circuitos electricos

INFORME II, CIRCUITOS ELÉCTRICO II 1

Respuesta transitoria y estacionaria de circuitos de1er y 2do orden

Anzola F. Lizeth, Cod. 223656, López R. Zulma,Cod. 25451437, Romero A. Daniel,Cod. 25451423

Resumen—This report presents the results of the secondpractice of the art electrical circuits II are shown in this electricalcircuits first- and second-order work, which is equivalent to madeup resistance, inductance and / or capacitance configurations.

In the development of practical tools paramount, such as pha-sors or use the Thevenin equivalent, are checked for resolutionof first order circuits.

Index Terms—Respuesta transitoria, respuesta natural, res-puesta forzada, respuesta estacionaria, fasores, frecuencia na-tural, respuesta amortiguada, sub-amortiguada y críticamenteamortiguada.

I. INTRODUCCIÓN

Un circuito lineal puede estar conformado por resistencias,capacitancias, inductancias y fuentes, dependiendo de cualesde estos sean incluidos en una configuración dada, se puederepresentar el circuito con una ecuación integro- diferencialde primero o segundo orden. Dependiendo de la ecuación queinterprete al circuito se puede decir que este es de primer osegundo orden.

En este informe se utilizara el método de reducción deequivalente Thévenin, como en el informe anterior, pero estavez se utilizara para analizar de manera mas sencilla circuitosde primer orden, osea los compuestos por una resistencia y uncapacitor ( RC ) o una resistencia y un inductor( RL ).

A continuación se planteara un circuito de segundo ordenconformado por una resistencia, un inductor y un capacitor,esto con el fin de estudiar la respuesta transitoria de laconfiguración dada. También se analizara que cambios sedeben dar para lograr una respuesta sub-amortiguada, sobre-amortiguada y críticamente amortiguada, así como la formaque describe cada una al ser traficada una de las variables delcircuito.

II. MARCO TEÓRICO

II-A. Circuito RL

El inductor o bobina es un componente pasivo, represen-tado circuitalmente con la letra "L", consta de un conductorenrollado en torno a un núcleo. Si en un circuito está presenteun inductor y a través de él pasa una corriente variable enel tiempo, ésta crea un campo magnético variable, el cual asu vez autoinduce una fuerza electromotriz que se opone a lacorriente que lo originó, mientras que si corriente es constantet el efecto del inductor desaparece. Uno de los principales usosde los inductores en circuitos DC es que ayudan a manteneruna corriente estable aunque existan posibles fluctuacionesen el voltaje aplicado, como en los circuitos AC, donde elinterés es suprimir las variaciones de corriente. Un circuito

RL consta de una resistencia y una bobina en serie o paraleloy una fuente de alimentación. Cuando se cierra el circuito,la resistencia equivalente y la inductancia equivalente sonrecorridas por la misma corriente. Dicha corriente varia en eltiempo hasta llegar a un valor constante, el tiempo que dura enllegar a estado estable se le llama respuesta transitoria y duraaproximadamente 5 veces el tiempo de relajación, el cual sedetermina como τ = L

R . Al estado estable se le llama respuestaestacionaria.

La corriente eléctrica variable crea un campo magnético,éste un campo eléctrico, el cual genera una corriente cuyosentido se opone a la corriente que la creó, originalmente,dicho fenómeno se le llama autoinductacia.

A su vez el voltaje en la bobina deciente hasta un valorcercano a cero, de tal forma que la bobina en estado establese puede simular como un cortocircuito.

II-B. Circuito RC

Es un circuito que consta de condensadores y resistenciasenergizados por una Fuente. Para estudiar circuitos RC esnecesario conocer los siguientes conceptos:

Tiempo de carga: τ=RC define el tiempo necesario paraque el condensador se cargue el 63.2 % de la carga total.Respuesta natural: para un circuitos RC es exponencialy tiende a desaparecer con el tiempo.

Rtanatural = Ke−tτ (1)

Respuesta forzada: Vca Describe el comportamiento delcircuito cuando la respuesta natural ha desaparecido,corresponde al voltaje thévenin visto desde las terminalsdel condensador.Respuesta total: es la suma de la respuesta natural y larespuesta forzada. La siguiente ecuación resulta de resol-ver el circuito mediante leyes de Kirchhoff y ecuacionesdiferenciales, teniendo en cuenta condiciones iniciales

V (t) = Vca + (V (0)− Vca)e−tτ (2)

II-C. Circuitos de segundo orden

Cuando se colocan tres elementos como una resistencia,un capacitor y un inductor en un mismo circuito se produceun sistema de segundo orden, el cual esta definido por unaecuación de segundo orden o dos ecuaciones de primer orden.Esta característica obliga a estudiar dos constantes arbitrarias,así como determinar condiciones iniciales de las derivadas[1].


Un ejemplo de dicha configuración puede ser un circuitoconformado por los tres elementos mencionados anteriormen-te, una resistencia, un capacitor y una inductancia, tambiénconocidos como circuitos RLC, colocados en serie como sepuede ver a continuación.

Figura 1: Circuito RLC en serie

Para realizar un análisis apropiado del circuito anterior sedebe usar la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK), esta implicaque la sumatoria de todos los voltajes en un lazo cerrado esigual a 0[2]. De esta manera se puede estudiar la siguienteecuación.

VC + VL + VR = 0 (3)

Pero para poder estudiar el sistema es necesario colocartodas la variables en términos de una sola variable, es estecaso es mas sencillo relacionar todos los elementos con lacorriente de malla ya que esta es igual para todos.

Es importante destacar la relación que existe en el voltajede la resistencia con la corriente a través de la ley de ohm.

VR = I ∗R (4)

Así mismo se puede ver la relación del voltaje del conden-sador con la corriente de este.

VC =1

C

∫Iδt (5)

En la ecuación anterior C equivale a la capacitación del con-densador. De manera semejante como en los casos anterioresse debe utilizar la relación del voltaje sobre el inductor.

VL = Lδi

δt(6)

Utilizando todo lo anterior se puede plantear la ecuación demalla

I ∗R+1

C

∫Iδt+ L

δi

δt= 0 (7)

Derivando todas las expresiones y ordenando, se tendría.

Lδ2I

δt2+R

δI

δt+

1

CI = 0 (8)

Dividiendo todo en la inductancia (L)

δ2I

δt2+R

L

δI

δt+

1

LCI = 0 (9)

Al valor que acompaña al factor independiente se le co-noce como frecuencia natural del sistema [3] y representa la

frecuencia de oscilación de la corriente( en este caso ) si noexistiera ningún medio que disipara energía.

El valor que multiplica al factor de primer orden esta rela-cionado con una constante de amortiguamiento que ocasionaque la energía se disipe, en este caso la disipación de energíaesta asociada con un cociente de la resistencia y la inductancia.

Partiendo del circuito anteriormente descrito, el cual notiene fuente, se puede llegar a la respuesta transitoria delsistema. Existen tres tipos de respuestas que se encuentrandeterminadas por el valor de la frecuencia natural y la disipa-ción del sistema.

Si se denomina ω0 a la frecuencia natural y α a la divisióndel factor que acompaña al termino de segundo orden .

α =R

2L(10)

II-C1. Respuesta Sobre-Amortiguada : Este tipo de res-puesta se da cuando α es mayor que ω0, por lo tanto el sistemadisipa tanta energía que no alcanza a oscilar, asi que el sistemadecaera lentamente hasta perder toda su energía.

II-C2. Respuesta Sub-Amortiguada : Este es el casocontrario al anterior, en el cual α es menor a ω0 lo que implicaque la frecuencia natural es mayor a la disipación del sistema,por lo tanto el sistema tendrá su oscilación natural pero acotadapor un valor envolvente que la hace perder energía de formaexponencial.

II-C3. Respuesta críticamente-Amortiguada : En estecaso los dos valores de interés son iguales, α es igual ω0, estees la respuesta que normalmente se busca, aunque es imposiblede lograr[4] es el ideal, en este caso es cuando mas rápidopierde energía el sistema.

A continuación se puede apreciar el comportamiento delsistema en los tres casos presentados anteriormente.

Figura 2: Diferentes respuestas circuito RLC

III. CIRCUITO I: CIRCUITO RL

III-A. Circuito RL - Respuesta transitoria

Se planteó el circuito mostrado en la siguiente figura, conel fin de analizar la respuesta transitoria de un circuito RLalimentado con una fuente DC.


Figura 3: Circuito RL

Para analizar el circuito para valores menores que cero,tomando como cero el momento en el cual se cierra el circuito,la corriente es cero. Para valores mayores a cero segundos serealiza LVK en la malla resultante al reducir las resistenciasa una resistencia equivalente de 27Ω.

i+ Ldi

dt− V1 = 0 (11)

L

R∗ didt

=V1R− i (12)

∫ i0

it

R

Ri − V1δi =

∫ 0

t

−LRδt (13)

i(t) =V1R− V1Re

−RL t (14)

En la expresión anterior se pueden evidencia los dos tiposde respuesta, el primer término corresponde a la respuestaestacionaria y el segundo término la transitoria.

En el caso del circuito planteado la corriente es determinadapor la siguiente ecuación:

i(t) = 370− 370e−5744668tmA (15)

Con un tiempo de relajación de 2 µ s. En las siguientesimágenes se puede observar el comportamiento de la corrientey el voltaje en el inductor durante la respuesta transitoria.

Figura 4: Corriente de circuito RL

Figura 5: Voltaje de circuito RL

Para analizar los efectos que tendrían los cambios en lavariaciones de los valores R y L. Los valores teóricos sepueden observar en la siguiente tabla, los cálculos fueronrealizados con la información dada y el mismo procedimientoya descrito.

Req L τ t27 Ω 47 µ H 2 µ s ≈ 10 µs27 Ω 188µ H 7µ s ≈ 35µs51 Ω 47µ H 0.9 µS ≈ 4.5µs

Tabla 1: Circuito RL

En la primera columna se registran la resistencia equivalen-te, la segunda es la inductancia equivalente, en la tercera semuestran los tiempos de relajamiento y en la última el tiempoaproximado que dura la respuesta transitoria.

Como se puede observar el diseñó se debió basar enencontrar un tiempo de relajación lo suficientemente alto parapoder evidenciar la respuesta transitoria en el osciloscopio,teniendo en cuenta que la resistencia equivalente no puede sertan baja para obtener una corriente peligrosamente alta, y elvalor de la inductancia no sea de un orden muy alto puestoque no son fáciles de obtener.

IV. CIRCUITO II - CIRCUITO RC

IV-A. Circuito RC: Respuesta transitoria

Figura 6: Circuito RC

Para el diseño del circuito se escogió un esquema comoel de la figura 6 y se analizó con variables R1, R2, R3, R4,V = 15V , C = 220uF , τ=1s, los valores de τ y C fueronelegidos para observar fácilmente su respuesta transitoria.Contando con estos datos averiguar la resistencia equivalentedel circuito resulta sencillo.

Req =τ

C= 4545, 45Ω (16)

Req = (R1||R2 +R3)||R4 (17)


Con esta relación se determinan los valores de las cuatroresistencias.

Ahora bien, para evaluar la respuesta forzada (voltaje sobreR4) se considera el capacitor como un circuito abierto y seaplica el método de nodos, encontrando que:

Vca = 3, 43V (18)

De la ecuación mencionada en el marco teórico, se defineque para este circuito el voltaje sobre el condensador es:

V (t) = 3, 43− 3, 43e−t (19)

Y la gráfica que lo describe es la siguiente.

Figura 7: Gráfica correspondiente al voltaje del condensador del circuito de la figura 6

La variación del condensador o de la resistencia implicaun cambio directamente proporcional en el tiempo de carga.Teóricamente el cambio del condensador no afecta la respuestaforzada ya que esta depende de las resistencias y de la fuente.

V. CIRCUITO III - CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

Para la practica se propuso un circuito RLC alimentado poruna fuente de 4 V y una resistencia limitadora de 100 Ω, acontinuación se puede ver la configuración propuesta.

Figura 8: Circuito RLC con fuente

El objetivo del circuito es conmutar para que la fuentealimente el circuito RLC y poder darle ciertas condicionesiniciales, teniendo en cuenta que cuando ha pasado muchotiempo la inductancia se comporta como un corto circuito yel capacitor como un circuito abierto, la corriente del inductora largo plazo sera la del lazo principal y el voltaje delcondensador sera el voltaje sobre la segunda resistencia.

El objetivo de este ítem es variar los parámetros paraconseguir las distintas respuestas que puede tener un circuitoRLC, en esa medida se propone dejar constantes los valores del

la capacitación y la inductancia, de forma que solo al modificarla resistencia se logre variar el tipo de respuesta transitoria.

C = 0,1 µ F, 50VL = 10 mH

Cuando ya se tienen las condiciones iniciales se puedeconmutar el interruptor para encontrar la respuesta natural(transitoria ) del sistema, estudiando el siguiente circuito.

Figura 9: Circuito RLC

Partiendo de las relaciones de voltaje y corriente de los treselementos, haciendo uso del método de notos y que el voltajees común, se puede plantear la siguiente ecuación.

V

R+

1

L

∫V δt+ C

δV

δt= 0 (20)

Derivando cada parte de la expresión y ordenando.

Cδ2V

δt2+

1

R

δV

δt+

1

LV = 0 (21)

Dividiendo toda la expresión en C.

δ2V

δt2+

1

CR

δV

δt+

1

LCV = 0 (22)

Si se supone el que el voltaje es un valor complejo multi-plicado por una exponencial compleja.

V (t) = Aest, A, s ∈ C (23)

Remplazando V(t) en la ecuación 11 se obtiene esta expre-sión.

(Cs2 +1

Rs+

1

L)Aest = 0 (24)

Esto implica que alguna de las dos expresión debe ser iguala 0, Aest es el voltaje, si este se supone 0 se llega a la respuestatrivial la cual en este caso no es de interés por lo tanto lo queesta dentro del paréntesis debe ser igual a 0.

Haciendo uso de la cuadrática se puede llegar al valor de s,que en realidad tiene dos valores.

s1,2 = − 1

2RC±√

(1

2RC)2 − 1

LC(25)

Si se llama a 12RC como α y si se tiene en cuenta que 1

LCes el cuadrado de la frecuencia natural se puede llegar a lasolución del sistema, usando teoría de ecuaciones diferencialesse obtiene la siguiente expresión.

V (t) = A1es1t +A2e

s2t, s1,2 = −α±√α2 − ω2

0 (26)


V-A. Respuesta sobre-amortiguada

Partiendo de lo mencionado en el marco teórico se tieneuna respuesta sobre-amortiguada cuando α es mayor a lafrecuencia natural, por lo tanto.

1

2RC<

1√LC

(27)

Por lo tanto.

R <

√LC

2C→ R <

√10x10−3 ∗ 0, 1x10−6

2 ∗ 0, 1x10−6≈ 158Ω (28)

A partir de lo anterior se escogió una resistencia de 100 Ωy se supone el siguiente circuito.

Figura 10: Circuito RLC

Partiendo de la figura 3 se pueden encontrar las condicionesiniciales del circuito, para el voltaje se puede realizar divisorde voltaje.

Vci = 4 ∗ 100

200= 2V (29)

Partiendo de la solución general, es importante hallar elvalor de s1 y s2.

S1 = − 1

200 ∗ 0, 1E−6+

√(

1

200 ∗ 0, 1E−6)2 − 1

10E−3 ∗ 0, 1E−6= −11270, 2

(30)

S1 = − 1

200 ∗ 0, 1E−6−√

(1

200 ∗ 0, 1E−6)2 − 1

10E−3 ∗ 0, 1E−6= −88729, 8

(31)De esta manera la respuesta del sistema seria así.

V (t) = A1e−11270,2t +A2e

−88729,8t (32)

Para encontrar las constantes A1 y A2 se deben utilizar lascondiciones iniciales, de forma que en el instante 0 el voltajesobre el capacitor es igual a 2, de esta forma remplazando enla ecuación 21 este valor y t por 0 se obtiene.

2 = A1 +A2 (33)

De igual manera la corriente por el capacitor es igual a 0, laexpresion de la corriente para el condensador se puede hallarderivando el voltaje y diviediendolo en C.

iCi =1

c(s1A1e

s1t + s2A2es2t) (34)

Remplazando la condición inicial.

s1CA1 +

s2CA2 = 0 (35)

Remplazando valores y sustituyendo la ecuación 24 en la22, se pueden obtener los valores constantes y llegando a laexpresión final.

V (t) = 2, 3e−11270,2t − 0, 3e−88729,8t (36)

Gráficando esta ecuación se tiene el valor del voltaje enel circuito, a continuación se puede verificar el resultado degráficar la ecuación obtenida.

Figura 11: Voltaje circuito sobre-amortiguado

Realizando la simulación se obtuvo el siguiente gráfico.

Figura 12: Simulación Voltaje circuito sobre-amortiguado

V-B. Respuesta críticamente-amortiguada

En este caso la resistencia tiene que ser igual a 158 Ω comose vio en el ítem anterior, entonces el primer paso seria hallarlas condiciones iniciales, solo que esta vez sera necesariohallar la corriente en el condensador un instante despues deque se hace la conmutación.

V (Ci) = 4 ∗ 158

258= 2, 45V (37)

ILi =4

258= 15, 5mA (38)

La corriente sobre el capacitor sera el flujo sobre la resis-tencia mas la corriente sobre el inductor.


I+Ci =2, 45

158+ 15, 5x10−3 = 31mA (39)

La ecuación que representa la respuesta esta dada por lasiguiente solución de la ecuación diferencial.

V (t) = e−αt(A1t+A2) (40)

Usando la primera condición inicial, V(0) = 2,45, se puedeencontrar la primera constante.

V (0) = A2 = 2, 45 (41)

Para encontrar la segunda contante se puede utilizar lasegunda condición, teniendo en cuenta que la corriente delcapacitor es la derivada del voltaje sobre la capacitancia.

ic(t) =1

C(A1e

−αt − αA1e−αtt− αA2e

−αt) (42)

Remplazando la condición inicial y despejando A1 se ob-tendría.

A1 = C ∗ i+ci + αA2 = 77531, 7 (43)

Por lo tanto la ecuación que representaría la respuesta delsistema es.

V (t) = e−31645,6t(77531, 7t+ 2, 45)V (44)

La gráfica que representa la respuesta se puede ver acontinuación

Figura 13: Voltaje circuito críticamente-amortiguado

Así mismo se puede simular el circuito y encontrar elsiguiente resultado

Figura 14: Simulación Voltaje circuito críticamente-amortiguado

V-C. Respuesta Sub-amortiguada

En este caso es necesario que la resistencia sea mayor a158 Ω, por lo tanto se escogió un valor de 400 Ω. Después deelegir este valor se pueden hallar las condiciones iniciales.

V (ci) = 4400

500= 3, 2V (45)

I(Li) =4

500= 8mA (46)

I+(Ci) =3, 2

400+ 8x10−3 = 16mA (47)

En este caso la frecuencia del sistema es compleja, por lotanto se tendra una respuesta como la que se puede ver acontinuación.

V (t) = e−αt(B1Cosωdt+B2Senωdt) (48)

Como se puede ver esta respuesta es similar a la respuestaque se obtendría si no existiera disipación de energía, perocondicionada por una señal envolvente de tipo exponencial.El valor ωd es conocido como frecuencia resonante natural.

ωd =√ω20 − α2 (49)

α = 12500→ ωd = 29047, 4 (50)

Por condiciones iniciales es fácil hallar el valor de laconstante B1.

V (0) = B1 = 3, 2 (51)

Para encontrar la segunda constante se puede a través dela corriente sobre el capacitor, la cual se encuentra derivandoel voltaje, pero como se sabe que cuando remplacemos lasvariables t por 0, todos los términos que estén multiplicadospor un seno se anularan, estos se pueden obviar en el calculo.

IC =1

C(−αe−αtB1cosωdt+B2ωde

−αtcosωdt) (52)


Remplazando las condiciones inicial se tendria.

B2 =C ∗ I+Ci + αB1

ωd= 1, 38 (53)

Por lo tanto la ecuación que representa la respuesta crítica-mente amortiguada seria la siguiente.

V (t) = e−12500t(3, 2cos(29047, 4t) + 1, 38sen(29047, 4t))V(54)

La gráfica de la ecuación anterior quedaría así.

Figura 15: Voltaje circuito sub-amortiguado

El resultado de este circuito simulado.

Figura 16: Simulación voltaje circuito sub-amortiguado

VI. RESULTADOS Y ANÁLISIS

VI-A. Circuito I: Circuito RL

Respuesta transitoriaEn el laboratorio se implementó el circuito RL propuestoen el preinforme correspondiente con el fin de analizarla respuesta transitoria de un circuito RL alimentado conuna fuente DC.No obstante, se relizaron algunos cambios, puesto queen el laboratorio se obtubo un inductor de 9mH, lo cualcambia el tiempo de ralajación calculado, aumentandolo,de tal manera que podría apreciarse con mayor facilidadla respuesta transitoria.Con el nuevo valor de inductancia se obtienen los si-guientes cálculos:

i(t) = 370− 370 ∗ e−3000tmA (55)

τ =9mH

27Ω= 333µs (56)

La simulación correspondiente es:

Figura 17: Voltaje del inductor

Figura 18: Corriente del inductor

En la práctica un tiempo de relajación de 333µs no fuesuficiente para poder observar la respuesta transitoria enel osciloscopio. Es importante resaltar que la dinámicapara diseñar el circuito fue determinante para escogerel mayor tiempo de relajación posible, como se puedeobservar en el marco teórico y en el diseño, el tiempode relajación o tau es el cociente entre la inductanciay la resistencia equivalente, se busca que la resistenciaal estar en el denominador sea lo más baja posible sinque la corriente sea peligrosamente alta, mientras que lainductancia debía ser lo más alta posible, el obstáculoen este punto era la obtención de la inductancia, puestoque comercialmente no se encuentran bobinas con altasinductancias. Esta dinámica se pudo observar claramenteen los cálculos descritos en el diseños, las implicacionesde variar los valores de la resistencia equivalente y lainductancia en el tiempo de relajamiento, a pesar de quelas variaciones se aplicaron en la práctica no fue posiblever claramente la respuesta transitoria.Sin embargo, si fue posible ver que el circuito se cargabay se descargaba, es decir el comportamiento de la corrien-te en la inductancia,con ayuda del multímetro, y con elosciloscopio se pudo ver el rápido cambio del voltaje enle inductor y se tomaron las siguiente imágenes:




Respuesta estacionariaPara observar la respuesta estacionaria en AC, se utilizó

el mismo circuito RL probado para observar la respuestatransitoria en DC. En vez de de una fuente de tensión DC,se alimentó el circuito con una generador de señales con unaseñal sinusoidal de 10Vp y frecuencia de 100 Hz.

Los valores teóricos calculados en el diseño fueron:

Z = 27 + j5,65 = 152,55 < 90oΩ (57)

I =10 < 0o

152,55 < 90o= 362 < −11,8omA (58)

VL = 0,362 < −11,8o ∗ 5,65 < 90o = 2,05 < 78oV (59)

El diagrama fasorial correspondiente a este circuito RL es:

Figura 21: Diagrama fasorial Circuito RL

Las simulaciones realizadas fueron:

Figura 22: Circuito RL con señal AC

Figura 23: Simulación Circuito RL

Donde I(L1)corresponde a la corriente del inductor y V(6)al voltaje del mimo elemento. Se puede observar claramenteque los cálculos concuerdan con la simulación, tanto en lamagnitud, como en la fase de las señales.

Al realizar la preáctica, en el osciloscopio se visualizó laseñal de alimentación y la salida, el voltaje en el inductor:

Figura 24: Circuito RL con señal AC

La señal de entrada está a 5V/div, por lo que se pueden verclaramente los 10Vp , mientras que el voltaje del inductor estáa 5V/div, como se puede observar su voltaje pico se redujoa 2V, aproximadamente, con un pequeño desfase como secalculó con el diseño y se evidenció en la simulación. Esto seprodujo porque en un circuito RL el voltaje de la resistenciase encuentra en fase con la corriente, mientras que el voltajedel inductor adelanta 90o a la corriente, lo cual produce undesfase entre el voltaje de alimentación y el del inductor.

La curva de Lissajous correspondiente al circuito RL ana-lizado es:

Figura 25: La curva de Lissajous

La figura de la curva de Lissajous se obtiene de la superpo-sición de dos movimientos armónicos, su figura depende de larelación entre las frecuencias, que en este caso son iguales y eldesfase entre las dos, que este caso son de 78o, como se expusoen los cálculos teóricos. No obstante, se puede calcular estedesfase con la curva como se muestra a continuación, tomandolos valores en el eje Y, correspondientes al corte con el mismoeje y el punto más alto de la curva:

θ = arcsin(5

5,2) = 74,06omA (60)

Dicho ángulo es bastante cercano al calculado teóricamentemediante fasores.


VI-B. Circuito II: Circuito RC

Se realizó el montaje de la figura 6 para observar lasrespuestas transitoria y estable del circuito RC, como semencionó el tiempo de relajación elegido fue de 5s, gracias aesto la respuesta transitoria del circuito es fácil de visualizaren el osciloscopio (video 1), cuya escala de tiempo era de:0, 1s/div y de voltaje:1V/div; pasado el tiempo de relajación,con el multímetro se obtuvo un voltaje de 3, 431V sobre elcondensador, es decir su respuesta estable, que concuerda conel osciloscopio y con la teoría.

Usando un potenciómetro para lograr mayor exactitud, sereemplazó el conjunto de resistencias y la fuente por suequivalente thévenin (figura 26), y se observó que el cambiode la respuesta transitoria es apenas perceptible, y la respuestaestable fue de 3, 433.

Figura 26: Equivalente Thévenin del circuito RC

Adicionalmente se variaron los valores de resistencia equi-valente y de capacitancia del circuito, los datos se encuentranconsignados en la siguiente tabla:

R_eq [Ω] C[µF ] V_ca [V ] τ [s] t/div V/div Video4,4k 10 3,427 0,04 200m 1 21k 220 750m 0,22 200m 0,5 3

Tabla X: Comportamiento de la respuesta de un circuito RC ante cambios de susvariables

Como se evidencia en los videos , la variación de lacapacitancia no afecta la respuesta estable, sino su tiempo decarga o descarga, por lo tanto el exponente de la respuestaestacionaria se modifica inversamente proporcional; por otraparte, la variación de la resistencia tiene una relación direc-tamente prorcional con el voltaje de la respuesta estable y lamisma relación del capacitor con la respuesta estacionaria.

Con respecto a la respuesta del circuito alimentado porfuente AC, se implementó el circuito de la figura 27.

Figura 27: Circuito RC en AC

En la siguiente figura se encuentra la simulación del voltajey la corriente del condensador, se observa claramente eladelanto de 90 de la corriente.

Figura 28: Simulación del circuito RC en AC

A continuación se presenta el correspondiente análisis ydiagrama fasorial(figura 29), realizado después de hallar elequivalente thévenin.

Vth = 2, 29 < 0oV Rth = 4440Ω (61)

Zth = 4440− j45, 45Ω = 4440 < 0, 58o (62)

I =2, 29 < 00

4440 < 0, 58o= 10, 3 < 0, 59omA (63)

V =2, 29 < 00

45, 45 < −90o= 50, 3 < 89, 99omV (64)

Figura 29: Diagrama fasorial del circuito RC

En la implementación práctica, con el osciloscopio se midióel voltaje de la fuente(5V/div) vs el voltaje del condensa-dor(5mV/div). De forma similar al circuito RL el voltaje de laresistencia se encuentra en fase con la corriente, pero en estecaso la corriente adelanta al voltaje en 90, lo cual se puedeobservar en la figura 30.

Figura 30: Circuito RC con señal AC.

VI-C. Circuito III: Circuito de segundo orden

En la práctica se montó el circuito propuesto en la figura 3,la conmutación se realizó de manera manual, es decir cogiendoel cable que va hacia el inductor y conectándolo a tierradirectamente o a la resistencia limitadora.

Esta práctica manual supuso un inconveniente que no sehabía tenido en cuenta al momento de plantear el circuito, yaque al momento de retirar la terminal que conecta al circuito


con la fuente el inductor queda libre, pero el condensadorqueda en serie con la resistencia, lo cual conforma un circuitoRC, como el que se ve a continuación.

Figura 31: Circuito RC

En este caso el tiempo de descarga estaría dado por el taode la ecuación que expresa el voltaje sobre el condensador.

V (t) = Voe− tRC (65)

Donde tao es igual a RC, se tiene como precepto que elcondensador esta prácticamente descargado en 5 veces tao,de esta manera se puede encontrar el tiempo de descarga delcondensador, para el caso de la resistencia de 100 Ω.

tdes = 5 ∗ 100 ∗ 0, 1x10−6 = 50µs (66)

Esto significa que el condensador estará descargado antesde que manualmente se pueda realizar la conmutación.

De manera que de forma práctica se intentó retirar laresistencia, para que el condensador no tuviera por dondedescargarse, aunque en primera medida ocurren cambios sobrelas condiciones que se tenían previstas. El nuevo circuitoquedaría de la siguiente manera.

Figura 32: Circuito sin resistencia

Como se puede ver a largo plazo el condensador se compor-tará como un circuito abierto, por lo tanto no habrá corrientey el condensador se cargará al voltaje de la fuente, o sea 4 V,el doble de lo que se tenia en cálculos anteriores.

De todas maneras se intento realizar así el análisis utilizadoel osciloscopio, para ver la respuesta transitoria en el voltajedel condensador, de esta forma se desconectó la resistencia,el condensador se cargó al voltaje de la fuente y al momentode conectar el inductor a tierra para formar un circuito LC,nuevamente el voltaje del condensador se cayó rápidamente.

Esto no tenía sentido ya que se pensaba que el condensadorquedaba aislado de forma que no tenía como descargarse, laúnica opción posible era que de alguna manera se estuvieradescargando por el osciloscopio. Se analizó que el instrumentode medida tenia una impedancia de entrada por la cual se podíadescargar el condensador.

Posterior a la práctica se investigó que la resistencia deentrada del osciloscopio analógico con el cual se realizó elprocedimiento es igual a 1 MΩ, con este valor se puede hallarel tiempo de descarga del condensador.

tdes = 5 ∗ 1x106 ∗ 0, 1x10−6 = 0, 5sµs (67)

Por lo tanto, aunque por un breve instante se veía el voltajede la fuente sobre el condensador, este no duraba mucho. Porultimo se remplazó el condensador de 0,1 µF por uno de 3300µF, esto aumenta el tiempo de descarga de manera notable.

tdes = 5 ∗ 1x106 ∗ 3300x10−6 = 16500sµs (68)

Esto se puede ver en el video anexo "Descarga condensador3300 µ F", en este se aprecia como al retirar la conexión a lafuente el condensador sigue cargado y al completar el circuitoLC este se descarga.

Aunque a simple vista la pregunta seria ¿por que no seescogió desde un comienzo el condensador mas grande?, larazón radica en la ecuación 17, en esta se encuentra el valorde la resistencia çritica.en la cual se define el tipo de respuestatransitoria. Si se realiza el cambio planteado anteriormente setendría lo siguiente.

Rcritica =

√10x10−3 ∗ 3300x10−6

2 ∗ 3300x10−6= 0, 87Ω (69)

Esto significa que para lograr una respuesta críticamenteamortiguada se requeriría una resistencia de 0, 87Ω, o enun caso peor, para una respuesta sobre − amortiguada serequeriría una menor a este valor. Así mismo la corrienteaumentaría su valor considerablemente, alcanzando hasta 3 A.

Ante todos estos planteamientos se podría decir que lasolución más viable es aumentar el valor de la inductancia,pero esto es una labor complicada, pasar de los 10 mH esuna misión difícil ademas esto no solucionaría la primeraproblemática de la descarga del condensador.

Realizando el cálculo con un inductor del doble de lainductancia se puede ver que la diferencia en la resistenciacrítica no es mucha.

Rcritica =

√20x10−3 ∗ 3300x10−6

2 ∗ 3300x10−6= 1, 23Ω (70)

VII. RESPUESTAS A PREGUNTAS SUGERIDAS

1. ¿Qué sucede con la respuesta transitoria en un circuitoRC y RL al variar R equivalente?

Circuito RL: Como se mencionó en el preinforme einforme de la presente práctica, la resistencia equi-valente del circuito es inversamente proporcionalal τ , por lo tanto al disminuir la resistencia seobtiene un tiempo de relajación mayor, es decirque la respuesta transitoria demora más tiempo endesaparecer.Circuito RC: En el caso del circuito RC el cam-bio de la resistencia equivalente es directamenteproporcional al tiempo de relajación, por lo tanto


aumentar la resistencia implica una mayor duraciónde la respuesta transitoria.

2. ¿La impedancia de la fuente o generador de señales tienealgún impacto el la respuesta transitoria?. Demuestrelo.

Como se puede analizar en el circuito de segundoorden, la impedancia de salida de la fuente o elgenerador juega un papel fundamental, teniendoen cuenta que la resistencia çrítica"que conformael circuito es bastante baja. En el caso particularmostrado en la figura 8, se puede apreciar que enun lapso largo de tiempo se tiene un circuito enserie de una fuente y dos resistencias, esto sin teneren cuenta la impedancia de salida de la fuente,se pretende que el voltaje sobre la resistencia delcircuito RLC sea igual a 2V, lo cual es predeciblesi se realiza un divisor de voltaje.

VRcritica = 4100

200= 2V (71)

Pero si ahora se tiene en cuenta que existe unaimpedancia de salida en la fuente, el voltaje sobre laresistencia va a cambiar. Normalmente la impedan-cia de una fuente oscila los 50 Ω, lo que implica queahora no se tendrá un circuito de una fuente y dosresistencias en serie, sino de tres, de esta manera elnuevo voltaje que tendrá la resistencia se puede veren la siguiente expresión.

VRcritica = 4100

250= 1, 6V (72)

De esta manera se puede comprobar que en cir-cuitos en los cuales la resistencia de carga tieneun valor cercano al de la impedancia de salida delgenerador o fuente, como en el caso del circuitoRLC para lograr una respuesta sobre-amortiguada ocríticamente amortiguada, se debe tener en cuentael valor de esta impedancia ya que modificará lascondiciones iniciales del sistema.

3. ¿Cuál es la diferencia en las formas de onda crítica,sub-amortiguada y sobre-amortiguada?

En el caso de la respuesta críticamente-amortiguadase puede apreciar una forma de onda de caídaexponencial, de por si representa la caída de voltajemas rápida que puede tener el sistema.La respuesta sub-amortiguada refleja una señal sinu-soidal enmarcada por una envolvente exponencial,lo que matemáticamente se representa como la mul-tiplicación de una señal coseno con una exponencialdecreciente. Esta se da por que la constante dedisipación de energía (α) es menor que la frecuenciade oscilación natural del sistema(ω0).La forma de onda sobre-amortiguada tiene la formade una suma de exponenciales decrecientes, lo queimplica que el factor que impide el movimiento esmayor a la oscilación natural del sistema, por lotanto lo lleva de su máxima amplitud de voltaje len-tamente hacia cero; el caso extremo de la respuestasobre-amortiguada es la críticamente-amortiguada.

4. ¿Qué valores de α y ω0 se obtienen en cada unade las respuestas crítica, sub-amortiguada y sobre-amortiguada?

Como se había mencionado en el ítem anterior, parael caso de respuesta sobre-amortiguada el factor dedisipación (α) es mayor a la frecuencia natural (ω0),en el caso sub-amortiguado se tiene lo contrario queα es menor ω0 y en el ultimo caso( críticamenteamortiguado) estos dos valores son iguales.

5. ¿Qué utilidad tiene el uso de los fasores en el análisisde circuitos?

Los fasores son vectores, que muestran la fase yel ángulo de una onda, por esto son capaces derepresentar movimientos oscilatorio. Las operacio-nes entre varios fasores representan la interacciónde las ondas que componen el movimiento osci-latorio. En electrónica los fasores se implementanprincipalmente para analizar circuitos en corrientealterna, por su facilidad, ya que pueden representarondas sinusiodales, al conocer la relación fasorial delos elementos R, L y C, la operación entre fasoreses más sencilla que las operaciones entre diferentesfunciones trigonométricas.

VIII. CONCLUSIONES

La variación de cualquier parámetro (R, L y/o C) influiránotoriamente en la respuesta transitoria del circuito, locual se debe tener en cuenta cuando en la aplicación deun circuito RL, RC o RLC, sea importante la duraciónde la respuesta transitoria.Es importante tener en cuenta las impedancias de losinstrumentos de medición para realizar los diseños.Los desfases entre corriente y voltaje de los circuitos sedeben a los cambios bruscos de estos parámetros en lasinductancias y capacitancias respectivamente.En un circuito RL en serie, el inductor almacena laenergía de la fuente momentáneamente, puesto que elvoltaje en el inductor va disminuyendo hasta comportarse"virtualmente” como un cortocircuito y la energía ahoraes almacenada en forma de campo magnético, dicho pro-ceso de disminución del voltaje es la respuesta transitoriay transcurre entre 5τ y 6τ .

REFERENCIAS

[1] W. H. Hayt, J.E. Kemmerly, S.M. Durbin, Análisis de Circuitos enIngeniería, 7rd ed. , Pág 319. 2007

[2] Richard C. Dorf and James A. Svoboda, Circuitos Eléctricos, 6rd ed.Alfaomega, Teorema de Thévenin. Pag. 63.

[3] Paul A. Tipler, Gene Mosca Physics for scitists and engineers, 5rd ed.Pág. 405

[4] W. H. Hayt, J.E. Kemmerly, S.M. Durbin, Análisis de Circuitos enIngeniería, 7rd ed. , Pág 332. 2007

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