sesión 1_cal 3

CÁLCULO 3

Funciones de varias variables -

curvas de nivel

Ernaldo Caruajulca Muñoz ecm@upnorte.edu.pe

Con las dimensiones mostradas del siguiente

sólido, calcula:

y

z

x

El área de la base inferior: El volumen del sólido:

A = x . y V = x . y . z

Variable dependiente: A

Variables independientes: x ; y Variable dependiente: V

Variables independientes: x , y ; z

Existen muchas situaciones prácticas en las que una cantidad

de interés depende de los valores de dos o más variables.

Responda las siguientes preguntas:

• ¿ Qué es una función real de variable real?

• ¿ Cómo es el dominio de una función real de una

variable real?

• ¿ En qué espacio está la gráfica de una función real de

una variable real?

• Para una función real de dos variables: ¿Cómo es su

dominio y su gráfica?

Suponga que la función z=f(x,y)=(x2+3y2)exp(1-x2-y2), gráficamente

representa a la superficie de una montaña, donde las líneas curvas paralelas

a la superficie representan las marcas en tierra cuando sube el agua en una

inundación:

¿Cómo se le llama al conjunto

de curvas proyectadas

sobre el plano de la base?

¿Cómo se le llama a las

curvas que deja el nivel del agua en la

superficie de la montaña?

Curvas de Nivel Mapa de contorno

¿Qué criterios

se utilizan para

graficar las curvas de

nivel?

¿Qué información puedes obtener respecto a la geografía del terreno a partir las curvas de nivel?

CASO 01 CASO 02

MONTAÑAS

VALLE

LOGRO DE SESIÓN

Al término de la sesión, el estudiante

resuelve ejercicios y problemas sobre

funciones de varias variables,

determinando su dominio, gráfica;

curvas de nivel, utilizando definiciones

y propiedades, de acuerdo a las

características de la ecuación obtenida,

realizando los procedimientos de forma

ordenada y coherentemente.

TEMARIO

• Vistas Isométricas de un punto sobre el espacio

• Funciones reales de dos variables reales.

• Dominio y Rango de una Función de Varias Variables

• Álgebra de Funciones Reales de varias variables

• Gráfica de Funciones Reales de Varias Variables:

• Curvas de nivel.

• Trazas

1. VISTAS ISOMÉTRICAS DE UN PUNTO SOBRE ESPACIO

El planos XYZ es un espacio que tiene ocho partes llamadas octantes

(0,y,z) (x,0,z)

2. FUNCIONES EN DOS VARIABLES

Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par

ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real

único denotado por f(x,y).

El conjunto D es el Conjunto de Partida de f y su imagen es el

conjunto de valores que toma f

1 entrada Función f

x

z = f(x,y) 1 salida

PROCESO

y 2 entrada

D

Al conjunto de entradas se llama dominio de f y se denota por

Dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f

y se denota por Rang(f)

4) Una función de la forma:

: nf D

1 2 1 2, ,..., , ,...,n nx x x z f x x x , (con 2n )

se llama función real de varias variables.

2) Una función de la forma:

2: f D

2 2, , x y z f x y x y

se llama función real de 2 variables reales.

2.1 Funciones Reales de Varias Variables:

3) Una función de la forma:

3: f D

, , , , 2 5 x y z w f x y z x y z

se llama función real de 3 variables reales.

1) Una función de la forma: :f D

2x y f x x

se llama función real de 1 variable real.

3. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

Los conceptos conocidos para funciones de una variable tienen su equivalente para funciones de n variables:

• Llamaremos dominio de una función al conjunto de puntos para

los que la función tiene sentido.

• Llamaremos recorrido o imagen de una función al conjunto de

valores que toma la función.

Nuestro estudio se centrará fundamentalmente en funciones de dos variables, escribiéndose entonces:

2( ) ( , ) / ( , ) Dom f D x y f x y

Im( ) ( , ) / ( , ) f f x y x y D

Dominio:

Imagen:

3.1 Representación gráfica del Dominio e imagen

Im( f )

(x,y)

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/Figura9.html

Ejercicios resueltos

2 2( 2) ( 3)( , ) 3 1

4 9

x yz f x y

Ejemplo 1: Hallar el dominio de la función:

La función está bien definida si:

2 2( 2) ( 3)1 0

4 9

x y

Entonces el domino de la

función es:

2 22 ( 2) ( 3)

( ) ( , ) / 14 9

x yDom f x y

Gráficamente:

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/dominio1.html

Solución

2 2

1( , )z f x y

x y

Ejemplo 2: Hallar el dominio de la función:

La función no está definida en (0,0),

Entonces el domino de esta función es el conjunto: 2( ) (0,0)Dom f

Gráficamente:

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/dominio2.html

Solución

Ejemplo 3: Hallar el dominio de la función:

Solución

2 2 2( , , ) 1w f x y z x y z

La función está bien definida si:

2 2 21 0x y z

Por lo tanto el domino de la

función es:

Gráficamente: Es el sólido

encerrado por la esfera unitaria

(incluido el borde)

3 2 2 2( , , ) / 1fD x y z x y z

4. ÁLGEBRA DE FUNCIONES REALES DE 2 VARIAS VARIABLES

Si f y g son funciones de dos variables con dominio ,

entonces:

2D

Suma odiferencia:

Pr .

( )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) , ( , ) 0

( , )

oducto:

Coci

.

ente:

f g x y f x y g x y

f g x y f x y g x y

f f x yx y g x y

g g x y

No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables.

Sin embargo, si h es una función de varias variables y g en una función

de una sola variable, puede formarse la función compuesta (g o h)(x,y)

como sigue:

Composició ( , ) )n ( ,: g h x y g h x y

El dominio de esta función compuesta consta de todo (x,y) en el dominio

de h tal que h(x,y) está en el dominio de g.

Sea la función de varias variables:

: nf D

1 2 1 2, ,..., , ,...,n nx x x z f x x x , (con 2n )

El gráfico de f es el subconjunto de 1n

1

1 2 1 2 1 2( ) , ,..., , / , ,..., , , ,...,n

n n nGraf f x x x z z f x x x x x x D

Para n = 2: ( )Graf f es una superficie en3. (generalmente)

Para n = 3: ( )Graf f es un subconjunto de 4, que no se puede

representar, pero para ello se introduce el concepto de conjunto de nivel.

5. GRÁFICA DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

5.1 Gráfica de Funciones Reales de 2 Varias Variables

La gráfica de la función de dos variables f , se entiende como el conjunto

de puntos de la forma (x, y, z), donde z = f(x, y) y (x, y) pertenece al

dominio de f. Es decir,

Dicha gráfica se interpreta geométricamente como una superficie en el espacio,

y se dice que z = f(x, y) es la ecuación en forma explícita de dicha superficie.

( ) , , / , ; ,Graf f x y z z f x y x y D

3

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/Figura9.html

Función f restringida a un rectángulo D = [1, 3]x[1, 3]

Estudiemos la gráfica de 2 249( , ) - -f x y x y

Solución:

Haciendo 2 2 2 2 2 2 2 249 49 49( , ) - - - -z f x y z x y z x y x y z

2 2 20 0 0 7( - ) ( - ) ( - )x y z , que representa el conjunto de los puntos

del espacio cuya distancia al origen vale 7, es decir se trata de la

esfera de centro el origen y radio7. Como la función considerada es positiva : 0z , su gráfica es la

semiesfera, con z positiva, centro el origen y radio 7.

EJEMPLO

6. CURVAS DE NIVEL

En cartografía se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano)

alguna información tridimensional del relieve que corresponde a la zona

representada.

Pico del Descargador

En la esquina superior izquierda de este mapa aparece el Pico Descargador

(España), una curiosa formación geológica en la que la naturaleza parece haber

querido representar de modo explícito la idea de curvas de nivel.

¿Cómo obtener las curvas de nivel?

Las curvas de nivel se obtienen cortando la gráfica con planos

horizontales situados a distintas alturas. En la siguiente figura se

muestra una grafica (la del ejemplo previo) cortada con dos planos

horizontales a distintas alturas.

6.1 Ecuación De Las Curvas De Nivel

Un plano horizontal tiene por ecuación: z = c con c constante.

La intersección de la gráfica de f con el plano horizontal son por tanto los

puntos (x; y; z) tales que z = f(x; y) = c.

Para entender cómo es la gráfica de f, nos interesa la proyección de este

conjunto sobre el plano (x; y). Es decir, el conjunto formado por todos

los puntos (x; y) del plano en los que f toma el valor c.

Definición. La curva de nivel c de la función z = f(x; y) es el conjunto

de puntos (x; y) del plano que cumplen

f(x; y) = c

Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c.

Ejemplo 1. Dada la función 2 2, z f x y x y

¿Cuáles son sus curvas de nivel?

Solución: Se trata de estudiar los conjuntos:

2 2 2( , ) / cz x y x y c

Y como puede verse, son circunferencias centradas en el origen, de radio c .

En este ejemplo, si subimos cada

curva de nivel a la correspondiente

altura c se obtiene esta figura:

EJEMPLOS

Mapa de contorno

Ejemplo 2

Obtener las curvas de nivel de 2 2100 - -z x y .

Haciendo z = c c2 = 100-x

2-y

2 x

2+y

2 = 100-c

2, que son cir-

cunferencias de centro el origen para c<10. Para c = 10 represen-

ta el punto (0, 0), y para c>10 no tienen significado geométrico.

Mapa de contorno Curvas de nivel

Con el fin de realizar el dibujo de una superficie S de ecuación

explícita z = f (x, y) o de ecuación implícita F(x, y, z) = 0, procedemos

a realizar cortes o intersecciones a esta superficie con planos paralelos

a los planos coordenados, es decir, de la forma x = a, y = b, z = c

siendo a, b, c números reales arbitrarios.

•Las intersecciones anteriores son llamadas trazas o cortes de la

superficie en el plano considerado.

7. TRAZAS O CORTES

Para describir las trazas por ecuaciones se procede de la siguiente manera:

• Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con el plano x = a,

entonces su ecuación es “z = f (a, y); x = a” o “F(a, y, z) = 0; x = a,” y se

representa en el plano x = a.

• Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con el plano y = b,

entonces su ecuación es “z = f (x,b); y = b” o “F(x,b, z) = 0; y = b,” y se

representa en el plano y = b.

• Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con el plano z = c,

entonces su ecuación es “c = f (x, y), z = c” o “F(x, y,c) = 0, z = c” y se

representa en el plano z = c.

La ecuación de la superficie será z = x2 + y

2

Cortando por planos de la forma x = a z = a2 + y

2, que son parábolas en el

plano OZY.

Cortando por planos de la forma y = b z = x2 + b

2, que son parábolas en el

plano OZX.

Cortando por planos de la forma z = c c = x2 + y

2, que son, para c>0, cir-

cunferencias de centro el origen.

Gráfica de z = x2 + y2

Luego las trazas obtenidas sobre planos paralelos a los coordenados son

parábolas o circunferencias.

El estudio anterior da una idea de la forma de la superficie que se llama

paraboloide elíptico.

Ejemplo. Estudiar la gráfica de f(x, y) = x2 + y2.

Solución

# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL

1

515

THOM

2007

THOMAS

Calculo en Varias

Variables 973-974

2

515 CLA

PITA

2009

CLAUDIO

PITA. Cálculo Vectorial 111-112

3

515

LARS

2008

LARSON,

RON Cálculo II 895-896

BIBLIOGRAFÍA