ayrık matematik - yüklemler ve kümeler
DESCRIPTION
Yüklemler, niceleyiciler, kümeler, küme işlemleri, içleme-dışlama ilkesi.TRANSCRIPT
![Page 1: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/1.jpg)
Ayrık MatematikYuklemler ve Kumeler
H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı
2001-2013
![Page 2: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/2.jpg)
Lisans
c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
You are free:
to Share – to copy, distribute and transmit the work
to Remix – to adapt the work
Under the following conditions:
Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).
Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.
Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.
Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
![Page 3: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/3.jpg)
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
![Page 4: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/4.jpg)
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
![Page 5: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/5.jpg)
Yuklem
Tanım
yuklem:
bir ya da birden fazla degisken iceren ve
bir onerme olmayan ama
degiskenlere izin verilen secenekler arasından deger verildigindebir onerme haline gelen
bir belirtim tumcesi (acık bildirim)
![Page 6: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/6.jpg)
Calısma Evreni
Tanım
calısma evreni: Uizin verilen secenekler kumesi
ornekler:
Z: tamsayılarN: dogal sayılarZ+: pozitif tamsayılarQ: rasyonel sayılarR: reel sayılarC: karmasık sayılar
![Page 7: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/7.jpg)
Calısma Evreni
Tanım
calısma evreni: Uizin verilen secenekler kumesi
ornekler:
Z: tamsayılarN: dogal sayılarZ+: pozitif tamsayılarQ: rasyonel sayılarR: reel sayılarC: karmasık sayılar
![Page 8: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/8.jpg)
Yuklem Ornekleri
Ornek
U = Np(x): x + 2 bir cift sayıdır
p(5): Yp(8): D
¬p(x): x + 2 bir cift sayı degildir
Ornek
U = Nq(x , y): x + y ve x − 2y birer cift sayıdır
q(11, 3): Y , q(14, 4): D
![Page 9: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/9.jpg)
Yuklem Ornekleri
Ornek
U = Np(x): x + 2 bir cift sayıdır
p(5): Yp(8): D
¬p(x): x + 2 bir cift sayı degildir
Ornek
U = Nq(x , y): x + y ve x − 2y birer cift sayıdır
q(11, 3): Y , q(14, 4): D
![Page 10: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/10.jpg)
Yuklem Ornekleri
Ornek
U = Np(x): x + 2 bir cift sayıdır
p(5): Yp(8): D
¬p(x): x + 2 bir cift sayı degildir
Ornek
U = Nq(x , y): x + y ve x − 2y birer cift sayıdır
q(11, 3): Y , q(14, 4): D
![Page 11: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/11.jpg)
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
![Page 12: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/12.jpg)
Niceleyiciler
Tanım
varlık niceleyicisi:yuklem bazı degerler icin dogru
simgesi: ∃okunusu: vardır
simge: ∃!okunusu: vardır ve tektir
Tanım
evrensel niceleyici:yuklem butun degerler icin dogru
simgesi: ∀okunusu: her
![Page 13: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/13.jpg)
Niceleyiciler
Tanım
varlık niceleyicisi:yuklem bazı degerler icin dogru
simgesi: ∃okunusu: vardır
simge: ∃!okunusu: vardır ve tektir
Tanım
evrensel niceleyici:yuklem butun degerler icin dogru
simgesi: ∀okunusu: her
![Page 14: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/14.jpg)
Niceleyiciler
Tanım
varlık niceleyicisi:yuklem bazı degerler icin dogru
simgesi: ∃okunusu: vardır
simge: ∃!okunusu: vardır ve tektir
Tanım
evrensel niceleyici:yuklem butun degerler icin dogru
simgesi: ∀okunusu: her
![Page 15: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/15.jpg)
Niceleyiciler
varlık niceleyicisi
U = {x1, x2, . . . , xn}∃x p(x) ≡ p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)
bazı x’ler icin p(x) dogru
evrensel niceleyici
U = {x1, x2, . . . , xn}∀x p(x) ≡ p(x1) ∧ p(x2) ∧ · · · ∧ p(xn)
her x icin p(x) dogru
![Page 16: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/16.jpg)
Niceleyiciler
varlık niceleyicisi
U = {x1, x2, . . . , xn}∃x p(x) ≡ p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)
bazı x’ler icin p(x) dogru
evrensel niceleyici
U = {x1, x2, . . . , xn}∀x p(x) ≡ p(x1) ∧ p(x2) ∧ · · · ∧ p(xn)
her x icin p(x) dogru
![Page 17: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/17.jpg)
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
![Page 18: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/18.jpg)
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
![Page 19: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/19.jpg)
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
![Page 20: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/20.jpg)
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
![Page 21: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/21.jpg)
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
![Page 22: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/22.jpg)
Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = R
p(x) : x ≥ 0
q(x) : x2 ≥ 0
r(x) : (x − 4)(x + 1) = 0
s(x) : x2 − 3 > 0
yandaki ifadeler dogru mudur?
∃x [p(x) ∧ r(x)]
∀x [p(x) → q(x)]
∀x [q(x) → s(x)]
∀x [r(x) ∨ s(x)]
∀x [r(x) → p(x)]
![Page 23: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/23.jpg)
Niceleyicilerin Degillenmesi
∀ yerine ∃, ∃ yerine ∀ konur
yuklem degillenir
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
¬∃x ¬p(x) ⇔ ∀x p(x)
¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬p(x)
¬∀x ¬p(x) ⇔ ∃x p(x)
![Page 24: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/24.jpg)
Niceleyicilerin Degillenmesi
∀ yerine ∃, ∃ yerine ∀ konur
yuklem degillenir
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
¬∃x ¬p(x) ⇔ ∀x p(x)
¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬p(x)
¬∀x ¬p(x) ⇔ ∃x p(x)
![Page 25: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/25.jpg)
Niceleyicilerin Degillenmesi
Teorem
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
Tanıt.
¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]
⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)
≡ ∀x ¬p(x)
![Page 26: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/26.jpg)
Niceleyicilerin Degillenmesi
Teorem
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
Tanıt.
¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]
⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)
≡ ∀x ¬p(x)
![Page 27: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/27.jpg)
Niceleyicilerin Degillenmesi
Teorem
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
Tanıt.
¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]
⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)
≡ ∀x ¬p(x)
![Page 28: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/28.jpg)
Niceleyicilerin Degillenmesi
Teorem
¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x)
Tanıt.
¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1) ∨ p(x2) ∨ · · · ∨ p(xn)]
⇔ ¬p(x1) ∧ ¬p(x2) ∧ · · · ∧ ¬p(xn)
≡ ∀x ¬p(x)
![Page 29: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/29.jpg)
Niceleyici Esdegerlilikleri
Teorem
∃x [p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x)
Teorem
∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
![Page 30: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/30.jpg)
Niceleyici Esdegerlilikleri
Teorem
∃x [p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x)
Teorem
∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
![Page 31: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/31.jpg)
Niceleyici Gerektirmeleri
Teorem
∀x p(x) ⇒ ∃x p(x)
Teorem
∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
Teorem
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
![Page 32: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/32.jpg)
Niceleyici Gerektirmeleri
Teorem
∀x p(x) ⇒ ∃x p(x)
Teorem
∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
Teorem
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
![Page 33: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/33.jpg)
Niceleyici Gerektirmeleri
Teorem
∀x p(x) ⇒ ∃x p(x)
Teorem
∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
Teorem
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
![Page 34: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/34.jpg)
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
![Page 35: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/35.jpg)
Coklu Niceleyiciler
∃x∃y p(x , y)
∀x∃y p(x , y)
∃x∀y p(x , y)
∀x∀y p(x , y)
![Page 36: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/36.jpg)
Coklu Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = Zp(x , y) : x + y = 17
∀x∃y p(x , y):her x icin oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur
∃y∀x p(x , y):oyle bir y bulunabilir ki her x icin x + y = 17 olur
U = N olsa?
![Page 37: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/37.jpg)
Coklu Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = Zp(x , y) : x + y = 17
∀x∃y p(x , y):her x icin oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur
∃y∀x p(x , y):oyle bir y bulunabilir ki her x icin x + y = 17 olur
U = N olsa?
![Page 38: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/38.jpg)
Coklu Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = Zp(x , y) : x + y = 17
∀x∃y p(x , y):her x icin oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur
∃y∀x p(x , y):oyle bir y bulunabilir ki her x icin x + y = 17 olur
U = N olsa?
![Page 39: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/39.jpg)
Coklu Niceleyici Ornekleri
Ornek
U = Zp(x , y) : x + y = 17
∀x∃y p(x , y):her x icin oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur
∃y∀x p(x , y):oyle bir y bulunabilir ki her x icin x + y = 17 olur
U = N olsa?
![Page 40: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/40.jpg)
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
![Page 41: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/41.jpg)
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
![Page 42: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/42.jpg)
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
![Page 43: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/43.jpg)
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
![Page 44: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/44.jpg)
Coklu Niceleyiciler
Ornek
Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A,B}
∃x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∃x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∨ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
∀x∃y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∨ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∨ p(2,B)]
∀x∀y p(x , y) ≡ [p(1,A) ∧ p(1,B)] ∧ [p(2,A) ∧ p(2,B)]
![Page 45: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/45.jpg)
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 2: Fundamentals of Logic
2.4. The Use of Quantifiers
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 7: Predicate Logic
![Page 46: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/46.jpg)
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
![Page 47: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/47.jpg)
Kume
Tanım
kume:
birbirinden ayırt edilebilen
aralarında sıralama yapılmamıs
yinelenmeyen
elemanlar toplulugu
![Page 48: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/48.jpg)
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
![Page 49: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/49.jpg)
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
![Page 50: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/50.jpg)
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
![Page 51: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/51.jpg)
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
![Page 52: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/52.jpg)
Kume Gosterilimi
acık gosterilimelemanlar suslu parantezler icinde listelenir: {a1, a2, . . . , an}
kapalı gosterilimbir yuklemi dogru kılan elemanlar: {x |x ∈ G , p(x)}
∅: bos kume
S bir kume, a bir nesne olsun
a ∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanıdıra /∈ S : a nesnesi S kumesinin elemanı degildir
|S |: eleman sayısı (kardinalite)
![Page 53: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/53.jpg)
Acık Gosterilim Ornegi
Ornek
{3, 8, 2, 11, 5}11 ∈ {3, 8, 2, 11, 5}|{3, 8, 2, 11, 5}| = 5
![Page 54: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/54.jpg)
Kapalı Gosterilim Ornekleri
Ornek
{x |x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {3, 4}{2x − 1|x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {5, 7}
Ornek
A = {x |x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5}
Ornek
E = {n|n ∈ N,∃k ∈ N [n = 2k]}A = {x |x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}
![Page 55: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/55.jpg)
Kapalı Gosterilim Ornekleri
Ornek
{x |x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {3, 4}{2x − 1|x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {5, 7}
Ornek
A = {x |x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5}
Ornek
E = {n|n ∈ N,∃k ∈ N [n = 2k]}A = {x |x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}
![Page 56: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/56.jpg)
Kapalı Gosterilim Ornekleri
Ornek
{x |x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {3, 4}{2x − 1|x ∈ Z+, 20 < x3 < 100} ≡ {5, 7}
Ornek
A = {x |x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5}
Ornek
E = {n|n ∈ N,∃k ∈ N [n = 2k]}A = {x |x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}
![Page 57: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/57.jpg)
Kume Ikilemi
Bir koyde bir berber yasıyor.Kendi tras olmayan herkesi tras ediyor,Kendi tras olan kimseyi tras etmiyor.
Bu berber kendi tras olur mu?
evet → ama kendi tras olan kimseyi tras etmiyor→ hayır
hayır → ama kendi tras olmayan herkesi tras ediyor→ evet
![Page 58: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/58.jpg)
Kume Ikilemi
Bir koyde bir berber yasıyor.Kendi tras olmayan herkesi tras ediyor,Kendi tras olan kimseyi tras etmiyor.
Bu berber kendi tras olur mu?
evet → ama kendi tras olan kimseyi tras etmiyor→ hayır
hayır → ama kendi tras olmayan herkesi tras ediyor→ evet
![Page 59: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/59.jpg)
Kume Ikilemi
Bir koyde bir berber yasıyor.Kendi tras olmayan herkesi tras ediyor,Kendi tras olan kimseyi tras etmiyor.
Bu berber kendi tras olur mu?
evet → ama kendi tras olan kimseyi tras etmiyor→ hayır
hayır → ama kendi tras olmayan herkesi tras ediyor→ evet
![Page 60: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/60.jpg)
Kume Ikilemi
S kendisinin elemanı olmayan kumeler kumesi olsunS = {A|A /∈ A}
S kendinin elemanı mıdır?
evet → ama yuklemi saglamaz → hayır
hayır → ama yuklemi saglar → evet
![Page 61: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/61.jpg)
Kume Ikilemi
S kendisinin elemanı olmayan kumeler kumesi olsunS = {A|A /∈ A}
S kendinin elemanı mıdır?
evet → ama yuklemi saglamaz → hayır
hayır → ama yuklemi saglar → evet
![Page 62: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/62.jpg)
Kume Ikilemi
S kendisinin elemanı olmayan kumeler kumesi olsunS = {A|A /∈ A}
S kendinin elemanı mıdır?
evet → ama yuklemi saglamaz → hayır
hayır → ama yuklemi saglar → evet
![Page 63: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/63.jpg)
Kume Ikilemi
S kendisinin elemanı olmayan kumeler kumesi olsunS = {A|A /∈ A}
S kendinin elemanı mıdır?
evet → ama yuklemi saglamaz → hayır
hayır → ama yuklemi saglar → evet
![Page 64: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/64.jpg)
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
![Page 65: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/65.jpg)
Altkume
Tanım
A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]
kume esitligi:A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
uygun altkume:A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A 6= B)
∀S [∅ ⊆ S ]
![Page 66: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/66.jpg)
Altkume
Tanım
A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]
kume esitligi:A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
uygun altkume:A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A 6= B)
∀S [∅ ⊆ S ]
![Page 67: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/67.jpg)
Altkume
Tanım
A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]
kume esitligi:A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
uygun altkume:A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A 6= B)
∀S [∅ ⊆ S ]
![Page 68: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/68.jpg)
Altkume
Tanım
A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B]
kume esitligi:A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
uygun altkume:A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A 6= B)
∀S [∅ ⊆ S ]
![Page 69: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/69.jpg)
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
![Page 70: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/70.jpg)
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
![Page 71: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/71.jpg)
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
![Page 72: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/72.jpg)
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
![Page 73: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/73.jpg)
Altkume
altkume degil
A * B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B]
⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)]
![Page 74: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/74.jpg)
Altkumeler Kumesi
Tanım
altkumeler kumesi: P(S)bir kumenin butun altkumelerinin olusturdugu kume,bos kume ve kendisi dahil
n elemanlı bir kumenin altkumeler kumesinin 2n elemanı vardır
![Page 75: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/75.jpg)
Altkumeler Kumesi
Tanım
altkumeler kumesi: P(S)bir kumenin butun altkumelerinin olusturdugu kume,bos kume ve kendisi dahil
n elemanlı bir kumenin altkumeler kumesinin 2n elemanı vardır
![Page 76: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/76.jpg)
Altkumeler Kumesi Ornegi
Ornek
P({1, 2, 3}) = {∅,{1}, {2}, {3},{1, 2}, {1, 3}, {2, 3},{1, 2, 3}
}
![Page 77: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/77.jpg)
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
![Page 78: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/78.jpg)
Kume Islemleri
tumleme
A = {x |x /∈ A}
kesisim
A ∩ B = {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık kumeler
birlesim
A ∪ B = {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
![Page 79: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/79.jpg)
Kume Islemleri
tumleme
A = {x |x /∈ A}
kesisim
A ∩ B = {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık kumeler
birlesim
A ∪ B = {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
![Page 80: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/80.jpg)
Kume Islemleri
tumleme
A = {x |x /∈ A}
kesisim
A ∩ B = {x |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık kumeler
birlesim
A ∪ B = {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
![Page 81: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/81.jpg)
Kume Islemleri
fark
A− B = {x |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}
A− B = A ∩ B
bakısımlı fark:A4 B = {x |(x ∈ A ∪ B) ∧ (x /∈ A ∩ B)}
![Page 82: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/82.jpg)
Kume Islemleri
fark
A− B = {x |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}
A− B = A ∩ B
bakısımlı fark:A4 B = {x |(x ∈ A ∪ B) ∧ (x /∈ A ∩ B)}
![Page 83: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/83.jpg)
Kume Islemleri
fark
A− B = {x |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}
A− B = A ∩ B
bakısımlı fark:A4 B = {x |(x ∈ A ∪ B) ∧ (x /∈ A ∩ B)}
![Page 84: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/84.jpg)
Kartezyen Carpım
Tanım
Kartezyen carpım:A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
A× B × C × · · · × N = {(a, b, . . . , n)|a ∈ A, b ∈ B, . . . , n ∈ N}
|A× B × C × · · · × N| = |A| · |B| · |C | · · · |N|
![Page 85: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/85.jpg)
Kartezyen Carpım
Tanım
Kartezyen carpım:A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
A× B × C × · · · × N = {(a, b, . . . , n)|a ∈ A, b ∈ B, . . . , n ∈ N}
|A× B × C × · · · × N| = |A| · |B| · |C | · · · |N|
![Page 86: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/86.jpg)
Kartezyen Carpım Ornegi
Ornek
A = {a1.a2, a3, a4}B = {b1, b2, b3}
A× B = {(a1, b1), (a1, b2), (a1, b3),
(a2, b1), (a2, b2), (a2, b3),
(a3, b1), (a3, b2), (a3, b3),
(a4, b1), (a4, b2), (a4, b3)
}
![Page 87: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/87.jpg)
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
![Page 88: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/88.jpg)
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
![Page 89: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/89.jpg)
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
![Page 90: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/90.jpg)
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
![Page 91: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/91.jpg)
Esdegerlilikler
Cifte Tumleme
A = A
DegismeA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Birlesme(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Sabit KuvvetlilikA ∩ A = A A ∪ A = A
TerslikA ∩ A = ∅ A ∪ A = U
![Page 92: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/92.jpg)
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
![Page 93: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/93.jpg)
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
![Page 94: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/94.jpg)
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
![Page 95: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/95.jpg)
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
![Page 96: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/96.jpg)
Esdegerlilikler
EtkisizlikA ∩ U = A A ∪ ∅ = A
BaskınlıkA ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U
DagılmaA ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
YutmaA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
De Morgan YasalarıA ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
![Page 97: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/97.jpg)
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
![Page 98: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/98.jpg)
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
![Page 99: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/99.jpg)
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
![Page 100: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/100.jpg)
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
![Page 101: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/101.jpg)
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
![Page 102: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/102.jpg)
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
![Page 103: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/103.jpg)
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
![Page 104: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/104.jpg)
De Morgan Kuralı
Tanıt.
A ∩ B = {x |x /∈ (A ∩ B)}= {x |¬(x ∈ (A ∩ B))}= {x |¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))}= {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}= {x |(x /∈ A) ∨ (x /∈ B)}= {x |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}= {x |x ∈ A ∪ B}= A ∪ B
![Page 105: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/105.jpg)
Esdegerlilik Ornegi
Teorem
A ∩ (B − C ) = (A ∩ B)− (A ∩ C )
![Page 106: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/106.jpg)
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
![Page 107: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/107.jpg)
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
![Page 108: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/108.jpg)
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
![Page 109: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/109.jpg)
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
![Page 110: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/110.jpg)
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
![Page 111: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/111.jpg)
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
![Page 112: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/112.jpg)
Esdegerlilik Ornegi
Tanıt.
(A ∩ B)− (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C )
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
= ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C ))
= (A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∩ (B − C )
![Page 113: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/113.jpg)
Konular
1 YuklemlerGirisNiceleyicilerCoklu Niceleyiciler
2 KumelerGirisAltkumeKume IslemleriIcleme-Dıslama
![Page 114: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/114.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi
|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B||A ∪ B ∪ C | =|A|+ |B|+ |C | − (|A ∩ B|+ |A ∩ C |+ |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C |
Teorem
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑
i
|Ai | −∑i ,j
|Ai ∩ Aj |
+∑i ,j ,k
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
· · ·+−1n−1|Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An|
![Page 115: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/115.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi
|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B||A ∪ B ∪ C | =|A|+ |B|+ |C | − (|A ∩ B|+ |A ∩ C |+ |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C |
Teorem
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑
i
|Ai | −∑i ,j
|Ai ∩ Aj |
+∑i ,j ,k
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
· · ·+−1n−1|Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An|
![Page 116: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/116.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi
|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B||A ∪ B ∪ C | =|A|+ |B|+ |C | − (|A ∩ B|+ |A ∩ C |+ |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C |
Teorem
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| =∑
i
|Ai | −∑i ,j
|Ai ∩ Aj |
+∑i ,j ,k
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
· · ·+−1n−1|Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An|
![Page 117: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/117.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
![Page 118: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/118.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
![Page 119: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/119.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
![Page 120: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/120.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
![Page 121: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/121.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
asal sayıları bulmak icin bir yontem
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2 3 5 7 9 11 13 15 1719 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 25 29
2 3 5 7 11 13 1719 23 29
![Page 122: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/122.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı
2, 3, 5 ve 7’ye bolunemeyen sayılar
A2: 2’ye bolunen sayılar kumesiA3: 3’e bolunen sayılar kumesiA5: 5’e bolunen sayılar kumesiA7: 7’ye bolunen sayılar kumesi
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7|
![Page 123: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/123.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı
2, 3, 5 ve 7’ye bolunemeyen sayılar
A2: 2’ye bolunen sayılar kumesiA3: 3’e bolunen sayılar kumesiA5: 5’e bolunen sayılar kumesiA7: 7’ye bolunen sayılar kumesi
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7|
![Page 124: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/124.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı
2, 3, 5 ve 7’ye bolunemeyen sayılar
A2: 2’ye bolunen sayılar kumesiA3: 3’e bolunen sayılar kumesiA5: 5’e bolunen sayılar kumesiA7: 7’ye bolunen sayılar kumesi
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7|
![Page 125: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/125.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2| = b100/2c = 50
|A3| = b100/3c = 33
|A5| = b100/5c = 20
|A7| = b100/7c = 14
|A2 ∩ A3| = b100/6c = 16
|A2 ∩ A5| = b100/10c = 10
|A2 ∩ A7| = b100/14c = 7
|A3 ∩ A5| = b100/15c = 6
|A3 ∩ A7| = b100/21c = 4
|A5 ∩ A7| = b100/35c = 2
![Page 126: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/126.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2| = b100/2c = 50
|A3| = b100/3c = 33
|A5| = b100/5c = 20
|A7| = b100/7c = 14
|A2 ∩ A3| = b100/6c = 16
|A2 ∩ A5| = b100/10c = 10
|A2 ∩ A7| = b100/14c = 7
|A3 ∩ A5| = b100/15c = 6
|A3 ∩ A7| = b100/21c = 4
|A5 ∩ A7| = b100/35c = 2
![Page 127: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/127.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2 ∩ A3 ∩ A5| = b100/30c = 3
|A2 ∩ A3 ∩ A7| = b100/42c = 2
|A2 ∩ A5 ∩ A7| = b100/70c = 1
|A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/105c = 0
|A2 ∩ A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/210c = 0
![Page 128: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/128.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2 ∩ A3 ∩ A5| = b100/30c = 3
|A2 ∩ A3 ∩ A7| = b100/42c = 2
|A2 ∩ A5 ∩ A7| = b100/70c = 1
|A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/105c = 0
|A2 ∩ A3 ∩ A5 ∩ A7| = b100/210c = 0
![Page 129: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/129.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7| = (50 + 33 + 20 + 14)
− (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2)
+ (3 + 2 + 1 + 0)
− (0)
= 78
asalların sayısı: (100− 78) + 4− 1 = 25
![Page 130: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/130.jpg)
Icleme-Dıslama Ilkesi Ornegi
Ornek (Eratosthenes Kalburu)
|A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7| = (50 + 33 + 20 + 14)
− (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2)
+ (3 + 2 + 1 + 0)
− (0)
= 78
asalların sayısı: (100− 78) + 4− 1 = 25
![Page 131: Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler](https://reader031.vdocuments.us/reader031/viewer/2022012309/5562ebc2d8b42ab47d8b5039/html5/thumbnails/131.jpg)
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 3: Set Theory
3.1. Sets and Subsets3.2. Set Operations and the Laws of Set Theory
Chapter 8: The Principle of Inclusion and Exclusion
8.1. The Principle of Inclusion and Exclusion
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 8: Set Theory