上海交大乐经良

Chap 6

多元函数微积分

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Chap 6.1－2

多元函数

6.1.1 空间直角坐标系

选定原点O，作三条两两垂直

的数轴，标为x 轴、y 轴、z 轴

就构成空间直角坐标系

约定：x,y ,z 轴成右手系(右手规则)

坐标平面：xOy平面， yOz平面, zOx平面

卦限：八个卦限

O

x

y

z

（如图,可称为横轴,纵轴,竖轴）

（由坐标平面将空间分成的8个部分）

x

O y

P

z

y

x

z■ 点与坐标

点 坐标

可记为 P (x, y, z)

点 P1(x1, y1, z1) , P2(x2, y2, z2) 的距离⏐P1P2⏐

有了直角坐标系

212

212

212 )()()( zzyyxxd −+−+−=

)(11 z,y,xP ⎯⎯→← －

点 P(x,y,z) 与原点(0,0,0) 间距离⏐OP⏐

222 zyxd ++=

建立了空间直角坐标的空间，记为R3

例 求中心在(x0 , y0 , z0) 半径为R 的球面方程

设球面上任意一点的坐标为 (x, y), 则22

022

022

02 )()()( Rzzyyxx =−+−+−

球面方程

例 求点P(2,-1,-3)到 xOy 平面和到 x 轴的距离，

且求P关于 xOy 平面、 x 轴和原点的对称点

6.1.2 多元函数概念

简单说，函数依赖的自变量多于一个称为

设D是xy平面上的集合，依照规律 f , D内

多元函数

任一点(x,y)，有唯一 z 与之对应,

zy,x f⎯→⎯)(

Dyxyxfz ∈= ),(),,(则称 f 是定义在D上的二元函数，记为

自变量 定义域

一般由几条光滑曲线围成(区域)

例 已知 ,),( 33 yxxyyxf +=+ 求 ),( yxf

二元函数包括两个要素（定义域、对应规律）

例 设 f (x, y) = x2+y2, 求 f (x＋y, x－y)

)1ln(4 2222 −++−−= yxyxz例 求

的定义域

■ 二元函数图形(几何意义)

几何图形称为二元函数的图形，一般而言是R3中

}),(,)(){( Dyxx,yfzx,y,z ∈=集合 所对应

的一个曲面；曲面在xy 面上的投影区域就是函数

的定义域D

x

z

y

x

z

y

D

一些重要的几何图形及其方程

一.椭球面

12

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax 000( >>> ,c,ba 半轴）

yx

z

二.椭圆抛物面

2

2

2

2

by

axz +=

xy

z

当 a=b, 为旋转抛物面

三.双曲抛物面

zby

ax

=− 2

2

2

2

x

yz

O

四. 柱面(母线平行坐标轴)

x

z

y

方程的特点

不含某个变量，例如

0)( =yx,F (不含 z)

12

2

2

2

=+by

ax

椭圆柱面

12

2

2

2

=by

－ax

双曲柱面

pyx =2

抛物柱面

y

z

xx

y

z

五. 旋转面

平面上曲线L 绕直线l 旋转一周的轨迹所形成

的曲面为旋转面 (l :对称轴,L :子午线)

yOz面上的曲线

⎩⎨⎧

==

00)(

xy,zf

绕z轴旋转而成的曲面

0)( 22 =+± ,zyxf x

z

y

例 xz平面上的抛物线

⎩⎨⎧

==

0

2

ykxz

绕z轴旋转而成的曲面为

)( 22 yxkz +=

H.W 习题6

3 (只要关于xOy平面、x 轴和原点对称)

4 5 7 (2)(3)(4) 8-10

设二元函数在P0 点的邻近区域(可除去P0)定义,

6.1.3 二元函数的极限与连续

f (x,y) 的极限为 A，或 f (x,y)收敛于A, 记为

APfoPP

=→

)(lim Ayxfyyxx

=→→

),(lim00

若当P(x,y)以任何方式趋近点(x0,y0)时,函数 f(x,y)

总是趋向常数A,则称当 ),(),( 000 yxyxPP →→ 或 时,

此时也可称 f (x,y)收敛于A

■ 二元函数的极限

二元函数极限与一元函数极限类似

2. 有类似的性质和运算法则

存在与一元函数的区别

1.(x,y)趋近点(x0,y0)时函数 f(x,y)变化的

定量趋势

有无穷多方向，且采取的路径也是0PP →平面上

任意的，既可取直线，也可取曲线；无论从何种

方向或沿何种路径，只要P点与P0的距离充分接近

都必定有 APf −)( 充分小

例 讨论下列极限的存在性，且在存在时求

其值

2 2( , ) (0,0)(1) lim

x y

xyx y→ +

2

2 200

(2) limxy

xyx y→

→+

xy

,y,xxy

1

)00()()1(lim)3( +

→

■ 二元函数的连续性

则称函数 f(x,y)在P0(x0,y0)处连续，也称(x0,y0)是

),(),(lim 00),(),( 00

yxfyxfyxyx

=→

f 的连续点. （不连续，称为间断）

若二元函数 f (x,y)在平面区域D上每一点都连续，

则称 f 在区域D上连续，或称f 是D上的连续函数

若二元函数 f(x,y)在P0(x0,y0)满足

二元连续函数的和差积商（分母不为零）

仍为连续函数；其复合函数是连续函数

二元初等函数在其定义域内都是连续的

（间断点在无定义的孤立点、线处）

例 讨论函数的连续性：

)0,0(),(

),0,0(),(

0

),( 22

2

=

≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧+=

yx

yxyx

yxyxf

例 函数 在何处连续，何处间断？yx

xz−

=2

闭区域上的二元连续函数有与一元情况

类似的性质

有界性 最值性 介值性

例 求极限

)cos(lim)1( 22

)0,0(),(yx

yx+

→

xyxy

,y,x

)1ln(lim)2()00()(

+→

H.W

习题6

11 12

补充题 求极限

22

22

)00()(

)sin(lim)1(yx

yx,y,x +

+→

xy1sinlim)2(

)00()(x

,y,x →

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Chap6 ― 2

偏导数与全微分

6.2.1 偏导数的概念

一.定义

相应地函数有增量(偏增量)

对二元函数 f(x,y)在点 (x0,y0) 给x以增量 xΔ

),(),( 0000 yxfyxxfzx −Δ+=Δ

xxfy,xxf

xzy,xf

xx

xx Δ)()Δ(lim

ΔΔlim)( 000

0000−+

==′→→ ΔΔ

函数 f 在点(x0,y0 ) 处对 x 的偏导数为

偏导数也可记为

),( 00 yxxf

∂∂

多元函数的偏导数是其对某一自变量的变化率

对变量 y 的偏导数类似

若函数 f 在区域D上每一点都存在偏导数，则这

些偏导数是D上的二元函数，称为偏导函数,记为

)(),( y,xfy,xf yx ′′ ),(),,( yxyfyx

xf

∂∂

∂∂

或

二. 二元函数偏导数求法

把y固定在y0，求一元函数 f (x,y0)在x0处

的导数,就得到偏导数f’x(x0,y0),同样方法可以计

算偏导数 f’y(x0,y0)

22 yxxz+

=例 求函数 的偏导数 ,,z x )10(′

)10( ,z y′

例 求函数 )0( >= xxu y 的偏导数

)00()(

)00()(

0

22

,y,x

,,y,xyx

xy)y,x(f

=

≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧+=

例 求下列函数的偏导数

三. 连续与可偏导的关系

连续未必可偏导

例 考察

可偏导未必连续

)0,0(),(

),0,0(),(

0),( 22

=

≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧+=

yx

yxyx

xyyxf

在(0,0)的情况

例 考察 yxyxf +=),( 在(0,0)的情况

四. 二元函数偏导数的几何意义

曲面 z = f(x,y)与平面y = y0的交线

⎩⎨⎧

==

0

),(yy

yxfz ),( 0yxfz =⇒

（平面y=y0上的曲线）

)( 00 y,xf x′ 是上述曲线在

(x0,y0)点处的切线关于

x轴的斜率x

z

y

例 求曲线⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

44

22

y

yxz在(2,4,5)处的切线

H.W

习题6

13（2）-（5）

14

6.2.2 高价偏导数

f (x,y)在(x0,y0)的邻域内的偏导函数 f‘x(x,y)，

f ’y(x,y) 的偏导数称为f 在(x0, y0)点处的二阶偏导数

)(2

2

xf

xxffxx ∂

∂∂∂

=∂∂

=′′ )(2

xf

yyxffxy ∂

∂∂∂

=∂∂

∂=′′

)(2

yf

xxyff yx ∂

∂∂∂

=∂∂

∂=′′ )(2

2

yf

yyff yy ∂

∂∂∂

=∂∂

=′′

类似地；二阶偏导数的偏导数为三阶偏导数

)( 2

2

2

3

xf

yyxff xxy ∂

∂∂∂

=∂∂

∂=′′′

例如

例 求函数z的所有二阶偏导数

1) ln sin( )yu x xe= +

yxu =)2

例 证明函数

222

1zyx

r++

=

满足Laplace(拉普拉斯)方程：

0Δ =′′+′′= yyxx

defrrr

6.3.3 全微分

一. 定义

回忆一元情况，若 f 在x 可微,则

,xoxxff )(ΔΔ)(Δ +⋅′=

微分 是增量Δf 在 x的线性主部xxfdf )Δ(=

),(),( 0000 yxfyyxxffz −++== ΔΔΔΔ可写为

对函数 z =f (x,y),若全增量

)()Δ()Δ(Δ ρoyy,xfxy,xfz yx +′+′=

为函数 f (x,y) 在P0(x,y)点处的全微分

可微，而称

22 )()( yx Δ+Δ=ρ ,则称 f 在 ),( 000 yxP其中

yy,xfxy,xfdfdz yx )Δ()Δ( ′+′==

yy,xfxy,xf yx )d()d(

与一元情况类似，全微分同样是线性主部

若 f (x,y) 在区域D内每点可微，称为可微函数

′+′=

从几何上看，微分就是用切平面来近似

曲面

二. 可微与连续及可偏导的关系*

可微必连续

可微必可偏导

有连续偏导数则可微

偏导数连续⎩⎨⎧⇒⇒可偏导

连续可微

例 求函数 在点(1,1)的全微分yxz =

例 求函数 xyz arctan= 的全微分

,),(),( 0000 yyxfxyxfdzz yx Δ+Δ=≈Δ

例 求 98.1)04.1( 的近似值

H.W

习题6

16 (1)-(3) 17 18 19

20 (2)-(4) 26