UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORCARRERA DE INGENIERIA CIVILFACULTAD DE INGENIERA, CIENCIAS, FSICA Y MATEMTICAASIGNATURA: ASIGNATURA: Resistencia de Materiales I Resistencia de Materiales IPROFESOR: PROFESOR: Ing. Morales Ing. MoralesPERODO ACADMICO: PERODO ACADMICO: A!ril "#$% & Agosto "#$% A!ril "#$% & Agosto "#$%INFORME DE INVESTIGACIN INFORME DE INVESTIGACINTTU'O: Circ(lo de Mo)r TTU'O: Circ(lo de Mo)rFEC*A DE ENTREGA:$+ de Agosto delFEC*A DE ENTREGA:$+ de Agosto del "#$% "#$%ALUMNO:ALUMNO: Sigc)a Ca,-(.s Fredd/ Da0idSigc)a Ca,-(.s Fredd/ Da0id 11.- Circulo d Mo!r El Crculo de Mohr es una tcnica usada en ingeniera y geofsica para representar grficamente un tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia deformaciones y tensiones adaptando los mismos a las caractersticas de una circunferencia (radio centro entre otros)! "am#in es posi#le el clculo del esfuer$o cortante mximo a#soluto y la deformaci%n mxima a#soluta!Este mtodo fue desarrollado hacia 1&&2 por el ingeniero ci'il alemn Christian (tto Mohr (1&3)*1+1&)!".- Circu#$r#ci% d Mo!r &%r% '$ur(o'2.1- Caso bidimensionalEn dos dimensiones la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensi%n mxima y mnima a partir de dos mediciones de la tensi%n normal y tangencial so#re dos ngulos ,ue forman +-./Medida 1)x,*Medida 2)y, *0a de hacer notar ,ue el e1e 'ertical se encuentra in'ertido por lo ,ue esfuer$os positi'os 'an hacia a#a1o y esfuer$os negati'os se u#ican en la parte superior!2sando e1es rectangulares donde el e1e hori$ontal representa la tensi%n normal () y el e1e 'ertical representa la tensi%n cortante o tangencial () para cada uno de 2los planos anteriores! 3os 'alores de la circunferencia ,uedan representados de la siguiente manera/ Centro del crculo de Mohr/C:=med,0=(x+y2,0) 4adio de la circunferencia de Mohr/r :=(xy2)2+rxy23as tensiones mximas y mnimas 'ienen dados en trminos de esas magnitudes simplemente por/max=med+r max=med+rEstos 'alores se pueden o#tener tam#in calculando los 'alores propios del tensor tensi%n ,ue en este caso 'iene dado por/T|x , y=[x y]2.2.- Caso tridimensionalEl caso del estado tensional de un punto 5 de un s%lido tridimensional es ms complicado ya ,ue matemticamente se representa por una matri$ de 3x3 para la ,ue existen 3 'alores propios no necesariamente diferentes!3T|x , y , z=[ xxyxzyxyyzxz yzz]En el caso general las tensiones normal () y tangencial () medidas so#re cual,uier plano ,ue pase por el punto 5 representadas en el diagrama (

) caen siempre dentro de una regi%n delimitada por 3 crculos! Esto es ms comple1o ,ue el caso #idimensional donde el estado tensional caa siempre so#re una 6nica circunferencia! Cada uno de las 3 circunferencias ,ue delimitan la regi%n de posi#les pares (

) se conoce con el nom#re de circunferencia de Mohr!+.".- C,rculo d Mo!r &%r% l% -r%cci.# 'i/&l.El crculo de Mohr es un crculo en el ,ue las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensi%n normal y la tensi%n cortante ,ue existen en una secci%n inclinada cual,uiera de la #arra!El crculo de Mohr es una tcnica usada en ingeniera para representar grficamente un tensor simtrico y calcular con ella momentos de inercia deformaciones y tensiones adaptando los mismos a las caractersticas de un crculo (radio centro entre otros!)! "am#in es posi#le el clculo del esfuer$o cortante mximo a#soluto y la deformaci%n mxima a#soluta!El crculo de Mohrse construye de la siguiente forma/7e toman unos e1es coordenados de forma ,ue en el e1e de a#scisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes!Lo' &u#-o' r&r'#-%-i0o' d l%' -#'io#' 1u %c-2%# # " c%r%' &rdicul%r' d$i## u# di3/-ro dl c,rculo d Mo!r.8L%' -#'io#' cor-%#-' 1u %c-2%# # do' 'ccio#' &rdicul%r''o# i4u%l' 5 d '#-ido co#-r%rio.5ara di#u1ar correctamente el crculo de Mohr de#en tenerse en cuenta los siguientesdetalles/ El sentido de giro del ngulo en el crculo se corresponde con el sentido de giro del plano 9: en la realidad! El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positi'o si giran en sentido de las agu1as del relo1 alrededor del elemento diferencial y negati'o en caso contrario! El ngulo entre dos radios del crculo e,ui'ale al do#le del ngulo entre los planos reales correspondientes!6.- E'$ur(o' &ri#ci&%l'.3os esfuer$os principales son los mayores esfuer$os ,ue act6an so#re el elemento y se hallan por medio de una rotaci%n de coordenadas! 3os esfuer$os normales principales se notan como 1, 2, 3 y donde1>2>3 y en el ngulo de rotaci%n en el ,ue sedan el esfuer$o cortante es cero! El esfuer$o cortante mximo a#soluto se nota comomax y en el ngulo de rotaci%n al ,ue se da los esfuer$os normales son el promedio de los esfuer$os normales del tensor de esfuer$os!7.- 8rocdi/i#-o &%r% c%lcul%r l c,rculo d Mo!r.5ara construir un crculo de Mohr ,ue sir'a en la soluci%n de pro#lemas se usa el siguiente procedimiento/1!* 7e tra$a un par de e1es coordenadas tomando a ; como e1e de las a#scisas ya < comoe1e de las ordenadas!2!* 7e tra$an los 'alores de < y ; correspondientes a dos superficies mutuamente perpendiculares del cu#o elemental tales como las caras cd y ac de la =ig! >!28 (a) )o#teniendo dos puntos en la periferia del crculo! ?e acuerdo con la con'enci%n de signos los esfuer$os de tensi%n son positi'os y los esfuer$os de compresi%n negati'os! 3os esfuer$os cortantes ,ue tienden a hacer girar al #lo,ue en sentido de las manecillas del relo1 tales como los de las caras ac y #d se consideran negati'os!En el crculo de la =ig! >!28 (#) el punto @ con coordenadas (A ; x A 8%1=O+R O=prom1=prom+R 2=OR1=315+460=775KPa 2=315460=145 KPa#4ulo'92'=9022=tan1(ba)2'=900=902=tan1( 0460)=0'=902 =45 =02=01-EBEM53(2n tan,ue cilndrico ,ue contiene aire comprimido tiene un espesor de D mm y un radio de 2) cm! 3as tensiones en la pared del tan,ue ,ue actuan so#re un elemento girado tiene los 'alores mostrados en la figura! E Cual sera la presion del aire en el tan,ueFEBEM53(?el estado de esfuer$os mostrado en la figura 1!32 determinar/a) 3os esfuer$aGos direcciones principales y posi#les planos de falla #) El estado de esfuer$os a un angulo de =40 en direccion contraria a las manecillas del relo1/?eterminar los esfuer$os y direcciones principales del estado de fuer$as en cortante puro mostrado en la figura 1!32/Calculo del centroEBEM53(