Download - Ayrık Matematik - Tanıtlama
Ayrık MatematikTanıtlama
H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı
2001-2013
Lisans
c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
You are free:
to Share – to copy, distribute and transmit the work
to Remix – to adapt the work
Under the following conditions:
Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).
Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.
Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.
Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
Kaba Kuvvet Yontemi
olası butun durumları teker teker incelemek
Teorem
{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.
Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1
18 = 9+9
Kaba Kuvvet Yontemi
olası butun durumları teker teker incelemek
Teorem
{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.
Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1
18 = 9+9
Kaba Kuvvet Yontemi
olası butun durumları teker teker incelemek
Teorem
{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.
Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1
18 = 9+9
Temel Kurallar
Evrensel Ozellestirme (Universal Specification - US)
∀x p(x) ⇒ p(a)
Evrensel Genellestirme (Universal Generalization - UG)
rasgele secilen bir a icin p(a) ⇒ ∀x p(x)
Temel Kurallar
Evrensel Ozellestirme (Universal Specification - US)
∀x p(x) ⇒ p(a)
Evrensel Genellestirme (Universal Generalization - UG)
rasgele secilen bir a icin p(a) ⇒ ∀x p(x)
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
Butun insanlar olumludur. Sokrates bir insandır.O halde Sokrates olumludur.
U : butun insanlar
p(x): x olumludur
∀x p(x): Butun insanlar olumludur.
a: Sokrates, a ∈ U : Sokrates bir insandır.
o halde, p(a): Sokrates olumludur.
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
Butun insanlar olumludur. Sokrates bir insandır.O halde Sokrates olumludur.
U : butun insanlar
p(x): x olumludur
∀x p(x): Butun insanlar olumludur.
a: Sokrates, a ∈ U : Sokrates bir insandır.
o halde, p(a): Sokrates olumludur.
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
Evrensel Ozellestirme Ornegi
Ornek
∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)
∴ ¬s(m)
1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A
2. p(m) A
3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1
4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2
5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4
6. ¬s(m) AndE : 5
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
Evrensel Genellestirme Ornegi
Ornek
∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]
∴ ∀x [p(x) → r(x)]
1. ∀x [p(x) → q(x)] A
2. p(c) → q(c) US : 1
3. ∀x [q(x) → r(x)] A
4. q(c) → r(c) US : 3
5. p(c) → r(c) HS : 2, 4
6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5
Bos Tanıt
bos tanıt
P ⇒ Q tanıtı icin P’nin yanlıs oldugunu gostermek
Bos Tanıt Ornegi
Teorem
∀S [∅ ⊆ S ]
Tanıt.
∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]
Bos Tanıt Ornegi
Teorem
∀S [∅ ⊆ S ]
Tanıt.
∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]
Bos Tanıt Ornegi
Teorem
∀S [∅ ⊆ S ]
Tanıt.
∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]
Degersiz Tanıt
degersiz tanıt
P ⇒ Q tanıtı icin Q’nun dogru oldugunu gostermek
Degersiz Tanıt Ornegi
Teorem
∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 0]
Tanıt.
∀x ∈ R [x2 ≥ 0]
Degersiz Tanıt Ornegi
Teorem
∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 0]
Tanıt.
∀x ∈ R [x2 ≥ 0]
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
Dogrudan Tanıt
dogrudan tanıt
P ⇒ Q tanıtı icin P ` Q oldugunu gostermek
Dogrudan Tanıt Ornegi
Teorem
∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]
Tanıt.
3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]
⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)
Dogrudan Tanıt Ornegi
Teorem
∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]
Tanıt.
3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]
⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)
Dogrudan Tanıt Ornegi
Teorem
∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]
Tanıt.
3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]
⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)
Dogrudan Tanıt Ornegi
Teorem
∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]
Tanıt.
3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]
⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)
Dolaylı Tanıt
dolaylı tanıt
P ⇒ Q tanıtı icin ¬Q ` ¬P oldugunu gostermek
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]
Tanıt.
¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)
x · y ≤ 5 · 5 = 25
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]
Tanıt.
¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)
x · y ≤ 5 · 5 = 25
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]
Tanıt.
¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)
x · y ≤ 5 · 5 = 25
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
Dolaylı Tanıt Ornegi
Teorem
∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])
Tanıt.
¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])
⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])
⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)
⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1
⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1
⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
Celiskiyle Tanıt
celiskiyle tanıt
P tanıtı icin ¬P ` Q ∧ ¬Q oldugunu gostermek
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
En buyuk asal sayı yoktur.
Tanıt.
¬P: En buyuk asal sayı vardır.
Q: En buyuk asal sayı S .
asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez
1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Celiskiyle Tanıt Ornegi
Teorem
¬∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Tanıt.
¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√
2 = ab ]
Q: obeb(a, b) = 1
⇒ 2 =a2
b2
⇒ a2 = 2b2
⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]
⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]
⇒ 4j2 = 2b2
⇒ b2 = 2j2
⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]
⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]
⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
Esdegerlilik Tanıtları
P ⇔ Q tanıtı icin hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı
P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı icin bir yontem:P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1
Esdegerlilik Tanıtları
P ⇔ Q tanıtı icin hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı
P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı icin bir yontem:P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
Teorem
a, b, n, q1, r1, q2, r2 ∈ Z+
a = q1 · n + r1b = q2 · n + r2
r1 = r2 ⇔ n|(a− b)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
r1 = r2 ⇒ n|(a− b).
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ a− b = (q1 − q2) · n
n|(a− b) ⇒ r1 = r2.
a− b = (q1 · n + r1)
−(q2 · n + r2)
= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)
n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0
⇒ r1 = r2
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
Teorem
A ⊆ B
⇔ A ∪ B = B
⇔ A ∩ B = A
⇔ B ⊆ A
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B
B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
A ⊆ B ⇒ x ∈ B
⇒ A ∪ B ⊆ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.
A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B
A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B
A ∪ B = B ⇒ y ∈ B
⇒ y ∈ A ∩ B
⇒ A ⊆ A ∩ B
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.
z ∈ B ⇒ z /∈ B
⇒ z /∈ A ∩ B
A ∩ B = A ⇒ z /∈ A
⇒ z ∈ A
⇒ B ⊆ A
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.
¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]
⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]
⇒ ¬(B ⊆ A)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.
¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]
⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]
⇒ ¬(B ⊆ A)
Esdegerlilik Tanıtı Ornegi
B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.
¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]
⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]
⇒ ¬(B ⊆ A)
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
Tumevarım
Tanım
S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem
S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)
S(n0): taban adımı
∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı
Tumevarım
Tanım
S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem
S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)
S(n0): taban adımı
∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı
Tumevarım
Tanım
S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem
S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)
S(n0): taban adımı
∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı
Tumevarım
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]
Tanıt.
n = 1: 1 = 12
n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]
Tanıt.
n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!
n = k: 2k < k! kabul edelim
n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]
Tanıt.
n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!
n = k: 2k < k! kabul edelim
n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]
Tanıt.
n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!
n = k: 2k < k! kabul edelim
n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]
Tanıt.
n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!
n = k: 2k < k! kabul edelim
n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1:
k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1:
k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1:
k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1:
k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)
Konular
1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları
2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım
Guclu Tumevarım
Tanım
S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [(∀i ≤ k S(i)) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.
Tanıt.
n = 2: 2 = 2
∀i ≤ k icin dogru kabul edelim
n = k + 1:
1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v
u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
Guclu Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]
Tanıt.
n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim
n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
Hatalı Tumevarım Ornegi
Teorem
∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]
taban adımı gecersiz
n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim
n = k + 1:
1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
=k2 + k + 2
2+ k + 1 =
k2 + k + 2
2+
2k + 2
2
=k2 + 3k + 4
2=
(k + 1)2 + (k + 1) + 2
2
n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2
Hatalı Tumevarım Ornekleri
Hatalı Tumevarım Ornekleri
Teorem
Butun atlar aynı renktir.
A(n): n atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
∀n ∈ N+ A(n)
Hatalı Tumevarım Ornekleri
Teorem
Butun atlar aynı renktir.
A(n): n atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
∀n ∈ N+ A(n)
Hatalı Tumevarım Ornekleri
tumevarım adımı gecersiz
n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).
Hatalı Tumevarım Ornekleri
tumevarım adımı gecersiz
n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).
Hatalı Tumevarım Ornekleri
tumevarım adımı gecersiz
n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.
A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).
Hatalı Tumevarım Ornekleri
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 2: Fundamentals of Logic
2.5. Quantifiers, Definitions, and the Proofs of Theorems
Chapter 4: Properties of Integers: Mathematical Induction
4.1. The Well-Ordering Principle: Mathematical Induction
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 4: Induction