ayrık matematik - Çizgeler
DESCRIPTION
Çizgeler, yönlü çizgeler, izomorfizm, bağlılık, geçit veren çizgeler, düzlemsel çizgeler. Ağaçlar, köklü ağaçlar, ikili ağaçlar, karar ağaçları. Ağırlıklı çizgeler, en kısa yol, en hafif kapsayan ağaç.TRANSCRIPT
![Page 1: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/1.jpg)
Ayrık MatematikCizgeler
H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı
2001-2013
![Page 2: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/2.jpg)
Lisans
c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
You are free:
to Share – to copy, distribute and transmit the work
to Remix – to adapt the work
Under the following conditions:
Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).
Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.
Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.
Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
![Page 3: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/3.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 4: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/4.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 5: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/5.jpg)
Cizgeler
Tanım
cizge: G = (V ,E )
V : dugum kumesi
E ⊆ V × V : ayrıt kumesi
e = (v1, v2) ∈ E ise:
v1 ve v2 dugumleri e ayrıtının ucdugumlerie ayrıtı v1 ve v2 dugumlerine cakısıkv1 ve v2 dugumleri bitisik
hicbir ayrıtın cakısmadıgı dugum: yalıtılmıs dugum
![Page 6: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/6.jpg)
Cizgeler
Tanım
cizge: G = (V ,E )
V : dugum kumesi
E ⊆ V × V : ayrıt kumesi
e = (v1, v2) ∈ E ise:
v1 ve v2 dugumleri e ayrıtının ucdugumlerie ayrıtı v1 ve v2 dugumlerine cakısıkv1 ve v2 dugumleri bitisik
hicbir ayrıtın cakısmadıgı dugum: yalıtılmıs dugum
![Page 7: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/7.jpg)
Cizge Ornegi
Ornek
V = {a, b, c, d , e, f }E = {(a, b), (a, c),
(a, d), (a, e),(a, f ), (b, c),(d , e), (e, f )}
![Page 8: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/8.jpg)
Yonlu Cizgeler
Tanım
yonlu cizge: D = (V ,A)
A ⊆ V × V : yay kumesi
baslangıc ve bitis dugumleri
![Page 9: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/9.jpg)
Yonlu Cizge Ornegi
Ornek
![Page 10: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/10.jpg)
Coklu Cizgeler
Tanım
kosut baglı ayrıtlar: aynı iki dugum arasındaki ayrıtlar
tek-cevre: aynı dugumde baslayan ve sonlanan ayrıt
yalın cizge: kosut baglı ayrıt ya da tek-cevre icermeyen cizge
coklu cizge: yalın olmayan cizge
![Page 11: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/11.jpg)
Coklu Cizgeler
Tanım
kosut baglı ayrıtlar: aynı iki dugum arasındaki ayrıtlar
tek-cevre: aynı dugumde baslayan ve sonlanan ayrıt
yalın cizge: kosut baglı ayrıt ya da tek-cevre icermeyen cizge
coklu cizge: yalın olmayan cizge
![Page 12: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/12.jpg)
Coklu Cizge Ornegi
Ornek
kosut baglı ayrıtlar:(a, b)
tek-cevre:(e, e)
![Page 13: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/13.jpg)
Altcizge
Tanım
G ′ = (V ′,E ′) cizgesi G = (V ,E ) cizgesinin bir altcizgesi:
V ′ ⊆ V
E ′ ⊆ E
∀(v1, v2) ∈ E ′ v1, v2 ∈ V ′
![Page 14: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/14.jpg)
Gosterilim
cakısıklık matrisi:
satırlara dugumler, sutunlara ayrıtlarayrıt dugume cakısıksa 1, degilse 0
bitisiklik matrisi:
satırlara ve sutunlara dugumlerhucrelere dugumler arasındaki ayrıt sayısı
![Page 15: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/15.jpg)
Gosterilim
cakısıklık matrisi:
satırlara dugumler, sutunlara ayrıtlarayrıt dugume cakısıksa 1, degilse 0
bitisiklik matrisi:
satırlara ve sutunlara dugumlerhucrelere dugumler arasındaki ayrıt sayısı
![Page 16: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/16.jpg)
Cakısıklık Matrisi Ornegi
Ornek
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8
v1 1 1 1 0 1 0 0 0v2 1 0 0 1 0 0 0 0v3 0 0 1 1 0 0 1 1v4 0 0 0 0 1 1 0 1v5 0 1 0 0 0 1 1 0
![Page 17: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/17.jpg)
Bitisiklik Matrisi Ornegi
Ornek
v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 1 1 1 1v2 1 0 1 0 0v3 1 1 0 1 1v4 1 0 1 0 1v5 1 0 1 1 0
![Page 18: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/18.jpg)
Bitisiklik Matrisi Ornegi
Ornek
a b c d
a 0 0 0 1b 2 1 1 0c 0 0 0 0d 0 1 1 0
![Page 19: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/19.jpg)
Kerte
Tanım
kerte: dugume cakısan ayrıtların sayısı
Teorem
vi dugumunun kertesi di olsun
|E | =∑
i di
2
![Page 20: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/20.jpg)
Kerte
Tanım
kerte: dugume cakısan ayrıtların sayısı
Teorem
vi dugumunun kertesi di olsun
|E | =∑
i di
2
![Page 21: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/21.jpg)
Kerte Ornegi
Ornek (yalın cizge)
da = 5db = 2dc = 2dd = 2de = 3df = 2
Toplam = 16
|E | = 8
![Page 22: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/22.jpg)
Kerte Ornegi
Ornek (coklu cizge)
da = 6db = 3dc = 2dd = 2de = 5df = 2
Toplam = 20
|E | = 10
![Page 23: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/23.jpg)
Yonlu Cizgelerde Kerte
kerte ikiye ayrılır
giris kertesi: dvi
cıkıs kertesi: dvo
giris kertesi 0 olan dugum: kaynak
cıkıs kertesi 0 olan dugum: kuyu∑v∈V dv
i =∑
v∈V dvo = |A|
![Page 24: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/24.jpg)
Yonlu Cizgelerde Kerte
kerte ikiye ayrılır
giris kertesi: dvi
cıkıs kertesi: dvo
giris kertesi 0 olan dugum: kaynak
cıkıs kertesi 0 olan dugum: kuyu∑v∈V dv
i =∑
v∈V dvo = |A|
![Page 25: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/25.jpg)
Yonlu Cizgelerde Kerte
kerte ikiye ayrılır
giris kertesi: dvi
cıkıs kertesi: dvo
giris kertesi 0 olan dugum: kaynak
cıkıs kertesi 0 olan dugum: kuyu∑v∈V dv
i =∑
v∈V dvo = |A|
![Page 26: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/26.jpg)
Kerte
Teorem
Yonsuz bir cizgede kertesi tek olan dugumlerin sayısı cifttir.
Tanıt.
ti : kertesi i olan dugumlerin sayısı2|E | =
∑i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .
2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · ·+ 2t3 + 4t5 + . . .2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .
sol yan cift olduguna gore sag yan da cifttir
![Page 27: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/27.jpg)
Kerte
Teorem
Yonsuz bir cizgede kertesi tek olan dugumlerin sayısı cifttir.
Tanıt.
ti : kertesi i olan dugumlerin sayısı2|E | =
∑i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .
2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · ·+ 2t3 + 4t5 + . . .2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .
sol yan cift olduguna gore sag yan da cifttir
![Page 28: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/28.jpg)
Kerte
Teorem
Yonsuz bir cizgede kertesi tek olan dugumlerin sayısı cifttir.
Tanıt.
ti : kertesi i olan dugumlerin sayısı2|E | =
∑i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .
2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · ·+ 2t3 + 4t5 + . . .2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .
sol yan cift olduguna gore sag yan da cifttir
![Page 29: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/29.jpg)
Kerte
Teorem
Yonsuz bir cizgede kertesi tek olan dugumlerin sayısı cifttir.
Tanıt.
ti : kertesi i olan dugumlerin sayısı2|E | =
∑i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .
2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · ·+ 2t3 + 4t5 + . . .2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .
sol yan cift olduguna gore sag yan da cifttir
![Page 30: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/30.jpg)
Kerte
Teorem
Yonsuz bir cizgede kertesi tek olan dugumlerin sayısı cifttir.
Tanıt.
ti : kertesi i olan dugumlerin sayısı2|E | =
∑i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .
2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · ·+ 2t3 + 4t5 + . . .2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .
sol yan cift olduguna gore sag yan da cifttir
![Page 31: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/31.jpg)
Kerte
Teorem
Yonsuz bir cizgede kertesi tek olan dugumlerin sayısı cifttir.
Tanıt.
ti : kertesi i olan dugumlerin sayısı2|E | =
∑i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .
2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · ·+ 2t3 + 4t5 + . . .2|E | − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .
sol yan cift olduguna gore sag yan da cifttir
![Page 32: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/32.jpg)
Duzenli Cizgeler
Tanım
duzenli cizge: butun dugumlerin kertesi aynı
n-duzenli: butun dugumlerin kertesi n
![Page 33: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/33.jpg)
Duzenli Cizge Ornekleri
Ornek
![Page 34: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/34.jpg)
Tam Baglı Cizgeler
Tanım
G = (V ,E ) cizgesi tam baglı:
∀v1, v2 ∈ V (v1, v2) ∈ E
her dugum cifti arasında ayrıt var
Kn: n dugumlu tam baglı cizge
![Page 35: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/35.jpg)
Tam Baglı Cizgeler
Tanım
G = (V ,E ) cizgesi tam baglı:
∀v1, v2 ∈ V (v1, v2) ∈ E
her dugum cifti arasında ayrıt var
Kn: n dugumlu tam baglı cizge
![Page 36: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/36.jpg)
Tam Baglı Cizge Ornekleri
Ornek (K4)Ornek (K5)
![Page 37: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/37.jpg)
Iki Parcalı Cizgeler
Tanım
G = (V ,E ) cizgesi iki parcalı:
∀(v1, v2) ∈ E v1 ∈ V1 ∧ v2 ∈ V2
V1 ∪ V2 = V , V1 ∩ V2 = ∅
tam baglı iki parcalı: ∀v1 ∈ V1 ∀v2 ∈ V2 (v1, v2) ∈ E
Km,n: |V1| = m, |V2| = n
![Page 38: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/38.jpg)
Iki Parcalı Cizgeler
Tanım
G = (V ,E ) cizgesi iki parcalı:
∀(v1, v2) ∈ E v1 ∈ V1 ∧ v2 ∈ V2
V1 ∪ V2 = V , V1 ∩ V2 = ∅
tam baglı iki parcalı: ∀v1 ∈ V1 ∀v2 ∈ V2 (v1, v2) ∈ E
Km,n: |V1| = m, |V2| = n
![Page 39: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/39.jpg)
Tam Baglı Iki Parcalı Cizge Ornekleri
Ornek (K2,3) Ornek (K3,3)
![Page 40: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/40.jpg)
Izomorfizm
Tanım
G = (V ,E ) ile G ? = (V ?,E ?) cizgeleri izomorfik:
∃f : V → V ? (u, v) ∈ E ⇒ (f (u), f (v)) ∈ E ?
f birebir ve orten
G ile G ? aynı sekilde cizilebilir
![Page 41: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/41.jpg)
Izomorfizm
Tanım
G = (V ,E ) ile G ? = (V ?,E ?) cizgeleri izomorfik:
∃f : V → V ? (u, v) ∈ E ⇒ (f (u), f (v)) ∈ E ?
f birebir ve orten
G ile G ? aynı sekilde cizilebilir
![Page 42: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/42.jpg)
Izomorfizm Ornegi
Ornek
f = {(a, d), (b, e), (c, b), (d , c), (e, a)}
![Page 43: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/43.jpg)
Izomorfizm Ornegi
Ornek
f = {(a, d), (b, e), (c, b), (d , c), (e, a)}
![Page 44: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/44.jpg)
Izomorfizm Ornegi
Ornek (Petersen cizgesi)
f = {(a, q), (b, v), (c, u), (d , y), (e, r),(f ,w), (g , x), (h, t), (i , z), (j , s)}
![Page 45: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/45.jpg)
Homeomorfizm
Tanım
G = (V ,E ) ile G ? = (V ?,E ?) cizgeleri homeomorfik:
E ? kumesindeki ayrıtlardan bazılarının ek dugumlerle bolunmusolmaları dısında G and G ? cizgeleri izomorfik
![Page 46: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/46.jpg)
Homeomorfizm Ornegi
Ornek
![Page 47: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/47.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 48: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/48.jpg)
Dolası
Tanım
dolası: bir baslangıc dugumunden (v0) bir varıs dugumune (vn)bir dugum ve ayrıt sekansı
v0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, . . . , en−1, vn−1, en, vn
ei = (vi−1, vi )
ayrıtları yazmaya gerek yok
uzunluk: dolasıdaki ayrıt sayısı
v0 6= vn ise acık, v0 = vn ise kapalı
![Page 49: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/49.jpg)
Dolası
Tanım
dolası: bir baslangıc dugumunden (v0) bir varıs dugumune (vn)bir dugum ve ayrıt sekansı
v0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, . . . , en−1, vn−1, en, vn
ei = (vi−1, vi )
ayrıtları yazmaya gerek yok
uzunluk: dolasıdaki ayrıt sayısı
v0 6= vn ise acık, v0 = vn ise kapalı
![Page 50: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/50.jpg)
Dolası
Tanım
dolası: bir baslangıc dugumunden (v0) bir varıs dugumune (vn)bir dugum ve ayrıt sekansı
v0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, . . . , en−1, vn−1, en, vn
ei = (vi−1, vi )
ayrıtları yazmaya gerek yok
uzunluk: dolasıdaki ayrıt sayısı
v0 6= vn ise acık, v0 = vn ise kapalı
![Page 51: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/51.jpg)
Dolası Ornegi
Ornek
(c, b), (b, a), (a, d), (d , e),(e, f ), (f , a), (a, b)
c, b, a, d , e, f , a, b
uzunluk: 7
![Page 52: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/52.jpg)
Gezi
Tanım
gezi: ayrıtların yinelenmedigi dolası
devre: kapalı gezi
kapsayan gezi: cizgedeki butun ayrıtlardan gecen gezi
![Page 53: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/53.jpg)
Gezi
Tanım
gezi: ayrıtların yinelenmedigi dolası
devre: kapalı gezi
kapsayan gezi: cizgedeki butun ayrıtlardan gecen gezi
![Page 54: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/54.jpg)
Gezi Ornegi
Ornek
(c, b), (b, a), (a, e), (e, d),(d , a), (a, f )
c, b, a, e, d , a, f
![Page 55: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/55.jpg)
Yol
Tanım
yol: dugumlerin yinelenmedigi dolası
cevre: kapalı yol
kapsayan yol: cizgedeki butun dugumlere ugrayan yol
![Page 56: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/56.jpg)
Yol
Tanım
yol: dugumlerin yinelenmedigi dolası
cevre: kapalı yol
kapsayan yol: cizgedeki butun dugumlere ugrayan yol
![Page 57: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/57.jpg)
Yol Ornegi
Ornek
(c, b), (b, a), (a, d), (d , e),(e, f )
c, b, a, d , e, f
![Page 58: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/58.jpg)
Baglılık
Tanım
baglı cizge: her dugum cifti arasında bir yol var
baglı olmayan bir cizge baglı bilesenlere ayrılabilir
![Page 59: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/59.jpg)
Baglılık
Tanım
baglı cizge: her dugum cifti arasında bir yol var
baglı olmayan bir cizge baglı bilesenlere ayrılabilir
![Page 60: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/60.jpg)
Baglı Bilesen Ornegi
Ornek
cizge baglı degil:a ile c arasında yol yok
baglı bilesenler:a, d , eb, cf
![Page 61: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/61.jpg)
Uzaklık
Tanım
vi ile vj dugumleri arasındaki uzaklık:
vi ile vj arasındaki en kısa yolun uzunlugu
Tanım
cap: cizgedeki en buyuk uzaklık
![Page 62: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/62.jpg)
Uzaklık
Tanım
vi ile vj dugumleri arasındaki uzaklık:
vi ile vj arasındaki en kısa yolun uzunlugu
Tanım
cap: cizgedeki en buyuk uzaklık
![Page 63: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/63.jpg)
Uzaklık Ornegi
Ornek
a ile e dugumlerininuzaklıgı: 2
cap: 3
![Page 64: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/64.jpg)
Uzaklık Ornegi
Ornek
a ile e dugumlerininuzaklıgı: 2
cap: 3
![Page 65: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/65.jpg)
Kesitleme Noktası
Tanım
G − v :
G cizgesinden v dugumu ve ona cakısık butun ayrıtlarıncıkarılmasıyla elde edilen cizge
Tanım
v dugumu G cizgesi icin bir kesitleme noktası:
G baglı ama G − v baglı degil
![Page 66: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/66.jpg)
Kesitleme Noktası
Tanım
G − v :
G cizgesinden v dugumu ve ona cakısık butun ayrıtlarıncıkarılmasıyla elde edilen cizge
Tanım
v dugumu G cizgesi icin bir kesitleme noktası:
G baglı ama G − v baglı degil
![Page 67: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/67.jpg)
Kesitleme Noktası Ornegi
G G − d
![Page 68: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/68.jpg)
Yonlu Dolasılar
yonsuz cizgelerle aynı
yayların yonleri gozardı edilirse:yarı-dolası, yarı-gezi, yarı-yol
![Page 69: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/69.jpg)
Zayıf Baglı Cizge
Tanım
zayıf baglı:her dugum cifti arasındabir yarı-yol var
Ornek
![Page 70: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/70.jpg)
Tek-Yonlu Baglı Cizge
Tanım
tek-yonlu baglı:her dugum cifti arasındabirinden digerine yol var
Ornek
![Page 71: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/71.jpg)
Guclu Baglı Cizge
Tanım
guclu baglı:her dugum cifti arasındaher iki yonde yol var
Ornek
![Page 72: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/72.jpg)
Konigsberg Kopruleri
butun koprulerden bir kere gecilerekbaslangıc noktasına donulebilir mi?
![Page 73: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/73.jpg)
Gecit Veren Cizge
Tanım
G gecit verir: G uzerinde kapsayan bir gezi duzenlenebilir
![Page 74: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/74.jpg)
Gecit Veren Cizge
kertesi tek olan bir dugum varsa gezininya baslangıc dugumu ya da varıs dugumu olmalı
baslangıc dugumu ve varıs dugumu dısındakibutun dugumlerin kerteleri cift olmalı
![Page 75: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/75.jpg)
Gecit Veren Cizge Ornegi
Ornek
a, b ve c dugumlerininkerteleri cift
d ve e dugumlerininkerteleri tek
d dugumunden baslayıpe dugumunde biten (ya da tersi)bir kapsayan gezi olusturulabilir:d , b, a, c, e, d , c, b, e
![Page 76: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/76.jpg)
Gecit Veren Cizge Ornegi
Ornek
a, b ve c dugumlerininkerteleri cift
d ve e dugumlerininkerteleri tek
d dugumunden baslayıpe dugumunde biten (ya da tersi)bir kapsayan gezi olusturulabilir:d , b, a, c, e, d , c, b, e
![Page 77: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/77.jpg)
Konigsberg Kopruleri
butun dugumlerin kerteleri tek: gecit vermez
![Page 78: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/78.jpg)
Euler Cizgeleri
Tanım
Euler cizgesi: kapalı, kapsayan bir gezi duzenlenebilen cizge
G bir Euler cizgesi ⇔ G ’deki butun dugumlerin kerteleri cift
![Page 79: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/79.jpg)
Euler Cizgesi Ornekleri
Ornek (Euler cizgesi) Ornek (Euler cizgesi degil)
![Page 80: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/80.jpg)
Hamilton Cizgeleri
Tanım
Hamilton cizgesi: kapalı, kapsayan bir yol duzenlenebilen cizge
![Page 81: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/81.jpg)
Hamilton Cizgesi Ornekleri
Ornek (Hamilton cizgesi) Ornek (Hamilton cizgesi degil)
![Page 82: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/82.jpg)
Baglantı Matrisi
cizgenin bitisiklik matrisi A iseAk matrisinin (i , j) elemanı i . dugum ile j . dugum arasındakik uzunluklu dolasıların sayısını gosterir
n dugumlu yonsuz bir cizgede iki dugum arasındaki uzaklıken fazla n − 1 olabilir
baglantı matrisi:C = A1 + A2 + A3 + · · ·+ An−1
butun elemanlar sıfırdan farklı ise cizge baglıdır
![Page 83: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/83.jpg)
Baglantı Matrisi
cizgenin bitisiklik matrisi A iseAk matrisinin (i , j) elemanı i . dugum ile j . dugum arasındakik uzunluklu dolasıların sayısını gosterir
n dugumlu yonsuz bir cizgede iki dugum arasındaki uzaklıken fazla n − 1 olabilir
baglantı matrisi:C = A1 + A2 + A3 + · · ·+ An−1
butun elemanlar sıfırdan farklı ise cizge baglıdır
![Page 84: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/84.jpg)
Baglantı Matrisi
cizgenin bitisiklik matrisi A iseAk matrisinin (i , j) elemanı i . dugum ile j . dugum arasındakik uzunluklu dolasıların sayısını gosterir
n dugumlu yonsuz bir cizgede iki dugum arasındaki uzaklıken fazla n − 1 olabilir
baglantı matrisi:C = A1 + A2 + A3 + · · ·+ An−1
butun elemanlar sıfırdan farklı ise cizge baglıdır
![Page 85: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/85.jpg)
Warshall Algoritması
dugumler arasındaki dolasıların sayısı yerinedolası olup olmadıgını belirlemek daha kolay
sırayla her dugum icin:
o dugume gelinebilen dugumlerden(matriste o sutunda 1 olan satırlardan)o dugumden gidilebilen dugumlere(matriste o satırda 1 olan sutunlara)
![Page 86: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/86.jpg)
Warshall Algoritması
dugumler arasındaki dolasıların sayısı yerinedolası olup olmadıgını belirlemek daha kolay
sırayla her dugum icin:
o dugume gelinebilen dugumlerden(matriste o sutunda 1 olan satırlardan)o dugumden gidilebilen dugumlere(matriste o satırda 1 olan sutunlara)
![Page 87: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/87.jpg)
Warshall Algoritması Ornegi
Ornek
a b c d
a 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 0 1 0
![Page 88: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/88.jpg)
Warshall Algoritması Ornegi
Ornek
a b c d
a 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 1 1 0
![Page 89: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/89.jpg)
Warshall Algoritması Ornegi
Ornek
a b c d
a 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 1 1 0
![Page 90: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/90.jpg)
Warshall Algoritması Ornegi
Ornek
a b c d
a 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 1 1 1
![Page 91: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/91.jpg)
Warshall Algoritması Ornegi
Ornek
a b c d
a 0 1 0 0b 0 1 0 0c 1 1 1 1d 1 1 1 1
![Page 92: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/92.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 93: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/93.jpg)
Duzlemsel Cizgeler
Tanım
Ayrıtları kesismeyecek sekilde bir duzleme cizilebilenbir cizge duzlemseldir.
G cizgesinin bir haritası: G cizgesinin duzlemsel bir cizimi
![Page 94: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/94.jpg)
Duzlemsel Cizge Ornegi
Ornek (K4)
![Page 95: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/95.jpg)
Bolgeler
bir harita duzlemi bolgelere ayırır
bir bolgenin kertesi:bolgeyi cevreleyen kapalı gezinin uzunlugu
Teorem
ri bolgesinin kertesi dri olsun
|E | =∑
i dri
2
![Page 96: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/96.jpg)
Bolgeler
bir harita duzlemi bolgelere ayırır
bir bolgenin kertesi:bolgeyi cevreleyen kapalı gezinin uzunlugu
Teorem
ri bolgesinin kertesi dri olsun
|E | =∑
i dri
2
![Page 97: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/97.jpg)
Bolge Ornegi
Ornek
dr1 = 3 (abda)dr2 = 3 (bcdb)dr3 = 5 (cdefec)dr4 = 4 (abcea)dr5 = 3 (adea)∑
r dr = 18|E | = 9
![Page 98: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/98.jpg)
Euler Formulu
Teorem (Euler Formulu)
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsunve R bu cizgenin bir haritasındaki bolgeler kumesi olsun:
|V | − |E |+ |R| = 2
![Page 99: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/99.jpg)
Euler Formulu Ornegi
Ornek
|V | = 6, |E | = 9, |R| = 5
![Page 100: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/100.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 101: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/101.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 102: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/102.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 103: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/103.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 104: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/104.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 105: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/105.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 106: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/106.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 107: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/107.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 108: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/108.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 109: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/109.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E | ≤ 3|V | − 6
Tanıt.
bolge kertelerinin toplamı: 2|E |bir bolgenin kertesi en az 3⇒ 2|E | ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 2
3 |E ||V | − |E |+ |R| = 2⇒ |V | − |E |+ 2
3 |E | ≥ 2 ⇒ |V | − 13 |E | ≥ 2
⇒ 3|V | − |E | ≥ 6 ⇒ |E | ≤ 3|V | − 6
![Page 110: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/110.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5
Tanıt.
∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E | ≥ 6|V |⇒ |E | ≥ 3|V |⇒ |E | > 3|V | − 6
![Page 111: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/111.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5
Tanıt.
∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E | ≥ 6|V |⇒ |E | ≥ 3|V |⇒ |E | > 3|V | − 6
![Page 112: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/112.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5
Tanıt.
∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E | ≥ 6|V |⇒ |E | ≥ 3|V |⇒ |E | > 3|V | − 6
![Page 113: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/113.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5
Tanıt.
∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E | ≥ 6|V |⇒ |E | ≥ 3|V |⇒ |E | > 3|V | − 6
![Page 114: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/114.jpg)
Duzlemsel Cizge Teoremleri
Teorem
G = (V ,E ) baglı, duzlemsel bir cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5
Tanıt.
∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E | ≥ 6|V |⇒ |E | ≥ 3|V |⇒ |E | > 3|V | − 6
![Page 115: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/115.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K5 duzlemsel degildir.
Tanıt.
|V | = 5
3|V | − 6 = 3 · 5− 6 = 9
|E | ≤ 9 olmalı
ama |E | = 10
![Page 116: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/116.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K5 duzlemsel degildir.
Tanıt.
|V | = 5
3|V | − 6 = 3 · 5− 6 = 9
|E | ≤ 9 olmalı
ama |E | = 10
![Page 117: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/117.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K5 duzlemsel degildir.
Tanıt.
|V | = 5
3|V | − 6 = 3 · 5− 6 = 9
|E | ≤ 9 olmalı
ama |E | = 10
![Page 118: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/118.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K5 duzlemsel degildir.
Tanıt.
|V | = 5
3|V | − 6 = 3 · 5− 6 = 9
|E | ≤ 9 olmalı
ama |E | = 10
![Page 119: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/119.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K5 duzlemsel degildir.
Tanıt.
|V | = 5
3|V | − 6 = 3 · 5− 6 = 9
|E | ≤ 9 olmalı
ama |E | = 10
![Page 120: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/120.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K3,3 duzlemsel degildir. Tanıt.
|V | = 6, |E | = 9
duzlemsel ise |R| = 5 olmalı
bir bolgenin kertesi en az 4⇒
∑r∈R dr ≥ 20
|E | ≥ 10 olmalı
ama |E | = 9
![Page 121: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/121.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K3,3 duzlemsel degildir. Tanıt.
|V | = 6, |E | = 9
duzlemsel ise |R| = 5 olmalı
bir bolgenin kertesi en az 4⇒
∑r∈R dr ≥ 20
|E | ≥ 10 olmalı
ama |E | = 9
![Page 122: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/122.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K3,3 duzlemsel degildir. Tanıt.
|V | = 6, |E | = 9
duzlemsel ise |R| = 5 olmalı
bir bolgenin kertesi en az 4⇒
∑r∈R dr ≥ 20
|E | ≥ 10 olmalı
ama |E | = 9
![Page 123: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/123.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K3,3 duzlemsel degildir. Tanıt.
|V | = 6, |E | = 9
duzlemsel ise |R| = 5 olmalı
bir bolgenin kertesi en az 4⇒
∑r∈R dr ≥ 20
|E | ≥ 10 olmalı
ama |E | = 9
![Page 124: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/124.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K3,3 duzlemsel degildir. Tanıt.
|V | = 6, |E | = 9
duzlemsel ise |R| = 5 olmalı
bir bolgenin kertesi en az 4⇒
∑r∈R dr ≥ 20
|E | ≥ 10 olmalı
ama |E | = 9
![Page 125: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/125.jpg)
Duzlemsel Olmayan Cizgeler
Teorem
K3,3 duzlemsel degildir. Tanıt.
|V | = 6, |E | = 9
duzlemsel ise |R| = 5 olmalı
bir bolgenin kertesi en az 4⇒
∑r∈R dr ≥ 20
|E | ≥ 10 olmalı
ama |E | = 9
![Page 126: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/126.jpg)
Kuratowski Teoremi
Teorem
G’nin K5 ya da K3,3’e homeomorfik bir altcizgesi var.⇔
G duzlemsel degil.
![Page 127: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/127.jpg)
Platon Cisimleri
duzgun cokyuzlu: butun yuzleri birbirinin esiduzgun cokgenler olan uc boyutlu cisim
bir duzgun cokyuzlunun iki boyutlu duzleme izdusumuduzlemsel bir cizgedir
her kose bir dugumher kenar bir ayrıther yuz bir bolge
![Page 128: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/128.jpg)
Platon Cisimleri
duzgun cokyuzlu: butun yuzleri birbirinin esiduzgun cokgenler olan uc boyutlu cisim
bir duzgun cokyuzlunun iki boyutlu duzleme izdusumuduzlemsel bir cizgedir
her kose bir dugumher kenar bir ayrıther yuz bir bolge
![Page 129: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/129.jpg)
Platon Cisimleri
Ornek (kup)
![Page 130: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/130.jpg)
Platon Cisimleri
v : dugum (kose) sayısı
e: ayrıt (kenar) sayısı
r : bolge (yuz) sayısı
n: bir kosede birlesen yuz sayısı (dugum kertesi)
m: bir yuzu cevreleyen ayrıt sayısı (bolge kertesi)
m, n ≥ 3
2e = n · v2e = m · r
![Page 131: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/131.jpg)
Platon Cisimleri
v : dugum (kose) sayısı
e: ayrıt (kenar) sayısı
r : bolge (yuz) sayısı
n: bir kosede birlesen yuz sayısı (dugum kertesi)
m: bir yuzu cevreleyen ayrıt sayısı (bolge kertesi)
m, n ≥ 3
2e = n · v2e = m · r
![Page 132: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/132.jpg)
Platon Cisimleri
Euler formulunden:
2 = v − e + r =2e
n− e +
2e
m= e
(2m −mn + 2n
mn
)> 0
e,m, n > 0:
2m −mn + 2n > 0⇒ mn − 2m − 2n < 0
⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4⇒ (m − 2)(n − 2) < 4
bu esitsizligi saglayan degerler:
1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
![Page 133: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/133.jpg)
Platon Cisimleri
Euler formulunden:
2 = v − e + r =2e
n− e +
2e
m= e
(2m −mn + 2n
mn
)> 0
e,m, n > 0:
2m −mn + 2n > 0⇒ mn − 2m − 2n < 0
⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4⇒ (m − 2)(n − 2) < 4
bu esitsizligi saglayan degerler:
1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
![Page 134: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/134.jpg)
Platon Cisimleri
Euler formulunden:
2 = v − e + r =2e
n− e +
2e
m= e
(2m −mn + 2n
mn
)> 0
e,m, n > 0:
2m −mn + 2n > 0⇒ mn − 2m − 2n < 0
⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4⇒ (m − 2)(n − 2) < 4
bu esitsizligi saglayan degerler:
1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
![Page 135: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/135.jpg)
Platon Cisimleri
Euler formulunden:
2 = v − e + r =2e
n− e +
2e
m= e
(2m −mn + 2n
mn
)> 0
e,m, n > 0:
2m −mn + 2n > 0⇒ mn − 2m − 2n < 0
⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4⇒ (m − 2)(n − 2) < 4
bu esitsizligi saglayan degerler:
1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
![Page 136: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/136.jpg)
Platon Cisimleri
Euler formulunden:
2 = v − e + r =2e
n− e +
2e
m= e
(2m −mn + 2n
mn
)> 0
e,m, n > 0:
2m −mn + 2n > 0⇒ mn − 2m − 2n < 0
⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4⇒ (m − 2)(n − 2) < 4
bu esitsizligi saglayan degerler:
1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
![Page 137: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/137.jpg)
Tetrahedron - Duzgun Dort Yuzlu
m = 3, n = 3
![Page 138: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/138.jpg)
Hexahedron - Duzgun Altı Yuzlu
m = 4, n = 3
![Page 139: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/139.jpg)
Octahedron - Duzgun Sekiz Yuzlu
m = 3, n = 4
![Page 140: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/140.jpg)
Dodecahedron - Duzgun Oniki Yuzlu
m = 5, n = 3
![Page 141: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/141.jpg)
Icosahedron - Duzgun Yirmi Yuzlu
m = 3, n = 5
![Page 142: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/142.jpg)
Cizge Boyama
Tanım
G = (V ,E ) cizgesi icin bir duzgun boyama: f : V → CC bir renk kumesi
∀(vi , vj) ∈ E f (vi ) 6= f (vj)
|C | en kucuk olacak sekilde
![Page 143: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/143.jpg)
Cizge Boyama Ornegi
Ornek
kimyasal maddeler ureten bir firma
bazı maddeler birlikte tutulamıyor
birbiriyle tutulamayan maddeler farklı alanlara depolanmalı
en az sayıda depo alanı kullanılacak sekilde maddeleri depola
![Page 144: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/144.jpg)
Cizge Boyama Ornegi
Ornek
kimyasal maddeler ureten bir firma
bazı maddeler birlikte tutulamıyor
birbiriyle tutulamayan maddeler farklı alanlara depolanmalı
en az sayıda depo alanı kullanılacak sekilde maddeleri depola
![Page 145: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/145.jpg)
Cizge Boyama Ornegi
Ornek
her madde bir dugum
birlikte tutulamayan maddeler bitisik
![Page 146: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/146.jpg)
Cizge Boyama Ornegi
Ornek
![Page 147: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/147.jpg)
Cizge Boyama Ornegi
Ornek
![Page 148: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/148.jpg)
Cizge Boyama Ornegi
Ornek
![Page 149: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/149.jpg)
Cizge Boyama Ornegi
Ornek
![Page 150: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/150.jpg)
Kromatik Sayı
Tanım
G cizgesinin kromatik sayısı: χ(G )
G cizgesini boyamak icin gerekli en az renk sayısı
χ(G )’nin hesaplanması cok zor bir problem
χ(Kn) = n
![Page 151: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/151.jpg)
Kromatik Sayı
Tanım
G cizgesinin kromatik sayısı: χ(G )
G cizgesini boyamak icin gerekli en az renk sayısı
χ(G )’nin hesaplanması cok zor bir problem
χ(Kn) = n
![Page 152: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/152.jpg)
Kromatik Sayı Ornegi
Ornek (Herschel cizgesi)
kromatik sayı: 2
![Page 153: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/153.jpg)
Cizge Boyama Ornegi
Ornek (Sudoku)
her hucre bir dugum
aynı satırdaki hucreler bitisik
aynı sutundaki hucreler bitisik
aynı 3× 3’luk bloktaki hucrelerbitisik
her rakam bir renk
problem: kısmen boyalıbir cizgenin duzgun boyanması
![Page 154: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/154.jpg)
Cizge Boyama Ornegi
Ornek (Sudoku)
her hucre bir dugum
aynı satırdaki hucreler bitisik
aynı sutundaki hucreler bitisik
aynı 3× 3’luk bloktaki hucrelerbitisik
her rakam bir renk
problem: kısmen boyalıbir cizgenin duzgun boyanması
![Page 155: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/155.jpg)
Bolge Boyama
bir haritayı bitisik bolgelere farklı renkler atayacak sekildeboyama
Teorem (Dort Renk Teoremi)
Bir haritadaki bolgeleri boyamak icin dort renk yeterlidir.
![Page 156: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/156.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 157: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/157.jpg)
Cizgelerde Arama
G = (V ,E ) cizgesinin dugumlerininv1 dugumunden baslanarak aranması
derinlemesine
enlemesine
![Page 158: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/158.jpg)
Derinlemesine Arama
1 v ← v1,T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | icinde (v , vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak sekilde
en kucuk i ’yi bul
boyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v , vi )}, D = D ∪ {vi}, v ← vi , 2. adıma git
3 v = v1 ise sonuc T
4 v 6= v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
![Page 159: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/159.jpg)
Derinlemesine Arama
1 v ← v1,T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | icinde (v , vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak sekilde
en kucuk i ’yi bul
boyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v , vi )}, D = D ∪ {vi}, v ← vi , 2. adıma git
3 v = v1 ise sonuc T
4 v 6= v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
![Page 160: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/160.jpg)
Derinlemesine Arama
1 v ← v1,T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | icinde (v , vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak sekilde
en kucuk i ’yi bul
boyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v , vi )}, D = D ∪ {vi}, v ← vi , 2. adıma git
3 v = v1 ise sonuc T
4 v 6= v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
![Page 161: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/161.jpg)
Derinlemesine Arama
1 v ← v1,T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | icinde (v , vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak sekilde
en kucuk i ’yi bul
boyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v , vi )}, D = D ∪ {vi}, v ← vi , 2. adıma git
3 v = v1 ise sonuc T
4 v 6= v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
![Page 162: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/162.jpg)
Enlemesine Arama
1 T = ∅, D = {v1}, Q = (v1)
2 Q bos ise: sonuc T
3 Q bos degilse: v ← front(Q), Q ← Q − v2 ≤ i ≤ |V | icin (v , vi ) ∈ E ayrıtlarına bak:
vi /∈ D ise: Q = Q + vi , T = T ∪ {(v , vi )}, D = D ∪ {vi}3. adıma git
![Page 163: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/163.jpg)
Enlemesine Arama
1 T = ∅, D = {v1}, Q = (v1)
2 Q bos ise: sonuc T
3 Q bos degilse: v ← front(Q), Q ← Q − v2 ≤ i ≤ |V | icin (v , vi ) ∈ E ayrıtlarına bak:
vi /∈ D ise: Q = Q + vi , T = T ∪ {(v , vi )}, D = D ∪ {vi}3. adıma git
![Page 164: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/164.jpg)
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 11: An Introduction to Graph Theory
Chapter 7: Relations: The Second Time Around
7.2. Computer Recognition: Zero-One Matricesand Directed Graphs
![Page 165: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/165.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 166: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/166.jpg)
Agac
Tanım
agac: cevre icermeyen, baglı cizge
orman: baglı bilesenleri agaclar olan cizge
![Page 167: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/167.jpg)
Agac
Tanım
agac: cevre icermeyen, baglı cizge
orman: baglı bilesenleri agaclar olan cizge
![Page 168: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/168.jpg)
Agac Ornekleri
Ornek
![Page 169: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/169.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
Bir agacta herhangi iki farklı dugum arasındabir ve yalnız bir yol vardır.
agac baglı oldugu icin en az bir yol vardır
birden fazla yol olsaydı cevre olustururlardı
![Page 170: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/170.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
T = (V ,E ) bir agac olsun:
|E | = |V | − 1
tanıt yontemi: ayrıt sayısı uzerinden tumevarım
![Page 171: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/171.jpg)
Agac Teoremleri
Tanıt: taban adımı
|E | = 0⇒ |V | = 1
|E | = 1⇒ |V | = 2
|E | = 2⇒ |V | = 3
|E | ≤ k icin |E | = |V | − 1 varsayalım
![Page 172: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/172.jpg)
Agac Teoremleri
Tanıt: taban adımı
|E | = 0⇒ |V | = 1
|E | = 1⇒ |V | = 2
|E | = 2⇒ |V | = 3
|E | ≤ k icin |E | = |V | − 1 varsayalım
![Page 173: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/173.jpg)
Agac Teoremleri
Tanıt: tumevarım adımı.
|E | = k + 1
(y , z) ayrıtını cıkaralım:T1 = (V1,E1), T2 = (V2,E2)
|V | = |V1|+ |V2|= |E1|+ 1 + |E2|+ 1
= (|E1|+ |E2|+ 1) + 1
= |E |+ 1
![Page 174: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/174.jpg)
Agac Teoremleri
Tanıt: tumevarım adımı.
|E | = k + 1
(y , z) ayrıtını cıkaralım:T1 = (V1,E1), T2 = (V2,E2)
|V | = |V1|+ |V2|= |E1|+ 1 + |E2|+ 1
= (|E1|+ |E2|+ 1) + 1
= |E |+ 1
![Page 175: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/175.jpg)
Agac Teoremleri
Tanıt: tumevarım adımı.
|E | = k + 1
(y , z) ayrıtını cıkaralım:T1 = (V1,E1), T2 = (V2,E2)
|V | = |V1|+ |V2|= |E1|+ 1 + |E2|+ 1
= (|E1|+ |E2|+ 1) + 1
= |E |+ 1
![Page 176: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/176.jpg)
Agac Teoremleri
Tanıt: tumevarım adımı.
|E | = k + 1
(y , z) ayrıtını cıkaralım:T1 = (V1,E1), T2 = (V2,E2)
|V | = |V1|+ |V2|= |E1|+ 1 + |E2|+ 1
= (|E1|+ |E2|+ 1) + 1
= |E |+ 1
![Page 177: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/177.jpg)
Agac Teoremleri
Tanıt: tumevarım adımı.
|E | = k + 1
(y , z) ayrıtını cıkaralım:T1 = (V1,E1), T2 = (V2,E2)
|V | = |V1|+ |V2|= |E1|+ 1 + |E2|+ 1
= (|E1|+ |E2|+ 1) + 1
= |E |+ 1
![Page 178: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/178.jpg)
Agac Teoremleri
Tanıt: tumevarım adımı.
|E | = k + 1
(y , z) ayrıtını cıkaralım:T1 = (V1,E1), T2 = (V2,E2)
|V | = |V1|+ |V2|= |E1|+ 1 + |E2|+ 1
= (|E1|+ |E2|+ 1) + 1
= |E |+ 1
![Page 179: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/179.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
Bir agacta kertesi 1 olan en az iki dugum vardır.
Tanıt.
2|E | =∑
v∈V dv
kertesi 1 olan tek bir dugum oldugunu varsayalım:⇒ 2|E | ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E | ≥ 2|V | − 1⇒ |E | ≥ |V | − 1
2 > |V | − 1
![Page 180: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/180.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
Bir agacta kertesi 1 olan en az iki dugum vardır.
Tanıt.
2|E | =∑
v∈V dv
kertesi 1 olan tek bir dugum oldugunu varsayalım:⇒ 2|E | ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E | ≥ 2|V | − 1⇒ |E | ≥ |V | − 1
2 > |V | − 1
![Page 181: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/181.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
Bir agacta kertesi 1 olan en az iki dugum vardır.
Tanıt.
2|E | =∑
v∈V dv
kertesi 1 olan tek bir dugum oldugunu varsayalım:⇒ 2|E | ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E | ≥ 2|V | − 1⇒ |E | ≥ |V | − 1
2 > |V | − 1
![Page 182: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/182.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
Bir agacta kertesi 1 olan en az iki dugum vardır.
Tanıt.
2|E | =∑
v∈V dv
kertesi 1 olan tek bir dugum oldugunu varsayalım:⇒ 2|E | ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E | ≥ 2|V | − 1⇒ |E | ≥ |V | − 1
2 > |V | − 1
![Page 183: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/183.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
Bir agacta kertesi 1 olan en az iki dugum vardır.
Tanıt.
2|E | =∑
v∈V dv
kertesi 1 olan tek bir dugum oldugunu varsayalım:⇒ 2|E | ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E | ≥ 2|V | − 1⇒ |E | ≥ |V | − 1
2 > |V | − 1
![Page 184: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/184.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
Bir agacta kertesi 1 olan en az iki dugum vardır.
Tanıt.
2|E | =∑
v∈V dv
kertesi 1 olan tek bir dugum oldugunu varsayalım:⇒ 2|E | ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E | ≥ 2|V | − 1⇒ |E | ≥ |V | − 1
2 > |V | − 1
![Page 185: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/185.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
Bir agacta kertesi 1 olan en az iki dugum vardır.
Tanıt.
2|E | =∑
v∈V dv
kertesi 1 olan tek bir dugum oldugunu varsayalım:⇒ 2|E | ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E | ≥ 2|V | − 1⇒ |E | ≥ |V | − 1
2 > |V | − 1
![Page 186: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/186.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
T bir agactır (baglıdır ve cevre icermez).⇔
T’de her dugum cifti arasında bir ve yalnız bir yol vardır.⇔
T baglıdır ama herhangi bir ayrıt cıkarılırsa artık baglı olmaz.⇔
T cevre icermez ama herhangi iki dugum arasına bir ayrıt eklenirsebir ve yalnız bir cevre olusur.
![Page 187: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/187.jpg)
Agac Teoremleri
Teorem
T bir agactır (T baglıdır ve cevre icermez.)⇔
T baglıdır ve |E | = |V | − 1.⇔
T cevre icermez ve |E | = |V | − 1.
![Page 188: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/188.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 189: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/189.jpg)
Koklu Agac
dugumler arasında hiyerarsi tanımlanır
hiyerarsi ayrıtlara dogal bir yon verir⇒ giris ve cıkıs kerteleri
giris kertesi 0 olan dugum: kok
cıkıs kertesi 0 olan dugumler: yaprak
yaprak olmayan dugumler: icdugum
![Page 190: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/190.jpg)
Koklu Agac
dugumler arasında hiyerarsi tanımlanır
hiyerarsi ayrıtlara dogal bir yon verir⇒ giris ve cıkıs kerteleri
giris kertesi 0 olan dugum: kok
cıkıs kertesi 0 olan dugumler: yaprak
yaprak olmayan dugumler: icdugum
![Page 191: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/191.jpg)
Dugum Duzeyleri
Tanım
bir dugumun duzeyi: dugumun koke olan uzaklıgı
anne: bir ust duzeydeki bitisik dugum
cocuk: bir alt duzeydeki bitisik dugumler
kardes: aynı annenin cocugu olan dugumler
![Page 192: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/192.jpg)
Koklu Agac Ornegi
Ornek
kok: r
yapraklar: x y z u v
icdugumler: r p n t s q w
y dugumunun annesi: ww dugumunun cocukları: y ve z
y ve z kardes
![Page 193: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/193.jpg)
Koklu Agac Ornegi
OrnekKitap
B1
B1.1B1.2
B2
B3
B3.1B3.2
B3.2.1B3.2.2
B3.3
![Page 194: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/194.jpg)
Sıralı Koklu Agac
kardes dugumler soldan saga dogru sıralanır
evrensel adresleme sistemi
koke 0 adresini ver1. duzeydeki dugumlere soldan saga dogrusırayla 1, 2, 3, . . . adreslerini verv dugumunun adresi a ise, v dugumunun cocuklarınasoldan saga dogru sırayla a.1, a.2, a.3, . . . adreslerini ver
![Page 195: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/195.jpg)
Sozluk Sırası
Tanım
b ve c iki adres olsun.b’nin c’den once gelmesi icin asagıdakilerden biri saglanmalı:
1 b = a1a2 . . . amx1 . . .c = a1a2 . . . amx2 . . .x1 x2’den once gelir
2 b = a1a2 . . . am
c = a1a2 . . . amam+1 . . .
![Page 196: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/196.jpg)
Sozluk Sırası
Tanım
b ve c iki adres olsun.b’nin c’den once gelmesi icin asagıdakilerden biri saglanmalı:
1 b = a1a2 . . . amx1 . . .c = a1a2 . . . amx2 . . .x1 x2’den once gelir
2 b = a1a2 . . . am
c = a1a2 . . . amam+1 . . .
![Page 197: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/197.jpg)
Sozluk Sırası Ornegi
Ornek
0 - 1 - 1.1 - 1.2- 1.2.1 - 1.2.2 - 1.2.3- 1.2.3.1 - 1.2.3.2- 1.3 - 1.4 - 2- 2.1 - 2.2 - 2.2.1- 3 - 3.1 - 3.2
![Page 198: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/198.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 199: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/199.jpg)
Ikili Agaclar
Tanım
T = (V ,E ) bir ikili agac: ∀v ∈ V dvo ∈ {0, 1, 2}
T = (V ,E ) bir tam ikili agac: ∀v ∈ V dvo ∈ {0, 2}
![Page 200: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/200.jpg)
Islem Agacı
bir ikili islem bir ikili agacla temsil edilebilir
kokte islec, cocuklarda islenenler
her matematiksel ifade bir agacla temsil edilebilir
icdugumlerde islecler, yapraklarda degiskenler ve degerler
![Page 201: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/201.jpg)
Islem Agacı Ornekleri
Ornek (7− a) Ornek (a + b)
![Page 202: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/202.jpg)
Islem Agacı Ornekleri
Ornek ((7− a)/5) Ornek ((a + b) ↑ 3)
![Page 203: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/203.jpg)
Islem Agacı Ornekleri
Ornek (((7− a)/5) ∗ ((a + b) ↑ 3))
![Page 204: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/204.jpg)
Islem Agacı Ornekleri
Ornek (t + (u ∗ v)/(w + x − y ↑ z))
![Page 205: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/205.jpg)
Islem Agacında Gecisler
1 icek gecisi: sol altagacı tara, koke ugra, sag altagacı tara
2 onek gecisi: koke ugra, sol altagacı tara, sag altagacı tara
3 sonek gecisi: sol altagacı tara, sag altagacı tara, koke ugra
ters Polonyalı gosterilimi
![Page 206: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/206.jpg)
Icek Gecisi Ornegi
Ornek
t + u ∗ v / w + x − y ↑ z
![Page 207: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/207.jpg)
Onek Gecisi Ornegi
Ornek
+ t / ∗ u v + w − x ↑ y z
![Page 208: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/208.jpg)
Sonek Gecisi Ornegi
Ornek
t u v ∗ w x y z ↑ − + / +
![Page 209: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/209.jpg)
Islem Agacının Degerlendirilmesi
icek gecisinde oncelik icin parantez gerekir
onek ve sonek gecislerinde parantez gerekmez
![Page 210: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/210.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 211: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/211.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 212: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/212.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 213: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/213.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 214: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/214.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 215: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/215.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 216: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/216.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 217: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/217.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 218: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/218.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 219: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/219.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 220: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/220.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 221: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/221.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 222: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/222.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 223: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/223.jpg)
Sonek Degerlendirme Ornegi
Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)
4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +
4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
![Page 224: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/224.jpg)
Duzenli Agac
Tanım
T = (V ,E ) bir m-li agac: ∀v ∈ V dvo ≤ m
T = (V ,E ) bir tam m-li agac: ∀v ∈ V dvo ∈ {0,m}
![Page 225: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/225.jpg)
Duzenli Agac Teoremi
Teorem
T = (V ,E ) bir tam m’li agac olsun.
n: dugum sayısı
l : yaprak sayısı
i : icdugum sayısı
O halde:
n = m · i + 1
l = n − i = m · i + 1− i = (m − 1) · i + 1
i =l − 1
m − 1
![Page 226: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/226.jpg)
Duzenli Agac Teoremi
Teorem
T = (V ,E ) bir tam m’li agac olsun.
n: dugum sayısı
l : yaprak sayısı
i : icdugum sayısı
O halde:
n = m · i + 1
l = n − i = m · i + 1− i = (m − 1) · i + 1
i =l − 1
m − 1
![Page 227: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/227.jpg)
Duzenli Agac Teoremi
Teorem
T = (V ,E ) bir tam m’li agac olsun.
n: dugum sayısı
l : yaprak sayısı
i : icdugum sayısı
O halde:
n = m · i + 1
l = n − i = m · i + 1− i = (m − 1) · i + 1
i =l − 1
m − 1
![Page 228: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/228.jpg)
Duzenli Agac Teoremi
Teorem
T = (V ,E ) bir tam m’li agac olsun.
n: dugum sayısı
l : yaprak sayısı
i : icdugum sayısı
O halde:
n = m · i + 1
l = n − i = m · i + 1− i = (m − 1) · i + 1
i =l − 1
m − 1
![Page 229: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/229.jpg)
Duzenli Agac Teoremi
Teorem
T = (V ,E ) bir tam m’li agac olsun.
n: dugum sayısı
l : yaprak sayısı
i : icdugum sayısı
O halde:
n = m · i + 1
l = n − i = m · i + 1− i = (m − 1) · i + 1
i =l − 1
m − 1
![Page 230: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/230.jpg)
Duzenli Agac Teoremi
Teorem
T = (V ,E ) bir tam m’li agac olsun.
n: dugum sayısı
l : yaprak sayısı
i : icdugum sayısı
O halde:
n = m · i + 1
l = n − i = m · i + 1− i = (m − 1) · i + 1
i =l − 1
m − 1
![Page 231: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/231.jpg)
Duzenli Agac Ornekleri
Ornek
27 oyuncunun katıldıgı bir tenis turnuvasında kac mac oynanır?
her oyuncu bir yaprak: l = 27
her mac bir icdugum: m = 2
mac sayısı: i = l−1m−1 = 27−1
2−1 = 26
![Page 232: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/232.jpg)
Duzenli Agac Ornekleri
Ornek
27 oyuncunun katıldıgı bir tenis turnuvasında kac mac oynanır?
her oyuncu bir yaprak: l = 27
her mac bir icdugum: m = 2
mac sayısı: i = l−1m−1 = 27−1
2−1 = 26
![Page 233: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/233.jpg)
Duzenli Agac Ornekleri
Ornek
25 adet elektrikli aygıtı 4’lu uzatmalarla tek bir prizebaglamak icin kac uzatma gerekir?
her aygıt bir yaprak: l = 25
her uzatma bir icdugum: m = 4
uzatma sayısı: i = l−1m−1 = 25−1
4−1 = 8
![Page 234: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/234.jpg)
Duzenli Agac Ornekleri
Ornek
25 adet elektrikli aygıtı 4’lu uzatmalarla tek bir prizebaglamak icin kac uzatma gerekir?
her aygıt bir yaprak: l = 25
her uzatma bir icdugum: m = 4
uzatma sayısı: i = l−1m−1 = 25−1
4−1 = 8
![Page 235: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/235.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 236: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/236.jpg)
Karar Agacları
Ornek
8 madeni paranın biri sahte (daha agır)
bir teraziyle sahtenin hangisi oldugu bulunacak
![Page 237: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/237.jpg)
Karar Agacları
Ornek (3 tartmada bulma)
![Page 238: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/238.jpg)
Karar Agacları
Ornek (2 tartmada bulma)
![Page 239: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/239.jpg)
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 12: Trees
12.1. Definitions and Examples12.2. Rooted Trees
![Page 240: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/240.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 241: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/241.jpg)
Agırlıklı Cizgeler
ayrıtlara etiket atanabilir:agırlık, uzunluk, maliyet, gecikme, olasılık, . . .
![Page 242: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/242.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 243: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/243.jpg)
En Kısa Yol
bir dugumden butun diger dugumlere en kısa yolları bulma:Dijkstra algoritması
![Page 244: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/244.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (baslangıc)
baslangıc: c
a (∞,−)
b (∞,−)
c (0,−)
f (∞,−)
g (∞,−)
h (∞,−)
![Page 245: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/245.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (c dugumunden - taban uzaklık=0)
c → f : 6, 6 <∞c → h : 11, 11 <∞
a (∞,−)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )
g (∞,−)
h (11, ch)
en yakın dugum: f
![Page 246: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/246.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (c dugumunden - taban uzaklık=0)
c → f : 6, 6 <∞c → h : 11, 11 <∞
a (∞,−)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )
g (∞,−)
h (11, ch)
en yakın dugum: f
![Page 247: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/247.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (c dugumunden - taban uzaklık=0)
c → f : 6, 6 <∞c → h : 11, 11 <∞
a (∞,−)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )
g (∞,−)
h (11, ch)
en yakın dugum: f
![Page 248: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/248.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (f dugumunden - taban uzaklık=6)
f → a : 6 + 11, 17 <∞f → g : 6 + 9, 15 <∞f → h : 6 + 4, 10 < 11
a (17, cfa)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (15, cfg)
h (10, cfh)
en yakın dugum: h
![Page 249: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/249.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (f dugumunden - taban uzaklık=6)
f → a : 6 + 11, 17 <∞f → g : 6 + 9, 15 <∞f → h : 6 + 4, 10 < 11
a (17, cfa)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (15, cfg)
h (10, cfh)
en yakın dugum: h
![Page 250: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/250.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (f dugumunden - taban uzaklık=6)
f → a : 6 + 11, 17 <∞f → g : 6 + 9, 15 <∞f → h : 6 + 4, 10 < 11
a (17, cfa)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (15, cfg)
h (10, cfh)
en yakın dugum: h
![Page 251: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/251.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (h dugumunden - taban uzaklık=10)
h→ a : 10 + 11, 21 ≮ 17
h→ g : 10 + 4, 14 < 15
a (17, cfa)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (14, cfhg)
h (10, cfh)√
en yakın dugum: g
![Page 252: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/252.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (h dugumunden - taban uzaklık=10)
h→ a : 10 + 11, 21 ≮ 17
h→ g : 10 + 4, 14 < 15
a (17, cfa)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (14, cfhg)
h (10, cfh)√
en yakın dugum: g
![Page 253: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/253.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (h dugumunden - taban uzaklık=10)
h→ a : 10 + 11, 21 ≮ 17
h→ g : 10 + 4, 14 < 15
a (17, cfa)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (14, cfhg)
h (10, cfh)√
en yakın dugum: g
![Page 254: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/254.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (g dugumunden - taban uzaklık=14)
g → a : 14 + 17, 31 ≮ 17
a (17, cfa)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (14, cfhg)√
h (10, cfh)√
en yakın dugum: a
![Page 255: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/255.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (g dugumunden - taban uzaklık=14)
g → a : 14 + 17, 31 ≮ 17
a (17, cfa)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (14, cfhg)√
h (10, cfh)√
en yakın dugum: a
![Page 256: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/256.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (g dugumunden - taban uzaklık=14)
g → a : 14 + 17, 31 ≮ 17
a (17, cfa)
b (∞,−)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (14, cfhg)√
h (10, cfh)√
en yakın dugum: a
![Page 257: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/257.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (a dugumunden - taban uzaklık=17)
a→ b : 17 + 5, 22 <∞
a (17, cfa)√
b (22, cfab)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (14, cfhg)√
h (10, cfh)√
son dugum: b
![Page 258: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/258.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (a dugumunden - taban uzaklık=17)
a→ b : 17 + 5, 22 <∞
a (17, cfa)√
b (22, cfab)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (14, cfhg)√
h (10, cfh)√
son dugum: b
![Page 259: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/259.jpg)
Dijkstra Algoritması Ornegi
Ornek (a dugumunden - taban uzaklık=17)
a→ b : 17 + 5, 22 <∞
a (17, cfa)√
b (22, cfab)
c (0,−)√
f (6, cf )√
g (14, cfhg)√
h (10, cfh)√
son dugum: b
![Page 260: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/260.jpg)
Konular
1 CizgelerGirisBaglılıkDuzlemsel CizgelerCizgelerde Arama
2 AgaclarGirisKoklu AgaclarIkili AgaclarKarar Agacları
3 Agırlıklı CizgelerGirisEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan Agac
![Page 261: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/261.jpg)
En Hafif Kapsayan Agac
Tanım
kapsayan agac:cizgenin butun dugumlerini iceren, agac ozellikleri tasıyanbir altcizgesi
Tanım
en hafif kapsayan agac:ayrıt agırlıklarının toplamının en az oldugu kapsayan agac
![Page 262: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/262.jpg)
En Hafif Kapsayan Agac
Tanım
kapsayan agac:cizgenin butun dugumlerini iceren, agac ozellikleri tasıyanbir altcizgesi
Tanım
en hafif kapsayan agac:ayrıt agırlıklarının toplamının en az oldugu kapsayan agac
![Page 263: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/263.jpg)
Kruskal Algoritması
Kruskal algoritması
1 i ← 1, e1 ∈ E , wt(e1) minimum
2 1 ≤ i ≤ n − 2 icin:su ana kadar secilen ayrıtlar e1, e2, . . . , ei isekalan ayrıtlardan oyle bir ei+1 sec ki:
wt(ei+1) minimum olsune1, e2, . . . , ei , ei+1 altcizgesi cevre icermesin
3 i ← i + 1
i = n − 1 ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olusanG altcizgesi bir en hafif kapsayan agactıri < n − 1 ⇒ 2. adıma git
![Page 264: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/264.jpg)
Kruskal Algoritması
Kruskal algoritması
1 i ← 1, e1 ∈ E , wt(e1) minimum
2 1 ≤ i ≤ n − 2 icin:su ana kadar secilen ayrıtlar e1, e2, . . . , ei isekalan ayrıtlardan oyle bir ei+1 sec ki:
wt(ei+1) minimum olsune1, e2, . . . , ei , ei+1 altcizgesi cevre icermesin
3 i ← i + 1
i = n − 1 ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olusanG altcizgesi bir en hafif kapsayan agactıri < n − 1 ⇒ 2. adıma git
![Page 265: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/265.jpg)
Kruskal Algoritması
Kruskal algoritması
1 i ← 1, e1 ∈ E , wt(e1) minimum
2 1 ≤ i ≤ n − 2 icin:su ana kadar secilen ayrıtlar e1, e2, . . . , ei isekalan ayrıtlardan oyle bir ei+1 sec ki:
wt(ei+1) minimum olsune1, e2, . . . , ei , ei+1 altcizgesi cevre icermesin
3 i ← i + 1
i = n − 1 ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olusanG altcizgesi bir en hafif kapsayan agactıri < n − 1 ⇒ 2. adıma git
![Page 266: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/266.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (baslangıc)
i ← 1
en dusuk agırlık: 1(e, g)
T = {(e, g)}
![Page 267: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/267.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (baslangıc)
i ← 1
en dusuk agırlık: 1(e, g)
T = {(e, g)}
![Page 268: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/268.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (baslangıc)
i ← 1
en dusuk agırlık: 1(e, g)
T = {(e, g)}
![Page 269: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/269.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (1 < 6)
en dusuk agırlık: 2(d , e), (d , f ), (f , g)
T = {(e, g), (d , f )}i ← 2
![Page 270: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/270.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (1 < 6)
en dusuk agırlık: 2(d , e), (d , f ), (f , g)
T = {(e, g), (d , f )}i ← 2
![Page 271: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/271.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (1 < 6)
en dusuk agırlık: 2(d , e), (d , f ), (f , g)
T = {(e, g), (d , f )}i ← 2
![Page 272: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/272.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (2 < 6)
en dusuk agırlık: 2(d , e), (f , g)
T = {(e, g), (d , f ), (d , e)}i ← 3
![Page 273: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/273.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (2 < 6)
en dusuk agırlık: 2(d , e), (f , g)
T = {(e, g), (d , f ), (d , e)}i ← 3
![Page 274: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/274.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (2 < 6)
en dusuk agırlık: 2(d , e), (f , g)
T = {(e, g), (d , f ), (d , e)}i ← 3
![Page 275: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/275.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (3 < 6)
en dusuk agırlık: 2(f , g) cevre olusturuyor
en dusuk agırlık: 3(c, e), (c, g), (d , g)(d , g) cevre olusturuyor
T = {(e, g), (d , f ), (d , e), (c, e)}i ← 4
![Page 276: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/276.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (3 < 6)
en dusuk agırlık: 2(f , g) cevre olusturuyor
en dusuk agırlık: 3(c, e), (c, g), (d , g)(d , g) cevre olusturuyor
T = {(e, g), (d , f ), (d , e), (c, e)}i ← 4
![Page 277: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/277.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (3 < 6)
en dusuk agırlık: 2(f , g) cevre olusturuyor
en dusuk agırlık: 3(c, e), (c, g), (d , g)(d , g) cevre olusturuyor
T = {(e, g), (d , f ), (d , e), (c, e)}i ← 4
![Page 278: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/278.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (3 < 6)
en dusuk agırlık: 2(f , g) cevre olusturuyor
en dusuk agırlık: 3(c, e), (c, g), (d , g)(d , g) cevre olusturuyor
T = {(e, g), (d , f ), (d , e), (c, e)}i ← 4
![Page 279: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/279.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (4 < 6)
T = {(e, g), (d , f ), (d , e),(c, e), (b, e)}i ← 5
![Page 280: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/280.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (4 < 6)
T = {(e, g), (d , f ), (d , e),(c, e), (b, e)}i ← 5
![Page 281: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/281.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (5 < 6)
T = {(e, g), (d , f ), (d , e),(c, e), (b, e), (a, b)}i ← 6
![Page 282: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/282.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (5 < 6)
T = {(e, g), (d , f ), (d , e),(c, e), (b, e), (a, b)}i ← 6
![Page 283: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/283.jpg)
Kruskal Algoritması Ornegi
Ornek (6 ≮ 6)
toplam agırlık: 17
![Page 284: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/284.jpg)
Prim Algoritması
Prim algoritması
1 i ← 1, v1 ∈ V , P = {v1}, N = V − {v1}, T = ∅2 1 ≤ i ≤ n − 1 icin:
P = {v1, v2, . . . , vi}, T = {e1, e2, . . . , ei−1}, N = V − Poyle bir vi+1 ∈ N dugumu sec ki, bir x ∈ P dugumu icine = (x , vi+1) /∈ T , wt(e) minimum olsunP ← P + {vi+1}, N ← N − {vi+1}, T ← T + {e}
3 i ← i + 1
i = n ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olusanG altcizgesi bir en hafif kapsayan agactıri < n ⇒ 2. adıma git
![Page 285: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/285.jpg)
Prim Algoritması
Prim algoritması
1 i ← 1, v1 ∈ V , P = {v1}, N = V − {v1}, T = ∅2 1 ≤ i ≤ n − 1 icin:
P = {v1, v2, . . . , vi}, T = {e1, e2, . . . , ei−1}, N = V − Poyle bir vi+1 ∈ N dugumu sec ki, bir x ∈ P dugumu icine = (x , vi+1) /∈ T , wt(e) minimum olsunP ← P + {vi+1}, N ← N − {vi+1}, T ← T + {e}
3 i ← i + 1
i = n ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olusanG altcizgesi bir en hafif kapsayan agactıri < n ⇒ 2. adıma git
![Page 286: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/286.jpg)
Prim Algoritması
Prim algoritması
1 i ← 1, v1 ∈ V , P = {v1}, N = V − {v1}, T = ∅2 1 ≤ i ≤ n − 1 icin:
P = {v1, v2, . . . , vi}, T = {e1, e2, . . . , ei−1}, N = V − Poyle bir vi+1 ∈ N dugumu sec ki, bir x ∈ P dugumu icine = (x , vi+1) /∈ T , wt(e) minimum olsunP ← P + {vi+1}, N ← N − {vi+1}, T ← T + {e}
3 i ← i + 1
i = n ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olusanG altcizgesi bir en hafif kapsayan agactıri < n ⇒ 2. adıma git
![Page 287: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/287.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (baslangıc)
i ← 1
P = {a}N = {b, c, d , e, f , g}T = ∅
![Page 288: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/288.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (baslangıc)
i ← 1
P = {a}N = {b, c, d , e, f , g}T = ∅
![Page 289: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/289.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (1 < 7)
T = {(a, b)}P = {a, b}N = {c, d , e, f , g}i ← 2
![Page 290: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/290.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (1 < 7)
T = {(a, b)}P = {a, b}N = {c, d , e, f , g}i ← 2
![Page 291: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/291.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (2 < 7)
T = {(a, b), (b, e)}P = {a, b, e}N = {c, d , f , g}i ← 3
![Page 292: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/292.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (2 < 7)
T = {(a, b), (b, e)}P = {a, b, e}N = {c, d , f , g}i ← 3
![Page 293: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/293.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (3 < 7)
T = {(a, b), (b, e), (e, g)}P = {a, b, e, g}N = {c, d , f }i ← 4
![Page 294: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/294.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (3 < 7)
T = {(a, b), (b, e), (e, g)}P = {a, b, e, g}N = {c, d , f }i ← 4
![Page 295: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/295.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (4 < 7)
T = {(a, b), (b, e), (e, g), (d , e)}P = {a, b, e, g , d}N = {c, f }i ← 5
![Page 296: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/296.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (4 < 7)
T = {(a, b), (b, e), (e, g), (d , e)}P = {a, b, e, g , d}N = {c, f }i ← 5
![Page 297: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/297.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (5 < 7)
T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d , e), (f , g)}P = {a, b, e, g , d , f }N = {c}i ← 6
![Page 298: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/298.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (5 < 7)
T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d , e), (f , g)}P = {a, b, e, g , d , f }N = {c}i ← 6
![Page 299: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/299.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (6 < 7)
T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d , e), (f , g), (c, g)}P = {a, b, e, g , d , f , c}N = ∅i ← 7
![Page 300: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/300.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (6 < 7)
T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d , e), (f , g), (c, g)}P = {a, b, e, g , d , f , c}N = ∅i ← 7
![Page 301: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/301.jpg)
Prim Algoritması Ornegi
Ornek (7 ≮ 7)
toplam agırlık: 17
![Page 302: Ayrık Matematik - Çizgeler](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022052205/5562ebc0d8b42ab47d8b5036/html5/thumbnails/302.jpg)
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 13: Optimization and Matching
13.1. Dijkstra’s Shortest Path Algorithm13.2. Minimal Spanning Trees:The Algorithms of Kruskal and Prim