mecanica de materiales - círculo de mohr y columnas

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Tema:

CÍRCULO DE MOHR Y

COLUMNAS

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Índice.

I.- Círculo de Mohr………..……………………………………………..……3

¿Qué es o a qué se le llama Círculo de Mohr?…………………………...3

¿Qué es un esfuerzo combinado y qué combinaciones existen?…………4

Procedimiento para calcular el Círculo de Mohr. ….………………..……..5

Aplicaciones del Círculo de Mohr. …………………………………………6

En el diseño de la cimentación de una máquina, ¿de qué manera

interviene el Círculo de Mohr? …………………………………………..……6

Ejercicios resueltos (2). ………………………………………….……7, 8, 9, 10

I. Columnas………………....…………………………………………………..11

¿Cuáles son las fórmulas de Euler?……………………………………....11

¿Cuál es el principio a partir del cual se deducen las fórmulas de

Euller?............................................................................................…12, 13

Consideraciones especiales de las fórmulas de Euller……………..14, 15

Limitaciones de las fórmulas de Euller.………………………………….…16

Ejercicios resueltos (2).……………………………………………………17, 18

BIBLIOGRAFÍAS…………………………………………………………………...….19

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I.- Círculo de Mohr.

1. ¿Qué es o a qué se le llama Círculo de Mohr?

Un enfoque mejor para determinar los esfuerzos principales normal y cortante, en un

punto consiste en usar la solución semigráfica (ideada por el profesor Otto Mohr, en

Alemania alrededor de 1882), que representa gráficamente las fórmulas generales

para el esfuerzo en un punto.

Las ecs. (6.3) y (6.4) representan la ecuación de un círculo en forma paramétrica.

Cuando se traza un par de ejes coordenadas y se sitúan los valores de σ’ y τ’ que

corresponden a un valor de θ, las coordenadas corresponderán a un punto que queda

situado sobre la circunferencia de un círculo.

Bibliografía Fitzegerald

Mecánica de Materiales, Pág. 159

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2. ¿Qué es un esfuerzo combinado y qué combinaciones existen?

En general cuando hablamos de un esfuerzo combinado se refiere a los casos en que

2 o más tipos de esfuerzos actúan en un punto dado al mismo tiempo. Los esfuerzos

pueden ser normales (tensión o compresión) o esfuerzos cortantes.

Bibliografía

Fitzegerald

Mecánica de Materiales, Pág. 160, 161

Bibliografía http://www.mecapedia.uji.es/images/circulo_de_Mohr_de_tensiones.8.gif

http://www.mecapedia.uji.es/images/circulo_de_Mohr_de_tensiones.8.gif

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3. Procedimiento para calcular el Círculo de Mohr.

Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa el

siguiente procedimiento:

1. Se traza un par de ejes coordenadas tomando a σ como eje de las abscisas y

a τ como eje de las ordenadas.

2. Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies

mutuamente perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y

ac de la Fig. 6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De

acuerdo con la convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos

y los esfuerzos de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que

tienden a hacer girar al bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales

como los de las caras ac y bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig. 6.24 (b), el punto V con coordenadas (+ σx, + τ), y el

punto H con coordenadas (+ σy, - τ) son los puntos que se trazarán.

3. Se traza la línea recta HCV que une estos dos puntos. Esta recta es el

diámetro del círculo cuyo centro es el punto C.

4. Se completa el círculo tomando como centro el punto C y como radio CV.

Bibliografía

Fitzegerald

Mecánica de Materiales, Pág. 159,160

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5. Aplicaciones del Círculo de Mohr.

Diseño de ejes sujetos a esfuerzos de flexión y cortante combinados.

Cálculo de esfuerzos tridimensionales.

Tensión triaxial.

Tensiones tangenciales máximas.

Presión de fluidos.

Profundidad.

Cohesión.

Sistema magmático.

Geotecnia.

Bibliografía http://www.aulamatematica.com/AMD/PDF/AMD_02/02_AMD_32_35_Mohr_1.pdf

6. En el diseño de la cimentación de una máquina,

¿De qué manera interviene el Círculo de Mohr?

En el cálculo de presión de fluidos y en el cálculo de esfuerzos tridimensionales que

intervienen en la cimentación (cortante, aplastamiento, deformación, etc.). También

es posible encontrar las tensiones que actúan sobre cualquier plano inclinado así

como las tensiones principales y las tensiones tangenciales máximas con ayuda del

círculo de Mohr. Sin embargo, solo se han considerado rotaciones de ejes en el

plano xy (es decir, rotaciones respecto al eje z),

Bibliografía http://www.uned.es/dpto-

icf/mecanica_del_suelo_y_cimentaciones/images/mecansueloycimentacionescap_1.pdf

http://www.aulamatematica.com/AMD/PDF/AMD_02/02_AMD_32_35_Mohr_1.pdf

http://www.uned.es/dpto-icf/mecanica_del_suelo_y_cimentaciones/images/mecansueloycimentacionescap_1.pdf


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7. Ejercicios resueltos (2).

EJEMPLO 6.12 Determinar los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo

y el ángulo de inclinación necesario para obtener estos esfuerzos, para el eje del

ejemplo 6.8. El bloque de esfuerzos se ilustra en la Fig. 6.25.

SOLUCIÓN Los puntos V y H se trazan como se indica, y el círculo se traza con

centro en C. Las coordenadas del punto C son C (2 400, 0). La distancia OB da el

esfuerzo principal máximo, que se obtiene como:

√( ) ( )

√( ) ( )

⁄

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El esfuerzo principal mínimo es la distancia OA, que se determina así:

√( ) ( )

⁄

El ángulo de rotación del bloque, requerido para obtener estos esfuerzos es la mitad

del valor de 2θ en el diagrama. Así:

La rotación se muestra en la Fig. 6.25 (c). Como el punto V se movió hasta B, puede

pensarse que el esfuerzo principal máximo actúa sobre lo que era la cara vertical. El

mismo razonamiento puede usarse al considerar el esfuerzo principal mínimo.

El esfuerzo cortante máximo corresponde a las coordenadas del punto D, que son

(2 400, 4 000). El ángulo 2θr es igual a 2θ + 90°. Por consiguiente,

Los esfuerzos para esta orientación se muestran en la Fig. 6.25 (d).

Bibliografía

Fitzegerald

Mecánica de Materiales, Pág. 160, 161, 162

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EJEMPLO 6.13 Determinar los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo,

y los planos en que actúan estos esfuerzos mostrados en la Fig. 6.27 (a).

SOLUCIÓN Se trazan los puntos V y H, como se indica en la Fig. 6.27 (b). Los

esfuerzos principales son OB y OA. Estos valores se pueden determinar como sigue:

√( ) ( )

√( ) ( )

;

√( ) ( )

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La orientación de los planos de esfuerzos principales se indica en la Fig. 6.27 (c). El

esfuerzo cortante máximo es el radio del círculo; es decir, CD o CG, que es:

;

Entonces,

La inclinación de los planos sobre los cuales ocurre el esfuerzo cortante máximo, y

los esfuerzos sobre esos planos se indican en la Fig. 6.27 (d).

Bibliografía

Fitzegerald


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II.- Columnas.

1. ¿Cuáles son las fórmulas de Euler?

La base de la teoría de las columnas es la fórmula de Euler, que fue publicada en

1757 por Leonardo Euler, un matemático suizo. La fórmula de Euler que es

solamente válida para columnas largas, calcula lo que se conoce como la carga

crítica de pandeo. Esta es la carga última que puede ser soportada por columnas

largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso.



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2. ¿Cuál es el principio a partir del cual se deducen las fórmulas de Euler?

La fórmula se puede deducir con facilidad de la siguiente manera. Al escribir la ecuación

fundamental de flexión para el momento:

Se tiene, para el caso de Euler, que el momento es Px, de modo que

(a)

Donde el signo negativo de M, es el resultado de pasar de +dy/dx en el origen a <dy/dx

para y v-L, de manera que el cambio de pendiente ha de tener un valor negativo. La solución

clásica general para la ecuación diferencial de la forma de la ecuación(a) es:

(b)

Donde: (

)

(e)

Bibliografía Joseph E. Bowles

Diseño de Acero Estructural, Pág. 295

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Con condiciones límite de x = 0, para y = , se obtiene B = 0 y la ecuación (b) se convierte

en:

Como x = 0, para y = L o bien A = 0, o sen ky = Si A = 0, no hay deflexión de perfil, de

modo que la solución debe tenerse usando sen (ky) = 0. Esto será solamente posible para

valores de kL. Esta ecuación (ecuación de Euller) se describe como un valor

característico o una ecuación de valor característico. Las soluciones son:

Tomando la solución general, vemos que:

√

;

El término n describe los modos de pandeo. Para la mayoría de los casos prácticos

el primer modo de pandeo (n=1) producirá la falla, y a menos que se encuentren

características especiales de construcción, el pandeo ocurrirá en:

Bibliografía

Fitzegerald


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3. Consideraciones especiales de las fórmulas de Euller.

Fórmulas de Euler para otras condiciones de los extremos

La formula de Euler para columnas con extremos articulados puede modificarse para

tomar en consideración otros tipos de condiciones de los extremos, algunos de los

cuales se muestran en la Fig. 9.4.

Ec. (9.2)

Usando la columna con extremos articulados con el caso básico, podemos modificar

la ec. (9.2) para proporcionar la carga critica de pandeo para columnas que tengan

como condiciones en sus extremos las mostradas en la Fig. 9.4 (b), (c) y (d). Se

necesita solamente substituir la longitud L de la ec. (9.2) por la “longitud efectiva”

(mostrada en la Fig. 9.4). La longitud efectiva es la distancia entre los puntos de

inflexión de la curva deformada que adopta el eje de la columna.

Por ejemplo, la carga crítica de pandeo para la columna de a Fig. 9.4 (b), que tiene

un extremo empotrado y el otro extremo articulado (longitud efectiva = 0.7L) se

convierte en:

( )

(9.3)

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Análogamente, la fórmula de Euler puede modificarse para las otras condiciones de

los extremos en la Fig. 9.4. Para columnas doblemente empotradas (Fig. 9.4 (c),

longitud efectiva = 0.5L), es:

( )

(9.4)

Para columnas con un extremo empotrado y otro libre (Fig. 9.4 (d), longitud efectiva

= 2L), se convierte en:

( )

(9.5)

Para tener en cuenta la posible diferencia entre la longitud efectiva y la longitud

verdadera, frecuentemente se incluye un factor de longitud efectiva en la ecuación

básica. Entonces la ecuación de Euler aparecería como:

( )

Donde K es el factor de longitud efectiva.

Para los casos ideales mostrados en la Fig. 9.4 (a) a (d), los valores de K son 1.0,

0.7, 0.5 y 2.0.

Bibliografía

Fitzegerald


Para el valor del esfuerzo correspondiente a la carga crítica es el esfuerzo crítico y se

le designa por σcr. Retomando la ecuación de Pcr = π2EI / (KL)

2, y haciendo I = Ar

2,

donde A es el área de la sección transversal y r el radio de giro, se tiene:

O

( ⁄ )

Bibliografía

Beer & Johnston


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4. Limitaciones de las fórmulas de Euller.

Es muy importante tomar en cuenta que la fórmula de Euler es válida solamente

hasta el Límite de Proporcionalidad del acero. También estar conscientes de que una

columna pandea en la dirección en que es más débil, por lo cual el valor de “I” que

se debe tomar es el más bajo. La fórmula demuestra que la CARGA CRITICA no

depende de la resistencia del acero sino de su modulo de elasticidad E y de las

dimensiones de la columna.

Para que sea válida la fórmula de Euler, el esfuerzo durante el pandeo no debe

sobrepasar el Límite de Proporcionalidad del Acero.

Bibliografía

http://www.slideshare.net/wlopezalmarza/acero-estructural-pandeo


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5. Ejercicios resueltos (2).

EJEMPLO 1 Determinar la carga crítica de pandeo y el esfuerzo en la columna

correspondiente a la carga crítica, para una columna maciza de acero de sección

circular, de 1 pulgada de diámetro y 30 pulgadas de longitud, con extremos

articulados.

SOLUCIÓN:

= ( ) [ ( ) ]

( )

=

( ⁄ )( )

⁄



EJEMPLO 2 Una columna articulada de 2m de longitud y sección cuadrada debe

hacerse de madera. Suponiendo E = 13GPa y σperm = 12 MPa y usando un factor de

seguridad de 2.5, para calcular la carga crítica de pandeo de Euler, determine el

tamaño de la sección transversal si la columna debe soportar:

a) Una carga de 100 kN, b) Una carga de 200 kN.

a) Carga de 100 kN. Usando el factor de seguridad especificado.

( )

Según la fórmula de Euler y resolviendo para I,

( )( )

( )

Pero I = 4/12, por tratarse de un cuadrado de lado a; entonces:

Se verifica el valor del esfuerzo normal de la columna:

( )

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Ya que σ es menor que el esfuerzo permisible, una sección transversal de 100 x 100

mm es aceptable.

b) Carga de 200 kN. Resolviendo de nuevo la ecuación (10.11) para I, pero

haciendo = 2.5 (200) = 500 kN, se tiene:

I = 15.588 x 10 -6 mm4

El valor del esfuerzo normal es:

( )

Dado que este valor es mayor que el esfuerzo permisible, las dimensiones no son

aceptables y debe elegirse una sección con base en su resistencia a compresión. Se

escribe:

σ

Una sección transversal de 130 X 130 mm es aceptable.

Bibliografía

Beer & Johnston


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BIBLIOGRAFÍAS.

LIBROS:

Robert W. Fitzgerald

Mecánica de Materiales

ALFAOMEGA

Págs. Consultadas: 159, 160, 161, 162, 163, 258, 260, 261, 262, 263

Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr. & John T. DeWolf

Mecánica de Materiales

Mc GRAW HILL

Págs. Consultadas: 612, 613

Joseph E. Bowles

Diseño de Acero Estructural

LIMUSA

Págs. Consultadas: 295

PÁGINAS CONSULTADAS:


http://www.uned.es/dpto-

icf/mecanica_del_suelo_y_cimentaciones/images/mecansueloycimentacionescap_1.pdf








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