cap23 - circuitos electricos

5/8/2018 cap23 - Circuitos Electricos

1/32

Capitulo 23

Circuitos de corriente continua

749

En este capitulo analizaremos algunos circuitos simples formados por baterias,resistencias y condensadores en combinaciones diversasies decir. determinare-mas los valores de Vel y otras magnitudes deducidas de estas en distiatos pun-tas de los circuitos, Estos circuitos se llaman de corriente continua (eel, porquela corriente en cualquiera de sus puntos circula siempre en la misma direccion,Enel capitulo 28, discutiremos los circuit os de corriente alterna {ca),en los cua-les la corriente en cualquier punto cambia aItemativamente de direcci6n.Cuando mediante un conductor se cierra un circuito, un campo electrico sepropaga par los elementos del misrno, originando cambios complicados en el cir-cu.ito a medida que se establece Ia corriente y la carga se acumula en diversospuntas. Sin embargo, como el campo electrico se propaga con una velocidadproxima a la de la \UZ, estos cambios ocurren rapidarnente y el eqnilibrio se esta-blece con iguaJ rapidez. EI tiempo necesario para este equilibrio depende de laccnducrividad de los elementos en el circuito, pero es pracricarnente instantaneoen la mayor parte de los casos, En el equilibria, la carga ya no se acurnula masen puntos del circuito y la corriente es estacionaria. En aquellos circuitos quecontienen condensadores, la corriente puede crecer 0 decrecer lentamente, perolos cambios apreciables ocurren s610 en tiempos mucho mayores queel necesarioparaalcanzar el equilibrio, En circuitos de este tipo, cada valor sucesivo de lacorriente puede considerarse como un estado de quasi-equilibrio.

Fotografia rnicrosccpica (aumentoaproximadc X 1000) de la porci6ncentral de una microplaqueta dememoria de accese al azar (DRAM)que puede almacenar 256 000 bits dedatos. La rnicroplaqueta es milspequena que un sello de correos yconriene unos 600 000 componenteselectrenfccs=-resistencias,condensadores. diodes y transistores.Estes componentes se construyensabre una sola lamina de crista] desillce depositando impurezas enregiones perfectamente definidas delcrista!' E l proceso de dep6sito queconstruye los componentes, tambiencrea los cables (100 voces mas finesque un cabello humane) que lesconectan. Este tipo de circuito,Ilamado circuiro integrado (CI)funciona de iguaJ modo que losclrcuiros formados con eompcnentesdiscretos, Pero los CIs operan conmayor rapidez y consumen menospotencia pues al ser mas pequefios,las corrientes en ellos viajandisrancias m a s cortas.


2/32

750 Capitulo 2J Circuitos de ccrrienre continua

F ig ura 2 31 Circuito simple en el queno pueden sustituirse las resistenciasen serie 0 en paralelo par 51.1r es is t en c i aeq 1 .1 iva le n re . Lasdiferenclas de potencial a Lo largo delas re s istencia 5 R I )l R l no son igualesdebido a la existenci a de la fem t; ypar tanto, no esran en paralelo,Observese tambiim que e s t a sres istencl a s no es ta n conecr adas en Iresi par sus extremes. LIS resistenciasno soportan la misma corriente )l,por tanto, tampoco estan en serie.

Figura 2.3-2 Ilustracion de 13 r egla delos nudes de Kirchhoff. La corrienteI, e.n el punta II es igual a [a sumaI, + /, de las corrientes que sa l en delpunta II.

23-1 Reglas de KirchhoffAunque los rnetodos discutidos en el capitulo 22 para sustituir las combinacionesde resistencias en serie y en paralelo por una resistenciaequivalente, son muyutiles para simplificar rnuchas de las combinaciones posibles, no son suficientespara el analisis de todos los circuitos simples,especialmente aquellos que poseenmas de una bateria. Por ejemplo, las dos resistencias R , y R l del circuito de laFigura 231 parecen estar en paralelo, pero no es asi, La caida de potencial noes la misma a traves de ambas resistencias. debido a la presencia de la Iern ~en serie con R z. Adernas R , y R~no transportan la misrna corriente, pues no es-tan en serie.Existen dos reglas, llarnadas reglas de Kirchhoff, que se apliean a cualquiercircuito en estado estacionario:

1. La suma algebraica de las variaciones de potencial a 10 largo de cual-quier bucle 0 malla del circulto debe ser igual a cero.2. En un punto 0 nuda de ramificaci6n de un drcuito en donde puede di-vidirse la corriente, la suma de las corrientes que entran ene! nudodebe ser iguala la suma de las comentes que salen del mismo.La regIa 1, Hamada regia de las maIlas,. Sf! deduce a partir del simple hechede que en el estado estacionario la diferencia de potencial entre dos puntos cua-lesquiera es constante, En estado estacionario. el campo electrlco en cualquierpunto (fuera de una fuente de fern) es debido a la carga acumulada sobre las su-perficies de los bornes de la bateria, resistencias, cables, U otros elementos delcircuito ..Como el campo elecrieo es conservative. existe una funci6n potencialen cualquier punta del espacio (excepto en el interior de una Fuente de Iem), Se-gun nos desplazarnos a 10 largo de 1a malla del circuito, el potencial puede

aumentaro disminuir en funci6n de que noseneontremos con una resistencia 0una.bateria. pero una vez recorrida la rnalla y se ha Uega.do at punto desde 1"1que se comenzo, Ia uariacion neta de potencial debe ser igua! a cera. Esta regiaes una consecuencia directa del principle de conservacion de Ia energia. 5i tene-mos una carga qen un punto donde 1 " 1 potencial es V , la energia potencial dela carga es qV. Cuando la carga recorre un bude en un cucuito, pierde 0 ganaenergia al arravesar resistencias, baterias 1 .1 otros elementos, pero cuando vuelvea su punto de partida, su energia debe ser de nuevo qV.

EjercicioDibujar un rectangulo que represente un circuito arbitrario y considerar seispuntos cualesquiera (par ejemplo, los cuatro vertices y otros dos puntos mas)que llarnarernos a, b, c, d, e, f. Asignar nurneros arbirrarios a cada punto deldiagrama ..Comenzando en el punto a, sumar las diferenciasentre cad a parde nurneros sucesivos mientras se recorre el circuito, teniendo en cuenca lossignos de las diferencias. LCual e s la suma algebraica de estas diferencias paraun recorrido complete del circuito? (Respuesta: 0)La segunda regla de Kirchhoff, Hamada regia de los nudes, se deduce de laconservacion de la carga. Esta regia es necesaria para circuitos de mtiltiples rna-llas que contienen puntos en los que la corriente puede dividirse. En estado esta-cionario no hay posterior acumuJaci6n de carga elecerica en ningun punto delcircuito, de tal modo que la. cantidad decarga que enrra en un punto debe serigual a la que sale de dicho punro .. La Figura 23-2 rnuestra la uni6n a nudo detres conductores que transportan las corrientes 11, I~e '). En un intervale detiempo IJ.t, la carga 1 1 6. . t flu ye e nr ra nd o en la uni6n por la izquierda. En el mis-mo intervale de tiernpo las .cargas 1 2 fl.t e IJ 6. t salen de la union hacia la dere-chao Puesto que no existe ninguna causa para que se creen 0 se destruyan cargas

en este punto, la conservacion de la carga implica la regla de los nudos que eneste caso nos da23-1


3/32

La Figura 23-3 muestra un circuito formado par dos baterias con resistenciasinternas '1 Y 'l Y tres resistencias externas. Deseamos determinar la corrienteen funci6n de las ferns y resistencias que suponernos conocidas. No podemospredecir la direcci6n de la corriente a rnenos que sepamos cual de Jas ferns esmayor, pero no es necesario conocer la direcci6n y sentido de las corrientes an-tes de resolver el problema. Podemos suponer un sentido cualquiera y resolverel problema can dicha hip6tesis. Si la suposicion fuese incorrecta, obtendria-mos como valor de la corriente un mimero negative indicando que su sentidoes opuesto al admitido. Supongamos que I circula en el sentido de las agujasdel reloj, segun esta indicado en la Figura, y aplicamos la regia de Kirchhoff delas maJlas recorriendo el circuito en Ia direcci6n supuesta de la corriente, co-menzando en el punto a. Los extremes de mayor y menor potencial de las resis-tencias con la corriente eJegida se indican en J a Figura can 105 signos mas y me-nos: Las caidas y los movimientos de potencial vienen expresados en la tabla23-1. Observese que encontramos una calda de potencial al atravesar la fuentede fern entre f y g. Comenzando en el punto a, la regia de las mallas de Kirch-hoH nos da:

23-2Despejando el valor de la corriente I, se obtiene

23-3R,+Rz+ R3+'1 +f2Observese que si ~ es mayor que ~, se obtiene un mimero negative para lacorriente I indicando que hemos escogido eJ sentido equivocado para 1. En elcaso de que ~ sea mayor que ~ la corriente sera en el sentido contrario de lasagujas del reloj, Por otra parte, si ~ es la fern mayor, obtendrernos un ntimeropositive para I indicando que la direccion y senti do supuestos son correctos, Su-pongamos en este ejemplo que ~ es la fem mayor. En la bateria 2, la carga flu-ye del potencial mas alto al mas bajo Par tanto, una carga .1Q saliendo de labateria 2 desde el punta c hasta el punta d pierde una energia ~ .1Q. En estabateria, se convierte la energia electrica en energia quimica y se almacena en ella;la bateria 2 esta cargandose.Podemos tener en cuenta el balance de energia en este circuito multiplicandocada termlno de la ecuacion 23-2 por lacorriente I:

Pl=fiI+IIR +FR +J2R +Pr +Pr"'1 '"'1 1 2 J 2 1 23-4EI termino ~J, es la velocidad a la cual la bateria 1 cede energia al circuito.Esta energia precede de la energia quimica interna de la bateria. El termino & ;1es la velocidad a la cual la energia electrica se convierte en energia quimica enla baterla 2. EI termino J 2Rl es la velocidad de produccion de calor por efectoJoule en la resistencia R 1 Existen terminos semejantes para cada una de las de-mas resistencias,

Ejemplo 23-1Los elementos del circuito de la figura 23-3 tienen los valores ~=12 V,s ; , = 4 V, 'l=r2=1 n, R,=Rl=5 n, R.=4 n como indica la Figura 23-4.Hallar los potenciales en los puntos a hasta g indicados en la figura admitien-do que el potencial en el punta f es cera y estudiar el balance energeticc delcircuito.

EI analisis del circuito se simplifica usual mente si elegimos un punto comopotencial cero y referirnos a este los potenciales de los restantes puntos.Como 5610 son irnportantes las diferencias de potencial, cualquier punlo delcircuito puede escogerse como potencial cero. En este ejemplo se ha escogidoel punta f como potencial cero. Esto viene indicado en el circuito per el sim-bolo fen el punta f. Como virnos en la seccion 18-2, la tierra puede con-siderarse como un conductor muy ancho can un suministro casi ilimitado de

Secci6n 23-1 Reglas de Kirchhoff 751-.

Figura 23-J Ci.rcuito Forrnado pordos batarias y tres resisrenciasexternas, Los signos mas y rnenossobre las resisrencias nos ayudan arecordar cual extreme de cadaresistencia esra a mayor potencial deacuerdo con la direccion de lacorriente que hemos supuesto.

Tabla 23-1 Cambios de potenciaJentre los puntos indicadosen el drcuito de la Figura 23-3a ......b C ar da JR ,b ......c C ar da J R:c_. d Calda G :d .. .. .e Caida lr,e. . . . . f C alda JR ,f . . . . . . g Aumetlto I f f ,g......a CaJda lr,

+5n~ b+S f !+

12 V

+Inf o v

Figura 23-4 Circulto de la Figura 23-3con los valores rnuestra,correspondientes al ejernplo 23-1. EIpotencial se elige igual a cero en elpunto f. Las rres Iineas horizcntalesproximas al punta f indican que estaconectado a tierra.


4/32

752 Capitulo 23 Circuitos de corriente continua

12108b42

II

gabrdc fFigura. 2J-S Valores del potencial enlos puntos indicados del circuito de[a figura 23-4. E [ potencial es cero enf y salta a 12 V en g. Disminuye enI R cuando pasa a traves de cadaresisten cia en [a direccion de [acorriente. AI regresar a f, elpotencial es de nuevo cero ,

carga, 1 0 eual signifiea que el potencial de la tierra permaneee esencialmenteconstante. Por ello frecuentemente se Ie eonsidera como potencial eero. Enla practica, los eireuitos electricos suelen conectarse .3 tierra a traves de unpunta del circuito. La eubierta metalica extema de una maquina electrica delavar. por ejemplo, suele conectarse a tierra uniendola con un cable a un tubode circulacion del agua que esta en contactocon la tierra.Primero hallamos la corriente que circula por el circuitc. A partir de laecuaci6n 23-3 tenemos,12 V -4V/=------------------50+50+40+10+10 8V-----=0,5 A160

Podernos ahora hallarIes potenciales en (as puntos a hasta g respecto al po-tencial cero del punto f. Puesto que par definicion la fern mantiene una dlfe-rencia de potencial constante 6;=12 Ventre el punto g y el punto f, el po-tencial en el punto g es 12 V . EI potencial en. el ' punta Q es m enor que en elpunto g debido a Ia caida de potencial Ir 1 =0,5 A)(l 1 1 . ) =0,5 V. Asi pues,el potencial en el punto C I es 12 V - 0,5 V =11,5 V. Anaiogarnente la caidade potencial a rraves de las resistencias R, y R z de 5 n en cada una de ellases J R 1 =(0,5 A)(S m=2,5 V. EI potencial en el punto bes entonces 11,5 V-2,5 V=9 V yen c es 6,5 V. La caida de potencial a traves de G ; es 4 . V. As!pues, el punto d tiene un potencial de 2,5 V. Puesto que la caida de potencialatraves de la resisrencia r2 de 1 0, es 0.5 V, el potencial en e es 2 V. La cai-da de potencial a traves de Ia resistencia RJ de 4 D es JR)=2 V. Esto nosdice que 1" 1potencial en f es cera, d e a cu erd o can nuestra hip6tesis original.La Figura 23-5 muestra los potenciales en todos los punros seiiaJados, comen-zando y terminando con 1" 1punto f.La potencia suminisrrada por la fern o S ; es

P"i = ~/=(12 V)(O,S A)=6,.0 WLa potencia disipada en la resistencia interna de la bareria 1 es

P'j=Pr 1=(0,S A)z(1 m=o,2.S WAs! pues la potencia cedida pOI la bateria 1 a J circuito externo es 6,0 W -0,25 W=5,7S W. Este valor es tambien iguai a VII, en donde Vj=Vu -V=11,5 V corresponds ala tensi6n en barnes de dicha bateria 1. La poten-cia total consurnida en las resistencias exrernas del circulto es

La potencia consumida en la bateria 2. que esta siendo cargada. es (V, -V)J=(6,5 V - 2 V)(0,5 A)=2.2.S W. Parte de esta potencia P'2=Pr 2 = 0,25 W,se disipa en la resistencia interna r2 Y la parte restante, P"l =G;.1=2 W, re-presenta la velocidad con que se almacena energia en dicha bateria ..

Observese que el voltajeen barnes en la bateria del ejernplo 23-1 que se estacargando esigual a V,-V,=4,S V, cuyo valor es mayor que el de la fern de labateria. Debido a su resistencia interne una bateria no es completamente reversi-ble. 5[ la misma bateria de 4 V tuviese que surninistrar 0,5 A a un circuiro exter-no, su voltaje en bornes seria de 3,.5 V (suponiendo de nuevo queel valor de suresistencia interna es de 1 m. Si la resisrencia interna es muy pequefta, el voltajeen bornes de la bateriaes aproximadarnenre igual a su Fem. tanto si cede corrien-te a un circuito externo como si se esta cargando. Algunas baterias reales, comolos acumuladores utilizados en los caches, son practicamente reversibles y pue-den recargar facilmente; otros tipos de baterias no 10 son. Si se intenla recargaruna de estas mediante 1 " 1 sistema de hacer pasar corriente a traves de ella desdesu polo pos.tivo al negative, en 1a mayor parte de los casas, sino en todos, laenergia suministrada se disipa en forma de calor y no en energia quimica de Iapila .. y esta puede explotar.


5/32

Ejempl6 23~2Una bateria de autom6vi! en buenas condiciones se conecta mediante cablesa otra bateria debilitada para proceder a su carga, (a ) LA que borne de la ba-reria debil debemos conectar e J borne positive de Labateria buena? ( . b ) Supo-ner que esta tiene una fem ~= 12 V rnientras que la debil tiene una fern~=11 V, las resistencias internes de las baterlas son r1 = rz=0,02 {)y la re-sistencia de los cables 1"5 R=O,Ol {) (rodos estes valores son tlpicos). LCuaisera la corriente de cargal (c ) I .Y si las baterias se conectan incorrectamente,cua! seria lacorriente7

(a) Para cargar la bateria debil se conectan entre S I los bornes positivesde ambas baterias, asi como los bornes negativos, a fin de que pueda suminis-trarse carga a traves de la bateria debi! desde el borne positive al borne nega-tivo. La figura 23-6 muestrael diagrams de circuito de este proceso.(b ) La corriente de carga viene dada POf

20 A2 V - 11 V0,05 {)(c ) La Iigura 23-7 muestra eJ diagrarna de circuito para 1"1casoen que las

baterias 5 1 " conectan incorrectamente, es deck, los berries positivos con losnegatives .. En este case, la corriente seriaI G 'j + 1 . 2R+r1+r1 460 A2V+I1V0,05 {)

5i las baterias se conectan de este modo, ambas pueden explotar produciendoun chaparron de acido hirviente de la bateria. .

Circuitos de multiples mallasA continuaci6n consideraremos el caso de circuitos que contienen mas de unamalla, Paraanalizar estos circuitos aplicaremos 1a regia de los nudos de Kirch-hoff en aquellos puntos donde 1a corriente se divide en dos 0 mas partes.Ejemplo 23-3

(a ) Determiner la corriente en cada parte del circuito mostrado en la Figura2 3 -8 . (b ) Calcular la energia disipada en 3 5 en la resistencia de 4 Q.

( t I ) Este circuito es e1mismo que el de la Figura 23-1 con ~=12 V, ~=5 V , R l = 4 Q, R z = 2 I)Y R 3 =3 O. Sea . I la corriente que ci rculaa traves dela bateria de 12 V en el sentido indicado. En el punto b, esta corriente se divi-de en las corrientes 1 1 e Isegun esta indicado. Hasta que conozcamos la so-luci6n correspondiente a los valores de las corrientes no podernos estar segu-ros de su sentido, Por ejemplo, necesitamos saber ellal de los puntos b 0 eesta a potencial mas elevado con objeto de conocer el senti do de la corrientea traves de la resistencia de 4 O. Apllcando 1a regla de los nudos al punta bobtenemos

5i aplicamos la regia de los nudes al punto e se obtiene la misma informa-cion, ya que las corrientes I, y 1 2 se unen en clicho punto para formar [a co-rriente I que se dirige al punta f. Existen tres mallas posibJes para aplicar laregIa 1: las rnallas abe! y bcde, interiores, y la malla abcdef, exterior ..S610necesitamos dos ecuaciones mas para determiner las tres corrientes inc6gni-tas. Las ecuaciones para dos cualesquiera de las rnallas seran suficientes. (La

Seccion 231 Reglas de Kirchhoff 753

E'L~E'R

Figura 236 Des baterias conecradas,de mode que una cargaa la orra.Como la suma de las resistenclasin ternas de las baterias y laresistencia R de los cables deconexiones muy pequefie, seobtienencorrientes relatjvamentegrandes incluso cuando las fue.rzaselectrornotrices son casi iguales,

Figura 23-7 Des batarias noconectadas correctarnente para lacarga, Como la resisrencia total delcircuito es del orden de ceruesimasde ohm.Ta corriente es muy grandey la ba teria puedeexplorar.

b

Figura 23-8 Circuito correspcndientea J ejempJo 23-3. La dlreccion de Iiicorrienre l, de b a e no se conccean tes de analizar el circu ito. Lossignos + y - sobre Iii resistencia de4 (l corresponden a la direcci6nsupuesta dl ! I, de bile.


6/32

754 Capitulo 23 Circuitos de corrienta continua

tercera rnalla nos dara entonces una. informacion redundante). Reemplazan-do I por 11+ II . Yaplicando la regia de las rnallas al circuito exterior (abcdef)tenernos12 V - (29)1. - 5 V - (3 m ( 1 , + 1 2) =0Simplificando estaecuaci6n y dividiendola por 1 n, recordando que 1 V110=1A, resulta ..

23-5De igual modo, aplicando [a regIa 1 de Kirchhoff a la malla de la izquierda{abef} resulta

o sea,12 A - 711- 31.=0 23-6

Las ecuaciones 23~5 y 23-6 permiten conjuntamente determinar las intensida-des de corriente 1 1 y 12, Paraeliminar 12, multiplicamos cada termino de laecuaci6n 23-5 por 3 y cada termino de la ecuacion 23-6 par .5 resultando

y60 A - 3511- 1512=.0

Restando la ecuacion 23-Sa de la ecuaci6n 23-6a se obriene23-6.a

es decir.

Sustituyendo este valor de I ] en la ecuaci6n 23~5,se obtiene7 A - 3{I,S A) - 512=0

I =2,5 A =05 A25'La corriente total a traves de la batsria de 12 V es, par tanto,

1=11+12=1,5 A+O,S A=l,O A(b ) Como la intensidad de corriente en la resistencia de 4 Oes de 1,5 A,la potencia disipada en esta resistencia es

P=JjR=(I,S A)2(40)=9 WLa energia total disipadaen la resistencia de 4 n en 3 s es, por tanto,W=Pt=(9 W)(3 5)=27 J

El ejemp]o 23-3 llustra algunas caracteristicas generales del anallsis de circui-tos con mallas multiples. Consideremos un circulto general que contiene una rna-Ila exterior y 1 '1 mallas interiores, Existiran n - 1puntos de union donde la co-rriente se divide y otros 1 '1 - 1untas de uni6n donde lascorrientes se unen.Para dezerminar las intensidades de las corrientes aplicarernos la regia de las rna-llas a n bucles y la regia de los nudos a 1 '1 - 1 uniones. Si se aplica la regia delas mallas a Ia de los nudes a un numero mayorde elementos s610 se obtendrfiuna informacion redundanre. En el ejernplo 23-3, teniamos dos mall as interioresy par ello, aplicamos la regia de las mallas a dos budes yla regia de los nudesa un punta de union (punta b)' en donde la corriente se divide.


7/32

Seccicn 23-1 Reglas de Kirchhoff 755

Eiemplo 23-4Determinar la intensidad de corriente en cada parte del circuito indicado enJ a f igu ra 23-9.

Observemos en primer lugar que las resisteacias de 3 0 y 6 n en la maltaqueesta situada a la derecha, esean conectadas en paralelo, El analisis seramas simple 5 1 re em pla za mo s estas resiste ncia s par la resistencia equivalenteReq ' que se obtiene de laexpresi6n:

__1_= __ 1__+~= __3__ = __ 1__.R < ~ 3Q 60 60 20

en donde

r12H\8V ... ~ 21 V611

Figura 23-9 Circuito correspondienre a] eiernplo 23-4.

E n la Figura 23-10, 51' ha hecho esta sustituci6n y se han eseogido las direc-ciones de las corrienres, Llamamos I a Laintensidad de corriente que pasa porla bateria de 18 V e 1 1 a Ja que atraviesa la resistencia de 6 n, que supone-mos dirigida hacia abajc. Observese que hemos aplicado la regla de los nudosal punta b usando 1'1valor 1 - I, para la corriente dirigida del punta b alc. Aplicando la regia de las mallas de Kirchhoff en e[ sentido de lasagujasdel rei o] a la malla abe! resulta

18 V - (12 0)1 - (6 0)11 =0Sirnplificando esta ecuaci6n dlvidiendo todos Iosterminos por 6 0 Ypasando1'1 termino (18 V)/(6 0)=3 A al segundo miembro, se obtiene

23-7Aplicando la rnisma regia a la malla bcde obtenernos otra ecuaci6n:

ObservesI' que al desplazarnos de e a b encontramos un incremento de volta-je, ya que la direcci6n supuesta de la corr.iente 1 1 es opuesta a la direccionen que recorremos fa malla. Combinando terminos, reajustando y dividiendolos terminos par 1 0, resulta

De las ecuaciones 23-7 y 23-8 pueden obtenerse las intensidades de las co-rrientes incognitas r I' 1,:1=2 A

y

Figura 23-10 Circuito de la Hgura 23-9 con R ", = 2 rI reernplazando < I. lacornbiwacion en paralelo , Los signosmas y rnenos sabre la resistencia de6 n corresponden a la direcci6nsupuesta de I,. La regia d e los nudesse aplica inmedlatarnente al punta butillzando 1 0 diferencia (I - [I) parala corriente de b a c.


8/32


EI valor negative de 1 1 significa que nuestra hipotesis previa respecto asu sentido fue inccrrecta. Es decir. Ja corriente que atraviesa la resistencia de6 {}se dirige realmente del punto e al .b . La intensidad de corriente a travesde la bateria de 21 Yes, por tanto,1- 1}=2 A - (-1 A)=3 A

En el circuito original de la Hgura 23 ..9 ,esta corriente se divide despues de!punto d en una corriente de 2 A a traves de la resistencia de 3 0 y una corrien-te de 1 A a traves de la resistencia de 6 n. La fjgura 23~11 muestra el circuitocomplete con las magnitudes y direcciones correctas de las corrientes, Unbuen metodo para comprobar la solucion de un problema de circuitos es asig-nar un potencial cere a un punta del circuito y utilizer los valores de las co-rrientes deducidas para determinar el potencial en los restantes puntas. En lafigura 23-11 hemos elegido el pun to c como 0 V. Entonces el punto d se en-cuentra a+21 V, eI punta ea 15 V,ei punta a a 33 V y eI punta b a. 9 V,como se indica. -Hgura 23-11 Circuito de la Figura 23-9 con las magnitudesy direcciones correctas para las corrientes deducidas en elejernplo ZJ-4.

J3 V 2A 9V 3A Ovb~-'--....._ _ _ ,+ - c

3!1t - 2 A ,_ 21 VI A r : ! 1 [ - r n 3 ~ + .+d7e 6U .

lSV_VVV'+ 21 VlA

15V

M etoda genera l para resolverclrcuitos de m{lltiples mal/as

Podemos resumir el metoda general para. resolver circuitos con mallas multiples:1. Reemplazar todas las cornbinaciones de resistencias en serie 0 paralelo perresistencias equivalentes.2. Elegir un sentido para la corriente en cada malla delcircuito y designar lasintensidadesen el diagrama. Asignar los signos mas y menos para lndicar losextremes de alto y bajo potencial de cada Fuente de fern, resistencia 0 capa-cidad, .3. Aplicar la regla de los nudos a cada uni6n en donde se divide la corriente.4. En un cireuito formado por n mallas interiores aplicar la regla 1 de Kirchhoffa las n mallas,S. Resolver las ecuaciones para obtener los valores de las incognitas.6. Comprobar los resultados asignando un potencial nulo a un punto de l circui-to y utilizar los valores de las intensidades de corriente deducidas para deter-minar los pctenciales en otros puntos del circuito ,

Ejemplo23~SDeterminar la intensidad de corriente en cada una de las partes del circuitoindicado en la Figura 23-12a.

Este circuito contiene tees mallas interiores y par tanto, aplicaremos tresveces la regla de las mallas. En Ia figura 23~12a, hemos supuesto una corrien-te 1 hacia la derecha de la resistencia de :3 !lYhemos aplicado la regIa de tosnudos en las dos uniones c y e donde Ia corriente se divide. La corriente decad es 11, de modo que la corriente de c a h es I - 11 , Deigual modo, lacorriente de .e a f es 1 2 . ' y la corriente de e a h es 1 1 - 1 2, Aplicando la regla


9/32

Seccien 23-1 Reglas de Kirchhoff 757

/ -/2 1-11IIg

4fl+6V

/2 1/1- 12f

3f1II

K C4f1 6H

+6V 4 ! l

f e d6!l(I'!)

3H I I

de las rnallas de Kirchhoff al circuito externo, comenzando en el punte a,tenemos

+42 V - (3 fijI - (4 O)ll - (60)1. - {3 0)/=0que puede simplificarse en la forma

21 A - 3 J - 21/ - 312=0De igual modo, aplicando la regIa de las mallas al circuito superior (abchgo),resulta

+42 V - (3 fl)l - (6 Q )U - 1 1 ) - (4 n)(l - 1.) - (30)1=0y simplificandoComo tercera malla escogemosel bucle inferior izquierdo (e/ghe). AS I se obtiene

- (60)1.+(40)(1 - 12) - 6 V=Oque se simplifica en laforma

21 - 512 - 3 A =0 23-11Podemos eliminar II multiplicando todos los terminos de la ecuaci6n 23-9por.3 y cada termino de laeruacion 2310 por 2 obtenisndo:

63 A - 9/ - 611 - 9/.=042 A - 16/+611 - 412=0

Sumando estas ecuaciones resulta105 A - 251 - 511=0 2312

Susti.tuyendo el valor 51,=21-.3 A que resulta de la ecuacion 23-11, enlaecuacion 23-12 results105A - 2SI - (21 - 3 A) =0

1= 108 A 4 A27

y segun 1a ecuacion 23~1l,5[2=21 - 3 A=2.(4 A) - 3 A=5 A12=1 A

/'

611 e d(/I)

F igu r .a 2 . 3 -12 (a) C ircuito q uecontiene rres buclesin teriores segimlos datos del eiemplo Z3-5. (b)Circuiro con las ccrrienres supuestas ..La regia de los nudes SI' aplica en lospuntos eye, en donde lacorriente51 ' divide:


10/32

758 Capitulo 2J Circuitos de corrienteccntinua

y segun la ecuacion 23-9 ..21 A - 3(4 A) - 2 1 1 - 3(1 A)=O

21 A -12 A - 3 A 3A2En la fjgura 23-13 hemos elegido el potencial nulo en el punta" y se han indi-(ado los valores de las intensidades de corriente deducidas en nuestra solu-cion. EI potencial en el punto b es 42 V -(4 A) (3 OJ= 30 V. Los potencialesen otros puntos del circuito se han deducido por un razonamiento semejante.

Figura 23-13 Diallramacircuito de la !'igura 23-12 con losvalores de 105 potenciales calculados a partir de lasintensidades de corriente deducidas en 1'1ejernplo 23-5,suponiendo V =0 en el punto o.

611

Figura 23-14 Un circuito complejo demultiples Tamas. EI circuito puedesimplifies rse constderando que pOTsimetria 1.05 puntos c y d deben estarIII rnlsmo potencial. AI no existircorriente entre los puntas c y d de laresitencia de 12 f! . esta resistcnciapuede ser extra ida sin que ello afe(tea la corrienre 0 potencial encualquler punto del circuito , As! lospuntos c y d pueden considerarsecomo un solo punto cd .

J2 V

31) VI>

-IA

IA 30 VII2 -1 V 60

1/\ 4!!

2A

F I18 V 1R V

In 4A3A

q t-----vH!

12V

Analisis de los circuitos por simetriaAlgunos circuitos cornplejos de resistencias pueden analizarse mas f.!cilmenteutilizando la regla de los nudes y consideraciones de simetria en lugar de la regiade las mallas. Si dos puntos de un circuito estan al mismo potencial, pueden co-nectarse con un cable sin que se mcdlfiquen las corrientes 0 potenciales en otrospuntas del circuito. Estes puntas Irecuenremante se ldentifican considerando lasirnetria del circuito. El circuito puede entonces simpliflcarse conectando estespuntos y dibujando un -nuevo diagrama.Consideremos el circuito de la Figura 23-14.. Nos proponemos determiner laintensidad de la corriente en cada una de las partes del circuito al establecer unadiferencia de potencial V.I> entre los puntos a y b. Como este circuito tienecua-tro mallas interiores. su analisis aplicandola regia de las mallas a cada bucle,es realmente complicado. Sin embargo, par simetria podemos ver que los puntosdesignados c y d se encuentran al mismo potencial, de modo que Ia corriente es-nula en la resistencia de 12 n que conecta estos puntas. Per tanto, si conectamosestes puntos par un alambre. la corrienre a su traves seta cero. En la Figura 23-15se ha dibujado de nuevo el diagrarna con los puntosc y d conectados, Aharaes posible haJlar la resistencia equivaiente Roqentre los puntos a y V utilizandolos metodos habitualesen combinaciones de resistencias en serie y paralelo dis-cutidas en el capitulo 22. La intensiciad de corriente total entre a y b es entancesV",/ R~ Y las corrientes en cada parte del circu ito pueden determinarse por losmetodos discutidos previamente en esta secci6n.


11/32

Seccion 23-1 Reglas de Kirchhoff 759

8H till1 1 1 1

1'--+--/'

!If! 6H( 1 1 )

EjerclcioDeterrninar (a ) la resistencla equivalente entre los puntas a y ben e! circuitode la Figura 23-15 y (b ) ia intensidad de corriente en las resistencias de 10 nsi V"h=12 V. [Respuesta. (0) R


12/32

760 Capitulo 23 Circuitos decorriente continua

5

C a l

(b )Figura 23-18 (a ) Condensador delaminas planoparalelas en serie conun interrupter y una resistencla R.(b) Diagrama que represents esreeirculro.

23-2 Circuitos RCSe denomina circuito RC aquelen 1"1que interviene una resistencia y una capacl-dad. En tal circuito, Ia corriente noes estacionaria, sino que varia can el tiempo.Ejemplos practices de circuitos RC son los de un disposirivo de flash en una c a -mara fotografica. Antes de tamar la fotograHa, la bateria del flash carga el coo-densador a traves de una resistencia. Cuando esto se verlfica. el flash esta prepa-rado. A1 tamar la imagen, el condensador se descarga a traves de la larnpara delflash. EIcondensador se recarga por acci6n de la bateria y poco tiempo despues,1" 1flash esta dispuesto para otra fotografia. Mediante las reglas de Kirchhoff, po -demos obtener unas scuaciones que relacionan la carga Q y la intensidad de eo-rriente I en funci6n del tiempo, tanto en el proceso de carga como en el de descar-ga de un condensador a traves de una resistencia.Descarga de un condensadorLa figura 23-18 muestra u.n condensador con una carga inkial +Qo en la placasuperior y -'20 en la placa inferior. Se conecta a una resistencia R y a un inte-rruptor S queesta abierto para ev itar que la ca rga fluya a craves de 1a resistencia.La diferencia de potencial a traves del condensador es inicialrnente Vo=Qo/c'siendo CIa capacidad. Puesto que no existe corriente cuando esta abierto el inte-rruptor. no existe eaida de potencial a traves de la resistencia. Asi pues, existstambien una diferencia de potencial Voaplicada a los extremes del interrupter ..Cerremos el interrup tor en el instante t =O.Puesto que ahara existe una dife-rencia de potencial entre los ext.remos de la resistencia, debe pasar una corrienrepor la misma. La. corriente inicial es .

I=~=~OR RC 23-13La corriente se debe al f1ujo de carga que va desde la placa positiva a la negativepasando por 1a r esistencia y asi, despues de un cierto tiernpo, la carga sabre elcondensador se ve reducida. Como la carga sobreel condensador va decreciendoy estamos tomando como positiva la corriente en e1sentido de las agujas del re-loj, la intensidad de corriente es igual a Ja disminucion de esa carga por unidadde tiempo. 5i Q es la. c arga sobre el condensador en un instante cualquiera, lacorriente en dicho momento es

. dQ/=-- dt 23-14Recorriendo el circuito en e1 sentido de 1a corriente, nos encontramos con unacaida de potenciallR en la resistencia y un aumento de potencial QIC entre laspJacas del condensador, La primers regla de Kirchhoff nos da

_Q _ - IR=OC 23~15en dondetanto Q como I son funcjones de tiempo y estan relacionadas por 1 .8ecuacion 23-14. Sustiruyendo 1 por -dQldten Ia ecuaci6n 23-15, tenemos

a sea,dQ . 1-=--Qdt RC 23-16

La ecuacion 23-16 establece que la variaci6n dela funci6n Q(t) con el tiempo esproporcional a Ia funci6n QW. Para resolver esta ecuaci6n, separemos las varia-bles Q y t. MuJtiplicando ambos miembros de la ecuaci6n dtlQ, se obtienedQ =_ .s:Q RC 23-17


13/32

lntegrando resulta.. tIn Q=- --+ARC

en donde A es una constante de integracion arbitraria que viene determinada parlas condiciones iniciales. Tomando la exponencial de ambos miernbros de estaecuaricn, se obtiene

o sea,Q=Be~ t l RC

Podemos obrener laconstante B=eA teniendo en cuenta que en las condicionesiniciales Q=Qo para t=O. Par tanto

Q(tj = Qoe-


14/32

762 Capitulo.23 Circuitos de corrlente continua

pues de transcurrir un tiernp 1= r=RC. Este proeeso se represents en la figuraI 23-20.to

1" =RCFigura 2320 Crarlco de Ia inlen,id"dd~ corricnre en fun ,iim del tiempop i! ra e l circ u ito de la Figura 23-18. L acu rv a lie ne la r ni sr na f orm a que 1.1dela ligur" 2319.

5

R

C(II)ST

+ +R

eL- 7 - - - - - ' !-c+(/I)

Figura 23-2] Ci rcuito pa ra cargar unccndensador hasta una d iferencia depotencial r , (h i Despues cerrar elinterrupt or ex iste t, na (aida deporencia Ia t ra v es de la reslstencia yunacarga sobre eicondensador,

Ejemplo 23-6Un condensaclor de 4 IlF se carga a 24 V y luego se conecta a una resistenciade 200 O. Determinar (a ) la carga inicia] del condensador, (b) la eorriente ini-cial a traves de la resistencia de 200 fl, (c) la constante de tiempo y (d) la cargaque posee el condensador despues de 4 ms.

(a ) La carga inicial es Qo=CV=(4 IlF)(24 V)=96 Ile.(b) La corriente lnicial es 10= VoiR =(24 V)/(200 0)=0,12 A.(c ) Laconsrante de tiempo es r=RC=(200 0) (4 IlF)=800/is=O,8 ms.(d) En el tiempo t=4 ms, la carga del condensador es

Q=Qoe "=(96 IlC)e-III',,"1I10.Sm"={96 ~C)e-5=0,647 p.C

EjercicioHallar la corriente a traves de una resistencia de 200 0 para t=4 rns. (Res-puesta: 0,809 rnA)

Carga de un condensadorLa figura 23-21a muestra un circuito urilizado para la carga de un condensador.que admitiremos inicialmente descargado. EI interrupter, abierto inicialmente,se cierra en el instanre t=O. lnmediatamente empieza a fluir la carga a traves deIa resisrencia depositandose sobre [a placa positiva del condensador (figura 23-21 b). Si la carga del condensador en un instante cualquiera es Q y la corrienteen el circuito es [, la primera regia de Kirchhoff nos da

,r - Vr ( - Vc=Oo sea

23-21En este circuito la corriente es igual a la variacion con el tiernpo de Ia carga (cre-cientet enel condensador:

1=+ dQdtSustituyendo +dQldt por 1 en laecuaci6n 23-21 se obtiene

If'=R dQ +_Q_dt C 23-22En el instan te t = 0 la carga es cere y la corriente vale fo=I}R. Laearga, par 10tanto, aumenta y la corriente disminuye como puede verse en 1 3 ecuaci6n 23-21.La carga alcanza un valor maximo QI = C , 1 " , como resulta de Ja ecuaci6n 23-21.cuando la corrlente I es igual a cero.La ecuaci6n 23-22 es un poco mas dificil de resolver que la eeuaci6n 23-16.Multiplicando los dos miembros por C y reagrupando esta ecuaci6n toma laforma

RC dQ =CC'- QdtPodernos ahora separar las variables Q y t multiplicando ambos miembros pardtlRC, y dividiendo por Ctf - Q , resulta

dQ dtRC 23-23CI,"-Q


15/32

Seccion 23-2 Circuitos RC 763

lntegrando en ambos miembros resulta~!n (CG"- Q)=tlRC+A 23-24

en donde Aes una constante arbitrana de integracicn. Pasandoala forma expo-nential. la ecuaci6n 23-24 se escribe:a sea,

23-25en dande B=e-A es otra constante. E! valor de B viene deeerrninado par la con-dition initial Q = 0 para t = o. Hacienda t = 0 y Q=0 en la ecuacion 23-25 se obtiene

O=CG'~ Bes decir,

B=CG'Sustituyend 0 B=C G'en la ecuaci6n 23-25, se obtiene final mente para la cargala ecuacien

23-26

en donde Qr=C6'es Ja carga final. La intensidad de corriente se obtiene deri-vanda la ecuaci6n 23-26:J=_dQ=_C~_"II.C (~lIRC)dt

a ta mb ie n

Las figuras 23-22 y 23-23 muestran lacarga y la intensidad de corriente en fun-cion del tiempo. Observese tambien en la Figura 23-22 que la constante de tiempoT es el tiempo en el cual el condensador estaria complstamente cargado si la in-tensidad permaneciera constante en su valor inidal.

Qr=CE

T '" RC T= RCFigura 23-22 Representacion de la carga de uncondensadoren hmci6n del tiempo en el case del circuito de 101Figura 23-21 despues de cerrar el interrupter en t = O. Despues deltiempo t = r=RC 101carga en el condensador esO.63 Ct!:donde C t,' es su carga final. Si [a velocidad de carga fueseconstanee elgual a 511 valor inicial, eI condensador se cargariapor completo al cabo de un tiernpo t = T.

Figura 23-2) Gnifico de la corrtente en funcibn del tiempopara. el circuiro de la figura 23-21. Lacorrienre esinicialmenre rf l R y disminuye expoaencialmente coneltiempo.


16/32


EjercicioDemostrar que la ecuacion 23-26 satisface lollecuad6n 23-22 sustituyendo enesta los valores de Q(f) y dQldt.EjercicioLQueIraccion de l o l l . carga maxima existeen un condensador en proceso decarga al cabo de un tiempo f=r7 (Respuesta: 0,63)

Ejernplo 23-7Una bateria de 6 V Y resistencia interna despreciable se utiliza para cargarun condensador de 2 }LF a traves de una resistencia de 100 n. Hallar (a) lacorriente inicial, (b ) lollcargafinal y (c) el tiempo necesario para obtener un90 por ciento de lollcarga final.

(a) La corriente inicial es[0= d Y R=6 V)/(100 O J =0,06 A

(b ) La carga final del condensadoresQ t = tfC=6 V)(2 IIlF)=12 ! - , C

(r) La constante de tiempo de este c.ircuito es 'f = R C = (100 0)(2 /IF) = 200 ps ,Es de esperar que lollcarga alcance el 90 por ciento de su valor final en untiempo del orden de varias constantes de tiempo. Podemos hallar lollsolucionexacea a partir de la ecuacion 23-26 utilizando Q=0,9 gC:

Q=0,9I.'C= !."C(l - e-IRC)0,9=1 - e-' sc

e~"Rc=l - 0,9=0,1tIn-,'RC=_ -=In 0,1=-2,3R C

Por tanto,t=2,.3RC=2,3(200 115)=460 ills

Ejempio 23-8E! condensador del circuito que se muestra en la Flgura 23-24a esta inicial-mente descargado. Determinar loll.orriente que atraviesa lollbateria (a ) inme-diatamente despues de cerrar eJ interrupter y (b) un largo tiempo despues decerrar el interrupter.

(al Como el condensador esta inicialmente descargado, el potencial en elpunto des el mismo que enel punta c inmediatamente despues de cerrar elinterrupter. No hay corriente inicial a traves de loll.esistencia de 80 entre by e. Apticando la regla de las mallas al bucle exterior (abcdefal, se obtiene12 V - (4 0)10=0

10=3 A(b ) En tantoel condensador se carga, loll.orriente se divide en el punto

b y lacarga fluye sobre la placa superior y se separa de la inferior ..Despuesde un largo tiempo, el condensador se cargacompietamente y loll.arga dejade Huir 0 de escapar de las placas, Aplicando lollregla de las mallas al budede la izquierda ( a b el a) , se obtiene .12 V - (40)11 - (8 0)1r=0

1[=1 A


17/32

~s12V_k 't'.L 81 1

f

b c

r d c d((I) (b )

Vemos pues, que el analisis de este circuito en los tiempos extremes. cuandoel condensador esta descargado 0 totalmente cargado, es simple. Cuando elcondensador esta descargado actua igual que un cortocircuito entre los pun-tas c y d, es decir, el circuito es equivalente at mostrado en la Figura 23-24b,en donde se ha reernplazado el condensador par un alambre de resistenciacera. Cuando el condensador esta totalmente cargado, acnia como elcircuitoabierto indicado en la figura 23-24c.

Durante eJ proceso de carga fluye una carga total QI= G 'C a traves de la ba-teria. Esta realiza un trabajo,W=QI o : f . = r J ' 2 C

Laenergia almacenada en el condensador es precisamente [a mitad de esta canti-dad. Segun Ia ecuaci6n 21-16, _U =:Q V =i~1rf=i- G'lC

Demostrarernos ahora que la otra mitad de energia proporcionada par la bateriase transforma precisamente en calor par efeeto Joule en la resistencia. La poten-cia que se cede a la resistencia es_ d j I V s = J 2 Rdt _

Utilizando laecuaci6n 23-27 para el valor de la corriente, tenemos~= (~ e_IIRC)2 R= tf(l e-2I1RCd l R REl calor to tal producido se ob tiene integrando desde t=0 hasta t=00 :

wR=fOO 6 '2 e-2VRC dto R

La integraci6n puede realizarse sustituyendo x=2t!RC. Entonces,RCdt= -- dx2

y

puesto que la integral es 1. Esta respuestaes independiente de la resistencia R.Cuando _un condensador se carga mediante una fem constante, la mitad de laenergia proporcionada por la bateria se almacena en el condensador y Ia otramitad se transforma en calor independlenternente de la resistencia. Esta energiatermica incluye la porencia disipada en Ia resistencia interna de la bateria.

EjempJo 23-9Determinar para el condensador del ejempio 23-6 en proceso de descarga, (a ) laenergia initial almacenada en el condensador. (b ) la potencia inicial de entradaen la resistencia, y (c ) la energia alrnacenada en el tiempo i=0,8 ms=l T.

Section 2J2 Circuitos nc 765

12V

( e )Figura 2324 (Q ) Un condensador enparaIl0 con una resistenci a a tra ve sde una Fern. EI condensador 51 "supone descargado antes de cerrar elinterrupter. (b) lnrnediatarnentedespues de cerrar el interrupt or noexlste caida de potencial a traves delcondensador y, por tanto, btl" puedesusrituirse por un alambre deresistencia cero, (e) Un liempo largodespues de cerrar el Interrupter, 1"1condensadcresta completamentecargado y toda la carga que entrapor el punto b Huye a traves de laresistencia de 8 a. El.condensadorpuede reemplazarse por un circuiteabierto,


18/32


L a Iotografia m uesrra un critron ,dispositive dlsparador de ahavelcctdad, utilizado pa ra descargarcondensadoresen la detonacion deuna bomba atomica, tormada por unnucleo de uranio rodeado de unacap a d e e xp lo siv es. E I co nd en sad or.accionado por 1"1critron, descarga suenergia a los detonadores que hacenexplotar la capa de explosives, Lae xp lo sio n co rn prime rapida ysirnetricarnente 1"1nucleo de Ufan lo,1"1cual alcanza la masa crlrica.desencadena la fisi6n nuclear yexplota. La venta de critrones yciertos condensadores especia lizadosesta conrrolada, En 1985 y 1990lueron el lerna de operaciones decontrabando divulgadasinfructuosarnente.

(ti) En 1"1eiernplo 236encontramos que la carga inicia] del condensadorera 96 p . c . La energia inicial almacenada es, por tanto,u=1..y= 1.. (96 p.CF 1,152 rn]

2 C 2 4p.FEl mismo resultado se obtiene a partir de U=-tQV=i{96 J . l . C ) { 2 4 V)=1,152 rn],

(b ) La potenc.ia inicial de entrada en la resisteacia esPo=lijR=(0,12 A )2 (200 n)=2.,88W

en donde hemos utilizado 1"1valor 10=0,12 A obtsnido en 1"1ejemplo 236.(c ) La carga delcondensador al cabo de t=0,8 ms=Tr esQ=Qoe -lit= {96 p.C)e-1 =35,3 p.C

La energia almacenada en ese memento es, por tanto,u=l Q2 =1.. (35,3 p.C)2 0,156 rn]

2 C 2 4p.FObservese que no podiamos utilizar [a expresion U=i-QV, a menos quedeterminasemos primero el potencial V, el cual tam bien dlsminuye a medidaque se descarga 1"1condensador.

Ejemplo 2310Dernostrar que Ia disminud6n de energia almacenadaen el condensador delejemplo 23-9 desde t=O a .t=l-r es igual al calor de joule disipado en la resis-tencia.

En el ejernplo 23-9, determinarnos que la energia alrnacenada en el con-densador era L 152 rn] para t = yO, 156 mJ para t=Lr. La dism inuci6n deenergia alrnacenada es, por tanto, --.LlU=1,152 m] - 0,156 mJ=0,996 m]

La potencia de entrada en la resiseencia es J lR, en donde I viene dadapor Ia ecuaci6n 23-20. Como esta potencia varia con el tiempo, debe integrar-se desde t = a t= 17 para determinar la energia total disipada en la resisten-cia. Asi tenemos:W=J'PR df=f'(Ioe-'I1)2 R dt_ 0 ._0=5 R L e-21/'d t= I 5 R ( _72 ) e . - w I=15R ( 1 ) (1 - e . - 2)

en donde hemos utilizado 1a expresionJ e . o . Idx= ~ e'"obtenida de las tablas integrales. Por tanto, como 1 5 R =2,88 W (ejemplo23,..9)y T=0,8 ms (e jernplo 236), resulta

W=(2,88 W)(0,4 ms)(1 - e-2)=0,996 mJque coincide con \a disminuci6n de energia almacenada.

Cuesti6n1. Una piscina se llena mediante un siE6n con agua procedente de un lago proxi-mo. tEn que sentido es este proceso analogo a la carga de un condensador?


19/32

Seccion 2,33 Amperimetros, voltimetros y ohmimetros 767

23-3 Amperimetros, voltimetrosy ohmimetros

Volvamos ahora a la consideracion de la medida de las magnitudes e[ktricas encircuitos decorriente continua. los dispositivos que miden la corriente, la dife-rencia de potencial y [a reslstencia sedenorninan amperlmetros, volrimetros yohmimetros respectivarnente. A menudo. los tres dispositivos estan lncluidos enun solo rnultirnetro, que se conecta segun el usa de cada uno de elias. Cual-quiera puede usar un voltirnetro para medir la tensi6n entre los bornes de la bate-ria del.cache 0 un ohmlrnetro para determinar la resistencia entre dos puntas deun aparato electrico domestico (por ejemplo, un tostador de pan) en el que sesospecha un cortocircuito 0 un alambre rota. Por todo ello es muy util tener al-gun conocimiento de las operaciones basicas de estes dispositivos.Para medir [a intensidad de corriente a traves de la resistencia en el circuitosimple de la Figura 23-25 colocarernos un arnperirnetro en serie can [a resistencia,segun se indica en la figura. Puesto que el arnperimetro tiene cierta resistencia,la corriente del circuito se modi fica cuando se induye 1"1amperimetro. En 1"1casoideal, el amperimetro debera tener una resistencia rnuy pequefia de modo queintroduzca una variacion muy pequen ..a en la corriente a rnedir.La diferencia de potencial entre los extremes de [a resistencia se mide colo-cando un voltimetro en paralelo con Ia misma, segun se indica en la Figura 23-26.El voltimetro reduce la resistencia entre los puntas .a y b aumentando as! la co-rrienle total que circula en el circuito y variando la caida de potencial a travesde la resistencia. Un voltimetro ideal tiene una resistencia may grande, para ha-cer minima. su influencia sobre el circuito ,El components principal de uri amperimetro 0 voltimerro es e[ galvan6metro,aparato que detecta una pequena corriente que pasa a su traves. EIga.lvan6metrose proyecta de modo que la lectura en Ia escala sea proporcional a la corrienteque pasa por e l . Actualrnente machos de estos medidores poseen una lectura di-gital en lugar de un indicador y una escala, pero el metodo basico de operaci6nes semeiante al descrito.EIgalvan6metro posee dos propiedades irnportantes para su usa como ampe-rlmetroo como voltimetro. Tales son, la resistencia del galvan6metro R g Y laintensidad de corriente necesaria para producir una desviaci6n a fondo de escala,{g . Valores tipicos de estas magnitudes en un galvan6metro portaril de labora-torio son R~=20 {} e fg=O,5 rnA. La caida de voltaje a traves de este galvan6-metro para una desviaci6n a fondo de escaJa es, por tanto,

((I)

'O R. +_ AFigura 23-25 Par a rnedir I;, corrienteque circul a por Ia resist encia R 5 1 . 'coloca un amperirnerro -(~)enserie con ella, de 1 2 0 1 modoquctransporta la mi~md corrierue que lareslstencia.

I,Figura 23-26 Para medir la (aida detension entre los extremes de unarcsistencia, 5(' coloca un vohlmetro--cn paralclo con ,,11.1,de mndo que las caidas de potencial:a (rave s del voltirnetro y Iaresisrencia sun las mismas.

(a ) Multimetro analegicc. (b )Multimetro digital. Generalmente losrnultirnetros digitales son m.h exactosy mas caros que los analogicos.


20/32

768 Capitulo 23 Circuitos decorrlente continua

I!:R p

Arnperi metro(II)

R , R gVoltirnerr

( t . )

Figura 23-27 (a ) Un arnperimetro secompone de un galvanemetro -@-cuya resistencta es R, y unaresis ten cia peq uefia en par aiel0R .(b) Un voltimetro se compone de ungalvan6metro -@- y unareslstencia grande en serie R,. Enestos diagram as, la resisrencia delgalvan6met.ro se muestra acontinuacion del simbolo delgalvanometro.

Para construir un amperimetro mediante un galvan6metro se coloca una re-sistencia pequefia, denominada resistencia shunt, en paralelo can el galvan6me-tro. Puesto que la resistencia shunt es normalmente mucho menor que La resis-tencia del galvan6metro,. la mayor parte de 1a corriente circula porel shunt yla resistencia efectiva del amperimetro es mucho menor que la resistencia del gal-van6metro. Realmente la resistencia equiva len te deI amperlmetro es aproxima-damente igual ala resistencia del shunt. Para construir un voltlrnetro se adicionaen serie con el galvan6metro una gran resistencia de manera que la resistenciaequivalence del voltimetroes mucho mayor que la del galvan6metro solo ..La fi-gura 23-27 ilustra la construcci6n de un amperimetro y de un voltimetro a partirde un galvan6metro. En estes dibujos esquematicos se muestra separadamentel a resistencia del galvan6metro R g, perc realmente forma parte de este ultimo,pues se debe esencialmentea la resisrencia del arrollamiento del galvan6metro.Laelecci6n de las resistencias apropiadas para la construccion de un atnperfrne-tro 0 voltimetro a partir de un galvan6metro, se ilustra mejor mediante unosejemplos.Eje.mplo 23-11

Lltilizando un galvan6metro en una resistencia de 20 0 para el cual una co-rriente de SX 10-4 A da una desviacien a fondo de escala, proyectar un am-perimetro que se desvie a fondo de escalacuando la corrlente sea 5 A.Puesto que la corriente total a traves del amperimetro debe ser 5 A cuan-do la corrie nte que pasa por el galvan6metro es 5610 SXl 0-4 A, la mayorp.arte ~e la corriente debe .pasar a trav,es de la r~sistencia shunt. Sea R j Jar~-sistencia shunt e I p la cornente a traves de la rrusrna. Puesto que el ga vano-metro y el shun! estan en paraielo, tenernos

yIgRg =lrf tpIp+Ig=S A

o sea,1=S A - I =(5 A) - (5XIO-4 A) "" 5 AP 8

As! pues, el valor de la resistencia shunt debe serR =__1_ R = 5XlO-4 A (20 n)=2X10-J 0p I 8 5 A.p

Puesro que la resistencia del shunt es rnucho menor que la resistencia del gal-van6metro, la resistenciaefectiva de la combinaci6n en paralelo es aproxima-damente igual a la resistencia del shunt.

Ejemplo 23-12Utilizando el mismo galvanometro del ejernplo 23-11, disefiar un voltimetroque se desvie a fondo de escala can una diferencia de potencial de 10 V.Sea R, el valor de la resistencia en serie conel galvan6metro. Debernos es~coger R. de modo que una corriente de is=5XI0-4 A de una caida de po-tencial de 10 V. As! puss,

18(R.,+ R g l =10 VR +R = 10 V g 5XlO-4 A 2XI04 n

R.=2XI04 0 - Rg=(2XIO~ III - 20 0=19,980 11 se 20 kO


21/32

Secd6n 2J-J Amperlmetros. vohtmetros y ohmimetros 769

Ejempto 23-13Se pretende medir una resistencia de 100 {) mediante el circuiro indicado enla Figura 23-28. La resistencia del voltimetro es 2000 {) Y la del amperirnetro0,002. o . L Q U e error se comete al calcular R mediante laexpresion VJ], endonde V es la lectura del voltimetro e I [a del amperirnetro?

En el circuito indicado,eI voItimetro mide ia cafda de potencial a travesde la resistencia, pero el amperimetro mide la intensidad total de la corrienteen el circulro, incluyendo la que pasa a rraves del volHmetro. La resistenciaequivalents R ' < q del voltlmetro en paralelo con la resistencia es

R ' .= ( 1 + 1 )-'95,238 (l


22/32

770 C apitu lo 23 C ircuitos de corriente continua

(a )Los dispositivos que convlerten unaform a de energia en otra ~ e H am antransductores, Los que aquim ostram os ccn vie rte n e nerg ia noelectricaen energia electrlca , (a ) Lasondas senoras transrnitidas a lacamara espiral del oidc interne hacenvibrar ill liquido acuoso. Adheridas alas paredes de la carna fa estan lascelulas receptoras sensoriales(rnostradas aqui con un aumento de3500 X aproxirnadamente). EI fluidovibrante estirnula las celulasreceptoras y hace que la s neuronas.conectadas en su base, transrnitanimpulses e le ctr ic os . L os impulses.propagandose a 1 .0 largo de unacadena de neuronas. eventual m enteregistran en 1 '1 cerebra la sensacicnsonora". Como este sistemaconvierte la energia sonora enenergia electrica, constit uye lacontrapartlda biologica de unmicr6fono. (b ) Un micr6fonoconvierte energia sonora en electrica,E ll el modele que aqui se rnuesrra,lin anillo de cobre 51" acopla a unam em brana delgada de plastico . Lasondas senoras al chocar contra Iamembrana. hacen queesta y 1"1anillocomiencen a vibrar. E ! anilloestamanta-do en 1:'1campo de un im iinperrnanente, Este rnovirniento devaivena rraves del campo h ace q ue1


23/32

Seccion 233 A.mperimel.ros, voltimetros y ohmimet ros 771

(eJ

(P )dipole. Esta separacion de c.arga creauna diferencta de potencial entre losdos semiconductores. Actualrnente.las rnejorescelulas totovoltaicasconvierren la energia iurninosa enelectrica (on u na e fic ac iacornprendida entre 1"12 .0 Y 1'130 parden to. (d) L o s cri sta II'spiezoelectricos. tales como 1'1cuarzo,la turmalina y 1'1 topacio Sf! polaru ...nelectricarnente cuando 51' comprimen.doblan 0 se distorsionan de algunmodo. La polanzacion crea una(aida de volraje a traves d e l c ri st aldeforrnado que puede utilizarse paraproducir una corriente el..ectrica. EIproceso es reverslble.el vo l tajeaplicado a traves de un cristalpiezoelectrico, es causa de unadistorsicn. E I cuarzo piezoelectrico(rncstrado aqui) se introducenormal mente en circuiros electricososcilanres que poseenaproxirnadarnente la rnisrnaIrecuencia que la que posee de unmodo natural 1'1cnstal, El resultado

Id)

es que am bos, 1 '1 cristal yel circuitoelectrico, vibra n con la Irecuencianatural del crista!' Este efecto puedeu ti li za r 51' p ara. e srab i liz ar lafrecuencia de lo s osciladores de radioy ccnstru ir relo les con un errorinferior a 0,1 5 po r ano, (e) Nuest rosentrdo del tacto 1'5 debido a unas[ibras nerviosas encapsuladasllamadas corpusculos de Meissnerque estan localizadas directamenteb ajo la cara e xterio r de la pie!' A Itoea r la pie! que II'S recubre, 105corpusculos SI' deJorman ydesencadenan impulses electricos enlas Iibras nerviosas, Un contacto masintense produce una m ayordeformaci6 n y se incrementa la[recuencia de los im pulses, EI sistem aconstituye, en clerto aspccto, unaccntrapartida biolegica de uncalibrador per deformacion: enambos Ira nsdcctores, la energia deuna tension mecanica se utiliza pa.ram odular cam bios en la conduccionelectrica. ({) Uncal lbrador po r

(/ >delorrnacion consist!' en una reiillade alambre 0 laminas muy finas deuna sustancia como 1'1 carbon quecambia su resistencia electricacuando se sornete a una deformacionrnecanica. 1 alarnbre esta unido a unsoporte aislante que se acoplamediante adh esives a un cbieto. Lastensiones que distorsionan el obje!o,d ef or rn an t ar nb ie n cl calibradordescrito, E I grade de deformacionviene rnedldo por el carnbio deresis ten cia de l disposi f ivo, 5 i seapllca un volta]e Hjo entre losextremes de l alambre del calibrador,el carnbio de resisrcncia producevariacionesen la corrlente.


24/32

772 Capltulo.23 Circuitos de ccrriente continua

Resumen1. las reglas de Kirchhoff son1. Al recorrer un circuito cerrado, la suma algebraica de los carnbios de po-tencial esigual a cero,

2. En toda union de un circuito, donde la corriente puede dividirse, la sumade las corrientes entrantes es igual a la suma de las corrientes salienles.2. Los metcdos generales de analisis de circuitos con multiples bucles pueden re-sumirse del modo slguiente: .

1. Reemplazar todas las combinaciones de resistencias en serie 0 paralelo porsus resistencias equivalentes,2. Elegir un sentido para la corriente en cada rama delcircuito y designar,pOI ejemplo con letras, las corrientes en e! diagrama correspondiente.Afiadir signos mas y menos para indicar los extremes de alto y bajo poten-cial de cada fern, resistencia 0 capacidad ..

.3 . Aplicar la regla de los audos a cada uni6n en que se ?ivicle la corriente.4. En un circuito que contiene n bucles interiores, aplicar la regla de las rna-llas a todos el!os.5. Resolver las ecuaciones para obrener los valores de las incognitas.6. Cornprobar los resultados asignando un potencial cero a un pUDtOdel cir-cuito y utilizando los valores de las intensidades de las corr ientes deduci-das, determinar los potenciales en otros puntas del circuito,

3. Los circuitos 0 redes cornplejas de resistencias, pueden simpltficarse conside-rando su simetria. Siel potencial de dos puntos esel misrno, estos puntospuedenconectarse mediante un alambre y obtener asi un diagrama massimple.

4. Cuando un condensador se descarga a traves de una resistencia, tanto la car-ga del condensador como la intensidad de corriente disminuyen exponencial-mente con el tiempo. La constante de tiempo r=RC es el tiempo que tardaen aumentar 0 disminuir e-1 =0,37 veces el valor original. Cuando un con-densador se carga a traves de una resistencia, la carga por unidad de tiempo,que equivale a la corriente. disminuye exponenclalrnente con el liempo. Des-pues de un tiempo T = RC, la carga del condensador alcanza el 63 por cientode su carga final.5. Un galvanornetro es un aparato que detecta una pequefia corriente que pasaa su traves y muestra una desviaci6n de suescala proporcionai a la corrien-teo Un arnperimetro es un aparato que mide la cor riente. Consta de ungalvan6metro mas una resistencia en paralelo Hamada resistencia shunt.

Para medir la corriente que atraviesa una resistencia se conecta un amperi-metro en serie con dicha resistencia. El amperirnetro tiene una peque.ftaresistencia, de modo que ejerce poccefecto sobre Ia corriente a medir. Unvoltimetro mide diferencias de potencial. Consta de un galvanometro masuna resistencia grande en serie, Para medir la caida de potencial a travesde una resistencia se dispone un voltimetro en paralelo con la resistencia.E\ voltimetro posee una resistencta muy grande, de modo que eierce efeetosobre la caida de potencial a meclir. Un ohrnirnetro esun dispositive paramedir resistencias.- Consta de un galvan6metro, una Fuente de fern y una re-sistencia,


25/32

Problemas 773

Sugerencias bibliograficasRosenfeld, L.: "Gustav Robert Kirchhoff", T he D iction ary o fS c ien ti fi c B iogr cr p h y , vol. 7, Charles C. Gillespie (ed.), Char-les Scribner's Sons, New York, 1973, pag. 379.

L as [ am os as re gla s d e K irc hh off d e lo s c ir cu i/o s e le clr ic os [ue-rOI1 5610 e l primero de unll serie de importal1tes de~cu'br i-mientos_

Revisi6nA. Objetivos:Una vez estudiado este capitulo, deben poseer-se los siguientes conccirnlentos:

J. Definir las reglas de Kirchhoff y saber usarlas en 1' 1a n a lisis de distintos circuitos de corriente can ti nua ,2. Utilizar coneeptos de sirnetria para deterrninar la resis-tencia equivalente de redes de resistencias cornplejas,pem simetricas.3. Representar en un esquema la carga depositada en uncondensador y 1acorriente fen funci6n del tiernpo en 1 0procesos de carga y descarga del condensador.4. Saber calcular las resistencias apropiadas en serie 0 enparalelo para construir un arnperimetrc, un voltlrnetro 0unohrnlrnetro. a partir de un determinado galvan6metro, ydibujar los diagrarnas correspondienres a estes dispositivos,

B. Definir, explicar 0 simplemente identificar:

Reglas de KirchhoffRegIa de las rnallasRegia de los nudosCircuito RCConstants de tiempoDisrninucion exponencial

VoltirnetroArnperirnetroOhmirnetroGalva.n6metroResister-cia en paraleloo shunt

C. Verdadero 0 also: Si la afirmaci6n es verdadera, explicarpor que 10 es. Si falsa dar un contraejemplo, es decir,un ejemplo que contradiga la afirmaci6n.1. La variad6n neta de potencial alrededor de un circuitocomplete en estado estacionario es cera.2. La constante de tiempo de un circuito RC es el tiernponecesario para descargar cornpletarnente 1'1ccndensador.3. Para medir la caida de potencial a traves de una resis-tencia se sit6a un voltirnetro en serie con la resistencia.

Prob1emasivel I

23-1 Reglas de Kirchhoff1. Una bateria de 6 V con una resistencia interna de 0,3 n, seconecta a una resistencia variable R . Hallar la corrienre ylapalencia liberada par Ia bateria cuando R es (a ) 5 n . (b ) 10 n.2. Se conecta una resistencia variable R a traves de una dife-rencia de potencial V que permanece constante independlen-ternente de R . Para un valor R =" la corriente es de 6,0 A.Cuando R se aumenta hasta R z = R , +10.0 n, la corriente caehasta 2,0 A. Hallar (a) R, y (b ) V.3. Una bateria tiene una fern G'y una resistencia interna r.Cuanda se conecta una resistencia de 5,0 n entre los term ina-Ies de la misma, la ccrriente es 0,5 A. Cuando se sustituyeesta resistencia por otra de 11,0 fl, 1acorriente es 0,25 A. Ha-liar (a ) la Fern 6'y (b ) la resistencia interna r.4. En la Figura 23-31 la fern es de 6 V y R=,5 n . La produc-d6n de calor por elecro Joule en R es 8 W. (a ) I.Cual es la co-rriente en el circuito? (b ) [Cual es la diferencia de potencialentre los extremos de R 1 (c) LCuaJ es 1'1 valor de rl5. En el caso del circuito indicado en la Figura 23-32 hallar.(a ) la intensidad de corriente, (b) la potencia Iiberada 0absor-bida por cada fern y (e ) la producd6n de calor par unidad detiempo en cada resistencia. (Adrnitir que las baterias tienenunas resisrencias internas despreciables.)

Figura 23-31 Probl rna 4. Figura 23-32 Problema 5.2Jl

R

4.06. En 1'1 circuito indicado en la Figura 23-33, las baterias tie-nen unas resistencias internas despreciables y el arnperimetrotiene una resistencia despreciable. (a ) Hallar la corriente quepasa a traves del arnperimetro. (b) Hallar la energia surninis-trada por la bateria de 12 V en 3 S. (e) Hallar el calor totaldisipado en dicho tiempo. (d ) ExpLicar la diferencia en las res-puestas de las partes (b ) y (c).Figura 23-33 Problema 6. 20

2ft2


26/32

774 Capitulo 23 Clrcuitos de corriente continua

7. En el circuito indicado en la Figura 23~34, las barerias tie-nen una resisrencia interna despreciable. (a ) Hallar la corrien-te en cada resistenciarIblIa diferencia de potencial entre lospuntos t1 y b, y k) la potencia surninistrada por cada bareria ..Figura 23-34 Problema 7.

12V 12 V

8. R epetir e l problema 7 en e l c as e del c irc uito in dic ad o enla figura 23-35.Figura 2335 Problema 8.

7V

5VI U

3 ~l

23-2 Circuitos RC9. Un condensador de 6 ;tFesta cargado inicialmente a 100 Vy luego se unen susarrnaduras a traves de una resistencia de500 n. (a) LCual es la carga inicial de! condensadorl (b ) Leuales la corriente inicial enel instante despues de que se conecee1"1condensador a la resistencia? (c) LCual es la constante detiempo de este circuito? (d i Leuanta carga existe sobre el con-densador despues de 6 ms]10. (til Enel caso del problema 9. hallar la energia inicial al-rnacenada en el condensador. (b) Demostrar que 1 0 3 energiaalmacenada en el condensador viene dada por U=U oc "",en donde Uo es la energia inici 0 3 1 y T=R C es la constante detiempo. (cl Hacer un esquema cuidadoso de la energia U en1"1 condensador en fund6n del tiempo t,11. A un condensador de 0,12 ~f 51 " le ua una carga Q..Despues de 4 s se observa que Sl.l carga es 1Qo. l.Cuat es 1 0 3resistencia efectiva a traves de este condensadcr'IU. Un condensador de 1,6 pF inicialmenre descargado se (:0-necta en sene con una resistencia de 10 kn y una bateria de5,0 V de resistencra interna despreciable. (a) LCual es la cargaen el cendensador despues de un tiernpo muy largo? (b )LCuanto tiempo, emplea 1"1 condensador para alcanzar el 99por ciento de su earga final7 .13. Se conecta una reslstencia de 2 Mn en serie con. un con-densador de 1,5 .I'FYuna bareria de 6,0 V de resistencia inter-

na despreciable. E! condensador esta inicialrnente descarga-do. Despues de un tiempo t =T=RC, hallar (a ) I a c ar ga en uncondensador. (b ) 1"1rirrno 0 velocidad conel que esta au men-tando la carga, (e) la corriente, (d ) la pctencia suministradapOT la bateria, (e ) la potencia disipada en la resistencia y mla velocidad a Ia que esta aurnentandc la energia almacenadaen el condensador.14. Repetir e! problema 13 para 1"1 case del tiempo 1=2.1 .23-3 Amperfmetros, voltimetros y ohmirnetros15. Un galvanornetro tiene una resistencia de 14.0O. 5e nece-slta 1,2 rnA para dar una desviaci6n a fondo de escala. (a )[Que resistencia debera colocarse en paraleio con elgalvane-metro para tener un amperimerro que sefiale 2 Aa fondo deescalat (b) LQue reslstencia debera colocarse en serie para ob-tener un voltimetro que seii.ale 5 V con una desviaci6n a fon-do deescala 116. Los galvanornetros sensibles pueden detectar ccrrientestan pequefias como 1pA. L Cuanros electrones pOT segundore pre sen ta esea co rriente117. Un gaivanornetro sensible tiene UJ1aresistencia de 1200Y exige una, corriente de 1, 4 j J . A . para producir una desvlaciona fondo de escala .. ( t I ) Hallar la resistencia shunt necesariapara construir un amperimetro que lea 1,0 rnA a Fondo de es-cala, (b ) LCual es la resistencia del amperirnetro? (c) [QUI! re-sistencia se necesitara para construir un voltimetro que sefiale3,0 V a Iondo de escala con esre galvan6metro1lB. Un galvan6metro de resistencia 90 [l da una desviaciona fondo de escala cuando su corriente es 1,5 rnA. Se utilizapara construir un amperimetro cuya lecture a fondo de escalasea 1,5 A. ( t I . } Hallar la resistencia shunt necesaria, (b) leUa!es la resistencia del amperimetro 7 (c) Si la resistencia shunt secompone de un trozo de alarnbre de cobre de calibre 10 (dhl-metro 2,$9 mm), ,cual debera ser SIl longitud?19. EI galvanometro de! problema 18 se utiliza con una bate-ria de 1.5 V de una resistencia interna despreciable para cons-truir un ohmirnetro. (a ) LQue reslstencia R, debera colocarseen serie con el galvan6metro7 (b ) ,Que resistencia R dara unadesviad6na mitad de escala? (e)LQUI~ resistencia R dara unadesviacion de un decimo de la correspcndiente afondo dees-cala?20. En elcaso del ohrnimetro del problema 19, indicar comodebera calibrarse la escala del galvanometro representandolaen una linea recta de una cierta longitud Len donde el exrre-mo de la linea (x=L) representa la lecturaa fonda de escalawando R=O . Dividir la linea en 10 divisiones iguales e indi-car 105 valores de la resisrencia en cada division.21. Un galvan6metro de 110 0 de resistencia da una lecturea fondo de escala cuando la corriente es 0,13 mA. Ha de utili-zarse en un voltirnetro de varias esealas como se indica en lafigura 23-36 en donde las conexiones se refieren a las lecturasa fondo de escala. Deterrninar RIR 2 Y R3

Figura lJ-36 Problema 2].

tV lO V IODV


27/32

22. EJ ga lvanernetro del problema 21 ha de utilizarse en unarnperirnetro de varias escalas con las lecturas a Fondo de es-cala indkadas en la figura 23-37. Determinar s; R 2 y RJ.Hgura 23-37 Problema 22.

10 A IA OIA

Nivel Il2.3. Dos baterias idenricas con fem &'y resistencia interna rpueden eonectarse a traves de una resistencla R bien en serieo paralelo. [Que merodo de conexion surninistra la mayorpotencia a R, cuando (a) R < r. (b ) R > r?24. Seconecta una bate ria de un ccche pracricamente descar-gada de 11,4 V de fem y 0,01 11de resistencia interna a una.carga de 2,0 11.Para ayudar a esta bareria se conerta una se-gunda bateria de 12,6 V de fem y 0,0111 de resistencia inter-na, a los bornes de la prirnera rnedianteunos cables adecua-dos. (a) Dibujae un diagrarna del circuito , (b ) Calcular lacorriente que circula por cada una de las partes del rnismo,(c) Calcular la potencia cedida par la segunda bateria y discu-tir en q ue se invierte esta; suponer paraello que en arnbas ba-terias la fern y la resistencia interna permanecenconstantes.25. En el cireuito ind.ieado en la figura 23-28 hallar (a ) iaco-mente en cada resistencia, (b) la potencia suministrada porcada fem y (c ) la potencia disipada en cada resistencia.Figura 2,3-JS Problema 25.

1it 4 V 20r. 6026. En e] circuito indicado en la figura 23-39, hallar la dife-rencia de potencial entre 105 puntos a y b.Figura 2.3-.39Problema 26.

Problemas 775

27. E!espacio existente entre las placas de un ccndensador deplacas paralelasse llena con un dielectrico de constants K yresistividad p. (a ) Dernostrar que la carga sobre las placas dis-minuye can la constante de tiernpo r= ~Kp. (b ) Si el dielec-trico es mica can un valor de K=5,0 y p=9XIOu n'm, ha-liar el tiempo para que la carga disminuya hasra 1Ie l = 14por cientn de su valor inicial.18. En el circuito indicado en la Figura 23-40 la bateria tieneuna resistencia interna de 0,0111. Se inserta en el punta .0 unamperirnetro de resistencia 0,010. (a l LeUa! es la Iectura deJamperimetro? (b ) tEn que porcentaje variara la corriente porla presencia del amperimetro'l (c) Se retira el arnperimetro yse conecta un voltimetro de 1kl1 de resistencla entre 0 y b.LCual es la lectura del voltimerro? (d ) tEn que porcen taje va-ria lacaida de potencial entre a y b par la presencia del voltl-metro?

Figura 2340 Problema 28.a

0.7411

29. Se dispo ne de dos barerias una can 1'=9,0 V y r=0,8 (1 Y la otra con #=3,0 V y r=O,4 0, (a) LC6mo deberanconecrarse para dar la maxima corriente a traves de una resis-tencia R7 Determiner la corriente para (b ) R =O ,2 0, (c)R=Q,6 a, (d) R""l,o n y (e ) R=I,5 O.30. En eJ circuito indicado en al Figura 23-41 !a lectura delamperirnetroes la misma cuando ambos interruptores esranabiertos 0 ambos cerrados. Hallar la resistencia R .

Figura 23-41 Problema 30.100 n

son

1.5 V

31. Un galvanornetro da una desviacicn a fondo de escalacuando el vcltaje a su traves es de 10 mV y la corriente queleatraviesa es de50 /lA. (a) Disefiar un voltimetro que, usan-do esre galvanometro, de una lectura a. fonda de escala parauna diferencfa de potencial de s o V. (b ) Disefiar un arnperi-metro que de una lectura a fondo de escala con este galvan6-metro y una corriente de 10 A.


28/32

776 Capitulo 23 Circuiros de corriente continua

32. (a ) Determiner la intensidad de corriente en cada una delas partes de l circuito de la Figura 23-42. (b) Utili zar los resul-tados de (Il) para asignar un potencial en cada punto indica-do, suponiendo que el potencial en el punto a es cero

Figura. 2342 Problema 32./,

lin

'1 n

3H

J3. (a) Dererrninar la corrienre en cada parte del circuito dela Figur.a2343. (b) Urilizar los resultados de (al para asignarun potencial en cada punto indicado, suponiendo que el po-tencial en el punto a es cere.

Figura 23-43 Problema 33.flV d ' "

Hl

sv24 V

34. (II) Lltilizar elconcepto de simetria para dererrninar la re-sistencia equivalente de la red de l a f igur a 23-44. (h ) LCu.'!1esla intensidad de corrienteen cada resistencia si R es 10 Q yuna dilerencia de potencial de 80 V se aplica entre a y &1Hgura 2.3-44 Problema 34.

R

b

35. Nueve reistencias de 100 cada una se conectan como in-dica la Figura 23-45, y se aplica una diferencia de potencial de20 Ventre los puntos Q y &. (a ) ,Clla] es la resistencia equiva-lenre de esta red? (b) Determinar la intensidad de corriente el lcada una de las nueve resistencias.Figura 2345 Problema 35.

R R R

I~ R R

36. Una combinaci6n en paralelo de una resistencia de 8 (I yuna resistencia incognita. R se conectan en serie con una resis-tencia de 16 Q y una bateria , A continuacion seconectan lastres reslstencias en serie y la misma bateria, En arnbas ccrnbi-naciones la corriente a traves de la resistencia de 8 nes la mis-rna. LCuanto vale la resistencia incognita R?37. Una caja cerrada tiene dos rerminales rnetalicos a y b.Dentro de la caja existe una fern cincognita en serie con unaresistencia R. Cuando una di.ferencia de potencial de 21 V seestablece entre a y b. una ccrriente de 1A entra en la caja pora y sale par b. S i seinvierte esta diferencia de potencial, seobservauna corrienee de 2 A en direcci6n inverse a la situa-cion anterior. Determ.inar ;: yR.38. Un vclrimetro posee una resistencia de lO S n. Una bate-ria de 60 V que posee una. resistencia interna de 10 n se conec-ta a traves de una resistencia de 68 kn y otra de 56 kO conec-tadas en serie .. (a ) ,Cual es la lectura del voltimetro a travesde la resistencia debS km (b ) ,Cual es la lecture del voltime-tro a traves de la resistencia de 56 k01 (c) Leu.'!l es .Ia lecturadel voltimetro a traves de la bateria? (d) Expresar el errorporcentual de cada medida de voltaic.39. Los condensadores del circuito de la figur.a 23-46 estaninicialrnente descargados.Ta) I.Cuitl es el valor inicial de la co-rriente suministrada por la bateria cuando se cierra el inte-rruptor 51 (b ) LCuru es la inrensidad de la corriente de la bate-ria despues de un tiempo largo? (c) I.Cuales son las cargasfinales sabre los condensadores7Figura 2346 Problema 39.

+.~---1mn S O V

40. E n estado estacionario, la carga sobre eJ condensador de5 p_Fdel circulto de la Figura 23-47 es de 1000 /J.c.(a) Oetermi-nar la corrienre de la bateria. (b) Deterrninar las resistenciasR " R 2 y R J


29/32

Figura 13-47 Problema 40,

41. Conslderese el circuito de la Figura 23-48. Determinar (a )la ccrrienteinicial de la bateria inrnediatamente despues decerrar el interrupter: (b ) la corriente estacionaria a traves dela bateria despues de transcurrido un largo riempo: (c) el '101-taje maximo a (raves del condensador.

Figura ,23-48 Problema 41.

42. (a ) Deterrninar el voltaic a traves del condensador del cir-cuito de la Figura 23-49. (b ) Si laobarerta se desconecta, expre-sar Lacorriente del condensadcr en Funcion del tiempo. (c)L Cuinto tiempo tardara en descargarse el condensador hast aque la diferencia de RotenciaI a su traves sea de 1V1

Figura 23-49 Problemas 42 y 59.

+

43_ El circuito de la Figura 23-50 es un puente de WheatstO!l1'de hllo. Se utiliza para determiner una resistencia incognitaRx en funei6n de las resisrencias conocidas R !, R z y Ro. Lasresistencias R l y R z comprenden un aiambre de 1 m de longi-tud. EI punto , n es un ccntacto deslizante que se rnueve a 1 0largo del alarnbre modificando estas resistencias. La resisten-cia R l es proporcional a Ja distancia desdeel extrema iz-quierdo del alarnbre (0 cml al punto a, y R 2 es proporcicnai

Problemas 777

a la distancia desdeel punto {I al extreme derecho del alambre(100 em). Cuando los puntos Il y b estan a igual potencial, nopasa corrienre par el galvanornetro y el puente 51 ' dice quee!ita equilibrado. (Como el galvanometro se utilize para de-tectar la ausencia de corriente, se le llama delector de cero.)Sila resistencia Fija vale Ro= 200 n, hallar la resistencla in-c6gnita R, si (Il) e.1puente se equilibra en la rnarca de 18 em,(b ) el puente se equilibra en Ill.marea de 60 em y (c) el puente51 l equilibra en la marca de 95 em.

Figura .2.3-50 ['rohlem, 4S.

II

44. En el puente Wheatstone del problema 43, 5; R o =200 n,el puente se equilibra en la marca de 98 em. (a ) LCual es laresistencia ine6rigita7 (b ) ,Que influencia tendria un error de2 mm sobre el valor medido de la resistencia inc6gnita? (c )i_C6mo deberia variarse Ro de modo que esta reslstencia in-cognita diese un punta de equilibria mas proximo a la rnarcade 50 em?re-a ut.45. Suponer en el problema 24 que la fern correspondiente ala primera bareria se incrementa respecto altiempo con unritrno de 0 ,2 . V /h. pero que la fern de la segunda bateria y lasresistencias internas de arnbas permanecen consrantes. (n )Calcular en funci6n del tiempo la corriente en cada una de laspartes del circuito. (b) Dibujar un grafico de la pctencla cedi-daa [a primera bateria en funei6n del tiempo.46 . . En el amperimetro de la Figura 23-51, el galvanornetroriene una resistencia de 10 n y se conecta a traves de una res i s-teneia de 90 n. EI valor de la corriente que produce una des-viaci6n a fondo de escala puede escogerse utilizando las co-nexiones tlb, ac, ad a tie. (a) LComo debera la resistencia de90 n de modo que la corriente que produce la desviaci6n afonda de escala disminuya en el Iacror de 10 para cada eo-nexion sucesiva ab, ac, etc.7 (b) L Cual deb era ser la corrientede desviacion a fondo de escala en el galvaucmerro I~demodo que este arnperimetro tenga margenes de 1,0 rnA,10 rnA. 100 mA v 1 A?Figura 23-51 Problema. Q6 .

47_ La Figura 23-52 muestra dos modes posibles de utilizarun voltimetro y un amperlmetro para medir una resistencia .


30/32

778 Capitulo 23 Circuit as de corriente continua

incognita R. Admitir que la resistencia interna de la bateria1'5 despreciable y que la resistencia del voltirnetro es 1000 ve-ces la del amperimetro. R.=looo R,. EI valor de R s e c on si -dera que es R;=V If, en donde Vel son las lecturas del vol-tirnetro y amperirnetro. (a) Estudiar que circuito es preleriblepara valores de R en 1'1 intervale comprendido desde 10 R .hasta 0,9 Rv. tPOT qwn Hallar R; para cada circuito slR.=O,1 fl, Rv=l00 0, y (b) R=0,5 0, (e ) R=3 (1 Y (d)R=80 O.Figura 23-52 Problemas 47 y 48.

R+t_e_

(II) (b)48. (al Demostrar en los circuitos de la Figura 23-52 queR c = V / J estft relacionado con 1'1valor real R por la expresinnlIRc=l!R+lIR. en 1"1 cirruito (.I y R.=R+R, en el circuitob. (Vease problema 47.) Si G'=1,5 V, R,=O,Ol n y R.=10 kll, Lpara que intervale de valores de R esta R c denlro del5 por cienro de R usando (b ) 1"1circuito a y (e ) el circuito b i49 . Consideremos el circuito de la Figura 23-53 en 1"1cual resla resistencia interna de la Fuente de fem y R. la resistenciadel amperimetro. (a ) Demostrar que la lectura del arnperime-tro viene dada por

(b ) Demost ra r que si se intercambian 1"1arnperimetro y lafuente de fern, la lectura del amperimetro es

Observese que si R.= a si ambas son despreciables, la lec-tura es la misma. (Cuando se pueden despreciar R. y r, estasimetria puede ser de gran utilidad al analizar circuitos conuna sola mente de fern; no es valida en el caso de que hayamas de un Fuente de fern.)Figura 2.3-53 Problema 49.

50. En el circuito indicado en la figura 23-54 eJ condensadoresta inicia Irnente descargado estando abierto el interrupter.En el instante t=O se cierra 1"1nterrupter (a ) ,Cual es la co-

rriente suministrada por la Fuente de fern en el momenta enque 51' cierra el interrupter] (b ) LCual es la corriente una veztranscurrido un tiempo bastante largo despues de haber ce-rrado 1'1 interrupter] (c) Deducir una expresi6n que nos de lacorrienre que circula a rraves de la fUl'nte de fern durante uninstante cualquiera despues de haber cerrado el interrupter.(d) Despues de que ha transcurrido un tiempo largo t' se abrede nuevo el interruptor. LCuanto t iernpo se tarda en que lacarga del condensador disminuya hasta 1".110 par ciento delvalor que tiene en t=t', si R1=R2=5 kl 1 y C=I,O I'F1Figura 23-54 Problema 50.

e l " - - - - - - - . t ' - - - - - - ' : , f R,5

51. Dos baterias de ferns ~ y I. i y de resistencias intemas '1Y '2 se conectan en paralelo. Demostrar que la reslstencia decarga 6ptima (para la cesion de una potencia maxima) Reo-nectada en paralelo con esta combinacien es R =,',/(rl + (1).52. La figura 23,-55 rnuestra una red plana e infinita de res is-renclas iguales en dos dirnensiones. Si eJ valor de cada resis-tencia es R , determinar la resistencia equivalente entre lospuntos a y b.

Figura 23-55 Problema 52.

53. Considerar una red triangular de resistencias peri6dica einfinita de dos dirnensiones. Si el valor de cada resistencia esR . tcual es la resistencia equivalente a traves de cualquiera deellasl54. Considerar una red de resistencias cubica, pericdica y tri-dimensional que se extiende al infinito en todas direcciones.Si R es 1"1valor de cada resistencia, LcuaI 1'5 la resis tencia equi-valente a traves de cualquiera de elias?55. Cad a uno de los seis terminales a , b, e, d, e y f de la figu-ra 23-56 esta conectado can los restantes por media de un ca-ble de resistencia R . Los cables estan aislados, de modo que5610 hacen contacto electrico con los terminaJes. Utilizar elconcepto de simetria para' determinar la resistencia entre dostermina le s cualesquiera,


31/32

Figura 23-56 .Problema 55.

f /'56 _ (a ) Determinar Ia resisrencia equivalente entre los puntos ay b del cubo de 12 resistencias de la figura 23-16. (b ) LClJal es Iaresisrencla equivalente entre a y b si se extrae precisamentela resistencia que existe directamente entreestos dos puntos157_ En la Figura 23-57 se rnuestra una. cadena infinita de resis-tencias. Determinar 1a.resistencia aquivalenteentre los pun-tos a y b. Indicacion: La resistencia R,., es la misma queR .h, S I la secci6n ala izquierda de a' b ' se elirnina. La red si-gue siendo una cadena inJinita con igualestructura.Figura 23-57 Problema 57.

R R R R

58_ En la figur.a 23-58 se rnuestra una cadena infini.ta de resis-tencias. Oeterminar la resistencia de entrada. (Vease proble-ma 57.)Figur.a 23,-58 Problema 58 .

R R R

R . R R

59 _ 5i el condensador del circuito de 1


32/32

780 Capitulo 23 Circuiros de corriente continua

65. Elcondensador del circuito RC de Ia figura 23-63 esta. ini-cialrnente descargado y el interrupter se cierra en el tiernpot=O. (a ) LCua[ es la potencia suministrada por [a bateria enfund6n del.tiempo] (b ) LCmll lO S la potencia disipada en la re-sistencia en funci6n del tiempo? (c) Deterrninar el rilmo conque la energia se alrnacena ell el condensador eo funci6n deltiempo. Representar las respuestas a las partes (11), (b ) y (c)en funci.6n del tiempo sobreel mismo grafico. (d) Determinerel ritrno maximo con el que se almacena la energiaen el (on-densador en hmci6n del voltaje &'de la bareria y la resisrenciaR. LEn q u e instante ocurreeste maximo]

Figu.ra 23-63 Problema 65.

cap23 - circuitos electricos

Documents

en circuitos

en delpunta

los elementos en

en los cua

circuito simple en

en paralelo par

esran en paralelo

estan en serie