círculo de mohr stephany.doc

8/17/2019 Círculo de Mohr stephany.doc

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Círculo de Mohr

es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico

(de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptandolos mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el

cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformacin máxima absoluta.

!ste método fue desarrollado "acia #$$2 por el ingeniero ci%il alemán &"ristian 'tto o"r

(#$3*#+#$).

Circunferencia de Mohr para esfuerzos

Caso bidimensional

ermite determinar la tensin máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensin normaly tangencial sobre dos ángulos -ue forman +/0

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geof%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/1882http://es.wikipedia.org/wiki/1882http://es.wikipedia.org/wiki/Ingeniero_civilhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alemaniahttp://es.wikipedia.org/wiki/Christian_Otto_Mohrhttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mohrs_circle.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mohr_Circle.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Geof%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/1882http://es.wikipedia.org/wiki/Ingeniero_civilhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alemaniahttp://es.wikipedia.org/wiki/Christian_Otto_Mohrhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa


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1sando ees rectangulares, donde el ee "orizontal representa la tensin normal y el ee

%ertical representa la tensin cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores.

os %alores de la circunferencia -uedan representados de la siguiente manera0

• Centro del círculo de Mohr:

• Radio de la circunferencia de Mohr:

as tensiones máxima y mínima %ienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por0

!stos %alores se pueden obtener también calculando los %alores propios del tensor tensin -ue en

este caso %iene dado por0

Caso tridimensional

!l caso del estado tensional de un punto de un slido tridimensional es más complicado ya -ue

matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la -ue existen 3 %alores propios, no

necesariamente diferentes.

!n el caso general, las tensiones normal (4) y tangencial (5), medidas sobre cual-uier plano -ue

pase por el punto , representadas en el diagrama (4,5) caen siempre dentro de una regin

delimitada por 3 círculos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3n


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Circunferencia de Mohr para momentos de inercia

ara slidos planos y casi*planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de o"r -ue se us para tensiones en dos dimensiones.

!n muc"as ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un ee -ue seencuentra inclinado, la circunferencia de o"r puede ser utilizado para obtener este %alor.

También es posible obtener los momentos de inercia principales.

!n este caso las frmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la

circunferencia de o"r para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos0

• Centro de la circunferencia:

• Radio de la circunferencia0

Envolvente de Falla

!l círculo de o"r se utiliza para representar o describir la resistencia al cortante de los

suelos, utilizando la en%ol%ente de falla o"r 6 &oulomb, lo cual e-ui%ale a -ue una

combinacin crítica de esfuerzos se "a alcanzado. os esfuerzos por encima de laen%ol%ente de falla no pueden existir.

a en%ol%ente de falla o"r * &oulomb es generalmente una línea cur%a -ue puederepresentarse en la forma0

s 7 8 b

9onde0

s 7 :esistencia al cortante

; 7 !sfuerzo normal efecti%o

8 y b 7 &onstantes

!n la práctica normal de


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!n%ol%ente de falla y círculo de o"r

9onde0

c; 7


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c. !sfuerzos totales, la cual muestra la trayectoria de las coordenadas de los esfuerzos totales

solamente.

9e estas trayectorias de esfuerzos se puede %er el comportamiento típicos de los elementos de

suelo.

MEDC!" DE #$ RESSTE"C$ $# C!RT$"TE

a determinacin precisa de las resistencias de los materiales de un talud es esencial para un

análisis de estabilidad representati%o de sus condiciones reales, aun-ue es posible en algunas

circunstancias realizar ensayos in situ, la forma más com?n de obtener los parámetros deresistencia al corte son los ensayos de laboratorio. @in embargo los %alores de la resistencia a los

cortantes determinados en ensayos de laboratorio dependen de factores, tales como la calidad de

las muestras, su tama>o y el método de ensayo.

a resistencia al cortante depende del grado de saturacin y este %aría con el tiempo.

!sta situacin dificulta la realizacin de ensayos representati%os en muestras no saturadas y

generalmente, se acostumbra trabaar con muestras saturadas.

a determinacin precisa de resistencias al cortante son esenciales para un análisis de estabilidad

de taludesA @in embargo, los %alores de la resistencia al cortante -ue se obtienen dependen demuc"os factores, especialmente de la calidad de las muestras, su tama>o y el método de análisis.

os primeros estudios sistematicos de la resistencia al corte de los suelos fueron realizados por &oulomb. !n su famosa emoria de #BB3 planteo a partir de obser%aciones reales -ue las tierras

situadas tras un muro de contencion -ue %uelca se rompen por deslizamiento a lo largo de una

superficie plana inclinada

ara e%aluar la resistencia al deslizamiento a lo largo de este plano, partio del "ec"o

experimental de -ue el deslizamiento entre dos cuerpos solidos se produce cuando la fuerza

tangencial entre ellos alcanza un %alor, Tr, proporcional a la fuerza normal, ", siendo laconstante de proporcionalidad el denominado coeficiente de rozamiento entre ambas superficies,

ur0

T% & ' ( "

or extension, &oulomb postulo -ue la resistencia al deslizamiento por unidad de superficie en

un plano en el interior del suelo, en lo -ue llamaba Ctierras recientemente remo%idasC, se debe

solo al rozamiento entre particulas, y debe ser por tanto proporcional a la presion normalactuante en dic"o plano#A el coeficiente de rozamiento lo expreso como tangente de un angulo,

-ue llamo angulo de rozamiento interno del suelo, f

!n Ctierras co"esi%asC, supuso &oulomb -ue podia "aber otro sumando de %alor constante e

independiente de dic"a presion normal, al -ue denomino co"esion, c. 8si pues, la resistencia

tangencial seg?n un plano %endria dada en el caso general por0

t & c )s * + t,f


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!n un elemento de suelo sometido a un cierto estado de tensiones, postulo o"r (#$$2)-ue se produce la plastificacion cuando en alguno de los (infinitos) planos -ue pasan por el, las

tensiones alcanzan a cumplir la relacin , a condicion de rotura resultante se conoce como

criterio de o"r*&oulomb, y se %isualiza de forma clara usando el diagrama de o"r

os puntos representati%os de los planos -ue pasan por el punto forman un recinto interior al

circulo (sD#* sD3), y exterior a los circulos (sD#*sD2) y (sD2sD3).

!s ob%io -ue los puntos representati%os de los planos pesimos, en -ue se alcance la condicin de

rotura, deben estar en el circulo exterior. or ello, el criterio de o"r*&oulomb implica -ue la

resistencia no depende de la tensin principal intermedia2, y la condicion de rotura puedeanalizarse considerando solo los planos del "az cuyo ee es sE2.

a formulacion del criterio de o"r*&oulomb en terminos de las tensiones principales se

establece imponiendo la condicion de tangencia del circulo exterior de o"r con la linea deresistencia

http://2.bp.blogspot.com/-GF_rFBRV9Lw/Tzgbv3L7mJI/AAAAAAAAAro/X0FiyK01TqU/s1600/Modelo+de+Coulomb.png


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ara obtener los parámetros de resistencia de esfuerzo cortante de rotura de un suelo se puede

realizar in situ o en laboratorio.

En laboratorio se puede obtener mediante varios ensayos como con:

•

!n sayo de corte directo.• !nsayo de corte anular.

• !nsayo triaxial.

• @onda de molinete.

E"S$-!S DE C!RTE DRECT!(

!ste tipo de ensayos se realizan en unos aparatos -ue básicamente se caracterizan por unaarmadura inferior y otra superior, entre las -ue se coloca la muestra de suelo con piedras porosas

en ambos extremos.

9e estas armaduras una es fia y la otra m%il. a muestra suele ser de seccin cuadrada, aun-ue

también puede ser circular.

!n un ensayo normal se comienza por aplicar una carga %ertical, obser%ándose las deformaciones%erticales mediante el cuadrante correspondiente. 8 continuacin se introduce un esfuerzo

"orizontal, y se %an dibuando en un diagrama las deformaciones "orizontales en abscisas y las

tensiones "orizontales de corte en ordenadas.

@eg?n las condiciones en -ue se produce el drenae de la muestra se distinguen tres tipos deensayo0

• !n el ensayo sin drenaje no se permite el drenae de la muestra ni durante la aplicacin dela carga %ertical, ni durante la aplicacin del esfuerzo cortante.

• !n el ensayo consolidado - sin drenaje se permite -ue la muestra drene durante la

aplicacin del esfuerzo %ertical, de modo -ue en el momento de aplicar el esfuerzo de corte las presiones intersticiales sean nulas, pero no durante la aplicacin del esfuerzo cortante.

• !n el ensayo con drenaje se permite el drenae de la muestra durante todo el ensayo, de

modo -ue las presiones intersticiales sean nulas durante la aplicacin del esfuerzo cortante.

!n los ensayos consolidados sin drenae y con drenae, la presin %ertical recibe el nombre de

presin de consolidacin.


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Se,.n la forma en /ue se aplica el esfuerzo horizontal% los ensayos de corte se puedenclasificar en dos ,rupos:

• !n el ensayo de tensión controlada se aplica un determinado esfuerzo "orizontal, y se %an

midiendo las deformaciones en este sentido "asta llegar a la estabilizacinA a continuacin se

aumenta la fuerza "orizontal, y así sucesi%amente, "asta -ue llega un momento en -ue las

deformaciones no se estabilizan, lo cual indica -ue se "a sobrepasado la carga de rotura.

a meor manera de aplicar un esfuerzo "orizontal es mediante un "ilo o cable metálico,unido a la armadura m%il, -ue al llegar al borde de la bancada sobre la -ue está el aparato

toma, mediante una polea, la direccin %ertical.

• !n el ensayo de deformación controlada, la armadura m%il se desplaza a una %elocidad

determinada, y se %an midiendo los esfuerzos "orizontales correspondientes mediante una

anillo dinamométrico conectado en serie con la fuerza "orizontal.

Ensayos con drena0e en el aparato de corte directo(

ara -ue las presiones intersticiales sean nulas durante todo el ensayo, la muestra de suelo debe

estar inundada si el suelo es de grano fino, pues de otro modo podrían existir tensiones capilares.@i se realiza el ensayo sobre tres muestras idénticas de un mismo suelo, con tres presiones

%erticales distintas, se puede representar en una gráfica donde en abscisas se indica la presin

normal sobre el plano "orizontal -ue separa ambas armaduras y en ordenadas la tensin de corte.

!stos puntos definen una línea llamada línea de resistencia. @i la %ariacin de las presiones deconsolidacin no es excesi%a, esta línea se puede aproximar con una recta, de acuerdo con el

criterio de rotura de &oulombA la ordenada en el origen de la recta se conoce con el nombre decohesión efectiva, cD, y el ángulo -ue forma dic"a recta con el ee de abscisas se conoce con elnombre de ángulo de rozamiento interno efectivo, FD. !stos parámetros corresponden ?nicamente

al plano ensayado.

Ensayos consolidado 1 sin drena0e y sin drena0e en el aparato de corte directo en suelossaturados(

!l aparato de corte directo no permite el control del drenae. or ello, los ensayos consolidado *sin drenae y sin drenae slo pueden realizarse en suelos saturados muy impermeables, y

operando, en la fase en la -ue se re-uiere -ue no "aya drenae, con gran rapidez para e%itar -ue

dé tiempo a -ue éste se produzca.

os resultados de un ensayo consolidacin * sin drenae se pueden representar colocando enabscisas la presin %ertical y en ordenadas la tensin "orizontal. a co"esin del plano ensayado

en el ensayo consolidado * sin drenae se designa por cu, y el ángulo de rozamiento interno por

Fcu.

or ?ltimo, en un ensayo sin drenae en una arcilla saturada se puede %er -ue la resistencia alcorte no depende de la presin %ertical, pues ésta se traduce en un incremento igual de las

presiones intersticiales


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E"S$-! TR$2$#(

!l elemento fundamental de un aparato triaxial es la célula, donde se produce la consolidacin y

rotura de la muestra de suelo.

!n un ensayo normal se comienza por aplicar una presin "idrostática 43 a la muestra por medio

del agua con -ue se rellena la cámara comprendida entre el cilindro exterior, generalmente de un plástico transparente llamado perspex, y la muestra de suelo recubierta por su membrana,

obser%ándose las deformaciones correspondientes.

!sta presin "idrostática se designa con el nombre de presin externa.

8 continuacin se introduce una carga %ertical, a tra%és de un pistn cuidadosamente austado. 8laplicar la presin externa, el pistn sube debido a la presin del agua sobre su base.

a fuerza %ertical necesaria para mo%er el pistn al contacto con el cabezal, pero sin producir

tensin en la muestra, se resta de la fuerza total %ertical. a diferencia di%idida por el área de la

muestra, es la tensin des%iadora.

a presin externa se puede aplicar mediante columnas de mercurio -ue normalmente es precisocolocar en serie para alcanzar las presiones deseadas. !l problema de los sistemas de presin

externa está en las pe-ue>as fugas de la célula o en los cambios de %olumen de ésta y sobre todo

de la muestra. !stas alteraciones tienden a ocasionar un cambio de la presin del agua. !sto se

puede solucionar con la ayuda de un muelle -ue al disminuir la carga actuante sobre él y unaele%acin de éste compensa exactamente la %ariacin.

a tensin des%iadora puede ser una compresin (ensayo de compresin o una traccin (ensayo

de extensin). !n este ?ltimo caso es necesario -ue el pistn esté unido al cabezal.

#a aplicaci3n de la tensi3n desviadora puede hacerse de dos modos:

• !n el ensayo de tensin controlada se aplica una fuerza en el pistn determinada y se %an

midiendo las deformaciones en este sentido "asta llegar a la estabilizacinA a continuacin seaumenta la carga del pistn, y así sucesi%amente "asta -ue llega un momento en -ue las

deformaciones no se estabilizan, lo cual indica -ue se "a sobrepasado la carga de rotura.

• !n el ensayo de deformacin controlada, el pistn se desplaza a una %elocidad determinada

respecto a la célula, y se %a midiendo la tensin des%iadora. a figura representa un diagrama

típico tensin des%iadora * deformacin %ertical en un ensayo de deformacin controlada de

tres muestras de arena, con diferentes grados de compactacin, bao presiones normales nomuy ele%adas.


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Tipos de pruebas tria4iales

Prueba lenta - Prueba con consolidación y con drenaje (CD)

a característica fundamental de la prueba es -ue los esfuerzos aplicados al espécimen son

efecti%os. rimeramente se aplica al suelo una presin "idrostática, manteniendo abierta la%ál%ula de comunicacin con la bureta y deando transcurrir el tiempo necesario para -ue "aya

consolidacin completa bao la presin actuante.

&uando el e-uilibrio estático interno se "aya restablecido, todas las fuerzas exteriores estarán

actuando sobre la fase slida del suelo, es decir, producen esfuerzos efecti%os, en tanto -ue los

esfuerzos neutrales en el agua corresponden a la condicin "idrostática. a muestra se lle%a a la

falla a continuacin aplicando la carga axial en pe-ue>os incrementos, cada uno de los cuales semantiene el tiempo necesario para -ue la presin en el agua, en exceso de la "idrostática, se

reduzca a cero.

os ensayos consolidados drenados se utilizan esencialmente en suelos granulares (arenas), sin

embargo, se puede aplicar en suelos finos, pero los ensayos re-uieren tiempos prolongados del

orden de semanas.


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Prueba rápida – Prueba con consolidación y sin drenaje (CU)

!n este tipo de prueba, el espécimen se consolida primeramente bao la presin "idrostáticaA asíel esfuerzo llega a ser efecti%o, actuando sobre la fase slida del suelo. !n seguida, la muestra se

lle%a a la falla por un rápido incremento de la carga axial, de manera -ue no se permita cambio

de %olumen.

!l "ec"o esencial de este tipo de prueba es el no permitir ninguna consolidacin adicional

durante el periodo de falla, de aplicacin de la carga axial. !sto se logra fácilmente en unacámara de compresin triaxial cerrando la %ál%ula de salida de las piedras porosas a la bureta.

!n la segunda etapa de una prueba rápida consolidada podría pensarse -ue todo el esfuerzo

des%iador fuera tomado por el agua de los %acíos del suelo en forma de presin neutral, ello no

ocurre así y se sabe -ue parte de esa presin axial es tomada por la fase slida del suelo, sin -ue"asta la fec"a, se "ayan dilucidado por completo ni la distribucin de esfuerzos, ni las razones

-ue lo gobiernan.

!l ensayo &1 (consolidado*no drenado) se realiza generalmente con medicin de la presin de poros o neutra con el fin de determinar los parámetros de G&H y GFH en términos de esfuerzostotales y esfuerzos efecti%os.

Prueba rápida - Prueba sin consolidación y sin drenaje (UU)

!n este tipo de prueba no se permite en ninguna etapa la consolidacin de la muestra. a %ál%ula

de comunicacin entre el espécimen y la bureta permanece siempre cerrada impidiendo eldrenae.

!n primer lugar, se aplica al espécimen una presin "idrostática y de inmediato, se falla el suelocon la aplicacin rápida de la carga axial. os esfuerzos efecti%os en esta prueba no se conocen

bien.

!l ensayo 11 es usualmente lle%ado a cabo sobre especímenes de arcilla

Panel Triaxial

!s el sistema conformado por %ál%ulas y reguladores mediante los cuales se administra el fluode aire y agua desaireada entre los e-uipos para la realizacin del ensayo triaxial. &ada panel

posee 3 %ál%ulas de distribucin, reguladores de aire y salidas de medicin de presin para 3

presiones


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Equipo autoático de cabio de !oluen

!l e-uipo de cambio de %olumen (aparato) realiza su funcin comprimiendo un pistn sellado

contra un dispositi%o de precisin en la cámara de calibracin, de tal forma -ue un mo%imientolineal del pistn es exactamente proporcional al cambio de %olumen de agua -ue se da en la

cámara de calibracin

Prensa Triaxial

a prensa triaxial consiste en un marco de dos columnas con una %iga trans%ersal m%il (marcode carga) y una base -ue contiene la unidad de empue mecánico, el motor eléctrico, los

componentes electrnicos y los controles (

"lader

!s una cámara constituida por un cilindro de bandas de plexiglass, una placa base, una placa

superior y una membrana de "ule -ue trabaa como interface aireIagua


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Cáara triaxial

!stá conformada por una cámara de bandas de metacrilato -ue permiten una presin máxima defuncionamiento de 2 Ja, una base con cinco conexiones, de las cuales dos son para presin

de poro, dos para contrapresin y una para presin de cámara.

Transductores

os transductores se encargan de transformar una se>al eléctrica en una magnitud física, la cual,

en este caso, es en%iada al dataloger para así poder registrar tanto las presiones a las -ue estásometido el espécimen como las deformaciones -ue sufre durante el ensayo.

E"S$-! DE C!M5RES6" SM5#E(

&omo el ensayo de compresin simple en arcillas relati%amente impermeables se efect?a

cargando con bastante rapidez, resulta -ue, en definiti%a, constituye un ensayo sin drenae sidic"a arcilla está saturada. or tanto, el círculo de o"r correspondiente deberá ser también

tangente a la en%ol%ente "orizontal a -ue se "a aludido, una %ez "ec"os en los ensayos triaxiales

la correccin -ue tiene en cuenta el aumento de resistencia debido a la membrana de goma y al

papel de filtro.

&omo el ensayo de compresin simple es extraordinariamente fácil y barato de realizar, resulta

-ue los ensayos triaxiales sin drenaes en suelos saturados se "acen muy pocas %eces.

@eg?n el %alor de la resistencia a la compresin simple, -u, una arcilla se puede clasificar del

modo -ue se indica a continuacin0

/u 78p9cm; .2 .2 * . . * # # * 2 2 * K L K

Consistencia uy blanda Mlanda edia Nirme uy firme 9ura


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Republica cnico ?Santia,o Marino@

Mecánica de suelos

Relación circulo de mohr

Suelo consolidado drenado

@oto @tep"any

&

círculo de mohr stephany.doc

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