1

2

ค ำน ำ

ชดการเรยนเรอง จ านวนเชงซอนและสมการพหนาม รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 4 ชนมธยมศกษาปท 5 โดยการจดการเรยนรแบบรวมมอ โดยใชเทคนค STAD เรอง จ านวนเชงซอนและสมการพหนาม จดท าขนเพอใชประกอบการเรยนการสอนโดยมงให นกเรยนไดฝกการท างานรวมกน ชวยเหลอซงกนและกน ฝกการเปนผน าและผตามทด และ ฝกใหนกเรยนไดศกษาคนควาดวยตนเอง โดยใหลงมอปฏบตจรง โดยแบงออกเปนชดยอย จ านวน 6 ชด ดงน

ชดท 1 เรอง จ านวนเชงซอน และการเทากนของจ านวนเชงซอน ชดท 2 เรอง การบวก การคณ สงยค และอนเวอรสการคณของจ านวนเชงซอน ชดท 3 เรอง การลบ และการหารจ านวนเชงซอน ชดท 4 เรอง กราฟและคาสมบรณ ชดท 5 เรอง จ านวนเชงซอนในรปจ านนเชงขว การหาคา Zn และการหารากท n ของจ านวนเชงซอน ชดท 6 เรอง สมการพหนามก าลง n ตวแปรเดยว ชดการเรยนชดนเปนชดท 4 เรองกราฟและคาสมบรณ ประกอบดวย ใบความร แบบทดสอบ

กอนเรยนและหลงเรยน และแบบฝกเสรมทกษะ ผจดท าหวงเปนอยางยงวา ชดการเรยน ชดท 4 เรองกราฟและคาสมบรณ จะเปน ประโยชน

ตอผน าไปใชในการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอนและสมการพหนาม ตอไป

วยะดา เซยงหลว

3

สำรบญ

เรอง หนำ สวนประกอบของชดการเรยน………………………………….……………. 1 ค าชแจงในการใชชดการเรยน……………………………………………….. 2 จดประสงคการเรยนร………………………………………….……………. 5 แบบทดสอบกอนเรยน…………………………………………….………… 6 กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน…………………………..…………. 10 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน……………………………………….………… 11 ค าชแจงในการใชชดการเรยน………………………………………….……. 12 ชดการเรยน ใบความรท 1………………………..….……………… 13

กจกรรมท 1.1………………………………………….. 14

เฉลยกจกรรมท 1.1………………..…………….……... 15

ใบความรท 1.2……………………..…………………. 16

แบบฝกเสรมทกษะท 1……………….……………….. 17

เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 1…………………………... 18

ใบความรท 2………………………….……..………… 21

กจกรรมท 2.1………………………………………….. 22

เฉลยกจกรรมท 2.1……………………..……………... 23

แบบฝกเสรมทกษะท 2……………….….…………….. 24

เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 2…………………………... 25

ใบความรท 3………………………….….….………… 26

4

สำรบญ (ตอ)

เรอง หนำ ชดการเรยน กจกรรมท 3.1………………………………………….. 29

เฉลยกจกรรมท 3.1………..…………………………... 30 กจกรรมท 3.3………………………………………….. 33

เฉลยกจกรรมท 3.3…………………………………….. 34

แบบฝกเสรมทกษะท 3………………………….…….. 35

เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 3…………………………... 39

แบบทดสอบหลงเรยน………………………………………….…………… 44 กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน……………………………………… 48 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน……………………………….………………… 49 บรรณานกรม………………………………………………………………… 50

5

สวนประกอบของชดกำรเรยน

ชดการเรยนเรอง จ านวนเชงซอนและสมการพหนาม รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 4 ชนมธยมศกษาปท 5 ชดท 4 เรองกราฟและคาสมบรณ เปนชดการเรยนทเนอหามงเนน ใหนกเรยนไดศกษาและปฏบตกจกรรมรวมกนเปนกลม มโอกาสแสดงความคดเหนรวมกน ชวยเหลอซงกนและกน สามารถสรางองคความรดวยตนเอง องคประกอบของชดการเรยนชดน ประกอบดวย

1. สวนประกอบของชดการเรยน 2. ค าชแจงในการใชชดการเรยน 3. จดประสงคการเรยนร 4. แบบทดสอบกอนเรยน 5. กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน 6. เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 7. ใบความรท 1 8. แบบฝกเสรมทกษะท 1 9. เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 1 10. ใบความรท 2 11. แบบฝกเสรมทกษะท 2 12. เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 2 13. ใบความรท 3 14. แบบฝกเสรมทกษะท 3 15. เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 3 16. แบบทดสอบหลงเรยน 17. กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน 18. เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

6

ค ำชแจงในกำรใชชดกำรเรยน ส าหรบประกอบการใชชดการเรยน ชดท 4 เรอง กราฟและคาสมบรณของจ านวนเชงซอน 1. บทบำทครผสอน

1) ครจดเตรยมชดการเรยนซงบรรจไวในกลองชดการเรยนแตละชดใหครบตามจ านวนนกเรยนและจดเตรยมวสดอปกรณในสวนทใชรวมกนกลมละ 1 ชด

2) ครควรศกษาชดการเรยนแตละชดอยางละเอยด เพอเตรยมการสอนตามแผนการจด การเรยนรทก าหนดไว

3) กอนท าการสอนครควรตรวจดกลองใสชดการเรยนใหอยในสภาพเรยบรอย ครบถวน พรอมทจะใชงาน

4) ครและนกเรยนรวมกนแบงกลมแบบคละกน กลมละ 5 – 6 คน โดยมนกเรยนเกง ปานกลาง ออน และใหนกเรยนก าหนดบทบาทหนาทของสมาชกในกลม

5) กอนสอนครควรจดชดการเรยนไวบนโตะประจ ากลมแตละกลมใหเรยบรอย โดยใหนกเรยนไดรบครบตามจ านวนกลมและครบตามจ านวนสมาชกทกคน

6) กอนสอนครควรชแจงใหนกเรยนเขาใจวธเรยนโดยใชชดการเรยน บทบาทของนกเรยน และจดประสงคการเรยนร

7) จดกจกรรมการเรยนรตามทก าหนดไวในแผนการจดการเรยนร โดยครมบทบาทในการใหค าแนะน าและอ านวยความสะดวกใหผเรยนสามารถเรยนรดวยตนเอง

8) ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนในแตละชดการเรยน เมอทดสอบแลวจงเรมใช ชดการเรยนแตละชด และเมอท ากจกรรมเสรจในแตละชดการเรยนใหนกเรยนท าแบบทดสอบ หลงเรยนประจ าชดการเรยน โดยเรยงล าดบจากชดท 1 ถงชดท 6

9) เมอเรยนครบทง 6 ชด ใหนกเรยนทกคนท าแบบทดสอบวดผลสมฤทธ หลงเรยน

7

2. กำรประเมนผล ประกอบดวย

1) การประเมนกระบวนการ เปนการประเมนพฤตกรรมระหวางเรยน ไดแก การประเมนจากคะแนนปฏบตกจกรรมในบตรกจกรรมและพฤตกรรมระหวางเรยน

2) การประเมนผลลพธ เปนการประเมนพฤตกรรมขนสดทายของนกเรยน จากแบบทดสอบยอยหลงเรยน

3. วธกำรจดกำรเรยนรโดยใชชดกำรเรยน มขนตอนดงน

1) ขนการจดกลม และน าเขาสบทเรยน 2) ขนน าเขาสบทเรยน 3) ขนการศกษากลมยอยและฝกทกษะ 4) ขนประเมนผล 5) ขนยอมรบความส าเรจของนกเรยน

4. ก ำหนดเวลำเรยน ชดการเรยนแตละชด ใชเวลาเรยน 3 ชวโมง

5 บทบำทนกเรยน 1) แบงกลมแบบคละกน กลมละ 5 – 6 คน โดยมนกเรยนเกง ปานกลาง ออน

เลอกประธานและเลขานการ โดยประธานมหนาทเปนผน าในการปฏบตกจกรรมกลม เลขานการ มหนาทจดบนทกกจกรรมของกลม สมาชกมหนาทใหความรวมมอในการปฏบตกจกรรม

2) ขนตอนการประกอบกจกรรม นกเรยนปฏบตดงน - ขนทดสอบกอนเรยน นกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน - ขนน าเขาสบทเรยน นกเรยนมสวนรวมสนทนาซกถาม ครน าเขาสสงทจะเรยนร

8

3) ขนประกอบกจกรรมการเรยน นกเรยนปฏบตกจกรรมดงน

- อานค าชแจง - อานศกษาใบความร - ปฏบตกจกรรมตามแบบฝกเสรมทกษะ - ตรวจค าตอบจากเฉลยแบบฝกเสรมทกษะ

4) ขนสรปบทเรยน - รายงานผลการปฏบตกจกรรม - ตรวจสอบผลการปฏบตกจกรรมจากเฉลยแบบฝกเสรมทกษะ

5) ขนทดสอบหลงเรยน นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน

6. กำรจดชนเรยนแบบกลม จดชนเรยนเปนกลม โดยแบงกลมแบบคละกน กลมละ 5 – 6 คน ดงน

2 3 1 4 6 5 การจดการเรยนเปนกลม หมายเลข 1 เปนประธานกลม หมายเลข 2

เปนเลขานการกลม และหมายเลขอน ๆ เปนสมาชกในกลม

แตละกลมจดดงน

9

จดประสงคกำรเรยนร

เมอนกเรยนศกษาชดการเรยน ชดท 4 เรอง กราฟและคาสมบรณของจ านวนเชงซอน

จบแลว

1. นกเรยนสามารถเขยนจ านวนเชงซอนแทนดวยจดลงบนกราฟได

2. นกเรยนสามารถเขยนจ านวนเชงซอนแทนดวยเวคเตอรลงบนกราฟได

3. นกเรยนสามารถหาคาสมบรณของจ านวนเชงซอนทก าหนดใหได

น าคณสมบตของคาสมบรณไปประยกตใชในการแกปญหาได

10

แบบทดสอบกอนเรยน

เรอง กรำฟและคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน จ ำนวนขอสอบ 10 ขอ

ค ำสง ใหท าเครองหมาย (× ) ทบขอทถกทสดลงในแบบทดสอบ

จากกราฟทก าหนดใหใชตอบค าถามขอ 1

1. จด A , B , C และ D เปนจดทแทนจ านวนเชงซอนในขอใด

ก. i53 , i23 , i36 , i4 ตามล าดบ ข. i53 , i36 , i23 , i4 ตามล าดบ ค. i53 , i23 , i4 , i36 ตามล าดบ ง. i4 , i23 , i36 , i53 ตามล าดบ

X แกนจรง

Y แกนจนตภาพ

. A

. B

. C

. D

11

ใชขอมลนตอบขอ 2 – 3

Y แกนจนตภาพ

2. จ านวนเชงซอน 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวยเวกเตอรใด

ก. 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวย OD , OA ตามล าดบ ข. 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวย OB , OA ตามล าดบ ค. 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวย OD , OB ตามล าดบ ง. 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวย OB , OC ตามล าดบ

3. ขอใดถกตอง ก. OB แทนจ านวนเชงซอน i52 ข. OC แทนจ านวนเชงซอน i63 ค. OD แทนจ านวนเชงซอน i26 ง. OA แทนจ านวนเชงซอน i52

X แกนจรง

D

B

C

A

O

12

4. คาสมบรณของจ านวนเชงซอน Z = i5 คอขอใด

ก. 22 i50Z ข. 22 )i5(0Z ค. 22 )5(0Z ง. 22 20Z

5. คาสมบรณของจ านวนเชงซอน Z = i26 คอขอใด ก. 210Z ข. 10Z ค. 103Z ง. 102Z

6. คาของ 60100 i5i คอขอใด ก. 4 ข. 0 ค. 1 ง. 5

7. ขอใดเปนจรง ก. i43i43 ข. i34i25 ค. 5i5 ง.

4

1i

4

1

4

1

8. ก าหนดให i43Z และ i512W คาของ 1ZW คอขอใด ก. 65 ข. 65 ค.

5

13

ง. 13

5

13

9. คาสมบรณของจ านวนเชงซอน 42 )i3()i31(Z คอขอใด

ก. 22 ข. 42 ค. 62 ง. 82

10. ก าหนดให i

i21Z

จงหา 9Z6Z2

ก. 26 ข. 26 ค. 27 ง. 27

14

กระดำษค ำตอบแบบทดสอบกอนเรยน ชดกำรเรยนเรอง กรำฟและคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน

ชอ.....................................................เลขท..........ชน.............

วนท............เดอน.......................พ.ศ...........

***************************

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน

เตม 10

ได

ลงชอ.........................................ผตรวจ

15

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน ชดกำรเรยนเรอง กรำฟและคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน

ขอ เฉลย

1 ค 2 ค 3 ข 4 ค 5 ง 6 ก 7 ก 8 ง 9 ค

10 ข

16

ค ำแนะน ำในกำรใชชดกำรเรยน

ชดการเรยนเรอง กราฟและคาสมบรณของจ านวนเชงซอน ทนกเรยนจะไดศกษาตอไปน

เปนชดการเรยนทนกเรยนสามารถท ากจกรรมตาง ๆ ไดดวยตวเอง เพอใหนกเรยนไดเกดการเรยนร

ดวยตนเองและพฒนาตนเองไดเตมศกยภาพ ซงนกเรยนตองศกษาจดประสงคการเรยนร ระยะเวลา

ทใชในการท าชดการเรยน และเนอหาในชดการเรยนใหเขาใจ เพอเปนแนวทางในการศกษาและ

ปฏบตกจกรรม ดงน

1. กอนทนกเรยนจะศกษาเนอหาในชดการเรยน ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนเปน

ขนตอนแรก การท าแบบทดสอบกอนเรยนเปนการตรวจสอบความรของตนเอง

2. นกเรยนแบงกลม กลมละ 5 – 6 คน โดยสมาชกในกลมประกอบดวย นกเรยน เกง

ปานกลาง ออน จ านวนเทา ๆ กน

3. นกเรยนศกษาจดประสงคการเรยนร ใบความร และตวอยาง ในชดการเรยนใหเขาใจ

4. ตอบค าถามในแตละกจกรรมทก าหนดให พรอมตรวจค าตอบในเฉลยดานลาง

5. หากตอบผด ใหยอนกลบศกษาใบความร ตวอยางในตอนตนอกครง

6. นกเรยนท าแบบฝกเสรมทกษะทายกจกรรมดวยตวนกเรยนเอง

7. นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน

8. ในขณะทนกเรยนใชชดการเรยน ถามปญหาหรอขอสงสยสามารถปรกษาครผสอนได

17

ใบควำมรท 1

ใบควำมรท 1.1 เนองจากจ านวนเชงซอน bia สามารถเขยนในรปของคอนดบ )b,a( ได ดงนน

จงสามารถเขยนจ านวนเชงซอนแทนดวยจดบนระนาบ และเรยกระนาบนนวา ระนาบเชงซอน โดยใหแกน x แทนสวนจรง เรยกวา แกนจรง และใหแกน y แทนสวนจนตภาพ เรยกวา แกนจนตภำพ แกนทงสองตงฉากกนและตดกนท (0 , 0)

y แกนจนตภาพ

x แกนจรง 0

18

กจกรรมท 1.1 ในแตละกจกรรมตอไปนใหนกเรยนเตมค ำตอบในชองวำงใหสมบรณ

จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปน แทนดวยจดบนกราฟ 1. i32 เขยนในรปคอนดบไดเทากบ (…….,……) 2. i85 เขยนในรปคอนดบไดเทากบ (…….,……) 3. i53 เขยนในรปคอนดบไดเทากบ (…….,……)

x (แกนจรง)

2. จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปน แทนดวยจดบนกราฟ 2.1. i53 เขยนในรปคอนดบไดเทากบ (…….,……) 2.2. 3 เขยนในรปคอนดบไดเทากบ (…….,……) 2.3. i5 เขยนในรปคอนดบไดเทากบ (…….,……)

y (แกนจนตภาพ)

.(2,3)

. (- 5,8)

. (3,- 5)

19

- เฉลยกจกรรมท 1.1 ในแตละกจกรรมตอไปนใหนกเรยนเตมค ำตอบในชองวำงใหสมบรณ

1. จงเขยนจ ำนวนเชงซอนตอไปน แทนดวยจดบนกรำฟ

1.1. i32 เขยนในรปคอนดบไดเทำกบ (2,3) 1.2. i85 เขยนในรปคอนดบไดเทำกบ (-5,8) 1.3. i53 เขยนในรปคอนดบไดเทำกบ (3,-5)

x (แกนจรง)

2. จงเขยนจ ำนวนเชงซอนตอไปน แทนดวยจดบนกรำฟ 2.1. i53 เขยนในรปคอนดบไดเทำกบ (– 3 , – 5) 2.2. 3 เขยนในรปคอนดบไดเทำกบ (3 , 0) 2.3. i5 เขยนในรปคอนดบไดเทำกบ (0 , 5)

y (แกนจนตภาพ)

.(2,3)

. (- 5,8)

. (3,- 5)

20

b

ขอ 4 ขอ 3

ขอ 2

ขอ 1

ใบควำมรท 1.2 นอกจากจะเขยนจ านวนเชงซอน iba แทนดวยจดแลว ยงสามารถเขยนแทนดวยเวกเตอร

โดยใหจดเรมตนของเวกเตอรอยทจด (0,0) เทานน และใหจด )b,a( ใดๆ แทนจดสนสดของเวกเตอร เชน

)b,a(

a

จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปน แทนดวยเวกเตอร 1. i32 เขยนเเทนดวยเวกเตอรทมจดเรมตนทจด (0,0) และมจดสนสดทจด (2,3) 2. i85 เขยนเเทนดวยเวกเตอรทมจดเรมตนทจด (0,0) และมจดสนสดทจด )8,5( 3. i53 เขยนเเทนดวยเวกเตอรทมจดเรมตนทจด (0,0) และมจดสนสดทจด )5,3( 4. i54 เขยนเเทนดวยเวกเตอรทมจดเรมตนทจด (0,0) และมจดสนสดทจด )5,4(

Y (แกนจนตภาพ)

X (แกนจรง)

21

แบบฝกเสรมทกษะท 1

1. จงเขยนจ านวนเชงซอนแทนดวยจดบนกราฟ เมอก าหนดจ านวนเชงซอนใหดงตอไปน

Z1 = (3 , 4) Z2 = (– 2 , 3) Z3 = – 4 – 2i Z4 = 2 – 2i

Z5 = (5 , –6) Z6 = 1 + 7i

Z7 = (– 4 , – 6) Z8 = – 5 – 6i Z9 = – 7 – 2i Z10 = 6 + 2i

Y (แกนจนตภาพ)

X (แกนจรง)

22

2. จงเขยนกราฟของจ านวนเชงซอนทก าหนดใหตอไปนในรปของเวกเตอร เมอก าหนด

จ านวนเชงซอนใหดงตอไปน Z1 = (1 , 2) Z2 = (– 2 , – 3) Z3 = 4 – 2i Z4 = – 6 – 5i Z5 = 2 – 3i Z6 = – 4 + 4i , Z7 = 5 + 4i Z8 = (– 3 , 6) Z9 = (– 5 , – 7) Z10 = – 7 + 2i

Y (แกนจนตภาพ)

X (แกนจรง)

23

เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 1

1. จงเขยนจ านวนเชงซอนแทนดวยจดบนกราฟ เมอก าหนดจ านวนเชงซอนใหดงตอไปน Z1 = (3 , 4) Z2 = (– 2 , 3) Z3 = – 4 – 2i Z4 = 2 – 2i

Z5 = (5 , –6) Z6 = 1 + 7i

Z7 = (– 4 , – 6) Z8 = – 5 – 6i Z9 = – 7 – 2i Z10 = 6 + 2i

Y (แกนจนตภาพ)

X (แกนจรง)

. Z1 .Z2

.Z3 .Z4

.Z5

.Z6

.Z7

.Z8

.Z9

.Z10

24

2. จงเขยนกราฟของจ านวนเชงซอนทก าหนดใหตอไปนในรปของเวกเตอร เมอก าหนด

จ านวนเชงซอนใหดงตอไปน Z1 = (1 , 2) Z2 = (– 2 , – 3) Z3 = 4 – 2i Z4 = – 6 – 5i Z5 = 2 – 3i Z6 = – 4 + 4i , Z7 = 5 + 4i Z8 = (– 3 , 6) Z9 = (– 5 , – 7) Z10 = – 7 + 2i

y (แกนจนตภาพ)

x (แกนจรง)

Z1 Z2

Z3

Z4

Z5

Z6 Z7

Z8

Z9

Z10

25

ใบควำมรท 2

เนองจากจ านวนเชงซอน iba สามารถเขยนแทนดวยเวกเตอรทมจดเรมตนทจด (0,0) และมจดสนสดทจด )b,a( ดงนนคาสมบรณของจ านวนเชงซอน iba คอระยะทางจากจดเรมตน (0,0) ไปยงจดสนสด )b,a( ของเวกเตอร และคาสมบรณของของจ านวนเชงซอน iba)b,a(Z เขยนแทนดวยสญลกษณ Z หรอ )b,a( หรอ iba

จากทฤษฎบทพทาโกรส จะได 2

Z = 22 ba Z = 22 ba

สรป คาสมบรณของจ านวนเชงซอน Z สามารถหาได ดงน

Z = )b,a( = iba = 22 ba

ตวอยำงท 1 จงหาคาสมบรณของจ านวนเชงซอนตอไปน i32 = 22 32 = 94 = 13

(a , b)

b

a

26

กจกรรมท 2.1 ในแตละกจกรรมตอไปน ใหนกเรยน เตมค ำตอบในชองวำงใหสมบรณ 2.1.1 i43 = …………………………. = ………………………… = ………………………… 2.1.2 i10 = …………………………

= ………………………… = ………………………… 2.1.3 )4,4( = ………………………… = ………………………… = …………………………

27

เฉลยกจกรรมท 2.1 ในแตละกจกรรมตอไปน ใหนกเรยน เตมค ำตอบในชองวำง

ใหสมบรณ

2.1.1 i43 = 22 4)3( = 169 = 25 = 5

2.1.2 i10 = i100 = 22 )10(0 = 100 = 10

2.1.3 i44 = 22 4)4( = 1616

= 32 = 24

28

แบบฝกเสรมทกษะท 2

1. จงหาคาสมบรณของจ านวนเชงซอน Z ตอไปน 1.1 i45Z 1.2 i43Z Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..………………..

1.3 i2

1Z

1.4 i73Z

Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. 1.5 i22Z 1.6 i221Z Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..………………..

1.7 i32Z 1.8 i23Z Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. 1.9 i125Z 1.10 i31Z Z = …………………… Z = …..………………..

= …..……………….. = …..……………….. = …..……………….. = …..………………..

29

เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 2 1.1 i45Z 1.2 i43Z

Z = 22 45 Z = 22 )4(3 = 1625 = 169 = 41 = 25 = 5

1.3 i2

1Z

1.4 i73Z

Z = 22 1)

2

1( Z = 22 )7(3

= 14

1 = 499

= 4

5 = 58

1.5 i22Z 1.6 i221Z

Z = 22 1)22( Z =

22 )22(1 = 18 = 81 = 9 = 9 = 3 = 3

1.7 i32Z 1.8 i23Z

Z = 22 )3()2( Z = 22 )2()3( = 32 = 23 = 5 = 5

1.9 i125Z 1.10 i31Z

Z = 22 )12()5( Z = 22 )3(1

= 14425 = 31 = 169 = 4 = 13 = 2

30

ใบควำมรท 3

สมบตของคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน ถา Z และ W เปนจ านวนเชงซอนแลว

1. ZZZ2 2. ZZ

3. ZZ 4. WZZW

5. 0Z กตอเมอ 0Z 6. ถา 0Z แลว Z

1Z 1

7. W

Z

W

Z เมอ 0W 8. WZWZ

9. WZWZ 10. WZWZ

ถาก าหนดใหจ านวนเชงซอน Z และ n เปนจ านวนเตมบวกแลว Z...ZZZZn ( n พจน) ดงนน Z...ZZZZn ( n พจน) จากสมบต ขอท 4 จะไดวา Z...ZZZZn ( n พจน) นนคอ nn ZZ ดงนนจงสรปไดวา ถา Z เปนจ านวนเชงซอนและ n เปนจ านวนเตมบวกแลว

nn ZZ

31

ตวอยำงท 1 ก าหนดให i43Z และ i512W จงหา

WZ.1 = )i512()i43( = i99

= 22 99

= 8181

= 162

= 29

1Z.2 =

Z

1 (เพราะวา 0Z )

= i43

1

= 22 4)3(

1

= 25

1

= 5

1

3. ZW = WZ = i512i43 = 2222 5124)3( = 16925 = 5 13 = 65

4. 3Z = 3Z

= 3i43

= 322 )4)3(( = 3)25( = 35 = 125

32

W

Z.5

= W

Z

=

i512

i43

= 22

22

512

4)3(

= 169

25

= 13

5

33

กจกรรมท 3.1 ในแตละกจกรรมตอไปน ใหนกเรยนเตมค าตอบในชองวาง ใหสมบรณ

ก าหนดให i42Z และ i63W จงหา 3.1.1

32WZ = 32 WZ = 32

WZ = 32

i63i42

= ……………………………………………… = ……………………………………………… = ………………………………………………

3.1.2 W

Z2

= W

Z2

= i63

i422

= ……………………………………………… = ……………………………………………… = ………………………………………………

34

เฉลยกจกรรมท 3.1

3.1.1 32WZ = 32 WZ

= 32WZ

= 32i63i42

= 322222 ))6(3()4)2((

= 32 )9()18(

= 2718 = 486

3.1.2 W

Z2

= W

Z2

= i63

i422

=

22

222

)6(3

)4)2((

= 9

)18( 2

= 3

18

= 6

35

กจกรรมท 3.2 ในแตละกจกรรมตอไปน ใหนกเรยน เตมค ำตอบในชองวำงใหสมบรณ

จงหา Z เมอก าหนดให

3.2.1 42 )i3()i31(Z Z = 42 )i3()i31(

= 42 )i3()i31(

= 42

)i3()i31(

= ……………………………………………. = ……………………………………………. = …………………………………………….

3.2.2 i31

)i1)(i31(Z

4

Z = i31

)i1)(i31( 4

= i31

)i1)(i31( 4

= …………………………………………….. = …………………………………………….. = …………………………………………….. = ……………………………………………..

36

เฉลยกจกรรมท 3.2

จงหา Z เมอก าหนดให 3.2.1 42 )i3()i31(Z

Z = 42 )i3()i31( = 42 )i3()i31(

= 42

)i3()i31(

= 422222 ))1(3()33( = 4222 )13()39( = 42 )10()12(

3.2.2 i31

)i1)(i31(Z

4

Z = i31

)i1)(i31( 4

= i31

)i1)(i31( 4

= i

ii

31

1314

= 22

42222

)3()1(

1)1(31

= 4

244

= 4

37

กจกรรมท 3.3 ในแตละกจกรรมตอไปน ใหนกเรยน เตมค ำตอบในชองวำงใหสมบรณ

ก าหนดให i3

i125Z

จงหา

9Z6Z2

วธท ำ จาก Z = i

i

i3

i125

=

2

2

i3

i12i5

= 3

i512 (เพราะวา 1i2 )

Z = i3

54

จากเรองการแยกตวประกอบพหนาม จะได 9Z6Z2 = )3Z)(3Z( = 2)3Z( = 2

)3Z( -------------------(1) น า Z =

i

3

54 แทนใน (1)

= 2

3i3

54

= 2

i3

51

= ………………………………………. = ………………………………………. = ………………………………………. = ……………………………………….

38

เฉลยกจกรรมท 3.3

ก าหนดให i3

i125Z

จงหา

9Z6Z2

วธท ำ จาก Z = i

i

i3

i125

=

2

2

i3

i12i5

= 3

i512 (เพราะวา 1i2 )

Z = i3

54

จากเรองการแยกตวประกอบพหนาม จะได 9Z6Z2 = )3Z)(3Z( = 2)3Z( = 2

)3Z( -------------------(1) น า Z =

i

3

54 แทนใน (1)

= 2

3i3

54

= 2

i3

51

= 2

22 )3

5(1

= 2

9

251

= 2

9

34

= 9

34

39

แบบฝกเสรมทกษะท 3

1. จงหา Z เมอก าหนด Z ดงตอไปน 1.1 )i54()i32(Z

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

1.2 )i24()i34(Z = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

1.3 )i34)(i34(Z = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

40

1.4 i21

i32Z

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

1.5

3

99

)i43(

i5Z

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

1.6 )i43)(i3)(i31)(i1(Z = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

41

2. ก าหนดให i2

3

2

1Z และ i43W จงหาค าตอบของขอตอไปน

2.1 ZW = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

2.2 32WZ = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

2.3 2

5

W

Z

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

42

2.4 511 )Z(W4

= ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ………………………………………………………………

43

เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 3

1. จงหำ Z เมอก ำหนด Z ดงตอไปน 1.1 )i54()i32(Z

Z = )i54()i32( = i54i32 = i86

= 22 86 = 6436

= 100 = 10

1.2 )i24()i34(Z

= )i24()i34( = )i24()i34( = i24i34 = i50

= 22 )5(0 = 25 = 5

44

1.3 )i34)(i34(Z

Z = )i34)(i34( = i34i34 = 2222 )3(434 = 916916 = 2525 = 55 = 25

1.4 i21

i32Z

Z = i21

i32

= i21

i32

= 22

22

21

32

= 41

94

= 5

13

45

1.5 3

99

)i43(

i5Z

Z = 3

99

)i43(

i5

= 3

i43

)i(5

= 322 )4)3((

i5

= 3

22

)169(

)5(0

= 3)25(

25

= 2)25(

1

= 25

1

1.6 )i43)(i3)(i31)(i1(Z

Z = )i43)(i3)(i31)(i1(

= i43i3i31i1

= 22222222 )4(3133111

= 169133111

= 25442

= 5222

= 220

46

2. ก ำหนดให i2

3

2

1Z และ i43W จงหำค ำตอบของขอตอไปน

2.1 ZW

ZW = i43i2

3

2

1

= i43i2

3

2

1

= 22

22

)4(32

3

2

1

=

1694

3

4

1

= 254

4

= 5

2.2 32WZ

32WZ = 32 WZ

= 3

2

i43i2

3

2

1

= 3

22

222

)4(32

3

2

1

= 31694

3

4

1

= 3254

4

= 351 = 125

47

2.3 2

5

W

Z

2

5

W

Z = 2

5

W

Z

= 2

5

i43

i2

3

2

1

= 2

22

522

)4(3

2

3

2

1

= 2

5

169

4

3

4

1

= 2

5

25

1

= 25

1

2.4

511 )Z(W4

511 )Z(W4 = 511 ZW4

= 5

Z

1

W

14

= 5

i43

1

i2

3

2

1

14

= 5

2222

)4(3

1

2

3

2

1

14

= 5169

1

4

3

4

1

14

= 525

1

1

14

= 3125

4

48

แบบทดสอบหลงเรยน

เรอง กรำฟและคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน จ ำนวนขอสอบ 10 ขอ

ค ำสง ใหท าเครองหมาย (× ) ทบขอทถกตองลงในแบบทดสอบ จากกราฟทก าหนดใหใชตอบค าถามขอ 1

1. จด A , B , C และ D เปนจดทแทนจ านวนเชงซอนในขอใด

ก. i53 , i23 , i36 , i4 ตามล าดบ ข. i53 , i36 , i23 , i4 ตามล าดบ ค. i53 , i23 , i4 , i36 ตามล าดบ ง. i4 , i23 , i36 , i53 ตามล าดบ

X แกนจรง

Y แกนจนตภาพ

. A

. B

. C

. D

49

2. คาสมบรณของจ านวนเชงซอน 42 )i3()i31(Z คอขอใด

ก. 22 ข. 42 ค. 62 ง. 82

3. ก าหนดให i

i21Z

จงหา 9Z6Z2

ก. 26 ข. 26 ค. 27 ง. 27

4. คาของ 60100 i5i คอขอใด ก. 4 ข. 0 ค. 1 ง. 5

5. ก าหนดให i43Z และ i512W คาของ 1ZW คอขอใด ก. 65 ข. 65 ค.

5

13

ง. 13

5

6. คาสมบรณของจ านวนเชงซอน Z = i5 คอขอใด ก. 22 i50Z ข. 22 )i5(0Z ค. 22 )5(0Z ง. 22 20Z

50

ใชขอมลนตอบขอ 7 – 8

Y แกนจนตภาพ

7. จ านวนเชงซอน 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวยเวกเตอรใด ก. 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวย OD , OA ตามล าดบ ข. 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวย OB , OA ตามล าดบ ค. 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวย OD , OB ตามล าดบ ง. 2 – 5i , 5 + 4i เขยนแทนดวย OB , OC ตามล าดบ

8. ขอใดถกตอง ก. OB แทนจ านวนเชงซอน i52 ข. OC แทนจ านวนเชงซอน i63 ค. OD แทนจ านวนเชงซอน i26 ง. OA แทนจ านวนเชงซอน i52

X แกนจรง

D

B

C

A

O

51

9. คาสมบรณของจ านวนเชงซอน Z = i26 คอขอใด

ก. 210Z ข. 10Z ค. 103Z ง. 102Z

10. ขอใดเปนจรง ก. i43i43 ข. i34i25 ค. 5i5 ง.

4

1i

4

1

4

1

52

กระดำษค ำตอบแบบทดสอบกอนเรยน ชดกำรเรยนเรอง กรำฟและคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน

ชอ.....................................................เลขท..........ชน.............

วนท............เดอน.......................พ.ศ...........

***************************

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน

เตม 10

ได

ลงชอ.........................................ผตรวจ

53

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน ชดกำรเรยนเรอง กรำฟและคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน

ขอ เฉลย

1 ง 2 ค 3 ง 4 ก 5 ข 6 ค 7 ค 8 ค 9 ข

10 ก

54

บรรณำนกรม

กนกวล อษณกรกล. (2550). แบบฝกหดคณตศำสตรเพมเตม ชนมธยมศกษำปท 5 เลม 2.

กรงเทพฯ : เดอะบคส. กรมวชาการ. (2545). คมอกำรจดกำรเรยนรกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร.กรงเทพฯ :

โรงพมพองคการรบสงสนคาและพสดภณฑ, กระทรวงศกษาธการ. (2551). กำรจดกำรเรยนรกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรตำมหลกสตรกำรศกษำ

ขนพนฐำน. กรงเทพฯ : โรงพมพองคการรบสงสนคาและพสดภณฑ. จกรรนทร วรรณโพธกลาง. (2547). คมอสำระกำรเรยนรคณตศำสตรเพมเตม ม. 5 เลม 2. กรเทพฯ :

โรงพมพ พ.ศ. พฒนา ทรงวทย สวรรณธาดา. (2547). หนงสอเรยนเสรมมำตรฐำนแมคคณตศำสตรเพมเตมมธยมศกษำปท 5

ภำคเรยนท 2. กรงเทพฯ : ส านกพมพแมค จ ากด,