4.1.1 calculo integral

7/23/2019 4.1.1 Calculo Integral

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SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA

SUBSECRETARA DE EDUCACIN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIN GENERAL ACADMICA

REFORMA CURRICULAR

BACHILLERATO GENERAL ESTATAL

PLAN DE ESTUDIOS 2006

CLCULO INTEGRAL

Programa de estudio de 5 semestre

COMPONENTE DE FORMACIN

PROPEDUTICA


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Clculo Integral 2

LUIS MALDONADO VENEGASSecretario de Educacin Pblica del Estado de Puebla

JORGE B. CRUZ BERMDEZSubsecretario de Educacin Media Superior

JOS LUIS BALMASEDA BECERRADirector General Acadmico

GISELA DUEAS FERNNDEZ, MARA EDITH BEZ REYES, BEATRIZ PIMENTEL LPEZ, SARAH GAXIOLAJARQUN, OSVALDO CUAUTLE REYES, MARA DE LOS NGELES ALEJANDRA BADILLO MRQUEZ, LUISRENATO LEN GARCA, MARCOS JARA MARTINEZ, EMILIO MIGUEL SOTO GARCA, MARA ISABLE REYES

OSORIO.Coordinacin del Proyecto: Colegiado Acadmico

PROGRAMA DE ESTUDIOSClculo Integral

Equipo de Diseo Curricular

Mara Anglica lvarez Ramos, David Aquino Ponce, Ana Mara Castillo Jurez, Vivaldo Cuesta Snchez, Miguel ngelEspidio Jurez, Margarita Hernndez Gonzlez, Sotero Martnez Jurez, Jos Martin Meja Hernndez, Daniel Ozuna Rosas,Alma Patricia Ramrez Trinidad, Gilberto Santiago del ngel, Paul Teutli Etcheverry

Revisin MetodolgicaMara Anglica lvarez Ramos, Gerardo ngel Chilaca, Vernica ngel Chilaca, Faustino Javier Corts Lpez, MargaritaConcepcin Flores Wong, Jorge Fernando Flores Serrano, Juan Manuel Garca Zrate, Genaro Jurez Balderas, SoteroMartnez Jurez, Mara Teresa Notario Gonzlez, Irma Ivonne Ruiz Jimnez, Juan Jess Vargas Figueroa, Emilia VzquezPacheco

Estilo Formato

Leonardo Mauricio vila Vzquez, Alejandro Enrique Ortiz Mndez, CristinaHerrera Osorio, Concepcin Torres Rojas, Rafael Carrasco Pedraza

Osvaldo Cuautle Reyes, Liliana SnchezTobn, Emilio Miguel Soto Garca.


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PROGRAMA ACAD MICO: C LCULO INTEGRALSEMESTRE: QUINTO

CAMPO DISCIPLINAR: MATEMTICASCOMPONENTE DE FORMACI N: PROPED UTICONMERO DE HORAS: 3CRDITOS: 6

IMPORTANCIA DEL CURSOEl Clculo Integral es una rama de las matemticas que fue aplicado por primera vez por cientficos como Arqumedes, Descartes, Barrow yNewton. ste ltimo, junto con Leibriz crearon las bases para el Clculo integral y diferencial, el Teorema Fundamental propone que laderivacin y la integracin son procesos inversos.

Este programa es parte del rea disciplinar de matemticas, da continuidad a los temas abordados en cursos anteriores de Algebra en relacin aTeora de conjuntos y expresiones algebraicas, Geometra y Trigonometra sustentndose en polgonos, funciones trigonomtricas, conGeometra Analtica y Funciones en los temas de sistema de coordenadas cartesianas, lnea recta, circunferencia, cnicas y relacionesbiunvocas, Clculo en los temas de Lmites, Continuidad y Derivadas; todo ello conforma, al mismo tiempo, la base fundamental de laasignatura subsecuente de Modelos Matemticos.

El clculo integral es prcticamente la ltima fase en donde se ven reflejadas todos los conocimientos, destrezas y habilidades que el alumnohaya desarrollado por su transcurrir en las materias antecesoras del campo de las matemticas. Interdisciplinariamente contribuye al desarrollode las asignaturas del semestre en curso de la siguiente manera a Biologa II, en los temas de reproduccin celular, desarrollo poblacional demicroorganismos e incluso en el anlisis de la propagacin de enfermedades, al permitirle expresar matemticamente el comportamientoobservado; con Orientacin Profesiogrfica va a establecer relacin al manejar con facilidad informacin, analizarla, reflexionarla, valorarla y

desarrollar as competencias que le permitirn definir su futuro.Debido a la gran diversidad de reas a que est orientada esta asignatura influye sustancialmente en el proceso de estudio de las asignaturasde la formacin propedutica y para el trabajo mediante el enfoque generador de procesos, control de produccin en volmenes de revolucinen el rea de optimizacin.

Tambin se relaciona con otras materias como: Aplicaciones Informticas apoyndose de las TICs en la bsqueda de informacin as comosoftware graficador; con Fsica II en la interpretacin de las ecuaciones de continuidad (flujo, gasto, volumen, etc.).


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Clculo Integral 4

El contenido del programa de Clculo Integral est estructurado en las siguientes unidades:

Unidad I: Integral definidaSe abordan elementos bsicos de clculo integral como Notacin sigma, rea bajo una grfica e integral definida.

Unidad II: Integral indefinidaSe estudia la integral indefinida con u, Integral inmediata y los Mtodos de integracin.

Unidad III: rea entre curvas y slidos de revolucinSe abordan las tcnicas para calcular el rea entre grficas as como slidos y superficies de revolucin.


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Clculo Integral 5


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Clculo Integral 6

COMPETENCIASEl presente programa contribuye particularmente al desarrollo de las siguientes competencias:

GENRICASEscucha interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiadas.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o graficas. Maneja las tecnologas de la informacin y la comunicacin para obtener informacin y expresar ideas.

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Ordena informacin de acuerdo a categoras, jerarquas y relaciones.

Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crtica y reflexiva. Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia

confiabilidad. Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sinttica.

Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimiento. Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Propone manera de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuentan dentro de distintos equipos de

trabajo.

DISCIPLINARES EXTENDIDAS Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o

situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje

verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos

que lo rodean. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.


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Clculo Integral 7

RESULTADOS DE APRENDIZAJE DEL CURSOLos alumnos:

En el nivel Atender: Identificarn el rea bajo una funcin y volumen de un slido de revolucin. Identificarn los distintos tipos de integrales.

En el nivel Entender: Comprendern la aproximacin de reas bajo una curva por medio del teorema fundamental del clculo. Entendern los mtodos de integracin por sustitucin y por partes. Comprendern la forma de calcular el rea entre funciones y el volumen de un slido de revolucin.

En el nivel Juzgar: Demostrarn el comportamiento de distintos fenmenos a travs del clculo de integrales indefinidas.

En el nivel Valorar: Utilizarn el Clculo Integral en la solucin de problemas de su entorno.


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UNIDAD I. INTEGRAL DEFINIDAResultados de aprendizajeEn el nivel Atender, el alumno:

Identificar reas bajo curvas.En el nivel Entender, el alumno:

Conocer el concepto de integral definida. Conocer la notacin sigma.

En el nivel Juzgar, el alumno: Verificar las propiedades de la integral definida. Comprobar el clculo de reas, apoyndose de la notacin sigma. Comprender los mtodos de aproximacin de reas.

En el nivel Valorar, el alumno: Resolver problemas utilizando la notacin sigma. Determinar la importancia del concepto de lmite en la definicin de integral definida.

Horizonte de BsquedaNiveles de Operacin de la Actividad Consciente Intencional

PreguntasActividades especficas de aprendizaje

Que el alumno:

Para la inteligencia Para la reflexin Para la deliberacin

NOTACIN SIGMA

Cmo se define lanotacin sigma?

Qu propiedadestiene la notacin

sigma?

Cmo secomprueban las

propiedades de lanotacin sigma?

Para qu sirve lanotacin sigma?

Encuentre en equipo la suma de los primeros 20nmeros naturales, anote en su libreta, despusencuentre una expresin algebraica que le permitarealizar esa suma evitando muchas operaciones,comntelo con los otros equipos argumentando surespuesta.Busque en distintas fuentes bibliogrficas, informacinacerca de la notacin, propiedades y formulas de

sumatoria, presente la informacin como formulario.Socialice con el grupo su formulario, intercambiandopuntos de vista, y corrija, de ser necesario, suformulario.Demuestre las propiedades de la notacin sigma,utilizando el formulario en la resolucin de lossiguientes problemas:a) Desarrolle las sumatorias indicadas:

1.5

1

3k

k


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Clculo Integral 9

2.4

1

3

k

k

k

3.8

1

)32(k

k

b) Encuentre la notacin sigma de la suma de los 10primeros nmeros pares positivos.

c) Encuentre la notacin sigma de la suma de los 10primeros nmeros impares positivos.

d) 2+4+8+16+32+64e) Obtenga el valor de la suma correspondiente:

1.50

1

)3(

k

k

2.8

1

2 )3(k

k

3.o

k

kk1

1

3 )332(

f) Una carreta es arrastrada hacia el norte por trescaballos por medio de cuerdas, el primer caballo jalala carreta con una fuerza de 40 N, el segundocaballo arrastra con una fuerza de 30 N, el tercercaballo jala con una fuerza de 50 N, si el ngulo que

separa la cuerda del caballo 1 y 2 es de 300

, elngulo que separa la cuerda del caballo 2 y 3 es de400, determine la fuerza total con la que esarrastrado le carreta.

Deduzca en equipo una frmula para la sumatoria de losn primeros enteros pares positivos, presntela al restode los equipos y comente que es la misma expresin.Comente y concluya en grupo, la aplicacin y utilidadde la notacin sigma en diversas reas de conocimientoy en la cotidianidad para reducir la operacin de gran


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Clculo Integral 10

nmero de trminos o elementos.

REA BAJO UNAGRFICA

Cul es el rea bajouna grfica?

Cmo se determinael rea bajo una

grfica?

Cmo puedeutilizarse el clculode reas de figuras

geomtricas conocidaspara determinar reas

irregulares?

Grafique la funcin xxf )( para [0,3], encuentre el

rea formando un nmero de rectngulos inscritos ocircunscritos que considere necesario bajo la grficalimitada por f(x), el eje horizontal x y el intervaloindicado, comente con sus compaeros si fue posibledeterminar el rea solicitada.Averige, en distintas fuentes acerca del rea bajo lagrfica por mtodo de aproximacin, procedimiento paradeterminar el rea bajo la grfica y sumas de Riemann.Registre su informacin en un cuadro sinptico.Socialice el cuadro con el grupo y enriquezca con lasaportaciones de sus compaeros.Utilizando la informacin del cuadro sinptico, encuentreel rea bajo la grfica de la funcin indicada por mtodode aproximacin.

1. 4,02)( paraxxf

2. 2,0)( 2 paraxxf

3. 2,24)( 2 paraxxf

4. 1,332)( 2 paraxxf

5. 2,0)( 3 paraxxf

Encuentre, utilizando la informacin del cuadrosinptico, el rea bajo la grfica de la funcin indicada

por sumas de Rieman:1. 3,24)( 2 paraxxf empleando una

particin de 5 subintervalos de igual longitud.

2. 2,112)( 2 paraxxf empleando una


3. 2,2)1()( 2 paraxxf empleando una


4. 2,12)( 3 paraxxf empleando una



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Clculo Integral 11

Encuentre la expresin para calcular el rea bajo la

grfica de bparaxbhy ,0 , divida en n

subintervalos de igual magnitud, guese de la figura:

Deduzca en equipo la expresin (la formula) paradeterminar el rea de un trapecio dividiendo en nsubintervalos de igual magnitud, guese de la figura:

Presente al grupo el procedimiento que utiliz paradeterminar el rea de la figura anterior. A partir de ellocomente, de manera grupal, la importancia de emplearel mtodo de aproximacin para calcular reas decualquier tipo.

(h ,b)

y= (h/b )x

(b ,0)

A

A

h 2

h 1

b


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Clculo Integral 12

INTEGRAL DEFINIDA

Cmo se define laintegral definida?

Qu propiedadestiene la integral

definida?

Cmo secomprueban las

propiedades de laintegral definida?

En qu situacionescotidianas se puede

aplicar la integraldefinida?

Desarrolle la expresin 2)3(x y antelo en su libreta,

despus factorice la expresin 96

2

xx , comente enequipo la relacin que existe entre los dos procesos querealiz en ambas operaciones.

Encuentre la derivada de la funcin 2)( xxf y

antela, de la misma manera que en la actividadanterior, encuentre en equipo un procedimiento pararegresar la derivada obtenida a la expresin original, ydetermine el rea bajo la grfica de f(x) para [0,1] con1000 rectngulos de igual base utilizando la notacinsigma, comente con los dems equipos sobre lasoperaciones realizadas y si fue posible encontrar elprocedimiento solicitado.

Indague en distintas fuentes sobre el concepto deintegral, integral de una potencia, integral definida,propiedades y teoremas de la integral definida, elteorema fundamental del clculo, registre su informacinen un mapa conceptual.Exponga, en equipo, su mapa conceptual,intercambiando puntos de vista para corregir errores ycomplementar su informacin.Compruebe las propiedades investigadas en eldesarrollo de los siguientes ejercicios:a) Evalu la integral definida con notacin sigma y

realice la grfica de:

1.3

1

2dxx

2.1

2

3dxx

3.2

1

2 )( dxxx

b) Evale con propiedades, teoremas de la integraldefinida y el teorema fundamental del clculo,realice la grfica de:


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Clculo Integral 13

1.4

15dx

2.51

2xdx

3.1

2

3dxx

4.31

2

22 dxx

5.2

1

2 )2( dxx

Comente en equipo la importancia de los teoremas ypropiedades de la integral definida para determinarreas exactas bajo la grficas de funciones, observe si:

2)1(11

1

1

1

12 xdxx , con el apoyo del

teorema fundamental del clculo, proponga unargumento de por qu el procedimiento anterior escorrecto o incorrecto. Concluya a partir de ello la utilidadde conocer y emplear las propiedades y los teoremas dela integral definida para determinar reas exactas bajola grfica de cualquier funcin en donde no se puedenaplicar las frmulas de figuras geomtricas conocidas.


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Clculo Integral 14

EVALUACINCONOCIMIENTOS

El alumno demuestre la apropiacin de losiguiente:

PROCESOS Y PRODUCTOS

El alumno evidencie los procesos y la obtencin delos siguientes productos:

DESEMPE O ACTITUDINAL CONSCIENTE

El alumno manifieste los siguientes valores yactitudes:

Notacin sigma. rea bajo una grfica. Integral definida.

Clculo de sumatoria de primeros 20nmeros.

Formulario de sumatoria. Clculo de sumatorias. Frmula de sumatoria de n primeros

nmeros pares positivos. Grfica de la funcin f(X) = X. Cuadro sinptico de rea y sumas de

Riemman. Clculo de rea bajo la grfica de una

funcin. Frmula para determinar el rea de un

trapecio. Desarrollo de la expresin (x+3)2 y

factorizacin de x2+ 6x + 9. Derivada de f(x)=x2 , y clculo de

rea bajo la grfica. Mapa conceptual de integral definida. Clculo de integrales definidas.

Respeto. Tolerancia. Colaboracin. Responsabilidad. Puntualidad en la entrega de trabajos y

proyectos. Participacin. Disposicin ante el trabajo de equipo.


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Clculo Integral 15

UNIDAD II. INTEGRAL INDEFINIDAResultados de aprendizaje

En el nivel Atender, el alumno: Identificar antiderivadas.

En el nivel Entender, el alumno: Conceptualizar la integral indefinida. Comprender los mtodos de integracin por sustitucin y por partes.

En el nivel Juzgar, el alumno: Deducir integrales elementales. Aplicar los mtodos de integracin por sustitucin y por partes.

En el nivel Valorar, el alumno: Aplicar diversos mtodos para resolver integrales.

Horizonte de Bsqueda

Niveles de Operacin de la Actividad Consciente Intencional

Preguntas

Actividades especficas de aprendizaje

Que el alumno:Para la inteligencia Para la reflexin Para la deliberacin

INTEGRALINDEFINIDA Y LA

SUSTITUCIN CONu

Cmo se define la

integral indefinida?

Cmo se calcula la

integral indefinida?

Qu problemas sepueden resolver

utilizando la integralindefinida?

En equipo, observe y evale la integralb

dxx0

2)( anote

el resultado. Evale las integrales

dxxxx )122( 23 , dxx 22 )1( anote el

procedimiento y el resultado, si lo obtuvo, comente si lainformacin proporcionada es suficiente para lasolucin y escriba las interrogantes que surjan.En equipo, busque en distintas fuentes los siguientesconceptos: integral indefinida, potencia, suma ydiferencia, sustitucin con u. Elabore un cuadrosinptico.Presente su cuadro sinptico y complemente con lasaportaciones de sus compaeros.Utilizando la informacin de la actividad anteriorresuelva los siguientes ejercicios:

1. dxx6

2. dxx


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Clculo Integral 16

3. dxxx )2)(2(

4. dxxx

62 )34(

5. xdxx 32 )2(

6. dxxx 23 43)27(

7. Obtenga una funcinfcuya grfica pase por el punto(2,3) y que tambin satisfaga 12)( xxf

8. Obtenga una funcin f de manera que

1)9(1

)( fyx

xf

9. Una cubeta que contiene un lquido, gira alrededorde un eje vertical a una velocidad angular constante. El contorno en el plano xy de la seccintransversal del lquido en rotacin se determina a

partir de xgdx

dy 2. Encuentre y=f(x),

En equipo considere que si P(x) es una funcin quedenota el crecimiento de una poblacin en x meses,

entonces: )(xPdx

d es la razn a la cual estar

cambiando la poblacin en xmeses. La razn a la cualest creciendo una poblacin, cambia con el tiempo. Secalcula que dentro de xmeses, la razn de crecimiento

ser: x62 Personas por mes. La poblacin actuales de 5000 personas, comprueba que la poblacindentro de 9 de meses ser de 5126 personas.Comente grupalmente la importancia de utilizar laintegral indefinida para obtener la funcin original yconcluya su utilidad como herramienta de aplicacin enproblemas diversos, por ejemplo el crecimiento


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Clculo Integral 17

poblacional. Elabore una ficha de sntesis

INTEGRALINMEDIATA

Cules son lasintegrales inmediatas?

Cmo se deducenlas integralesinmediatas?

Qu utilidad tienenlas integralesinmediatas?

Encuentre en bina utilizando la integral indefinida y la

sustitucin con u los siguientes integrales:

1. dxsenx2cos

2.7x

dx

3. dxxtan

4. dxe x33

5.2

100 x

dx

Comente con el resto del grupo el procedimiento queutiliz para encontrar los resultados de cada integral,anote lo que considere relevante en su libreta deapuntes.Indague en distintas fuentes sobre las frmulasintegrales de funciones trigonomtricas, trigonomtricasinversa, logartmicas y exponenciales. Registre lainformacin en una tabla, a manera de formulario.Explique al grupo la informacin de su formulario,corrigiendo y complementndolo, argumente cada unade sus aportaciones.Con base en la informacin anterior, deduzca el valorde las siguientes integrales:

1. dxx)41(sec2

2. senxdxx4cos

3. dsen

cos

2


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Clculo Integral 18

4. xdxtagx 2sec

5. dxx

x2

2

1

6.16

2xx

dx

7.7x

dx

8. dx

x

e x

2

4

9. Calcule el rea A limitada por la grfica de la

xy

1y el eje x en el intervalo [-2,-1/2]

10. Obtenga el rea A limitada por la grfica de1xey en el intervalo [1,3]

11. Determine el rea bajo la grfica de

21

1)(

xxf en el intervalo [-1,1]

Resuelva en equipo la integral

dxxsenx 2sec83 , comente con el grupo la

importancia de la integral inmediata por facilitarconduciendo a la obtencin de integrales de funcionestrascendentes de manera directa, realice una ficha deconclusin de que se utilizan para integrar y facilitan laobtencin de reas bajo la grfica de este tipo defunciones.


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Clculo Integral 19

MTODOS DEINTEGRACIN

Integracin porsustitucin algebraica,por partes y sustitucin

trigonomtrica

Qu es un mtodo deintegracin?

Cules son losmtodos deintegracin?

Cmo se utilizan losmtodos de

integracin deintegracin?

En qu situacionesse aplican los mtodos

de integracin?

Encuentre, en equipo, las siguientes integrales:

a)dxxx cos2

b) dxxx 12

c) dxx

x

2

2

9

Presente los resultados obtenidos al grupo, explicandoel procedimiento que siguieron.En equipo indague en distintas fuentes los mtodos deintegracin por sustitucin algebraica, integracin porpartes y la integracin por sustitucin trigonomtrica.

Registre la informacin en una tabla a manera deformulario.Presente el formulario al grupo y en una discusin (conrespeto y tolerancia) corrija y complemente su tabla,argumente cada una de sus aportaciones.Utilizando los mtodos investigados, resuelva lossiguientes ejercicios:1. Integrales por sustitucin algebraica:

a) dxxx 12

b) xx

dx

c) dxxx

x

186

42

2. Integracin por partes:

d) dxx

x

1


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Clculo Integral 20

e) dxxxtag 1

f) dxx3sec

3. Integrales por sustitucin trigonomtrica:

g) dxx

x 21

h) dxx

dx2/32

)4(

i) dxx

x4

2 16

4. Evale las integrales

j)2

0 3 23

16

x

x

k)1

0

2 )( dxexx x

5. Obtenga el rea bajo de la grfica de

dx

x

y

)1(

13/1 en el intervalo [0,1]

6. Encuentre en equipo el rea bajo la grfica de

xy ln en el intervalo [1, e].Comente la manera en que los mtodos de integracinfacilitan la obtencin de integrales no inmediatas y elrea bajo las grficas de funciones compuestas.Resuelva grupalmente el siguiente problema: Se deseadar mantenimiento a un muro de su aula de clases, paralo cual es necesario pintar un rea determinada por las


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Clculo Integral 21

funciones 63xy ; 42xy para el intervalo[0, 4] y el eje x representado por la cadena del muro.Determine la cantidad de pintura necesaria para pintardicho muro sabiendo que el rendimiento de la pintura es

delt

m23 .

Elabore una ficha de comentario acerca de la aplicacinde los mtodos de integracin a la vida diaria.

EVALUACIN

CONOCIMIENTOS






Integral Indefinida y la sustitucin con u. Integrales inmediatas. Mtodo de Integracin por sustituciones

algebraicas. Mtodo de Integracin por partes. Mtodo de Integracin por sustituciones

trigonomtricas.

Clculo de integrales. Cuadro sinptico de integral definida. Clculo de integrales indefinidas. Problema de aplicacin de integral

indefinida. Ficha de sntesis de integral indefinida. Formulario de integrales de funciones

trigonomtricas. Clculo de integrales trigonomtricas. Ficha conclusin de integrales

inmediatas. Formulario de mtodos de integracin. Solucin de integrales por sustitucin. Clculo de rea bajo la grfica y

solucin a problema de aplicacin. Ficha comentario de mtodos de

integracin.


proyectos. Participacin. Disposicin ante el trabajo de equipo


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Clculo Integral 22

UNIDAD III. REA ENTRE CURVAS Y SLIDOS DE REVOLUCINResultados de aprendizaje

En el nivel Atender, el alumno: Identificar el rea comprendida entre curvas y slidos de revolucin.

En el nivel Entender, el alumno: Comprender los mtodos para calcular el rea formada entre curvas y el volumen de un slido de revolucin.

En el nivel Juzgar, el alumno: Deducir que el clculo de rea entre curvas y el volumen de un slido de revolucin se realiza a travs de una integral. Aplicar los mtodos de integracin para el clculo de rea entre curvas y el volumen de un slido de revolucin.

En el nivel Valorar, el alumno: Determinar la importancia del Teorema Fundamental en el clculo de rea entre curvas y el volumen de un slido de revolucin. calcular rea entre curvas y volumen de un slido de revolucin, para la solucin de problemas de su entorno.

Horizonte de Bsqueda

Niveles de Operacin de la Actividad Consciente IntencionalPreguntas

Actividades especficas de aprendizajeQue el alumno:

Para la inteligencia Para la reflexin Para la deliberacin

REA ENTREGRFICAS

Qu es el rea entregrficas?

Cmo se determinael rea entre grficas?

Qu utilidad tienecalcular el rea entregrficas en problemas

cotidianos?

En equipo determine el rea limitada por los puntos de

interseccin de las funciones 4)( 2xxf y

1)( xxg y utilizando los mtodos de integracin

necesarios, muestre que el rea a calcular es lasiguiente:


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Clculo Integral 23

Presente al grupo el resultado y el procedimiento queutiliz para determinar el rea solicitada, comente alrespecto y anote lo ms relevante.Busque en distintas fuentes de informacin o en la webacerca del clculo de reas entre dos grficos. En binas,registre su informacin mediante una tabla a manera deformulario, lo socialice, corrija y complemente su tablacon los comentarios acertados de los demscompaeros.Resuelva, apoyndose del formulario, los siguientesproblemas:a) Obtenga el rea de la regin limita por las grficas

de las ecuaciones 19

2 2

xy ,

5

2

5

2xy y

4x , demuestre que el rea que se deseaencontrar se muestra en la figura siguiente:


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Clculo Integral 24

b) Calcula el rea de la regin limitada por las grficas

de las funciones 122

1)( 2 xxxf , 5)( xxg y

13

1)( xxh .

c) Determine el rea de la regin limitada por las

grficas de xxy 22 y 4xy en el

intervalo [-4,3]

d) Determine el rea de la regin limitada por las

grficas de xy y 2xy

e) Obtenga el rea de la regin limitada por las graficasde senxy y xy cos para el intervalo

4

5,

4

En equipo, considere: Pap desea calcular el rea de


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Clculo Integral 25

vidrio que va a utilizar para construir una ventanaornamentada que se encuentra limita por las grficas de

la funcin 92

xy , y 2 rectas que pasan por elorigen con pendientes 2/52/5 21 mym ,

comente con el resto del grupo, la importancia de sabercalcular reas entre las grficas de funciones,realizando una sntesis acerca de la trascendencia deutilizar este tipo de clculos en problemas cotidianos.

SLIDOS YSUPERFICIES DE

REVOLUCIN

Qu es un slido yuna superficie de

revolucin?

Cmo se obtiene elvolumen de un slido y

una superficie derevolucin?

Qu utilidad tieneobtener el volumen y

la superficie de unslido de revolucin enproblemas cotidianos?

En equipo grafique la funcin 1xy para el intervalo

[0, 4], encuentre el rea formada bajo la grfica. Realicea manera de maqueta (prototipo) la grfica de la funcinde tal manera que se pueda girar sobre el eje x. Calculeel volumen de la figura geomtrica que se forma.

Presente su prototipo al resto del grupo mostrando lafigura geomtrica que se forma y el procedimiento queutiliz para encontrar el volumen del mismo.Indague en distintas fuentes, sobre slidos derevolucin: mtodo de los discos y las arandelas (orodajas), mtodo de los envolventes (o cortezas),superficies de revolucin y registre su informacin enuna tabla a manera de formulario. Lo socialice,complemente y corrija de acuerdo a los comentarios desus compaeros, argumente sus comentarios.Resuelva en equipo con apoyo del formulario de laactividad anterior, los siguientes problemas:

a) Encuentre el volumen del cuerpo geomtrico que seforma haciendo girar la regin limitada por lasgrficas de 3,0,,2 xxxyxy en torno

al eje x, por el mtodo de los discos o las arandelas.b) Encuentre el volumen del slido que se forma

haciendo girar la regin limitada por las grficas de

yyx 22 y x= 3, en torno a la recta y= 1, con el

mtodo de los envolventes.c) Encuentre el rea S de la superficie formada


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Clculo Integral 26

haciendo girar 31

3xy en el intervalo [1, 8] en

torno al eje y.En equipo, considere: La prima Edith desea forrar conuna tela muy cara 10 maceteros que le regalaron unosamigos que fueron a Tabasco, el rea a forrar de cada

macetero est definido por xy en el intervalo [1,4]hacindolo girar en base al eje x, encuentre el rea totalde tela que ella debe de comprar para realizar estaactividad.

A partir de ello comente con el grupo el valor de conocerlos mtodos para encontrar reas y volmenes deslidos de revolucin como cuerpos generados por el

giro de figuras geomtricas que no pueden serdeterminadas por frmulas de la geometra plana,analice la utilidad de los mtodos empleados paraobtener reas-volmenes de revolucin y realice unaficha de sntesis de acuerdo a las aportaciones de suscompaeros.


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EVALUACINCONOCIMIENTOS






rea entre grficos. Slidos y superficies de revolucin.

Obtencin del rea entre grficas. Formulario de clculo de reas entre dos

grficas. Clculo de reas entre dos grficas. Solucin a problema de aplicacin. Sntesis de reas entre dos grficas Grfica, maqueta, clculo de rea y

volumen de la funcin y = x + 1. Formulario de slidos de revolucin. Clculo de volmenes de distintos slidos

de revolucin. Realizacin o interpretacin de grficos Libreta de apuntes. Ficha de sntesis de reas y volmenes de

slidos de revolucin.


proyectos. Participacin. Disposicin ante el trabajo de equipo.


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METODOLOGASi consideramos al mtodo como: El conjunto de operaciones recurrentes e interrelacionadas que producen resultados acumulativos y progresivos , se

plantea, desde una perspectiva humanista, una metodologa que dirija la prctica docente en los cuatro niveles de consciencia del Mtodo Trascendental a laactivacin de los procesos de enseanza y de aprendizaje.Para lograr esa activacin, el profesor debe conducir en todo momento el aprendizaje hacia la autoapropiacin del proceso por medio de la actividadconsciente del alumno. El papel conductor del maestro consiste en la seleccin y ordenamiento correcto de los contenidos de enseanza, en la aplicacin demtodos apropiados, en la adecuada organizacin e implementacin de las actividades, y en la evaluacin sistemtica durante los procesos de enseanza yaprendizaje. Precisamente por eso, la metodologa ms que exponer y sistematizar mtodos, se esfuerza en proporcionar al profesor los criterios que lepermiten justificar y construir el mtodo que responda a las expectativas educativas que cada situacin didctica le plantea.

En los programas, la metodologa debe adecuarse a los cuatro niveles de conciencia del Mtodo Trascendental:Atenta.Que promueva la recuperacin de datos conocimientos previos.

Inteligente.Que promueva la generacin y manejo de datos y conceptos.Crtica.Que promueva la generacin de juicios de hechos y la participacin crtica y reflexiva.Libre-responsable.Que promueva la generacin de juicios de valor, toma de decisiones.

Criterios generales para convertir la prctica docente en:

Atenta

El docente: Identifica el contexto social en que est inmersa la comunidad educativa. Considera el horizonte actual de cada alumno: (conocimiento, contexto, habilidades, etc.) Observa la diversidad cultural de los alumnos. Detecta las necesidades educativas de la comunidad y de los actores que forman parte de ella. Revisa los planes y programas de estudios. Ubica el curso en relacin con el plan de estudios, la organizacin de la institucin (aspectos operativos), y las

caractersticas y expectativas del grupo. Reconoce las propias competencias.

Inteligente

El docente: Propone los resultados de aprendizaje del curso con base en el anlisis del entorno (horizonte global). Planea cada sesin o secuencia didctica (las actividades) para hacer eficiente el proceso educativo, fortalecindolas con

investigacin o consultas a diversas fuentes de informacin que le permiten afianzar el manejo de contenidos y facilitan lasactividades del aula.

Disea tcnicas grupales que propician el trabajo colaborativo.


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Motiva al alumno, a travs de estrategias que logran despertar su inters. Selecciona previamente los materiales (lecturas, copias u otros) para el trabajo de cada sesin.

Promueve la interdisciplinariedad. Gua los procesos en forma contingente. Entiende la funcin docente como gua, orientacin, acompaamiento.

Crtica

El docente: Establece relaciones interpersonales adecuadas, que estimulan la apropiacin de conceptos, significados y valores. Ejerce su papel de mediador, orientador, facilitador y gua. Fortalece las habilidades, destrezas y actitudes de los estudiantes logrando su autonoma. Analiza las situaciones que obstaculizan o impiden el logro de los objetivos. Evala en forma continua los conocimientos procesos, productos y el desempeo actitudinal consciente (alumno_

docente) con instrumentos apropiados que le permiten tomar decisiones oportunas.

Libre - Responsable

El docente: Autoevala peridicamente su prctica docente. Delibera sobre los resultados del proceso educativo asumiendo su responsabilidad. Se reconoce como sujeto de aprendizaje y propone innovaciones a los procesos de enseanza y aprendizaje. Valora la importancia de los procesos de enseanza y aprendizaje como medios para favorecer el crecimiento y

desarrollo del ser humano.


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EVALUACINComo parte del proceso de aprendizaje, la evaluacin se realiza antes de iniciar la implementacin del programa de estudios. La Evaluacin Diagnstica tiene

la finalidad de detectar las necesidades especficas de los estudiantes, de acuerdo al contexto y adems, seala pautas para la adecuada planeacin didcticapor parte del docente. El resultado de esta evaluacin no se traduce en una calificacin para el alumno, sino en fortalezas y oportunidades de aprendizaje,asimismo, se realiza al inicio de cada semestre de manera obligatoria.En las secuencias didcticas que se presentan como modelo para cada horizonte de bsqueda, hay sugerencias implcitas o explicitas para realizar laCoevaluacin y la Autoevaluacin que permiten desarrollar las competencias de los estudiantes y al mismo tiempo, arrojan datos sobre la calidad y cantidad delos resultados de aprendizaje que se van alcanzando, es decir, se aplican los fundamentos de la Evaluacin Formadora.La heteroevaluacin continua aporta informacin importante tanto para el docente como para el estudiante, permite la retroalimentacin y por ello incide tantoen el proceso de enseanza como en el de aprendizaje.

El Modelo de Evaluacin para Bachillerato General Estatal (MOEVA) establece que la evaluacin se realizar en tres ejes:a) Conocimientos, que se refiere a la dominacin y apropiacin de hechos, definiciones, conceptos, principios, ideas, datos, situaciones, teoras,

postulados.b) Procesos y Productos, evala la calidad de los procesos en la autoconstruccin del aprendizaje, evidenciando los mismos en productos concretos.

c) Desempeo Actitudinal Consciente, evala las actividades racionales que realiza el estudiante de manera intencional en las que estn presentes lasactitudes que permiten la asuncin de valores y la personalizacin de las normas hacia una progresiva y autntica humanizacin del hombre.

Cada eje tiene precisados, como puede verse en cada columna del apartado de evaluacin de cada unidad, los elementos que pueden evaluarse, para que demanera integral se d lugar a la Evaluacin Sumativa.

Instrumentos sugeridos:Los siguientes instrumentos pueden utilizarse dependiendo del nfasis que pretenda darse a cada eje de evaluacin. Para mayor referencia se recomiendaacudir al Manual del MOEVA.

ConocimientosUno o varios de los siguientes instrumentos:Escala valorativa ordinal, Escalas valorativa numrica, Prueba objetiva, Exposicin oral, Resolucin de problemas,Mapa mental, Mapa conceptual, Lista de palabras, Tabla lgica.

Procesos y productos

Uno o varios de los siguientes instrumentos:V Heurstica, Mtodo de casos, Proyecto parcial de unidad, Diario de asignatura, Portafolios de productos, Lista decotejo de productos, Reportes escritos, Cuadernos de trabajo, Peridicos murales, Rejillas de conceptos, Cuadrosde doble entrada, Cuadros sinpticos, Fichas de trabajo (sntesis y/o resumen), Estudios de campo, Dibujos y/ocollages.


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Desempeo Actitudinal ConscienteUno o varios de los siguientes instrumentos:Gua de observacin, Entrevista dirigida semiestructurada, Encuestas, Registro acumulativo, Lista de control,Escala de Likert, Escala de Thurstone, Escala de produccin, Rbrica.


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APOYOS DIDCTICOS COMPLEMENTARIOS Modelos matemticos. Ejercicios y problemas. Calculadora y computadora. Pizarrn, gis o marcador. Proyectos de acetatos. Video proyector. Hojas blancas y de colores. Libro de Texto.

LISTA DE REFERENCIAS

Bibliografa Bsica

ZILL, D. G. (1987). Clculo con Geometra Analtica. Mxico D. F., Mxico: Grupo Editorial Iberoamrica LARSON, R. y HOSTETLER, R. (1995). Clculo. (Primera Edicin). Bogot., Colombia: Mc Graw Hill SWOKOWSKI, E. W. (1982).Clculo con Geometra Analtica. (Segunda Edicin). Mxico D. F., Mxico: Grupo Editorial Iberoamrica. LEITHOLD, L. (1999).El Clculo. (Sptima Edicin). Estado de Mxico, Mxico: Oxford. STEWART, J. (1999).Clculo Diferencial e Integral. Mxico D. F., Mxico: Internacional Thomson Editores. LEITHOLD, L. (2004). Clculo con Geometra Analtica, (Sptima Edicin). Estado de Mxico, Mxico: Editorial Harla. LEHMAN, M. (1986). Lecciones de Clculo I, Mxico D. F., Mxico: Fondo Educativo Interamericano. BALABASQUER, G. (1994). El concepto de derivada y sus aplicaciones, Madrid, Espaa: Torrejn de Ardoz. PURCELL, E. J. (2001). Clculo. (Segunda Edicin), Mxico D. F., Mxico: Pearson Educacin. STEWART, J. y RAMOS, J. (2006). Clculo Conceptos y Contextos.(Tercera Edicin), Mxico D. F., Mxico: Thomson.

Bibliografa Complementaria

GONZLEZ, V. M. (1997).Clculo 4000 Problemas con respuestas.Mxico D. F., Mxico: Editorial Progreso. SPIVAK, M. (1998). Calculus. Clculo infinitesimal.Mxico D. F., Mxico: Editorial Revert. WANER, S. y COSTENOBLE S. R. (2002). Clculo Aplicado. (Segunda Edicin). Mxico D. F., Mxico: Math Learning. STEWART, J. (1998).Clculo. Mxico D. F., Mxico: Internacional Thomson Editores. FUENLABRADA, I. (2001).Clculo Diferencial. (Segunda Edicin). Mxico D. F., Mxico: Mc Graw Hill.


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EDWARDS C. H. Jr. y PENNEY D. Z. (1997). Clculo Diferencial e Integral. (Cuarta Edicin), Mxico D. F., Mxico: Pearson Educacin. PURCELL, E. y VARVEG, D. (1992). Clculo Diferencial e Integral.(Sexta Edicin), Mxico D.F., Mxico: Prentice Hall Iberoamericana.

ROMO, G. A. (1980). La derivada y sus aplicaciones, 2. Mxico D. F., Mxico: Limusa. GRANVILLE, W. A (2007). Clculo diferencial e integral.Mxico D.F., Mxico: Noriega Limusa. JARAUTA, E. (2000).Anlisis matemtico de una variable: fundamentos y aplicaciones. Barcelona, Espaa: Ediciones UPC. TOMEO, V. (2005).Problemas resueltos de clculo en una variable. Madrid, Espaa: Thomson. BATSCHELET, E. (1998).Matemticas bsicas para biocientficos.Madrid, Espaa: Dossat.

Recursos Web

http://euler.us.es/ renato/clases http://www.decarcaixent.com/actividades/mates http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas http://www.difusion.com.mx/bivepuebla
http://www.difusion.com.mx/bivepueblahttp://www.difusion.com.mx/bivepueblahttp://www.decarcaixent.com/actividades/mateshttp://www.difusion.com.mx/bivepueblahttp://www.difusion.com.mx/bivepueblahttp://www.difusion.com.mx/bivepueblahttp://www.difusion.com.mx/bivepueblahttp://www.decarcaixent.com/actividades/mateshttp://www.difusion.com.mx/bivepuebla

4.1.1 calculo integral

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