces.(a) Expliquez pourquoi lalgorithme de Johnson ne sapplique pas.(b) Faites une enum eration de tous les ordonnancements possibles.(c) Tracez le diagramme de Gantt dans chacun des cas.34 Chapitre2. Ordonnancementenateliersspecialises2.3. Gestion du temps pour la composition dun travail de groupe. Deux etudiants ing enieurs disposent de 10 jours pour r ealiser un travail de groupe.Ce travail se compose de 4 t aches ind ependantes entre elles (lordre napas importance). Chacune de ces t aches peut etre divis ee en une phasedanalyse, r ealis ee par le premier etudiant, et une phase de calculs, r ealis eepar le second. Lanalyse doit pr ec eder les calculs. Les temps n ecessaires(en jours) ` a la r ealisation des t aches sont donn es au tableau ci dessous.T ache Phase danalyse ( etudiant 1) Phase de calculs ( etudiant 2)A 2 2B 0,8 1,5C 1,5 0,5D 2 1(a) Quel est lordonnancement des t aches qui minimise le temps de r eali-sation du travail ?(b) Les deux ing enieurs aimeraient ajouter en annexe 3 autres parties :E, F et G. Les deux premi` eres (E et F) ne n ecessitent pas danalysepr ealable tandis que la derni` ere (G) comporte seulement une phasedanalyse. Les temps sont donn es au tableau ci-dessous.T ache Analyse ( etudiant 1) Calculs ( etudiant 2)E - 2F - 1,5G 1,5 -La r ealisation des ces annexes ne n ecessite pas que les t aches princi-pales (A, B, C et D) soient nies. Avec ces donn ees suppl ementaires,d eterminez, pourchacundesing enieurs, lordredex ecutiondes7t aches qui minimise le temps total de r ealisation du travail.(c) Illustrez ` a laide dun diagramme de Gantt.(d) Pourront-ils rendre le travail ` a temps ?2.4. Ordonnancement avec 3ateliers. Cinqt aches doivent passer par les ateliersde montage, nition et exp edition. Les temps op eratoires sont les suivants.T aches 1 2 3 4 5Montage 7 2 4 3 5Finition 1 1 2 2 1Exp edition 5 2 4 6 5D eterminezlordonnancement qui minimiseletempsder ealisationdest aches et calculez le temps total pour effectuer ces t aches.Chapitre 3La gestion calendaire de stock3.1 IntroductionComme le souligne Giard [4], une production sans stock est quasi inconcevablevu les nombreuses fonctions que remplissent les stocks. En effet, la constitutionde stocks est n ecessaire sil y a :1. non concidence dans le temps et lespace de la production et de laconsommation : le stock est indispensable dans ce cas car il est impossiblede produire l ` a et quand la demande se manifeste. Les exemples classiquessont les jouets et la conserie pour la non concidence dans le temps, et lessupermarch es pour la non concidence dans lespace.2. incertitude sur le niveau de demande ou sur le prix : sil y a incertitudesur la quantit e demand ee, on va constituer un stock de s ecurit e qui permetde faire face ` a une pointe de demande. Sil y a incertitude sur le prix, on vaconstituer un stock de sp eculation. Par exemple, les compagnies p etroli` eresach` etent plus que n ecessaire en p etrole brut lorsque le prix de celui-ci estrelativement bas.3. risque de probl` emes enchane : il sagit ici d eviter quune panne ` a unpostene se r epercute sur toute la chane : un retard dex ecution au poste pr ec edentou une gr` eve des transports narr etera pas imm ediatement lensemble duprocessus de production sil y a des stocks tampons.4. pr esence de co uts de lancement : dans ce cas, travailler par lots permet une economie d echelle sur les co uts de lancement mais, en revanche, provoqueune augmentation des co uts de possession du stock.La gestion des stocks pose cependant de multiples probl` emes : tenue dinven-taires, valorisation du stock, d enition des capacit es de stockage et enn, disponi-bilit e satisfaisante du stock. Nous allons nous concentrer sur ce dernier aspect.3536 Chapitre3. Lagestioncalendairedestock3.2 Les politiques de gestion de stockLes politiques de gestion de stock visent ` a r epondre aux deux grandes questions :1. Quand d eclencher lapprovisionnement du stock? La r eponse ` a cette ques-tion est diff erente suivant la politique de gestion adopt ee :En gestion de stock par point de commande, lapprovisionnement dustock est d eclench e lorsque lon observe que le stock descend en des-sous dun niveau s, le point de commande.En gestion calendaire, lapprovisionnement du stock est d eclench e ` aintervalles r eguliers T, par exemple, chaque jour ou chaque semaine.En gestion calendaire conditionnelle, lapprovisionnement du stockest d eclench e ` a intervalles r eguliers T, mais uniquement lorsque lonobserve que le stock descend en dessous dun niveaus, le point decommande.2. Combien commander ? La r eponse ` a la question Combien ? d epend egalement du type de gestion de stock appliqu ee :En cas de gestion par point de commande, on commande une quantit exe, not ee q et appel ee quantit e economique de commande. Commenousleverronsauchapitre4, sad eterminationr esulteduncalculdoptimisation.En cas de gestion calendaire de stock, la quantit e command ee est egale` a la diff erence entre S, le niveau de recompl` etement du stock et le stockr esiduel observ eR, pour autant que le produit puisse rester en stock(cas de produits non p erissables). Cette quantit e peut egalement etreaugment ee de la valeur des quantit es non satisfaites lors de la p eriodepr ec edente, pour autant que le client maintienne sa demande.Nous allons nous attacher ` a deux politiques particuli` eres :La politique de gestion calendaire des stocks, not ee (T, S) avec T linter-valle entre deux commandes et S, le niveau de recompl` etement du stock.La politique de gestion par point de commande, quantit e economiquede commande, not ee(q, s) avecq, la quantit e economique ` a commanderr eguli` erement et s, le point de commande qui d eclenche lapprovisionnementdu stock.Section3.3. Lesco utsassociesauxstocks 373.3 Les co uts associ es aux stocksUn stock est constitu e pour satisfaire une demande future. En cas de demandeal eatoire, il peut y avoir non concidence entre la demande et le stock. Deux cassont evidemment possibles :une demande sup erieure au stock : on parle alors de rupture de stock;une demande inf erieure au stock : on aura alors un stock r esiduel.Le crit` ere de gestion g en eralement retenu en gestion des stocks est celui dela minimisation des co uts. Nous noterons cette fonction par la lettre C, suivie,entre parenth` eses, de la ou des variables de commande du syst` eme. Par exemple,si la variable de commande est la quantit e command ee, nous noterons lobjectifC(q). Ces variables de commandes d eterminent en g en eral trois variables d etatdu syst` eme :Ir, la rupture moyenne, cest-` a-dire le nombre moyen de demandes non satis-faitesaucoursdunep eriode, auquelestassoci ecr, le co ut unitaire derupture;Ip, le stock moyen poss ed eau cours dune p eriode, auquel est associ e cp, le co utunitaire de possession;Ic, le nombre moyen de commandes pass ees au cours dune p eriode, auquel estassoci e cc, le co ut unitaire de commande.Lafonctiondeco uts ecritdonceng en eralcommeunefonctiondecestroisvariables d etat :C= crIr +cpIp +ccIc.Nous allons examiner un peu plus en d etails chacun des trois co uts partiels.3.3.1 Les co uts de possessionLes co uts de possession comprennent :1. les co uts de d etention dun article en stock durant une certaine p eriode enfonction des conditions nanci` eres dacquisition et des eventuelles condi-tions de reprise.2. les co uts de stockage qui sont les d epenses de logistique, de conservation dustock.38 Chapitre3. LagestioncalendairedestockComme signal e plus haut, en pr esence dune demande al eatoire, il peut y avoirnonconcidencedustocketdelademande, etdoncuneruptureouunstockr esiduel. Les cons equences de ce stock r esiduel seront bien diff erentes selon quelon se trouve dansle cas du stock ` a rotation nulle, cest-` a-dire lorsque le stock r esiduel estsans utilit e pour lentreprise. Ceci se pr esente notamment :en cas dobsolescence technique ou commerciale : par exemple, lesv etements de mode, . . .en cas o` u la consommation a un d elai maximum : par exemple, lesprimeurs, les journaux, . . .Dans ce cas, le co ut de possession dun article se calcule comme le co utdacquisition de larticle moins la valeur de r ecup eration (solde).Prenons un exemple. Un quotidien achet e 0,9 euro par le libraire et dontlinvendu est repris 0,75 euro par le grossiste : le co ut de possession est decp= 0, 9 0, 75 = 0, 15 euro.le cas du stock ` a rotation non nulle, cest-` a-dire lorsque linvendu peut etrevendu ` a une p eriode ult erieure. Cest lexemple des botes de conserves en epicerie non vendues une p eriode qui le seront aux p eriodes suivantes.Dans ce cas, le co ut de possession li e` a limmobilisation du capital. Engelant la somme dargent correspondant au co ut dachat de larticle invendu,lasoci et eseprivedurevenudunplacementnancierquelleauraitpur ealiser. Ce co ut est appel e co ut dopportunit e. Le taux dopportunit e estla rentabilit e du meilleur investissement que lentreprise aurait pu faire.Prenons un exemple. Si le taux dopportunit e est de 6 % lan, une bote deconserves achet ee 1,20 euro et restant en rayon un mois entier a co ut ecp= 1, 20 6%1/12 = 0, 006 euro.Lautre partie du co ut de possession concerne les co uts de stockage. Ces co utsde stockage, comprennent, en g en eral des frais xes, tels que le co ut de locationdentrep ots, ainsi que des frais variables, tels que le co ut de manutention. Leco ut unitaire de stockage que lon doit prendre en consid eration dans la fonctionobjectif est le co ut moyen de lensemble de ces frais. Malheureusement, ce ce co utmoyen d epend du volume dactivit e et ne peut donc pas etre consid er e comme uneconstante. Cette difcult e fait que souvent on ninclut pas de co ut de stockagedans le co ut de possession et le co ut de possession se r eduit donc au seul co utdimmobilisation du capital.Section3.3. Lesco utsassociesauxstocks 393.3.2 Les co uts de ruptureLa rupture se pr esente lorsque la demande exc` ede le stock constitu e au cours de lap eriode. Les cons equences de cette rupture sont diff erentes selon que la demandeest interne ou externe.En cas de demande externe, la demande non satisfaite peut etre perdue (onparle de ventes manqu ees) ou report ee (on parle de ventes diff er ees) :dans le cas de ventes manqu ees, le co ut de rupture est le manque ` a gagnerde la non fourniture dune unit e, g en eralement la marge b en eciaire.Prenons un exemple. Un journal achet e 0,90 euro par le libraire et revendu1,20 euro a un co ut de rupture decr= 1, 20 0, 90 = 0, 30 euro.En cas de ventes diff er es, le co ut de rupture ninclut pas la marge car lavente sera r ealis ee plus tard. Ce co ut de rupture est le co ut administratifdouverture dun dossier et eventuellement un co ut commercial (on fait uneristourne pour ne pas perdre le client).Prenons un exemple. Un garagiste qui na plus en stock le v ehicule d esir epar son client va lui proposer une voiture de location gratuite durant le d elaidattente pour ne pas perdre le client. Le co ut de rupture correspond ici ` a laprise en charge de la location de la voiture par le garage.En cas de demande interne, on ne parle plus de stock de distribution mais biende stock de fabrication. Dans ce cas, la rupture entrane un ch omage techniquedes postes en aval. Le co ut de rupture correspond au co ut nancier du ch omagetechnique (voir ` a ce propos, lexercice 3.1).3.3.3 Les co uts de commandeAnouveau, ilfauticidistinguerlecasdune demande interneetceluidunedemande externe :Encas de stockde fabrication, le co ut de commande est le co ut de lancementde la production. Il sagit du r eglage des machines, etc . . . Normalement,ce co ut est ind ependant de la quantit e fabriqu ee.En cas de stock dapprovisionnement, le co ut de commande est le co utadministratif de gestion de la commande : etablissement dun bordereau,contr ole de livraison, liquidation comptable,. . . . Normalement, ce co ut est egalement ind ependant de la quantit e command ee.40 Chapitre3. Lagestioncalendairedestock3.4 Gestion calendaire de stock ` a rotation nullePour rappel, on se trouve dans le cas dun stock ` a rotation nulle lorsquil ny apas de report possible des invendus aux p eriodes suivantes.On va ici d eterminer le niveau initial du stock S, qui est donc ici la variablede commande. En effet, la p eriode de r evision calendaire, cest-` a-dire lintervalleentre deux approvisionnements, not eTest g en eralement x e par la nature delapprovisionnement. Par exemple, un p atissier met en fabrication des g ateauxchaque jour. Le libraire commande des journaux chaque jour, des p eriodiqueschaque semaine ou chaque mois.Nous allons illustrer les choses sur lexemple du p atissier tir e de Giard [4]qui est un exemple o` u la demande suit une loi de probabilit e discr` ete. Supposonsun co ut de fabrication de 25 euro lunit e et un prix de vente de 60 euro lunit e.Supposons que la demande quotidienne de ce g ateau soit de 2,5 en moyenne etsupposons que la demande, que nous noteronsX, suive une loi de Poisson. Lex 0 1 2 3 4P(X= x) 0, 0821 0, 2052 0, 2565 0, 2138 0, 1336x 5 6 7 8 9P(X= x) 0, 0668 0, 0278 0, 0099 0, 0031 0, 0009Tableau 3.1: Distribution de la loi de Poisson.tableau 3.1 reprend la distribution de probabilit e du nombre X de clients par jourpour ce produit. Dans ce tableau, x indique une valeur possible de la demande etP(X= x) indique la probabilit e doccurrence de cette valeur. Ainsi on a 8,21 %de chance dobserver aucun client un jour donn e. Les invendus sont donn es.La question que se pose le p atissier est la suivante : combien mettre de g ateauxen fabrication chaque jour pour maximiser son b en ece ?Le co ut de possession, cp, li e ` a linvendu en n de journ ee est 25 euro, cest-` a-dire le co ut de production. Tandis que le co ut de rupture, cr, li e ` a une ventemanqu ee est egal ` a la marge, cest-` a-dire :cr= 60 25 = 35 euros.On doit d eterminer S, le stock initial, de mani` ere ` a minimiser :C(S) = cpIp(S) +crIr(S) = 25Ip(S) + 35Ir(S).avec Ip(S), le stock moyen r esiduel en n de journ ee et Ir(S), nombre moyen deruptures sur la journ ee.Section3.4. Gestioncalendairedestock` arotationnulle 41Avant de voir comment d eterminer, en g en eral, le stock initial Squi mi-nimiseleco utmoyenC(S), voyonssurlexemplecommentonpeutcalculernum eriquement ce minimum.Nous allons dabord calculer Ir(S), le nombre moyen de ruptures. Au tableau3.2, on calcule explicitement le nombre de ruptures en fonction du stock initial(S) et de la demande observ ee (x) : bien evidemment, ce nombre de rupturesest la partie positive de (x S). Pour calculer le nombre moyen de ruptures, ilsuft, pour chaque valeur de S de faire la moyenne pond er ee de ce nombre par laprobabilit e dobserver x. Ceci est fait en derni` ere ligne du tableau 3.2.Calcul du nombre de ruptures :(x S)+x P(X= x) S= 1 S= 2 S= 3 S= 4 S= 5 S= 60 0, 0821 0 0 0 0 0 01 0, 2052 0 0 0 0 0 02 0, 2565 1 0 0 0 0 03 0, 2138 2 1 0 0 0 04 0, 1336 3 2 1 0 0 05 0, 0668 4 3 2 1 0 06 0, 0278 5 4 3 2 1 07 0, 0099 6 5 4 3 2 18 0, 0031 7 6 5 4 3 29 0, 0009 8 7 6 5 4 3Ir(S) 1, 579 0, 867 0, 411 0, 169 0, 061 0, 019Tableau 3.2: Calcul du nombre moyen de ruptures.Nous allons ensuite calculer Ip(S), le stock moyen poss ed e. Au tableau 3.3,on calcule explicitement le stock poss ed e en fonction du stock initial (S) et dela demande observ ee (x) : bien evidemment, ce stock nal poss ed e est la partiepositive de (S x). Pour calculer le stock moyen poss ed e, il suft, pour chaquevaleur de S de faire la moyenne pond er ee de ce nombre par la probabilit e dobserverx. Ceci est fait en derni` ere ligne du tableau 3.3.Enn, nous calculons le co ut moyen de possession du stock en appliquant laformule suivante :C(S) = 35Ir(S) + 25Ip(S)Ceci est fait au tableau 3.4. On constate (voir gure 3.1) que le co ut minimum estobtenu pourS= 3.42 Chapitre3. LagestioncalendairedestockCalcul du stock r esiduel :(S x)+x P(X= x) S= 1 S= 2 S= 3 S= 4 S= 5 S= 60 0, 0821 1 2 3 4 5 61 0, 2052 0 1 2 3 4 52 0, 2565 0 0 1 2 3 43 0, 2138 0 0 0 1 2 34 0, 1336 0 0 0 0 1 25 0, 0668 0 0 0 0 0 16 0, 0278 0 0 0 0 0 07 0, 0099 0 0 0 0 0 08 0, 0031 0 0 0 0 0 09 0, 0009 0 0 0 0 0 0Ip(S) 0, 0821 0, 3694 0, 9132 1, 6708 2, 562 3, 52Tableau 3.3: Calcul du stock moyen poss ed e.Calcul du co ut du stockS 1 2 3 4 5 6C(S) 57, 33 39, 58 37, 22 47, 69 66, 17 88, 66Tableau 3.4: Calcul du co ut moyen de possession du stock.0204060801000 1 2 3 = S4 5 6 SC(S)Figure 3.1:Evolution du co ut moyen de possession du stock.Section3.4. Gestioncalendairedestock` arotationnulle 43En cas de co ut convexe (on peut v erier que le co ut est bien une fonctionconvexe de S), le stock optimal S est celui pour lequel le co ut de gestion C(S)est inf erieur ` a celui des stocks imm ediatement inf erieur ou sup erieur :___C(S) C(S + 1)C(S) C(S1)ou encore___C(S + 1) C(S) 0C(S) C(S1) 0(3.1)Remarquez que les conditions (3.1) sont l equivalent pour une fonction continuede dire que la d eriv ee premi` ere doit etre n egative avant S et positive apr` es S. Onva donc etudier l evolution de la diff erence de co ut de stocks successifs :C(S + 1) C(S).L etude de C(S +1) C(S) passe par celle de Ir(S +1) Ir(S), car, commenous allons le voir, on peut exprimer cette variation de co ut en fonction de la seulevariation de rupture moyenne. On va donc etudier Ir(S + 1) Ir(S). Calculons,par exemple, la rupture moyenne Ir(S=4) associ ee au stock initial S=4. Ondoit donc calculer lesp erance math ematique deX 4 pour des valeurs deXsup erieures ` a 4 :Ir(S= 4) =

x=5(x 4)P(X= x)Calculons, de m eme, la rupture moyenne Ir(S= 5) associ ee austockinitial S= 5 :Ir(S= 5) =

x=6(x 5)P(X= x)En g en eral :Ir(S) =

x=S+1(x S)P(X= x)Int eressons nous maintenant ` a la diff erence de ces ruptures moyennes pour deuxstocks initiaux cons ecutifs :Ir(S= 4) Ir(S= 5) =

x=5(x 4)P(X= x)

x=6(x 5)P(X= x)=

x=5(x 4)P(X= x)

x=5(x 5)P(X= x)=

x=51 P(X= x)= P(X> 4)44 Chapitre3. LagestioncalendairedestockOn en conclut que la diminution de rupture moyenne Ir(S) occasionn ee parune augmentation dune unit e du stock ` a partir de S est egale ` a la probabilit e quela demande soit strictement sup erieure ou egale au stock initial S :Ir(S + 1) Ir(S) = P(X> S)(3.2)Il est facile de montrer que ceci est vrai quelle que soit la forme la distribution deprobabilit e discr` ete.Les tableaux de lannexe B donne le calcul de P(X> x) en fonction de , lavaleur du param` etre de la loi de Poisson.Comme annonc e plus haut, il est possible de ramener la fonction de co ut commeune fonction de la seule variable d etatIr(S). Pour cela, nous allons etablir larelation entre Ir(S) et Ip(S).Le stock moyen sur lequel porte le co ut de possession est le stock moyenobserv e en n de p eriode qui correspond donc ` a linvendu. On observera un stockr esiduel si la demande observ ee x est inf erieure ` a S, le stock initial. Son niveaumoyen est calcul e par lesp erance math ematique suivante :Ip(S) =S1

x=0(S x)P(X= x) =S

x=0(S x)P(X= x)=

x=0(S x)P(X= x)

x=S+1(S x)P(X= x)= S

x=0P(X= x)

x=0xP(X= x) +

x=S+1(x S)P(X= x)= S X +Ir(S)o` uX note la moyenne de la demande X. Do` u la relation entre Ip et Ir :Ip(S) = S X +Ir(S)(3.3)qui peut sinterpr eter en disant que le stock moyen r esiduel Ip(S) est egal au stockde d epart S diminu e de la demande moyenne satisfaite ( X Ir(S)).La cons equence de la relation (3.3) est que lon peut exprimer le co ut totalC(S) en fonction du seul co ut de rupture Ir :C(S) = crIr(S) +cpIp(S) = crIr(S) +cp_S X +Ir(S)_Do` u lexpression de C(S) :C(S) = cp(S X) + (cr +cp)Ir(S) (3.4)Section3.4. Gestioncalendairedestock` arotationnulle 45Revenons maintenant au probl` eme de la d etermination de la solution opti-male, cest-` a-dire au stock initial S qui minimise :C(S) = cp(S X) + (cr +cp)Ir(S)On a donc que :C(S + 1) C(S) = cp(S + 1 X) + (cr +cp)Ir(S + 1)cp(S X) (cr +cp)Ir(S)= cp + (cr +cp)(Ir(S + 1) Ir(S))Compte tenu de la relation (3.2) :C(S + 1) C(S) = cp(cr +cp)P(X> S)Les conditions doptimalit e (3.1) deviennent ici :___cp(cp +cr)P(X> S) 0cp(cp +cr)P(X> S1) 0ou encore S optimal si :P(X> S) cpcp +cr P(X> S1)(3.5)Appliquons ceci au cas de lexemple :cpcp +cr=2525 + 35= 0, 417En consultant le tableau donnant P(X> S) (cfr Annexe B), on trouve :P(X> 3) = 0, 2424 0, 417 P(X> 2) = 0, 4562Do` uS= 3.On en conclut quil est optimal de produire chaque matin 3 g ateaux, soit la solutiond ej` a d etermin ee num eriquement.46 Chapitre3. Lagestioncalendairedestock3.5 Cas dune loi de demande continueNous allons egalement illustrer ce cas sur un exemple egalement tir e de Giard [4].Consid erons un marchand de journaux qui vent un quotidien ` a 3,5 euro lunit e, quilui-m eme lacqui` ere ` a 2,8 euro aupr` es de son grossiste qui lui reprend les invendusau prix de 2,6 euro lunit e.Le co ut de rupture, cr, est li e ` a linvendu et vaut donc la marge b en eciaire :cr= 3, 5 2, 8 = 0, 7 eurotandis que le co ut de possession, cp, vaut la perte enregistr ee par invendu, cest-` a-direcp= 2, 8 2, 6 = 0, 2 euro.On suppose que la demande quotidienne suit approximativement une loi nor-male de moyenneX=300 et d ecart type=20. La question qui se poseest la suivante : quel est le nombre dexemplaires ` a commander S de mani` ere ` aminimiser le co ut de gestion :C(S) = cpIp(S) +crIr(S)Le co ut de gestion s ecrit dans le cas dune loi continue de la mani` ere suivante :C(S) = cp_Sx=0(S x)f(x)dx +cr_x=S(x S)f(x)dxLa condition doptimalit e s ecrit dans le cas dune loi continue :C

(S) = 0Comme dans le cas discret, on peut ramener ce co ut ` a une fonction du seulnombre moyen de ruptures. En effet, la relation (3.3) entre Ir(S) et Ip(S) etabliedans le cas discret reste valable :Ip(S) =_S0(S x)f(x)dx=_0(S x)f(x)dx _S(S x)f(x)dx= S X +_S(x S)f(x)dx= S X +Ir(S)On en d eduit ` a nouveau lexpression de C(S) en fonction du seul Ir(S) :C(S) = cp(S X) + (cp +cr)Ir(S)Section3.5. Casduneloidedemandecontinue 47Il faut maintenant etudier la d eriv ee premi` ere de Ir(S). Par application de laformule de Leibnitz (cfr Giard [4]), on d emontre le r esultat suivant :dIr(S)dS= _Sf(x)dx = P(X> S), (3.6)cest-` a-dire exactement le m eme r esultat analytique que la relation (3.2) etabliedans le cas discret.On peut maintenant passer ` a la d etermination de la solution optimale. Ondoit donc d eterminer le S qui minimise :C(S) = cp(S X) + (cr +cp)Ir(S)On calcule la d eriv ee de C(S) en utilisant la relation (3.6) :dC(S)dS= cp(cr +cp)P(X> S)On annule la d eriv ee. Do` u lon tire :S optimal si P(X> S) =cpcr +cp(3.7)Cet optimum est un minimum car la d eriv ee seconde deC(S) est positive. Eneffet, la d eriv ee de P(X> S) par rapport ` a S est clairement n egative.Appliquons ceci au cas de lexemple :P(X> S) =cpcr +cp=0, 20, 7 + 0, 2= 0, 2222Comme on ne dispose que de la table de la normale r eduite, il faut r eduire lavariable al eatoire X en lui retranchant sa moyenne et en la divisant par son ecarttype. On obtient :P_X >S30020_ = 0, 2222Par lecture dans la table de la normale r eduite, on d etermine :tS=S30020= 0, 765Do` u nalement :S= 315, 3 315.Lapprovisionnement p eriodique optimal est donc de S= 315.Avant de passer au cas de stocks` a rotation non nulle, examinons quelquesindicateurs que lon peut d eduire de la solution optimale.48 Chapitre3. Lagestioncalendairedestock3.6 Les cons equences economiques de la solution optimaleLa rupture de stockDans le cas (discret) de la production de g ateau, le calcul de Ir(s) seffectue commesuit :Ir(S) =

x>S(x S)P(X= x)=

x>SxP(X= x) S

x>SP(X= x)Do` u nalement :Ir(S) =

x>SxP(X= x) SP(x > S)Le premier terme correspond ` a un calcul tronqu e de la moyenne. Pour la distribu-tion de Poisson de param` etre , on montre que :

x>SxP(X= x) = P(X> S 1)Do` u lon tire nalement :Ir(S) = P(X> S 1) SP(X> S)(3.8)Ce qui nous donne dans le cas de lexemple :Ir(S= 3) = 2, 5P(X> 2) 3P(X> 3)= 2, 5 0, 4562 3 0, 2424= 0, 4133.Dans le cas de la vente de journaux (loi de demande continue), le calcul de Ir(S)seffectue par lint egrale suivante :Ir(S) =_S(x S)f(x)dx=_Sxf(x)dx S_Sf(x)dxDo` u lon tireIr(S) =_Sxf(x)dx SP(x > S)Section3.6. Lesconsequences economiquesdelasolutionoptimale 49Le premier terme correspond ` a nouveau ` a un calcul tronqu e de la moyenne. Onpeut montrer que si X suit une distribution normale N(, ), on obtient la formulesuivante :Ir(S) = [f(tS) tSP(t > tS)] = g(tS)avec :tS=S Xet f(tS) =et2S/22Appliquons ceci aux donn ees num eriques de lexemple pour lequelts=315 30020= 0, 75.La table B.3 donne directement :g(tS= 0, 75) = 0, 1312Lapplication de la formule donne donc :Ir(S) = 20 0, 1312 = 2, 624.Le stock moyen poss ed eLe stock moyen poss ed e,Ip(S), correspond dans le cas de stock ` a rotation nulleau stock r esiduel moyen. Cet indicateur sobtient ` a partir de la rupture moyenneaussi bien dans le cas discret que dans le cas continu par la relation (3.3) rappel eeci-dessous :Ip(S) = S X +Ir(S)Pour le p atissier, on aura donc :Ip(S= 3) = (3 2, 5) + 0, 413 = 0, 9133 g ateaux.Pour le marchand de journaux, on aura :Ip(S= 315) = (315 300) + 2, 624 = 17, 624 journaux.Remarquez que, dans les deux cas, le stock r esiduel se calcule comme le stockinitial diminu e de la demande satisfaite. :Ip(S) = S _ X Ir(S)_.50 Chapitre3. LagestioncalendairedestockLe co ut moyenLe co ut moyen C(S) peut etre calcul e par la relation suivante :C(S) = crIr(S) +cpIp(S)Pour lexemple du p atissier, on obtient :C(S) = 35 0, 4133 + 25 0, 9133 = 14, 46 + 22, 83 = 37, 30 euros.Pour lexemple du marchand de journaux, on obtient :C(S) = 0, 7 2, 624 + 0, 2 17, 624 = 5, 36 euros.La marge nette moyenneLa marge nette moyenne, not ee B(S), est egale au produit de la marge unitaire,mu, par la demande moyenne, diminu e du co ut de stockage :B(S) = muX C(S) (3.9)Donnons quelques explications sur cette formule. Deux cas sont possibles quantaux ventes manqu ees (aux ruptures de ventes) :Soit les ventes manqu ees sont perdues, et dans ce cas, le co ut de rupture estla marge b en eciaire. La formule (3.9) devient dans ce cas :B(S) = crX crIr(S) cpIp(S)= cr( X Ir(S)) cpIp(S)Le b en ece net est donc la marge b en eciaire sur les ventes r ealis ees moinsle co ut des invendus.Soit les ventes manqu ees sont diff er ees, et dans ce cas, la marge b en eciairesera r ealis ee sur lensemble de la demande exprim eeX, ce qui justie di-rectement la formule (3.9) .Lapplication de cette relation ` a lexemple num erique du p atissier donne :B(S) = muX C(S) = 35 2, 5 37, 30 = 50, 20 euros.tandis que pour le marchand de journaux, elle donne :B(S) = muX C(S) = 0, 7 300 5, 36 = 204, 64 euros.Nous allons maintenant passer au cas de stock ` a rotation non nulle.Section3.7. Casdestocks` arotationnonnulle 513.7 Cas de stocks ` a rotation non nullePour rappel, on parle de stocks ` a rotation non nulle lorsque les invendus dunep eriode seront vendus aux p eriodes suivantes. Cest de loin le cas le plus r epandu.La variable de commande du syst` eme est ici S, le niveau de recompl` etement,cest-` a-dire le niveau du stock que lon cherche ` a retrouver p eriodiquement. Re-marquons une diff erence fondamentale avec le cas de stocks ` a rotation nulle. Eneffet, la commande ` a passer pour un approvisionnement en d ebut de p eriode nestplus xe. Deux cas sont possibles :Il reste un stock r esiduel positif : dans ce cas, on commande la diff erenceentre S et le stock r esiduel;Le stock r esiduel est nul : danscecas, oncommandeSaugment edesdemandes non satisfaites de la p eriode pr ec edente qui ont pu etre report ees.Pour illustrer le processus de d etermination deS, le niveau optimal de re-compl` etement, cest-` a-dire celui qui minimise le co ut :C(S) = cpIp(S) +crIr(S),nous consid erons lexemple suivant de la ventes dampoules d eclairage tir e deGiard [4].On suppose que la demande hebdomadaire dampoules de 60 Watt suit une loinormale de moyenne 300 et d ecart type 20. Le r eapprovisionnement se fait end ebut de semaine chez le grossiste au prix dachat de 3 euro lunit e. Les ampoulessont vendues au prix de 3,5 euro lunit e. On suppose un taux dopportunit e annuelde 20 %.Do` u un co ut de possession annuel par ampoule en stock de :3 0, 2 = 0, 6 euro.Pour arriver ` a un co ut de possession hebdomadaire, il faut tenir compte du nombrede semaines sur lesquelles la demande sexprime. Ici, on suppose le magasinouvert 52 semaines par an :cp= 0, 6/52 = 0, 01154 euro.Remarquons qu` a la diff erence du cas de stock ` a rotation nulle, la perte li ee ` a uneampoule en stock nest plus son prix dachat mais la perte nanci` ere due au gel enstock de son prix dachat.52 Chapitre3. LagestioncalendairedestockCalculons maintenant le co ut unitaire de rupture : il correspond ` a la marge nonr ealis ee par ampoule :cr= 3, 5 euros 3 euros = 0, 5 euro.La question qui se pose est la suivante : quel est le niveau de recompl` etementoptimal S ?Pour le calcul du stock moyen poss ed e, il faudra distinguer deux cas de gure :1. le cas o` u la demande observ ee est sup erieure au niveau de recompl` etement;2. le cas o` u la demande observ ee est inf erieure au niveau de recompl` etement.Supposons, pour xer les id ees, quun niveau de recompl` etement de 320 ait et e choisi.1. Cas dune demande inf erieure ` a S :dans ce cas, il ny a pas de rupturede stock. Cest lexemple dune demande observ ee de 310. Le stock de nde p eriode vaut donc :320 310 = 10 ampoules.En ce qui concerne l evolution du stock, on peut supposer que la demandede 310 ampoules est egalement r epartie sur toute la semaine et on peut faireune interpolation lin eaire comme ` a la gure 3.2S= 320x = 310T = 5 joursS x =10Figure 3.2:Evolution du stock.On en d eduit le stock moyen poss ed e :Ip(S) =320 + 102=S + (S x)2On en conclut donc que :Si x < S: Ip(S) =S + (S x)2(3.10)Section3.7. Casdestocks` arotationnonnulle 532. Cas dune demande sup erieure ` a S : dans ce cas, on observe une rupturede stock. Cest le cas, par exemple, dune demande observ ee de 350. Onva maintenant d eterminer ` a partir de quand le stock est nul. La demande,comme dans le cas sans rupture, est suppos ee uniform ement r epartie surla semaine de cinq jours (cfr gure 3.3). La demande journali` ere est doncS= 320x = 350T = 5 joursx S= 30s= 0approximationFigure 3.3:Evolution du stock en cas de rupture.350/5 =70 =x/Tampoules par jour. Et l evolution du stock moyenposs ed e peut etre obtenue par :S(t) = 320 70t.Ce stock est nul pour :t =32070= 4, 57 jours =Sx/TLe stock moyen poss ed e se calcule comme :Ip(S) =32024, 575+ 00, 435=3202320350=S2SxEn g en eral :Si x > S: Ip(S) =S2SxCette formule donne une solution analytique au probl` eme de la d eterminationdu niveau optimal de recompl` etement S assez difcile ` a mettre en uvre.Une hypoth` ese simplicatrice, ` a savoir que la rupture se produit en n dep eriode (voir gure 3.3) permet deffectuer des calculs simpli es. Sous cettehypoth` ese, le stock varie entre S et 0 et donc :Si x > S: Ip(S) =S2(3.11)54 Chapitre3. Lagestioncalendairedestock3.7.1 D etermination de la solution optimaleSous cette hypoth` ese simplicatrice, nous allons pouvoir d eterminer le niveau derecompl` etement optimal. Le co ut de gestion s ecrit :C(S) = cpIp(S) +crIr(S)Pour le calcul du stock moyen poss ed eIp(S), il faut dissocier le cas o` u lademande x est inf erieure ` a S de celui o` u elle est sup erieure ` a S :Ip(S) =_S0(S2+S x2)f(x)dx +S2_Sf(x)dxTandis que le nombre moyende ruptures, Ir(S), peut se calculer comme lint egrale :Ir(S) =_S(x S)f(x)dxOn peut maintenant tirer lexpression de Ip(S) en fonction de Ir(S) :Ip(S) =_S0(S2+S x2)f(x)dx +S2_Sf(x)dx=S2_0f(x)dx +12_S0(S x)f(x)dx=S2+12__0(S x)f(x)dx _S(S x)f(x)dx_=S2+S2 X2+Ir(S)2On obtient donc la relation suivante :Ip(S) = S X2+Ir(S)2(3.12)On peut donc exprimer C(S) en fonction du seul Ir(S) :C(S) = cpIp(S) +crIr(S) = cp[S X2+Ir(S)2] +crIr(S)Do` u nalement :C(S) = cp(S X2 ) + (cr +cp2 )Ir(S)Dans le cas dune loi de demande continue, il suft dannuler la d eriv ee premi` eredC(S)dS= cp + (cr +cp2 )dIr(S)dS= cp + (cr +cp2 ) [P(X> S)] = 0Section3.7. Casdestocks` arotationnonnulle 55do` uP(X> S) =cpcr +cp2(3.13)Appliquons ceci aux donn ees num eriques de notre exemple de ventes dam-poules electriques. Par la relation (3.13) :P(X> S) =0, 011540, 5 + 0, 01154/2= 2, 28%La lecture dans la table normale r eduite nous donne :tS= 2 =S30020Do` u, le niveau optimal de recompl` etement :S= 340.Tout comme dans le cas de stock ` a rotation nulle, on peut d eduire les principauxindicateurs de la solution optimale choisie :Le nombre moyen de rupture se calcule par la formule suivante :Ir(S) = g(tS)= 20 0, 0084 = 0, 168Le stock moyen poss ed e se calcule ` a partir de la formuleIp(S) = SX2+Ir(S)2= 340 3002+0, 1682= 190, 08Le co ut moyen de stockage se calcule commeC(S) = cpIp(S) +crIr(S)= 0, 01154 190, 08 + 0, 5 0, 168 = 2, 28 euros.La marge hebdomadaire moyenne nette se calcule comme :B(S) = muX C(S)= 0, 5 300 2, 28 = 147, 72 euros.56 Chapitre3. Lagestioncalendairedestock3.7.2 Cas dune loi de demande discr` eteTerminons ce chapitre en voyant les formules de calcul dans le cas dune loi dedemande discr` ete pour la gestion de stock ` a rotation non nulle.Le stock moyen poss ed e se calcule dans le cas discret comme suit :Ip(S) =S1

0(S x2)P(X= x) +

SS2P(X= x)=S1

0(S x2)P(X= x) +S2P(X S)Exprimons ce stock moyen poss ed e en fonction du nombre moyen de rupture :Ip(S) =S1

0(S2+S2 x2)P(X= x) +S2

SP(X= x)=12[S +S

0(S x)P(X= x)]=S2+12

0(S x)P(X= x) 12

S(S x)P(X= x)On obtient donc la relation suivante entre Ip et Ir :Ip(S) = S X2+Ir(S)2(3.14)cest-` a-dire exactement la m eme formule que dans le cas continu.On peut donc exprimer C(S) en fonction du seul Ir(S) :C(S) = cpIp(S) +crIr(S)= cp[S X2+Ir(S)2] +crIr(S)= cp(S X2 ) + (cr +cp2 )Ir(S)Par des calculs analogues ` a ceux du cas de la rotation nulle, on d etermine nalementle niveau optimal de recompl` etement S par la formule suivante :P(X> S) cpcr +cp2 P(X> S1) (3.15)Il est ` a noter que si la loi de demande est du type Poisson,Ir(S), le nombremoyen de demandes non satisfaites, se calcule par la m eme formule que pr ec e-demment ` a savoir :Ir(S) = P(X> S 1) SP(X> S)Section3.8. Exercices 573.8 Exercices3.1. Achat de pi` eces de rechange. Ling enieur en chef dune usine passe lacommande dun mod` ele de pi` eces d etach ees dune machine pour laquelleil craint un approvisionnement difcile. Les cons equences dun arr et de lamachine ` a cause dun retard de livraison de la pi` ece sont particuli` erementon ereuses : le co ut dun arr et de la production pour manque de pi` ece est de25.000 euros. En achetant cette pi` ece en m eme temps que la machine, leco ut unitaire dapprovisionnement est de 1.000 euros. Lexp erience pass eede ling enieur lincite ` a estimer la distribution des pannes sur la dur ee de viedu mat eriel, par une loi de Poisson de param` etre 1. La possession de pi` ecesau del` a de la dur ee de vie de la machine est sans valeur vu lobsolescencetechnique rapide de la machine.(a) Quelle est la politique optimale ` a suivre ?(b) Quel est le co ut nancier de cette politique de commande de pi` eces derechange ?3.2. Ventes dhebdomadaires. Un libraire commande r eguli` erement un hebdo-madaire aupr` es de son grossiste. Son co ut dachat est de 12 euros et son prixde vente 16 euros. On suppose que les ventes hebdomadaires suivent uneloi normale de moyenne 30 et d ecart type 5.(a) Quel est le nombre dexemplaires ` a commander aupr` es de son grossistechaque semaine si le co ut de reprise est de 10 euros ?(b) Quelle est sa marge nette moyenne ?3.3. Ventes de calculatrices. Un etablissement sp ecialis e dans la distribution decalculatrices electroniques a un produit vendu couramment tout au long delann ee. Il sagit dune calculatrice scientique qui est achet ee 45 euros etrevendue 55 euros. Le taux dopportunit e utilis e est de 20 %. La demandehebdomadaire de ce mod` ele est denviron 5 calculatrices, et il y a tout lieude penser que le mod` ele de Poisson est utilisable. La soci et e est ouverte52 semaines par an, les d elais dapprovisionnement sont n egligeables, lesdemandes non satisfaites sont consid er ees comme perdues. La p eriode entredeux r eapprovisionnements du stock est de deux semaines.(a) On demande de calculer le niveau optimal de recompl` etement du stock.(b) On calculera les cons equences de cette politique que sont le nombremoyen de ventes manqu ees et le stock moyen poss ed e.(c) On en d eduira la marge nette moyenne.58 Chapitre3. Lagestioncalendairedestock3.4. Ventes de r eveils electroniques. La soci et e commercialise egalement unr eveil electronique qui connat une grande popularit e. La demande sur unesemaine suit approximativement une loi normale de moyenne 100 et d ecart-type 30. La m eme politique de gestion calendaire est suivie. Les donn eesde co ut sont les m emes que celles des calculatrices. La p eriode entre deuxr eapprovisionnements du stock est egalement de deux semaines.(a) Calculez les param` etres de la loi de demande durant la p eriode com-prise entre deux r eapprovisionnements du stock. Pour rappel, si onadditionne des variables al eatoires normales ind ependantes, on obtientune variable normale dont la moyenne et la variance sont la sommedes moyennes et des variances.(b) Calculez le niveau de recompl` etement optimal.(c) Calculez les cons equences de cette politique que sont le nombre moyende ventes manqu ees et le stock moyen poss ed e.(d) En d eduire la marge nette moyenne.3.5. Ventes de sapin de No el. Un producteur de sapin de no el doit d eciderde la quantit e ` a mettre en production chaque ann ee. Les ventes annuellesconcentr ees sur la premi` ere quinzaine de d ecembre suivent une loi normalede moyenne 30.000 et d ecart type 200. Le co ut de production est de 10 euroslunit e et le prix de vente de 24 euros. Le producteur travaille uniquement surcommande de sorte quil ne coupe que les arbres demand es lann ee courante.Quelle quantit e doit-il mettre en production chaque ann ee pour minimiserson co ut de gestion ? On suppose un taux dopportunit e de 10 % lan.3.6. Ventes de eurs. Un epicier va chercher deux fois par semaine des eurscoup ees au march e en gros de sa ville. En effet, au del` a de trois jours, ilne peut plus les revendre. Son co ut dachat dune botte de eurs est de 50euros et son prix de vente 75 euros. On suppose que la demande de bottes deeurs suit une loi de Poisson. En moyenne, 30 clients se pr esentent chaquesemaine pour ce produit.(a) Quel est le nombre de bottes de eurs coup ees ` a aller chercher le lundimatin et le jeudi matin ?(b) Combien de clients en moyenne sortent de son magasin par semainesans eurs faute de stock sufsant ?(c) Quel est le nombre moyen de bottes de eurs jet ees par semaine ?Chapitre 4La gestion par point de commande4.1 IntroductionLa gestion calendaire se caract erise, comme nous lavons vu au chapitre 3 par :des commandes ` a intervalles xes dont la p eriodicit e est not ee T;un niveau de commande variable : qui vaut la diff erence entre S, le niveaude recompl` etement et R, le stock r esiduel.La gestion par point de commande se caract erise, elle, au contraire par :un montant de commande constant : cette quantit e economique de com-mande sera not ee q;une p eriodicit e de commande variable (lorsquon est en univers al eatoire) :on commande lorsque le stock passe en dessous du point de commande, s.On examinera successivement les deux cas de gures que sont :1. La gestion (q, s) en univers certain. Comme, dans ce cas, la demande estcertaine, on d etermine s, le point de commande, sufsamment grand and eviter toute rupture de stock : il ny a donc pas de co ut de rupture. Lavariable de d ecision q, la valeur constante de la commande, sera d etermin eede mani` ere ` a minimiser le co ut de gestion qui ne comprend que deux termes :C(q) = ccIc(q) +cpIp(q)2. La gestion(q, s) en univers incertain. Danscecas, le co ut de ruptureintervient aussi. Les variables de d ecisionquesont q, lemontantdescommandes et s, le point de commande seront d etermin es de mani` ere` aminimiser le co ut de gestion qui comprend trois termes :C(q, s) = ccIc(q, s) +cpIp(q, s) +crIr(q, s)5960 Chapitre4. Lagestionparpointdecommande4.2 D etermination du point de commande en univers certainNous allons illustrer la d etermination de la quantit e economique de commande enunivers certain sur un exemple tir e de Giard [4] . Il sagit dun ustensile de cuisineachet e par un supermarch e au prix unitaire de 30 euro. La demande annuelle, quenous noterons D est estim ee ` a 2 400 unit es. Cette demande est consid er ee commeuniforme sur lann ee. Vu le caract` ere certain de la demande et du d elai dobtention(ici de 20 jours ouvrables), on peut eviter toute rupture dapprovisionnement enpassant commande ` a temps. On consid` ere que lann ee comporte 48 semaines de6 jours ouvrables, soit 288 jours. Le co ut de passation dune commande de 300euro et