04 interpolacion lineal
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MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 3: INTERPOLACIÓN Y
APROXIMACIÓN POLINÓMICA.
INTERPOLACIÓN LINEAL.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Interpolación lineal.
Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 25
3.4.- INTERPOLACIÓN LINEAL.
La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea
recta. Dicha técnica, llamada interpolación lineal, se ilustra de manera gráfica en la figura
3.5.
Figura 3.5. Esquema gráfico de la interpolación lineal. Las áreas sombreadas indican los triángulos
semejantes usados para obtener la fórmula de interpolación lineal. Ecuación (3.8).
Utilizando triángulos semejantes,
01
01
0
01 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
reordenándose se tiene
)()()(
)()( 0
01
01
01 xxxx
xfxfxfxf
(3.8)
que es una fórmula de interpolación lineal. La notación )(1 xf designa que éste es un
polinomio de interpolación de primer grado. En general, cuanto menor sea el intervalo entre
los datos, mejor será la aproximación. Esto se debe al hecho de que, conforme el intervalo
disminuye, una función continua estará mejor aproximada por una línea recta.
Ejemplo 3.4.
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a) Ajuste un polinomio de primer grado a los dos puntos del ejemplo ilustrativo 2. b)
Utilice dicho polinomio para obtener la estimación )5.1(1f .
ix 1 3
)( ixf –0.5 3.5
Solución.
a) Identificamos:
i 0 1
ix 1 3
)( ixf –0.5 3.5
Aplicando la ecuación (3.8) para obtener el polinomio interpolante de grado 1:
)()()(
)()( 0
01
01
01 xxxx
xfxfxfxf
(3.8)
Al sustituir valores:
)1(13
)5.0(5.35.0)(1
xxf
)1(2
45.0)(1 xxf
)1(25.0)(1 xxf
225.0)(1 xxf
xxf 25.2)(1
Este polinomio interpolante se encuentra graficado en la figura 3.2.
b) Utilizando el polinomio interpolante de grado 1 xxf 25.2)(1 , se sustituye 5.1x ,
para obtener:
)5.1(25.2)5.1(1 f
35.2)5.1(1 f
5.0)5.1(1 f
Ejemplo 3.5.
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Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación lineal. Primero, realice el cálculo
por interpolación entre de 01ln y de 3862944.14ln . Después, repita el procedimiento,
pero use un intervalo menor de de 1ln a 0986123.13ln . Observe que el valor verdadero
de de 2ln es 0.6931472.
Solución.
Al tomar el intervalo entre 01ln y de 386294.14ln
i 0 1
ix 1 4
)( ixf 0 1.3862944
Aplicando la ecuación (3.8) para obtener el polinomio interpolante de grado 1:
)()()(
)()( 0
01
01
01 xxxx
xfxfxfxf
(3.8)
Al sustituir valores:
)12(14
03862944.10)2(1
f
)1(3
3862944.1)2(1 f
4620981.0)2(1 f
El error relativo porcentual de la estimación es:
1006931472.0
4620981.06931472.0
%33.33
Al tomar el intervalo entre 01ln y de 0986123.13ln
i 0 1
ix 1 3
)( ixf 0 1.0986123
Aplicando la ecuación (3.8) para obtener el polinomio interpolante de grado 1:
)()()(
)()( 0
01
01
01 xxxx
xfxfxfxf
(3.8)
Al sustituir valores:
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)12(13
00986123.10)2(1
f
)1(2
0986123.1)2(1 f
5493062.0)2(1 f
El error relativo porcentual de la estimación es:
1006931472.0
5493062.06931472.0
%75.20
En la figura 3.6 se muestra la función xxf ln)( y las dos estimaciones incluidas en el
ejemplo.
Figura 3.6. Interpolación lineal de la función xxf ln)( en 2x en los intervalos ]3,1[ y ]4,1[ .
Ejercicios propuestos.
15. [CC] Estime el logaritmo base 10 de 5 (log 5) usando interpolación lineal.
a) Interpole entre 6020600.04log y 7781513.06log .
b) Interpole entre 6532125.05.4log y 7403627.05.5log .
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En cada una de las interpolaciones, calcule el error relativo porcentual con base en el valor
verdadero.
16. [CC] Estime el logaritmo de 10 por medio de interpolación lineal.
a) Interpole entre 9030900.08log y 0791812.112log .
b) Interpole entre 9542425.09log y 0413927.111log .
Para cada una de las interpolaciones calcule el error relativo porcentual con base en el valor
verdadero.
17. Sea xexf )( , 20 x . Usando los valores dados abajo, efectúe los siguientes
cálculos:
a) Aproxime )25.0(f usando interpolación lineal con 00 x y 5.01 x .
b) Aproxime )75.0(f usando interpolación lineal con 5.00 x y 11 x .
ix 0.0 0.5 1.0 2.0
)( ixf 1.00000 1.64872 2.71828 7.38906
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
15. a) xxP 08804565.02498774.0)(1 , 69010565.0)5(1 P , %2682.1% a ; b)
xxP 0871502.02610366.0)(1 , 0.6967876)5(1 P , %3122.0% a .
16. a) xxP 0440228.05509076.0)(1 , 9911356.0)10(1 P , %8864.0% a ; b)
xxP 1071502.0510366.0)(1 , 0.9978176)10(1 P , %2182.0% a .
17. a) xxP 29744.11)(1 , 1.3243600)25.0(1 P , %0335.4% a ; b)
xxP 13892.257926.0)(1 , 2.1834500)75.0(1 P , %1389.3% a .