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funciones de varias variablesTRANSCRIPT
CÁLCULO 3
Funciones de varias variables -
curvas de nivel
Ernaldo Caruajulca Muñoz [email protected]
Con las dimensiones mostradas del siguiente
sólido, calcula:
y
z
x
El área de la base inferior: El volumen del sólido:
A = x . y V = x . y . z
Variable dependiente: A
Variables independientes: x ; y Variable dependiente: V
Variables independientes: x , y ; z
Existen muchas situaciones prácticas en las que una cantidad
de interés depende de los valores de dos o más variables.
Responda las siguientes preguntas:
• ¿ Qué es una función real de variable real?
• ¿ Cómo es el dominio de una función real de una
variable real?
• ¿ En qué espacio está la gráfica de una función real de
una variable real?
• Para una función real de dos variables: ¿Cómo es su
dominio y su gráfica?
Suponga que la función z=f(x,y)=(x2+3y2)exp(1-x2-y2), gráficamente
representa a la superficie de una montaña, donde las líneas curvas paralelas
a la superficie representan las marcas en tierra cuando sube el agua en una
inundación:
¿Cómo se le llama al conjunto
de curvas proyectadas
sobre el plano de la base?
¿Cómo se le llama a las
curvas que deja el nivel del agua en la
superficie de la montaña?
Curvas de Nivel Mapa de contorno
¿Qué criterios
se utilizan para
graficar las curvas de
nivel?
¿Qué información puedes obtener respecto a la geografía del terreno a partir las curvas de nivel?
CASO 01 CASO 02
MONTAÑAS
VALLE
LOGRO DE SESIÓN
Al término de la sesión, el estudiante
resuelve ejercicios y problemas sobre
funciones de varias variables,
determinando su dominio, gráfica;
curvas de nivel, utilizando definiciones
y propiedades, de acuerdo a las
características de la ecuación obtenida,
realizando los procedimientos de forma
ordenada y coherentemente.
TEMARIO
• Vistas Isométricas de un punto sobre el espacio
• Funciones reales de dos variables reales.
• Dominio y Rango de una Función de Varias Variables
• Álgebra de Funciones Reales de varias variables
• Gráfica de Funciones Reales de Varias Variables:
• Curvas de nivel.
• Trazas
1. VISTAS ISOMÉTRICAS DE UN PUNTO SOBRE ESPACIO
El planos XYZ es un espacio que tiene ocho partes llamadas octantes
(0,y,z) (x,0,z)
2. FUNCIONES EN DOS VARIABLES
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par
ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real
único denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Conjunto de Partida de f y su imagen es el
conjunto de valores que toma f
1 entrada Función f
x
z = f(x,y) 1 salida
PROCESO
y 2 entrada
D
Al conjunto de entradas se llama dominio de f y se denota por
Dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f
y se denota por Rang(f)
4) Una función de la forma:
: nf D
1 2 1 2, ,..., , ,...,n nx x x z f x x x , (con 2n )
se llama función real de varias variables.
2) Una función de la forma:
2: f D
2 2, , x y z f x y x y
se llama función real de 2 variables reales.
2.1 Funciones Reales de Varias Variables:
3) Una función de la forma:
3: f D
, , , , 2 5 x y z w f x y z x y z
se llama función real de 3 variables reales.
1) Una función de la forma: :f D
2x y f x x
se llama función real de 1 variable real.
3. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
Los conceptos conocidos para funciones de una variable tienen su equivalente para funciones de n variables:
• Llamaremos dominio de una función al conjunto de puntos para
los que la función tiene sentido.
• Llamaremos recorrido o imagen de una función al conjunto de
valores que toma la función.
Nuestro estudio se centrará fundamentalmente en funciones de dos variables, escribiéndose entonces:
2( ) ( , ) / ( , ) Dom f D x y f x y
Im( ) ( , ) / ( , ) f f x y x y D
Dominio:
Imagen:
3.1 Representación gráfica del Dominio e imagen
Im( f )
(x,y)
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/Figura9.html
Ejercicios resueltos
2 2( 2) ( 3)( , ) 3 1
4 9
x yz f x y
Ejemplo 1: Hallar el dominio de la función:
La función está bien definida si:
2 2( 2) ( 3)1 0
4 9
x y
Entonces el domino de la
función es:
2 22 ( 2) ( 3)
( ) ( , ) / 14 9
x yDom f x y
Gráficamente:
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/dominio1.html
Solución
2 2
1( , )z f x y
x y
Ejemplo 2: Hallar el dominio de la función:
La función no está definida en (0,0),
Entonces el domino de esta función es el conjunto: 2( ) (0,0)Dom f
Gráficamente:
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/dominio2.html
Solución
Ejemplo 3: Hallar el dominio de la función:
Solución
2 2 2( , , ) 1w f x y z x y z
La función está bien definida si:
2 2 21 0x y z
Por lo tanto el domino de la
función es:
Gráficamente: Es el sólido
encerrado por la esfera unitaria
(incluido el borde)
3 2 2 2( , , ) / 1fD x y z x y z
4. ÁLGEBRA DE FUNCIONES REALES DE 2 VARIAS VARIABLES
Si f y g son funciones de dos variables con dominio ,
entonces:
2D
Suma odiferencia:
Pr .
( )( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , )( , ) , ( , ) 0
( , )
oducto:
Coci
.
ente:
f g x y f x y g x y
f g x y f x y g x y
f f x yx y g x y
g g x y
No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables.
Sin embargo, si h es una función de varias variables y g en una función
de una sola variable, puede formarse la función compuesta (g o h)(x,y)
como sigue:
Composició ( , ) )n ( ,: g h x y g h x y
El dominio de esta función compuesta consta de todo (x,y) en el dominio
de h tal que h(x,y) está en el dominio de g.
Sea la función de varias variables:
: nf D
1 2 1 2, ,..., , ,...,n nx x x z f x x x , (con 2n )
El gráfico de f es el subconjunto de 1n
1
1 2 1 2 1 2( ) , ,..., , / , ,..., , , ,...,n
n n nGraf f x x x z z f x x x x x x D
Para n = 2: ( )Graf f es una superficie en3. (generalmente)
Para n = 3: ( )Graf f es un subconjunto de 4, que no se puede
representar, pero para ello se introduce el concepto de conjunto de nivel.
5. GRÁFICA DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
5.1 Gráfica de Funciones Reales de 2 Varias Variables
La gráfica de la función de dos variables f , se entiende como el conjunto
de puntos de la forma (x, y, z), donde z = f(x, y) y (x, y) pertenece al
dominio de f. Es decir,
Dicha gráfica se interpreta geométricamente como una superficie en el espacio,
y se dice que z = f(x, y) es la ecuación en forma explícita de dicha superficie.
( ) , , / , ; ,Graf f x y z z f x y x y D
3
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/Figura9.html
Función f restringida a un rectángulo D = [1, 3]x[1, 3]
Estudiemos la gráfica de 2 249( , ) - -f x y x y
Solución:
Haciendo 2 2 2 2 2 2 2 249 49 49( , ) - - - -z f x y z x y z x y x y z
2 2 20 0 0 7( - ) ( - ) ( - )x y z , que representa el conjunto de los puntos
del espacio cuya distancia al origen vale 7, es decir se trata de la
esfera de centro el origen y radio7. Como la función considerada es positiva : 0z , su gráfica es la
semiesfera, con z positiva, centro el origen y radio 7.
EJEMPLO
6. CURVAS DE NIVEL
En cartografía se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano)
alguna información tridimensional del relieve que corresponde a la zona
representada.
Pico del Descargador
En la esquina superior izquierda de este mapa aparece el Pico Descargador
(España), una curiosa formación geológica en la que la naturaleza parece haber
querido representar de modo explícito la idea de curvas de nivel.
¿Cómo obtener las curvas de nivel?
Las curvas de nivel se obtienen cortando la gráfica con planos
horizontales situados a distintas alturas. En la siguiente figura se
muestra una grafica (la del ejemplo previo) cortada con dos planos
horizontales a distintas alturas.
6.1 Ecuación De Las Curvas De Nivel
Un plano horizontal tiene por ecuación: z = c con c constante.
La intersección de la gráfica de f con el plano horizontal son por tanto los
puntos (x; y; z) tales que z = f(x; y) = c.
Para entender cómo es la gráfica de f, nos interesa la proyección de este
conjunto sobre el plano (x; y). Es decir, el conjunto formado por todos
los puntos (x; y) del plano en los que f toma el valor c.
Definición. La curva de nivel c de la función z = f(x; y) es el conjunto
de puntos (x; y) del plano que cumplen
f(x; y) = c
Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c.
Ejemplo 1. Dada la función 2 2, z f x y x y
¿Cuáles son sus curvas de nivel?
Solución: Se trata de estudiar los conjuntos:
2 2 2( , ) / cz x y x y c
Y como puede verse, son circunferencias centradas en el origen, de radio c .
En este ejemplo, si subimos cada
curva de nivel a la correspondiente
altura c se obtiene esta figura:
EJEMPLOS
Mapa de contorno
Ejemplo 2
Obtener las curvas de nivel de 2 2100 - -z x y .
Haciendo z = c c2 = 100-x
2-y
2 x
2+y
2 = 100-c
2, que son cir-
cunferencias de centro el origen para c<10. Para c = 10 represen-
ta el punto (0, 0), y para c>10 no tienen significado geométrico.
Mapa de contorno Curvas de nivel
Con el fin de realizar el dibujo de una superficie S de ecuación
explícita z = f (x, y) o de ecuación implícita F(x, y, z) = 0, procedemos
a realizar cortes o intersecciones a esta superficie con planos paralelos
a los planos coordenados, es decir, de la forma x = a, y = b, z = c
siendo a, b, c números reales arbitrarios.
•Las intersecciones anteriores son llamadas trazas o cortes de la
superficie en el plano considerado.
7. TRAZAS O CORTES
Para describir las trazas por ecuaciones se procede de la siguiente manera:
• Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con el plano x = a,
entonces su ecuación es “z = f (a, y); x = a” o “F(a, y, z) = 0; x = a,” y se
representa en el plano x = a.
• Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con el plano y = b,
entonces su ecuación es “z = f (x,b); y = b” o “F(x,b, z) = 0; y = b,” y se
representa en el plano y = b.
• Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con el plano z = c,
entonces su ecuación es “c = f (x, y), z = c” o “F(x, y,c) = 0, z = c” y se
representa en el plano z = c.
La ecuación de la superficie será z = x2 + y
2
Cortando por planos de la forma x = a z = a2 + y
2, que son parábolas en el
plano OZY.
Cortando por planos de la forma y = b z = x2 + b
2, que son parábolas en el
plano OZX.
Cortando por planos de la forma z = c c = x2 + y
2, que son, para c>0, cir-
cunferencias de centro el origen.
Gráfica de z = x2 + y2
Luego las trazas obtenidas sobre planos paralelos a los coordenados son
parábolas o circunferencias.
El estudio anterior da una idea de la forma de la superficie que se llama
paraboloide elíptico.
Ejemplo. Estudiar la gráfica de f(x, y) = x2 + y2.
Solución
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1
515
THOM
2007
THOMAS
Calculo en Varias
Variables 973-974
2
515 CLA
PITA
2009
CLAUDIO
PITA. Cálculo Vectorial 111-112
3
515
LARS
2008
LARSON,
RON Cálculo II 895-896
BIBLIOGRAFÍA