application of the pml absorbing layer model to the linear

32
HAL Id: inria-00073219 https://hal.inria.fr/inria-00073219 Submitted on 24 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear Elastodynamic Problem in Anisotropic Heteregeneous Media Francis Collino, Chrysoula Tsogka To cite this version: Francis Collino, Chrysoula Tsogka. Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear Elastodynamic Problem in Anisotropic Heteregeneous Media. [Research Report] RR-3471, INRIA. 1998. inria-00073219

Upload: others

Post on 18-Jun-2022

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

HAL Id: inria-00073219https://hal.inria.fr/inria-00073219

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Application of the PML Absorbing Layer Model to theLinear Elastodynamic Problem in Anisotropic

Heteregeneous MediaFrancis Collino, Chrysoula Tsogka

To cite this version:Francis Collino, Chrysoula Tsogka. Application of the PML Absorbing Layer Model to the LinearElastodynamic Problem in Anisotropic Heteregeneous Media. [Research Report] RR-3471, INRIA.1998. �inria-00073219�

Page 2: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Application of the PML absorbing layer model to thelinear elastodynamic problem in anisotropic

heteregeneous media

Francis COLLINO, Chrysoula TSOGKA

N ˚ 3471

Aout 1998

THEME 4

Page 3: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear
Page 4: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

������������� ����������� ������� ����� !�#"$������%&��'��("*)+�-,��(�.� �/� �����������0�"�(��1 2�3�-,�'4���)&���5��" �#�����0) ��������� !��� " �������5���6� �0" �7%8�(���7��9� *):�7,;��

<$=?>A@$BDCFEHGJI�K7K7L�MNI�OQPRG�S =UT2E�VXW YZ>\[-] I;^;_;`Na

bcedf�g#f�h�ikjmlng8oqpnrtsulwvmx4f�s6vzyqsul{g#ln|urDs}l{vzx~ f1|}�q|us dfUg�fU|6��vzg�yqp{f��qfU|

��� vD��f�s0��x ~ fU|� rDy�y�v � s ~ f � f�� c f � � c f�x��D�DhQ�Q�Ni��7v��o�s1���D�z��i��D��y�rt�zf�|

�H�3����� ��¡D�D¢7£ f¤y � f�|uf�xms2rzx ~ rzx�rtp{�Q¥�fRr7yAf �}¦ f���s}p{��g�rDsu� c f ~ rD§�|uv � §qlnxq�pnr?�Df � g�v ~ f�p ¦ v � s c f©¨zf�p{vQ��lwsZ�mªZ|}s � fU|u| ¦ v � g�oqpnrts}l{vzxv ¦ f�p{rz|}suv ~ �Qx�rDg#l{��|�« bc l{|pnr?�Df �6c rD|s c f�rD|us}vmxqln| c lnxq�Jy � vzyAf � sZ�Jv ¦ �DfUxqf � rtsul{xq�Jxqv � f�¬�fU��sulwvmxNrDss c f1lnxms}f ��¦ rz��f1§�f�sZ­¤f�f�xs c f ¦®� f�f0g#f ~ l{o�g¯rzx ~ s c f0r � s}lw°A��l{rDpArD§�|}v � §qlnxq��g#f ~ l{o�gN« bc ln|¤rDpwp{v ­7|Ro�|©s}v�vm§qsurDl{x�¨zf � ��p{v ­�|uy�o � l{vzo�| � f�¬�f���s}l{vzx�f�¨Df�x­l{s c ¨Df � �Hs c lnxNp{r?�zf � |�«Rjmf�¨zf � rtpef���yAf � l{g#fUxzs±|| c v ­²s c f1f�³-��l{f�x����4rzx ~ s c f1�DfUxqf � rtp{l{sZ�Jv ¦ s c f�g#v ~ f�p´«µ�¶m·e¸u¹�º � »3�D¢ rz§�|uv � §ql{x���pnr?�Df � |�¼qrD§�|uv � §qlnxq�#��vzx ~ lwsulwvmx�|�¼�g#lw�qf ~ °Axql{s}f�f�pwfUg�fUxmsu|�¼�rDxqln|}vzs � vzyqln�

½n¾#¿À}ÁFÂUà ¿À0Ä3ÅnÁFÆ´Ç�È

É�ÊÌË3Í�ÊÏÎ!ÐÏÑÓÒ�Ô�Õ�Ö?×�Ø?Ô�ÒÙÖ?ÑÓÚ}ÛÝÜ�ÞàßâáãØ?×ÙÛ äe×}Ô}áãÔFåU×±æ3ßàØUÑ´ßâáUÛ çwÑè ÊÌË3Í�ÊÏÎ!ÐÏÑÓÒ�Ô�Õ�Ö?×�Ø?Ô�ÒÙÖ?ÑÓÚ}Û�éeå?Ñ®êUëÓÒÙÖ?ÞâáUÛ ìÝë´ÒÙíÙîãá�æ3ßàØUÑ´ßâáUÛ çwÑUnite de recherche INRIA Rocquencourt

Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)Telephone : 01 39 63 55 11 - International : +33 1 39 63 55 11

Telecopie : (33) 01 39 63 53 30 - International : +33 1 39 63 53 30

Page 5: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

� ����������� ���#��,;9 )+�-,���(��� ,�� ��#9��©���7 ��� !�#"$����#�3�0 ���" �D��ã�3�()+�0�#�1,���4����7�0 ��Q��� ���¯�9 ��" �#�����0):� ,��5�����0��1 �� �-,�'4���):�� H9��/��������7���" ���0�

):�������09 ����6����0" �8%���0���5����� !��� " ��� �

���¶ ����� �¶ ¢�� vmo�|©y ���fU|}fUxzsuvzx�|3f�s©rDx�rDpw�q|uvzx�| o�xJg#v ~ df�pwf ~ f7��vzo�� c f�|Rrz§�|uv � §�rDxms}fU| y�r �}¦ rtl{s}fUg�fUxmsRr ~ rzyqs �f�f�|�� ���! #" y�vmo �pnr ¦ v � g�oqpnrts}l{vzx;f�x;¨Ql{s}fU|u|uf�ªZ��vmxzs � rDl{xmsuf�| ~ f�p%$ �f�pnrD|us}v ~ �qx�rDg#l'&QoqfD«)(¤f#g#v ~ df�pwf#rHpnrNy � vmy � l �f�s �f �f�s}vmx�x�rzxzsuf ~ fJxqf#� �fUx �f � f �rzo���o�x�f �*�f�¬�f���s}l{vzx y�r � rD|ulwsuf dr p%$ lnxms}f ��¦ rz��f�f�xms � f�pwf�g#l{pwl{f�o �f�p{rz|}sul+&QoqfNf�sJpnr ��vzo�� c f�rD§�|uv � §�rDxmsufD«�(¤fU��l0x�vzo�|JyAf � g#f�s~ $ vz§�s}f�x�l � ~ fU| �*�f�¬Af���sulwvmx�|Js ��dfU| ¦ rDl{§qp{f�|Ng4�f�g#f ~ rDx�|4p{f ��rD| ~ f ��vzo�� c fU|J°Ax�f�|�« � p{o�|ul{f�o � |Hf���y �f � l{f�x���f�|-xQo�g �f � l'&Qoqf�|g#vzxms � fUxzs6p%$ f�³-��rD��lws �f�f�spnr#� �fUx �f � rtp{l{s �f ~ o�g#v ~ df�pwfz«, º ��� ¸ ¡�- �¶ ¢ ��vmo�� c fU|RrD§�|uv � §�rzxzsuf�|�¼D��vmx ~ l{s}l{vzx�|¤rD§�|uv � §�rzxzsuf�|�¼ �f�pnrD|us}v ~ �qx�rzg#l+&Qoqfz¼ �f�p �fUg#f�xmsu|3°Ax�l{|�g#l �qs}fU|�¼QrDx�l{|uvDs � vmyqlwf

Page 6: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � �

E ������ ���=F ���#� �0�#�3

GIH%J ��� º » �3¡t�/K º J L

MON � - � º » ¶ -CP º �H��Q ¶ J ¶ � ��- ¶ RXº - �2�/K º JTS � º ��- ¶ � U

LVN � - � º » ¶ -CP º � ¶ -Ó����� º » · J ���WK®¡D� X��«w� bc f�f�p{rz|}suv ~ �qx�rDg#ln��y � vm§qpwfUg «1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« ���« � � p{rzxqf�­�r?¨zf�rzx�rtp{�q|}ln|�«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« �

��« ��«w� Y�xq°Axql{s}f8rz§�|}v � §�l{xq�#pnr?�Df � «1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« ���« ��« � Z lnxql{s}f8rz§�|}v � §�l{xq�#pnr?�Df � «�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« �

UV[]\ ¶ »:K®�U¡t� ¶ � ¶ N ,_^ � º » ¶ - G5GhA«w� bc fa`(l � l{f�oQ�4°Axql{s}f�ª ~ l)bXf � fUx���fU||u� c f�g#f²«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« �D�hA« � bc f(°Xxqlwsuf�ªFf�p{f�g#f�xms7|±� c f�g#f¯«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« �U�

cOd K®� S ¶ � �eK º J � J ��- · �/K®� G3c

fVg ��� ¶ �+K®¡D� - �-¶ ��� -®��� Gihj «w�Ik(vzg#vD�zf�xqf�vzo�|�¼Ql{|uvDs � vmyqln�0f�p{rz|}sul{��g#f ~ lno�g�ª7`0l � l{f�oQ��|u� c f�g#f(«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« ���j « �Ok(f�suf � vD�DfUxqf�vmo�|�¼mln|uvDs � vzy�l{�(f�pnrD|us}ln��g�f ~ lno�g�ª@`(l � lwfUoQ�N|±� c fUg�f «1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« � lj « �Vk(f�suf � vD�DfUxqf�vmo�|�¼mln|uvDs � vzy�l{�(f�pnrD|us}ln��g�f ~ lno�gN«CZ l{xql{s}f�ª´f�pwfUg#f�xms7|u� c f�g#f-«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« �q�j « h k(vzg#vD�zf�xqf�vzo�|�¼qrDxqln|uvDs � vzy�l{�(f�pnrD|us}ln��g�f ~ lno�gN«CZ l{xql{s}f�ª´f�pwfUg#f�xms7|u� c f�g#f�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« �t�j « m � f�¬�fU��s}l{vzx�(¤vQf�³-��l{f�xms±| «1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1«�«1«1«�«1«�«1« � h

XVn º J ¡�- �3�eK º J � M�f

o p �#� " �-,;9����$���#�

bc f�|}lng8o�p{rDs}l{vzx1v ¦ ­�r?¨zf�|�§m��°Axql{s}f�ª ~ l)bef � f�x���f�|!v � °Xxqlwsuf�ªFf�p{f�g#f�xms±|!g#f�s c v ~ |!l{x�o�xQ§�vmo�x ~ f ~�~ vzg�rDl{x�| � f &Qoql � fU|�r0|±y�fU��lw°A�s � fUrtsug#fUxzs ¦ v � s c f�§�vmo�x ~ r � l{f�|#v ¦ s c f�x�f���fU|u|±r � l{pw� s � o�x���rtsuf ~ ��vzg�y�o�surtsulwvmx�rtp ~ vmg�rtlnxÝ« b ­�v |uvDpnoqsulwvmx�| c r?¨Df�§�f�f�xy � vzyAvz|uf ~ ¦ v � s c ln|Jy�o � yAvz|ufrqNrD§�|uv � §qlnxq� §Avzo�x ~ r � �.��vzx ~ lwsulwvmx�| �Ó�ts�( " rzx ~ rz§�|}v � §�l{xq� p{r?�zf � |�«.�1s ( $ | c r?¨DfN§�f�f�xlnxms � v ~ o���f ~ §m�us�«wv�xq��&Qoqln|}s�rDx ~ �8« � r � ~ r ¦ v � s c f-rz��vmo�|}sul{��­6r?¨Df#f &Qo�rtsulwvmxTx �D�%y´« bc f�� ��vmx�|}ln|us�lnx r ~�~ l{xq��suvNs c f­6r?¨Df¤f &Qo�rtsulwvmx�|uvzg#f¤|±oql{surD§�pwf�pwvq��rtpQ§�vmo�x ~ r � �1��vmx ~ l{s}l{vzx�|3s c rts |}lng8o�p{rDs}f©s c f�vzoqsu�DvDlnxq��x�rts±o � f¤v ¦ s c f�­�r?¨zf�|�lng�yqlnxq�Dlnxq�vmx1s c f�§�v � ~ f � |�« bc l{|!g�f�s c v ~ ­¤v �;z |�y�r � sul{��oqpnr � pw�(­¤f�pwp ¦ v � rz§�|uv � §ql{x��­�r?¨zf�|�xqfUr � pw��xqv � g�rtp{p{�0lnx���l ~ f�xms!s}v0s c f¤r � sul °X��lnrtp§Avzo�x ~ r � lwfU|�«{ZAv � ­6r?¨DfU|$s � r?¨Df�pwlnxq�1vm§qpwl'&Qoqf�p{�D¼ c l{� c f � v � ~ f � �ts ( g8o�|us¤§Af�o�|}f ~ s}v#rD� c l{f�¨zf0rD����f�y�surD§�pwf0rz����o � rz���z¼5x �U�/yF«

ZAv � f�p{rz|}sul{�8­�r?¨zf�|�¼�s c f�|ulws±o�rtsulwvmx�ln|(g#v � f8��vzg�yqp{f��Ý«1Z l � |us�¼es c f�s � rDx�|±y�r � fUxzs(��vzx ~ lwsulwvmxݼXlÓ« fD«�s c f�f���rD��s0��vmx ~ l{s}l{vzx� f�pnrtsul{xq��xqv � g�rtpA|us � f�|±|©rzx ~-~ ln|±yqp{rz��fUg�fUxms©vzxHr1pwlnxqf ¦ v � vzoqsu�DvDlnxq��­6r?¨DfU|�¼zl{|�xqv�p{vzx��Df � r8|±��rDp{r � §�oqs6r�g�rts � lw�Jl{xms}f�� � vtª~ l)bef � f�xms}lnrtp � f�p{rDs}l{vzxÝ«4YZsu|(rDy�y � v?�ql{g�rDs}l{vzxN§z�Ny�r � s}lnrtp ~ l�bef � f�xmsul{rDp2f &Qo�rDs}l{vzx�|�¼�­ c ln� c ln|7s c f8o�|±o�rtp!­�r?�-suvHg�r z f��1s ((¼p{f�r ~ |s}v4r�¨Df � �H��vzg�yqp{f��N|u�q|}suf�g v ¦ f &Qo�rDs}l{vzx�|�¼�f�|±yAf���lnrtp{p{� ¦ v �0c lw� c f � v � ~ f � g#f�s c v ~ |�« bc f8|usurz§ql{pwl{sZ�Hv ¦ s c f8��vmo�yqp{f ~y � vz§�pwfUg ��vmg#yAvz|uf ~ v ¦ s c f1f�pnrD|us}v ~ �qx�rDg#ln�(|u�q|}suf�g ��vzg�yqp{f�suf ~ ­lws c s c fU|}f�r � sul °A��l{rDpÝ��vzx ~ lwsulwvmx�|ln|6s c fUxN¨Df � � ~ lw³-��oqp{ssuv;rDx�rDpw�Q¥�fJrzx ~ s c f-|ulws±o�rtsulwvmx ln|1f�¨Df�x g#v � fJl{xms � ln��rDs}f�­ c f�x ~ ln|±� � f�s}l{¥�rDs}l{vzx l{|8��vzx�|}l ~ f � f ~ ¼|x �+y´« b v�v ¨Df � ��vzg#f8s c f�|uf~ lw³-��oqp{s}l{f�|�¼'k0l{� ~ vmx}xâ��h+yF¼8x � j yF¼Qy � vmy�vm|}f ~ s}v8��vzg�§ql{x�f0|}f�¨Df � rDpQ° � |usRv � ~ f � §Avzo�x ~ r � �#��vzx ~ l{s}l{vzx�| ~ f�|ul{�zxqf ~ ¦ v � s c f0­6r?¨Dff�&mo�rts}l{vzx�¼3fUrD� c v ¦ s c fUg §Af�lnxq� rz|u|uvq��lnrtsuf ~ ­l{s c f�lws c f � s c fNy � fU|u|±o � f-­6r?¨Df�|�¨zf�p{vq��l{sZ� v � s c f4| c f�r � ­�r?¨zf�|1¨zf�p{vq��l{sZ�D«bc fU|}f���vmx ~ l{s}l{vzx�|�r � f0s c f�v � f�s}ln��rDpwp{�J|}s±rD§qp{fD¼~x �/m/yF¼ � f�p{rDs}l{¨Df�p{��f�rz|}��s}v�l{g�yqp{f�g#fUxzsrzx ~ f�³J��lwfUxms ¦ v � s c f(­6r?¨DfU|Rs � r?¨zf�p{l{xq�lnx r ~ l � f���sulwvmx\��pwvm|}fNs}v s c f�x�v � g#rDp6v ¦ s c f�r � s}lw°A��lnrtp§Avzo�x ~ r � lwfU|�« bc f�� ��rDx §�f�r ~ rDyqsuf ~ s}v s c f���rD|uf4v ¦ |±o ��¦ rz��f­6r?¨DfU|6s}vQv�¼{x ���"y´«4k0v ­�f�¨zf � ¼ ¦ v � vzs c f � ~ l � fU��sulwvmx�|v ¦ y � vzy�rt�zrDs}l{vzxݼQlng�y�v � s±rDxms0|±y�o � lwvmo�| � f�¬�f���s}l{vzx�|0g#r?�4vq����o � «jmvzg#frzoqs c v � |�¼wxâ�U��y ¦ v � lnx�|usurzx���fz¼ c r?¨zf0y � vzyAvz|uf ~ suv8vzy�s}lng�l{¥�f(s c f���vQf�³-��lwfUxzs±|©v ¦ k0l{� ~ vmx $ |©g#f�s c v ~ lnxJv � ~ f � s}v#g#r z f7s c f�|uf� f�¬�fU��sulwvmx�| ~ f�� � fUrD|ufD«-k(v ­¤f�¨Df � ¼2xQo�g#f � ln��rtp$f���y�f � lng#f�xmsu|1|us}l{pwp�| c v ­ � f�pnrts}l{¨Df�pw� |}s � vmxq�N|±y�o � l{vzo�| � f�¬�fU��sulwvmx�|�l{x.|uvzg#f|ulws±o�rtsulwvmx�|rDx ~ |usurz§ql{pwl{sZ�Hy � vz§qp{f�g�|6­ c fUx c lw� c f � v � ~ f � xQo�g#f � l{��rtp�|±� c f�g#f�|r � f�o�|uf ~ ¼:x ��l�y´«

r?�Df � |6g#v ~ f�pn|7r � f1rDx�rtp{s}f � x�rDs}l{¨Df�s}v-�ts ((« bc f1l ~ f�r�ln|s}v-|±o �±� vmo�x ~ s c f ~ vzg�rtlnxNv ¦ l{xmsuf � f�|us7§z�4|}vmg�f�r � sul °X��lnrtprz§�|}v � §�l{xq�.pnr?�Df � |�lnx�­ c ln� c ­�r?¨zf�|Jr � f�s � rzy�y�f ~ rDx ~ rDs}suf�xQo�rtsuf ~ «�ZAv � f�p{rz|}sul{��­6r?¨DfU|�¼|uf�¨zf � rtp7g#v ~ f�pn| c r?¨zf;§�f�f�xy � vzyAvz|uf ~ «�Z�v � l{x�|usurzx���fz¼zjmvq� c rD� z lQf�s rtp´«{¼�x ���"y�|uo��D�DfU|}s3s}v�r ~�~ lnx�|}l ~ f6s c f�pnr?�Df � |!|}vmg#f�rDs}s}fUxQo�rtsulwvmx�s}f � gN¼Dy � vmy�v � sulwvmx�rtpsuv4s c f8° � |us0sul{g#f ~ f � lw¨ rDs}l{¨Df8v ¦ s c f ~ ln|±yqp{rz��fUg�fUxms0s}vNs c f�f�p{rz|}suv ~ � ~ rDg#l{��f &Qo�rtsulwvmx�|�« bc ln|�s}fU� c xql'&mo�f�ln|0lnx�|±yql � f ~ §m���c �q|ul{��|8rzx ~ � f�¨DfUrtp{f ~ s}v §�f�&Qoql{s}f ~ f�p{l{��rts}f4l{x\y � rz��sul{��fD« bc fNg�rtlnx ~ lw³J��oqp{sZ� ln|�s c rDs�¼$­ c fUx f�xmsuf � l{xq� s c f4p{r?�zf � |�¼s c f�­�r?¨zf�|��u|uf�f�|��-s c fJ� c rDx��Df8lnx l{g�yAf ~ rzx���f#v ¦ s c fJg#f ~ lno�g*rzx ~ s c f�x ln| � f�¬Af���suf ~ r � s}lw°A��lnrtp{p{�Nlnxms}vNs c f ~ vmg�rtlnx;v ¦

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 7: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

h ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

lnxms}f � f�|us�« bc f1o�|uf�v ¦ |±g#vmvzs c rDx ~ xqvDs�s}vQv c lw� c rDs}s}fUxQo�rtsulwvmxHy � vt°�p{f�|�rtp{p{v ­7|¤o�|�suv�­�f�r z f�x-s c f ~ lw³-��oqp{sZ�-§�oqs � f &Qoql � fs c f�o�|uf1v ¦ s c ln� z pnr?�Df � |�¼wx �?�/y´«

Y�x1s c ln|3y�rDyAf � ¼U­�f¤y � vmy�vm|}fRsuv(r ~ rDyqs!r7pnr?�Df � s}f�� c xql+&Qoqf¤l{xms � v ~ o���f ~ lnx�x m/y ¦ v � s c f � rt�Q­�f�p{p%$ |2f &Qo�rtsulwvmx�|2§m�(s �f � f�x��Df �rzx ~ s c rts#ln|Jxqv ­ s c f�g#vz|us#­l ~ f�pw� o�|}f ~ g#f�s c v ~ ¦ v � s c f�|ul{g�oqp{rDs}l{vzx\v ¦ f�pwfU��s � vzg�rD�zxqf�s}ln�-­6r?¨Df�|�lnx\xqvmx §Avzo�x ~ f ~~ vmg�rtlnx�|�¼Cx j yF¼�x �/y´¼�x �t��y« bc ln|�s}f�� c xql+&Qoqf���vmx�|ul{|usu|(l{x ~ f�|ul{�zxqlnxq�4rzx;rD§�|}v � §qlnxq�-pnr?�Df � ��rtp{pwf ~ y�f ��¦ fU��supw�;g�rts±� c f ~ p{r?�zf �� ���! #" s c rtsJyAvz|±|}fU|u|uf�|�s c f�rz|}suvzxqln| c l{x�� y � vzyAf � sZ�.v ¦ �zf�xqf � rDs}lnxq� x�v � f�¬Af���sulwvmx\rDs�s c f�l{xms}f ��¦ rz��f�§�f�sZ­¤f�f�x\s c f ¦®� f�fg#f ~ l{o�g rDx ~ s c fHr � s}lw°A��l{rDpRrD§�|uv � §qlnxq�Ng#f ~ l{o�g4« bc l{|8y � vmy�f � sZ�;rDpwp{v ­ o�|1s}v;o�|ufJr�¨Df � � c l{� c ~ rzg�yql{x��;y�r � rDg#f�suf �lnx�|ul ~ f�s c f#pnr?�Df � rDx ~ ��vzx�|uf &QoqfUxms}p{�Nr4|ug�rtp{p2pnr?�Df � ­l ~ s c ­ c lwp{f�rz� c l{f�¨Ql{x��Hr &Qo�rz|}lwªFyAf �}¦ f���s0rD§�|}v � yqsulwvmx�v ¦ s c f8­6r?¨DfU|�«b v�vzo �{z xqv ­p{f ~ �zfD¼ s c l{|Rg#f�s c v ~ c rD|$§Af�fUx�rDp � f�r ~ ��o�|uf ~ vzxqp{��vzx���f ¦ v � f�pnrD|us}ln�¤­�r?¨zf�| |}lng8o�p{rDs}l{vzxÝ« Y�x�x ����yF¼Ds c frDoqs c v � |y � vzyAvz|uf�s c f#o�|}f�v ¦R��� ¦ v � s c f#��vzg�y � f�|±|}l{vzx�x�rtp2rzx ~ | c f�r � yAvDs}fUxms}lnrtpn| ¦ v � g�oqp{rDs}l{vzxÝ« Y�x;vmo � y�rzy�f � ¼es c f � �! r � flnx���v � yAv � rtsuf ~ l{xNs c f�|}s � fU|u|}ª´¨zf�p{vq��l{sZ� ¦ v � g8oqpnrtsulwvmxÝ«

bc f�y � fU|}fUxms7y�rDyAf � ln|7v � �mrDxql{¥�f ~ rz| ¦ vDp{p{v ­7|�«4Y�x�|}fU��sulwvmx;�#­¤f���vzx�|us � o���s0s c f � �! g#v ~ f�p!l{x�s c f��zf�xqf � rDp���rD|uf1v ¦rzxJf�¨zvDpnoqs}l{vzx�y � vz§qp{f�gN«{YZs©ln|©§�rD|uf ~ vzxJrzxJlnxzsuf � y � f�surDs}l{vzx#v ¦ s c f � �! g#v ~ f�pXv ¦ s �f � fUxq�Df � x m/yÝrD|¤r�� c rzxq�Df7v ¦ ¨?r � lnrD§�pwflnx�s c f���vmg�yqpwf��;yqp{rzxqf8�D« ¦ x �+yF¼Cxâ�U��y´«tY�x;|}fU��sulwvmx���¼X­¤f#rDy�yqp{�Ns c f#y � f�¨Qlwvmo�|0g#v ~ f�p3s}vHs c f�¨Df�p{vq��l{sZ�N|us � f�|±| ¦ v � g�oqpnrts}l{vzx¦ v � f�pnrD|us}v ~ �qx�rzg�ln��|1rzx ~ ­¤fJ|usuo ~ � s c fHy � vzyAf � s}l{f�|�v ¦ s c f-��vzxmsul{xQoqvmo�| ���! g#v ~ f�pR¨Ql{r�r�yqpnrDxqfJ­6r?¨Df�rDx�rtp{�Q|uln|�«-Y�xv � ~ f � suv#| c v ­ s c f(�zf�xqf � rDpwl{sZ�#v ¦ s c f � �! g�v ~ f�pÓ¼QsZ­�v#xQo�g#f � ln��rDpX|±� c f�g#fU|¤r � f�y � fU|}fUxms}f ~ �Ó|uf���sulwvmx-h " « bc f(° � |us�vzxqfln|�s c f���pnrD|±|}ln��rDp�`(l � lwfUoQ��°Axql{s}f�ª ~ l)bef � f�x���f�|�|u� c f�g#f�x �D�/y ­ c l{pwf#s c f#|uf���vzx ~ vmxqf8ln|�rHg#lw�Qf ~ °Ax�lwsuf�ªFf�p{f�g#f�xms(|±� c fUg�f x � y­ c ln� c rtp{pwv ­ o�|suv-��vzx�|}l ~ f � rzxqln|}vzs � vzyqln�(g#f ~ l{rJrz|6­¤f�pwp´« £ f1s c fUx�|}s±o ~ �4l{x�|uf���sulwvmx m8s c f�y � vzyAf � s}l{f�|6v ¦ s c f ~ ln|u� � f�s}fg#v ~ f�p2l{x�s c f���rz|}f�v ¦ s c f�°Axql{s}f�f�pwfUg�fUxms7|u� c fUg#f�lnxNs}f � g�|v ¦ r�xQo�g#f � l{��rtp ~ ln|±y�f � |ulwvmx�rDx�rDpw�q|ul{|�«{Z3lnx�rDpwp{�Hlnx�|}fU��s}l{vzx j­�f�y � f�|uf�xms7|}f�¨Df � rDpexQo�g#f � ln��rDp � fU|uoqp{su|7­ c l{� c | c v ­²s c f�f�³J��lwfUx����4v ¦ s c ln|0g#v ~ f�p�f�¨zf�xNl{xNs c f8��rz|}f�v ¦ c f�s}f � vz�Df�x�f�vzo�|�¼rzxql{|uvDs � vmyqln�0f�p{rz|}sul{�1g#f ~ l{r�rDx ~ l{su|7|±o�yAf � lwv � l{sZ�J­ c fUxN��vzg�y�r � f ~ suv#s c f���pnrD|±|ul{��rtpÝ�1s ( $ |7��vmx ~ l{s}l{vzx�|�«

� ):� )+�-,��(�\�t�#" /%8�0���(" ��\���#����94� ���#� ��" �#�����0)

£ f�­lwp{p0y � f�|uf�xms�lnx\s c l{|H|}fU��s}l{vzx s c f;§�rD|ul{��y � lnx���lnyqp{f�|�v ¦ s c f � « � « g�v ~ f�p7lnx\s c f��DfUxqf � rtp��rz|}f�v ¦ rDx f�¨zvDpnoqs}l{vzxy � vz§�pwfUg4« bc l{|­l{p{p2rtp{pwv ­ o�|s}v��zf�xqf � rDpwl{¥�f�l{ss}v�vDs c f � g#v ~ f�pn|v ¦ ­6r?¨Df�y � vzy�rD�zrtsulwvmxÝ« (¤vzx�|ul ~ f � r��DfUxqf � rtpef�¨zvDpnoqs}l{vzxy � vz§�pwfUg v ¦ s c f ¦ vzpwp{v ­lnxq� ¦ v � g4¼�yAvz|uf ~ lnxqlwsul{rDpwp{�HlnxNs c f�|±y�rz��f(Y ��

��� "����������������������� !�#" l�%$ "&� �(' " l ")"*��+-,�u� "

­ c f � f � l{|6r�.4ªF¨Df���s}v � ¼ � ln|6r�.0/#. g�rts � lw�-rDx ~ �1�� 2" 3457698

� 5 �� 7: ­l{s c;� 5 |uvzg#f�.</-. g�rDs � l{��f�|�« � v � f�v ¨Df � ¼z­¤frz|u|±o�g#f�s c rDss c f1lnxql{s}lnrtp2��vzx ~ l{s}l{vzx ��+ ln|7|uo�y�y�v � suf ~ l{x�Y � 3 = "?> ��@ ,BA 8 ,DCECF,GA

3"IH Y � 3 , @KJ lML1rz|| c v ­7xHlnx�Z3l{�zo � f��D«

0

support of

initial data

PML

x

y

Z l{�zo � f#��qIN(f�vmg#f�s � �-v ¦ s c f�y � vm§qp{f�gN«£ f1­¤vmoqp ~ p{l z f1s}v � f�yqpnrD��f�y � vm§qpwfUg �u� " §m�HrDxNf�&mo�lw¨ rtp{f�xms6vzx�f�y�vm|}f ~ lnx�s c f1p{f ¦ s c rtp ¦ ªF|±y�rD��fD«�ZAvDp{pwv ­lnxq��s c f�§�rD|ul{�

y � lnx���lnyqp{f8v ¦ s c f � �! g#v ~ f�p´¼Xs c rDs0ln| �7���6�+B����<�D�����-�PO%B� ���� �������2�3�9�)���6�|�3 � �PQ7!7�i ���SR������� � �PO#B�+�@��+� ��� ����� $"��&/�i���+� �PQ7!7�3��6� !"B��6������+�C�2�3�#$;�a�?! J º � ¶�T ¶ ¡D�eK º J �������(�����0�%$2�% �6�]+�8.9����+�C�2�3�UR��V�� » ¶ ¡t� ¶ ��� ¶ � ¶�W S º J ¶ J �eKÓ��- - · ���3!"�. �

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 8: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � m

�2�3� �)+*��#$ � £ f�° � |}s6lnxms � v ~ o���f1s c f ¦ vDp{pwv ­lnxq�J|}�q|us}fUg�#" � ��� ���� � � � ����� � " l��� � � ��������� " l ,

�F� "

­ c f � f0l{x ~ f����6g#f�rzx�|Rs c rts¤­¤f z f�fUy�vzxqp{�#s c f ~ f � lw¨ rDs}l{¨Df0y�r � rDpwp{f�p�s}v�s c f0lnxms}f �}¦ rD��fD¼mlÓ« fD« s c f A ª ~ f � lw¨ rDs}l{¨Df �®­ c lwp{f0lnx ~ f��� g#fUrDx�|�s c rDs8vmxqpw� s c f @�ª ~ f � lw¨ rtsulw¨zfHln|���vzx�|}l ~ f � f ~ " «�YZs8ln|�fUrD|u� suv |uf�f4s c rDs#|u�q|}suf�g �´� " ln|�f &Qoql{¨?rDpwfUxms8s}v �}� " ª �Ór " «jmfU��vmx ~ p{��­�f7lnxzs � v ~ o���f0|uvzg#f0yAvz|ulwsulw¨zf0|±��rtpnr �$¦ o�x���sulwvmx �(@ " ¼Q­ c l{� c ­l{p{pXyqpnr?�#s c f � vDp{f7v ¦ s c f ~ rDg�yqlnxq� ¦ rD��s}v � rDx ~ ­¤f~ f�°Axqf7r�xqf�­\­6r?¨DfD¼��3¼D|uvDpnoqs}l{vzx�v ¦ �}� " ª �Ór " lnx#s c fp{f ¦ s c rDp ¦ ªZ|±y�rD��f�rzx ~ |±rtsul{| ¦ �Ql{x���r�xqf�­ |u�q|}suf�g lnx#s c f � lw� c s c rDp ¦ ªZ|±y�rD��fD¼lnxm¨DvDp{¨Ql{x��#r ~ rzg�yql{x��#vmxHs c f�xqv � g�rtp���vzg�yAvzxqfUxzs�¼�|}v�s c rts �;|±rtsul{|}°�f�|

� � � ��� � � � ���1� � " l , @KJ l� ��' " l ")"*��+ , @ J l ,�´� "

rzx ~

� " � ��� � �� � � � � ��@ " � � ����� � � " l , @��Tl ,� � � � ���1� � " l , @�� l ,���(' " l ")" l , @��Tl C

�Óh "

�(xqvDs c f � ­6r?�Js}v-|uf�s6s c f ���! g#v ~ f�p2l{|suvJrD|±|uo�g#f�s c rts� �(@ " l{|6f��Qsuf�x ~ f ~ §m�-¥�f � v�lnx�Y � 3 = �(@ "�" l ,�� @��Tl ,

rzx ~ s c rDs ��� � , � � " ln|7|uvzoq� c s�lnx�Y � 3 |uvDpnoqsulwvmxHv ¦� � � � � ��@ " � ������� � � " l� � � � ����� � " l���(' " l ")"*� +­l{s c � " � ��� � � C

�7m "

Y ¦ ­¤f1p{vQv z#¦ v � s c f�|usurDs}l{vzx�r � �-|uvDpnoqsulwvmx�|�v ¦ |}�q|us}f�g �}� " ­l{s c4¦®� f &QoqfUx������7¼�­¤f��Df�s� �1�������� � �������� ��-" l C

Y�xNs c f�|urzg�f�­6r?�D¼qs c f�|}s±rtsulwvmx�r � �-|}vzp{o�s}l{vzx�|�v ¦ |u�Q|us}fUg �@m " ¼�|±rtsul{| ¦ �� � � � ��@ " " �� � ����� � �� " l� ���� � ����� �� " l­l{s c �� " �� � � �� � ,

v � ¼qf�&mo�lw¨ rtp{f�xmsupw�

� ���� � � � �� � � ��@ " ��� � �� " l

� ���� � ����� �� " l­l{s c �� " �� ��� �� �*C

£ fJ��rDx � fUg#r �;z xqv ­1¼es c rts;�� rzx ~ �� ¼Ý|urDs}ln| ¦ ��s c f�|urzg�f�f &Qo�rDs}l{vzx�|(l{x s c f�r � f�rH­ c f � f�Nln|�¥�f � v�¼X­ c f � fUrD|(l{x�|ul ~ f�s c fpnr?�Df � ¼Qs c f ���! g#v ~ f�p2��vzx�|uln|}s6lnx4s c f�|ul{g�yqp{f�|uo�§�|}sulws±oqs}l{vzx

����� ����1" � �� � � �(@ " ��� ,

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 9: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

j ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

­ c ln� c l{g�yqp{l{f�|s c f���vmg#y�pwf��4� c rDx��Df�v ¦ ¨?r � lnrD§�pwfU|�@��(@ "�" @ � ��

� �+ ��� " �� C

£ fH��rzx |usuo ~ � x�v ­�s c f-y � vmy�f � sulwfU|�v ¦ s c ln|8g#v ~ f�p©o�|ul{xq�;r�yqpnrDx�fJ­�r?¨zf#rzx�rtp{�q|}ln|�« £ fH|uf�f z y�r � s}ln��o�p{r � |}vzp{oqsulwvmx�|�v ¦|u�q|}suf�g �u� " lnx4s c f ¦ vDp{p{v ­l{xq� ¦ v � g

�#"*� +�� =��� � ��� ��� =�� ��� ,����UH Y �U � " � � � , � "IH Y � /�Y � 3 =�� , � H Y � C� j "

ZAv � g8oqpnr � j " ln|�r yqpnrDxqf4­�r?¨zf-y � vmy�rt�mrtsul{xq��lnx.s c f ~ l � f���sulwvmx � ­l{s c s c f�y c rD|uf-¨zf�p{vQ��lwsZ������� � � «uY�x.v � ~ f � suv §AfNr|uvDpnoqs}l{vzx4v ¦ y � vz§qp{f�g �}� " ¼�� c rD|7s}vJ|urDs}ln| ¦ �Hs c f ¦ vzpwp{v ­l{x�� � f�pnrtsulwvmx�|

� ��+ � � � ����+ � � � � �1��+ � " l C�Z� "Y�xNs c f�|urzg�f�­6r?�D¼q­�f1|}f�f z y�r � sul{��oqpnr � |}vzp{o�s}l{vzx�|6v ¦ |u�q|}suf�g �7m " lnx4s c f ¦ vDp{p{v ­l{xq� ¦ v � g

� � " � � � =��� � �� ��� � � � =�� ���� ��" � � � =!�"� � �� �#� � ��� =�� ���� " � ��� � � C

Y�xNv � ~ f � suv-§�f�r�|uvDpnoqs}l{vzx4v ¦ y � vz§qp{f�g �@m " ¼�� � rDx ~ � � c r?¨zf(suv-|urDs}ln| ¦ �Hs c f ¦ vzpwp{v ­l{x�� � f�pnrtsulwvmx�|� � � � � � � �%� � � � � " � 2" l

� � � � �(@ " " � � � �%$ � � � �(@ "� & � ��� � � � � " � � " l ,�´� "

v � ¼qf�&mo�lw¨ rtp{f�xmsupw�� � � � � � � �%� � � � � " � " l� � � � � � � ��� � � � � " � � " l C�´� "

� ~�~ lnxq�Js c f1sZ­�v�f &Qo�rDpwl{s}l{f�|6v ¦ �´� " ¼��Dl{¨Df�|� ��� � � � � " � � � � ��� � � � � " � � � � � ��� � � � � " � " l C�u�el "

£ f���rzx � f�g�r �;z xqv ­ s c rDs6l ¦ ­�f�� c vz|ufU� � rDx ~ � � |±o�� c s c rts� � � � � " ��+ ,

f�&mo�rts}l{vzx �}�/l " §Af���vzg#f�|6s c f�|urzg#f�rz| �F� " « � v � f�v ¨Df �©¦®� vzg �´� " ­�f��zf�s� � "*����+ �

�, � ��" ����+ � �

�,�u�D� "

­ c ln� c �Dl{¨DfU|¤s c f�yqpnrDxqf1­6r?¨Df�|uvDpnoqs}l{vzx4v ¦ �@m " « £ f1s c f�x c r?¨zf�s c f ¦ vzpwp{v ­l{x��#y � vzyAf � sZ�8q� �3�t�5�)+�8�1R��V��(' !#�+��Bi���� �����a!"*�!"�0�%,*),+�-��6+���6�1R�$"�����0�#�}���u�2�3�|�%�+$",

� " � +.� =��� � �#� ��� =�� ��� � =%/ �021 �354 6 � 4 6 , �5.>!% ���?! 74�"!98: �<; � ���W�2�3�-�<��6�1�3 � �PQ7!7�i ��� @ � l�= R �'��6� ,-�6+��!D�2�3 ��R��D�3�V����5� $;��> �6�#���� �T+� �����>�����7�#$2�%��6�?8>�2�3���) *��%$

,D�/.��#���?!��3�%$2�%�6�#����*-,D ������. �: � �?!]. +, �i�6.����u�2�3� $"��&/�i����+� �PQ7!7�3��6� =: �2�3�9.� ,t�5���A& �6�e�A@T�#��#���4���u�2�3�9��%!%� $#�%���'&��)+*��#$]�?!� ���(@ " �� � ��@ " � " � = / �0 1 �3 4 6 � 4 6 C

�H¶ �\�q��B GDC �+�@��6� ����+�4����� . +, �����A&��?! �FE#�i� �5�#���@�+��� *�.��6�%$���+!"���A& +�8.>��� .����i�#�5.+! �+������� . ��$;�6�%�@��+� ��� ��$;�"�ie& ���� �� � ����� R��V�� � �r� $;����$;�6�#�?!#�%� * = ����.��6�%$���+!#�"!�V+�%$"*��%+!"�A�%� $ R��V�����$��6�3#&A+�@���A&9�5� $",D ��� *]�0� �2�3�t�����0�%$2�% �6�a �5. ���5�#$;�6�!#�%!R ���%������� . ��$;�6�%�@��+� �����5$;�6�3#&A+�@��+� 6� ��$;�/��6�3�%! �2�3� �i $;+���<�%�:�7�>�����]�����7�#$2�%��6� �

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 10: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � �

� � ):� )+�-,��(�\�t�#" �0��1 2�3�H,�'4���):���

Y�x#s c l{|R|uf���s}l{vzx�­¤fy � f�|uf�xms s c f ���! g#v ~ f�p ¦ v � s c f7��vzxms}lnxQoqvzo�|3f�p{rz|}suv ~ �Qx�rDg#l{�6y � vz§�pwfUg4« �0| ­�f c r?¨Df|uf�fUx8lnx�|}fU��s}l{vzx�-­¤f z x�v ­ c v ­ s}vN��vzx�|}s � o���s(r ���! g�v ~ f�p ¦ v � rzx�f�¨zvDpnoqs}l{vzx y � vm§qp{f�g v ¦ s c f ¦ v � g �u� " « bc o�|�¼Alnx;v � ~ f � suv4rzy�yqp{�s c f1s}fU� c xql'&mo�f ~ f�|±� � l{§Af ~ l{x4s c f�y � f�¨Qlwvmo�|6|}fU��s}l{vzxHs}v�f�pnrD|us}v ~ �qx�rzg#l{��|¤­�f1xqf�f ~ suv�­ � l{s}f�s c f�f�p{rz|}suv ~ �qx�rDg#ln��y � vm§qpwfUglnx;s c f ¦ v � g v ¦ |}�q|us}f�g �u� " « bc ln|���rDx §�f#f�rz|}l{pw� ~ vmxqf�vmx���f8­¤f#��vzx�|}l ~ f � s c f#g#lw�Qf ~ ¨Df�pwvq��lwsZ�mªZ|}s � fU|u| ¦ v � g�oqpnrts}l{vzx ¦ v �f�p{rz|}suv ~ �Qx�rDg#l{��|�«����� ���� �����������������������! "�$#%�&'�£ fJ��vzx�|}l ~ f � s c f-�)( f�pnrD|us}v ~ �qx�rzg�ln�#y � vm§qp{f�g ­ � lwsus}f�x rD|�r4° � |}s�v � ~ f ��c �qy�f � §AvDp{l{�#|u�Q|us}fUgN¼Ýs c fJ|uvN��rtp{pwf ~ ¨Df�pwvq��lwsZ�mª|us � f�|±||}�q|us}fUg * � �� ' � »:K R + " l

� �,+� ' �.- � �*" " l� lnxql{s}lnrtp2��vzx ~ l{s}l{vzx�«

�u�U� "

£ f0|±o�y�yAvz|uf7rD| lnx�s c f7y � f�¨Ql{vzo�|$|uf���s}l{vzx#s c rts$s c f7l{x�lwsul{rDp���vmx ~ l{s}l{vzx#l{|©|uo�y�y�v � suf ~ l{xDY � 8 = «{Y�x �}�U� " �#" � � � ,B� " ~ f�x�vDs}fU|s c f1¨Df�pwvq��l{sZ�D¼ + s c f�|}s � fU|u|6suf�x�|uv � rzx ~ * " * �(@ " s c f ~ fUx�|ulwsZ�z«�Y ¦ � " ��� � , � " ln|s c f ~ l{|±yqpnrD��fUg#f�xms6s c fUx

�#" � �� ' C

£ f ~ f�x�vDs}f - � � " s c f ~ f ¦ v � g�rtsulwvmxHsuf�x�|uv � ¼ql´« fz«w¼- � 5 ��� ")" �� $ � � �� @ 5

� � � 5� @ � & C

bc f�|us � f�|±|6s}fUx�|uv � l{| � f�p{rDs}f ~ s}v�s c f ~ f ¦ v � g�rDs}l{vzx4s}f�x�|}v � §z��k0vQv z f $ |6p{r?­+ "�+ ��� " ��@ , ' "�"�/ ��@ "0- � � " �(@ , ' "2,­ c f � f / ��@ " ln|7r#h /4hJyAvz|ulwsulw¨zf�s}f�x�|}v �c r?¨Ql{xq��s c f���pnrD|±|}ln��rDpÝy � vmy�f � sulwfU|�v ¦ |}�qg�g#f�s � �rx �%yF«�Y�x�|}�q|us}f�g �}�U� " ­¤f1o�|uf ~

� " � ��@ "�"1/ =�� �(@ "UCZ lnx�rtp{pw�4­¤f�l ~ f�xmsul ¦ �4s c f1suf�x�|uv ��+ ­lws c s c f ¦ vzpwp{v ­l{x��#¨zf���s}v � �´|}sulwp{p ~ fUxqvDsuf ~ §m� +�"+ " x + � ,2+ 8 ,2+43 y � ,+ � "5+ �D�76 + 8 "5+ 86 +93�"5+ �D C£ f���rzx4­ � l{s}f �}�?� " l{xNs c f ¦ vDp{pwv ­lnxq�Jg�rts � lw� ¦ v � g* � �� ' ";: � �,+� A � : � �,+� @ lnx=<

� �,+� ' "5> � � �� A � >�� � �� @ lnx=< ,

­l{s c : � "@? lOl �l �IlBA , : � "C? � lVl

l l �DA ,> � "FEGGH l l

l ��� l

IKJJL , >���"MEGGH � ll l

l ��

IKJJL ,

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 11: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

� ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

£ f���rDx-rzy�yqp{�Jxqv ­ s c f�|±rDg#f7s}fU� c xql'&Qoqf�rz|©lnx-|uf���s}l{vzxH�8rDx ~ ­�f0�zf�s¤s c f ¦ vDp{pwv ­lnxq�#|}�q|us}f�g¯lnxJs c f � f ��¦ fU��s}p{� � rts±� c f ~ r?�Df � �(@ � l "

�-"*� � � � �* � � �� ' "5: � �,+� A* � � �� ' � ��@ "�� � "�: � �,+� @ ,rzx ~ + "5+ � � + �

� �,+ �� ' "5> � � �� A� �,+ �� ' � �(@ "��%+ � ";>�� � �� @ ,

­ c f � f� �(@ " ~ fUxqvDsuf�|©s c f ~ rzg�yql{x�� ¦ rD��s}v � «�Y�xJrzx c vzg#vz�Df�x�f�vzo�|�¼ ln|}vzs � vzyqln�6f�pnrD|us}ln�g#f ~ lno�gN¼ms c f0g�rDs � l � / �(@ " ~ f�yAf�x ~ |vmx4s c f rzg �f���vQf�³-��l{f�xmsu| ��� ,�� " v ¦ s c f�g#f ~ lno�gN«CY�x4s c ln|7��rD|uf�|u�q|}suf�g �u�U� " ��rDxN§Af1­ � l{s}suf�xNl{xNs c f ¦ vDp{pwv ­lnxq� ¦ v � g* � � �� ' " � + �D�

� @� �,+ �

� A 6 �,+ �D�� ' " ��� � � � " � � �� @

� � � � � A* � � � ' " �,+ � � @

� �,+ � A 6 �,+

� ' " ��� � � � " � � � A � � � � �� @6 �,+ �D � ' "�� � �� � @

� � � ���� A ,�u��� "

rzx ~ s c f � �! g�v ~ f�p2§Af���vmg#f�|�#" � � � � � 6 +K"5+ � � + �* � �� ' � ��@ " "�� �� " �,+ ��

� @ 6 * � � ��� ' " �,+ � � A* � �� ' � ��@ " "�� � " �,+ �

� @ 6 * � � � � ' " �,+ � A

� �� '� �(@ " "0+ ��D� " ��� � � � " � ���� @ 6 �,+ ��D�

� ' " � � �� � A� �� '

� �(@ " "0+ � " � � � �� @ 6 �,+ � � ' " ��� � � � " � � � A

� �� '� �(@ " "0+ ��D "�� � �� � @ 6 �,+ ��D

� ' "�� � ���� A C

�u��h "

����� ��&���� � �$����!���0�� ���L��?M��G H%J��{J KÌ� ¶ �q�3� º �U�{K J Q -®� ·A¶ �Y�x s c fJ��rD|uf�v ¦ r c vzg#vD�zf�xqf�vzo�|�¼el{|uvDs � vmyqln��f�pnrD|us}ln�#g�f ~ lno�gN¼ ¦ vDp{p{v ­l{xq�4s c fJ|±rDg#f#s}f�� c xql+&QoqfJrz|(lnx |}fU��s}l{vzx �q¼Ý­�fJ��rDx| c v ­²s c rtss c f�yqpnrDxqf�­6r?¨DfU|�¼ ' 5 ,��#"�� , �z¼�|uvDpnoqsulwvmxHv ¦ |u�q|}suf�g �u��� " ��rDxN§�f1­ � lwsus}fUx4lnxNs c f ¦ vzpwp{v ­lnxq� ¦ v � g'�� " � ��� � � � �����# � =��! �"$#&%�' �)( "$* +)#,%�' �- � � �¤� f�|±|uo � f(­�r?¨zf' 6 " � 6 � 6 � � ���/. � =10 "&* +2#,%�' �3( �! 4"5#&%�' �- . � j c fUr � ­�r?¨zf ,�u�/m "

­ c f � f � � "76 ��� � � � " � * ln|1s c f �¤� f�|±|uo � f#­�r?¨zf�|�¨Df�pwvq��lwsZ�z¼ � 6 "76 � � * ln|1s c f4j c f�r � ­�r?¨zf�|�¨Df�pwvq��lwsZ�z¼�8��Dl{¨Df�|�s c f~ l � f���sulwvmx v ¦ ­�r?¨zf#y � vmy�rt�mrts}l{vzx�¼ � 5 ,9� ":�9, � ~ f�°Xxqf�|1s c f ~ l � f���sulwvmx v ¦ y�r � s}ln��p{f-g#vDs}l{vzx rzx ~ � 5 ,�� ";�9, �Hl{|1s c frzg#y�pwl{suo ~ f8v ¦ s c f�­�r?¨zf�|�« £ f8��rzx � fUg#r �;z s c fUx�s c rDs7s c f8yqpnrDxqf1­6r?¨DfU|�¼�<' 5 ,=� ">� , �z¼A|uvDpnoqs}l{vzx�|v ¦ |u�Q|us}fUg �u��h " ��rDx§Af1­ � l{s}suf�x�rD|

<'�� " � �9� � � � ���?�# � = �! �"$#&%�'4@� � ( "$* +A#&%�' �- � � �¤� f�|±|±o � f(­�r?¨zf<' 6 " � 6 � 6 � � ���/. � =10 "&* +2#,%�'B@� . ( �! �"!#,%�' �- . � j c fUr � ­6r?¨Df ,

�u� j "

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 12: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � �

­ c f � f�­�f1|}lng�yqpw�N|uo�§�|}sulws±oqs}f ~ @;§z� �@ 5 ,��#" �9, ��l{x �}��m " rDx ~ ­ c f � f �@ 5 ,���"��9, �1ln| ~ f�°Xxqf ~ lnx4s c f�|±rDg#f�­�r?�-rz|6l{x|uf���s}l{vzx�� � � � f�y�p{rz��f ~ §m��� � 5 " �@ 5 ��@ "�" @ � �

� � 5 � �+ ��� " � , ��">�9, � C

� v � f�v ¨Df � ­�f1��rDx�| c v ­ s c rts <' 5 ,���"��9, ��|±rts}ln| ¦ �}q: <' 5 ; ' 5 , ¦ v ����"��9, �1lnxNs c f1p{f ¦ s c rtp ¦ ªF|±y�rD��f @ �Tl �Óx�v � f�¬Af���sulwvmx " ¼: <' 5 , �#"�� , �1r � f ~ rDg�yAf ~ lnx4s c f � lw� c s c rDp ¦ ªZ|±y�rD��fD¼: s c f ~ rDg�yqlnxq�J��vQf�³-��lwfUxzs6lnxNs c f�rz§�|}v � §�l{xq�#pnr?�Df � ln|� <' � ��@ " �� ' � ��@ " � " � = �! �")%- � 1 �354 6 � 4 6 ,� <' 6 �(@ " �� ' 6 �(@ " � " � = �! 4" %- . 1 �3 4 6 � 4 6 C

L��?M��?M � K J KÌ� ¶ ���3� º �?�{K J Q -®� ·A¶ �Y�x�y � rD��s}ln��fz¼�­¤f1s±r z f�r#°Axql{s}f8rz§�|}v � §�l{xq��pnr?�Df � §z�4l{xms � v ~ o���l{x��-rJ§�vmo�x ~ r � �Nrts @ "�� ¼A­lws c r ((l � l{� c p{f�s(��vzx ~ lwsulwvmx�rD|­�f���rzx4|uf�f�lnx�Z l{�zo � f��q«

v = 0

0initial data

support of

x

y

PML

δ

Z l{�zo � f��iqR� °Ax�lwsuf ���! pnr?�Df � «bc ln|�xqf�­*§Avzo�x ~ r � � y � v ~ o���fU|4r � f�¬�f���s}l{vzxݼ�§�oqs�|}lnx���f s c f ­6r?¨Df ~ f�� � f�rz|}fU|-f��qyAvzx�f�xms}lnrtp{pw��lnx s c f pnr?�Df � ¼s c f

� f�¬�fU��sulwvmx4��vmf�³-��l{f�xms§�fU��vzg#fU| &Qoqln� z pw�H¨Df � �J|ug�rDpwp´« bc ln|��vQf�³-��l{f�xms ~ fUy�fUx ~ |6vzx4s c f�� c vDln��f�v ¦ �(@ " rDx ~ vzx4s c f�|ul{¥�f� v ¦ s c f8pnr?�Df � «�Y�x�v � ~ f � suvH|}s±o ~ ��s c f ��� p{r?�zf � y � vmy�f � sulwfU|l{x;s c ln|(��rD|ufD¼A­¤f � f���rtp{p!|uvzg#f8��p{rz|u|ul{��rtp � f�|±oqp{su| ¦ v � s c ff�p{rz|}suv ~ �Qx�rDg#l{��y � vz§�pwfUg4«

(¤vmx�|}l ~ f � s c f0f�pnrD|us}v ~ �qx�rzg#l{�7y � vm§qpwfUg¯­lws c r c vmg#vD�DfUxqf�vmo�|�(�l � ln� c pwf�s¤��vzx ~ l{s}l{vzx ����-" l " vzxJs c f(§Avzo�x ~ r � ��@ " lrz|| c v ­7x4lnx�Z l{�zo � f1��« b r z f ¦ v � f���rDg�yqp{f�s c f���rD|uf�v ¦ rzxHlnx���l ~ fUxms7yqp{rzxqf�­�r?¨zf �' � 3��� "*� � 3�� � � � � ��� � � =��� � ��- � � , � � " �´��vz|�8 , |ulnx 8 " C

inc

p

U r

s

Up

r

U

2 x

y

θ

θ1θ

Z lw�mo � f1��q � f�¬�fU��s}l{vzxNv ¦ rzxHlnx���l ~ fUxzs � ­6r?¨Dfz«Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 13: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

�/l ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

£ f z xqv ­�s c fUx��Ó�D« ¦ x �%y " s c rts©s c f7lnx���l ~ fUxzs¤­�r?¨zf6l{| � f�¬�f���s}f ~ lnxms}v8r1y � fU|u|±o � f­�r?¨zf '��� rDx ~ r8| c fUr � ­6r?¨Df '��6 �Dl{¨Df�x§m� ' �� "*� �� � �� � � ��� � � = ����� ��- � � , � �� " � � ��vz| 8 � , |ul{x�8 � "' �6 "*� � 6 � � 6 ��� ��� � � = �� . ��- � � , � � 6 " � � |ul{x�8 8 , ��vm| 8 8 "P,�� 6 " �´��vz|�8 8 , |ulnx=8 8 " ,

rzx ~ ­¤f c r?¨zf(s c f � f�¬�f���s}l{vzxN��vQf�³-��lwfUxzs±|� � � " � ' �� �

� ' � 3��� �" ��vz|��B8 � 8 8 "��vz|��B8 � 8 8 "

� � 6 " � ' �6 �� ' � 3 �� �" |ul{x 8 8��vm| �B8 � 8 8 "

­l{s c |ul{x 8 8 " � 6 |}lnx�8�� � � CY�xNs c f�|urzg�f�­6r?�Jl{xNs c f���rz|}f�v ¦ rDx4lnx���l ~ f�xms7yqpnrDx�f�­6r?¨Df�jH­¤f c r?¨zf

x

y

θ

θ

p

1θ2

Uinc

Ur

U r

s

s

Z lw�mo � f�h�q � f�¬�fU��sulwvmxHv ¦ rzxHlnx���l ~ fUxzs(jH­6r?¨Dfz«

� 6,6 " � ' �6 �� ' � 3 �6 �" |}lnx �48 � 8 8 "|}lnx �48 � 8 8 "

� 6 � " � ' �� �� ' � 3��6 �

" |}lnx 8 8|ulnx �B8 � 8 8 "

­l{s c ��vm| 8 8 " � � ��vm| 8�� � 6 C£ fJ��rDx ��vzx�|}l ~ f � xqv ­ s c f#��rD|uf8v ¦ s c f�°Axql{s}f � �! pnr?�Df � «�N(lw¨zf�x s c rDs(s c f#y�p{rzxqf�­6r?¨DfU|�¼ ' 5 , � "��9, �z¼�|}vzp{oqsulwvmx�v ¦|u�q|}suf�g �}�U� " r � f0�Dl{¨DfUx-§m��f &Qo�rtsulwvmx�| �}�/m " ­�f���rDx-��vzg�y�oqsuf(s c f � f�¬�f���s}l{vzx-��vmf�³-��l{f�xmsu|¤l{x ~ o���f ~ §m�Js c f � �! pnr?�Df � v ¦p{f�xq�zs c � «[]\ ¶ ¡z��� ¶ º P7� S -®� J ¶�¹ � RA¶ N�(|7­�f c r?¨Df�| c v ­7x�y � f�¨Ql{vzo�|up{�Hs c f � f�l{|(xqv � f�¬Af���sulwvmx�rts0s c f�lnxms}f �}¦ rD��f�@ " lJ­ c fUx�s c f#yqp{rzxqf�­6r?¨Df <' � yAf�xqf�s � rts}fU|

v = 0

Up~

Up

~pU =Up

PML

x

y

δ0

~ ~Us

rr

Z l{�zo � f]miqR� yqpnrDxqf1­6r?¨Df �

s c f1pwvm|u|u�Hg#f ~ l{o�gN«R� ¦ s}f � s � r?¨Df�p{lnxq�#r#p{f�xq�zs c � ­¤f1��rzx4��vzg�y�oqsuf <'�� o�|}lnxq��s c f ¦ v � g�oqpnr �u� j " ¼qvz§�surtlnxqlnxq�<' � " ' � � = �! 4" %- � 1��3 4 6 � 4 6 C

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 14: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � �D�

bc fUx�s c f#yqpnrDx�f�­�r?¨zf <'�� ¼X�Dl{¨Df�|(rts7s c f�§�vmo�x ~ r � � @ " � ¼esZ­¤v � f�¬Af���suf ~ ­6r?¨DfU| <'��� rzx ~ <'��6 ¼X­ c l{� c r � f ~ rDg�y�f ~ sulwp{pyAf�xqf�s � rtsul{xq��rt�mrtlnx�s c f�f�p{rz|}sul{��g�f ~ lno�g rts�s c f#lnxzsuf �}¦ rD��f1@ " l�«(YZs�l{|(f�rz|}��suvN|uf�f�s c rDs(s c f � f�¬Af���sulwvmx ��vmf�³-��l{f�xms0ln|�zlw¨zf�x4l{xNs c l{|7��rD|uf1§z�

���� � " � <' �� �(@ " �� ' � �(@ " � " � � � � = 8 �! �" %- � 1 �3�4 6 � 4 6 , @ J l

� �� 6 " � <' �6 �(@ " �� ' � ��@ " � " � � 6 � = 8 �! �"?%- � 1��3 4 6 � 4 6 , @ J l C�u�?� "

[]\ ¶ ¡z��� ¶ º P7� S -®� J ¶�¹ � RA¶��Y�xNs c f���rD|uf�v ¦ rDxNl{x���l ~ f�xms7yqpnrDxqf�­6r?¨Df�jX¼�­�f�vz§qs±rtlnx4|ul{g#l{p{r � p{�

� �6,6 " � <'��6 �(@ " �� ' 6 ��@ " � " � 6,6 � = 8 �! �" %- . 1 �3 4 6 � 4 6 , @KJ l

� �6 � " � <' �� �(@ " �� ' 6 �(@ " � " � 6 � � = 8 �! �"?%- . 1 �3 4 6 � 4 6 , @ J l C

�u��� "

�H¶ �\�q��B M�� �#�)+�@��+��!?)��� - �5. )��� - ��,t�5� * ����+�1�2�3�>$;�A>��6�#���� �W�6+�W�6�-,-�. ���!-R��6D�u�!>.��%!6��$���.u�%*}�6�3�/��!"���A&u�����. +, �����A&��% �%�0�+$ ��@ " �)+$�&A�(�%�8�+B�&�� � � � R�� V+�%$1�2�'�?!1�?! �8� �)� �A&A�%$1�@$"B���R ���%� R��(��� �3!"�.��#$1�2�3�a.+�?!#�#$;�%�0������� ,-�e. �%� � �(!R���R������3!#�6� ��������� �5�FE �~!#�6�%�@��+� = �2�3�t. �?!#�%$;�#�0�a �"!#� $#�%���'& �<+*��#$ ,D�/.��#�3�?! �5� �3�3�%$2�%�6�#��� * ,D �7�6�3�6. �-� �3 � �?!t]�6�+��!#�7O#B��#�5�6�� � �����]��Bi,D�#$"��6+� . �?!7�i�#$6!"��+� = R �'��6� ������$��e. B����%! -$;�A> �6�%�@��+� +���2�3� �����0�#$2�%��6� �

� E ���5,;�� 3�7" �6�3� � � � ):�-,��0�

Y�x s c ln|1|uf���sulwvmx;­�fJy � fU|}fUxms(s c f ~ l{|±� � f�suf � �! g�v ~ f�p ¦ v � f�pnrD|us}v ~ �qx�rzg#l{��|�« b v ~ v�|}vN­¤f#lnxzs � v ~ o���f#sZ­¤v�xQo�g#f � l{��rtp|±� c f�g#fU| ¦ v � s c f ~ l{|±� � f�sulw¥Urts}l{vzx-v ¦ |u�Q|us}fUg �}�?� " « bc f0° � |}s�vzxqf(l{|�r8°Axql{s}f�ª ~ l)bXf � fUx���fU|¤|±� c fUg�fz¼Ql{xms � v ~ o���f ~ §m�D`0l � l{f�oq�lnxWx �D�/y rDx ~ s c f�|uf���vzx ~ vmxqf1l{|0vz§qs±rtlnxqf ~ o�|}lnxq�Hr-x�f�­ g#l �qf ~ °Axql{s}f8f�pwfUg#f�xms x ��y3lnx�r � f��moqp{r � g#f�| c « bc f�o�|}f�v ¦ s c ln|°Ax�lwsuf8f�p{f�g#fUxzs c rD|0s c f#g#rDl{x�r ~ ¨ rDxmsurD�Df�v ¦ p{f�r ~ lnxq�Js}vHrzx�f���yqp{l{��lws�|u� c f�g#f �Óg�rD|±|7pno�g�yqlnxq� " ¼Af�¨DfUx�l{x�s c f���rD|uf1v ¦ rDxrzxql{|uvDs � vmyqln�0f�p{rz|}sul{�1g#f ~ l{o�gN«

���� �������& 9�&������ �!�&���� �%��� "'�!�, �B� �9� � bc ln|7|±� c f�g#f1o�|uf�|rJ|usurD�D�Df � f ~ � � l ~ ¦ v � g�oqp{rDs}l{vzxݼ�|uv�s c rDs�¼�l ¦ ��� l{|��vzg�y�oqsuf ~ rtss c f�y�vzl{xms±| � � ,��*" �(@ � " ��� ,GA 5 " � � "v ¦ r � f ¦ f � fUx���f6� � l ~ ¼Ds c f�x �� l{|©��vzg�y�o�s}f ~ rDs$s c f0yAvDlnxmsu| � � � �8 ,�� � �8 " ¼ + �D� rzx ~ + rts � � � �8 ,��*" rzx ~ + � rDs � � ,�� � �8 " «bc f ~ l{| � ��f�suf � �! g#v ~ f�p2rz|u|uvq��lnrts}f ~ suvJs c f `(l � lwfUoQ�-°Ax�lwsuf�ª ~ l�bef � f�x���f�|0|u� c fUg#f���rDxN§�f1­ � l{s}s}fUx�rD| ¦ vDp{p{v ­7|

� ���" 3��� 5 " � � �� " 3��� 5 � � � � " 3��� 5� � �� " 3

� ���� 5 � � � �� " 3��� 5 '� �� � � �� " 3 � ���� 5 � � � �� " 3��� 5�

" � + �� " 3 �"!#� !# � 5 � � + �D� " 3 �$!#� 0 !# � 5* �� � � " 3

� ���� 5 � � � � " 3��� 5 '�

5� � � " 3

� ���� 5 � � � � " 3��� 5�" � + � " 3 � !#��� 5 !# � � + � " 3 � !#��� 5 0 !#* � ,

� �� �" 3� !# � 5 !# " � � � " 3� !# � 5 !# � � � " 3� !# � 5 !#� � � " 3

� �� !# � 5 !# � � � � " 3� !# � 5 !# '� �� !# �

� � " 3� �� !# � 5 !# � � � � " 3� !# � 5 !#�

" � + �D " 3 � !#� ! � 5 !# � � + � " 3 � !#��� 5 !#* �� � " 3

� �� !# � 5 !# � � � " 3� !# � 5 !# '�

5 !#� � " 3

� �� !# � 5 !# � � � " 3� !# � 5 !#�" � + " 3 � !#� !# � 5 ! � � + � " 3 � !#� !# � 5* � ,

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 15: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

�?� ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

� + �� " 3 � !#� !# � 5 " � + ��D� " 3 � !#� !# � 5 � � + �� " 3 � !#� !# � 5� + ��� " 3 � !#� !# � 5 � � + ��D� " 3 = !#� !# � 5 '

� �� !# �+ ��� " 3 � !#� !# � 5 � � + ��D� " 3 = !#� !# � 5�

" ��� � � � " �� � " 3� ! � 5 � � � � " 3��� 5�

� + �� " 3 � !#� !# � 5 � � + �D� " 3 = !#� !# � 5 '�

5� + �� " 3 � !#� !# � 5 � � + �D� " 3 = !#� !# � 5�

" �� � " 3� !# � 5 !# � � � " 3� !# � 5 0 !#�

,

� + " 3 �$!#� !# � 5 " � + � " 3 �$!#� !# � 5 � � + " 3 �"!#� !# � 5� + � " 3 � !#� !# � 5 � � + � " 3 = !#� !# � 5 '

� �� !# �+ � " 3 � !#� !# � 5 � � + � " 3 = !#� !# � 5�

" � �� � " 3� ! � 5 � � � � " 3��� 5�

� + " 3 � !#� !# � 5 � � + " 3 = !#� !# � 5 '�

5� + " 3 � !#� !# � 5 � � + " 3 = !#� !# � 5�

" ��� � � � "� � " 3� !# � 5 !# � � � " 3� !# � 5 0 !#� ,

� + �D " 3 �"!#��� 5 !# " � + ��D " 3 �"!#��� 5 !# � � + �D " 3 �"!#��� 5 !#� + ��D " 3 �"!#��� 5 !# � � + ��D " 3 = !#��� 5 !# '

� �� � + �� " 3 �$!#��� 5 !# � � + �� " 3 = !#��� 5 !#�" � �

� " 3� !# � 5 !# � � � " 3� 0 !# � 5 !#�

� + �D " 3 � !#��� 5 !# � � + �D " 3 = !#��� 5 !# '�

5 !#� + � " 3 � !#��� 5 !# � � + � " 3 = !#��� 5 !#�

"�� � � � " 3��� 5 ! � � � � " 3��� 5� C

­ c f � f�­�f�o�|uf ~ s c f�xqvzsurDs}l{vzx � � " � � � rzx ~ � � " � � � «bc f#y � f�¨Qlwvmo�|7|u�q|}suf�g v ¦ f &Qo�rDs}l{vzx�|7��v �±� fU|uyAvzx ~ |6s}v-s c f � �! g#v ~ f�p3l{x�s c f���v � xqf � |�¼�­ c f � f1­�f8xqf�f ~ r ~ rzg#y�l{xq�Hl{x§AvDs c ~ l � f���s}l{vzx�|�«�Z�v � s c f���vzg�y�oqs±rtsulwvmx4v ¦ s c f�|uvDpnoqs}l{vzx4l{x�|}l ~ f1s c f ���! pnr?�Df � |�lnx4s c f @ ~ l � f���sulwvmxH­�f�o�|uf�s c f8|±rDg#f|u�q|}suf�g v ¦ f &Qo�rDs}l{vzx�|�­l{s c " l�¼Q­ c l{pwf ¦ v �����! pnr?�Df � |¤l{x4s c f A ~ l � f���s}l{vzx4­¤f�sur z f � " l�« £ f1y � fU|}fUxms¤lnx�Z3l{�zo � fj s c f1¨ rtpnoqf�|6v ¦ � rDx ~ ¦ v � s c f ~ l)bXf � fUxms ���! pnr?�Df � |�«

����������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � ������

����������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������y

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������ ���������

��������� x

support of

initial datas

���! ªÓ�wq " l���! ª´�8q � " l���! ªÓ�ݼ �

Z l{�zo � f j q ��� p{r?�zf � |�«

���� ����� �%�0���� �& � � � � �4�! � ZAv � s c l{|8|u� c fUg#fD¼2s c fJ¨Df�pwvq��lwsZ�;ln|�rzy�y � v?�Qlng�rtsuf ~ §m� yqlwfU��f�­l{|uf-��vmx�|}s±rDxms ¦ o�x���s}l{vzx�|�rzx ~ s c f-|us � f�|±|�s}fUx�|uv � + §m��� �¦ o�x���s}l{vzx�|­lws c |}vmg�f1y�r � sul{��oqpnr � ��vmxms}lnxmo�lwsZ�Hy � vmy�f � sulwfU| q: + �D ln|��vzxmsul{xQoqvmo�|6l{xN§AvDs c ~ l � f���sulwvmx�|(q$l{sl{|7rzy�y � v?�ql{g�rtsuf ~ §z��� � ��vmxzsul{xQoqvmo�| ¦ o�x���s}l{vzx�|�«: + �D� l{|���vzxms}lnxQoqvzo�|�vzx�pw� lnx s c f @ ~ l � fU��sulwvmx qHl{s�ln|#rDy�y � v?�ql{g�rDs}f ~ §z��� � ¦ o�x���s}l{vzx�|���vzxms}lnxQoqvzo�|�lnx @�rDx ~~ ln|u��vzxms}lnxQoqvzo�|�lnx A ~ l � fU��sulwvmxÝ«

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 16: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � ���

: + l{|���vmxms}lnxmo�vzo�|�vzxqp{�.lnx\s c f A ~ l � f���s}l{vzx qNl{s�ln|JrDy�y � v?�qlng#rDs}f ~ §z� � � ¦ o�x���sulwvmx�|���vzxmsul{xQoqvmo�|#l{x A rDx ~~ ln|u��vzxms}lnxQoqvzo�|�lnx @ ~ l � f���s}l{vzxÝ«£ f�y � f�|uf�xms6l{x�Z lw�mo � f��8s c f�g#l �qf ~ °Ax�lwsuf1f�p{f�g#f�xms7o�|uf ~ «

σ hxx

y

σyy

σxy

σ

������������

��������

������������

������

��� �� �� �� � σyy

d

g

xxb

(v , v )x

Z l{�zo � f8�'q bc f�°Ax�lwsuf1f�p{f�g#f�xms

��x;r � f��zoqpnr � � � l ~ ¼Xs c f8¨Df�pwvq��lwsZ� � " � � � ,B� " ln|(��vzg�y�oqsuf ~ rDs0s c f#yAvDlnxmsu| � � !# ,�� !# " rzx ~ s c f#|us � f�|±|7suf�x�|uv � rts0s c fyAvDlnxmsu| � � ,��*" « £ f8��vzx�|ul ~ f � s c f8�zf�xqf � rDp2��rz|}f1v ¦ rDx�rDxqln|uvDs � vzy�l{��f�p{rz|}sul{��g�rDs}f � lnrtp ~ fU|u� � ln§Af ~ §m�4s c f8f�p{rz|}sul{��lwsZ��g�rts � lw�/ ¼�rzx ~ ­¤f ~ fUxqvDsuf�§m� � s c f1lnxm¨Df � |uf(v ¦ (

� "�/ = � " EH � � � � � 8 � � 3� � 8 � 878 � 8 3� � 3 � 8 3 � 3 3 IL

bc f�xQo�g#f � l{��rtp |u� c f�g#f#��rDx�s c f�x §Af�­ � lwsus}fUx;lnx s c f ¦ vzpwp{v ­lnxq�H­6r?� �Ó|uf�f�x h y ¦ v � ~ f�surDlwpn| " «(Z�v � s c f�° � |us�f &Qo�rtsulwvmx�v ¦|u�q|}suf�g �u�U� " ­�f c r?¨Df

� � � " 3� �� !# � 5 !# � � � � " 3� !# � 5 !# ' " �

� * � � � +���D� " 3 �"!#� ! � 5 � � +���� " 3 �"!#��� 5 � � +���� " 3 �$!#� ! � 5 ! � � +���� " 3 �"!#��� 5 !� � + � " 3 � !#��� 5 ! � � + � " 3 � !#��� 5 � � + � �" 3 � !#� ! � 5 ! � � + � " 3 � !#� ! � 5��

� �� " 3� �� !# � 5 !# � � �� " 3� !# � 5 !# ' " �

� * � � � + � " 3 �"!#� ! � 5 � � + � " 3 � !#��� 5 � � + � �" 3 �$!#� ! � 5 ! � � + � " 3 �$!#��� 5 !� � + 4 " 3 � !#��� 5 ! � � + 4 " 3 � !#��� 5 � � +�� " 3 � !#� ! � 5 ! � � +�� " 3 � !#� ! � 5��

bc f�|uf���vmx ~ f�&mo�rts}l{vzx v ¦ |u�Q|us}fUg �}�U� "1� f�|±oqp{su|�l{x\s c f ¦ vDp{pwv ­lnxq�rm / m;pwvq��rDp�|u�q|}suf�gN¼R��vmo�yqp{l{x�� s c fH°�¨zf ~ f�� � f�fU|�v ¦¦®� f�f ~ vzg rD|±|}vq��lnrtsuf ~ s}v + rDsf�rz� c ¨zf � s}f��!�´|}f�f Z lw�mo � f8� " «

� 3 � !#��� 5 ��� 3 = !#��� 5 ' " � = �� � �� � � =��� � �­ c f � f � "�� +���D� ,+���� ,+ 4 ,+�� , + � �� �

� � " ��

EGGGGGGGGGH��� �F� l � � 8 � � 8 ��� � 3l ��� � � � � 8 � � 8 ��� � 3� � 8 � � 8 � � 8B8 l ��� 8 3� � 8 � � 8 l � � 878 ��� 8 3��� � 3 ��� � 3 � � 8 3 � � 8 3 h � 3 3

IKJJJJJJJJJLÍ!Í ØC�e�6�#�e�

Page 17: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

��h ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

rzx ~� �� " �

� x � �� , � �8 , l , l ,�� �� y �� � " �

� x l , l ,�� 3 , � � , � � y �­l{s c � �� " � � � " 3� !# � 5 !# � � � � " 3� 0 !# � 5 !#� �8 " � ��� " 3� !# � 5 0 !# � � ��� " 3� 0 !# � 5 0 !#� 3 " � �� " 3� !# � 5 !# � � �� " 3� !# � 5 0 !#�

�" � � " 3�B0 !# � 5 !# � � � " 3�B0 !# � 5 0 !#� ��" � � " 3� !# � 5 !# � � � " 3�B0 !# � 5 !# � � � " 3� !# � 5 0 !# � � � " 3�B0 !# � 5 0 !#� �" � ���" 3� !# � 5 !# � � ���" 3� !# � 5 0 !# � � ��� " 3�B0 !# � 5 !# � � ��� " 3�B0 !# � 5 0 !#

Y�xNs c f���rD|uf�v ¦ rDxNl{|uvDs � vmyqln�0f�p{rz|}sul{��g�rtsuf � l{rDpÝs c f�g�rts � lw� � =��� ln|�Dl{¨DfUxH§m�

� =��� "EGGGGGGGGGH� � $ $Vl

� � $ $Vl

$ $ � � l

$ $ � � l

l l l l

IKJJJJJJJJJL­l{s c

� " �*��� � � � " 8 � � 8����� � � � " , $ " �

�, � " � 8

����� � � � " , "��C�u��� "

£ f7��rzx8­ � lwsufxqv ­\s c f ���! g#v ~ f�p�rz|u|uvq��lnrtsuf ~ suv1s c ln|$|±� c f�g#fD¼zo�|}lnxq��s c f7|urzg�f6suf�� c xql'&QoqfrD| ¦ v � s c f�`0l � lwfUoQ�#|±� c f�g#f� ��� " 3� !# � 5 !# " � � �� " 3� !# � 5 !# � � � � " 3� !# � 5 !#� � �� " 3

� �� !# � 5 !# � � � �� " 3� !# � 5 !# '� �� !# �

� �� " 3� �� !# � 5 !# � � � �� " 3� !# � 5 !#�

" �� * � � � +���� " 3 � !#� ! � 5 � � +���D� " 3 � !#��� 5 � � +���� " 3 � !#� ! � 5 ! � � +���D� " 3 � !#��� 5 ! �

� � � " 3� �� !# � 5 !# � � � � " 3� !# � 5 !# '

� � !# �

� � " 3� �� !# � 5 !# � � � � " 3� !# � 5 !#�

" �� * � � � + �D " 3 � !#��� 5 ! � � + �D " 3 � !#��� 5 � � + � " 3 � !#� ! � 5 ! � � + � " 3 � !#� ! � 5 �

� � " 3� !# � 5 !# " � � � " 3� !# � 5 !# � � � " 3� !# � 5 !#� � � " 3

� �� !# � 5 !# � � � � " 3� !# � 5 !# '� �� !# �

� � " 3� �� !# � 5 !# � � � � " 3� !# � 5 !#�

" �� * � � � + � " 3 � !#� ! � 5 � � + � " 3 � !#��� 5 � � + � " 3 � !#� ! � 5 ! � � + � " 3 � !#��� 5 ! �

� � " 3� �� !# � 5 !# � � � " 3� !# � 5 !# '

� � !# �

� " 3� �� !# � 5 !# � � � " 3� !# � 5 !#�

" �� * � � � + 4 " 3 � !#��� 5 ! � � + 4 " 3 � !#��� 5 � � + � " 3 � !#� ! � 5 ! � � + � " 3 � !#� ! � 5��

rzx ~ � 3 � !#��� 5 " � � � " 3 � !#��� 5 � � � " 3 � !#��� 5� � � " 3 � !#��� 5 � � � � " 3 = !#��� 5 '

� �� � � � " 3� !#��� 5 � � � � " 3 = !#��� 5�

"�� =��� � ��� � " 3 � !#��� 5 � � � " 3 = !#��� 5 '

� � � � " 3

� !#��� 5 � � � " 3 = !#��� 5�

"�� =��� � �ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 18: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � �/m

� � �� 3� �0" ���#� �������'H 3��

Y�x�s c ln| |}fU��sulwvmx�­�f¤­l{pwp�|usuo ~ �1s c fy � vzyAf � s}l{f�|!v ¦ s c f ~ ln|u� � f�s}f ���! g#v ~ f�p ¦ v � f�p{rz|}suv ~ �Qx�rDg#l{��|2lnx�s}f � g�|3v ¦ r�xQo�g#f � l{��rtp~ ln|±y�f � |ulwvmx�rDx�rDpw�q|ul{|�¼�s c rts(l{|(r-yqpnrDxqf�­6r?¨Df�rzx�rtp{�q|}ln|�« £ f8y � f�|uf�xms7s c ln|(rzx�rtp{�q|}ln|vzx�pw� ¦ v � s c f�°Xxqlwsuf�ªFf�p{f�g#f�xms�|u� c fUg#fD«£ f���vzx�|ul ~ f � s c f���rD|uf�v ¦ rDx c vzg#vD�zf�xqf�vzo�|ln|uvDs � vzy�l{��f�p{rz|}sul{��g#f ~ l{o�g � c r � rD��suf � lw¥�f ~ §m�Ns c f rDg �f���vQf�³J��lwfUxmsu|1� ,9�rzx ~ s c f ~ fUx�|ulwsZ� * « bc f ��� pnr?�Df � l{|¤l{xHs c f @ � ��� � � ' ����� �Z lw�mo � f8� " rDx ~ ­¤f���vzx�|}l ~ f � s c f���rz|}f0v ¦ r�lnxQ°Ax�lwsuf(pnr?�Df � «£ f1pwvQv z�¦ v � yqpnrDx�f1­�r?¨zf�|uvDpnoqs}l{vzx�|¤v ¦ s c f ¦ v � g

� ��� " 3� !#� !# � 5 !# " ������ " � !# � =��"���# 5 !# � � � � � 3 �"!# �� � , � " � , �

� �� " 3� !#� !# � 5 !# " ������ " � !# � =!� ���� 5 !# � � � � � 3 �"!# �� � ,�� " � , �

� +�� � ��D� " 3��� 5 " �U�+�� � ��� " � � =!� � � 5 � � � � 3 � , � " � , �� + � � ��D� " 3��� 5 " ���+ � � ��D� " � � =!� � � 5 � � � � 3 � , � " � , �� + 4 � � " 3��� 5 " �U�+ 4 � � " � � =��"� � 5 � � � � 3 � , � " � , �� +�� � � " 3��� 5 " �U�+�� � � " � � =��"��� 5 � � � � 3 � , � " � , �� + ��D " 3��� 5 " �U�+ �� " � � =��"��� 5 � � � � 3 � , � " � , �

rzx ~ ­¤f1|uf�s������" � !# " ���� �� " � !# � ���� �� " � !# 6 ����� " � !# " ���� � " � !# � ���� � " � !#���+���� " � " ���+�� � ��� " � � ���+�� � ��D� " � 6 ���+���D� " � " ���+�� � ��D� " � � ���+�� � ��� " ����+ 4 " � " ���+ 4 � � " � � ���+ 4 � � " � 6 ���+�� " � " ���+�� � � " � � ���+�� � � " ����+ � " � " ���+ �� " � � ���+ ��D " � C

� p{oq�z�Dlnxq�#s c fU|}f1f��qy � fU|u|ulwvmx-lnxms}vJs c f ~ l{|±� � f�suf�|u� c fUg#fD¼q�Dl{¨DfU|� � ' ����

�� " � !# " � � A ���+ �D " � ! � ���+ �D " �� * �/ � !# ' ������� " � !# " � �"��� ��� 8 ���+ ��� " � ! � ���+ ��D� " �� * �� � =��"� � ��� 8 ���+ ��D� " � ! � ���+ ��� " �� * �� �

' ����� " � !# " � � A ���+ � " � ! � �U�+ 4 " �

� * �/ � !# ' ���� �� " � !# " ��vz| $ � �� & ���+ � " � ! � �U�+ � " �* � ,

� � ' ���+ �� " � " � �9� A ���� � " � !# � ���� � " � 0 !#� �/ � ' ���+ �� " � "�� ��vz| $ � �

� & ����� " � !# � ����� " �B0 !#�,

� � ' ���+�� � ��� " � " � $ � A ���

�� " � !# � ����� " � 0 !#�/ � ' ���+�� � ��� " � " � � � =��"� � ��� 8 � � � �"� � ��� 8 � ���� � " � !# � ���� � " � 0 !#�� � ' ���+�� � ��� " � " � $ � A ���

� " � !# � ���� " � 0 !#�/ � ' ���+ � � ��� " � " � � � � � � ��� 8 � � � =��"� � ��� 8 � ������*" � !# � ������ " �50 !#�,

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 19: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

� j ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

rzx ~� � ' �U�+ 4 � � " � " � � A � ���� " � !# � � ���� " � 0 !#�/ � ' �U�+ 4 � � " � " � $e��vz| $ � �

� & ������ " � !# � ������" �50 !#���� ' �U�+�� � � " � " � � A � ���� " � !# � � ���� " �50 !#�/ � ' �U�+�� � � " � " � $e��vz| $ � �

� & ���� � " � !# � ���� � " �50 !#� ,

­ c f � f � , $ , ��r � f(�zlw¨zf�xN§m�!�}�U� " rDx ~ ��� ,�� rzx ~ / � r � f ~ f�°Axqf ~ §m�� � " � � |ul{x $ � '� & , � " � � |}lnx $ � �

� &/ � " � � |}lnx $ � '� & � � 'q��vm| $ � '� & , � " � , � !# C� ¦ s}f � |uvzg#f;suf ~ l{vzo�|N��rDp{��oqpnrts}l{vzx�|�¼­�f ��rDx � f�­ � lwsuf s c f y � f�¨Ql{vzo�|4|}�q|us}f�g v ¦ f &Qo�rtsulwvmx�|-­l{s c ���� , ��� rD|-s c f vzxqp{�o�x z x�v ­7x�|�« £ f1vz§�surtlnx

� 8� ' 8 ���� � " � !# " � * � 8 ���� � " � � # � �*���� � " � !# � ���� � " � 0 !#h � 8� � � ���vz| � � � "* : � !#

� ���� � " � � # � ���� � " � !#� 8 : � ! � ���� � " � !# � ���� � " � 0 !#� 8 : � �� � � * ��vz| $ � �

� & � ���� " � � # � ���� " � !#� � 8 : � ! � ���� " � !# � ���� " � 0 !#� � 8 : �� ���� " � � # � ���� " � 0 !#� 8 : � !# �

� 8� ' 8 ���� " � !# " �* � 8 � ���� " � � # � ��� ���� " � !# � � ���� " �B0 !#� � 8� � * ��vm| 8 $ � �

� & � ���� " � � # � ���� " � !#� 8 : � ! : � !# � ���� " � !# � ���� " � 0 !#� 8 : � : � !# �� � $* ��vm| $ � �

� & � ���� � " � � # � ���� � " � !#� 8 : � ! � ���� � " � !# � ���� � " � 0 !#� 8 : �� ���� � " � � # � ���� � " � 0 !#� � 8 : � !# � ,

�F� l "

­l{s c : � " / �� � , � " � , � !# C f�s7o�|7��vzx�|ul ~ f � xqv ­ s c f���rD|uf�v ¦ rJg#f ~ l{o�g ­lws c r#o�xql+&Qoqf1lnxQ°Ax�lwsuf1p{r?�zf �¤¦ v � ­ c ln� c

� "�� l l ¦ � � l�� l ¦ � � l

, � !# "�� l l ¦ � JTl�� l ¦ � �Tl ,

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 20: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � �?�

!#� f�g�rtlnxqlnxq�#o�x ~ f�suf � g#l{xqf ~ �Df�s�¼�rDx ~ p{f�s7o�|7pwvQv z#¦ v � y�r � sul{��oqp{r � |}vzp{oqsulwvmxHv ¦ s c f ¦ v � g

N ¹ � RA¶� �� " � !# " � � � =!� � � "� !# � � � � � � � �� � � � � "� !# � �

� � � 6 � � 6 � �"� �#"� !# � ��¦ v � � !# � l

� �� " � !# "�� � � < � � =���� � �#"� !# � � � � � 6 < 6 � =���� � ��"� !# � � ¦ v � � !#��Tl� ¹ � RA¶� �� " � !# " � 6 � =��"� � � !# � � � � 6 6 � � 6 � � � � "� !# � �

� � 6 ��� �� � �"� ��� !# � �#¦ v � � � �� � l

� �� " � !# "�� 6,6 < 6 � =�� � � ��� !# � � � � 6 � < � � =�� � � ��"� !# � �#¦ v � � !# � l ,

�F�q� "

­ c f � f� �� " � !# "C? ������ " � !#���� " � !# A C

�� � � � �� �� ��pd

ppR

psR��pp

8T

psT

��i

1/2 3/2 5/2-1/2-3/2

d

d1/2

Z lw�mo � f1��qRjq� c f�g�rtsul{��¨Ql{f�­ vzx4s c f�yqpnrDx�f1­�r?¨zf�|�|}vzp{oqsulwvmxHlnx�rJ|}lnxq�zpwf�pnr?�Df � ~ ln|u� � f�s}f�g#v ~ f�p

bc f1f�&Qo�rtsulwvmx�| �´��l " r � f1|±rts}ln|}°�f ~ ¦ v � � !#��" l�l ¦ � � rzx ~ < � � r � f1|uvDpnoqs}l{vzx�|6v ¦ s c f1sZ­�v � f�pnrts}l{vzx�|6v ¦ ~ l{|±yAf � |}l{vzx �´�z� "� ¦®� f�f�g�f ~ lno�g " rDx ~ �´�D� " �®p{vz|±|u�Hg#f ~ lno�g " «

� 8� ' 8

� ���������� " �

� 8� �� �F� �� � 8�� � 8 �� 878 � � ����

������ ,�F�D� "

� 8� ' 8

� �� ��� � � " �

� 8 ? <� �F� <� � 8<� � 8 <� 878 A � �� ��� � � ,�F�t� "

­l{s c �� � � " � 8� � � �}� � h � � " � � 86 � �}� �"!#� � "�� 8B8 " � 8� � �u� � h � �-�" � � 86 � � �u� �$!%�- "�� � 8 " � � 8� � � 86 "'& � � � �u� �$� � " �}� �"� "

�-�)" |ul{x 8 $ � '� & ,(� �1" |ul{x 8 $ � � �� &� 2" |ul{x 8 $ � �

� & , � " ��� 8� � ��� 86 " 8h�� �� ,)! " �h

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 21: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

�U� ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

rzx ~<� �F� " � 8� <� �

<: 8 �u� � h � � " � � 86 �- �u� �$! <�-� "<� 878 " � 8� � �}� � h � <� � " � � 86 <� �

<: 8 �}� �"!#� "<� � 8 " ��� 8� � � 86 "

<: & <� � � �}� � <� � " �u� �$� "<� � " |ulnx 8 � < � � �� � , <: " � � |ul{x � � �8�� � �� 'q��vm| � � �8��

� � |ul{x � � �8�� C

� v ­1¼ts c f7|u�q|}suf�g v ¦ f�&mo�rts}l{vzx�|$rts � !# " l��Dl{¨DfU|!s c f¨ rtpnoqf6v ¦ s c f � f�¬�fU��sulwvmx���vmf�³-��l{f�xmsu| � � � � � fU|uyÝ« � 6,6 " rDx ~ � � 6 � � f�|±yÝ«� 6 � " « £ f c r?¨Df#o�|}f ~ s c f�|}v ¦ sZ­�r � f � � �� v suvN��vzg�y�oqsuf�l{su| b r?�Qpwv � f��qy�rDx�|ulwvmx�­l{s c � fU|uyAf���s(suv4s c f ~ l{|±� � f�sulw¥Urts}l{vzx|us}fUyNrzx ~ ­¤f1vm§qsurDl{x

� � � " � � � !#h �

� � � � � 8� � � 8� � � 86 " � � +� � � ��� � � 8 "� � 6 " � � � !#

h �� � � � � 8� � � 8� � � 86 " � � � ��� � � 8 "

� 6,6 " �� � � !#h �

� � � � � 88 � 8� � � 8� � � 86 " � � +� � � ��� � � 8 "� 6 � " � � � !#

h �� � � 88 � 8� � � 8� � � 86 " � � � � � 88 � � � ��� � � 8 "

�F� h "

­l{s c� + " & � 8 � � 8� � 8 , � � " � 8

� 8 , � 8 "� 86� 8� , � 3�" �

� 8C

Z � vmg � f�pnrts}l{vzx�| �F� h " ¼q­�f���rDxNf�rz|}l{p{� � fUg#r �;z s c rDs�s c f�§Af�|us7� c vDln��f ¦ v � !# ��vmx�|ul{|usu|6lnxNsur z lnxq�

!#" ��

�C

Y�x s c rDs���rD|ufD¼es c f�° � |us0v � ~ f � suf � g�|(lnx �F� h " ~ ln|±rDy�yAf�r � rzx ~ ­�f�vm§qsurDl{x;s c rDs�s c f � f�¬�f���s}l{vzx ��vQf�³-��l{f�xmsu|�r � f � vzo�� c p{�y � vzyAv � s}l{vzx�rtpqs}v� � � � � � � " � 8 « b ­�v���vmx�|uf &Qoqf�x���f�|$��rDxJ§Af ~ f ~ o���f ~ ¦®� vmg�s c l{| � fU|uo�pws�« Z l � |usRs c f0xQo�g#f � l{��rtp�|±� c f�g#fln|1��vmx�|}ln|us}f�xms�­lws c s c fJ��vmxms}lnxmo�vzo�| ��� g#v ~ f�p q�s c f-|uy�o � l{vzo�| � f�¬�fU��s}l{vzx ¦ v � r4�Dl{¨DfUx;¨ rtpnoqf�v ¦ � l{|�vmxqpw� ~ oqf�s}vs c f ~ l{|±yAf � |}l{vzx v ¦ s c fJxQo�g#f � l{��rtp$|u� c f�g#fD« f�s1o�| � f�g�r ��z s c rDs�s c fJ|}fU��vmx ~ v � ~ f � rD����o � rD���Nln| � fU��v ¨Df � f ~ l{x s c f � 8~ fUy�fUx ~ fUx���� v ¦ s c f � f�¬Af���sulwvmx ��vQf�³-��l{f�xms±|�« bc f�xݼ ¦®� vmg�r�g#v � fJy � rz��sul{��rtpRyAvDlnxzs1v ¦ ¨Ql{f�­1¼3s c ln| ~ ln|±y�f � |ulwvmx rDx�rDpw�q|ul{|lng�yqpwl{f�|7s c rDs­¤f1��rzx4x�vDs7o�|uf�r#¨?rDp{o�f�v ¦ � s}vQv�p{r � �zf ¦ v � r��Dl{¨Df�x ~ ln|u� � f�s}l{¥�rtsulwvmx4|us}fUyÝ«

Y�xNs c f���rD|uf�v ¦ r8°Xxqlwsuf1pwfUxq�Ds c p{r?�zf � ­lws c r��zlw¨zf�xNxQo�g8§Af � v ¦ xqv ~ fU|�¼qs c f1pnr?�Df � ln|7� c r � rz��s}f � l{¥�f ~ §m� � ! # , � # , CFCFCE, 3� = !# " ,� � , 8 , CFCFCE, 3� "P,

­�f(r � f7s c f�xHpwf ~ suv�°Ax ~ r�s � r ~ f0v b�§Af�sZ­�f�f�xH� c vQvz|ul{xq�8s c f � � !# $ |¤s}vQv�­¤fUr z �®­ c ln� c ­�vzoqp ~ lng#y�pw�-r�|}s � vmxq� � f�¬�fU��s}l{vzx~ o�f suv s c f.(�l � ln� c p{f�s�§�vmo�x ~ r � � ��vmx ~ l{s}l{vzx " v � s}vQv p{r � �zf �®­ c l{� c ­¤vmoqp ~ l{g�yqp{� |uy�o � l{vzo�| � f�¬�fU��sulwvmx�| ~ oqf suv s c f~ ln|±y�f � |ulwvmx " «$� y�r � s}lnrtpXrDx�|u­¤f � s}v8s c ln|¤y � vm§qpwfUg�ln|¤s}v�o�|}f0r8|ug#vQvDs c y � vt°�p{f ¦ v � ��@ " ¼ � � � !# " � � � � � �8 " " ¼Qrz|Rln| ~ vmxqflnx�s c f���pnrD|±|ul{��rtp2pnr?�Df � |g#v ~ f�p{|�¼{x �?�/y´«��0x;rDpwsuf � x�rtsulw¨zf1l{|(s}v ~ f�s}f � g#lnxqf8s c f�§Af�|us(��vQf�³-��l{f�xmsu| ¦ v � ��@ " §z��g#lnxql{g#l{¥�lnxq�s c f�xQo�g#f � l{��rtp � f�¬�fU��s}l{vzxN��vQf�³J��lwfUxmsu|rD|6ln| ~ vmxqf�l{x x �el�y ¦ v � s c f k0f�png c vDp{s}¥1f�&Qo�rtsulwvmxÝ«

� 9�)+�0"$������� �7 9��ã�

Y�xNs c f ¦ vDp{pwv ­lnxq��f���rDg�yqp{f�|�¼q­�f�|ulng8oqpnrtsuf�f�p{rz|}sul{��­6r?¨Df�y � vzy�rD�zrtsulwvmxJlnxNrJ� ª (�o�xm§Avzo�x ~ f ~ g#f ~ l{o�gN« £ f1­lwp{p2y � f�|uf�xms|uf�¨zf � rtp � fU|uoqp{su|�lnx���pno ~ lnxq�Ns c fJ��rD|uf8v ¦6c f�suf � vD�zf�xqf�vzo�|�¼Xrzxqln|}vzs � vzyqln��f�p{rz|}sul{�#g#f ~ lnr�«]Y�x v � ~ f � s}v�| c v ­ s c f#�zf�xqf � rDpwl{sZ�v ¦ s c f8g#f�s c v ~ ­¤f1�zlw¨zf�|}vmg�f�xQo�g#f � ln��rDp � fU|uoqp{su| ¦ v � §AvDs c |u� c fUg#f�| qRs c f]`(l � lwfUoQ�H°Xxqlwsuf�ª ~ l)bXf � fUx���fU|0|±� c f�g#f�rDx ~ s c f°Ax�lwsuf�ªFf�p{f�g#f�xmsu|$|±� c fUg�fz«3��g#v � f��vmg#y�pwf�s}frDx�rDpw�q|ul{|!ln|$y � fU|}fUxms}f ~ ¦ v � s c f�°Axql{s}f�ªFf�p{f�g#fUxzsR|±� c fUg�fz¼Dx�rzg�f�pw�1s c f ~ ln|u� � f�s}f� f�¬�fU��sulwvmxN��vQf�³-��l{f�xmsu|0r � f���vzg�y�oqsuf ~ rz|7r ¦ o�x���sulwvmx�v ¦ s c f1l{x���l ~ f�xms0rDx��Dp{fD« f�s0o�|° � |us7|uf�s7|uvzg#f�xqvDs±rtsulwvmxNrzx ~ �Dl{¨Dfs c f4� c r � rz��suf � l{|us}ln��|1v ¦ s c fNxmo�g�f � ln��rDp©f��qrzg�yqpwfU|�s c rts�­lwp{p ¦ vzpwp{v ­1« £ f4��vmx�|ul ~ f � rDx.o�xm§Avzo�x ~ f ~\~ vzg�rtlnx < lnx\�)(#¼

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 22: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � ���

vq����o�yql{f ~ §m�-rDx4f�pnrD|us}ln�(g�rtsuf � l{rDpXrzx ~ ­¤f�|uo�y�y�vm|}f�s c rts6s c f�lnxql{s}lnrtp���vmx ~ l{s}l{vzx �®v � s c f1|}vmo � ��f " l{|6|±o�y�yAv � s}f ~ lnxHr�y�r � sv ¦ <�« bc f(g�rtsuf � l{rDp�­l{pwpݧAf(� c r � rz��s}f � l{¥�f ~ §z��l{su|¤­�r?¨zf¨Df�pwvq��l{s}l{f�|�� � �´y � fU|u|±o � f " rzx ~ � 6 �Ó| c r � f " lnxJs c f(l{|uvDs � vmyqln�7��rz|}frzx ~ §m�Jl{su|�f�pnrD|us}ln��l{sZ�-g�rts � lw� / lnxHs c f1rDxqln|}vzs � vzyqln�0��rD|ufD«:Y�xHv � ~ f � s}v�|}vzpw¨zf(xQo�g#f � l{��rtp{pw��s c f�f�pnrD|us}v ~ �qx�rDg#ln�(y � vm§qpwfUglnx < ­�f ~ f�°Axqf�rJ§Avzo�x ~ f ~�~ vzg�rDl{x : v ¦ rJ|}lng�yqp{f1�Df�vmg#f�s � �!� c f � f1lws­l{p{p2§�f�rJ| &Qo�r � f " ¼���vmxmsurtlnxqlnxq��s c f�|±o�y�yAv � sv ¦s c f8lnxql{s}lnrtp ~ rtsur�¼�­l{s c rz§�|uv � §ql{x��#pnr?�Df � | � ���! #" vzx�rDpwp ¦ vzo � §�vmo�x ~ r � l{f�|�«�Z�v � s c f ~ l{|±� � f�sul{|±rtsulwvmxNv ¦ s c f�y � vm§qp{f�g ­¤fs±r z f(r � f��zoqpnr � � � l ~ v ¦ : ��vzg�y�vm|}f ~ §z���</�� | &Qo�r � ff�pwfUg#f�xmsu|©v ¦ f ~ �zf � " ����� « bc f0s}lng�f�|}suf�y�ln|Rs c f�x-��vzg�y�oqsuf ~¦ vzpwp{v ­l{x��#s c f (|Z ��vmx ~ l{s}l{vzx ¦ v � f�rz� c |±� c fUg�fz¼�g#v � f�y � fU��ln|}f�pw�J­�f1sur z fDq

: ' " l C � �� � � � ¦ v � s c f `0l � l{f�oq�4|u� c f�g#fD¼

: ' " �� � ¦ v � s c f�°Axql{s}f�ªFf�p{f�g#fUxzs±|7|±� c f�g#fD«ZAv � vzo � xmo�g�f � ln��rDpÝf���yAf � l{g#f�xms±|6­¤f1o�|uf�rDx4f���yqp{vz|ulw¨zf�|uvzo � ��f�p{vq��rDs}f ~ rtss c f�yAvDlnxzs�� " �(@ 6 � , @ 68 " ¼�s c rDsl{|

� ��@ , ' " "� �(' " � � � "U,­l{s c

� ��' ")" � ��� 8 � 8+ ��' � ' + " � =� #�� #3 � = � 3 � # l ¦ ' � � ' +

l l ¦ ' � � ' +,

' +�" �� + , � +�"

� ��

���� ln|s

c f���f�xms � rtp ¦®� f &QoqfUx����z¼� � ln|6s c f�xQo�g�§�f � v ¦ y�vzl{xms±|7y�f � jH­�r?¨zf(p{f�xq�zs c ,

�F��m "

rzx ~ � � � " ln|7r � r ~ lnrtp ¦ o�x���s}l{vzx q

� � � " " $ � � � 8� 8 & 3 ����� $ @ � � @ 6 ��

, @ 8 � @ 68� &

� " & �(@ � � @ 6 � " 8 � �(@ 8 � @ 68 " 8 , � " m � ,�F� j "

­l{s c � � ��s c f�� c r � rD��suf � l{|us}ln� ¦ o�x���s}l{vzxHv ¦ ��� s c f ~ ln| z v ¦ ��fUxzsuf � jJrzx ~ rDx ~ � r ~ lno�| �X«{Y�x-s c f�rD§�|uv � §qlnxq��pnr?�Df � |$­�f(o�|ufs c f ¦ vDp{pwv ­lnxq�Jg#v ~ f�p ¦ v � s c f ~ rDg�yqlnxq�Jy�r � rDg#f�suf � �(@ "

�(@ " " + � @ � � 8­ c f � f � l{|�s c f�pwfUxq�Ds c v ¦ s c fJpnr?�Df � rDx ~ + l{|8r ¦ o�x���s}l{vzx v ¦ s c f�s c f�v � f�s}ln��rDp � f�¬�f���s}l{vzx ��vQf�³-��l{f�xms � � " � �� � " �Ó|uf�f� f�pnrtsulwvmx �u�?� "R¦ v � 8 " l "

+ " p{vD� $ �� & � � �� � C

£ f�° � |}s7y � f�|uf�xms|uvzg#f � fU|uoqp{su|6lnx�rDx c vzg#vz�Df�x�f�vzo�|¤ln|uvDs � vzy�l{��g#f ~ lno�gN«

����� ���$� ���2'� � �%��� � ���2� 4�2�%� �; �&�����"���5� �%� �%� � ���& 4���� � � �4�! � £ f¤��vzx�|ul ~ f �2c f � f©rDx�f�p{rz|}sul{�Rg#f ~ l{o�g ­l{s c � � " ��l�l�l . ��� , � 6 " ��h l�l . ���z« bc f©� c r � rz��s}f � ln|us}ln��|Ýv ¦ s c f ~ l{|±� � f�sulw¥Urts}l{vzxr � f

� " ��l�l , � " l C �/m�. , � " �Z� C m . , � C m . "P,��� " ��l , � " �/l � rDx ~ � " l C l�l�� C

£ f6° � |}sRy � f�|uf�xms$|uvzg#f|ux�rzy�| c vDs±|!v ¦ s c f7|uvDpnoqs}l{vzx�vzx�s c f7x�v � g#rDp�|u��rtp{f¤lnx9Z lw�mo � f��« £ f7��rzx � f�g�r ��z lnx�s c f7|±x�rDy�| c vzsu|y � f�|uf�xmsuf ~ vmx Z3l{�zo � f#�Js c rDs0­�f���rDx�|uf�f�x�v � f�¬�f���s}l{vzx�­ c f�x�s c f � f�|±oqp{su|0r � f�y � fU|}fUxms}f ~ vmx�s c f�xqv � g�rtp3|u��rtp{fD«1Y ¦ ­¤f­6rDxms0suvN|uf�f#|}vmg#f � f�¬�fU��s}l{vzx;­¤f c r?¨Df8s}v�g#rD�zxql ¦ ��s c f � f�|±oqpws±|�«(Y�x s c ln|�f���rDg�yqp{f8s c f � f�¬Af���sulwvmx;��vQf�³J��lwfUxms(ln|(rz§�vmoqsl C ��� rD|6­�f � fUg#r �;z §z�4g#rD�zxql ¦ �Ql{x��#s c f � f�|±oqpws±|§m�Hr ¦ rD��suv � ��l�l �Ó|uf�f Z lw�mo � f#�/l " «

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 23: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

��l ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

' " � C � j . � ' " m C mD��. � ' " � C �Am . �

' " �z� C � . � ' " �U� C ��. � ' " � j C �!. �Z l{�zo � f-�3q#jqx�rDy�| c vzsu|1v ¦ � ª ( f�p{rz|}sul{�#°Xxqlwsuf�ª ~ l)bXf � fUx���fU|�|}lng8o�p{rDs}l{vzx�|�¼3o�|}lnxq��s c f ���! rz§�|}v � §�l{xq��pnr?�Df � g�v ~ f�pÓ« bc f|±x�rDy�| c vzsu|r � f�s c f�xqv � g v ¦ s c f1¨zf�p{vq��l{sZ� � � � " 6 � 8� � � 8�

Z lw�mo � f��/l3q bc f�|±x�rDy�| c vzs6rDs�' " ��� C � . ��g�rt�mxqlw°�f ~ c f � f1§m�4r ¦ rD��s}v � ��l�l�«����� �� �� "� �2 � � �!��� ��� ���� "�2� ��� ����� �"� �5� �!� �!� � ���� 4�&������ �9� � £ f1��vzx�|}l ~ f � rzx c f�s}f � vz�Df�x�f�vzo�|Rf�pnrD|us}ln��g#f ~ lno�gN¼qs c f�lnxms}f �}¦ rD��f(ln|y�r � rDpwp{f�pes}v#s c fU@ � r �qln|�rzx ~ p{vq��rDs}f ~ lnxHs c f1g�l ~�~ p{fv ¦ s c f ¦®� rzg#f �´|}f�fDZ3l{�zo � f��D� " « bc fJ­6r?¨Df#¨Df�pwvq��l{s}l{f�|�lnx s c fJsZ­�v�g�f ~ lnr�r � f � �� " ��l�l l�. � � , � �6 " ��h l l�. � � �®s c fo�y�y�f � g#f ~ lno�g " ¼�� 8� " �/l�l l�. � � , � 86 " �+l l�. � � �Ós c f8pwv ­�f � g#f ~ l{o�g " «��0pwp!s c f�vzs c f � y�r � rzg�f�s}f � |r � f�s c f8|urzg#f�rD|lnxJ|}fU��sulwvmx j «w�­ c f � f­¤fs±r z f5� 6 " ��� �6 � � 86 " �t� ¦ v � s c f0��vmg#y�oqsurDs}l{vzx#v ¦ � + �Óf &Qo�rDs}l{vzxJ��m " rDx ~ � � " � �� suv���vzg�y�o�s}f 'Ù« bc f0|uvzo � ��fln|©x�v ­ p{vq��rtsuf ~ lnxJs c f0pwv ­�f � g#f ~ l{o�g xqfUr � s c f7lnxms}f �}¦ rD��f �ÓrDs©y�vzl{xms �}�/m�. , � j C ��. " " « £ f0y � f�|uf�xms©|uvzg#f|±x�rDy�| c vzsu|6v ¦ s c f�|}vzp{oqsulwvmxNvzx4s c f�xqv � g�rDpe|±��rDpwf�vmx�Z l{�zo � f��D�z« bc f � f�¬Af���sulwvmx4��vQf�³-��l{f�xms ¦ v � s c ln|f���rDg�yqp{f�l{|rz§�vmoqsl C ��� rD|6­�f1��rDx�|uf�f�vzx�Z lw�mo � f#�?�q«

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 24: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � �q�

' " � C �Am . � ' " �U� C ��. � ' " � j C �!. �Z l{�zo � f4�z��q(jQx�rDy�| c vDs±|�v ¦ � ª (¯f�pnrD|us}ln��°Xxqlwsuf�ª ~ l)bXf � fUx���fU|�|ulng8oqpnrtsulwvmx�|�¼Ýo�|ulnxq�Hs c f ���! rD§�|uv � §qlnxq�Hpnr?�Df � g#v ~ f�p´« bc f|±x�rDy�| c vzsu|r � f�s c f�xqv � g v ¦ s c f1¨zf�p{vq��l{sZ� � � � " 6 � 8� � � 8� «

�u� " �´� "

Z l{�zo � f;�U�3qJjqx�rDy�| c vzs�v ¦ � ª ( f�pnrD|us}ln��°Axql{s}f�ª ~ l)bef � f�x���f�|8|ulng8oqpnrtsulwvmx�|�¼ o�|ul{x�� s c f ���! rD§�|uv � §qlnxq��p{r?�zf � g#v ~ f�pÓ« £ f� f�y � f�|uf�xms c f � f(s c f1xqv � g¯v ¦ s c f�¨Df�pwvq��l{sZ�-rts�s}lng#f2' " � j C �!. �z¼ �u� " ln|�g�rD�zxqlw°�f ~ §m�-r ¦ rD��s}v � �/l�l�rDx ~ �´� " §m�-r ¦ rz��suv ��/l�l�l�«

��� � �� �� "� �2 � � �!��� ��� ���� "�2� ��� ����� �"� �5� �!� �!� � � ���!�&���� �� � � �B� �9� � bc f c f�suf � vD�zf�xqf�vzo�|f�p{rz|}sul{�8g�f ~ lno�g ��vzx�|}l ~ f � f ~ c f � f�l{|(� c r � rD��s}f � l{¥�f ~ §m�Ns c f�¨Df�pwvq��l{sZ��g�v ~ f�p!y � f�|uf�xmsuf ~ vzx}Z3l{�zo � f�U��¼X­¤f c r?¨Df g�rt�%� �

g#l{x.� � " � C �8rzx ~ � � " � C j � 6 «aZ�v � s c f ~ ln|±� � f�s}l{¥�rDs}l{vzx�­�f�sur z f � � rDx ~ � 6 yqlwfU��f�­l{|uf8��vmx�|usurDxms±|)�®vmxqf¨ rtpnoqf�yAf � f�pwfUg�fUxms " «

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 25: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

�z� ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

below 715715 - 780780 - 845845 - 910910 - 975975 - 1040

1040 - 11051105 - 11701170 - 12351235 - 13001300 - 1365

above 1365

The Vp velocity model

Vp (m/s)

Z l{�zo � f�����q bc f1¨Df�p{vq��l{sZ�-g#v ~ f�p ¦ v � s c f c f�s}f � vz�Df�x�f�vzo�|�g#f ~ l{o�g4¼ g#rt�%� �g#lnx.� � " � C �1rDx ~ � � " � C j � 6 «

bc f�|ulw¥�f0v ¦ s c f�� � l ~ l{|6� l l /-� l l�¼ � " l C ��m . ¼ � � " �el�rDx ~ s c f1|}vmo � ��f7ln|�pwvq��rDs}f ~ rts¤s c f1yAvDlnxms �u�/m . , � . " « £ fy � f�|uf�xms�¼mvmx>Z l{�zo � f���h�¼Qs c�� f�f(f��qyAf � lng�fUxmsu|�­lws c ~ l�bef � f�xms6|}l{¥�fU|¤v ¦ s c f�rz§�|uv � §ql{x��8pnr?�Df � ¼Qx�rDg#f�p{�D¼QlnxHs c f�° � |}s�­¤f�sur z f� " m � � �?" l C l��D¼qlnxHs c f�|uf���vmx ~ � " �el � � � " l C l l���rDx ~ °Ax�rDpwp{� ��" ��l � � �?" l C l�l�l��D«

' " � C m m . � ' " � C � . � ' " �/l C j m . �Z l{�zo � f ��h�q�jQx�rDy�| c vzsu|#v ¦ �?ª ( f�pnrD|us}ln�-°Ax�lwsuf�ªFf�p{f�g#f�xmsu|J|ulng8oqpnrtsulwvmx�|�¼¤o�|}lnxq� s c f � �! rz§�|uv � §ql{x�� pnr?�Df � g#v ~ f�p­l{s c� " m � « bc f�|±x�rzy�| c vDsu|r � f�s c f�xqv � g v ¦ s c f1¨Df�p{vq��l{sZ��� � � " 6 � 8� � � 8�

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 26: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � �t�

m � �el � � l �

' " ��h C ��. �

' " �?� C � m�. �Z l{�zo � f ��miq�jQx�rDy�| c vzsu|#v ¦ �?ª ( f�pnrD|us}ln�-°Ax�lwsuf�ªFf�p{f�g#f�xmsu|J|ulng8oqpnrtsulwvmx�|�¼¤o�|}lnxq� s c f � �! rz§�|uv � §ql{x�� pnr?�Df � g#v ~ f�p­l{s c� " m � ¼ � " �el � rzx ~ �2" � l � « �7p{p2|±x�rDy�| c vzsu|r � f1g�rt�zx�l °�f ~ §m�Hr ¦ rz��s}v � v ¦ �el�«

vmx Z lw�mo � f �/m�­�f4y � fU|}fUxzs8s c f�|ux�rDy�| c vDs±|�v ¦ s c f�|}vzp{o�s}l{vzx.g�rt�mxql °Af ~ §m�.r ¦ rz��s}v � v ¦ �el�« £ f � f�g#l{x ~ s c rDs�s c f� f�¬�fU��sulwvmx4��vmf�³-��l{f�xmsu| ~ f�yAf�x ~ vzx4s c f1pwfUxq�Ds c v ¦ s c f1p{r?�zf � ¼qg�v � f1y � f���l{|uf�p{�-­�f c r?¨Df9q: � � f�¬�f���s}l{vzx4v ¦ rD§Avzoqs1��� ¦ v � � " m � ¼: r � f�¬�f���s}l{vzx4v ¦ rD§Avzoqs l C � � ¦ v � � " �/l � ¼: rDx ~ r � f�¬�fU��s}l{vzx4v ¦ rD§Avzoqs1l C l�� � ¦ v � �2" � l � «bc fU|}f � f�¬Af���sulwvmx4��vQf�³-��l{f�xmsu|6­ c l{� c r � f�s c f�v � f�s}ln��rDp�r � f���vzxQ° � g#f ~ §m�Hs c f�xQo�g#f � l{��rtpef���rDg�yqp{f�|�«

����� ���$� ���2'� � �%���%���!� � ���� "�2�%� �; �������"�����7'�!� �%� � � ���!�&���� �� � � �B� �9� � Y�x s c l{|8f���rDg�yqp{f-­�f-��vmx�|}l ~ f � rDx rDx�l{|uvDs � vmyql{��f�p{rz|}sul{�J|uvDp{l ~ ¼!s c fHrzy�rtsulwsufD« £ f-­6rDxms1suv y�vzl{xms�vmoqs�s c rts�lnx s c fH��rz|}fv ¦ rDxqln|uvDs � vzy�l{�1f�p{rz|}sul{��g�rts}f � lnrtpn|7vmxqp{��pwv ­�f � v � ~ f � rD§�|uv � §qlnxq�H§Avzo�x ~ r � ����vzx ~ lwsulwvmx�|(r � f z x�v ­7x;rDx ~ s c f���r � f &Qoql{s}f~ lw³-��oqp{sJs}v lng#y�pwfUg�fUxms x ��yF« ��x s c f���vzxms � r � � s c f��DfUxqf � rtp{lw¥Urtsulwvmx v ¦ s c f ���! g#v ~ f�p6s}v s c f�rDxqln|}vzs � vzyqln�H��rD|ufHln||us � rtl{� c s ¦ v � ­6r � ~ rzx ~ s c f � fJr � f#x�v�|±o�y�y�pwfUg�fUxmsur � � ~ lw³-��oqp{s}l{f�| ¦ v � s c f�lng�yqpwfUg#f�xmsurDs}l{vzxÝ« � v � f�v ¨Df � s c f � f�|±oqp{su|1r � f¨zf � �H|urDs}ln| ¦ rz��suv � �-rD|6­�f���rDxN|}f�f�l{xNs c f ¦ vDp{pwv ­lnxq�DZ lw�mo � fU|�«

bc f6� c r � rz��s}f � ln|us}ln��|�v ¦ s c f�y � vz§�pwfUg r � ftq � " � l�l�¼ � " l C ��m . ¼ ��� " �el(rDx ~ s c f6|uvzo � ��f¤l{|3p{vQ��rtsuf ~ rDs!s c f��f�xmsuf �v ¦ s c f ¦®� rDg#f�� " �u�/m . , ��m . " « £ f7y � f�|uf�xms3vzx]Z l{�zo � f�� j s c�� f�f�f���yAf � l{g#fUxzs±|�¼z��v �±� f�|±y�vmx ~ lnxq�0suv q �2" m � � � " l C l��D¼�1" �el � � � " l C l l��1rDx ~ ��" � l � � � " l C l l�l��D« £ f8��rzxN|uf�f1vmx Z lw�mo � fJ� j s c rDs7s c f � f1ln|0x�v � f�¬�f���s}l{vzxN­ c f�x�s c f� f�|±oqp{su|r � f�y � fU|}fUxms}f ~ vzx4s c f�x�v � g#rDpÝ|u��rtp{f�rz|�lws­6rD|6rtp � f�r ~ �Js c f1��rz|}f ¦ v � rzx c vzg#vD�zf�xqf�vzo�|6g#f ~ lno�gN«�k0v ­�f�¨zf � ¼Q­¤f��rDx�|}f�f1|}vmg�f � f�¬�fU��sulwvmx4§m�4g�rD�zxql ¦ �Ql{xq��s c f�|uf � fU|uoqp{su|0rD|| c v ­7xHvmx�Z l{�zo � f��?�q« bc f � f�¬�f���s}l{vzxN��vQf�³-��l{f�xms±|6vz§qs±rtlnxqf ~xQo�g#f � ln��rtp{p{�Hr � f1��p{vz|uf(suvJs c f1s c f�v � f�s}ln��rtpÝvmxqfD¼�g#v � f1y � f���l{|uf�p{�J­¤f1vm§qsurDl{xrq: � � f�¬�f���s}l{vzx4v ¦ rD§Avzoqs1��� ¦ v � � " m � ¼: r � f�¬�f���s}l{vzx4v ¦ rD§Avzoqs l C � � ¦ v � � " �/l � ¼Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 27: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

�th ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

' " j C j . � ' " ��� C � . � ' " � j C m�. �Z l{�zo � f � j q�jQx�rDy�| c vzsu|#v ¦ �?ª ( f�pnrD|us}ln�-°Ax�lwsuf�ªFf�p{f�g#f�xmsu|J|ulng8oqpnrtsulwvmx�|�¼¤o�|}lnxq� s c f � �! rz§�|uv � §ql{x�� pnr?�Df � g#v ~ f�p­l{s c� " m � « bc f�|±x�rzy�| c vDsu|r � f�s c f�xqv � g v ¦ s c f1¨Df�p{vq��l{sZ��� � � " 6 � 8� � � 8�

m � �el � � l �

' " ��� C � . �

' " � j C m . �Z l{�zo � f � �'q�jQx�rDy�| c vzsu|#v ¦ �?ª ( f�pnrD|us}ln�-°Ax�lwsuf�ªFf�p{f�g#f�xmsu|J|ulng8oqpnrtsulwvmx�|�¼¤o�|}lnxq� s c f � �! rz§�|uv � §ql{x�� pnr?�Df � g#v ~ f�p­l{s c� " m � ¼ � " �el � rzx ~ � " � l � « bc f-|ux�rzy�| c vDs±|�r � f�s c fHx�v � g*v ¦ s c fJ¨Df�p{vq��l{sZ� � � � " 6 � 8� � � 8� g�rt�mxqlw°�f ~ §m� r¦ rz��s}v � �el�«

: rDx ~ r � f�¬�fU��s}l{vzx4v ¦ rD§Avzoqs1l C lm� � ¦ v � �2" � l � «����� � �� � �"�&�$���.���� � �& � �"�Y�x�s c l{|¤|}fU��sulwvmx�­�f7y � f�|uf�xms � f�¬�fU��s}l{vzx���vmf�³-��l{f�xmsu|R��vzg�y�oqsuf ~ o�|ulnxq��xQo�g#f � l{��rtp�|ul{g�oqp{rDs}l{vzx�|�« £ f0��vzx�|ul ~ f � rzx c vzg#vD�zf�ªxqf�vzo�|�ln|}vzs � vzyqln�7f�p{rz|}sul{��|uvDp{l ~ � � � " m C �Q�el . ���z¼�� 6 " � C �D� . ��� " rDx ~ ­�f�o�|uf�s c f�°Axql{s}f�ª´f�pwfUg#f�xms�|±� c fUg�f ¦ v � s c f1|uy�rz��f~ ln|±� � f�s}l{¥�rDs}l{vzxÝ«

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 28: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � ��m

1

1D ��

D

S

PML

PML

PMLPML

PML

θ

Z l{�zo � f�����q�N(f�vzg#f�s � � ¦ v � ��vmg�y�oqs}lnxq� � f�¬�fU��sulwvmx4��vmf�³-��l{f�xmsu|�«

Z l{�zo � f �U� | c v ­7|�s c f��Df�vmg#f�s � � v ¦ s c fNy � vm§qpwfUg ��vzx�|}ln|}sul{x�� v ¦ sZ­¤v ��vzg�y�o�surtsulwvmx�rtp ~ vmg#rDl{x�| : � rDx ~ : 8 « b v��vzg�y�oqsuf8s c f � f�¬�fU��sulwvmx���vQf�³-��l{f�xms(­¤f#��vzx�|}l ~ f � s c f#|}vzp{o�s}l{vzx;rDs(yAvDlnxzs±|(x�f�r � s c f#o�y�yAf � §�vmo�x ~ r � ��v ¦�: � rD|(| c v ­7xvmx�Z l{�zo � f�����« (�f�x�vDs}lnxq�J§m� � ' � " � � � fU|uy�« � ' 8 " � " s c f1¨zf�p{vQ��lwsZ�4rtsy�vzl{xms � � lnx : � � � f�|±yÝ« : 8 " ­�f1sur z f� � � � " �B8 � ")" ~ l{¨ � ' 8 " � � ~ l{¨ � ' � " �~ l{¨ � ' 8 " �� � � 6 " �48 � ")" ��o � p � ' 8 " � � ��o � p%� ' � " ���o � p%� ' 8 " � C�F�z� "

bc rDs(ln|�s c f#f���y � f�|±|ulwvmx ¦ v � s c f � f�¬�fU��s}l{vzx ��vQf�³-��l{f�xms±|(lnx;s c f���rD|uf8v ¦ rHy�o � f � ªF­6r?¨Df�|uvzo � ��fz« Y�x s c fJ|±rDg#f8­6r?��­¤f��rDx ~ f�°Xxqf

� � 6 6 " �48 � "�" ��o � p � ' 8 " � ��o � p � ' � "��o � p � ' 8 "� � 6 � " �B8 � "�" ~ l{¨ � ' 8 " � ~ l{¨ � ' � "~ lw¨ � ' 8 " ,

lnx s c fJ��rz|}f#v ¦ r4y�o � fHj;­�r?¨zf�|uvzo � ��fz«]Z�v � vmo � f���rDg�yqp{f�|�­�f#o�|}fJr � ªF­�r?¨zf�|uvzo � ��f ¦ o�x���sulwvmx ~ f�|±� � l{§Af ~ §m� �´��m�¼ � j "­l{s c � � " � j «{Z�v � s c ln||uvzo � ��f ¦ o�x���s}l{vzxNs c f � vDs±rts}l{vzx�rtpev ¦ s c f1¨zf�p{vQ��lwsZ�Jln||±g#rDpwp{f � s c f�xNs c f ~ lw¨zf � �DfUx���f�§z�4r ¦ rz��suv ��/l =�� + |}v�s c rtss c f � f�¬�f���s}l{vzxN��vQf�³-��lwfUxzs � � 6 ln|xqf��Dp{lw�zl{§qp{fD«�H¶ �\�q��B L � �#�)+�@��+��� �D�?!]B'!#�6.>�0���6�+, ��Bi�0� $;�A>��6�#���� � �6�/��@ �#��%���! � �6 ���}����,-� !"�7��� = �7�����#�7 ���r$��"!"Bi� ��!���$;�%!#�%���7�6.� � � ��& Bi$�� ���;R�� �����0�7& $; �7� � V+�%$ ����,-� �bc f�� � l ~ |ul{¥�f�ln|7hAl�l /;� l l ¦ v �%: � ¼AhAl�l-/;� l�l ¦ v �%: 8 rDx ~ � " l C m�. ¦ v � §AvDs c ~ vzg�rtlnx�|�« bc f8|uvzo � ��f8l{|0pwvq��rDs}f ~ rtsyAvDlnxms �´� l l , ��l " v ¦ s c f�� � l ~ «$�0|6­�f���rDx4|}f�f�vmx�Z l{�zo � f#����s c f ~ vmg#rDl{x4ln||uo �±� vzo�x ~ f ~ §m�-rz§�|}v � §�l{xq�#pnr?�Df � |�¼zlnxH­ c l{� c­�f1sur z f

�(@ "I" + � @ � � ��F�t� "

­ c f � f � l{|7s c f1p{f�xq�zs c v ¦ s c f1pnr?�Df � rDx ~ + ln|�zlw¨zf�xH§m�

+ "�����p{vD� $ �

� & ���� h�� �� �

C

£ f-y � f�|uf�xms�s c�� f�fJf��qyAf � lng�fUxmsu|�­l{s c � " m � � � " �el = � ¼ � " �/l � � � " �/l =� rzx ~ � " � l � � � " �el =� « b vf��qrzg#l{xqf8s c f#y�f ��¦ v � g�rDx���f�v ¦ s c f � �! g#v ~ f�p´¼e��vzg�y�r � ln|uvzx�|­l{s c s c f4��|us�¼X�Dx ~ rzx ~ � � ~ v � ~ f � k0l{� ~ vmx�|0rz§�|}v � §�l{xq�§Avzo�x ~ r � �H��vmx ~ l{s}l{vzx�|r � f1y � f�|uf�xmsuf ~ «

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 29: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

� j ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

0 10 20 30 40 50 60 70 80Incidence Angle (degree)

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Rpp

(dB

)

Higdon 1

Higdon 2

Higdon 3

PML 5

PML 10

PML 20

Reflection Coefficients

Z l{�zo � f����3q�(¤vmg#y�r � l{|uvzxHv ¦ � � � ¦ v � s c f k(lw� ~ vzxN�1s ( $ |7rDx ~ ��� «�H¶ �\�q��BWU � ���D$;�A> ���#�@��+� �6�e�A@T�#��#����!4�%�+$ �����-��%!#�+$#�#���A&u�6� Bi�5.� $"*��6�+�8.+���@��+��!t��$��6�3��!#�6.}�%* � ��&A.�� �W+$;�9�2�3�9�2�3�6� Q$;�#�@��� �:� �5�%! ��� � � �%�0+���������%, �#*�6���5� *+���A& ���"�i�#$;+�0�+$ � � �2�3�|�%�+$",

�� 6 � $ ! � �� ' � � � �� � & C

� �+$ �2�3�9� E' ,t�5�)��R��a�� V+� �0D� �#�: � � $ . " � 8 ! � " ��=: � � $ . " � 8 ! � " ��= ! 8 " � � ��� 6 � " � C �Am " =: � � $ . " � 8 ! � " ��= ! 8 " � C m +�8. ! 3�" � � � � 6 � " � C � m " ��(|$­¤f6��rzx�|uf�f6vmx Z l{�zo � f j « m ¦ v � rDp{g#vm|}s$rtp{pqrDxq�zpwfU|3v ¦ l{x���l ~ f�x���f�s c f ���! rz§�|}v � §�l{xq��pnr?�Df � g#v ~ f�pq�zlw¨zf�| §�f�s}suf �R� f�|±oqp{su|s c f�x�s c f7rz§�|uv � §ql{x��0§�vmo�x ~ r � ����vzx ~ lwsulwvmx�| v ¦ ° � |us$rDx ~ |}fU��vzx ~ v � ~ f � rzx ~ s c ln| f�¨DfUx ¦ v � s c f1m � p{f�xq�zs c rD§�|uv � §qlnxq�0pnr?�Df � «(¤vmg#y�r � f ~ s}v1s c f7s c l � ~ v � ~ f � rz§�|uv � §ql{x�����vzx ~ lwsulwvmx�s c f � �! p{r?�zf � | v ¦ �el � rDx ~ ��l � r � f|±o�§�|usurDxmsul{rDpwp{��§Af�sus}f � f�����fUyqsxqfUr � s c f j l�� ~ f�� � f�fJrDxq�zpwfz« £ fJ­6rDxms�s}v;yAvDlnxms1vzoqs1s c rts1lnx s c ln|1f���rzg#y�pwfJ­�fJ��vzg�y�r � f�s c f � f�¬�f���s}l{vzx ��vQf�³J��lwfUxmsu|y � v ¨Ql ~ f ~ §m��s c fJ��vzxms}lnxQoqvzo�|tk0l{� ~ vmx g#v ~ f�p suvHs c f�vmxqf��zlw¨zf�x;§m��s c f ~ ln|±� � f�s}f ���! g#v ~ f�p´«(YZs(ln| z x�v ­7x�s c rDs(s c fk(lw� ~ vzx � f�¬�fU��s}l{vzxN��vQf�³J��lwfUxmsu|6lnx�� � f�rz|}f�­ c f�x ~ ln|±� � f�s}l{¥�rDs}l{vzx4l{|o�|}f ~ «

bc f1xQo�g#f � ln��rtp � f�|±oqp{su|y � f�|uf�xmsuf ~ l{xN|}fU��sulwvmx�| j «{�D¼ j « ��¼ j « ��¼ j « hJrDx ~ j « m#| c v ­²s c f1�zf�xqf � rDpwl{sZ�Jv ¦ s c f � �! g�v ~ f�p­ c ln� c ��rzx §Af;fUrD|ulwp{� rzy�yqp{lwf ~ lnx |uf�¨Df � rDpxmo�g�f � ln��rDp7|u� c f�g#f�|-rzx ~ �Dl{¨DfU|J|urDs}ln| ¦ rz��s}v � � � fU|uoqp{su|-f�¨DfUx l{x s c f ��rz|}f�v ¦rzxql{|uvDs � vmyqln� c f�s}f � vz�Df�x�f�vzo�|8f�p{rz|}sul{��g#f ~ lnr�« bc f � f�¬�fU��sulwvmx\��vQf�³J��lwfUxmsu|Jr � f�xqf�r � s c f�s c f�v � f�sul{��rtpvmxqf�| ¦ v � rDpwps c fy � f�|uf�xmsuf ~ f���yAf � l{g#fUxzs±|�¼e|uv-­¤f���rDx � f�|±o�g#f�s c f ¦ vzpwp{v ­l{x�� q4ZAv � s c f#��vzx�|}l ~ f � f ~ g#v ~ f�pn|(v ¦ s c f ~ rDg�yqlnxq� ¦ rz��suv � s c f� f�¬�fU��sulwvmx.��vQf�³-��l{f�xms±|�r � fHrD§Avzo�s-� � ¦ v � rrm � � �! pnr?�Df � p{f�x��Ds c ¼ §Af�p{v ­ l C � � ¦ v � r �/l � � �! pnr?�Df � pwfUxq�Ds c rDx ~§Af�p{v ­Tl C ��� ¦ v � r�� l � � �! pnr?�Df � p{f�xq�zs c�¦ v � rtp{pqf���y�f � lng#f�xmsu|�«{Y�x�y � rz��sul{��f�vmxqf7| c vzoqp ~ � c vQvz|uf6s c fp{f�xq�zs c v ¦ s c f7p{r?�zf �rz|Rr ¦ o�x���s}l{vzx�v ¦ s c f0|±��rtp{f6v ¦ s c f0y � vz§qp{f�g rDx ~ s c f � f�&Qoqf�|us}f ~ � f�¬Af���sulwvmx���vQf�³-��l{f�xms�« Y�x�s c f7xQo�g#f � l{��rtp�f��qrzg�yqpwfU|$s c rts­�f c r?¨Df�y � fU|}fUxms}f ~ s c f1|±��rDpwf�v ¦ s c f1y � vz§qp{f�g�|�­�rz|¤rz§�vmoqs��/m8­�r?¨zf�p{f�xq�zs c |©v ¦3� ªF­�r?¨zf)��� � " lnx4f�rD� c ~ l � fU��s}l{vzx�¼mlnx4s c ln|��rD|uf�r ��� pnr?�Df � ­l{s c � " m � �Ós c rDs6l{|rz§�vmoqs l�« m � � " ln|6|uoq³J��lwfUxms6rzx ~ �Dl{¨Df�|6§Af�sus}f �� f�|±oqp{su|�s c rDx4s c f1|uf���vmx ~ v � ~ f �rz§�|}v � §�l{xq�4��vzx ~ lwsulwvmxÝ«(k0v ­�f�¨zf � ¼ ¦ v � pnr � �Df � |±��rtp{f���vzg�y�oqs±rtsulwvmx�|0s c f�xmo�g�f � ln��rDp ~ l{|±y�f � |ul{vzx�­l{pwp$§Af#g#v � f�lng�y�v � s±rDxmsrzx ~ s c o�|�r ��� pnr?�Df � ­lws c � " m � ­¤vmoqp ~ y � vm§�rD§�pw�Jxqvzs¤�zlw¨zf0s c f(f��qyAf���s}f ~ � f�|±oqpws±|�« bc o�| ¦ v � pnr � �Df(|±��rDpwf�y � vz§qp{f�g�|vmxqf(| c vzo�p ~ ��vzx�|ul ~ f � r ���! p{r?�zf � ­l{s c � � �el � « £ f(­�rzxzs©s}v�yAvDlnxms©vmoqs�¼Qs c rts©f�¨DfUx�l{xJs c ln|¤��rD|uf7s c f�r ~�~ lwsulwvmx�rtpe��vm|}s� f�g�rtlnx�|1g#v ~ f�|us�¼!�Dl{¨DfUx;s c rts1s c fJp{r?�zf � vzxqp{� � f�y � f�|uf�xms±|�r�|±g�rtp{pRy�v � sulwvmx v ¦ s c fJs}vDs±rtpR� � l ~ « f�s�o�|�°Ax�rDpwp{� � f�g�r ��zs c rts6s c f � �! g�v ~ f�p���rzxH§Af�fUrD|ulwp{�Jf��qsuf�x ~ f ~ suv#s c f1��rz|}f(v ¦!� r?�mp{f�l{� c ­�r?¨zf�|�« ��vR��y�f � lng#f�xmsurDp � fU|uoqp{su|6xqvzs�| c v ­7xHl{xs c l{|0y�rDyAf �c r?¨zf ~ f�g#vzx�|}s � rDs}f ~ r#�DvQv ~ rz§�|uv � §qs}l{vzxHv ¦ � r?�Qpwf�lw� c ­6r?¨Df�| " «

� F¯�����7��9� 3������

£ f c r?¨Df�y � f�|uf�xms}f ~ lnx s c ln|-y�rzy�f � r �zf�xqf � rDpwl{¥�rDs}l{vzx v ¦ s c f ���! rD§�|}v � §qlnxq� p{r?�zf � g#v ~ f�p ¦ v � s c f�f�pnrD|us}v ~ �qx�rzg#l{�y � vz§�pwfUg l{x s c f���rz|}f�v ¦©c f�s}f � vD�zf�xqf�vzo�|�¼erDxqln|}vzs � vzyqln��g#f ~ l{r�« bc f8lng�yqpwfUg#f�xmsurDs}l{vzx;v ¦ s c l{|�g#v ~ f�p ­6rD|�y � fU|}fUxms}f ~ l{xs c f#� ( ��rz|}f�§�oqs0l{s(��rDx�§Af8|}s � rDlw� c s ¦ v � ­6r � ~ pw�Jf��qs}f�x ~ f ~ suv-s c f8� (¯��rD|ufD« bc f�|uo�yAf � l{v � lwsZ�4v ¦ s c l{|(g�v ~ f�p!��vzg�y�r � f ~

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 30: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

����������� ���� ������������������ �"!#� $#�%���'&(�)+*��#$�,-�/.��#� �0�1�2�3�4�����5�6+$��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9��:��$;� �%�<�%,=���>+���?!#�+�@$;�6�5����3�#�7�#$;�7&A�%�8��� B'!C,D�6. � �z�

suv�s c fHrz§�|uv � §ql{x��N§Avzo�x ~ r � � ��vzx ~ l{s}l{vzx�|�y � vzyAvz|uf ~ §z�rk0l{� ~ vmx ­6rD|8| c v ­7x §m� xQo�g#f � ln��rtp � f�|±oqp{su|1lnx s c f4��rD|uf�v ¦ rDxln|}vzs � vzyqln� c vmg#vD�DfUxqf�vmo�|7g#f ~ l{o�gN« � v � f�v ¨zf � ­�f c r?¨Df�| c v ­7x�§m��|}f�¨Df � rDp2xQo�g#f � l{��rtp2f���rDg�yqp{f�|7s c f8f�³-��l{f�x����4v ¦ s c ln|g#v ~ f�p4q � fUg#r �;z rz§qpwf � fU|uoqp{su|0f�¨zf�x�lnx�s c f���rz|}f8v ¦©c f�s}f � vD�zf�xqf�vzo�|�¼Arzxqln|}vzs � vzyqln�1g#f ~ lnr�« Z3lnx�rDpw�N­¤f�­�rzxms7s}vNy�vzl{xms0vmoqss c f0fUrD|ufv ¦ s c f(�Df�x�f � rtp{lw¥Urts}l{vzx#rDx ~ s c f0lng�yqp{f�g#f�xmsurDs}l{vzx�v ¦ s c ln|©g#v ~ f�pAl{x�s c f0��rz|}fv ¦ rDxJrDx�l{|uvDs � vmyql{��f�p{rz|}sul{�7g#f ~ l{o�glnx���vzg�y�r � ln|uvzx-­l{s c s c f���vmg#y�pwf��Ql{sZ�-v ¦ s c f � fU|uyAf���s}l{¨Df1rD§�|}v � §qlnxq�#§�vmo�x ~ r � �H��vzx ~ lwsulwvmx�|�«

� �7�D�0" �0����7

xâ�#y(s�«��8«��0o�p ~ « � �6�+B'!"�@�� � ��%�<.�! +�8.�� �)�!"�@�� � V+�%!(�����8� � �.�! ¼�¨zvDpno�g#f(Y©f�s Y;YÙ« £ lwp{f��z¼����Q� ��«x �+y(v(«1s �f���rD� c fz« ����%!#�+� Bi�@��+� �i $ Bi�5� , ��#�����e. �T.�� ��DO#B�+�@��+��! ����� ��;&�$; �)�"!W.�� Bi� ��$;� �%���%,-� .�� .+� $���#���� � .�� �+�5. �"!

��#�)+!6�@�(O#B��"! �@$;+��!6���0�+��$��"!��3+$]Bi�8� 7�!6!"Bi$;� � �¤c (�s c fU|}ln|�¼ � � � Yuj j ¼Ý�U�D���D«x � y(v(«�s �fU��rz� c fD¼ � «��zvDp{�D¼erDx ~ ((« b |uvD� z r�«tv¤p �fUg#f�xmsu|6°Xxql{|�g#lw�Qsuf�|(f�s���vmx ~ f�x�|urDs}l{vzx ~ f#g#rz|u|uf8fUx �f�p{rz|}suv ~ �Qx�rDg#l+&Qoqf

p{lnx �f�rDl � fD« �Ól " ��vzx�|us � o���sulwvmxÝ«2��� � � � �� . � �w�%� � �t+$"�?! ¼�s�«��z� mq¼�j �f � l{f Y"q m h'm� 3m�m l�¼��U�D�m�q«x h�y(v(« s �fU��rz� c fD¼ � «��Dvzpw�z¼RrDx ~ ((« b |uvD� z r�«uZ ln��s}l{s}l{vzo�| ~ vmg�rtlnx\g#f�s c v ~ rDy�yqpwl{f ~ s}v s c fN|u��rts}suf � l{x�� §m�.r � � rD� z v ¦

s � rzx�|ulwfUxzs�f�pnrD|us}ln�H­6r?¨DfU|�lnx\rzxql{|uvDs � vmyqln�-g#f ~ lnrWq4r xqf�­ ¦ rDg#l{pw�.v ¦ g#l �qf ~ °Axql{s}fNf�p{f�g#fUxzs±|#pwfUr ~ lnxq� suv f���yqpwln��l{s|±� c fUg�fU|�«$y�rD�DfU|�z�D�� Q�m� j «qjAY�� � ¼����z�D��«

x m+y��A« � «�s �f � fUxq�Df � «7�¯y�f ��¦ fU��supw��g�rts±� c f ~ pnr?�Df �¦ v � s c f�rz§�|}v � y�s}l{vzx�v ¦ f�pwfU��s � vmg#rD�zxqf�s}ln�1­6r?¨Df�|�«�� �+Bi$"�8+����� � �+, � ��|�'*�!"��"! �{¼ G�G U qw�U� m� �� l l�¼��U�D�thA«

x j y��A« � «:s �f � fUxq�Df � « bc�� f�f�ª ~ l{g#f�x�|}l{vzx�rDpy�f ��¦ fU��s}p{�\g�rts±� c f ~ p{r?�zf �8¦ v � s c f;rD§�|uv � yqs}l{vzx v ¦ f�pwfU��s � vmg#rD�zxqf�s}ln�-­6r?¨DfU|�«� � Bi$"�5+�:��� � �+, � � ���'*�!"��%! �{¼ G�G U �´� " q � j �� Q�m�t��¼A���D� j «

x ��y��A« � «�s �f � f�x��Df � «>Y�g�y � v ¨Df ~ � �! �¦ v � s c f�Z ( b (*jmvDpnoqs}l{vzx v ¦ £ r?¨zf�ª}jms � o���s±o � f-Y�xzsuf � rD��s}l{vzx �¤� vz§qp{f�g�|J«�� ������@$; �3!#��#���� �3! �+� � ���0�%���5+!(+�8. ��$��6�3#&A+�@��+� �{¼ U c �´� " q � j �� q�m� ��¼zg�r � � c ���D�Q�Q«

x � y(s�«�( c rDpwlnx ~ r � « � �+�8.+���@��+��! B�E � ��,9���7�%! $"��� 74�%��#���)�%!D�i� Bi$��)�%! ��O#B�+�@��+�3! .�� ��� ��%�)+!"�7�/.+*+�8+,9�(O%B�� « �¤c ( s c f�|ul{|�¼jqrtlnxzs�v¤s}l{f�x�xqf ��Z � rDx���f " ¼����z�m�Q«

x � y(Z6«(¤vzpwp{lnxqv�« � f ��¦ fU��supw�8g�rDsu� c f ~ rz§�|}v � §�l{xq��pnr?�Df � | ¦ v � s c f7y�r � r �qlnrtpmf &Qo�rDs}l{vzx�|�«�� � ��� � � ,t� � ���i* �{¼ �u����� " q{� j h� X�U��l�¼�U�D� j «

x �el y(Z6« (¤vDp{p{l{xqv#rDx ~ � « s�« � vzx z «$��yqs}lng#lw¥�l{x��8s c f�yAf �}¦ f���s}p{�-g�rtsu� c f ~ pnr?�Df � |�«�� �+, ��Bi� � ���#�����e.+!1����� � ���6��� � ���A&�$�& �{¼y�rt�DfU|� X¼�suv�rzy�yAf�r � �U�D�z��«

x �D�#y(s�«3v�xq��&Qoqln|us7rDx ~ ��« � r � ~ r�«¤�(§�|uv � §ql{x��-§�vmo�x ~ r � �H��vzx ~ lwsulwvmx�| ¦ v � s c f8xQo�g#f � ln��rDp2|}lng8o�p{rDs}l{vzxNv ¦ ­�r?¨zf�|�« ��+�2� �� � ,t� �{¼A�����}�U�D� " q j �t�� j m��D¼��moql{pwp{f�s1�U�m�z�Q«

x �U�+y b « k(rD�z|us � vzgN«Ý��x c lw� c ª´v � ~ f �$� r ~ lnrtsulwvmx#§Avzo�x ~ r � ����vzx ~ lwsulwvmxÝ«8Y�xDs�«�v¤x���&Qoqln|}s©rzx ~ N�«z�8«�� � l{f��z|±g�rDx�x�¼tf ~ l{s}v � |�¼� � ,t�5Bi�7 ���� �5+� � �V��]� $;�6�3#&A+�@��+� ¼!¨zvDpno�g#f�� j v ¦ � ��� � �����5�+� Bi,-�"!9���r��+�2� � +�8.��4� ��� ��6+�@��+��! «3jQy � l{x��Df � ¼�U�D�Q�Q«

x ��� y(Z6«ek(rD|us}lnxq�m|�¼���« s�«?jQ� c xqf�l ~ f � ¼?rDx ~ jX« «es � vz|±� c rDs�« �0y�y�pwln��rDs}l{vzx�v ¦ s c f©yAf �}¦ f���supw��g�rts±� c f ~ pnr?�Df � � ��� " rz§�|}v � §�l{xq�§Avzo�x ~ r � ����vzx ~ lwsulwvmx�suv�f�pnrD|us}ln�6­6r?¨Dfy � vzy�rD�zrtsulwvmxH«�� � � �6�+B'!"� � �w�e� � � , �{¼ G ��� �7m " q ��l j � 1� l j ��¼ � v ¨zf�g�§�f � ���D� j «

x ��h�y � « ((«~k(lw� ~ vzx�«H�0§�|uv � §qlnxq��§�vmo�x ~ r � � ��vzx ~ lwsulwvmx�| ¦ v � f�pnrD|us}ln��­6r?¨DfU|#«"! ���"�i�i*�!6��%! �{¼ c�f �7� " q �D��� q� hA�D¼8Z�fU§ � o�r � ��U�D���D«

x �/m+y � « «1k0l{� ~ vmxÝ« � r ~ l{rDs}l{vzx §Avzo�x ~ r � �²��vmx ~ l{s}l{vzx�| ¦ v � f�pnrD|us}ln� ­�r?¨zf y � vzy�rt�zrDs}l{vzxÝ« � � �t� � � C Bi,D�#$ � � �5 � �{¼�m� �Óh " q �D���# q�m�+l�¼D�0y � l{pR���z��l�«

x � j y � « «�k0l{� ~ vzxÝ«X�0§�|uv � §qlnxq��§�vmo�x ~ r � �#��vmx ~ l{s}l{vzx�| ¦ v � rD��vzo�|us}ln�rDx ~ f�p{rz|}sul{�6­6r?¨DfU| l{x�|us � rts}lw°�f ~ g�f ~ lnr�«$� � � � ,t�5Bi� ��|�'*�! �{¼2�/l�� �F� " q �z� j Qh��U��¼��U�D�z��«

x �?��y � «3Y�| � rtf�pwlÝrzx ~ jX« �8«X� � |}¥Urt��« �0y�y � v?�qlng�rts}l{vzxHv ¦$� r ~ lnrts}l{vzx4§�vmo�x ~ r � �4��vzx ~ lwsulwvmx�|�«%� � Bi$"�5+�:��� � �+, � � ���'*�!"��%! �{¼U G qw�z�/m� e���Amq¼��U�D���D«

x ��� y ((« � fUxq�8rDx ~ � « � « b v z |}vz¥D«;�0xHvzyqsul{g�rDperz§�|uv � §ql{x���§�vmo�x ~ r � �J��vmx ~ l{s}l{vzx ¦ v � f�p{rz|}sul{�0­�r?¨zf0g#v ~ f�p{l{x��H«&! �6�6�3�'* Q!"��%! �{¼ f�� �u� " q �D� j q��l��D¼��mrDxQo�r � �mª7Z�fU§ � o�r � �N�U�D�Amq«

Í!Í ØC�e�6�#�e�

Page 31: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

�D� ����� � ��� ���5� �5. ����� !#��&�

x ��� y ((« � « � rzy�y�rDyAv � s�« � f �}¦ f���s}p{� g�rDsu� c f ~ rD§�|uv � §qlnxq� ��vzx ~ l{s}l{vzx�|8§�rz|}f ~ vzx rzxqln|}vzs � vzyqln�Jp{vz|±|}�.g�rDyqlnxq� v ¦ |±y�rD��fD«� ����� �}��#$ �%! Bi�. � � �V��a� �#�@� �{¼�m��Ó� l " ¼e�U�D� m�«

x � l y1�8«ÝjQl{g#vzx�f�rDx ~ jX«8k0fU|}s c vDpngN«tY�x�|usurz§qlwp{l{sZ�Nlnx;rzy�yqp{�mlnxq�Hrz§�|uv � §ql{x��H§�vmo�x ~ r � ����vmx ~ l{s}l{vzx�|0s}v c lw� c ªFv � ~ f � |uf�ln|±g�ln�g#v ~ f�pwlnxq�Jrtp{�Dv � l{s c g�|�«�! �6�6�3�'*�!"��"! �{¼ f�L �$� " qw�/l��?�� X�/lz�t��¼ � r?�mª �zo�xqf��U�D�z��«

x �q�#y��A«QjQvQ� c rD� z lÓ¼ � « ��o�§qln� c f z ¼ ��« N(f�v � �Dfz¼ £ « � «AZ3p{f�s±� c f � ¼QrDx ~ jX«�jQg#l{s c |uvzxÝ«��(§�|uv � §ql{x��8§�vmo�x ~ r � �#��vmx ~ l{s}l{vzx�|¤rDx ~|±o �}¦ rD��f�­6r?¨DfU|0«�! �6�6�3�'*�!"��%! �{¼ c5M �}� " q j l� ��Q�D¼ �mrDxQo�r � �����z�m�q«

x �D�+y��A«5`0l � l{f�oQ�Ý« � ªZ|u¨N­6r?¨Df�y � vmy�rt�mrtsulwvmx4lnx c f�s}f � vz�DfUxqf�vmo�|0g#f ~ l{ruq ¨zf�p{vQ��lwsZ�mªZ|}s � fU|u|7°Axql{s}f ~ l)bXf � fUx���f#g�f�s c v ~ « ! �6� Q�3�'*�!"��%! ¼8mq���®h " q �z�D�� Q��l��D¼A���D� j «

x �t� y « �ec rtv rDx ~ ��« ((« (�rDxq�zf�p{p{r � ln|�« � �DfUxqf � rtp6rDy�y � vmrD� c suv ¦ v � ~ f�¨Df�pwvmy�yqlnxq� o�x�|uy�pwl{s�ª´°�f�p ~ s}lng�f�ª ~ vzg�rtlnx lng�yqpwf�ªg#fUxzs±rtsulwvmx�|6v ¦ y�f ��¦ fU��supw�Hg�rDsu� c f ~ pnr?�Df � | ¦ v � Z�( b (�� � l ~ s � o�x���rDs}l{vzxÝ«�� �����=�@$;+��! � �u��#$;� R��V�� � ����� $"* � ���6� � �{¼U5U q � m�m�m� q� m j ��¼����z� j «

ÊÌË!Í2ÊÏÎ

Page 32: Application of the PML Absorbing Layer Model to the Linear

Unit e de recherche INRIA Lorraine, Technopole de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES NANCY

Unit e de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnit e de recherche INRIA Rhone-Alpes, 655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN

Unit e de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnit e de recherche INRIA Sophia-Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS Cedex

EditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)��������� ���� ��������� ��� ���

ISSN 0249-6399