11.- Ángulos multiples
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7/23/2019 11.- Ángulos Multiples
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TRIGONOMETRÍA
1Lic. Elmo Jaime SALAS YAÑEZhttp://elmojsy.blogspot.com
ÁNGULOS MULTIPLES
SENO DE ARCO DOBLE:
Sen2x = 2Senx.Cosx
Sen2x = xTan1
2Tanx2
Recuerda:
sen(x+y)=senx.cosy+cosx.seny
Si: x=y=α, entonces: sen2α=2senα.cosα
Gráfica:
BC= sen2α=2senα.cosα
COSENO DE ARCO DOBLE:
cos2x = cos2 x – sen2 xcos2x = 2cos2 x - 1
cos2x = 1 - 2sen2 x
cos2x = xTan1
xTan12
2
cos2x = cos4 x – sen4 x
Recuerda:
cos(x+y)=cosx.cosy-senx.seny
Si: x=y=α, entonces: cos2α=cos2α - sen2
α
Gráfica:
Del gráfico observamos:
TANGENTE DE ARCO DOBLE:
Recuerda:
tan(x+y)=
TanxTany 1
Tany Tanx
Si: x=y=α, entonces: tan2α=
2Tan1
2Tan
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TRIGONOMETRÍA
2Lic. Elmo Jaime SALAS YAÑEZ http://elmojsy.blogspot.com
Gráfica:
Sí:OEBC
es un cuadrilátero inscriptible:
El triángulo EBC es isósceles.
EC=2ED y ED=AB=tanα; EC=2tanα
Del triángulo EAB; EA=tan2α; OE=1-tan2α
Tan2α=EC OE
IDENTIDADES AUXILIARIES
IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE:
IDENTIDADES DE ARCO MITAD
7/23/2019 11.- Ángulos Multiples
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TRIGONOMETRÍA
3Lic. Elmo Jaime SALAS YAÑEZhttp://elmojsy.blogspot.com
Observación: El signo menos depende del
cuadrante a pertenecer2
x .
Demostración:
Recordar que:
cos2x=1 - 2sen2 x
Sen2 x=2
cos2x1
Senx=2
cos2x1
Si: 2x=y → x=
2
y
Sen
2
y =2
cosy 1
FORMULAS RACIONALIZADAS
PROPIEDADES ADICIONALES
IDENTIDADES ADICIONALES
EXPRESIONES PRINCIPALES
1 xcos xSen32
1
1 xcos xSen16
1
1 xcos xSen8
1
1 xcos xSen4
1
1 xcos xSen
2
1
2
1Senx.cosx
2
1
1212
1010
88
66
44
FORMULA GENERAL: