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Preparatrio para o Exame de Suficincia do Conselho Federal de Contabilidade

Disciplinas: Matemtica Financeira e Estatstica

Professor: Joo Marcos Batista

- Economista da Saneago com MBA em Finanas pela FIAA RJ e Administrao de

Empresas pela FGV RJ.

- Mestrando em Planejamento e Desenvolvimento Territorial: PUC GO

- Professor Universitrio

- E-Mail: joaomarcos.batista@bol.com.br

- Telefone: 62 9698 4476

Sumrio 1 Matemtica Financeira ........................................................................................................... 3

1.1 Juros Simples ................................................................................................................. 3

1.2 Juros Compostos ............................................................................................................ 3

1.3 Clculo no regime de Juros Simples: ............................................................................. 3

1.4 Clculo no regime de Juros Compostos ......................................................................... 4

1.5 Taxas: Proporcionais, Equivalentes, Nominal e Efetiva...................................................... 4

1.6 Desconto na Matemtica Financeira: Desconto Simples Comercial e Racional e

Composto....................................................................................................................................... 6

1.7 Sries de Pagamentos: Postecipadas e Antecipadas ........................................................... 8

1.8 Correo monetria ........................................................................................................... 10

1.9 Sistemas de Amortizao de Emprstimos: SAC, Price e Sacre ........................................ 11

1.10 Analise de Investimentos .................................................................................................. 13

2 Estatstica Aplicada............................................................................................................... 16

2.1 Distribuio de Freqncia ......................................................................................... 16

2.2 Classes .......................................................................................................................... 16

mailto:joaomarcos.batista@bol.com.br

2

2.3 Freqncia (fi).............................................................................................................. 16

2.4 Tipos de Distribuio de Freqncia ........................................................................... 16

2.5 Anlise Grfica ............................................................................................................ 18

2.6 Estatstica Descritiva ......................................................................................................... 19

2.61 Medidas de Tendncia Central: Mdia, Moda, Mediana, Quartis, Decis, Percentis ...... 19

2.7 Medidas de Disperso: Amplitude Total, Desvio-Mdio, Varincia, Desvio-Padro e

Coeficiente de Variao .............................................................................................................. 22

2.8 Probabilidade ..................................................................................................................... 24

2.81 Eventos envolvendo Probabilidade .................................................................................. 25

2.82 Varivel aleatria ............................................................................................................ 26

2.83 Valor esperado ................................................................................................................. 26

2.84 Distribuio Binomial ...................................................................................................... 27

2.9 Correlao ......................................................................................................................... 27

2.10 Erro Padro ..................................................................................................................... 28

2.11 Regresso ......................................................................................................................... 29

2.12 Nmeros ndices ............................................................................................................... 29

2.13 ndices de Preo ao consumidor no Brasil ...................................................................... 30

2.14 Teoria da Amostragem ..................................................................................................... 30

2.15 Clculo do Tamanho da Amostra Pesquisa de Campo ................................................. 31

2.16 Distribuio Normal ........................................................................................................ 32

2.17 Intervalo de Confiana ..................................................................................................... 33

2.18 Clculos estatsticos na HP 12C ...................................................................................... 35

2.19 Bibliografia ...................................................................................................................... 35

3 Exerccios de Matemtica Financeira Reviso CRC .......................................................... 36

4 Exerccios de Estatstica Reviso CRC .............................................................................. 43

3

1 Matemtica Financeira

Utilizao da Matemtica nas operaes financeiras do dia-a-dia. A Matemtica Financeira

trabalha com o pressuposto da capitalizao, que ocorre da seguinte forma:

1.1 Juros Simples

A Incidncia da taxa de Juros ser somente sobre o Valor Principal. (Conhecido como mtodo

linear).

1.2 Juros Compostos

A Incidncia da taxa de Juros ocorrer sobre o Valor Principal + Juros (Perodo anterior).

(Conhecido como mtodo exponencial ou Juros sobre Juros) Para o Clculo de Juros

necessrio relembrar algumas variveis que compe o clculo dos Juros: Capital (C), Taxa de

Juros (i), Tempo (n), Montante (M).

Diferena entre a capitalizao Simples e a Capitalizao Composta

Capital Juros Montante Capital Juros Montante

1 100,00 10,00 110,00 100,00 10,00 110,00

2 110,00 10,00 120,00 110,00 11,00 121,00

3 120,00 10,00 130,00 121,00 12,10 133,10

Juros Simples Juros Compostos

Perodo

1.3 Clculo no regime de Juros Simples:

J = C x i x n

M = C + J

Frmula de clculo direto do Montante: M = C x (1 + i x n)

Exemplo: Aplicao de R$ 500,00, com taxa de juros de 5% a.m. durante 3 meses. Qual o

montante e o valor dos juros ao final de 3 meses, no regime simples de capitalizao.

Clculo pela Frmula Clculo pela HP12C

C = 500,00 Limpe a memria da HP12C: digite f, CLX

4

i = 5% a.m Digite 500, Enter, CHS, PV

n = 3 Digite 60, i

J = 500 x 0,05 x 3 = 75,00 Digite 90, n

J = 75,00 Digite f, INT (Tecla i) e aguarde

M = 500 + 75 J = 75,00, aperte a tecla +

M = 575,00 M = 575,00

Obs: Na HP 12C para clculo de Juros Simples deve-se sempre usar a taxa anual equivalente

e tempo da operao deve ser o equivalente em dias. Ex: Taxa de Juros de 5% a.m. , equivale

a 60% a.a (5% x 12) e 3 meses equivale a 90 dias (30 x 3).

1.4 Clculo no regime de Juros Compostos

M = C x (1 + i)n

J = M C

Exemplo: Aplicao de R$ 500,00, com taxa de juros de 5% a.m. durante 3 meses. Qual o

montante e o valor dos juros ao final de 3 meses, no regime composto de capitalizao.

Clculo pela frmula Clculo pela HP12C

C = 500,00 Limpe a memria da HP12C: digite f, CLX

i = 5% a.m Digite 500, Enter, CHS, PV

n = 3 Digite 5, i

M = 500 x (1 + 0,05) Digite 3, n

M = 500 x (1,1576) Digite FV (aguarde)

M = 578,81 M = 578,81

J = 578,81 500 J = 578,81 500

J = 78,81 J = 78,81

1.5 Taxas: Proporcionais, Equivalentes, Nominal e Efetiva

Taxa Proporcional: So taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao

serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo

montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. Ex: 12% ao ano

proporcional a 6% ao semestre; 1% ao ms proporcional a 12% ao ano.

5

Taxa Equivalente: So taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao

serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo

montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. Ex: 1% a.m

equivale a 12,68% a.a.

(1 + i)n 1 = (1 + 0,01)

12 1 = 12,68% ou

0,1268 = (1 + i)12

1 = 0,1268 + 1

(1 + i)12

= 1,1268

121,1268 1 = 1% a.m

Obs: Assim, a diferena entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende

exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros

simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

Taxa Nominal: aquela em que a unidade de referncia de tempo, no coincide com a

unidade de tempo dos perodos de capitalizao. Ex: 12% a.a. com capitalizao mensal.

Taxa Efetiva: aquela em que a unidade de referncia de tempo, coincide com as unidades

de tempo dos perodos de capitalizao. 1% a.m. com capitalizao mensal.

Ex: Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado por 2 anos, com uma taxa de

juros nominal de 24% a.a. com capitalizao trimestral?

O ano possui 4 trimestres, portanto i = 24 / 4 = 6% a.t.,

C = 5.000,00

n = 2 anos, que equivale a 8 trimestres (2 x 4)

Clculo pela frmula Clculo pela HP12C

M = C x (1 + i)n Limpe a memria da HP12C: digite f, CLX

M = 5.000 x (1 + 0,06)8 Digite 5.000, Enter, CHS, PV

M = 5.000 x 1,59385 Digite 6, i

M = 7.969,24 Digite 8, n

Digite FV (aguarde)

M = 7.969,24

6

1.6 Desconto na Matemtica Financeira: Desconto Simples Comercial e Racional e

Composto

1.61 Desconto Simples: Segue a mesma lgica dos Juros Simples, subdivide-se em:

1.62 - Desconto Comercial: Conhecido como desconto bancrio ou por fora. A Referncia o

valor Nominal do Ttulo.

Frmulas de Clculo:

Clculo do Valor Atual ou Valor Presente do ttulo: A = N x (1 i x n).

Sendo A o valor atual e N o valor nominal (valor de face) do Ttulo.

Clculo direto do Desconto Comercial: D = N x i x n.

1.63 Desconto Racional: Conhecido como desconto por dentro. A Referncia o Valor

Atual do Ttulo. Frmula de Clculo:

A = N / 1 + i x n

Em ambos os exemplos, para calcular o valor do desconto, depois de calculado o valor atual

ser: d = N A

Exemplo: Um Ttulo de R$ 100,00 com vencimento para daqui a 2 meses, taxa de juros de

10% a.m. Qual o valor atual e do desconto.

7

Desconto Comercial Desconto Racional

N = 100,00, i = 10% a.m, n = 2 N = 100,00, i = 10% a.m e n = 2

A = 100 x (1 0,1 x 2) = 80,00 A = 100 / (1 + 0,1 x 2) = 83,33

d = 100 80 = 20,00 d = 100 83,33 = 16,67

Obs: A resoluo dos problemas de descontos simples so mais fceis de resolverem por meio

das frmulas, uma vez que, na HP 12C ser feito s o calculo do desconto racional simples,

mas o conceito que aparece com mais freqncia no Exame o de desconto simples, alm do

mais, na HP12C deve-se trabalhar com a taxa de juros negativa o que outro complicador.

1.64 Desconto Composto: Desconto seguindo a mesma lgica dos juros compostos.

Frmula de Clculo: A = N / (1 + i)n

d = N A

Exemplo: Uma duplicata que vencer em trs meses, no valor de R$ 1.500,00 com taxa de

juros de 3% a.m. Qual o Valor Atual e do Desconto.

Clculo pela frmula Clculo na HP12C

N = 1.500,00 Limpe a memria da HP12C: digite f, CLX

i = 3% a.m. Digite 1.500, Enter, CHS, FV

n = 3 Digite 3, i

A = 1.500 / (1 + 0,03)3

Digite 3, n

A = 1.500 / (1,0927) Digite PV (aguarde)

A = 1.372,71 A = 1.372,71

d = N A Digite 1500, tecla (aguarde)

d = 1.500 1.372,71 d = - 127,29

d = 127,29

8

1.7 Sries de Pagamentos: Postecipadas e Antecipadas

Define-se srie, renda, ou anuidade, a uma sucesso de pagamentos, exigveis em pocas pr-

determinadas, destinada a extinguir uma dvida ou constituir um capital.

1.71 Sries Postecipadas (Ou Vencidas): So aquelas em que os pagamentos ou

recebimentos so efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros

considerada, ou seja, um perodo aps a efetuao do contrato. Ex: 0 + 15.

1.72 Sries Antecipadas: So aquelas em que os pagamentos ou recebimentos so efetuados

no incio de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, ou seja, o

pagamento da 1 parcela se d no momento do fechamento do contrato. Ex: 1+15.

Exemplos de Sries Postecipadas

Exemplo 1: Voc deseja obter R$ 50.000,00 daqui a 60 meses, ao negociar com o seu banco

voc conseguiu uma aplicao que lhe rendesse 1,5% a.m. Quando voc dever depositar

mensalmente, para atingir tal objetivo.

Clculo pela frmula

11n

i

iFVPMT

FV = 50.000 (Valor Futuro)

i = 1,5% a.m

n = 60

PMT = Valor do Pagamento Peridico (Prestao)

PMT = 50.000 x (0,015 / (1 + 0,015)60 1

PMT = 50.000 x (0,015 / 1,4432)

PMT = 50.000 x (0,0104)

PMT = 519,67

Clculo pela HP 12C

Limpe a memria da HP12C: digite f, CLX

9

Digite g, 8 (Desativar a funo de pagamento antecipado)

Digite 50.000, Enter, CHS, FV

Digite 1,5, i

Digite 60, n

Digite PMT e aguarde

PMT = 519,67

Exemplo 2: Financiamento de uma Geladeira no valor de R$ 1.500,00, com Taxa de Juros de

0,5% a.m, em 12 prestaes. Qual o valor de cada prestao.

Clculo pela frmula

11

1n

n

i

iiPVPMT

PV = 1.500 (Valor Presente)

i = 0,5% a.m

n = 12

PMT = Valor do Pagamento Peridico (Prestao)

PMT = 1.500 x ((0,005 x (1 + 0,005)12) / (1 + 0,005)12 1))

PMT = 1.500 x (0,0861)

PMT = 129,10

Clculo pela HP 12C

Limpe a memria da HP12C: digite f, CLX

Digite g, 8 (Desativar a funo de pagamento antecipado)

Digite 1.500, Enter, CHS, PV

Digite 0,5, i

Digite 12, n

Digite PMT e aguarde

PMT = 129,10

10

Exemplo de Srie Antecipada

Exemplo: Voc financiou um Veculo no valor R$ 30.000,00, sem entrada, para pagamento

em 48 parcelas iguais com taxa de juros de 1,3% a.m. Qual o valor da prestao no regime

antecipado.

Clculo pela frmula

11

1

)1(

1n

n

i

ii

iPVPMT

PV = 30.000,00 (Valor Presente)

i = 1,3% a.m.

n = 48

PMT = 30.000 x 1 / (1 + 0,013) x ((0,013 x (1 + 0,013)48

) / (1 + 0,013)48

1

PMT = 30.000 x 0,0278

PMT = 833,24

Clculo pela HP 12C

Limpe a memria da HP12C: digite f, CLX

Digite g, e o nmero 7

Digite 30.000, Enter, CHS, PV

Digite 1,3, i

Digite 48, n

Digite PMT e aguarde

PMT = 833,24

1.8 Correo monetria

um ajuste feito periodicamente de certos valores tendo em base o valor da inflao de um

perodo, objetivando compensar a perda de valor da moeda. Desta forma o objetivo retirar

11

da taxa de juros de um investimento o efeito da inflao, ou seja, calcular a taxa real de

retorno.

Essa retirada feita no formato composto atravs da seguinte frmula:

1 + r = 1 + i / 1 + Taxa de inflao

r = Taxa Real

Exemplo: Uma determinada aplicao rendeu ao final do perodo 12,5% de juros, mas a

inflao no mesmo perodo foi de 5,8%. Qual foi o ganho Real.

Frmula: 1 + r = 1 + i / 1 + Taxa de inflao

i = 12,5%

Taxa de inflao = 5,8%

1 + r = 1 + 0,125 / 1 + 0,058

r = 1,0633 1

r = 6,33%

1.9 Sistemas de Amortizao de Emprstimos: SAC, Price e Sacre

Amortizao um processo de extino de uma dvida atravs de pagamentos peridicos. Os

sistemas mais comuns: SAC, Price e SACRE

1.91 SAC - Sistema de Amortizao Constante: Foi introduzido em 1971 pelo SFH. Neste

sistema paga-se prestaes peridicas, sendo que a prestao engloba Juros + Amortizao do

Emprstimo.

Caractersticas: A Amortizao constante, os Juros so decrescentes e so cobrados sobre o

saldo devedor e a Prestao decrescente. Obs: Utilizado nas operaes de financiamento

imobilirio.

1 Passo: Calcular a Amortizao = E / n = 100.000 / 4 = 25.000

2 Passo: Calcular o Saldo Devedor (Sd) = Sd Amortizao

3 Passo: Calcular os Juros sempre sobre o saldo devedor = i x Sd anterior

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4 Passo: Calcular a Prestao = Amortizao + Juros

1.92 Sistema Price (Sistema Francs): As prestaes so constantes, os juros so

decrescentes e amortizao crescente. utilizado no financiamento de Bens de Consumo.

n

n

ii

iPMTPV

1

11

1 Passo: Clculo das Prestaes por meio da frmula:

2 Passo: Calculo dos Juros sobre o Saldo Devedor

3 Passo: Clculo da Amortizao: Prestao Juros

4 Passo: Atualizar o Saldo Devedor: Saldo Devedor Amortizao

1.93 Sistema de Amortizao Crescente (SACRE): Este sistema de amortizao utilizado

SOMENTE pela Caixa Econmica Federal. A diferena bsica entre este sistema e os outros

o de apresentar o valor da parcela de amortizao superior, proporcionando uma reduo

mais rpida do saldo devedor, sendo assim, tanto as prestaes, a amortizao e os juros so

decrescentes, mas em contrapartida a prestao inicial maior.

1 Passo: Calcular a Prestao = saldo devedor x {( 1/n ) + ( taxa juros ms/100)}

2 Passo: Calcular o Saldo Devedor (Sd) = Sd Amortizao

3 Passo: Calcular os Juros sempre sobre o saldo devedor = i x Sd anterior

Exemplo: Veja como fica um financiamento de 120 meses para um imvel com

financiamento de R$ 50.000,00, taxa de juros de 12% a.a.

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1.10 Analise de Investimentos

Consiste na utilizao de mtodos de avaliao econmico-financeira, com o objetivo de se

apurarem os resultados e a atratividade das aplicaes de capital, sobretudo nos investimentos

de longo prazo. Os Mtodos Utilizados so os seguintes:

Elaborao de um Fluxo de Caixa

Taxa Mnima de Atratividade TMA

Valor Presente Liquido VPL

Payback

Taxa Interna de Retorno TIR

Fluxo de Caixa: Elaborao de um Fluxo que mensure as efetivas entradas e sadas, ou seja,

todos os custos, inclusive com investimento e receitas em regime de caixa.

Taxa Mnima de Atratividade (TMA): uma taxa de retorno que representa o mnimo que

um investidor se prope a ganhar quando faz um investimento, tambm chamada de Taxa de

Expectativa, pois, reflete a expectativa de retorno do investidor.

Payback: Consiste na determinao do tempo necessrio, para que o investimento inicial seja

recuperado, pelas entradas liquidas de caixa promovidas pelo investimento. Clculo: I / FCL

Valor Presente Liquido (VPL): utilizado para calcular atratividade do investimento. Essa

tcnica busca informar se um investimento trar retorno positivo ou no, atravs de fluxos de

caixa futuros, ou seja, se os fluxos de caixa futuros, de um determinado projeto superaro o

14

custo do investimento inicial no presente. Nesse mtodo o Fluxo de Caixa Liquido

descontado por uma taxa, que a Taxa Mnima de Atratividade.

Taxa Interna de Retorno TIR: A TIR uma taxa de desconto que iguala o valor presente

dos fluxos de caixa futuros, ao investimento inicial. a taxa que anula VPL. A TIR significa

a taxa que o empreendimento traz implicitamente, ou seja, a taxa de retorno que o projeto

pode proporcionar ao investidor, ao final do projeto.

Exemplo: Investimento de R$ 6.000.000,00 na construo de um condomnio de casas para

comercializao. Expectativa de Vendas: 70 Casas ano ao preo unitrio de R$ 125.000,00,

com uma TMA de 10%. O Custo Varivel de Produo de 60.000,00 por casa e os Custos

Fixos previstos so de R$ 300.000,00 por ano. A durao do projeto de 3 anos. No haver

financiamento e a alquota de IR de 34%.

Clculos:

VPL Valor Presente Liquido

Digite 6.000.000,00, Chs, g, CFo

Digite 2.805.000, g, CFj

Digite 2.805.000, g, CFj

Digite 2.805.000, g, CFj

Digite 10, i

15

Digite f, NPV (tecla PV) e aguarde

VPL = 975.619,83

TIR = Pela HP 12C

Digite 6.000.000,00, Chs, g, CFo

Digite 2.805.000, g, CFj

Digite 2.805.000, g, CFj

Digite 2.805.000, g, CFj

Digite f, IRR

TIR = 19,03%

Payback

I / FCL

Payback: 6.000.000 / 2.805.000

Payback: 2,14 anos (aproximadamente 2 anos, 1 ms e 20 dias)

Concluso: Portanto, os critrios de deciso para anlise de investimento so os seguintes:

TIR > TMA (Mostra que a taxa de retorno supera a expectativa de retorno do investidor)

VPL Positivo (Os Fluxos de caixa lquidos gerados pelo empreendimento, banca, o

investimento inicial, os gastos operacionais e financeiros, e atende a expectativa de retorno do

investidor)

Payback inferior ao tempo de trmino do Projeto (A recuperao do investimento ocorre antes

do trmino do projeto).

Obs: O exemplo acima atende aos critrios de viabilidade, portanto vivel do ponto de vista

econmico-financeiro.

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2 Estatstica Aplicada

A Estatstica a cincia que trabalha com fatos numricos, coletados sistematicamente,

ordenados e estudados, sendo que, a organizao dos dados feita atravs de uma

Distribuio de Freqncia.

2.1 Distribuio de Freqncia

o agrupamento de um conjunto de dados, em geral esse agrupamento se d em tabelas e

grficos. Uma distribuio de freqncia composta de Classes e Freqncia.

2.2 Classes

So as variveis agrupadas e organizadas na coluna de uma tabela, podendo essas variveis

ser agrupadas por atributos ou nmeros.

2.3 Freqncia (fi)

o nmero de observaes correspondente a uma determinada classe. Sendo que podemos

gerar Freqncias acumuladas (Fi), relativas individuais (fri) e acumuladas (Fri).

Freqncia acumulada (Fi): o total das freqncias de todos os valores inferiores

de uma dada classe. Fi = f1 + f2 + .....

Freqncia Relativa (fri): Averiguar o peso de cada classe no total. f

Freqncia acumulada relativa (Fri) de uma classe a freqncia acumulada da

classe, dividida pela freqncia total da distribuio.

2.4 Tipos de Distribuio de Freqncia

Atributos: Caracterizam-se as classes por algum atributo ou caracterstica. Ex: Despesas da

empresa n (Atributo: Despesa).

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Despesas da Empresa XX

Despesas (n) Despesas (fi)Despesas

Acumuladas (Fi)fri Fri

Despesas de Pessoal 195.385,34 195.385,34 43,10% 43,10%

Despesas Operacionais 118.535,26 313.920,60 26,15% 69,25%

Despesas Administrativas 77.450,86 391.371,46 17,08% 86,33%

Despesas Comerciais 53.615,22 444.986,68 11,83% 98,16%

Despesas Financeiras 8.356,12 453.342,80 1,84% 100,00%

Total 453.342,80 100,00%

Agrupamento Intervalar (Dados contnuos): As classes esto descritas por nmeros, que

esto agrupados em intervalos. Ex: Tempo de casa dos funcionrios da Empresa XX.

Valor Fixo (Dados discretos): As classes so nmeros fixos. Ex: Auditoria em Notas Fiscais

da Empresa XX.

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2.5 Anlise Grfica

Visualizao de Dados por meio de grficos, sendo os mais comuns:

Histograma (grfico em barras): Representado por um retngulo, cuja base horizontal so as

classes e seu intervalo, e a altura vertical representa a frequncia. Ex: Evoluo do

faturamento no ano de 2010 da Empresa XX.

Grfico de setores (Pizza): Os valores de cada categoria estatstica (classes) representada so

proporcionais s respectivas freqncias. Ex: Representatividade de cada ms no faturamento

semestral da Empresa XX no ano de 2010.

Grfico em Linhas: Mostra a evoluo de uma varivel qualquer, apresentando em que

direo caminha os dados (tendncia) Ex: Evoluo do faturamento no ano de 2010 da

Empresa XX.

Evoluo do Faturamento - Empresa XX - Ano de 2010

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1.000,00

1.200,00

1.400,00

1.600,00

1.800,00

2.000,00

Jan Fev Mar Abr Mai Jun

Ms

Fre

qu

n

cia

Proporo Mensal do Faturamento

16,01%

18,10%

13,33%16,71%

17,01%

18,85%

Jan Fev Mar Abr Mai Jun

19

2.6 Estatstica Descritiva

Visa resumir, descrever os dados de uma varivel quantitativa, atravs de medidas estatsticas.

2.61 Medidas de Tendncia Central: Mdia, Moda, Mediana, Quartis, Decis,

Percentis

So assim denominadas por indicarem um ponto em torno do qual se concentram os dados.

Este ponto tende a ser o centro da distribuio dos dados, sendo as mais comuns:

2.62 Mdia Aritmtica: a soma de todos os valores observados da varivel dividida pelo

nmero total de observaes, portanto, a mdia de uma distribuio, o centro de gravidade,

representa o ponto de equilbrio de um conjunto de dados.

A seguir, algumas propriedades da mdia aritmtica:

1. A mdia um valor calculado facilmente e depende de todas as observaes;

2. nica em um conjunto de dados e nem sempre tem existncia real, ou seja, nem sempre

igual a um determinado valor observado;

3. A mdia afetada por valores extremos observados, portanto, quando se observam no

conjunto, dados discrepantes, significa que a mdia uma medida no apropriada para

representar os dados.

4. Por depender de todos os valores observados, qualquer modificao nos dados far com

que a mdia fique alterada. Isto quer dizer que somando-se, subtraindo-se, multiplicando-se

Evoluo do Faturamento - Empresa XX - Ano 2010

1.200,00

1.300,00

1.400,00

1.500,00

1.600,00

1.700,00

1.800,00

1.900,00

2.000,00

Jan Fev Mar Abr Mai Jun

Ms

Fre

qu

nci

a

20

ou dividindo-se uma constante a cada valor observado, a mdia ficar acrescida, diminuda,

multiplicada ou dividida desse valor.

5. A soma da diferena de cada valor observado em relao mdia zero, ou seja, a soma

dos desvios zero.

Frmula de clculo para dados univariveis (As classes so atributos) ou numricos (dados

discretos ou contnuos), respectivamente:

2.63 Mdia Geomtrica: definida, como a Raiz do nmero de classes, do produto de todas

as freqncias. Muito utilizadas em aplicaes financeiras que rendem juros sobre juros e em

dados demogrficos. Frmula de clculo:

2.64 Moda: o valor que apresenta a maior freqncia da varivel entre os valores

observados. Para o caso de valores individuais, a moda pode ser determinada imediatamente

observando-se o rol, ou seja, o valor mais comum, mais freqente, o que mais se repete. Por

outro lado, em se tratando de uma distribuio de freqncia de valores agrupados em classes

(Dados contnuos ou discretos), necessrio identificar a classe modal, ou seja, aquela que

apresenta a maior freqncia. Frmula de clculo da Moda: (Dados contnuos ou discretos)

2.65 Medidas Separatrizes: So medidas que dividem os dados em extratos, sendo as mais

comuns:

2.651 Mediana: uma medida de localizao do centro da distribuio dos dados. Aps a

ordenao dos elementos da amostra de dados, a mediana o valor (pertencente ou no

amostra) que a divide ao meio, isto , 50% dos elementos da amostra so menores ou iguais

Li = limite inferior da classe modal, h = amplitude da classe

modal, Fi = Freqncia absoluta da classe modal, Fi-1 =

Freqncia absoluta da classe anterior a classe modal, Fi + 1 =

Freqncia absoluta da classe superior a classe modal.

21

mediana e os outros 50% so maiores ou iguais mediana. Para a determinao da mediana

de um conjunto de n observaes, utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra

das n observaes:

- Se n mpar, a mediana o elemento mdio (que se posiciona no meio dos dados);

- Se n par, a mediana a semi-soma dos dois elementos mdios.

Frmula de clculo da Mediana: (Dados contnuos ou discretos)

2.652 Quartil: Os Quartis dividem o conjunto de dados em quatro partes iguais, seguindo a

seguinte descrio:

2.653 Decis: Os Decis dividem o conjunto de dados em dez partes iguais.

Li = limite inferior da classe mediana, h = amplitude da classe

mediana, Fi = Freqncia absoluta da classe mediana, Fai-1 =

Freqncia absoluta da classe anterior a classe da mediana, p = n

/ 2 indica a posio central da srie.

22

2.654 Percentis: Os Percentis dividem o conjunto de dados em cem partes iguais. A seguir

so apresentados alguns dos Percentis mais usados:

2.7 Medidas de Disperso: Amplitude Total, Desvio-Mdio, Varincia, Desvio-

Padro e Coeficiente de Variao

As medidas de disperso traduzem a variao de um conjunto dos dados em torno da mdia,

ou seja, da maior ou menor variabilidade dos resultados obtidos. Permitem identificar at que

ponto os resultados se concentram ou no ao redor da tendncia central de um conjunto de

observaes. Dividem em:

2.71 Amplitude Total: A amplitude total de um conjunto de dados a diferena entre o

maior e o menor valor observado. A amplitude total no leva em considerao os valores

intermedirios perdendo a informao de como os dados esto distribudos e/ou concentrados.

Frmula de Clculo: At = fimax fimin

At (Amplitude Total)

fimax (Freqncia individual mxima)

fimin (Freqncia individual mnima)

2.72 Desvio-Mdio: A diferena entre cada valor observado e a mdia denominado desvio

e dado por (xi ) se o conjunto de dados populacional, ou por (xi x) se os dados so

amostrais. Ao somar todos os desvios, ou seja, ao somar todas as diferenas de cada valor

observado em relao mdia, o resultado igual a zero (propriedade 5 da mdia). Isto

significa que esta medida no mede a variabilidade dos dados. Para resolver este problema,

23

pode-se desconsiderar o sinal da diferena, considerando a diferena em mdulo. Frmula

para dados univariveis ou numricos, respectivamente:

2.73 Varincia: Enquanto no h nada conceitualmente errado em se considerar o desvio

mdio, segundo Pagano (2004), esta medida no tem certas propriedades importantes e no

muito utilizada. O mais comum considerar o quadrado dos desvios em relao mdia e

ento calcular a mdia. Frmula para dados univariveis ou numricos, respectivamente:

2.74 Desvio-Padro: Entretanto, ao calcular a varincia observa-se que o resultado ser

dado em unidades quadrticas, o que dificulta a sua interpretao. O problema resolvido

extraindo-se a raiz quadrada da varincia, definindo-se, assim, o desvio padro. O Desvio-

Padro a medida mais utilizada para se verificar a disperso, portanto, quanto maior o

Desvio-Padro, mais distantes os dados se posicionam em relao mdia, assim a frmula

de clculo ser: S = S

2.75 Coeficiente de Variao: O coeficiente de variao uma medida de disperso relativa

definida como a razo entre o desvio padro e a mdia. A partir do coeficiente de variao

pode-se avaliar a homogeneidade do conjunto de dados e, conseqentemente, se a mdia

uma boa medida para representar estes dados. Uma desvantagem do coeficiente de variao

que ele deixa de ser til quando a mdia est prxima de zero, pois poder inflacionar o CV.

Um coeficiente de variao superior a 50% sugere alta disperso o que indica heterogeneidade

dos dados, ou seja, quanto maior for este valor, menos representativa ser a mdia. Neste

caso, opta-se pela mediana ou moda, no existindo uma regra prtica para a escolha de uma

destas medidas e ser calculado da seguinte forma:

24

2.76 Exemplo das Estatsticas descritivas: Pesquisa de Preo em 6 estabelecimento, para

verificar o preo do Extrato de Tomate:

Estabelecimento Preo DM VAR

A 2,20 0,09 0,01

B 2,20 0,09 0,01

C 2,28 0,01 0,00

D 2,31 0,02 0,00

E 2,36 0,07 0,01

F 2,38 0,09 0,01

0,37 0,03

Mdia = 2,20 + 2,20 + 2,28 + 2,31 + 2,36 + 2,38 / 6 = 2,29

Moda = 2,20 (Valor mais comum)

Mediana = n / 2 e n / 2 + 1 = 6 / 2 = 3 e 6 / 2 + 1 = 4 (A mediana ser a mdia das freqncias da 3 e

da 4 classe)

Mediana = 2,28 + 2,31 / 2 = 2,30 (50% dos dados se posicionam abaixo da mediana e 50% dos dados

so maiores que a mediana)

1 Quartil: 0,25 x (n + 1) = 0,25 x (6 + 1) 2 (O 1 quartil est na 2 classe) = 2,20

7 Decil: 0,7 x (n + 1) 5 (O 7 decil est na 5 classe) = 2,36

Amplitude Total: At = fimax fimin = 2,38 2,20 = 0,18 (Distncia entre o maior e o menor valor)

Desvio-Mdio: 0,37 / 6 = 0,0617

Varincia: 0,03 / 6 1 = 0,0059

2.8 Probabilidade

Conjunto de regras, por meio das quais, se calcula o nmero de causas favorveis, ou

contrrias, produo de certo acontecimento.

Determinada sapataria masculina utilizando as informaes histricas sobre os ltimos 900

clientes, identificou que: 90 homens compraram sapatos 38 e 252 homens compraram sapatos

42, desta forma, calcule:

A) A Probabilidade de o prximo cliente comprar um sapato 38;

B) A Probabilidade de o prximo cliente comprar um sapato 42;

C) A Probabilidade de comprar um dos dois nmeros, ou nenhum dos dois nmeros.

Desvio-

Desvio-Padro = 0,07705

C.V. = 0,07705 / 2,29

C.V. = 3,37%

Concluso: Os dados apresentam baixa disperso em

relao mdia, portanto, a mdia uma boa referncia.

25

Clculo da Probabilidade:

2.81 Eventos envolvendo Probabilidade

Independentes: Dois eventos so independentes, quando o resultado de um evento no

interfere no resultado do outro. A expresso que define a lei do produto para eventos

independentes a seguinte: P(A e B) = P(A) x P(B)

Exemplo: Em uma famlia ser estimada a probabilidade de nascer menino e ter olhos azuis,

considerando que a probabilidade de nascer menino de 1/2 e de ter olhos azuis de 1/8.

P(A e B) = 1/2 x 1/8

P(A e B) = 1/16

P(A e B) = 6,25%

Mutuamente Exclusivos: A ocorrncia de um evento elimina a possibilidade de ocorrncia de

outro evento. Frmula de Clculo: P(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemplo: Na mesma famlia qual a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou

uma menina de olhos azuis, considerando que: a probabilidade de nascer menino de olhos

castanhos de 3/8 e menina de olhos azuis de 1/8.

P(A ou B) = 3/8 + 1/8

P(A ou B) = 4/8

26

P(A ou B) = 1/2

Dependentes Probabilidade Condicional: Refere-se probabilidade de ocorrncia de um

evento A sabendo que ocorreu um outro evento B e representa-se por P(A|B), lida

"probabilidade condicional de A dado B" ou ainda "probabilidade de A dependente da

condio B". Frmula de Clculo:

Exemplo: Uma pesquisa realizada entre 1.000 consumidores, registrou que 650 deles

trabalham com cartes de crdito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartes de

crdito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartes de crdito de ambas as bandeiras.

Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA,

ser tambm um dos consumidores que utilizam cartes de crdito da bandeira MasterCard?

P(A B) = 200 / 550

P(A B) = 36,36%

2.82 Varivel aleatria

Varivel aleatria um tipo de varivel que pode assumir diferentes valores numricos,

definidos para cada evento de um espao amostral.

2.83 Valor esperado

Tambm chamado de esperana matemtica ou expectncia, de uma varivel aleatria a

soma das probabilidades de cada possibilidade da experincia, multiplicada pelo seu valor.

Isto , representa o valor mdio "esperado" de uma experincia se ela for repetida muitas

vezes. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado a mdia aritmtica,

caso haja probabilidades diferentes para cada evento, o valor esperado uma mdia

ponderada.

Exemplo: Joo resolveu apostar R$ 50 no cara e coroa contra um amigo. Se der cara, ele

ganha R$ 50, caso contrrio, perde R$ 50. Qual o valor esperado por Joo nesse jogo?

Se der cara:

(Probabilidade de dar cara) x (valor do evento) ou 50% * R$ 50 = R$ 25

http://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1velhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Eventohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_amostralhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3riahttp://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica

27

Se der coroa:

(Probabilidade de dar coroa) x (valor do evento) ou 50% * - R$ 50 = - R$ 25

Logo, somando as probabilidades de cada evento, multiplicadas pelo seu valor, chegamos a:

R$ 25 R$ 25 = R$ 0

Apostar no cara e coroa tem valor esperado de zero. Isto , no longo prazo, no tem vencedor,

eles vo empatar.

2.84 Distribuio Binomial

usada para encontrar a probabilidade de X nmeros de ocorrncias ou sucessos de um

evento, P(X), em n tentativas do mesmo experimento quando (1) existirem somente 2

resultados mutuamente exclusivos, (2) as n tentativas so independentes, e (3) a probabilidade

de ocorrncia ou sucesso, p, permanece constante em cada tentativa. Frmula de clculo:

Exemplo: Qual a probabilidade de 3 caras em 5 lanamentos de uma moeda honesta?

Levantamento de Dados: n = 5, X = 3, p =

P(3) = (5! / 3! (5 3)!) x (1/2) x (1/2)5 3

P(3) = (120 / 12) x 0,03125

P(3) = 31,25%

2.9 Correlao

o grau de relao entre duas variveis. A correlao gera um nmero que chamado de

coeficiente de correlao que vai de 1 a + 1.

Quanto mais prximo de + 1 maior o grau de relao entre as variveis, ou seja, as

variveis caminham na mesma direo. Em outras palavras a associao entre as

variveis diretamente proporcional. Ex: A elevao do lucro possui correlao

positiva com a elevao do faturamento.

28

Quanto mais prximo de 0 mais baixa a correlao, ou seja, o que ocorre com uma

varivel pouco interfere no comportamento da outra varivel.

Quanto mais prximo de 1, existe uma relao inversa entre as variveis, ou seja,

quando o valor de uma varivel se eleva o valor da outra se reduz, portanto a relao

entre as variveis inversamente proporcional. Ex: Preo e Volume Vendido.

O Coeficiente de correlao poder ser calculado atravs, cruzando os valores

histricos das variveis que se deseja mensurar o grau de relao, essas variveis so

chamadas de X e Y.

2.10 Erro Padro

O erro padro uma medida da preciso da mdia amostral calculada. O erro padro obtm-se

dividindo o desvio padro pela raiz quadrada do tamanho da amostra, desta forma, quanto

menor o erro padro, melhor a preciso da mdia, o clculo feito da seguinte forma:

S / n

S = Desvio-Padro da amostra

n = Nmero de observaes

Exemplo: Em uma pesquisa de preo de gasolina realizada em 64 postos, observou-se que o

desvio-padro do preo do litro fora de 0,4, e o preo mdio foi de 2,87. Qual o erro padro da

pesquisa?

Erro Padro = 0,4 / 64

Erro Padro = 0,05

Concluso: Isso indica que o preo mdio encontrado pode variar 0,05 para mais ou para

menos, neste caso: 2,87 0,05, portanto, oscila entre 2,82 e 2,92.

29

2.11 Regresso

um mtodo para se estimar a condicional (valor esperado) de uma varivel y, dados os

valores de algumas outras variveis x. Desta forma y uma varivel dependente e as variveis

x so variveis independentes. Em outras palavras uma metodologia estatstica que utiliza a

relao entre duas ou mais variveis quantitativas (ou qualitativas) de tal forma, que uma

varivel pode ser predita a partir da outra ou outras. Ex: Estimar o volume de vendas de um

produto em funo do Preo.

A equao de Regresso a seguinte:

Em que: Yi - Varivel explicada (dependente); o valor que se quer prever;

- uma constante, que ser utilizada na previso de Yi;

- outra constante, que representa a variao na varivel Yi, dada mudanas em Xi;

Xi - Varivel explicativa (independente) representa o fator explicativo na equao;

- Varivel que inclui todos os factores residuais mais os possveis erros de medio.

2.12 Nmeros ndices

So usados para indicar variaes relativas em quantidades, preos e valores de um artigo (ou

artigos) durante certo perodo de tempo ou entre diferentes lugares. Dividem-se em:

ndices Simples: Um Nmero ndice simples avalia a variao relativa de um nico item ou

varivel econmica entre dois perodos de tempo. Clculo: Valor no perodo n / Valor no

perodo base x 100

Ex: O Preo da Gasolina em Dez/2011 era de 2,79, j em Dez/12 era de 2,89, qual a variao?

2,89 / 2,79 x 100 = 103,58

Regra: Caso o resultado seja superior a 100, isso indica que houve variao positiva. Sendo

que, o valor acima de 100, mostra o tamanho da variao percentual, no exemplo acima:

3,58% foi a variao no preo da gasolina no perodo.

ndices Compostos: So usados para indicar uma variao relativa no preo, na quantidade,

ou no valor de um grupo de itens. O clculo: ( Pn x Qo / Po x Qo) x 100

30

Pn = Preo no perodo atual

Qo = Quantidade no perodo base

Po = Preo no perodo base

2.13 ndices de Preo ao consumidor no Brasil

IPCA: ndice de preos ao consumidor ampliado, e elaborado pelo IBGE e abrange uma

cesta de bens e servios consumidos por famlias com renda de 1 a 40 salrios mnimos em 11

regies metropolitanas (Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, So Paulo,

Braslia, Belm, Fortaleza, Salvador, Curitiba e Goinia). Este considerado o ndice Oficial

de Inflao do Governo. O Perodo de coleta do dia 1 ao dia 30.

INPC: ndice Nacional de preos ao consumidor elaborado pelo IBGE, e abrange uma cesta

de bens e servios consumidos por famlias com renda de 1 a 8 salrios mnimos em 11

regies metropolitanas (Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, So Paulo,

Braslia, Belm, Fortaleza, Salvador, Curitiba e Goinia). O Perodo de coleta do dia 1 ao

dia 30.

2.14 Teoria da Amostragem

Em Estatstica as pesquisas so em geral feitas por amostras.

Populao: o conjunto de todos os elementos unidades observacionais que constituem a

Abrangncia do estudo. Em geral quando se pesquisa os dados de uma populao completa,

esse processo tem o nome de Censo.

Amostra: um subconjunto da populao, ou seja, uma parcela da populao que ser

pesquisada.

Exemplo: Populao de Padarias de Goinia (todas as padarias de Goinia), Amostra das

Padarias de Goinia (Parte da populao de padarias de Goinia).

Mtodos de definio de uma Amostra:

Amostragem Simples: A escolha dos pesquisados feita por Sorteio, sendo que, cada

componente da populao tem a mesma chance de ser includo na amostra.

31

Amostragem Estratificada: Usada quando a populao divide-se em subpopulaes (estratos)

razoavelmente homogneos. A amostragem estratificada consiste em se especificar quantos

itens da amostra sero retirados de cada estrato.

Amostragem Sistemtica: Divide-se o tamanho da populao pelo tamanho desejado da

amostra. Ex: Definir uma amostra de 5 pessoas, para participarem de uma pesquisa em uma

populao de 30 pessoas. 30 / 5 = 6. Isso significa que ser dividida a amostra em 5 grupos de

6 pessoas cada e escolhe aleatoriamente 1 pessoa de cada grupo por sorteio.

2.15 Clculo do Tamanho da Amostra Pesquisa de Campo

O Primeiro passo estabelecer o Erro Amostral Tolervel (Margem de Erro)

Frmula de Clculo:

n0 = 1 / (Eo)

n0 = Primeira aproximao da amostra

n = N x n0 / N + n0

n = Tamanho da Amostra

N = Tamanho da Populao

Ex: Numa empresa com 1.000 funcionrios, deseja-se estimar a percentagem dos favorveis a

certo treinamento. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatria simples que garanta um erro

amostral no superior a 5%?

n0 = 1 / (0,05)

n0 = 400

n = 1.000 x 400 / 1000 + 400

n = 286

Concluso: Ser necessrio pesquisar 286 funcionrios para avaliar se determinado

treinamento efetivo ou no, sendo que, haver uma margem de erro de 5% em relao

opinio dos funcionrios participantes da pesquisa, em outras palavras, se 30% dos

32

funcionrios entrevistados aprovarem o treinamento, isso significa dizer, que entre 25% e

35% dos funcionrios dessa empresa, aprovaram o treinamento.

2.16 Distribuio Normal

a mais familiar das distribuies de probabilidade e tambm uma das mais importantes em

estatstica. Esse nome parte do principio que todos os dados oscilam em torno de um valor

normal, que a mdia. Para tanto considera-se na curva normal que a mdia o ponto zero,

enquanto que o desvio-padro so os pontos 1,2 e 3 (positivos e negativos).

Para a Distribuio normal utiliza-se da Curva Normal com os seguintes pressupostos:

1 Desvio: 68,26% das observaes se situam nesta faixa.

2 Desvios: 95,46% das observaes se situam nesta faixa.

3 Desvios: 99,74% das observaes se situam nesta faixa.

Portanto os desvios na curva normal so as probabilidades de ocorrncia de um evento, com

base em sua mdia e desvio-padro

As estimativas so feitas atravs da Curva Normal:

Sendo 0 o ponto onde se situa a Mdia dos Dados;

Os Nmeros diferentes de 0 o Desvio-Padro, ou seja, a disperso em torno da mdia.

Considerando a probabilidade de ocorrncia, a rea sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer

que a probabilidade de uma observao assumir um valor entre dois pontos quaisquer igual

rea compreendida entre esses dois pontos.

Uma distribuio que tende a normalidade significa que a mdia = mediana = moda.

33

Exemplo: Tal empresa vende em mdia 500 unidades ao ms de um produto com um desvio-

padro de 50. Considerando uma Distribuio Normal para o dado citado com mdia 0 e

Desvio-Padro 2, qual a probabilidade de Vendas para o prximo ms e qual a probabilidade

de as vendas estarem fora do intervalo previsto.

Vendas previstas entre 450 e 550. (Desvio de 50 em relao mdia).

Probabilidade de ocorrncia: 95,46% (2 desvios em relao a mdia).

2.17 Intervalo de Confiana

Estima uma faixa dentro da qual o valor mdio de uma distribuio de dados se encontra,

procurando atribuir certo grau de preciso a mdia.

Ao calcular um intervalo de confiana especifica-se um nvel de confiana aceitvel. Em

negcios o mais comum trabalhar com 95% de confiana.

Isso significa dizer com confiana, que 95% dos valores de uma distribuio, encontram-se

dentro de um intervalo esperado.

Vale ressaltar que quanto maior for o intervalo de confiana, maior ser o tamanho da amostra

de dados, uma vez que, com uma maior amostra mais precisa ser a mdia.

Com um intervalo de confiana de 95% remove-se da amostra os piores 2,5% de valores de

cada extremidade dos dados, ou seja, os dados que se posicionam mais distantes da mdia.

34

Para o clculo do intervalo de confiana utiliza-se a tabela z (Tabela de Distribuio Normal),

onde:

Para um intervalo de confiana de 95% utiliza-se 1,96 de desvio padro.

Para um intervalo de confiana de 99% utiliza-se 2,58 de desvio padro.

Para um intervalo de confiana de 99,8% utiliza-se 3,10 de desvio padro.

Determinao do Tamanho da Amostra considerando o intervalo de confiana: O tamanho

da amostra depende de 3 fatores, conforme abaixo:

O grau de confiana desejado (z);

Quantidade de disperso entre os valores individuais da populao ( x);

Erro tolervel ou admitido (e).

Definida as variveis acima possvel definir o tamanho da amostra por meio da seguinte

frmula:

n = Tamanho da amostra

z = Intervalo de Confiana, retirado da tabela Z de distribuio normal

x = Disperso: Desvio Padro de x

e = Margem de Erro tolervel

Exemplo: Qual o tamanho de amostra necessria de documentos tributrios para serem

auditados, sendo que, historicamente esse tipo de auditoria apresenta um resultado cujo desvio

padro igual a 4, com 98% de intervalo de confiana e erro de 0,5?

98% = 2,33 (Tabela Z, isso equivale a 98% da Curva Normal)

n = (2,33 x 4 / 0,5)

35

n = 347,45

n = 348

Concluso: Para atendimento do padro definido devero ser auditados 348 documentos

tributrios.

2.18 Clculos estatsticos na HP 12C

Exemplo: Preo mdio e Volume de Vendas

Preo dirio Vendas

10,00 1.540

10,25 1.533

10,15 1.547

10,32 1.542

10,28 1.551

Clculo do preo mdio dirio HP 12C: Tecle f REG, 10 ENTER +, 10,25 ENTER +,

10,15 ENTER +, 10,32 ENTER +, 10,28 ENTER +, g, 0. = 10,20

Clculo do Desvio-Padro do preo dirio HP 12C: Tecle f REG, 10 ENTER +, 10,25

ENTER +, 10,15 ENTER +, 10,32 ENTER +, 10,28 ENTER +, g, S = 0,1283

Clculo do Coeficiente de Correlao entre o Preo dirio e as Vendas: Tecle f REG, 10

ENTER 1.540 +, 10,25 ENTER 1.533 +, 10,15 ENTER 1.547 +, 10,32 ENTER 1.542

+, 10,28 ENTER 1.551 +, 0 g 2, STO 0 x >

< y = 0,1190

2.19 Bibliografia

CRESPO, Antonio Arnot. Matemtica Financeira Fcil. So Paulo: Editora Saraiva, 2010.

STEVENSON, Willian J. Estatstica Aplicada Administrao. So Paulo: Ed. Harbra, 1981.

BUSSAB, W. O. e MORETTIN, P. A. Estatstica Bsica. So Paulo: Editora Saraiva, 2003.

ASSAF NETO, Alexandre, Fabiano Guasti. Fundamento de Administrao Financeira. So

Paulo: Atlas, 2010.

http://www.editoraatlas.com.br/Atlas/webapp/detalhes_produto.aspx?prd_des_ean13=9788522457847

36

3 Exerccios de Matemtica Financeira Reviso CRC

1 (CRC 2011 - Bacharel) Um investidor fez uma aplicao financeira a juros compostos

com capitalizao mensal a uma taxa de juros nominal de 8,7% ao semestre. Ao fim de dois

anos e meio, o aumento percentual de seu capital inicial foi de:

a) 43,50%.

b) 49,34%.

c) 51,76%.

d) 54,01%.

2 (CRC 2011 - Bacharel) Um gestor de empresa tem trs cotaes de preos de

fornecedores diferentes, da mesma quantidade de uma determinada matria-prima, nas

seguintes condies de pagamento:

Fornecedor A R$3.180,00 para pagamento vista

Fornecedor B R$3.200,00 para pagamento em 1 (um) ms

Fornecedor C R$3.300,00 para pagamento em 2 meses

Considerando as condies de pagamento e um custo de oportunidade de 1% (um) ao ms,

mais vantajoso adquirir a matria-prima:

a) do Fornecedor A.

b) do Fornecedor B.

c) dos Fornecedores A ou C.

d) dos Fornecedores B ou C.

3 (CRC 2012 - Bacharel) Uma sociedade empresria obteve, em 1.9.2011, um

emprstimo de R$120.000,00, com juros simples de 12% a.a. Os juros sero pagos

semestralmente. O valor registrado em despesa financeira at 31.12.2011 de:

a) R$4.800,00.

b) R$4.872,48.

c) R$7.200,00.

d) R$7.382,42.

37

4 (CRC 2012 Tcnico) Uma empresa tomou um emprstimo, pagando uma taxa de juros

simples de 6% ao ms durante nove meses. Ao final do perodo, calculou em R$270.000,00 o

total dos juros incorridos na operao.

O valor do emprstimo foi de:

a) R$405.000,00.

b) R$429.812,58.

c) R$456.159,32.

d) R$500.000,00.

5 (CRC 2012 Tcnico) Um ttulo sofre um desconto comercial, ou por fora, de

R$19.620,00 trs meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao

ms. Considerando o mesmo valor nominal do ttulo, a taxa de 3% ao ms e o prazo de trs

meses, e alterando-se a modalidade de desconto para racional ou por dentro, o desconto

passar a ser de:

a) R$16.200,00.

b) R$18.000,00.

c) R$18.493,73.

d) R$19.620,00.

6 (CRC 2012 - Bacharel) Uma sociedade empresria possui na sua carteira de duplicatas a

receber um total de R$800.000,00 vencveis em 3 meses. A empresa resolve realizar uma

operao de desconto em uma instituio financeira contratada, com uma taxa de desconto

racional de 2% ao ms. Na data da operao, a sociedade dever classificar no Passivo o valor

do desconto racional ou desconto por dentro como Encargo Financeiro a Transcorrer.

O valor do desconto :

a) R$45.283,02.

b) R$46.142,14.

c) R$753.857,86.

d) R$754.716,98.

7 (CRC 2012 Tcnico) Uma sociedade empresria adquiriu um equipamento que ser

pago em uma nica parcela de R$551.250,00 dois meses aps a compra. A taxa de juros de

mercado de 5% ao ms, com capitalizao mensal.

38

O valor presente da dvida, na data da aquisio, de:

a) R$499.284,11.

b) R$500.000,00.

c) R$501.136,36.

d) R$525.000,00.

8 (CRC 2011 - Tcnico) Uma empresa obteve, em 1 de maro de 2010, um emprstimo

de R$20.000,00 com juros compostos de 2% ao ms, o qual ser pago de uma s vez aps trs

meses. O valor da dvida e a despesa financeira registrada no ms de abril so,

respectivamente:

a) R$20.800,00 e R$400,00.

b) R$20.808,00 e R$408,00.

c) R$21.200,00 e R$400,00.

d) R$21.224,16 e R$416,16.

9 (CRC 2011 Tcnico) Um capital de R$5.000,00 foi aplicado por cinco meses,

rendendo durante o perodo juros de R$300,00. Em relao a essa operao, CORRETO

afirmar que a taxa de juros foi de:

a) 6,0% a.a., considerando-se o mtodo linear.

b) 6,0% a.a., considerando-se o mtodo exponencial.

c) 14,4% a.a., considerando-se o mtodo linear.

d) 14,4% a.a., considerando-se o mtodo exponencial.

10 (CRC 2011 - Tcnico) Uma empresa obteve em 1 de julho em emprstimo de R$

800.000,00 a ser pago integralmente aps trs meses, com incidncia de juros compostos de

5% ao ms.

Ao final do ms de agosto, a empresa apresentar o valor de despesa financeira acumulada

referente a este emprstimo no valor de:

a) R$ 0,00

b) R$ 80.000,00

c) R$ 82.000,00

d) R$ 126.100,00

39

11 (CRC 2011 Bacharel) Um investidor efetuou uma aplicao financeira a juros

nominais de 3% ao semestre, capitalizados mensalmente. O prazo da aplicao financeira era

de 3 semestres.

A taxa efetiva de juros para o prazo total da aplicao de:

a) 9,00%

b) 9,13%

c) 9,27%

d) 9,39%

12 (CRC 2011 Bacharel) Uma duplicata no valor de R$ 4.000,00 foi descontada em uma

instituio financeira que cobra juros nominais de 24% a.a. Na data da operao, faltavam 3

meses para o vencimento da duplicata. O mtodo utilizado pela instituio financeira para

clculo dos encargos da operao conhecido como desconto bancrio ou comercial, ou,

ainda, desconto por fora.

O Valor do desconto ser de:

a) R$ 226,41

b) R$ 240,00

c) R$ 3.760,00

d) R$ 3.773,59

13 (CRC 2012 Bacharel) Uma sociedade empresria obteve em 1.7.2011 um

emprstimo de R$100.000,00, com vencimento em 30.6.2013. No momento da

liberao do emprstimo, o banco cobrou uma taxa de abertura de crdito de

R$1.000,00, liberando para o cliente o valor lquido de R$99.000,00. Os juros sero

pagos juntamente com o principal da dvida no vencimento do contrato. O valor total a

ser pago para a quitao da dvida, em 30.6.2013, incluindo juros e principal, de

R$119.970,00.

A taxa efetiva de juros compostos da operao descrita de:

a) 9,449% a.a.

b) 9,985% a.a.

c) 10,5% a.a.

d) 10,0% a.a.

40

14 (CRC 2012 Bacharel) Uma empresa est analisando a melhor opo para

aquisio de uma mquina. As seguintes opes esto sendo analisadas:

Opo 1 Adquirir a mquina do Fornecedor A, vista, por R$200.000,00. Para tanto, a

empresa ter que obter um emprstimo de R$200.000,00 com juros compostos de 2%

a.m. no Banco X, a ser pago em trs parcelas de igual valor, vencendo a primeira

parcela um ms aps a data da liberao do emprstimo.

Opo 2 Adquirir a mquina do Fornecedor B, em trs parcelas mensais sucessivas de

R$70.000,00, vencendo a primeira parcela um ms aps a data da compra.

Com base nos dados informados, CORRETO afirmar que:

a) mais vantajosa a opo 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X

igual a R$69.350,93.

b) mais vantajosa a opo 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X

igual a R$68.000,00.

c) mais vantajosa a opo 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X

igual a R$70.747,20.

d) mais vantajosa a opo 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X

igual a R$70.666,67.

15 (CRC 2012 Bacharel) Um investidor aplicou a quantia de R$150.000,00 em um

ttulo de renda fixa resgatvel no final do prazo de 12 meses. A taxa de juros composta

aplicada ao ttulo 4% ao ms.

O valor de resgate do ttulo no final do 12 ms :

a) R$ 222.000,00.

b) R$ 240.154,83.

c) R$ 294.230,77.

d) R$ 306.000,00.

16 (CRC 2012 Tcnico) Uma sociedade efetuou uma aplicao em Certificado de

Depsito Bancrio no valor de R$10.000,00, com uma taxa de 1,5% a.m., com

capitalizao composta por um perodo de 12 meses.

Ao fim do sexto ms, o valor atualizado da aplicao, desprezando-se os centavos,

era de:

a) R$11.956.

41

b) R$11.800.

c) R$10.934.

d) R$10.900.

17 (CRC 2012 Tcnico) Uma sociedade empresria fez uma aplicao no valor de

R$200.000,00, por 12 meses, obtendo um montante ao final da aplicao de

R$800.000,00.

A taxa de juros simples mensal praticada durante a operao de,

aproximadamente:

a) 10%.

b) 25%.

c) 33%.

d) 42%.

18 (CRC 2012 Tcnico) Uma empresa est adquirindo um compressor para

pintura em 12 parcelas iguais. O preo com pagamento a prazo do equipamento de

R$1.200,00. No momento da aquisio, o fornecedor informou que, havendo pagamento

antecipado das parcelas, haveria desconto comercial ou por fora para cada ms

antecipado, considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m.. Ao efetuar o

pagamento da stima parcela, a empresa percebeu que havia sobra de caixa e que

poderia antecipar o pagamento da ltima parcela.

Assinale a opo que apresenta o valor a ser desembolsado no stimo ms,

referente ao pagamento da ltima parcela.

a) R$88,00.

b) R$90,00.

c) R$100,00.

d) R$112,00.

19 (CRC 2013 Bacharel) Um Investidor adquiriu um ttulo pblico por

R$3.000,00. Na aquisio, arcou com custos de corretagem de R$100,00. Aps seis

meses, vendeu o ttulo por R$4.000,00 e recolheu imediatamente os tributos incidentes

sobre a operao, no valor de R$120,00. Durante o perodo em que esteve de posse do

ttulo, o investidor no recebeu quaisquer rendimentos adicionais.

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Considerando os fluxos de caixa lquidos, no investimento e no resgate, o investidor

obteve no perodo uma taxa de retorno lquida de aproximadamente:

a) 25,16%.

b) 29,33%.

c) 33,33%.

d) 33,79%.

20 (CRC 2013 Tcnico) Uma sociedade empresria efetuou uma aplicao, com

juros simples, por um perodo de cinco anos e taxa de 18% ao ano, esperando resgatar

no final do prazo o montante de R$200.000,00.

O valor aplicado, desprezando os centavos, foi de:

a) R$87.421,.

b) R$91.222,.

c) R$105.263,.

d) R$108.108,.

21 (CRC 2013 Tcnico) Uma sociedade empresria adquiriu uma mquina para

pagamento em uma nica parcela de R$220.000,00, ao final de trs meses. O preo

vista da mquina era de R$200.000,00.

A taxa de juros compostos embutida pelo fornecedor, na operao de venda a

prazo, foi de aproximadamente:

a) 3,23% ao ms.

b) 3,33% ao ms.

c) 9,09% ao trimestre.

d) 40,00% ao ano.

22 (CRC 2013 Tcnico) Uma sociedade empresria fez as seguintes aplicaes:

Valores aplicados Taxa de Juros

R$10.000,00 2,0%a.m.

R$12.000,00 2,5%a.m.

R$11.000,00 3,0%a.m.

R$9.000,00 2,5%a.m.

R$8.000,00 3,5%a.m.

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Considere que todas as aplicaes foram feitas no primeiro dia do mesmo ms, e

resgatadas no ltimo dia deste mesmo ms.

A taxa de juros que representa a rentabilidade da carteira de aplicaes no ms foi

de:

a) 2,67%.

b) 2,70%.

c) 13,50%.

d) 26,25%.

4 Exerccios de Estatstica Reviso CRC

1 (CRC 2011 Bacharel) Os preos em reais (R$) para uma amostra de equipamentos de

som esto indicados na tabela abaixo:

Com base na amostra, o valor CORRETO da mediana igual a:

a) R$440,00.

b) R$470,00.

c) R$512,00.

d) R$627,00.

2 (Analista do TCU) O Quadro abaixo representa a mdia mensal per capta das localidades

A e B:

Localidade Mdia Desvio-Padro

A 50 10

B 75 15

a) A Renda da Localidade A mais homognea que a da localidade B.

b) O Coeficiente de Variao 50/75.

c) A Renda da Localidade B mais homognea que a da localidade A.

d) Os coeficientes de variao de renda nas localidades A e B so iguais.

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3 (CRC 2011 Bacharel) A quantidade diria de unidades vendidas do produto X em

uma determinada indstria segue uma distribuio normal, com mdia de 1.000

unidades e desvio padro de 200 unidades. O grfico abaixo representa a distribuio

normal padro com mdia igual a 0 (zero) e desvio-padro igual a 1 (um), cujas

percentagens representam as probabilidades entre os valores de desvio-padro.

Com base nas informaes fornecidas, CORRETO afirmar que:

a) a probabilidade de a quantidade vendida ficar abaixo de 800 unidades de 34,13%.

b) a probabilidade de a quantidade vendida ficar acima de 1.200 unidades de 13,6%.

c) a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades de

68,26%.

d) a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades de

31,74%.

4 Os preos do m das ltimas 5 obras realizadas por uma instituio pblica foram

respectivamente: 800, 810, 750, 780 e 810, desta forma, pode-se afirmar que a moda dos

preos por m obtida :

a) 780

b) 790

c) 810

d) 800

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5 (CRC 2012 Bacharel) De acordo com a NBC TG 25 Provises, Passivos

Contingentes e Ativos Contingentes, quando a proviso a ser mensurada envolve uma grande

populao de itens, a obrigao pode ser estimada utilizando o mtodo estatstico de

estimativa denominado valor esperado.

Uma sociedade empresria vende bens com uma garantia segundo a qual os clientes esto

cobertos pelo custo da reparao de qualquer defeito de fabricao que se tornar evidente,

dentro dos primeiros seis meses, aps a compra. Se forem detectados em todos os produtos

vendidos, a entidade ir incorrer em custos de reparao de R$1.000.000,00. Se forem

detectados defeitos maiores em todos os produtos vendidos, a entidade ir incorrer em custos

de reparao de R$4.000.000,00. A experincia passada da entidade e as expectativas futuras

indicam que, para o prximo ano, 75% dos bens vendidos no tero defeito, 20% dos bens

vendidos tero defeitos menores e 5% dos bens vendidos tero defeitos maiores. O valor da

proviso a ser constituda utilizando o Mtodo Estatstico de Estimativa pelo Valor Esperado

de:

a) R$400.000,00.

b) R$1.250.000,00.

c) R$1.600.000,00.

d) R$5.000.000,00.

6 (CRC 2011 Bacharel) Um auditor ir examinar por amostragem um total de 1.000

contratos da empresa auditada. Considerando um nvel de confiana desejado de 90%, o

auditor chegou a concluso de que ser necessrio examinar 278 contratos.

Em relao ao tamanho da amostra calculada pelo auditor, assinale a opo INCORRETA.

a) Caso o intervalo de confiana fosse alterado para 95%, a amostra necessria seria maior.

b) Caso o intervalo de confiana fosse alterado para 95%, a amostra necessria seria menor.

c) O desvio padro conhecido ou estimado interfere no clculo do tamanho da amostra.

d) O erro mximo de estimao admitido interfere no clculo do tamanho da amostra.

7 (CRC 2012 - Bacharel) De acordo com a NBC TA 530 Amostragem em

Auditoria, em relao definio da amostra, tamanho e seleo dos itens para teste em

Auditoria Independente, INCORRETO afirmar que:

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a) a amostragem de auditoria permite que o auditor obtenha e avalie a evidncia de

auditoria em relao a algumas caractersticas dos itens selecionados de modo a

concluir, ou ajudar a concluir sobre a populao da qual a amostra retirada.

b) ao definir uma amostra de auditoria, o auditor deve considerar a finalidade do

procedimento de auditoria e as caractersticas da populao da qual ser retirada a

amostra.

c) o auditor deve selecionar itens para a amostragem, de forma que cada unidade de

amostragem da populao tenha a mesma chance de ser selecionada.

d) o nvel de risco de amostragem que o auditor est disposto a aceitar afetado pelo

tamanho da amostra exigido. Quanto maior o risco que o auditor est disposto a aceitar,

maior deve ser o tamanho da amostra a ser efetuada.

8 A mdia aritmtica dos salrios de todos os empregados de uma empresa igual a R$

2.000,00 com um coeficiente de variao igual a 10%. A partir de uma certa data concedido

um reajuste de 10% linearmente a todos os funcionrios. Ento, correto afirmar que:

a) o novo coeficiente de variao ser de 15%

b) o novo desvio padro igual a R$ 250,00.

c) o novo desvio padro supera o anterior em R$ 20,00.

d) a nova mdia salarial ser de 2.100,00

9 Acerca dos conceitos de Correlao e Regresso avalie as assertivas abaixo:

I O Coeficiente de correlao entre o preo das aes da Petrobrs e o ndice Ibovespa de

0,99, portanto, correto dizer que no existe nenhum grau de correlao entre ambas.

II No existindo correlao entre duas variveis qualquer, isso significa, que ambas

caminham na mesma direo.

III O mtodo de Regresso utilizado para previso de variveis, desta forma, os

movimentos em uma varivel dita dependente, podero ser previstos por outra varivel, dita

independente.

Responda:

a) Somente a assertiva I verdadeira

b) As assertivas II e III so verdadeiras

c) A assertiva II verdadeira

d) Somente a assertiva III verdadeira

47

10 Tal produto apresentou o seguinte faturamento ao longo dos ltimos 6 meses: 125, 132,

104, 114, 117, 130. Desta forma possvel concluir que a variao % no faturamento do 6

ms, em relao ao 3 ms foi de:

a) 15%

b) 12%

c) 22%

d) 25%

11 (CRC 2013 - Bacharel) Uma determinada indstria produz trs produtos. A produo

total 1.000 unidades por ms. O controle de qualidade da indstria registrou os seguintes

nmeros de peas defeituosas na produo:

A probabilidade de encontrar uma pea defeituosa do produto B de:

a) 10%.

b) 14%.

c) 15%.

d) 18%.

12 (CRC 2013 - Bacharel) Um investidor est considerando duas alternativas de

investimento. Para cada alternativa de investimento, h trs resultados possveis. O Valor

Presente Lquido VPL dos resultados e a respectiva probabilidade de ocorrncia, para cada

alternativa de investimento, so:

Considerando o Valor Esperado dos dois investimentos, CORRETO afirmar que o melhor

investimento o:

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a) Investimento A, cujo valor esperado de R$152.000,00, superior ao valor esperado do

Investimento B.

b) Investimento A, cujo valor esperado de R$456.000,00, superior ao valor esperado do

Investimento B.

c) Investimento B, cujo valor esperado de R$176.000,00, superior ao valor esperado do

Investimento A.

d) Investimento B, cujo valor esperado de R$200.000,00, superior ao valor esperado do

Investimento A.