06 interpolacion de lagrange

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 3: INTERPOLACIÓN Y

APROXIMACIÓN POLINÓMICA.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE

LAGRANGE.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomio de interpolación de Lagrange.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 41

3.6.- POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE.

El polinomio de interpolación de Lagrange se representa de manera concisa como

n

i

iin xfxLxP0

)()()( (3.14)

donde

ji

jn

ijj

ixx

xxxL

0

)( (3.15)

donde designa el “producto de”. Por ejemplo, la versión lineal ( 1n ) es:

10

10 )(

xx

xxxL

01

0

1 )(xx

xxxL

)()()()()( 11001 xfxLxfxLxP

)()()( 1

01

0

0

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxP

(3.16)

Y la versión de segundo grado ( 2n ) es:

)()(

)()()(

2010

21

20

2

10

10

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

xxxL

)()(

)()()(

2101

20

21

2

01

0

1xxxx

xxxx

xx

xx

xx

xxxL

)()(

)()()(

1202

10

12

1

02

0

2xxxx

xxxx

xx

xx

xx

xxxL

)()()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()( 2

1202

10

1

2101

20

0

2010

212 xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxP

(3.17)

El razonamiento detrás de la formulación de Lagrange se comprende directamente

al darse cuenta de que cada término )(xLi será 1 en ixx y 0 en todos los otros puntos.

De esta forma, cada producto )()( ii xfxL toma el valor de )( ixf en el punto ix . En



consecuencia, la sumatoria de todos los productos en la ecuación (3.14) es el único

polinomio de n-ésimo grado que pasa exactamente a través de todos los n+1 puntos que se

tienen como datos.

Errores de la interpolación polinomial de Lagrange.

Teorema 3.2.

Si 0x , 1x ,…, nx son distintos en el intervalo ],[ ba y si ],[1 baCf n , entonces, para

cada x en ],[ ba , existe un número )(x en ),( ba tal que

)()()(!)1(

))(()()( 10

)1(

n

n

xxxxxxn

xfxPxf

!)1(

))(()()()()(

)1(

00

n

xfxxxfxLxf

nn

i

i

n

i

ii

(3.18)

donde P es el polinomio interpolante dado en la ecuación (3.14).

El teorema anterior permite determinar el error absoluto de aproximación como

)()( xPxfa

)()()(!)1(

))((10

)1(

n

n

a xxxxxxn

xf

n

i

i

n

a xxn

xf

0

)1(

)(!)1(

))(( (3.19)

Ejemplo 3.9.

Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primero y segundo grado evalúe ln 2

basándose en los datos del ejemplo 3.5.

Solución.

i 0 1 2

ix 1 3 4

)( ixf 0 1.0986123 1.3862944

Polinomio de primer grado.

Al sustituir valores en la ecuación (3.16), obtenemos el polinomio interpolante de primer

grado:



)()()( 1

01

0

0

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxP

)0986123.1(13

1)0(

31

3)(1

xxxP

)1(5493062.0)(1 xxP

Utilizando el polinomio interpolante de grado 1 )1(5493062.0)(1 xxP , se sustituye

2x , para obtener:

)12(5493062.0)2(1 P

5493062.0)2(1 P

Polinomio de segundo grado.

Al sustituir valores en la ecuación (3.17), obtenemos el polinomio interpolante de segundo

grado:

)()()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()( 2

1202

10

1

2101

20

0

2010

212 xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxP

)1.3862944()34()14(

)3()1()1.0986123(

)43()13(

)4()1()0(

)41()31(

)4()3()(2

xxxxxxxP

)3()1(4620981.0)4()1(5493062.00)(2 xxxxxP

)3()1(4620981.0)4()1(5493062.0)(2 xxxxxP

Utilizando el polinomio interpolante de grado 2

)3()1(4620981.0)4()1(5493062.0)(2 xxxxxP , se sustituye 2x , para

obtener:

)32()12(4620981.0)42()12(5493062.0)2(2 P

4620981.00986124.1)2(2 P

6365143.0)2(2 P

Ejemplo 3.10.



Con los datos del ejemplo ilustrativo 3.4, calcule )5.0(f usando polinomios de

interpolación de Lagrange de grados 1 a 3. Elija la secuencia de puntos para su estimación

con la finalidad de obtener la mejor exactitud posible.

Solución.

ix –0.5 –0.1 0.6 1.0

)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000

Polinomio de primer grado.

Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los dos puntos a seleccionar son

los siguientes:

i 0 1

ix –0.1 0.6

)( ixf 2.314 –0.304

Al sustituir valores en la ecuación (3.16), obtenemos el polinomio interpolante de primer

grado:

)()()( 1

01

0

0

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxP

)304.0()1.0(6.0

)1.0()314.2(

6.01.0

6.0)(1

xxxP

)1.0(4342857.0)6.0(3057143.3)(1 xxxP


)1.0(4342857.0)6.0(3057143.3)(1 xxxP , se sustituye 5.0x , para obtener:

)1.05.0(4342857.0)6.05.0(3057143.3)5.0(1 P

2605714.03305714.0)5.0(1 P

0700000.0)5.0(1 P

Polinomio de segundo grado.

Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los tres puntos a seleccionar

podrían ser los siguientes:

i 0 1 2



ix –0.5 –0.1 0.6

)( ixf 4.250 2.314 –0.304

ó

i 0 1 2

ix –0.1 0.6 1.0

)( ixf 2.314 –0.304 –4.000

Puesto que ambas selecciones comprenden el valor 5.0x . No obstante, elegiremos la

segunda porque el valor 5.0x queda ubicado en torno al centro de los datos, en lugar del

extremo derecho de la primera opción.

Al sustituir valores en la ecuación (3.17), obtenemos el polinomio interpolante de segundo

grado:

)()()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()( 2

1202

10

1

2101

20

0

2010

212 xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxP

)4.000()6.00.1()]1.0(0.1[

)6.0()]1.0([

)304.0()0.16.0()]1.0(6.0[

)0.1()]1.0([)314.2(

)0.11.0()6.01.0(

)0.1()6.0()(2

xx

xxxxxP

)6.0()1.0(0909091.9)0.1()1.0(0857143.1)0.1()6.0(0051948.3)(2 xxxxxxxP


)6.0()1.0(0909091.9)0.1()1.0(0857143.1)0.1()6.0(0051948.3)(2 xxxxxxxP

, se sustituye 5.0x , para obtener:

)6.05.0()1.05.0(0909091.9

)0.15.0()1.05.0(0857143.1)0.15.0()6.05.0(0051948.3)(2

xP

5454546.03257143.01502597.0)5.0(2 P

3700000.0)5.0(2 P

Polinomio de tercer grado.

i 0 1 2 3

ix –0.5 –0.1 0.6 1.0



)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000

No se ha deducido una ecuación para el polinomio interpolante de tercer grado. Se procede

de la siguiente manera:

Se calcula )(0 xL , )(1 xL , )(2 xL y )(3 xL con la ecuación (3.15).

)()()(

)()()()(

302010

321

0xxxxxx

xxxxxxxL

)0.15.0()6.05.0()]1.0(5.0[

)0.1()6.0()]1.0([)(0

xxxxL

)0.1()6.0()1.0(5151515.1)(0 xxxxL

)()()(

)()()()(

312101

320

1xxxxxx

xxxxxxxL

)0.11.0()6.01.0()]5.0(1.0[

)0.1()6.0()]5.0([)(1

xxxxL

)0.1()6.0()5.0(2467532.3)(1 xxxxL

)()()(

)()()()(

321202

310

2xxxxxx

xxxxxxxL

)0.16.0()]1.0(6.0()]5.0(6.0[

)0.1()]1.0([)]5.0([)(2

xxxxL

)0.1()1.0()5.0(2467532.3)(2 xxxxL

)()()(

)()()()(

231303

210

3xxxxxx

xxxxxxxL

)6.00.1()]1.0(0.1()]5.0(0.1[

)6.0()]1.0([)]5.0([)(3

xxxxL

)6.0()1.0()5.0(5151515.1)(3 xxxxL

El polinomio interpolante de grado 3 es:



)000.4()6.0()1.0()5.0(5151515.1

)304.0()0.1()1.0()5.0(2467532.3

314.2)0.1()6.0()5.0(2467532.3

250.4)0.1()6.0()1.0(5151515.1)(3

xxx

xxx

xxx

xxxxP

)6.0()1.0()5.0(0606060.6)0.1()1.0()5.0(9870130.0

)0.1()6.0()5.0(5129869.7)0.1()6.0()1.0(4393939.6)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

Puede demostrarse que si expandimos la expresión anterior, obtenemos

32

3 432)( xxxxP , lo cual concuerda con lo indicado en el ejemplo ilustrativo 4.

Sin embargo, no es necesario expandir el polinomio interpolante, pues si debe ser utilizado

para realizar alguna interpolación, puede usarse en la forma obtenida mediante la ecuación

de Lagrange.

Utilizando el polinomio interpolante de grado 3, se sustituye 5.0x , para obtener:

)6.05.0()1.05.0()5.05.0(0606060.6)0.15.0()1.05.0()5.05.0(9870130.0

)0.15.0()6.05.0()5.05.0(5129869.7)0.15.0()6.05.0()1.05.0(4393939.6)5.0(3

P

3636364.02961039.03756493.01931818.0)5.0(3 P

2500000.0)5.0(3 P

En la figura 3.9 se muestran los puntos dados y los tres polinomios de interpolación de

Lagrange.



Figura 3.9. Polinomios de interpolación de orden 1 a 3 para el ejemplo 3.10.

En general, a menos que se requiera determinar el polinomio interpolante, es posible

realizar las sustituciones tanto de los puntos como del valor a interpolar en las ecuaciones

para los polinomios de primero y segundo grado y de esta manera obtener el valor

interpolado para el x dado sin necesidad de determinar los polinomios de interpolación. En

el ejemplo anterior, procederíamos de la siguiente manera:

Polinomio interpolante de primer grado:

)()()( 1

01

0

0

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxP

)304.0()1.0(6.0

)1.0(5.0)314.2(

6.01.0

6.05.0)(1

xP

2605714.03305714.0)5.0(1 P

0700000.0)5.0(1 P

Polinomio interpolante de segundo grado:

)()()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()( 2

1202

10

1

2101

20

0

2010

212 xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxP



)4.000()6.00.1()]1.0(0.1[

)6.05.0()]1.0(5.0[

)304.0()0.16.0()]1.0(6.0[

)0.15.0()]1.0(5.0[)314.2(

)0.11.0()6.01.0(

)0.15.0()6.05.0()5.0(2

P

5454546.03257143.01502597.0)5.0(2 P

3700000.0)5.0(2 P

Polinomio interpolante de tercer grado:

Se calcula )5.0(0L , )5.0(1L , )5.0(2L y )5.0(3L con la ecuación (3.15).

)()()(

)()()()(

302010

321

0xxxxxx

xxxxxxxL

)0.15.0()6.05.0()]1.0(5.0[

)0.15.0()6.05.0()]1.0(5.0[)5.0(0

L

0454545.0)5.0(0 L

)()()(

)()()()(

312101

320

1xxxxxx

xxxxxxxL

)0.11.0()6.01.0()]5.0(1.0[

)0.15.0()6.05.0()]5.0(5.0[)5.0(1

L

0.1623377)5.0(1 L

)()()(

)()()()(

321202

310

2xxxxxx

xxxxxxxL

)0.16.0()]1.0(6.0()]5.0(6.0[

)0.15.0()]1.0(5.0[)]5.0(5.0[)5.0(2

L

0.9740260)5.0(2 L

)()()(

)()()()(

231303

210

3xxxxxx

xxxxxxxL

)6.00.1()]1.0(0.1()]5.0(0.1[

)6.05.0()]1.0(5.0[)]5.0(5.0[)5.0(3

L

0.0909091)5.0(3 L



El valor interpolado es, de acuerdo con la ecuación (3.14):

n

i

iin xfxLxP0

)()()(

3

0

3 )()()(i

ii xfxLxP

)()()()()()()()()( 332211003 xfxLxfxLxfxLxfxLxP

)()5.0()()5.0()()5.0()()5.0()5.0( 332211003 xfLxfLxfLxfLP

)000.4()0909091.0()304.0(9740260.0314.21623377.0250.40454545.0)5.0(3 P

3636364.02961039.03756493.01931818.0)5.0(3 P

2500000.0)5.0(3 P

Ejercicios propuestos.

20. [CC] Ajuste un polinomio de interpolación de Lagrange de tercer grado para estimar

log 5 usando los datos del problema 15. Calcule el error relativo porcentual verdadero.

21. [BF] Use los polinomios interpolantes de Lagrange apropiados, de grado uno, dos, tres

y cuatro para aproximar

a) )5.2(f si 5103757.0)0.2( f , 5207843.0)2.2( f , 5104147.0)4.2( f ,

4813306.0)6.2( f , 4359160.0)8.2( f .

b) )0(f si 20431.0)3.0( f , 08993.0)1.0( f , 11007.0)1.0( f ,

39659.0)3.0( f , 79845.0)5.0( f .

c) )25.1(f si 24255.0)0.1( f , 48603.0)1.1( f , 86160.0)2.1( f , 59751.1)3.1( f ,

76155.3)4.1( f .

d) )5.0(f si 9798652.0)2.0( f , 9177710.0)4.0( f , 8080348.0)6.0( f ,

6386093.0)8.0( f , 3843735.0)0.1( f .

e) )2.0(f si 2314028.1)1.0( f , 9121188.1)3.0( f , 3855409.2)4.0( f ,

9682818.2)5.0( f , 6801169.3)6.0( f .

22. Con los datos

x 1 2 2.5 3 4 5



)(xf 1 5 7 8 2 1

Calcule )4.3(f usando polinomios de interpolación de Lagrange de grados 1 a 3. Elija la

secuencia de puntos para su estimación con la finalidad de obtener la mejor exactitud

posible.

23. Con los datos

x 1 2 3 5 6

)(xf 4.75 4 5.25 19.75 36

Calcule )4(f usando polinomios de interpolación de Lagrange de grado 1 a 4. Elija sus

puntos para obtener una buena exactitud. ¿Qué le indican los resultados con respecto al

grado del polinomio usando para generar los datos de la tabla?

24. Dada la siguiente tabla de valores obtenidos en observaciones en diferentes tiempos de

un experimento:

t 0.00 0.20 0.50 0.60 0.85 1.10 y 38.20 35.25 30.45 27.80 24.90 22.75

Por medio de una interpolación de Lagrange de primero y segundo grado aproxime el valor

de y para un tiempo de 30.0t .

a) Establezca la fórmula de interpolación de Lagrange para este problema.

b) Calcule el valor a interpolar.

25. Con los datos de la siguiente tabla de observaciones, calcule )4(f por interpolación

cúbica de Lagrange.

t 1 2 3 5

)(tf 4.75 4.00 5.25 19.75

a) Establecer la fórmula de interpolación.

b) Calcular el valor a interpolar.

26. [BF] Use los valores de abajo para construir un polinomio de Lagrange de grado dos.

Encuentre una aproximación para 0.34sen y use la ecuación (3.19) para determinar una

cota del error en esta aproximación.

0.295520.30sen 31457.00.32sen 34290.00.35sen



27. [BF] Agregue el valor 32404.00.33sen a los datos del ejercicio 26 y construya un

polinomio de Lagrange de grado tres. Aproxime el 0.34sen y encuentre una cota para el

error.

28. [BF] Use el polinomio interpolante de Lagrange de grado tres para aproximar 0.75cos

usando los valores de abajo. Encuentre una cota para el error usando la ecuación (3.19).

0.76610.698cos 0.74320.733cos 0.71930.768cos 6946.00.803cos

El valor real de 0.75cos es 0.7137 (con cuatro cifras decimales). Si hay discrepancia entre

el error real y su cota, explique por qué ocurrió esto.

29. [BF] Sea xx eexxf 23)( . Aproxime )03.1(f usando el polinomio interpolante de

grado dos, con 10 x , 05.11 x y 07.12 x . Compare el error real con la cota del error

obtenida de la ecuación (3.19).

30. Use los valores de abajo para construir una aproximación polinómica de Lagrange de

tercer grado para )09.1(f . La función que se está aproximando es xxf tanlog)( 10 . Use

esta información para encontrar una cota para el error en esta aproximación.

1924.0)00.1( f 2414.0)05.1( f 2933.0)10.1( f 3492.0)15.1( f

31. Use los valores de abajo para construir una aproximación polinómica de Lagrange de

cuarto grado para )25.1(f . La función que se está aproximando es 12

)( xexf . Use esta

información para encontrar una cota para el error en esta aproximación.

00000.1)0.1( f 23368.1)1.1( f 55271.1)2.1( f

99372.1)3.1( f 61170.2)4.1( f

32. Sea 2

74)(

x

xxf y 7.10 x , 8.11 x , 9.12 x , 1.23 x

a) Aproxime )75.1(f usando el polinomio interpolante de grado a la más dos en los nodos

0x , 1x y 2x .

b) Aproxime )75.1(f y )00.2(f usando el polinomio interpolante en 0x , 1x , 2x y 3x .

c) Se puede aplicar la cota del error de la ecuación (3.19) a a) y a b)? ¿Qué da la cota como

una estimación del error?



Aplicación a la Ingeniería Química.

33. La densidad del carbonato de potasio en solución acuosa varía con la temperatura y la

concentración. En un experimento para determinar la densidad del carbonato, se consideró

la temperatura constante y se varió la concentración, obteniendo la tabla:

Concentración (%), x 4 12 20 28 38 45

Densidad, y 1.0276 1.1013 1.1801 1.2652 1.3480 1.4120

Por medio de una interpolación de Lagrange de primer grado aproxime el valor de la

densidad del carbonato de potasio en solución acuosa para una concentración de 25%.

a) Establecer la fórmula de interpolación de Lagrange para este sistema.

b) Calcular el valor a interpolar.

Aplicación a la Ingeniería Hidráulica.

34. En tiempo de lluvias en una presa se toman 6 medidas del nivel del agua durante un

mes, obteniéndose los siguientes datos:

t 0 5 13 16 23 30 y 8.20 11.4 19.9 22.4 25.2 26.8

El tiempo se mide en días y el nivel de agua en metros. Por medio de interpolación de

Lagrange de segundo grado aproxime el valor del nivel de agua al décimo día del mes.

a) Establecer la fórmula de la interpolación de Lagrange para este problema.

b) Calcule el valor a interpolar.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

20. )5.5()5.4()4(5187675.0)6()5.4()4(9871503.0

)6()5.5()4(8709500.0)6()5.5()5.4(4013733.0)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

0.69901495)5(3 P , %0064.0% a

21. a) Los polinomios de interpolación de Lagrange son:

)4.2(4066530.2)6.2(5520735.2)(1 xxxP

)4.2()2.2(0166325.6)6.2()2.2(7603675.12)6.2()4.2(5098038.6)(2 xxxxxxxP

)6.2()4.2()2.2(0815833.9)8.2()4.2()2.2(0831625.30

)8.2()6.2()2.2(9009188.31)8.2()6.2()4.2(8496729.10)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

)6.2()4.2()2.2()0.2(3519792.11

)8.2()4.2()2.2()0.2(1386042.50

)8.2()6.2()2.2()0.2(7522969.79

)8.2()6.2()4.2()0.2(24836468.54

)8.2()6.2()4.2()2.2(2910339.13)(4

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxP

Las estimaciones son:

4958727.0)5.2(1 P , 4982120.0)5.2(2 P , 4980630.0)5.2(3 P , 4980705.0)5.2(4 P

b) Los polinomios de interpolación de Lagrange son:

)1.0(5503500.0)1.0(4496500.0)(1 xxxP

)1.0()3.0(3758750.1)1.0()3.0(2482500.2)1.0()1.0(5538750.2)(2 xxxxxxxP

)1.0()1.0()3.0(2435417.8)3.0()1.0()3.0(8793750.6

)3.0()1.0()3.0(6206250.5)3.0()1.0()1.0(2564583.4)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

)3.0()1.0()1.0()3.0(7929688.20

)5.0()1.0()1.0()3.0(2177083.41

)5.0()3.0()1.0()3.0(1984375.17

)5.0()3.0()1.0()3.0(3677083.9

)5.0()3.0()1.0()1.0(3205729.5)(4

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxP


0100700.0)0(1 P , 0006325.0)0(2 P , 0006325.0)0(3 P , 0001062.0)0(4 P

c) Los polinomios de interpolación de Lagrange son:



)2.1(9751000.15)3.1(6160000.8)(1 xxxP

)2.1()1.1(8755000.79)3.1()1.1(1600000.86)3.1()2.1(3015000.24)(2 xxxxxxxP

)4.1()2.1()1.1(9250000.626)5.1()2.1()1.1(7550000.798

)4.1()3.1()1.1(8000000.430)4.1()3.1()2.1(0050000.81)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

)3.1()2.1()1.1()0.1(3125000.1567

)4.1()2.1()1.1()0.1(5166667.2662

)4.1()3.1()1.1()0.1(0000000.2154

)4.1()3.1()2.1()0.1(0500000.810

)4.1()3.1()2.1()1.1(0625000.101)(4

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxP


2295550.1)25.1(1 P , 1845125.1)25.1(2 P , 1177756.1)25.1(3 P , 1374523.1)25.1(4 P

d) Los polinomios de interpolación de Lagrange son:

)4.0(4.0401740)6.0(4.5888550)(1 xxxP

)4.0()2.0(10.1004350)6.0()2.0(22.9442750)6.0()4.0(12.2483150)(2 xxxxxxxP

)6.0()4.0()2.0(13.3043604)8.0()4.0()2.0(50.5021750

)8.0()6.0()2.0(57.3606875)8.0()6.0()4.0(20.4138583)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

)8.0()6.0()4.0()2.0(10.0097266

)1.1()6.0()4.0()2.0(66.5218021

)0.1()8.0()4.0()2.0(5126.255437

)0.1()8.0()6.0()2.0(95.6011458

)0.1()8.0()6.0()4.0(25.5173229)(4

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxP


0.8629029)5.0(1 P , 0.8688582)5.0(2 P , 0.8696111)5.0(3 P , 0.8693047)5.0(4 P

e) Los polinomios de interpolación de Lagrange son:

)1.0(9.5605940)3.0(6.1570140)(1 xxxP

)3.0()1.0(79.5180300)4.0()1.0(95.6059400)4.0()3.0(20.5233800)(2 xxxxxxxP

)4.0()3.0()1.0(0371.035225)5.0()3.0()1.0(1803000.957

)5.0()4.0()1.0(0478.029700)5.0()4.0()3.0(51.3084500)(3

xxxxxx

xxxxxxxP



)5.0()4.0()3.0()1.0(331226.70563

)6.0()4.0()3.0()1.0(003710.35225

)6.0()5.0()3.0()1.0(003975.90150

)6.0()5.0()4.0()1.0(331593.43233

)6.0()5.0()4.0()3.0(0102.616900)(4

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxP


1.5717608)2.0(1 P , 1.5274061)2.0(2 P , 1.5325585)2.0(3 P , 1.5316948)5.0(4 P

22. Los polinomios de interpolación de Lagrange son:

)3(0000000.2)4(0000000.8)(1 xxxP

)3()5.2(3333333.1)4()5.2(0000000.61)4()3(3333333.9)(2 xxxxxxxP

)3()5.2()2(6666667.0)4()5.2()2(0000000.16

)4()3()2(6666667.81)4()3()5.2(5.0000000)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

Las estimaciones son: 6000000.5)4.3(1 P , 8800000.6)4.3(2 P , 7.2400000)4.3(3 P


)3(9.8750000)5(2.6250000)(1 xxxP

)3()2(3.2916667)5()2(2.6250000)5()3(1.3333333)(2 xxxxxxxP

)5()3()2(3.0000000)6()3()2(3.2916667

)6()5()2(0.8750000)6()5()3(0.3333333)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

)5()3()2()1(6000000.0

)6()3()2()1(0.8229167

)6()5()2()1(0.4375000

)6()5()3()1(0.3333333

)6()5()3()2(0.1187500)(4

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxP

Las estimaciones son: 5000000.21)4(1 P , 5000000.01)4(2 P , 0000000.10)4(3 P ,

0000000.10)4(4 P


)2.0(5000000.011)5.0(0117.500000)(1 xxxP

)50.0()20.0(0000000.956

)60.0()20.0(0000000.0151)60.0()50.0(7500000.932)(2

xx

xxxxxP



Las estimaciones son: 6500000.33)4(1 P , 34.1750000)4(2 P

25. a) )3()2()1(8229167.0)5()2()1(3125000.1

)5()3()1(3333333.1)5()3()2(5937500.0)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

b) 0000000.10)4(3 P

26. Polinomio de interpolación de Lagrange:

)32.0()30.0(6000000.228

)35.0()30.0(2833333.524)35.0()32.0(5200000.295)(2

xx

xxxxxP

Valor estimado: 3334893.0)34.0(2 P .

Error de aproximación: 6102078.2 a

Cota de error: 6

2 102570.1)()( xfxP


)33.0()32.0()30.0(00011430.0000)35.0()32.0()30.0(66754006.6666

)35.0()33.0()30.0(33352428.3333)35.0()33.0()32.0(679850.66666)(3

xxxxxx

xxxxxxxP

Valor estimado: 0.3334813)34.0(3 P


Cota de error: 9

3 101116.1)()( xfxP


)768.0()733.0()698.0(172700.09718

)803.0()733.0()698.0(248388.33819

)803.0()768.0()698.0(368667.05539

)803.0()768.0()733.0(912978.03692)(3

xxx

xxx

xxx

xxxxP

Valor estimado: 0.7317040)75.0(3 P


Cota de error: 8

3 105711.2)()( xfxP

La función xxf cos)( en torno a 75.0x es aproximadamente lineal. La mejor

estimación es la correspondiente a un polinomio de primer grado.




)05.1()1(862519.72142

)07.1()1(003286.30000)07.1()05.1(6776.651428)(2

xx

xxxxxP

Valor estimado: 3.0530483)05.1(2 P .


Cota de error: 4

2 105008.1)()( xfxP .


)10.1()05.1()00.1(0465.600000

)15.1()05.1()00.1(001173.20000

)15.1()10.1()00.1(0965.600000

)15.1()10.1()05.1(3256.533333)(3

xxx

xxx

xxx

xxxxP

Estimación: 0.2826352)09.1(3 P


Cota de error: 4

3 100115.1)()( xfxP


)3.1()2.1()1.1()0.1(331088.20833

)4.1()2.1()1.1()0.1(673322.86666

)4.1()3.1()1.1()0.1(003881.77500

)4.1()3.1()2.1()0.1(332056.13333

)4.1()3.1()2.1()1.1(7416.666666)(4

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxP

Estimación: 1.7549609)25.1(3 P


Cota de error: 4

4 101521.1)()( xfxP

32. a) Polinomio de interpolación de Lagrange:

)8.1()7.1(0000000.300)9.1()7.1(0000000.100)9.1()8.1(33.3333333)(2 xxxxxxxP

Valor estimado:

2500000.0)75.1(2 P

b) Polinomio de interpolación de Lagrange:



)9.1()8.1()7.1(3583.333333

)1.2()8.1()7.1(0000000.1500

)1.2()9.1()7.1(3333.333333

)1.2()9.1()8.1(83.3333333)(3

xxx

xxx

xxx

xxxxP

Valor estimado: 875.0)75.1(3 P , 3333333.4)2(3 P

c) Se puede aplicar para la parte a), pero no para la parte b). La función es continua y

diferenciable en a), más no en b), pues )2(f no existe, y ]1.2,7.1[2 .

Las cotas del error son: 2

3 106.9)()( xfxP y 1344.0)()(4 xfxP

33. a) Polinomio de interpolación de Lagrange:

)20(15815.0)28(1475125.0)(1 xxxP

b) 2333.1)25(1 P

34. a) Polinomio de interpolación de Lagrange;

)13()5(6787879.0)16()5(8291667.0)16()13(1295455.0)(2 xxxxxxxP

b) 025.17)10(2 P

06 interpolacion de lagrange

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