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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTASESCOLA DE ENGENHARIAENGENHARIA GEOLÓGICA

ALGEBRA LINEAR

SEGUNDA AULA

DETERMINANTES

Eng. Elet. Amilcar Barm

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DETERMINANTES

Na ala anteri!r "im!# $e ma matri% $a&ra&a ' a $e tem !me#m! n(mer! &e lin)a# e &e c!lna# *! #e+a, ' &! ti-! nn/.

A t!&a matri% $a&ra&a tem a##!cia&! m n(mer! a! $al&en!minam!# &e determinante.O &eterminante tem "1ria# a-lica23e# na 4atem1tica, na F5#ica e naEngen)aria, &entre ela# -!&em!# citar6

re#!l27! &e algn# ti-!# &e #i#tema# &e e$a23e# lineare#8

 -r!&t! "et!rial entre "et!re#8

em mec9nica $9ntica 8

c1lcl! &a 1rea &e m tri9ngl! #ita&! n! -lan! carte#ian!, $an&!#7! c!n)eci&a# a# c!!r&ena&a# &!# #e# "'rtice#8

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Para calclarm!# ! &eterminante, em -rimeir! lgar ' nece##1ri!&eterminar #a !r&em. A !r&em &e ma matri% $a&ra&a ' &a&a -el!#e n(mer! &e lin)a# ! c!lna#. De##e m!&!, ma matri% $e

-!##i m (nic! element!, ' ma 4ATRI: DE PRI4EIRA ORDE4 !4ATRI: DE ORDE4 ;8 ma matri% < < ' ma 4ATRI: DE SEGUNDAORDE4 ! 4ATRI: DE ORDE4

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4ATRI: DE SEGUNDA ORDE4

Da&a a matri% A &e !r&em &!i# A > ! #e &eterminante

#er1 calcla&! &a #eginte =!rma6

•  O &eterminante &e !r&em < -!##i ma &iag!nal -rinci-al e ma&iag!nal #ecn&1ria.

Diag!nal#ecn&1ria

Diag!nal-rim1ria

O c1lcl! &! #e "al!r nm'ric! ' =eit! -ela &i=eren2a &! -r!&t! &a&iag!nal -rinci-al c!m ! -r!&t! &a &iag!nal #ecn&1ria.

< */ > ;@ ; */ >

Det A > *;@/ > ;@ >

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4ATRI: DE TERCEIRA ORDE4

Da&a a matri% &e !r&em , B > ! "al!r nm'ric! &!

#e

 &eterminante ' calcla&! &a #eginte =!rma6

Primeir! re-re#entam!# e##a matri% em =!rma &e &eterminante ere-etim!# a# &a# -rimeira# c!lna#.

REGRA DE SARRUSRe-etim!# a# &a# -rimeira# c!lna# a-# a terceira c!lna, &e =!rma am!ntar ma matri% c!m lin)a# ma# c!m c!lna#.

4arcam!# &iag!nai# $e descem  em &ire27! a &ireita. O# -r!&t!#!Jti&!# na# &iag!nai# $e descem  -ara a &ireita &e"em ter ! #inal-!#iti"!. *;/ @ K @ ; *; @ K > ;

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4arcam!# ag!ra &iag!nai# $e descem na &ire27! e#$er&a. O#-r!&t!# !Jti&!# na# &iag!nai# $e descem na &ire27! e#$er&a&e"em ter ! #inal negati"!.

; @ K < @ *@ K@ @ > K@

 Tr!car ! #inal K@

Det B > * K@/ * ;/ > K@ ; > A REGRA DE SARRUS SÓ VALE PARA 4ATRI: DE TERCEIRA ORDE4

4ATRI:ES DE ORDENS SUPERIORES

Para calclarm!# ! &eterminante &e ma matri% $a&ra&a &e !r&em n' nece##1ri!, em -rimeir! lgar, enten&er ! c!nceit! &e COFATOR.O c!=at!r &! element! ai+ &e ma matri% $a&ra&a $al$er ' !Jti&! &a#eginte =!rma6

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De"em!# c!m-reen&er !# element!# &e##a e-re##7!. O "al!r A i+ ' +#tamente ! c!=at!r &! element! ai+ &a matri% A, en$ant! $eDi+ #er1 ! &eterminante &a matri% !Jti&a atra"'# &a matri% A,entretant! "!cM &e"er1 eclir &a matri% A !# element!# &a lin)a i e &ac!lna +. Fa2am!# m eem-l! -ara mel)!r c!m-reen#7! &e##ae-re##7! &! c!=at!r.Eem-l!6 Determine !# c!=at!re# &!# element!# a;;, a

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C!m i##!, -!&em!# calclar ! c!=at!r A;;.

De maneira #emel)ante -r!ce&erem!# c!m !# !tr!# c!=at!re#,"e+a6

4e#m! -r!ce&iment! -ara ! c!=at!r A6

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O# -r!ce&iment!# #7! t!&!# igai#, m&an&! a-ena# ! e-!ente &!term! *;/ e !# &eterminante# &e ca&a matri% Di+. C!m-reen&en&!e##e# c1lcl!#, ! c1lcl! &e &eterminante# -el! te!rema &e La-lace#e t!rna etremamente =1cil.

 TEORE4A DE LAPLACE

O te!rema &e La-lace c!n#i#te nm m't!&! &e calclar !&eterminante &e matri%e# $a&ra&a# &e !r&em n < tili%an&! !c!=at!r.

LemJrem!# $e ! c!=at!r &! element! ai+ &e ma matri% $a&ra&a '! n(mer!6

Para calclar ! &eterminante &e ma matri% 4 $a&ra&a &e !r&em n < tili%an&! ! Te!rema &e La-lace, &e"em!# -r!ce&er &a #eginte=!rma6

;. E#c!l)a $al$er la *lin)a ! c!lna/ &a matri% 4.

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C!m! +1 &i#-!m!# &e m't!&!# -r1tic!# -ara ! c1lcl! &!&eterminante &e matri%e# $a&ra&a# &e !r&em < e , ' intere##antea-licar ! Te!rema &e La-lace -ara matri%e# &e !r&em mai!r ! igal aK.

Eem-l!6

Calcle ! &eterminante &a matri% aJai! tili%an&! ! &i#-!#iti"!-r1tic! &e Sarr# e ! Te!rema &e La-lace.

Pel! m't!&! &e Sarr# tem!#6

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Pel! Te!rema &e La-lace6Primeir! e#c!l)em!# ma &a# lin)a# &a matri%. Vam!# e#c!l)er a lin)a