1. logika znb maya rev

5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev

1/83

Kuliah IMatematika Diskrit

Zaenab Muslimin

Fitriyanti Mayasari


2/83

PENGANTAR


3/83

Mata kuliah ini akan mengajarkan bagaimanabekerja dengan struktur diskrit, yang

merupakan bahasa dasar dan konseptual

untuk semua komputer teknik dan science;

Mata kuliah ini digunakan untuk memahami

komputer teknik, yaitu dengan :

Memahami algoritma program

Membuktikan suatu program bekerja atau tidak

Pemilihan struktur data


4/83

Apa Matematika Diskrit itu?

Matematika diskrit adalah: cabang matematika yangmengkaji objek-objek diskrit.

Apa yang dimaksud dengan kata diskrit(discrete)?

Benda disebut diskrit jika: terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda

elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected).

Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)

Lawan kata diskrit: kontinyuatau menerus(continuous).

Contoh: himpunan bilangan riil (real)


5/83


6/83

Struktur Diskrit terdiri dari elemen yang terpisah

atau tidak tersambung serta terdiri dari elemen

yang tertentu atau tidak tertentu.

Struktur Diskrit merupakan lawan dari StrukturKontinue.


7/83

Apa Matematika Diskrit itu?

Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yangdisimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalambentuk diskrit.

Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalampendidikan informatika atau ilmu komputer.

Matematika diskrit memberikan landasan matematisuntuk kuliah-kuliah lain di informatika.

algoritma, struktur data, basis data, otomata danteori bahasa formal, jaringan komputer, keamanankomputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.


8/83

I. L O G I K A


9/83

9

1.1 Proposisi

Logika penting untuk bernalar matematis

Logika: sistem yg didasarkan atas proposisi.

Proposisi: suatu kalimat yang dapat bernilai

benar atau salah, tetapi tidak sekaliguskeduanya.

Nilai kebenaran dari suatu proposisi adalah

benar (True) atau salah (False).

Berkorespondensi dengan 1dan 0dalam

dunia digital.


10/83

10

Contoh Proposisi (1)

Gajah lebih besar daripada kucing.

Ini suatu pernyataan ? benar

Ini suatu proposisi ? benar

Apa nilai kebenaran dariproposisi ini ? Benar/true


11/83

11

Contoh Proposisi (2)

1089 < 101

Ini pernyataan ? Benar

Ini proposisi ? Benar

Apa nilai kebenaran dariproposisi ini ? Salah/false


12/83

12

Contoh proposisi (3)

y > 15Ini pernyataan ? benar

Ini proposisi ? salah

Nilai kebenarannya bergantung pada nilai y,

nilai y tidak dispesifikasikan nilainya.Tipe pernyataan ini adalahkalimat terbuka.


13/83

13


Bulan ini Februari dan 24 < 5.

Ini pernyataan ? benar

Ini proposisi ? benar

Nilai kebenaran dariproposisi tersebut ? salah


14/83

14


Serahkan uangmu sekarang!

Ini pernyataan ? salah

Ini proposisi ? salah

Hanya pernyataan yang dapat menjadi

proposisi.

(Kalimat perintah)


15/83

15


Untuk sembarang bilangan bulat n 0,maka 2n adalah bilangan genap.

Ini pernyataan ? benar


Apa nilai kebenaranproposisi tersebut ? Benar


16/83

16


x < yjika dan hanya jika y > x.Ini pernyataan ? benar


Apa nilai kebenaran dari

proposisi tsb ? benar

sebab nilai kebenarannya

bergantung pada nilai x dan y.


17/83

17

1.2 Mengkombinasikan proposisi

Proposisi baru dapat dibentuk dengan cara

mengkombinasikan satu atau lebih proposisi yang

dinamakan proposisi majemuk (compound proposition).

Proposisi majemuk ada 3 macam, yaitu: konjungsi

(and / ), disjungsi (or / ),dan ingkaran (not / / ).

Notasi proposisi diformalkan dengan menggunakan

alfabet sepertip, q, r, s dan kombinasi dengan operatorlogika


18/83

Contoh Proposisi majemuk (1)

Diketahui proposisi-proposisi:

p: Hari ini hujan

q: Murid-murid diliburkan dari sekolah

Makapq: Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari

sekolah

pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan

dari sekolah

p: Tidak benar hari ini hujan / Hari ini tidakhujan


19/83

19

Operator Logika

Negasi (NOT)

Konjungsi - Conjunction (AND)

Disjungsi - Disjunction (OR)

Eksklusif Or (XOR)

Implikasi (JIKAMAKA)

Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA)

Tabel kebenarandapat digunakan untukmenunjukkan bagaimana operator-operator tsbmenggabungkan proposisi-proposisi.


20/83

1.3 Tabel Kebenaran


21/83

21

Negasi (NOT)

Operator Uner, Simbol: /

p p

True (T) False (F)

False (F) True (T)


22/83

22

Conjunction (AND)

Operator Biner, Simbol:

p q pq

T T T

T F F

F T F

F F F
http://3.bp.blogspot.com/_Ltgx9_RY9LA/SqFBRrVlHZI/AAAAAAAAACg/7j6sry2-8Nk/s1600-h/Logika+2+konjungsi+05.JPG


23/83

23

Disjunction (OR)

Operator Biner, Simbol:

P q pqT T T

T F TF T T

F F F
http://3.bp.blogspot.com/_Ltgx9_RY9LA/SqFEXDcn9qI/AAAAAAAAAC4/mmxc7f2RSCU/s1600-h/Logika+2+konjungsi+08.JPG


24/83

24

Exclusive Or (XOR)

Operator Biner, Simbol: p q p qT T F

T F T

F T TF F F


25/83

25

Implikasi (JIKA - MAKA)

Implikasi pq adalah proposisi yang bernilai salahjika p benar dan q salah, dan bernilai benarjika

lainnya.

FFT

TTF

TFF

TTT

pqqp


26/83

Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah

Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda

dianggap mengundurkan diriContoh-contoh tersebut di atas adalah

berbentuk jika p, maka q, dimana p biasa

disebut hipotesis dan q adalah konklusi.Pernyataan semacam ini disebut proposisibersyarat atau kondisonal atau implikasi.Didalam bahasa alami (bahasa percakapan

manusia), terdapat hubungan sebab akibatantara hipotesis dan konklusi.


27/83

Misalnya pada implikasi

Jika suhu mencapai 800C, maka alarm berbunyi

Implikasi seperti ini adalah normal dalam BahasaIndonesia. Tetapi dalam penalaran matematik

dipandang implikasi lebih umum daripada implikasi

dalam bahasa alami. Definisi mengenai implikasi adalah

pada nilai kebenarannya, bukan didasarkanpada

penggunaan bahasa. Misalnya :

Jika Paris adalah ibukota Perancis, maka 1+1=2

Implikasi di atas tetap valid secara matematis meskipuntidak ada kaitan antara Paris sebagai ibukota Perancis

dengan 1+1=2.


28/83

Implikasi tersebut bernilai benar karena

hipotesis benar (Paris ibukota Perancis adalah

benar) dan konklusi juga benar (1+1=2 adalah

benar). Implikasi

Jika Paris adalah ibukota Perancis, maka 1+1=3

Bernilai salah karena hipotesis benar tetapi 1+1

= 3 salah.

Implikasi pq memainkan peranan penting

dalam penalaran


29/83

Implikasi ini tidak hanya diekspresikan dalampernyataan standar jika p, maka q tetapi juga dapat di

ekspresikan dalam berbagai cara, antara lain :(a) Jika p, maka q (if p, then q)

(b) Jika p, q (if p,q)

(c) p mengakibatkan q (p implies q)

(d) q jika p (q if p)

(e) p hanya jika q (p only if q)

(f) p syarat cukup agar q (p is sufficient for q)

(g) q syarat perlu bagi p (q is necessary for p)(h) q bilamana p (q whenever p)


30/83

Contoh implikasi (1)a. Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur

b. Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencangc. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan

air laut naik

d. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan

e. Ahmad bisa mengambil matakuliah teori bahasaformal hanya jika ia sudah lulus matematika diskrit

f. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalahpercikan api dan rokok

g. Syarat perlu bagi Imdonesia agar ikut Piala Duniaadalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan

h. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebang


31/83

31

Contoh Implikasi (2)

Implikasi

Jika hari ini hari Jumat maka 2+3 > 7.

bernilai benaruntuk semua harikecuali hari Jumat, walaupun 2+3 > 7bernilai salah.


32/83

32

Contoh Implikasi (2)

Kapan pernyataan berikut bernilai benar?

Jika hari tidak hujan maka saya akan pergike Lembang.

Bernilai benar :

jika hari tidak hujan dan pergi ke Lembang,

hari hujan dan tetap pergi ke Lembang,

hari hujan dan tidak pergi ke lembang

Bernilai salah apabila

hari tidak hujan dan tidak pergi ke Lembang.


33/83

33

Bikondisional

(JIKA DAN HANYA JIKA)

Operator Biner, Simbol: p q pqT T T

T F F

F T FF F T


34/83

Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan

bikondisional (bi-implikasi) pq dalam kata-katayaitu :

(a). p jika dan hanya jika q (p if and only q)

(b). p adalah syarat perlu dan cukup untuk q

(p is necessary and sufficient for q)

(c). Jika p maka q, dan sebaliknya

(if p then q, and conversely)


35/83

Contoh Bikondisional (Bi-implikasi)

a. 1+1=2 jika dan hanya jika 2+2=4

b. Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan

adalah kelembaban udara tinggi

c. Jika anda orang kaya maka anda mempunyai

banyak uang, dan sebaliknya


36/83

36

Pernyataan dan Operasi

Pernyataan-pernyataan dapat digabungkan dengan operasi untuk

membentuk pernyataan baru.

p q pq (pq) (p)(q)

T T T F F

T F F T T

F T F T TF F F T T


37/83

37

Pernyataan yang Ekivalen

p q (pq) (p)(q) (pq)(p)(q)T T F F T

T F T T T

F T T T T

F F T T T

Pernyataan (PQ) dan (P)(Q) ekivalensecara logika, karena

(PQ)(P)(Q) selalu benar.


38/83

38

Tautologi dan Kontradiksi

Tautologiadalah pernyataan yang selalu benar.

Contoh:

R(R)

(PQ)(P)(Q)Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.


39/83

39

Tautologi dan Kontradiksi (2)

Kontradiksi adalah pernyataan yang selalubernilai salah.

Contoh:

R(R)

((PQ)(P)(Q))Negasi dari suatu tautologi adalah suatukontradiksi, negasi dari kontradiksi adalah suatutautologi.


40/83

1.4 Hukum-hukum Logika Proposisi

1. Hukum identitas

(i) p Fp(ii) p Tp

6. Hukum penyerapan (absorpsi)

(i) p (p q)p(ii) p (p q)p

2. Hukum Null / dominasi

(i) p FF(ii) p TT

7. Hukum Komutatif

(i) p qq p(ii) p qq p

3. Hukum negasi

(i) p pT(ii) p pF

8. Hukum asosiatif

(i) p (q r)(p q) r(ii) p (q r)(p q) r

4. Hukum idempoten(i) p pp(ii) p pp

9. Hukum distributif(i) p (q r)(p q) (p r)(ii) p (q r)(p q) (p r)

5. Hukum involusi (negasi ganda)

(p)p10. Hukum De Morgan

(i) (p q) p q(ii) (p q) p q


41/83

Contoh penggunaan hukum-hukum logika (1)

Tunjukkan bahwa p(pq) dan pq keduanya

ekuivalen secara logika

Penyelesaian:

p(pq) p(pq) (Hukum De Morgan)

(pp)(pq) (Hukum distributif)

T

(p

q) (Hukum negasi)p q (Hukum identitas)


42/83

Contoh penggunaan hukum-hukum logika (2)

Buktikan hukum penyerapan: p (pq) p

Penyelesaian:

p (pq) (pF)(pq) (Hukum identitas)

p(F q) (Hukum distributif)

p F (Hukum Null)

p (Hukum identitas)


43/83

Latihan Soal

1. Diketahui proposisi-proposisi :

p : hari ini hujan

q: hari ini dingin

terjemahkan ekspresi logika (notasi simbolik) berikut :

a. qp b. p q c. (p)

2. Diketahui proposisi-proposisi berikut

p : pemuda itu tinggi

q : pemuda itu tampan

Nyatakan proposisi berikut dalam ekspresi logika (notasisimbolik)

a. Pemuda itu tinggi dan tampanb. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

c. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan

d. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan


44/83

3.Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan

p: Pelayanan baik

q: Tarif kamarnya murah dan

r : Hotelnya berbintang tiga.

Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi

simbolik :a. Tarif kamarnya murah, tetapi pelayanannya buruk

b. Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik,

namun tidak keduanya.

c. Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif

kamarnya murah & pelayanannya buruk.


45/83

4.Nyatakan pernyataan berikut anda

tidak dapat terdaftar sebagai pemilihdalam pemilu jika anda berusia di bawah17 tahun kecuali kalau anda sudahmenikah,misalkan :

p: anda berusia di bawah 17 tahunq: anda sudah menikah

r: anda dapat terdaftar sebagai

pemilih dalam pemilu


46/83

5. Buatlah Tabel Kebenaran pqp

6. Tunjukkan bahwa [p (p q)]q adalahtautologi

7. Tunjukkan bahwa p qr ekivalen secara

logika (pr )(qr)8. Gunakan hukum logika proposisi, untuk

membuktikan bahwa :

(pq) (p q) = p


47/83

1.5 Inferensi

Inferensi adalah proses penarikan kesimpulandari beberapa proposisi.

Kaidah-kaidah inferensi:

1. Modus ponen (Law of detachment)

2. Modus Tollen

3. Silogisme Hipotesis

4. Silogisme Disjungtif

5. Simplifikasi6. Penjumlahan

7. Konjungsi


48/83

1.5.1 Modus ponen (Law of detachment)

Kaidah ini didasarkan pada tautologi

(p(pq)) q, yang dalam hal ini p dan pq

adalah hipotesis, sedangkan q adalah konklusi

(kesimpulan). Kaidah modus ponen dapat ditulisdengan cara:

pq

p

q


49/83

1.5.1 Modus ponen (Law of detachment) (2)

Contoh 1

Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka

bilangan tersebut habis dibagi 10,

Digit terakhir bilangan 1470 adalah 0

bilangan 1470 habis dibagi 10


50/83

1.5.1 Modus ponen (Law of detachment) (3)

Contoh 2:

Misalkan implikasi Jika 20 habis dibagi 2, maka

20 adalah bilangan genap dan hipotesis 20

habis dibagi 2 keduanya benar. Maka menurut

modus ponen, inferensi berikut:

Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap

20 habis dibagi 2

20 adalah bilangan genap


51/83

1.5.2 Modus Tollen


[q(pq)]p

kaidah modus tollen dapat ditulis dengan cara:

pq

q

p


52/83

1.5.2 Modus Tollen (2)

Contoh 1

Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati

Zeus tidak dapat mati

Zeus bukan seorang manusia


53/83

1.5.2 Modus Tollen (3)

Contoh 2:

Misalkan implikasi Jika n bilangan ganjil, maka

n2 bernilai ganjil dan hipotesis n2 bernilai

genap keduanya benar. Maka menurut modus

tollen, inferensi berikut:

Jika nbilangan ganjil, maka n2bernilai ganjil

n2bernilai genap

nbukan bilangan ganjil


54/83

1.5.3 Silogisme Hipotesis


[(pq)(qr)](p r)

kaidah silogisme dapat ditulis dengan cara:

pq

qr

pr


55/83

1.5.3 Silogisme Hipotesis(2)

Contoh 1 :

Jika 18486 habis dibagi 18, maka 18486 habis dibagi 9

Jika 18486 habis dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya habis

dibagi 9

Jika 18486 habis dibagi 18, maka jumlah digit-digitnya

habis dibagi 9


56/83

1.5.3 Silogisme Hipotesis (3)

Contoh 2:

Misalkan implikasi Jika saya belajar dengan giat,

maka saya lulus ujiandan implikasi Jika saya lulus

ujian, maka saya cepat menikah adalah benar.Maka menurut kaidah silogisme, inferensi berikut:

Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian

Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah

Jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah

il i i j if


57/83

1.5.4 Silogisme Disjungtif


[(pq)p]qkaidah silogisme dapat ditulis dengan cara:

a) p q b) p q

p qq p

Prinsip dasar silogisme disjungtif adalah kenyataanbahwa apabila kita dihadapkan pada 2 pilihan yangditawarkan dimana kita harus memilih salahsatunya A atau B.


58/83

1.5.4 Silogisme Disjungtif (2)

Contoh 1 :

Kunci kamarku ada di sakuku atau tertinggal di

rumah

Kunci kamarku tidak ada di sakuku

Kunci kamarku tertinggal di rumah


59/83

1.5.4 Silogisme Disjungtif (3)

Contoh 2:Inferensi berikut:

Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahundepan. Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu,saya menikah tahun depanmenggunakan kaidah silogisme disjungtif, ataudapat ditulis dengan cara:

Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan

Saya tidak belajar dengan giat

saya menikah tahun depan


60/83

1.5.5 Simplifikasi (Penyederhanaan)


(pq)p

Dimana p dan q adalah hipotesis, sedangkan p

adalah konklusi. Kaidah silogisme dapat ditulis

dengan cara:

a) p q b) p q

q p


61/83

1.5.5 Simplifikasi (Penyederhanaan) (2)

Contoh 1 :Lina menguasai bahasa Basic atau Pascal

Lina menguasai bahasa Basic

Penghubung dandalamhipotesis di atas

berarti bahwa Lina menguasai bahasa Basic,

sekaligus bahasa Pascal sehingga secara khususdapat dikatakan bahwa Lina menguasai Basic.


62/83

1.5.5 Simplifikasi (Penyederhanaan)(3)

Contoh 2:Penarikan kesimpulan seperti berikut ini:

Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa Unpar. Karenaitu, Hamid adalah mahasiswa ITB.

menggunakan kaidah simplifikasi, atau dapat ditulis dengancara:

Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa Unpar

Hamid adalah mahasiswa ITB

Simplifikasi berikut juga benar:Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa Unpar. Karenaitu, Hamid adalah mahasiswa Unpar.


63/83

1.5.6 Penjumlahan (Penambahan)


p(p q)Kaidah penjumlahan dapat ditulis dengan cara:

a) p b) q

p q p q

Inferensi penjumlahan didasarkan atas fakta bahwa suatukalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung .Alasannya adalah karena penghubung bernilai benar

jika salah satu komponennya bernilai benar. Sebagai contoh,perhatikan kalimat yang diucapkan Monde, Saya sukajeruk(bernilai benar).


64/83

1.5.6 Penjumlahan (Penambahan) (2)

Kalimat tersebut tetap bernilai benar jika

ditambahkan kalimat lain dengan penghubung

. Jadi kalimat Saya suka jeruk atau durian

yang diucapkan Monde juga tetap bernilai benar

dan tidak tergantung pada suka/tidaknya Mondeakan durian.

Contoh 1:

Simon adalah siswa SMA (Sekolah Menengah Atas)

Simon adalah siswa sekolah menengah(SMA

atau SMP)


65/83

1.5.6 Penjumlahan (Penambahan) (3)

Contoh 2:Penarikan kesimpulan seperti berikut ini:

Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit.Karena itu, Taslim mengambil kuliah MatematikaDiskrit atau mengulang kuliah Algoritma.menggunakan kaidah penjumlahan, atau dapatditulis dengan cara:

Taslim mengambil kuliah Matematika DiskritTaslim mengambil kuliah Matematika Diskrit

atau mengulang kuliah Algoritma


66/83

1.5.7 Konjungsi


((p)(q)) (p q)

Kaidah konjungsi dapat ditulis dengan cara:

p

q

p q


67/83

1.5.7 Konjungsi (2)

Contoh:Penarikan kesimpulan seperti berikut ini:

Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslimmengulang kuliah Algoritma. Karena itu, Taslim mengambilkuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma.

menggunakan kaidahpenjumlahan, atau dapat ditulis dengancara:

Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit

Taslim mengulang kuliah Algoritma

Taslim mengambil kuliah Matematika Diskritdan mengulang kuliah Algoritma

ATURAN BENTUK ARGUMEN


68/83

ATURAN BENTUK ARGUMEN

Modus Ponen pq

p

q

Modus Tollen pqq

p

Silogisme Hipotesis pq

qr

prSilogisme Disjungtif p q

p

q

p q

q

p

Simplifikasi

(Penyederhanaan)

p q

p

p q

q

Penjumlahan

(Penambahan)

p

p q

q

p q

Konjungsi p

q

p q


69/83

1.6 Argumen

Argumen adalah suatu deret proposisi yangdituliskan sebagai

(p1p2 pn)q

Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu(invalid).

Sebuah argumen dikatakan sahih/valid jika semuahipotesisnya benar, kesimpulan (konklusi) juga

benar. Sebaliknya meskipun semua hipotesisbenar, tetapi ada kesimpulan yang salah makaargumen tersebut dikatakan palsu (invalid)

1 6 Argumen (2)


70/83

1.6 Argumen (2)

Untuk mengecek apakah suatu argumen

merupakan kalimat yang valid, dapat dilakukanlangkah-langkah sebagai berikut :

1. Tentukan hipotesis dan kesimpulan kalimat

2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran

untuk semua hipotesis dan kesimpulan3. Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua

hipotesis bernilai benar

4. Dalam baris kritis tersebut, jika semua nilaikesimpulan benar, maka argumen itu valid. Jikadi antara baris kritis tersebut ada baris dengannilai kesimpulan yang salah, maka argumentersebut adalah invalid


71/83

1.6 Argumen (3)

Contoh 1:Perlihatkan bahwa argumen adalah sahih:

Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.

Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.

Penyelesaian:

Misalkan P adalah proposisi Airlaut surut setelah gempa di lautdanq adalah proposisi tsunami datang. Maka, argumen di dalam soaldapat ditulis sebagai:

pqp

q

Ada 2 (dua) cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihanargumen ini.


72/83

1.6 Argumen (4)

Cara 1:Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan pq

(baris 1)

(baris 2)

(baris 3)(baris 4)

p q pqT T T

T F F

F T T

F F T


73/83

1.6 Argumen (5)

Cara 2:

Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah

[p(pq)]q merupakan tautologi.p q pq p(pq) [p(pq)]qT T T T T

T F F F T

F T T F T

F F T F T


74/83

1.6 Argumen (6)

Contoh 2:Perlihatkan bahwa penalaran argumen berikut adalah palsu:

Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunamidatang.

Tsunami datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut.

Penyelesaian:Argumen di atas berbentuk [q(pq)]p bukan tautologi

p q pq q(pq) [q(pq)]p

T T T T TT F F F T

F T T T F

F F T F T

1 6 Argumen (7)


75/83

1.6 Argumen (7)

Argumen di atas berbentuk

pqp

q

Dari tabel pada contoh 1 tampak bahwahipotesis q dan pq benar pada baris ke-3tetapi pada baris 3 ini konklusi p salah. Jadiargumen tersebut tidak sahih atau palsu,sehingga penalaran menjadi tidak benar. Identikdengan yang ditunjukkan oleh tabel pada contoh2 dimana kolom terakhir bukan tautologi.


76/83

1.7 Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary

Aksiomaadalah proposisi yang diasumsikanbenar. Aksioma tidak memerlukan pembuktiankebenaran lagi.

Contoh-contoh aksioma:

(a) Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku

x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan)

(b) Jika diberikan dua buah titik berbeda, maka

hanya ada satu garis lurus yang melalui dua

buah titik tersebut.


77/83

1.7 Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary (2)

Teoremaadalah proposisi yang sudah terbuktibenar. Bentuk khusus dari teorema adalahlemmadan corollary.

Lemmaadalah teorema sederhana yangdigunakan dalam pembuktian teorema lain.

Corollaryadalah teorema yang dapatdibentuk langsung dari teorema yang telahdibuktikan, atau dapat dikatakan sebagaiteorema yang mengikuti dari teorema lain.


78/83

1.7 Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary (3)

Contoh-contoh teorema:(a) Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka

sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.(b) Untuk semua bilangan real x, y, dan z, jika x y dan

y

z, maka x

z (hukum transitif) Contoh Corollary:

Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitigatersebut sama sudut.

Corollaryini mengikuti teorema (a) di atas.

Contoh Lemma :Jika nadalah bilangan bulat positif, maka n1 bilanganpositif atau n1 = 0

Latihan Soal


79/83

Latihan Soal

Periksalah valid/tidak valid argumen berikut :

1. Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima5 tidak lebih kecil dari 4

5 adalah bilangan prima

2. Jika 17 adalah bilangan prima, maka 3 tidak habis membagi 17

3 habis membagi 17

17 bukan bilangan prima

3. Jika saya menyukai informatika , maka saya belajar

sungguh-sungguhSaya belajar sungguh-sungguh atau saya gagal

Jika saya gagal, maka saya tidak menyukai informatika

APLIKASI PADA RANGKAIAN LOGIKA


80/83

APLIKASI PADA RANGKAIAN LOGIKA

DIGITAL

Ada tiga gerbang rangkaian logika yang

dikenal.

Simbol masingmasing diperlihatkan pada

gambar dibawah ini :


81/83

Contoh


82/83

Contoh1. Tentukanlah output dari setiap kombinasi rangkaian.

2. Buatlah rangkaian kombinasi dari inverter, gerbang

OR atau gerbang AND dengan input p, q, r danoutputnya :


83/83

Terima Kasih

1. logika znb maya rev

Documents

logika znb maya rev

logika znb maya rev

otomata danteori bahasa

yangmerupakan bahasa

science mata kuliah

1dan 0dalamdunia digital