ayrık matematik - bağıntılar ve fonksiyonlar
DESCRIPTION
Bağıntılar, bağıntı bileşkesi, evrik bağıntı, yansıma, bakışlılık, geçişlilik, eşdeğerlilik. Fonksiyonlar, evrik fonksiyon, birebir, örten, bijektif fonksiyonlar, güvercin deliği ilkesi, rekürsiyon.TRANSCRIPT
![Page 1: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/1.jpg)
Ayrık MatematikBagıntılar ve Fonksiyonlar
H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı
2001-2013
![Page 2: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/2.jpg)
Lisans
c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
You are free:
to Share – to copy, distribute and transmit the work
to Remix – to adapt the work
Under the following conditions:
Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).
Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.
Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.
Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
![Page 3: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/3.jpg)
Konular
1 BagıntılarGirisBagıntı NitelikleriEsdegerlilik
2 FonksiyonlarGirisGuvercin Deligi IlkesiRekursiyon
![Page 4: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/4.jpg)
Konular
1 BagıntılarGirisBagıntı NitelikleriEsdegerlilik
2 FonksiyonlarGirisGuvercin Deligi IlkesiRekursiyon
![Page 5: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/5.jpg)
Bagıntı
Tanım
bagıntı: α ⊆ A× B × C × · · · × N
coklu: bagıntının her bir elemanı
α ⊆ A× B: ikili bagıntı
aαb ile (a, b) ∈ α aynı
bagıntı gosterilimi:
cizimlematrisle
![Page 6: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/6.jpg)
Bagıntı
Tanım
bagıntı: α ⊆ A× B × C × · · · × N
coklu: bagıntının her bir elemanı
α ⊆ A× B: ikili bagıntı
aαb ile (a, b) ∈ α aynı
bagıntı gosterilimi:
cizimlematrisle
![Page 7: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/7.jpg)
Bagıntı
Tanım
bagıntı: α ⊆ A× B × C × · · · × N
coklu: bagıntının her bir elemanı
α ⊆ A× B: ikili bagıntı
aαb ile (a, b) ∈ α aynı
bagıntı gosterilimi:
cizimlematrisle
![Page 8: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/8.jpg)
Bagıntı
Tanım
bagıntı: α ⊆ A× B × C × · · · × N
coklu: bagıntının her bir elemanı
α ⊆ A× B: ikili bagıntı
aαb ile (a, b) ∈ α aynı
bagıntı gosterilimi:
cizimlematrisle
![Page 9: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/9.jpg)
Bagıntı Ornegi
Ornek
A = {a1, a2, a3, a4},B = {b1, b2, b3}α = {(a1, b1), (a1, b3), (a2, b2), (a2, b3), (a3, b1), (a3, b3), (a4, b1)}
b1 b2 b3
a1 1 0 1a2 0 1 1a3 1 0 1a4 1 0 0
Mα =
1 0 10 1 11 0 11 0 0
![Page 10: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/10.jpg)
Bagıntı Ornegi
Ornek
A = {a1, a2, a3, a4},B = {b1, b2, b3}α = {(a1, b1), (a1, b3), (a2, b2), (a2, b3), (a3, b1), (a3, b3), (a4, b1)}
b1 b2 b3
a1 1 0 1a2 0 1 1a3 1 0 1a4 1 0 0
Mα =
1 0 10 1 11 0 11 0 0
![Page 11: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/11.jpg)
Bagıntı Bileskesi
Tanım
bagıntı bileskesi:α ⊆ A× B, β ⊆ B × C olsunαβ = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C ,∃b ∈ B [aαb ∧ bβc]}
Mαβ = Mα ×Mβ
mantıksal islemlerle:1 : T , 0 : F , · : ∧,+ : ∨
![Page 12: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/12.jpg)
Bagıntı Bileskesi Ornegi
Ornek
![Page 13: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/13.jpg)
Bagıntı Bileskesi Matrisi Ornegi
Ornek
Mα =
1 0 00 0 10 1 10 1 01 0 1
Mβ =1 1 0 00 0 1 10 1 1 0
Mαβ =
1 1 0 00 1 1 00 1 1 10 0 1 11 1 1 0
![Page 14: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/14.jpg)
Bagıntı Bileskesinde Birlesme
bagıntı bileskesi birlesme ozelligi gosterir
(αβ)γ = α(βγ).
(a, d) ∈ (αβ)γ
⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]
⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
![Page 15: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/15.jpg)
Bagıntı Bileskesinde Birlesme
bagıntı bileskesi birlesme ozelligi gosterir
(αβ)γ = α(βγ).
(a, d) ∈ (αβ)γ
⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]
⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
![Page 16: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/16.jpg)
Bagıntı Bileskesinde Birlesme
bagıntı bileskesi birlesme ozelligi gosterir
(αβ)γ = α(βγ).
(a, d) ∈ (αβ)γ
⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]
⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
![Page 17: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/17.jpg)
Bagıntı Bileskesinde Birlesme
bagıntı bileskesi birlesme ozelligi gosterir
(αβ)γ = α(βγ).
(a, d) ∈ (αβ)γ
⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]
⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
![Page 18: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/18.jpg)
Bagıntı Bileskesinde Birlesme
bagıntı bileskesi birlesme ozelligi gosterir
(αβ)γ = α(βγ).
(a, d) ∈ (αβ)γ
⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]
⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
![Page 19: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/19.jpg)
Bagıntı Bileskesinde Birlesme
bagıntı bileskesi birlesme ozelligi gosterir
(αβ)γ = α(βγ).
(a, d) ∈ (αβ)γ
⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]
⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
![Page 20: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/20.jpg)
Bagıntı Bileskesinde Birlesme
bagıntı bileskesi birlesme ozelligi gosterir
(αβ)γ = α(βγ).
(a, d) ∈ (αβ)γ
⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]
⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
![Page 21: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/21.jpg)
Bagıntı Bileskesi Teoremleri
α, δ ⊆ A× B, veβ, γ ⊆ B × C olsun
α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ
α(β ∩ γ) ⊆ αβ ∩ αγ
(α ∪ δ)β = αβ ∪ δβ
(α ∩ δ)β ⊆ αβ ∩ δβ
(α ⊆ δ ∧ β ⊆ γ) ⇒ αβ ⊆ δγ
![Page 22: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/22.jpg)
Bagıntı Bileskesi Teoremleri
α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.
(a, c) ∈ α(β ∪ γ)
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]
⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)
∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]
⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ
⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
![Page 23: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/23.jpg)
Bagıntı Bileskesi Teoremleri
α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.
(a, c) ∈ α(β ∪ γ)
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]
⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)
∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]
⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ
⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
![Page 24: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/24.jpg)
Bagıntı Bileskesi Teoremleri
α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.
(a, c) ∈ α(β ∪ γ)
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]
⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)
∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]
⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ
⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
![Page 25: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/25.jpg)
Bagıntı Bileskesi Teoremleri
α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.
(a, c) ∈ α(β ∪ γ)
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]
⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)
∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]
⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ
⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
![Page 26: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/26.jpg)
Bagıntı Bileskesi Teoremleri
α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.
(a, c) ∈ α(β ∪ γ)
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]
⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)
∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]
⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ
⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
![Page 27: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/27.jpg)
Bagıntı Bileskesi Teoremleri
α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.
(a, c) ∈ α(β ∪ γ)
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]
⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)
∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]
⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ
⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
![Page 28: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/28.jpg)
Evrik Bagıntı
Tanım
α−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ α}
Mα−1 = MTα
![Page 29: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/29.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α−1)−1 = α
(α ∪ β)−1 = α−1 ∪ β−1
(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1
α−1 = α−1
(α− β)−1 = α−1 − β−1
α ⊂ β ⇒ α−1 ⊂ β−1
![Page 30: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/30.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
α−1 = α−1.
(b, a) ∈ α−1
⇔ (a, b) ∈ α
⇔ (a, b) /∈ α
⇔ (b, a) /∈ α−1
⇔ (b, a) ∈ α−1
![Page 31: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/31.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
α−1 = α−1.
(b, a) ∈ α−1
⇔ (a, b) ∈ α
⇔ (a, b) /∈ α
⇔ (b, a) /∈ α−1
⇔ (b, a) ∈ α−1
![Page 32: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/32.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
α−1 = α−1.
(b, a) ∈ α−1
⇔ (a, b) ∈ α
⇔ (a, b) /∈ α
⇔ (b, a) /∈ α−1
⇔ (b, a) ∈ α−1
![Page 33: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/33.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
α−1 = α−1.
(b, a) ∈ α−1
⇔ (a, b) ∈ α
⇔ (a, b) /∈ α
⇔ (b, a) /∈ α−1
⇔ (b, a) ∈ α−1
![Page 34: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/34.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
α−1 = α−1.
(b, a) ∈ α−1
⇔ (a, b) ∈ α
⇔ (a, b) /∈ α
⇔ (b, a) /∈ α−1
⇔ (b, a) ∈ α−1
![Page 35: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/35.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.
(b, a) ∈ (α ∩ β)−1
⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)
⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1
![Page 36: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/36.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.
(b, a) ∈ (α ∩ β)−1
⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)
⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1
![Page 37: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/37.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.
(b, a) ∈ (α ∩ β)−1
⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)
⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1
![Page 38: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/38.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.
(b, a) ∈ (α ∩ β)−1
⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)
⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1
![Page 39: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/39.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.
(b, a) ∈ (α ∩ β)−1
⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)
⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1
⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1
![Page 40: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/40.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α− β)−1 = α−1 − β−1.
(α− β)−1 = (α ∩ β)−1
= α−1 ∩ β−1
= α−1 ∩ β−1
= α−1 − β−1
![Page 41: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/41.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α− β)−1 = α−1 − β−1.
(α− β)−1 = (α ∩ β)−1
= α−1 ∩ β−1
= α−1 ∩ β−1
= α−1 − β−1
![Page 42: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/42.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α− β)−1 = α−1 − β−1.
(α− β)−1 = (α ∩ β)−1
= α−1 ∩ β−1
= α−1 ∩ β−1
= α−1 − β−1
![Page 43: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/43.jpg)
Evrik Bagıntı Teoremleri
(α− β)−1 = α−1 − β−1.
(α− β)−1 = (α ∩ β)−1
= α−1 ∩ β−1
= α−1 ∩ β−1
= α−1 − β−1
![Page 44: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/44.jpg)
Bileske Evrigi
Teorem
(αβ)−1 = β−1α−1
Tanıt.
(c, a) ∈ (αβ)−1
⇔ (a, c) ∈ αβ
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]
⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]
⇔ (c, a) ∈ β−1α−1
![Page 45: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/45.jpg)
Bileske Evrigi
Teorem
(αβ)−1 = β−1α−1
Tanıt.
(c, a) ∈ (αβ)−1
⇔ (a, c) ∈ αβ
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]
⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]
⇔ (c, a) ∈ β−1α−1
![Page 46: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/46.jpg)
Bileske Evrigi
Teorem
(αβ)−1 = β−1α−1
Tanıt.
(c, a) ∈ (αβ)−1
⇔ (a, c) ∈ αβ
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]
⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]
⇔ (c, a) ∈ β−1α−1
![Page 47: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/47.jpg)
Bileske Evrigi
Teorem
(αβ)−1 = β−1α−1
Tanıt.
(c, a) ∈ (αβ)−1
⇔ (a, c) ∈ αβ
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]
⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]
⇔ (c, a) ∈ β−1α−1
![Page 48: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/48.jpg)
Bileske Evrigi
Teorem
(αβ)−1 = β−1α−1
Tanıt.
(c, a) ∈ (αβ)−1
⇔ (a, c) ∈ αβ
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]
⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]
⇔ (c, a) ∈ β−1α−1
![Page 49: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/49.jpg)
Bileske Evrigi
Teorem
(αβ)−1 = β−1α−1
Tanıt.
(c, a) ∈ (αβ)−1
⇔ (a, c) ∈ αβ
⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]
⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]
⇔ (c, a) ∈ β−1α−1
![Page 50: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/50.jpg)
Konular
1 BagıntılarGirisBagıntı NitelikleriEsdegerlilik
2 FonksiyonlarGirisGuvercin Deligi IlkesiRekursiyon
![Page 51: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/51.jpg)
Bagıntı Nitelikleri
α ⊆ A× A
A kumesinde ikili bagıntı
αn ifadesi αα · · ·α anlamına gelsin
birim bagıntı: E = {(x , x) | x ∈ A}
![Page 52: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/52.jpg)
Bagıntı Nitelikleri
α ⊆ A× A
A kumesinde ikili bagıntı
αn ifadesi αα · · ·α anlamına gelsin
birim bagıntı: E = {(x , x) | x ∈ A}
![Page 53: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/53.jpg)
Bagıntı Nitelikleri
α ⊆ A× A
A kumesinde ikili bagıntı
αn ifadesi αα · · ·α anlamına gelsin
birim bagıntı: E = {(x , x) | x ∈ A}
![Page 54: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/54.jpg)
Yansıma
yansımalı
α ⊆ A× A∀a [aαa]
E ⊆ α
yansımasız:∃a [¬(aαa)]
ters yansımalı:∀a [¬(aαa)]
![Page 55: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/55.jpg)
Yansıma
yansımalı
α ⊆ A× A∀a [aαa]
E ⊆ α
yansımasız:∃a [¬(aαa)]
ters yansımalı:∀a [¬(aαa)]
![Page 56: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/56.jpg)
Yansıma
yansımalı
α ⊆ A× A∀a [aαa]
E ⊆ α
yansımasız:∃a [¬(aαa)]
ters yansımalı:∀a [¬(aαa)]
![Page 57: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/57.jpg)
Yansıma
yansımalı
α ⊆ A× A∀a [aαa]
E ⊆ α
yansımasız:∃a [¬(aαa)]
ters yansımalı:∀a [¬(aαa)]
![Page 58: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/58.jpg)
Yansıma Ornekleri
Ornek
R1 ⊆ {1, 2} × {1, 2}R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}
R1 yansımalıdır
Ornek
R2 ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}
R2 yansımasızdır
![Page 59: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/59.jpg)
Yansıma Ornekleri
Ornek
R1 ⊆ {1, 2} × {1, 2}R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}
R1 yansımalıdır
Ornek
R2 ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}
R2 yansımasızdır
![Page 60: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/60.jpg)
Yansıma Ornekleri
Ornek
R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)}
R ters yansımalıdır
![Page 61: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/61.jpg)
Yansıma Ornekleri
Ornek
R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | ab ≥ 0}
R yansımalıdır
![Page 62: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/62.jpg)
Bakıslılık
bakıslı
α ⊆ A× A∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))]∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)]
α−1 = α
bakıssız:∃a, b [(a 6= b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))]
ters bakıslı:∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))]
⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]
⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]
⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
![Page 63: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/63.jpg)
Bakıslılık
bakıslı
α ⊆ A× A∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))]∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)]
α−1 = α
bakıssız:∃a, b [(a 6= b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))]
ters bakıslı:∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))]
⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]
⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]
⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
![Page 64: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/64.jpg)
Bakıslılık
bakıslı
α ⊆ A× A∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))]∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)]
α−1 = α
bakıssız:∃a, b [(a 6= b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))]
ters bakıslı:∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))]
⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]
⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]
⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
![Page 65: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/65.jpg)
Bakıslılık
bakıslı
α ⊆ A× A∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))]∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)]
α−1 = α
bakıssız:∃a, b [(a 6= b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))]
ters bakıslı:∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))]
⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]
⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]
⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
![Page 66: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/66.jpg)
Bakıslılık
bakıslı
α ⊆ A× A∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))]∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)]
α−1 = α
bakıssız:∃a, b [(a 6= b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))]
ters bakıslı:∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))]
⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]
⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]
⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
![Page 67: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/67.jpg)
Bakıslılık
bakıslı
α ⊆ A× A∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))]∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)]
α−1 = α
bakıssız:∃a, b [(a 6= b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))]
ters bakıslı:∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))]
⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]
⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]
⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
![Page 68: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/68.jpg)
Bakıslılık
bakıslı
α ⊆ A× A∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))]∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)]
α−1 = α
bakıssız:∃a, b [(a 6= b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))]
ters bakıslı:∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))]
⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]
⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]
⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
![Page 69: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/69.jpg)
Bakıslılık
bakıslı
α ⊆ A× A∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))]∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)]
α−1 = α
bakıssız:∃a, b [(a 6= b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))]
ters bakıslı:∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))]
⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]
⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]
⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
![Page 70: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/70.jpg)
Bakıslılık Ornekleri
Ornek
R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)}
R bakıssızdır
![Page 71: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/71.jpg)
Bakıslılık Ornekleri
Ornek
R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | ab ≥ 0}
R bakıslıdır
![Page 72: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/72.jpg)
Bakıslılık Ornekleri
Ornek
R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R = {(1, 1), (2, 2)}
R bakıslı ve ters bakıslıdır
![Page 73: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/73.jpg)
Gecislilik
gecisli
α ⊆ A× A∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → (aαc)]
α2 ⊆ α
gecissiz:∃a, b, c [(aαb ∧ bαc) ∧ ¬(aαc)]
ters gecisli:∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → ¬(aαc)]
![Page 74: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/74.jpg)
Gecislilik
gecisli
α ⊆ A× A∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → (aαc)]
α2 ⊆ α
gecissiz:∃a, b, c [(aαb ∧ bαc) ∧ ¬(aαc)]
ters gecisli:∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → ¬(aαc)]
![Page 75: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/75.jpg)
Gecislilik
gecisli
α ⊆ A× A∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → (aαc)]
α2 ⊆ α
gecissiz:∃a, b, c [(aαb ∧ bαc) ∧ ¬(aαc)]
ters gecisli:∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → ¬(aαc)]
![Page 76: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/76.jpg)
Gecislilik
gecisli
α ⊆ A× A∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → (aαc)]
α2 ⊆ α
gecissiz:∃a, b, c [(aαb ∧ bαc) ∧ ¬(aαc)]
ters gecisli:∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → ¬(aαc)]
![Page 77: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/77.jpg)
Gecislilik Ornekleri
Ornek
R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)}
R ters gecislidir
![Page 78: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/78.jpg)
Gecislilik Ornekleri
Ornek
R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | ab ≥ 0}
R gecissizdir
![Page 79: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/79.jpg)
Evrik Bagıntı Nitelikleri
Teorem
Yansıma, bakıslılık ve gecislilik nitelikleri evrik bagıntıda korunur.
![Page 80: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/80.jpg)
Ortuler
yansımalı ortu:rα = α ∪ E
bakıslı ortu:sα = α ∪ α−1
gecisli ortu:tα =
⋃i=1,2,3,... αi = α ∪ α2 ∪ α3 ∪ · · ·
![Page 81: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/81.jpg)
Ortuler
yansımalı ortu:rα = α ∪ E
bakıslı ortu:sα = α ∪ α−1
gecisli ortu:tα =
⋃i=1,2,3,... αi = α ∪ α2 ∪ α3 ∪ · · ·
![Page 82: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/82.jpg)
Ortuler
yansımalı ortu:rα = α ∪ E
bakıslı ortu:sα = α ∪ α−1
gecisli ortu:tα =
⋃i=1,2,3,... αi = α ∪ α2 ∪ α3 ∪ · · ·
![Page 83: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/83.jpg)
Ozel Bagıntılar
once gelen - sonra gelen
R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | a− b = 1}
ters yansımalı
ters bakıslı
ters gecisli
![Page 84: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/84.jpg)
Ozel Bagıntılar
bitisiklik
R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | |a− b| = 1}
ters yansımalı
bakıslı
ters gecisli
![Page 85: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/85.jpg)
Ozel Bagıntılar
dar sıra
R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | a < b}
ters yansımalı
ters bakıslı
gecisli
![Page 86: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/86.jpg)
Ozel Bagıntılar
kısmi sıra
R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | a ≤ b}
yansımalı
ters bakıslı
gecisli
![Page 87: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/87.jpg)
Ozel Bagıntılar
onsıra
R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | |a| ≤ |b|}
yansımalı
bakıssız
gecisli
![Page 88: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/88.jpg)
Ozel Bagıntılar
sınırlı fark
R ⊆ Z× Z,m ∈ Z+
R = {(a, b) | |a− b| ≤ m}
yansımalı
bakıslı
gecissiz
![Page 89: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/89.jpg)
Ozel Bagıntılar
karsılastırılabilirlik
R ⊆ U× UR = {(a, b) | (a ⊆ b) ∨ (b ⊆ a)}
yansımalı
bakıslı
gecissiz
![Page 90: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/90.jpg)
Ozel Bagıntılar
kardeslik
ters yansımalı
bakıslı
gecisli
bir bagıntı nasıl bakıslı, gecisli ve yansımasız olabilir?
![Page 91: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/91.jpg)
Ozel Bagıntılar
kardeslik
ters yansımalı
bakıslı
gecisli
bir bagıntı nasıl bakıslı, gecisli ve yansımasız olabilir?
![Page 92: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/92.jpg)
Konular
1 BagıntılarGirisBagıntı NitelikleriEsdegerlilik
2 FonksiyonlarGirisGuvercin Deligi IlkesiRekursiyon
![Page 93: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/93.jpg)
Uyusma Bagıntıları
Tanım
uyusma bagıntısı: γ
yansımalı
bakıslı
cizerek gosterilimde oklar yerine cizgiler
matris gosterilimi merdiven seklinde
αα−1 bir uyusma bagıntısıdır
![Page 94: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/94.jpg)
Uyusma Bagıntıları
Tanım
uyusma bagıntısı: γ
yansımalı
bakıslı
cizerek gosterilimde oklar yerine cizgiler
matris gosterilimi merdiven seklinde
αα−1 bir uyusma bagıntısıdır
![Page 95: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/95.jpg)
Uyusma Bagıntıları
Tanım
uyusma bagıntısı: γ
yansımalı
bakıslı
cizerek gosterilimde oklar yerine cizgiler
matris gosterilimi merdiven seklinde
αα−1 bir uyusma bagıntısıdır
![Page 96: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/96.jpg)
Uyusma Bagıntısı Ornegi
Ornek
A = {a1, a2, a3, a4}R = {(a1, a1), (a2, a2),
(a3, a3), (a4, a4),
(a1, a2), (a2, a1),
(a2, a4), (a4, a2),
(a3, a4), (a4, a3)}
1 1 0 01 1 0 10 0 1 10 1 1 1
10 00 1 1
![Page 97: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/97.jpg)
Uyusma Bagıntısı Ornegi
Ornek
A = {a1, a2, a3, a4}R = {(a1, a1), (a2, a2),
(a3, a3), (a4, a4),
(a1, a2), (a2, a1),
(a2, a4), (a4, a2),
(a3, a4), (a4, a3)}
1 1 0 01 1 0 10 0 1 10 1 1 1
10 00 1 1
![Page 98: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/98.jpg)
Uyusma Bagıntısı Ornegi
Ornek (αα−1)
P: kisiler, L: dillerP = {p1, p2, p3, p4, p5, p6}L = {l1, l2, l3, l4, l5}
α ⊆ P × L
Mα =
1 1 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 11 0 1 1 00 0 0 1 00 1 1 0 0
Mα−1 =
1 1 0 1 0 01 1 0 0 0 10 0 1 1 0 10 0 0 1 1 00 0 1 0 0 0
![Page 99: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/99.jpg)
Uyusma Bagıntısı Ornegi
Ornek (αα−1)
P: kisiler, L: dillerP = {p1, p2, p3, p4, p5, p6}L = {l1, l2, l3, l4, l5}
α ⊆ P × L
Mα =
1 1 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 11 0 1 1 00 0 0 1 00 1 1 0 0
Mα−1 =
1 1 0 1 0 01 1 0 0 0 10 0 1 1 0 10 0 0 1 1 00 0 1 0 0 0
![Page 100: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/100.jpg)
Uyusma Bagıntısı Ornegi
Ornek (αα−1)
αα−1 ⊆ P × P
Mαα−1 =
1 1 0 1 0 11 1 0 1 0 10 0 1 1 0 11 1 1 1 1 10 0 0 1 1 01 1 1 1 0 1
![Page 101: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/101.jpg)
Uyusanlar Sınıfı
Tanım
uyusanlar sınıfı: C ⊆ A∀a, b [a ∈ C ∧ b ∈ C → aγb]
en ust uyusanlar sınıfı:baska bir uyusanlar sınıfının altkumesi degil
bir eleman birden fazla EUS’ye girebilir
eksiksiz ortu: Cγ
tum EUS’lerin olusturdugu kume
![Page 102: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/102.jpg)
Uyusanlar Sınıfı
Tanım
uyusanlar sınıfı: C ⊆ A∀a, b [a ∈ C ∧ b ∈ C → aγb]
en ust uyusanlar sınıfı:baska bir uyusanlar sınıfının altkumesi degil
bir eleman birden fazla EUS’ye girebilir
eksiksiz ortu: Cγ
tum EUS’lerin olusturdugu kume
![Page 103: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/103.jpg)
Uyusanlar Sınıfı
Tanım
uyusanlar sınıfı: C ⊆ A∀a, b [a ∈ C ∧ b ∈ C → aγb]
en ust uyusanlar sınıfı:baska bir uyusanlar sınıfının altkumesi degil
bir eleman birden fazla EUS’ye girebilir
eksiksiz ortu: Cγ
tum EUS’lerin olusturdugu kume
![Page 104: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/104.jpg)
Uyusanlar Sınıfı Ornegi
Ornek (αα−1)
C1 = {a4, a6}C2 = {a2, a4, a6}C3 = {a1, a2, a4, a6} (EUS)
Cγ(A) = {{a1, a2, a4, a6},{a3, a4, a6},{a4, a5}}
![Page 105: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/105.jpg)
Uyusanlar Sınıfı Ornegi
Ornek (αα−1)
C1 = {a4, a6}C2 = {a2, a4, a6}C3 = {a1, a2, a4, a6} (EUS)
Cγ(A) = {{a1, a2, a4, a6},{a3, a4, a6},{a4, a5}}
![Page 106: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/106.jpg)
Uyusanlar Sınıfı Ornegi
Ornek (αα−1)
C1 = {a4, a6}C2 = {a2, a4, a6}C3 = {a1, a2, a4, a6} (EUS)
Cγ(A) = {{a1, a2, a4, a6},{a3, a4, a6},{a4, a5}}
![Page 107: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/107.jpg)
Esdegerlilik Bagıntıları
Tanım
esdegerlilik bagıntısı: ε
yansımalı
bakıslı
gecisli
esdegerlilik sınıfları (bolmelemeler)
her eleman tek bir esdegerlilik sınıfına girer
eksiksiz ortu: Cε
![Page 108: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/108.jpg)
Esdegerlilik Bagıntıları
Tanım
esdegerlilik bagıntısı: ε
yansımalı
bakıslı
gecisli
esdegerlilik sınıfları (bolmelemeler)
her eleman tek bir esdegerlilik sınıfına girer
eksiksiz ortu: Cε
![Page 109: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/109.jpg)
Esdegerlilik Bagıntısı Ornegi
Ornek
R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | ∃m ∈ Z [a− b = 5m]}
R bagıntısı Z kumesini 5 esdegerlilik sınıfına bolmeler
![Page 110: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/110.jpg)
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 5: Relations and Functions
5.1. Cartesian Products and Relations
Chapter 7: Relations: The Second Time Around
7.1. Relations Revisited: Properties of Relations7.4. Equivalence Relations and Partitions
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 10: Relations
![Page 111: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/111.jpg)
Konular
1 BagıntılarGirisBagıntı NitelikleriEsdegerlilik
2 FonksiyonlarGirisGuvercin Deligi IlkesiRekursiyon
![Page 112: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/112.jpg)
Fonksiyonlar
Tanım
fonksiyon: f : X → Y∀x ∈ X ∀y1, y2 ∈ Y (x , y1), (x , y2) ∈ f ⇒ y1 = y2
X : tanım kumesi, Y : deger kumesi
y = f (x) ile (x , y) ∈ f aynı
y , x ’in f altındaki goruntusu
f : X → Y ve X1 ⊆ X olsunaltkume goruntusu: f (X1) = {f (x) | x ∈ X1}
![Page 113: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/113.jpg)
Fonksiyonlar
Tanım
fonksiyon: f : X → Y∀x ∈ X ∀y1, y2 ∈ Y (x , y1), (x , y2) ∈ f ⇒ y1 = y2
X : tanım kumesi, Y : deger kumesi
y = f (x) ile (x , y) ∈ f aynı
y , x ’in f altındaki goruntusu
f : X → Y ve X1 ⊆ X olsunaltkume goruntusu: f (X1) = {f (x) | x ∈ X1}
![Page 114: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/114.jpg)
Fonksiyonlar
Tanım
fonksiyon: f : X → Y∀x ∈ X ∀y1, y2 ∈ Y (x , y1), (x , y2) ∈ f ⇒ y1 = y2
X : tanım kumesi, Y : deger kumesi
y = f (x) ile (x , y) ∈ f aynı
y , x ’in f altındaki goruntusu
f : X → Y ve X1 ⊆ X olsunaltkume goruntusu: f (X1) = {f (x) | x ∈ X1}
![Page 115: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/115.jpg)
Altkume Goruntusu Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = x2
f (Z) = {0, 1, 4, 9, 16, . . . }
f ({−2, 1}) = {1, 4}
![Page 116: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/116.jpg)
Altkume Goruntusu Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = x2
f (Z) = {0, 1, 4, 9, 16, . . . }
f ({−2, 1}) = {1, 4}
![Page 117: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/117.jpg)
Fonksiyon Nitelikleri
Tanım
f : X → Y fonksiyonu birebir (ya da injektif):∀x1, x2 ∈ X f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
Tanım
f : X → Y fonksiyonu orten (ya da surjektif):∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y
f (X ) = Y
Tanım
f : X → Y fonksiyonu bijektif:f fonksiyonu birebir ve orten
![Page 118: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/118.jpg)
Fonksiyon Nitelikleri
Tanım
f : X → Y fonksiyonu birebir (ya da injektif):∀x1, x2 ∈ X f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
Tanım
f : X → Y fonksiyonu orten (ya da surjektif):∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y
f (X ) = Y
Tanım
f : X → Y fonksiyonu bijektif:f fonksiyonu birebir ve orten
![Page 119: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/119.jpg)
Fonksiyon Nitelikleri
Tanım
f : X → Y fonksiyonu birebir (ya da injektif):∀x1, x2 ∈ X f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
Tanım
f : X → Y fonksiyonu orten (ya da surjektif):∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y
f (X ) = Y
Tanım
f : X → Y fonksiyonu bijektif:f fonksiyonu birebir ve orten
![Page 120: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/120.jpg)
Birebir Fonksiyon Ornekleri
Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7
f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2
⇒ x1 = x2
Karsı Ornek
g : Z → Zg(x) = x4 − x
g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0
![Page 121: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/121.jpg)
Birebir Fonksiyon Ornekleri
Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7
f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2
⇒ x1 = x2
Karsı Ornek
g : Z → Zg(x) = x4 − x
g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0
![Page 122: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/122.jpg)
Birebir Fonksiyon Ornekleri
Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7
f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2
⇒ x1 = x2
Karsı Ornek
g : Z → Zg(x) = x4 − x
g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0
![Page 123: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/123.jpg)
Birebir Fonksiyon Ornekleri
Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7
f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2
⇒ x1 = x2
Karsı Ornek
g : Z → Zg(x) = x4 − x
g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0
![Page 124: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/124.jpg)
Birebir Fonksiyon Ornekleri
Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7
f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2
⇒ x1 = x2
Karsı Ornek
g : Z → Zg(x) = x4 − x
g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0
![Page 125: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/125.jpg)
Birebir Fonksiyon Ornekleri
Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7
f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2
⇒ x1 = x2
Karsı Ornek
g : Z → Zg(x) = x4 − x
g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0
![Page 126: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/126.jpg)
Birebir Fonksiyon Ornekleri
Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7
f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2
⇒ x1 = x2
Karsı Ornek
g : Z → Zg(x) = x4 − x
g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0
![Page 127: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/127.jpg)
Birebir Fonksiyon Ornekleri
Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7
f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2
⇒ x1 = x2
Karsı Ornek
g : Z → Zg(x) = x4 − x
g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0
![Page 128: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/128.jpg)
Orten Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = x3
Karsı Ornek
f : Z → Zf (x) = 3x + 1
![Page 129: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/129.jpg)
Orten Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = x3
Karsı Ornek
f : Z → Zf (x) = 3x + 1
![Page 130: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/130.jpg)
Fonksiyon Bileskesi
Tanım
f : X → Y , g : Y → Z olsun
g ◦ f : X → Z(g ◦ f )(x) = g(f (x))
fonksiyon bileskesi degisme ozelligi gostermez
fonksiyon bileskesi birlesme ozelligi gosterir:f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h
![Page 131: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/131.jpg)
Fonksiyon Bileskesi
Tanım
f : X → Y , g : Y → Z olsun
g ◦ f : X → Z(g ◦ f )(x) = g(f (x))
fonksiyon bileskesi degisme ozelligi gostermez
fonksiyon bileskesi birlesme ozelligi gosterir:f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h
![Page 132: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/132.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Ornekleri
Ornek (degisme ozelligi)
f : R → Rf (x) = x2
g : R → Rg(x) = x + 5
g ◦ f : R → R(g ◦ f )(x) = x2 + 5
f ◦ g : R → R(f ◦ g)(x) = (x + 5)2
![Page 133: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/133.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Ornekleri
Ornek (degisme ozelligi)
f : R → Rf (x) = x2
g : R → Rg(x) = x + 5
g ◦ f : R → R(g ◦ f )(x) = x2 + 5
f ◦ g : R → R(f ◦ g)(x) = (x + 5)2
![Page 134: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/134.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Ornekleri
Ornek (degisme ozelligi)
f : R → Rf (x) = x2
g : R → Rg(x) = x + 5
g ◦ f : R → R(g ◦ f )(x) = x2 + 5
f ◦ g : R → R(f ◦ g)(x) = (x + 5)2
![Page 135: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/135.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Teoremleri
Teorem
f : X → Y , g : Y → Z olsunf birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir
Tanıt.
(g ◦ f )(a1) = (g ◦ f )(a2)⇒ g(f (a1)) = g(f (a2))⇒ f (a1) = f (a2)⇒ a1 = a2
![Page 136: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/136.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Teoremleri
Teorem
f : X → Y , g : Y → Z olsunf birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir
Tanıt.
(g ◦ f )(a1) = (g ◦ f )(a2)⇒ g(f (a1)) = g(f (a2))⇒ f (a1) = f (a2)⇒ a1 = a2
![Page 137: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/137.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Teoremleri
Teorem
f : X → Y , g : Y → Z olsunf birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir
Tanıt.
(g ◦ f )(a1) = (g ◦ f )(a2)⇒ g(f (a1)) = g(f (a2))⇒ f (a1) = f (a2)⇒ a1 = a2
![Page 138: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/138.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Teoremleri
Teorem
f : X → Y , g : Y → Z olsunf birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir
Tanıt.
(g ◦ f )(a1) = (g ◦ f )(a2)⇒ g(f (a1)) = g(f (a2))⇒ f (a1) = f (a2)⇒ a1 = a2
![Page 139: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/139.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Teoremleri
Teorem
f : X → Y , g : Y → Z olsunf birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir
Tanıt.
(g ◦ f )(a1) = (g ◦ f )(a2)⇒ g(f (a1)) = g(f (a2))⇒ f (a1) = f (a2)⇒ a1 = a2
![Page 140: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/140.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Teoremleri
Teorem
f : X → Y , g : Y → Z olsunf orten ∧ g orten ⇒ g ◦ f orten
Tanıt.
∀z ∈ Z ∃y ∈ Y g(y) = z∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y⇒ ∀z ∈ Z ∃x ∈ X g(f (x)) = z
![Page 141: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/141.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Teoremleri
Teorem
f : X → Y , g : Y → Z olsunf orten ∧ g orten ⇒ g ◦ f orten
Tanıt.
∀z ∈ Z ∃y ∈ Y g(y) = z∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y⇒ ∀z ∈ Z ∃x ∈ X g(f (x)) = z
![Page 142: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/142.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Teoremleri
Teorem
f : X → Y , g : Y → Z olsunf orten ∧ g orten ⇒ g ◦ f orten
Tanıt.
∀z ∈ Z ∃y ∈ Y g(y) = z∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y⇒ ∀z ∈ Z ∃x ∈ X g(f (x)) = z
![Page 143: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/143.jpg)
Fonksiyon Bileskesi Teoremleri
Teorem
f : X → Y , g : Y → Z olsunf orten ∧ g orten ⇒ g ◦ f orten
Tanıt.
∀z ∈ Z ∃y ∈ Y g(y) = z∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y⇒ ∀z ∈ Z ∃x ∈ X g(f (x)) = z
![Page 144: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/144.jpg)
Birim Fonksiyon
Tanım
birim fonksiyon: 1X
1X : X → X1X (x) = x
![Page 145: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/145.jpg)
Evrik Fonksiyon
Tanım
f : X → Y fonksiyonu evrilebilir:∃f −1 : Y → X [f −1 ◦ f = 1X ∧ f ◦ f −1 = 1Y ]
f −1: f fonksiyonunun evrigi
![Page 146: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/146.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 147: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/147.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 148: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/148.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 149: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/149.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 150: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/150.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 151: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/151.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 152: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/152.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 153: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/153.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 154: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/154.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 155: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/155.jpg)
Evrik Fonksiyon Ornekleri
Ornek
f : R → Rf (x) = 2x + 5
f −1 : R → Rf −1(x) = x−5
2
(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x
2 = x
(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5
2 + 5 = (x − 5) + 5 = x
![Page 156: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/156.jpg)
Fonksiyon Evrigi
Teorem
Bir fonksiyon evrilebilirse evrigi tektir.
Tanıt.
f : X → Y olsun
g , h : Y → X olsun, oyle ki:g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y
h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y
h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
![Page 157: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/157.jpg)
Fonksiyon Evrigi
Teorem
Bir fonksiyon evrilebilirse evrigi tektir.
Tanıt.
f : X → Y olsun
g , h : Y → X olsun, oyle ki:g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y
h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y
h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
![Page 158: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/158.jpg)
Fonksiyon Evrigi
Teorem
Bir fonksiyon evrilebilirse evrigi tektir.
Tanıt.
f : X → Y olsun
g , h : Y → X olsun, oyle ki:g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y
h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y
h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
![Page 159: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/159.jpg)
Fonksiyon Evrigi
Teorem
Bir fonksiyon evrilebilirse evrigi tektir.
Tanıt.
f : X → Y olsun
g , h : Y → X olsun, oyle ki:g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y
h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y
h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
![Page 160: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/160.jpg)
Fonksiyon Evrigi
Teorem
Bir fonksiyon evrilebilirse evrigi tektir.
Tanıt.
f : X → Y olsun
g , h : Y → X olsun, oyle ki:g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y
h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y
h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
![Page 161: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/161.jpg)
Fonksiyon Evrigi
Teorem
Bir fonksiyon evrilebilirse evrigi tektir.
Tanıt.
f : X → Y olsun
g , h : Y → X olsun, oyle ki:g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y
h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y
h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
![Page 162: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/162.jpg)
Fonksiyon Evrigi
Teorem
Bir fonksiyon evrilebilirse evrigi tektir.
Tanıt.
f : X → Y olsun
g , h : Y → X olsun, oyle ki:g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y
h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y
h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
![Page 163: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/163.jpg)
Fonksiyon Evrigi
Teorem
Bir fonksiyon evrilebilirse evrigi tektir.
Tanıt.
f : X → Y olsun
g , h : Y → X olsun, oyle ki:g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y
h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y
h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
![Page 164: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/164.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Teorem
Bir fonksiyon yalnız ve ancak birebir ve orten ise evrilebilir.
![Page 165: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/165.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Evrilebilir ise birebirdir.
f : A → B
f (a1) = f (a2)
⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))
⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)
⇒ 1A(a1) = 1A(a2)
⇒ a1 = a2
Evrilebilir ise ortendir.
f : A → B
b
= 1B(b)
= (f ◦ f −1)(b)
= f (f −1(b))
![Page 166: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/166.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Evrilebilir ise birebirdir.
f : A → B
f (a1) = f (a2)
⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))
⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)
⇒ 1A(a1) = 1A(a2)
⇒ a1 = a2
Evrilebilir ise ortendir.
f : A → B
b
= 1B(b)
= (f ◦ f −1)(b)
= f (f −1(b))
![Page 167: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/167.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Evrilebilir ise birebirdir.
f : A → B
f (a1) = f (a2)
⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))
⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)
⇒ 1A(a1) = 1A(a2)
⇒ a1 = a2
Evrilebilir ise ortendir.
f : A → B
b
= 1B(b)
= (f ◦ f −1)(b)
= f (f −1(b))
![Page 168: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/168.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Evrilebilir ise birebirdir.
f : A → B
f (a1) = f (a2)
⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))
⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)
⇒ 1A(a1) = 1A(a2)
⇒ a1 = a2
Evrilebilir ise ortendir.
f : A → B
b
= 1B(b)
= (f ◦ f −1)(b)
= f (f −1(b))
![Page 169: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/169.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Evrilebilir ise birebirdir.
f : A → B
f (a1) = f (a2)
⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))
⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)
⇒ 1A(a1) = 1A(a2)
⇒ a1 = a2
Evrilebilir ise ortendir.
f : A → B
b
= 1B(b)
= (f ◦ f −1)(b)
= f (f −1(b))
![Page 170: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/170.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Evrilebilir ise birebirdir.
f : A → B
f (a1) = f (a2)
⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))
⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)
⇒ 1A(a1) = 1A(a2)
⇒ a1 = a2
Evrilebilir ise ortendir.
f : A → B
b
= 1B(b)
= (f ◦ f −1)(b)
= f (f −1(b))
![Page 171: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/171.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Evrilebilir ise birebirdir.
f : A → B
f (a1) = f (a2)
⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))
⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)
⇒ 1A(a1) = 1A(a2)
⇒ a1 = a2
Evrilebilir ise ortendir.
f : A → B
b
= 1B(b)
= (f ◦ f −1)(b)
= f (f −1(b))
![Page 172: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/172.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Evrilebilir ise birebirdir.
f : A → B
f (a1) = f (a2)
⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))
⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)
⇒ 1A(a1) = 1A(a2)
⇒ a1 = a2
Evrilebilir ise ortendir.
f : A → B
b
= 1B(b)
= (f ◦ f −1)(b)
= f (f −1(b))
![Page 173: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/173.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Evrilebilir ise birebirdir.
f : A → B
f (a1) = f (a2)
⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))
⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)
⇒ 1A(a1) = 1A(a2)
⇒ a1 = a2
Evrilebilir ise ortendir.
f : A → B
b
= 1B(b)
= (f ◦ f −1)(b)
= f (f −1(b))
![Page 174: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/174.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Birebir ve orten ise evrilebilirdir.
f : A → B
f orten ⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b
g : B → A fonksiyonu a = g(b) ile belirlensin
g(b) = a1 6= a2 = g(b) olabilir mi?
f (a1) = b = f (a2) olması gerekir
olamaz: f birebir
![Page 175: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/175.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Birebir ve orten ise evrilebilirdir.
f : A → B
f orten ⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b
g : B → A fonksiyonu a = g(b) ile belirlensin
g(b) = a1 6= a2 = g(b) olabilir mi?
f (a1) = b = f (a2) olması gerekir
olamaz: f birebir
![Page 176: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/176.jpg)
Evrilebilir Fonksiyon
Birebir ve orten ise evrilebilirdir.
f : A → B
f orten ⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b
g : B → A fonksiyonu a = g(b) ile belirlensin
g(b) = a1 6= a2 = g(b) olabilir mi?
f (a1) = b = f (a2) olması gerekir
olamaz: f birebir
![Page 177: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/177.jpg)
Konular
1 BagıntılarGirisBagıntı NitelikleriEsdegerlilik
2 FonksiyonlarGirisGuvercin Deligi IlkesiRekursiyon
![Page 178: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/178.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi
Tanım
Guvercin Deligi Ilkesi (Dirichlet kutuları):m adet guvercin n adet delige yerlesirse ve m > n ise,en az bir delikte birden fazla guvercin vardır.
f : X → Y olsun:|X | > |Y | ise f birebir bir fonksiyon olamaz
∃x1, x2 ∈ X [x1 6= x2 ∧ f (x1) = f (x2)]
![Page 179: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/179.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi
Tanım
Guvercin Deligi Ilkesi (Dirichlet kutuları):m adet guvercin n adet delige yerlesirse ve m > n ise,en az bir delikte birden fazla guvercin vardır.
f : X → Y olsun:|X | > |Y | ise f birebir bir fonksiyon olamaz
∃x1, x2 ∈ X [x1 6= x2 ∧ f (x1) = f (x2)]
![Page 180: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/180.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornekleri
Ornek
367 kisinin arasında en az ikisinin dogum gunu aynıdır.
0 ile 100 arasında tamsayı notlar alınan bir sınavda,en az iki ogrencinin aynı notu almasının kesin olması icinsınava kac ogrenci girmis olmalıdır?
![Page 181: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/181.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornekleri
Ornek
367 kisinin arasında en az ikisinin dogum gunu aynıdır.
0 ile 100 arasında tamsayı notlar alınan bir sınavda,en az iki ogrencinin aynı notu almasının kesin olması icinsınava kac ogrenci girmis olmalıdır?
![Page 182: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/182.jpg)
Genellestirilmis Guvercin Deligi Ilkesi
Tanım
Genellestirilmis Guvercin Deligi Ilkesi:m adet nesne n adet kutuya dagıtılırsa,en az bir kutuda en az dm/ne adet nesne olur.
Ornek
100 kisinin arasında en az 9 kisi (d100/12e) aynı ayda dogmustur.
![Page 183: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/183.jpg)
Genellestirilmis Guvercin Deligi Ilkesi
Tanım
Genellestirilmis Guvercin Deligi Ilkesi:m adet nesne n adet kutuya dagıtılırsa,en az bir kutuda en az dm/ne adet nesne olur.
Ornek
100 kisinin arasında en az 9 kisi (d100/12e) aynı ayda dogmustur.
![Page 184: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/184.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S = {1,2,3,. . . ,9} kumesinin 6 elemanlı herhangi bir altkumesindetoplamı 10 olan iki sayı vardır.
![Page 185: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/185.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S kumesi en buyugu 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılarkumesi olsun. S’nin bos olmayan altkumelerinin elemantoplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.
Tanıt Denemesi
A ⊆ SsA : A’nın elemanlarının toplamı
delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69
guvercin: 26 − 1 = 63
Tanıt.
|A| ≤ 5 olan altkumelere bakalım.
delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60
guvercin: 26 − 2 = 62
![Page 186: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/186.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S kumesi en buyugu 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılarkumesi olsun. S’nin bos olmayan altkumelerinin elemantoplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.
Tanıt Denemesi
A ⊆ SsA : A’nın elemanlarının toplamı
delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69
guvercin: 26 − 1 = 63
Tanıt.
|A| ≤ 5 olan altkumelere bakalım.
delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60
guvercin: 26 − 2 = 62
![Page 187: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/187.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S kumesi en buyugu 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılarkumesi olsun. S’nin bos olmayan altkumelerinin elemantoplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.
Tanıt Denemesi
A ⊆ SsA : A’nın elemanlarının toplamı
delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69
guvercin: 26 − 1 = 63
Tanıt.
|A| ≤ 5 olan altkumelere bakalım.
delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60
guvercin: 26 − 2 = 62
![Page 188: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/188.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S kumesi en buyugu 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılarkumesi olsun. S’nin bos olmayan altkumelerinin elemantoplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.
Tanıt Denemesi
A ⊆ SsA : A’nın elemanlarının toplamı
delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69
guvercin: 26 − 1 = 63
Tanıt.
|A| ≤ 5 olan altkumelere bakalım.
delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60
guvercin: 26 − 2 = 62
![Page 189: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/189.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S kumesi en buyugu 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılarkumesi olsun. S’nin bos olmayan altkumelerinin elemantoplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.
Tanıt Denemesi
A ⊆ SsA : A’nın elemanlarının toplamı
delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69
guvercin: 26 − 1 = 63
Tanıt.
|A| ≤ 5 olan altkumelere bakalım.
delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60
guvercin: 26 − 2 = 62
![Page 190: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/190.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S = {1, 2, 3, . . . , 200} kumesinden secilecek 101 elemanın icindeen az bir cift vardır ki, ciftin bir elemanı digerini boler.
Tanıt Yontemi
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]oldugu gosterilecek
bu teorem kullanılarak asıl teorem tanıtlanacak
![Page 191: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/191.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S = {1, 2, 3, . . . , 200} kumesinden secilecek 101 elemanın icindeen az bir cift vardır ki, ciftin bir elemanı digerini boler.
Tanıt Yontemi
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]oldugu gosterilecek
bu teorem kullanılarak asıl teorem tanıtlanacak
![Page 192: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/192.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 193: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/193.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 194: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/194.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 195: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/195.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 196: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/196.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 197: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/197.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 198: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/198.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 199: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/199.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 200: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/200.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 201: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/201.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 202: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/202.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 203: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/203.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]
Varlık Tanıtı.
n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2
n = 2r1p1 · 2r2p2
n = 2r1+r2 · p1p2
Teklik Tanıtı.
tek degilse:
n = 2r1p1 = 2r2p2
⇒ 2r1−r2p1 = p2
⇒ 2|p2
![Page 204: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/204.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S = {1, 2, 3, . . . , 200} kumesinden secilecek 101 elemanın icindeen az bir cift vardır ki ciftin bir elemanı digerini boler.
Tanıt.
T = {t | t ∈ S ,∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100
let f : S → T , r ∈ Ns = 2r t → f (s) = t
S ’den 101 eleman secilirse en az ikisininT ’deki goruntusu aynı olur: f (s1) = f (s2) ⇒ 2m1t = 2m2t
s1s2
=2m1t
2m2t= 2m1−m2
![Page 205: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/205.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S = {1, 2, 3, . . . , 200} kumesinden secilecek 101 elemanın icindeen az bir cift vardır ki ciftin bir elemanı digerini boler.
Tanıt.
T = {t | t ∈ S ,∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100
let f : S → T , r ∈ Ns = 2r t → f (s) = t
S ’den 101 eleman secilirse en az ikisininT ’deki goruntusu aynı olur: f (s1) = f (s2) ⇒ 2m1t = 2m2t
s1s2
=2m1t
2m2t= 2m1−m2
![Page 206: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/206.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S = {1, 2, 3, . . . , 200} kumesinden secilecek 101 elemanın icindeen az bir cift vardır ki ciftin bir elemanı digerini boler.
Tanıt.
T = {t | t ∈ S ,∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100
let f : S → T , r ∈ Ns = 2r t → f (s) = t
S ’den 101 eleman secilirse en az ikisininT ’deki goruntusu aynı olur: f (s1) = f (s2) ⇒ 2m1t = 2m2t
s1s2
=2m1t
2m2t= 2m1−m2
![Page 207: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/207.jpg)
Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi
Teorem
S = {1, 2, 3, . . . , 200} kumesinden secilecek 101 elemanın icindeen az bir cift vardır ki ciftin bir elemanı digerini boler.
Tanıt.
T = {t | t ∈ S ,∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100
let f : S → T , r ∈ Ns = 2r t → f (s) = t
S ’den 101 eleman secilirse en az ikisininT ’deki goruntusu aynı olur: f (s1) = f (s2) ⇒ 2m1t = 2m2t
s1s2
=2m1t
2m2t= 2m1−m2
![Page 208: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/208.jpg)
Konular
1 BagıntılarGirisBagıntı NitelikleriEsdegerlilik
2 FonksiyonlarGirisGuvercin Deligi IlkesiRekursiyon
![Page 209: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/209.jpg)
Rekursif Fonksiyonlar
Tanım
rekursif fonksiyon: kendisi cinsinden tanımlanan fonksiyon
f (n) = h(f (m))
tumevarımla tanımlanan fonksiyon: her adımda boyutukuculenrekursif bir fonksiyon
f (n) =
{k n = 0h(f (n − 1)) n > 0
![Page 210: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/210.jpg)
Rekursiyon Orneklerii
Ornek
f 91(n) =
{n − 10 n > 100f 91(f 91(n + 11)) n ≤ 100
Ornek (faktoryel)
f (n) =
{1 n = 0n · f (n − 1) n > 0
![Page 211: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/211.jpg)
Rekursiyon Orneklerii
Ornek
f 91(n) =
{n − 10 n > 100f 91(f 91(n + 11)) n ≤ 100
Ornek (faktoryel)
f (n) =
{1 n = 0n · f (n − 1) n > 0
![Page 212: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/212.jpg)
Euclid Algoritması
Ornek (ortak bolenlerin en buyugu)
obeb(a, b) =
{b b|aobeb(b, a mod b) b - a
obeb(333, 84) = obeb(84, 333 mod 84)
= obeb(84, 81)
= obeb(81, 84 mod 81)
= obeb(81, 3)
= 3
![Page 213: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/213.jpg)
Euclid Algoritması
Ornek (ortak bolenlerin en buyugu)
obeb(a, b) =
{b b|aobeb(b, a mod b) b - a
obeb(333, 84) = obeb(84, 333 mod 84)
= obeb(84, 81)
= obeb(81, 84 mod 81)
= obeb(81, 3)
= 3
![Page 214: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/214.jpg)
Fibonacci Dizisi
Fibonacci dizisi
Fn = fib(n) =
1 n = 11 n = 2fib(n − 1) + fib(n − 2) n > 2
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 . . .1 1 2 3 5 8 13 21 . . .
![Page 215: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/215.jpg)
Fibonacci Dizisi
Teorem∑ni=1 Fi
2 = Fn · Fn+1
Tanıt.
n = 2 :∑2
i=1 Fi2 = F1
2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3
n = k :∑k
i=1 Fi2 = Fk · Fk+1
n = k + 1 :∑k+1
i=1 Fi2 =
∑ki=1 Fi
2 + Fk+12
= Fk · Fk+1 + Fk+12
= Fk+1 · (Fk + Fk+1)
= Fk+1 · Fk+2
![Page 216: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/216.jpg)
Fibonacci Dizisi
Teorem∑ni=1 Fi
2 = Fn · Fn+1
Tanıt.
n = 2 :∑2
i=1 Fi2 = F1
2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3
n = k :∑k
i=1 Fi2 = Fk · Fk+1
n = k + 1 :∑k+1
i=1 Fi2 =
∑ki=1 Fi
2 + Fk+12
= Fk · Fk+1 + Fk+12
= Fk+1 · (Fk + Fk+1)
= Fk+1 · Fk+2
![Page 217: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/217.jpg)
Fibonacci Dizisi
Teorem∑ni=1 Fi
2 = Fn · Fn+1
Tanıt.
n = 2 :∑2
i=1 Fi2 = F1
2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3
n = k :∑k
i=1 Fi2 = Fk · Fk+1
n = k + 1 :∑k+1
i=1 Fi2 =
∑ki=1 Fi
2 + Fk+12
= Fk · Fk+1 + Fk+12
= Fk+1 · (Fk + Fk+1)
= Fk+1 · Fk+2
![Page 218: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/218.jpg)
Fibonacci Dizisi
Teorem∑ni=1 Fi
2 = Fn · Fn+1
Tanıt.
n = 2 :∑2
i=1 Fi2 = F1
2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3
n = k :∑k
i=1 Fi2 = Fk · Fk+1
n = k + 1 :∑k+1
i=1 Fi2 =
∑ki=1 Fi
2 + Fk+12
= Fk · Fk+1 + Fk+12
= Fk+1 · (Fk + Fk+1)
= Fk+1 · Fk+2
![Page 219: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/219.jpg)
Fibonacci Dizisi
Teorem∑ni=1 Fi
2 = Fn · Fn+1
Tanıt.
n = 2 :∑2
i=1 Fi2 = F1
2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3
n = k :∑k
i=1 Fi2 = Fk · Fk+1
n = k + 1 :∑k+1
i=1 Fi2 =
∑ki=1 Fi
2 + Fk+12
= Fk · Fk+1 + Fk+12
= Fk+1 · (Fk + Fk+1)
= Fk+1 · Fk+2
![Page 220: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/220.jpg)
Fibonacci Dizisi
Teorem∑ni=1 Fi
2 = Fn · Fn+1
Tanıt.
n = 2 :∑2
i=1 Fi2 = F1
2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3
n = k :∑k
i=1 Fi2 = Fk · Fk+1
n = k + 1 :∑k+1
i=1 Fi2 =
∑ki=1 Fi
2 + Fk+12
= Fk · Fk+1 + Fk+12
= Fk+1 · (Fk + Fk+1)
= Fk+1 · Fk+2
![Page 221: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/221.jpg)
Fibonacci Dizisi
Teorem∑ni=1 Fi
2 = Fn · Fn+1
Tanıt.
n = 2 :∑2
i=1 Fi2 = F1
2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3
n = k :∑k
i=1 Fi2 = Fk · Fk+1
n = k + 1 :∑k+1
i=1 Fi2 =
∑ki=1 Fi
2 + Fk+12
= Fk · Fk+1 + Fk+12
= Fk+1 · (Fk + Fk+1)
= Fk+1 · Fk+2
![Page 222: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/222.jpg)
Ackermann Fonksiyonu
Ackermann fonksiyonu
ack(x , y) =
y + 1 x = 0ack(x − 1, 1) y = 0ack(x − 1, ack(x , y − 1)) x > 0 ∧ y > 0
![Page 223: Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar](https://reader035.vdocuments.us/reader035/viewer/2022081717/5562ebfdd8b42ad26c8b50c3/html5/thumbnails/223.jpg)
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 5: Relations and Functions
5.2. Functions: Plain and One-to-One5.3. Onto Functions: Stirling Numbers of the Second Kind5.5. The Pigeonhole Principle5.6. Function Composition and Inverse Functions
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 11: Functions