circuitos electricos-enrique bernal

7/27/2019 Circuitos Electricos-Enrique Bernal

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)


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( ( , (

/ 1-

BIIIIIC m:

pag

CAPITULO I

F UNCIONES DE REDES - ------------------------------------------------- 7

Clastficaci6n de las rectos clectr-ica s --------------------------------------- 8

Funciones de red de una red de dos pue rtos --------------------------------- 19

Funciones de red de una red de n puerto s - -- -------------------------------- 21

Ejemplo de calcu lo d c funciones de r edes ----------------------------------- 26

Polos y ceros --------------------------------- -------------------.------ 30

Reprcsentacion gr{l"fica de polos y ceres ------------------------------------ 34

Ejen1plos --------------------------------------------------------------- 36

Precuenctas naturales ---------------------------------------------------- 39

Propiedades de las redes RLC -------------------------------------------- 41

Partes de las funcicnes de redes ------------------------------------------ 47

Otras propiedades de las funciones de rectos -------------------------------- 47

Functon exponenctal Z (jw) ------------------------------------------------ 49

Ejernplos ------------- ---- - - -- - --------- ---- -------------------------- --- 49

Resumen de las propiedades de las funciones de redes ----------------------- 52

Comportamiento de una red deducido de su diagrarna de polos y ceres --------- 56

Respuesta en el tiempo deducida del diagrama do polos y ceres --------------- 58

Ejemplos ---------------------------------------------------------------- 60

Respuesta en Irecuene ia a partir del diagrama de polos y ceros --------------- 64

Dtagrarna de Nyquist y de Bode ------------------------------------------- 65


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Problemas del Capitulo I --------------------------------------------------

C A PI TU L O I I

DIAG RA M AS D E BO D E y NYQUIST _

Diagrama de Bode en amplitud ---------------------------------------------

Polos y ceros simples y reales --------------------------------------------

Polos y ceros realcs de ruultiplic idad n -------------------------------------

Poles y ceres cornplejos conjugndos ----------------------------------------

Ejemplos----------------------------------------------------------------

Dlagrama de Bode en fuse -------------------------------------------------

Ejen1plos ----------------------------------------------------------------

BI B U O GR A FIA - - - --------- ------ ----------- - ---- -- - - - -- - --------- -- -----

Diagran1a de Nyquist ~-------------------- _

Problem.is del Capitulo II -------------------------------------------------

CAPITULO lIT

C UAD R I PO LOS - --- -- - -- - - -- - -- - --- - - - - --- - - -- - - ------------ -------- -----

Redes de dos puertos -----------------------------------------------------

Para metros inm itanc ia ----- --- - - ---- ---- -- -- -- --- - - - - -- -- - -- - - -- - -- - -- - --

Matriz Z - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -

Modclos representativos de In ma tr tz z - -- -- ------------------------------ -

Ejemplo ------------------------------------------------------------~----

Matriz y------------------------------------------ ----------------------

Modelos representativos de la m.it riz y ------------ ------- -----------------

2 -

67

72

75

77

81

83

93

98

11 2

11 8

11 9

12 9

13 7

13 8

13 9

14 3

14 3

14 5

15 0

1 50

/Funciones de red de un cuadripolo cargado con una carga z L Y un generado- canimpeda nc ta interna Zg _

Pararnotros de transm ision --- _

Matr iz a ---- -- - - -- - -- _

Matr iz b ---------- _

Parnmetros hIbr idos --------~- _

M at r iz h -- - - - - - - - _

Modclo representattvo de la matriz h -- _

Matr iz g -- - ------- --- _

Modele representattvo de la matriz g _

Tabla de equivalencia entre los difercnte s parametres del cuadripolo _

Tabla de condicione s d e r ectprocldud . y si metj-Ia para los parametres del cua-dripo 10 ------ - --- -- _

lnterconexion d e cundrtpolos --- _

Conexian serie -------- _

Pruebas de Brune -------- _

Conexi6n paral c 10 --- -- - - - _

Pruebas de Brune ---------- _

Con exio n a e r- ie- para!c 1 0 - - - -_ - - _

Prucbas de Brune ---------- _

Conexion parale 10 - serie ---- - _

Pruebas de Brune ----- _

Conexl6n easenda -------- _

E I transformador ideal _

El girador--------- _

( 1

3 -

15 1

160

16 1

' 16 3

16 3

16 4

16 5

16 6

16 6

16 7

16 8

16 9

17 0

172

17 4

17 5

17 7

17 8

17 9

18 0

181

182

18 6


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El convertidor de inmitancia negaliva ---------------------------------------

Propiedade s del NlC --- -------- ----. --- -- --- ---------------------- .-------

Par~metros medtdos en un solo puerto -------------------------------------

Par~metros en base imagen e iterativa -------------------------------------

Conexion lterativa e imagen c _

ImpedanciQ imagen e iterativa ---------------------------------------------

Impedancla ca rueter fstiea:.'-------- --- -- - -- -- ---- ---- ------------------ -- ---

Funcion.de propagaeian--------------------------------------------------

Teoremas sobrc cuadripolos -- ---- -- --------- -------- ------------- --------

Ecuaeioncs generales del eucdrlpolo en funcion de las impcdancias imagen y la

Iuncion de p-opagacion -------------- -------------------------------------

Caso de Ia linea de trans mis ion ------------------------------------ -------

Tabla de algunos par amctros importantes de configuraciones eireuitales cornu-

n e s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -

Ejemplos - -- -- ------ -- ------- ------ --- ----- --- --- ----- ------------- -- ----

B I D L I O GR A F I A - -- -- -- - -- - -- - - - -- - -- -- -- - -- -- -- -- - - - -- -- -- -- -- -- - - -- -- -- -

Problemas del capftulo III ------------------------:------------------------

CAPITULO IV

SINTESIS DE REDES DE UN P U ER T O - ------------------------------------- .

Sfntesis de redes IrC ---------------------------- ------------------------

Teorerna de Foster -------------------- -- ---------------------------------

Sfntesis de redes tipo Foster I ---------------------------------------------

Ejen)plos---------~-----------------------------------------------------

4-

18 9

19 2

2 06

2 08

2 10

211

21 3

2 13

2 16

2 2 2

2 23

2 2 4

2 2 6

2 43

2 44

2 56

26 3

2 66

2 78

2 79

/

Resumen de propiedades de las inmitanclas de entrada de las redes reacttvas

(Ire) a un puerto ---------------------------------------------------------

Slntesis de redes tlpo Foster 11--------------------------------------------

Ejemplos ----- ----- --- -------- ---- ---- - :..------ ------- --------------------

Sfntesis de redes tipo Cauer I ---------------------------------------------

Ejernplos ---------------------------------------------------------------

Sfntesis de redos tipo C a ue r I I - --------------------------------------------

Ejernplos - - --- ----- --- -- ------ -- --- -- ----- -- ---------- ------- ---- -------

Sfntesis de redes R -C ------ ---------------------------------------------

Transformacion de Caucr para In ZRC ----------------------------- --------

Sfntesis de redestipo Foster 1-----------------------------------------.:---

Transformac ion de Cauer p ar a l a YIC --------------------------------------

Sfntesi~ de rcdes tipo Foster II --------------------------------------------

GrACicas de Z RC i (


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CAPITU LO V

FIL TRO S K-CO N STA N TE Y M_DERIVA O O S ---------------------------------

Clasificacion de los nJtros ------------------------------- ----------------

Determinacion de las bandas pasantcs ------------------------------ --------

Ejenlp!os ---- -----------------------------------------------------------

Detcrminacion analftica de las bandas (pasantes y atenuadas de los cuadripoloB

formados POI'secciones To TT reactivas puras -----------------------------

Ejem plos --- -- - -- - - -- - --- - - - --- - - -- - -- -- --- -- - -- - --- ---- --- - - - --- --- -- ---

Dcterminacion de la atenuaeion Y la fase de un fillro coo!ti tufdo por elementos

no reactivos puros -------------------------- -------- ----- ---------- ------. \..

E jem[llos - ----- -- -- -- - - ------ - - --- -- -- ----- -- - ---- - --- -- - ----~---- ------

IFiltro K-constante -- ------- -------- -------------------------------------

Ejcnlplo ------.----------------------.-----------------------------------

Norm:llizacion en arnpl itud y frecuencia ------. ---------------------.--------

Ejemplo - ------ -- ----- -- - -- -- ---- -- - -- - ---- -- - - ------- -------- -- ----- ----

Conexion en eascada de Iiltros K-constante pasa bajo ---------------~--------

Ejem plo -----.- ------- -- - ----- --- -- - -- - - ----- - -- --- ----------- --- - ------

Filtro M-derivado - -- -- ----- --- ----- --- -- ------ -------- ----- - ------------

Filtro M-derivado serte --------------------------------------------------

Filtro M-derivado Shunt ---- .-- ----- ----------------------------------- ---

Bandas pasantes y atenuadas de los filtros M-rlcrivadoB ----------------------

Ejemplo s - ------- - ----- ---- -- -- -- - - -" - -- ------- - -- --- -------------- ----

Transformac ion de frecuencia - ----------- ._--------------------------------

Ejemplos ------~--------------------------------------------------------

P&rdllias c, inSf'rf'ion -- ------- ------- ---------- -------- ----- -- ------------

B!BLl(l~JR - " - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Problema::, del ~_, ",do v -- --- --- -- -- -- -- - - - - ---- -- - - - - - --- -- - - - - -- ------

) ,

6-

/

32 9

33 2

333

33 8

342

34 8

35 3

35 3

36 1

36 4

36 5

36 8

36 9

37 0

373

37 3 G A37 7 ('tl

~38 1

39 3 V I39 6

39 8 tf140 9

413 ~

414 S,.-'q?

c.v111Wl~I

n. III11111ES DE aED ES

En r i q u e Be r n a l

Ca r ac a s 1 1 - 1 - 1 989


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PR 1t1ERA CLASE

Objet ivos :

1.- Clasificacion de las redcs.

2.- Estudiar las redes de un puerto.

I. CL ASIEICACION DE LAS REDES ELECTRICAS

No hay un a c la sifieaeion uniea de las redcs electrieas, por el

contrario exis ten diferentes elasificaeiones atendiendo a d ist lntos pup,

t o s de vis ta .

Cada clasificacion haee resaltar las propiedades qu e s e e onsi

deran mas importan tes. Estudiaremos las redes segun n ue ve di stintos

~untos de v ista, tal com o se observa en el c uadro s ig uien te y que se

e xpl iC 3 p os teriormente:

I . S eg un e l n umero de puertos 0d e ter m inales:

a. Redes de un puerto.

b. Red es de d os puertos.

c. Redes de N - pue r to s .

2. Segun la interdependencia de los t erminales:

a. R edes b alanceadas 0 flotantes.

b. R ed es aterradas.

3. Segun la d is t r ibuc idn espacial de los parametres e l e c t r i co s :

a. R edes concentradas.

b. Redes distribuidas.

4 . Se gu n c on si de ra ci on es energeticas:

a. Redes pasivas.

b. Redes ' activas.

(

III,I

riores:

/9

5. Segun las propiedades circuitales de los elementos que la

componcn:

a. Redes I in iales.b. Redes no - lineales.

6. Se gu n las prepiedades tem porales d Ie os e lem en to s q ue la

fo rman :

a. Redes constantes 6 i nv ar ia nt es c on el t ienpo .

b. Red es variables con el t iempo.

7. Segun la s p ro piedades direceionales d Ie os eleme nt os q ue

la componen:

a. Rede 5 bilaterales.

b. r,edes uni laterales.e. Redes r ec iprocas.

d. Rede 5 no r ee ip r oc a s ,

no . Segun la cantidad d I I te os e emen to s qu e I a eomponen:

a . R ed es f initas

b. R ed es n o-f in i tas 6 inf in ita s .

9 . Se qi in la tendencia de la respuesta trans itoria:

a. R ed es estables.

b. R ed es inestables.

Vea mos en deta ll e c ad a una de l as nueve clasificaciones ante-

1. Seg un e l ruime ro de p uertos o de term ina I es .

a. Redes de u n p ue r to 0 de do s term ina les.

b. Redes de do s puertos.

c. Redes de n-puertos.


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10

P ri me ro d ef in am os 1 0 qu e e s p u er to y terr,linal, asi,

d ad a u na r ed a rt litraria N, sup ongase que de a l quns manera se puede

s ol da r u na serie de caoles a los d is tintos nodos de la red qu e sepue de sacar al exterior de la red u n grupo de cables como en la fig.

I.

1

2

Fig. I.

Un terminal e s cada uno de los cables sa ca do al ex

terior de l a red 0 conectado a l interior de l a m isrna . Po r ejemp lo.,

en la fig. 1 se observan n - terminales.

A hor a u ien , pa ra e xc i t a r una red o para obtener su

respuesta e s ne ce sa ri o u ti l izar un minimo de dos terminales, ya c a

da pa r d e t e rm ina les s e l e s d e n cr ui n e p ue r to.

D e ahi qu e s e a c o stum bre decir que una red de unpuerto tiene dos t erm in al e s. Sin embargo, las redes de do s 0 mas

puer to s n o .necesariamente tienen que poseer 30lamente 2n terminalcs,

donde n e s el nume ro de p uertos. Por ejempi o : una re d d e c ua t ro te::_

mina les pu ede poseer 6 pucrtos, a una r ed d e tr es t er minales puede

po seer tres p ue r to s Y u na r e d d e d os p uertos puede t eae r 3 terminales

so I amente.

11

/

las rede s d e U n ~u er to, de dosse pueden puertos y de n -puertps

representar t al c omo se mu es tr a en la

Fi S . 2. a, b y c.

t v ._ 2 .

(b)

Fig. 2.; a) R ed de un solopuerto; b) Red d e d os pucr-

t os ; c ) R ed de n-pue rtos.

s ifie a n en:

2. Segun la interdepend e~c'la de Ios terminales se cia

a. Rede s b alanceadas 0 flotantes.

b. Redes no-balanceadas 0 aterradas.

Pued! suc d .e er que en una red d e n -pucrtas se u na u n t e r

minal de un p uerto conotro terminal de los (n-I) puertos res tantes for

mando u n ter mina l com un, a e ste terminal cOrn Un se I e d enomi n a .S

_tierra.egu n esto podemos distinglJil':

a. Redes b ' ll a nceadas 0 fJotante'-'. cuando e s tao formadas

po r n-. ,uertos independi en te s 6 2 n t er mi nales indepe~

dientes.

b. Redes aterra das: cuando e s tan fa rm ad as p or n-puert os,

pero po s e en un terminal cormln (t ie rr a) p or 10 tanto

po s een (n+t ) terminales.


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121 3

4. S egun c ons ide rae ione s energet icas.

Sc clasifican en redes pasivas y redes activas y am

bas consisten en:

Ejemplo;

a. R edes pa siva s; d eben cump l ir dos prop i edade s , a sa

ber;

P.ed I~de t re s puertas ared ba 1 anceada

Red ~I de do s puertos, t r e s t er

minales 6 red acerrada.

I. En estas rede s la diferencia entre la energia que

s al e d el mismo, es siempre mayor 0 igual acero,

independientemente del tipo de sena I y del instan

te, as i t enen o s ,

3. Segun la distribuci6n espacial de los pa rarnet ro s

clectricos, s e clasifican en:

a. Redes ccncentradas: son aquellas que pueden ser

combi nac ion de pa ramet ro Srepresentadas como una

fisicamente separables en resistencias, ind uct~

es dec i r , son aque l I flsres y capacicares etc.

I efectos resistivos, inductivos yen las que os

capaciti vo s se pu ed en separar para su estudio

anal it i co ,

E - E > ,. 0e s

dond e E e es la energia que entra al sistema

E es la energia que sale.s

2. Deben ser causales, e s t o es, si l a entrada es nu

la para t


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, 4

15

a. Redes linea les; son aquellas en las euales la relaeio~ entre

la r es pu esta y la serial se pueden representar 0 expresar en

el dominio del t;iempo I)()r e cu aciones dif erenciales lineales y

tambie n se pued en rep re senta r en el domin i o de las frec ue nc i as

por un sistema de ecuaciones algeuraicas.

La s r ed es l ineales t amb ien se le s s uele definir de la siguie:2_

men t o t ie ne p ro pied ad es v ar ia bles con el t iempo.

7.Segun la s p no piedades dir eccionales de los elementos q ue l a c om

pon en;

te ma n e r a :

Si la r espuesta de la red a una cierta entrada x I ( t} eSillt)

t entrada x2 (t) e s Y 2( t} , entonces, laY la respuesta a 0 ra

red sera lineal si la r es puesta a una en tr ad a a 1x1

(t) +a2

x2

(t}

( ) ( ) d d son con s t an t e s arbi t rae s : a I y I t + a 2 y 2 t on e a 1 y ~ 2

ria s ,

a. Redes recfprocas; e stan e o mp uestas por elem entos euyas pr~

piedades no se mod if ic an si se intereambian 13 excita cion

(tension) y la r es pu es ta ( eo rr iente) en ellos y v ic eve r sa ,

E n e st as r ed es s e v er ifiea el teor em a d e rec iproc i dad.

"La r e lac ion admi tane ia 0 impedan e i a de transferencia entr e

le t rensfom a da d e l a r cs pu es ta y l a t r ansformada de la ex-

c it ac i d o es invariante a un interca mbio d e c xcitaci6n y res

pue s ta" .

b . Redes no I ineales; son todo 10 contra rio a las rede s lineales.

b. Rede s unilaterales; C u an d o algun elemento tiene propied~ -

des dl st l nt e s segun sea la d irecc idn de la exc l t ac ldn y la

respuesta Gue se considere.

~IOTA : L o s p a rar,letros e l e c t r ic o s c o m u n e s (resis tencias, eapacitancias,

e inductancias) son lineales y se ran tamb i en I i ne a l e s las redes

formada s ~r cualquier comb inac ion de ellos.

6 . Segun las pr opie da de s t em porales de l os elementos que la e ompo-NOT AS :

Una red unilateral es no r ec iproca , u na r ed bilate ral puedeser

a no recfproca.

La clasifieaci6n en rede s reciprocas y no reciproe as e s va l ida

unica me nt e p ar a l as r ed es, no p ar a l os e le me nt os circu itales.

Los circuitos form ados c on elementos R,L y C de va l or e s posit.!_

vo s 0 negativos son rede s r ec ip rocas. Los circuitos Que con-tienen Fuentes d ependien tes pueden 0 no ser r eciprocos.

nen se clasifican en:

a. Redes constante, 0 invarian tes con el tiempo: son aquellas

en las que ninguno de s us elementos tienen pr opiedades que

varien con el tiemp o.

Se suele t a m b ie n definir a las redes invariantes con e l tiem

po de la siguiente f orma :

Si la resp uesta de la red ~Ia U Ra entrada x(t) es y(tl, en-

i"nce; a respuesta de la r ed N a una entrada x l t+ t o ) s er a

. ,)nde x f t ) e s un a e nt ra da a r bit raria y to e s c ua l-

- Unilaterales: cuando al3unos puntos

de excitaci6n y re spue s r; son inter

cemb ie do s no se produ: pue s t s .

Jles 0variantes con el tiempo: c ua nd o algun ele

Rede 5 no rec iproea s: - Cuando se intercambl.) r e a I.

r es pue s +a se produce . '.lac lone en t rp p x e l " respue~

ta al intercambi~ r ~sta~


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;

16

17

En una 'ed si se cumple que lij = Z ji se dice que l a r ed es bi:

late ral (para e'l sistema de ecuaciones de ma l l a )

I "IJ' lJ"1 0 - e le me nt os q ue s e c onducen deElementoGilate ra: -

la misma ma ne ra en ambas direcciones, Lo s el em en to s R ,L,C son

. . c umple que la red es bib il a t ere l e s . Una red es rec rp rcca Sl se

lateral y lineal,

NOT AS: Un a red inestable es siempre activa puesto qu e de be g en e/ ar e ne r

gia interna para m antene r la ines tao il idad muy pesa ridc lasdisipaciones de su s e lementos,

Una red act iva p ue d e s e r estable pues u pesar d e e n~re9ar mas

energla que la que se Ie suni n ist rd , la sal ida se mantiene siem

pre I imitada y tiende a cero 0 a una con stante si quitamos la

entrada.8. Seg un la cantidad de e l em en t o s q ue l as componen:

II

I

Ia. Redes fjnitas: cu ando e s t sn c c n p u e s t a s p ar u n nurre r o fini

to de el enen to s .

b. Redes infinitas: cuando e l nurne ro d e e lementos que las com

ponen es in f in i to.

E n e ste cur so e s t uoi ar an en particular redes de uno 0 do s pue::.

tos, ua s iva s , lineales, concentradas, constantes , finitas, bil~

terales, casi siemp re at er recas y rec Iproce s , Nunca considera

remos las condiciones inicialcs.puesto que eso equiva ldrfa, c~

00 ya vimos, a suponer redes activas. Las redes que cumplen

las condiciones anteriores las l l amar emo s rede s P LC CE3.9. Seg un l a t endenc i a d e la r es pu e sta transitoria s e c lasifican

en:

a, Redes establ ~s.

b. Re des i ne stables .

Redes de un so 1o puerto:

Considere u na r ed de un solo puerto, tal COITlJ s e m u estra en l a

Figura N4.

Las redes estables son aqu ellas que al a pl icar le s u na fu n-

cion impulso su respuesta transitoria vuelve a ce ro 0 per-

manece en un valor constante, se pueden d istinguir dos ti-

pos especial e s d e redes estab l es.

I. Absolutamente estables (respuest a transitoria tiende a

cero) .

2. C o nd icionalmente estables.

Las redes inestables son aquellas que al aplic arles un im-

pu l so , su respuesta transitoria crece indefinidamente al

transcurri r e l tiempo.

r la s adela nt e d ar emos una mejor definicion para las redes e~

tables e inestables, despues d e e stud iar la, func iones de

rede s y sus propiedades.

Vamo s a encontar las relaciones que s e p ue den definir entre la

excitacion y la respues ta en la red de un puerto.

Un caso podrla ser que la excitacion fuera Vk

Y la r ed

Ik En este caso tend rfamos una r elacion respuesta/excitacion

Ykk (que es la admitancia de ent rad3 del puerto k).


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1819

Ot r o c a s o s e r l a s l l a e x c i t a c i o n e s I k y l a r es e ~es t a Yk En c u

y o c a s o l a r e l ac l o n r e s p ues t a / e x c i t ac i on s er a i gua l a T k c Zk k ( q ue e s

l a I mpe d anc i a d e en t r a d a d e l pu e r t o k).

S E GUN D. ~ CL ASE

S e en t i e n de q ue i a s r e l a c i o n e s a n t e r i o r e s s o n en e i c a mpo d e l a

f r e c uen c i a c ompl ej a s .

Obj e t i v os

1 . - Es t a b l c c e r I a s c o n v en e i o n e s de t e n s i on y de co r r i c nt e p a r a l a s r e

s , E I s ub - I n di c e k r e p r es en t a e l p u er t o e n e l c u a l s e a p l i c a l a t e n -2 . -

3 . -

d e s d e do s pue r t o s .

De f i n i r l a s f u nc i on e s d e r e d es p ar a r e d e s d e d o s

Es t udi a r 10 q u e s o n f .unc r o n s s d e t r ans f e r en c i a c i n r : 1 i t anc i ade e n

t r a da s , s a I i da 'f d t f, . e rans e r e nc ia in ter n as .

E s t a b l e c e r l a s p r i mer as do s p r o p i e da dc s d e l a s f u n e i o n e s d e r e d e s .

pue r t os .

L as d os r el a c i o n es Yk y Zk s o n f u n c i on e s d e r e d e s d e l a v a r i a b l e

s i o n y s e o bt i e n e l a r e s pue s t a .

P u e d e e n t e n d e r l a l a e x i s t en c l a d e u na r e d d e u n s o l o p ue r t o 5i

i magi n a mos u n a r e d d e n-pue r t o s , en l a q u e l o s (n-L) pu e r t o s d i f er e nt e s

a l p ue r t o k , 0 e s t an a b i er t o s , 0es t an c or t oc i r c ui t a d0 5 , 0 t i e n en c on e c -

t ad a u na c i er t a c ar g a . E n 1 0 q ue r e s pe c t a a l p ue r t o k, s e pu e d e 5 u p o ne rq ue l o s ( n- 1) p ue r t o s r es t a nt e s s e c on s i d er an COIOCl f or ma n d o p a r t e i n t e-

g r ant e d e l a r ed , Co n 10 c ua l e x i s t i r a u n s o l o p u er t o e x t e r n o a l a r . ed ,

e l p ue r t o k . Y e n e l es do n de d e f i n i mo s Zk k , qu e no . e s t a d e ma s d ec i r l o ,

4 . -

2. RED E S DE D OS P UE RT OS .

d e p e n d e n d e 1 0 qu e s e t e ng a e n l o s (n-I) p ue r t o s q ue pas a r on a

p ar t e I n t e g r a d e l a r e d d e u n s o l o p ue r t o.

f o r ma r

S u p a n ga s e u n a r e d d de o s p ue r t o s a r b i t r a r i a c er r o l a most r a d a e n l a F i g u r a NI. ' s obr e e l l a s e p ue d en 'de f i n i r u n a s e r i e d e f u nc i o n e s c u y e s n o mb r e s d e p e n d e r a n s o l a me n t e d e l a s var iab l e s q u e se el l 'j a n c omo

e x c it a c ido y c o r o r e s p u e s t a ,

L a r e d d e d o 5 pu e r t o s PL CC F~ de I a F i gur a ~o l p r e s e n t a l o s

t e n s i o ne s V y V qu eI 2

P ar a s i mp l i f i c ar e l e s t udi o , e n 1 0 s u c es i v o , e n l u g a r d e h a b l a r

s e p a r a d ame nt e d e u na f un c i on i mp e da n c i a d e e n t r a d a d e l p u e r t o k , Zk k(S)

Y d e u na fun c l o n admi t an c i a d e e n t r a d a d e l pu e r t o k Y k k ( S) . Oe n o t a r e mosP (s)po r F ( s ) . Q T S T a u n a f u n c i on q u e d en oml n a r e mo s f u n ci o n i n mi t a n c i a d e l

p uer t o k y q ue r e p r e s e n t a i n d i s t i nt ame nt e a u n a f u n c i o n i mp edanc i a 0 au n a f u n c i o n a dmi t a nc i a d el p uer t o k .

s e n t i d o s p a r a l as c or r i e n t e s I I e l 2 y p a r a l a s

s e c o n s i de r a r a n ~o s i t i v o s e n e s t e c u r s o .

F I G. NI

L a s f u n c i o n e s a l a s q ue s e h a c " a fr e e r en c i J s e c on a e e nc on e l na mbr e d e f u nc i o ne s d e r ed e s y s on :

V I (s l

I I (5)

I t ( s )

V I (s)

J

E s t a s r e p r e s e n t a n I . .a I n ml t a n c l a d e l p u e r t o u n o

y s e d e no t a n p a r F I (5)


12/218

Vz ( s )

IZ (s)

1 2 (s )

V2

(s )

V 1(5)

IZ

(5)

II (5)

V2

(5)

Vz ( s )

II (51,IZ(s)

V I (s )

Vz ( s )

V I (s )

V I (s)

V

z(s)

I I (s)

IZ

(s)

20. 21

Todas est as f unciones se Ila ma n e n general funciones de redes del

s is t ena y se d enotan por 5(5) e s decir, 5(s) r epresent a cualquier fun

Representan I a inrn i t an c i a d el puerto dos y se

denotan po r FZ(S)'

cion de r ed.

y lLas f uneiones de redes definidas anterio rm en te s on g en er alessirv en p ar a e s tu diar 105 cuadr ipo l o s , Es impor ta nt e e nt en de r q ue es-

tas f un ci on es e st an d ef in id as e n lo s p u er tos d e la r ed , q ue s o n f un ci o

nes exte rn as a la red.

Representan las immitancias de transfereneia

y se deno ta n po r G 12 (s) .

En todas las funeiones ci tadas ant er iormente, la exc itec ion va en

el deno~inador y la respuesta en el numerad or y ean r es pe cto a los su~

indices empleados, el primer suo ind i c e co rr es po nd e a la func idn que v e

en el rui me ra d o r yel segundo a 1 8 que va en el denominador, aSI por

ejernplo: LZ I (5), 'e s una impedancia y por 10 ta nt o e s el co c iente en

t re una t ension y una corriente. Para especificar la t ension y la co-

rriente se observan los subindices.

EI primer sub-indice es un Z yel segundo un 1, luego: Z21(s) ~

V2 (s) d - I .. - I . ( )___ , note a emas que, a exc r tac ion e s a co r r i ent e II s y la

II(s) r espuesta, la t ension V2

(s).

AMPLIACION DEL COHCEPTO DE FUNCID~ D E REO.

Representan las i mm i tane ias de transferenc ia

y se denotan por G21

(s l,

Representan las funciones de transfereneia de

tension 0 ganancia de tension y se denotan por

En una r ed cualquiera las corrientes y las tensiones se pueden d~

terminar bien sea por anal i sis de mallas 0 por el anal isis nodal. Las

ecuaciones de ~al las p ar a u na r ed d e n - ma l las seran:

fi (5) .

V I Zl111 + zlZ12 + . .. .. . ... .. . . ... + Zlnln

Vz ZZll1 + z221Z + . . .. ... ...... . + Z2nln

.... . , . .. . " . , . , ..... , , . , , ., , . . , " , , , . , . , , , ., ( Z . 1),Repre se nt an l as funciones de trdnsferencia de

orriente 0 ganancia de eorriente y se denotan "'"'''''''''' + Z Inn n

Se s up on e q u e to da s l as v ar ia bl es h an s id o t ra ns fo rm ad as p or L a

place 0 que e st an en e l dominio 5, Adem as p ar a may or s en ci lle z s e s u

pondra q ue l a r e d n o po se e Fuentes dependientes.


13/218

) )

22 2 3

Las V(s) son las excitaciones, las l Is ) s on l as re spues tas- y las

z Is ) son los pa ramet ro s d e la re d, estas z t s ) pueden ser impedancias

de mal la 0 impedancias de rama.

Si la red esta en reposo (condiciones iniciales nul as) co n u na ~

c i tac id n u nica V (s ) sierdo V (s ) u na Fuente ideal de tension externak k

a la red y a pl i ca da a l puerto k , y se qui er e determinar l a corriente

IL (s}, simplemente se r esuelve por determinantes, quedandova s l ,

I. EI pol inomio del denominador es s.

I2. EI maxirro grado del

pol inomio del numerador es dos. \3. Los co ef ic ientes del pol inomio del numerado r son reales.q. Los coe fie i en t e s del polinomio del numerador dependen exclusiv~

men te d e los el ementos de la red y no d e I a exc i tac ion Vk

Zll ........ ..... O . . . . zln

Para determinar 6,es necesar io hacer algun as s um asy algun os p roducto s d e te rminos similares a z , 10 q ue da co mo r esu~

pq

tado que l as propiedades I y 2 senaladas anteriormente cambien de la

siguiente manera.I (s)~_1L 6.

zni ........ .... 0 ...... ... ,znn

Donde es el d et erminante' formado por las z I s) y representa

6 K L es el determinante de los cofac

I. EI pol ino mi o d el denominador es sn

2. EI grado maxirro riel pol inomio del numerador es 2n.

el determinante d~1 sistema y

tores ccr re spond ien t es , asi que:

I =L

Las propiedades J ~ q no se alteran. Luego el determinan

t e t1 tend r a I a s i 9 u i ent e fo rma :

Vk

(5)

Est o significa que ~ara distintas combinaciones de los sub-indices se

... (2.3.) y esto no es ot ra c os a que \k (s}.2n 2"- 1

(b2n

s + b2n

_1

5 +

Igual razonamiento pued e haccrse para LKL (10 unicoQue variara es que D KL es un determinante d e o r den (n-)\ x (n-I)),Ilegandose as Imi l e r es conclusiones de las obtenidas para U. ;solo

00) Isnde donde I L (s)

pueden obtener distintas funciones de redes, 10 cual hace que se deban

estudiar las p rop iedade s de lo s determinantes 6KL y 6para es teblecer las propiedade5 de las funciones de redes.

EI determinante 6, e s t.i formado por ele me nt os q ue s on impeda.r:_cias de mal la 0 d e r ama. La forma general de una impedancia es:

C -Iz 3 R +sL + _ _ _ _ E L ._

pq pq pq . s _(2.q)

tenemas que cambiar n por n-I yas i

tendremos.

a - 252n

-2

a _35 2n-J + a6. 2n + 2n 0KLc~- - - - - n - _ ~1 - - - - - - - - - -

5

De la ecuac ion (2.J ) se tie ne q ue: IL 6.KL

-V;Ltituyendo las expresiones generales de ~KL y de 6" queda :

(2.5. )

y sus

Donde los parametros R L y e -I pueden t ener cualquier v~pq' pq pq

A I . d d s de Z observadas en lalor, inclusive cero. gunas pro p r e a e pq'

ecuac idn (2.4 ) son i a -'2n

2n-l 2n-2+ I 2 .n - J s

s + ... . + a so(2.6.)

.. ... + bo

(


14/218

(

( ( (

242 5

l a ecuac tdn (2 .6) tiene dirrension de admitancia y seg un las defin icio

nes de l as funciones d e r edes no es otra co sa que \K '

Por 10 tanto:(2.7)

\= Z(I

l-I )

m

1)

0.-1

( IL Zz=R+sL"_

m sPero IL \ k\

NOT A:Obse rve q ue partiendo de una r ed d e d os p uertos se han obteni-

d o u n ru ime ro de admitancia s s up er io r a las q ue se,l'dbian defi-

n ido.

La razon de e sto se debe q ue al plantear las e cu ac io ne s d e 11\3-

lias, se numera arbi trariarrente cada malia, y a l h a ce r e l cal-

culo de alguna corr i en te a pa re ce n p ara una red de d os p u ertos

t e rm ino s t ales como Y J2 que e r rdneame nt s se dice que es la ad-

mit ancia entre el pue r to 3 y el 2 cuando 10 correcto es decir

que V32 es la ad mi ta nc ia de t ra ns fe re nc ia e nt re l a malla 3 y

la malla 2 de l a r ed d e d os p ue r tos. Asi que e xi st en u na s e-

rie de admitancias que s on i nt er na s a la r ed y q uc r os en l as f u~

cio nes de r ed es d ef in idas al princi pio de l a cla se y a q ue a qu ~

l ia s s e de finen entre los p uertos de entrada y d e s a l i da d e l a

red.

Im

I ecuacion ant~va lores en asustituyendo estos

rior tendremo s:

(y - y k ) V kVL = Z Lk m

d ef in ic io n e s HLkcociente V L/V k q ue p or Haciendo el

Deb e tenerse muc ho cuid ad o c on 10 anterior, pues se podria ca.!..

cular (Para u na r ed d e do s ouer to s ) u na Y 31 Y podria ser que

esa Y 31 r epresente una V21, porque , l a c or ri en te de malla i3

se a e xactarrente igual a la corriente de puerto 12

, Como las

funciones de redes se definieron solamente en l os p uertos de

la red, es necesaria expresar las corrientes en los puertos.

. . na I deno m i n ad a f unc i o n d ef "n adlmert-slo I

e s u na unc io el ana l i si s n od aDonde H Lk, . il a r hac iendo

C enc ia d e t e n sion . Dcolanera simi . d transf erencia y lasrran sr er .. I s i mpedanclas e

N Se pueden deflnlr ade la red'0 de corrie nte. I im-

de tran sferenci

de do s pue rtos asfuncioneS d las rede s

Es claro que en el caso e I anal i sis de n~. da s u na po r e

d de sal ida obtenl . de las otras,. s de entra a 0 el i nve r scpedancld . d lias son unas

porelanalisls emados y otra

aS I :

Z,lV 11

V2 2

Se ha estudiado el ca so q ue la excitacio n es la tensio n Vk( s)

y la respuesta una corriente. Cons ideremos a~ora el caso de u na co

rriente IL en la malla L y una corriente 1m

, en la malla m, t al que

existe una ram a connin a a mb as m allas, entonces la t en sion en dicha im

pedancia ser.i :

tlo se puede

general iguale s e n

s de ci r Z Lk no10 misrro para ZLk y \k' eafi rmar

l/Y d eb id o a que:a Lk

_ _ i_6kL

\ k, -y:

Vk

_i! :,_ 6KLZL k D

\ K 6

obtenida por mallas.

obten i da p o r rodos-


15/218

26 27

s ts ) transformada de la sal ida \) respuesta.

transformada de la entrada 0excitaciOn. 1\ 1

1

11I

ciones "ue caracterizan a l e red. En este caso se har a p or

el metoda de corr ientes mal la, con los sentidos y designaci~

nes indicadas en el c ir cu ito de l a Figura.

Resumiendo pues , u na func idn de red S(s) se define corro :

5(s) e s u na funcion racional de 5 con c oeficientes reales.

los coeficientes dependen de l a c on figuraci6n de la re d y de los

valores de los elementos solamcnte.

Una consecuencia de la p ri mera p ro riedad es: q ue la s ra lces de

l os p ol i no m i o s , t anto del numer ad or c or ro d el d en ominador de la f un

cion 5(5), son reales y s i tie ne r ai ces complejas e s t as estan en

pares de complejos conjugados.

o (35 + 4 - Z s ) i; + s i3 ..... ........... (2 )De las f un ciones de r edes clasi f icadas en funciones inmitan-

ia de entrada y funciones de t ransferencia ha s ra ahara se han obteni

o las siguientes propiedades:

VI (s + 2 +_I_)il-(s + 1/5) i3 (I)5

o =- (5 + _'_ ) i 1 + 5 i; + (3 Sf _)_ + I ) IS ... ... (3 )25

[ ~ I J = D r : ;o i 3" I

EI determinante 6del 5 i stema s era:

,~2~

V, 1,\ 1 1 F 'i3..-2~,_ r/ T " H ~ (

, ~~ ~ _J,

5+ 2 + 0 -(5+1/5)

6 0 5 + 4

- (5 + _,_)35+ 3 +

IS

:JEIIPLO:

En el cir cuito no s t r a do en la Figur a d et er mine: ZII (5), Yll(S),

121

(5), Y21

(S) Y H21

(S). La red es d e d os p uertos y en el puer to d os

tenemas con ec ta da u na carg2 resistiva de valor RL = 4J L

5 5 + 2 6s4

+63 s3 +44 52 +335+4

25

Sol uc i6n:

Oebido a q ue s e plantearon las ecuaciones de mallas) Sola-

mente se pod r an det er minar en f orma directa a par tir del sistema las

admitancias, Y IIy Y Z I' Las otras funciones se determinaran teniendo

en cuenta quienes son excitaciones y quienes s on r espuestas:

La primero que se de be h acer es plantear el sistema de ecua

)


16/218

)

28

6.11 V ,V , 6

i, -~Nt~- z , , : II y "V ,Y II

-~ 6- -~6 '2I -~Y11 v , ~ ~~G 1 2 V 2 ~: 7Sf1~s Z2 1

_-i, ~ y 11Y

21a

V , Li,

NOTA :

de s ig no s p ara i 2'I con vene ionTom e en cuen t e a

Por 10 t an to s e de be c aleular

453 + 265 2 + II 5 + 12

2 s

5 + ~

3s +_3_ + 1

Z 5

612

o

~)- ( s

3 s + 32S

+ I

Su st itu ye n do s e o btien e que:

f\ 4 3 + 11 52 + I 2 5_W11 __ J4~s0+~2r,~S~~~~~2:-;~~-

., 5 4 + 63 s 3 + ~ ~ / + 3 35 + 46. 2s + 26s

.?>21

Z s-421

2 9

nantes

/\.' Ha tematieam ente tam bien pueden determinarse Io s determ.!_

ULK(s) donde L y K pued en t om ar val or es c omprend idos entre

Por ej emp lo , se puede pen s e r en e.llcular 623

, Ll,2

ete,I Y 3 ,

Si el a na l i si s d e la r ed se hace p o r m al las, el coeiente

entre 623 .Y 6, tien e d im ension de admitancia, especifieame nte ,623 13

Y 3 2 = E= v :; - Pero es ts Y 3 2 no signifie a que sea la admit ancia

e nt re el puerto t re s y el puerto dos (ya q ue l a r ed d e n ue stro caso

solo posee do s p ue r t o s ] s in o q ue, Y3 2

es u na a d mitancia de transferen

c ia inte rna de l a r ed c ue p er mite relacionar tensiones yeorrientesen

d ic ha r ed , A Si 'V32

relaciona '3 y V2

mediante : 13 : Y3 2 V2

.

Par 10 tanto existe un conjun to d e funciones qu e p u eden

determi narse, per o p or 10 general carecen d e im por tanc ia, N ormalmente,

s e t ic ne a cceso a los ter mina les de la red por 10 cua l funda mentalmen

te inte r esa determ ina r solame nte las fun ci on es d e r ed es q ue p e rm it an

relacionar tensiones y e or ri en te e n 0 e nt re l os termina les de la red.

Es dec i r , s e p ue den m edir tales magnitud es e n los puertos.

En el ejemplo anterior s e determinaron Z , l' Y,1

Y21

, Z 2 1

y H21, tamb ien se hubier an podid o calcular: Z22' Yn

" Y'2' l'2' H,2

,

J'2 Y J21 manteniendo en men te el criterio de que la infon1l8cion de

sead a es en los puertos ex clu~ iyamente.


17/218

)

3 130

TERCERA CLA5E

Por tal razon , a e stos va lores de s s e les denomina, ce ro s d e la f un -

cion 5'(5). ASI se d ic e q ue Ia f un ci 6n d e r ed S(s) tiene m-ce ro s ubi-

cados en el plano 5, en los puntos s z i c on i ~ 1,2 ,3, m.

seconcluyo que cualqui er funci6n de

En l a c lase anteriorocupal, es una funcion

red PLCC FB (que es el caso que nos

Sim ilarmente, cuanoo s=o., con J': 1,2,3, n, la fun. J

ci6n de red S(s ) se hace infinita, pue s to Q ue ,

f'{)LOS Y CERO S:

red de una

5 con coeficientes reales.~acional de las funciones de redes defin~

Po r 10 tanto, cualquiera de_ el cociente .de do s pol inomios

redes de dos puertoS, serandas para las_I sl 'guiente apariencia matematica.

y tendran a

cada una de las p., sonj

las raices del denominador d I s l. Por tal razon la Pk se conocen conel

nombre de polos de la func ion S(s). As;'se dice que 13 f u nc io n d e red

S(s) tiene o -po l o s ub ic aoo s e n c l plano. s en los puntos s=Pj,con j= I.

2, n.

s k (S_ZI)(s-Z2)( S-Z3 ) , .. (s-Zm)(s-Pn)(s-PI )(S-P2) .

A SI q ue los polos y ceros de las funciones de redes son

simp lemente las rakes de los pol inomios tanto del numerador como del

denominador de S(s) y pueden s er nu r.ie ro s reales 0 complejos.

Si algu nas raic es se repiten 0 coinciden, entonccs los ~

los 0 los ceros cor r espond ie nt es se denom inan po lo s 0 c e ro s dobies, tri_

pies, ... .. mul tiples, et c . . Segun s ea el caso en q ue coincidan do s ,

tres 6 n po l o s 6 ceros.

Se denom ina orden 0 multiples de los polos 0 ceros Que co

inciden, al niimero de v ece s que se repiten.

La func idn de red S(s) dada por la ecuac i6 n 1,1, t end r s

entonces m-cero s y rr-po lo s . Adem!s d e e stas singu laridades internas

tambiin e5tan las singularidades externas que corrcsponu en a s~ y a

s .-.00.

mn -1

...... + als+aon (s 1 ams + am-Is + (I)s (s) =-~ n n - I ...... + b I s+b o

d (s) b s+ b s +

n n-I

d () tendra m-rai_I Ipolinomio del numera or n SEn genera, e - n-raices. Oi

POl inomi o denominador d(s) tendra

c es , mientras que, el () d(s) re. factorizando los pol inom ios n S Y ,

chas raices, se consiguenr

sui t3n do:

_ _ r: _ _ W . : a (s-zl) (s-z2)..... . (s-zm.l_.

m5 (s)

(s-P2) ...... (s-Pn)d (s) U (s-PI)n

(2 )

Oonde k = ~bn

den ominada factor de e scala.

, es una constante d e p r oparc iona Iidad

L a s z i ' con i = 1,2,3, m,

numerador n(s) Y las pJ' con j2 1,2,son las m-raices d el p ol inomio )

oo l inomio denominad or d(s ....... .. n, son las n-raice s del ,-

3,

Ana l isis de l as singu l aridades externas. 5i en la ecua

cion N l se evalua el I fmi te d e l a f un ci6n 5(s) cuand o la variable s

tiete a cero.

aLim 5(s ) ~

o( 3 )

el valor de u na determinadaCuando la s v ar iable s 5 torna

) la func i6n S(5) se"'


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J

3 2

tuac i ones;

S'1 a f 0 y b f 0; I a f un c i on S (5) eva I uada en 5 tend i e!:_o 0do a c cro s er a una constante y por 10 t an to s er a u n P un to

Ordinario.

b) S1 ao

= 0 Y bo

f 0; la f unc ion 5(5) cuando la va ri ab le 5tiende a cero va l dr a c er o , con 10 cual se tiene un c e ro

a)

de S (s ), ens" O .

5i a Joy b = o : la func ion S (s ) c uando se ha c e tenderoro I

l a variable a cer a valura i nfi nit o, c on 10 cual 5(s) tie-

ne u n p olo en 5 .. 0.

d) 5i ao

= ao

; se puede simplificar un a 5 d el n umera do r con

una del denominador quedando el limite a l hacer t ender l a

c)

var i ao l e 5 a cero igual a alibi Y ahora, dependiendo de

los valores de al

y de bl, se p uede seguir e l m isr.o raz::

namie nto d e los p un tos a, b, c, y J, anteriormente des

critos.

E n la e cuac rcn Nise ha supuesto q ue e l n um er ad or tiene

-i-r a ic e s y el denominador n-raices. Sin embargo, s e puede hac e r un

a na l is is mas general partiendo de que ambos pol in om io s n o necesitan

estar completos, y que ello s p ue den poseer un exponent e maximo y otro

minima de s, a s! p od em os definir;

rn = maximo eXl'onente de la s en el pol inomio del numerad or n (s)

m' = minimo exponente de la sen el pol in om io del numerador n(s).

n > maximo ex po ne nt e d e la s en el pol inomio del denominador c Is}.

n'= minima exponente de la s en e l pol inomio del denominador d l s }.

Por 10 tanto, la ecuac io n N I t en dr e la forma;

S(s) (4 )

5i en la acuac idn N4 se calcula el limite de s ls) cuan

do la variable s tienda acero, quedara;

33

Lim

&- 90

5(s)

a ,(_m_J

bn

,

m' -n '5

/D on de s e p ueden distinguir los siguientes casos;

a) S i m' '7 n'; el t ermino sm'-n' de r aten er a a c er o y aparece un cero de or

den 0 multiplicidad m'-n'.

b) Si m' < n'; el termino s""-n' t ende ra a i nf inito y oc urre u n p olo deo rd en n I -m I

c) S i m ' = n'; el t erm ino sm'-n ' v ale la unidad y por 10 tanto S(s)

ra igual a am' donde b se-b-' am' Y n' pue den t o ma r c ua l q uier valor y es

t e c aso ya senestudio anteriormente.

Veamos ahara 10 que sucede cuando I a va r is bl est ie nd e a

infinito en ls ecuac ion NI a' en la ecuac ion tl4.

Tomando el l im it e d e la fun c id n d e red 5(5) cua nd o 5 t ien

de a inf inita, resul tara;

Lim S(s )am rn-n

= -- 5bn

Supon iendo q ue l as c onstantes am y b n s on diferentes de

cero, pueden presentarse los s iguientes casas;

a) 5 i m> n . L~ f u nc i 6 n 5 (5) se ha . f ce I n inito, y s e p u ed c a f irmar

la funcion d d 5( )ere 5 t iene un'po lo d e m ul ti plicidad [m-n) en

in fin i to.

que

el

b) 5i m (n. La funcion 5(5) hacese cero, y se puede afirmar que

fu~c ion

la

d e r ed 5 (5) t i ene un cero de mu1 tip I i ci dad (ri-m) en e I

f in i to.

in

c) Si m = n. La fu nc io n 5(5) e l canza Iun va or const ante y ocurr e que


19/218

35

l a Fun c i on d e r ed S(s) po se e u n p u nto ordinario en el infinito.

EI caso en que las const antes am Y b n s on i gu al es a cero

se deja como ejercicio al estudiante.

H as ta aha ra s e s ab e q ue la func ion de Red S(~) posee m-ce

ros y ri-po l o s corr espondient es a 1 as m-ra ices del numerador y a las

n-raices del denominador respectivamente. Ademas que 5(s) puede pos~

e r p olo s y /o c ero s d e cie rta mu l t ip l ic id ad e n ce ro Y e n infinito.

Considerando como singular idades in t e r ns s los m-cer o s ,

los n-polos y l as s in gu la ri da de s e xt er na s l as q ue oc ur ra n en e l in fi

nita t amb ie n co n s u r es pe ct i va m ul t ip l i ci da d, s e p ue de Ilegar a una

impor tant e conc lu si on s ob r e la s f un ci on es d e re de s. Asi t eneno s :

5i m o n , h ab ra ( m- n) p o l o s e n i nf in it o, a de ma 's de lo s m

c er os y n p olo s fi n i to s. [ s d ec i r , h ab ra m c ero s y n +(m-n) po los =

m polos.

La representacion de I I do s p o os y e los ceros en el pl~

no 5 mediant e pequeno s circulos y pe quena s eqUi~Se denomina "CON5TE

LAC ION DE POLOS Y CEROS".

P ar a re pr es en ta r los palos y los cer os r'lultiples, se

acost umbr a esc r ib ir al la do d el s im bo l o u n numero que ind ico cuantos

d e e llo s existen en ese p un to.

La Figura I, r oluestra I .una conste ac ion de po l o s y c ero s

de una f uncion de red ..aroltraria, hacienda usa de las conv en ci on es a n

tes descritas.

Por o tr a p ar te, si m < . n, hay (n-m) ceros en infinito,

aderna s de los m cer o s y de los n po l o s finitos. Esto es 5(s) t i cne

n polos y m+ ( n-m) = n ceros.

L a a nt er io r p er mi te e st ablecer 13 tercera propiedad de

las r edes PLCCFO, la cu al d ice:

"EI numer o t ot al d e p ol os d e u na fu nc ion de red e s igual

al numer o t ot al d e s us ce ro s, i nc lu ye nd o la mul ti ptic idad, y los po-

los y los cer os en infini to"

GrM ico

Jw

~))I~~ __~e- ~~\ ~~_) ~ PI_a_no__ s_.__ ~

" -co oX (11

REPRE5ENTACION DE POLOS / CEROS.Figura II" I.

P ar a re pr es en ta r los p ol os y ce ro s de S(s) e n e l p la no

complejo s, se usa un "0" para s imbo l izar l a presencia de un cer a

L os p o lo s y los ceros de S(s) t arnbI en se denominan fre-

cuencias c r I t ica s-o, naturale s d el s is te ma. lIas adelante vererros que

una ~ quefia "x" oa ra s imbo I i za r un po 1 o . Es decir, si t enemos un ~

'.e S'1.:in se trate, de un cerede u n p ol o r cs pe ~

j uegan un pep el muy i ll lpor tant e en el compo rt ami en to de los I ~ 1.11 to s.

Para haeer 'I a con st e l ac id n d e p olos y cero s ere pa~

t i r de I a ecuacion N 2 y ub ica r todos 'I cada uno de los pol i cera s

11 ) '1 eel enlun punto del pla no s , d e be remos ma rc ar u n ''0'' 6


20/218

3 7

. ' n en el plano 5. La con stante 'Dr op or ci on al i da d K ' ta;:;_"dicarse Y usual me nt e s u v alor Sp encierra e n u n c u ad r o.

E n a lg un os c as os s e ti en e l a con st el ac i6 n d e p o l o s y de

se d es ea c on st ru ir l a f or ma m at ematica d e l a f unci6 n d e red.

Lim 5(5) 53= 3 --Z K 3 53 -2 2 3 5

S

s ~ 00

c ero ;,

L a c on s tr u cc ion e s evide nte Y l a g r an m ayori a d e las v ec es se constru

ye con K: I ya qu e, di c ha co ns ta nt e s olo r ep re se nt a u n f ac to r d e es

c al a y po r 10 t an to , n o a lt er a l a di st ri buci6 n de po los y c eros ,

M as a de la nt e, h ac ie nd o u so d e la c on st el ac io n d e los p~

los y e er os d e la s f un ci on es d e r ed es p od re mo s h aeer la sintesis de

d ic has r e de s .

Por 10 tanto, la func ion 5 (s ) t iene tamb ie~n polo

pie en e li n f in i to, la representac ion de l a c onstelac ion d e po los

cero s d e 5 (s ), luc ir a a s i:

s im

y

Plan o " s "

jlv

C on e l f in d e fi ja r l os e on ce pt os i mp ar ti do s e n e st a c l~

se s eb re la con stelaci6 n d e pol os y c e ro s , ve am o s un os e je mp lo S a c on

t inuac ian:

Ejemplo NI ,

D a da la f u nc i on S(s) , se d es ea d et er mi na r t od os s us ~

los y ceros Y ademas construir su constelacion, Ejempl o : t IO Z,

Dad a la constelaeian d Ie po o s y cer os de u na eierta fun

5(s)s Ls+Z ) (5+6)

cion F( s), determinar la funcion.

(s+5) (s+l)

x ' + : J 1-----4--_- 4 - 2

2

j w

So l uc ion :

EI pJI i romio n ls ) s er a i gu al a 3s (s+Z) (s+6)

c uy as r ai ce s s on l os c e ro s d e l a f ut lci an d e re d 5 ( s )y e st an u bi ea do se n:

PI ano "5"

E I p o l in om io d (s) s era igu al a ( s+ 5) (5 +1 ) c uy as r aices

son l os po los d e la fun cio n de r ed 5(s) y e st an u bi cados en:

ir

2

PI 5 y P z - I.

C om o l a f un ei on 5(s) ticn e tre s cer os Y d os p ol os f in i-

t05 y puesto q ue e l nu me ro d e to ta l d e polos y ce ro s s on i gu al es , v e

arro s que s u c e d e e n inf in i to.

En l a f un ci on 5 (; ) e st ud ia da s e t ie ne q ue m 7 n. Toman

do el limite de 5(s) cu an do l a v ar iable s tiende a infinito, resu lta :

So luc ion:

Note que exi sten t res ceros fin i t os ub icados en


21/218

3 9

38

CUARTA CLASE

z =- 21

z = - 2 J3

FRECUENCIAS NATURALES.

y ademas existen dos polos finitos ub ic ado s en PI = -4 Y P2

oSuponga qu e s e tiene una red N de dos puertos com la roostrada en la

Figura N l .I

Luego, la f un c ion F(s) debe se r de la forma:

()k(s+2)(s+2j)(s-2j)

F 5 =

(s+4)(s-0)

2(s+2) (s + 4)

I I( S)-~- ..---

" /RE D I? } :)+

V I ( ~ ) II~2( S)PLC CFB

. _ !

P (5)

Obse rv e que F(s) tiene un par de c ero s complejos conj~

gados, y adenas posee un polo simple en infinito. Can 10 cual se ve

I d po l o s e s igual al ruimero total de ce.-rifica que el numero tota eFigu ra N 'I.

ro s .

~nde: VI Y ": san las tensiones en los p ue rtos y

1 1 Y '2son las corrientes de entrada a los puertos

Supon iendo que V I (5) es I a exc i tac ion y que V2

(s) es la respuesta, en

tonces deb era existir una funcion de red H(s) que las relaciona.

(1 )

S i VI (5 ) t ie ne m polos simples y H(s) t i ene n po los 5 impl es, entoncesse puede expand ir cada una de ell as en fr ac e iones pa rc ia l e s

I!I

V , (5) ~ L A i P 2 (S)___ 21=1 Sop i Q

2(S)

t _ (2 )H (5) =

_G_z~

j= 1 s- Pj 0 . 1 ( 5)

donde s .F

5 . ..If I J.pI PJ

)) . )


22/218

)

40

ec u a c ' i o n N2. u y e n d o l o s v a l o r e s d e v,(s) y d e ~l s ) d a d o s p o r l a

e n 'a ec u ac i on N', s e t en d r a q u e

r ~ _lJ[ i+V

2(s) = H (s) V, (s ) = L i= ' S _ P o t J : : I o P j

1 . I resu_id e x p a nd i r en fr ac c i o n es p a r c l a e s ,

e s t e p r o duc t o t amb i c n s e p u e e

t o nd o .

I!I n

~(3)

=L ~+ LV

z(s ) S-P.

i =1 S- P i j =1 J c ua l s e r a d e l a fo rma :i n v er s a d e V z ( S ) es '2(tl ,

I aL a t r ans f or mad a

I!In e j (4 )

Le it L;(,j(t ) Ki +

V2=

j ='i ='

qu e l a r e s pue s t 3 e s t a fo r ma d a p o r u n a s e r i e deD on d e s e p u e d e o b s e r v a r l a r e d .

c ar ac t e r i z a n e l c o mp o r t a mi e n t o d et er mi no s e x p on en c i al es , q u e

. I . 5 s p r o v e ni en t e sL a s f r e c u e n c 1as c o r n p eJ a pj

. I ' . t o s e d en omi n an fr ec u e nc i asp, a s d e c l r CU I .

. d I " or eo s c i l a c i o nd el s i s t ema .l a s f r e c ue nc l a s e I

de ' l a s c a r ae t er i s t i e a s p r ~

na t ur a le s y eo r r e s pon de n a

p r o v e n i e n t e s de l a ex c i t ac i ons e d e n o m i ..

L as f r e e u en c i a sc ompl e j as 5 pi

I i nt r oduc e n a I s i s t ema .As i p u e s ,

. . . ._ .. . . .f r e c ue nc i a s f o r z a da s y a qu e

s ena n

ex c i t ac i o n c ua l qu i e r at endr i l u n a v a ! : .

d e s i s t e r n a a u n a

l a r es pue s t au n

d e p e n d e ex c l us i v amen t e de l c i r c ui t o Y ot r a par t et e t r ans i t o r i a qu e

qu e de pe n d e d e l a e x c i t a c i On .

d e mos t r ar l as fr e c ue nc i a s n a t u r ~Ex i s t e o t r a f o r ma q u i z a s ma s c l a r a

S a b el 1 ' Os q ue l a e c ua c i on n u me r o ' q ue .l es q u e c o n s i s t e e n 10 s i gu i e nt e.

V (5) = H (5) V , (5)2

di c ha e c uac i on q u e d ar a V2 ( s ) = H( s ) .p o s e e c o mo t r an s f or ma d a d e L apl a c e

Si h a c e mo s V I ( s ) = I , en t on c esAh ar a b i e n, l a u n i c a f u n c i o n q ue

41

l a un i da d e s l a fu n c i dn i mpul s o, lu e qo e s c o c o Q . e.r J

ni f i c a t i v o q ue c ons i s t e e n q ue l a r e s pue s t a i m~J ' s i v a de u na r e u es t a

senc ill amen t e . d et e r mi n ad a p or l os p o l os y l o s e e r o s de l a r e d . Es t o

es, s i ap l i c ar r o s u n i mp u l s o e n l a e n t r a d a d e u n a r e d , t e n dr e ~e e n

e l d o mi n i o s s e c umpl e q ue v2

( s ) = H( s ) 10 c u a l q u i e r e de c i r q ue e l c ompor t ami e n t o d el s i s t ema e s e l mi ~ qu e e l d e l a r es pues t a, 10 c ua l , i n

d i c a qu e c o n e s t u di ar s ol a men t e la r e s p u e s t a VZ( s ) s e t e n d r a l a r e s pue~

t a d e H l s} .

D e e s t a mane r a s e t e r mi n a c on e l c on c e p t o d e f r e c uen c i a na t ur a l , n o p r ~

f und i z amos ma s en es t e i n t e r e s a nt e t e ma deb i d o a l a f al t a de t iempo y

iii h ec h o d e q u e medi a nt e . e l a n a l i s i s d e r e d e s tamb i en s e I l e g a a l os mi s

1T05 r es u l f ad6s .

Ah or a se anu nc i a r a y d er oos t r a r a l a c ua r t a p r o p i e d a d de l a s r e d e s RL Ca s l :

U n a f u n c i on de r e d d e un a r ed RL C 5010 p u e de t e n er u n p ol o s i mpl e en i n

f i n i t o .

De t r Os t r ac i o n : P ue s t o qu e u na fu n c i d n de r ed s Is ) r e pr e s e n t a u n a d e r as

s i g u i e n t e s f u n c i on e s d e r e d : Z ( s ) , Y( s ) G( s ) , H( s ) y J ( s ) . S i s e d emues

t r a q u e c a d a u na d e e s a s f u n e ione s d e r e d e s d e r e d e s R L C 501 0 p u e d e n . t =.

n er u n p o l o s i mp l e en i nf i n i t o , e nt on c es p od r eno s af i r mar 10 m isno par a

5 ( 5 ) y as i q u e d a r a d e n n s t r ad o l a p r o po s i c i o n a n t e r i o r .

U n a f u n c i on Z( s ) t i e ne d i mens i on d e i mpe d an c i 3 , p or 10 t an t o al t en d er

l a v a r i a b l e s a i n f i n i t o Z ( s ) s o l o p u e d e t oma r u n a d e l a s t r e s f o r mas :

Ks , K, K/ s do nd e K e s un a c o ns t a nt e r e al y po s i t i v a . Co n 1 0 c ua l es i m

p o s i b l e c o n s e g u i r p o l o s n o s i mpl e s e n i nf i n i t o po r q ue e l 10 s i gn i f i c ar fa

e n c o n t a r t e r mi no s Ks n . L o s c ua l e s n o s e p u e d en o b t e n e r c on r e d e s ~ L C y

a d ema s n o t i e n en d i men s i o n d e i mp e d a n c i a . Po r 10 t ant o , Z ( s ) s o l o p u =.

d e t e n er u n p o l o s i mpl e en i nf i n i t o 0 t e n d e r a u n v a l o r c o n s t a n t e .

~

I

S i mi l a r r a z o nami e n t o s e s i g u e p a r a l a s f u n c i o n e s d e r e d e s : Y ( s ) y G( s ) .

E I e a s o d e l a s f u n c i o n e s H ( s ) y J ( s ) t i e n e u n $ e v i de n t e demos t r a c i o n .

H( s ) y J ( s ) s o n f u n c i o n e s d e r e d e s a d i me n s l 6 n a l e s p u e s t o q u e s o n e l


23/218

42

I.-Un a r e d N co n f unc ion d e r ed H(s) se dice que es "c:ondieionalmente

estable" si la respuesta im pu ls iv a d e N, hit) , e on tiene solamente

terminos acotados, un termino impulso Y Ul'termino que es 1 3 der~

vada del impulso (doublet).

coeie nt e d e d os tensiones a de dos corrientes, luego al hac e r tender

sa infinito sera imposible encont ar t erm in os d istintos de 1(,

As ! t od a f uncion de red 5(5) d e un a r ed ~ LC s ol o p ue de tener u n p olo

5 imp Ie en i n f i n i t o .

Esta propiedad de las redes RLC conduce a un corolario, el c ua l s e

anuneia a s I :

11.- U na s r e d Neon func idn de red H(s) se dice que es "absolutamente

e sta bl e" si la respuesta h(t) de la re d a u na e nt ra da a rbitraria

aeotada es acotada.

" La d,iferencia entre cl grado maximo del nume ra do r y e l g ra do maximo

del denominador de una inrn i tanc ia de entrada, solo puede tomar los va

lores siguientes + 1,0 Y -I"

Con estas definieiones, se van ahora a anunciar y demosta r d os n u ev as

propie da de s d e las funciones de redes.

Q u in ta prop iedad

Una immitancia d e e ntrada de una r ed RLC pucdc ser una impedaneia a

una admitancia. En cua l qu i e r c a s o , al tender la variable sa infini

t o s olo se pod r an encontar t erminos Ks , I~ y K/s.

"Una func i dn d e r e d d e u na r ed'condicionalment e est able no puede tener

polos en el lado derecha del plano 5 y si existe alguno sobre el eje

jw debera ser simpl~'

Oemostrae ion:

Demostrac ion:Suponga que la funcion de r ed H(s) t en ga la forma gen~

ra I.

Cada une de los terminos anteriores eor responden a ls diferencia de

grado entre numerador y dsnomina do r , y p ue de n ot ar se q ue e orresponden

a los valores + 1,0 y -I.Gue se puede expandir en fraeciones parciales lueiendo como:

a) Establ es

b) lne s ta b l eS

K, K

=;~ +

+ IAnm A A, s

(s-P )m

+0 +

ii)';I (S-P, )m fl'Fl ntermines acotados termino termino

impul 5 ivo doublet.

lias propi edades de I a s func i o ne s d e r ed es

En la primera clase se clasificaron las redes eleet r icas segun la te n

dencia de la respuesta transitoria en:

Ahara, analizando en forma general el comportamiento de un pol o de

lI(s), queda.

y de rU . IT' in t ui tiva se expl ico en Que cons istian, ahora al estu

< .ade s de las fune iones de r ed=. ahandaron un poco en

',oc 0 que se introduciran d's definiciones muy impo~

H ( S) All

---+(S-p, )

~2 +

( s - ) 2

AI K-. -_ + R E S T O D E LO', T,(S-P,) K

I~OI. tal como se puede ooserv r e n I a f igura s igui ente.

j w

Figura 6.~1.

65 -

En la fi~ura 6.~ s e p ue de o bs ervar que al desplazar e p.mt o

el eje jw se modifiean todos l os m odul os y angulos de Ls Vf

all i mostrados, po r 10 cua l p ar a cada va lo r d e la fre cueneia

c icn (6.)) toma dist int os valores.

As' qu e l a ecuec ico (6 .9) se puede expr esar como:

res

la eCUi l

a x 1 "x2 Mxm(G .IO )

I uego,

La r ap r e sen tac ion graf ica R(jl'l) en coordenada s p ol a re s (rOCidulo yangu-

10) 0 en eoordenadas cartesianas (parte real y parte imaginaria) s e d e

nomina diagrama de Niquist, d iaq rarno que se estudia ra e n d et all e p os t~

rio r ment e.

Tornando logaritmos en la ecuec ion (6.10) se obtiene:

Ampl : tud = 10dR{j"l! = 10gJKt + (lOg ~'ol + log . " 1 0 2 + ..... +Iog "bn] -

(109 mxl + l og ~ :x2 + + log :lxmJ

Fuse = (~I+f'2 + fn ) - (el

+ 92

' + + 8m)

La fase se mide en grados.

La arnpl itud e X . se suele medir en d~, para 10 cua l deb e t om ar se e l I~

r i t me de jp,\jl:) I y r.lul t ipl ic ar se p or 2 0, e s d ec i r, l a ampl itud de r ; I : . .e n d ecibeles vie ne d ad a por:

, t4

OC dR = 20 lo~J R(jw) I

c : 1 .d ~ 20 10~1 I,{j"lj

s 201 09 1 .( 1 + 20 (loS mo l + l og :"o2t~,109 I bn ) 21) ( logl1xl+logHx2+ .. logHxm)

0% (rl + 'fl+ + 'e r ,)-(e t +92+ e m l

La respucsta en f recuencia de l circuito se obtiene reprc sentanoo en un

,


37/218

6 6

papel semilogaritmicoo(W) en decibeles y " (w) en qrado s 6 radianes.

P ar a hac er lo m as gener al s e suele r epre se ntar e l d ia gr am a s in ten er e n

c ue nta el factor constante K, suponiendo un nive l de c er o db con K : I y

lue go s e de spla za ra e l c er o dB s egun el valor de K, 10 cu al s e h ace s im

plemente sumando 20 log K a l os d ~ del grafico normal izado ,

' I

PROBLEMAS PROPUFSTOS

DE

ClRCUITOS ELECTMCOS m

SOBRE

" FUNCIONES DE R ED"

67

1 era. Version

Po r : r.Be rna \Sept. . 977

)


38/218

68

-I r ;~I la a funciones de la s igurente f

..L__ ~ ;t+4H3)

C j 52-1')(,:,2~).)

l '2.gs~+2.0S:'+ :'1S'- loS+5,)k(Stl) ydeterminar I

(8tZ)(st4)

j

~jL6' )

~: ?

~)

; >

1 \s

~J. 2/3 r = ,~(21 2 F1,'

2'

4) Dem ostar que HZI (5) =5 s 4 + 5a2 + I

\H \H

ml'-I 1 _ _ .1[0 L- l\_Lr----11 -----~l

+ i F i F

- V1

\.f 1 F y . , - : : ; : '1 .1 :

i

~ r l -----~ _ JI 2.' .

l'Resultados:

Yii :: ~? + I IS~ __ _ _ ~ ?_ _3 S4 1' 2 S ~-t 19 : , '. + IS S + t

~ , ' =S't 2 Sl31 ~ - s - sz . + 1i S + Lj ')

6) Determinar para la red mostrada : Y21 (s); Y 12(s); Y 1 1(5); Y22(8); Z 12(5);Z21(5);

ZI I(s) ; Z22(8) y H21(s).

~L

E

/2a.

_ - . J2'


39/218

7 0

Resultados:

'Y II ::_? _S ~ ~_ S + i..S~+ o i l s'ns+ ,:;

- < .S + S + 1-----~. -

:; r -,....-1,:.:.-

'11-; .2 (S'-+l)

'is-i+ 2 S + 1

Resultados:

s~+z S1+ 3 '-+ 2 .

, - c ; , " 3 . 2Si+3s"t 4

C~I;- f,'+ I'S .+~+z.

71

8)Determine las condiciones pa ra que la red de la figura sea:

a) Redproca

b) Sirnet rica

c) Balanceada

J) I'lls iv n ,

()__. .__. J....--------4

1 )) 1 : .1 1 el Circull" de la Ii!(ura se de se a uelcrlllllliH:A) r,a 111'l'ndQllI"iA pt'"!1i~ d.., In 1110110 HIIII (1'11)

b) La impedancia mutua entre la rna lla uno y la do s (z IZ )

c) La Iunc io n de red Z II (al conectar en el puerto de sali da l a ca r g a y en

el puerto d e entrada la excitacion) .

.d) La impedancia propia de l a r na Ila do s ( r ;z z )

e) La impedancia zil z

*l I Z = 0

f) La impedancia z22 "Tt I 11 = 01- ,.

~- --TA.IVY\--I ~~ 0---1 !l1/ __~'5 s i_ _ f.;J_:--. 2./~ 1\ 1~, ~i~/- I ~ V L J C ,i

I, 1j,-1S( o ll . ..->. (.,- .

I . ~ s 9~ [~~_,+O j a -Il I : L

g) la imp edan cia llYl1 s iendo Yll = -V -

h) I a imp edancia I/Y 22 sien do Y22 = '~~ V\2:

0

Vt * O

i) la m atriz lz 1

)


40/218

C A P I T U L O "

D I A G R N I A S D E B O O E Y N I Q U I S T

/

JulIO 19885a. VerslL1n

7 2 73

"D I (',GRi'lt'IA D E B ODE "

1.0. Irrt roduc c irin .

2.!). Dlagrama de Bode en amp l l tu d.

2 : t. P o l os y ccr " c) s slmples y r e al e s.

~. 2. Polos y ceros r eal ~s de mu l t l p l i ci da d n.

2.4. EJl?mplos.

'1.(), E)L"rnplos.

( )


41/218

7 4

EI es t udl o de l o s d i a gr a ma s de Bode. a s d e s uma i mpor t anci aen todo 11 c arnp o de l e IngerH~\r'{a El~c.t~-lCd~en ru::.on, d(:.~ qU{;.l

medi ant e es t a t e' cni c i l s( e c.oricc o en f or m, ) gr i fl ca el

co mpor t ami ent o co n l e +recuonc io d el ~; l st f: ' m" 'b a jo f. ' ~j t u( l i o.co n fo

cue l ~e puedp mejor ar' 1!3 respuc'C'"llr:~ de los n.i smo s , rea) iz ar nuevru-

d ; se f' j o, et c .

En esta as i qne t ur a , Cxrc u i to e Elriclr-,Icos, III, ~~p. estLldial-~1

en de t a l l e l as propi edades de l a s f unci ones de r edes, sl endo es t . o

el pr ~- r equl s l t o par a ent ender per f ect ament e el t ema qU8 s etratara.

Se eSpf!rc1. que el a lur nno aI t(?r-mlnar es te t~pico~ est e

capac i tado p ara cor.lstruir 1 i~ respues ta frecue~ci(11 erf~mpll t ud v

f a se t ~nt o par a s I st emas reales como f l ct l Cl OS~c. ( ) r \ st l t uven( j oes t r : fo! ! ' S iCamf mt l ~ el ob J et i vo del t . em. \ . .

Est oE apunt es de cl ase ~' el aborado con el pr op6s l t o de

cont r . b ui r , en par t e como r ecu r s o d. s poni bl e, en el pr oces o d~1

apr endi z aj e del al umno. Es des eab l H ~u e l o s es t udl ant e, den a

con oce r SUs i mpr es i ones r es pect o a t odo el co nt enl do de l os

apunt es , can el pr opJ sl t o de pr oduci r un l a: o de r eal i ment sci ~n

I f eed- back) o r i ent ado haci a l a mej or a de l o s m. s mos .

El dl agr ama de Bode e s u na t ~cnl ca muy s I mpl e des a r r o l ada

por Hendr i ch W. Bade par a gr ' f i c ar el compcr t ami e nt o f r ecuencl a lde l os. sis t.erne s ,

Veamos pues en q u~ conslste este pr ocedl ml ent o:

Supongase qcre se t ierie 18 funClon ~e tr ervs+er enc i e de Lini. ' rea,

mat e nl at l c amer l t e expresada c omo:

HI s ) ~ i ~~U) _ . ! . ~~f . ; ; : ) _ ! . ! . ! . ! . ! . . ! . ~~f . ' 2 ~K

( s +F' 1) I s +P2) . . . . . 1~, +F' m)Donde K es una co ns t ant e, I J, I j =I , 2, : . . . n) s on l os cer es

de HI s) y Pj , ( j =I , ~, 3, . . m) s on l o s pol os de HI s) .

5i s e qui er e est u di ~r ' el comport Bml e nt o fr ecuenci al deH( s ) par a l odos y ca ds uno de 105 punt os l ~l c ados s abr e el ej e j W

del pl ano s, es dec l r , hay que eval uar l a f unc 16n H( s) en t odos

l o s punt os s ~j w del e j e j w d el p l a no s

5i s e hace s =j ~J y se su s t i t uye en l a ecuac i ~n 11. 0. 1 1resLll"tar-J.:

(1. 0. 1)

Hej w) = K . ! . l ~~~l ) _ . ! . l ~~~Z ) _ ! . ! . ! . ! . . ! . i ~~~Q) _( j w+Pl ) ( j w+P: : ) . . . . ej , . +Pm)

11. O. 2)

75

Obser ye que cada uno de l os t ~r mi nos t ant o del numer ador

co mo del denomi n ador de l a ec uaci 6n " 1. 0. 2 s on si mpl es vect o r esen e l pl a no $q ue pue den expres ar se en l a conoci da f or ma pol ar ,

la cua l s e ca r act er i za por un modul o y por un , {ngul o. 5i co mo

t &r mi no r epresent at i vo de un pol o 0un c er o de l a ecuaci 6n #1. 0. 2 se t oma I 1

Tl j w) . I j w+sp z ) t donde s pz puede ser un n~mer o r eal 0 un

n&mer o compl ej o y el expon ent e ~os i t i vo de T( j w) i ndi ca que s et r at a de un cer o de l a f u nci 6 n Hl j w) ml e nt r as que s i as negat i vo

se t r at a de u n p ol o de H( j w) . ! ' l s! pues , est e t l ! r mi n cf, : pr es ado en

l a for ma pol a r es t ar a dado pO~iTl j . , ) ( j w+s pz ) ~ ~1(w) ej . fl ! I ~" 11. 0. 3)

I Re T ( jw 2 + II m T ( jw) ) 2donde ~1 C ",)

-It g ! .m Hi"lL

Re Tl j " , )~I w) 11. O. 4)

Par a t odas l a s s i n gu l ar i dades de l a func 16n Hl j w) exi st . r J ,

evi dent emen t e, un t ' r mi no dado por l as ecuaci ones ( 1. 0. 3) v

( 1. O. 4) Con 10 cua l , al co ns i de, ar t odos I os t er mi nos enconJ un , t o; puede det er mi nar - se el modul o y el &n gul o de H( j " , ) en

func i on del val or de l a f r ecuenci a w, es t o es :H( j w) =Ml w) %(wl

t rabaj o cons i st i r i

' co n el pr opds i t o de

del mOdLl l o y del

E l o bj e t i vo pr i nci pal del present e

s i mpl ement e en des a r r ol l ar una met odol og{a

mos t r ar en f or ma gr ~fi ca l a d ependenci a

~ngul o de HI J w) con l a f r ecu enc i a " ' .

Be comenz ar ' el ani l i s i s , es t udi ando l a r espuest amddul o de Hl j w) par a di s t i nt as fr ec uenci as , y pout er i or ment e

anal i : ar & el co mpor t ami ent ode l a f ~se en funci 6n de w.

del

se

2, (I QI B8BljD Q ~ < Q Q ~g~ )ljE UI 1i!!5uponga que se ti ene una

Hl j " , ) , da da por l a ecua ci on II(I.(),~).

val e:

f l l nci on de

E I mddL l l o d e

t ransf er enci a

es a f unci On

li\:!~uL_.1i."!~i~l. ...; .,-,-,-,-di\:!!ntj j w+Pl l Ww+P21 . . . . . . Uw+P31

(2. 0. 1 )

Al const rui r ~a gr~f i ca de Hej w) Vs.

s u r g en s e r i a s d i f i c ul f a de . c o mo s o n:

l a f r ecuen_c i a w,

a) P ~r a c . da v . l o r de w t i e ne que e val uar5B I. funci dn

Hl j w) , 10 e ua l i mp l i e . u n t r a b. j o execi vo.


42/218

76

b) Ordinar iamer r t e 1", +r ecuenc i e se he ce var iar en trel [ mi t es bast ant e ampl i os , con 10 cual al hacE' r - l a

r epr es ent aci dn de Hl j w) Vs. 1'1 en un pl a no c ar - t es l ano con escal as

l I neal es, s e hace s umamen t e dl f {c i l y por dem~s i ncomodo l ogr ar -una exact l t ud , r - azun abl e.

U na f or m a de sosl~yar el Inconvenlen te b) cons is te en

gr : f i c ar ' el compor taq.m ento de r l \ J w) Vs. l ogw; con I 0 c~l al 1 a

esc al a rJel +r ec uenc iaa se r e duc e y l a o s ca l a de H( j w) que d ai qua I que ant es, es t o , s ique s ion do Ll na es cal e, l i neal .

Por ot , . . a par t e 51 en l ugar de c o ns t r ul r l a gr - df l ca de

HI J " ' ) Vs. l ogw, se hace l a de oi \w ) = 2(1dr' (2.

~B( " ' ) s e a n a l iz a de l a

w1 sp z j;cUe\1Cld r "i0 c i5/ d (;' c

lc.vr~1> r~.\ d i,.;-:,l . CI..!> + b

Fi gur a It (2.3.11

Otra ma nera de es cribir el t ~r mi r 1o s L+a s +b es en

funei 6n del coefi ci ent e de amor t l guami ent o y de l a frecuencl a

nat ur al del si st ema ! oJ n. [ st a f or ma ya es conoci da por el

es l u di ant e de ~l o~ cu r so s ~nt er i or e5 de ci rcul t os el ~ct r i c os yes t .a da da po r ~~+2wn s+wn ", Compar ando amb a s f or mas t ! ? r ml nO at er ml no, se puede deduci r que:

l u ego:

wn"' f b (2.3.9)( =

can 1 0 cual l os r esu l t ad os obt e ni do . a nt e r i o r me nt e , s e puedenexpr e s ar d el mo do s i gui ent e:


50/218

86

: espuesta asi nt ot i ea e n baj a f re cue nci a

(2.3.1(

0 < dE


51/218

88

,Ademas

9.._! .Qg ~dw

Q!.1~~,. ( 2. 3. 21)

Al su s titcn r l o s r es ul t ados obt eni d os en ( 2. 3. 20) y(2.3.21), en ( 2. 3. 19) reeu l ta .

al 19ual ar l a ecuaci ~n ant er i or a cer a r esul t a:

" ~4w~+2a -4b=O

? '?2w- +a"-2b~(J

lueqo .

~ "w"=b-a"-;2

w= J b - a 2 ;dla ecuaci~rl 'H::.3.2~) ~ tambl~n se puede ex pr es ar asi:

n~... tv {~. .3. 24}

I Se ha . det er ml n adod~a f r ecuencl . < I l a c ual s~ma" ai l o 0 un mi ni ma de 0( (1"), ahar a s e det er ml nar a

0( a esa f r o. cuencl a.

pr oduce unel va l o r d p.

0( d8( w} I = : + ; . 20 l agwma x .

=t;20 l og J~ . , . . , . . , " , , '

' wn- - ~L) - +4 'wn-w-

~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~' " m~- wn +2", -"m - }" - " ' 4_ " " wn" -( wn" "Cl : ! ; 2 0

O(d8 (w) " ' : ! ; 20 l a g

r:J l- (,::+ ~i) l (J g=+ : : : 0 l o g (2.3.25)

P ar ~I t l mo , e l e r r or can r e s pe ct o el compor l a mi e nt oaSl nt ~t i co est ar J dada par :

! -I

89

er r or = 20 l ag 2. wn2 / 1_( . 2~ 20 l og w, ,-

error= 20 l og wn: : :+ 20 l o g 2( jl- ( 2~20 l og n2

j" 5 ,

b- a" " / 4 (2.3.26)er r or : ~20 l og 2 ( . } - ( 2' ~ ! 20 l o q > f lb

EI c aso de si ngul ar i dades compl e j as can mul t i p( i ci dad n) 1es anJ l o go a l e s t u di a do en l a secci ~n 2.2, l a di fer enc i a es t aer hue l as pendi ent es y l os er r or es se ver i n afect ados par di chamul t l p l l c l dad. 5e dej a co mo ej er ci c i o al est udi ant e anal i zare s t e c a so.

5e puede ob s er v ar q ue p ar a di st i nt os val or es delco efi c i e nt e d e a mo r t i gua~i ent o no s e al t e r a l a fr ecu enci a decor t e per o s { ca mbi an: el e r r o r a l a f r e c uenci a de cor ~ B wn, laf r ecuencl i l a la cU8e s e pr odu~e el mi . h: i mo de 0( (i, l aampl l t ud m~xi ma de 0( ("I) y por ul t i mo el er r or que s e c omet e al a fr ecuenci a a l a cu a l s e p r o duc e e l maxi mo de ampl i t ud. Par ahac er des t a ca r e s t o que acaba de deci r s e, s e anexa a cont i nuaci 6n

l a t a bl a # ( 2. 3. 1) en l i l cual , s e pu~de obser var l a var i ac i 6 nde al gunas de l as magn i t udes c i t adas ant er i o r ment e en func i 6n dedi st i nt os val or es del co ef i ci ent e de amor t i guami e nt o ( ) .

T, ~8LA # ( 2. 3. 1)

t 2. 695dB

=~==~~~======~=~~================~=::===========~Coef i c i ent e deAmor t i gua mi ent o

(6)

E r r o r d e l af r ecuenc i ad e c or t e wc

~ {t_:_" l!:.~ :~Ql o l } _ r : J

Fr ecuenci a de lm c1>~ imo de am-

pl it ud w ma)!.

' - : ! ': ..~ ~ : ._ Y ! ._ ,, - Y .L - _ ~ f : _ ~ _

Er r or a IafrecLtenci a

m.n : .w

! -_= _~ O l~ ~ ~ ~ : ~ ~ _-O.j(I 00 wn

0.05 : 20dB 0. 997wn : 20. 01d8

0. 1 t14d8 O. 990wn : ! ; 1 4. 02d8


52/218

Conti nuaci ~n d e la ta bl a # (2.3.1)

O. 707wn

O.529wn

O. ( l 17wn

9 0

+1. 249d

En l a t abl a # ( 2. 3. 11 105 si gnos superi ore s corresponden a

cer os y l os i nf e ri or es a l o s pol os.

0.5 (I dB

0.6 1. 5dB

0.707 13 dB

1. 0 t 6 dB

\

\

91

RESUMEN DE FORMULAS DEL DI AGRA~A DE BODE DE' AMPLI TUD

1. 1 TJ r mi nos de l a f or ma:+n

( s+spz) -

~ 2 1/2al Ampl i t ud en deci bel es " " dB( " " = :! : . 20 n Log( w +spt )

bl Compor t ami ent o asi nt~t i co a baJ as f recuenci as:

!20 n Log : spz :

dl Fr ecuenci a de co rt e :

e) Er r or a baj as fr ecuenci as :

E( wl :s pz ~

fl Er r or a al tas f recuenci as:

; w : s p : c : :

2.) TJ r mi nos de 1a: ; : : t 1

= (s +es+b )

a' Ampl i t ud en deci bel es:

o( dB( wl = ; 20 l og

O( . dB( " " = :20 l og [ ( b__,.,2,2+a2.,2J1I2

bl Comport ami ento asi nt ~t i c o a b aj as f r ecuenci as:

oL. dB( w' =t 40 log wn + 20 l o g b

c ) Compor t ami ent o As j nt ~t i c o de al t a s f r ecuencl as:

I dl Fr ecuenci a de cor t e: w c w neJ Error a baj as fr ecuenci as:

f) Er r or a al tas f r ecuenci as:

( wI t 20 l og{( w I w, 2 -n

gl Er r or a l a fr ecuenci a de cor t e :

Error :2 ~ 20 log :a/ b1/2: : :r . 20 loy _E


53/218

,.h) F r e c ue no a d el max i mo val or de eXdB( w) :

w = wn ,

i l Ampl i t ud a l a f r ecuenci a a l a Qu e s e p r o du c e un maKl mo:

j ) Er r or a la f r ec uen ci a en que se pr oduc e un m' xi mo:

20 1oc 2 E . ( 1 _ 'c) 11.:E( wl = :t

E( w) =: t 2(1 l o g (a/b1l2) (1_(a2

/4b112

92 93

Hast a an or a e l e s t u di o s e h a r e du c ioo si mpl ement e aat t a) . i z ar

uno de l os t ~r mi nos si gui ent es:

+nal 5-

b) (s+spz)n

(s-+2 ~wn 5+ wn2

).1c)

Si n embar go, cu an do s e q ui e r e a na l i z a r a un a funci dn det r ansf er enci a H t s ) ; est os t e' r mi nos no 5e pr esent an ai s l ados , si no

par el cont r ar i o co~i nados ent r e s i .

Par a obt ener Is r espuest a f r ecuenci al compl et a de unafunc i dn H( j w) , s e t i e ne qu e h a ce r l a s uma al gebr ai ca de l ascur vas cor r espondi ent es a c ada t ' r mi no, Y e s t o s e d eb e a q u e e npa~el semi l ogar {t mi co, l os pr oduct os se convi er t en en sumas y l a s

di vi si ones en di f er enci as.

A cont i nuac i o n, s e , - eal i zar an al gunos ej emf l os conpr op6si t o de acl ar ar compl et ament e l as dudas y ademas exponer

pr ocedi mi ent o cor r ect o.

elel

Const r uya el di agr ama de Bode cor r espondi ent e a l a ampl i t ud

de l a si gui ent e funci 6n de t r ansf er enci a

H( s) . 50s ( s+10)( s+31 ( s+4001

Sol uci on:Hacemos s=j " y 10 s{l s t i ut i mos en l a e>: pr esi 6n de H( s) ,

r esul t ando

H( j w) __dQlj~~(3+jw) (40(l+jrll

y po r d e f in i c i on ser~:

cXdS( w) . 20 l og : H( j wl :

2 01 0g 5 0 + 201og ljw:+2C)logI10+jw :-20 10g :3+jw:-201og:40( )+jw:

. I .. . i", . , - -- - ., 95


54/218

94

Donde cada LI nDde l os t ermi nos de ex 8; son de 1a for maant er i or ment e est udi ada, l uego, dege anal i z ar se el

comport a mi e nt o a si nt 6t i co de cada uno de di cho5

t ef r mi nos, r epre s ent arl o s e n papel semi l ogar {t mi c o y hacer l a sumaal gebrai ca de cada una de l a s cur vas .

As[ se ti ene:

201og: j w+l 0:

si 1' 110 K1

=2?l o g 10 =20dB

5i 1' 110 ~1=2Ul og 1' 1

f re cue nci a es qui na en w- I Or ad/ s

b) ( ) (2= 20 109 1 jw : = 201 09 1' 1

Para t o do va l o r de 1' 1, Ol, e5 una rect a que posee +r ecuenc iaesqui na, sol o! i e sabe que s i " 1' 1=1 0( .., debera s er cero y que l ar ect a t i ene pendi ente posi t i va de +20 6B/ d~cada. 5i Be desea se

bus ca ot r o punt a de e s a r ect a t al como: par a 1' 1=0. 1 0 < .. . , =- 20 d[ (_= -20 logljw+31~,

~_- 20100 3= 9.54 dB~- l. .; . , -

Sl , . . , 3 ri . . 3 - 20 l og w

Fr ecuenci a ~squil,a en w 3 r ad/ s.

d) 0(4 = 20 l og : jw + 400:

5i w : < 400; ~ - 20 l og 400

5i 1' 1400; c{4 -,20 l og w

f r ecuenci a de co r t e en w 400 r ad/ s.

- 52, 04 dEc.

e) ()( 5 - 20 log50 = 33,96 dB = 34 dO.

Ahor a se r epr esenta

f i g. #2. 4. 1) .

En 101 r eao Iuc icin

si gui ente:

cada curva y se det ermi na Is resul t a nt e

( verdel ej empl o se puede coment ar 10

1. - A muy baj aB f recuenci as , s e obs er v a que t odos l os t~rmi nos:except o E. q~e pro duce un cer a de H( s) en 5=0 son constante s. E~

~N

'"' ". "

-0

.... . h----'-.LI+_,_.-++..,-l1 _

s. _

I .._,8. ~_

2

"'z.0"~

I,1 =

,W I.

"0>u

~o1 1 .1 ,1

1O

Hl j w)l i m - - - - - - -

w- .,(, Ij\,) ( 3) ( 400)

( 50) ( 10)

l uego H( j w) - 0, 4167( j w)

de donde

- 7, 604 + 201og( w)

: 010g( 0, 4167) + 2010gw

ev . l uado en w=l , r es ul t a

- 7, 604 dB.

5

12

En el cas o en el que no hay a n1 cer o n i pol o en s=O,901ament e 5e t i e ne que eva l uar H(jw) en w- O y r es ul t ar d que:

e x dB(O) = 2010g: H( I ) :

2 . - A f recuenci as muy el evadas, es o equi val e a t omar el l r ml t ede H( j w) cuando l a f r ecuenci a w t i e nd e a i n f i n i t o, co n 10 cualresul t . que:

l i m. CXdBlw)w- . ' 00

20l ag 11i m H( j W) /\'J-)oo

En nuest ro ca50 t en emos que H(jw) = 50w- >oo

I uego: O( dB ( 00) ' " 2 0l o g (50) 33, 98 dB

En e l c as o en el que el grado del numeradors e a ma yo r ( me no r ) q l l e el grado del denomi nadorent onc. . 9610 i n t e r e s ar ~ c o no c er e l v a l o r d e l apo. ea.

Est o

( denomi nado r )I nl l mer ador ),

pendi ent ~ que

s i r v e como m~t odo de compr obac i 6n e n el di agrama de


56/218

9 8

Bode en . ampl i t ud para si ngul ari dades si mpl es y compl ej as de

mul t i pl i ci dad Un" . Fai t . par a compl et ar nuest r o an~l i si s,

est udi ar l os di agr amas de bode en fase.

r ealuna

un

5e comenzara est udi ando 1 cas o de una si ngul ar i dad

y si mpl e, que es el de f or ma ( j w + spz) , donde spz es

si ngul ari dad de l a f u nci bn de r e d q ue pued ser un pol o 0

cer o.

viene

EI ~ngul o de f ase de un t ~rmi no gen~r i c o

dado por l a s i gui ent e expresi on:

. .( j w

-1: ! ; t ag

w

(3. 0.1)

spz

( jw

Donde el si gno s upe ri or cor responde

+ spz) es cer o y el i nferi or 0un pol o,

caso en que

vi ene e: , : . presadoal

y en r adi anes.

99

l a ecuaci on ~3. 0. 1.

TABL A l t 3. 0 . 1

: t 45

Fr ecuenci a

en rad/ s

Angul o de fase

en r ad/ s.

Angul o de , f,\5e

en gr ados.

:to, 1 .5,71O,lw

- - - - - - - - - ~ - - - - - - -O, 5w

- - - - - - - - - - - - - - - -t o, 464 : 26, 57

: t o , 785w- - - - - - - - _ _ - - - - - -

2w- - - - - - - - _ - - - - - - -

lOw_________5 _

L a r epr esent aci 6n de l a c cuec ion 3. 0. 1 en u n gr I f i eot i ene l a for ma most r ada en La f i g. 3. 0. 1; donde we

En Ii!. t abl a e l si

circuitos electricos-enrique bernal

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