manual de matematica financeira

8/16/2019 Manual de Matematica Financeira

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Universidade de BrasíliaFaculdade de Economia, Administração e ContabilidadeDepartamento de Administração

Manual de

MatemáticaFinanceira

Disciplina: Cálculo Financeiro

Professor: Aldery Silveira Jr.

(Apontamentos de Aula e Listas de Exercícios)

Brasília, 2012



Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios

Professor Aldery Silveira Júnior

Sumário

INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1 1 – CAPITALIZAÇÃO .......................................................................................................................... 2

1.1 – C APITALIZAÇÃO SIMPLES ....................................................................................................................... 2

1.1.1 – Fórmulas .................................................................................................................................... 2

1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples .................................................................................... 4

1.2 – C APITALIZAÇÃO COMPOSTA ................................................................................................................... 6

1.2.1 – Fórmulas .................................................................................................................................... 6

1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta ....................................................................... 7

2 – ESTUDO DAS TAXAS ................................................................................................................ 10

2.1 – EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ..................................................................................................................... 10

2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples ........................................................................... 10

2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: .................................................................. 10

2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas ............................................................................ 12

2.2 – T AXAS NOMINAIS .................................................................................................................................. 14

2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva ........................................................................................................ 14

2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais ....................................................................................... 14

3 – DESCONTO................................................................................................................................. 17

3.1 – DESCONTO R ACIONAL SIMPLES .......................................................................................................... 18

3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples .......................................................................... 18

3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples ................................................................... 19

3.2 – DESCONTO COMERCIAL SIMPLES ........................................................................................................ 22

3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples ........................................................................ 22

3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples ............................................. 24

3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples ................................................................. 24

3.3 – DESCONTO R ACIONAL COMPOSTO ..................................................................................................... 27

3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto ...................................................................... 27

3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto ............................................................... 29

4 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS .............................................................................. 31

4.1 – EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO R ACIONAL SIMPLES ............................... 31

4.2 – EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO COMERCIAL SIMPLES ............................. 32

4.3 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM JUROS SIMPLES ....................... 34

4.4 – EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO R ACIONAL COMPOSTO .......................... 37

4.5 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM JUROS COMPOSTOS ................ 38



Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios

Professor Aldery Silveira Júnior

5 – RENDAS (SÉRIE DE PAGAMENTOS OU ANUIDADE) .............................................................. 41

5.1 – RENDAS DO MODELO B ÁSICO:............................................................................................................. 43

5.1.1 – Fórmulas .................................................................................................................................. 43

5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico ..................................................................... 45

5.2 – RENDAS NÃO CONSTANTE DO MODELO B ÁSICO ................................................................................. 47

5.2.1 – Fórmulas .................................................................................................................................. 47

5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico ......................................... 48

6 – USO DE TABELA FINANCEIRA ................................................................................................. 51

6.1 – EXERCÍCIOS COM A UTILIZAÇÃO DE T ABELAS FINANCEIRAS .............................................................. 53

6.2 – INTERPOLAÇÃO ..................................................................................................................................... 55

7 – INFLAÇÃO .................................................................................................................................. 56

7.1 – FÓRMULAS ............................................................................................................................................ 56

7.2 – EXERCÍCIOS SOBRE INFLAÇÃO ............................................................................................................. 57

8 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE DIVIDA .............................................................................. 60

8.1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC ................................................................................ 60

8.2 – SISTEMA FRANCÊS ............................................................................................................................... 61

8.3 – T ABELA PRICE....................................................................................................................................... 61

8.4 – EXERCÍCIOS SOBRE SISTEMAS AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS ............................................................... 62

9 – EMPRÉSTIMOS COM CORREÇÃO MONETÁRIA ..................................................................... 63

9.1 – PLANILHA DE ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA ............................................................................................ 63

9.2 – EXERCÍCIOS SOBRE EMPRÉSTIMO COM CORREÇÃO MONETÁRIA ..................................................... 64

10 – ENGENHARIA ECONÔMICA .................................................................................................... 67

10.1 – ANÁLISE PELO MÉTODO DA T AXA MÉDIA DE RETORNO ................................................................... 68

10.2 – ANÁLISE PELO MÉTODO DOS PERÍODOS DE P AY B ACK ................................................................... 68

10.3 – ANÁLISE PELO MÉTODO DO V ALOR ATUAL ....................................................................................... 69

10.4 – ANÁLISE PELO MÉTODO DA T AXA INTERNA DE RETORNO ............................................................... 69

10.5 – EXERCÍCIOS SOBRE ENGENHARIA ECONÔMICA ............................................................................... 70



Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Listas de Exercícios

Professor Aldery Silveira Jr. 1

Introdução

O estudo da Matemática Financeira possui uma importância impar para os AgentesEconômicos, Administradores, Contadores, Economistas e Gestores das mais diferentesáreas empresariais, assim como também para as pessoas físicas comuns, já que permiteaos mesmos realizarem cálculos mais apurados e realísticos nas suas realizaçõescomerciais e de trabalho onde o conhecimento de Matemática Financeira se faz presente.

A Matemática Financeira não é uma propriedade de uma categoria de profissionais ou deum ramo do conhecimento, como a Economia, a Administração, a Contabilidade ou o Direito.a Matemática Financeira possui uma linguagem própria, o que a caracteriza como um ramodo conhecimento.

A Matemática Financeira não deve estar restrita aos Agentes que operam o sistema de

trocas e que a utilizam como ferramenta para mensurar suas diversas variáveis, o seuconhecimento é útil e necessário para todas as pessoas, independente da profissão queexerçam. As pessoas que desconhecem os princípios da Matemática Financeira são, àsvezes, levadas a acreditarem em informações que não estão de acordo com a realidade. Ouseja, são “enganadas” e têm prejuízos em financeiros.

O conhecimento da Matemática Financeira possui uma significativa importância em nossavida; proporciona o fim de uma escuridão e nos lança com maior clareza para o mundo emque vivemos diariamente, onde somos ativos e passivos a todo o momento, em termos deagente econômico. Esse conhecimento nos faz deixar de ser “vitimas” dos Agentesconhecedores e formadores de preço, juros, e taxas, para sermos pessoas ativas e

questionadoras em relação à utilização do nosso dinheiro.

No mundo atual, os termos: juros, desconto, paridade de taxa, amortização de dívidas eengenharia econômica, entre tantos outros, fazem parte do nosso linguajar cotidiano e oconhecimento correto dos mesmos nos proporciona, sem nenhuma duvida, um ganhosignificativo e qualitativo nas nossas transações econômico-financeiras.

O presente Manual contém os apontamentos das aulas da disciplina Cálculo Financeiro e éfruto da contribuição do Aluno Alisson Robert Gomes Peixoto, que cursou esta disciplina no2º semestre de 2006, e das atualizações efetuadas pelo professor da disciplinas nossemestres subseqüentes.

Para cada tópico da disciplina, são apresentados: i) as anotações básicas que serãodevidamente explanadas pelo professor nas aulas; ii) os exemplos que serão resolvidos eexplicados pelo professor; e iii) as listas de exercícios que serão resolvidas pelos alunos,sob a supervisão do professor, durante as aulas.





1 – Capitalização

Capitalização corresponde à operação destinada a calcular o valor futuro de um determinadovalor presente, considerando uma taxa de juro previamente fixada.

Existem dois tipos de capitação, simples e composta, conforme o tipo de juro a que se refira:simples ou composto.

Conceitos Básicos

Capital: valor que pode ser aplicado com a finalidade de rendimento de juros. Juros: é a remuneração do fator capital – é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro. Montante: soma do capital inicial mais os juros recebidos. Taxa de juros: relação entre juros traduzidos e uma unidade de tempo.

Taxa de Juros

Existem dois tipos de taxas de juros: taxa percentual e taxa unitária. Nas fórmulas a seremutilizadas no presente curso, a taxa a ser adotada será a unitária.

Taxa Percentual: é a utilizada na pratica. Ex: 5% ao mês (o todo é 100). Taxa Unitária: é uma taxa técnica. Ex: 0,05 ao mês (o todo é 1).

A taxa unitária é obtida dividindo-se a taxa percentual por 100. Ex: 5/100 = 0,05. Nesta taxanão se utiliza o símbolo da percentagem.

Simbologia:

P = Capital S = Montante J = Valor dos Jurosi = Taxa de Juros n = Número de períodos de Capitalização.

1.1 – Capitalização Simples

Neste tipo de capitalização apenas o capital inicial rende juros, ou seja, os juros incidemapenas sobre o valor inicialmente aplicado.

1.1.1 – Fórmulas

(1) n.iPS 1 (2)in1

SP

(3)

n

1P

S

i

(4)

i

1P

S

n

(5) JPS (6) P = S – J (7) J = S – P

(8) J = P. i. n (9)n.i

JP (19)

n.P

Ji (11)

i.P

Jn





Exercícios resolvidos:

(1) Quanto deve ser aplicado hoje à taxa de 5% a.m., para que se resgate$ 3.300,00 ao final de seis meses?

P = ? S = 3.300,00

n = 6 meses i = 5% a.m. 0,05 a.m.

).1( ni

S P

)6.05,01(

00,300.3

P

3,1

00,300.3 P

P = 2.538,46

(2) Caso você aplique $ 5.000,00 e após 7 meses resgate $ 6.050,00 qual terá sido ataxa de juros dessa operação?

P = 5.000,00 S = 6.050,00

n = 7 meses i = ?

n

P

S

i

1

7

100,000.5

00,050.6

i 7

21,1i

i = 0,03 a.m.

P = 3% a.m.

(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 8.000,00 aplicado à taxa de 24% a.adurante 3 meses?

J = ? P = 8.000,00

n = 3 meses i = 24% a.a. i = 0,24 a.a.

Obs.: como o período da taxa está diferente do período do tempo, faz-se

necessária a transformação de uma dessas variáveis. Como ainda não

foi visto a transformação de taxa, para a resolução do exercício,deve-setransformar o tempo 3 meses = 0,25 ano.

ni P J .. 25,0.24,0.00,000.8 J

J = 480,00





1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples

1) O banco “X” empresta ao Sr. Carlos a quantia de $ 300.000,00, à taxa de 5% ao ano,para ser paga após três anos e meio. Calcule o montante dessa operação.R: S = $ 352.500,00

2) A que taxa devemos aplicar um certo capital para que, em 8 meses, ele dobre de valor?R: i = 12,5% a.m.

3) Um capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano e meio, à taxa de15% a.s. Calcular os valores dos juros e do montante obtidos no final deste prazo.R: J = $ 3.150,00; S = $ 10.150,00

4) Um capital de $ 900,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 5% a.a., sendo obtidos$ 15,00 de juros. Calcular o prazo de aplicação em meses.

R: n = 4 meses5) A empresa Monitoria S/A aplicou o valor de $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m. e pretende

sacar o valor após 12 meses. Qual o montante a ser regatado?R: S = $ 5.900,00

6) Certo cliente adquire um titulo por $ 60.000,00 e resgata $ 119.350,00, após 9 meses.Qual a taxa de juros dessa operação?R: i = 10,9% a.m.

7) Qual o juros recebido por um comerciante que investe $ 20.000,00, à taxa de 5% a.m.,

durante 2 meses?R: $ 2.000,00

8) Calcular o prazo, em anos, necessário para um capital triplique de valor, caso sejaaplicado à taxa de 10% a.t.R: n = 5 anos

9) Um capital aplicado por 16 meses gerou $ 13.440,00 de juros. Sabendo que a taxa de juros mensal foi de 6%, calcule o valor do capital inicial.R: P = $ 14.000,00

10) Qual será o valor dos juros de um capital de $ 3.145,00, aplicado a uma taxa de 0,5%a.m., durante 1 ano e meio?R: J = $ 283,05

11) Um capital de $ 4.250,00, aplicado a uma taxa de 3% a.m., produziu um montante de$ 6.162,50. Qual foi o período de aplicação?R: n = 15 meses = 1 ano e 3 meses

12) Danilo decidiu investir $ 1.035,00 em ma instituição financeira que opera com uma taxade juros simples de 1,8% a.m., durante 1 ano. Qual será o montante ao final doperíodo?R: S = $ 1.258,56

13) Um empréstimo de $ 15.000,00 foi feito para ser pago em 24 meses, foi liquidado, ao





final do período, por $ 23.000,00. Qual a taxa de juros utilizada?R: i = 2,22% a.m.

14) Em quantos meses um capital de $ 750,00 renderá juros igual a um terço de seu valor,se aplicado a uma taxa de 6,67% a.m.?R: n = 5 meses

15) Gilberto solicitou em seu banco um empréstimo de $ 6.000,00. O pagamento será feitoem 36 meses com incidência de juros de 2,7% ao mês. Qual o valor a ser pago paraliquidar a dívida?R: S = $ 11.832,00

16) Por um empréstimo de $ 12.450,00, pagou-se $ 3.200,00 de juros. Sabendo-se que ataxa de juros utilizada foi de 1,79% a.m., qual foi o período dessa operação?R: n = 14 meses e 11 dias

17) Leonardo solicitou um empréstimo de $ 3.990,00 para pagar em 6 meses. A financeiracobrou juros de 1,97% a.m. Qual o valor dos juros a pagar?R: J = $ 471,62

18) Qual a taxa de juros cobrado por um banco, sabendo que por um empréstimo de$ 500,00 pagou-se $ 115,00 de juros, em 3 meses?R: i = 7,67% a.m.

19) Qual o capital que aplicado a juros simples de 12% a.a., durante 5 meses, gerou ummontante de $ 1.260,00?

R: P = $ 1.200,00

20) Ao se aplica a importância de $ 5.000,00, à taxa de 8% a.a., obtém-se, após certoperíodo, o montante de $ 6.000,00. Qual é o período de aplicação?R: n = 2 anos e 6 meses





1.2 – Capitalização Composta

Nesse tipo de capitalização os juros produzidos em cada período são capitalizados,formando um novo capital que irá render juros no período seguinte.

P0 P0+J1 = P1 P1+J2 = P2 P2+J3 = P3 P3+J = S|-----------------|--------------------|-------------------|-------------------|0 1 2 3 4

1.2.1 – Fórmulas

(1) niPS 1 (2)

n

i

SP

1

(3) n

iSP 1

(4) 1

1

n

P

Si (5) 1 n

P

Si (6)

iLogP

SLog

n

1

(7) S = P+J (8) P = S – J (9) PiPJ n 1

(10) 11 n

iPJ (11) 11

N

i

JP

Exercícios resolvidos

(1) Caso você aplique $ 3.500,00 em uma instituição financeira que pague juros de2,75% a.m., quanto resgatará no final de sete meses?

P = 3.500,00 i = 2,75% a.m. = 0,0275 a.m.

n = 7 meses S = ?

7)0275,01.(00,500.3 S

S = 3.500,00 . 1,209129491

S = 4.231,95

Resolução pela HP 12-C – sequência de teclas: 1,0275 ENTER 7 3500 X .

(2) Caso você aplique $ 7.000,00 em uma instituição e ao final e cinco meses resgate aimportância de $ 8.640,12 qual terá sido a taxa de juros dessa operação?

P = 7.000,00 n = 5 meses

S = 8.640,12 i = ?





i =

– 1 i = 0,043 a.m

i = 4,3% a.m.

Resolução pela HP 12-C: 8.640,12 ENTER 7.000 ÷ 5 1/x 1 - 100 X .

(3) Qual o tempo necessário para que um capital de $ 10.000,00 dobre de valor, seaplicado a taxa de 20% a.a.?

n = ? P = 10.000,00

S = 20.000,00 I = 20% a.a.

n =

n =

n = 3,801784017 anos n = 3 anos, 9 meses e 19 dias

Resolução pela HP 12-C: 2 g LN 1,2 g LN ÷

Como transformar 3,801784017 para números inteiros na HP 12-C:

3,801284017 ENTER 3 - .12 x . 9 - . 30 x

(4) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.500,00, aplicado a taxa de 15% a.a.,durante seis meses?

J = ? i = 15% a.a. = 0,15 a.a.

P = 6.500,00 n = 6 meses = 0,5 ano

]1)15,01([500.6 5,0 J

J = 6.500 . 1,072380529

J = 470,47

Resolução pela HP 12-C: 1,15 ENTER 0,5 6500 X .

1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta

1) Calcule o montante de uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros compostos de 6% a.m.R: S = $ 70.925,96

2) Quanto deverei aplicar hoje para ter direito a receber a importância de$ 500.000,00 daqui a 5 anos, se a taxa de juro composto adotada for 15% ao ano?R: P = $ 248.588,37





3) Caso você aplique R$ 1.000,00 hoje e após 18 meses resgate a importância total deR$ 1.320,00, qual terá sido a taxa de juros composta dessa operação?R: i = 1,55% a.m.

4) Em quanto tempo um capital de $ 1.650,00 produzirá um montante de $ 1.776,87, seaplicado a uma taxa composta de 2,5% a.m.?R: n = 3 meses

5) Qual o valor dos juros produzidos por um capital de $ 2.500,00, aplicado à taxa de 4%a.m., durante 12 meses?R: J = 1.502,58

6) Rivaldo, desejando viajar no próximo ano, decidiu aplicar $ 2.200,00 e resgatar daqui a12 meses, fins custear a viagem. Sabendo que a instituição financeira paga juroscompostos de 1,2% a.m., qual será o montante a ser resgatado ao final do período?

R: S = $ 2.538,577) Um capital de $ 7.000,00, aplicado durante 6 meses, proporcionou ao aplicador um

montante de $ 8.117,85. Qual a taxa de juros compostos dessa operação?R: i = 2,5% a.m.

8) O que é mais vantajoso? Investir $ 5.000,00 durante 2 anos a juros compostos de 2%a.m. ou investir $ 5.000,00 durante 2 anos, a juros simples de 3% ao mês.R: Investir os 5.000 reais sob o regime de juros simples

9) Um investidor investiu $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m., durante um ano. Qual será o

valor a ser resgatado ao final do período?S = $ 5.978,09

10) Um capital de $ 5.000,00, aplicado à taxa de 20% a.m., produzirá um montante de$ 10.000,00 em quanto tempo?R: n = 3 meses e 24 dias

11) Um investidor aplicou $ 45.000,00 em uma instituição financeira que opera com juroscompostos de 3,55% a.t., pelo período de 1 ano. Qual o valor dos juros dessaoperação?R: J = $ 6.738,39

12) Saul contraiu uma dívida de $ 2.000,00 para ser quitada após 2 anos e meio. Ao finaldo prazo contratado, Saul quitou a dívida com um único pagamento de R$ 3.400,00.Qual a taxa de juro composta mensal dessa operação?R: i = 1,78% a.m.

13) Quantos dias são necessários para que um capital de $ 35.000,00, aplicado a uma taxade 10% a.m., produza juros de $ 11.585,00?R: n = 90 dias

14) Um determinado título de capitalização, com valor de face de $ 6.000,00, remunera oaplicador com juros de 3% ao mês. O prazo de aplicação é de 18 meses. Qual será o

valor de resgate desse título ao final do prazo contratado?R: S = $ 10.214,60





15) Qual a taxa de juro composta mensal que faz um capital dobra de valor em 6 meses?R: i = 12,25% a.m.

16) Uma pessoa tem uma dívida no valor de $ 900.000,00, a ser saldada daqui a 6 meses.Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de 7% a.m. para que, ao final de 6 meses, disponhada importância necessária para saldar o seu compromisso, considerando o regime de juros compostos?R: P = $ 599.708,00

17) Um capital de $ 5.000,00 produz juros de $ 800,00 em um período de 4 meses. Qual ataxa mensal de juros compostos?R: i = 3,78 a.m.

18) Uma pessoa compra um lote de ações na Bovespa por $ 1.250,00. Depois de 1 mêsresolve vender suas ações por $ 1.500,00. Qual foi a rentabilidade, em termospercentuais, auferida por essas ações?

R: i = 20% a.m.19) Em quanto tempo um capital pode produzir juros a 70% de seu valor se aplicado a

5.72% ao mês?R: 9 meses e 16 dias

20) Bruno pede emprestado a um colega a importância de $ 1.250,00 para consertar o seucarro. Tal amigo o empresta, porém cobra uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês. Ao final dos 6 meses, quanto Bruno deverá pagar ao seu amigo para liquidar a dívida?R: S = $ 1.366,80





2 – Estudo das Taxas

Neste tópico, estudaremos equivalência de taxas em juros simples e compostos, e as taxasnominais – taxas onde o período de capitalização difere do período do tempo.

2.1 – Equivalência de taxas

Duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmoespaço de tempo, porém com períodos de aplicação diferentes, produzem o mesmo juro ouo mesmo montante.

2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples

Fórmulas:

1)k

iiK

2) k.iiK

2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos:

Fórmulas:

1) 1i1i k

K .

2) 1i1i k

1

k .

3) 1i1i kK


(1) Se aplicado $ 3.000,00 à taxa de 3,2% a.m., quanto será resgatado ao final de 13dias? (juros simples).

P = 3.000,00 i = 3,2% a.m.

n = 13 dias S = ?

Obs.: tem-se aqui uma taxa mensal e queremos saber qual a taxa diária

equivalente, ou seja, temos que calcular a taxa do menor período (ik)

i = 3,2% a.m. = 0,032 a.m.

ik = ? (taxa diária)

Onde:

Ki = Taxa do menor períodoi = Taxa do maior períodok = Maior período / menor período





k

iik

30

032,0k i = 0,001066667 a.d. (obs.: k = mês dividido por dia = 30)

).1( ni P S

)13.001066667,01(00,000.3 . S 0138666667,1.00,000.3S

S = 3.041,60

Resolução pela HP 12-C: 0,0010667 ENTER 13 x 1 + 3.000 X .

(2) Quanto deverá ser aplicado hoje, à taxa de 5,4% ao trimestre, para que se resgate

$ 10.000,00 ao final de um ano? (juros simples).

P = ? i = 5,4% a.t. = 0,054 a.t.

S = 10.000,00 n = 1 ano

Obs.: neste caso, tem-se uma taxa mensal e queremos saber qual a taxa anual

equivalente, ou seja, temos que calcular a taxa do maior período (i).

i = ik . k i = 0,054 . 4 = 0,216 a.a. (obs.: k = ano dividido por trimestre = 4)

).1( ni

S P

)1.216,01(

00,000.10

P )216,1(

00,000.10

P

P = 8.223,68

Resolução pela HP 12-C: 10.000,00 ENTER 1,216 ÷.

(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.000,00, aplicado à taxa de 13% a.a.,durante cinco meses? (juros compostos).

J = ? P = 6.000,00n = 5 meses i = 13% a.a. = 0,13 a.a.

Obs.: a taxa é dada em ano e queremos saber qual a taxa mensal equivalente,

ou seja, devemos calcular a taxa do menor período (ik).

11 k k ii

113,0112 k i

(obs.: k = ano dividido por mês = 12)

..010236844,0 maik

Resolução pela HP 12-C: 1,13 ENTER 12 1/x 1 -.





]1)1([ ni P J

]1)010236844,01([00,000.6 5 J

052242932,0.00,000.6 J

J = 313,45

Resolução pela HP 12-C: 1,010236844 ENTER 5 1 -. 6000. x.

(4) Se aplicado $ 8.000,00 em uma financeira que pague juros de 2,5% a.m., quanto seráresgatado ao final de três anos? (juros compostos).

P = 8.000,00 i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.

n = 3 anos S = ?

Obs.: a taxa é dada em mês e queremos saber qual a taxa anual equivalente,

ou seja, temos que calcular a taxa do maior período (i).

1)1( k

k ii

1)025,01( 12 i

i = 0,344888824 a.a. (obs.: k = ano dividido por mês = 12)

Resolução pela HP 12-C: 1,025 ENTER 12 1 -.

ni P S )1( 3)344888824,01(00,000.8 S

432535314,200,000.8S

S = 19.460,28

Resolução pela HP 12-C: 1,344888824 ENTER 3 8000 x.

2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas

1) Qual o montante produzido por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de jurossimples de 17,28% ao ano, durante 6 meses?R: S = $ 1.086,40

2) Um capital $ 30.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 0,99% ao mês, durante umbiênio, produzirá o montante de .....R: S = $ 37.128,00

3) Qual é o valor dos juros simples produzidos por um capital de $ 1.000,00, aplicado àtaxa de 5% ao mês, durante 21 dias?R: J = $ 35,00





4) Um determinado banco paga juros compostos de 6% ao trimestre. Se uma pessoanecessitar dispor de $ 6.000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar hoje nessebanco?R: P = $ 2.981,82

5) Um banco publica em suas agências o seguinte anúncio: “Aplique $ 1000,00 hoje ereceba $ 1.900,00 ao final de 6 meses”. Determinar as taxas semestral e mensal de juros compostos oferecidas por este banco.R: i = 90% a.s. e 11,29% a.m.

6) Uma aplicação de $ 6.700,00, efetuada à taxa de juros compostos de 36% ao ano,durante 7 meses, produzirá juros no valor de ......R: J = $ 1.316,27

7) Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada num empréstimo de $ 64.000,00, que

deverá ser quitado no prazo de 117 dias, por $ 79.600,00?R: i = 5,75% a.m.

8) Uma aplicação de $ 3.800,00 proporcionou um rendimento de $ 2.400,00 no final de208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros compostosdessa operação.R: i = 0,24% a.d.; i = 7,32% a.m.; i = 23,59% a.t.; e i = 133,33% a.a.

9) Quanto uma pessoa resgatará ao final de 93 dias se aplicar $ 2.000,00 à taxa de 150%ao ano (Juros Compostos)?R: S = $ 2.534,14

10) Determinar o montante produzido por uma aplicação de $ 200.000,00, admitindo osseguintes prazos e taxas compostas:a) i = 5% a.m., durante 2 anosb) i = 12% a.t., durante 1 ano e meioR: a) S = $ 645.020,00 e b) S = $ 394.764,54





2.2 – Taxas Nominais

Forma de apresentação: 72% a.a.c.c.m (ao ano com capitalização mensal)

Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, faz-se necessário se calcular a taxaefetiva, ou seja, devemos determinar qual a verdadeira taxa que está por trás da taxanominal.

2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva

Calcula-se a taxa efetiva por meio de dois passos:

1) Calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a formula de equivalência de taxas de juros simples:

k

iif K

2) Calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a formula de equivalência de taxas de juros compostos:

1if 1i k

kf

Resolução da taxa efetiva da taxa nominal 72% a.a.c.c.m.:

Passo 1 06,012

72,0if K ao mês

Passo 2 %22,101106,01i 12

f ao ano.

2.2.2 – Exercícios resolvidos sobre Taxas Nominais

1) Determinar o valor dos juros produzidos por um capital de $ 15.000,00, aplicado às taxade 48% a.a.c.c.m., durante 2 anos.

J = ? P = 15.000,00

i = 48% a.a.c.c.m. n = 2 anos

Cálcul o da taxa efetiva:

1º passo: calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a fórmula de equivalência de

taxas de juros simples

k

iif k

12

48,0k if

..04,0 maif k Obs.: k = ano/mês = 12





2º passo: calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a fórmula de equivalência de taxas

de juros compostos

1)1( k

k if if

1)04,01(

12 if

..601032212,0 aaif

Cálcul o dos Juros:

]1)1([ ni P J

]1)601032212,01([00,000.15 2 J

563304166,100,000.15 J

J = 23.449,56

Resolução pela HP 12-C (de forma integrada):

0,48 ENTER 12 ÷. 1 +. 12 2 1 -. 15000 x.

2) Caso você aplique $ 3.000,00, às taxa de 6,78% a.m.c.c.d., por 7 meses, quantoresgatará ao final do período?

P = 3.000,00 i = 6,78% a.m.c.c.d.

n = 7 meses S = ?




k

iif k

30

0678,0k if ..00226,0 maif k Obs.: k = mês/dia = 12


de juros compostos

1)1( k

k if if 1)00226,01( 30

if ..070069395,0 maif

Cálculo do Montante:

ni P S )1(

7)070069395,01(00,000.3 S

606510621,1.00,000.3S

S = $ 4.819,53


0,0678 ENTER 30 ÷. 1 +. 30 7 3000 x.





3) O Banco Alfa opera com uma taxa de 15% a.t.c.c.m. Se você efetuar um empréstimo de$ 5.000,00 nesse banco, quanto desembolsará ao final de 2 anos para liquidar a dívida?

i = 15% a.t.c.c.m P = 5.000,00

n = 2 anos = 8 trimestres S = ?




k

iif k

3

15,0k if ..05,0 maif k Obs.: k = trimestre/mês = 3


de juros compostos

1)1( k

k if if 1)05,01(

3 if ..157623,0 t aif

Cálculo do Montante:

ni P S )1(

8)157625,01(00,000.5 S

225099944,3.00,000.5S

S = 16.125,50


0,15 ENTER 3 ÷. 1 +. 3 8 5000 x.

4) Dada a taxa de juros 120% a.a.c.c.m., quais são as taxas efetivas mensal e anual?

Cálculo das taxas efetivas:



k

iif k

12

2,1k if ..1,0 maif k Obs.: k = ano/mês = 12

..%10 maif k


de juros compostos

1)1( k

k if if 1)1,01(

12 if ..138428377,2 aaif

..%84,213 aaif





3 – Desconto

Desconto é uma operação inversa à Capitalização, ou seja, corresponde a trazermos umvalor do futuro para a data presente, descontando os juros que estão embutidos nesse valor.

O Desconto corresponde ao abatimento obtido por se saldar uma dívida antes dovencimento.

Conceitos básicos:

Valor de face: valor de um titulo na data de sua emissão.

Valor nominal: valor de um titulo na data de seu vencimento.

Valor atual: valor de um titulo em uma data intermediaria entre a de

emissão e a de vencimento.

Obs.: Titulo – denominação genérica para qualquer tipo de dívida (Nota Promissória,Duplicata, etc.).

Tipos de Desconto

Existem dois tipos de descontos: Racional e Comercial. Ambos podem ser utilizados tantoem juros simples quanto em juros compostos.

O Desconto Racional corresponde à verdadeira operação de Desconto. O DescontoComercial nada mais é do que uma variação do Desconto Racional adotada pelo Mercado.

Racional (por dentro) SimplesDesconto:

Comercial (por fora) Composto

Quanto ao Desconto Comercial, na prática, o mesmo é utilizado somente sob o regime de juros simples.

Simbologia utilizada nas operações de desconto:

N - Valor Nominal

Dr - Valor do Desconto Racional Simples

Vr - Valor Atual Racional Simples

Dc - Valor do Desconto Comercial SimplesVc - Valor Atual Comercial Simples

Drc - Valor do Desconto Racional Composto Vrc - Valor Atual Racional Composto

i - Taxa de Desconto

n - Número de períodos que faltam parao vencimento da dívida





3.1 – Desconto Racional Simples

Neste tipo de Desconto, a taxa é aplicada sobre o Valor Atual, sobre o número de períodosque faltam para o vencimento da dívida.

3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples

1) n.iVNR

1 n.i

NVR

1

n

V

N

i R

1

i

V

N

n R

1 .

2) N = Vr + Dr Vr = N – Dr Dr = N – Vr

3)n.i

n.i.NDR

1

.

Exemplo:

N = 10.000,00 I = 10% ao mêsn = 3 meses Dr = ?Vr = ?

3.1,01

3.1,0.000.10

DR Dr = 2.307,69.

Vr = 10.000,00 – 2.307,69

Vr = 7.692,31


(1) Caso você desconte um título de R$ 35.000,00 15 dias antes do vencimento, a umataxa de 5,5% a.m., qual será a importância recebida?

N = 35.000,00 i = 5,5% a.m. = 0,05 a.m.

n = 15 dias = 0,5 mês Vr = ?

ni

N V R

.1

5,0.055,01

00,000.35

RV

Vr = 34.063,25





(2) Um título foi descontado à taxa de 2% a.m. Sabendo-se que o valor nominal era$ 7.414,00 e o valor descontado racional $ 6.740,00, qual o prazo da antecipação?

N = 7.414,00 i = 2,% a.m. = 0,02 a.m.

Vr = 6.740,00 n = ?

i

V

N

n R

1

02,0

100,740.6

00,414.7

Rn

n = 5 meses

(3) Uma promissória com valor nominal de $ 275.820,00 e vencimento para 75 dias foidescontada á taxa de 90% a.a. Qual o valor do desconto racional dessa operação?

N = 275.820,00 i = 90% a.a. = 0,9 a.a. 0,075 a.m.

n = 75 dias = 2,5 meses Dr = ?

ni

ni N D R

.1

..

5,2.075,01

5,2.075,0.00,820.275

R D

Dr = 43.550,52

3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples

1) Marta descontou um Título no valor de $ 15.000,00, 1 mês e 15 dias antes dovencimento, considerando que a taxa cobrada foi de 4,5% a.m. Qual o valor dodesconto racional simples?

R: Dr = $ 948,48

2) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 9 meses antes do vencimento, a umataxa de 5,8% a.m. Sabendo que o valor descontado foi $ 5.250,00, qual era o valornominal dessa Nota Promissória?R: N = $ 7.990,50

3) Uma Nota Promissória com valor nominal de $ 25.000,00 foi descontada 3 meses antesdo vencimento, a uma taxa de 4% a.m. Qual o valor do desconto racional simples?R: Dr = $ 2.678,57





4) Paulo, ao resgatar um Título com valor nominal de $ 50.000,00 sob o critério dedesconto racional simples, desembolsou a quantia de $ 32.000,00. Considerando que aoperação foi efetuada com base em uma taxa de 23% a.a., calcule o período deantecipação.R: n = 2 anos, 5 meses e 10 dias

5) Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 58.000,00, com vencimento para 60dias, se for descontada sob o critério de desconto racional simples, a uma taxa de 3%a.m.?R: Vr = $ 54.716,98

6) Ao descontar um título com valor nominal de $ 1.200,00, com vencimento para 16 deoutubro, Manuel obteve o valor de $ 1.110,00, em 1º de setembro do mesmo ano. Qualfoi a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco?R: i = 5,41% a.m.

7) Uma Nota Promissória foi descontada 1 ano antes do vencimento, a uma taxa de 20%ao ano. Usando o desconto racional simples e sabendo-se que valor atual foi de$ 30.000,00, qual seria o seu valor nominal?R: N = $ 36.000,00

8) Uma dívida de $ 10.000,00 será saldada 2 meses antes de seu vencimento. Qual será ovalor do desconto racional simples, se a taxa de juros for de 16% a.m.?R: Dr = $ 2.424,24

9) Quanto devo pagar por um Título com valor nominal de $ 10.000,00, com vencimento

para daqui a 60 dias, se desejo ter uma taxa de retorno de 24% ao ano? (descontoracional simples)R: Vr = $ 9.615,38

10) Antecipando 3 meses um Título com valor nominal de $ 600,00, obtenho um descontode $ 41,86. Qual é a taxa de desconto racional simples mensal dessa operação?R: i = 2,5 % a.m.

11) Ao descontar um Título no valor de $ 46.800,00, a uma taxa de 6,7% a.m., 6 meses deantes do vencimento, o valor do desconto racional simples será ....R: Dr = $ 13.419,11

12) Quanto devo pagar por uma Promissória com valor nominal de $ 24.000,00, comvencimento para 9 meses, se pretendo obter um rendimento de 12% a.t?R: Vr = $ 17.647,06

13) Uma Duplicata foi descontada a uma taxa de 4,5% a.m., 210 dias antes do vencimento.Sabendo que o valor atual racional foi $ 19.452,48, calcule o valor nominal dessaDuplicata.R: N = $ 25.580,01

14) Em uma operação de desconto racional simples, com uma taxa de 12% a.m., o valor

atual de um Título é igual à metade do seu valor nominal. Qual o tempo necessário paraque isso ocorra?R: n = 8 meses e 10 dias





15) Calcular o valor do desconto racional simples de um título com valor nominal de$ 10.900,00, descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa 3% a.m.R: Dr = $ 900,00

16) Se um Título for resgatado três meses antes do vencimento por $ 53.409,00, à taxa dedesconto racional simples de 84% a.a., qual é o valor nominal desse Título?R: N = $ 64.624,89

17) Uma Nota Promissória foi descontada racionalmente com 78 dias de antecipação por$ 3.652,00, à taxa de juros simples de 4% a.m. Qual o valor do desconto auferido nessaoperação?R: Dr = $ 379,80

18) Marina possui um CDB de $ 1.300,00, com vencimento para daqui a 3 meses. A fim de

comprar um notebook que está em promoção para pagamento à vista, ela pretendedescontar esse Título hoje. Considerando o critério de desconto racional simples e taxade 1,5% a.m., qual será o valor de resgate desse CDB?R: Vr = $ 1.244,02

19) Diego resgatou um Título de $ 1.150,00, a uma taxa de desconto racional simples de 2%a.m., tendo recebido a importância de $ 1.045,45. Quanto foi o período de antecipaçãodessa operação?R: n = 5 meses

20) Se uma dívida de $ 6.462,20 for quitada 60 dias antes do prazo estabelecido, à taxa de

juros de 60% a.a., qual será o valor do desconto racional simples?R: Dr = $ 587,47





3.2 – Desconto Comercial Simples

Neste tipo de Desconto, a taxa de juros é aplicada sobre o Valor Nominal, vezes o númerode períodos que falta para o vencimento da dívida.

3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples

1) n.i.NDc n.i

DcN

n.N

Dci

i.N

Dcn

2) DcVcN DcNVc VcNDc .

3) n.iNVc 1 n.i1

VcN n

1

N

Vc

i

i

1

N

Vc

n

4) n.iDr Dc 1 n.i1

DcDr

Exemplo:

N = 10.000,00 i = 10% a.m.n = 3 meses Dc = ?Vc = ?

Dc = 10.000,00. 0,1. 3 = 3.000,00.Vc = 10.000,00 – 3.000,00 = 7.000,00.Vc = 7.000,00


(1) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um titulo de $ 4.000,00,

descontados três meses antes do vencimento, a uma taxa de 7% a.m. Calcule a taxaefetiva de desconto comercial dessa operação.

N = 4.000,00 i = 7% a.m. = 0,07 a.m.

n = 3 meses Vc = ?

)n.i1(NVC

)3.07,01(00,000.4 C V

Vc = 3.160,00





(2) Uma duplicata de $ 180.000,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento.Considerando uma taxa de desconto simples de 60% ao semestre, calcule o valor dodesconto e o valor recebido pelo detentor da duplicata.

N = 180.000,00 i = 60% a.s. = 0,6 a.s.

n = 4 meses Dc = ?Vc = ?

k

iik

6

6,0k i

ik = 0,1 a.m.

ni N DC .. 4.1,0.00,000.180C D

Dc = 72.000,00

C C D N V VC = 180.000,00 – 72.000,00

Vc = 108.000,00

(3) Um título a vencer em 120 dias, no valor de $ 13.000,00 foi descontado por$ 11.400,00. Calcular a taxa anual de desconto comercial simples e a taxa efetiva dedesconto.

n = 120 dias N = 13.000,00Vc = 11.400,00 ia = ?

if = ?

Obs.: ao se calcular a taxa, a mesma sairá em dia, pois o tempo está em dia.

Como o exercício pede a taxa anual, há necessidade de se calcular a

taxa anual equivalente à taxa diária.

n

N

V

i

C 1

120

100,000.13

00,400.11

i

i = 0,001025641 ao dia

k.ii k

ia = 0,001025641 . 360 = 0,0369230769 a.a. i = 36,92% a.a.

n

V

N

i C

f

1

120

100,400.11

00,000.13

f i if = 0,001169591 ao dia

k.ii k 0,001169591 x 360 = 0,421052631 a.a. I f = 43,11% a.a .





3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples

A taxa de Comercial Simples é uma taxa nominal, e, como tal, deve ser calculada a taxaefetiva, que é obtida utilizando-se a seguinte fórmula?

n

1V

N

i C

f

Exemplo:

Um título no valor de R$ 10.000,00 foi descontado 3 meses antes do vencimento, a umataxa de 10% a.m., tendo o detentor do mesmo recebido a importância de R$ 7.000,00.Sabendo-se que esse título foi descontado sob o critério de desconto comercial simples,calcular a taxa de juros efetiva dessa operação;

N = 10.000,00 i = 10% a.m.Vc = 7.000,00 n = 3 mesesIf = ?

n

V

N

i C

f

1

3

1000.7

000.10

if

if = 14,29% a.m.

3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples

1) Uma Duplicata com valor nominal de $ 12.000,00 foi descontada 2 meses antes dovencimento, a uma taxa de 17,17% ao ano. Qual foi o valor do desconto comercialsimples?

R: Dc = $ 343,40

2) Uma Duplicata no valor nominal de $ 25.000,00 foi liquidada 12 meses antes do seuvencimento. Foi pago por ela a importância de $ 18.960,00. Calcule a taxa de descontocomercial simples da operação e a taxa efetiva que vigorou na transação.R: i = 2,01% a.m.; if = 2,65% a.m.

3) André decide descontar um Título três meses antes do vencimento. Sabendo que o valordo título é $ 4.500,00 e que a taxa de desconto é de 1,5% a.m., qual o valor do descontocomercial?R: Dc = $ 202,50





4) Qual o valor atual comercial de uma Duplicata com valor nominal de $ 5.000,00, que foidescontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto simples de 1,5%a.m.?R: Vc = $ 4.775,00

5) Um Título foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de 24% a.a. Sabendoque o valor atual comercial apurado foi de $ 17.860,00, qual era o valor nominal desseTítulo?R: N = $ 19.000,00

6) Uma Duplicata com valor nominal de $ 45.000,00 é descontada 6 meses antes dovencimento, à taxa de 30% a.a. Qual o valor de desconto comercial?R: Dc = $ 6.750,00

7) O valor nominal de um Título é $ 35.000,00. Caso este Título seja descontado 1 mês

antes do vencimento, a uma taxa de 3% a.t., qual será o valor do desconto comercialsimples?R: Dc = $ 350,00

8) Um título no valor nominal de $ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de$ 1.800,00, três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto.R: i = 3%.

9) Uma Duplicata de valor nominal de $ 20.000,00 foi resgatada por $ 19.250,00. Se a taxade desconto comercial simples era de 90% a.a., quanto tempo restava para ovencimento dessa Duplicata?

R: n = 15 dias

10) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um Título no valor de $ 4.000,00,descontado 7 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6,5% a.m. Qual foi a taxaefetiva de desconto comercial aplicada na operação?R: Vc = $ 2.180,00; if = 11,93% a.m.

11) Um Título com valor nominal de $ 6.000,00 foi descontado 5 meses antes dovencimento, a uma taxa de 5% a.m. Qual o valor do desconto comercial simples e qualo valor do recebido pelo detentor do título?R: Vc: $ 4.500,00; Dc = $ 1.500,00

12) Ao quitar uma dívida, obteve-se um desconto comercial simples. O valor nominal era de$ 15.000 e a taxa de desconto de 2,75% ao mês. A antecipação foi de 9 meses. Qual ovalor pago pela dívida?R: Vc = $ 11.287,50

13) Uma nota promissória de $ 22.000,00 é descontada 6 meses antes do vencimento, àuma taxa de desconto comercial simples de 1,6% a.m. Calcule o valor atual da nota.R: Vc = $ 19.888,00

14) Calcule o valor atual comercial simples recebido por Diego pelo seu título no valor de

$ 5.000,00, descontado 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 8,5% a.m. Calculetambém a taxa efetiva de desconto comercial dessa operação?R: Vc: $ 3.725,00 e If = 11,41% a.m.





15) Em uma operação de desconto comercial simples de um título com valor nominal de$ 250,00, o desconto auferido foi de $ 25,00. Considerando que a taxa utilizada foi de10% ao mês, qual foi o tempo de antecipação?R: n = 1 mês.

16) Uma duplicata com valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontada 8 meses antes dovencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 24% a.a, determine o valorrecebido pelo detentor do título.R: Vc =$ 29.400,00

17) Por quanto tempo devo antecipar o pagamento de um título de $ 1.100,00 para obter umdesconto comercial de $ 300,00, a uma taxa de 3,5% ao mês?R: n = 7m e 24d

18) Qual o valor atual comercial recebido por um título de $ 900,00 descontado 2 meses

antes do vencimento a uma taxa de 1,5% ao mês?R: Vc = $ 873,00

19) Qual taxa de juros devo descontar um título de $ 15.000,00 para obter um descontocomercial de $ 1.500,00, descontado 3 meses antes do vencimento?R: i = 3,33% a.m.

20) Uma duplicata de $ 250.000,00 foi resgatada por $ 215.000,00, antes do seuvencimento. Calcular o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de descontocomercial foi de 3,5 % ao mês.R: n = 4 meses





3.3 – Desconto Racional Composto

O princípio do Desconto Racional Composto é o mesmo do Desconto Racional Simples,sendo que agora os juros utilizados são os compostos.

Na prática, em se tratando de operações com juros compostos, utiliza-se apenas o DescontoRacional.

3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto

A única diferença do Desconto Racional Composto em relação ao Desconto RacionalSimples diz respeito apenas ao regime de juros, o princípio é o mesmo.

1) niVrcN 1 niNVrc

1

1

1

n

Vrc

Ni

iLogVrc

NLog

n

1

2) DrcVrcN DrcNVrc VrcNDrc

3)

n RC i

N D1

11 ou ])i1(1[ND n

RC

Exemplo:

N = 10.000,00 i = 10% a.m.n = 3 meses Drc = ?Vrc =?

31,1

1100,000.10Drc

331,1

1100,000.10Drc Drc = $ 2.486,85.

Vrc = $ 7.513,15

Exercícios resolvidos:.

(1) Qual o valor do desconto racional composto de um titulo de $ 8.000,00 descontadodois meses antes do vencimento a taxa de 5,5% a.m.

N = 8.000,00 i = 5,5% a.m. = 0,055 a.m.

n = 2 meses Drc = ?

n RC i

N D)1(

11

2)055,01(

1100,000.8

RC D

Drc = 812,38

Resolução pela HP 12C: 8000 CHS FV 2 n 5,5 i PV . CHS 8000 +. f 2.





(2) Um titulo com valor nominal de $ 15.000,00 foi descontado antes do vencimento,tendo o detentor desse titulo recebido $ 13.870,00. Considerando uma taxa de 42%a.a., determine o período de antecipação (juros compostos).

N = 15.000,00 i = 42% a.a. = 0,42 a.a.

Vrc = 13.870,00 n = ?

)1( i Log

V

N Log

n RC

)42,01(

00,870.13

00,000.15

Log

Log

n

n = 0,223357855 ano

Transformando o resultado em números inteiros:

0,223357855 x 12 = 2,680294254 meses

0,680294254 x 30 = 20,40882762

n = 2 meses e 20 dias

Resolução pela H 12C:

15000 ENTER 13870 ÷ g LN 1,42 g . LN ÷ 12 X 2 - 30 X . f 0.

(3) Caso desconte um titulo de $ 5.000,00 três meses antes do vencimento e receba$ 4.380,00 qual é a taxa de juros compostos dessa operação?

N = 5.000,00 n = 3 meses

Vrc = 4.380,00 i = ?

1 n

RC V

N i

100,380.4

00,000.53 i

i = 0,045117828 a.m.

i – 4,51% a.m.

Resolução pela H 12C: 5000 ENTER 4380 ÷ 3 1/x 1 -. 100 X f 2.





3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto

1) Quanto deverá ser o valor do desconto racional composto de um Título cujo valornominal de $ 29.500,00, que será descontado 8 meses antes do vencimento, a uma taxade 6,8% a.m.?R: Drc = $ 12.071,82

2) O valor de certo Título no vencimento é de $ 175.000,00. O detentor do mesmo,desejando saldar algumas dívidas, resolveu antecipá-lo, recebendo um valor de$ 144.000,00, sendo utilizada, para tanto, uma taxa de desconto racional composto de5,5% a.m. Qual foi o período de antecipação?R: n = 3 meses e 19 dias

3) Carlos Alberto deseja antecipar o pagamento de um empréstimo no valor de$ 15.000,00, que vencerá daqui a 10 meses, tendo negociado com o credor o

pagamento de $ 13.685,00 para liquidar a dívida. Qual foi a taxa de desconto racionalcomposto acordada nessa operação?R: i = 0,92% a.m.

4) Um Título cujo valor nominal era de $ 55.000,00 foi antecipado em 3 meses, utilizando-se uma taxa de desconto racional composta de 6,35% a.m. Pergunta-se: qual o valorlíquido que foi recebido pelo dono do Título?

R: Vrc = $ 45.724,63

5) Um Titulo com valor nominal de $ 8.000,00, vencível em 3 meses, foi descontado à taxade 4,5% a.m. Calcule o valor do desconto racional composto.

R: Drc = $ 989.63

6) Qual o valor do desconto racional de um título cujo valor nominal é $ 13.000,00, caso eleseja resgatado 4 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 4,2% a.m.?R: Drc = 1.972,62

7) Que desconto racional deve-se exigir na compra de um Título com valor nominal de$ 25.000,00, vencível em 3 meses, se a taxa de juro composto for de 5% a.m.?R: Drc = $ 3.404,06

8) Um Titulo com valor nominal de $ 18.000,00 foi descontado 5 meses antes de seu

vencimento, obtendo-se um desconto de $ 500,00. Qual foi a taxa de desconto racionalcomposto utilizada nessa operação?R: i = 0,57% a.m.

9) A Mascavo S.A. está trocando seus ativos financeiros por títulos da dívida pública. Nestasemana comprou um Título com valor nominal de $ 138.503.39, que tem prazo dematuração de 180 dias. Calcule o valor de compra deste Título sabendo que o Governobrasileiro está adotando a taxa Selic de 14,5% a.a. como indexador de referência.R: Vrc = $ 129.436.77

10) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 6 meses antes do vencimento.Sabendo que o valor nominal da mesma era de $ 79.500,00 e o valor do descontoracional foi de $ 8.750,00. Qual foi a taxa de juro composto empregada nessa operação?R: i = 1,96% a.m.





11) Qual é o valor do desconto racional composto sofrido por um Título com valor nominalde $ 6.688,78, descontado 55 dias antes do vencimento, à taxa de 6% a.a.?R: Drc = $ 59,28

12) Um Título com valor nominal de $ 8.996,68 foi descontado 5 meses antes dovencimento, a uma taxa composta de 2,5% a m. Calcule o valor líquido recebido pelodetentor do Título, tendo em vista que a operação foi realizada sob o critério deDesconto Racional Composto.R: Vrc = $ 7.951,75

13) Uma dívida com valor de $ 8.560,00 foi descontada 5 meses antes do vencimento sob ocritério de Desconto Racional Composto. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 1,5%a.m., qual foi o valor do desconto obtido?R: Drc = $ 614,09

14) Tenho uma divida de $ 50.000,00 e pretendo liquidá-la 5 meses antes de vencimento, auma taxa de juros compostos de 5% a.m. Considerando o desconto racional composto,quanto deverei pagar por essa dívida?R: Vrc = $ 39.176,31

15) Bruna pretende descontar um título de $ 10.000 8 meses antes do vencimento. Se elareceber $ 7.500,00. Qual será a taxa de juros compostos dessa operação?R: i = 3,66% a.m.





4 – Equivalência de Capitais Diferidos

Definição:

Um conjunto de capitais diferidos no tempo (um ou mais capitais) é considerado equivalentea outro conjunto de capitais também diferidos se, e somente se, for descontado para umamesma data focal e em idênticas condições e produzir o mesmo valor.

Data focal: data base de comparação dos valores diferidos. Idênticas condições: mesmo critério de desconto e mesma taxa de juros.

4.1 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Simples

Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda,com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas porduas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses ea segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto racionalsimples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento.

Resolução:

5.000,00 10.000,00|---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------|0 1 2 3 4 5 6

7.000,00 X

Obs.:

Usar a fórmula de Valor Nominal (ou Montante)

Usar a fórmula de Valor Atual (ou Capital)

3.05,01

X

1.05,01

00,000.700,000.103.05,0100,000.5

5.750,00+10.000,00 = 6.666,67+0,869565217X

X=9.083,33/0,869565217

X = 10.445,83





4.2 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Comercial Simples

Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda,

com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas porduas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses ea segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto comercialsimples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento.

Resolução:

5.000,00 10.000,00

|---------------|----------------|--------------- |----------------|----------------|---------------|0 1 2 3 4 5 67.000,00 X

5.000,00 / 1 - 0,05.3 + 10.000,00 = 7.000,00 (1 - 0,05.1) + X (1 - 0,05.3)

5.882,35 + 10.000,00 – 6.650,00 = 0,85X

X = 9.232,35/0,85

X = 10.861,59

Suponha que você deva $ 3.000,00 para pagamento daqui a cinco meses e queirarenegociar essa divida para pagar em três pagamentos mensais e iguais, vencendo oprimeiro pagamento a trinta dias. Com desconto comercial simples e data focal três, calculeo valor dos pagamentos. Taxa de 3% ao mês.

Resolução:

3.000,00|---------------|--------------|--------------|----------------|---------------|0 1 2 3 4 5

X X X

2.03,01

X

1.03,01

XX2.03,0100,000.3

.

2.820,00 = X + 1,030927835X + 1,06382978X 094757622,3

00,820.2 X

X = 911,22





Refazer o exercício anterior considerando a data focal zero e desconto racional simples

3.000,00|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------|

0 1 2 3 4 5X X X

3.03,01

1

2.03,01

1

1.03,01

1

5.03,01

00,000.3 X

X = 921,25

4.3 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com JurosSimples

1) Márcia tem duas dívidas, sendo uma de $ 3.500,00 com vencimento para 5 meses eoutra de $ 1.500,00 com vencimento para hoje. Ela pretende renegociar essas dívidaspara liquidá-las em um único pagamento com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o

valor dessa nova dívida, considerando o critério de desconto racional simples, data focalquatro e taxa de 4% a.m.?R: $ 5.105,38

2) De acordo com o exercício anterior, qual seria o valor do novo pagamento, caso fosseutilizado o critério de desconto comercial simples? Qual é a opção mais vantajosa paraMárcia?R: $ 5.145,71; é mais vantajosa a 1ª opção.

3) Caso você deva $ 15.000,00 para pagar daqui 10 meses e queira renegociar tal dívidapara pagar em 3 prestações iguais, vencíveis nos meses 5, 6 e 7, qual seria o valor das

prestações, se for adotado o critério de desconto racional simples, uma taxa de 3,5%a.m. e data focal sete?R: $ 4.371,87

4) Caso a data focal do exercício anterior fosse a zero, qual seria o valor dos pagamentos?R: $ 4.478,98

5) João tem uma dívida de $ 4.500,00 que vence no próximo mês, mas decide renegociá-lapara pagar em duas prestações iguais e seguidas, sendo a primeira com vencimento em3 meses. Qual o valor das prestações, se adotado o critério de desconto comercialsimples, taxa de 2% a.m. e data focal quatro?

R: $ 2.369,44





6) Uma loja de instrumentos musicais vende um violão Eagle por $ 1.899,00 à vista. Comoopção, esse bem pode ser pago em duas parcelas mensais e iguais, vencíveis em 3 e 4meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 24% a.a., qual será o valor dospagamentos, considerando data focal zero e critério de desconto racional simples?R: $ 1.015,88

7) Pedro tem que pagar uma dívida daqui a 6 meses no valor de $ 4.000,00. Caso queirarenegociar essa dívida para pagar em 3 parcelas mensais e iguais, com a primeiravencendo daqui a trinta dias, qual será o valor das parcelas se for considerando ocritério de desconto comercial simples, taxa de 4% ao mês e data focal 6?R: $ 1.118,31

8) Ao vender seu carro, João propôs uma entrada de $ 8.000,00 e outra parcela de$ 6.000,00 para 6 meses. O comprador propôs a seguinte alternativa: o pagamento deuma parcela em 3 meses no valor de $ 7.000,00 e o restante em 10 meses.

Considerando uma taxa de juros de 2,25% a.m., qual o valor do segundo pagamento?(Data focal 6 e critério desconto racional simples)R: $ 8.292,18

9) Juliana deseja substituir 3 títulos de $ 10.000,00, $ 20.000,00 e $ 30.000,00, comvencimentos respectivamente para 3, 6 e 9 meses, por um único titulo com vencimentopara daqui a 1 ano. Qual será o valor desse novo titulo, uma vez que seja adotada umataxa de 3% a.m., data focal 1 ano e critério de desconto comercial simples?R: $ 71.055,91

10) Uma moto custa $ 6.000,00 à vista, porém, após um acordo feito entre o comprador e o

vendedor, ficou acertado que o pagamento seria feito em 3 parcelas trimestrais iguais,vencendo a primeira daqui a 3 meses. Calcule o valor das parcelas sabendo que a taxade juros é de 3% a.m., a data focal é a zero e o critério desconto racional.R: $ 2.350,83

11) Uma televisão é vendida por $ 700,00 à vista ou duas parcelas trimestrais iguais,vencendo a primeira 3 meses após a compra. Considerando o critério desconto racionalsimples, taxa de 2% a.m. e data focal zero, calcule o valor dos pagamentos.R: i = 381,21

12) Dois títulos: um de $ 15.000,00, com vencimento para hoje e outro de $ 70.000,00, com

vencimento para 6 meses serão substituídos um por um único título com vencimentopara 3 meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 84% a.a.e data focal 3, calcule o valor desse novo título.R: $ 74.287,34

13) E uma concessionária de veículos, um determinado carro custa $15.000,00 à vista, masna necessidade de limpar o estoque essa concessionária fez um super promoção:oferecendo o carro paga pagamento em 3 parcelas mensais e iguais, com a 1ª para 30dias e reduziu os juros pela metade, cobrando agora só 2% a.m. Qual o valor dasparcelas, uma vez que para o cálculo será adotado o critério de desconto racionalsimples e data focal zero?

R: $ 5.198,72

14) Uma empresa possuía duas dívidas junto a um determinado banco: $ 900,00 e





$ 1.200,00, com vencimento para daqui a 5 e a 8 meses, respectivamente. O gerente dobanco propôs transformar as duas dívidas em uma só, com vencimento para 10 meses,adotando-se, para tanto, uma taxa de 4% a.m., critério de desconto comercial simples edata focal zero. Calcule o valor da nova dívida.R: $ 2.560,00

15) Ricardo comprou uma maquina fotográfica que custava $ 1.800,00 à vista para ser pagaem 4 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira prestação daqui 3 meses, qualo valor dos pagamentos, uma vez que foi adotado o critério de desconto racionalsimples, taxa de 2% a.m. e data focal 6?R: $ 489,32

16) Tenho uma divida de $ 3.000,00 para pagamento daqui a 4 meses e quero renegociaressa divida para ser paga em 3 pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiropagamento pra daqui trinta dias. Qual o valor das parcelas, sabendo que a data focal é

3, desconto comercial simples e taxa de 3% ao mês.R: $ 940,30

17) Rosane possui um titulo no valor de $ 900,00, vencendo para daqui a 60 dias e outra novalor de $ 700,00, vencendo para daqui a 90 dias. Necessitando de dinheiro, Rosanedesconta os dois títulos em uma financeira, tendo a operação sido efetuada sob ocritério de desconto racional simples, taxa de 3,5% a.m. e data focal zero. Calcule ovalor recebido pela mesma.R: $ 1.474,60

18) Uma determinada motocicleta custa $ 6.000,00 à vista. Quero comprá-la em 3

pagamentos mensais e iguais com vencimento do primeiro pagamento para daqui 60dias, com taxa de 3,75% a.m. Calcule o valor desses pagamentos considerando ocritério de desconto comercial simples e data focal 2.R: $ 2.246,40

19) Possuo uma divida no valor de $ 3.000,00 para pagamento daqui a três meses. Noentanto, quero quitá-la hoje. Considerando o critério de desconto racional simples, taxade 2,5% a.m. e data focal zero, quanto deverei?R: $ 2.790,70





4.4 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto RacionalComposto

Em juros compostos, a determinação da data focal deixa de ter importância, pois qualquer

data focal que venha a ser utilizada leva o resultado da operação ao mesmo valor.Um determinado bem custa $ 5.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo,para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro um mês após a compra, qualserá o valor dos pagamentos se for considerado o critério de Desconto Racional Composto etaxa de 3% ao mês?

5.000|-------------|--------------|--------------|0 1 2 3

X X X

828611355,2

00,000.5

03,103,103,100,000.5

32 X

X X X

X = 1.767,65

Exeercícios resolvidos:

(1) Caso você deva pagar $ 15.000,00 daqui a 6 meses e $ 8.000,00 em 12 meses, equeira renegociar essas dívidas para pagar $ 5.000,00 hoje e o restante em 3 meses,qual será o valor do pagamento, se for considerado uma taxa de 37% ao ano e critériode desconto racional composto?

Obs.: 1) Como a taxa está em ano, sugere-se transformar o tempo para ano 2) Resolver o exercício utilizando a data 0,25 ano como Data Focal:

15.000,00 8.000,00|-------------------|--------------------|------------------------------------------|0 0,25 0,5 1

5.000,00 X

X 25,0

75,025,0 37,1.000.5

37,1

000.8

37,1

000.15

41,409.556,317.672,864.13 X X = 14.772,87





(2) Três dividas, a 1ª no valor de $ 3.000,00, a 2ª de $ 7.000,00 e a 3ª de $ 20.000,00,com vencimentos para 15 dias, 5 meses e 11 meses, respectivamente, estão sendorenegociadas para serem pagas hoje. Qual o valor desse pagamento se for usadotaxa de 45% ao ano e critério de desconto racional composto?

Obs.: 1) Como a taxa está em ano e o tempo em mês, sugere-se transformar a taxa paramês, por meio da equivalência de taxas

2) Resolver o do exercício utilizando a data Zero como Data Focal:

3.000,00 7.000,00 20.000,00|--------------|----------------------------|---------------------------------------------------|0 0,5 5 11X

11 k k ii

145,0112 k i

..031447989,0 maik

X

1155,0 031447989,1

000.20

031447989,1

000.7

031447989,1

000.3

41,409.586,834.672,864.13 X

X = 23.176,78

4.5 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com JurosCompostos

1) Carlos possui duas dívidas, uma no valor de R$ 1.000,00 que vence hoje e outra novalor de R$ 1.500,00 que vence em três meses. Estas dívidas estão sendo negociadaspor outras duas, sendo a primeira para daqui a 2 meses, no valor de R$ 750,00 e asegunda a ser paga daqui a 5 meses. Sabendo que taxa é de 2% ao mês, calcule ovalor do segundo pagamento utilizando o critério de desconto racional composto.R: $ 1.868,77

2) Uma máquina de lavar roupa custa R$ 7.000,00 a vista. Caso o cliente queira adquiriresse bem a prazo, para pagamento em três parcelas mensais e iguais, vencendo o

primeiro em um mês após a compra. Qual será o valor das parcelas considerando ataxa de 3% ao mês e o critério de desconto racional composto?R: R$ 2.474,71





3) Suponha que você tenha uma divida de $10.000,00 com vencimento para daqui a 8meses, porém você quer negociá-la para pagar $ 7.000,00 hoje e o restante daqui adois meses. Qual será o valor do segundo pagamento se for considerado a taxa mensalde 2,5% ao mês e o critério do desconto racional composto?R: $ 1.268,59

4) João aplicou $ 30.000,00 em um banco que rende juros de 37% ao ano, pretendo assimretirar o montante em 9 meses. Entretanto decorrido 2 meses ele retirou$ 5.000,00. Qual o valor retirado por ele no fim de 9 meses?R: $ 31.981,42

5) João Deve $ 35.000,00 para daqui um ano, porém recebeu um dinheiro de uma causana justiça e propôs o refinanciamento de sua divida, comprometendo a liquidá-la em 3parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira hoje. Quanto será o valor das parcelasse a taxa de juros composto cobrada é de 20% ao ano?

R $ 10.168,586) Uma divida de $ 7.350,00 para 12 meses e outra de $ 8.000,00 para 24 meses foi

transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a primeira daqui a 6 meses.Qual é o valor das parcelas, se a taxa de juros considerada é de 34% ao ano?R: $ 3.535,33

7) Henrique deseja comprar uma moto de $ 13.000,00. Ele dispõe de $ 7.000,00 parapagar a vista e pretende financiar o restante em 3 pagamentos iguais e trimestrais, como primeiro pagamento para daqui a 90 dias. Considerando uma taxa trimestral de 4%,qual será o valor das prestações?

R: $ 2.162,09

8) Uma televisão está sendo vendida por $ 6.500,00 à vista ou pode ser adquirida comuma entrada de $ 2.000,00 mais 3 parcelas mensais, com a primeira vencimento para60 dias. Sabe-se ainda que a taxa de juros anual é de 17%. Qual é o valor dasprestações?R: $ 1.559,96

9) Uma loja especializada em bicicletas anunciou que vende uma super bicicleta decorrida por $ 1.000,00 à vista ou em dois pagamentos mensais, sendo o primeiro para 3meses e o segundo para 4 meses. Considerando uma taxa de 14% a.a., calcule o valor

dos pagamentos.R: $ 519,47

10) Uma loja de Móveis tinha uma dívida com seus fornecedores e decidiu negociá-la.Substituiu 3 dívidas de $ 5.000,00, $ 2.000,00 e $ 3.000,00 com prazo de vencimentode 30, 60 e 90 dias, respectivamente, por um único título vencível em 180 dias. Qual é ovalor desse título, sabendo que a taxa é de 25% a.a.?R: $ 10.813,73

11) Uma dívida de $ 20.000 para ser paga em 1 ano e outra no valor de $ 30.000 para serpaga em 2 anos foram refinanciadas para serem pagas em 4 parcelas iguais e

semestrais, sendo que a 1ª será para daqui 6 meses. Considerando uma taxa de 20%a.a., qual será o valor das parcelas?R: $ 11.713,72





12) Um comerciante tem uma dívida de $ 14.500,00, vencendo em 5 meses e quer pagaresta dívida parceladamente. Ele conseguiu junto ao banco o parcelamento em 3 vezesiguais, a juros de 2,3% ao mês, vencendo a primeira em um mês. Qual o valor dasprestações?R: $ 4.513,83

13) Determine o valor nominal de um titulo com vencimento para 5 meses que substituiráoutros dois no valor de $ 500,00 cada, vencendo em 30 e 60 dias, à taxa de 3% a.m.R: $ 1.109,12

14) Faltam 3 prestações mensais e iguais de $ 700,00 para quitar um financiamento de umimóvel, vencendo a 1ª em 30 dias,. Quero pagá-las uma única prestação daqui a 60dias. Considerando uma taxa mensal de 4%, qual o valor desse pagamento?R: $ 2.101,08

15) Duas dívidas, a primeira no valor de $ 500,00 com vencimento para hoje, e a segunda,com valor de $ 700,00 com vencimento para três meses, estão sendo negociadas porduas outras dívidas: a primeira no valor de $ 400,00, com vencimento para 4 meses e asegunda com vencimento para 6 meses. Considerando o critério de desconto racionalcomposto e taxa de 5,2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento.R: $ 1.050,04

16) Suponha que você deve $ 12.000,00 para daqui a 6 meses e queira renegociar essadívida para pagar em três pagamentos bimestrais e iguais, vencendo o primeiro daqui a60 dias. Considerando uma taxa de 7% ao mês, calcule o valor dos pagamentos.R: $ 3.472,53

17) Um título com valor nominal de $ 75.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocadopor outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente nomercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título?R: $ 70.694,69

18) Um comerciante, devedor de um título de $ 400.000,00, com vencimento para 3 anos,deseja substituir essa dívida por dois pagamentos anuais e iguais: um para daqui a 1ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo-se que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valordesses pagamentos.R: $ 119.047,62

19) Uma televisão de plasma que custa $ 7.000,00 pode ser adquirida em 5 prestaçõesmensais iguais, sendo a primeira na data da compra. Qual o valor de cada uma dessasprestações se for adotada uma taxa composta de 10% a.m.?R: $ 1.678,70

20) Um empresário possui dois títulos a pagar com valores de $ 50.000,00 e$ 70.000,00, vencíveis em 3 e 7 meses, respectivamente, a partir da data presente.Sem liquidez para quitar os débitos em suas datas, negocia com a Instituição bancária -que estipula juros compostos de 3% a.m. - para substituição das dívidas por duasoutras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada débito

nesta nova situação.R: $ 69.950,76





5 – Rendas (Série de Pagamentos ou Anuidade)

Há varias formas de pagamento de um bem: como o pagamento no ato da compra, nãoexistindo uma diferença temporal entre o pagamento e o recebimento da mercadoria e,

conseqüentemente, a incidência de juros, sendo, neste caso, chamado de pagamento àvista. Outra forma de pagamento é a que há hiato temporal entre o recebimento damercadoria e o pagamento, havendo assim o pagamento de juros por essa diferença detempo, já que o valor do dinheiro não é o mesmo no tempo, sendo essa forma chamada depagamento no futuro. Outra forma é o pagamento parcelado.

O pagamento parcelado possui uma grande variedade de tipos, podendo ser efetuado emvarias parcelas seqüencialmente, ou existindo um período de carência para o início dospagamentos, ou ser pagas em períodos não seqüenciais, etc., dependendo do acordoajustado entre as partes: o devedor e o credor. O que não diferencia em todos os tipos deRendas é que sempre haverá a incidência de juros, proporcional ao tempo e/ou ao número

das parcelas.

Pagamento à vista:

P|-------------------------------|0 n

Pagamento no futuro:n

S S = P(1 +i)|-------------------------------|

0 n

Pagamento parcelado (Rendas ou Série de Pagamentos ou Anuidade):

SP R R R R R R|------|-----|------|------|------|-----|0 1 2 3 4 5 6

Qualquer série de pagamento é uma Renda.

R

Variáveis de uma Renda e suas relações

P S

Existem dois tipos de Rendas:

Rendas Certas ou Determinísticas, que são estudadas pela Matemática Financeira. Rendas Aleatórias ou Probabilísticas, que são estudadas pela Matemática Atuarial.

O nosso curso abordará apenas as Rendas Determinísticas.

Onde:P = Valor AtualR = Valor dos TermosS = Montante





Classificação das Rendas

PostecipadasImediatas

Constantes AntecipadasPeriódicas DiferidasTemporárias

VariáveisCertas Não Periódicas

Rendas Perpétuas Aleatórias

Temporárias possuem início e fimPerpetuas não possui um fim, é ad perpetum

Periódicas os pagamentos ou recebimentos ocorrem em todos os períodos

Não-periódicas os pagamentos ou recebimentos não ocorrem em todos os períodos

Constantes o valor de todos os termos são iguais emVariáveis o valor de todos os termos não são iguais

Imediatas os pagamentos ocorrem a partir do 1º período.Diferidas há uma carência para o início dos pagamentos.

Postecipadas os pagamentos ocorrem no final dos períodos. Antecipadas os pagamentos ocorrem no início dos períodos.

Inicialmente, serão estudadas as Rendas constantes do Modelo Básico, que são asRendas que apresentam as seguintes características:

Renda certa temporária periódica constante imediata postecipada

Simbologia

Nas operações com Rendas (ou Anuidades) será utilizada a seguinte simbologia:

R – Termos da RendaP – Valor Atual. S – Montante.i – Taxa de Juros. n – Número de Termos.

Informações importantes:

As operações com Rendas utilizam juros compostos.

O montante de uma Renda (S) fica na “altura” do último termo. O Valor Atual (P) de uma Renda corresponde à soma dos Valores Atuais de seus Termos





5.1 – Rendas do Modelo Básico:

P R R R R R R R ...... R|--------|--------|--------|---------|--------|--------|--------|--------|0 1 2 3 4 5 6 8 ....... n

P = soma dos valores atuais da Renda.

N32i1

R

i1

R

i1

R

i1

RP

5.1.1 – Fórmulas

1)

ii

i R P

n

n

.1

11.

2)

11

.1

. n

n

i

ii

P R

3)

i

i RS

n11

.

4)

11. ni

i

S R

Obs.: estas fórmulas são válidas somente para as Rendas do Modelo Básico.


(1) Um determinado bem custa $ 10.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bema prazo, para pagamento em 24 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira

um mês após a compra, qual será o valor do pagamento com taxa de 3% ao mês.

P = 10.000,00 i = 3% a.m.

n = 24 R=?

103,01

03,0.03,0100,000.10

24

24

R

R = 590,47

Resolução com a Calculadora HP 12C: 10000 CHS PV 24 n 3 i PMT .





(2) Caso você queira dispor de $ 10.000,00 daqui a seis meses, quanto deverá depositarmensalmente em uma instituição financeira que pague juros de 2% ao mês par queno ultimo deposito obtenha a quantia desejada?

S = 10.000,00 n = 6

i = 2% a.m. R = ?

102,01

02,000,000.10

6 R

R = 1.585,26

Resolução pela HP 12C: 10000 CHS FV 6 n 2 i PMT .

(3) Um determinado bem esta sendo vendido por nove prestações de $ 500,00 reais,vencendo a primeira um mês após a compra. Considerando um taxa de 2,5% aomês, determine o valor à vista desse bem.

R = 500,00 n = 9i = 2,5% a.m. P = ?

i.)i1(

1)i1(RP

n

n

025,0.)025,01(

1)025,01(00,500

9

9

P

P = 500,00 x 7,970865531

P = 3.985,43

Resolução pela HP 12-C: 500 CHS PMT 9 n 2,5 i PV.

(4) Caso você efetue 24 depósitos mensais e iguais de $ 300,00 em uma instituiçãoque pague juros de 1,5% ao mês, quanto disporá por ocasião do ultimo deposito?

R = 300,00 n = 24

i = 1,5 a.m. S = ?

i

i RS

n1)1(

015,0

1)015,01(00,300

24

S S = 300,00 x 28,6335208

S = 8.590,06

Resolução pela HP 12-C: 300 CHS PMT 24 n. 1,5 i. FV.





5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico

1) Um bem custa $ 15.000,00 à vista. Caso a aquisição desse bem seja feita a prazo, parapagamento em 6 prestações mensais e iguais, a uma taxa de 1,5% a.m., qual será ovalor das parcelas?R: R = $ 2.632,87

2) Quanto deverei depositar mensalmente para que, ao final de 3 anos, disponha de$ 50.000,00, considerando que a instituição financeira pague juros de 0,5% a.m.?R: R = $ 1.271,10

3) Lílian comprou um carro para ser pago em 60 prestações de $ 550,00, com taxa de1,0% a.m., qual o valor à vista do carro?R: P = $ 24.725,27

4) Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 à vista e que será vendidoem 12 pagamentos iguais e mensais, cuja taxa de juros é de 1,5% a.m.?R: R = $ 2.291,99

5) Se efetuo um empréstimo de $ 3.500,00, à taxa de juros de 2% a.m., para ser liquidadoem 8 pagamentos mensais e iguais, qual será o valor das prestações?R: R = $ 477,78

6) Ivan pretende levantar um empréstimo de $ 15.000,00. Se a taxa de juros de mercadofor 3,5% a.m. e o mesmo deseja pagá-lo em 24 parcelas mensais e iguais, qual será ovalor das prestações?

R: R = $ 934,10

7) Danilo decidiu fazer uma viagem daqui 1 ano e meio e, para tanto, deseja dispor de$ 10.000,00 na data da viagem. Para tanto, pretende efetuar depósitos mensais e iguaisnuma instituição financeira que paga juros de 1% a.m. Qual será o valor dos depósitospara que, por ocasião do 18º depósito o mesmo disponha da importância desejada?R: R = $ 509,82

8) Um carro é vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que a taxautilizada 1,5% a.m., qual é valor do carro à vista?R: P = $ 16.568,75

9) Fernando depositará mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um banco que paga juros de 3% a.m. Qual o montante que poderá ser sacado por Fernando por ocasião doúltimo depósito?R: S = $ 2.910,78

10) Quanto terei que depositar, mensalmente, em uma instituição que paga juros de 2,5%a.m. para que, ao final de 8 meses, eu possua $ 10.000,00?R: R = $ 1.144,67

11) Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 financiada em 36 prestações mensais e iguais.Calcule o valor das prestações, considerando uma taxa de 1,5% a.m?R: R = $ 2.892,19





12) Comprei um carro financiado em 24 prestações mensais de $ 800,00. Qual o seu valor àvista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m?R: P = $ 15.131,14

13) Roberto precisou fazer uma cirurgia que custava $ 3.000,00 à vista. Para pagá-la, fezum empréstimo desse valor, a uma taxa de 0,5% a.m., para quitá-lo em 12 parcelasmensais e iguais. Qual o valor das parcelas?R: R = $ 258,20

14) Um computador custa, atualmente, $ 3.500,00. Paulo decide comprá-lo, e financia oobjeto desejado em 10 prestações iguais e mensais, sendo que a 1ª parcela deverá serpaga daqui a 1 mês. Sabendo que a taxa de juro é de 5,5% a.m., quanto Paulo terá quedesembolsar mensalmente?R: R = $ 464,34

15) Getulio se propôs a fazer uma poupança para viajar após sua formatura. Para tanto,efetuou 18 meses depósitos mensais e iguais de $ 200,00 em uma caderneta depoupança que paga juros de 0,5% a.m. Qual a importância disponível por ocasião doúltimo depósito?R: $ 3.757,16

16) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente durante 15 meses num fundo deinvestimentos que rende 1,8% a.m., para que no instante do último depósito tenha ummontante de $ 60.000,00?R: R = $ 3.519,95

17) Marta efetuou 12 depósitos bimestrais e iguais no valor de $ 500,00 em uma instituiçãoque paga juros de 3% a.b. Quanto ela terá no momento do último depósito?R: $ 7.096,01

18) Qual é a prestação mensal de um carro cujo preço à vista é $ 50.000,00, se forfinanciado em 24 prestações mensais e iguais, à taxa de 3,5% a.m.?R: R = $ 3.113,65

19) Um financiamento de $ 100.000,00 foi concedido a uma empresa, para ser pago em 4prestações semestrais iguais, à juros de 20% a.s. Qual é o valor das prestações?R: R = $ 38.628,90

20) Qual é o preço à vista de um carro que está sendo vendido por 12 prestações mensais eiguais de $ 5.000,00, considerando que a taxa contratada foi de 2% a.m.?R: P = $ 52.876,71





5.2 – Rendas não constante do Modelo Básico

Para se resolver qualquer tipo de operação envolvendo Renda não constante do ModeloBásico, tem-se que, necessariamente, transformá-la em Renda do Modelo Básico e aplicaras fórmulas correspondentes.

5.2.1 – Fórmulas

As fórmulas a serem utilizadas são as mesmas de Rendas do Modelo Básico


(1) O preço à vista de um carro é $ 80.000. A revendedora exige 30% como entrada,

financiando o saldo em 36 prestações mensais e iguais, com 6 meses de carência.Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% a.m., qual é o valor das prestações?

Valor à vista = 80.000,00

Entrada = 24.000,00

Valor a financiar = 56.000,00

P = 56.000,00 n = 36

i = 3,5% a.m. R = ?

1)035,01

035,0.)035,01()035,01(00,000.56

36

365

R

R = 56.000,00 x 1,187686306 x 0,049284163

R = 3.277,91

Resolução pela HP 12-C:

56000 CHS PV 5 n 3,5 i FV . CHS PV 36 n 0 FV PMT

(2) Uma pessoa abriu uma conta em uma instituição financeira e depositou$ 1.000. Em seguida, efetuou uma série de 24 depósitos mensais de $ 300, sendoque o primeiro foi feito 4 meses após a abertura da conta. Supondo-se que não sejaefetuada nenhuma retirada, e considerando que a instituição financeira paga juroscompostos de 2% a.m. sobre o saldo devedor, quanto essa pessoa terá disponívelapós 5 anos da abertura da conta?

1º depósito = 1.000,00

n = 60 meses

I = 2% a.m.

R = 300,00n = 24, com 4 meses de carência para o 1º depósito, após a abertura da conta

S = ? (ao final de 5 anos após a abertura da conta)





3324

60 )02,01(02,0

1)02,01(00,300)02,01(00,000.1

S

S = (1.000,00 x 3.281030788) + (300,00 x 30,42186245 x 1,922231404)

S = 3.281.03 + 17.543,34

S = 20.824,39

Resolução pela HP 12-C – 2 passos, conforme demonstrado abaixo:

1) 1000 CHS PV 60 n 2 i FV = 3.281,03

2) 300. CHS PMT 24 n 2 i 0 PV FV CHS PV 0 PMT 33 n FV .

3281,03 +.

5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico

1) O preço a vista de uma casa é $ 70.000,00. No entanto, o banco exige 20% de entrada.O restante será financiado em 60 parcelas iguais e mensais com 4 meses de carênciapara pagamento da 1ª parcela, a uma taxa de 2,5% a.m. Qual será o valor das parcelas?R: R = $ 1.951,10.

2) Uma pessoa vai receber 10 parcelas mensais e iguais de $ 250,00 com uma carência de4 meses para recebimento da primeira parcela. Qual é o valor atual desta série depagamentos, se a taxa considerada for de 2% a.m.?R: P = $ 2.116,11.

3) Um fogão foi financiado em 5 parcelas mensais e iguais de $ 125,00, sendo a primeiraparcela paga no ato da compra, como entrada. Considerando que a. loja “Só Fogões”opera com uma taxa de 1,5% a.m., qual é o preço do fogão a vista?R: P = $ 606,80.

4) João efetuou uma compra cujo pagamento deveria ser efetuado em 4 parcelastrimestrais de $ 2.500,00, a taxa de juros seria de 2% a.m., vencendo a 1ª daqui a 3meses. Caso João queira pagar essa compra em 12 parcelas mensais e iguais,vencendo o 1º pagamento em 1 mês, qual será o valor das parcelas?R: R = $ 816,89

5) Carlos comprou um aparelho de som que foi pago da seguinte maneira: 3 parcelasmensais e iguais de $ 200,00, vencendo a 1ª daqui a um mês e duas parcelas de$ 500,00, a serem pagas no 5º e no 6º mês. Considerando a taxa de juros foi de 3%,calcule o valor do aparelho à vista.R: P = $ 1.415,77

6) Um carro é vendido da seguinte forma: uma entrada de $ 3.500,00, mais 4 parcelasmensais e iguais de $ 2.500,00, vencendo a 1ª daqui a 1 mês e outras 2 parcelas





mensais e iguais de $ 3.000,00, com vencimentos para os meses 6 e 7, a partir da datada compra. Se a taxa de juros for de 2% a.m., qual o valor do carro a vista.R: P = $ 18.294.92

7) Calcule o valor presente do seguinte fluxo de caixa, realizados a fim de cada mês: 1ºmês $ 20.000,00 e do 2º ao 5º mês $ 40.000,00, considerando uma taxa de juros de 3%a.m.R: P = $ 163.770,81

8) O preço a vista de um bem é $ 80.000,00. Pretendo comprá-lo a prazo, dando umaentrada de $ 24.000,00 e o restante financiar em 36 prestações com o primeiropagamento para daqui a 6 meses. Considerando uma taxa de 3,5% a.m., calcule o valordas prestações.R: R = $ 3.277,91

9) Um veículo foi comprado para ser pago em 3 prestações mensais e iguais, vencendo aprimeira somente no final do terceiro mês após a compra. Sabendo que o veículo a vistaé $ 17.850,00 e que a taxa de juros utilizada pela loja é 7% a.m., qual o é o valor dasprestações?R: R = 7.787,35

10) Ao dar entrada de $ 60.000,00 em uma Hilux, Lucas se responsabilizou em pagarmensalmente parcelas de $ 1.380,00 por 60 meses, com a primeira parcela vencendo aofinal de 2 meses após a compra. Qual o valor à vista da Hilux considerando,considerando que a operação foi efetuada à taxa de 2% a.m.?R: P = $ 107.029,43

11) Simpson efetuou um empréstimo em uma instituição financeira para pagar em 10prestações de $ 1.700,00, com uma carência de 5 meses para pagamento da primeiraparcela, Sendo a taxa utilizada de 5% a.m., qual o valor do empréstimo?R: P = $ 10.800,00

12) Eduardo comprou uma motocicleta que custa $ 10.000,00. A aquisição foi efetuada em18 pagamentos mensais e iguais, com uma carência de 4 meses para começar a pagar.O valor da taxa acertada foi de 2,8% a.m. Calcule o valor das mensalidades?R: R = $ 776,59

13) Rivaldo adquiriu um aparelho eletrônico para pagar da seguinte forma: 6 pagamentosiguais de $ 75,00, sendo os 3 primeiros pagamentos para o 3º, 4º e 5º mês e as outras 3para o 8º, 9º e 10º mês, a partir de hoje. A taxa de juro utilizada foi de 2,5% a.m. Qualera o valor à vista do aparelho?R: P = $ 384,08

14) Danilo foi a um feirão de carros usados e se interessou por um que custava $ 9.500,00 àvista. Sem possui o dinheiro para adquiri-lo nesta forma de pagamento e após longaconversa com o vendedor, fica acordado o seguinte: daqui a 2 meses ele pagaria$ 3.000,00 e, 3 meses após esse pagamento, ele pagaria mais 5 pagamentos iguais esubseqüentes. Sabendo que foi adotada uma taxa de 2% a.m., qual será o valor das

parcelas?R: R = $ 1.519,46





15) Igor decidiu comprar um carro 0 km que custa $ 24,990,00 à vista. Ele possui$ 12.000,00 para dar de entrada e se compromete a pagar 24 parcelas iguais e mensaiscom uma carência de 6 meses. Sabendo que a taxa de juros ajustada foi de 2% a.m.,qual será o valor das parcelas?R: R = $ 758,28

16) Maria adquiriu um aparelho eletrônico para pagar em oito prestações, sendo que as trêsprimeiras seriam no valor de $ 120,00, as três seguintes no valor de $ 100,00 e asrestantes no valor de $ 80,00. Considerando uma taxa de 1,5% a.m., calcule o valor àvista desse aparelho.R: P = $ 771,06

17) Se uma TV esta sendo vendida em 12 prestações mensais, sendo as seis primeiras novalor de $ 150,00 e as restantes no valor de $ 200,00. Considerando uma taxa de 1,0%a.m., calcule o valor à vista dessa TV.

R: P = $ 1.961,2418) Se eu fizer um depósito hoje de $ 1.000,00 em uma instituição financeira e a partir do 6º

após o primeiro depósito efetuar 12 depósitos mensais de $ 250,00, qual o valor que euterei ao por ocasião do último depósito, sabendo que a taxa de juro adotada pelainstituição financeira é de 1% a.m.?R: S = $ 4.354,93

19) Em uma renegociação de dívidas, ficou acertado que seria pago 10 prestações mensaise iguais de $ 300,00, com uma carência de 6 meses para o pagamento da primeiraparcela. Qual o valor atual dessa dívida, considerando que a operação foi efetuada a

uma taxa de juros de 2,5% a.m.?R: P = $ 2.320,66

20) O preço à vista de um computador é $ 2.500,00. A vendedora exige uma entrada de$ 200,00 e financia o saldo em 12 prestações pensais e iguais, a juros de 2,5% a.m.,com 2 meses de carência para o pagamento da primeira parcela. Qual o valor dessasprestações?R: R = $ 229,83





6 – Uso de Tabela Financeira

As Tabelas Financeiras possibilitam uma forma alternativa de se obter os resultadossolicitados pela Matemática Financeira. Alguns podem considerar mais fácil o cálculo por

meio da Tabela Financeiro e outros não, mas o que importa é que pelo método convencional(fórmulas normais) ou pelo uso de Tabela Financeiras, o resultado é o mesmo, apenas ocanal é diferente.

Observação: as siglas a serem utilizadas nas operações com Tabelas Financeiras possuemas seguintes definições:

FPS fator de P para S, ou seja, cálculo de S (montante) a partir de P (valor atual). FSP fator de S para P (cálculo de P partindo de S). FRP fator de R para P (cálculo de P partindo de R). FPR fator de P para R (cálculo de R, partindo de P). FRS fator de R para S (cálculo de S, partindo de R). FSR fator de S para R (cálculo de R, partindo de S).

Na Tabela, as colunas representam os fatores e as linhas o número de períodos (n). Porexemplo, para um FSP (5%,8), identifica-se a Tabela relativa à taxa de juros de 5%; nessaTabela, localiza-se a coluna FSP e, por último, a linha 8, onde acha-se o fator desejado.

Formulas Convencionais Formulas Tabeladas

1) ni1PS S = P.FPS (i, n)

2) ni1SP P = S.FSP (i, n)

3)

i.i1

1i1.RP

n

n

P = R.FRP (i, n)

4)

1i1

i.i1.PR

n

n

R = P.FPR (i, n)

5)

i

1i1.RS

n

S = R.FRS (i, n)

6)

1i1

i.SR

n R = S.FSR (i, n)

As fórmulas 1 e2 são utilizadasnas operaçõesde Capitalizaçãocomposta eDesconto Racio-nal composto.





Exemplo:

P = 5.000,00i = 3% a.m.

n = 9R =?

R = 5.000,00.FRP(3%,9)R = 5.000,00 . 0,12843R = 642,15


(1) calcule o valor atual (P) dos valores abaixo, com i = 5%.

P 500 500 500 500 1000 1000 1000 1000 1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P = 500,00 . FRP(5%, 4) + 1.000,00 . FRP(5%, 5) . FSP(5%,4)

P = 500,00 . 3,545950504 + 1.000,00 . 4,329476671 . 0,822702475

P = 1.772,98 + 3.561,87

P = 334,85

5.000 300 300 300 400 400 400 400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P = 5.000,00 + 300,00 . FRP(5%, 3) + 400,00 . FRP(5%, 4) . FSP(5%,5)

P = 5.000,00 + 300,00 . 2,723248029 + 400,00 . 3,545950504 . 0,783526166

P = 5.000,00 + 816,97 + 1.111,34

P = 6.928,31

(2) calcule as prestações (R) das rendas abaixo, com i = 3%

(P)15.000 R R R R R R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





R = 1.500,00 . FPS(3%, 3) . FPR(3%,6)

R = 1.500,00 . 1,092727000 . 0,184597500

R = 1.500,00 . 302,57

R = 302,57

(S)R R R R R R R 10.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

R = 10.000,00 . FSP(3%, 3) . FSR(3%, 7)

R = 10.000,00 . 0,915141659 . 0,130506354

R = 1.194,32

6.1 – Exercícios com a utilização de Tabelas Financeiras

1) Qual é o montante de uma aplicação de $ 2.550,00, a uma taxa de 1,5% a.m. durantecinco meses?R: S = 2.747,07

2) Uma pessoa receberá 10 prestações iguais e mensais de $ 1.000,00, mas decide optarpor receber apenas uma prestação ao final do período. Qual será esse valor,considerando uma taxa de juros compostos de 3% a.m.?R: S = $ 11.463,87

3) Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 à vista e que seráparcelado em 12 vezes iguais e mensais, cuja taxa de juros é de 1,5% a.m.? (juros

compostos)R: R = $ 2.291,99

4) Qual o valor do desconto racional composto de um título de $ 12.000,00 que foidescontado 7 meses antes do vencimento, cuja taxa era de 2% a.m.?R: Drc = $ 1.553,28.

5) Quanto se deve depositar mensalmente para que ao final de 3 anos possua $ 50.000,00,considerando que a instituição financeira pague 0,5% a.m?R: R = $ 1.271,09

6) Lílian comprou um carro em 60 prestações de $ 550,00, com taxa de 1,0% a.m, qual ovalor à vista do carro?R: P = $ 24.725,27





7) Um bem custa $ 15.000,00 à vista. Caso tal bem fosse adquirido parcelado em 6prestações mensais e iguais e considerada uma taxa de 1,5% a.m, qual seria o valor dasparcelas?R: R = $ 2.632,87

8) Qual será o valor atual de um título de $ 150.000,00 se esse for resgatado 90 dias antesdo prazo previsto, a uma taxa composta de 4% a.m.?R: $ 133.349,46

9) Uma dívida com valor nominal de $ 1.000.000,00 e vencimento daqui a 3 anos deve serliquidada hoje. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, qual é ovalor atual dessa dívida?R: Vrc = $ 751.314,80

10) Ao final de 2 anos, qual o valor a ser retirado, se for apliquei $ 20.000,00 a uma taxa de3,5% a. m.?

R: S = 45.666,5711) Se efetuo um empréstimo de $ 3.500,00 a uma taxa de juros de 2% e desejo pagá-lo em

8 pagamentos mensais e iguais, qual será o valor das prestações?R: R = $ 477,80

12) Preciso dispor de $ 10.000,00 daqui a 12 meses para viajar com a família. Quanto devoaplicar mensalmente, a partir deste mês, em uma instituição financeira que pague jurosde 1,5% a.m. para que eu tenha essa importância por ocasião do último depósito (12ºdepósito)?R: R = $ 766,80

13) Um carro é vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que éutilizada uma taxa de 1,5% a.m., qual seria o valor do carro à vista?R: P = $ 16.568,75

14) Fernando pretende depositar mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um bancoque paga juros de 3% a.m. Qual o montante que Fernando disporá por ocasião do últimodepósito?R: S = $ 2.910,78

15) Quanto terei que depositar mensalmente, em uma instituição que paga juros de 2,5%

a.m., para que, ao final de 8 depósito, possua $ 10.000,00?R: R = $ 1.144,67

16) João depositou $ 5.000,00 em um banco que rende juros de 2% a.m. Após 6 meses, eledecide retirar seu dinheiro em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo aprimeira 30 dias após. Considerando a mesma taxa de juros para todo o período, qualo valor das parcelas que serão sacadas?R: R = $ 532,48

17) Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 para ser financiada em 36 prestações mensais eiguais. Qual será o valor de cada prestação, sabendo que será cobrada uma taxa de

juros de 1,5% a.m.?R: R = $ 2.892,19





18) Comprei um carro financiado em 24 prestações mensais de $ 800,00. Qual o seu valor àvista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m.?R: P = $ 15.131,14

19) Marta, necessitando de dinheiro, desconta um titulo de $ 25.000,00 3 meses dovencimento, a uma taxa e 2% a.m. Qual o valor do desconto racional composto dessaoperação?R: Drc = $ 1.441,94

6.2 – Interpolação

A interpolação é um método utilizado para se calcular um Fator que não consta na TabelaFinanceira. Consiste em usar dois Fatores existentes para se chegar ao Fator desejado.

P = 3.000,00i = 2,7% a.an = 6S = ?

Como na Tabela Financeira em uso não consta a taxa 2,7%, encontra-se o Fatorcorrespondente a essa taxa por meio da interpolação, adotando-se os seguintesprocedimentos:

1) Buscam-se na Tabela os Fatores correspondestes às taxas mais próximas da taxa emquestão. No caso, os Fatores de P para S das taxas 2,5% e 3%;

2) Em seguida, ordena-se as taxas em ordem crescente ou decrescente, apondo ao ladode cada taxa o correspondente Fator. No caso da taxa que não consta na Tabela, oFator referente à mesma será a incógnita da questão; e

3) Procede-se à interpolação, conforme demonstrado abaixo>

2,5 ---- 1,159693418

2,7 ---- X3,0 ---- 1,194052297

17343697,1034358879,0

159693418,1

5,0

2,0

194052297,1159693418,1

159693418,1

35,2

7,25,2

X X X

S = P.FPS(2,7%, 6) S = 3.000,00 x 1,17343697 S = 3.520,31





7 – Inflação

Inflação é a aumento generalizado dos preços. A inflação desvaloriza o dinheiro no tempo, jáque diminui o seu poder de compra, por isso, torna-se necessário fazer uma correção

monetária, a fim de recuperar o poder de compra de um determinado valor.

Taxa de mercado i

Taxa de juros Taxa de juro real r

Taxa de inflação j

7.1 – Fórmulas

1 j1r 1i

j1r 1i1 1 j1

i1r

1r 1

i1 j

Exemplo:

Caso você efetue um empréstimo de $ 10.000,00, à taxa de 3% ao mês e, por ocasião depagamento, constate que a inflação de período (um ano) foi de 34%, qual terá sido a taxa de juros real dessa operação?P = $ 10.000,00i = 3% a.m.n = 12

100,000.10

61,257.14161,257.1403,100,000.10

12 i P

S iS n i = 0,42571

i = 42,5761% j = 34%a.ar = ? 34,01

425761,01

r r = 6,4% a.a


(1) Por um empréstimo de $ 15.000,00, deve-se pagar $ 19.000,00 em 1 ano. Se ainflação ao final do período for 37%, qual será a taxa de juro real dessa operação?

P = 15.000,00 S = 19.000,00n = 1 ano j = 37% a.a.

r = ?





Obs.: para se calcular a taxa real (r), há necessidade de primeiramente se

calcular a taxa de juros (i).

1 n

P

S

i como n = 1, o radical desaparece

1 P

S i

100,000.15

00,000.19i

i = 0,2666666667 a.a.

1 j1

i1r

137,01

2666666667,01

r r = – 0,075425791 a.a.

r = – 7,54% a.a.

(2) Se eu aplicar $ 3.000,00 e resgatar $ 3.700,00 ao final de 1 ano, qual terá sido a taxareal de juros, se nesse período for constatado as seguintes taxas de inflação: 1ºtrimestre 3,4%; 2º trimestre 3,11%; 3º trimestre 2,75%; 4º trimestre 3,37%?

P = 3.000,00 S = 3.700,00

n = 1 ano j1ºtrim = 3,4% j2ºtrim = 3,11% j3ºtrim = 2,75%

j4ºtrim = 3,37% r = ?

100,000.3

00,700.3i

i = 0,233333333 a.a.

j = (1,034).(1,0311).(1,0275).(0,0337) – 1 j = 0,132394295 a.a.

11

1

j

i

r 1132394295,01

233333333,01

r r = 0,089137713 a.a.

r = 8,91% a.a.





7.2 – Exercícios sobre Inflação

1) Uma aplicação de $ 5.000,00 rendeu juros de $ 1.500,00 no prazo de um ano. Sabendo-se que neste período a taxa de inflação foi de 25%, pergunta-se: qual foi a taxa de juroreal obtida pelo aplicador?R: r = 4% a.a.

2) Um indivíduo aplicou $ 540.000,00 por três meses. No mesmo período, a inflação foi de20%. Qual valor do resgate para que a taxa real seja nula?R: S = $ 648.000,00

3) Marta aplicou $ 10.000,00 e após 2 anos recebeu $ 3.600,00 de juros. Considerandoque a inflação média durante o período de aplicação foi de 20% a.a., qual foi a taxa de juros real anual obtida pelo aplicador?R: r = – 2,82% a.a.

4) Uma aplicação de $ 10.000,00 rendeu $ 2.000,00 em juros, durante 1 ano. Calcule ataxa de juros real da aplicação sabendo que a inflação do período foi 15%.R: r = 4,3% a.a.

5) Pedro aplicou $ 1.000,00 em CDB pelo período de 2 anos e, ao final do período, obteveo montante de $ 1.322,5. Qual a taxa de correção monetária anual sabendo que o CDBrende juros reais de 10% a.a.R: j = 4,5% a.a.

6) Se a taxa de mercado for 25% a.a., qual será a taxa de juros real se a taxa de inflaçãofor de 19% a.a.?R: r = 5,04% a.a.

7) Marcos aplicou $ 30.000,00 em um fundo de investimentos e, após 2 anos, resgatou omontante de $ 38.500,00. Considerando que a inflação do período foi de 11% a.a., qualfoi a taxa de juro real anual da aplicação?R: r = 2,05% a.a.

8) Um grupo de investidores aplicou, por um período de 24 meses, um capital de$ 10.000,00, tendo resgatado o montante de $ 16.500,00. A inflação do período foiestimada em 3,6% a.m. Qual a taxa real de juros mensal dessa operação?

R: r = –

1,44% a.m.9) Uma aplicação de $ 3.200,00 proporcionou o resgate do montante de $ 5.100,00 num

período de 8 meses, a uma taxa de juros real de 2% a.m. Pergunta-se: qual foi a taxa deinflação mensal desse período?R: j = 3,92% a.m.

10) Um investimento de $ 15.000,00 rendeu um juro no valor de $ 3.600,00, após 3 anos.Qual a taxa de inflação anual do período, se a taxa real de juros foi de 15% a.a.?R: j = – 6,58% a.a.

11) Se a taxa de juro real operada por uma determinada financeira é de 2% a.m., Qualdeverá ser a taxa de juro cobrada pela mesma se a inflação estimada para os próximosmeses for de 1% a.m.?R: i = 3,02% a.m.





12) Carlos viajou para a Europa para fazer seu Curso de Mestrado. Entretanto, antes deviajar fez uma aplicação de $ 4.500,00 e obteve juros de $ 6.300,00 num prazo de 2anos. Carlos ficou curioso para saber qual o rendimento real anual dessa aplicaçãodepois que soube que a taxa de inflação dos 2 anos foi 17%. Calcule a taxa de juro realanual dessa operação.R: r = 43,22% a.a.

13) Thiago aplicou $ 2.300,00 numa caderneta de poupança e após 6 meses percebe jurosno valor de $ 700,00. Considerando que a taxa de juro real foi de 1,75% a.m., qual ataxa de inflação mensal desse período?R: j = 2,73% a.m.

14) Uma casa esta sendo vendida por $ 73.000,00 à vista ou parcelada em 60 pagamentosmensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento 1 mês após a compra. Considerandoque o proprietário deseja juros reais de 8,5% a.a. e que a taxa de inflação anual

prevista para os próximos anos seja de 15% a.a., calcule o valor das prestações.R: R = 2.030,30

15) A taxa de juros para aplicação de curto e médio prazos em um banco é de 40% a.a. Queremuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 30% a.a?R: r = 7,69% a.a.

16) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% a.a. de jurosreais, caso a taxa nominal seja de 25% a.a.?R: I = 11,61%a.a.

17) Por um capital de $ 6.000,00 aplicado por 2 anos, o investidor recebeu $ 5.179,35 de juros. Qual é a taxa de juros real ganha, se a inflação for de 30% a.a.?R: r = 5% a.a.

18) Carla recebeu seu FGTS e emprestou o valor recebido a uma taxa de 10% a.a. Qualdeverá ser a taxa de inflação para que ela obtenha uma taxa real de juro de 4% a.a.?R: j = 5,77% a.a.

19) Uma aplicação de $ 4.000,00 rendeu juros de $ 500,00 em 1 ano. Sabendo-se quenesse período a taxa de inflação foi de 10%, qual foi a taxa de juros real obtida peloaplicador?

R: r = 2,27% a.a.

20) O capital de $ 850,00 esteve depositado durante 6 meses em uma instituição financeiraque opera a uma taxa de juros reais de 2,5% ao semestre. Sabendo que a correçãomonetária semestral foi de 3,4% qual foi o montante auferido no final do período?R: S = $ 900,87





8 – Sistemas de Amortização de Divida

São utilizados para financiamento de longo prazo. Normalmente com taxa de juros reais,sendo os pagamentos corrigidos monetariamente nas datas dos vencimentos, pela inflação

acumulada do período (taxa pós-fixada). Os juros são calculados sobre o saldo devedor, oque caracteriza a operação como juros compostos.

Principais Sistemas de Amortização:

Sistema Hamburguês (Sistema de Amortização Constante – SAC) Sistema Francês Tabela Price

8.1 – Sistema de Amortização Constante – SAC

jaRk

Fórmulas:

1)n

PaK

2) KK jaR

3) aSDSD KK 1

4) 1 kK SD.r j

Exemplo:P = $ 20.000,00;

n = 5 pagamentos anuais;r = 10% ao ano

00,000.4

5

00,000.20aK

PLANILHA

kK

SD K

a K

J K

R

0 20.000,00 ---- ---- ----1 16.000,00 4.000,00 2.000,00 6.000,002 12.000,00 4.000,00 1.600,00 5.600,003 8.000,00 4.000,00 1.200,00 5.200,00

4 4.000,00 4.000,00 800,00 4.800,005 ----- 4.000,00 400,00 4.400,00

Onde:k = período

a = amortizaçãoJ = JurosR = PrestaçãoSD = Saldo Devedor





8.2 – Sistema Francês

C jaR

Fórmulas:

1)

1r 1

r .r 1.PR

n

n

2) kkk jRa

3) aSDSD 1KK

4) 1KK r.SD j

Exemplo:P = $ 20.000,00;n = 5 pagamentos anuais;r = 10% ao ano

95,275.511,01

i.1,01.000.20R

5

5

PLANILHA

8.3 – Tabela Price Corresponde ao Sistema Francês, todavia com as seguintes alterações:

1) A taxa de juro é dada em ano, porém com capitalização mensal.2) As amortizações são mensais.

kK

SD K

a K

J K

R

0 20.000,00 ----- ----- -----1 16.724,05 3.275,95 2.000,00 5.275,95

2 13.120,51 3.603,54 1.672,41 5.275,953 9.156,1 3.963,90 1.312,06 5.275,95

4 4.796,32 4.360,26 915,66 5.275,955 ----- 4.796,32 479,63 5.275,95





8.4 – Exercícios sobre Sistemas Amortização de Dívidas

1) O preço à vista de uma casa é $ 100.000,00. Se essa casa for adquirida para serliquidada pelo SAC, em 5 prestações anuais, a juros reais de 10% a.a., qual será o valorda terceira prestação?R: R = $ 26.000,00

2) Qual é o valor das prestações, no sistema Francês, de um empréstimo de $ 18.000,00,sendo amortizado em 5 prestações anuais, com taxa real de 9% a.a.R: R = $ 4.627,66

3) Um empréstimo no valor de $ 2.000.000,00 é concedido à taxa de juros reais de 10%a.a., para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a primeiravencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. Qual o valor da última prestação?R: R = $ 440.000,00

4) Montar uma planilha de um financiamento efetuado pelo SAC relativo aos dadosindicados a seguir: P = $ 64.000,00; n = 8 pagamentos anuais; e r = 12% a.a.R: Última prestação: $ 8.960,00

5) Um empréstimo de $ 30.000,00 será amortizado pelo Sistema Francês em 8 parcelasanuais, a uma taxa real de juro de 5% a.a. Qual o valor do saldo ao final do 3° ano?R: SD = $ 20.095,95

6) Qual será o valor da 4ª prestação de um financiamento de $ 20.000,00, com juros reais de10% a.a., em 4 prestações anuais, segundo o sistema SAC?

R: R = $ 5.500,00

7) Montar as planilhas do Sistema Francês do financiamento abaixo:P = $ 70.000,00n = 7 pagamentos anuaisr = 7% ao ano.R: a7 = 12.138,99

8) Um empréstimo no valor de $ 10.000,00 será amortizado pela Tabela Price, em de 12prestações mensais, a uma taxa de juro real de 15% a.a. Indique o valor da 4ªamortização.

R: a4 = $ 807,11

9) Monte a planilha de um financiamento de $ 30.000,00, efetuado pelo SAC, a seramortizados em 4 parcelas anuais, a juros reais de 12% a.a.R: R4 = 8.400,00

10) Construa a planilha do financiamento efetuado pelo Sistema Francês, de acordo com osdados apresentados a seguir:P = $ 40.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 15% a.a.R: a5 = 10.376,00





9 – Empréstimos com Correção Monetária

Correção Monetária corresponde à recuperação do poder de compra da moeda em funçãoda desvalorização provocada pela inflação, por essa razão, a Correção Monetária equivale

justamente à taxa de inflação:CM = j.P

Atualização Monetária corresponde ao capital inicial, adicionada à Correção Monetária, e écalculada pela seguinte fórmula:

AM = (1 + j).P

Exemplo 1:

P= $ 1.000,00 n = 1 ano j = 7% ao ano

Correção Monetária = 0,07 . 1.000,00 = $ 70,00 Atualização Monetária = (1 + 0,07) . 1.000,00 = $ 1.070,00

Exemplo 2:

P = $ 1.000,00 n = 3 anosTaxas anuais de inflação: ano 1 = 8,5%; ano 2 = 9,3%; ano 3 = 7,5%. AM = (1,085)(1,093)(1,075) .1.000,00 = $ 1.274,85.

9.1 – Planilha de Atualização Monetária

Exemplo:P = $ 20.000,00r = 10% ao anon = 5 prestações anuais As prestações desse empréstimo são:

R-1 = $ 6.000,00R-2 = $ 5.600,00R-3 = $ 5.200,00R-4 = $ 4.800,00R-5 = $ 4.400,00

Atualizar monetariamente as prestações desse empréstimo, considerando as taxas anuaisde inflação: ano 1: 8,37%; ano 2: 7,82%; ano 3: 9,43%; ano 4: 10,25%; ano 5: 11,36%

Planilha de Atualização

ANO INFLAÇÃOFATOR DE

ATUALIZAÇÃOFATOR DE ATUALIZAÇÃO

ACUMULADOPRESTAÇÃO

NOMINALPRESTAÇÃOATUALIZADA

1 8,37% 1,0837 1,083700000 6.000,00 6.502,202 7,82% 1,0782 1,168445340 5.600,00 6.543,293 9,43% 1,0943 1,278629736 5.200,00 6.648,874 10,25% 1,1025 1,409689289 4.800,00 6.766,515 11,36% 1,1136 1,569829986 4.400,00 6.907,25

Obs.: o fator de atualização acumulado corresponde ao fator do período anteriormultiplicado pelo fator do período atual.





9.2 – Exercícios sobre Empréstimo com Correção Monetária

1) João, querendo comprar um carro, pegou um empréstimo de $ 18.000,00, por um ano. Ataxa de real contratada foi de 12% ao ano. Qual seria o valor do pagamento final desseempréstimo se a inflação do período for de 7,5%?R: S atualizado = $ 21.672,00

2) Qual é a atualização monetária de um capital de $ 2.136,00, ao final de 4 anos,considerando uma taxa média de inflação de 7,5% a.a?R: AM = $ 2.852,57

3) Qual será a correção monetária de um capital de $ 11.500,00, ao final de um ano, se ainflação desse período for 7,1%?R: CM = $ 816,50

4) Pedro resolveu comprar um carro no valor de $ 40.000,00 para pagamento em 8prestações anuais, a uma taxa real de 16% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC,sendo as prestações atualizadas monetariamente pela inflação do período. Calcule ovalor atualizado da 8ª prestação, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1=2%, j2 = 2,5%, j3= 3,0%, j4 = 3,5%%, j5 = 4%%, j6 = 4,2%, j7 = 4,8%, j8 = 5%?R: R 8 atualizado = $ 7.708,70

5) Uma pessoa faz uma compra no valor de R$ 1.500,00, à taxa de juro real de 14,4% a.a.,com correção monetária, para ser pago daqui a 2 anos. Determine o valor a ser pagopara saldar a dívida, se as taxas anuais de inflação for: j1 = 4,2%; j2 =3.75%.R: S atualizado = $ 2.122,26

6) Calcule a correção monetária e a atualização monetária de $ 5000,00, após 1 ano, cujainflação do período foi 12%.R: CM = $ 600,00; AM = $ 5.600,00

7) Após construir a planilha de financiamento pelo SAC relativa ao financiamento indicadoabaixo, atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas deinflação: j1 = 7%, j2 = 9% j3 = 11% j4 = 12% j5 = 15%.P = $ 20.000,00r = 10% a.a.n = 5 pagamentos anuais

R: Valor da última prestação $ 7.336,72

8) Construa a planilha de amortização pelo Sistema Francês e a Planilha de AtualizaçãoMonetária do financiamento indicado abaixo, considerando as seguintes taxas anuaisde inflação: j1 = 13,2%; j2 = 5,67%; j3 = 8,12%; j4 = 11,5% e j5 = 4,5%.P = $ 20.000,00n = 5 pagamentos anuaisr = 10 % a.a.R: R5 = $ 7.950,53

9) Elaborar a Planilha de amortização do seguinte financiamento e atualizarmonetariamente as prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadasP = $ 40.000,00n = 4 prestações anuais pelo SAC





r = 10% a.a. j1: 10%; j2: 10,25%; j3: 10,59%; e j4: 11,47%.R: Prestação no ano 4 = $ 16.445,15

10) Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de amortização pelo SAC.Posteriormente, atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintestaxas anuais de inflação indicadas a seguir:P= 36.000,00r = 10% a.a.n = 6 parcelas anuais j1 = 5%, j2 = 6,75%, j3 = 8,5%, j4 = 10,25%, j5 = 11,15% e j6 = 12,5%.R: Última prestação = $ 11.065,51

11) Construa a Planilha de financiamento do empréstimo indicado abaixo, pelo SAC, eatualize monetariamente as prestações pelas taxas de inflação indicadas:

P = 87.500,00r = 7,5%n = 5 j1 = 1%, j2 = 2%, j3 = 3%, j4 = 4% e j5=5%R: R5 $ 21.798,57

12) Atualize monetariamente as prestações relacionadas abaixo, considerando as taxasanuais de inflação indicadas logo a seguir: Ano 1: R = $ 22.500,00 Ano 2: R = $ 20.000,00 Ano 3: R = $ 17.500,00

Ano 4: R = $ 15.000,00 Ano 5: R = $ 12.500,00 j1 = 11,50%; j2 = 10,95%; j3 = 10,23%; j4 = 9,89%; j5 = 8,75%.R: R5 = $ 20.370,40

13) Atualize monetariamente as seguintes prestações:R1 = $ 7.000,00R2 = $ 5.500,00R3 = $ 2.300,00Inflações anuais: j1 = 7,0%, j2 = 5,5% e j3 = 5,0%.R: R3 = $ 2.726,17

14) Um carro de $ 20.000,00 foi comprado para pagamento em cinco prestações, a umataxa real de 8% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC, sendo as prestaçõesatualizadas monetariamente pela inflação. Calcule o valor atualizado da 5ª prestação,considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 1%, j2 = 1,5%, j3 = 3,7%, j4 =4,8% e j5 = 6,4%R: 5ª prestação = $ 5.120,98.

15) Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais deinflação indicadas a seguir: R1 = 16.000,00 R2 = 20.000,00

R3 = 30.000,00 R4 = 12.000,00J1 = 15%; j2 = 12%; j3 = 13%; e j4 = 18%R: Prestação do ano 4 = $ 20.609,03





16) Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de financiamento pelo SAC eatualize monetariamente as prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação: j1 =7%, j2 = 8%, j3 = 9%, j4= 10%.P = 20.000,00r = 7% a.a.n = 4 parcelasR: Última prestação $ 7.412,77

17) Considerando os dados abaixo construa a Planilha de financiamento pelo SistemaFrancês e atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxasanuais de inflação: j1=1,53% ; j2= 1,43% ; j3=1,17% ; j4= 1,52%P= $ 31.547,08n = 4 prestações anuaisr = 10% a.a.R: Última prestação $ 10.526,46

18) Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais deinflação indicadas:R1 = $ 4.000,00R2 = $ 5.500,00R3 = $ 2.300,00 j1 = 5%; j2 = 8%; e 3j = 6,5%.R) R3 atualizado = $ 2.777,73

19) Qual o valor da correção monetária do capital de $ 45.000,00, após 1 ano,considerando uma inflação anual de 5%?

R: CM = $ 2.250,00

20) Montar a Planilha do financiamento indicado abaixo pelo Sistema Francês e atualizarmonetariamente as prestações pelas taxas anuais de inflação indicadas:P = $ 15.000,00n = 6 pagamentos anuaisr = 8,5% a.a. j1 = 6,5%, j2 = 5,34%, j3 = 7,32%, j4 = 4,98%, j5 = 5,67% e j6 = 3,45%.R: Última prestação = $ 4.551,46





10 – Engenharia Econômica

Corresponde a um conjunto de técnicas utilizadas na analise econômico-financeira de

alternativas de investimentos.O Presente curso se aterá apenas à análise da parte financeira das alternativas deinvestimentos.

Tipos de Alternativas de Investimentos

Alternativas Mutuamente Exclusivas: possuem o mesmo objetivo – a escolha de umaimplica necessariamente na rejeição das demais.

Alternativas Independentes: possuem objetivos diferentes – a escolha de uma nãoimplica na rejeição das demais.

No presente curso, estudar-se-á apenas as alternativas Mutuamente Exclusivas.

Quesitos a serem observados no processo de análise

Alternativa Comparativa (I0) – alternativa de investimento que o Investidor dispõe eque servirá de parâmetro para a análise das demais.

Custo de oportunidade –

o que o investidor deixa de ganhar por optar por outraalternativa de investimento.

Vida útil do investimento – tempo de maturação do investimento.

Critérios de análise

Aceitação: deve-se, em princípio, aceitar todas as alternativas que sejam maisatrativas que o I0.

Seleção: dentre as alternativas aceitas, selecionar a melhor.

Principais Métodos de Análise

a) Métodos Simplificados

Método da Taxa Média de Retorno (Método Contábil). Método dos Períodos de Pay Back .

b) Método Baseados no Desconto de Fluxo de Caixa

Método do Valor Atual. (Valor Presente Líquido) Método da Taxa Interna de Retorno - TIR





Análise de Alternativas de Investimento:

Apresenta-se, a seguir, um exemplo de duas alternativas de investimentos, ondeconstam os desembolsos iniciais e as entradas líquidas de caixa de cada uma das

alternativas, a partir das quais serão efetuadas as análises financeiras pelos métodossupracitados:

Ano Alternativa A Alternativa B

0 -120.000,00 -145.000,001 40.000,00 90.000,002 40.000,00 45.000,003 40.000,00 40.000,004 40.000,00 25.000,005 40.000,00 25.000,006 40.000,00 25.000,00

10.1 – Análise pelo Método da Taxa Média de Retorno

Consiste em calcular a media anual das entradas liquidas de caixa, dividir pelo investimentoinicial e multiplicar por 100, obtendo-se, assim, a Taxa Média percentual de Retorno de cadauma das alternativas em análise. Em seguida, compara-se o resultado encontrado com o I0

(investimento inicial) e aplica-se os critérios de aceitação e seleção.

TMRA = (40.000,00 / 120.000,00) x 100 = 33,33% a.a.

TMRB = 90.000,00 + 45.000,00 + 40.000,00 + 25.000,00 + 25.000,00 + 25.000,00 / 6) /145.000,00 x 100 = 28,74% a.a.

Considerando um I0 = 20% ao ano, tem-se:

Critério de Aceitação: aceitam-se ambas, já que TMR A/B > 20% a.a.Critério de Seleção: seleciona-se a de maior TMR, no caso em analise, a Alternativa A.

10.2 – Análise pelo Método dos Períodos de Pay Back

Consiste em calcular os períodos de retornos das alternativas em analise, comparar com I0 e aplicar os critérios de aceitação e seleção.

Pay -A = 3 anosPay -B = 2 anos e 3 meses.I0 = 4 anos:

Critérios de Aceitação: aceitar ambas, pois possuem pay pack < 4 anos

Critérios de Seleção: selecionar a de menor pay back , no caso, a Alternativa B





10.3 – Análise pelo Método do Valor Atual

Consiste em calcular o Valor Atual de todas as alternativas em analise, utilizando para taluma taxa de juros que o investidor tenha garantido (I0), e aplicar os critérios de aceitação eseleção.

I0 = 20%VAA (20%) = - 120.000,00 + 40.000,00 FRP(20%,6) = 13.020,40 VAB (20%) = - 145.000,00 + 90.000,00 FSP(20%,1) + 45.000,00 FSP(20%,2) + 40.000,00

FSP(20%,3) + 25.000,00 FRP(20%,3).FSP(20%, 3) =-145.000,00 +7 5.000,00 + 31.249,98+23.148,00 + 30.475,50 == 14.873,48

Critérios de Aceitação: aceitar ambas, pois as duas possuem VA > 0Critérios de Seleção: selecionar a Alternativa B, pois esta Alternativa apresenta o maior

valor atual (ou maior Valor Presente Líquido).

10.4 – Análise pelo Método da Taxa interna de Retorno

Consiste em calcular a TIR de cada uma das alternativas em análise, comparar com I0 eaplicar os critérios de aceitação e seleção.

A TIR de uma alternativa de investimento é a taxa que iguala as entradas líquidas de caixaao investimento inicial na data zero, conforme demonstrado a baixo:

TIRA - 120.000,00 + 40.000,00 FRP( i,6) = 0 120.000,00 = 40.000,00 FRP(i,6)

TIRB -145.000,00 + 90.000,00 FSP(i,1) + 45.000,00 FSP(i,2) + 40.000,00 FSP(i,3) +25.000,00 FRP(i,3).FSP(i,3) = 0 145.000,00 = 90.000,00 FSP(i,1) + 45.000,00FSP(i,2) + 40.000,00 FSP(i,3) + 25.000,00 FRP(i,3).FSP(i,3)

Para se calcular a TIR de uma alternativa de investimento, existem três formas distintas:

Por meio de uma calculadora financeira, que dá esse resultado imediatamente; ou Por meio de tentativa e erro, que consiste em um método bastante trabalhoso; ou

Por meio da interpolação, que será demonstrado a seguir:

Para se conseguir a TIR por meio da interpolação, primeiro deve-se estimar duas taxasaleatoriamente. Em seguida, calcula-se o valor atual de cada uma das alternativas emanálise com as taxas estimadas e interpola-se os resultados, com o intuito de se obter oValor Presente Líquido = ZERO. Vide demonstração abaixo:

Taxas estimadas: 20% e 25% ao ano.

Cálculo da TIR da Alternativa “A”

VAA (20%) – 120.000,00 + 40.000,00 FRP( 20%,,6) = VPL 120.000,00 + 40.000,00 . 3,32551 = 13.020,40





VAA (25%) – 120.000,00 + 40.000,00 FRP( 25%,,6) = VPL 120.000,00 + 40.000,00 . 2,95142 = – 1.943,20

20% 13.020,40TIR 025% – 1.943,20

Resolvendo, temos:(20 - TIR / 20 – 25) = 13.020,40 – 0 / 13.020,40 – ( – 1.943,20)TIR = 24,29%

TIRA = 24,29% ao ano

Cálculo da TIR da Alternativa “B”

VAB (20%) – 145.000,00 + 90.000,00 FSP(20%, 1) + 45.000,00 FSP(20%, 2) + 40.000,00FSP(20%, 3) + 25.000,00 FRP(20%, 3).FSP(20%, 3) = 14.873,86

VAB (25%) – 145.000,00 + 90.000,00 FSP(25%, 1) + 45.000,00 FSP(25%, 2) + 40.000,00

FSP(25%, 3) + 25.000,00 FRP(25%, 3).FSP(25%, 3) = 1.265,60Interpolando os valores encontrados, temos:20% 14.873,8625% 1.265,60TIR 0

(20 - 25 / 20 – TIR) = 14.873,86 – 1.265,60 / 14.873,86 – 0TIR = 25,51%

TIRB = 25,51% ao ano

Aplicando os critérios de Aceitação e Seleção:I0 = 20% ao ano.

Critério de Aceitação: aceitar ambas, pois apresentam TIR > 20% ao anoCritério de Seleção: selecionar a Alternativa B (possui a maior TIR).

10.5 – Exercícios sobre Engenharia Econômica

1) Considerando as seguintes opções de investimento representadas na tabela abaixo,responda os quesitos que se seguem:

Alternativas Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 A - 30.000,00 8.000,00 10.000,00 20.000,00B - 70.000.00 30.000,00 48.000,00 18.000,00C - 100.000,00 35.000,00 40.000,00 50.000,00

a) Qual os paybacks das alternativas A e B?R: Pay A = 2 anos e 7 meses; Pay B = 1 ano e 10 meses

b) Calcule a taxa média de retorno da alternativa B.R: TMR B = 45,71%

c) Calcule o payback da alternativa C e considerando como I0 um payback de 3 anos,indique qual é a melhor alternativa entre as 3 apresentadasR: Pay C = 2 anos e 6 meses – é a melhor alternativa: alternativa B





d) Qual a taxa média de retorno da alternativa A?R: TMR A = 42,22%

e) Considerando como I0 uma TMR de 38% a.a., entre a alternativa A e B, qual é a maisvantajosa?R: Alternativa B.

2) Calcule o payback dos investimentos a seguir e diga qual o melhor deles considerandocomo I0 4 anos.

Ano Investimento X Investimento Y Investimento Z0 -10.000,00 -12.000,00 -16.000,001 2.000,00 4.000,00 4.000,002 4.000,00 1.500,00 7.000,003 3.000,00 3.500,00 5.000,00

4 1.000,00 2.000,00 3.000,005 500,00 1.000,00 4.000,00

R: Payx = 4 anos; Payy = 5 anos e Payz = 3 anos. Logo, o melhor dos 3 é oinvestimento Z

3) Analise as alternativas de investimento abaixo pelo método da taxa média de retorno eaplique os critérios de aceitação e seleção, considerando como I0 TMR = 15% a.a.

Ano Investimento X Investimento Y Investimento Z0 - 45.000,00 - 36.000,00 - 64.000,00

1 15.000,00 14.000,00 20.000,002 20.000,00 16.500,00 10.000,003 10.000,00 5.500,00 34.000,004 8.000,00 12.000,00 12.000,005 5000,00 11.000,00 15.000,00

R: Critério de aceitação: aceitam-se as três alternativas pois possuem TMR > 15%.Critério de seleção: seleciona-se a alternativa Y, pois possui a maior TMR(32,7% a.a.)

4) Calcule os paybacks das alternativas de investimentos abaixo e aplique os critérios deaceitação e seleção, considerando um I0 de 3 anos:

Ano Investimento X Investimento Y Investimento Z0 -40.000,00 -36.000,00 -64.000,001 15.000,00 14.000,00 20.000,002 10.000,00 6.500,00 20.000,003 5.000,00 5.500,00 24.000,004 8.000,00 12.000,00 12.000,005 2000,00 11.000,00 15.000,00

R: Payx = 5 anos, Payy = 3ª e 10m e Payz = 3 anos. Logo a melhor das 3 é oinvestimento Z





5) Das alternativas de investimento abaixo, qual é a melhor, considerando como I0 umaTMR de 21% a.a.?

Ano Investimento Y Investimento Z0 - 78.000,00 - 74.000,001 28.000,00 10.000,002 16.000,00 15.000,003 34.000,00 28.000,004 18.000,00 17.000,005 21.000,00 24.000,00

R: Critério de aceitação: aceitar ambas as alternativas, pois possuemTMR > 21%.Critério de seleção: Selecionar a de maior TMR, ou seja, a alternativa Y, comTMR = 30% a.a.

6) Com base nas alternativas de investimentos indicadas abaixo, responda os quesitosque se seguem:

a) A taxa media de retorno da alternativa A.R: 55,55%

b) O valor atual da alternativa B e C, tendo como I0 20% a.a. Aplicar os critérios deaceitação e seleção.R: Aceitar ambas e selecionar a alternativa B

7) Hernandes, como investidor audacioso, estava a procura de novos investimentos e teveuma proposta de uma empresa no ramo de hidrelétrica que estava prestes a construiruma barragem. Hernandes almejava por retorno do investimento em 02 anos. Verifiquese tal proposta seria viável pelo método dos períodos de payback .

AnosInvestimento

Valores Saldo Projetado0 - 3.000,00 - 3.000,001 900,00 - 2.100,002 1.000,00 - 1.100,003 2.000,00 900,004 2.500,00 3.400,005 3.000,00 6.400,00

R: Payback = 2 anos, 6 meses e 18 dias. Não é viável tendo em vista que o tempode retorno do investimento é maior que o tempo esperado pelo investidor.

Alternativas Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 A - 45.000,00 25.000,00 10.000,00 40.000,00B - 35.000,00 5.000,00 5.000,00 60.000,00C - 25.000,00 2.000,00 30.000,00 10.000,00





8) Apresentam-se, a seguir, os fluxos de caixa de três projetos de investimentos.Determine a melhor alternativa pelos seguintes metidos de análise: taxa média deretorno, períodos de payback e valor atual, considerando as seguintes alternativascomparativas (I0): TMR = 30% a.a.; payback = 4 anos; e VA = 20% a.a.

Alternativas ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5 A - 50.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00B - 60.000,00 9.000,00 16.000,00 19.000,00 24.000,00 26.000,00C - 70.000,00 10.000,00 18.000,00 20.000,00 24.000,00 27.000,00

a) Taxas Médias de Retorno.R: TMRA = 24%; TMRB = 31,33%; TMRC = 28,28%

b) Paybacks.R: 4 anos e 2 meses; B = 3 anos e 8 meses; C = 4 anos

c) Valores Atuais.R: VA(A) = - $ 14.112,65; VA(B) = - $ 8.370,63; VA(C) = - $ 15.167,82

9) Uma determinada empresa dispõe das duas alternativas abaixo para investimentoimediato, no entanto, deverá descartar a menos lucrativa. Indique a alternativa a serdescartada, utilizando, para tanto, o método da TIR e I0 de 15% ao ano:

Projeto Ano 0 Ano 01 Ano 02 Ano 03 Ano 04 Ano 05 A - 250.000 78.000 78.000 78.000 78.000 78.000B - 260.000 82.000 49.000 82.500 85.000 88.000

R: a alternativa a ser descartada é a B, pois apresenta uma TIR de 14,21% a.a.,inferior ao I0 e inferior à TIR do Projeto A.

10) Considerando os fluxos de caixa das alternativas de investimento abaixo, responda osquesitos que se seguem:

Alternativa Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3

A - 30.000,00 18.500,00 14.200,00 10.000,00B - 30.000,00 18.000,00 14.500,00 9.800,00

a) Qual é a taxa média de retorno das alternativas A e B?R: TMRA=47,44%; TMRB=47%

b) Quais são os paybacks de A e de B?R: PayA= 1 ano e 10 meses ; PayB= 1 ano e 10 meses

c) Quais são os valores atuais das alternativas A e B? (I0 =15% a.a.)R: VAA=3.399,36; VAB=3.059,92

d) Quais são as TIR das alternativas A e B? (I0 = 20% a.a.)R: TIRA = 22,59% a.a. e TIRB = 21,81% a.a.





11) Calcule os valores atuais (VPL) das alternativas abaixo, considerando um I0 de 10%a.a. e aplique os critérios de aceitação e seleção:

Ano Alternativa A Alternativa B Alternativa C0 - 25.000,00 - 35.000,00 - 45.000,001 9.000,00 15.000,00 21.000,002 15.000,00 22.000,00 25.000,003 21.000,00 25.000,00 27.000,00

R: A = $ 11.355,11; B = $ 15.601,04; C = $ 15.037,57. Aceitam-se as três eseleciona-se a alternativa B.

12) Considerando como I0 uma taxa de 11% a.a., calcule o valor atual das alternativas Alfae Gama apresentadas a seguir:

Alternativa Ano o Ano 1 Ano 2 Ano 3 Alfa -105.000,00 70.000,00 20.000,00 38.000,00Gama -360.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00

R: VA Alfa = $ 2.080,78 e VA Gama = $ - 66.754,23

13) Calcule o valor atual dos seguintes alternativas de investimentos, considerandoI0 = 20% a.a.

Anos Alternativa A Alternativa B0 - 120.000,00 - 130.000,001 70.000,00 60.000,002 40.000,00 60.000,003 40.000,00 60.000,004 40.000,00 60.000,00

R: VAA = $ 8.549,38; VAB = $ 25.324,07

14) Uma loja oferece um microcomputador com duas alternativas para o pagamento. Alternativa 1: $ 1.000,00 de entrada, mais duas parcelas mensais de $ 3.000,00 cadauma. Alternativa 2: Sem entrada, 4 parcelas mensais de $ 1.250,00 cada uma,vencendo a primeira um mês após a compra, mais uma quinta parcela de $ 2.000,00.Considerando I0 = 2% a.m., indique a melhor alternativa, considerando o método deanálise do Valor Atual?R: Alternativa 2




15) Analise as alternativas de investimento abaixo indicadas pelo método do valor atual,considerando I0 = 10% a.a.

Ano Alternativa A Alternativa B Alternativa C

0 - 13.000,00 - 18.000,00 - 23.000,001 4.500,00 5.000,00 7.500,002 6.500,00 9.000,00 10.000,003 8.000,00 11.000,00 13.000,00

R: VA(A) = $ 2.473,33; VA(B) = $ 2.247,93; VA(C) = $1.849,74. Aceitam-se todas eseleciona-se a alternativa A.

FIM DAS AULAS DE CÁLCULO FINANCEIRO

manual de matematica financeira

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