logika basis data

7/26/2019 Logika Basis Data

http://slidepdf.com/reader/full/logika-basis-data 1/84

1

LOGIKA ( LOGIC )

Program Studi Teknik Informatika

UNIVERSITAS PAMULANG



2

Logika

Logika merupakan dasar dari semuapenalaran (reasoning).

Penalaran didasarkan pada hubungan antarapernyataan (statements).

Proposisi

Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah ( false), tetapitidak keduanya.



“Gajah lebih besar daripada semut.”

Apakah ini sebuah pernyataan?Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi?

YAYA

YAYA

Apakah nilai kebenaran dariApakah nilai kebenaran dari

proposisi ini? proposisi ini? BENAR



Permainan4

“520 < 111”

Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah pernyataan? YAYA

Apakah ini sebuah proposisi? Apakah ini sebuah proposisi? YAYA

Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenarandari proposisi ini?dari proposisi ini?

SALAHSALAH



Permainan5

“y > 5”

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebutNilai kebenaran dari pernyataan tersebut

bergantung pada y, tapi nilainya belumbergantung pada y, tapi nilainya belum

ditentukan.ditentukan.

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagaiPernyataan jenis ini kita sebut sebagai

fungsi proposisifungsi proposisi atauatau kalimat terbukakalimat terbuka..


Apakah ini sebuah proposisi? Apakah ini sebuah proposisi? T!A"T!A"



Permainan6

“Seara!" tahu! 200# da! $$ < 5.”


Apakah ini sebuah proposisi? Apakah ini sebuah proposisi? YAYA

Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenarandari proposisi ini?dari proposisi ini?

SALAHSALAH



Permainan7

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

T!A"T!A"

T!A"T!A"

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadiHanya pernyataanlah yang bisa menjadi

proposisi.proposisi.

ni adalah sebuah permintaan.ni adalah sebuah permintaan.

Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi? Apakah ini sebuah proposisi?



Permainan8

“% < y jia da! ha!ya jia y > %.”

Apakah ini pernyataan ? Apakah ini pernyataan ? YAYA

Apakah ini proposisi ? Apakah ini proposisi ? YAYA

Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini ?dari proposisi ini ?#$NA%#$NA%

&& karena nilai kebenarannyakarena nilai kebenarannya

tidak bergantung hargatidak bergantung harga

spesi'ik ( maupun y.spesi'ik ( maupun y.



9Contoh 1. Semua pernyataan di bawah ini adalah

proposisi:(a) 13 adalah bilangan ganil

(b) Soekarno adalah alumnus !"#.

($) 1 % 1 & '

(d) ≥ akar kuadrat dari % (e) da monyet di bulan

(f) *ari ini adalah hari +abu

(g) !ntuk sembarang bilangan bulat n ≥ , maka

'n adalah bilangan genap(h) x % y & y % x untuk setiap x dan y bilangan riil



10Contoh 2. Semua pernyataan di bawah ini

bukan proposisi(a) -am berapa kereta api rgo romo tiba

di "ambir/

(b) 0silah gelas tersebut dengan air

($) x % 3 &

(d) x 2 3

Kesimpulan: Proposisi adalah kalimat berita



11

Proposisi dilambangkan dengan huruf ke$il p, q, r, .

4ontoh:

p : 13 adalah bilangan ganil.

q : Soekarno adalah alumnus !"#.r : ' % ' & 5



Mengkombinasikan Proposisi12

#isalkan p dan q adalah proposisi.1. Konungsi (conjunction): p dan q

6otasi p ∧ q,

'. !isungsi (disjunction): p atau q

6otasi: p ∨ q3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p

6otasi: ∼ p

p dan q disebut proposisi atomik 7ombinasi p dengan q menghasilkan proposisi

maemuk (compound proposition)



14



4ontoh ;:

#isalkan : p : hari ini hari minggu

< : hari ini libur

nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika:a) *ari ini tidak hari minggu tetapi libur

b) *ari ini tidak hari minggu dan tidak libur

$) idak benar bahwa hari ini hari minggu dan liburd) idak benar bahwa hari ini hari senin dan masuk

15



16

Tabel Kebenaran

p q p ∧ q p q p ∨ q p ∼q

T T T T T T T

T T T T

T T T

onto! "# !isalkan

p " 17 adalah bilan#an pri$a %benar&

q " bilan#an pri$a selalu #an'il %salah&

p ∧ q " 17 adalah bilan#an pri$a dan bilan#an pri$a

selalu #an'il %salah&



!I#$%&G#I 'K#KL%#I

17

7ata =atau> (or) dalam operasi logika digunakan dalamsalah satu dari dua $ara:

1. Inclusive or

=atau> berarti = p atau q atau keduanya> 4ontoh: =enaga 0 yang dibutuhkan menguasai ahasa

4%% atau -a?a>.

2. Exclusive or

=atau> berarti = p atau q tetapi bukan keduanya>.

4ontoh: =0a dihukum ; tahun atau denda 1 uta>.



18

(perator lo#ika dis'un#si eksklusi)" xor

*otasi" ⊕

Tabel kebenaran"

p q p ⊕ q

T T

T T

T T



L0*6

8iketahui proposisi9proposisi berikut

p & adu seorang manusia

q & setiap manusia memiliki dua mata

6yatakan dalam bentuk proposisi maemuk1) ∼ p ∧ q & ;) ∼(∼p ∧ ∼ <) &

') p ∨ ∼< & @) p ∨ (∼p ∧ <) &

3) ∼(∼p ∧ <) & A) ∼(∼p ∨ ∼ <) &

5) ∼p ∧ ∼< & ) ∼(∼p ∨ <) &

19



20



21

Proposisi maemuk disebut tautologi ika ia benar untuk semua kasus

Proposisi maemuk disebut kontraiksi ika iasalah untuk semua kasus.

Proposisi maemuk disebut kontingent ikatidak semua kasus benar atau salah ($ampuran).



22

onto! $# p ∨ +% p ∧ q& adalah sebuah tautolo#i

p q p ∧ q +% p ∧ q& p ∨ +% p ∧ q&

T T T T

T T T

T T T

T T



23



24

,ua buah proposisi $a'e$uk- P % p- q- ..& dan Q% p- q- ..&

disebut eki%alen se/ara lo#ika 'ika keduanya $e$punyai

tabel kebenaran yan# identik.

*otasi" P % p- q- &⇔ Q% p- q- &

onto! &# uku$ ,e !or#an" +% p ∧ q& ⇔ + p ∨ +q.

p q p ∧ q + % p ∧ q& + p +q + p ∨ + q

T T T

T T T T

T T T T T T T T



*!7!#9*!7!# LB"07 25

,isebut 'u#a !ukum'!ukum al(abar )ro)o*i*i.

1. uku$ identitas"

− p ∨ + ⇔ p

− p ∧ T ⇔ p

2. uku$ null do$inasi"

− p ∧ + ⇔ +

− p ∨ T ⇔ T

3. uku$ ne#asi"

− p ∨ + p ⇔ T

− p ∧ + p ⇔ +

4. uku$ ide$poten"

− p ∨ p ⇔ p

− p ∧ p ⇔ p

5. uku$ inolusi %ne#asi#anda&"

− +%+p& ⇔ p

6. uku$ penyerapan%absorpsi&"

− p ∨ % p ∧ q& ⇔ p

− p ∧ % p ∨ q& ⇔ p



26

7. uku$ ko$utati)"

− p ∨ q ⇔ q ∨ p

− p ∧ q ⇔ q ∧ p

8. uku$ asosiati)"

− p ∨ %q ∨ r &⇔ % p ∨ q& ∨ r

− p ∧ %q ∧ r &⇔ % p ∧ q& ∧ r

9. uku$ distributi)"− p ∨ %q ∧ r &⇔ % p ∨ q& ∧ % p ∨ r &

− p ∧ %q ∨ r &⇔ % p ∧ q& ∨ % p ∧ r &

10. uku$ ,e !or#an"− +% p ∧ q&⇔ + p ∨ +q

− +% p ∨ q&⇔ + p ∧ +q



27

Contoh 1*. unukkan bahwa p ∨ C( p ∨ q)dan p ∨ Cq keduanya eki?alen se$ara logika.

Penyelesaian:

p ∨ C( p ∨ q ) ⇔ p ∨ (C p ∧ Cq) (*ukum 8e #organ)

⇔ ( p ∨ C p) ∧ ( p ∨ Cq) (*ukum distributif)

⇔ ∧ ( p ∨ Cq) (*ukum negasi) ⇔ p ∨ Cq (*ukum identitas)



28

Contoh 11. uktikan hukum penyerapan: p ∧ ( p ∨ q)⇔ p

Penyelesaian:

p ∧ ( p ∨ q) ⇔ ( p ∨ D) ∧ ( p ∨ q) (*ukum 0dentitas) ⇔ p ∨ (D ∧ q) (*ukum distributif)

⇔ p ∨ D (*ukum Null )

⇔ p (*ukum 0dentitas)



Soal Latihan 129

8iberikan pernyataan =idak benar bahwa dia belaar lgoritma tetapi tidak belaar #atematika>.

(a) 6yatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik(ekspresi logika)

(b) erikan pernyataan yang eki?alen se$ara logikadengan pernyataan tsb (Petunuk: gunakan hukum 8e#organ)



Penyelesaian Soal Latihan 130

#isalkan

p : 8ia belaar lgoritma

q : 8ia belaar #atematika

maka,

(a) C ( p ∧ C q)

(b) C ( p ∧ C q)⇔ C p ∨ q (*ukum 8e #organ)

dengan kata lain: =8ia tidak belaar lgoritma atau belaar #atematika>



Proposisi +ers,arat(konisional atau implikasi)

31

entuk proposisi: =ika p, maka q>

6otasi: p → q

Proposisi p disebut hipotesis, antesenen,

premis, atau konisiProposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).



32

Contoh 12.

a. -ika saya lulus uian, maka saya mendapat hadiah dari

ayah

b. -ika suhu men$apai °4, maka alarm akan berbunyi

$. -ika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap

mengundurkan diri



334ara9$ara mengekspresikan implikasi p → q:

-ika p, maka q-ika p, q p mengakibatkan q ( p implies q)q ika p

p hanya ika q p syarat $ukup untuk q (hipotesis

menyatakan s,arat -ukup (sufficientcondition) )

q syarat perlu untuk p (konklusi menyatakans,arat perlu (necessary condition) )q bilamana p (q wenever p)



34

Contoh 1". Proposisi9proposisi berikut adalahimplikasi dalam berbagai bentuk:

1. -ika hari huan, maka tanaman akan tumbuh subur.'. -ika tekanan gas diperbesar, mobil melau ken$ang.3. Es yang men$air di kutub mengakibatkan permukaan

air laut naik.

5. Brang itu mau berangkat ika ia diberi ongkos alan.;. hmad bisa mengambil matakuliah eori ahasaDormal hanya ika ia sudah lulus matakuliah#atematika 8iskrit.

@. Syarat $ukup agar pom bensin meledak adalah per$ikan

api dari rokok.A. Syarat perlu bagi 0ndonesia agar ikut Piala 8uniaadalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.

. anir bandang teradi bilamana hutan ditebangi.



35



36

Penelasan hmad bisa mengambil matakuliah eori ahasaDormal hanya ika ia sudah lulus matakuliah#atematika 8iskrit.

Ingat! p → q apat iba-a p hanya ika q p : hmad bisa mengambil matakuliah eori ahasa

Dormalq : hmad sudah lulus matakuliah #atematika 8iskrit.

&otasi stanar: -ika p, maka q-ika hmad mengambil matakuliah eori ahasaDormal maka ia sudah lulus matakuliah#atematika 8iskrit.



37Penelasan

Syarat perlu bagi 0ndonesia agar ikut Piala 8uniaadalah dengan mengontrak pelatih asingkenamaan.

Ingat: p → q apat iba-a q syarat perlu untuk p

Susun sesuai format:#engontrak pelatih asing kenamaan adalah syaratperlu bagi 0ndonesia agar ikut Piala 8unia

q: 0ndonesia mengontrak pelatih asing kenamaan

p: 0ndonesia ikut Piala 8unia&otasi stanar: -ika p, maka q

-ika 0ndonesia ikut Piala 8unia, maka 0ndonesiamengontrak pelatih asing kenaman.



38

onto! ,"# !isalkan

x " Anda berusia 17 tahun

y " Anda dapat $e$peroleh !

*yatakan preposisi berikut ke dala$ notasi i$plikasi"

%a& anya 'ika anda berusia 17 tahun $aka anda

dapat $e$peroleh !.

%b& yarat /ukup a#ar anda dapat $e$peroleh !adalah anda berusia 17 tahun.

%/& yarat perlu a#ar anda dapat $e$peroleh !

adalah anda berusia 17 tahun.

%d& ika anda tidak dapat $e$peroleh ! $akaanda tidak berusia 17 tahun.

%e& Anda tidak dapat $e$peroleh ! bila$ana

anda belu$ berusia 17 tahun.



39

7enyelesaian"

%a& 7ernyataan yan# eki3alen" “Anda dapat memperoleh

SIM hanya jika anda berusia 17 tahun”.

n#at" p → q bisa diba/a 8 p hanya 'ika q9. *otasi si$bolik" y → x.

%b& 7ernyataan yan# eki3alen" “Anda berusia 17 tahun

adalah syarat ukup untuk dapat memperoleh SIM”.

n#at" p → q bisa diba/a 8 p syarat /ukup untuk q9. *otasi si$bolik" x → y.

%/& 7ernyataan yan# eki3alen" “Anda berusia 17 tahun

adalah syarat perlu untuk dapat memperoleh SIM”.

n#at" p → q bisa diba/a 8q syarat perlu untuk q9.

*otasi si$bolik" y → x.

%d& + y → + x

%e& n#at" p → q bisa diba/a 8q bila$ana p9.

*otasi si$bolik" + x → + y.



40

Tabel kebenaran i$plikasi

p q p → q

T T T

T

T T

T

' l %d t h&



41

en'elasan %den#an /ontoh&

,osen" ika nilai u'ian akhir anda 80 atau lebih- $aka anda akan

$endapat nilai A untuk kuliah ini.

Apakah dosen anda $en#atakan kebenaran atau dia berbohon#?

Tin'au e$pat kasus berikut ini"

:asus 1" *ilai u'ian akhir anda di atas 80 %hipotesis benar& dan anda $endapat

nilai A untuk kuliah tersebut%konklusi benar&.

∴ pernyataan dosen benar.

:asus 2" *ilai u'ian akhir anda di atas 80 %hipotesis benar& tetapi anda tidak$endapat nilai A %konklusi salah&.

∴ dosen berbohon# %pernyataannya salah&.

:asus 3" *ilai u'ian akhir anda di ba;ah 80 %hipotesis salah& dan anda

$endapat nilai A %konklusi benar&.

∴ dosen anda tidak dapat dikatakan salah %!un#kin ia $elihatke$a$puan anda se/ara rata<rata ba#us sehin##a ia tidak ra#u

$e$beri nilai A&.

:asus 4" *ilai u'ian akhir anda di ba;ah 80 %hipotesis salah& dan anda tidak

$endapat nilai A %konklusi salah&.

∴ dosen anda benar.



42Perhatikan bahwa dalam implikasi yang

dipentingkan nilai kebenaran premis dankonsekuen, bukan hubungan sebab dan akibatdiantara keduanya.

eberapa implikasi di bawah ini ?alidmeskipun se$ara bahasa tidak mempunyaimakna:

=-ika 1 % 1 & ' maka Paris ibukota Peran$is>

=-ika n bilangan bulat maka hari ini huan>



43

onto! ,-# Tun'ukkan bah;a p → q ekialen se/ara

lo#ika den#an + p ∨ q.

enyelesaian" p q + p p → q + p ∨ q

T T T TT T T T T T T T

∴ ika p- $aka q ⇔ Tidak p atau q.

onto! ,$# Tentukan in#karan %ne#asi& dari p → q.

enyelesaian"

+% p → q& ⇔ +%+ p ∨ q& ⇔ +%+ p& ∧ +q ⇔ p ∧ +q



44

onto! ,.# ,ua peda#an# baran# kelonton# $en#eluarkan $oto 'itu untuk

$enarik pe$beli. eda#an# perta$a $en#u$bar $oto =aran# ba#us tidak

$urah sedan#kan peda#an# kedua $e$punyai $oto =aran# $urah tidak

ba#us. Apakah kedua $oto peda#an# tersebut $enyatakan hal yan# sa$a?

enyelesaian"

p " =aran# itu ba#us

q " =aran# itu $urah.

!oto peda#an# perta$a" ika baran# itu ba#us $aka baran# itu tidak

$urah atau p → + q!oto peda#an# kedua" ika baran# itu $urah $aka baran# itu tidak ba#us

atau q → + p.

p q + p + q p → + q q → + p

T T

T T T T

T T T T

T T T T

∴ p → + q ⇔ q → + p.

∴ : edua $oto tersebut $enyatakan hal yan# sa$a.



45

• $plikasi ,ala$ =ahasa e$ro#ra$an

if c then S

c: ekspresi lo#ika yan# $enyatakan syaratkondisi

S: satu atau lebih pernyataan.

S dieksekusi 'ika c benar-

S tidak dieksekusi 'ika c salah.

• truktur i!"then pada bahasa pe$ro#ra$an berbeda den#an i$plikasi i!"then

yan# di#unakan dala$ lo#ika.

• ernyataan i!"then dala$ bahasa pe$ro#ra$an bukan proposisi karena tidak

ada korespondensi antara pernyataan tersebut den#an operator i$plikasi

%→&.

• Interpreter atau ompiler tidak $elakukan penilaian kebenaran pernyataan

i!"then se/ara lo#ika. Interpreter hanya $e$eriksa kebenaran kondisi c- 'ika

c benar $aka S dieksekusi- sebaliknya 'ika c salah $aka S tidak dieksekusi.



46

onto! ,&# !isalkan di dala$ sebuah pro#ra$ yan#

ditulis dala$ =ahasa as/al terdapat pernyataan berikut"

if x > y then y:=x+10;

=erapa nilai y setelah pelaksanaan eksekusi i)<then 'ika"%i& x > 2- y > 1

%ii& x > 3- y > 5?

enyelesaian"%i& x = 2 dan y = 1

kspresi x > y bernilai benar

ernyataan y:=x+10 dilaksanakan

*ilai y sekaran# $en'adi y > 2 @ 10 > 12.

%ii& x = 3 dan y = 5kspresi x > y bernilai salah

ernyataan y:=x+10 tidak dilakukan

*ilai y tetap seperti sebelu$nya- yaitu 5.



47



Soal Latihan '48

6yatakan pernyataan berikut:

=nda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam

Pemilu ika anda berusia di bawah 1A tahunke$uali kalau anda sudah menikah>.

dalam notasi simbolik.



Pen,elesaian #oal Latihan 2

49 nda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih

dalam Pemilu ika anda berusia di bawah 1Atahun ke$uali kalau anda sudah menikah>.

Dormat: q ika p

Susun ulang ke bentuk standard: -ika p,maka q

-ika anda berusia di bawah 1A tahun, ke$ualikalau anda sudah menikah, maka anda tidakdapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu



50

-ika anda berusia di bawah 1A tahun, ke$uali kalauanda sudah menikah, maka anda tidak dapat terdaftar

sebagai pemilih dalam Pemilu

m : nda berusia di bawah 1A tahun.

n : nda sudah menikah.

r : nda dapat terdaftar sebagai pemilih dalamPemilu.

maka pernyataan di atas dapat ditulis sebagai:

(m ∧ C n)→ C r

i i i



arian Proposisi +ers,arat

51

:oners %kebalikan&" q → p

5ners " + p → + q

:ontraposisi " + q → + p

5$plikasi :oners 5ners :ontraposisi

p q + p + q p → q q → p + p → + q + q → + p

T T T T T T

T T T T T T T T

T T T T T T



52

Contoh 21. entukan kon?ers, in?ers, dan kontraposisidari:

=-ika mir mempunyai mobil, maka ia orang kaya>

Penyelesaian:

7on?ers : -ika mir orang kaya, maka ia mempunyai

mobil

0n?ers : -ika mir tidak mempunyai mobil, maka ia

bukan orang kaya

7ontraposisi: -ika mir bukan orang kaya, maka iatidak mempunyai mobil

onto! //# Tentukan kontraposisi dari pernyataan"



53

p p y

%a& ika dia bersalah $aka ia di$asukkan ke dala$ pen'ara.

%b& ika 6 lebih besar dari 0 $aka 6 bukan bilan#an ne#ati).

%/& ;an lulus u'ian hanya 'ika ia bela'ar.

%d& anya 'ika ia tdk terla$bat $aka ia akan $endapat peker'aan.

%e& erlu ada an#in a#ar layan#<layan# bisa terban#.

%)& ukup hari hu'an a#ar hari ini din#in.

enyelesaian"

%a& ika ia tidak di$asukkan ke dala$ pen'ara- $aka ia tidak bersalah.

%b& ika 6 bilan#an ne#ati)- $aka 6 tidak lebih besar dari 0.%/& ika ;an lulus u'ian $aka ia sudah bela'ar.

:ontraposisi" ika ;an tidak bela'ar $aka ia tidak lulus u'ian

%d& ika ia $endapat peker'aan $aka ia tidak terla$bat

:ontraposisi" ika ia terla$bat $aka ia tidak akan $endapat peker'aan itu

%e& Ada an#in adalah syarat perlu a#ar layan#<layan# bisa terban# ekialen

den#an ika layan#<layan# bisa terban# $aka hari ada an#in.

:ontraposisi" ika hari tidak ada an#in- $aka layan#<layan# tidak bisa

terban#.

%)& ari hu'an adalah syarat /ukup a#ar hari ini din#in-

kialen den#an ika hari hu'an $aka hari ini din#in.

:ontraposisi" ika hari ini tidak din#in $aka hari tidak hu'an.



+ikonisional (+i/implikasi)54

• =entuk proposisi" p 'ika dan hanya 'ika q

• *otasi" p ↔ q

p q p ↔ q

T T T

T

T

T

• p ↔ q ⇔ % p → q& ∧ %q → p&.



55

p q p ↔ q p → q q → p % p → q& ∧ %q → p&

T T T T T T

T T

T T T T T T

• ,en#an kata lain- pernyataan p 'ika dan hanya 'ika q

dapat diba/a ika p $aka q dan 'ika q $aka p.



56

• ara</ara $enyatakan bikondisional p ↔ q"

%a& p 'ika dan hanya 'ika q.

%b& p adalah syarat perlu dan /ukup untuk q.

%/& ika p $aka q- dan sebaliknya.%d& p i!! q



57onto! //# roposisi $a'e$uk berikut adalah bi<

i$plikasi"%a& 1 @ 1 > 2 'ika dan hanya 'ika 2 @ 2 > 4.

%b& yarat /ukup dan syarat perlu a#ar hari hu'an

adalah kele$baban udara tin##i.

%/& ika anda oran# kaya $aka anda $e$punyai banyak uan#- dan sebaliknya.

%d& =andun# terletak di a;a =arat i!! a;a =arat

adalah sebuah propinsi di ndonesia.



58

onto! /0



59

onto! /0

,iberikan pernyataan erlu $e$iliki pass#ord yan# sah a#ar anda bisa lo$ on

ke ser%er

%a& *yatakan pernyataan di atas dala$ bentuk proposisi 'ika p- $aka q.

%b& Tentukan in#karan- koners- iners- dan kontraposisi dari pernyataan tsb.

enyelesaian"

!isalkan

p " Anda bisa lo$ on ke ser%er

q " !e$iliki pass#ord yan# sah

$aka

%a& ika anda bisa lo$ on ke ser%er $aka anda $e$iliki pass#ord yan# sah

%b& n#karan" Anda bisa lo$ on ke ser%er dan anda tidak $e$iliki pass#ord

yan# sah:oners" ika anda $e$iliki pass#ord yan# sah $aka anda bisa lo$ on

ke ser%er ners" ika anda tidak bisa lo$ on ke ser%er $aka anda tidak $e$iliki

pass#ord yan# sah

:ontraposisi" ika anda tidak $e$iliki pass#ord yan# sah $aka anda

tidak bisa lo$ on ke ser%er



60ila dua proposisi maemuk yang eki?alen di9

bikondisionalkan, maka hasilnya adalah

tautologi.

0eorema

8ua buah proposisi maemuk, " ( p, q, ..) dan#( p, q, ..) disebut eki?alen se$ara logika,dilambangkan dengan " ( p, q, ) ⇔ #( p, q, ),

ika " ↔ # adalah tautologi.



Soal latihan 361

Sebagian besar orang per$aya bahwa harimau -awa sudahlama punah. etapi, pada suatu hari mir membuatpernyataan9pernyataan kontro?ersial sebagai berikut:

(a) Saya melihat harimau di hutan.

(b) -ika saya melihat harimau di hutan, maka saya ugamelihat srigala.

#isalkan kita diberitahu bahwa mir kadang9kadang suka berbohong dan kadang9kadang uur. "unakan tabelkebenaran untuk memeriksa apakah mir benar9benarmelihat harimau di hutan/



Pen,elesaian soal latihan "62

(a) Saya melihat harimau di hutan.(b) -ika saya melihat harimau di hutan, maka saya uga melihat srigala.

#isalkan

p : mir melihat harimau di hutanq : mir melihat srigala

Pernyataan untuk (a): p

Pernyataan untuk (b): p → q



63

Tabel kebenaran p dan p → q

p q p → qT T TT T T T

:asus 1" A$ir dian##ap berbohon#- $aka apa yan# dikatakanA$ir itu keduanya salah % p salah- q salah&:asus 2" A$ir dian##ap 'u'ur- $aka apa yan# dikatakan A$iritu keduanya benar % p benar- q benar&.

Tabel $enun'ukkan bah;a $un#kin ba#i p dan p → q benar-tetapi tidak $un#kin keduanya salah. ni berarti A$ir$en#atakan yan# se'u'urnya- dan kita $enyi$pulkan bah;aA$ir $e$an# benar $elihat hari$au di hutan.



Soal latihan 564

FL0!;G Sebuah pulau didiami oleh dua suku asli.Penduduk suku pertama selalu mengatakan hal yang benar, sedangkan penduduk dari suku lainselalu mengatakan kebohongan. nda tiba di pulauini dan bertanya kepada seorang penduduksetempat apakah di pulau tersebut ada emas atautidak. 0a menawab, =da emas di pulau ini ika

dan hanya ika saya selalu mengatakankebenaran>. pakah ada emas di pulau tersebut/



Pen,elesaian soal latihan 65

da emas di pulau ini ika dan hanya ika saya selalumengatakan kebenaran

#isalkan

p : saya selalu menyatakan kebenaran

q : ada emas di pulau ini

Ekspresi logika: p ↔ q

inau dua kemungkinan kasus:

Kasus 1, orang yang memberi awaban adalah orang dari

suku yang selalu menyatakan hal yang benar.

Kasus 2, orang yang memberi awaban adalah orang

dari suku yang selalu menyatakan hal yang bohong.



66

$asus 1: orang tersebut selalu menyatakan hal yang benar.0ni berarti p benar, dan awabannya terhadap pertanyaankita pasti uga benar, sehingga pernyataan bi9implikasitersebut bernilai benar. 8ari abel bi9implikasi kitamelihat bahwa bila p benar dan p ↔ q benar, maka q harus benar. -adi, ada emas di pulau tersebut adalah benar.

$asus 2: orang tersebut selalu menyatakan hal yang bohong.0ni berarti p salah, dan awabannya terhadap pertanyaankita pasti uga salah, sehingga pernyataan bi9implikasitersebut salah. 8ari abel bi9implikasi kita melihat bahwa bila p salah dan p ↔ q salah, maka q harus benar. -adi, adaemas di pulau tersebut adalah benar.

8ari kedua kasus, kita selalu berhasil menyimpulkan bahwa ada emas di pulau tersebut, meskipun kita tidakdapat memastikan dari suku mana orang tersebut.



67

Argumen

Ar#u$en adalah suatu deret proposisi yan# dituliskan seba#ai

p1

p2

pn

∴ q

yan# dala$ hal ini- p1- p2- - pn disebut hipotesis %atau pre$is&-

dan q disebut konklusi.

Ar#u$en ada yan# *a!i! %%alid & dan )al*u %in%alid &.



68

1efini*i. ebuah ar#u$en dikatakan sahih 'ika konklusi

benar bila$ana se$ua hipotesisnya benarB sebaliknya

ar#u$en dikatakan palsu % !allay atau in%alid &.

ika ar#u$en sahih- $aka kadan#<kadan# kita $en#atakan

bah;a se/ara lo#ika konklusi $en#ikuti hipotesis atausa$a den#an $e$perlihatkan bah;a i$plikasi

% p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn&→ q

adalah benar %yaitu- sebuah tautolo#i&. Ar#u$en yan#

palsu $enun'ukkan proses penalaran yan# tidak benar.



69

onto! ,

erlihatkan bah;a ar#u$en berikut"

&ika air laut surut setelah $empa di laut' maka

tsunami datan$( Air laut surut setelah $empa dilaut( )arena itu tsunami datan$(

adalah sahih.

enyelesaian"!isalkan"

p " Air laut surut setelah #e$pa di laut

q " Tsuna$i datan#"

Ar#u$en"

p →

q p

∴ q

Ada dua /ara yan# dapat di#unakan untuk $e$buktikan kesahihan

ar#u$en ini.



70

*ara 1" =entuklah tabel kebenaran untuk p' q- dan p → q

p q p →

q

T T T %baris 1&

T %baris 2&

T T %baris 3&

T %baris 4&

Ar#u$en dikatakan sahih 'ika se$ua hipotesisnya benar- $aka

konklusinya benar. :ita periksa apabila hipotesis p dan p → q

benar- $aka konklusi q 'u#a benar sehin##a ar#u$en dikatakan benar. 7eriksa tabel- p dan p → q benar se/ara bersa$a<sa$a pada

baris 1. 7ada baris 1 ini q 'u#a benar. adi- ar#u$en di atas *a!i!.

ara 2" 7erlihatkan den#an tabel kebenaran apakah



71

C p ∧ % p → q& D → q

$erupakan tautolo#i. Tabel 1.16 $e$perlihatkan bah;a C p ∧ % p → q& D → q suatu

tautolo#i- sehin##a ar#u$en dikatakan sahih.

Tabel 1.16 ) p ∧ * p → q+ , → q adalah tautologi

p q p → q p ∧ % p →q& C p ∧ % p → q& D → q

T T T T T

T T

T T T

T T

7erhatikanlah bah;a penarikan kesi$pulan di dala$ ar#u$en ini $en##unakan $odus ponen. adi- kita kita 'u#a telah $e$perlihatkan bah;a $odus ponen adalah ar#$en yan#

sahih.

onto! /2



72

erlihatkan bah;a penalaran pada ar#u$en berikut"

“&ika air laut surut setelah $empa di laut' maka tsunami datan$(

+sunami datan$( &adi' air laut surut setelah $empa di laut” tidak benar- den#an kata lain ar#u$ennya palsu.

enyelesaian"

Ar#u$en di atas berbentuk

p → q

q

∴ p

,ari tabel ta$pak bah;a hipotesis q dan p → q benar pada

baris ke<3- tetapi pada baris 3 ini konklusi p salah. adi-

ar#u$en tersebut tidak sahih atau palsu- sehin##a penalaran

$en'adi tidak benar.

p q p → q

T T T %baris 1&

T %baris 2&

T T %baris 3&

T %baris 4&

onto! 32eriksa kesahihan ar#u$en berikut ini"



73

#

ika 5 lebih ke/il dari 4- $aka 5 bukan bilan#an pri$a.

5 tidak lebih ke/il dari 4.

∴ 5 adalah bilan#an pri$a

enyelesaian"

!isalkan p " 5 lebih ke/il dari 4

q" 5 adalah bilan#an pri$a.

Ar#u$en" p → +q

+ p

∴ q

Tabel $e$perlihatkan tabel kebenaran untuk kedua hipotesis dankonklusi tersebut. =aris ke<3 dan ke<4 pada tabel tersebut adalah baris di

$ana p → +q dan + p benar se/ara bersa$a<sa$a- tetapi pada baris ke<4

konklusi q salah %$eskipun pada baris ke<3 konklusi q benar&. ni

berarti ar#u$en tersebut palsu.

p q + q p → + q + p

T T

T T T

T T T

T T T



74

• 7erhatikanlah bah;a $eskipun konklusi dari ar#u$en

tersebut kebetulan $erupakan pernyataan yan# benar %85

adalah bilan#an pri$a9 adalah benar&-

• tetapi konklusi dari ar#u$en ini tidak sesuai den#an bukti bah;a ar#u$en tersebut palsu.

b d h b k i hih



eberapa argumen yang sudah terbukti sahih

75

1. #odus ponen p → q

p

999999999999999∴ q



76

'. #odus tollen p → q

Cq

999999999999999∴ C p



77

3. Silogisme disungtif p ∨ q

C p

999999999999999∴ q



5. Silogisme *ipotesis :

p → q

q → r 999999999999999

∴ p → r

78



79

;. Simplifikasi p ∧ q

999999999999999

∴ p



80

@. Penumlahan p

999999999999999

∴ p ∨ q



81

A. 7onungsi p

q

999999999999999∴ p ∧ q

s oma, eorema, emma,Corollary



Corollary 82

Ak*ioma adalah proposisi yan# diasu$sikan benar.

Aksio$a tidak $e$erlukan pe$buktian kebenaran la#i.

ontoh</ontoh aksio$a"

%a& Entuk se$ua bilan#an real x dan y- berlaku x @ y > y @

x %huku$ ko$utati) pen'u$lahan&.

%b& ika diberikan dua buah titik yan# berbeda- $akahanya ada satu #aris lurus yan# $elalui dua buah titik

tersebut.

Teorema adalah proposisi yan# sudah terbukti benar.

=entuk khusus dari teore$a adalah lemma dan orolarry.



83

ontoh</ontoh teore$a"

a. ika dua sisi dari sebuah se#iti#a sa$a pan'an#- $aka

sudut yan# berla;anan den#an sisi tersebut sa$a besar.

b. Entuk se$ua bilan#an real x- y- dan , - 'ika x ≤ y dan y ≤

, - $aka x ≤ , %huku$ transiti)&.

ontoh orollary"

ika sebuah se#iti#a adalah sa$a sisi- $aka se#iti#a

tersebut sa$a sudut.

*orollary ini $en#ikuti teore$a %a& di atas.

ontoh lemma"

ika n adalah bilan#an bulat positi)- $aka n F 1 bilan#an

positi) atau n F 1 > 0.



84

logika basis data

Documents