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Universidad Diego PortalesFacultad de Economía

y Empresa

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Modelos de Probabilidad Continuos Distribución de Probabilidad Uniforme Distribución de Probabilidad Exponencial Distribución de Probabilidad Normal

x

f(x)

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Modelos de Probabilidad Continuos

Como recordará, una Variable Aleatoria Continua puede asumir cualquier valor en un intervalo en la línea de los números reales o en un conjunto de intervalos.

No es posible hablar de la probabilidad de una variable aleatoria asumiendo solo un valor.

Más bien, hablamos de la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un determinado valor en un determinado intervalo.

La probabilidad de que la VA asuma un valor al interior de un intervalo de x1 a x2 se define como el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad entre x1 y x2.

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Una Variable Aleatoria se encuentra uniformemente distribuida siempre que su probabilidad sea proporcional al largo del intervalo.

Función de Densidad de Probabilidad Uniforme:

f(x) = 1/(b - a) para a < x < b = 0 TOL

Donde: a = Menor valor que la VA puede asumir

b = Mayor valor que la VA puede asumir

Distribución de Probabilidad Uniforme

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Distribución de Probabilidad Uniforme

Valor Esperado de xE(x) = (a + b)/2

Varianza de x Var(x) = (b - a)2/12

Donde: a = Menor valor que la VA puede asumir

b = Mayor valor que la VA puede asumir

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Ejemplo: Restaurante Slater

Distribución de Probabilidad UniformeA los clientes de Slater se les cobra por

el tamaño de la porción de ensalada que toman. Muestreos anteriores sugieren que el tamaño de la ensalada se distribuye uniforme entre 5 y 15 onzas.

La función de densidad de probabilidad es:

f(x) = 1/10 para 5 < x < 15 = 0 TOL

Donde:x = peso en onzas del plato de

ensalada

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Ejemplo: Restaurante Slater

Distribución de Probabilidad Uniforme¿Cuál es la probabilidad de que un

cliente tome entre 12 y 15 onzas de ensalada?f(x)

x5 10 1512

1/10

Peso (oz.)

P(12 < x < 15) = 1/10(3) = 0,3

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Ejemplo: Restaurante Slater

Valor Esperado de xE(x) = (a + b)/2 = (5 + 15)/2 = 10

Varianza de x Var(x) = (b - a)2/12

= (15 – 5)2/12 = 8,33

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Distribución de Probabilidad Exponencial

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

para x > 0, > 0

donde: = media e = 2.71828

f x e x( ) / 1

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Distribución de Probabilidad Exponencial

Función de Distribución Exponencial Acumulativa

donde: x0 = algún valor específico de x

P x x e x( ) / 0 1 o

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Distribución de Probabilidad ExponencialEl tiempo de arribo de autos al negocio de

lavado de autos de Al sigue una distribución de probabilidad exponencial con un tiempo medio de arribo de 3 minutos. Al dueño le gustaría saber la probabilidad de que el tiempo entre la llegada de dos clientes sea 2 minutos o menos.

P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866

Ejemplo: Lavado de Autos de Al

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Ejemplo: Lavado de Autos de Al

Gráfico de la Función de Densidad de Probabilidad

x

f(x)

.1

.3

.4

.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(x < 2) = área = 0,4866

Tiempo entre llegadas de clientes sucesivas (mins.)

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Relación entre la distribución de Poissony la Distribución Exponencial

(Si) la distribución Poisson provee una descripción adecuada del número de

ocurrencias por intervalo

(Si) la distribución exponencialprovee una descripción adecuada de lalongitud del intervalo entre ocurrencias

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FIN DE CLASE

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Distribución de Probabilidad Normal

Gráfico de una Función de Densidad de Probabilidad Normal

x

f(x)

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Distribución de Probabilidad Normal

Características de la Distribución de Probabilidad Normal• La forma de la curva normal tiene la forma

de una curva en forma de campana.• Consiste de dos parámetros, (media) y s

(desviación estándar); ellos son suficientes para determinar la localización y la forma de la distribución.

• El punto más alto en la curva normal es la media, que también corresponde a la mediana y la moda.

• La media puede ser cualquier valor numérico: negativa, cero, o positiva.

… continua

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Distribución de Probabilidad Normal

Características de la Distribución de Probabilidad Normal• La curva normal es simétrica.• La desviación estándar determina el ancho

de la curva: valores mayores resultan en curvas más anchas y planas.

• El área total bajo la curva es 1 (0,5 a la izquierda de la media, y 0,5 a la derecha).

• Las probabilidades para la VA normal están dadas por áreas bajo la curva.

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Distribución de Probabilidad Normal

% de los valores en intervalos comúnmente utilizados• El 68,26% de los valores en una VA normal se

localizan alrededor de +/- 1 desviación de su media.

• El 95.44% de los valores en una VA normal se alrededor de +/- 2 desviación de su media.

• El 99.72% de los valores en una VA normal se alrededor de +/- 3 desviación de su media.

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Distribución de Probabilidad Normal

Función de Densidad de Probabilidad Normal

Donde: = media s = desviación estándar = 3.14159 e = 2.71828

f x e x( ) ( ) / 12

2 2 2

s s

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Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada

Una VA que tiene una distribución normal con media cero y una desviación estándar de uno se dice tener una Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada.

La letra z se usa comúnmente para describir a esta VA normal.

Convirtiendo a una Desviación Normal Estandarizada

Podemos pensar a z como una medida del número de desviaciones estándar en que x se encuentra alejada de .

z x s

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Ejemplo: Pep Zone

Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada

La cadena de venta de Auto partes Pep Zone vende repuestos para autos y aceites para motores de diferentes graduaciones. Cuando los inventarios de aceite llegan a los 20 galones, se emite de inmediato una orden de recompra.

El administrador de una tienda local está preocupado de que se pierdan ventas debido a falta de inventarios mientras se espera por reabastecimientos. Se ha determinado que la demanda se encuentra normalmente distribuida con media de 15 galones y una desviación estándar de 6 galones.

Al administrador le gustaría conocer la probabilidad de quedarse sin inventarios de aceite, es decir, P(x > 20).

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Distribución de Probabilidad Normal EstandarizadaLas tablas normales estándar muestran una área de 0, 2967 para la región entre z = 0 y z = 0,83 de las líneas abajo. El área de la cola sombreada es 0,5 – 0,2967 = 0,2033. La probabilidad de quedarse sin inventarios es de 0,2033. z = (x - )/s = (20 - 15)/6

= 0,83

Ejemplo: Pep Zone

0 .83

Area = 0,2967

Area = .5

Area = 0,5 – 0,2967 = 0,2033

z

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Usando la Tabla de Probabilidades Normal Estándar

Ejemplo: Pep Zone

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

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Distribución de Probabilidad Normal EstandarizadaSi el administrador de Pep Zone quiere que la prob. de quedarse son inventarios sea no más de 0,05 ¿En que nivel de inventarios debería emitir una orden de recompra?

z.05 representa el valor z de corte del área de

0,05 en la cola

Ejemplo: Pep Zone

Area = .05

Area = .5 Area = .450 z.05

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Usando la Tabla de Probabilidades Normal EstándarBuscamos el área 0, 4500 en la tabla de probabilidades área encontrar el valor de z.05

z.05 = 1.645 es el estimado más cercano.

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . .

1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 . . . . . . . . . . .

Ejemplo: Pep Zone

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Distribución de Probabilidad Normal Estandarizada

El valor correspondiente de x está dado por

x = + z.05s= 15 + 1.645(6) = 24.87

Cuando los inventarios alcancen 24.87 galones, debe emitirse una orden de recompra para que la probabilidad de quedarse sin ellos sea de 0,05.

Tal vez el administrador de Pep Zone deba emitir la orden de recompra en 25 galones, y no en los 20 galones actuales, para mantener dicha probabilidad bajo 0,05.

Ejemplo: Pep Zone