integrales de mohr

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Describe el uso de las integrales de mohr para hallar el desplazamiento en vigas o marcos utilizando los principios de trabajo virtual.

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Integrales de Mohr

FACULTAD DE INGENIERÍA Temas Selectos de Estructuras

Integrales de Mohr

Temas Selectos de Estructuras

INDICE

1. Principio del trabajo virtual ........................................................................................................ 1

2. Integrales de Mohr ..................................................................................................................... 5

Tabla de Integrales de Mohr (Producto de Diagramas) .................................................................... 8

3. Deflexiones y rotaciones en marcos por el método del trabajo virtual ................................. 10

4. Resolución de marcos por el método de Mohr. ...................................................................... 19

Bibliografía ........................................................................................................................................ 22

TEMAS SELECTOS DE ESTRUCTURAS - INTEGRALES DE MOHR

FACULTAD DE INGENIERÍA, CAMPUS V

MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 1 | P á g i n a

1. Principio del trabajo virtual Este método puede utilizarse para resolver deflexiones en vigas y marcos las cuales son

causadas principalmente por las deformaciones debidas a la deflexión.

El principio dice que el trabajo virtual externo y el trabajo virtual interno son iguales.

Siendo el trabajo externo realizado por fuerzas o momentos externos y el interno el

realizado por esfuerzos o tensiones:

1 ∗ ∆= ∑ 𝑢 ∗ 𝑑𝑙 (ec. 1. 1 )

Ahora bien, para obtener el desplazamiento ∆ en el punto P de una viga o marco, se

determina el momento virtual interno m y el momento interno M. La sumatoria de estos

efectos a lo largo de la viga requiere una integración, por lo que la ec 1.1 se convierte en:

1 ∗ ∆= ∫𝑚𝑀

𝐸𝐼𝑑𝑥

𝑙

0

(ec. 1. 2 )

donde

1.- carga unitaria virtual externa que actúa sobre la viga o el marco en la

dirección de ∆.

m.- momento virtual interno en la viga o el marco, expresado como una función

de x y que es causado por la carga unitaria virtual externa.

∆.- desplazamiento externo del punto causado por las cargas reales que actúan

sobre la viga o el marco.

M.- momento interno en la viga o el marco, expresado como una función de x y

que es causado por las cargas reales.

E.- módulo de elasticidad del material.

𝐼.- momento de inercia del área transversal, calculado con respecto al eje

neutro.

Así mismo, si debe determinarse la rotación de la tangente o el ángulo 𝜃 de la pendiente

en un punto P de la curva elástica del elemento , se aplica primero un momento de par

unitario en el punto, y se determinan los momentos internos correspondientes 𝑚𝜃. Como

el trabajo del par unitario es 1 ∗ 𝜃, entonces:

1 ∗ 𝜃 = ∫𝑚𝜃𝑀

𝐸𝐼𝑑𝑥

𝑙

0

(ec. 1. 3 )

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FACULTAD DE INGENIERÍA, CAMPUS V

MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 2 | P á g i n a

A continuación se presenta un ejemplo en donde se aplica lo descrito.

Ejemplo 1.1a

Determinar la pendiente 𝜽 en el punto B de la viga mostrada en la figura 1.1.

Figura 1. 1

Solución

Se pide calcular la pendiente en B de una viga en voladizo con una carga puntual en el

punto C, para poder obtener las ecuaciones de momento flexionante en la viga se recurre

al método de las secciones o también llamado método de cortes, el cual consiste en

seccionar o dar un corte en la estructura para generar la ecuación deseada. Se realizan los

seccionamientos y se dibujan los diagramas de cuerpo libre.

Figura 1. 2

Calculo de Momentos reales

Figura 1. 3 Figura 1. 4

𝒙𝒂

3 KN

C

5 m

3 KN

C

𝒙𝒃

B

5 m 5 m

3 KN

A B C

1

1’

2

2’

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 3 | P á g i n a

Calculo de M en la Figura 1.3

∑ 𝑀1 = 0 ;

𝑀1 − 3(𝒙𝒂) = 0

𝑀1 = 3(𝒙𝒂)

Calculo de M en la Figura 1.4

∑ 𝑀2 = 0;

𝑀2 − 3(5 + 𝒙𝒃) = 0

𝑀2 = 3(5 + 𝒙𝒃)

Se dibuja el diagrama de momentos flexionantes para ver con claridad los cambios en la

función respecto a las ecuaciones obtenidas.

Para 0 ≤ 𝒙𝒂 ≤ 5

𝑴𝟏 = 3(𝒙𝒂)

Para 0 ≤ 𝒙𝒃 ≤ 5

𝑴𝟐 = 3(5 + 𝒙𝒃)

Calculo del Momento virtual 𝒎𝜽.

La pendiente en 𝜽 en el punto B se determina al colocar un momento de par unitario

virtual de 1 kN*m en B, figura 1.6. Aquí deben seleccionarse dos coordenadas x con el fin

de determinar la energía de deformación virtual total en la viga. La coordenada 𝒙𝒂 toma

en cuenta la energía de deformación dentro del segmento AD y la coordenada 𝒙𝒃 incluye

la del segmento BC.

Los momentos internos 𝒎𝜽 dentro de cada uno de estos segmentos se calculan usando

el método de las secciones como se muestra en las figuras 1.7 y 1.8.

Figura 1. 6 : Momento virtual en la viga para encontrar la pendiente en B

Figura 1. 7 Figura 1. 8

Figura 1. 5 : Diagrama de momentos flexionantes

30

A B C

15

5 m 𝒙𝒃

B

1 kN *m

A B C

1 kN *m

𝒙𝒂

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 4 | P á g i n a

Calculo de 𝒎𝜽 en la Figura 1.7

∑ 𝑚1 = 0 ;

𝑚1 = 0

Calculo de 𝒎𝜽 en la Figura 1.8

∑ 𝑚2 = 0;

𝑚2 = 1

Para 0 ≤ 𝒙𝒂 ≤ 5

𝒎𝟏 = 0

Para 0 ≤ 𝒙𝒃 ≤ 5

𝒎𝟐 = 1

Ecuación del trabajo virtual

Entonces, haciendo uso de la ec 1.3, la pendiente en B resulta como:

1 ∗ 𝜃 = ∫𝑚𝜃𝑀

𝐸𝐼𝑑𝑥

𝑙

0

(ec. 1. 4 )

Página 1 > Tema 1.- Principio del trabajo virtual.

Tramo CB

𝜃1 = ∫3𝑥𝑎(0)

𝐸𝐼𝑑𝑥

5

0

= 0

Tramo BA

𝜃2 = ∫3(5 + 𝑥𝑏)(1)

𝐸𝐼𝑑𝑥

5

0

𝜃2 =1

𝐸𝐼∫ 15 + 3𝑥𝑏 =

1

𝐸𝐼∫ 15𝑥 +

3𝑥𝑏2

2

5

0

5

0

𝜃2 =1

𝐸𝐼[15𝑥 +

3𝑥𝑏2

2]

5

0==

1

𝐸𝐼[15(5) +

3(52)

2]

𝜃2 =1

𝐸𝐼[75 + 37.5] =

𝟏

𝑬𝑰(𝟏𝟏𝟐. 𝟓 𝒌𝑵𝟐𝒎𝟑)

𝜽𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 =1

𝐸𝐼(112.5) =

𝟏𝟏𝟐. 𝟓 𝒌𝑵𝟐𝒎𝟑

𝑬𝑰

Figura 1. 9 : Diagrama de momento virtual interno.

1

A B C

0

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 5 | P á g i n a

2. Integrales de Mohr En el ejemplo 1.1a se pudo observar que aun cuando la estructura está sometida a una

carga relativamente simple, la solución para un desplazamiento por el método virtual

requiere varias integraciones de las funciones de momento flexionantes M y 𝒎𝜽. Para

simplificar el procedimiento de integración podemos recurrir a un método general de

cálculo para los desplazamientos. Este método fue propuesto por el destacado científico

alemán Otto Mohr, la magnífica formula de Mohr (integral de Mohr) que permite

determinar el desplazamiento en cualquier punto de un sistema linealmente deformable.

∫ 𝑚𝑀(𝑑𝑥)𝑙

0

(ec. 1. 5 )

En esta fórmula, el producto que figura dentro de la integral 𝑚𝑀 es positivo si los dos

momentos flectores tienen el mismo signo. Anotando por ∆ cualquier desplazamiento

(lineal o angular) escribamos la formula (integral) de Mohr en la forma siguiente.

∆= ∫ 𝑚𝑀(𝑑𝑥)𝑙

0

(ec. 1. 6 )

En el caso general, la expresión analítica de 𝑚 y 𝑀 puede ser distinta en los distintos

tramos de la viga o, en general, del sistema elástico. Por ello, en lugar de la ecuación 1.6 se

debe emplear otra

∆= ∑ ∫ 𝑚𝑀(𝑑𝑥)

𝑙

0

(ec. 1. 7 )

A diferencia de lo presentado anteriormente, Mohr descubrió que en lugar de calcular

directamente las integrales, se podría recurrir a un método grafico-analítico, denominado

“método de multiplicación de los gráficos”.

Este método se reduce a la representación en unas tablas que permiten obtener aún

más directamente, el resultado de la integración a partir de los diagramas de momentos

que se presentan con más frecuencia en la práctica.

Estas tablas se le conocen con el nombre de tabla de integrales de Mohr en los cuales

una vez determinados los diagramas de momentos M y 𝒎 , y seleccionado el tramo en el

que se va a plantear la ecuación del producto de las dos funciones, se entra a una columna

de esta tabla que corresponda al diagrama de M y a una fila que corresponda al diagrama

de m o viceversa.

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 6 | P á g i n a

La intersección de la columna y el renglón seleccionados proporciona el resultado de la

integración del producto, o sea, de ∫ 𝑚𝑀(𝑑𝑥)𝑙

0, donde 𝒍 es la longitud del tramo en que

se efectúa la integración, como se ve en la tabla.

Como el valor de EI que aparece en las ecuaciones suele ser constante, el uso de la tabla

de integrales de Mohr simplifica el uso del método del trabajo virtual.

Algunas recomendaciones.-

Al aplicar la tabla debe tenerse cuidado en que los diagramas de momentos

correspondan realmente a los de la tabla, por ejemplo:

Los diagramas producidos por cargas distribuidas deben ser parábolas de segundo

grado; si las cargas no están distribuidas uniformemente las parábolas correspondientes

no son de segundo grado y ya no puede aplicarse la tabla mostrada. También debe

observarse que las ordenadas de las parábolas corresponden al vértice de la parábola; si el

diagrama de momentos no corresponde a una parábola completa o a una media parábola,

la ordenada no será la del vértice y la tabla tampoco podrá aplicarse directamente.

Figura 2. 1

Cuando se seleccionen triángulos en un renglón y en una columna, deberá observarse si

los vértices están en el mismo extremo o en extremos opuestos del tramo.

En el caso de trapecios, los subíndices 1 corresponden siempre al extremo izquierdo y

los subíndices 2, al extremo derecho.

En general, los diagramas de momentos pueden subdividirse para que caigan en alguno

de los casos incluidos en la tabla, pero en ocasiones esto complica tanto el procedimiento

que resulta preferible hacer la integración, que como se vio en el ejemplo anterior, suelen

ser del tipo ∫ 𝒙𝒏(𝒅𝒙).

A continuación y como método de recordatorio, se presentan las fórmulas que se

utilizan con mayor frecuencia para obtener las integrales y con los cuales se obtuvieron los

resultados aplicados en el ejemplo 1.1a, posteriormente se resuelve el mismo ejemplo, en

el cual se ilustra la aplicación de la tabla de integrales de Mohr.

L L

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 7 | P á g i n a

Tabla de Integrales básicas

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 8 | P á g i n a

Tabla de Integrales de Mohr (Producto de Diagramas)

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 9 | P á g i n a

Ejemplo 1.1b

Solución

Para evaluar el resultado de las integrales de forma gráfica, empleando la tabla de

integrales de Mohr es necesario primeramente establecer los diagramas de momento ya

calculados en el ejemplo 1.1a para las vigas en las figuras 1.1 y 1.6. Estos se muestran en

las figuras 2.2 y 2.3, respectivamente. Como no hay momento 𝑚𝜃 para 0 ≤ 𝑥𝑎 ≤ 5m, solo

se utilizan las áreas achuradas trapezoidal y rectangular de los diagramas para evaluar la

integral.

Figura 2. 2 : Diagrama de momento real Figura 2. 3 : Diagrama de momento virtual

Una vez hallado el valor en la fila y columna correspondiente de la tabla es base a las

formas de los diagramas, se tiene que

𝜃 = ∫ 𝑚𝑀(𝑑𝑥)𝑙

0

=1

2𝑚(𝑀1 + 𝑀2)𝑙

𝜃 =1

2(1)[30 + 15](5) = 2.5[45] = 112.5

𝜃 =𝟏𝟏𝟐. 𝟓

𝑬𝑰𝒌𝑵𝟐𝒎𝟑

Este valor es el mismo que se determinó en el ejemplo 1.1a.

A B C

30

15

5 m 5 m

A B C

1

0

5 m 5 m

.

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 10 | P á g i n a

3. Deflexiones y rotaciones en marcos por el método del

trabajo virtual El método del trabajo virtual presenta claras ventajas sobre los otros métodos cuando se

trata de calcular las deformaciones en marcos. El procedimiento es igual al utilizado para el

cálculo de deformaciones en vigas, pero la integración planteada en las ec 1.2 y 1.3 se lleva

a cabo a través de todos los miembros que componen el marco.

Desde luego que dentro de cada miembro resulta necesario hacer la integración en

distintos tramos, si las funciones de M o de m no son continuas a lo largo del miembro.

En el siguiente ejemplo se ilustra lo que se acaba de mencionar.

Ejemplo 2.1a

Calcular la deflexión horizontal ∆ en el punto E y la rotación 𝜃 en el punto A del marco de

la figura 3.1

Figura 3. 1

Solución

Se pide calcular el desplazamiento horizontal del apoyo E y la rotación del apoyo A. El

primero es un apoyo libre y el segundo, uno articulado. El marco es isostático ya que tiene

tres incógnitas en los apoyos y existen tres ecuaciones de equilibrio. Notemos que el

momento de inercia de la viga es el doble del de la columna.

50 Ton

10 Ton

2 m 4 m

2 m

2 m

A

B

C D E

(EI)

(2EI)

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 11 | P á g i n a

Primeramente se calculan las reacciones en los apoyos para poder resolver el marco y

obtener las ecuaciones de momento flexionante en la columna y en la viga.

Figura 3. 2

Calculo de reacciones:

𝐷𝑒 𝚺𝑴𝑨 = 0

−6𝑹𝑬 + 2 ∗ 10 + 2 ∗ 50 = 0

−6𝑹𝑬 + 20 + 100 = 0

−6𝑹𝑬 + 120 = 0

−𝑹𝑬 = −120

6

𝑹𝑬 = 20 𝑡𝑜𝑛 ↑

𝐷𝑒 𝚺𝑭𝒙 = 0

−𝑹𝑨𝑯 + 10 = 0

𝑹𝑨𝑯 = 10 𝑡𝑜𝑛 ←

𝐷𝑒 𝚺𝑭𝒚 = 0

𝑹𝑨𝑽 = −50 + 20 = 0

𝑹𝑨𝑽 − 30 = 0

𝑹𝑨𝑽 = 30 𝑡𝑜𝑛 ↑

50 Ton

10 Ton

2 m 4 m

2 m

2 m

A

B

C D E

(EI)

(2EI)

𝑹𝑨𝑽

𝑹𝑨𝑯

𝑹𝑬

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 12 | P á g i n a

Una vez obtenidas las reacciones, se procede con las ecuaciones para encontrar el

momento, para lo cual se hará uso del método de las secciones, por lo que seccionando el

marco y dibujando los diagramas de cuerpo libre se tiene

Figura 3. 3

Para 0 ≤ 𝒙𝒂 ≤ 2

𝑴 = 10𝒙𝒂

Para 2 ≤ 𝒙𝒂 ≤ 4

𝑀 = 10𝒙𝒂 − 10(𝒙𝒂 − 2)

𝑀 = 10𝒙𝒂 − 10𝒙𝒂 + 20

𝑴 = 20

Para 0 ≤ 𝒙𝒃 ≤ 4

𝑴 = 20𝒙𝒃

Para 4 ≤ 𝒙𝒃 ≤ 6

𝑀 = 20𝒙𝒃 − 50(𝒙𝒃 − 4)

𝑀 = 20𝒙𝒃 − 50𝒙𝒃 + 200

𝑴 = 200 − 30𝒙𝒃

Las ecuaciones de momento se han obtenido por tramos en los que la función no varía.

Así, en la columna AC, se ha obtenido una ecuación entre los puntos A y B y otra entre los

puntos B y C, ya que la carga concentrada de 10 ton hace que cambie la ecuación de

momentos. Se ha usado un origen de coordenadas en el punto A para la columna, y un

origen distinto en el punto E para la viga.

50 Ton

10 Ton

1’ 1

2’

2

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 13 | P á g i n a

Se dibuja el diagrama de momentos flexionantes en la figura 3.4 para ver con claridad

los cambios de la función.

Figura 3. 4

A continuación, ya que se desea calcular el desplazamiento horizontal del punto E, se

coloca una carga virtual unitaria en dicho punto en la misma dirección horizontal, y se

calculan las ecuaciones de momentos m y producidos por esta fuerza.

Figura 3. 5

80

2 m 4 m

2 m

2 m

20

20

A

B

C D E

2 m 4 m

2 m

2 m

A

C E

𝑹𝑨𝑽

𝑹𝑨𝑯

𝑹𝑬

1

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 14 | P á g i n a

En este caso, las funciones de m son continuas a lo largo de la viga y de la columna ya

que no hay fuerzas intermedias. También se ha trazado el diagrama de momentos

flexionantes correspondiente.

Calculo de m para la deflexión en E

De 𝚺𝑴𝑨 = 0

−6𝑹𝑬 + 4 ∗ 1

= 0

−𝑹𝑬 =4

6

𝑹𝑬 =2

3↑

De 𝚺𝑭𝒚 = 0

𝑹𝑬 =2

3↓

De 𝚺𝑭𝒙 = 0

𝑹𝑨𝑯 = 1 ←

Para 0 ≤ 𝒙𝒂 ≤ 4

𝒎 = 𝒙𝒂

Para 0 ≤ 𝒙𝒃 ≤ 6

𝒎 =2

3𝒙𝒃

Figura 3. 6

8/3

2 m 4 m

2 m

2 m

4

4

A

B

C D E

2

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 15 | P á g i n a

De la misma manera, para obtener la rotación en el apoyo A se ha colocado un momento

virtual unitario en dicho apoyo.

Figura 3. 7

Se obtienen las ecuaciones de los momentos m producidos por este momento virtual.

Se muestra el diagrama de momentos flexionantes correspondiente.

Calculo de m para la rotación en A

De 𝚺𝑴𝑨 = 0

−6𝑹𝑬 + 1 = 0

𝑹𝑬 =1

6↑

De 𝚺𝑭𝒚 = 0

𝑹𝑨𝑽 =1

6↓

De 𝚺𝑭𝒙 = 0

𝑹𝑨𝑯 = 0

Para 0 ≤ 𝒙𝒂 ≤ 4

𝒎 = 1

Para 0 ≤ 𝒙𝒃 ≤ 6

𝒎 =1

6𝒙𝒃

Figura 3. 8

2 m 4 m

2 m

2 m

1 A

C E

RAV

RAH

RE

2 m 4 m

2 m

2 m

2/3 1

1

A

B

C D E

1

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 16 | P á g i n a

Después se han sustituido las ecuaciones de M y de m (correspondiente a la fuerza virtual

horizontal) en la ec 1.2 para obtener la deflexión en E. Nótese que la sustitución se ha hecho

por tramos en los que no cambia ninguna de las dos funciones. Así, en la columna AC ha

sido necesario considerar dos tramos, el AB y AC, ya que la función de M no es continua en

toda la columna, aunque lo sea la de m.

1 ∗ ∆= ∫𝑚𝑀

𝐸𝐼𝑑𝑥

𝑙

0

(ec. 1. 2 )

Página 1 > Tema 1.- Principio del trabajo virtual.

Calculo de la deflexión en E

Tramo AB

∆1= ∫(10𝒙𝒂)(𝒙𝒂)

𝐸𝐼𝑑𝑥

2

0

∆1=1

𝐸𝐼∫ (10𝒙𝒂

2)𝑑𝑥2

0

∆1=1

𝐸𝐼[10

3𝒙𝒂

3]2

0

∆1=1

𝐸𝐼[10

3(23)] =

𝟏

𝑬𝑰(𝟐𝟔. 𝟔𝟕)

Tramo BC

∆2= ∫(20𝒙𝒂)𝑑𝑥

𝐸𝐼

4

2

∆2=1

𝐸𝐼∫ (20𝒙𝒂)𝑑𝑥

4

2

∆2=1

𝐸𝐼∫

20

2𝒙𝒂

24

2

∆2𝑙=1

𝐸𝐼[20

2(42)] =

160

𝐸𝐼

∆20=1

𝐸𝐼[20

2(22)] =

40

𝐸𝐼

∆2(𝑙−0)=160

𝐸𝐼−

40

𝐸𝐼=

𝟏

𝑬𝑰(𝟏𝟐𝟎)

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 17 | P á g i n a

Tramo ED

∆3= ∫(20𝒙𝒃)(

23 𝒙𝒃)

2𝐸𝐼𝑑𝑥

4

0

∆3=1

2𝐸𝐼∫ (

40

3𝒙𝒃

2) 𝑑𝑥4

0

∆3=20

3𝐸𝐼[1

3𝒙𝒃

3]4

0

∆3=20

3𝐸𝐼[1

3(43)] =

𝟏

𝑬𝑰(𝟏𝟒𝟐. 𝟐𝟐)

Tramo DC

∆4= ∫(−30𝒙𝒃 + 200)(

23 𝒙𝒃)

2𝐸𝐼𝑑𝑥

6

4

∆4=1

2𝐸𝐼∫ (−20𝒙𝒃

2 + 133.33𝒙𝒃)𝑑𝑥6

4

∆4=1

2𝐸𝐼∫

−20𝒙𝒃3

3

6

4

+133.33𝒙𝒃

2

2

∆4=1

2𝐸𝐼[−6.67𝒙𝒃

3 + 66.67𝒙𝒃2]

6

4

∆4𝑙=1

2𝐸𝐼[−6.67(63) + 66.67(62)]

=𝟏

𝟐𝑬𝑰(𝟗𝟓𝟗. 𝟗𝟒)

∆40=1

2𝐸𝐼[−6.67(43) + 66.67(42)]

=𝟏

𝟐𝑬𝑰(𝟔𝟑𝟗. 𝟗𝟑)

∆4(𝑙−0)=959.94

2𝐸𝐼−

639.93

2𝐸𝐼=

𝟏

𝑬𝑰(𝟏𝟓𝟗. 𝟕𝟖)

∆𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=1

𝐸𝐼(26.67 + 120 + 142.22 + 159.78) =

𝟒𝟒𝟖. 𝟔𝟕

𝑬𝑰→

En total, fue necesario hacer la integración en cuatro tramos. La deflexión total viene

siendo la suma de las cuatro integraciones. Obsérvese que en la columna se usa un

momento de inercia I, mientras que en la viga se usó 2I.

En forma semejante se calcula la rotación en A sustituyendo las funciones de M y de m

(correspondiente al momento virtual unitario) en la ec 1.3.

1 ∗ 𝜃 = ∫𝑚𝜃𝑀

𝐸𝐼𝑑𝑥

𝑙

0

(ec. 1. 3 )

Página 1 > Tema 1.- Principio del trabajo virtual.

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MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 18 | P á g i n a

Calculo de la rotación en A

Tramo AB

𝜃1 = ∫(10𝒙𝒂)(1)

𝐸𝐼𝑑𝑥

2

0

𝜃1 =1

𝐸𝐼∫ (10𝒙𝒂)𝑑𝑥

2

0

==1

𝐸𝐼∫

10𝒙𝒂2

2

2

0

𝜃1𝜃1 =1

𝐸𝐼[5𝒙𝒂

2]2

0

𝜃1 =1

𝐸𝐼[5(22)] =

𝟏

𝑬𝑰(𝟐𝟎)

Tramo BC

𝜃2 = ∫20 ∗ 1

𝐸𝐼𝑑𝑥

4

2

𝜃2 =1

𝐸𝐼∫ 20𝑥

4

2

=1

𝐸𝐼[20𝑥]

4

2

𝜃2𝑙 =1

𝐸𝐼[20(4)] =

𝟏

𝑬𝑰(𝟖𝟎)

𝜃20 =1

𝐸𝐼[20(2)] =

𝟏

𝑬𝑰(𝟒𝟎)

𝜃2(𝑙−0) =80

𝐸𝐼−

40

𝐸𝐼=

𝟏

𝑬𝑰(𝟒𝟎)

Tramo ED

𝜃3 = ∫(20𝒙𝒃)(

16 𝒙𝒃)

2𝐸𝐼𝑑𝑥

4

0

𝜃3 =1

2𝐸𝐼∫ (

20

6𝒙𝒃

2) 𝑑𝑥4

0

𝜃3

1

2𝐸𝐼=

1

2𝐸𝐼∫ (

10

3𝒙𝒃

2) 𝑑𝑥4

0

𝜃3 =1

2𝐸𝐼∫ (3.33𝒙𝒃

2)𝑑𝑥4

0

𝜃3 =1

2𝐸𝐼∫

3.33𝒙𝒃3

3

4

0

𝜃3 =1

2𝐸𝐼[3.33𝒙𝒃

3

3]

4

0

𝜃3 =1

2𝐸𝐼[3.33(43)

3] =

𝟏

𝑬𝑰(𝟑𝟓. 𝟓𝟐)

Tramo DC

𝜃4 = ∫(−30𝒙𝒃 + 200)(

16 𝒙𝒃)

2𝐸𝐼𝑑𝑥

6

4

𝜃4 =1

2𝐸𝐼∫ (−5𝒙𝒃

2 + 33.33𝒙𝒃)𝑑𝑥6

4

𝜃4 =1

2𝐸𝐼[−

5

3𝒙𝒃

3 +33.33 𝒙𝒃

2

2]

6

4

𝜃4𝑙 =1

2𝐸𝐼[−

5

3(63) +

33.33

2(62)]

𝜃4𝑙 =𝟏

𝟐𝑬𝑰(𝟐𝟑𝟗. 𝟗𝟒)

𝜃40 =1

2𝐸𝐼[−

5

3(43) +

33.33

2(42)]

𝜃40 =𝟏

𝟐𝑬𝑰(𝟏𝟔𝟎)

𝜃4(𝑙−0) =239.94

2𝐸𝐼−

160

2𝐸𝐼=

𝟏

𝑬𝑰(𝟒𝟎. 𝟎𝟑)

𝜽𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 =1

𝐸𝐼(20 + 40 + 35.55 + 40.03) =

𝟏𝟑𝟓. 𝟓𝟖

𝑬𝑰

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4. Resolución de marcos por el método de Mohr.

Para obtener los valores de las tablas de Mohr, la integral calcula el producto del área

del grafico M por el grafico m. Es necesario tener en cuenta que la ordenada de M se escoge

siempre en el grafico rectilíneo. En el caso particular, cuando los dos gráficos son rectilíneos,

se puede multiplicar el área de cualquiera de ellos por la correspondiente ordenada del

otro. Cuando se trata de cargas corrientes compuestas por momentos concentrados

exteriores, fuerzas concentradas y cargas uniformemente distribuidas, entonces cualquier

grafico de momentos se puede descomponer en gráficos simples de tipo rectangular,

triangular y parabólico de segundo orden.

Para acelerar los cálculos emplearemos la tabla de los productos de los gráficos para

resolver el ejemplo 2.1a.

Ejemplo 2.1b

Los primeros pasos son los mismos, por lo que no se repiten en este ejemplo. Es decir,

se obtienen las ecuaciones de los momentos M, de los momentos m correspondientes a la

carga virtual en E y de los momentos m correspondientes al momento virtual en A. También

se obtienen los diagramas de momentos flexionantes correspondientes a estas ecuaciones

trazados en las figuras 3.4, 3.6 y 3.8 respectivamente.

Figura 3.4 Página 13 > Tema 3.- Deflexiones y rotaciones en marcos por el método de trabajo virtual.

Momento flexionante real en el marco

80

2m 4m

2m

2m

20

20

A

B

C D E

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Figura 3.6 Página 14 > Tema 3.- Deflexiones y

rotaciones en marcos por el método de trabajo virtual.

Diagrama virtual de m de acuerdo a la deflexión en el

punto E del marco

Figura 3.8 Página 15 > Tema 3.- Deflexiones y

rotaciones en marcos por el método de trabajo

virtual.

Diagrama virtual de m de acuerdo a la rotación en

el punto A del marco

Se utilizan las tablas para obtener los resultados de la integración señalada en la ec 1.2

para el cálculo de la deflexión en E. En el tramo AB, el diagrama de M es un triángulo con

vértice en A y el diagrama de m es otro triangulo con el vértice también en A. Por lo tanto,

se entra en los datos de la tabla de integrales de Mohr, se tiene que corresponden a

triángulos con el vértice en el mismo extremo, y se determina que el resultado de la

integración es 1

3𝑚𝑀𝑙 donde 𝑚 es la altura del triangulo, 2 en el diagrama de 𝒎, 𝑀 es la

altura de 20m en el triángulo del diagrama de M y 𝑙 es la longitud del tramo, 2m. Para el

tramo BC, el diagrama de M es un rectángulo y el de m es un trapecio.

Calculo de la deflexión en E

Tramo AB

∆1=1

𝐸𝐼∗ (

1

3𝑚𝑀𝑙)

∆1=1

𝐸𝐼∗ (

1

32 ∗ 20 ∗ 2)

∆1=1

𝐸𝐼∗

1

3(80) =

𝟏

𝑬𝑰(𝟐𝟔. 𝟔𝟔)

Tramo BC

∆2=1

𝐸𝐼∗ (

1

2𝑚1 + 𝑚2) 𝑀𝑙

∆2=1

𝐸𝐼∗ [

1

2(2 + 4)(20 ∗ 2)]

∆2=1

𝐸𝐼∗ [

1

2(6 ∗ 40)]

∆2=1

𝐸𝐼[1

2(240)] =

𝟏

𝑬𝑰(𝟏𝟐𝟎)

8/3

2m 4m

2m

2m

4

4

A

B

C D E

2

2m 4m

2m

2m

2/3 1

1

A

B

C D E

1

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De manera similar, para el tramo ED hay que combinar dos triángulos con el vértice en

el mismo extremo, y para el tramo DC, dos trapecios.

Tramo ED

∆3=1

2𝐸𝐼∗

1

3𝑚𝑀𝑙

∆3=1

2𝐸𝐼∗

1

3(4 ∗ 80 ∗

8

3)

∆3=1

2𝐸𝐼[1

3(853.33]

∆3=𝟏

𝑬𝑰(𝟏𝟒𝟐. 𝟐𝟐)

Tramo DC

∆4=1

2𝐸𝐼∗

1

6[𝑚1(2𝑀1 + 𝑀2) + 𝑚2(𝑀1 + 2𝑀2)]𝑙

∆4=1

2𝐸𝐼∗

1

6[2(20 ∗ 4) + 20 ∗

2

3+ 80 ∗ 4 + 2(80 ∗

8

3)] 2

∆4=1

2𝐸𝐼∗

1

6[2(80) + 53.33 + 320 + 426.66]2

∆4=1

2𝐸𝐼∗

1

6(960) =

𝟏

𝑬𝑰(𝟏𝟔𝟎)

Con el mismo procedimiento se ha calculado la rotación en A, combinando por tramos

los diagramas de M y de m para momento virtual unitario en A.

Calculo de la rotación en A

Tramo AB

𝜃1 =1

𝐸𝐼∗

1

2𝑚𝑀𝑙

𝜃1 ==𝟏

𝑬𝑰(𝟐𝟎)

Tramo BC

𝜃2 =1

𝐸𝐼∗ 𝑚𝑀𝑙

𝜃2 =1

𝐸𝐼∗ (1 ∗ 20 ∗ 2) =

𝟏

𝑬𝑰(𝟒𝟎)

Tramo ED

𝜃3 =1

2𝐸𝐼∗

1

3𝑚𝑀𝑙

𝜃3 =1

2𝐸𝐼∗

1

3(4 ∗

2

3∗ 80)

𝜃3 =𝟏

𝑬𝑰(𝟑𝟓. 𝟓𝟓)

Tramo DC

𝜃4 =1

2𝐸𝐼∗

1

6[𝑚1(2𝑀1 + 𝑀2) + 𝑚2(𝑀1 + 2𝑀2)]𝑙

𝜃4 =1

2𝐸𝐼∗

1

6[1(2 ∗ 20 + 80) +

2

3(20 + 2 ∗ 80)2]

𝜃4 =1

2𝐸𝐼∗

1

6[120 + 2/3(80)]2 =

𝟏

𝑬𝑰(𝟒𝟎)

Tanto para la deflexión como para la rotación, los valores calculados son iguales a los del

ejemplo 2.1a, excepto por los ajustes en los decimales.

∆𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍=1

𝐸𝐼(26.67 + 120 + 142.22 + 159.78) =

𝟒𝟒𝟖. 𝟔𝟕

𝑬𝑰→

𝜽𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 =1

𝐸𝐼(20 + 40 + 35.55 + 40.03) =

𝟏𝟑𝟓. 𝟓𝟖

𝑬𝑰

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