ayrık matematik - tanıtlama
DESCRIPTION
Tanıt teknikleri, çelişkiyle tanıt, tümevarım.TRANSCRIPT
![Page 1: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/1.jpg)
Ayrık MatematikTanıtlama
H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı
2001-2013
![Page 2: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/2.jpg)
Lisans
c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
You are free:
to Share – to copy, distribute and transmit the work
to Remix – to adapt the work
Under the following conditions:
Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).
Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.
Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.
Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
![Page 3: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/3.jpg)
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
![Page 4: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/4.jpg)
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
![Page 5: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/5.jpg)
Kaba Kuvvet Yontemi
olası butun durumları teker teker incelemek
Teorem
{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.
Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1
18 = 9+9
![Page 6: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/6.jpg)
Kaba Kuvvet Yontemi
olası butun durumları teker teker incelemek
Teorem
{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.
Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1
18 = 9+9
![Page 7: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/7.jpg)
Kaba Kuvvet Yontemi
olası butun durumları teker teker incelemek
Teorem
{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.
Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1
18 = 9+9
![Page 8: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/8.jpg)
Temel Kurallar
Evrensel Ozellestirme (Universal Specification - US)
∀x p(x) ⇒ p(a)
Evrensel Genellestirme (Universal Generalization - UG)
rasgele secilen bir a icin p(a) ⇒ ∀x p(x)
![Page 9: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/9.jpg)
Temel Kurallar
Evrensel Ozellestirme (Universal Specification - US)
∀x p(x) ⇒ p(a)
Evrensel Genellestirme (Universal Generalization - UG)
rasgele secilen bir a icin p(a) ⇒ ∀x p(x)
![Page 10: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/10.jpg)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
Butun insanlar olumludur. Sokrates bir insandır.O halde Sokrates olumludur.
U : butun insanlar
p(x): x olumludur
∀x p(x): Butun insanlar olumludur.
a: Sokrates, a ∈ U : Sokrates bir insandır.
o halde, p(a): Sokrates olumludur.
![Page 11: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/11.jpg)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
Butun insanlar olumludur. Sokrates bir insandır.O halde Sokrates olumludur.
U : butun insanlar
p(x): x olumludur
∀x p(x): Butun insanlar olumludur.
a: Sokrates, a ∈ U : Sokrates bir insandır.
o halde, p(a): Sokrates olumludur.
![Page 12: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/12.jpg)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
![Page 13: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/13.jpg)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
![Page 14: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/14.jpg)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
![Page 15: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/15.jpg)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
![Page 16: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/16.jpg)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
![Page 17: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/17.jpg)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
![Page 18: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/18.jpg)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
![Page 19: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/19.jpg)
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
![Page 20: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/20.jpg)
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
![Page 21: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/21.jpg)
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
![Page 22: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/22.jpg)
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
![Page 23: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/23.jpg)
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
![Page 24: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/24.jpg)
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
![Page 25: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/25.jpg)
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
![Page 26: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/26.jpg)
Bos Tanıt
bos tanıt
P ⇒ Q tanıtı icin P’nin yanlıs oldugunu gostermek
![Page 27: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/27.jpg)
Bos Tanıt Ornegi
Teorem
∀S [∅ ⊆ S ]
Tanıt.
∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]
![Page 28: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/28.jpg)
Bos Tanıt Ornegi
Teorem
∀S [∅ ⊆ S ]
Tanıt.
∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]
![Page 29: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/29.jpg)
Bos Tanıt Ornegi
Teorem
∀S [∅ ⊆ S ]
Tanıt.
∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]
![Page 30: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/30.jpg)
Degersiz Tanıt
degersiz tanıt
P ⇒ Q tanıtı icin Q’nun dogru oldugunu gostermek
![Page 31: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/31.jpg)
Degersiz Tanıt Ornegi
Teorem
∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 0]
Tanıt.
∀x ∈ R [x2 ≥ 0]
![Page 32: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/32.jpg)
Degersiz Tanıt Ornegi
Teorem
∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 0]
Tanıt.
∀x ∈ R [x2 ≥ 0]
![Page 33: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/33.jpg)
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
![Page 34: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/34.jpg)
Dogrudan Tanıt
dogrudan tanıt
P ⇒ Q tanıtı icin P ` Q oldugunu gostermek
![Page 35: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/35.jpg)
Dogrudan Tanıt Ornegi
Teorem
∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]
Tanıt.
3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]
⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)
![Page 36: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/36.jpg)
Dogrudan Tanıt Ornegi
Teorem
∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]
Tanıt.
3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]
⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)
![Page 37: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/37.jpg)
Dogrudan Tanıt Ornegi
Teorem
∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]
Tanıt.
3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]
⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)
![Page 38: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/38.jpg)
Dogrudan Tanıt Ornegi
Teorem
∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]
Tanıt.
3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]
⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)
![Page 39: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/39.jpg)
Dolaylı Tanıt
dolaylı tanıt
P ⇒ Q tanıtı icin ¬Q ` ¬P oldugunu gostermek
![Page 40: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/40.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]
Tanıt.
¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)
x · y ≤ 5 · 5 = 25
![Page 41: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/41.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]
Tanıt.
¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)
x · y ≤ 5 · 5 = 25
![Page 42: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/42.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]
Tanıt.
¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)
x · y ≤ 5 · 5 = 25
![Page 43: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/43.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
![Page 44: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/44.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
![Page 45: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/45.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
![Page 46: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/46.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
![Page 47: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/47.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
![Page 48: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/48.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
![Page 49: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/49.jpg)
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
![Page 50: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/50.jpg)
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
![Page 51: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/51.jpg)
Celiskiyle Tanıt
celiskiyle tanıt
P tanıtı icin ¬P ` Q ∧ ¬Q oldugunu gostermek
![Page 52: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/52.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
![Page 53: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/53.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
![Page 54: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/54.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
![Page 55: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/55.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
![Page 56: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/56.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
![Page 57: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/57.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
![Page 58: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/58.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
![Page 59: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/59.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 60: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/60.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 61: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/61.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 62: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/62.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 63: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/63.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 64: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/64.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 65: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/65.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 66: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/66.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 67: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/67.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 68: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/68.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 69: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/69.jpg)
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
![Page 70: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/70.jpg)
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
![Page 71: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/71.jpg)
Esdegerlilik Tanıtları
P ⇔ Q tanıtı icin hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı
P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı icin bir yontem:P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1
![Page 72: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/72.jpg)
Esdegerlilik Tanıtları
P ⇔ Q tanıtı icin hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı
P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı icin bir yontem:P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1
![Page 73: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/73.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
Teorem
a, b, n, q1, r1, q2, r2 ∈ Z+
a = q1 · n + r1b = q2 · n + r2
r1 = r2 ⇔ n|(a− b)
![Page 74: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/74.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
![Page 75: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/75.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
![Page 76: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/76.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
![Page 77: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/77.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
![Page 78: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/78.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
![Page 79: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/79.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
![Page 80: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/80.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
![Page 81: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/81.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
![Page 82: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/82.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
Teorem
A ⊆ B
⇔ A ∪ B = B
⇔ A ∩ B = A
⇔ B ⊆ A
![Page 83: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/83.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
![Page 84: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/84.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
![Page 85: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/85.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
![Page 86: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/86.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
![Page 87: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/87.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
![Page 88: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/88.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
![Page 89: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/89.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
![Page 90: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/90.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
![Page 91: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/91.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
![Page 92: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/92.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
![Page 93: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/93.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
![Page 94: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/94.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
![Page 95: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/95.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
![Page 96: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/96.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
![Page 97: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/97.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
![Page 98: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/98.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
![Page 99: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/99.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.
¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]
⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]
⇒ ¬(B ⊆ A)
![Page 100: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/100.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.
¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]
⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]
⇒ ¬(B ⊆ A)
![Page 101: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/101.jpg)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.
¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]
⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]
⇒ ¬(B ⊆ A)
![Page 102: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/102.jpg)
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
![Page 103: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/103.jpg)
Tumevarım
Tanım
S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem
S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)
S(n0): taban adımı
∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı
![Page 104: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/104.jpg)
Tumevarım
Tanım
S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem
S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)
S(n0): taban adımı
∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı
![Page 105: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/105.jpg)
Tumevarım
Tanım
S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem
S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)
S(n0): taban adımı
∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı
![Page 106: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/106.jpg)
Tumevarım
![Page 107: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/107.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
![Page 108: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/108.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
![Page 109: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/109.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
![Page 110: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/110.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
![Page 111: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/111.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
![Page 112: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/112.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
![Page 113: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/113.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]
Tanıt.
n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!
n = k: 2k < k! kabul edelim
n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
![Page 114: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/114.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]
Tanıt.
n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!
n = k: 2k < k! kabul edelim
n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
![Page 115: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/115.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]
Tanıt.
n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!
n = k: 2k < k! kabul edelim
n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
![Page 116: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/116.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]
Tanıt.
n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!
n = k: 2k < k! kabul edelim
n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
![Page 117: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/117.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1:
k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
![Page 118: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/118.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1:
k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
![Page 119: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/119.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1:
k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
![Page 120: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/120.jpg)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1:
k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
![Page 121: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/121.jpg)
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
![Page 122: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/122.jpg)
Guclu Tumevarım
Tanım
S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [(∀i ≤ k S(i)) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)
![Page 123: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/123.jpg)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
![Page 124: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/124.jpg)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
![Page 125: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/125.jpg)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
![Page 126: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/126.jpg)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
![Page 127: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/127.jpg)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
![Page 128: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/128.jpg)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
![Page 129: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/129.jpg)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
![Page 130: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/130.jpg)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
![Page 131: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/131.jpg)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
![Page 132: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/132.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
![Page 133: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/133.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
![Page 134: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/134.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
![Page 135: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/135.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
![Page 136: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/136.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
![Page 137: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/137.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
![Page 138: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/138.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornekleri
![Page 139: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/139.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornekleri
Teorem
Butun atlar aynı renktir.
A(n): n atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
∀n ∈ N+ A(n)
![Page 140: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/140.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornekleri
Teorem
Butun atlar aynı renktir.
A(n): n atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
∀n ∈ N+ A(n)
![Page 141: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/141.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornekleri
tumevarım adımı gecersiz
n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).
![Page 142: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/142.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornekleri
tumevarım adımı gecersiz
n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).
![Page 143: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/143.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornekleri
tumevarım adımı gecersiz
n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).
![Page 144: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/144.jpg)
Hatalı Tumevarım Ornekleri
![Page 145: Ayrık Matematik - Tanıtlama](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022050808/5562ec7fd8b42a213b8b4c64/html5/thumbnails/145.jpg)
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 2: Fundamentals of Logic
2.5. Quantifiers, Definitions, and the Proofs of Theorems
Chapter 4: Properties of Integers: Mathematical Induction
4.1. The Well-Ordering Principle: Mathematical Induction
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 4: Induction