un primer curso de topologia general neptali romero

Un primer curso de Topologıa General

Neptalı Romero

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado

Decanato de Ciencias y Tecnologıa

Departamento de Matematicas

Enero, 2010

Indice general

1. Preliminares 11.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Composicion e invertibilidad de funciones . . . . . . . . . 61.2.2. Imagen directa e inversa de conjuntos . . . . . . . . . . . 7

1.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3. Lema de Zorn y algunas equivalencias . . . . . . . . . . . 17

1.4. Cardinalidad y conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Espacios Topologicos 252.1. Algo de la historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1. Ejemplos clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2. Ejemplos adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.3. Relativizacion de topologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3. Bases, subbases y vencindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.1. Bases y subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.2. Vecindades y nociones de proximidad . . . . . . . . . . . 492.3.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4. Vocablos topologicos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4.1. Clausura de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4.2. Puntos de acumulacion y puntos aislados . . . . . . . . . 632.4.3. Interior, exterior y frontera de un conjunto . . . . . . . . 662.4.4. Conjuntos densos y nunca densos . . . . . . . . . . . . . . 702.4.5. Axiomas de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3. Espacios Metricos 853.1. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1.1. Topologıas metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2. Continuidad en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2.1. Definicion, ejemplos y propiedades fundamentales . . . . . 1053.2.2. Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

i

ii INDICE GENERAL

3.2.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.3. Completitud de espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3.1. Espacios metricos completos: definicion y ejemplos . . . . 1233.3.2. Consecuencias de la completitud . . . . . . . . . . . . . . 1343.3.3. Espacios Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4. Funciones continuas y homeomorfismos 1514.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.1.1. Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . 1514.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.2. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.2.1. Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . 1604.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5. Topologıas Producto y Cociente 1735.1. Topologıa Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.1.1. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.2. Topologıa Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.2.1. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6. Conexidad y Compacidad 1956.1. Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.1.1. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.1.2. Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.1.3. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.1.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.2. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.2.1. Definicion, ejemplos y equivalencias . . . . . . . . . . . . 2116.2.2. Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.2.3. Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.2.4. Compacidad y conjuntos de Cantor . . . . . . . . . . . . . 2226.2.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Bibliografıa recomendada 235

1Preliminares

“Mathematics is a science of pure thought, just as is formal logic”

Felix Hausdorff (1868 - 1942)

Para tener una lectura comprensiva de los fundamentos de la disciplina ma-tematica conocida como Topologıa General es requerido, ademas de una razo-nable madurez matematica, cierto conocimiento de la Teorıa de Conjuntos; estaes la razon de este capıtulo, el cual catalogamos como referencial ya que en else introducen: notaciones, conceptos, propiedades y enunciados requeridos, ensu mayorıa, para el resto del manuscrito. Aunque gran parte de estos concep-tos, propiedades y enunciados luzcan familiares para la mayorıa de los lectores,advertimos que algunos son realmente muy profundos. A pesar de ello, la exposi-cion que haremos en este capıtulo puede calificarse como introductoria, e inclusointuitiva; ademas, esta muy lejos de una exposicion formal de lo en la actuali-dad se conoce como Fundamentos de la Matematica. Omitiremos la totalidadde las demostraciones de los enunciados, por ello, alentamos al lector a recurrira fuentes bibilograficas sobre Teorıa de Conjuntos. Una de las cuales podrıa serel notable libro de Paul Halmos, Naıve Set Theory, Van Nostrand, Princeton(1960); una version resumida de la teorıa elemental de conjuntos puede verse enel apendice del libro de Kelley [7].

1.1. Conjuntos

La idea de conjunto es realmente parte de nuestra vida desde la escuelaelemental; se trata esencialemente de un agregado de cosas. El termino conjuntoes sinonimo, en Matematica, de coleccion, familia, clase, etc. Los miembros delagregado que definen a un conjunto A se llaman elementos de A. Si a es unelemento del conjunto A, escribimos a ∈ A, lo cual se lee “a pertenece a A”,o tambien como “A contiene a a”. Si a no es un elemento de A, entonces talpropiedad es denotada por a /∈ A. Un conjunto que no contenga elementosse conoce con el nombre de conjunto vacıo y se denota por el sımbolo ∅. Dosconjuntos A y B son iguales si ambos tienen los mismos elementos; es decir,x ∈ A si, y solo si, x ∈ B; ello se escribe como A = B. Si todos los elementos deun conjunto B son elementos de un conjunto A, diremos que B es subconjuntode A; lo que simbolicamente denotaremos por B ⊂ A. Es claro que:

∅ ⊂ A, para todo conjunto A;

A ⊂ A, para todo conjunto A;

A = B si, y solamente si, A ⊂ B y B ⊂ A; y

1

2 1.1. Conjuntos

Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

Dado cualquier conjunto A, se conoce como conjunto de partes de A al con-junto P(A) formado por todos los conjuntos que son subconjuntos de A; estoes, B ∈ P(A) si, y solo si, B ⊂ A. Obviamente, ∅ y el propio A son elementosde P(A). Tambien es usual denotar a P(A) como 2A.

Cada conjunto A es simbolizado mediante dos llaves “{” y “}”, entre lascuales estan los elementos de A. Obviamente no siempre es posible describirexplıcitamente por extenso los elementos entre ese par de llaves, por ello se re-curre a proposiciones o enunciados que sean satisfechas por los elementos delconjunto, para ası describir el conjunto mediante esos enunciados o proposicio-nes. Por ejemplo, si N = {0, 1, 2, · · · } es el conjunto de todos los numeros natu-rales (para nosotros el conjunto de los numeros enteros no negativos), entonces{n ∈ N : n es un numero primo} describe al conjunto de todos los numerosnaturales que son primos; mientras que {B : B ⊂ A} es una descripcion para elconjunto de partes de A, en este caso “ser subconjunto de A” es el enunciadoque permite hacer esta descripcion.

Un idea tan ingenua para describir los conjuntos mediante el cumplimiento,o no, de alguna propiedad conduce a la clasica paradoja de Russell: si U es elconjunto de todos los conjuntos, y hacemos V = {A ∈ U : A /∈ A}, entonces sellega a la siguiente proposicion contradictoria V ∈ V si, y solo si, V /∈ V . Estaparadoja puede ser evitada, tambien intuitivamente, asumiendo que “ningunagregado de cosas que sea elemento de sı mismo es un conjunto”. En realidadeste es un tema muy sofisticado que los logicos y especialistas en Fundamentosde la Matematica han tratado, y tratan, para hacer de la teorıa de conjuntos ellenguaje sobre el cual se escribe la matematica moderna.

En adelante estaremos utilizando las notaciones a continuacion para los si-guientes conjuntos numericos:

Z el conjunto de los numeros enteros;

N el conjunto de numeros naturales, o enteros no negativos;

R el conjunto de numeros reales;

Q el conjunto de numeros racionales;

I el conjunto de numeros irracionales; y

C el conjunto de numeros complejos

1.1.1. Operaciones con conjuntos

§§§ Union e interseccion de conjuntos

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, se definen:

1. Preliminares 3

(1) la union de A y B, como el conjunto A ∪ B (se lee “A union B”) formadopor todos aquellos elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B;esto es

A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B};

(2) la interseccion de A y B, como el conjunto A ∩ B (se lee “A interseccionB”) formado por todos aquellos elementos que pertenecen tanto al conjuntoA como al conjunto B; en otras palabras

A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

Diremos que un conjunto A corta al conjunto B si A ∩ B 6= ∅, caso contrariolos conjuntos A y B se dicen disjuntos. Las operaciones union ∪ e interseccion∩ admiten notables propiedades:

(a) Para cada conjunto A, A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅.

(b) Idempotencia. Para cada conjunto A, A ∪A = A = A ∩A.

(c) Conmutatividad. Para todo par de conjuntos A y B se cumplen

A ∪B = B ∪A y A ∩B = B ∩A.

(d) Asociatividad. Cualesquiera sean los conjuntos A,B y C valen

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C y A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.

(e) Distributividad. Cualesquiera sean los conjuntos A,B y C valen

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

La union e interseccion de conjuntos pueden colocarse en un contexto masgeneral. Sea F una familia de conjuntos, la union de los conjuntos en F es elconjunto

⋃A∈F F , tambien denotado por

⋃F , formado por todos los elementos

que pertenecen a al menos un conjunto en F ; es decir, x ∈⋃A∈F F si, y solo

si, existe A ∈ F tal que x ∈ A. Por otra parte, la interseccion de los conjun-tos en F es el conjunto

⋂A∈F F , con notacion alterna

⋂F , determinado por

todos los elementos que pertenecen a cada uno de los conjuntos en F ; ası que,x ∈

⋂A∈F F si, y solo si, x ∈ A para cada A ∈ F . En caso que F sea una

familia del tipo {Aα : α ∈ Γ}, la union e interseccion de los conjuntos en F seescriben, respectivamente, como

⋃α∈ΓAα y

⋂α∈ΓAα. Cuando estan involucra-

dos unicamente un numero finito de conjuntos, digamos A1, · · · , An, entonceslas notaciones para la union e interseccion de estos conjuntos son A1 ∪ · · · ∪Ano⋃ni=1Ai, y A1∩ · · ·∩An o

⋂ni=1Ai. En cuanto que si se trata de una coleccion

infinito numerable, escribiremos A1 ∪ A2 ∪ · · · o⋃∞i=1Ai, y A1 ∩ A2 ∩ · · · o⋂∞

i=1Ai. En este marco de uniones e intersecciones de familias de conjuntos noes difıcil verificar que:

4 1.1. Conjuntos

Para cada conjunto B, B ∩ (⋃α∈ΓAα) =

⋃α∈Γ(B ∩Aα).

Para cada conjunto B, B ∪ (⋂α∈ΓAα) =

⋂α∈Γ(B ∪Aα).

Si F es la familia vacıa de subconjuntos de A,⋃F = ∅ y

⋂F = A.

§§§ Diferencia de conjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B se define la diferencia de A y B (enese orden), como el conjunto A \B = {x : x ∈ A y x /∈ B}. La diferencia A \Btambien es denominada complemento de B en A y se acostumbra denotarlo porCAB. Note que esta operacion entre conjuntos no es conmutativa; no obstantesatisface importantes propiedades, entre las cuales:

Si A y B son subconjuntos de X, entonces

(a) A ∩ (X \A) = ∅ y A ∪ (X \A) = X.

(b) X \ (X \A) = A.

(c) X \ ∅ = X y X \X = ∅.(d) A ⊂ B si, y solo si, X \B ⊂ X \A.

(e) Leyes de De Morgan:

• X \ (A ∪B) = (X \A) ∩ (X \B).• X \ (A ∩B) = (X \A) ∪ (X \B)

A ⊂ B si, y solo si, A \ B = ∅; mientras que A ∩ B = ∅ si, y solo si,A \B = A.

Las leyes de De Morgan tienen su version en el marco de uniones e intersec-ciones generalizadas. Sea F una familia de subconjuntos de X, entonces

• X \ (⋃A∈F A) =

⋂A∈F (X \A).

• X \ (⋂A∈F A) =

⋃A∈F (X \A).

§§§ Producto cartesiano de conjuntos

Consideremos un par de conjuntos cualesquiera A y B, el producto cartesianode A por B es el conjunto A × B formado por todos los objetos, denominadospares ordenados, (a, b), donde a ∈ A y b ∈ B; esto es

A×B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.

Dado cualquier par ordenado (a, b) ∈ A× B, el elemento a se le llama primeracomponente del par, mientras que b es su segunda componente. Los pares orde-nados estan sujetos a la siguiente condicion: (a, b) = (c, d) si, y solo si, a = c yb = d. Por tanto en general no es cierto que (a, b) = (b.a), razon por la cual elproducto cartesiano de conjuntos no es conmutativo. Las propiedades basicasdel producto cartesiano son las siguientes:

1. Preliminares 5

A×B = ∅ si, y solo si, A = ∅ o B = ∅.

Si A×B 6= ∅, entonces C ×D ⊂ A×B si, y solo si, C ⊂ A y D ⊂ B.

Propiedades distributivas:

• A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C).

• A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).

• A× (B \ C) = (A×B) \ (A× C).

El producto cartesiano tambien se define para mas de dos conjuntos. SiA1, · · · , An son conjuntos (n ≥ 2), entonces el producto cartesiano deA1, · · · , An(en ese orden) es el conjunto, que denotamos por A1× · · · ×An, o

∏ni=1Ai, for-

mado por todos los objetos de la forma (a1, · · · , an), denominados n-tuplas,donde ai ∈ Ai para cada i = 1, · · · , n; ai es llamada la i-esima coordenada de lan-tupla (a1, · · · , an). Cuando se realice el producto cartesiano de un conjunto Aconsigo mismo un numero n de veces, escribiremos An; ası pues, por ejemplo, Rn

es el conjunto de todas las n-tuplas (α1, · · · , αn), donde cada coordenada es unnumero real. Debe destacarse que similares propiedades a las arriba enunciadasse tienen para el producto cartesiano de un numero finito de conjuntos. Tambienes importante mencionar que este concepto admite una extension a productosarbitrarios de conjuntos, este sera introducido en el capıtulo 5 cuando tratemosla topologıa producto.

1.2. Funciones

Desde la matematica elemental nos hemos venido encontrando con el terminofuncion, por ejemplo hemos escuchado, y tratado, con vocablos como: funcionlogarıtmica, exponencial, trigonometrica, polinomial, etc. De hecho el uso de lanocion de funcion esta presente en casi que cualquier area de la matematica yotras ciencias, incluso las sociales. En lo que sigue recordaremos los aspectosmas elementales y requeridos a lo largo de la monagrafıa.

Definicion 1.1. Consideremos un par de conjuntos no vacıos cualesquiera,digamos X e Y . Una funcion de X en Y es una regla de correspondencia f

que asigna a cada elemento x ∈ X un unico elemento f(x) ∈ Y .

Una funcion f de X en Y se denotar por f : X → Y , o Xf−→ Y ; ademas,

existen otras palabras que tienen el mismo significado matematico de funcion:mapa, aplicacion, transformacion. Al conjunto X se le denomina dominio de f ,mientras que Y es su contradominio. Para cada x ∈ X, se conoce como imagende x al punto f(x); y {f(x) : x ∈ X} = f(X) es llamado imagen, o rango, de f .Al conjunto {(x, f(x)) : x ∈ X} se le denomina grafico de f , el cual es denotadopor graf(f). Note que graf(f) ⊂ X × Y ; ademas, un subconjunto A de X × Y

6 1.2. Funciones

es el grafico de una funcion si, y solo si, no existen pares ordenados distintos enA con la misma primera componente. Dos funciones f : X → Y y g : X → Y

son iguales siempre que X = X; es decir, tengan el mismo dominio, y para cadax ∈ X se cumple que f(x) = g(x).

Es claro que no siempre el contradominio de una funcion tiene que coincidircon su imagen, ni todo par de elementos distintos del dominio tiene que tenerimagenes distintas. Una funcion f : X → Y es sobreyectiva si, y solo si, sucontradominio e imagen son iguales: f(X) = Y ; se dice que f es inyectiva si,y solo si, para todo x, y ∈ X con x 6= y se cumple f(x) 6= f(y). En adicion, lafuncion f es dicha biyectiva si, y solo si, es inyectiva y sobreyectiva.

Consideremos una funcion f : X → Y . Para cada A ⊂ X, la funcionfA : A → Y definida, para cada a ∈ A, por fA(a) = f(a), es conocida co-mo restriccion de f a A.

Supongamos ahora que f : X1 × · · · × Xn → Y es una funcion; fijado unındice i ∈ {1, · · · , n} y valores xj ∈ Xj para todo j ∈ {1, · · · , n} \ {i}, lafuncion fi : Xi → Y dada por fi(xi) = f(x1, · · · , xn), cualquiera sea xi ∈ Xi,se denomina i-esima funcion parcial de f . Finalmente, dada cualquier funcionf : X → Y1×· · ·×Yn, existen unicas funciones fXj : X → Xj , j = 1, · · · , n, talesque para cada x ∈ X se satisface f(x) = (fX1(x), · · · , fXn(x)). A las funcionesfXj , j = 1, · · · , n, se les denomina funciones coordenadas de f .

1.2.1. Composicion e invertibilidad de funciones

Consideremos un conjunto no vacıo X y A ⊂ X, tambien no vacıo. Lafuncion idX : X → X dada por idX(x) = x para todo x ∈ X se denominafuncion identidad en X; mientras que la funcion iA : A→ X definida mediantela regla de correspondencia iA(x) = x, cualquiera sea x ∈ A, se llama funcioninclusion. Note que idX e iA son, respectivamente, biyectiva e inyectiva.

Definicion 1.2. La composicion de dos funciones f : X → Y y g : Y → Z esla funcion g ◦ f : X → Z definida, para cada x ∈ X, por (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

1. Preliminares 7

El sımbolo g ◦ f se lee “g compuesto f”, o “la compuesta de g y f”, enese orden. Note que para que tenga sentido la composicion de dos funciones esrequerido que el contradominio de una de ellas sea el dominio de la otra.

Definicion 1.3. Una funcion g : Y → X se dice inversa de f : X → Y si, y solosi, g ◦ f = idX y f ◦ g = idY . Una funcion que admita una inversa se denominainvertible.

Es simple mostrar que la composicion de funciones y las funciones invertiblessatisfacen las propiedades de la siguiente proposicion.

Proposicion 1.1.

(1) La composicion de funciones es una operacion asociativa; es decir, cuales-quiera sean las funciones f : X → Y , g : Y → Z y h : Z → W , siempre secumple h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .

(2) Para toda f : X → Y , f ◦ idX = idY ◦ f = f .

(3) La composicion de funciones inyectivas es inyectiva.

(4) Si la composicion g ◦ f es inyectiva, entonces tambien lo es f .

(5) La composicion de funciones sobreyectivas es sobreyectiva.

(6) Si la composicion g ◦ f es sobreyectiva, entonces tambien lo es g.

(7) La composicion de funciones biyectivas es biyectiva.

(8) Una funcion es invertible si, y solo si, es biyectiva.

(9) Si f : X → Y es invertible, entonces la inversa es unica, en adelantedenotada por f−1 : Y → X; ademas, f(x) = y equivale a f−1(y) = x,cualquiera sea x ∈ X.

1.2.2. Imagen directa e inversa de conjuntos

Definicion 1.4. Dados una funcion f : X → Y y subconjuntos A de X y B

de Y , se conoce como imagen directa, o imagen, de A al subconjunto f(A) deY definido como f(A) = {f(a) : a ∈ A}; mientras que la preimagen, o imageninversa, de B es el subconjunto f−1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.

Debe tenerse cuidado con el uso del vocablo “imagen inversa”, observe quela imagen inversa de un conjunto no es el conjunto cuya imagen es el conjuntodado; es decir, en general es falso que f−1(B) = A sea equivalente a f(A) = B.La siguiente figura ilustra este comentario. La siguiente proposicion recoge unconjunto de propiedades basicas de las imagenes directa e inversa de funciones.

Proposicion 1.2. Dada cualquier funcion f : X → Y siempre se verifican:

8 1.3. Relaciones

Figura 1.1: Ejemplo de una funcion f donde f(f−1(B)) 6= B.

(1) f(∅) = ∅, f(X) ⊂ Y , y si A ⊂ X es no vacıo, entonces f(A) 6= ∅.

(2) Si A1 y A2 son subconjuntos de X con A1 ⊂ A2, entonces f(A1) ⊂ f(A2).

(3) Si {Aα : α ∈ Λ} es cualquier familia de subconjuntos de X, entonces secumplen: f

(⋃α∈ΛAα

)=⋃α∈Λ f(Aα) y f

(⋂α∈ΛAα

)⊂⋂α∈Λ f(Aα).

(4) Si A1 y A2 son subconjuntos de X, entonces f(A1) \ f(A2) ⊂ f(A1 \A2).

(5) f−1(∅) = ∅, f−1(Y ) = X y en general no es cierto que si ∅ 6= B ⊂ Y ,entonces f−1(B) 6= ∅.

(6) Si B1, B2 ⊂ Y y B1 ⊂ B2, entonces f−1(B1) ⊂ f−1(B2).

(7) Si {Bα : α ∈ Λ} es cualquier familia de subconjuntos de Y , entonces se cum-plen: f−1

(⋃α∈ΛBα

)=⋃α∈Λ f

−1(Bα) y f−1(⋂

α∈ΛBα)

=⋂α∈Λ f

−1(Bα).

(8) Si B1, B2 ⊂ Y , entonces f−1(B1 \B2) = f−1(B1) \ f−1(B2).

(9) Para todo A ⊂ X y B ⊂ Y se cumplen: A ⊂ f−1(f(A)) y f(f−1(B)) ⊂ B.

(10) f es inyectiva si, y solo si, para cada A ⊂ X se cumple f−1(f(A)) = A.

(11) f es sobreyectiva si, y solo si, para cada B ⊂ Y se cumple f(f−1(B)) = B.

(12) Para toda funcion g : Y → Z, A ⊂ X y C ⊂ Z se satisfacen las identidades(g ◦ f)−1(C) = f−1(g−1(C)) y (g ◦ f)(A) = g(f(A)).

1.3. Relaciones

Consideremos un conjunto no vacıo cualquiera X y el producto cartesianode X consigo mismo; esto es, el conjunto X ×X = {(x, y) : x, y ∈ X}.

1. Preliminares 9

Definicion 1.5. Dado un conjunto no vacıo X, se denomina relacion en X

a cualquier subconjunto R de X × X. Dados x, y ∈ X, se dice que x esta R-relacionado con y si, y solo si, (x, y) ∈ R, lo cual se denota por xRy. En casode no existir confusion se dice que x esta relacionado con y.

Muy frecuentemente son empleados sımbolos especiales para denotar rela-ciones en conjuntos, por ejemplo: =, ∼, ≺, �, <, ≤, ⊂, etc. Ası, x ∼ y indicaque x esta ∼-relacionado con y, etc.

Definicion 1.6. Dada una relacion R en X, se conoce con el nombre de dominiode R, denotado por dom(R), al conjunto formado por las primeras componentede los pares en R; es decir, dom(R) = {x ∈ X : (x, y) ∈ R para algun y ∈ X}.Mientras que el rango de R, denotado por ran(R), es el conjunto dado porran(R) = {y ∈ X : (x, y) ∈ R para algun x ∈ X}.

Muchas relaciones que se definen en conjuntos son dadas mediante algunapropiedad que deben cumplir los elementos de ese conjunto; por ejemplo, enR la relacion R dada por x esta relacionado con y si, y solo si, x − y es unnumero negativo. Ası (

√2, 2) ∈ R, mientras que (3, 1) /∈ R. Esta particular

relacion podemos denotarla por el conocido sımbolo <; esto es, (x, y) ∈ R si,y solo si, x < y. Otro par de ejemplos son los siguientes, en X decimos quex esta relacionado con y si, y solo si, x = y; esta relacion es conocida comorelacion identidad, note que como subconjunto de X ×X la relacion identidades igual al conjunto ∆ = {(x, x) : x ∈ X}, el cual se conoce como la diagonalde X × X. Ahora consideremos el conjunto de partes de X, P(X), que es elconjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de X. En P(X) definimosla relacion inclusion declarando que A ∈ P(X) esta relacionado con B ∈ P(X)si, y solo si, cada elemento de A es tambien un elemento de B, escrito en terminosconjuntistas, A esta relacionado conB si, y solo si, A ⊂ B. Por tanto decimos que⊂ es una relacion en P(X). Note que estos son solamente ejemplos de relaciones;sobre un conjunto pueden definirse diversas relaciones, que en ocasiones notienen nada que ver una con otra.

Definicion 1.7. Sean X un conjunto no vacıo, R y S relaciones en X. Se conocecon el nombre de relacion inversa de R a la relacion R−1 = {(x, y) : (y, x) ∈ R}.Y se conoce como la relacion de composicion de R y S a la relacion dada porR ◦ S = {(x, z) : (x, y) ∈ S y (y, z) ∈ R para algun y ∈ X}. En otras palabras,x esta relacionado con z segun la composicion de R y S si, y solo si, existe y ∈ Xtal que (x, y) ∈ S y (y, z) ∈ R.

Observe que para cualquier relacion R en X, su inversa R−1 es tal quedom(R−1) = ran(R) y ran(R−1) = dom(R). Note que si R es una relacion novacıa, entonces su inversa R−1 tambien es no vacıa. Si R y S son relaciones enX, la relacion composicion R ◦ S se acostumbra denotarse mediante el sımboloRS. A diferencia de la relacion inversa, puede ocurrir que aunque un par de

10 1.3. Relaciones

relaciones sean no vacıas su composicion sı lo sea. Por ejemplo, consideremos enel conjunto X = {a, b, c, d} las relaciones R y S dadas por

R = {(a, d), (b, c)} y S = {(a, b), (b, c)}.

En este caso es simple verificar que RS = {(a, c)} y SR = ∅. En particular, esteejemplo tambien muestra que la composicion no es una propiedad conmutativa;esto es, no siempre vale RS = SR.

Claramente la relacion identidad ∆ en X es tal que para cualquier relacionR en X se cumple ∆R = R∆ = R. Si R es una relacion en X y A ⊂ X, sedenota por R[A] al subconjunto de X dado por

R[A] = {y ∈ X : existe x ∈ A tal que (x, y) ∈ R};

es decir, R[A] es el subconjunto de elementos y del rango de R para los cualesexiste un elemento x ∈ A que esta relacionado con y; algunas veces al conjuntoR[A] se le denomina imagen de A mediante R.

La siguiente proposicion, cuya demostracion obviamos, ofrece algunas pro-piedades de las relaciones inversas, composicion de relaciones e imagenes deconjuntos mediante relaciones.

Proposicion 1.3. Sean R,S y T relaciones en X, y sean A y B subconjuntosde X. Entonces valen:

1. (R−1)−1 = R y (RS)−1 = S−1R−1.

2. R(ST ) = (RS)T y (RS)[A] = R[S[A]].

3. R[A ∪B] = R[A] ∪R[B] y R[A ∩B] ⊂ R[A] ∩R[B].

Definicion 1.8. Dada una relacion R en un conjunto X, se dice que:

R es reflexiva si, y solo si, para cada x ∈ X se tiene que (x, x) ∈ R.En otras palabras, R es reflexiva si, y solo si, la diagonal ∆ de X × Xesta contenida en R.

R es irreflexiva si, y solo si, para cada x ∈ X se tiene que (x, x) /∈ R. Enotras palabras, R es irreflexiva si, y solo si, ∆ ∩R = ∅.

R es simetrica si, y solo si, para todo x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces(y, x) ∈ R. En otras palabras, R es simetrica si, y solo si, R = R−1.

R es asimetrica si, y solo si, para todo x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces(y, x) /∈ R. Es decir, R es asimetrica si, y solo si, R ∩R−1 = ∅.

R es antisimetrica si, y solo si, para todo x, y ∈ X, si (x, y) y (y, x)pertenecen a R, entonces x = y. Esto es, R ∩R−1 ⊂ ∆.

1. Preliminares 11

R es transitiva si, y solo si, para todo x, y, z ∈ X, si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R,entonces (x, z) ∈ R. En terminos de composicion, la transitividad de R esequivalente a RR ⊂ R.

Comentario 1.1. Observe que si R es una relacion transitiva en X, entoncesse cumple que R−1R−1 = (RR)−1 ⊂ R−1, por tanto la inversa de una relaciontransitiva es tambien transitiva. Por otro lado, si R es simultaneamente reflexivay transitiva, entonces R∆ ⊂ RR, con lo cual RR = R. Relaciones con estapropiedad se les denomina idempotente.

Note que la irreflexividad no es la negacion de la reflexividad, pueden cons-truirse relaciones no reflexivas que no son irreflexivas. No obstante, toda relacionirreflexiva es no reflexiva. Por otra parte, ni la asimetrıa ni la antisimetrıa sonla negacion de la simetrıa. Pueden construirse ejemplos de relaciones que sonsimultaneamente simetricas y antisimetricas, otras que no son simetricas ni an-tisimetricas, otras que son simetricas y no antisimetricas, y otras no simetricasque son antisimetricas. Adicionalmente, es simple verificar que toda relacionasimetrica es no simetrica (su recıproco es falso); una relacion es asimetrica si,y solo si, es antisimetrica e irreflexiva; y si una relacion es transitiva, entoncesla asimetrıa y la irreflexividad son equivalentes.

1.3.1. Relaciones de equivalencia

Ahora recordaremos una clase especial de relaciones en un conjunto: lasrelaciones de equivalencia.

Definicion 1.9. Se dice que una relacion R en un conjunto X es de equivalenciasi, y solo si, R es simultaneamente: reflexiva, simetrica y transitiva.

El ejemplo mas simple de relacion de equivalencia en un conjunto X es larelacion de igualdad: x esta relacionado con y si, y solo si, x = y. En este caso,cualquiera sea x en X, el unico elemento de X que esta relacionado con x es elpropio elemento x.

Las relaciones de equivalencia sobre un conjunto X son simples de describirmediante algunos subconjuntos especiales de X, de hecho por particiones novacıas de X. Supongamos que R es una relacion de equivalencia, para cadax ∈ X consideremos el conjunto R[{x}], denominado clase de equivalencia de x,constituido por todos los y ∈ X tales que xRy, o equivalentemente (x, y) ∈ R.Es simple verficar que dado cualquiera par de elementos x, y ∈ X, se tieneque R[{x}] ∩ R[{y}] = ∅ o R[{x}] = R[{y}]. Esto sigue del hecho que paracualquier para x, y ∈ X, xRy si, y solo si, R[{x}] = R[{y}]. Obviamente deesta propiedad se desprende que X es union disjunta de sus distintas clases deequivalencia. En realidad si se tiene un conjunto X que se expresa medianteuna union disjunta de algunas de sus partes, entonces existe una relacion deequivalencia que tiene a esas partes como sus clases de equivalencias. En efecto,

12 1.3. Relaciones

supongamos que X =⋃A∈AA, donde A es una familia de subconjuntos no

vacıos de X tales que A ∩B = ∅, siempre que A y B sean miembros diferentesen A. Ahora definimos la relacion R en X dada por (x, y) ∈ R, o xRy, si, ysolo si, x e y pertenecen al mismo miembro A de la familia A. Obviamente(x, x) ∈ R para cada x ∈ X; es decir, R es reflexiva; tambien es claro que si(x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R. Ademas, si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces x, yy z pertenecen al mismo subconjunto A de X en la familia A, en particular estoimplica que (x, z) ∈ R. Ası, R es una relacion de equivalencia en X. Finalmente,es muy simple verificar que R[{x}] = A si, y solo si, x ∈ A y A ∈ A.

La coleccion de clases de equivalencias dadas por una relacion de equivalenciaen un conjunto X se acostumbra denominarla conjunto cociente, y se denota porX/R.

La descripcion de las relaciones de equivalencias en un conjunto cualquierala resumimos en el siguiente enunciado:

Teorema 1.1. Una relacion R en un conjunto X es de equivalencia si, y solosi, existe una familia A formada por subconjuntos no vacıos de X y disjuntosdos a dos tal que R =

⋃A∈AA×A.

Ejemplo 1.1 (Enteros modulo n). Consideremos un entero positivo n, sedefine en Z la relacion ∼n, denominada congruencia modulo n, dada por x ∼n ysi, y solo si, x− y es multiplo de n, algunas veces denotada por x = y (mod n).Note que x ∼n y si, y solo si, existe un entero k tal que x = y + kn.

Es simple verificar que ∼n es una relacion de equivalencia en Z, y para cadax ∈ Z, el conjunto x + nZ = {x + kn : k ∈ Z} es su clase de equivalencia, lacual es comunmente denotada por x+nZ. Tambien es facil mostrar que en estarelacion hay n clases de equivalencias: nZ, 1 + nZ, · · · , (n − 1) + nZ. Observeque para cada entero j con 0 ≤ j ≤ n− 1, la clase de equivalencia j + nZ es elconjunto de enteros cuyo residuo al dividir por n es j. Por ello cada clase j+nZse identifica con el entero j; teniendo ası la coleccion Zn = {0, 1, · · · , n − 1}como la particion de Z por ∼n, tal conjunto es denominado conjunto de enterosmodulo n.

Ejemplo 1.2 (Reales modulo ZZZ). En el conjunto R de los numeros realesconsideremos la relacion ∼ dada por x ∼ y si, y solo si, x− y ∈ Z. Es inmediatoverificar que esta relacion es de equivalencia; ademas, para cada x ∈ R su clase deequivalencia es el conjunto [x]∼ = x+Z = {x+n : n ∈ Z}. Consecuentemente, laclase de equivalencia de cada entero n es el propio conjunto de numeros enterosZ. Tambien se muestra que para todo x ∈ R existe un unico y ∈ [0, 1) tal quex ∼ y. Por tanto la clase de equivalencia de x es la misma de y; se deduce ası quehay tantas clases de equivalencias como numero reales hay en el intervalo [0, 1).Cada una de las cuales se identifica con un numero real en este intervalo y portanto la familia de clases de equivalencia segun la relacion ∼ se identifica condicho intervalo. Se usan las notaciones x = y (mod Z), o x = y (mod 1), paradecir que x e y son identificados por la relacion de equivalencia ∼.

1. Preliminares 13

Figura 1.2: El punto x ∈ [0, 1) y sus identificados por la relacion ∼

Esta misma relacion se extiende al conjunto Rn, n entero positivo, formadopor todas las n-tuplas (x1, · · · , xn), donde xj ∈ R para todo 1 ≤ j ≤ n:

(x1, · · · , xn) = (y1, · · · , yn) (mod Zn) si, y solo si xj − yj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ n,

donde Zn se entiende como el conjunto de todas las n-tuplas (m1, · · · ,mn) concada coordenada mj (1 ≤ j ≤ n) en Z. Como antes, cada n-tupla (x1, · · · , xn) ∈Rn esta relacionada con una unica n-tupla (y1, · · · , yn) ∈ [0, 1) × · · · × [0, 1);ademas, la clase de equivalencia de (x1, · · · , xn) es el conjunto

(x1, · · · , xn) + Zn = {(x1, · · · , xn) + (m1, · · · ,mn) : mj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ n}.

1.3.2. Relaciones de orden

Ahora nos dedicaremos a presentar algunas estructuras sobre conjuntos novacıos que son tan importantes como las estructuras topologicas, nos referimosa las estructuas de orden. En realidad en Matematicas existe toda una teorıa,conocida como Teorıa del Orden, que trata sobre varias clases de relaciones apartir de las cuales se consideran distintas nociones de orden sobre conjuntos.Aca trataremos, superficialmente, solo algunas de estas nociones; antes, creemosimportante alertar que debido a la variedad de estas estructuras de orden, yquiza a las diferencias idiomaticas, no existe un convenimiento estandar en laliteratura matematica en cuanto al uso de las terminologıas que definen esasestructuras.

Definicion 1.10. Una relacion � en el conjunto X se dice que es un ordenparcial en X si, y solo si, es reflexiva, antisimetrica y transitiva; es decir, paracada x, y, z ∈ X se cumplen:

x � x;

x � y y y � x implica x = y

x � y y y � z implica x � z.

Un conjunto dotado con una relacion de orden parcial se le denomina parcial-mente ordenado, frecuentemente se emplea la notacion (X,�) para designar alconjunto X ordenado parcialmente por �. La expresion x � y se lee x antecedeo es igual a y, o tambien como, x es menor o igual a y.

14 1.3. Relaciones

Ejemplo 1.3 (Ejemplos de conjuntos parcialmente ordenados).

1. Los numeros reales con la relacion ≤ dada por: x ≤ y si, y solo si, x − yes no positivo, es parcialmente ordenado.

2. Los numeros enteros positivos N? = N \ {0} esta parcialmente ordenadopor la relacion a | b, a divide a b; es decir, existe k ∈ N? tal que b = ka.

3. Dado un conjunto X no vacıo, el conjunto de sus partes P(X) esta parcial-mente ordenado por la inclusion ⊂; esto es, dados A,B ∈ P(X), A ⊂ B

si, y solo si, todo elemento de A es tambien un elemento de B.

4. En el conjunto X = {a, b, c, d, e} la relacion �, dada por

�= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (d, a), (d, b), (d, e)},

es un orden parcial en X.

Definicion 1.11. Una relacion ≺ en el conjunto X se dice que es un ordenparcial estricto en X si, y solo si, es irreflexiva y transitiva; es decir, para cadax, y, z ∈ X se cumplen:

x ⊀ x; y

x ≺ y y y ≺ z implica x ≺ z.

Un conjunto dotado con una relacion de orden parcial estricto se le denominaparcial y estrictamente ordenado. Se usa (X,≺) para designar al conjunto X

dotado con el orden parcial estricto ≺, y la expresion x ≺ y se lee x antecede ay, o, x es menor que y.

Dado un orden parcial � en un conjunto X, se define en el mismo conjuntola relacion ≺ por:

x ≺ y si, y solo si, x � y y x 6= y. (1.1)

Es facil mostrar que ≺ es un orden parcial estricto en X, el cual es conocidocomo orden estricto asociado a �. Recıprocamente, supongamos que ≺ es unorden parcial estricto en X, entonces la relacion � en X definida por:

x � y si, y solo si, x ≺ y o x = y (1.2)

es un orden parcial en X, y es denominada orden parcial asociado a ≺.

Observe que la relacion < en R dada por x < y si, y solo si, x−y es negativo,es el orden estricto asociado al orden ≤. Mientras que a |< b si, y solo si, existeun entero k mayor que 1 tal que b = ka, define el orden estricto en N? corres-pondiente a la relacion “divide a”; la inclusion estricta ( con A ( B si, y solosi, A ⊂ B y A 6= B es el correspondiente orden estricto asociado a la inclusion

1. Preliminares 15

⊂. Aunque para ser coherentes con el uso de los sımbolos ≺ y � anteriores,hemos debido reservar ⊂ para la inclusion estricta y ⊆ para la inclusion; sinembargo, a lo largo de la monografıa, mantendremos ⊂ para la inclusion y (para la inclusion estricta. Finalmente, la relacion ≺= {(a, b), (d, a), (d, b), (d, e)}es el orden estricto asociado a la ultima relacion de orden parcial expuesta enel ejemplo anterior.

De las simple observaciones que condujeron a las relaciones (1.1) y (1.2) seconcluye que un orden parcial, estricto o no, esta completamente determinadopor el otro. Por ello se dice que ambos son distintas representaciones de unamisma estructura de orden sobre el conjunto en el cual estan definidos. El usode uno u otro orden depende del gusto del usuario. En cualquier caso, diremosque un conjunto es parcialmente ordenado si es dotado por algun tipo de estosordenes, sin precisar si se trata de un orden estricto o no estricto. En ingles seacostumbra emplear el vocablo poset (por “partially ordered set”) para referirsea un conjunto dotado con un orden, parcial o no.

Todo conjunto finito parcialmente ordenado puede ser representado grafica-mente mediante un diagrama, el cual es conocido como diagrama de Hasse. Paraconstruir uno de estos diagramas se debe tener presente:

1. los elementos del conjunto X son senalados por puntos en el diagrama,

2. la precedencia de dos elementos de X es representada atendiendo a losiguiente: a ≺ b si, y solo si, se cumplen las siguientes condiciones:

a) el punto que representa a b esta por encima del punto que representaa a, y

b) estos puntos son conectados o por un segmento, o por una lınea forma-da por segmentos que conectan puntos de una cadena intermediariaentre a y b: a ≺ c1 ≺ · · · ≺ cm ≺ b.

Uno podrıa dibujar segmentos entre cualquier par de puntos que representenelementos comparables del conjunto; sin embargo, gracias a la transitividadesto es obviado. El siguiente es el diagrama de Hasse del orden parcial descritoen el ultimo ejemplo anterior.

En ocasiones algunos diagramas pueden describir un orden parcial en con-juntos con un numero infinito numerable de elementos; por ejemplo el siguientediagrama describe un orden parcial en N, por tanto es un diagrama de Hasse.

Puede ocurrir que existiendo un orden parcial en un conjunto X hayan ele-mentos del conjunto que no son comparables segun ese orden; de allı la deno-minacion de parcial. Tambien hay ejemplos en que cualquier par de elementosen el conjunto son comparables. Esta propiedad motiva otra definicion de ordenen un conjunto.

16 1.3. Relaciones

Figura 1.3: Diagrama de Hasse del orden

�= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (d, a), (d, b), (d, e)}

Definicion 1.12. Un orden parcial � en el conjunto X se dice total si, y solosi, todos los elementos de X son comparables segun �; esto es, para cualquierpar de elementos a, b en X se tiene a � b, o b � a. En este caso se dice que elX esta totalmente ordenado por �.

Note que el conjunto de numeros reales con la relacion ≤ es total, mientrasque la inclusion no es un orden total sobre el conjunto de partes P(X) decualquier conjunto X con al menos dos elementos: si a y b son elementos distintosen X, entonces ni {a} ⊂ {b} ni {b} ⊂ {a}. Tampoco es un orden total la relaciona divide a b en el conjunto N?.

Supongamos que � es un orden total en X, sea ≺ su orden estricto asociado,ver (1.1). Se demuestra de forma muy simple que cualesquiera sean a, b ∈ X,alguna de las tres condiciones siguientes es satisfecha:

o a ≺ b, o b ≺ a, o a = b; (1.3)

es decir, cualquier par de elementos distintos en X son comparables segun ≺.

Definicion 1.13. Un orden estricto ≺ en el conjunto X se dice lineal si, ysolo si, todos los elementos distintos de X son comparables segun ≺; esto es, sise satisface la tricotomıa (1.3). En este caso se dice que el X esta linealmenteordenado por ≺.

Siguiendo las dos definiciones anteriores puede demostrarse, sin dificultad,el siguiente enunciado.

Teorema 1.2. Sean X un conjunto no vacıo, � un orden parcial en X y ≺ suorden estricto asociado. Entonces � es total si, y solo si, ≺ es lineal.

1. Preliminares 17

Nos encontramos nuevamente en la misma situacion por lo anduvimos altratar tanto un orden parcial como un orden parcial estricto; en ese transitoconcluimos que ambos son representaciones de una misma estructura, por elloadoptamos la terminologıa de orden parcial para referirnos a cualquiera de losdos. Ahora estamos en presencia, gracias al enunciado del teorema anterior, delorden total y orden lineal, ambos conectados por la misma estructura (comoen el orden parcial y orden parcial estricto), por ello adoptaremos una mismanomenclatura: orden total u orden lineal, sin distinguir si nos estamos refiriendoa un orden estricto o no.

1.3.3. Lema de Zorn y algunas equivalencias

En diversas ramas de la Matematicas, por no decir en todas, existen variadosteoremas que son consecuencia, en algunos casos equivalentes, a un axioma dela Teorıa de Conjuntos que es conocido como el Lema de Zorn. Para podercomprender el enunciado de este axioma se requieren algunas otras nociones ypropiedades ligadas a las estructuras de orden sobre conjuntos no vacıos.

Sea X un conjunto parcialmente ordenado, bien sea por un orden parcial �o uno estricto ≺.

Definicion 1.14. Un subconjunto no vacıo C de X se dice que es una cadenaen X si, y solo si, con el orden definido en X, C es totalmente ordenado; esdecir, todos los elementos de C son comparables entre sı. Las cadenas en X

tambien se denominan conjuntos totalmente ordenados, o conjuntos linealmenteordenados.

Obviamente en cualquier conjunto parcialmente ordenadoX existen cadenas:cualquier subconjunto unitario de X es una cadena, tambien es una cadenacualquier subconjunto {a, b} siendo a y b elementos comparables de X.

Definicion 1.15. Dado un subconjunto A no vacıo de X, se dice que A tieneultimo elemento (resp. primer elemento) si, y solo si, existe a ∈ A tal que paracada b ∈ A, con b 6= a, se tiene b ≺ a (resp. a ≺ b).

En vista de que estamos tratando con relaciones de orden, se puede de-mostrar que un conjunto no vacıo A tiene a lo mas un ultimo (resp. primer)elemento. Tambien se acostumbra denominar al ultimo (resp. primer) elementode A como el mayor (resp. menor) elemento de A. No todos los subconjuntosde un conjunto parcialmente ordenado admiten un ultimo, o primer, elemento;por ejemplo Z con ≤ no tiene ni ultimo ni primer elemento, sin embargo N conel mismo orden admite un primer elemento, mas no un ultimo elemento.

Observe que de haber empleado el orden no estricto �, la definicion anteriorequivale a decir que a es el ultimo (resp. primer) elemento de A si, y solo si,a ∈ A y b � a (resp. a � b) para todo b ∈ A.

18 1.3. Relaciones

Definicion 1.16. Un subconjunto no vacıo B de X se dice que bien ordenadosi, y solo si, todo subconjunto no vacıo de B tiene un primer elemento. CuandoB esta bien ordenado se dice que el orden de X es un buen orden en B.

Es claro que el conjunto N con ≤ esta bien ordenado, no ası el conjuntode todos los numeros enteros Z. No obstante en la Teorıa de Conjuntos existeun axioma, conocido como axioma de Zermelo o principio del buen orden, queel equivalente al Lema de Zorn y cuyo enunciado establecemos al final de estaseccion.

Definicion 1.17. Dado un subconjunto A no vacıo de X, se dice que b ∈ Xes una cota superior (resp. cota inferior) de A si, y solo si, a � b (resp. b � a)para cada a ∈ A. Si el conjunto A admite cotas superiores (resp. inferiores), sedice que A es acotado superiormente (resp. inferiormente).

Puede ocurrir que exista un conjunto A acotado superiormente (resp. infe-riormente) de forma que las cotas superiores (resp. inferiores) no pertenezcan aA; sin embargo, si alguna de esas cotas superiores (resp. inferiores) pertenecea A, entonces esta es el ultimo (resp. primer) elemento de A, ello debido a lapropiedad de antisimetrıa de la relacion �.

Definicion 1.18. Sea A un subconjunto no vacıo de X que es acotado supe-riormente (resp. inferiormente). Se dice que A admite un supremo (resp. infimo)si, y solo si, existe x ∈ X tal que x es cota superior (resp. inferior) de A y x ≺ b(resp. b ≺ x) para cualquier otra cota superior b (resp. inferior) de A.

Note que si A admite un supremo x (resp. infimo), entonces este es unico, yse dice que x es el supremo (resp. infimo) de A. Observe tambien que de existirel supremo, o el infimo, para un conjunto A, tal elemento puede o no pertenecera A. Por ejemplo, el intervalo A = (0, 6] es acotado superior e inferiormente enel orden usual de R, y claramente 0 es el infimo de A y 6 es su supremo. Por otrolado, de existir el supremo (resp. infimo) de A, entonces el es el primer elementodel conjunto formado por todas las cotas superiores (resp. inferiores) de A; esdecir, el supremo de A es la menor de todas las cotas superiores de A, mientrasque el infimo de A es el ultimo elemento del conjunto de cotas inferiores de A,en otras palabras, el infimo de A es la mayor de todas las cotas inferiores de A.

Definicion 1.19. Sea A un subconjunto no vacıo de X. Un elemento m de Ase dice maximal (resp. minimal) si no existe b ∈ A tal que m ≺ b (resp. b ≺ m);esto es, un elemento maximal (resp. minimal) de A si, y solo si, para cualquiera ∈ A con x � a (resp. a � x), se tiene x = a.

Note que un conjunto A puede o no tener elementos maximales o minimales,tambien puede ocurrir que ellos no sean unicos; no obstante, si A es una cadena,entonces de existir un elemento maximal (resp. minimal), este es unico y coincidecon el ultimo (resp. primer) elemento de A.

1. Preliminares 19

Ejemplo 1.4. Considere el orden parcial sobre X = {a, b, c, d, e} dado por elsiguiente diagrama de Hasse. En este conjunto parcialmente ordenado tenemos,

por ejemplo, que C = {a, d, e} es una cadena, X no admite ni ultimo ni primerelemento, c y e son elementos maximales de X, mientras que a y b son suselementos minimales. Note que X no es acotado ni superior ni inferiormente.Por otro lado, e y d son cotas superiores de A = {a, b, d}, d es su supremo y noesta acotado inferiormente; en cuanto que {a, c, d} no es acotado superiormente,su infimo es a, mientras que c y d son sus elementos maximales.

Ahora estamos en condiciones de detallar los enunciados de algunos famososresultados de la Matematica, de variada utilidad, y que puede demostrarse sonequivalentes al Lema de Zorn. Comenzaremos, obviamente, por el enunciadoeste ultimo.

• Lema de Zorn. Todo conjunto A no vacıo y parcialmente ordenado en el quetoda cadena tiene una cota superior, admite un elemento maximal.

•Axioma de Zermelo (Principio del buen orden). Todo conjunto no vacıoA puede ser bien ordenado.

• Principio Maximal de Hausdorff. Sea A una familia de conjuntos orde-nada por la inclusion. Si C es una cadena en A, entonces existe una cadenamaximal M en A que contiene a C; es decir, para toda cadena C en A existeuna cadena M en A con C ⊂ M, y si N es cualquier otra cadena en A tal queC ⊂ N , entonces N ⊂M.

• Lema de Kuratowsky. Toda cadena en un conjunto A no vacıo y par-cialmente ordenado esta contenida en una cadena maximal; esto es, para todacadena C en A existe una cadena M en A con C ⊂ M, y si N es cualquier otracadena en A tal que C ⊂ N , entonces N ⊂M.

• Principio Maximal. Sea A una familia de conjuntos ordenada por la inclu-sion. Si para cada cadena en A existe un miembro de A que contiene a cadamiembro de la cadena, entonces A admite elementos maximales.

• Principio Minimal. Sea A una familia de conjuntos ordenada por la in-clusion. Si para cada cadena en A existe un miembro de A contenido en cadamiembro de la cadena, entonces A admite elementos minimales.

20 1.4. Cardinalidad y conjuntos infinitos

• Postulado de Zermelo. Si A una familia de conjuntos no vacıos y disjuntosdos a dos, entonces existe un conjunto C tal que, para cada A ∈ A la interseccionA ∩ C es un conjunto unitario.

• Axioma de Eleccion. Si {Aα}α∈Γ un familia indexada de conjuntos novacıos, entonces existe una funcion f : Γ →

⋃α∈Γ Aα tal que, f(α) es un

elemento de Aα para cada α ∈ Γ .

• Lema de Tukey. Si A es una familia no vacıa de conjuntos ordenada por lainclusion y de caracter finito, entonces A admite elementos maximales.

Para entender este ultimo enunciado se requiere del significado de familiasde caracter finito.

Definicion 1.20. Una familia de conjuntos A se dice de caracter finito si, ysolo si, cada subconjunto finito de un miembro de A es un miembro de A, y siA es un conjunto cuyos subconjutos finitos estan en A, entonces A ∈ A.

1.4. Cardinalidad y conjuntos infinitos

Cerramos este capıtulo preliminar presentando las nociones basicas elemen-tales de cardinalidad y conjuntos infinitos. Comenzaremos con la nocion deequipotencia.

Definicion 1.21. Dados dos conjuntos A y B, se dice que A y B son equipo-tentes si, y solo si, existe una funcion biyectiva entre A y B. La equipotenciaentre A y B se denota por A ∼ B.

Es simple verificar que ∼ define una relacion de equivalencia; esto es, cua-lesquiera sean los conjuntos A,B y C se satisfacen:

Reflexividad. A ∼ A.

Simetrıa. Si A ∼ B, entonces B ∼ A.

Transitividad. Si A ∼ B y B ∼ C, entonces A ∼ C.

Intuitivamente, conjuntos equipotentes son aquellos que tienen el mismonumero de elementos. No es difıcil mostrar que si n y m son dos numeros natu-rales positivos, entonces los conjuntos {1, · · · , n} y {1, · · · ,m} son equipotentessi, y solo si, n = m. Georg Cantor introdujo, a finales del siglo XIX, el conceptode numero cardinal mediante el cual se hacen comparaciones con los tamanosde conjuntos infinitos. Es realidad este concepto, como veremos, esta intima-mente relacionado con la relacion de equivalencia dada por la equipotencia deconjuntos.

Definicion 1.22. Una coleccion ℵ de conjuntos se dice un numero cardinal siℵ satisface cada una de las siguientes condiciones:

1. Preliminares 21

(1) Si A y B son conjuntos en ℵ, entonces A ∼ B.

(2) Si A ∈ ℵ y B ∼ A, entonces B ∈ ℵ.

Si ℵ es un numero cardinal y A ∈ ℵ, escribiremos card(A) = ℵ, o #(A) = ℵ,lo cual se lee como “cardinal de A es igual a alef”, para designar el numerocardinal al cual pertene el conjunto A.

Observe que para cualquier par de conjuntos A y B, se cumple que A y B sonequipotentes si, y solamente si, card(A) = card(B). Esta definicion puede lucirrara pues emplea el vocablo numero (mas el calificativo cardinal) para distinguirun especial conjunto cuyos elementos son conjuntos; sin embargo al interpretarlaen el mundo de los conjuntos con finitos elementos se entendera mejor.

Definicion 1.23. Dado un conjunto A cualquiera. Se dice que:

(a) A es finito si, y solo si, o A = ∅, o bien A es equipotente a {1, · · · , n} paraalgun numero entero positivo n.

(b) A es infinito si, y solo si, es no finito.

Note que A es finito si, y solo si, o A = ∅, o bien existe un entero n ≥ 1 tal queel cardinal de A es el conjunto de todos los conjuntos que tienen n elementos. SiA tiene n elementos, digamos a1, · · · , an; es decir, A = {a1, · · · , an}, entoncesel cardinal de A es el conjunto n (empleamos el mismo natural n) formado portodos los conjuntos que tienen n elementos. Esto sigue del hecho que el conjunton es un numero cardinal y contiene a A, de allı que escribamos card(A) = n.Ası pues, el numero cardinal de cualquier conjunto con un numero finito deelementos se corresponde con el numero de sus elementos; de allı que escribamos,en particular, card(∅) = 0.

Dentro de los conjuntos infinitos hay varias categorıas: existen conjuntos infi-nitos con diferentes numeros cardinales, esto significa intuitivamente que existenconjuntos infinitos con diferentes cantidades de elementos. Este es un tema bas-tante profundo que solo tocaremos tangencialmente; este asunto tratado conrigurosidad generalmente en cursos de Teorıa Axiomatica de Conjuntos.

Definicion 1.24. Un conjunto infinito A se dice infinito numerable si, y solo si,A es equipoente a N; su cardinal es denotado por ℵ0, se lee “alef sub cero”.1 Unconjunto A se numerable si, y solamente si, o A es finito, o es infinito numerable;mientras que los conjuntos no numerables son los conjunto infinitos que no sonnumerables.

Haciendo uso, entre otras cosas, de una version mas debil del Axioma deEleccion, se tiene que ℵ0 es el menor numero cardinal de los cardinales no finitos.Observe que los conjuntos numerables son aquellos conjuntos cuyos elementospueden numerarse; es decir, pueden ser listados. En particular si A es infinitonumerable, podemos escribir A = {a1, a2, · · · }.

1ℵ es la primera letra del alefato, que es el alfabeto hebreo.


Ejemplo 1.5. El conjunto de numero enteros Z es infinito numerable. Estosigue inmediatamente del hecho que la funcion f : N → Z definida, para cada

n ∈ N, por f(n) =

{m, si n = 2m,m ≥ 0

−m, si n = 2m− 1,m ≥ 0, es biyectiva. Por tanto N

y Z tienen el mismo cardinal: card(N) = card(Z) = ℵ0, a pesar que N es unsubconjunto propio de Z.

Algunas propiedades relevantes de los conjuntos numerables son:

(1) Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

(2) La union numerable de conjuntos numerables es numerable.

(3) El producto cartesiano un numero finito de conjuntos numerables es nume-rable.

(4) Si A es numerable y f : A→ B es una funcion sobreyectiva, entonces B esnumerable.

(5) Si B es numerable y f : A → B es una funcion inyectiva, entonces A esnumerable.

(6) Si A es numerable, entonces {B : B ⊂ A y B es finito} es numerable.

Ejemplo 1.6. El conjunto Q de los numeros racionales es numerable; es decir,card(Q) = ℵ0. En efecto, es claro que Q se expresa como la union {0}∪Q+∪Q−,donde Q+ es el conjunto de numeros racionales positivos, mientras que Q− es elconjunto de los racionales negativos. Por otra parte, para cada entero positivon, Q+ =

⋃n≥1Q+

n , donde Q+n es el conjunto numerable { 1

n ,2n , · · · }. De allı que

Q+ sea infinito numerable; adicionalmente, dado que la funcion f : Q+ → Q−,con f(α) = −α para cada α ∈ Q+, es biyectiva, entonces Q− tambien es infinitonumerable, en consecuencia Q tambien lo es y card(Q) = ℵ0.

Ejemplo 1.7. Veamos que el intervalo I = [0, 1) es no numerable. Es bienconocido que cada r ∈ I admite una unica expansion decimal de la forma0.α1α2 · · ·αn · · · , donde cada αi ∈ {0, 1, · · · , 9} para cada i ≥ 1 y el dıgito 9no es eventualmente constante, lo cual significa que para entero n ≥ 1, existem > n entero tal que αm 6= 9. En otras palabras, cada r ∈ I se escribe comor =

∑∞i=1

αi10i , donde αi ∈ {0, 1, · · · , 9} para cada i ≥ 1, y para cada entero ≥ 1

existe un entero m > n tal que αm 6= 9. Para mostrar que I no es numerableprocedemos por el absurdo. Supongamos que I es numerable, por tanto infinitonumerable, luego todos los elementos en I podemos listarlos de manera unicacomo ha sido descrito arriba. Digamos que esta lista es:

r1 = 0.α11α12 · · ·α1n · · · , r2 = 0.α21α22 · · ·α2n · · · , etc.

Ahora consideremos el numero real r = 0.α1α2 · · ·αn · · · , donde αn = 1 siαnn 6= 1, y αn = 2 si αnn = 1 para cada n ≥ 1. Dado que αn 6= αnn para cada

1. Preliminares 23

n ≥ 1, entonces r 6= rn para todo n ≥ 1, sin embargo r ∈ I; lo cual es unacontradiccion. De esta forma el intervalo I es no numerable.

Note que de la primera propiedad enunciada arriba y este ejemplo sigue queel conjunto de los numeros reales es no numerable. Como R = Q ∪ I, entoncesel conjunto de numeros irracionales tampoco en numerable. El cardinal de R estradicionalmente denotado por c, y es conocido con el nombre de continuum,que es un vocablo del latın. Ası pues, tenemos conjuntos numericos infinitos condiferentes cardinales; por ejemplo N, cuyo cardinal es ℵ0, y R con cardinal c. Envista que N ( R, escribimos ℵ0 < c.

Para ser un tanto mas precisos en cuanto a una relacion de orden en elconjunto de numeros cardinal que justifique ℵ0 < c, se procede de la siguientemanera. Dados dos numeros cardinales ℵ y ℵ′, se dice que ℵ ≤ ℵ′ si, y solo si,existen A ∈ ℵ, B ∈ ℵ′ y una funcion inyectiva de A en B. Se escribe ℵ < ℵ′ parasignificar que ℵ ≤ ℵ′ ℵ 6= ℵ′. Adicionalmente, si ℵ y ℵ′ son numeros cardinalestales que ℵ ≤ ℵ′ y ℵ′ ≤ ℵ, entonces ℵ = ℵ′. Esto ultimo es consecuencia delsiguiente relevante resultado:

Teorema 1.3 (Cantor-Schorder-Bernstein). Si A y B son conjuntos talesque A es equipotente a un subconjunto de B y B es equipotente a un subconjuntode A, entonces A y B son equipotentes, por lo que card(A) = card(B).

Note que card((0, 1)) ≤ card([0, 1)) ≤ c, pero como el intervalo (0, 1) y Rson equipotentes, entonces card((0, 1)) = card([0, 1)) = c. De hecho, todos losintervalos no triviales en R tienen el mismo cardinal, el continuum c. Hastaahora hemos presentado dos cardinales no finitos: ℵ0 y c; del proximo resultado,debido a Georg Cantor, se infiere que hay un numero infinito de ellos. Debidoa su sencillez y elegancia transcribiremos una demostracion que es parte delfolclore.

Teorema 1.4 (Cantor). Si A es cualquier conjunto y P(A) su conjunto departes, entonces card(A) < card(P(A)).

Demostracion: Note que para conjuntos finitos el teorema es obvio; sin em-bargo la demostracion a seguir no dependiente de la cardinalidad.

Supongamos que existe una funcion ϕ : A → P(A) que es sobreyectiva.Luego es claro que ϕ(a) ⊂ A para cada a ∈ A. Consideremos el conjuntoB = {a ∈ A : a /∈ ϕ(a)}. Dado que B ⊂ A y ϕ es sobreyectiva, existe b ∈ A talque B = ϕ(b). Consideraremos los casos excluyentes: b ∈ B y b /∈ B.

Si b ∈ B, entonces b /∈ ϕ(b) por definicion de B, pero justamente esto diceque b /∈ B; ası que el primer caso es imposible. Ahora, si b /∈ B, entoncesb /∈ ϕ(b), de donde b ∈ B. Por tanto ninguno de los dos casos es posible,consecuentemente no hay una funcion sobreyectiva de A en P(A). Esto implicaque card(A) 6= card(P(A)). Por otra parte, la funcion φ : A → P(A) dada porφ(a) = {a}, para cada a ∈ A, es claramente inyectiva y φ(A) = A; de dondecard(A) ≤ card(P(A)).


De este teorema tenemos, para cada conjunto A, que:

card(A) < card(P(A)) < card(P(P(A))) < · · · ,

en particular, ℵ0 < card(P(N)) < card(P(P(N))) < · · · , por lo que el conjuntode numeros cardinales no admite un ultimo elemento; de allı que existan infinitosconjuntos infinitos con distintos cardinales.

Si A y B son conjuntos finitos con card(A) = n y card(B) = m, entonceses muy simple chequear que el conjunto BA de todas las funciones de A en B

tambien es finito, de hecho tiene cardinal mn. Por otra parte, si A es cualquierconjunto y {0, 1}A es el conjunto de todas las funciones de A en {0, 1}, entoncesse muestra que la funcion ψ : {0, 1}A → P(A), con ψ(f) = f−1(1) para cadaf ∈ {0, 1}A, es biyectiva; por tanto, {0, 1}A y P(A) tienen el mismo cardinal.Razon por la cual se adopta 2card(A) como la notacion del cardinal del conjuntode partes P(A). De esta forma, para conjuntos infinitos numerables vale:

ℵ0 < 2ℵ0 < 22ℵ0< 222ℵ0

< · · ·

A partir de esta secuencia de desigualdades estrictas puede resultar naturalpresuntarse: ¿donde se ubica el continuum en ella? En realidad puede demostraseque 2ℵ0 = c.

Deseamos cerrar esta brevısima, e ingenua, exposicion sobre cardinalidad yconjuntos infinitos con lo siguiente. Del enunciado (poco comentado antes) queasume a ℵ0 como el primer numero cardinal no finito, Cantor intento demostrar,sin exito, que el segundo numero cardinal es c; ello condujo a David Hilbert aformular, en 1900, como el primer problema de su famosa lista para el siglo XX,lo que en la actualidad se conoce con el nombre de Hipotesis del continuum:

“No existe un otro numero cardinal entre ℵ0 y c”.

2Espacios Topologicos

“In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra

fight for the soul of every individual discipline of mathematics”

Hermann Weyl (1885 - 1955)

2.1. Algo de la historia

La Topologıa es actualmente concebida como la rama de la Matematicaque estudia aquellos conjuntos dotados de una nocion de vecindad para cadauno de sus puntos, los llamados espacios topologicos; ademas, se interesa enconocer propiedades de funciones que de alguna forma preservan esas nocionesde vecindad, o proximidad: las funciones continuas entre espacios topologicos.

Durante el siglo XVIII gran parte de la matematica atravesaba por seriosproblemas de rigurosidad en las demostraciones de un numero considerable desus propiedades, esencialmente promovidas por la aparicion, en el siglo anterior,del Analisis Matematico, y por ende de las nociones de proximidad y conti-nuidad, entre otras. Con el advenimiento de la Topologıa se logro establecer elambito adecuado para la descripcion de propiedades matematicas en un marcoconceptualmente solido y aceptado por toda la comunidad matematica. La To-pologıa ha servido de base fundamental para el crecimiento de otras ramas dela Matematica, en particular para el Analisis Matematico; tambien es parte im-portante en el desarrollo de otras disciplinas cientıficas tales como la cosmologıay la relatividad en la Fısica.

Es bastante frecuente encontrar en la literatura especializada que el origende la Topologıa se remonta al matematico suizo Leonhard Euler (1707-1783)con su solucion al problemas de los los Puentes de Konigsberg en 1736, el cualconsiste en establecer una condicion necesaria y suficiente para que una grafica(poliedro de dimension 1) pueda ser trazada con una lınea continua recorriendocada arista una sola vez. El artıculo en el que Euler publico la solucion de eseproblema es considerado como el primer trabajo de Topologıa, allı se introdujo elprimer invariante de la Topologıa Algebraica: la caracterıstica de Euler; tambiendio origen a la Teorıa de grafos. A pesar de senalar a Euler como el iniciador dela Topologıa, el mismo, en el artıculo mencionado, se refiere a Gottfried Wilhelmvon Leibniz (1646-1716) como el inspirador de su trabajo en la resolucion deaquel problema.

Quien introdujo el vocablo topologıa fue el matematico aleman Johann Lis-ting (1808-1882), en una carta dirigida a uno de sus profesores en 1836 apareceeste termino, el cual se hace publico en 1847 con su libro “Vorstudien zur To-

25

26 2.2. Definicion y ejemplos

pologie” (Estudios previos a la Topologıa). No obstante, de los aportes de va-rios importantes matematicos se llego al concepto actual de espacio topologico;en esa trayectoria tienen destaques especiales: el matematico ruso Georg Can-tor (1845-1918), quien definio los conceptos de punto interior, punto frontera,punto de acumulacion para espacios euclidianos, el matematico frances Mau-rice Frechet (1878-1973) introduce en 1906 los espacios metricos, y el alemanHermann Weyl (1885-1955) propuso en 1913 el uso de vecindades para definirespacios topologicos. Es ası como en 1914, el matematico polaco Felix Hausdorff(1868-1942) definio las propiedades adecuadas que deben satisfacer las vecinda-des, naciendo de esta forma el concepto moderno de espacio topologico.

2.2. Definicion y ejemplos

Pasamos ahora a introducir el concepto del objeto matematico que es objetode estudio en esta monografıa. Luego nos detendremos a exponer una coleccionde ejemplos que se han tornado clasicos en la teorıa de los espacios topologicos.

Definicion 2.1. Dado un conjunto no vacıo X, una familia T de subconjuntosde X se dice una topologıa en X si, y solo si, satisface cada uno de los siguientesaxiomas:

T1. El conjunto vacıo ∅ y X pertenecen a T .

T2. La interseccion de cualquier par de miembros de T esta en T .

T3. La union arbitraria de miembros de T esta en T .

Si T es una topologıa en X, al par (X, T ) se le conoce como espacio topologico,los elementos de T se les denomina conjuntos abiertos en X segun la topologıaT , y los complementos de conjuntos abiertos se llaman conjuntos cerrados enX segun T .

Observe de esta definicion que la interseccion finita de conjuntos abiertosen el espacio topologico (X, T ) es tambien un conjunto abierto; es decir, unelemento de T . En efecto, supongamos que A,B y C son elementos de T , comoA ∩ B ∈ T , nuevamente por T2 se tiene que A ∩ B ∩ C ∈ T . Supongamosahora que la interseccion de un numero entero n ≥ 3 de conjuntos abiertos esun conjunto abierto y que A1, A2, · · · , An+1 son todos miembros de T ; dado que

A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An+1 = (A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An) ∩An+1,

de T2 sigue que A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An+1 ∈ T .

La siguiente proposicion muestra las propiedades basicas de los conjuntoscerrados en un espacio topologico (X, T ) cualquiera.

Proposicion 2.1. Si (X, T ) un espacio topologico, entonces se cumplen:

2. Espacios Topologicos 27

(1) X y ∅ son conjuntos cerrados en X,

(2) si A y B son conjuntos cerrados en X, entonces A ∪ B es un conjuntocerrado, y

(3) si {Aα : α ∈ Γ}, Γ un conjunto arbitrario de ındices, es una coleccion deconjuntos cerrados, entonces

⋂α∈Γ Aα es un conjunto cerrado en (X, T )

Demostracion: Dado que X y ∅ son miembros de T , sus complementos: ∅y X son conjuntos cerrados, con lo cual la primera parte de la proposicionesta demostrada. Supongamos que A y B son conjuntos cerrados en X; es decir,sus complementos X \A y X \B son miembros de T , por tanto, como

(X \A) ∩ (X \B) = X \ (A ∪B),

entonces X\(A∪B) es abierto y consecuentemente A∪B es un conjunto cerrado.Finalmente, supongamos que Γ es un conjunto de ındices y que para cada

α ∈ Γ , Aα es un conjunto cerrado en (X, T ). De esta forma X \ Aα ∈ T paracada α ∈ Γ , y por T3 se tiene que

⋃α∈Γ (X \Aα) ∈ T . Pero⋃

α∈Γ(X \Aα) = X \

⋂α∈Γ

Aα,

ası⋂α∈Γ Aα es un conjunto cerrado en (X, T ) y la demostracion de la proposi-

cion esta completa.

Como antes, no es difıcil verificar que la union de cualquier numero finitode conjuntos cerrados es tambien un conjunto cerrado en un espacio topologicocualquiera.

Mediante las propiedades basicas de los conjuntos cerrados se establece unaaxiomatica que permite una definicion equivalente de topologıa; esto es lo quemuestra el proximo resultado.

Teorema 2.1. Sean X un conjunto arbitario no vacıo y F una coleccion desubconjuntos de X que satisfacen cada una de las siguientes propiedades:

C1. ∅, X ∈ F ,

C2. la union de cualquier par de miembros de F esta en F , y

C3. la interseccion arbitraria de miembros de F esta en F ,

entonces la coleccion T formada por los complementos de los miembros en F esuna topologıa en X, cuyos conjuntos cerrados son justamente los miembros dela coleccion F

Demostracion: La demostracion de la proposicion tiene el mismo espıritu dela proposicion anterior: esta basada en las leyes de De Morgan. Se dejan losdetalles al lector.


Observe que la coleccion T de la proposicion anterior es la unica topologıa enX tal que la coleccion F satisfaciendo C1, C2 y C3 es la familia de sus conjuntoscerrados.

2.2.1. Ejemplos clasicos

A continuacion mostraremos un conjunto de ejemplos de espacios topologicosque son considerados clasicos, pueden encontrarse en casi cualquier texto detopologıa general.

Ejemplo 2.1 (Topologıas discreta e indiscreta).

1) Topologıa discreta. SeanX un conjunto no vacıo arbitrario yD la coleccionformada por todos los subconjuntos de X. Claramente esta coleccion desubconjuntos de X satisface cada uno de los axiomas de la definicion 2.1;por tanto D es una topologıa en X, la cual es conocida como la topologıadiscreta de X.

Note que todo subconjunto de X en la estructura topologica discreta essimultaneamente abierto y cerrado.

2) Topologıa indiscreta. Sean X un conjunto no vacıo arbitrario e I la co-leccion formada solamente por el propio X y el conjunto vacıo ∅. Es obvioque I cumple con T1, T2 y T3 en la definicion de arriba. Esta coleccion esconocida como la topologıa indiscreta de X. Ası pues, los unicos conjuntosabiertos en la topologıa indiscreta son X y ∅, por lo que sus complementos:∅ y X son los unicos conjuntos cerrados en esta topologıa.

Comentario 2.1. De los dos ejemplos anteriores se deducen las siguientes afir-maciones:

1. Existen estructuras topologicas en conjuntos donde hay conjuntos que son almismo tiempo abiertos y cerrados; para este tipo de conjuntos se ha acunadoel vocablo ingles “clopen”, que es la conjuncion de las palabras: closed (ce-rrado) y open (abierto).

2. Hay estructuras topologicas sobre conjuntos en las cuales existen conjuntosque no son ni abiertos ni cerrados. En consecuencia, los conceptos de conjuntoabierto y de conjunto cerrado no son la negacion uno del otro; es decir, noson palabras antonimas en el marco de la topologıa.

Ejemplo 2.2 (La topologıa usual de los numeros reales).Gran parte de los conceptos y propiedades en espacios topologicos abstractos

han tenido como fuente de inspiracion el ejemplo que a continuacion describimos.Sean R es conjunto de todos los numeros reales y U la coleccion formada por

el conjunto vacıo y todo subconjunto de R que pueda escribirse como una unionde intervalos abiertos de longitud finita; es decir, de la forma (a, b) con a, b ∈ R


y a < b 1. En otras palabras, U ∈ U si, y solo si, o U = ∅ o existe un conjuntode ındices Γ (finito o infinito) tal que, para cada α ∈ Γ existe un intervalo Iαde longitud finita de forma que U =

⋃α∈Γ Iα.

Veamos que U es una topologıa en R, la cual es denominada topologıa usualde R, conocida tambien como la topologıa euclidiana de la recta real).

• Dado que R puede escribirse como R =⋃n≥1(−n, n) y ∅ ∈ U (por definicion

de U), entonces U satisface T1.

• Observe que para cualquier par de intervalos abiertos (a, b) y (c, d) de longitudfinita, su interseccion o es vacıa o es el intervalo (e, f), donde e = max{a, c} yf = mın{b, d}. Supongamos ahora que A y B son miembros de U ; si algunode los dos es el conjunto vacıo es obvio que A ∩ B ∈ U . Supongamos entoncesque ambos son no vacıos, por tanto existen colecciones de intervalos abiertosde longitud finita, digamos ΓA y ΓB , tales que A =

⋃I∈ΓA I y B =

⋃J∈ΓB J .

ComoA ∩B =

⋃I∈ΓA

I ∩⋃J∈ΓB

J =⋃

I∈ΓA,J∈ΓB

I ∩ J,

entonces A ∩ B ∈ U pues se expresa como una union de intervalos abiertos delongitud finita, con lo cual el axioma T2 tambien es satisfecho por U .

• Finalmente, supongamos que {Aα : α ∈ Γ} es una coleccion formada pormiembros en U ; es decir, Γ es un conjunto de ındices (finito o no no) y paracada α ∈ Γ , Aα es un miembro de U ; esto es, para cada α ∈ Γ existe unacoleccion de intervalos abiertos de longitud finita Γα tal que Aα =

⋃I∈Λα I.

Luego ⋃α∈Γ

Aα =⋃α∈Γ

⋃I∈Γα

I,

que es una union de intervalos abiertos de longitud finita, por lo que T3 secumple; ası, U es una topologıa en R.

Veamos algunos ejemplos de conjuntos abiertos y de conjuntos cerrados enesta estructura topologica de R.

1. En primer lugar observe que todo intervalo abierto (a, b) de longitud finitaes un conjunto abierto pues se escribe como la union de el consigo mismo.De aca que los intervalos (−∞, a) y (a,+∞) sean conjuntos abiertos; estosigue de (−∞, a) =

⋃n<a(n, a) y (a,+∞) =

⋃n>a(a, n). En consecuencia, los

intervalos de la forma (−∞, a] y [a,+∞) son conjuntos cerrados; igualmentees un conjunto cerrado todo conjunto unitario {a}, su complemento es elconjunto abierto (−∞, a)∪ (a,+∞); esto implica que todo subconjuno finitode R es un conjunto cerrado, ver proposicion 2.1.

1Hemos podido considerar la union vacıa de intervalos abiertos y convenir que tal union es

el conjunto vacıo, en cuyo caso no hace falta ser tan explıcitos al decir que el conjunto vacıo

pertenece a U


2. Observe que ningun conjunto unitario es abierto: no puede ser escrito comouna union de intervalos abiertos de longitud finita (¡hay conjuntos cerradosque no son abiertos!), como tampoco lo es un intervalo cerrado [a, b], quees un conjunto cerrado en la topologıa usual. Puede demostrarse ademasque intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b) de longitud finita no son conjuntosabiertos y tampoco son conjuntos cerrados.

3. Dado que R \ N =⋃n∈N(n, n + 1) ∪ (−∞, 0) es abierto, el conjunto N es

cerrado. Analogamente es cerrado C = {0} ∪ { 1n : n ∈ N?}. Existen tambien

subconjuntos infinitos numerables de R que no son cerrados. Aceptando co-mo cierto que en todo intervalo abierto hay numeros racionales, entonces elconjunto Q de los numeros racionales no es cerrado; si lo fuese, como R\Q esabierto y por tanto contiene al menos un intervalo abierto de longitud finitadonde no habrıa numeros racionales. Siendo Q no cerrado, el conjunto denumeros irracionales I = R \ Q no es abierto; de hecho tampoco es cerrado,lo cual se demuestra de forma analoga y aceptando como verdadero que entodo intervalo abierto hay numeros irracionales.

Ejemplo 2.3 (La topologıa usual del plano real).En R2 consideremos la coleccion U2 de subconjuntos de R2 formada por el

conjunto vacıo y todos los subconjuntos que pueden escribirse como una union(finita o no) de rectangulos abiertos (a, b)× (c, d) de area finita. Recuerde que

(a, b)× (c, d) = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b y c < y < d}.

De manera similar al ejemplo anterior se verifica que U2 es una topologıa enR2, conocida como topologıa usual de R2, o tambien como la topologıa euclidianade R2; dejamos los detalles de esta verificacion al lector. Incluso proponemos quese imite esta construccion en el conjunto Rn.

Ejemplo 2.4 (La topologıa cofinita).Considere un conjunto arbitrario X con infinitos elementos. Sea T la colec-

cion de subconjuntos de X formada por el conjunto vacıo y todos los subcon-juntos A de X tales que X \A es finito. Veamos que T es una topologıa en X,conocida como topologıa cofinita, tambien denominada topologıa de complemen-tos finitos.

Observe que de ser T una topologıa, sus subconjuntos cerrados son el propioX y todos los subconjuntos finitos de X. Ası que para mostrar que T es unatopologıa demostraremos que la coleccion de F de subconjuntos de X formadapor X y todos los subconjuntos finitos satisface el teorema 2.1. Dado que ∅ esfinito y X ∈ F , entonces la coleccion F cumple C1. Supongamos que A y B sonelementos en F , si uno de los dos es igual a X, entonces A∪B = X, y por tantoesta en F ; por otra parte, si ambos son finitos, entonces su union es finita, yası la condicion C2 es satisfecha por F . Finalmente, sea Γ un conjunto arbitariode ındices y para cada α ∈ Γ , Aα ∈ F ; es decir, o es X o es un subconjunto finito


de X. Si cada Aα = X, entonces⋂α∈Γ Aα = X, y tal interseccion esta en F .

Por el contrario, si algun Aα es finito, entonces como⋂β∈Γ Aβ ⊂ Aα, entonces

esa interseccion es finita; por tanto T es una topologıa en X.Considere a R con la topologıa cofinita. El subconjunto N, por ser infinito

y distinto de R no es cerrado; tampoco es abierto pues su complemento no esfinito y distinto de R. Compare estas propiedades de N con la topologıa usualde R.

2.2.2. Ejemplos adicionales

Las siguientes familias de conjuntos son ejemplos de topologıas, su verifica-cion de deja a cargo del lector.

Ejemplo 2.5 (Topologıa de Sierpinski).Sea X = {a, b} un conjunto con dos elementos, la familia TS = {∅, X, {a}}

es conocida como topologıa de Sierpinski.

Ejemplo 2.6 (Topologıas del punto incluido y del punto excluido).Sean X un conjunto con al menos dos elementos y a ∈ X un elemento fijado.

Entonces las colecciones:

Tin = {∅} ∪ {U ⊂ X : a ∈ U}, y

Tex = {X} ∪ {U ⊂ X : a /∈ U}

son estructuras topologicas en X, las cuales son denominadas respectivamente:topologıa del punto incluido y topologıa del punto excluido.

Ejemplo 2.7 (Familias que no son topologıas).A continuacion mostramos ejmeplos de familias de subconjuntos que no cons-

tituyen topologıas.

1. Si X = {a, b, c} y T = {∅, X, {a}, {b}, {b, c}}, entonces T no es una topologıaen X pues {a} y {b} estan en T , pero su union no es uno de sus miembros.

2. Si X = {a, b, c} y T = {∅, X, {a, b}, {b, c}}, entonces T no es una topologıaen X pues {a, b} y {b, c} estan en T y su interseccion no lo esta.

3. Si X = R, la familia T = {∅} ∪ {A ⊂ R : A es infinito} no es una topologıaen X pues puede construirse un par de subconjuntos infinitos de R cuyainterseccion es un conjunto finito no vacıo.

4. Si X es un conjunto infinito y T es la familia conformada por el propio X

y todos sus subconjuntos finitos, entonces T no es una topologıa. En efecto,fijemos a ∈ X y consideremos el conjunto infinito A = X \ {a}. Dado queA =

⋃b∈X\{a}{b} y cada {b} ∈ T , se tiene que T viola el item T3 de la

definicion 2.1.


Hemos vistos que sobre un mismo conjunto X pueden definirse distintastopologıas, cada una de ellas equipada con sus respectivos conjuntos abiertos,y por ende de sus conjuntos cerrados. En general los abiertos (y cerrados) enalguna topologıa no tienen porque ser abiertos en otra topologıa, a excepciondel conjunto vacıo y X, pues estos son conjuntos abiertos en cualquier topologıaen X. No obstante existen pares de diferentes topologıas en un mismo conjuntoX de manera que los conjuntos abiertos de una tambien son abiertos en la otra.Este simple hecho conduce a la siguiente definicion.

Definicion 2.2. Sean X un conjunto no vacıo y T1, T2 topologıas en X. Se diceque T1 es mas fina que T2 si, y solo si, todo abierto en T2 es abierto en T1; esdecir, T2 ⊂ T1. Tambien se acostumbra decir que T2 es mas gruesa que T1, oque T1 es mayor que T2, o que T2 es menor que T1.

Es claro que la topologıa indiscreta en un conjunto X es la menor de todaslas topologıas, mientras que la topologıa discreta es la mas fina que cualquierotra topologıa en X. Pueden construirse ejemplos de pares de topologıas T1 yT2 en un mismo conjunto de manera que T1 no es ni mas fina ni mas gruesa queT2, en este caso, siguiendo el orden parcial dado por la relacion de inclusion ⊂,se dice que T1 y T2 son no comparables.

2.2.3. Relativizacion de topologıas

Consideremos un espacio topologico (X, T ) y Y ⊂ X no vacıo. Existe unamanera especial de dotar a Y con una topologıa que de forma natural se relacionacon la topologıa T de X. Sea TY la coleccion de subconjuntos V de Y para loscuales existe U ∈ T tal que V = U ∩ Y .

Proposicion 2.2. TY es una topologıa en Y .

Demostracion: Obviamente Y y ∅ son miembros de la familia de subconjuntosTY . Supongamos que V y W pertenecen a TY ; es decir, existen abiertos U1, U2

de X tales que V = U1 ∩Y y W = U2 ∩Y . Luego, como V ∩W = (U1 ∩U2)∩Yy U1 ∩ U2 ∈ T , entonces V ∩W ∈ TY . Por otra parte, sea Γ un conjunto deındices de manera que para cada α ∈ Γ se tiene Vα ∈ TY ; veamos que la uniıon⋃α∈Γ Vα ∈ TY . Por definicion de los miembros en TY , para cada α ∈ Γ existe

Uα ∈ T tal que Vα = Uα ∩ Y ; luego como

⋃α∈Γ

Vα =⋃α∈Γ

(Uα ∩ Y ) =

(⋃α∈Γ

Uα

)∩ Y

y la union⋃α∈Γ Uα ∈ T , sigue que

⋃α∈Γ Vα ∈ TY , y por tanto TY es una

topologıa en Y .

La topologıa TY de Y se conoce con el nombre de topologıa relativa de Y ,o relativizacion de T a Y . Se acostumbra decir que (Y,U) es un subespacio de


(X, T ) si, y solo si, Y ⊂ X y U es la relativizacion de T a Y . Cuando no existenelementos de confusion, simplemente se dice que Y es subespacio de X, y V esabierto en Y si pertenece a la topologıa TY .

Comentario 2.2. Por definicion, V ⊂ Y es abierto en Y (pertenece a TY ) si,y solo si, existe un abierto U de X tal que V = U ∩Y . Similarmente ocurre conlos subconjuntos de Y que son cerrados en Y . En efecto, F ⊂ Y es cerrado en Ysi, y solo si, su complemento en Y , Y \ F , es abierto en Y , por tanto existe unabierto U en X tal que Y \F = U ∩Y . Ahora bien, dado que X = U ∪ (X \U),Y = F ∪ (Y \F ) y Y = (U ∩ Y )∪ [(X \U)∩ Y ], entonces F = (X \U)∩ Y ; conlo cual concluuimos que F es cerrado en Y si, y solo si, existe G cerrado en X

tal que F = G ∩ Y .Es importante mencionar que ser abierto, o cerrado, en la topologıa relativa

no dice nada acerca de esa propiedad en el propio espacio topologico X; noobstante, si Y es un conjunto abierto en X, entonces todo abierto en Y estambien abierto en X. Similarmente ocurre si Y es un cerrado en X; es decir,todo cerrado en Y es cerrado en X.

Tambien debe quedar claro que en cualquier subconjunto Y de un espaciotopologico X pueden construirse, en general, topologıas diferentes a la topologıarelativa. Por ejemplo, considere el conjunto X = {a, b, c, d, e} dotado de la topo-logıa T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} (verifique que T es en efecto unatopologıa en X). Sea Y = {a, d, e}, entonces TY = {∅, Y, {a}, {d}, {a, d}, {d, e}}es la topologıa relativa de Y ; pero U = {∅, Y, {a, d}, {e}} es tambien una topo-logıa en Y , la cual es no comparable con la TY .

Para finalizar con este comentario, es muy simple verificar que si (Z,V)es subespacio de (Y,U) y (Y,U) es subespacio de (X, T ), entonces (Z,V) essubespacio de (X, T ). Por lo que la transitividad esta presente en la relacion deser subespacio. A medida que se vaya desarrollando la teorıa se iran mostrandoalgunas otras propiedades de las topologıas relativas.

2.2.4. Ejercicios propuestos

1. Sea X = {a, b, c, d, f}, decidir justificadamente cuales de las siguientes fami-lias constituye una topologıa en X.

a) T1 = {∅, X, {a}, {b, c}, {a, b, c}, {b}}.

b) T2 = {∅, X, {a, b, f}, {a, b, d}, {a, b, d, f}}.

c) T3 = {∅, X, {a}, {b, c}, {a, b, c}, {b, f}}.

d) T4 = {X, {a}, {b}, {a, b}}.

2. Considere en X = {1, 2, 3} la topologıa discreta D. ¿Cuales de las siguientesafirmaciones son verdaderas?


(a) X ∈ D (b) X ⊂ D (c) ∅ ∈ X (d) ∅ ∈ D(e) {∅} ∈ D (f) {∅} ⊂ D (g) ∅ ⊂ D (h) {1, 2} ∈ D(i) {3} ⊂ D (j) {1, 3} ⊂ X (k) {3} ∈ X (l) D ∈ D

3. Determinar todas las topologıas que pueden definirse en un conjunto con doselementos.

4. Dados X = {1, 2, 3, 4} y A = {1, 2}. Encontrar todas las topologıas en X talque A sea simultaneamente abierto y cerrado.

5. Demuestre que las siguientes familias de subconjuntos de N definen una to-pologıa en N.

a) T1 formada por ∅ y todos los conjuntos de la forma {0, 1, · · · , n}. Estatopologıa se conoce por topologıa del segmento inicial.

b) T2 formada por ∅ y todos los conjuntos de la forma {n, n + 1, · · · }. Estatopologıa se conoce por topologıa del segmento final.

6. Demuestre que las siguientes familias de subconjuntos de R definen una to-pologıa en R.

a) T1 formada por ∅, R y todos los intervalos de la forma (−n, n), donde nes un entero positivo.

b) T2 formada por ∅, R y todos los intervalos de la forma [−n, n], donde nes un entero positivo.

c) T3 formada por ∅, R y todos los intervalos de la forma (n,+∞), donde nes un entero positivo.

d) T4 formada por ∅, R y todos los intervalos de la forma (a,+∞), donde aes cualquier numero real.

¿Son comparables estas topologıas? ¿Es la familia T5 formada por ∅, R ytodos los intervalos de la forma [a,+∞), donde a es cualquier numero real,una topologıa en R?

7. Sean (X, T ) un espacio topologico, a /∈ X y Y = X ∪ {a}. ¿Es la coleccionU = {U ∪ {a} : U ∈ T } ∪ {∅} una topologıa en Y ?

8. Considere la familia Td de subconjuntos de N formada por el conjunto vacıo ytodos los conjuntos U ⊂ N caracterizados por n ∈ U si, y solo si, U contienetodos los divisores de n. Demostrar que Td es una topologıa en N, la cuales conocida como topologıa de divisores. ¿Puede un conjunto unitario serabierto? ¿y cerrado? ¿Es el conjunto de numeros primos abierto?

9. Sea (X, T ) un espacio topologico.

a) Si para cada x ∈ X se tiene que {x} ∈ T , demostrar que T es la topologıadiscreta.


b) Si X es infinito y T contiene todos los subconjuntos infinitos de X, de-mostrar que T es la topologıa discreta.

10. Verificar que la relativizacion de la topologıa indiscreta es tambien indiscreta.

11. Sean X un conjunto infinito y T = {U ⊂ X : X \U es inifinito} ∪ {X}. ¿EsT una topologıa en X?

12. Para cada numero real α, sea Uα = {(x, y) : y < x + α}. Demostrar queT = {Uα : α ∈ R} ∪ {∅,R2} es una topologıa en R2. ¿La familia T continuasiendo una topologıa si α varıa en Z? ¿y si α varıa en Q?

13. Sea R dotado de la topologıa usual.

a) Demostrar que cualquier intervalo cerrado [a, b] es un conjunto cerrado.

b) Demostrar que cualquier intervalo semicerrado [a, b) no es ni abierto nicerrado; ademas, puede expresarse como la union de conjuntos cerradosy la interseccion de conjuntos abiertos.

c) Demostrar que el conjunto C = {0} ∪ { 1n : n ∈ N?} es cerrado.

d) Demostrar que el conjunto A = {1, 12 ,

13 , · · · } no es abierto ni cerrado.

e) Demostrar que la topologıa relativa de Z es la discreta.

14. Sean (X, T ) un espacio topologico y Y ⊂ X de manera que la topologıarelativa de Y es la discreta. Demostrar que para cada x ∈ Y existe un abiertoU en X que solo corta a Y en x.

15. Muestre un ejemplo de un espacio topologico (X, T ), un subespacio Y de Xy un subconjunto A abierto (resp. cerrado) en Y que no sea abierto (resp.cerrado) en X.

16. Sean (X, T ) un espacio topologico y subconjuntos U y Y de X tales que Ues abierto en Y . Demostrar que U es abierto en X.

17. Sean U y Y subespacios del espacio topologico (X, T ). Si W ⊂ U ∩ Y esabierto tanto en U como en Y , demostrar que W es abierto en U ∪ Y .

18. Sea N dotado de la topologıa cofinita, ver pagina 30. Para cada n ∈ N con-sidere el conjunto Un = {0} ∪ {m ∈ N : m ≥ n + 1}. Demostrar que cadaUn es un conjunto abierto en N; ademas, Un+1 ⊂ Un para todo n ∈ N y⋂n∈N Un = {0}. Observe que esta ultima identidad muestra que la intersec-

cion de abiertos no es necesariamente un conjunto abierto.

19. Sean X un conjunto con infinitos elementos y la familia F formada por elpropio X y todos los A ⊂ X tales que A es un conjunto numerable (finitoo infinito). Demostrar que F satisface cada una de las propiedades enuncia-das en el teorema 2.1. La topologıa T inducida por F es conocida como latopologıa conumerable de X. ¿Como son los abiertos de X con esta topologıa?


20. Demuestre el teorema 2.1.

21. Mediante un ejemplo muestre la union de dos topologıas en un mismo con-junto no es necesariamente una topologıa.

22. Si {Tα : α ∈ Γ} es una familia de topologıas en X, demostrar que la inter-seccion T =

⋂α∈Γ Tα es tambien una topologıa en X.

23. Sean Γ un conjunto de ındices y {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia de espaciostopologicos tales que para todo par α, β ∈ Γ , con α 6= β, se tiene Xα∩Xβ = ∅.Demostrar que la familia de subconjuntos T dados por: U ∈ T si, y solo si,U∩Xα es abierto en Xα para todo α ∈ Γ , es una topologıa en X =

⋃α∈Γ Xα.

La topologıa T es conocida como topologıa de union disjunta.

24. Sean Γ un conjunto de ındices y {Yα : α ∈ Γ} una familia de subconjuntosdel espacio topologico (X,U) tales que Yα ∩ Yβ = ∅ para todo α, β ∈ Γ conα 6= β. Considere, para cada α ∈ Γ , la topologıa relativa Uα de Yα, y seaY =

⋃α∈Γ Yα dotado tanto con la topologıa relativa TU como la topologıa de

union disjunta V, la cual es obtenida de las topologıas relativas Uα, α ∈ Γ .Discutir la relacion entre las topologıas TU y V de Y .

25. Sean X un conjunto no vacıo, (Y,U) un espacio topologico y f : X → Y unafuncion cualquiera. Demostrar que F = {f−1(U) : U ∈ U} es una topologıaen X.

26. Considere en N2 = {(m,n) : m,n ∈ N} la siguiente familia T de subconjun-tos: cualquier subconjunto U que no contenga a (0, 0) esta en T , y si U esun subconjunto de N2 tal que (0, 0) ∈ U , entonces U ∈ T si, y solo si, paratodos los entero no negativo m, excepto posiblemente para un numero finitode ellos, todos los pares (m,n), excepto posiblemente un numero finito deellos estan en U . Demuestre que T es una topologıa en N2.

27. Sea (X, T ) un espacio topologico. Un subconjunto U de X se dice Gδ, si esla interseccion numerable de conjuntos abiertos; y se dice Fσ si es la unionnumerable de conjuntos cerrados. 2

a) Sea R dotado con la topologıa usual. Demostrar que los intervalos (a, b)y [a, b] son simultaneamente conjuntos Gδ y Fσ. Verificar que Q es Fσ.Tambien se puede demostrar que Q no es Gδ, pero se requiere mas herra-mientas, ver lista de ejercicios de la seccion 2.4.

b) Demostrar que U es Fσ (resp. Gδ) si, y solo si, su complemento es Gδ(resp. Fσ).

2Las nomenclaturas para los conjuntos Gδ y Fσ son clasicas y merecen una explicacion por

su importancia. Las letras G, δ, F y σ corresponden, en pares, a las iniciales (romana y griega)

de palabras alemanas y francesas, respectivamente: gebiet (conjunto abierto) y durchschnitt

(interseccion); mientras que ferme (cerrado) y somme (suma).


c) Demostrar que todo abierto es un Gδ, tambien lo son la interseccion denumerables conjuntos Gδ y la union de finitos Gδ. ¿Cuales son las propie-dades duales a estas que deben satisfacer los conjuntos Fσ?

d) Sea X con la topologıa cofinita. Demostrar que A ⊂ X es Fσ si, y solo si,A es numerable.

2.3. Bases, subbases y vencindades

En distintas estructuras matematicas existen ciertas partes importantes deellas mediante las cuales estas estructura son descritas; un ejemplo de estaspartes, al alcance de la comprension del lector, lo constituye las bases en losespacios vectoriales. En Topologıa no deja de ser, en cierta forma, diferente:existen partes importantes de una topologıa que permiten realizar descripcionesdel espacio topologico y de sus propiedades. La topologıa usual de R fue definidaen terminos de los intervalos abiertos de longitud finita; de hecho, cualquierabierto en R (en esta topologıa) es la union de intervalos de este tipo, quetambien son miembros de la esa topologıa.

A continuacion extenderemos esta nocion al contexto de espacios topologi-cos abstractos, introduciremos las nociones de base y subbase en un espaciotopologico. Al final de la seccion trataremos el concepto de vecindad, o entornode un punto, la cual esta ligada a la nocion de proximidad en un espacio to-pologico.

2.3.1. Bases y subbases

Definicion 2.3. Sea (X, T ) un espacio topologico. Una parte B de T se dicebase de la topologıa T (o base de X cuando no exista confusion) si, y solo si,cada conjunto abierto es union de elementos en B. En otras palabras, B ⊂ T esbase de T si, y solo si, para cada U ∈ T existe una parte BU de B de forma queU =

⋃V ∈BU V .

Conviniendo que la union de elementos en una familia vacıa de conjuntos esel conjunto vacıo, tenemos:

1. La familia B de todos los intervalos abiertos de longitud finita en R es unabase para la topologıa usual de R. Note que hay conjuntos abiertos que noson intervalos abiertos.

2. La familia B de todos los rectangulos abiertos de area finita en R2 constituyeuna base para la topologıa usual de R2. Al igual que en la topologıa usualde R, en la topologıa usual de R2 tambien hay conjuntos abiertos que no sonrectangulos abiertos.

38 2.3. Bases, subbases y vencindades

En las topologıas discreta e indiscreta de un conjunto X tambien es facilmostrar ejemplos de bases para tales topologıas. En la topologıa discreta, lafamilia formada por todos los conjuntos unitarios es una base de esa topologıa;mientras que en la topologıa indiscreta, dado que los unicos abiertos son X y ∅,la unica base (haciendo uso del convenio establecido) es {X}.

Obviamente la propia topologıa es una base, pero no tiene gracia. No siemprees simple obtener ejemplos de bases para un espacio topologico dado, y tampocoexiste un metodo para ello. Tambien debe ser entendido que en un espaciotopologico pueden existir mas de una base. En efecto, suponga que B es una basepara la topologıa T de X, entonces cualquier coleccion B′ tal que B ⊂ B′ ⊂ Tes tambien una base de T (¡verifıquelo!).

Es importante mencionar, a pesar de las limitaciones para construir bases,que a partir de ciertas colecciones de subconjuntos de un conjunto X se constru-yen topologıas de manera que la coleccion de partida sea una base de la topologiaconstruida. Esto lo analizaremos en el teorema 2.2. Antes veamos cuando unacoleccion de subconjuntos abiertos es base de una topologıa dada; en realidadlo que vamos a hacer es parafrasear la definicion anterior.

Proposicion 2.3. Sean (X, T ) un espacio topologico y B un subconjunto de T .Entonces B es base de T si, y solo si, para cada U ∈ T y cada x ∈ U , existeV ∈ B tal que x ∈ V ⊂ U .

Demostracion: Supongamos que B es base de la topologıa T . Sean U ∈ Ty BU como en la definicion 2.3. Entonces es claro que para cada x ∈ U existeV ∈ BU ⊂ B tal que x ∈ V ⊂ U .

Recıprocamente, supongamos que la familia de subconjuntos B satisface quepara cada U ∈ T y cada x ∈ U , existe V ∈ B tal que x ∈ V ⊂ U . Tomemoscualquier abierto U ∈ T ; sean x ∈ U y Vx ∈ B tal que x ∈ Vx ⊂ U . SeaBU = {Vx : x ∈ U y satisfaciendo que x ∈ Vx ⊂ U}. Entonces es claro que⋃W∈BU W = U .

Comentario 2.3. Aunque aparentemente con una coleccion de subconjuntoscuya union sea X puede construirse una base para alguna topologıa de X, estoen general no puede hacerse pues es requerida otra condicion. Por ejemplo,considere X = {0, 1, 2} y B = {X, {0, 1}, {1, 2}}. Si B fuese base de algunatopologıa T de X, como en cualquier topologıa sus elementos son uniones deelementos basicos, y como las uniones de elementos en B estan en B, puesentonces esa topologıa T tiene que ser la propia familia B, pero esta no es puesla interseccion de {0, 1} y {1, 2} no esta en B.

El siguiente teorema da condiciones necesarias y suficientes para que unacoleccion de subconjuntos sea base de alguna topologıa.

Teorema 2.2. Sean X un conjunto no vacıo y B una familia de subconjuntosde X. Entonces B es base de alguna topologıa T de X si, y solo si, se cumplen:


(1) X =⋃V ∈B V , y

(2) para cada V1, V2 ∈ B y x ∈ V1 ∩ V2, existe V3 ∈ B tal que x ∈ V3 ⊂ V1 ∩ V2.

Demostracion: Observe que la segunda condicion del enunciado equivale adecir que la interseccion de elementos en B es la union de elementos en B.

Supongamos que B es base de una topologıa T de X, entonces la primeracondicion es satisfecha pues X es abierto y todo abierto es union de elementosen B. Sean V1, V2 ∈ B, dado que V1∩V2 es abierto, V1∩V2 se escribe como unionde elementos en B; con ello esta demostrado la segunda condicion del enunciado.

Supongamos ahora que la familia B satisface las dos condiciones del enun-ciado. Sea T la coleccion de subconjuntos de X tales que cada uno de ellos seescribe como la union de los miembros de alguna subfamilia de B. Mostraremosque T es una topologıa en X y que B es base de esta topologıa. En primer lugarobserve que X ∈ T (item a)), y ∅ ∈ T pues se escribe como la unıon de losmiembros de la subfamilia vacıa de B; ası, la condicion T1 de la definicion 2.1es satisfecha.

Sean U, V ∈ T , entonces cada uno de ellos se escribe como union de elementosen B. Claramente U ∩ V es la union de intersecciones de pares de elementos enB; pero cada una de esas intersecciones de pares de elementos de B es a su vezunion de elementos en B, de esta forma U ∩ V es union de elementos en B, conlo cual U ∩V ∈ T y por tanto la condicion T2 de la definicion 2.1 esta verificadapara la familia T . Finalmente, sea F una subfamilia de T , entonces cada unode los miembros de F es union de elementos en B, luego es claro que

⋃U∈F U

es union de elementos en B, por lo que⋃U∈F U ∈ T ; ası la familia T es una

topologıa en X.Observe que B es base de T pues todo miembro de T se escribe como union

de elementos en B. Ahora la demostracion esta completa.

Comentario 2.4. La topologıa T construida a partir de la coleccion de sub-conjuntos de X que satisfacen las dos condiciones de la proposicion anterior seconoce con el nombre de topologıa generada por B. Obviamente B ⊂ T ; ademas,puede demostrarse que T es la menor topologıa que contiene a B. Ver lista deejercicios propuestos.

Proposicion 2.4. Sean T1 y T2 topologıas en X, y sean B1 y B2 bases de T1

y T2, respectivamente. Si para todo V ∈ B1 y x ∈ V , existe U ∈ B2 de maneraque x ∈ U ⊂ V , entonces T2 es mas fina que T1; es decir, T1 ⊂ T2.

Demostracion: Note, como antes, que la hipotesis en el enunciado equivalea decir que todo elemento basico en B1 puede ser escrito como la union deelementos en la base B2.

Sean U ∈ T1 y BU1 ⊂ B1 tal que U =⋃V ∈BU1

V . Para cada V ∈ BU1 sea


BV2 ⊂ B2 tal que V =⋃W∈BV2

W . Entonces

U =⋃

V ∈BU1

V =⋃

V ∈BU1

⋃W∈BV2

W,

que en definitiva es una union de elementos en B2, por tanto U ∈ T2. Ası,T1 ⊂ T2.

Corolario 2.1 (Criterio de Hausdorff). Si T1 y T2 son topologıas en X, y B1

y B2 son bases de T1 y T2, respectivamente, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:

(1) T1 = T2

(2) Para todo V ∈ B1 y cada x ∈ V , existe U ∈ B2 de manera que x ∈ U ⊂ V ,y para todo U ∈ B2 y cada x ∈ U , existe V ∈ B1 de manera que x ∈ V ⊂ U .

Demostracion: Se deja al lector.

Ejemplo 2.8 (Bases para la topologıa usual del plano).Hemos comentado que la coleccion de todos los rectangulos abiertos de area

finita constituyen una base de la topologıa usual del plano. En este ejemploconstruiremos bases de la misma topologıa distintas a la base formada por losrectangulos abiertos de area finita. Antes de alcanzar este objetivo recordamosque en plano real, la distancia euclidiana entre dos puntos, digamos (x, y) y(u, v) es definida como el numero no negativo

d((x, y), (u, v)) =√

(x− u)2 + (y − v)2.

Es bien conocido que esta funcion d : R2 × R2 → [0,+∞) satisface, para todo(x, y), (u, v), (w, z) ∈ R2, las siguientes propiedades:

1. d((x, y), (u, v)) ≥ 0,

2. d((x, y), (u, v)) = 0 si, y solo si, (x, y) = (u, v),

3. d((x, y), (u, v)) = d((u, v), (x, y)), y

4. d((x, y), (u, v)) ≤ d((x, y), (w, z)) + d((w, z), (u, v)).

La primera propiedad dice que la distancia euclidiana entre dos puntos cuales-quiera siempre es un numero no negativo; la segunda establece que la distanciaeuclidiana entre dos puntos es nula si, y solo si, esos puntos son iguales; la tercerapropiedad es una propiedad de simetrıa: es lo mismo la distancia euclidiana delpunto p a al punto q, d(p, q), que la del punto q al punto p, d(q, p). Finalmente,la cuarta propiedad es la desigualdad triangular, esta inspirada en la relacionde desigualdad que existe entre los lados de cualquier triangulo.


• Base de cuadrados abiertosConsideremos en R2 la coleccion Bmax formada por todos los cuadrados abiertoscon lados paralelos a los ejes coordenados; es decir, la coleccion de todos losconjuntos Qr(a, b), con (a, b) ∈ R2 y r > 0, donde:

Qr(a, b) = {(x, y) ∈ R2 : max{|x− a|, |y − b|} < r}.

Observe que Qr(a, b) = (a − r, a + r) × (b − r, b + r), y geometricamente es unrectangulo de area finita que no incluye la frontera, sus lados tienen la mismalongitud y son paralelos a los ejes coordenados.

Figura 2.1: Representacion grafica del cuadrado Qr(a, b)

Claramente la coleccion de todos los cuadrados Qr(a, b) satisface el item a)del teorema 2.2. En cuanto al segundo item de la misma proposicion, observeque si R es el rectangulo abierto (α, β)× (γ, δ) y (a, b) es cualquier punto en R,entonces podemos escoger r1 > 0 y r2 > 0 suficientemente pequenos para que(a− r1, a + r1) ⊂ (α, β) y (b− r2, b + r2) ⊂ (γ, δ), de donde Qr(a, b) ⊂ R parar = mın{r1, r2}. Por otra parte, dado que la interseccion de dos cuadrados enBmax es un rectangulo abierto R de area finita, entonces para cada punto (a, b)de esta interseccion existe un cuadrado Qr(a, b) contenido en ella; por tanto,del teorema 2.2 sigue que Bmax genera una topologıa Umax en R2. Mostraremosa continuacion, usando la proposicion anterior, que Umax es la misma topologıaeuclidiana U2 descrita en el ejemplo de la pagina 30. Primero note que comotodo cuadrado es un rectangulo, entonces la topologıa U2 es mas fina que Umax;esto es, Umax ⊂ U2. La inclusion recıproca sigue del comentario anterior: paratodo rectangulo abierto de area finita R y cada punto (a, b) ∈ R, existe r > 0suficientemente pequeno tal que (a, b) ∈ Qr(a, b) ⊂ R, luego de la proposicion


2.4 sigue que U2 ⊂ Umax. De esta forma la topologıa Umax es la misma topologıagenerada por los rectangulos abiertos de area finita; es decir, Umax es la topologıausual de R2.

• Base de discos abiertosSea B la coleccion de todos los discos abiertos en R2; es decir, la familia formadapor todos los conjuntos de la forma

Dr(a, b) = {(x, y) ∈ R2 : (x− a)2 + (y − b)2 < r2},

con (a, b) ∈ R2 y r > 0; Dr(a, b) es el disco abierto centrado en el punto (a, b)y radio r.

Figura 2.2: Representacion del disco abierto de centro (a, b) y radio r

Claramente para cada r > 0 se tiene que R2 =⋃

(a,b)∈R2 Dr(a, b), por tanto lafamilia B cumple con la parte a) del teorema 2.2. Adicionalmente, supongamosque (u, v) ∈ Dr(a, b). Denotemos por ρ = d((a, b), (u, v)) y sea δ = r − ρ;veamos que Dδ(u, v) ⊂ Dr(a, b). En efecto, sea (x, y) ∈ Dδ(u, v); es decir,d((x, y), (u, v)) < δ. Entonces, dado que

d((x, y), (a, b)) ≤ d((x, y), (u, v)) + d((u, v), (a, b))

sigue inmediatamente que d((x, y), (a, b)) < r, con lo cual (x, y) ∈ Dr(a, b) yDδ(u, v) ⊂ Dr(a, b). Con esta propiedad se demuestra que B tambien satisfacela propiedad b) del teorema 2.2, por lo que esta familia de subconjuntos de R2

genera una topologıa U .Para verificar que U es la topologıa euclidiana de R2 usaremos, como antes,

la proposicion 2.4. Consideremos el disco Dr(a, b) y (u, v) ∈ Dr(a, b). Sean


ρ = d((u, v), (a, b)), δ = r−ρ√2

y Qδ(u, v). Ahora tomemos (x, y) ∈ Qδ(u, v); esdecir, max{|x− u|, |y − v|} < δ. Dado que

d((x, y), (a, b)) ≤ d((x, y), (u, v)) + d((u, v), (a, b))

y d((x, y), (u, v)) ≤√

2 max{|x − u|, |y − v|}, se tiene que d((x, y), (a, b)) < r.Por tanto Qδ(u, v) ⊂ Dr(a, b), y ası la topologıa U es mas fina que U2.

Recıprocamente, consideremos Qr(a, b) y (u, v) ∈ Qr(a, b). Sean ρ1 = |u−a|,ρ2 = |v − b| y ρ = mın{r − ρ1, r − ρ2}. Veamos que Dρ(u, v) ⊂ Qr(a, b). Sea(x, y) ∈ Dρ(u, v); esto es, d((x, y), (u, v)) < ρ. En vista que

|x− a| ≤ |x− u|+ |u− a|< ρ+ ρ1 ≤ r − ρ1 + ρ1 = r,

y de igual forma |y − b| < r, entonces (x, y) ∈ Qr(a, b). Con lo que de laproposicion anterior se tiene que U2 es mas fina que U , y ası ambas topologıascoinciden.

• Base de rombos regulares abiertosEn el plano R2 se conoce como rombo regular abierto a todo cuadrado abiertode area finita cuyos lados son paralelos a las rectas que bisectan los anguloscoordenados. En otras palabras, R es un rombo regular abierto si, y solo si,existen (a, b) ∈ R2 y r > 0 tales que R = {(x, y) ∈ R2 : |x− a|+ |y − b| < r}, elcual denotamos por Rr(a, b) y decimos que tal rombo tiene centro en el punto(a, b) y radio r. Sea B1 la coleccion de todos los rombos regulares abiertos;es decir, B1 = {Rr(a, b) : (a, b) ∈ R2, r > 0}. Dejamos al lector la tarea dedemostrar que la familia B1 genera una topologıa U1 en R2 y que U1 = U2.

Figura 2.3: Rombo regular abierto Rr(a, b) de radio r y centro en (a, b)


Ejemplo 2.9 (Topologıa producto: caso finito).Trataremos en este ejemplo una topologıa natural en el producto cartesiano

de finitos espacios topologicos; en realidad tal topologıa puede definirse en pro-ductos cartesianos de un numero arbitrario de espacios topologicos, pero estosera tratado en el capıtulo 5.

Hemos visto que la topologıa usual de R2 (= R×R) tiene como una base lacoleccion de todos los rectangulos abiertos, de area finita; es claro que cada unode estos elementos basicos es el producto cartesiano de intervalos abiertos delongitud finita, que son elementos basicos de la topologıa usual de R. Esta mismaidea la extrapolaremos para construir una topologıa en el producto cartesianode dos espacios topologicos.

Tomemos dos espacios topologicos (X1, T1) y (X2, T2); en el producto car-tesiano X1 × X2 consideremos la coleccion B de todos los subconjuntos novacıos de la forma U = U1 × U2, donde U1 ∈ T1 y U2 ∈ T2. ObviamenteX1 × X2 =

⋃U∈B U ; por otra parte, si U = U1 × U2 y V = V1 × V2 estan en

B, como U ∩ V = (U1 ∩ V1)× (U2 ∩ V2), U1 ∩ V1 ∈ T1 y U2 ∩ V2 ∈ T2, entoncesU ∩ V ∈ B. De esta forma, por el teorema 2.2, la coleccion B es base de unatopologıa en el producto cartesiano X1×X2; esta topologıa es conocida como latopologıa producto de X1×X2. Ası pues, un subconjunto no vacıo U de X1×X2

es abierto en la topologıa producto de X1×X2 si, y solo si, existe una subfamiliaF de B tal que U =

⋃W∈F W .

Una clase particular de conjuntos cerrados no vacıos en la topologıa productode X1 ×X2 es constituida por el producto cartesiano de conjuntos cerrados novacıos. En efecto, sean A y B subconjuntos cerrados no vacıos en X1 y X2,respectivamente. Para ver que A×B es cerrado en X1×X2, basta verificar quesu complemento es abierto. Sea (x, y) cualquier punto fuera de A×B; sin perdergeneralidad supongamos que x /∈ A. Dado que X1 \ A es abierto en X1, existeV ∈ T1 tal que x ∈ V ⊂ X1 \ A. Consideremos ahora el abierto U = V × X2

en la topologıa producto, obviamente (x, y) ∈ U y U ∩ (A × B) = ∅; que esU ⊂ (X1 × X2) \ (A × B). De esta manera, (X1 × X2) \ (A × B) es union deelementos en la base B arriba descrita; es decir, (X1 ×X2) \ (A×B) es abiertoen la topologıa producto.

Comentario 2.5.

(a) No es difıcil chequear que la topologıa producto en R2, obtenida a partir dela topologıa usual en R, es justamente la topologıa usual de R2.

(b) No deja de ser natural pensar en la posibilidad que si (X1, T1) y (X2, T2) sonespacios topologicos, entonces la coleccion T de todos los conjuntos de laforma U1×U2, con U1 ∈ T1 y U2 ∈ T2, sea una topologıa en X1×X2. Aunquees muy simple verificar que esta coleccion satisface T1 y T2 en la definicion2.1; en general no es cierto que satisfaga T3. Por ejemplo, en la topologıausual de R2, los rectangulos (1, 3)× (1, 3) y (2, 4)× (2, 4) son miembros de


T , no obstante su union no puede expresarse como el producto cartesianode todos abiertos en la topologıa usual de R; detalles para el lector.

Figura 2.4: Un abierto basico en la topologıa producto de X1 ×X2

La topologıa producto en el producto cartesiano de cualquier numero finitode espacios topologicos (X1, T1), · · · , (Xn, Tn) se construye de la misma manera:en el producto cartesiano

n∏i=1

Xi = {(x1, · · · , xn) : xj ∈ Xj , 1 ≤ j ≤ n}

la coleccion B de todos los conjuntos∏ni=1 Ui, donde Uj ∈ Tj \ {∅} para cada

1 ≤ j ≤ n, es base de alguna topologıa en X: la topologıa producto del productocartesiano

∏ni=1Xi.

Ejemplo 2.10 (Topologıa de Sorgenfrey).En R consideremos la coleccion BS de todos los intervalos de la forma [a, b),

a, b ∈ R. Esta familia de subconjuntos de R es base de una topologıa TS en R, lacual es conocida como topologıa de Sorgenfrey, tambien es llamada topologıa dellımite inferior. El conjunto R dotado de esta topologıa es denominado recta deSorgenfrey y acostumbra denotarse por R`. Veamos que en efecto BS genera unatopologıa en R. Obviamente R =

⋃I∈BS I; ademas, para cada par de intervalos

[a, b) y [c, d), se satisface una de las siguientes afirmaciones: [a, b) ∩ [c, d) = ∅,o [a, b) ∩ [c, d) = [α, β), siendo que α = max{a, c} y β = mın{b, c}. Ası, delteorema 2.2 sigue la afirmacion anterior.

Dado que para cualquier intervalo (a, b) se tiene (a, b) =⋃n≥1[a + 1

n , b),entonces la topologıa de Sorgenfrey es mas fina que la topologıa euclidiana deR, ver proposicion 2.4. Note que estas topologıas no son iguales pues cualquierintervalo [a, b), abierto en TS , no es abierto en la topologıa euclidiana.

Analogamente se construye la topologıa del lımite superior en R, que es latopologıa en R con base los intervalos de la forma (a, b].


Ejemplo 2.11 (Topologıa de Furstenberg).En el volumen 62 de la revista American Mathematical Monthly, ano 1955,

aparecio una nota titulada On the infinitude of primes, escrita por el matematicoisraelı Hillel Furstenberg, en la cual se construye una topologıa en Z para ofreceruna nueva demostracion del clasico matematico de la infinitud de los numerosprimos. A continuacion ofrecemos los detalles de la construccion de Furstenbergde esa topologıa y de su implicacion.

En Z consideremos la coleccion BF de todas las progresiones aritmeticasS(a, b) = {an+ b : n ∈ Z} = aZ+ b, a, b ∈ Z con a ≥ 1. Note que para todo parde enteros a ≥ 1 y b fijos se cumplen Z = S(a, b)∪S(a, b+1)∪· · ·∪S(a, b+a−1)y b ∈ S(a, b). Por otra parte, para cada x ∈ S(a, b)∩S(c, d), sean e = mcm(a, c),el mınimo comun multiplo de a y c, y S(e, x) la progresion aritmetica que seinicia en x con razon e. Es facil mostrar que para todo y ∈ S(e, x), se tiene quey ∈ S(a, b) ∩ S(c, d); de donde x ∈ S(e, x) ⊂ S(a, b) ∩ S(c, d). Ası, del teorema2.2, la familia de progresiones aritmeticas BF es base de una topologıa F enZ, la cual es denominada topologıa de Furstenberg, o topologıa de progresionesaritmeticas.

Por construccion, un conjunto U ⊂ Z es abierto en la topologıa de Fursten-berg si, y solo si, o U = ∅, o es union de algunas progresiones aritmeticas en BF .En particular, todo conjunto abierto no vacıo es infinito; por lo que el comple-mento de cualquier conjunto finito no puede ser un conjunto cerrado. Ademas,como S(a, b) = Z\

⋃a−1j=1 S(a, b+j), entonces toda progresion aritmetica en BF es

un conjunto cerrado. Por otra parte, como los unicos enteros que no son multi-plos de numeros primos son −1 y 1, entonces Z \ {−1, 1} =

⋃p es primo S(p, 0).

Luego, si el numero de primos fuese finito, como la union finita de conjuntoscerrados es un conjunto cerrado, se tendrıa que {−1, 1} es abierto; lo cual nopuede ser.

Ejemplo 2.12 (Topologıa de rayos abiertos a derecha).Sean X un conjunto no vacıo, linealmente ordenado, sin primer elemento

y ≺ el orden estricto correspondiente; ver definiciones 1.12, 1.13 y 1.15. Dadoa ∈ X, se conoce con el nombre de rayo abierto a derecha de a, al conjunto{x ∈ X : a ≺ x}, el cual denotamos por (a,−→). Veamos que la coleccionB = {(a,−→) : a ∈ X} genera una topologıa en X para la cual B es unabase; esta topologıa se denomina topologıa de rayos abiertos a derecha. En vistaque X no tiene primer elemento es facil mostrar que X =

⋃a∈X(a,−→); por

otro lado, para cualquier par de elementos distintos a, b de X, como el orden estotal se debe cumplir que o a ≺ b, o b ≺ a. Supongamos que a ≺ b, entonces(a,−→)∩(b,−→) = (b,−→), con lo cual sigue que la familia B es base de algunatopologıa en X. ¿Como son los abiertos en esta topologıa?

Observe que si X, con el orden supuesto, tuviese un primer elemento, enton-ces la coleccion B de todos los rayos abiertos a derecha no cubre a X; por tantotal coleccion no es base de ninguna topologıa en X. No obstante, por el mismo


teorema arriba mencionado, B es base de alguna topologıa en X \ {a0}, siendoa0 el primer elemento de X.

Ejemplo 2.13 (Topologıa del orden).Sean X un conjunto no vacıo, linealmente ordenado, sin primer ni ultimo

elemento, y ≺ el orden estricto correspondiente. Para cada par a, b ∈ X, cona ≺ b, se define el intervalo abierto con extremos en a y b como el conjunto{x ∈ X : a ≺ x ≺ b}, el cual es denotado por (a, b).

Sea x ∈ X arbitrario, dado que X no admite ni primer ni ultimo elementoen el orden considerado, entonces existen a, b ∈ X tales que a ≺ x ≺ b, portanto X =

⋃a≺b(a, b). Adicionalmente, supongamos que x ∈ (a, b) ∩ (c, d); es

decir, a ≺ x ≺ b y c ≺ x ≺ d. Dado que a, c y b, d son comparables, existen e, f

en X con e ≺ f tales que x ∈ (e, f) ⊂ (a, b) ∩ (c, d); por tanto del teorema 2.2la coleccion de todos los intervalos abiertos B = {(a, b) : a, b ∈ X y a ≺ b} esbase de alguna topologıa en X, la cual es denominada topologıa del orden en X.Note la similitud de esta topologıa con la topologıa usual de R.

Cuando el orden lineal en el conjunto X existen elementos extremales; esdecir, primer o ultimo elemento, entonces se deben anexar algunos conjuntosespeciales a la coleccion B anterior para que esa nueva familia sea base dealguna topologıa en X. Consideremos el caso particular en que X tiene primerelemento, digamos a0, y no posee un ultimo elemento, esto significa que a0 ≺ bpara todo b ∈ X \{a0} y para todo a ∈ X existe b ∈ X tal que a ≺ b. Para cadab ∈ X con a0 ≺ b, se define el intervalo semiabierto de extremos a0 y b comoel conjunto [a0, b) = {x ∈ X : a0 � x ≺ b}, donde � es el orden no estrictocorrespondiente al orden lineal considerado. Como arriba, es simple verificarque la coleccion B′ = B ∪ {[a0, b) : b ∈ X y a0 ≺ b} es base de alguna topologıaen X, la cual continuamos denominando topologıa de orden en X. Similaresconsideraciones pueden hacerse en los otros casos; esto es, cuando X admiteprimer y ultimo elemento, o cuando X tiene ultimo elemento mas no primerelemento. Dejamos los detalles al lector; ver ejercicio propuesto numero 8 en lapagina 55.

Hemos visto que familia arbitrarias de subconjuntos no siempre son basede alguna topologıa para un determinado conjunto X, ver comentario 2.3. Noobstante, a partir de una familia cualquiera de subconjuntos de X, cuya unionde sus miembros sea X, se pueden construir topologıas en X.

Teorema 2.3. Si S es cualquier familia no vacıa de subconjuntos de X tales queX =

⋃U∈S U , entonces la coleccion de subconjuntos formada por la interseccion

de los miembros de subfamilias finitas de S es base de alguna topologıa en X.

Demostracion: Sea B la coleccion de todas las intersecciones finitas de ele-mentos en S; esto es, B ∈ B si, y solo si, existe una subfamilia finita SB de Stal que B =

⋃U∈SB U .


Claramente B contiene a S, todo miembro de S es interseccion finita de simismo; ası, la primera parte del teorema 2.2 es satisfecha por B. Supongamosque U, V ∈ B, si la interseccion U ∩ V es no vacıa, dado que esta es expresacomo una interseccion finita de miembros de S, entonces la segunda condiciondel teorema 2.2 tambien se cumple, por lo que B es base de alguna topologıaT en el conjunto X. La topologıa T ası construida se denominada topologıagenerada por S.

Definicion 2.4. Sea (X, T ) un espacio topologico. Una familia no vacıa S desubconjuntos de X se dice subbase de T si, y solo si, la coleccion de subconjuntosformada por la interseccion de los miembros de subfamilias finitas de S formauna base de T .

Note que si S es una subbase de la topologıa T de X, entonces todos losabiertos de X (en esta topologıa) se expresan como uniones de interseccionesfinitas de elementos de S. Es decir, la topologıa T esta determinada por S; adi-cionalmente, note que S ⊂ T . Observe tambien que toda base de una topologıaT es subbase de la misma topologıa, el recıproco no siempre es verdadero.

Proposicion 2.5. Si S es subbase de la topologıa T de X, entonces T es lamenor topologıa en X que contiene a S.

Demostracion: Para demostrar esta propiedad basta verificar que si U es cual-quier otra topologıa en X tal que S ⊂ U , entonces T ⊂ U . En efecto, sea U ∈ T .Dado que S genera a T , entonces U se expresa como la union de interseccionesfinitas de elementos de S. Ahora bien, como U es una topologıa y contiene aS, entonces las intersecciones finitas de elementos de S son miembros de U yuniones de tales elementos siguen siendo miembros de U , ası U ∈ U .

Ejemplo 2.14. Sean X = {a, b, c} y S = {{a, b}, {b, c}}. Dado que el conjuntoX se expresa como X = {a, b} ∪ {b, c}, entonces S genera una topologıa Ten X. La coleccion B de todas las intersecciones finitas de elementos en S esbase de esa topologıa T ; claramente B = {{a, b}, {b, c}, {b}}, lo cual implica queT = {∅, X, {a, b}, {b, c}, {b}} es la topologıa generada por S. Observe que S noes base de ninguna topologıa en X, ver teorema 2.2.

Ejemplo 2.15. En R consideremos la familia S formada por todos los intervalosabiertos de la forma (−∞, a) o (a,+∞). Dado que las intersecciones finitas deintervalos de este tipo son intervalos abiertos de longitud finita, entonces latopologıa generada por S es la topologıa usual de R.

Ejemplo 2.16. Sean (X1, T1), · · · , (Xn, Tn), n ≥ 2, espacios topologicos. Esmuy simple mostrar que la familia de todos los conjuntos de la forma

X1 × · · · ×Xi−1 × Ui ×Xi+1 × · · · ×Xn, Ui ∈ Ti \ {∅} (i = 1, · · · , n)

es una subbase de la topologıa producto de∏ni=1Xi.


Figura 2.5: Abiertos subbasicos en la topologıa producto de X1 ×X2

Ejemplo 2.17. Sean X un conjunto no vacıo dotado de un orden lineal y ≺el correspondiente orden estricto. Para cada a ∈ X se define el rayo abiertoa izquierda como el conjunto (←−, a) = {x ∈ X : x ≺ a}. Consideremos lacoleccion S formada por todos los rayos abiertos a izquierda y derecha; es decir,I ∈ S si, y solo si, existe a ∈ X tal que o I = (←−, a), o bien I = (a,−→).Note que si X admite primer elemento, digamos a0, entonces (←−, a) = [a0, a);en cuanto que si X tiene ultimo elemento, b0, entonces (a, b0]. Dado que X =⋃I∈S I, entonces S es subbase de alguna topologıa en X, de hecho se demuestra

que tal topologıa es la topologıa del orden; ver ejemplo 2.13 y ejercicio numero8 de la pagina 55. Note la similitud con el ejemplo anterior.

Ejemplo 2.18. Sean X un conjunto con infinitos elementos y S la coleccion detodos los subconjuntos de X que son de la forma X \ {x}, x ∈ X. ClaramenteX =

⋃x∈X (X \ {x}), por tanto S genera una topologıa en X. Note que la

interseccion de los miembros de cualquier subfamilia finita de S o es vacıa (sila familia es vacıa) o es de la forma X \ A, donde A es un subconjunto finitode X. Por tanto la coleccion B formada por la interseccion de los miembrosde subfamilias finitas de S es justamente la topologıa cofinita de X, ver 2.4 enla pagina 30. Ası, S genera la topologıa cofinita de X. Note que S no es basede ninguna topologıa en X; esto sigue de lo siguiente. Sean x1, x2 dos puntosdistintos en X, como X \{x1}, X \{x2} ∈ S, si S fuese base de alguna topologıaen X, para y ∈ X \ {x1, x2} = (X \ {x1}) ∩ (X \ {x2}) deberıa existir x ∈ Xtal que y ∈ X \ {x} ⊂ X \ {x1, x2}, lo cual es imposible.

2.3.2. Vecindades y nociones de proximidad

Aun cuando no todo espacio topologico puede equiparse con una funcionque permita medir distancia entre sus puntos y que ademas describa la estruc-tura topologica considerada, siempre es posible construir, para cada punto delespacio, un sistema de subconjuntos conteniendo al punto mediante los cualesse establece una nocion rustica de proximidad entre puntos del espacio.

Definicion 2.5. Sean (X, T ) un espacio topologico y x un punto cualquiera enX. Un conjunto V ⊂ X se dice que es una vecindad, o entorno, de x, si, y solo si,


x ∈ V y existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊂ V . Se denota por Vx al conjunto formadopor todas las vecindades del punto x, y se le denomina sistema de vecindadesde x, o vecindario de x.

Considere cualquier espacio topologico (X, T ) y sea x ∈ X; observe quetodo abierto U que contenga a x es un miembro de Vx; en particular el sistemade vecindades de x es no vacıo, al menos contiene al propio X. Si denotamospor Tx la coleccion de todos los abiertos que contienen a x, entonces es claroque Tx ⊂ Vx. Ademas, de la definicion anterior sigue inmediatamente que todoconjunto abierto es una vecindad de todos sus puntos. De hecho, como veremosa continuacion, esto caracteriza los conjuntos abiertos.

Proposicion 2.6. Sea (X, T ) un espacio topologico. Un subconjunto V de Xes abierto si, y solo si, V es vecindad de cada uno de sus puntos.

Demostracion: Supongamos que V es abierto; para cada x ∈ V se tiene x ∈V ⊂ V , por lo que V ∈ Vx. Recıprocamente, supongamos que V es vecindadde cada uno de sus puntos; esto es, para cada x ∈ V existe Vx ∈ T tal quex ∈ Vx ⊂ V . De donde V =

⋃x∈V Vx; por tanto V ∈ T pues es union de

miembros de T .

Ejemplo 2.19. Mostraremos a continuacion un conjunto de ejemplos, todossimples, de sistema de vecindades en alguno de los espacios topologicos que yaconocemos.

1. En la topologıa indiscreta de un conjunto X el sistema de entornos para cadax ∈ X es Vx = {X}.

2. En la topologıa discreta de un conjunto X el sistema de entornos para x ∈ Xes la familia Vx = {A : A ⊂ X y x ∈ A}.

3. Sean X un conjunto con una infinidad de elementos y T la topologıa cofinitade X; recordamos que U ∈ T si, y solo si, o U = ∅ o X \ U es finito. Paracada x ∈ X se muestra muy facilmente que el sistema de entornos de x

esta constituido por todos los subconjuntos U de x tales que x ∈ U y X \ Ues finito; es decir, Vx = Tx.

4. Sea R dotado de la topologıa usual U . Para cada x ∈ R se demuestra que Vxes la coleccion de subconjuntos de R que contienen algun intervalo abierto delongitud finita y que contenga a x; por ejemplo el intervalo cerrado [x−ε, x+ε]es un miembro de Vx para cualquier ε > 0. Ası que el sistema de vecindadesde un punto, ademas de contener los abiertos que contienen al punto, puedencontener subconjuntos que incluso son cerrados en la topologıa.

La siguiente proposicion muestra las propiedades fundamentales del sistemade vencindades en cada punto de un espacio topologico.


Proposicion 2.7. Sean (X, T ) un espacio topologico y x ∈ X. Entonces elsistema de vecindades Vx satisface:

(1) Si U y V pertenecen a Vx, entonces U ∩ V ∈ Vx.

(2) Si U ∈ Vx y U ⊂W , entonces W ∈ Vx.

(3) Si U ∈ Vx, entonces existe W ∈ Vx tal que U ∈ Vy para todo y ∈W .

Demostracion: Supongamos que U y V pertenecen a Vx, luego existen abier-tos Ux y Vx conteniendo a x tales que Ux ⊂ U y Vx ⊂ V . Dado que Ux ∩ Vx esabierto, contiene a x y Ux ∩ Vx ⊂ U ∩ V , entonces U ∩ V ∈ Vx. Esto demuestrala primera parte de la proposicion. La demostracion del segundo enunciado esobvia. Finalmente, sean U un elemento en Vx y V un abierto en X tal quex ∈ V ⊂ U . Al tomar W = V y cualquier y ∈ W , dado que este es abierto yW ⊂ U , se tiene que U es una vecindad de y.

Motivados por las proposiciones 2.6 y 2.7, uno podrıa preguntarse ¿sera quemediante colecciones de familias de conjuntos en cada punto de un conjuntoX pueden construirse topologıas cuyos sistemas de vecindades sean tales fami-lias? La respuesta es afirmativa, el enunciado preciso se muestra en el siguienteteorema.

Teorema 2.4. Si X es un conjunto no vacıo tal que para cada x ∈ X se tieneuna familia no vacıa Ux de subconjuntos de X que satisfacen:

(1) x ∈ V para cada V ∈ Ux;

(2) si U y V pertenecen a Ux, entonces U ∩ V ∈ Ux;

(3) si U ∈ Ux y U ⊂W , entonces W ∈ Ux; y

(4) si U ∈ Ux, entonces existe W ∈ Ux tal que U ∈ Uy para todo y ∈W ,

entonces existe una unica topologıa T en X tal que Ux es el sistema de vecin-dades para cada x ∈ X.

Demostracion: Siguiendo la proposicion 2.6 consideramos la coleccion T for-mada por el conjunto vacıo y todos los subconjuntos U de X tales que U ∈ Uxpara cada x ∈ U . Veamos que T es una topologıa en X. Observe que X ∈ T ,pues para cualquier x ∈ X existe V ∈ Ux y por la propiedad (3) anterior setiene que X ∈ Ux; finalmente, como el punto x es arbitrario, entonces X ∈ Tpor la definicion de T .

Sean U, V ∈ T , si U ∩V = ∅, es claro que U ∩V ∈ T . Supongamos por tantoque U ∩ V 6= ∅. Dado que para cada x ∈ U y cada y ∈ V se tiene que U ∈ Ux yV ∈ Uy, entonces para cada z ∈ U ∩V se satisface U ∩V ∈ Uz por la propiedad(2); ası, U ∩ V ∈ T . Resta mostrar que la union arbitraria de miembros en Ttambien esta en T . Sea Γ un conjunto de ındices cualquiera, y para cada α ∈ Γ


sea Uα ∈ T ; es decir, para cada α ∈ Γ y todo x ∈ Uα se cumple Uα ∈ Ux. SeaU =

⋃α∈Γ Uα, debemos verificar que para cada x ∈ U se tiene que U ∈ Ux.

Tomemos x ∈ U , entonces existe β ∈ Γ tal que x ∈ Uβ . Dado que Uβ ∈ Uy paracada y ∈ Uβ , como Uβ ⊂ U , sigue de la propiedad (3) que U ∈ Uy para todoy ∈ Uβ , en particular U ∈ Ux, con lo cual U ∈ T . Por tanto la coleccion T esuna topologıa en X.

Veamos ahora que Ux = Vx para cada x ∈ X, siendo que Vx es el sistema devecindades del punto x en la topologıa T . Sea U ∈ Vx, entonces existe V ∈ Ttal que x ∈ V ⊂ U . Dado que V ∈ Ux por definicion, como U contiene a V ,entonces por la propiedad (3) se tiene que U ∈ Ux; ası Vx ⊂ Ux. Recıprocamente,supongamos que U ∈ Ux; para verificar que U ∈ Vx debemos mostrar que existeW ∈ T tal que x ∈ W ⊂ U . Pero por la propiedad (4) existe W ∈ Ux tal queU ∈ Uy para todo y ∈ W . Note que W ⊂ U por la propiedad (1). Justamentede esta inclusion y la propiedad (3) sigue que W ∈ Uy para todo y ∈ W ; estosignifica que W ∈ T ; por tanto U ∈ Vx y Ux ⊂ Vx. Ası Ux = Vx para cadax ∈ X.

Para finalizar mostremos que T es la unica topologıa en X de manera queUx es el sistema de vecindades en cada x de X. Sea T1 una topologıa en X talque el sistema de vecindades en cada punto x ∈ X es Ux. Sea U ∈ T1, entoncesU es vecindad de cada uno de sus puntos, ver proposicion 2.6. Esto significa queU ∈ Ux para todo x ∈ U ; que es justo lo que caracteriza los miembros de T ,luego T1 ⊂ T . La inclusion recıproca es analoga.

Al igual que el papel que tienen las bases en una topologıa, en los sistemasde vecindades Vx de cada punto x en un espacio topologico (X, T ), existenpartes de Vx mediante las cuales se describe cada miembro de ese sistema devecindades.

Definicion 2.6. Sean (X, T ) un espacio topologico y Vx su sistema de vecin-dades en x ∈ X. Una subfamilia Bx ⊂ Vx se dice base de Vx si, y solo si, paracada V ∈ Vx existe U ∈ Bx tal que x ∈ U ⊂ V . A una tal coleccion Bx tambiense le denomina base local del vecindario del punto x.

Las siguientes proposiciones 2.8 y 2.9, cuyas demostraciones dejamos al lec-tor, ofrecen una caracterizacion de bases de los sistemas de vecindades y pro-piedades fundamentales de tales familias.

Proposicion 2.8. Si (X, T ) es un espacio topologico y Vx su sistema de vecin-dades en x ∈ X, entonces son equivalentes:

(1) Bx es base de Vx.

(2) Para todo V ∈ T con x ∈ V existe U ∈ Bx tal que U ⊂ V .

Ejemplo 2.20. En lo que sigue mostramos ejemplos de bases de sistemas devecindades, la demostracion de cada una de las afirmaciones contenidas en talesejemplos se dejan al lector.


1. Obviamente el sistema de vecindades Vx en cada punto x de cualquier espaciotopologico (X, T ) es una base de tal sistema de vecindades; de hecho esta esla mayor de tales bases.

2. Sea X dotado con la topologıa discreta, es simple de verificar que para todox ∈ X, Bx = {{x}} es base del sistema de vecindades Vx; de hecho es lamenor de todas las bases de ese sistema de vecindades.

3. Sean (X, T ) un espacio topologico y Vx el sistema de vecindades en x ∈ X.Entonces BTx = {U ∈ Vx : U ∈ T } y BBx = {U ∈ Vx : U ∈ B}, cualquiera seala base B de T , son bases de Vx. Note que BBx ⊂ BTx .

4. Sea R dotado de la topologıa usual. Para cada x ∈ R la familia de intervalosabiertos Bx = {(x − ε, x + ε) : ε > 0} es una base del sistema de vecindadesde x.

5. Consideremos en R la topologıa de Sorgenfrey; ver pagina 45. Para cadax ∈ R la familia de intervalos semiabiertos Bx = {[x, x + ε) : ε > 0} es unabase del sistema de vecindades de x.

Proposicion 2.9. Si (X, T ) es un espacio topologico, Vx su sistema de vecin-dades en x ∈ X y Bx una base de Vx, entonces son satisfechas las siguientespropiedades:

(1) x ∈ V para cada V ∈ Bx.

(2) Si U y V son miembros de Bx, entonces existe W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩V .

(3) Si V ∈ Bx, entonces existe U ∈ Bx tal que para cada y ∈ U existe Uy ∈ Byde forma que Uy ⊂ V .

Las propiedades del enunciado en la proposicion anterior tambien son condi-ciones suficientes para la existencia de una unica topologıa de manera que talesfamilias de subconjuntos sean base del sistema de vecindades en cada punto.

Teorema 2.5. Sea X un conjunto no vacıo tal que en cada x ∈ X se tiene unafamilia Bx de subconjuntos de X que cumplen:

(1) x ∈ V para cada V ∈ Bx;

(2) si U, V ∈ Bx, entonces existe W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩ V ; y

(3) si V ∈ Bx, existe U ∈ Bx tal que para cada y ∈ U existe Uy ∈ By de formaque Uy ⊂ V ,

entonces existe una unica topologıa T en X tal que, para cada x ∈ X la familiaBx es base del sistema de vecindades Vx de esa topologıa.


Demostracion: Mostraremos la existencia y unicidad de la topologıa con lapropiedad del enunciado vıa el teorema 2.4. Para cada x ∈ X consideremos lacoleccion Ux de subconjuntos de X dada por:

Ux = {U ⊂ X : existe V ∈ Bx tal que V ⊂ U}.

Claramente x ∈ U para cada U ∈ Ux, por lo que la condicion (1) del teorema2.4 es satisfecha. Sean U, V ∈ Ux, luego existen U1, V1 ∈ Bx tales que U1 ⊂ U

y V1 ⊂ V . De la propiedad (2) anterior existe W ∈ Bx tal que W ⊂ U1 ∩ V1,de donde W ⊂ U ∩ V , por tanto U ∩ V ∈ Ux y la familia Ux cumple con lasegunda condicion del teorema 2.4. La tercera condicion del mismo teoremaes inmediata. Sean U ∈ Ux y V ∈ Bx tal que V ⊂ U . Para tal subconjuntoV escojamos W ∈ Bx tal que para cada y ∈ W existe Wy ∈ By satisfaciendoWy ⊂ V ; tal conjunto W existe por la tercera propiedad del enunciado de arriba.Note que W ∈ Ux pues Bx ⊂ Ux; como Wy ⊂ V ⊂ U , entonces U ∈ Uy paracada y ∈ W pues Wy ∈ By. Por tanto las familias de subconjuntos Ux, conx ∈ X, cumple con la propiedad (4) del teorema 2.4. Ahora la demostracion delteorema esta completa.


1. Considere el conjunto X = {a, b, c, d} dotado de la topologıa

T = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}}.

a) ¿Cuales de las siguientes colecciones B son base de T ?

1) B = {{a}, {b}, {a, c}, {a, d}}2) B = {{a}, {b}, {b, c}, {a, d}}3) B = {{b}, {a, b}, {b, c}, {a, d}}

b) ¿De las colecciones anteriores que no son base de T , cuales generan algunatopologıa en X? Determine tal topologıa.

2. Decidir cuales de las siguientes familias B, de subconjuntos de R, forman unabase de la topologıa usual:

a) B es la familia de todos los intervalos abiertos de longitud menor o igualque 1.

b) B es la familia de todos los intervalos de la forma (−∞, a).

c) B = {(x− 1n , x+ 1

n ) : x ∈ R y n ∈ N?}.

d) B es la familia de todos los intervalos abiertos cuyos extremos son numerosracionales.

e) B es la familia de todos los intervalos abiertos cuyos extremos son numerosenteros.


3. Sean (X, T ) un espacio topologico y B una base de T . Demostrar que cual-quier familia de subconjuntos B′ tal que B ⊂ B′ ⊂ T es tambien base de lamisma topologıa.

Use esta propiedad para mostrar que la topologıa usual de R tiene un con-junto no numerable de bases.

4. Sea B la coleccion de todos los intervalos de la forma (a, b] donde a < b.Demostrar que B es base de alguna topologıa T en R, la cual es denominadatopologıa del lımite superior. Verificar que T no es la topologıa usual de R,sin embargo todo abierto en esta ultima es abierto en T .

5. Sea B la coleccion de todos los intervalos de la forma [a, b), donde a < b

y a, b ∈ Q. Demostrar que B es base de alguna topologıa en R. ¿Es estatopologıa la de Sorgenfrey?

6. En R considere el conjunto K = { 1n : n ∈ N?}. Considere la coleccion B

formada por todos los intervalos abiertos de longitud finita y todos los sub-conjuntos de la forma (a, b) \K, siendo (a, b) cualquier intervalo abierto delongitud finita. Demostrar que B es base de alguna topologıa de R, esta esdenominada K-topologıa de R y R dotado con esa topologıa se denota porRK . Verificar que la K-topologıa es mas fina que la usual y no es comparablecon la topologıa de Sorgenfrey.

7. En R2 se define una region triangular como la region formada por todos lospuntos limitados por un triangulo; una region triangular se dice abierta sino contiene a los segmentos que definen al triangulo que delimita esa region.Sea B la coleccion de todas las regiones triangulares equilateras abiertas con

Figura 2.6: Regiones triangulares, la de la derecha es abierta

uno de sus lados paralelo al eje coordenado horizontal. Demuestre que B esbase de la topologıa euclidiana de R2.

8. Sea X un conjunto no vacıo dotado de una estructura de orden lineal, con �y ≺ como los ordenes no estricto y estricto, respectivamente.

a) Suponga que X admite primer y ultimo elementos, digamos a0 y b0 res-pectivamente. Considere la coleccion B formada por todos los intervalosde la forma

(a, b) = {x ∈ X : a ≺ x ≺ b}, con a ≺ b (intervalo abierto);


(a, b0] = {x ∈ X : a ≺ x � b0}, con a ≺ b0 (intervalo semiabierto); y[a0, b) = {x ∈ X : a0 � x ≺ b}, con a0 ≺ b (intervalo semiabierto).

Demostrar que B es base de alguna topologıa en X, la cual se denominatopologıa del orden.

b) Suponga que X admite ultimo elemento b0 mas no primer elemento. De-mostrar que la coleccion B formada por todos los intervalos de la formaindicada en los dos primeros items anteriores constituye una base de al-guna topologıa en X, tambien llamada topologıa del orden.

¿Son los intervalos cerrados [a, b] = {x ∈ X : a � x � b} conjuntos cerradosen la topologıa del orden?

9. Considere el conjunto N de los numeros enteros no negativos dotado del ordenusual. Demostrar que la topologıa de orden inducida es la topologıa discreta.

10. Sea p un numero primo fijo. Para cada a, n ∈ Z con a ≥ 1 considere elconjunto Pa(n) = n+paZ = {n+mpa : m ∈ Z}. Demostrar que la familia detodos los Pa(n) es base de una topologıa en Z, la cual se denomina topologıap-adica de Z. Demostrar que cada Pa(n) tambien es cerrado.

11. Para cada a, b ∈ N?, considere la progresion aritmetica de enteros positivosP (a, b) = {b+na ∈ N? : n ∈ Z}. Verificar que si dos progresiones aritmeticasP (a, b) y P (c, d) son no disjuntas, entonces P (a, b)∩P (c, d) = P (mcm(a, c), q)para cualquier q ∈ P (a, b)∩P (c, d) (mcm(a, c) = mınimo comun multiplo dea y c). Concluya que la familia B formada por todas las progresiones P (a, b)con mcd(a, b) = 1 (mcd(a, b) = maximo comun dividor de a y b) es base deuna topologıa en N?, conocida por topologıa de primos relativos.

12. Sean (X1, T1), · · · , (Xn, Tn) espacios topologicos, n ≥ 2, y B la coleccion detodos los conjuntos U =

∏ni=1 Ui, donde cada Ui ∈ Ti con i = 1, · · · , n. ¿Es

B una topologıa en el producto cartesiano∏ni=1Xi?

13. Para cada i = 1, · · · , n, sean (Xi, Ti) un espacio topologico y Bi una basede tal topologıa. Demostrar que la coleccion de todos los conjuntos de laforma

∏ni=1Bi, con Bi ∈ Bi para cada i = 1, · · · , n, es base de la topologıa

producto de∏ni=1Xi.

14. Sean X un conjunto no vacıo, {(Xα, Tα)}α∈Γ una familia de espacios to-pologicos, y para cada α ∈ Γ , fα : X → Xα una funcion cualquiera, Bα ySα una base y subbase, respectivamente, de Tα. Demostrar que las familias{f−1α (V )}V ∈Tα,α∈Γ , {f−1

α (B)}V ∈Bα,α∈Γ y {f−1α (S)}V ∈Sα,α∈Γ son subbases

de una misma topologıa en X. Esta topologıa es llamada topologıa inicialgenerada por {Tα}α∈Γ y {fα}α∈Γ .

15. Sean X un conjunto no vacıo dotado de un orden lineal y ≺ el orden estrictocorrespondiente. Para cada a ∈ X se define el rayo abierto a izquierda como


el conjunto (←−, a) = {x ∈ X : x ≺ a}. Si X no admite ultimo elemento,demostrar que la coleccion B formada por todos los rayos abiertos a izquierdaconstituye una base de alguna topologıa enX, la cual es denominada topologıade rayos abiertos a izquierda; ver ejemplo 2.12. Compare esta topologıa conla topologıa del orden en X, ver ejemplo 2.13.

16. Sea (X,�) un conjunto parcialmente ordenado, ver definicion 1.10. Para cadaa ∈ X considere el conjunto [a,−→) = {x ∈ X : a � x}; sea B la coleccionde todos los conjuntos de esta forma. Demostrar que:

a) B es base de una topologıa en X, conocida como topologıa del orden parciala derecha;

b) cada elemento a ∈ X esta contenido en una menor (en el orden de lainclusion) vecindad;

En terminos de la relacion �, caracterizar aquellos puntos a ∈ X para loscuales el conjunto {a} es abierto (resp. cerrado) en la topologıa del ordenparcial a derecha.

17. Demostrar que cualquier espacio topologico las siguientes condiciones sonequivalentes:

a) cada punto esta contenido en una menor (respecto de la inclusion) vecin-dad;

b) la interseccion arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto;

c) la union arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Un espacio topologico (X, T ) que satisfaga una de estas condiciones, y portanto las tres, es conocido como espacio de vecindades menores. Demostrarque si (X, T ) es un espacio de vecindades menores, entonces la coleccion detodos los conjuntos cerrados es tambien una topologıa en X.

18. Sea (X,�) un conjunto parcialmente ordenado. En X se define la relacion �por a � b si, y solo si, b � a. Demostrar que:

a) � es un orden parcial en X, conocido como orden opuesto a �;

b) A ⊂ X es abierto en la topologıa del orden parcial de � si, y solo si, escerrado en la topologıa del orden parcial de �.

19. Sean X e Y dos conjuntos no vacıos ordenados linealmente, sean ≺1 y ≺2

los ordenes estrictos correspondientes. En el producto cartesiano X × Y sedefine la relacion ≺ por:

(x, y) ≺ (z, w) si, y solo si, o x ≺1 z, o bien x = z y y ≺2 w.

a) Demostrar que ≺ es un orden lineal en X × Y , el cual es denominadoorden lexicografico, u orden del diccionario.


b) ¿Tiene (X × Y,≺) primer y ultimo elemento?

c) Describa los elementos de una base de la topologıa del orden lexicograficoen X × Y .

d) Sean X = [0, 1] con el orden < usual y X ×X con el orden lexicograficoasociado. Demostrar que la topologıa del orden lexicografico en X×X noes comparable con la topologıa euclidiana.

e) Considere N y Z con los ordenes < usuales. Demostrar que: {(0, 1)} noes abierto en la topologıa del orden lexicografico de N×N, y la topologıadel orden lexicografico en Z× Z es la discreta.

20. Sean X un conjunto arbitrario no vacıo y F una familia de funciones de Xen R. Para cada xo ∈ X, f ∈ F y ε > 0 se define el conjunto

V (x0, f, ε) = {x ∈ X : |f(x)− f(x0)| < ε}.

Demostrar que la familia S formada por todos los conjuntos V (x0, f, ε) essubbase de una topologıa en X, la cual es denominada topologıa debil gene-rada por F.

21. Sean A = {0, 1} y ΣA es conjunto de todas las sucesiones unilaterales convalores en A; es decir, el conjunto de todas la funciones de x : N→ A. Paracada n ∈ N y cada a ∈ A, sea Can el conjunto de todas las x : N → A talesque x(n) = a. Demostrar que la familia S de todos los conjuntos de la formaCan es subbase de una topologıa en ΣA. El conjunto ΣA con esta topologıase conoce con el nombre de shift unilateral en dos sımbolos. ¿Como son losconjuntos basicos generados por S? (ver teorema 2.3). Demostrar que todoabierto basico es tambien un conjunto cerrado.

22. Demostrar las proposiciones 2.8 y 2.9.

23. Para todo (x, y) ∈ R2 considere la familia de conjuntos

B(x,y) = {(x− ε, x+ ε)× {y} : ε > 0}.

Demostrar que existe una unica topologıa T en R2 tal que, para cada (x, y) ∈R2 la familia B(x,y) es base del sistema de vecindades en (x, y).

24. Dado un espacio topologico (X, T ), demostrar que B es base de T si, y solosi, para cada x ∈ X la coleccion Bx = {B ∈ B : x ∈ B} es base del sistemade vecindades Vx.

25. Sean (X, T ) un espacio topologico, para cada x ∈ X, Vx es su sistema devecindades y Bx es una base de Vx. Si U ⊂ X, demostrar que son equivalentes:

a) U es abierto.

b) Para todo x ∈ U se tiene que U ∈ Vx.


c) Para todo x ∈ U existe V ∈ Vx tal que V ⊂ U .

d) Para todo x ∈ U existe V ∈ Bx tal que V ⊂ U .

26. Considere en X dos topologıas: T1 y T2, y para cada x ∈ X sean B1x y B2

x basesde los sistemas de vecindades en x en las topologıas T1 y T2, respectivamente.Demostrar que son equivalentes:

a) T1 = T2.

b) Para cada x ∈ X y cada U ∈ B1x existe V ∈ B2

x tal que V ⊂ U ; y paracada x ∈ X y cada V ∈ B2

x existe U ∈ B1x tal que U ⊂ V .

Esta caracterizacion de igualdad entre dos topologıas de un mismo conjuntomediante bases de sus sistemas de vecindades, se conoce con el nombre decriterio de Hausdorff.

2.4. Vocablos topologicos elementales

Esta seccion esta dedicada a enriquecer el vocabulario basico de la topologıa,para ello introduciremos las nociones de: clausura, interior, exterior y frontera deun conjunto; tambien abordaremos conceptos relacionados con estos operadoresde conjuntos, tales como: puntos de adherencia, puntos de acumulacion (o pun-tos lımites), puntos interiores, puntos exteriores y puntos frontera. Finalmentepresentaremos los conceptos, y propiedades elementales, de los denominadosaxiomas de numerabilidad.

2.4.1. Clausura de un conjunto

Comenzaremos introduciendo el concepto de clausura de un conjunto enun espacio topologico (X, T ), en realidad podrıamos iniciar por el conceptode interior de un conjunto, pero en virtud de la axiomatica introducida porKuratowski 3, la cual permite una definicion de espacio topologico equivalente ala expuesta al comienzo de este capıtulo, iniciamos con el concepto de clausurade un conjunto.

Definicion 2.7. Sean (X, T ) un espacio topologico y A ⊂ X, se denominaclausura de A al subconjunto de X, denotado por cl(A)4, definido como lainterseccion de todos los subconjuntos cerrados de X que contienen a A.

3Casimir Kuratowski (1896–1980) fue un matematico polaco con destacadas contribuciones

en varias ramas de la matematica, entre ellas las estructuras topologicas y metricas, la logica

y teorıa de conjuntos y la teorıa de grafos.4A veces se usa la la notacion A− para la clausura de A, y como esta depende de la

topologıa, tambien se emplea clT (A) para indicar que se trata de la clausura de A en la

topologıa T

60 2.4. Vocablos topologicos elementales

Dado que la interseccion arbitraria de conjuntos cerrados en cualquier espa-cio topologico es un conjunto cerrado, entonces cl(A) es siempre un conjuntocerrado de X; ademas, para cualquier A ⊂ X se tiene A ⊂ cl(A), y como pa-ra cualquier conjunto cerrado F que contenga a A tambien contiene a cl(A),entonces cl(A) es el menor cerrado que contiene a A.

Los puntos en la clausura de un conjunto son facilmente caracterizados, eslo que muestra el siguiente teorema.

Teorema 2.6. Si (X, T ) es un espacio topologico y A ⊂ X, entonces x ∈ cl(A)si, y solo si, para todo abierto U que contenga a x se tiene U ∩A 6= ∅.

Demostracion: Sea x ∈ cl(A) y supongamos que existe un abierto U tal quex ∈ U y U ∩A = ∅. Esto implica que A ⊂ (X \U), que es un conjunto cerrado,luego cl(A) ⊂ (X \ U), o cual no puede ser pues x /∈ X \ U .

Recıprocamente, sea x ∈ X tal que para todo U es abierto conteniendo ax se tiene U ∩ A 6= ∅. Supongamos que x /∈ cl(A); es decir, existe un conjuntocerrado F que contiene a A tal que x /∈ F . Ahora bien, el conjunto U = X \F esabierto y contiene a x, entonces U ∩A 6= ∅, lo cual no cierto ya que A ⊂ F .

Corolario 2.2. Si (X, T ) es un espacio topologico, B una base de T y A ⊂ X,entonces x ∈ cl(A) si, y solo si, para todo B ∈ B con x ∈ B, B ∩A 6= ∅.

Demostracion: Simple; se deja al lector.

Los puntos en la clausura de un conjunto A se acostumbra llamarlos puntosde adherencia; en otras palabras, x ∈ X es de adherencia de A si, y solo si, paratodo abierto U que contenga a x se tiene U ∩A 6= ∅.

Ejemplo 2.21.

1. Si un conjunto X es dotado con la topologıa indiscreta, entonces para cual-quier A ⊂ X se tiene cl(A) = X si A 6= ∅ y cl(A) = ∅ si A es el conjuntovacıo.

2. Sea X con la topologıa discreta; es decir, todos los conjuntos son abiertos ycerrados. En este caso, cl(A) = A para cualquier A ⊂ X.

3. Sea (X, T ) cualquier espacio topologico. Dado que X es siempre un conjuntocerrado, y de hecho el mayor (con respecto a la inclusion) cerrado, entoncescl(X) = X.

4. SeanX = {a, b, c, d, e} y T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} una topo-logıa en X. Por inspeccion de los conjuntos cerrados de X, es simple verificarque cl({b}) = {b, e}, cl({a, c}) = X y cl({b, d}) = {b, c, d, e}

5. Sea R dotado con la topologıa usual.


a) Sabemos que cualquier intervalo de la forma [a, b) no son abiertos ni ce-rrados y como [a, b] es cerrado, entonces cl([a, b)) = [a, b]. Sin embargoen la topologıa de Sorgenfrey, ver pagina 45, cl([a, b)) = [a, b) pues to-do intervalo [a, b), ademas de ser abierto, es un conjunto cerrado ya queR \ [a, b) =

⋃n<a[n, a) ∪

⋃n>b[b, n) es abierto.

b) Sabemos que C = {0}∪{ 1n : n ∈ N?} es cerrado, mientras que el conjunto

A = { 1n : n ∈ N?} no lo es. Entonces cl(A) = C.

c) La clausura del conjunto de los numeros racionales Q es R. Supongamosque existe R\cl(Q) es no vacıo. Dado que R\cl(Q) es un conjunto abiertono vacıo, entonces contiene al menos un intervalo abierto (a, b); pero entodo intervalo abierto hay numeros racionales, por tanto hay racionalesfuera de cl(Q), lo cual es una contradiccion pues Q ⊂ cl(Q). Similarmente,cl(I) = R.

6. Sea X un conjunto con infinitos elementos dotado de la topologıa cofinita.Supongamos que A ⊂ X es no cerrado; es decir, A tiene infinito elementos.Dados que los cerrados distintos de X tienen finitos elementos, entoncescl(A) = X.

7. Si (X1, T1), (X2, T2) son espacios topologicos y U ×V ⊂ X1×X2, afirmamosque cl(U×V ) = cl(U)×cl(V ). Como cl(U)×cl(V ) es cerrado (producto de ce-rrados) y contiene a U×V , entonces cl(U×V ) ⊂ cl(U)×cl(V ). Recıprocamen-te, supongamos que (x, y) ∈ cl(U)×cl(V ) y (x, y) /∈ cl(U×V ), entonces existeun abierto basico U1×V1 tal que (x, y) ∈ U1×V1 y (U1×V1)∩ (U ×V ) = ∅;pero como (U1×V1)∩(U×V ) = (U1∩U)×(V1∩V ), tenemos que U1∩U = ∅o V1 ∩ V = ∅, lo cual contradice el supuesto.

8. Sea X dotado de la topologıa de los rayos abiertos a derecha. En esta to-pologıa cualquier conjunto que no sea acotado superiormente tiene comoclausura al propio espacio X. Sea A ⊂ X tal que para cada b ∈ X existea ∈ A con b � a; es decir, A no esta acotado superiormente. Si X \ cl(A)fuese no vacıo, como se trata de un conjunto abierto, contiene un rayo abiertoa derecha, digamos (b,−→) ⊂ X \ cl(A) para algun b ∈ X; pero esto implicaque A ⊂ X \ (b,−→), de donde a � b para cada a ∈ A, contradiciendo la noacotacion de A.

Por definicion, la clausura de un conjunto en un espacio topologico (X, T )esta univocamente determinada por la coleccion de todos los conjuntos cerradosdel espacio que contienen al conjunto; esto hace posible que la correspondenciaA → cl(A) determine un operador en el conjunto de partes de X. El siguienteteorema establece las propiedades basicas fundamentales de este operador.

Teorema 2.7. Sea (X, T ) cualquier espacio topologico. Entonces se cumplen:

(1) cl(∅) = ∅.


(2) A ⊂ cl(A), para cada A ⊂ X.

(3) cl(cl(A)) = cl(A), para cada A ⊂ X.

(4) cl(A ∪B) = cl(A) ∪ cl(B), para cada A,B ⊂ X.

Demostracion: La primera propiedad es consecuencia del hecho que ∅ es unconjunto cerrado y ∅ ⊂ ∅; la segunda propiedad ya la comentamos; dado quecl(A) es cerrado y la clausura de un conjunto es el menor cerrado que lo contiene,entonces la tercera propiedad sigue.

Finalmente, dado que cl(A) ∪ cl(B) es un conjunto cerrado y contiene aA∪B, entonces cl(A∪B) ⊂ cl(A)∪ cl(B). Por otro lado, sean x ∈ cl(A)∪ cl(B)y F cualquier cerrado que contenga a A ∪ B; veamos que x ∈ F , con lo cualx ∈ cl(A∪B) y la demostracion estara completa. Dado que A ⊂ A∪B, B ⊂ A∪By x ∈ cl(A) ∪ cl(B), entonces x ∈ F .

Las siguientes propiedades son consecuencias inmediatas de la definicion declausura y de las propiedades enunciadas en el teorema anterior.

Corolario 2.3. En cualquier espacio topologico (X, T ) se cumplen:

(1) Para cualquier par A,B ⊂ X, si A ⊂ B, entonces cl(A) ⊂ cl(B).

(2) Para cualquier par A,B ⊂ X, cl(A ∩B) ⊂ cl(A) ∩ cl(B).

(3) Un conjunto A ⊂ X es cerrado si, y solo si, cl(A) = A.

(4) Para cualquier coleccion finita A1, · · · , An de subconjuntos de X vale:

cl(A1 ∪ · · · ∪An) = cl(A1) ∪ · · · ∪ cl(An).


El concepto de clausura es tan basico para la topologıa que, por sı mismo,puede ser usado axiomaticamente para definir un espacio topologico. Estas ideasfueron introducidas por Kuratowski a comienzos de la decada de 1920.

Definicion 2.8. Un operador K : P(X)→ P(X) denomina operador de Kura-towski, u operador clausura de Kuratowski, si, y solo si, satisface:

K1. K(∅) = ∅.

K2. Para cada A ⊂ X, A ⊂ K(A).

K3. Para cada A ⊂ X, K(K(A)) = K(A).

K4. Para todo par A,B ⊂ X, K(A ∪B) = K(A) ∪K(B).


Obviamente para cualquier espacio topologico (X, T ), la clausura es un ope-rador de Kuratowski; de hecho, es el unico operador en P(X) que satisface laanterior axiomatica y sus puntos fijos son los conjuntos cerrados en la topologıaT . El siguiente teorema, debido a Kuratowski, establece un recıproco de estapropiedad.

Teorema 2.8 (Kuratowski). Sean X 6= ∅, K : P(X)→ P(X) un operador deKuratowski, F la coleccion de subconjuntos de X formada por los puntos fijosde K y T la familia de subconjuntos de X formada por los complementos de losconjuntos en F . Entonces T es una topologıa en X y K(A) = clT (A) para cadaA ⊂ X.

Demostracion: Usaremos el teorema 2.1 para demostrar que la familia T delenunciado es una topologıa en X. Observe que ∅ ∈ F por K1; mientras quepor K2, X ∈ F pues X ⊂ K(X) ∈ P(X); por otro lado, de K4 sigue quesi K(A) = A y K(B) = B, entonces K(A ∪ B) = A ∪ B. Sea {Aα}α∈Γ unacoleccion de subconjutos en F ; es decir, K(Aα) = Aα para cada α ∈ Γ ; veamosque

⋂α∈Γ Aα ∈ F . Nuevamente de K2 tenemos que

⋂α∈Γ Aα ⊂ K

(⋂α∈Γ Aα

);

ahora bien, como(⋂

α∈Γ Aα)∪Aβ = Aβ para todo β ∈ Γ , entonces de K4

K(Aβ) = K

((⋂α∈Γ

Aα

)∪Aβ

)= K

(⋂α∈Γ

Aα

)∪K(Aβ),

de donde K(⋂

α∈Γ Aα)⊂ K(Aβ) para cada β ∈ Γ . De esta forma

⋂α∈Γ Aα es

un miembro de F , y ası T es una topologıa en X.Siendo T una topologıa en X y F la coleccion de sus conjuntos cerrados,

para cualquier A ⊂ X el conjunto K(A) es cerrado por K3, y dado que contienea A, entonces cl(A) ⊂ K(A). Para mostrar la inclusion recıproca note que comocl(A) es un conjunto cerrado, cl(A) ∈ F ; es decir, K(cl(A)) = cl(A). Es sabidoque A ⊂ cl(A), por tanto de K4 y la cerradura de cl(A) se tiene

K(A) = K(A ∪ cl(A)) = K(A) ∪K(cl(A)) = K(A) ∪ cl(A),

de donde K(A) ⊂ cl(A), y por tanto K(A) = cl(A).

2.4.2. Puntos de acumulacion y puntos aislados

En topologıa el concepto de punto de acumulacion esta ligado a la nocionnatural que todos tenemos de estar arbitariamente proximo de algo, siendo estealgo el lugar de acumulacion o de lımite. Por ejemplo, consideremos en R con latopologıa usual el conjunto A = { 1

n : n ∈ N?}; observe que a pesar que 0 /∈ A,tal punto es acumulado por puntos de A, uno podrıa decir que arbitrariamenteproximo de 0 hay puntos de A. Para formalizar esta nocion tenemos:

Definicion 2.9. Sean (X, T ) un espacio topologico y A ⊂ X. Un punto x ∈ Xse dice punto de acumulacion de A, o punto lımite de A, si, y solo si, para


cualquier abierto U que contenga a x se satisface (U \{x})∩A 6= ∅. El conjuntoformado por los puntos de acumulacion de A se denomina derivado de A y sedenota por A′.

Claramente el derivado de A esta contenido en cl(A): todo punto de acumu-lacion es un punto de adherencia. En el conjunto A de arriba el 0 es un punto deacumulacion pues cualquier intervalo abierto de longitud finita que lo contengatambien contiene puntos de A; ası que los puntos de acumulacion, a pesar deestar en la clausura, no necesariamente pertenecen al conjunto. En este mismoejemplo, ningun punto de A es de acumulacion de A; en efecto, cualquiera sean ∈ N? existe un intervalo abierto de longitud finita que contiene a 1

n pero nocontiene ningun otro punto de A. Por tanto, en general los puntos de adherenciano son puntos de acumulacion del mismo conjunto.

Definicion 2.10. Sean (X, T ) un espacio topologico y A ⊂ X. Un punto x ∈A se dice aislado de A si, y solo si, existe un abierto U que contiene a x y(U \ {x}) ∩A = ∅.

Observe que un punto x es aislado de A si, y solo si, x ∈ A \ A′; tambienequivale a que {x} sea abierto en la topologıa relativa de A, pues si x ∈ A y Ues como en la definicion, entonces (U \ {x}) ∩A = ∅ equivale a U ∩A = {x}.

Los conceptos de punto de adherencia y punto de acumulacion pueden serparafraseados en terminos de vecindades, de los elementos de bases del sistemade vecindades y de los elementos de bases de la topologıa.

Teorema 2.9. Sean (X, T ) un espacio topologico, x ∈ X, A ⊂ X, B una base deT y Sx una base del sistema de vecindades Vx de x. Entonces son equivalentes:

(1) x es punto de adherencia (resp. de acumulacion) A.

(2) Para cada V ∈ Vx, V ∩A 6= ∅ (resp. (V \ {x}) ∩A 6= ∅).

(3) Para cada V ∈ Sx, V ∩A 6= ∅ (resp. (V \ {x}) ∩A 6= ∅).

(4) Para cada B ∈ B con x ∈ B, B ∩A 6= ∅ (resp. (B \ {x}) ∩A 6= ∅).

Demostracion: Solo consideraremos la adherencia, para puntos de acumula-cion la demostracion es casi identica.

Supongamos que x es un punto de adherencia de A y sea V una vecindadde x; es claro que existe U abierto en X tal que x ∈ U ⊂ V . Entonces de∅ 6= U ∩A ⊂ V ∩A, sigue que (1)⇒ (2).

En vista que Sx ⊂ Vx y B ⊂ Vx, (2)⇒ (3) y (2)⇒ (4). Por otro lado, comopara cualquier W ∈ Vx existe V ∈ Sx tal que V ⊂ W , entonces (3) ⇒ (2).Solo resta mostrar que (4)⇒ (1). Pero esto simple, pues para cada abierto U yx ∈ U , existe V ∈ B tal que x ∈ V ⊂ U .

Corolario 2.4. Sean (X, T ) un espacio topologico, A ⊂ X, B una base de T ySx una base del sistema de vecindades Vx de x. Entonces son equivalentes:


(1) x ∈ A es aislado.

(2) Existe una vecindad V de x tal que V ∩A = {x}.

(3) Existe V ∈ Sx tal que V ∩A = {x}.

(4) Existe B ∈ B tal que B ∩A = {x}.


Ejemplo 2.22.

1. Note que en A = { 1n : n ∈ N?}, como subconjunto de R con la topologıa

usual, todo punto es aislado. Cuando esto ocurre; es decir, cuando en unespacio topologico un conjunto tiene todos sus puntos aislados, se dice queel conjunto es discreto. Es simple mostrar que un conjunto es discreto si, ysolo si, es disjunto de su conjunto derivado.

2. En R con la topologıa usual, el conjunto derivado de cualquier intervalo(a, b) es el intervalo [a, b]. Dado que cl((a, b)) = [a, b], (a, b)′ ⊂ [a, b]. Seanx ∈ (a, b) e I = (α, β) tal que x ∈ I. Como I \ {x} corta (a, b), entonces(a, b) ⊂ (a, b)′. Por otro lado, sea I = (α, β) tal que a ∈ I, en vista queI ∩ (a, b) = (a,mın{β, b}), entonces a ∈ (a, b)′. Similarmente se muestra queb ∈ (a, b)′, de donde (a, b)′ = [a, b]. Note que ningun punto de (a, b) es aislado.

3. Haciendo uso de la base por discos abiertos en la topologıa usual del planose demuestra que

D′r(a, b) = cl(Dr(a, b)) = {(x, y) : (x− a)2 + (b− y)2 ≤ r2}.

4. Sean X dotado de la topologıa indiscreta y A ⊂ X no vacıo. Es claro quex ∈ A′ si, y solo si, (X \ {x}) ∩ A 6= ∅. Por tanto, si A = {x}, entoncesA′ = X \ {x}, y si A contiene mas de un punto, A′ = X.

5. Sean X dotado de la topologıa discreta y A ⊂ X no vacıo. Dado que todosubconjunto de X es abierto, en particular los conjuntos unitarios, entoncesA′ = ∅.

6. Sean X un conjunto infinito con tal topologıa cofinita y A ⊂ X no vacıo.Supongamos que A tiene infinitos puntos. Sean x ∈ X y U un abierto enX que contiene a X; como X \ U es finito y A es infinito, entonces U \ {x}corta a A, por tanto A′ = X. En el otro extremo, si A es un conjunto finito,entonces A′ = ∅. Esto sigue del hecho que el conjunto U = X \A es abierto.

A continuacion enunciamos algunas propiedades que se obtienen sin dificul-tad del concepto de conjunto derivado.

Proposicion 2.10. En cualquier espacio topologico (X, T ) se cumplen:


(1) Para todo A,B ⊂ X, si A ⊂ B, entonces A′ ⊂ B′.

(2) Para todo A,B ⊂ X, (A ∪B)′ = A′ ∪B′.

(3) ∅′ = ∅.

(4) Para todo A ⊂ X, cl(A) = A ∪A′.

(5) A ⊂ X es cerrado si, y solo si, A′ ⊂ A.

(6) A ⊂ A′ si, y solo si, A no tiene puntos aislados.

(7) A′ = ∅ si, y solo si, A es cerrado y discreto.


2.4.3. Interior, exterior y frontera de un conjunto

El concepto del interior de un conjunto en un espacio topologico es el dualdel concepto de clausura, por tanto si la clausura de un conjunto es el menorcerrado que contiene al conjunto, el interior de un conjunto deber ser el mayorabierto contenido en el conjunto. Esto es lo que establece la definicion a seguir.

Definicion 2.11. Dados un espacio topologico (X, T ) y un subconjunto A deX, se conoce con el nombre de interior de A, que denotamos por int(A) 5, alconjunto obtenido como la union de todos los conjuntos abiertos contenidos enA. Cada punto de int(A) se conoce como punto interior de A.

Note que un punto x es un punto interior del subconjunto A de X si, ysolo si, A es una vecindad de x; tambien es claro que int(A) ⊂ A, de hecho,x ∈ int(A) si, y solo si, existe U abierto tal que x ∈ U ⊂ A.

En vista de la dualidad de los conceptos de interior y clausura no es difıcilestablecer una lista de propiedades para el interior de conjuntos.

Teorema 2.10. Sea (X, T ) un espacio topologico. Entonces se cumplen:

(1) int(A) es el mayor (con respecto a la inclusion) subconjunto abierto conte-nido en A.

(2) A ⊂ X es abierto si, y solo si, A = int(A).

(3) int(X) = X y int(∅) = ∅.

(4) Para cada A ⊂ X se tiene int(int(A)) = int(A).

(5) Si A ⊂ B, entonces int(A) ⊂ int(B).

5En frecuente encontrar la notacion Ao para designar al interior del conjunto A; tambien

se emplea intT (A) para hacer enfasis en la topologıa T .


(6) int(A ∩B) = int(A) ∩ int(B) y int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪B).

Demostracion: SeaB =⋃U∈B U , donde B es la familia de todos los conjuntos

abiertos U de X tales que U ⊂ A. Obviamente B es abierto en X, esta contenidoen A y es el mayor de tales abiertos. Por otro lado, es claro que x ∈ B si, y solosi, existe U abierto en X tal que U ⊂ A y x ∈ U ; que es justamente la definicionde int(A); lo cual demuestra la primera parte del teorema.

Dado que A ⊂ A, es claro que A es abierto si, y solo si, A ∈ B, esto a su vezequivale a que A =

⋃U∈B U = int(A); esto demuestra (2). El tercero y cuarto

item siguen del segundo pues ∅, X e int(A) son conjuntos abiertos en X.Supongamos que A ⊂ B. Sea x ∈ int(A), entonces existe un abierto U tal que

x ∈ U ⊂ A, lo cual implica que x ∈ U ⊂ B; ası x ∈ int(B) y int(A) ⊂ int(B).Finalmente, dado que int(A) ∩ int(B) es abierto y esta contenido en A ∩B,

entonces int(A) ∩ int(B) ⊂ int(A ∩ B) pues este ultimo es el mayor abiertocontenido en A ∩ B. Recıprocamente, sea x ∈ int(A ∩ B), entonces existe unabierto U tal que x ∈ U ⊂ (A ∩ B). Dado que A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B, sigueque x ∈ int(A) y x ∈ int(B); ası int(A ∩ B) ⊂ int(A) ∩ int(B) y int(A ∩ B) =int(A) ∩ int(B). Finalmente, int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B) sigue del hecho queel interior de un conjunto es el mayor abierto contenido en el conjunto.

Como en el caso de la clausura, puntos adherentes y puntos de acumulacion,los puntos interiores pueden ser caracterizados en terminos de vecindades yabiertos en bases de la topologıa.

Teorema 2.11. Sean (X, T ) un espacio topologico, A ⊂ X, x ∈ X, B una basede T y Sx una base del sistema de vecindades Vx de x. Entonces las siguientespropiedades son equivalentes:

a) x ∈ int(A).

b) Existe V ∈ Vx tal que x ∈ V ⊂ A.

c) Existe V ∈ Sx tal que x ∈ V ⊂ A.

d) Existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ A.


Ejemplo 2.23.

1. Sea X dotado de la topologıa indiscreta. Para cualquier conjunto propio Ade X se tiene que int(A) = ∅ pues los unicos abiertos en esta topologıa sonX y ∅.

2. Sea X con la topologıa discreta; es decir, todos los conjuntos son abiertos.Entonces int(A) = A para cualquier A ⊂ X.

3. Sea R dotado con la topologıa usual.


a) Para cualquier intervalo [a, b) tenemos que todo punto x ∈ (a, b) es in-terior; basta tomar cualquier 0 < ε ≤ mın{b − x, x − a} para verifi-car que x ∈ (x − ε, x + ε) ⊂ [a, b). Note que a /∈ int([a, b)) pues cual-quier intervalo abierto que contenga a a contiene puntos fuera de [a, b);ası int([a, b)) = (a, b). Note que en la topologıa de Sorgenfrey todos lospuntos de intervalos de la forma [a, b) son puntos interiores.

b) Sea N el conjunto de los enteros no negativos. Dado que N no contieneningun intervalo abierto, int(N) = ∅. De hecho puede demostrarse queel interior de cualquier conjunto numerable de R tambien tiene interiorvacıo; en particular, el conjunto de los numeros racionales Q tiene interiorvacıo. Existen conjuntos no numerables con interior vacıo, por ejemplo elconjunto de los numeros irracionales I = R \ Q tiene interior vacıo, estosigue del hecho que todo intervalo abierto contiene numeros racionales.Observe que a pesar de tenerse la propiedad R = I ∪ Q, la union de losinteriores de I y Q es vacıa, mientras que el interior de R es el mismo R.

4. Sean R2 dotado de la topologıa usual y A ⊂ R2. Un punto x ∈ A es unpunto interior de A si, y solo si, existe un disco abierto centrado en x queeste contenido en A.

5. Sea X un conjunto con infinitos elementos dotado de la topologıa cofinita. SiA ⊂ X es no abierto; es decir, A 6= ∅ y X \A no es finito, entonces int(A) = ∅;en efecto, supongamos que x ∈ A es un punto interior de A, entonces existeU abierto (X \ U es finito) tal que x ∈ U ⊂ A. De esta inclusion sigue queX \A ⊂ X \ U , lo cual no puede ser pues X \A no es finito.

6. Si (X1, T1) y (X2, T2) son espacios topologicos y U × V ⊂ X1×X2, entoncesint(U×V ) = int(U)× int(V ). La demostracion de esta propiedad del interioren la topologıa producto es simple, se dejan los detalles al lector.

7. Sea R dotado de la topologıa de los rayos abiertos a derecha. En esta topologıacualquier conjunto que sea acotado superiormente tiene interior vacıo. SeanA ⊂ R y b ∈ R tal que a ≤ b para cada a ∈ A; luego A no contiene ningunrayo abierto a derecha.

Definicion 2.12. Dados un espacio topologico (X, T ) y un subconjunto A deX, se dice que x ∈ X es un punto exterior de A si, y solo si, x es punto interiorde X \ A. El conjunto formado por todos los puntos exteriores de A se conocecomo el exterior de A y se denota por ext(A). Se dice que x ∈ X es un puntofrontera de A si, y solo si, x ∈ cl(A) \ int(A). Al conjunto de puntos frontera deA se le denomina frontera de A y se denota por fr(A) 6.

6Dado que el operador fr depende de la topologıa, es conveniente, cuando exista posible

confusion, emplear la notacion frT (A) para designar la frontera de A en la topologıa T


Figura 2.7: Los puntos x, y y z son,respectivamente, puntos interior, exterior y

frontera de A

Es simple verificar que ext(A) = X \ cl(A). En vista que ext(A) es un con-junto abierto de X, es posible formular y demostrar propiedades similares a lasenunciadas en el teorema anterior pero para el exterior; se dejan estos detallesal lector. Note que fr(A) = cl(A) ∩ (X \ int(A)) = cl(A) ∩ cl(X \ A), por tantola frontera de cualquier subconjunto de X es un conjunto cerrado.

Ejemplo 2.24.

1. Sean X dotado con la topologıa indiscreta y A un subconjunto propio novacıo de X, entonces ext(A) = ∅ y fr(A) = X.

2. Sean X dotado con la topologıa discreta y A un subconjunto de X. En estecaso tenemos que ext(A) = X \A y fr(A) = ∅.

3. Sea R con la topologıa usual.

a) Para A = [a, b) tenemos que ext(A) = (−∞, a)∪ (b,+∞) y fr(A) = {a, b}.Al considerar en R la topologıa de Sorgenfrey, ext(A) = (−∞, a)∪ [b,+∞)y fr(A) = ∅.

b) Dados que los conjuntos numericos I y Q tienen interior vacıo y clausuraigual a R, entonces ext(Q) = ∅ y fr(Q) = R.

4. Sea X un conjunto infinito dotado de la topologıa cofinita. Supongamos queA ⊂ X es abierto y no vacıo; es decir, A tiene infinitos puntos y X \ A esfinito. Dado que cl(A) = X, entonces fr(A) = X\A. Si A es cerrado, entoncesfr(A) = A, pues cl(A) = A e int(A) = ∅ por ser A un conjunto finito. Porultimo, si A no es abierto ni cerrado; es decir, tanto A como X \ A tieneninfinitos elementos, entonces fr(A) = X.

5. Consideremos R2 con la topologıa producto inducida por la topologıa usualde R. Sean A = (a, b] y B = [c, d), no es difıcil deducir que

fr(A×B) = ({a} × [c, d]) ∪ ({b} × [c, d]) ∪ ([a, b]× {c}) ∪ ([a, b]× {d});

es decir, fr(A×B) = (fr(A)× cl(B)) ∪ (cl(A)× fr(B)).


Figura 2.8: Frontera de (a, b]× [c, d) es el borde del rectangulo

En general, si (X1, T1), (X2, T2) son espacios topologicos y A×B ⊂ X1×X2,entonces fr(A×B) = (fr(A)× cl(B)) ∪ (cl(A)× fr(B)). Esto sigue del hechoque la frontera de un conjunto es la interseccion de su clausura y la clasurade su completo, y las propiedades basicas del producto cartesiano finito deconjuntos y la operaciones de union e interseccion de conjuntos. Los detallespara el lector.

Existen multiples formas de expresar cuando un punto x esta en la fronterade un conjunto A, por ejemplo:

(a) x ∈ fr(A) si, y solo si, x /∈ int(A) y x /∈ ext(A);

(b) x ∈ fr(A) si, y solo si, para toda vecindad V de x se tiene que V ∩ A 6= ∅y V ∩ (X \A) 6= ∅.

Tampoco es difıcil descubrir variadas relaciones entre los operadores clau-sura, interior y frontera, la siguiente proposicion, cuya demostracion se deja allector, recoge algunas de ellas.

Proposicion 2.11. Sean (X, T ) un espacio topologico y A ⊂ X. Entonces sesatisfacen:

(1) fr(A) = fr(X \A) = cl(A) ∩ cl(X \A).

(2) X \ fr(A) = int(A) ∪ ext(A) = int(A) ∪ (X \ cl(A)).

(3) int(A) = A \ fr(A) y cl(A) = A ∪ fr(A).

Adicionalmente, X = int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A), siendo esta union disjunta; A escerrado si, y solo si, fr(A) ⊂ A; y A es abierto si, y solo si, A ∩ fr(A) = ∅.

2.4.4. Conjuntos densos y nunca densos

Las nociones de conjuntos densos y nunca densos son opuestas una de la otra;groseramente constituyen los significados primitivos de ser conjuntos grandesy pequenos, respectivamente. Ambas conceptos son importantes herramientastanto para la Topologıa General, como para diversas ramas de la Matematica,por ejemplo para el Analisis Funcional, entre otras.


Definicion 2.13. En cualquier espacio topologico (X, T ) un subconjunto A deX se dice denso si, y solo si, cl(A) = X; y se denomina nunca denso si, y solosi, int(cl(A)) = ∅.

En vista que cl(A) ⊂ cl(B) para todo A,B ⊂ X con A ⊂ B, se deduce quesi A es denso y A ⊂ B, entonces B es denso; ademas, si A es denso y F ⊂ A escerrado en X, entonces F = X.

Ejemplo 2.25.

1. En cualquier espacio topologico (X, T ) siempre hay conjuntos densos, el mis-mo X es uno de ellos. Puede ocurrir que sea el unico de ellos, es lo que ocurresi la topologıa T es la discreta, o incluso que todo subconjunto no vacıo seadenso; esto ocurre en la topologıa indiscreta.

Tambien es cierto que en todo espacio topologico existen conjuntos nuncadensos: ∅, y puede que en particulares topologıas sea el unico conjunto nuncadenso; por ejemplo en la topologıa discreta.

2. Ya hemos visto varios ejemplos de conjuntos densos en la recta real con latopologıa usual: Q e I. En realidad hay muchos otros subconjuntos que sondensos, por ejemplo cualquier conjunto cerrado cuyos puntos sean aislados.Mas aun, tambien son densos Ax = Q ∪ {x}, con x ∈ I, y B = I ∪ A paracualquier A ⊂ R.

3. Consideremos a R2 con la topologıa euclidiana. Sea A = R× {0}. Dado quepara todo (x, y) ∈ R2 con y 6= 0 existe un disco abierto Dr(x, y) tal queDr(x, y) ∩ A = ∅, sigue que A es cerrado; ademas, como no contiene discosabiertos, entonces es nunca denso.

4. Sean X un conjunto infinito con la topologıa cofinita y A un abierto no vacıoen X; como sabemos, cl(A) = X, por tanto todo abierto no vacıo es denso.En el extremo opuesto, todo cerrado distinto de X es nunca denso.

Teorema 2.12. En cualquier espacio topologico (X, T ) son equivalentes:

(1) A es denso.

(2) Para cualquier abierto U de X se cumple U ∩A 6= ∅.

(3) Para todo x ∈ X y cada V ∈ Vx, V ∩A 6= ∅.

Demostracion: Es consecuencia inmediata del concepto de densidad, del teo-rema 2.6 y la definicion de vecindad de un punto. Dejamos los detalles al lec-tor.

Teorema 2.13. En cualquier espacio topologico (X, T ) son equivalentes:

(1) A es nunca denso.


(2) ext(A) es denso.

(3) Para todo x ∈ X y cada abierto U con x ∈ U , existen y ∈ U y un abiertoV tal que y ∈ V ⊂ (X \A).

Demostracion: Primero afirmamos que X \ int(cl(A)) = cl(X \ cl(A)) cual-quiera sea A ⊂ X. En efecto, observe que x ∈ X \ int(cl(A)) si, y solo si, paracualquier abierto U que contenga a x, existe y ∈ U tal que y /∈ cl(A); lo cualequivale a que para cualquier abierto U que contenga a x, U ∩ (X \ cl(A)) 6= ∅,y obviamente esto ultimo es el significado de x ∈ cl(X \ cl(A)); de donde laafirmacion sigue.

Mostremos que (1) ⇔ (2). Dado que ext(A) = int(X \ A) = X \ cl(A), laafirmacion implica que int(cl(A)) = ∅ si, y solo si, cl(ext(A)) = X. Por tantolos dos primeros items son equivalentes.

Veamos que (2) ⇔ (3). Si ext(A) es denso, cualesquiera sean x ∈ X y U

abierto conteniendo a x, U ∩ (X \ cl(A)) 6= ∅. Sea y en esta interseccion, dadoque X \ cl(A) es abierto, existe V abierto tal que y ∈ V ⊂ X \ cl(A) ⊂ X \ A;por tanto (3) sigue. Recıprocamente, supongamos que (3) vale. Sean x ∈ X yU un abierto con x ∈ U , veamos que x ∈ cl(X \ cl(A)). Por hipotesis, existeny ∈ U y V abierto tales que y ∈ V ⊂ X \ A. Esto implica que y /∈ cl(A) puesV ∩ A = ∅, ası que y ∈ X \ cl(A) y por tanto U ∩ (X \ cl(A)) 6= ∅; es decir,x ∈ cl(X \ cl(A)).

Cerramos esta seccion con una propiedad interesante que relaciona la densi-dad con la clausura de conjuntos abiertos.

Proposicion 2.12. Si (X, T ) es un espacio topologico y A es un conjunto densoen X, entonces para cualquier abierto U de X, cl(U) = cl(A ∩ U).

Demostracion: Es obvio que cl(A∩U) ⊂ cl(U). Sean x ∈ cl(U) y V cualquierabierto que contiene a x. Dado que U ∩ V es abierto y x ∈ U ∩ V , entonces(U ∩ V )∩A 6= ∅ pues A es denso en X. Pero (U ∩ V )∩A = V ∩ (U ∩A), luegox ∈ cl(U ∩A) pues V es arbitrario y V ∩ (U ∩A) 6= ∅.

2.4.5. Axiomas de numerabilidad

Estudiaremos aca algunas clases particulares, e importantes, de espacios to-pologicos que poseen subconjuntos con algunas propiedades singulares que losdistinguen, todas las restricciones en la estructura topologica que analizaremos acontinuacion estan relacionada con la nocion de numerabilidad. Antes introduci-remos la nocion de cubrimiento en un espacio topologico, a la cual recurriremosen varias ocasiones.

Definicion 2.14. Dados un espacio topologico (X, T ) y cualquier subconjuntoB no vacıo de X, una cubrimiento de B es cualquier coleccion C de subconjuntosde X tales que B ⊂

⋃C∈C C. Una subcubrimiento de una cubrimiento C de B


es cualquier subfamilia de C que tambien cubre a B. Una cubrimiento C de Bes abierta siempre que cada C ∈ C sea un conjunto abierto en X, es cerrada sicada C ∈ C es un conjunto cerrado en X, y es localmente finita si cada punto deB tiene una vecindad que intersecta solo un numero finito de miembros de C.

Definicion 2.15. Un espacio topologico (X, T ) se dice:

(a) que satisface el primer axioma de numerabilidad si, y solo si, el sistema devecindades de cada punto de X tiene una base numerable.

(b) que satisface el segundo axioma de numerabilidad si, y solo si, la topologıade X tiene una base numerable.

(c) que es separable si, y solo si, X tiene un subconjunto denso y numerable.

Un espacio topologico que satisfaga el primer axioma de numerabilidad (resp.el segundo axioma de numerabilidad) tambien se le denomina primero numerable(resp. segundo numerable).

Ejemplo 2.26. Sea X un conjunto no vacıo cualquiera dotado con la topologıaindiscreta I. Obviamente esta topologıa satisface cada uno de los axiomas denumerabilidad arriba enunciados.

Ejemplo 2.27. Todo espacio topologico (X, T ) que sea segundo numerabletambien satisface el primer axioma de numerabilidad: si B es una base numerablepara T , cualquiera sea x ∈ X, la coleccion Bx = {B ∈ B : x ∈ B} es una basepara el sistema de vecindades en x. En realidad ser segundo numerable implica,como veremos, otras interesantes propiedades.

No todo espacio primero numerable es segundo numerable. Por ejemplo seaX un conjunto infinito no numerable dotado con la topologıa discreta D. Dadoque para cada x ∈ X, el conjunto {{x}} es base del sistema de vecindades en x,entonces (X,D) es primero numerable. Supongamos que (X,D) cumple con elsegundo axioma de numerabilidad, entonces hay una familia B de subconjuntosde X tales que B es numerable y para cada x ∈ X y cada abierto U conteniendoa x existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ U . En particular, al tomar U = {x} se tieneque la familia B contiene cada subconjunto unitario de X, lo cual contradice lanumerabilidad de B; ası que (X,D) no es segundo numerable.

Ejemplo 2.28. Consideremos R con la topologıa usual. Dado que Q es densoen R, entonces R es separable; ademas, es segundo numerable pues la coleccionde todos los intervalos (q − 1

n , q + 1n ), con q variando en Q y n en los enteros

positivos, constituye una base de la topologıa usual.

Ejemplo 2.29. Sea X un conjunto infinito no numerable con la topologıa cofi-nita. Afirmamos que tal espacio no es primero numerable. Supongamos lo con-trario y fijemos un punto x0 ∈ X. Entonces existe una coleccion numerable Bx0

de subconjuntos no vacıos de X que es una base local en x0. Dado que para cada


B ∈ Bx0 , X \ B es finito, entonces A =⋃B∈Bx0

(X \ B) es numerable por serunion numerable de conjuntos finitos. Como X es no numerable, existe x1 6= x0

tal que x1 ∈ X \ A. Por tanto, x1 /∈ X \⋃B∈Bx0

(X \ B) =⋂B∈Bx0

(X \ B); esdecir, x1 ∈ B para todo B ∈ Bx0 . Sin embargo, como U = X \ {x1} es abiertoy contiene a x0, existe B ∈ Bx0 tal que B ⊂ U , lo cual implica que x1 /∈ B,contradiciendo el hecho que todo miembro de Bx0 contiene a x1. De esta formala topologıa cofinita en conjuntos no numerable no satisface el primer axiomade numerabilidad.

Proposicion 2.13. Si (X, T ) es un espacio primero numerable, entonces paracada x ∈ X existe una base local numerable {Un : n ≥ 0} en x tal que Un+1 ⊂ Unpara cada n ≥ 0.

Demostracion: Fijemos un punto arbitrario x ∈ X. La construccion de unabase local en x como la requerida es muy simple. Tomamos cualquier base localnumerable en x, digamos {Vn : n ≥ 0}, y definimos Un =

⋂nk=0 Vk para cada

n ≥ 0. El resto de los detalles se dejan al lector.

Los espacios topologicos que son primero numerables tienen la propiedadque los conjuntos abiertos y cerrados pueden ser caracterizados mediante con-vergencia de sucesiones. Antes de precisar estas afirmaciones es necesario decirque una sucesion en un conjunto A es cualquier funcion x : N → A, la cualgeneralmente se denota por (xn)n≥0, donde xn = x(n) para cada entero n ≥ 0;en realidad una sucesion en A puede entenderse como cualquier funcion de unconjunto infinito numerable en A. Una sucesion (xn)n≥0 en el espacio topologi-co (X, T ) se dice convergente a x ∈ X si, y solo si, para cada abierto V quecontenga a x, existe n0 ≥ 0 tal que xn ∈ V para todo n ≥ n0; esto significa quela sucesion (xn)n≥0 esta eventualmente en cada abierto de X que contenga alpunto x.

Proposicion 2.14. Si (X, T ) es un espacio topologico primero numerable, en-tonces:

(1) Un conjunto U es abierto en X si, y solo si, para cada x ∈ U y cadasucesion (xn)n≥0 que converja a x, esta esta eventualmente en U ; es decir,existe N ≥ 0 tal que xn ∈ U para cada n ≥ N .

(2) Un conjunto F es cerrado en X si, y solo si, para cada sucesion (xn)n≥0

eventualmente en F y que converja a un punto x, entonces x ∈ F .

(3) Dado un conjunto U , un punto x ∈ cl(U) si, y solo si, existe una sucesionen U que converge a x.

Demostracion: Sean U un conjunto abierto y x ∈ U . Sea (xn)n≥0 una su-cesion que cenverge a x. Obviamente de la definicion de convergencia (xn)n≥0

esta eventualmente en U . Recıprocamente, supongamos que el conjunto U tiene


la propiedad que para todo punto x ∈ U y cada sucesion (xn)n≥0 que coverjaa x, esta esta eventualmente en U . Veamos que U es un conjunto abierto; quees, cada uno de sus puntos es un punto interior. Supongamos que x ∈ U noesta en int(U); es decir, para todo abierto V que contenga a x, existe y ∈ V \U .Tomemos una base local {Vn : n ≥ 0} como en la proposicion anterior. Enparticular, para cada n ≥ 0 existe x ∈ Vn \ U . Es simple verificar que (xn)n≥0

converge a x, entonces por hipotesis (xn)n≥0 esta eventualmente en U , lo cual esimposible por construccion. De esta forma x ∈ int(U), por tanto U es abierto.Esto demuestra la primera parte de la proposicion. Las demostraciones de lasegunda y tercera parte, se dejan al lector.

Comentario 2.6. En espacios topologicos arbitrarios no siempre es posiblecaracterizar los conjuntos abiertos y cerrados en terminos de sucesiones. Consi-deremos R dotado con la topologıa conumerable, ver ejercicio propuesto numero19 en la pagina 35; en este espacio topologico no es difıcil mostrar que la clau-sura de [0, 1] es R, sin embargo 2 no es lımite de ninguna sucesion (xn)n≥0 en[0, 1] pues V = R \ {xn : n ≥ 0} es abierto, contiene a 2 y ningun punto de lasucesion (xn)n≥0 esta contenido en V .

En cuanto a los espacios segundo numerables, ademas de satisfacer el primeraxioma de numerabilidad, tienen otras propiedades simpaticas.

Proposicion 2.15. Si (X, T ) es un espacio topologico segundo numerable yA ⊂ X es no numerable, entonces algun punto de A es punto de acumulacionde A.

Demostracion: Sea B una base numerable para la topologıa considerada en X.Supongamos que ningun punto de A es de acumulacion de A; es decir, para cadax ∈ A existe un conjunto abierto abierto Vx en X con x ∈ Vx y Vx∩(A\{x}) = ∅.En particular, para cada x ∈ X existe Bx ∈ B tal que Bx ∩A = {x}. Definamosla funcion f : A → B por f(x) = Bx, siendo Bx uno de los abiertos basicoscomo arriba. Si x, y ∈ A son diferentes, entonces Bx 6= By, pues de los contrarioBx ∩ A = {x, y}, lo cual no es cierto. Ası pues, la funcion f es inyectiva; portanto el cardinal de A es menor o igual al cardinal de B, lo que contradice lahipotesis sobre la cardinalidad del conjunto A.

Proposicion 2.16. Todo espacio topologico segundo numerable es separable.

Demostracion: Sea B = {Bn : n ≥ 0} una base numerable en el espaciotopologico (X, T ). Para cada numero entero n ≥ 0 escojamos un elemento bnen Bn. Veamos que A = {bn : n ≥ 0} es denso en X. Tomemos cualquier puntox ∈ X y cualquier U ∈ T con x ∈ U . Dado que B es base, existe n ≥ 0 tal quex ∈ Bn ⊂ U . Luego A ∩ U 6= ∅, por tanto A es denso.

Proposicion 2.17 (Teorema de Lindelof). En cualquier espacio topologicosegundo numerable todo cubrimiento abierto admite una subcubrimiento nume-rable.


Demostracion: Sean (X, T ) un espacio topologico que satisfaga el segundoaxioma de numerabilidad, B = {Bn : n ≥ 0} una base numerable para T y Cun cubrimiento abierto de X. Sea J ⊂ N definido de la siguiente manera: n ∈ Jsi, y solo si, existe Cn ∈ C tal que Bn ⊂ Cn. Dado que los conjuntos en C sonabiertos, J es no vacıo. Para cada n ∈ J escojamos un Cn ∈ C tal que Bn ⊂ Cn.Veamos que CJ = {Cn : n ∈ J} cubre a X. Sea x cualquier punto en X; comoC cubre a X, existe C ∈ C tal que x ∈ C. Por otra parte, siendo B base de T ,existe n ≥ 0 de forma que x ∈ Bn ⊂ C. Ası, n ∈ J y x ∈ Bn ⊂ Cn; con lo cualCJ cubre a X.

Los espacios topologicos en los cuales todo cubrimiento abierto admite unsubcubrimiento finito son conocidos como espacios Lindelof .

El siguiente cuadro resume las implicaciones entre los espacios que satisfacenalgun axioma de numerabilidad. Las implicaciones recıprocas en general no sonverdaderas; ademas, no existe ninguna relacion de implicaccia entre los espa-cios que satisfacen el primer axioma de numerabilidad, separabilidad y ser deLindelof.

X es separable ⇐= X es segundo numerable =⇒ X es Lindelof⇓

X es primero numerable

Ejemplo 2.30. Un espacio topologico particularmente interesante en el con-texto de los axiomas de numerabilidad lo constituye la recta de Sorgenfrey R`,ver ejemplo 2.10. Recordemos que esta topologıa en R tiene como una base a lacoleccion B de todos los intervalos de la forma [a, b), con a, b ∈ R y a < b. Enprimer lugar, para cada x ∈ R la coleccion de los intervalos [x, q), con q ∈ Qy q > x, es una base numerable para el sistema de vecindades en x; por tantoR` es primero numerable. Por otro lado, dado que en cada intervalo [a, b) haynumeros racionales, entonces R` tambien es un espacio separable. Un poco mascomplicado de mostrar es que este mismo espacio es de Lindelof y no es segundonumerable. De esta forma con la topologıa de Sorgenfrey se muestra que todaslas implicaciones del cuadro anterior no son verdaderas.

• R`R`R` no es segundo numerable.Supongamos que R` admite una base B0 numerable. Si esta fuese finita, podemosencontrar un abierto [a, b) con b− a > 0 y suficientemente pequeno de maneraque ningun abierto en B0 este contenido en [a, b). Ası pues, el cardinal de B0

debe ser ℵ0; digamos que B0 = {Bn : n ∈ N}. Dado que B y B0 son bases, paracada n ∈ N podemos escoger [a, b) ∈ B y m ∈ N (dependiendo de n) tales queBm ⊂ [a, b) ⊂ Bn. Ahora consideremos la coleccion

A = {(Bm, Bn) ∈ B0 × B0 : Bm ⊂ [a, b) ⊂ Bn para algun [a, b) ∈ B}.

Claramente card(A) = ℵ0. Sea Γ la coleccion de todos los (m,n) ∈ N× N talesque (Bm, Bn) ∈ A; y para cada (m,n) ∈ Γ, sea Bmn la coleccion de todos los


intervalos B ∈ B de forma que Bm ⊂ B ⊂ Bn. Por el Axioma de Eleccion, verpagina 20, existe una funcion f : Γ→

⋃(m,n)∈Γ Bmn tal que f(m,n) ∈ Bmn para

cada (m,n) ∈ Γ. Denotemos por B1 = {[xn, yn) : n ∈ N} el conjunto imagende f . Afirmamos que B1 es base de R`. Tomemos cualquier x ∈ R y cualquierconjunto abierto U con x ∈ U . Como B0 y B son bases, existen B,B′ ∈ B0 y[a, b) ∈ B tales que x ∈ B′ ⊂ [a, b) ⊂ B ⊂ U . Por tanto el par (B′, B) ∈ A; seaB ∈ B1 el elemento basico en B asignado por f a (B′, B). Luego es claro quex ∈ B′ ⊂ B ⊂ B ⊂ U , y con lo cual se demuestra que B1 es base de R`.

Ahora bien, siendo R no numerable, existe x ∈ R tal que x 6= xn paratodo n ∈ N, donde xn es el extremo inferior de algun intervalo en B1. Paratal x consideremos el abierto [x, x + 1) en R`, entonces existe n ∈ N tal quex ∈ [xn, yn) ⊂ [x, x + 1), de donde xn = x, lo cual es una contradiccion. Estonos permite concluir que R` no admite bases numerables.

• R`R`R` es Lindelof.Supongamos que C = {Uα : α ∈ ∆} es un cubrimiento abierto de R. Tomemoscualquier x ∈ R, entonces existe Uαx ∈ C que contiene a x. Luego existe εx > 0tal que Ix = [x, x + εx) ⊂ Uαx (¿por que?). Para cada x ∈ R denotamos porI?x al intervalo abierto Ix \ {x}. Obviamente puede ocurrir que

⋃x∈R I

?x = R, o

bien⋃x∈R I

?x R.

Si⋃x∈R I

?x = R, entonces {I?x : x ∈ R} es un cubrimiento abierto de R con la

topologıa usual; como R con esta topologıa es segundo numerable, y por tantoLindelof, para cada n ∈ N existe xn ∈ R tal que

⋃n∈N I

?xn = R; pero⋃

n∈NI?xn ⊂

⋃n∈N

Ixn ⊂⋃n∈N

Uαxn ;

de lo cual sigue que {Uαxn : n ∈ N} es un subcubrimiento numerable de R.Si⋃x∈R I

?x R, hagamos A = R \

(⋃x∈R I

?x

)y B =

⋃x∈R I

?x . Si pensamos

en B como un subespacio de R con la topologıa usual, entonces {I?x : x ∈ R} esun cubrimiento abierto de B; usando el ejercicio propuesto 30 de esta seccionsigue que este cubrimiento tiene un subcubrimiento numerable; es decir, existe{xn : n ∈ N} ⊂ R tal que B =

⋃n∈N I

?xn . Por otro lado, afirmamos que A es

un conjunto numerable. Primero note que si y1, y2 ∈ A son distintos, digamosy1 < y2, entonces Iy1∩Iy2 = ∅; pues de lo contrario, y2 ∈ Iy1 , con lo cual y2 /∈ A.Visto entonces que la familia de intervalos {Iy : y ∈ A} es disjunta, para caday ∈ A escojemos un numero racional qy ∈ Iy; en realidad estamos definiendo unafuncion f : A→ Q, que asigna a cada y ∈ A un racional f(y) ∈ Iy. De lo anteriorsigue que f es una funcion inyectiva, por lo que card(A) ≤ card(Q) = ℵ0. Locual demuestra la afirmacion. Finalmente, dado que

R = A ∪B ⊂

⋃y∈A

Iy

∪(⋃n∈N

I?xn

)⊂

⋃y∈A

Uαy

∪(⋃n∈N

Uαxn

),

entonces C′ = {Uαy : y ∈ A} ∪ {Uαxn : n ∈ N} es un subcubrimiento numerablede C; ası que R` es Lindelof.



1. En el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} considere la topologıa

T = {∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4, 5, 6}}.

a) Determine todos los conjuntos cerrados en X.

b) Hallar, para cada uno de los subconjuntos A de X que se listan a conti-nuacion, cl(A), los puntos de acumulacion de A, int(A), ext(A) y fr(A).

1) A = {1}2) A = {2, 3, 4}3) A = {1, 3, 4}4) A = {3, 4, 5, 6}

c) ¿Existen conjuntos densos y nunca densos diferentes de X y ∅ respectiva-mente?

2. Sea Z dotado de la topologıa cofinita. Para los conjuntos A = {0,−1, 1,−2, 2}y B es conjunto de enteros impares, determine su clausura, puntos de acu-mulacion, interior y frontera.

3. Sean R con la topologıa usual y A ⊂ R no vacıo. Demostrar que x ∈ A si, ysolo si, para cada entero n ≥ 1 existe an ∈ A tal que |an − x| < 1

n . Formulary demostrar una caracterizacion similar para los puntos en el derivado de A.¿Cuales son los puntos de acumulacion de { 1

n : n ∈ N?}?

4. Sea R con la topologıa cofinita. Hallar cl(N), int(0, 1) y fr([0, 1]).

5. Para cada r > 0 sea Cr el cırculo centrado en (0, r) y radio r. En R2 con latopologıa euclidiana demostrar que:

a) cl(⋃

n≥1 C 1n

)=⋃n≥1 C 1

n, n ∈ N?.

b) cl(⋃

n≥1 Cn

)= (R× {0}) ∪

⋃n≥1 Cn, n ∈ N?.

6. Considere en [0, 1] la topologıa de orden y en X = [0, 1] × [0, 1] el ordenlexicografico correspondiente, ver ejercicio propuesto 19 en la seccion 2.3.Determine la clausura, interior y frontera de:

a) {(0, y) : 0 < y < 12}, {(x, 0) : 0 < x < 1} y {( 1

2 , y) : 0 < y < 1}

b) {( 1n , 0) : n ∈ N?} y {(1− 1

n ,12 ) : n ∈ N?}.

7. Sean (X, T ) un espacio topologico, Y ⊂ X no vacıo y TY la relativizacion deT a Y . Demostrar que para todo A ⊂ Y se tienen: intTY (A) = Y ∩ intT (A)y clTY (A) = Y ∩ clT (A). ¿Es verdad que frTY (A) = Y ∩ frT (A)?

8. Demostrar el corolario 2.3.


9. Demostrar el corolario 2.4.

10. Demostrar la proposicion 2.10.

11. Demostrar el teorema 2.11.

12. Sean (X, T ) un espacio topologico, A ⊂ X, x ∈ X, B una base de T y Sx unabase del sistema de vecindades Vx de x. Entonces las siguientes propiedadesson equivalentes:

a) x ∈ fr(A).

b) x /∈ int(A) y x /∈ ext(A).

c) Para cada V ∈ Vx, V ∩A 6= ∅ y V ∩ (X \A) 6= ∅.

d) Para cada V ∈ Sx, V ∩A 6= ∅ y V ∩ (X \A) 6= ∅.

e) Para cada abierto V con x ∈ V , V ∩A 6= ∅ y V ∩ (X \A) 6= ∅.

f) Para cada V ∈ B con x ∈ V , V ∩A 6= ∅ y V ∩ (X \A) 6= ∅.


14. Sea (X, T ) un espacio topologico. Demostrar que T es la topologıa discretasi, y solo si, existe un unico conjunto denso en X. ¿Cual es tal conjunto?

15. Sea (X, T ) un espacio topologico. Si A ⊂ X es tal que fr(A) = X, entoncesA es denso. El recıproco de esta propiedad no es verdadero. Considere Xcon al menos dos elementos. Sea A un subconjunto propio y no vacıo de X.Demostrar que A es denso en la topologıa T = {∅, X,A}, y sin embargofr(A) 6= X.

16. Sean (X, T ) un espacio topologico, B una base de T y para cada x ∈ X, Sxes una base de Vx. Demostrar que A ⊂ X es denso si, y solo si, para cadaU ∈ B se tiene U ∩A 6= ∅; y tambien equivale a que para todo x ∈ X y cadaV ∈ Sx, V ∩A 6= ∅.

17. Sean (X, T ) un espacio topologico y a un elemento que no esta en X. Sedefine Y = X ∪ {a} y T ′ = {∅} ∪ {{a} ∪ U : U ∈ T }. Demostrar que T ′ esuna topologıa en Y y que el conjunto {a} es denso en Y . Note que (X, T ) esun subespacio de (Y, T ′).

18. Demuestre que en general no es verdad que cl(A ∩ B) = cl(A) ∩ cl(B) yint(A ∪B) = int(A) ∪ int(B) .

19. Sea (X, T ) un espacio topologico. Demostrar:

a) x ∈ A′ si, y solo si, x ∈ cl(A \ {x}).

b) Si X no posee puntos aislados y A ⊂ X es abierto, entonces A no poseepuntos aislados.


c) Si x ∈ A es aislado en cl(A), entonces x aislado en A. ¿Es verdadero elrecıproco?

d) x ∈ cl({y}) si, y solo si, Vx ⊂ Vy. Deducir que cl({x}) = cl({y}) si, y solosi, Vx = Vy

e) Si A ∪ B = X, entonces cl(A) ∪ int(B) = X; y Si A ∩ B = ∅, entoncescl(A) ∩ int(B) = ∅.

f) A es abierto si, y solo si, para cada B ⊂ X con A ∩ B = ∅ se cumpleA ∩ cl(B) = ∅.

g) A es abierto si, y solo si, para cada B ⊂ X se cumple A∩cl(B) ⊂ cl(A∩B).Deducir que A es abierto si, y solo si, cl(A ∩ cl(B)) = cl(A ∩B).

h) Si {Aα : α ∈ Γ} es cualquier familia de subconjuntos de X, entonces

1)⋃α∈Γ int(Aα) ⊂ int

(⋃α∈Γ Aα

)e int

(⋂α∈Γ Aα

)⊂⋂α∈Γ int(Aα).

2)⋃α∈Γ cl(Aα) ⊂ cl

(⋃α∈Γ Aα

)y cl

(⋂α∈Γ Aα

)⊂⋂α∈Γ cl(Aα).

3)⋃α∈Γ A

′α ⊂

(⋃α∈Γ Aα

)′ y(⋂

α∈Γ Aα)′ ⊂ ⋂α∈Γ A′α.

¿Que puede decirse si el conjunto de ındices Γ es finito?

i) fr(A) = ∅ si, y solo si, A es abierto y cerrado simultaneamente.

j) fr(int(A)) ⊂ fr(A) y fr(cl(A)) ⊂ fr(A). ¿Es verdad que si A ⊂ B, entoncesfr(A) ⊂ fr(B)?

k) int(A∪B) = int(A)∪ int(B) y cl(A∩B) = cl(A)∩ cl(B), siempre que lasfronteras de A y B sean disjuntas.

l) fr(A ∪ B) ⊂ fr(A) ∪ fr(B), y si cl(A) ∩ cl(B) = ∅, entonces se cumple laigualdad.

m) La interseccion finita de abiertos y densos es densa. ¿Es verdad que launion de dos conjuntos es densa? ¿y la interseccion?

n) Si A es denso y B es abierto y denso, entonces A ∩B es denso.

20. Sean T1 y T2 dos topologıas en X. Para cada A ⊂ X, inti(A) y cli(A) denotanel interior y clausura, respectivamente, de A en la topologıa Ti. Demostrarque si T1 ⊂ T2, entonces cl2(A) ⊂ cl1(A). Enuncie y demuestre una propiedadsimilar para el interior.

21. Sean X un conjunto no vacıo y ι : P(X) → P(X). Dote a ι, de forma dualal operador de Kuratowski, de forma que T = {A ⊂ X : ι(A) = A} sea unatopologıa en X, e ι(A) = intT (A) para todo A ⊂ X.

22. Sean (X1, T1) y (X2, T2) espacios topologicos y A×B ⊂ X1 ×X2.

a) Demostrar queint(A×B) = int(A)×int(B) y fr(A×B) = (fr(A)×cl(B))∪(cl(A)×fr(B)).

b) ¿Es cierto que (A×B)′ = A′ ×B′?


23. Considere el espacio topologico ΣA (shift unilateral en dos sımbolos) delejercicio propuesto numero 21 en la pagina 58.

a) Demostrar que ningun punto de ΣA es aislado.

b) Si U ⊂ ΣA tiene al menos dos elementos, demostrar que existen V y W ,abiertos no vacıos y disjuntos, en ΣA tales que (U ∩ V ) ∪ (U ∩W ) = U .

c) Para cualquier x ∈ ΣA y J ⊂ N infinito, sea U =⋂n∈J C

x(n)n . Demostrar

que U es no vacıo y tiene interior vacıo. ¿Es U un conjunto cerrado?

24. Sea (X, T ) un espacio topologico. Una famila A = {Aα : α ∈ Γ} de sub-conjuntos no vacıos de X se dice localmente finita si, y solo si, para cadax ∈ X existe una vecindad de x que corta solamente una cantidad finita deelementos de A. Si A es una familia localmente finita, demostrar:

a) x es punto de acumulacion de⋃A∈AA si, y solo si, x es punto de acumu-

lacion de algum miembro de A; deducir que cl(⋃

A∈AA)

=⋃A∈A cl(A).

b) La familia {cl(A) : A ∈ A} es tambien localmente finita.

25. Sea (X, T ) un espacio topologico. Un conjunto abierto A (resp. cerrado) sedice regular si, y solo si, A = int(cl(A)) (resp. A = cl(int(A))). Demostrar:

a) Si A es cerrado (resp. abierto), entonces int(A) (resp. cl(A)) es un abierto(resp. cerrado) regular.

b) A es abierto regular si, y solo si, X \A es cerrado regular.

c) Si A y B son abiertos (resp. cerrados) regulares, entonces A ⊂ B si, y solosi, cl(A) ⊂ cl(B) (resp. int(A) ⊂ int(B)).

d) Si A y B son abiertos (resp. cerrados) regulares, entonces A ∩ B (resp.A ∪ B) es abierto (resp. cerrado) regular. En general no es cierto queA ∪ B (resp. A ∩ B) sea abierto (resp. cerrado) regular. En R con latopologıa usual consiga ejemplos de abiertos regulares cuya union no esabierto regular.

26. Sea (X, T ) un espacio topologico. Para cada A ⊂ X se define A⊥ = X \cl(A).Demostrar:

a) A⊥ es abierto y A⊥⊥ = int(cl(A)). Deducir que A es abierto regular si, ysolo si, A⊥⊥ = A.

b) ∅⊥ = X y X⊥ = ∅.c) A ∩A⊥ = ∅ y A ∪A⊥ es denso en X.

d) A⊥ ∪B⊥ ⊂ (A ∪B)⊥ y A⊥ ∩B⊥ = (A ∩B)⊥

27. Sea Z dotado con la topologıa de Furstenberg, ver pagina 46.

a) Determine el interior, la clausura y conjuntos de puntos de acumulacionde: el conjunto de numero primos, de N y 2Z.


b) Si n,m ∈ Z son distintos, demostrar que existen abiertos disjuntos U y Vtales n ∈ U y m ∈ V .

c) Sea S el conjunto de numeros impares. Demostrar que los conjuntos 2nS ={2nm : m ∈ S}, con n ∈ N, son disjuntos dos a dos. Sean A =

⋃n∈N 22nS

y B =⋃n∈N 22n+1S. Demostrar que ambos son abiertos, A ∩ B = {0} y

0 es punto de acumulacion de ambos.

28. Sea N? dotado con la topologıa de primos relativos, ver ejercicio propuestonumero 11 en la pagina 56.

a) Demostrar que P (a, b) ∩ P (c, d) 6= ∅ si, y solo si, b − d es multiplo delmaximo comun divisor, (a, c) de a y c.

b) Sean a, b ∈ N?, con a 6= b, y p un numero primo tal que p > a + b.Demostrar que P (p, a) ∩ P (p, b) = ∅.

c) Demostrar que para cualquier P (a, b), aN? ⊂ cl(P (a, b)). Deducir que siP (a, b) y P (c, d) son abiertos basicos, entonces cl(P (a, b))∩cl(P (c, d)) 6= ∅.

d) Demostrar que para cada n ≥ 1 y p primo, cl(P (pn, b)) es la union deP (pn, b) y pN?; deduzca que cl(P (2, b)) = N?

e) Demostrar que para todo primo p 6= 2, P (pn, b) es abierto regular.


a) Sea {An}n≥1 una coleccion numerable de abiertos y densos. Demostrarque

⋂n≥1An es denso.

Sugerencia: Considere un abierto U y construya una coleccion de intervalos cerrados

{[an, bn]}n≥1 tal que [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] para cada n ≥ 1, bn − an → 0 cuando

n→ +∞ y [an, bn] ⊂ V ∩`Tn

m=1 Am´.

b) Q no es un Gδ; es decir, no es la interseccion numerable de abiertos.Sugerencia: Considere una coleccion numerable {An}n≥1 de abiertos tales que Q ⊂An. Haciendo Q = {qn : n ≥ 1}, construya, por recurrencia y usando la densidad de los

An, una coleccion de intervalos {[an, bn]}n≥1 tales que [a1, b1] ⊂ A1 con q1 /∈ [a1, b1],

y para cada n ≥ 1 [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] ∩ Un+1 con qn+1 /∈ [an+1, bn+1].

c) Demostrar que R no es la union numerable de nunca densos.Sugerencia: Proceda de manera dual a la segerencia anterior.

30. Demostrar que ser primero numerable (resp. segundo numerable) es una pro-piedad hereditaria; esto es, todo subespacio tiene la propiedad. No obstantela separabilidad no es una propiedad hereditaria; ver ejercicio 17 en esta lista.

31. Demostrar que un espacio topologico discreto (X,D) es Lindelof si, y solo si,el conjunto X es numerable.

32. Estudiar los axiomas de numerabilidad, incluyendo los espacios Lindelof, enlos siguientes espacios topologicos:


(a) Espacio de Sierpinski; ver ejemplo 2.5.

(b) Espacios del punto incluido y punto excluido; ver ejemplo 2.6.

(c) R con las topologıas cofinita y conumerable.

(d) (N, Td) espacio de divisores; ver ejercicio numero 8 en la pagina 34.

33. Demostrar las partes (2) y (3) de la proposicion 2.14.

34. Sea (X, T ) un espacio topologico que posee una coleccion no numerable deabiertos disjuntos dos a dos. Demostrar que no puede ser separable.

35. Sean X un conjunto no vacıo dotado de dos topologıas: T1 y T2. Si T1 es masfina que T2 (T2 ⊂ T1), estudiar que axiomas de numerabilidad que satisfagaT2 se mantienen para T1.

36. Sea (X, T ) un espacio topologico. Dado A ⊂ X, un punto x ∈ X se dice puntode condensacion de A (u ω-punto lımite de A) si, y solo si, para cualquierabierto U que contenga a x, U ∩ A es no numerable. Se denota por A elconjunto de puntos de condensacion de A. Demostrar:

(a) Si A ⊂ B, entonces A ⊂ B.

(b) A es un conjunto cerrado y esta contenido en el derivado de A; ademas,A ⊂ A y A ∪B = A ∪ B, para todo A,B ⊂ X.

(c) Si A es no numerable y (X, T ) es Lindelof, entonces A 6= ∅.

(d) Si (X, T ) es segundo numerable, entonces A \ A es numerable. Deducir:

A \ A = ∅ y A = A.

(e) Teorema de Cantor-Bendixon: Si (X, T ) es segundo numerable, en-tonces existen conjuntos disjuntos A y B tales que: A es perfecto (cerradoy A ⊂ A′, A′ es el derivado de A), B es numerable y X = A ∪B.

37. Sea (X, T ) un espacio topologico en el que cada subespacio es Lindelof. SiA ⊂ X es no numerable y B es el subconjunto de A formado por aquellospuntos para los cuales cada vecindad contiene no numerables puntos de A,demostrar que A \ B es numerable, deducir que cada vecindad de un puntode B contiene no numerables puntos de B.

38. Sean (X, T ) un espacio topologico, B una base de T con infinitos abiertos yB′ cualquier otra base de T . Demostrar que existe una base B′′ de T tal queB′′ ⊂ B′ y card(B′′) ≤ card(B).

Sugerencia: Proceda con argumentos similares a los empleados para demostrar que R`no es segundo numerable. De hecho allı se demostro que en un espacio segundo numerable

toda base admite una parte numerable que tambien es base.

3Espacios Metricos

“The essence of mathematics lies in its freedom.”

Georg Cantor (1845 - 1918)

Los espacios metricos constituyen una clase importante de espacios topologicos:aquellos en los que es posible describir la topologıa mediante una funcion quemide la distancia entre puntos cualesquiera del espacio. Los espacios metricosfueron introducidos por el matematico frances Maurice Frechet (1878-1973) ensu tesis doctoral, publicada en Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic.Circ. Mat. Palermo 22 (1906); sin embargo la denominacion de espacio metricono es de Frechet, fue introducida por F. Hausdorff en 1914. A partir de la deca-da de 1920 los espacios metricos toman mucha importancia debido, entre otrasrazones, a los notables trabajos sobre espacios normados y sus aplicaciones alAnalisis Funcional del matematico polaco Stefan Banach (1892-1945) y su es-cuela. En el perıodo 1920-1930 en la escuela matematica de Moscu se hicierondestacados aportes a la teorıa de los espacios metricos, entre ellos el estableci-miento de condiciones necesarias y suficientes para que un espacio topologicosea metrizable.

3.1. Definicion y ejemplos

Definicion 3.1. Sea X 6= ∅, una funcion d : X ×X → R se denomina metrica,o distancia, en X si, y solo si, para todo x, y, z ∈ X se cumplen:

M1. d(x, y) ≥ 0, y d(x, y) = 0 si, y solo si, x = y.

M2. d(x, y) = d(y, x)

M3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular)

Al par (X, d) formado por un conjunto X 6= ∅ y una metrica d en X se le conocecon el nombre de espacio metrico.

Ejemplo 3.1.

1. En R (resp. C) la funcion d definida por d(x, y) = |x − y| es una metrica,pues claramente satisface M1, M2 y M3. Esta metrica es llamada metricaeuclidiana de R (resp. C).

2. La metrica euclidiana de R puede ser extendida a cualquier producto carte-siano Rn mediante la funcion d, que asigna a cada par de puntos (x1, · · · , xn)y (y1, · · · , yn) de Rn el valor

d((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2. (3.1)

85


Esta funcion distancia es denominada metrica euclidiana de Rn.

Es facil verificar que esta funcion d satisface M1 y M2; en cuanto a la de-sigualdad triangular, mas adelante mostraremos que efectivamente la satis-face; ver ejemplo 3.4.

Figura 3.1: Distancia euclidiana de dos puntos en R2

3. Sea X 6= ∅, la funcion d : X ×X → {0, 1} dada por d(x, y) =

{0, si x = y

1, si x 6= y

es claramente una metrica en X, es llamada metrica discreta.

4. Una rica fuente de ejemplos de espacios metricos lo constituyen los espaciosnormados. Recordamos que un espacio vectorial V (real o complejo) se dicenormado si, y solo si, existe una funcion ‖ · ‖ : V × V → R (denominadanorma en V ) tal que, para todo u, v, w ∈ V son satisfechas:

N1. ‖u‖ ≥ 0 y ‖u‖ = 0 si, y solo si, u = 0V , donde 0V denota el vector nulode V .

N2. ‖αu‖ = |α|‖u‖ cualquiera sea el escalar α.

N3. ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.

Si (V, ‖ · ‖) es cualquier espacio normado, entonces la funcion d definida,para cada u, v ∈ V , por d(u, v) = ‖u − v‖ es una metrica en V . Esto sigueinmediatamente de las propiedades N1, N2 y N3. Note que en particular lametrica euclidiana (3.1) proviene de una norma en Rn: ‖v‖ =

√v2

1 + · · ·+ v2n,

donde v = (v1, · · · , vn) ∈ Rn.

5. Sea X = C[a, b] es conjunto de funciones continuas del intervalo [a, b] en R.Las funciones d y dmax definidas por

d(f, g) =∫ b

a

|f(x)− g(x)|dx y dmax(f, g) = maxx∈[a,b]

|f(x)− g(x)|,

son metricas en X. Esta afirmacion es demostrada haciendo uso de propie-dades elementales del Calculo. Observe que ambas metricas anteriores son

3. Espacios Metricos 87

inducidas por las siguientes normas en el espacio vectorial C[a, b]:

‖f‖1 =∫ b

a

|f(x)|dx y ‖f‖∞ = maxx∈[a,b]

|f(x)|.

3.1.1. Topologıas metricas

Sea (X, d) un espacio metrico cualquiera, veremos a continuacion el metodode construccion de una topologıa en X a partir de la metrica d.

Definicion 3.2. Dados x ∈ X y r > 0, se define la bola abierta centrada en x

y radio r como el conjunto Br(x) = {y ∈ X : d(x, y) < r}; mientras que la bolacerrada centrada en x y radio r es Br(x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}. La esferacentrada en x y radio r es el conjunto Sr(x) = {y ∈ X : d(x, y) = r}.

Figura 3.2: Bola abierta Br(X), bola cerrada Br(x) y esfera Sr(X)

Obviamente para cada x ∈ X, s > 0 y r > s > 0 se satisfacen

Br(x) ⊂ Br(x), Sr(x) ⊂ Br(x), Bs(x) ⊂ Br(x) y Bs(x) ⊂ Br(x).

Ejemplo 3.2.

1. Note que para cada r > 0 y x ∈ R, la bola abierta Br(x) en la metricaeuclidiana de R es el intervalos abierto (x− r, x+ r). En el plano real con lametrica euclidiana, las bolas abiertas son los discos abiertos. Ademas, puededemostrarse que en R2 las funciones:

dmax((a, b), (c, d)) = max{|a− c|, |b− d|} y d1((a, b), (c, d)) = |a− c|+ |b− d|

definen metricas cuyas bolas abiertas son, respectivamente, los cuadradosabiertos y rombos regulares abiertos.

2. En (X, d) con d la metrica discreta se tiene que Br(x) = {x} si, y solo si,r ≤ 1, de otra forma Br(x) = X.

3. Al considerar en C[a, b] la metrica dmax antes definida, la bola Br(f) es elconjunto de funciones continuas cuyas graficas estan en la banda que muestrala figura a continuacion; la curva de trazo no punteado representa la graficade f en [a, b].


r

fr

a b

Teorema 3.1. En cualquier espacio metrico (X, d) la coleccion B formada portodas las bolas abiertas en X es base de una topologıa en X, la cual es denomi-nada topologıa metrica inducida por d, o simplemente topologıa metrica en X.

Demostracion: Para todo r > 0, X =⋃x∈X Br(x) pues x ∈ Br(x). Supon-

gamos que y ∈ Br(x) \ {x} y sea s = mın{r − d(x, y), d(x, y)}. Dado que paracada z ∈ Bs(y) se tiene

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + r − d(x, y) = r,

entonces z ∈ Br(x); ası Bs(y) ⊂ Br(x); ver figura 3.3. De esta forma, en con-cordancia con el teorema 2.2, B es base de una topologıa en X.

Figura 3.3: Todo punto en Br(x) es punto interior

Sea T la topologıa metrica inducida por la metrica d en el conjunto X,entonces U ∈ T \{∅} si, y solo si, es union de bolas abiertas; o equivalentemente,para cada x ∈ U existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ U . En particular, para cualquiersubconjunto A de X, x ∈ int(A) si, y solo si, existe un radio r > 0 tal queBr(x) ⊂ A. Adicionalmente, cada bola cerrada Br(x) es un conjunto cerrado enX pues si y /∈ Br(x), es decir d(x, y) > r, al tomar cualquier numero positivo smenor o igual a d(x, y)− r se tiene Bs(y) ⊂ X \Br(x); por tanto todo punto enX \Br(x) es punto interior de este conjunto; esto es, Br(x) es cerrado. Tambien


son conjuntos cerrados los conjuntos unitarios; basta ver que si x, y ∈ X sontales que x 6= y, como r = d(x, y) > 0, x /∈ Bs(x), cualquiera sea r > s > 0. Enparticular todo subconjunto finito de X es un conjunto cerrado en la topologıametrica.

Es importante mencionar que de la demostracion del teorema anterior, cual-quiera sea r > 0 fijo, la coleccion Br = {Bs(x) : x ∈ X y s < r} es basepara la misma topologıa T . Adicionalmente, para cada x ∈ X, la coleccionBx = {B 1

n(x) : n ∈ N?} es base del sistema de vencindades en x, por lo que

todo espacio metrico satisface el primer axioma de numerabilidad, y en conse-cuencia toda topologıa metrica puede ser descrita en terminos de sucesiones, verproposicion 2.14, la cual parafrasearemos en el teorema 3.3.

En lo que sigue, cuando nos refiramos al espacio metrico (X, d) estaremosconsiderandolo con la estructura topologica dada por la topologıa metrica indu-cida por d.

Ejemplo 3.3.

1. Es claro que la topologıa inducida por la metrica euclidiana de Rn, n ≥ 1, esla topologıa euclidiana de Rn.

2. Sea X es dotado con la metrica discreta d; dado que Br(x) = {x} para cual-quier r ≤ 1, entonces la topologıa inducida por d es justamente la topologıadiscreta. Este mismo espacio metrico sirve para hacer notar un par de fenome-nos interesantes: la bola cerrada no es la clausura, en la topologıa metrica, dela bola abierta con el mismo centro y radio, y la esfera no siempre es un con-junto no vacıo. La primera afirmacion sigue del hecho que B1(x) = {x} (quees cerrado en la topologıa discreta) y B1(x) = X; la segunda es consecuenciade S 1

2(x) = ∅.

Vamos a describir ahora los conceptos de puntos de adherencia, puntos deacumulacion y puntos frontera en cualquier espacio metrico (X, d). Antes re-cordamos que una sucesion en un conjunto no vacıo X es cualquier funcionx : N → X, la cual se denota por (xn)n≥0, siendo que xn = x(n) para cadan ≥ 0. Una subsucesion de la sucesion x es la restriccion de x a cualquier sub-conjunto infinito de N. Si n0 < n1 < · · · son los elementos de un tal subconjunto,la subsucesion correspondiente se denota por (xnk)k≥0.

La traduccion del concepto de convergencia de una sucesion, ver pagina 74,en el contexto de espacios metricos es como sigue. Dados un espacio metrico(X, d), x ∈ X y una sucesion (xn)n≥0 en X, se dice que (xn)n≥0 converge a x

si, y solo si, para cada ε > 0 existe n0 ≥ 0 tal que xn ∈ Bε(x) para todo n ≥ n0.Una sucesion (xn)n≥0 en X se dice divergente si, y solo si, es no convergente.

Algunos comentarios son necesarios. El primero de ellos es que la convergen-cia de la sucesion (xn)n≥0 a x es equivalente a decir que: la sucesion de numeros


reales (d(x, xn))n≥0 converge a 0, y tambien para cada ε > 0 existe n0 tal qued(x, xn) < ε para todo n ≥ n0. Por otra parte, cualquier subsucesion de una su-cesion que converja a un punto x, tambien converge a x. Por ultimo, aunque noes una afirmacion tan trivial, es que si (xn)n≥0 converge, entonces el punto delespacio al cual converge es unico. En realidad esta es una caracterıstica que seobtiene como consecuencia de una propiedad topologica que posee todo espaciometrico, y que a continuacion definimos.

Definicion 3.3. Un espacio topologico (X, T ) se dice Hausdorff 1 si, y solo si,para cada x, y ∈ X con x 6= y existen U, V ∈ T con x ∈ U y y ∈ V tales queU ∩ V = ∅.

Teorema 3.2. Todo espacio metrico (X, d) es un espacio Hausdorff.

Demostracion: Sean x, y ∈ X tales que x 6= y, claramente d(x, y) = r > 0.Sea 0 < s < r

2 y consideremos las bola abiertas Bs(x) y Bs(y). Dado que

r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y),

para todo z ∈ Bs(x) se tiene d(z, y) ≥ r−d(x, z) > r−s > s, entonces z /∈ Bs(y);es decir, Bs(x) ∩Bs(y) = ∅.

Corolario 3.1. Si (X, d) es un espacio metrico y (xn)n≥0 es una sucesion queconverge, entonces el punto de convergencia es unico.

Demostracion: Supongamos que x, y ∈ X, con x 6= y, son tales que la sucesion(xn)n≥0 converge tanto a x como a y. Sea ε > 0 tal que Bε(x) ∩Bε(y) = ∅; porla convergencia, existe n0 ≥ 0 tal que xn ∈ Bε(x) y xn ∈ Bε(y) para todo n ≥ 0;pero esto es imposible pues tales bolas son disjuntas.

Ası pues, cuando digamos que la sucesion (xn)n≥0, en el espacio metrico(o Hausdorff) X, es convergente, significara que existe un unico x ∈ X talque (xn)n≥0 converge a x. Este punto x se conoce como lımite de la sucesion(xn)n≥0; esto se acostumbra a denotar como lımn xn = x, o bien xn → x.

Teorema 3.3. En cualquier espacio metrico (X, d) y cada A ⊂ X valen:

(1) x ∈ cl(A) si, y solo si, existe (xn)n≥0 en A tal que xn → x.

(2) x ∈ int(A) si, y solo si, para toda sucesion (xn)n≥0 con xn → x, existeN ≥ 0 tal que xn ∈ int(A) para todo n ≥ N .

(3) x ∈ A′ si, y solo si, existe (xn)n≥0 en A \ {x} tal que xn → x.

(4) x ∈ fr(A) si, y solo si, existen (xn)n≥0 y (yn)n≥0 en A y X \A, respectiva-mente, tales que xn → x y yn → x.

1Los espacios Hausdorff tambien son conocidos como espacios T2; mas adelante lo aborda-

remos cuando estudiemos los axiomas de separabilidad.


Demostracion: Supongamos que x ∈ cl(A), entonces en particular para cadan ∈ N existe xn ∈ B 1

n(x) ∩ A; de donde xn → x. Recıprocamente, supongamos

que existe (xn)n≥0 en A tal que xn → x. Sea U un abierto conteniendo a x;luego existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ U . Como xn → x y Bs(x) ⊂ Br(x) para cadas ≤ r, entonces existe n ≥ 1 tal que xn ∈ U , por tanto U ∩ A 6= ∅ y x ∈ cl(A).Esto demuestra la parte (1) del teorema.

Es claro que si x ∈ int(A), entonces existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ A; luego dela definicion de convergencia, para toda sucesion (xn)n≥0 en X convergiendo a x,existe N ≥ 0 tal que xn ∈ Br(x) para cada n ≥ N ; con lo cual xn ∈ int(A) paratodo n ≥ N . Recıprocamente, supongamos que para cada sucesion (xn)n≥0 queconverja a x existe N ≥ 0 tal que xn ∈ int(A); veamos que x ∈ int(A). Si x ∈X \int(A), como X \int(A) es un conjunto cerrado (X \int(A) = cl(X \int(A))),existe una sucesion (xn)n≥0 en X \ int(A) tal que xn → x, contradiciendo elsupuesto. Ası la segunda parte del teorema sigue.

Las demostraciones de (3) y (4) se dejan los detalles al lector.

Comentario 3.1.

a) Sea (X, d) un espacio metrico. Note que el primer item del teorema anteriorsigue obviamente que un subconjunto A de X es cerrado si, y solo si, paratodo x ∈ A existe una sucesion (yn)n≥1 contenida en A tal que yn → x. Porotra parte, si x ∈ A′, entonces para cada r > 0 la interseccion (Br(x)\{x})∩Adebe tener infinitos elementos. En efecto, supongamos que existe r > 0 talque (Br(x) \ {x}) ∩ A = {x1, · · · , x`}. Sea s = mın{d(x, x1), · · · , d(x, xn)};note que Bs(x) ⊂ Br(x) y xj /∈ Bs(x) \ {x} para cada j = 1, · · · , `, luego(Bs(x) \ {x})∩A = ∅, lo que contradice x /∈ A′. Esta propiedad implica quesi A es finito, entonces A′ = ∅.

b) El teorema anterior muestra que la estructura topologica inducida por metri-cas es descrita perfectamente mediante convergencia de sucesiones; en generalno ocurre ası en topologıas que no son metricas. Puede ocurrir, por ejemplo,que una misma suceson converja a puntos diferentes del espacio; examine lassucesiones en cualquier espacio topologico indiscreto con mas de un punto.Peor aun, las sucesiones no son apropiadas para describir la topologıa, tal ycomo se mostro en el comentario 2.6.

La limitacion de las sucesiones como elemento adecuado para describir topo-logıas es solventada con el uso de redes y la convergencia de Moore-Smith;este topico no sera tratado aca, remitimos al clasico libro de J. Kelley [7]para una lectura sobre este tema.

Definicion 3.4. Un espacio topologico (X, T ) se dice metrizable si, y solo si,existe una metrica d en X cuya topologıa inducida coincide con T .

Proposicion 3.1. Sean (X, d) un espacio metrico y T la topologıa inducida pord. Si A ⊂ X no vacıo es dotado con TA, la relativizacion de T a A, entonces elsubespacio A es metrizable.


Demostracion: Es bien conocido que U ⊂ A pertenece a TA si, solo si, existeV ∈ T tal que U = A ∩ V . Consideremos la restriccion de d a A; es decir, paracada x, y ∈ A, da(x, y) = d(x, y). Es simple chequear que dA es una metricaen A; ademas, dado que para cada x ∈ A y r > 0 la bola abierta, BAr (x), concentro x y radio r en A dada por la metrica dA satisface

BAr (x) = {y ∈ A : dA(x, y) < r} = Br(x) ∩A.

De donde, la topologıa en A inducida por dA es justamente TA.

La caracterizacion de los espacios que son metrizables es un asunto un tantotecnico, en particular porque se requiere de estructuras topologicas en produc-tos cartesianos infinitos. De momento disponemos de una condicion necesaria,que no es suficiente, para que un espacio topologico sea metrizable: la propie-dad de ser Hausdorff. Esto sigue del teorema 3.1, pues todo espacio metrico esHausdorff. Ejemplos de espacio topologicos que no son Hausdorff son faciles dehallar: si X tiene al menos dos elementos y lo dotamos con la topologıa indiscre-ta, entonces no es de Hausdorff; tampoco son espacios Hausdorff los conjuntosinfinitos dotados con la topologıa cofinita.

Hemos visto que en un mismo conjunto se pueden definir varias metricasdistintas que inducen la misma topologıa, R2 con las metricas euclidiana, dmax

y d1 antes definidas da muestra de ello.

Definicion 3.5. Dos metricas d1 y d2 en un conjunto X se dicen topologica-mente equivalentes si, y solo si, las topologıas inducidas por ellas coinciden.

Si d1 y d2 son metricas en X, denotamos por B1r (x) y B2

r (x) a las bolasabiertas centradas en x y radio r en (X, d1) y (X, d2) respectivamente. A con-tinuacion mostramos una condicion necesaria y suficiente para la equivalenciatopologica de las metricas d1 y d2.

Proposicion 3.2. Las metricas d1 y d2 en X son topologicamente equivalentessi, y solo si, para cada x ∈ X y r > 0 existen s1, s2 > 0 tales que B1

s1(x) ⊂ B2r (x)

y B2s2(x) ⊂ B1

r (x).

Demostracion: Es consecuencia inmediata del criterio de Hausdorff para igual-dad de topologıas, ver corolario 2.1, pues las dos colecciones formadas por lasbolas abiertas en (X, d1) y por las bolas abiertas en (X, d2) son bases de T1 yT2 respectivamente.

Proposicion 3.3. Sea (X, d) cualquier espacio metrico. La funcion e definida,para cada x, y ∈ X, por

e(x, y) = mın{1, d(x, y)} (3.2)

es una metrica topologicamente equivalente a d.


Demostracion: Es claro que e satisface M1 y M2 en la definicion 3.1; pa-ra demostrar M3 basta con verificar que si a, b, c ≥ 0 y c ≤ a + b, entoncesmın{1, c} ≤ mın{1, a} + mın{1, b}, pues esta desigualdad implica M3 al hacera = d(x, y), b = d(y, z) y c = d(x, z).

Si mın{1, a}+mın{1, b} ≥ 1, es obvio que mın{1, c} ≤ mın{1, a}+mın{1, b};por otro lado, si mın{1, a}+ mın{1, b} < 1, la desigualdad a+ b ≥ c ≥ mın{1, c}implica lo deseado. Por tanto e es una metrica en X.

Veamos ahora que e y d son topologicamente equivalentes. Recuerde que encualquier espacio metrico y cada r > 0, la familia de todas las bolas abiertasde radio menor que r es base de la topologıa inducida por la metrica. Pero enel caso en que r = 1, ambas familias coinciden con las metricas e y d. Ası lademostracion de la proposicion esta completa.

Ejemplo 3.4 (Producto cartesiano de finitos espacios metricos).Sean (X1, d1), · · · , (Xn, dn) espacios metricos. Consideremos en el producto

cartesiano∏ni=1Xi la topologıa producto; esto es, la topologıa que tiene como

una base a la coleccion de todos los conjuntos no vacıos de la forma∏ni=1 Ui,

donde Ui recorre una base de Xi, por ejemplo la familia de bolas abiertas deXi con la metrica di (i = 1, · · · , n); ver definicion en la pagina 44 y ejerciciopropuesto numero 13 de la seccion 2.3, pagina 56.

Para cada (x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) ∈∏ni=1Xi definimos

dmax((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) = max{di(xi, yi) : i = 1, · · · , n}, (3.3)

metrica del maximo generada por d1, · · · , dn. Obviamente la funcion dmax sa-tisface M1 y M2 en la definicion 3.1; en cuanto a la desigualdad triangular,observe que para todo xi, yi, zi ∈ Xi, i = 1, · · · , n:

max{di(xi, yi) : i = 1, · · · , n}+ max{di(yi, zi) : i = 1, · · · , n}≥ max{di(xi, zi) : i = 1, · · · , n},

pues di(xi, zi) ≤ di(xi, yi) + di(yi, zi) para cada i = 1, · · · , n; ası, dmax es unametrica en el producto cartesiano

∏ni=1Xi.

Dado que para cada x = (x1, · · · , xn) ∈∏ni=1Xi y cada r > 0, la bola

abierta de centro x y radio r es

Bdmaxr (x1, · · · , xn) = {(y1, · · · , yn) : di(xi, yi) < r, i = 1, · · · , n},

es simple verificar que Bdmaxr (x1, · · · , xn) =

∏ni=1B

dir (xi), donde Bdir (xi) es la

bola abierta centrada en xi y radio r. Por otro lado, tambien es facil ver si quer1, · · · , rn > 0 son cualesquiera, entonces

∏ni=1B

diri (xi) ⊂ Bdmax

r (x1, · · · , xn),donde r = max{r1, · · · , rn}. Estas relaciones entre el producto de bolas abiertasy las bolas abiertas en

∏ni=1Xi implican que ambas topologıas en el producto


cartesiano∏ni=1Xi: la topologıa metrica inducida por dmax y la topologıa pro-

ducto generada por las topologıas metricas di en Xi, coinciden; esto es conse-cuencia del criterio de Hausdorff, ver corolario 2.1. De esta forma, esta topologıaproducto en

∏ni=1Xi es metrizable.

En∏ni=1Xi pueden definirse otras metricas a partir de las metricas en cada

espacio coordenado del producto cartesiano∏ni=1Xi; trataremos dos de ellas.

Una es la metrica de Manhattan generada por d1, · · · , dn, se define por:

d1((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) =n∑i=1

di(xi, yi). (3.4)

No es difıcil mostrar que d1 es una metrica en∏ni=1Xi, como tambien es simple

chequear que dmax y d1 son topologicamente equivalentes; esto sigue al haceruso del ejercicio propuesto numero 5 en la pagina 99 y verificar que para todopar de puntos x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) en

∏ni=1Xi se cumple

dmax(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ ndmax(x, y).

La otra es la metrica euclidiana generada por d1, · · · , dn se define, para cada(x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) ∈

∏ni=1Xi, por

d((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) =

√√√√ n∑i=1

(di(xi, yi))2. (3.5)

Es simple ver que M1 y M2 son satisfechas por d, pero para demostrar quesatisface M3; esto es√√√√ n∑

i=1

(di(xi, zi))2 ≤

√√√√ n∑i=1

(di(xi, yi))2 +

√√√√ n∑i=1

(di(yi, zi))2, (3.6)

requerimos de un par de importantes desigualdades, las cuales son muy utilesen multiples contextos.

Lema 3.1 (Desigualdad de Holder). Para todo ai, bi ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n) yp, q > 1 con 1

p + 1q = 1, se cumple la denominada desigualdad de Holder:

n∑i=1

aibi ≤

(n∑i=1

api

) 1p(

n∑i=1

bqi

) 1q

(3.7)

Demostracion: Sea f : [0,+∞) → R la funcion definida por f(x) = xα,donde α > 0. Dado que f ′(x) = αxα−1 para cada x > 0, f es estrictamentecreciente, con inversa dada por f−1(x) = x

1α . Sean a y b numeros positivos que

ubicamos, uno en cada eje coordenado. Las areas bajo las grafica de f y f−1 enlos intervalos [0, a] y [0, b], respectivamente, son

A1 =∫ a

0

f(x)dx =1

α+ 1aα+1 y A2 =

∫ b

0

f−1(x)dx =α

α+ 1b

1α+1.


Figura 3.4: Grafica de la funcion x→ xα. Posibles disposiciones relativas de a y b en

los ejes coordenados: a ≥ b y a < b.

Obviamente el area del rectangulo de lados a y b es menor o igual que la sumade las areas A1 y A2: ab ≤ A1 +A2. De aca que al hacer p = 1 + α y q = 1

α + 1se tiene la desigualdad

ab ≤ 1pap +

1qbq, para todo a, b > 0. (3.8)

Ahora hacemos, para cada i = 1, · · · , n:

a =ai

(∑ni=1 a

pi )

1p

y b =bi

(∑ni=1 b

qi )

1q

,

por tanto de (3.8) se tiene

aibi

(∑ni=1 a

pi )

1p (∑ni=1 b

qi )

1q

≤ 1p

api∑ni=1 a

pi

+1q

bqi∑ni=1 b

qi

,

y al sumar estas desigualdades para i = 1, · · · , n se obtiene la desigualdad deHolder (3.7).

Lema 3.2 (Desigualdad de Minkowski). Para todo ai, bi ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n) yp ≥ 1 se cumple la desigualdad de Minkowski; es decir:(

n∑i=1

(ai + bi)p) 1p

≤

(n∑i=1

api

) 1p

+

(n∑i=1

bpi

) 1p

. (3.9)

Demostracion: La desigualdad es obvia para p = 1. Por tanto supongamosp > 1. De una simple inspeccion, cualesquiera sean a, b ≥ 0 y p > 1, se tiene

(a+ b)p = (a+ b)p−1a+ (a+ b)p−1b;

de donde

n∑i=1

(ai + bi)p =n∑i=1

(ai + bi)p−1ai +n∑i=1

(ai + bi)p−1bi.


Sea q > 1 tal que 1p + 1

q = 1; es decir, (p− 1)q = p. En cada sumando del ladoderecho de la identidad anterior aplicamos la desigualdad de Holder, por lo que:

n∑i=1

(ai + bi)p ≤

(n∑i=1

(ai + bi)p) 1q

( n∑i=1

api

) 1p

+

(n∑i=1

bpi

) 1p

;

de aca sigue inmediatamente (3.9).2

Note que al hacer p = 12 , ai = di(xi, yi), bi = di(yi, zi) en (3.9) y usar

la desigualdad triangular para cada di, la desigualdad triangular (3.6) sigue.Finalmente, dado que para cada x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈

∏ni=1Xi:

dmax(x, y) ≤ d(x, y) ≤√ndmax(x, y),

entonces d y dmax son topologicamente equivalentes. Ası pues, las topologıasmetricas generadas por dmax, d

1 y d son todas iguales, e identicas a la topologıaproducto inducida por cualquiera de ellas.

A partir del ejemplo que acabamos de exponer y de las desigualdades ante-riores, las metricas d, d1 y dmax en el producto cartesiano Rn, considerando enR la metrica euclidiana, son definidas para cada (x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) ∈ Rnpor:

d((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2, (3.10)

d1((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) =n∑i=1

|xi − yi|, (3.11)

dmax((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) = max{|xi − yi| : 1 ≤ i ≤ n}. (3.12)

De acuerdo a lo discutido arriba, estas tres metricas son topologicamenteequivalentes pues las topologıas metricas por ellas inducidas son identicas; dehecho, iguales a la topologıa producto en Rn generada por la topologıa usual enR. Ası pues, cuando nos refiramos a Rn, lo supondremos dotado, salvo mencionexplıcita, con esta estructura topologica: la euclidiana.

Tambien consideramos importante hacer notar que cada una de estas metri-cas son inducidas por distintas normas en Rn como espacio vectorial real:

• norma euclidiana: ‖(x1, · · · , xn)‖ =√x2

1 + · · ·+ x2n.

• norma de Manhattan: ‖(x1, · · · , xn)‖1 =n∑i=1

x2i

• norma del maximo: ‖(x1, · · · , xn)‖max = max{|xi| : 1 ≤ i ≤ n}.2Las desigualdades de Holder y Minkowski tienen su version en numeros complejos: en sus

hipotesis se sustituye ai, bi ≥ 0 por ai, bi ∈ C, y en las desigualdades se cambian ai por |ai|,y bi por |bi|. Las demostraciones no varıan.


Cualquier metrica en un conjunto arbitrario X, ademas de permitir medirdistancia entre sus puntos, ofrece la capacidad de medir las distancias entreun punto y un conjunto, y entre dos subconjuntos de X. Una metrica tambienposibilita introducir las nociones de diametro de un conjunto y de conjuntosacotados.

Definicion 3.6. Sea (X, d) un espacio metrico. Dados x ∈ X, A y B subcon-juntos no vacıos de X, se definen:

(a) la distancia entre x ∈ y A, como el numero real

d(x,A) = ınf{d(x, a) : a ∈ A}; (3.13)

(b) la distancia entre A y B, como el numero real

d(A,B) = ınf{d(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}; (3.14)

(c) el diametro de A, como

diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. (3.15)

Se dice que A es acotado si, y solo si, existe ρ > 0 tal que diam(A) ≤ ρ. Cuandoel conjunto {d(x, y) : x, y ∈ A} no sea acotado superiormente, se dice que A esno acotado, lo cual se denota por diam(A) =∞. Si A = ∅, se hace diam(A) = 0.

Figura 3.5: Distancia entre dos conjuntos, y diametro de un conjunto

Observe que cualquiera sean A,B ⊂ X, d(A,B) = d(B,A); ademas, si B esel conjunto unitario {x}, entonces d(x,A) = d(A,B); por otra parte, la distan-cia entre dos conjuntos esta acotada inferiormente por 0; sin embargo, ciertosconjuntos en algunos espacios pueden tener diametro no acotado; es decir, sonde diametro infinito, por ejemplo en R con la topologıa usual el diametro de Nes ∞, por lo que N es no acotado. Note que si A 6= ∅ y diam(A) = 0, entoncesA es unitario.

Ejemplo 3.5. Claramente si x ∈ A, entonces d(x,A) = 0 pues d(x, x) = 0. Elrecıproco no es cierto, tomemos R con la topologıa usual, A = (1, 2) y x = 2.Dado que 2 − 1

n ∈ A para cada n ∈ N? \ {1}, como d(2 − 1n , 2) = 1

n , entoncesd(x,A) = 0 y x /∈ A. Tambien es claro que si A y B son subconjuntos no vacıosde X y A ∩ B 6= ∅, entonces d(A,B) = 0. Como antes, pueden construirseejemplos de conjuntos no vacıos con A ∩B = ∅ tales que d(A,B) = 0.


Proposicion 3.4. En cualquier espacio metrico (X, d) se cumplen:

(1) Para todo x ∈ X y A ⊂ X no vacıo, d(x,A) = 0 si, y solo si, x ∈ cl(A).

(2) Para todo x, y ∈ X y A ⊂ X no vacıo, |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y).

(3) A ⊂ X es acotado y no vacıo si, y solo si, esta contenido en una bolacerrada.

(4) Cualesquiera sean A,B ⊂ X no vacıos,

d(A,B) = ınf{d(x,B) : x ∈ A} = ınf{d(y,A) : y ∈ B}.

Demostracion: Por definicion de ınfimo, d(x,A) = 0 si, y solo si, para cadan ∈ N? existe xn ∈ A tal que d(x, xn) ≤ 1

n ; justamente, esto equivale a x ∈ cl(A);ver teorema 3.3. Esto demuestra el primer item; en otras palabras, para cadaA ⊂ X no vacıo, cl(A) = {x ∈ X : d(x,A) = 0}.

Una demostracion del segundo item es como sigue. Para cada z ∈ A es claroque d(x,A) ≤ d(x, z); luego d(x,A)− d(x, y) ≤ d(y, z). Como z es cualquiera enA, el numero d(x,A) − d(x, y) es cota inferior de {d(y, z) : z ∈ A}, por tantod(x,A)−d(x, y) ≤ d(y,A). Similarmente se muestra d(y,A)−d(x, y) ≤ d(x,A),por lo que |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y).

Sea A es acotado y no vacıo; es decir, existe ρ > 0 tal que d(x, y) ≤ ρ paratodo x, y ∈ A. Fijemos x ∈ A y consideremos la bola cerrada Bρ(x); obvia-mente para cada y ∈ A, d(x, y) ≤ ρ, por lo que A ⊂ Bρ(x). Recıprocamente,supongamos que A ⊂ Bρ(z) para algun z ∈ X y r > 0. Sean x, y ∈ A, dado que

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ≤ 2ρ,

entonces diam(A) ≤ 2ρ. Esto demuestra (3).Finalmente, sea x ∈ A, dado que para cada y ∈ B, d(A,B) ≤ d(x, y); es decir,

d(A,B) es cota inferior de {d(x, y) : y ∈ B}, por tanto d(A,B) ≤ d(x,B). Dadoque x es tomado arbitrariamente, esta ultima desigualdad implica que d(A,B)es cota inferior de {d(x,B) : x ∈ A}, ası d(A,B) ≤ ınf{d(x,B) : x ∈ A}. Ahoratomemos ε > 0 arbitrariamente pequeno, entonces existes xε ∈ A y yε ∈ B talesque d(A,B) + ε > d(xε, yε), pero d(xε, yε) ≥ d(xε, B) ≥ ınf{d(x,B) : x ∈ A}, dedonde d(A,B) + ε > ınf{d(x,B) : x ∈ A}, y como ε > 0 es cualquiera, entoncesd(A,B) ≥ ınf{d(x,B) : x ∈ A}. De esta forma d(A,B) = ınf{d(x,B) : x ∈ A};la otra identidad sigue de la misma forma.

Comentario 3.2. No deja de ser una tentacion usar la anterior definicion de ladistancia entre dos conjuntos no vacıos en un espacio metrico (X, d) para dotar aesa coleccion de subconjuntos de X de una estructura metrica; sin embargo estono es apropiado pues como d(X,A) = 0 para cada A ⊂ X no vacıo, entonces ladesigualdad triangular, en general, falla. Ver ejercicio propuesto numero 21 deesta seccion.



1. En R× R se definen las siguientes funciones por:

d1(x, y) = |x2 − y2|, d2(x, y) = |x3 − y3|, d3(x, y) =

{2, si x 6= y

0, si x = y,

dα(x, y) = |x− y|α (0 < α < 1), d5(x, y) = e− 1|x2−y2| , d6(x, y) =

|x− y|1 + |x− y|

.

Decidir cuales de las anteriores funciones definen metricas en R.

2. ¿Definen las siguientes funciones metricas en R2: a) d((x, y), (z, w)) = |x− z|

b) d((x, y), (z, w)) =

{|x− z|, si y = w

|y − w|+ |x|+ |z|, si y 6= w.

3. Sean d la metrica euclidiana de R2, 0 es el origen, d′ y d′′ definidas por:d′(x, y) = 0 si x = y y d′(x, y) = d(x, 0) + d(y, 0) si x 6= y; mientras qued′′(x, y) = d(x, y) si x = αy para algun α ∈ R y d′′(x, y) = d′(x, y) en otrocaso.

a) Demostrar que d′ y d′′ son metricas en R2.

b) Demostrar que en la topologıa metrica inducida por d′ cada conjunto {x},con x 6= 0, es abierto. ¿Como son las bolas centradas en el origen?

c) ¿Como es la topologıa inducida por d′′?

4. Construya una metrica en R topologicamente equivalente a la euclidiana yque haga de R un espacio de diametro finito.

5. Dos metricas d1 y d2 enX se dicen equivalentes si, y solo si, existen constantespositivas α y β tales que para todo x, y ∈ X se cumple

αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ βd1(x, y).

Demostrar que si d1 y d2 son metricas equivalentes en X, entonces son to-pologicamente equivalentes. El recıproco no es verdad; muestre un contra-ejemplo.

6. Dos normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 en un espacio vectorial X se dicen equivalentes si, ysolo si, existen constantes positivas α y β tales que para todo vector v ∈ Xse cumple

α‖v‖1 ≤ ‖v‖2 ≤ β‖v‖1.

Demostrar que si ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 son normas equivalentes en X, entonces lasmetricas por ellas inducidas son equivalentes, y por tanto topologicamenteequivalentes.

Nota: En la seccion 3.3 se mostrara que en espacios vectoriales finito dimen-sionales todas las normas son equivalentes.


7. Sea Mn×m(R) el espacio vectorial usual de todas las matrices reales de ordenn×m (n filas y m columnas). Demostrar que:

(a) son normas las funciones ‖ · ‖0, ‖ · ‖1 : Mn×m(R)→ R dadas por:

‖A‖0 = sup‖x‖≤1 ‖Ax‖, donde ‖ · ‖ denota la norma euclidiana tantoen Rn como en Rn;‖A‖1 = max{|aij | : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}, donde aij es el numeroreal ubicado en la fila i y columna j de A.

(b) ‖ · ‖0 y ‖ · ‖1 son equivalentes.

8. Sean (X, d) un espacio metrico y f : [0,+∞)→ [0,+∞) una funcion que solose anula en 0 y subaditiva creciente; es decir, para todo α, β ≥ 0 se cumple

f(α) ≤ f(α+ β) ≤ f(α) + f(β).

Demostrar que df (x, y) = f(d(x, y)) define una metrica en X. Verificar quela funcion d6 del primer ejercicio arriba es una metrica de este tipo.

9. Sean (X, d) un espacio metrico y d′ definida, para cada x, y ∈ X, por

d′(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y).

Demostrar que d′ es una metrica en X topologicamente equivalente a d.

10. Completar la demostracion del teorema 3.3.

11. Sea X un conjunto no vacıo. Una funcion d : X ×X → [0,+∞) se denominapseudometrica si, y solo si, d satisface todas las condiciones de la definicionde metrica, excepto que posiblemente existan puntos distintos x, y tales qued(x, y) = 0. En tal caso, al par (X, d) se le llama espacio pseudometrico.Como en el caso de una metrica, si d es una pseudometrica en X y x, y ∈ X,d(x, y) es la distancia entre x e y, Br(x), Br(x) y Sr(x) son la bola abierta,cerrado y esfera de centro x y radio r. Sea (X, d) un espacio pseudometrico.

a) Demuestre que todo espacio pseudometrico satisface el primer axioma denumerabilidad; ver definicion 2.15. ¿Satisfacen tambien el segundo axiomade numerabilidad?

b) Demuestre que en X 6= ∅, d0(x, y) = 0 define una pseudometrica; mientrasque d((x, y), (z, w)) = |x− z| define una pseudometrica en R2, ambas noson metricas.

c) Demuestre que la familia de bolas abiertas en un espacio pseudometri-co es base de una topologıa en X: topologıa pseudometrica. ¿Como lastopologıas pseudometricas correspondientes al item anterior?

d) Demostrar que cl({x}) = {y ∈ X : d(x, y) = 0}; ademas, cl({x}) = cl({y})si, y solo si, d(z, w) = 0 para todo z ∈ cl({x}) y w ∈ cl({y}).


e) En X se define la relacion x ∼ y si, y solo si, d(x, y) = 0. Demostrarque ∼ es de equivalencia. Considere el conjunto cociente X∼ = X/ ∼ detodas las clases de equivalencia [x] = {y ∈ X : d(x, y) = 0}. Se defineD([x], [y]) = d(x, y) para cada para de puntos en X∼. Demostrar que Des una metrica en X∼.

12. En el capıtulo 2 mostramos que todo espacio topologico segundo numerablees separable y Lindelof. Demostrar que en el caso de espacios metricos estastres propiedades son equivalentes.

13. Sean (X, d) un espacio metrico, ∆ = {(x, x) : x ∈ X} (diagonal en X ×X) yT la topologıa producto generada por la topologıa metrica de X. Demostrarque ∆ es un conjunto cerrado de X ×X.

14. Sean (X, d) un espacio metrico y (xn)n≥0, (yn)n≥0 sucesiones en X. Si lassucesiones (xn)n≥0 e (yn)n≥0 son tales que xn → x e yn → y, demostrar quela sucesion de numeros reales (d(xn, yn))n≥0 converge a d(x, y).

15. Sean (X, d) un espacio metrico, A,B ⊂ X no vacıos, a ∈ X, r > 0 y se defineel conjunto Br(A) = {x ∈ X : d(x,A) < r}. Demostrar:

a) d(A,B) = d(cl(A), cl(B)).

b) cl(A) = cl(B) si, y solo si, para cada x ∈ X, d(x,A) = d(x,B).

c) diam(A) = diam(cl(A)), por tanto A es acotado si, y solo si, cl(A) tambienlo es. ¿Puede decirse lo mismo para A y int(A)?

d) d(A′, B′) ≥ d(A,B), para todo A′, B′ ⊂ X son no vacıos tales que A′ ⊂ Ay B′ ⊂ B.

e) d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) + diam(C), para todo C ⊂ X no vacıo.

f) Si cl(A) ∩ cl(B) 6= ∅, entonces d(A,B) = 0. El recıproco es falso.

g) Si A ∩Br(a) 6= ∅ y diam(A) < r, entonces A ⊂ B2r(a).

h) Si A es abierto (resp. cerrado), entonces

(1) int(fr(A)) = ∅(2) int(A) ∪ int(X \A) es denso en X.(3) Las dos condiciones anteriores son equivalentes.

i) La familia {B 1n

(a) : n ∈ N?} es base del sistema de vecindades Va delpunto a. Esto dice que todo espacio metrico tiene bases locales numerables;este concepto sera tratado mas adelante.

j) Br(a) =⋂s>r Bs(a) =

⋂n∈N? Br+ 1

n(a).

k) Br(a) =⋃s<r Bs(a) =

⋃n∈N? Br− 1

n(a).

l) {a} =⋂s>0Bs(a) =

⋂n∈N? B 1

n(a).

m) Br(A) =⋃x∈ABr(x), por tanto es abierto y contiene a A.


n) Br(A ∩B) ⊂ Br(A) ∩Br(B) y Br(A ∪B) = Br(A) ∪Br(B).

n) Br(A) ⊂ Bs(A) si s > r.

o) d(a,A) = ınf{s > 0 : a ∈ Bs(A)}p) cl(A) =

⋂n∈N? B 1

n(A).

q) todo conjunto cerrado es un Gδ y todo abierto es un Fσ; ver ejerciciopropuesto numero 27 en la pagina 36.

16. SeanA 6= ∅, (X, d) un espacio metrico, F(A,X) = {f : A→ X : f es funcion}y Fb(A,X) al conjunto de funciones f : A → X que son acotadas; esto es,diam(f(A)) = supa,b∈A d(f(a), f(b)) < +∞. Para cada f, g ∈ Fb(A,X) sedefine dsup(f, g) = supa∈A d(f(a), g(a)). Demostrar que dsup es una metricaen Fb(A,X), la cual se denomina metrica de la convergencia uniforme. ¿Cuales el significado de la convergencia de una sucesion en este espacio metrico?

Suponga que (X, d) es un espacio normado (V, ‖ · ‖), entonces tiene sentidosumar funciones y multiplicar funciones por escalares que hacen a F(A, V )un espacio vectorial y a Fb(A, V ) uno de sus subsespacios. Para cada f enFb(A, V ) se define ‖f‖∞ = supa∈A ‖f(a)‖. Demostrar que ‖ · ‖∞ es unanorma. ¿Cual es la metrica inducida por esta norma?

17. Sea X = C[a, b] el espacio vectorial de todas las funciones continuas del inter-valo [a, b] en R. Demostrar que ‖f‖1 =

∫ ba|f(x)|dx y ‖f‖∞ = maxx∈[a,b] |f(x)|

definen normas en X; consecuentemente las funciones

d1(f, g) =∫ b

a

|f(x)− g(x)|dx, y dmax(f, g) = max{|f(x)− g(x)| : x ∈ [a, b]}

definen metricas en X. Compare estas metricas.

18. Sea X = Ck[a, b], k ∈ N?, el espacio vectorial de todas las funciones conti-nuamente diferenciables hasta el orden k en el intervalo [a, b] en R; en losextremos del intervalo, las derivadas se entienden laterales. Demostrar que

‖f‖k = max0≤j≤k

max{|f (j)(x)| : x ∈ [a, b]}

define una norma en X. ¿Cual es la metrica dk correspondiente? Comparedk y dmax anterior.

19. Sea RN = {x : N→ R : x es funcion}; cada elemento x de RN es una sucesionque se acostumbar denotar por (xn)n≥0, siendo xn = x(n) para cada n ≥ 0.Considere en RN la estructura de espacio vectorial real dada por la adiciony multiplicacion por escalares en R definidas, para cada par de sucesionesx, y ∈ RN, α ∈ R y n ∈ N, por:

(x+ y)(n) = x(n) + y(n) y (αx)(n) = αx(n).

Considere los subconjuntos de RN:


• c0 = {(xn)n≥0 : xn → 0} (espacio de sucesiones convergentes a 0).

• c = {(xn)n≥0 : (xn)n≥0 converge} (espacio de sucesiones convergentes).

• `∞ = {(xn)n≥0 : existe α > 0 tal que supn≥0 |xn| ≤ α} (espacio desucesiones acotadas).

• `p = {(xn)n≥0 :∑n≥0 |xn|p < ∞} (p ≥ 1) (espacio de sucesiones p-

sumables).

a) Demostrar que:

(1) `p ⊂ c0 ⊂ c ⊂ `∞, y cada uno de ellos es subespacio de RN.(2) en c0, c y `∞, ‖(xn)n≥0‖∞ = supn≥0 |xn| define una norma; mientras

que ‖(xn)n≥0‖p =(∑

n≥0 |xn|p) 1p

lo es para el espacio de sucesionesp-sumables.

¿Cuales son las metricas inducidas por tales normas?

b) Para cada x, y ∈ RN se define

d(x, y) =∑n≥0

12n

|xn − yn|1 + |xn − yn|

.

Demostrar que d es una metrica en RN.

c) Sea H = {(xn)n≥1 : 0 ≤ xn ≤ 1n} (cubo de Hilbert). Demostrar que H es

cerrado y acotado en `2.

20. Un espacio metrico (X, d) se dice ultrametrico si, y solo si, para todo x, y, z ∈X se satisface la desigualdad triangular ultrametrica:

d(x, z) ≤ max{d(x, z), d(z, y)}.

Considere las metricas: discreta en cualquier conjunto X, y toda topologica-mente a la euclidiana en Rn. ¿Alguna de ellas es ultrametrica?

Sea (X, d) un espacio ultrametrico. Demostrar que:

(1) Si d(x, y) 6= d(y, z), entonces d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}; esto diceque todo triangulo en X o es equilatero, o es isosceles.

(2) Br(x) = Br(y) para todo y ∈ Br(x). ¿Ocurre lo mismo para las bolascerradas y las esferas?. Deducir que si Br(x) ∩ Bs(y) 6= ∅, entonces unade estas bolas esta contenida en la otra.

(3) Sea Z dotado de la topologıa p-adica, ver ejercicio numero 10 en la pagina56. Para cada n,m ∈ Z se define dp(n,m) como 0 si n = m, y 2−k sik ≥ 0 es la menor potencia de p tal que pk||n − m|. Demostrar quedp es una metrica en Z, conocida como metrica p-adica ; ademas, latopologıa metrica por ella inducida es la topologıa p-adica. ¿Es dp unaultrametrica?


21. Sean (X, d) un espacio metrico y HX la coleccion de todos los cerrados yacotados no vacıos de X. Para cada A,B ∈ HX se define

dH(A,B) = max{supa∈A

d(a,B), supb∈B

d(b, A)},

conocida como la distancia de Hausdorff entre A y B. Demostrar que:

a) dH es una metrica.

b) al retirar la condicion de ser acotados, puede ocurrir que existan conjuntosA,B cerrados no vacıos tales que dH(A,B) = +∞.

22. Sea R con la metrica usual.

a) Para cada n ∈ N sea Jn = [an, bn]. Demostrar que si Jn ⊂ Jn−1 para todon ≥ 1 y diam(Jn)→ 0, entonces

⋂n≥0 Jn = {α}, para algun α.

b) Sea p un numero primo fijo. Un numero real x se dice p-adico si existenm,n ∈ Z, con n ≥ 1, tales que x = m

pn . Sea Ap el conjunto de numerosp-adicos en I = [0, 1] ( mpn con m = 0, 1, · · · , pn).Para cada n ∈ N? y j1, · · · , jn ∈ Zp = {0, 1, · · · , p− 1} sea

Ij1···jn =[j1p

+j2p2

+ · · ·+ jnpn,j1p

+j2p2

+ · · ·+ jn + 1pn

],

que denominamos intervalo cerrado p-adico de orden n. Demostrar:

(1) Para cada n ≥ 1, I es la union de los pn intervalos p-adicos de ordenn, Ij1···jn =

⋃p−1jn+1=0 Ij1···jn+1 y diam(Ij1···jn)→ 0.

(2) Ap es denso en I. ¿Son todos p-adicos densos en R?(3) Cada x ∈ I se escribe como x =

∑n≥1

anpn con an ∈ Zp.

c) Conjunto de Cantor ternario. El conjunto que se construye en esteejercicio fue introducido por Georg Cantor en 1884 como ejemplo de unconjunto perfecto y nunca denso. Su construccion es recursiva:Paso 1. En el intervalo I retire el intervalo abierto central 3-adico deorden 1; es decir ( 1

3 ,23 ). Quedan los intervalos I0 = [0, 1

3 ] e I2 = [ 23 , 1].

Paso 2. En cada uno de resultantes en el paso 1 retire el intervalo abiertocentral 3-adico de orden 2. Ası resultan: I00, I02, I20 e I22

Paso 2. n. En cada uno de los intervalos 3-adicos resultantes en el pason − 1 (n ≥ 2) retire el intervalo abierto central 3-adico de orden n. Portanto se obtienen los 2n intervalos 3-adicos de orden n: Ij1···jn , con jk ∈{0, 2} para cada k = 1, · · · , n.Este procedimiento se realiza indefinidamente para cada n. Sea Kn, pa-ra cada n ≥ 1, la union de los intervalos cerrados 3-adicos de orden n,Ij1···jn , resultantes en cada paso n descrito; esto es, Ij1···jn ⊂ Ij1···jn−1 ,diam(Ij1···jn) = 1

3diam(Ij1···jn−1) y el intervalo Ij1···jn−10 esta a la izquier-da de Ij1···jn−12.


Figura 3.6: Tres primeras etapas en la construccion del Cantor ternario

La forma de definir, desde el punto de vista de operaciones con conjuntos,el conjunto de Cantor ternario K es

K =⋂n≥1

Kn.

Demostrar que:

(1) K es cerrado y no vacıo.

(2) x ∈ K si, y solo si, x se escribe como∑n≥1

an3n , con an ∈ {0, 2}.

(3) La suma de los diametros de todos los intervalos abiertos retirados enla construccion de K es igual a 1. En terminos de medida, K tienemedida de Lebesgue igual a 0.

(4) Ningun punto de K es aislado; ademas, int(K) = ∅

3.2. Continuidad en espacios metricos

El concepto de continuidad en espacios metricos es una primera extension dela nocion de continuidad que se aprende en los cursos elementales de Calculo.

3.2.1. Definicion, ejemplos y propiedades fundamentales

Definicion 3.7. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y f : X → Y una funcion.Dado x ∈ X, se dice que f es continua en x si, y solo si, para cada ε > 0 existeδ = δ(ε, x) > 0 tal que si d(x, y) < δ, entonces d′(f(x), f(y)) < δ.

Si en la definicion anterior hacemos X = Y = R, d y d′ iguales a la metricaeuclidiana, entonces la continuidad de f : R → R en el punto x se traducecomo sigue: para cada ε > 0 existe δ = δ(ε, x) > 0 tal que si |x − y| < δ,entonces |f(x) − f(y)| < δ; que es justamente la definicion de continuidad deuna funcion real de variable que se conoce en los cursos de Calculo. Observeque en la definicion 3.7 el significado de los numeros ε y δ se corresponde con laeleccion de ciertas bolas abiertas tanto en X como en Y ; ası pues, esta definiciones claramente equivalente a:

106 3.2. Continuidad en espacios metricos

Figura 3.7: Continuidad en x: f mapea la bola Bdδ (x) dentro de la bola Bd′ε (f(x))

Definicion 3.8. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y f : X → Y una funcion.Dado x ∈ X, se dice que f es continua en x si, y solo si, para cada bola abiertaBd′

ε (f(x)) de centro f(x) en Y existe una bola abierta Bdδ (x) de centro x en X

tal que f(Bdδ (x)) ⊂ Bd′ε (f(x)).

En realidad existen variadas formas de expresar la continuidad, una que esajustada a la estrutura metrica es la que se expone en la siguiente proposicion.

Proposicion 3.5. Si (X, d), (Y, d′) son espacios metricos, f : X → Y unafuncion y x ∈ X, entonces f es continua en x si, y solo si, para toda sucesion(xn)n≥1 ⊂ X con xn → x, la sucesion (f(xn))n≥1 ⊂ Y converge a f(x).

Demostracion: Supongamos que f es continua en x; sean (xn)n≥1 ⊂ X talque xn → x y ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que f(Bdδ (x)) ⊂ Bd

′

ε (f(x)). Porla convergencia de la sucecion (xn)n≥1, existe n0 ≥ 1 de forma que para todon ≥ n0, d(xn, x) < δ, que es xn ∈ Bdδ (x), en consecuencia f(xn) ∈ Bd′ε (f(x))para cada n ≥ n0; es decir, d′(f(xn), f(x)) < ε para todo n ≥ n0, luego lasucesion (f(xn))n≥1 converge a f(x).

Para la implicacion recıproca procedamos por el absurdo. Supongamos quef no es continua en x; esto es, existe ε > 0 de forma que para cada δ > 0 existexδ ∈ Bdδ (x) tal que f(xδ) /∈ Bd

′

ε (f(x)), que es, d′(f(xδ), f(x)) ≥ ε. Dado que δes arbitrario, para cada n ≥ 1 podemos elegir xn ∈ X con d(xn, x) < 1

n tal qued′(f(xn), f(x)) ≥ ε. Esta construccion provee una sucesion (xn)n≥1 en X conxn → x de manera que la sucecion (f(xn))n≥1 no converge a f(x).

La continuidad en un punto es una propiedad local, puede ser que una funcionsea continua en un punto, mas no lo sea en otros puntos del espacio metrico.Por ejemplo, consideremos X = Y = R con la metrica euclidiana; sea f : R→ R

definida, para cada x ∈ R, por f(x) =

{0, si x < 0

1, si x ≥ 0. Observe que la sucesion(

− 1n

)n≥1

converge a 0 pero(f(− 1

n ))n≥1

no converge a f(0) = 1, por tanto f

no es continua en 0; es simple verificar que f converge en cualquier otro punto.


Definicion 3.9. Una funcion f : X → Y entre los espacios metricos (X, d) y(Y, d′) se dice continua si, y solo si, f es continua en cada x ∈ X; es decir, paracada x ∈ X y todo ε > 0 existe δ = δ(ε, x) > 0 tal que f(Bdδ (x)) ⊂ Bd

′

ε (f(x)).Si el escalar δ no depende del punto x, entonces se dice que f es uniformementecontinua; esto es, para todo ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que para todo x ∈ X,f(Bdδ (x)) ⊂ Bd′ε (f(x)).

Ejemplo 3.6.

1. La funcion identidad iX : X → X es continua cualquiera sea el espaciometrico (X, d).

2. Sean (X, d) un espacio metrico y Y un subespacio de X con la restriccion ded a Y . La funcion inclusion iY : Y → X, con iY (x) = x para cada x ∈ Y escontinua.

3. Si d es la metrica discreta en X, entonces cualesquiera sean el espacio metrico(Y, d′) y la funcion f : X → Y , esta es continua.

4. Para todo par de espacios metricos (X, d) y (Y, d′), toda funcion f : X → Y

constante es continua; recordamos que f es constante si, y solo si, existey0 ∈ Y tal que f(x) = y0 para todo x ∈ X.

5. Evientemente toda funcion uniformemente continua es continua, el recıpro-co no es cierto. Consideremos X = (0, 1] y Y = R, ambos con la metricaeuclidiana, y sea f : (0, 1] → R dada por f(x) = 1

x cualquiera sea x ∈ X.Entonces:

(a) f es continua. Para x ∈ (0, 1] y ε > 0 sea 0 < δ < mın{x2 ,εx2

2 }. Siy ∈ (0, 1] es tal que |x− y| < δ, entonces∣∣∣∣ 1x − 1

y

∣∣∣∣ =|x− y||x||y|

<2x2

εx2

2= ε.

(b) f no es uniformemente continua. Supongamos que f es uniformementecontinua. Sean ε > 0 y δ > 0 como en la definicion 3.9, al tomar lospuntos 0 < x < mın{2δ, 1

ε , 1} y y = x2 , se tiene

|x− y| < δ y |f(x)− f(y)| = 1x> ε.

6. Sean (X, d) un espacio metrico y A ⊂ X no vacıo. La funcion f : X → R(R con la metrica euclidiana) definida por f(x) = d(x,A), cualquiera seax ∈ X, es uniformemente continua. Esta afirmacion sigue inmediatamentedel item 2 en la proposicion 3.4. En particular, para cada a ∈ X fijo, lafuncion x 7−→ d(x, a) es uniformemente continua.


7. Sean (X, d) y (Y, d′) espacios metricos. Una funcion f : X → Y se dicelipschitziana si, y solo si, existe una constante α > 0 tal que

d′(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y) para todo x, y ∈ X.

La constante α se le llama constante Lipschitz. Observe que para cualquierε > 0, al seleccionar δ = ε

α sigue que si d(x, y) < δ, d′(f(x), f(y)) < ε; esdecir, toda funcion lipschitziana es uniformemente continua. El recıproco noes cierto, por ejemplo si X = Y = [0,∞) con la metrica usual y f(x) =

√x

para cada x ∈ X, entonces f es uniformemente continua y no lipschitziana.

8. Continuidad de las metricas

Recordemos que si (X1, d1) y (X2, d2) son espacios metricos, la metrica deManhattan en X1 ×X2 es d1((x, y), (z, w)) = d1(x, z) + d2(y, w). En el casoparticular X1 = X2 = X y d1 = d2 = d, d : X × X → [0,+∞) (la funciondistancia) es continua al considerar en [0,+∞) la metrica usual. En efecto,note que d es continua si, y solo si, para cada (z, w) ∈ X ×X y cada ε > 0existe δ > 0 tal que si d1((x, y), (z, w)) < δ, entonces |d(x, y) − d(z, w)| < ε;por otra parte, dado que para todo (x, y), (x.z), (z, w) y (y, w) en X ×X setiene la desigualdad d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, w) + d(y, w); de donde sigue

|d(x, y)− d(z, w)| ≤ d(x, z) + d(y, w) = d1((x, y), (z, w)),

lo cual demuestra que en realidad d es uniformemente continua. Similar tra-tamiento puede hacerse al considerar tanto la metrica del maximo, como laeuclidiana generadas por d1 y d2.

9. Continuidad de las operaciones en espacios normados

Sea (V, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado sobre K (K = R, o C). Sabemosque d(u, v) = ‖u − v‖ define una metrica en V ; ‖(u, v)‖∞ = max{‖u‖, ‖v‖}define una norma en V × V , cuya metrica inducida es justamente la metricadmax generada por d; en K× V , d′max((α, u), (β, v)) = max{|α− β|, ‖u− v‖}define la metrica del maximo generada por la metrica usual en K y la metricad en V . Ası pues, para las funciones de adicion y multiplicacion por escalares:+ : V × V → V y · : K × V → V , con +(u, v) = u + v y ·(α, u) = αu, cabela pregunta: ¿son ellas continuas?

La respuesta es afirmativa, una demostracion de tales hechos sigue de lasdesigualdades a continuacion, que a su vez se obtienen de la desigualdadtriangular de las metricas, o normas:

‖(u1 + v1)− (u2 + v2)‖ ≤ ‖u1 − v1‖+ ‖u2 − v2‖‖αu− βv‖ ≤ |α|‖u− v‖+ |α− β|‖v‖.

Registraremos ahora una coleccion de propiedades de las funciones continuasen espacios metricos, muchas de las cuales seran revisadas en el capıtulo 4. Laprimera de ellas, por su inmediatez no amerita una demostracion.


Proposicion 3.6 (Continuidad sobre la imagen). Sean (X, d), (Y, d′) espa-cios metricos y Z un subespacio de Y con la topologıa obtenida de la restriccionde d′ a Z. Si f : X → Y es una funcion continua y f(X) ⊂ Z, entoncesf : X → Z es continua.

Proposicion 3.7 (Continuidad de la composicion). Sean (X, d), (Y, d′) y(Z, d′′) espacios metricos. Si f : X → Y y g : Y → Z son funciones continuas,entonces la composicion g ◦ f : X → Z es continua.

Demostracion: Sean x ∈ X y ε > 0, dado que g es continua en f(x), existeδ > 0 tal que si d′(y, f(x)) < δ, entonces d′′(g(y), g(f(x))) < ε. Ahora para el δanterior existe, por la continuidad de f , λ > 0 tal que si d(x, x′) < λ, entoncesd′(f(x), f(x′)) < δ. Sigue por tanto que si d(x, x′) < λ, entonces

d′′((g ◦ f)(x)), (g ◦ f)(x′))) = d′′(g(f(x)), g(f(x′))) < ε.

Lo cual implica la proposicion.

Observe que de la misma demostracion anterior se concluye que si f : X → Y

es continua en x y g : Y → Z lo es en f(x), entonces g ◦ f es continua en x.

Corolario 3.2. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y Z un subespacio de X.Si f : X → Y es continua, entonces tambien lo es la restriccion f |Z : Z → Y ,f |Z(z) = f(z) para cada z ∈ Z.

Demostracion: Basta usar la proposicion anterior y ver que f |Z = f ◦ iZ ,donde iZ es la inclusion de Z en X.

Recordemos que para toda funcion f : X → Y × Z existen unicas funcionesfY : X → Y y fZ : X → Z, las funciones coordenadas de f , tales que para cadax ∈ X, f(x) = (fY (x), fZ(x)).

Proposicion 3.8 (Continuidad sobre espacios productos). Sean (X, d),(Y, d′), (Z, d′′) espacios metricos y Y × Z con metrica dmax generada por lasmetricas en Y y Z. Una funcion f : X → Y ×Z es continua (resp. continua enx) si, y solo si, fY y fZ son continuas (resp. continuas en x).

Demostracion: Claramente f es continua si, y solo si, cualesquiera sean x ∈ Xy ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ, entonces dmax(f(x), f(y)) < ε. Dadoque dmax(f(x), f(y)) = max{d′(fY (x), fY (y)), d′′(fY (x), fY (y))}, la demostra-cion de la proposicion sigue inmediatamente.

Supongamos ahora que f : X × Y → Z es una funcion, la cual podemospensar como una funcion de dos variables. Para cada x0 ∈ X e y0 ∈ Y fijos, lasfunciones fy0 : X → Z y fx0 : Y → Z, con fy0(x) = f(x, y0) para cada x ∈ X,y fx0(y) = f(x0, y) para cada y ∈ Y , son las funciones parciales en la primeray segunda variable respectivamente.


Proposicion 3.9 (Continuidad en varias variables). Sean (X, d), (Y, d′),(Z, d′′) espacios metricos y X×Y con la topologıa metrica dmax generada por lasmetricas en X e Y . Si la funcion f : X×Y → Z es continua en (x, y), entonceslas funciones parciales fx y fy son continuas en y y x respectivamente.

Demostracion: La continuidad de f en el punto (x, y) significa que para to-do ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo (z, w) ∈ X × Y que satisfagadmax((x, y), (z, w)) < δ, entonces d′′(f(x, y), f(z, w)) < ε. Por otro lado, co-mo d′′(f(x, y), f(x,w)) = d′′(fx(y), fx(w)), y dado que dmax((x, y), (z, w)) < δ

implica dmax((x, y), (x,w)) < δ, entonces se tiene la continuidad de fx en y.Similarmente se concluye la continuidad de fy en x.

Corolario 3.3. Sean X,Y, Z y X × Y como arriba. Si f : X × Y → Z escontinua, entonces para cada x ∈ X y todo y ∈ Y las funciones fx y fy soncontinuas en Y y X respectivamente.

Demostracion: En consecuencia inmediata de la proposicion anterior, se dejanlos detalles al lector.

Comentario 3.3. El recıproco de la proposicion anterior en general no es cierto.El siguiente ejemplo es un clasico y da muestra de ello. En R2 y R con lasmetricas euclidianas considere la funcion f : R2 → R dada por

f(x, y) =

xy

x2 + y2, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si x = y = 0.

Dado que las funciones parciales f0 y f0 son iguales a la funcion constante 0,ambas son continuas. No obstante, f no es continua en (0, 0); pues de serlo, comola funcion g(x) = (x, x) es continua en todo punto x ∈ R, entonces f ◦g : R→ R

serıa continua en x = 0, pero (f ◦ g)(x) =

{12 , si x 6= 0

0, si x = 0.

Corolario 3.4. Sean (Xi, di) un espacio metrico, i = 1, 2, 3, 4, y X1 × X2,X3×X4 con la metrica del maximo generada por las respectivas metricas en losespacios componentes. Si f1 : X1 → X3 y f2 : X2 → X3 son funciones continuasen x1 ∈ X1 y x2 ∈ X2 (resp. continuas), entonces f : X1 × X2 → X3 × X4

definida por f(x, y) = (f1(x), f2(y)) es continua en (x1, x2) (resp. continua).

Demostracion: Sigue de las proposiciones 3.8 y 3.9, se dejan los detalles allector.

Proposicion 3.10 (Grafico cerrado). Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos yX×Y con la metrica del maximo generada por d y d′. Si f : X → Y es continua,entonces el grafico de f , graf(f) = {(x, f(x)) : x ∈ X} es un conjunto cerradoen X × Y .


Demostracion: Sean (x, y) /∈ graf(f), f(x) 6= y, y ε > 0. De la continuidadde f existe δ > 0 tal que f(Bdδ (x)) ⊂ Bd

′

ε (f(x)). Tomemos δ lo suficientementepequeno para que Bd

′

δ (y) ∩Bd′ε (f(x)) = ∅ (¿por que es posible hacer esta selec-cion?). Note que el producto cartesiano Bdδ (x) × Bd′δ (y) es justamente la bolaabierta centrada en (x, y) y radio δ en la metrica dmax, Bdmax

δ ((x, y)).Afirmamos que Bdmax

δ ((x, y)) y graf(f) son disjuntos, con lo cual este ultimoconjunto es cerrado en X × Y pues todos los puntos en su complemento sonpuntos interiores.

Supongamos que (z, w) ∈ Bdmaxδ ((x, y)); es decir, z ∈ Bdδ (x) y w ∈ Bd′δ (y).

De la continuidad, f(z) ∈ Bd′ε (f(x)), por tanto f(z) /∈ Bd′ε (f(x)); ası f(z) 6= w

y (z, w) /∈ graf(f).

Observacion 3.1. En el enunciado de las proposiciones 3.8, 3.9 y 3.10, suscomentarios y corolarios relacionados, hemos podido emplear cualquiera de lasmetricas d1, de Manhattan, o d, la euclidiana, generadas por d1, · · · , dn. Re-cuerde que estas dos metricas son topologicamente equivalentes a la metrica delmaximo, dmax, generada por d1, · · · , dn.

Ejemplo 3.7. Pasamos ahora a presentar algunos ejemplos adicionales de fun-ciones continuas definidas en espacios metricos con valores en espacios norma-dos. Sean (X, d) y (V, ‖ · ‖) espacios metrico y normado sobre K (K = R, oC), respectivamente; denotamos por C(X,V ) al conjunto de todas las funcio-nes continuas de X en V . Observe que C(X,V ) es un subconjunto del espaciovectorial F(X,V ), ver ejercicio propuesto numero 16 en la pagina 102, cuyasoperaciones de adicion y multiplicacion por escales son definidas mediante:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) y (αf)(x) = αf(x), para todo x ∈ X,

cualesquiera sean las funciones f, g ∈ F(X,V ) y el escalar α ∈ K. Veamosque C(X,V ) es un subespacio vectorial de F(X,V ); es decir, son funcionescontinuas: la suma de dos funciones continuas y el producto de un escalar por unafuncion continua. Ya sabemos que las operaciones + y · son funciones continuasde V × V y K × V , respectivamente, en V . Por otra parte, para cada par defunciones continuas f, g : X → V y cada α ∈ K, las funciones φ : X → V × V yψ : X → K×V , dadas por φ(x) = (f(x), g(x)) y ψ(x) = (α, f(x)), son continuasde acuerdo a la proposicion 3.8; adicionalmente, como las funciones f + g y αfson, respectivamente, la composicion de + con φ, y de · con ψ, entonces ellasson continuas; esto demuestra que C(X,V ) es subespacio vectorial de F(X,V ).

Algunas propiedades extras se obtienen en el caso particular cuando V = Ry la norma ‖ · ‖ igual a la funcion valor absoluto α → |α|, α ∈ R; ver ejerciciopropuesto numero 5 abajo.

Abordaremos a continuacion la nocion de lımite de una funcion entre espaciosmetricos y la relacionaremos con la continuidad.


Definicion 3.10. Dados espacios metricos (X, d), (Y, d′), Z ⊂ X no vacıo,z ∈ cl(Z) y f : Z → Y una funcion; se dice que existe el lımite de f cuando x

tiende a z si, y solo si, existe y ∈ Y tal que, para cada ε > 0 existe δ > 0 deforma que si x ∈ A y d(x, z) < δ, entonces d′(f(x), y) < ε. Esto es denotado porlımx→z

f(x) = y.

Usando la desigualdad triangular es simple verificar, en las condiciones de ladefinicion anterior, que si el lımite lım

x→zf(x) existe, entonces este es unico.

Proposicion 3.11. Sean (X, d), (Y, d′), Z ⊂ X, z ∈ cl(Z) y f : Z → Y comoarriba. Si z ∈ Z, entonces el lımite lım

x→zf(x) existe si, y solo si, f es continua

en z, en tal caso lımx→z

f(x) = f(z).

Demostracion: Supongamos que lımx→z

f(x) existe y es igual a y ∈ Y . Por tanto,

dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ Z y d(x, z) < δ, entonces d′(f(x), y) < ε.Como z ∈ Z, d′(f(z), y) < ε para todo ε > 0, de donde f(z) = y y la continuidadde f en z. El recıproco sigue inmediatamente de la definicion 3.7.

Observe que la relevancia de la definicion anterior radica en los puntos de laclausura de Z que no estan en Z; caso contrario, se refiere a la continuidad dela funcion en puntos de Z.

Proposicion 3.12. Sean (X, d), (Y, d′), Z ⊂ X, z ∈ cl(Z) y f : Z → Y comoantes. El lımite lım

x→zf(x) existe si, y solo si, para cada sucesion (zn)n≥0 en Z

con zn → z, la sucesion (f(zn))n≥0 converge en Y .

Demostracion: Supongamos que el lımite lımx→z

f(x) existe y es igual a y ∈Y . Sea ε > 0; luego existe δ > 0 tal que si x ∈ Z y d(x, z) < δ, entoncesd′(f(x), y) < ε. Tomemos cualquier sucesion (zn)n≥0 en Z con zn → z; si N ≥ 0es tal que d(zn, z) < δ para cada n ≥ 0, entonces d′(f(zn), y) < ε para cadan ≥ N ; de donde f(zn)→ y.

Recıprocamente, supongamos que para cada sucesion (zn)n≥0 en Z con zn →z, la sucesion (f(zn))n≥0 converge en Y . Afirmamos que para cualquier par desucesiones (zn)n≥0 y (wn)n≥0 en Z con zn → z y wn → z, las sucesiones(f(zn))n≥0 y (f(wn))n≥0 tienen el mismo lımite en Y . Supongamos que esto noes ası; es decir, f(zn) → y1 y f(wn) → y2 con y1, y2 ∈ Y y y1 6= y2. Tomemos(xn)n≥0, con x2n = zn y x2n+1 = wn, obviamente esta es una sucesion en Z ytiene como lımite a z; sin embargo la sucesion (f(xn))n≥0 tiene dos subsucesionesconvergentes con distintos lımites; esto demuestra la afirmacion. Sea y ∈ Y ellımite de (f(zn))n≥0 cualquiera sea (zn)n≥0 en Z con zn → z. Supongamos quelımx→z

f(x) 6= y; esto es, existe ε > 0 tal que para todo δ > 0 existe zδ ∈ Z con

d(zδ, z) < δ y d′(f(zδ), y) ≥ ε. Esto permite construir una sucesion (zn)n≥0 enZ con zn → z y d′(f(zn), y) ≥ ε, lo cual contradice lo supuesto.


Teorema 3.4 (Extension de funciones continuas). Sean (X, d), (Y, d′) es-pacios metricos, Z ⊂ X y f : Z → Y continua. Si para cada z ∈ cl(Z) existe ellımite lım

x→zf(x), entonces f : cl(Z) → Y dada por f(z) = lım

x→zf(x) es la unica

funcion continua que extiende a f .

Demostracion: Dado que el lımite lımx→z

f(x) existe para cada z ∈ cl(Z) y f es

continua, entonces f esta bien definida; note que la continuidad de f tambienimplica que f es una extension de f ; es decir, f(z) = f(z) para cada z ∈ Z.Veamos la continuidad de f . Dados z ∈ cl(Z) y ε > 0 existe δ > 0 tal que six ∈ Z y d(x, z) < δ, entonces d′(f(x), f(z)) < ε

2 ; esto sigue de f(z) = lımx→z

f(x).

Afirmamos que si x ∈ cl(Z) y d(x, z) < δ, entonces d′(f(x), f(z)) < ε. Enefecto, sean x ∈ cl(Z) ∩ Bδ(z) y (zn)n≥0 en Z tal que zn → x. Sea N ≥ 0 talque d(zn, z) < δ para cada n ≥ N ; esto es posible en virtud del item (2) en elteorema 3.3. En consecuencia d′(f(zn), f(z)) < ε

2 para cada n ≥ N . Por otrolado, como f(x) = lım

nf(zn), existe N1 ≥ 0 tal que d′(f(zn), f(x)) < ε

2 para

todo n ≥ N1. Al tomar n0 = max{N,N1} y n ≥ n0 se tiene

d′(f(z), f(x)) ≤ d′(f(z), f(zn)) + d′(f(zn), f(x)) < ε,

de lo cual la continuidad de f sigue.La unicidad de f como extension continua de f a cl(Z) es consecuencia del

ejercicio propuesto numero 20a en la pagina 120, pues Z es denso en cl(Z).Dejamos los detalles al lector.

Es importante resaltar que no toda funcion continua puede extenderse a laclausura de su dominio, el clasico ejemplo f : (0,+∞)→ R con f(x) = sen

(1x

)da muestra de ello.

Cerraremos este apartado mostrando un interesante resultado que muestra,de cierta manera, la estructura topologica del conjunto de puntos de continuidadde una funcion entre espacios metricos.

Proposicion 3.13. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y f : X → Y unafuncion. El conjunto Cf = {x ∈ X : f es continua en x}, conjunto de puntosde continuidad de f , es un Gδ.

Demostracion: Recordemos que un conjunto en un espacio topologico es Gδsi, y solo si, es interseccion numerable de conjuntos abiertos.

Para cada entero n ≥ 1 consideremos el subconjunto Un de X definidocomo la union de todos los subconjuntos V de X tales que diam(f(V )) < 1

n .Obviamente Un es abierto en X; veamos que Cf =

⋂n≥1 Un, con lo cual la

demostracion estara completa.Supongamos que x ∈ Cf , de la definicion de continuidad se tiene que para

cada n ≥ 1 existe δn > 0 tal que si d(x, y) < δn, entonces d′(f(x), f(y)) < 13n .

Dado que Bδn(x) es abierto, f(Bδn(x)) ⊂ B 13n

(f(x)) y diam(B 12n

(f(x))) ≤ 23n ,

entonces x ∈ Un para cada n ≥ 1, y por tanto Cf ⊂⋂n≥1 Un.


Recıprocamente, supongamos que x pertenece a cada Un. Sean ε > 0 yn ≥ 1 entero tal que 1

n ≤ ε. Por definicion de Un existe V ⊂ X abierto deforma que x ∈ V y diam(f(V )) < 1

n ; en particular, para cada y ∈ V se tiened′(f(x), f(y)) < ε. Dado que V es abierto, existe δ > 0 tal que Bδ(x) ⊂ V , conlo cual x es un punto de continuidad de f y

⋂n≥1 Un ⊂ Cf .

3.2.2. Isometrıas

Una clase especial de funciones continuas entre espacios metricos la cons-tituye las isometrıas (funciones que preservan distancias), pues ellas producenuna particion en ciertas clases de equivalencias sobre la coleccion de todos losespacios metricos.

Definicion 3.11. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y f : X → Y unafuncion. Se dice que f es una inmersion isometrica si, y solo si, para todo x, yen X se cumple d′(f(x), f(y)) = d(x, y). Adicionalmente, f se llama isometrıasi, y solo si, es una inmersion isometrica biyectiva.

Si f es una inmersion isometrica del espacio metrico (X, d) en el espaciometrico (Y, d′), diremos que X esta isometricamente inmerso en Y . Dado quef preserva las distancias en X e Y , es lo que dice la identidad d′(f(x), f(y)) =d(x, y) para todo x, y ∈ X, entonces f es uniformemente continua e inyectiva.Esta ultima propiedad garantiza que existe f−1 : f(X) → X, la inversa de f .Ası, al considerar la restriccion de d′ a f(X) se tiene, para todo z, w ∈ f(X), qued′(z, w) = d(f−1(z), f−1(w)), pues f−1(y) = x si, y solo si, f(x) = y, con lo cualf−1 : f(X)→ X es una inmersion isometrica. Esto implica que toda inmersionisometrica es una isometrıa sobre su imagen, y la inversa de una isometrıa estambien una isometrıa. Ahora bien, dado que la composicion de dos isometrıas(resp. inmersiones isometricas) es una isometrıa (resp. inmersion isometrica),y obviamente la identidad es una isometrıa, entonces sobre la coleccion M detodos los espacios metricos, la relacion ' dada por (X, d) ' (Y, d′) si, y solosi, existe una isometrıa f de X en Y , es una relacion de equivalencia. Note quedos espacios metricos estan en una misma clase de equivalencia de ' siempreque entre ellos sea posible definir una isometrıa; tales espacios son denominadosisometricos. Ası pues los espacios metricos isometricos son indistinguibles desdeel punto de vista metrico.

La particion inducida por la relacion ' es muy rıgida; la razon de ello seevidencia, por ejemplo, en el siguiente hecho. Tomemos un espacio metrico (X, d)en el que diamd(X) > 1 (diametro deX en d), y sea e la metrica de la proposicion3.3. Entonces a pesar de (X, d) y (X, e) ser topologicamente equivalentes; estosespacios no son indistinguibles desde el punto de vista metrico; en particularporque diame(X) = 1 < diamd(X).

La nocion que relaja la rigidez establecida por las isometricas en la identifica-cion de espacios metricos, es el concepto de homeomorfismo. Dado que este es un


concepto de caracter exclusivamente topologico, antes que metrico, aplazaremossu estudio hasta el capıtulo 4.

Ejemplo 3.8. Con ayuda de la proposicion 3.8 podemos ver que cada espaciocoordenado del productoX×Y , (X, d), (Y, d′) espacios metricos, esta isometrica-mente inmerso en el espacio producto. Mas precisamente, consideremos a X×Ycon la metrica dmax generada por d y d′; fijemos cualquier y ∈ Y y consideremosla funcion jy : X → X×Y dada por jy(x) = (x, y) para cada x ∈ X. Obviamen-te jy es continua pues sus funciones coordenadas son continuas; ademas, paracada x, x′ ∈ X se cumple d(x, x′) = dmax(jy(x), jy(x′)). Note que si Y tiene masde un elemento, entonces jy no es sobreyectiva. De la misma forma se verificaque Y esta isometricamente inmerso en X × Y .

Ejemplo 3.9. Sean X un conjunto no vacıo cualquiera, (Y, d′) un espacio metri-co y f : X → Y cualquier funcion inyectiva. Para cada x, y ∈ X se defined(x, y) = d′(f(x), f(y)). Es simple chequear que d es una metrica en X quehace a f una inmersion isometrica; de hecho, d es la unica metrica en X parala cual f tiene esta propiedad.

Ejemplo 3.10. En Rn con la metrica inducida por cualquier norma ‖ ·‖ en Rn;fijemos a con ‖a‖ = 1 y definamos Ta : Rn → Rn por Ta(x) = x + a; es decir,Ta es la traslacion hacia a. Obviamente Ta es biyectiva, y como

‖Ta(x)− Ta(y)‖ = ‖(x+ a)− (y − a)‖ = ‖x− y‖,

entonces Ta es una isometrıa.

Ejemplo 3.11. Considere a R2 con la metrica euclidiana. Fijemos θ ∈ [0, 2π)y definamos f : R2 → R2 por

f(x, y) = (x cos θ + y sen θ, y cos θ − x sen θ).

Note que f es continua; ademas es lineal pues puede ser expresada como(x

y

)→(

cos θ sen θ− sen θ cos θ

)(x

y

).

Dado que el determinante de la matriz 2×2 de arriba es no nulo, de hecho iguala 1, f es biyectiva. Por un simple calculo, d((x, y), (z, w)) = d(f(x, y), f(z, w));ası que f es una isometrica.

La accion de f tiene una interpretacion geometrica interesante: dado cual-quier vector (x, y), f(x, y) es la rotacion antihoraria en angulo θ de (x, y). Porotra parte, esta funcion tiene su analoga en C, dotado de la metrica usual, dela siguiente manera: sea wθ = cos θ + i sen θ ∈ C fijo, para cada z = x+ iy ∈ Cse define f(z) = wθz.

Vimos que a partir de una norma en un espacio vectorial se dota a ese mismoconjunto de una metrica, la inducida por la norma. Esto da la impresion que el


mundo de los espacios metricos es mayor que el mundo de los espacios normados;en cierta forma esto no es cierto, pues todo espacio metrico puede ser inmersoisometricamente en un espacio normado. Antes de ofrecer una demostracionde esta afirmacion es conveniente recordar que para cualquier espacio normado(V, ‖·‖) y cualquier A 6= ∅, el conjunto Fb(A, V ) de todas las funciones acotadasde A en V es un espacio normado; siendo ‖f‖sup = sup{‖f(a)‖ : a ∈ A}(f ∈ Fb(A, V )) define tal norma, mientras que dsup(f, g) = ‖f − g‖sup definela metrica inducida por ‖ · ‖sup; ver ejercicio propuesto numero 16 en la pagina102.

Teorema 3.5. Todo espacio metrico (X, d) esta isometricamente inmerso enel espacio normado Fb(X,R).

Demostracion: Primero fijemos x0 ∈ X. Entonces para cada x ∈ X definimosla funcion δx : X → R por δx(y) = d(x, y) − d(y, x0), cualquiera sea y ∈ X.Veamos que δx ∈ Fb(X,R); esto es, δx es una funcion acotada. Dado que paracada y ∈ X valen d(x, y) ≤ d(x, x0) + d(x0, y) y d(x0, y) ≤ d(x0, y) + d(y, x),entonces |d(x, y)− d(y, x0)| ≤ d(x, x0) para todo y ∈ X; es decir, δx es acotadapues sup{|δx(y)| : y ∈ X} ≤ d(x, x0) <∞.

Mostremos ahora que ϕ : X → Fb(X,R) definida, para cada x ∈ X, porϕ(x) = δx es una inmersion isometrica: d(x, y) = ‖ϕ(x) − ϕ(y)‖sup para cadax, y ∈ X. Observe que ‖ϕ(x)−ϕ(y)‖sup = sup{|δx(z)− δy(z)| : z ∈ X}, y como

|δx(z)− δy(z)| = |(d(x, z)− d(x0, z))− (d(y, z)− d(x0, z))|= |d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y),

entonces ‖ϕ(x)− ϕ(y)‖sup ≤ d(x, y). Por otra parte, es claro que

‖ϕ(x)− ϕ(y)‖sup ≥ |δx(z)− δy(z)| para todo z ∈ X;

ası que al tomar z = y, sigue que ‖ϕ(x) − ϕ(y)‖sup ≥ d(x, y); con lo cual lademostracion del teorema esta completa.


En los ejercicios a continuacion, salvo excepciones mencionadas, el conjuntoRn (n ≥ 1) es dotado con la metrica usual.

1. Sea b·c : R→ R la funcion parte entera, la cual es definida para cada x ∈ Rpor bxc = max{n ∈ Z : n ≤ x}. ¿Cuales son los puntos de continuidad deesta funcion?

2. Si X es dotado con la metrica discreta, demostrar que cualquier funcionf : X → Y , Y espacio metrico, es continua.

3. Demostrar que toda funcion f entre los espacios metricos X e Y es continuaen los puntos aislados de X.


4. Considere las funciones f : (0,+∞) → R, g : R → R y h : R \ {0} → Rdefinidas por

f(x) = sen(

1x

), g(x) =

{x sen

(1x

), si x 6= 0

0, si x = 0y h(x) =

1x

senx.

a) Demostrar que cada una de ellas es continua en sus dominios. ¿Es algunauniformemente continua?

b) ¿Existen funciones continuas f : [0,+∞) → R y h : R → R tales quef = f en (0,+∞) y h = h en R \ {0}?

c) Demuestre que en R2 el conjunto A = {(0, y) : |y| ≤ 1} esta contenido enla clausura del grafico de f .

5. Sean (X, d) un espacio metrico, R con la norma dada por la funcion valorabsoluto α → |α|, α ∈ R, y C(X,R) el espacio de funciones continuas deX en R. Si f, g, h ∈ C(X,R) y h(x) 6= 0 para todo x ∈ X, demostrar quetambien son continuas las funciones:

(a) |f |, con |f |(x) = |f(x)|, x ∈ X,

(b) f · g, (f · g)(x) = f(x)g(x), x ∈ X,

(c) fh , ( fh )(x) = f(x)

h(x) , x ∈ X,

(d) max(f, g), max(f, g)(x) =(f + g)(x) + |f − g|(x)

2, x ∈ X, y

(e) mın(f, g), mın(f, g)(x) =(f + g)(x)− |f − g|(x)

2, x ∈ X.

¿Ocurre lo mismo si cambiamos R por C, y el valor absoluto por el modulode numeros complejos?

6. En el ejercicio propuesto numero 7 de la seccion anterior dotamos al espa-cio vectorial Mn×m(R) (cualesquiera sean los enteros positivos n y m) deuna estructura normada, por tanto metrica. Demostrar que cada una de lassiguientes funciones son continuas:

(a) Funcion traza. tra : Mn×n(R)→ R, donde tra(A) =∑ni=1 aii siempre

que A = (aij)ni,j=1.

(b) Funcion traspuesta. t : Mn×m(R) → Mm×n(R), donde t(A) = At, yAt denota la matriz traspuesta de A.

(c) Funcion determinante. det : Mn×n(R) → R, la cual asigna a cadamatriz A su determinante det(A). Deducir que el conjunto GL(n), detodas las matrices invertibles de orden n, es abierto en Mn×n(R).

Recordatorio. Es bien conocido que si Sn representa el conjunto de todaslas permutaciones de {1, · · · , n} (funciones biyectivas de {1, · · · , n} en


{1, · · · , n}), entonces para cualquier matriz A = (aij)ni,j=1, su determi-nante es dado por det(A) =

∑σ∈Sn sgn(σ)a1σ(1) · · · anσ(n), donde sgn(σ)

es el signo de la permutacion σ.

Nota. Un lector acucioso seguramente se preguntara sobre la continuidad dela inversion de matrices; ver ejercicio propuesto numero 17 de la seccion 3.3.

7. Sean (X, d) espacio metrico, A y B subconjuntos cerrados no vacıos y dis-juntos de X. Encontrar una funcion continua f : X → R tal que f(A) = 0 yf(B) = 1.Sugerencia: Recuerde que la funcion x→ d(x,A) es continua.

8. Sean (X1, d1), · · · , (Xn, dn) espacios metricos y∏ni=1Xi dotado con la metri-

ca del maximo generada por d1, · · · , dn. Para cada j = 1, · · · , n, la j-esimaproyeccion es la funcion πj :

∏ni=1Xi → Xj dada por πj(x1, · · · , xn) = xj .

a) Demostrar que cada πj es uniformemente continua. ¿Continuan siendolosi se cambia dmax por la metrica de Manhattan d1, o la metrica euclidianagenerada por d1, · · · , dn?

b) Sea d cualquier metrica en∏ni=1Xi tal que todas las proyecciones son

continuas. Demostrar que cada abierta en la topologıa metrica inducidapor d es tambien un conjunto abierto en la topologıa producto, que latopologıa metrica inducida por cualquiera de las metricas mencionadasen el item anterior.

c) Sean (X, d) es un espacio metrico y f : X →∏ni=1Xi una funcion. De-

mostrar que f es continua si, y solo si, para cada j = 1, · · · , n la funcionπj ◦ f es continua.

d) Considere a la esfera unitaria 1-dimensional S1 = {(x, y) : x2 + y2 = 1}con un subespacio de R2. Es bien conocido de la Trigonometrıa que paracada (x, y) ∈ S1, el coseno (resp. seno) del angulo θ, medido en sentidoantihorario desde (1, 0) a (x, y) es el valor x (resp. y). Deducir que lasfunciones θ → cos θ y θ → sen θ son continuas de R en [−1, 1].

9. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos. Una funcion f : X → Y se dice local-mente lipschitziana si, y solo si, para cada x ∈ X existe r > 0 tal que frestricta a Br(x) es lipschitziana.

a) Demostrar que toda funcion localmente lipschitziana es continua. ¿Es uni-formemente continua?

b) Demostrar que son continuas f : R→ R y g : R \ {0} → R con:

f(x) =m∑n=0

anxn y g(x) =

m∑n=0

anx−n,

donde a0, · · · , am son contantes reales.


Figura 3.8: Valores de las funciones coseno y seno en el angulo θ medido

antihorariamente.

c) Diserte acerca de la continuidad de funciones con valores en R y polino-miales en varias variables.

10. Sea f : I → R una funcion diferenciable, I un intervalo no trivial. Demostrarque f es lipschitziana si, y solo si, la funcion derivada f ′ es acotada. ¿Eslipschitziana la funcion f : [0, 1]→ R dada por f(x) =

√1− x2?

11. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos. Demostrar que son equivalentes:

a) f : X → Y es continua.

b) f−1(V ) es abierto en X, para todo abierto V en Y .

c) f−1(U) es cerrado en X, para todo cerrado U en Y .

12. Sean I = [a, b] con a < b y f : I → R una funcion continua. Demostrar:

a) Teorema del valor intermedio. Para todo f(a) ≤ y ≤ f(b), o f(b) ≤y ≤ f(a), existe x ∈ I tal que f(x) = y.

b) f es acotada.Sugerencia: Sean A = {x ∈ I : f |[a,x] es acotada} y α = supA; demuestre que

α ∈ A y concluya que A = I

c) Existen x0, x1 ∈ I tales que f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) para todo x ∈ I.

d) Si f(I) ⊂ I, entonces existe x ∈ I tal que f(x) = x.

13. Sea f : I → R una funcion continua, I es un intervalo. Demostrar que f(I)es un intervalo.

14. Sean I, J intervalos no triviales en R y f : I → J una funcion biyectiva yestrictamente monotona. Demostrar que f es continua.

15. Sea f : R → R una funcion continua y biyectiva, demostrar que f es estric-tamente monotona.


16. Demostrar que si f : (a, b)→ R es monotona y acotada, entonces existen loslımites lım

x→af(x) y lım

x→bf(x).

17. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos, A ⊂ X y f una funcion de A en Y .Demostrar que si existe el lımite lım

x→af(x), a ∈ cl(A), entonces lım

x→af(x) ∈

cl(f(A)).

18. Sean (X, d), (Y, d′), (Z, d′′) espacios metricos, f : X → Y y g : Y → Z

funciones. Demostrar que si f y g son uniformemente continuas (resp. lips-chitzianas), entonces tambien lo es g ◦ f

19. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y f : X → Y continua. Demostrar qued?(x, y) = d(x, y)+d′(f(x), f(y)) define una metrica equivalente a d que hacea f uniformemente continua.

20. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y f, g : X → Y funciones continuas.

a) Demostrar que {x ∈ X : f(x) = g(x)} es cerrado. Deducir que si f y g

coinciden en un subconjunto denso, entonces f = g.

b) Haciendo X = Y = R, encontrar un ejemplo de una funcion f : R → Rque sea discontinua en cada punto y un subconjunto A de R tal que lasrestricciones de f a A y R \A sean continuas. Adicionalmente, encuentreg : R→ R tal que g ◦ f sea continua.

c) Sea x ∈ X tal que f(x) 6= g(x). Demostrar que existe una bola abierta Bcentrada en x tal que f(y) 6= g(y) para cada y ∈ B. ¿Es posible que enuna tal bola se tenga f(B) ∩ g(B) = ∅?

d) Suponga que Y es R.

(1) Si f(x) > 0 para algun x ∈ X, entonces existe una bola abierta B decentro x tal que f(y) > 0 para todo y ∈ B.

(2) Si f(x) > g(x) para algun x ∈ X, entonces existe una bola abierta Bde centro x tal que f(y) > g(z) para todo y, z ∈ B.

(3) Deducir que si A es un cerrado no vacıo en X y x /∈ A, entonces existeuna bola cerrada B de centro x tal que A ∩B = ∅.

21. Sean X un conjunto no vacıo cualquiera y (Y, d) un espacio metrico. Dadasuna funcion f : X → Y y una sucesion (fn)n≥0 de funciones de X en Y , sedice que:

(i) (fn)n≥0 converge puntualmente a f si, y solo si, para cada x ∈ X

(fn(x))n≥0 converge a f(x).

(ii) (fn)n≥0 converge uniformemente a f si, y solo si, para cada ε > 0 existen0 ≥ 0 tal que, para todo x ∈ X y n ≥ n0, d(fn(x), f(x)) < ε.

a) Demostrar que si (fn)n≥0 converge uniformemente a f , entonces tambienlo hace puntualmente.


b) Demostrar que si (fn)n≥0 converge uniformemente a f y cada fn es con-tinua, entonces f tambien lo es.

c) Construya ejemplos de funciones fn y f definidas en [0, 1] con valores enR tales que: cada fn es continua, (fn)n≥0 converge puntualmente a f ,pero f no es continua.

22. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y (fn)n≥0 una sucesion de funciones deX en Y tales que cada una de ellas es continua en a ∈ X. Si (fn)n≥0 convergepuntualmente a una funcion f : X → Y , demostrar que f es continua en a si,y solo si, para cada ε > 0 existen δ > 0 y N ≥ 0 tales que d′(fn(x), f(x)) < ε,siempre que d(x, a) < δ.

23. Sea X = C[0, 1] el conjunto de todas las funciones continuas de [0, 1] en R,por tanto acotadas, con la metrica dsup(f, g) = sup{|f(x)−g(x)| : x ∈ [0, 1]}.

a) ¿Es la convergencia en dsup la convergencia uniforme de funciones conti-nuas definida arriba?

b) Sea f : R → R una funcion lipschitziana y acotada. Para cada a ∈ R ycada funcion x ∈ X se define ϕa(x) : [0, 1]→ R por

ϕa(x)(t) = a+∫ t

0

f(x(s))ds, t ∈ [0, 1].

c) Verificar que ϕa(x) ∈ X para cada x ∈ X; por lo que ϕa : X → X.Demostrar que ϕa es lipschitziana.

d) Sean (xn)n≥0 en X y (an)n≥0 en [0, 1] tales que ϕan(xn) = xn, xn → x yan → a. Demostrar que x = ϕa(x).

24. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos. Una funcion f : X → Y se dice holde-riana, o que satisface una condicion de Holder, si, y solo si, existen constantes` > 0 y α > 0 tales que, d′(f(x), f(y)) ≤ `d(x, y)α para todo x, y ∈ X.

a) Demostrar que todo funcion holderiana es continua.

b) Si f : I → R, I un intervalo, satisface una condicion de Holder conexponente α > 1, entonces f es constante.

c) Sea n un entero positivo. Demostrar que f : [0,+∞) → [0,+∞) dadapor f(x) = x

1n es holderiana con exponente α = 1

n . ¿Es f lipschitzianalocalmente en x = 0?

25. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos, f : X → Y continua y B ⊂ Y . Demos-trar que si A = {x ∈ X : d′(f(x), Y \B) > 0}, entonces d(x,X \A) > 0 paracada x ∈ A.

26. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y C una familia finita de subconjuntosde X tales que: X =

⋃A∈C A, para cada A,B ∈ C distintos vale d(A,B) > 0,

y f |A es uniformemente continua para todo A ∈ C. Demostrar que f esuniformemente continua.


27. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y C una familia de subconjuntos de Xtales que: X =

⋃A∈C A, para cada A ∈ C vale A ∩ cl

(⋃B∈C\{A}B

)= ∅, y

f |A es continua para todo A ∈ C. Demostrar que f es continua.

28. SeaM la coleccion de todos los espacios metricos. EnM se define la relacion:(X, d) ∼ (Y, d′) si, y solo si, (X, d) e (Y, d′) son isometricos. Demostrar que∼ es una relacion de equivalencia.

29. Sean (X, d) un espacio metrico, Y un conjunto y f : Y → X una funcionbiyectiva. Demostrar que Y puede dotarse de una metrica de manera que seaisometrico a X.

30. Sean (V, ‖ · ‖1), (W, ‖ · ‖2) espacios vectoriales reales normados y L : V →W

lineal; es decir, para cada u, v ∈ V y α ∈ R vale L(u+ αv) = L(u) + αL(v).Se dice que L es acotada si, y solo si, existe c > 0 tal que ‖L(u)‖2 ≤ c‖u‖1para todo u ∈ V . Note que este concepto no es el mismo de acotacion defunciones entre dos espacios metricos. Sea L(V,W ) el conjunto de todas lastransformaciones lineales y continuas de V en W . Con las operaciones usualesde adicion de funciones y de multiplicacion por escalares reales, L(V,W ) esun espacio vectorial real.

(a) Demostrar que son equivalentes:

1) L es continua en el vector nulo 0V de V .

2) L es continua.

3) L es acotada.

4) Existe una constante c > 0 tal que ‖L(u)‖2 ≤ c para todo u ∈ V con‖u‖1 ≤ 1.

(b) Para cada L ∈ L(V,W ) se define ‖L‖ = sup{‖L(u)‖2‖u‖1 : u 6= 0v

}. Demos-

trar que ‖ · ‖ define una norma en L(V,W ). De hecho muestre que

‖L‖ = sup‖u‖1≤1

‖L(u)‖2 = sup‖u‖1=1

‖L(u)‖2

= ınf{c > 0 : ‖L(u)‖2 ≤ c‖u‖1, ∀u ∈ V }

(c) Construya un ejemplo de dos espacios vectoriales normados (V, ‖ · ‖1) y(W, ‖ · ‖2), y una transformacion lineal L : V →W que no sea continua.

31. Es bien conocido que toda matriz A ∈ Mn×m(R) puede interpretarse comola transformacion lineal A : Rm → Rn que a cada x ∈ Rm le asigna el vectorAx ∈ Rn. Demostrar que esta transformacion lineal es continua; tome en Rm

y Rn las normas euclidianas.


3.3. Completitud de espacios metricos

Cerramos este capıtulo presentando un concepto de relavante impacto tantoen varias areas de la Matematica como en otras ciencias. Nos referimos a losespacios metricos completos; mostraremos algunos ejemplos y propiedades clasi-cas de este tipo de espacios metricos, tambien abordaremos un clasico resultadodebido al matematico frances Rene Baire (1874-1932), por ende conocido comoTeorema de Categorıa de Baire, del cual se obtuvieron profundos resultadosdel Analisis Funcional. Finalmente estudiaremos la completacion de los espaciosmetricos, que no es otra cosa que sumergir isometricamente cualquier espaciometrico en otro que es completo.

3.3.1. Espacios metricos completos: definicion y ejemplos

Es bien conocido que las principales propiedades de los espacios metricos hanprovenido de muchas de las propiedades de funciones de variable real. AugustinCauchy (1789-1857) en su formalizacion de la rigurosidad de la convergencia deseries partio de un principio que, segun es registrado por los historiadores de laMatematica, parecıa obvio para el. Mas precisamente, una sucesion de numerosreales (xn)n≥0 converge si, y solo si, satisface el principio que |xn+p − xn| seaarbitrariamente pequeno para n suficientemente grande.

Bernard Bolzano (1781-1848) fue sin duda uno de los que establecio explıci-tamente ese principio, demas esta decir que reconocio la paternidad del mismoal denominar sucesiones de Cauchy a toda sucesion de numeros reales que cum-plan tal propiedad. Posteriormente, de los trabajos de M. Frechet, F. Hausdorffy Andre Weyl (1906-1998), esa nocion se coloco en el contexto de los espaciosmetricos, y mas generalmente en espacios uniformes. En particular, Hausdorff ensu celebre obra Mengenlehre mostro que todo espacio metrico es parte isometri-ca de otro en el que toda sucesion de Cauchy es convergente; justamente este esel tipo de espacios metricos que a continuacion iniciamos su estudio.

Definicion 3.12. Dado cualquier espacio metrico (X, d), se dice que una su-cesion (xn)n≥0 en X es una sucesion de Cauchy si, y solo si, para cada ε > 0existe n0 ≥ 0 tal que d(xn, xm) < ε, siempre que n,m ≥ n0.

Comentario 3.4.

(1) Un hecho relevante, aunque simple de verificar, es cualquier sucesion con-vergente (xn)n≥0 en un espacio metrico (X, d) es de Cauchy. En efecto,supongamos que xn → x; para ε > 0 dado, sea n0 ≥ 0 tal que d(xn, x) < ε

2

para todo n ≥ n0. Dado que de la desigualdad triangular:

d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(xm, x),

entonces para todo n,m ≥ n0 sigue que d(xn, xm) < ε.

124 3.3. Completitud de espacios metricos

(2) Tambien es importante resaltar que no toda sucesion de Cauchy es con-vergente. Tomemos R con la metrica usual y Q el conjunto de numerosracionales. En vista que Q es denso en R, para el numero irracional π existeuna sucesion (xn)n≥0 en Q tal que xn → π, por lo que ella es de Cauchy,pero no es convergente en el espacio metrico Q con la metrica usual restrictaa Q. Similarmente ocurre con la sucesion ( 1

n )n≥1 en el subespacio (0, 1) deR con la metrica usual.

La siguiente proposicion muestra propiedades adicionales de las sucesionesde Cauchy. Antes recordemos que un subconjunto en un espacio metrico (X, d)es acotado si, y solo si, su diametro es finito. Por tanto, una sucesion (xn)n≥0

en (X, d) se dice acotada si, y solo si, existe M > 0 tal que d(xn, xm) ≤M paratodo n,m ≥ 0.

Observe que si X es un espacio vectorial y d es la metrica en X proviente deuna norma ‖ · ‖ en X, entonces es simple mostrar que una sucesion (xn)n≥0 en(X, d) es acotada si, y solo si, existe L > 0 tal que ‖xn‖ ≤ L para todo n ≥ 0.

Proposicion 3.14. En cualquier espacio metrico (X, d) valen:

(1) Toda sucesion de Cauchy (xn)n≥0 es acotada.

(2) Si (xn)n≥0 es una sucesion de Cauchy y (xnk)k≥0 es una subsucesion con-vergente, entonces la sucesion (xn)n≥0 tambien lo es; de hecho, converge almismo lımite de la subsucesion.

(3) Sea (Y, d′) es un espacio metrico. Si f : X → Y es uniformemente continua,entonces f transforma todo sucesion de Cauchy en X en una sucesion deCauchy en Y .

(4) Si X =∏ki=1Xi y d = dmax, la metrica del maximo inducida por las

metricas d1, · · · , dk de X1, · · · , Xk respectivamente, entonces una sucesion(zn)n≥0 en X, con zn = (x1

n, · · · , xkn) para cada n ≥ 0, es de Cauchy si, ysolo si, para cada 1 ≤ i ≤ k la sucesion (xin)n≥0 es de Cauchy en Xi.

Demostracion: La demostracion del primer item se deja al lector; ver ejerciciopropuesto numero 1 de esta seccion.

Sean (xn)n≥0 una sucesion de Cauchy en X, (xnk)k≥0 una subsucesion yx ∈ X tal que x ∈ X tal que xnk → x. Dado ε > 0, existen k0, n0 ≥ 0 de formaque para todo k ≥ k0 y n,m ≥ n0 se tienen d(xnk , x) < ε

2 y d(xn, xm) < ε2 . Como

d(xn, x) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk , x), al tomar N = max{k0, n0} y k, n ≥ N siguede la desigualdad anterior que d(xn, x) < ε; con lo cual (2) esta demostrado.

Sean f : X → Y uniformemente continua y (xn)n≥0 una sucesion de Cauchyen X. Tomemos cualquier ε > 0; sea δ > 0 tal que si d(x, y) < δ, entoncesd′(f(x), f(y)) < ε. Para tal δ > 0 existe n0 ≥ 0 de forma que d(xn, xm) < δ

siempre que n,m ≥ n0. Sigue por tanto que d′(f(xn), f(xm)) < ε para todon,m ≥ n0; ası la sucesion (f(xn))n≥0 es de Cauchy, y (3) sigue.


La demostracion de (4) es muy simple: es consecuencia directa la misma defi-nicion de la metrica dmax ya que dmax(zn, zm) = max{di(xin, xim) : i = 1, · · · , k}.Sin embargo, consideramos instructivo hacer notar que el item (4) sigue del he-cho que las proyecciones πi, i = 1, · · · , k, son uniformemente continuas; verejercicio propuesto numero 8 en la pagina 118.

Observacion 3.2.• No toda sucesion acotada es de Cauchy, por ejemplo en R con la metrica usualtenemos que (xn)n≥0, con xn = 0 si n es par y xn = 1 si es impar, es acotada yno es de Cauchy pues: d(xn, xm) ≤ 1 para todo n,m ≥ 0, y d(xn, xn+1) = 1.

• Observe que del segundo item de la proposicion anterior sigue que: si unasucesion admite subsucesiones convergentes con lımites diferentes, entonces noes Cauchy.

• Con la condicion exclusiva de continuidad una funcion puede que no transformesucesiones de Cauchy en sucesiones, tal es el ejemplo de la funcion f : (0, 1]→ Rdada por f(x) = 1

x , que es continua y no transforma la sucesion de Cauchy(xn)n≥1, con xn = 1

n para cada n ≥ 1, en una sucesion de Cauchy.

• El recıproco del item (3) no es cierto en general; es decir, existen funciones quetransforman sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy y no son uniforme-mente continuas. Consideremos la funcion de R en R dada por f(x) = x2; estano es uniformemente continua; sin embargo, si (xn)n≥0 es de Cauchy, entonces(x2n)n≥0 tambien lo es.

Pasemos al objeto central de esta seccion: los espacios metricos completos.

Definicion 3.13. Un espacio metrico se dice completo si, y solo si, toda sucesionde Cauchy es convergente. Un espacio normado se denomina espacio de Banachsi, y solo si, es completo con la metrica inducida por la norma del espacio.

Ejemplo 3.12.

1. El ejemplo trivial de espacio metrico completo es todo conjunto no vacıocon la metrica discreta. Es facil verificar que toda sucesion de Cauchy enestos espacios es necesariamente una sucesion constante, consecuentementeconvergente.

2. Si (X, d) es un espacio metrico completo, entonces cualquier espacio isometri-co a X tambien es completo. Supongamos que (Y, d′) es isometrico a X; seanf : X → Y una isometrıa y (yn)n≥0 una sucesion de Cauchy en Y . Consi-deremos la sucesion (xn)n≥0 en X dada por f(xn) = yn para cada n ≥ 0.Dado que d(xn, xm) = d′(yn, ym), entonces (xn)n≥0 es de Cauchy en X; porcompletitud, sea x ∈ X tal que xn → x. Por la continuidad de f sigue quef(xn) = yn → f(x); ası Y es completo.


3. Sean (Xi, di) un espacio metrico completo, i = 1, · · · , k, y X =∏ki=1Xi dota-

do con d = dmax, la metrica del maximo inducida por las metricas d1, · · · , dkde X1, · · · , Xk respectivamente. Si cada Xi es completo, entonces X tambienlo es. En efecto, supongamos que (zn)n≥0 en X, con zn = (x1

n, · · · , xkn) paracada n ≥ 0, es de Cauchy; por el item (4) de la proposicion 3.14, la sucesion(xin)n≥0 es de Cauchy en Xi para cada 1 ≤ i ≤ k. Sean αi ∈ Xi tal quexin → αi, para cada i = 1, · · · , k, y z = (α1, · · · , αk). Sean ε > 0 y ni0 ≥ 0 talque, para cada i = 1, · · · , k, di(xin, αi) < ε para todo n ≥ ni0. Al tomar n0 =max{n1

0, · · · , nk0}, dado que dmax(zn, z) = max{di(xin, αi) : i = 1, · · · , k} < ε

para todo n ≥ n0, entonces zn → z.

No siempre es simple demostrar que algun espacio metrico en particularsea completo, mucha veces se requiere un trabajo adicional para verificar estapropiedad. A continuacion emprendemos el trabajo para demostrar que Rk esun espacio metrico completo para todo k ≥ 1.

Definicion 3.14. Dada cualquier sucesion de numeros reales (xn)n≥0, un puntoxn0 en (xn)n≥0 se denomina valle de la sucesion si, y solo si, xn0 ≤ xn paratodo n ≥ n0. Adicionalmente, se dice que la sucesion (xn)n≥0 es:

(a) creciente (resp. estrictamente creciente) si, y solo si, para cada n ≥ 0,xn ≤ xn+1 (resp. xn < xn+1);

(b) decreciente (resp. estrictamente decreciente) si, y solo si, para cada n ≥ 0,xn ≥ xn+1 (resp. xn > xn+1);

En cualquiera de los casos, la sucesion (xn)n≥0 se denomina monotona (resp.estrictamente monotona).

Lema 3.3. Toda sucesion (xn)n≥0 de numeros reales tiene una subsucesionmonotona.

Demostracion: Para cualquier sucesion (xn)n≥0 de numeros reales es claroque ocurre solo una de las siguientes propiedades: (xn)n≥0 tiene infinitos valles,o un numero finito de ellos, incluyendo el caso en que no exista ninguno.

Si (xn)n≥0 infinitos valles: xn0 , xn1 , · · · con n0 < n1 < · · · , entonces lasubsucesion (xnk)k≥0 es creciente.

Supongamos ahora que (xn)n≥0 tiene un numero finito de valles. Sean N ≥ 0el mayor entero tal que xN es un valle, y n0 > N . Dado que xn0 no es un valle,existe n1 > n0 tal que xn1 < xn0 . Repitiendo recursivamente este argumentose construye una subsucesion (xnk)k≥0 que es estrictamente decreciente. De lamisma forma se construye una subsucesion estrictamente decreciente si (xn)n≥0

no tiene valles. Esto completa la demostracion del lema.

Lema 3.4. Si (xn)n≥0 es una sucesion monotona de numeros reales, entonces(xn)n≥0 converge si, y solo si, es acotada.


Demostracion: Si la sucesion (xn)n≥0 es convergente, entonces es de Cauchy,y por lo tanto es acotada.

Supongamos ahora que la sucesion es acotada y decreciente. La acotacionde la sucesion implica que existe α ∈ R tal que α = ınf{xn : n ≥ 0}; es decir,α ≤ xn para todo n ≥ 0, y para todo ε > 0 existe nε ≥ 0 tal que xnε < α + ε.Dado que α ≤ xn para todo n ≥ 0, entonces para cada n ≥ nε se tiene

|xn − α| = xn − α ≤ xnε − α < ε,

por lo que xn → α.El caso en que (xn)n≥0 es acotada y creciente se trata de forma analoga, de

hecho se muestra que xn → sup{xn : n ≥ 0}.

El siguiente resultado es todo un clasico de los cursos estandares de AnalisisMatematico; el mismo sera empleado para demostrar la completido de Rk.

Teorema 3.6 (Bolzano-Weierstrass). En Rk, k ≥ 1, toda sucesion acotadatiene una subsucesion convergente.

Demostracion: De los dos lemas anteriores la demostracion sigue trivialemen-te en el caso k = 1.

Supongamos entonces que k ≥ 2. Sea (zn)n≥0 una sucesion acotada en Rk,donde zn = (x1

n, · · · , xkn) para cada n ≥ 0. En virtud de estar considerandola topologıa euclidiana en Rk, es indiferente emplear cualquier metrica que lainduzca. En cualquier caso, es obvio que la acotacion de (zn)n≥0 implica la aco-tacion de la sucesion de numeros reales (xin)n≥0, 1 ≤ i ≤ k. En particular lasucesion (x1

n)n≥0 tiene una subsucesion (x1nj )j≥0 que converge, digamos a x1.

Por otro lado, como (x2nj )j≥0 es acotada, esta tiene una subsucesion convergen-

te (x2nj`

)`≥0, digamos que lo hace a x2. Procediendo de esta manera en cadacoordenada, y dado que subsucesiones de sucesiones convergentes tambien loson, podemos escoger enteros no negativos m0 < m1 < · · · tales que (ximj )j≥0

converge a xi para cada 1 ≤ i ≤ k. De lo cual se deduce de forma muy simpleque la subsucesion (zmj )j≥0 de (zn)n≥0 converge a (x1, · · · , xk).

Teorema 3.7. Rk con la topologıa euclidiana es un espacio metrico completo.

Demostracion: Sea (zn)n≥0 una sucesion de Cauchy en Rk; dado que estasucesion es acotada, el teorema de Bolzano-Weierstrass implica que ella tieneuna subsucesion convergente, de esta propiedad y el item (2) de la proposicion3.14 sigue que la sucesion (zn)n≥0 es convergente.

Ejemplo 3.13 (Completitud de CkCkCk).Consideremos en C la metrica euclidiana; es decir, la metrica definida por

d(z, w) = |z − w|, donde |z| =√x2 + y2 siempre que z = x + iy. Dado que la

funcion f : R2 → C dada por f(x, y) = x + iy, para cada (x, y) ∈ R2, es unaisometrıa cuando R2 tiene la metrica euclidiana, entonces C es completo. Esto


implica que Ck, k ≥ 2, es tambien completo con las metricas del maximo (3.3),de Manhattan (3.4) y euclidiana (3.5) inducidas por la metrica de arriba en C.Note que las topologıas metricas inducidas por estas tres metricas son identicasa la topologıa producto de Ck generada por la metrica euclidiana en C; poranalogıa con Rk, denominamos esta topologıa producto la topologıa euclidianade Ck, e igualmente estas metricas en Ck son inducidas, respectivamente, porlas siguientes normas en Ck como espacio vectorial complejo:

• norma del maximo: ‖(z1, · · · , zk)‖max = max{|zi| : 1 ≤ i ≤ k}.

• norma de Manhattan: ‖(z1, · · · , zk)‖1 =k∑i=1

|zi|2

• norma euclidiana: ‖(z1, · · · , zk)‖ =√|z1|2 + · · ·+ |zk|2.

Ejemplo 3.14 (Completitud de espacios finito dimensionales).Con el auxilio la completitud de Kk, K = R, o C, mostraremos que todo

espacio vectorial sobre K de dimension finita es completo con la metrica inducidapor cualquier norma en V . Antes de proceder a demostrar este hecho es necesariomostrar que todo espacio vectorial sobre K de dimension finita puede dotarse deuna norma. Sean V un espacio vectorial sobre K y {v1, · · · , vk} una base de V .Dado que para cualquier vector v ∈ V existen unicos escalares α1, · · · , αk ∈ Ktales que v =

∑ki=1 α

ivi, se define ‖v‖0 = max{|αi| : 1 ≤ i ≤ k}. No es difıcilmostrar que la funcion ‖·‖0 ası definida es una norma en V . Note la similitud de‖·‖0 con la norma del maximo en Kk; ademas, si consideramos en Kk la metricadmax y en V la metrica d0 inducida por ‖ · ‖0, d0(u, v) = ‖u− v‖0 para u, v ∈ V ,entonces la funcion f : Kk → V definida por f(α1, · · · , αk) =

∑ki=1 α

ivi esun isomorfismo lineal isometrico: ‖f(α1, · · · , αk)‖0 = ‖(α1, · · · , αk)‖max. Estoimplica que (V, ‖ · ‖0) es completo.

Veamos ahora que para cualquier otra norma ‖·‖ en V , (V, ‖·‖) es completo;para ello bastara demostrar que las normas ‖ · ‖0 y ‖ · ‖ son equivalentes, verejercicio propuesto numero 6 en la pagina 99. Supongamos que ‖ · ‖ es cualquiernorma en V ; sea L = max{‖vi‖ : 1 ≤ i ≤ k}, entonces se cumple

‖v‖ ≤ L‖v‖0, para todo v ∈ V ; (3.16)

observe que esta desigualdad implica la continuidad de la aplicacion identidadi : (V, ‖ · ‖0)→ (V, ‖ · ‖). Sea S la esfera de centro 0V (vector nulo de V ) y radio1 en la norma ‖ · ‖0; esto es, S = {v ∈ V : ‖v‖0 = 1}. Entonces debe existirr > 0 tal que Br = {v ∈ V : ‖v‖ < r} es disjunto de S. De no ocurrir esto, existeuna sucesion (vn)n≥0 en V tal que ‖vn‖ → 0 y ‖vn‖0 = 1 para todo n ≥ 0. Porser esta sucesion acotada y (V, ‖ · ‖0) isometrico a Kk, existe una subsucesion(usamos los mismos ındices por comodidad) que converge, en la norma ‖ · ‖0,a un vector v ∈ S pues S es cerrado. Pero por (3.16), ‖vn − v‖ → 0; lo cuales una contradiccion ya que ‖vn‖ → 0 y v 6= 0V . Ası pues, sea r > 0 tal que


Br∩S = ∅. Afirmamos que Br ⊂ {v ∈ V : ‖v‖0 < 1}. En efecto, si esta inclusionno es verdadera, existe w ∈ V con ‖w‖ < r tal que ‖w‖0 > 1. Ahora bien, paracada t ∈ [0, 1] el vector wt = tw pertenece a Br pues ‖wt‖ = t‖w‖ < r; luego altomar t′ = 1

‖w‖0 sigue que wt′ ∈ Br y ‖wt′‖0 = 1, lo cual no puede ser ya queBr ∩ S = ∅. Tomemos cualquier vector no nulo v y hagamos w = r

2‖v‖v, dadoque ‖w‖ = r

2 , ‖w‖0 < 1. Por tanto ‖v‖0 = 2r‖v‖‖w‖0 <

2r‖v‖; de donde

r

2‖v‖0 ≤ ‖v‖ ≤ L‖v‖0, para todo v ∈ V.

De esta forma las normas ‖ · ‖0 y ‖ · ‖ son equivalentes y (V, ‖ · ‖) es completo.

Ejemplo 3.15 (Espacio de funciones acotadas).Sean A no conjunto no vacıo y (X, d) un espacio metrico, recordemos que

Fb(A,X), el conjunto de todas las funciones acotadas de A en X, es un espaciometrico al ser dotado con la metrica de la convergencia uniforme dsup, que es

dsup(f, g) = sup{d(f(a), g(a)) : a ∈ A};

ver ejercicio propuesto numero 16 en la pagina 102. Si (X, d) es completo, mos-traremos que (Fb(A, x), dsup) tambien lo es.

Sea (fn)n≥0 una sucesion de Cauchy en Fb(A,X); es decir, para cada ε > 0existe N tal que dsup(fn, fm) < ε para todo n,m ≥ N . En particular esto implicaque para cada a ∈ A, la sucesion (fn(a))n≥0 en X es de Cauchy, por tanto existef(a) ∈ X tal que (fn(a))n≥0 converge a f(a). Con ello se ha definido una funcionf : A → X. Veamos primero que f ∈ Fb(A,X), y luego que (fn)n≥0 convergeen la metrica dsup a f .

Para verificar que f ∈ Fb(A,X) debe mostrarse que existe una constanteL ≥ 0 tal que d(f(a), f(b)) ≤ L para cada a, b ∈ A. Sea N1 ≥ 0 tal quedsup(fn, fN1) ≤ 1 para todo n ≥ N1, lo cual equivale a d(fn(a), fN1(a)) ≤ 1para todo a ∈ A y cada n ≥ N1. Fijemos c ∈ A y la funcion constante c. De ladesigualdad triangular sigue

d(c, fn(a)) ≤ d(c, fN1(a)) + 1 ≤ dsup(c, fN1) + 1, para todo a ∈ A,n ≥ N1.

Dado que la funcion distancia es continua, haciendo n tender a +∞, se tiened(c, f(a)) ≤ dsup(c, fN1) + 1 para cada a ∈ A. De donde f ∈ Fb(A,X).

Finalmente, fijemos ε > 0 y tomemos N ≥ 0 tal que

d(fn(a), fm(a)) <ε

2para todo n,m ≥ N y cada a ∈ A.

De aca, al hacer m → +∞, d(fn(a), f(a)) ≤ ε2 para cada a ∈ A y n ≥ N ;

ası dsup(fn, f) ≤ ε2 para todo n ≥ N , y por tanto (fn)n≥0 converge a f en dsup.

Recordamos que si (X, d) se sustituye por un espacio normado (V, ‖ · ‖),entonces Fb(A, V ) es un espacio vectorial y ‖f‖sup = sup{‖f(a)‖ : a ∈ A}define una norma en Fb(A, V ), la cual induce la metrica dsup al tomar en V

la metrica d inducida por ‖ · ‖. Por lo que, si (V, ‖ · ‖) es de Banach, entonces(Fb(A, V ), ‖ · ‖sup) tambien lo es.


Ejemplo 3.16 (Espacio de funciones continuas y acotadas).Sean (X, d) y (Y, d′) espacios metricos. Denotamos por Cb(X,Y ) al conjunto

de todas las funciones continuas f : X → Y que son acotadas; es decir, paracada f en Cb(X,Y ), sup{d′(f(x), f(y)) : x, y ∈ X} <∞. Obviamente Cb(X,Y )es un subespacio de Fb(X,Y ), al con la restriccion de dsup a Cb(X,Y ). Veamosque si (Y, d′) es completo, entonces Cb(X,Y ) tambien es completo.

Sea (fn)n≥0 una sucesion de Cauchy en Cb(X,Y ). Dado que esta sucesion

es de Cauchy en Fb(X,Y ), existe f ∈ Fb(X,Y ) tal que fndsup−−−−→ f ; debemos

mostrar que f es continua. Sean (xn)n≥0 una sucesion en X y x ∈ X talesque xn → x. Dado ε > 0, sea N ≥ 0 tal que d′(fm(y), f(y)) < ε

3 para cadam ≥ N y todo y ∈ X. De la continuidad de fN , existe N1 ≥ 0 de forma qued′(fN (xn), fN (x)) < ε

3 para cada n ≥ N1. Ahora bien, en virtud de

d′(f(xn), f(x)) ≤ d′(f(xn), fN (xn)) + d′(fN (xn), fN (x)) + d′(fN (x), f(x))

sigue que d′(f(xn), f(x)) < ε para todo n ≥ N1. Por tanto f ∈ C(X,Y ).En realidad lo que se ha demostrado es que si (Y, d′) es completo, entonces

Cb(X,Y ) es un subconjunto cerrado de Fb(X,Y ); de allı la completitud deCb(X,Y ). Esto refleja una propiedad general en los espacios metricos completos,como veremos mas adelante.

Similar a lo comentado luego del ejemplo 3.15, si (V, ‖ · ‖) es un espaciovectorial normado, Cb(X,V ) admite como norma a la funcion definida por‖f‖sup = sup{‖f(x)‖ : x ∈ X}, la cual lo hace de Banach si (V, ‖ · ‖) es deBanach.

Ejemplo 3.17 (Espacio de transformaciones lineales continuas).Una situacion particularmente interesante, e importante en el contexto del

Analisis Funcional, es la siguiente. Sean (V, ‖·‖1), (W, ‖·‖2) son espacio normadosy L(V,W ) es el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales continuasde V en W , ver ejercicio propuesto numero 30 de la pagina 122. Como conse-cuencia del ejemplo anterior, si (W, ‖·‖2) es de Banach, entonces (L(V,W ), ‖·‖)tambien lo es con la norma definida por ‖L‖ = sup{‖L(v)‖2 : ‖v‖1 ≤ 1}. Sedejan los detalles al lector.

Ejemplo 3.18. Sea P[0, 1] el espacio vectorial real de todas las funciones po-linomicas de [0, 1] en R; es decir, p ∈ P[0, 1] si, y solo si, existe un enteron ≥ 0 y constantes a0, · · · , an tales que p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n para cadax ∈ [0, 1]. Claramente P[0, 1] ⊂ Fb([0, 1],R); ademas, de los cursos estandaresde Calculo se sabe que la sucesion (pn)n≥0 de las funciones polinomiales dadas

por pn(x) =n∑`=0

1`!x`, para cada x ∈ [0, 1], converge uniformemente a la funcion

exponencial e(x) = ex, x ∈ [0, 1]. Es decir, la sucesion de funciones polinomicas(pn)n≥0 converge en la metrica dsup a la funcion exponencial x 7→ ex, pero estaultima funcion no pertence a P[0, 1]; comprobando de esta forma que P[0, 1] noes completo.


Comentario 3.5. Sea C[0, 1] el conjunto de todas las funciones continuas de[0, 1] en R. Es bien conocido que (C[0, 1], dsup) es completo, ver ejemplo 3.16.Un clasico resultado del Analisis Matematico elemental, debido al matematicoaleman Karl Weierstrass (1815–1897), y posteriormente conocido como Teoremade Stone-Weierstrass, establece:

Teorema 3.8. P[0, 1] es denso en C[0, 1] en la metrica dsup; esto es, para todaf ∈ C[0, 1] y cada ε > 0 existe p ∈ P[0, 1] tal que, |f(x) − p(x)| < ε para todox ∈ [0, 1].

En realidad el enunciado de este teorema puede ser colocado en contextosmas generales, remitimos al lector interesado, por ejemplo, al libro [7], o alartıculo de E. Bishop, A generalization of the Stone-Weierstrass theorem. PacificJ. Math. Vol. 11, 777–783 (1961).

Cerramos este apartado mostrando un importante resultado: todo espaciometrico es parte densa de un espacio metrico completo. Por ejemplo Q con lametrica inducida por la metrica euclidiana de R no es completo, sin embargo esdenso en R; de la misma forma ocurre con el intervalo (0, 1), que no es completopero es una parte densa de [0, 1], que es un espacio metrico completo con lametrica inducida por la euclidiana de R, y tambien con P[0, 1] en el espaciometrico completo (C[0, 1], dsup).

Definicion 3.15. Dados dos espacios metricos (X, d) y (X, d), con este ultimocompleto, se dice que (X, d) es un completado metrico 3 de (X, d) si, y solo si,existe una inmersion isometrica f : X → X tal que f(X) es denso en X.

Teorema 3.9 (Completado metrico). Todo espacio metrico (X, d) admiteun completado metrico; de hecho este es unico, salvo isometrıas.

Demostracion: Comenzaremos diciendo que dos sucesiones de Cauchy en X,digamos (xn)n≥0 y (yn)n≥0 estan relacionadas, lo que escribimos como (xn)n≥0 ≈(yn)n≥0, si, y solo si, d(xn, yn)→ 0 en R cuando n→ +∞. Es simple chequearque ≈ define una relacion de equivalencias (reflexiva, simetrica y transitiva) enla coleccion de todas las sucesiones de Cauchy en X; sea X el conjunto de lasclases de equivalencias generadas por ≈. Para cada sucesion de Cauchy (xn)n≥0

en X, denotamos por [(xn)] su correspondiente clase de equivalencia segun ≈;esto es, [(xn)] es el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy (yn)n≥0 en X

tales que (xn)n≥0 ≈ (yn)n≥0.Ahora dotaremos a X de una metrica d de forma que (X, d) sea completo.

Primero veamos que si (xn)n≥0 y (yn)n≥0 son sucesiones de Cauchy en X,

3En variados textos en castellano se emplea el vocablo completacion, sin embargo hemos

decidido usar el vocablo completado en virtud que la palabra completacion no aparece re-

gistrada en el DRAE (Diccionario de la Real Academia Espanola). El vocablo ingles que se

emplea para tal fin es completion.


entonces (d(xn, yn))n≥0 es una sucesion de Cauchy en R. Tomemos ε > 0 yeleijamos enteros N1, N2 ≥ 0 (ambos dependen posiblemente de ε) tales que

d(xn, xm) <ε

2y d(yp, yq) <

ε

2, para todo n,m ≥ N1 y p, q ≥ N2.

Luego para N = max{N1, N2} se tiene

d(xn, xm) <ε

2y d(yn, ym) <

ε

2, para todo n,m ≥ N.

Ahora bien, como d(xn, yn) ≤ d(xn, xm) + d(xm, ym) + d(ym, yn), entonces

|d(xn, yn)− d(xm, ym)| < ε, para todo n,m ≥ N ;

con lo cual (d(xn, yn))n≥0 es una sucesion de Cauchy en R, y por tanto el lımitelımn→+∞ d(xn, yn) existe. Con esto estamos en condiciones de introducir d.

Para cada [(xn)], [(yn)] ∈ X, se define su d distancia como:

d([(xn)], [(yn)]) = lımn→+∞

d(xn, yn). (3.17)

Note que si (xn)n≥0 ≈ (xn)n≥0 y (yn)n≥0 ≈ (yn)n≥0, entonces

lımn→+∞

d(xn, yn) = lımn→+∞

d(xn, yn),

por lo que (3.17) no depende del representante elegido en cada clase de equiva-lencia; esto es, d([(xn)], [(yn)]) esta bien definido.

Veamos que d es una metrica en X. Es obvio que d([(xn)], [(yn)]) ≥ 0, ypor definicion de ≈, d([(xn)], [(yn)]) = 0 si, y solo si, [(xn)] = [(yn)]. Tam-bien es claro que d([(xn)], [(yn)]) = d([(yn)], [(xn)]). Por otro lado, cualesquierasean [(xn)], [(yn)] y [(zn)] en X, de la desigualdad triangular en X, se cumpled([(xn)], [(zn)]) ≤ d([(xn)], [(yn)]) + d([(yn)], [(zn)]); ası d es una metrica.

Como paso previo a la completitud de (X, d) veamos que X esta isometri-camente inmerso, de forma densa, en X. Sea f : X → X la funcion definida,para cada x ∈ X, por f(x) = ζx, donde ζx denota la clase de equivalenciacorrespondiente a la sucesion constante igual a x; es decir, (yn)n≥0 ∈ ζx si,y solo si, lımn→+∞ d(yn, x) = 0; en otras palabras, ζx es la coleccion de to-das las sucesiones en X que convergen a x. Para todo x, y ∈ X es obvio qued(ζx, ζy) = lımn→+∞ d(x, y) = d(x, y), por lo que f es una inmersion isometrica.Veamos ahora que Y = f(X) es denso en X. Tomemos ε > 0 y [(xn)] ∈ X. Envista que (xn)n≥0 es de Cauchy, existe N ≥ 0 de forma que d(xn, xN ) < ε

2 paratodo n ≥ N . Sea (yn)n≥0 la sucesion constante igual a xN ; que es, yn = xNpara todo n ≥ 0. Es claro que f(xN ) = ζxN = [(yn)]; ademas, como

d([(xn)], [(yn)]) = lımn→+∞

d(xn, yn) = lımn→+∞

d(xn, xN ) ≤ ε

2< ε,

entonces Y es denso en X, y ası X esta isometricamente inmerso, de formadensa, en X.


Procedemos ahora con la completitud de (X, d). Sea (ζm)m≥1 una sucesionde Cauchy en X. Para cada m ≥ 1, sea (xmn )n≥0 una sucesion de Cauchy en X

tal que (xmn )n≥0 ∈ ζm, y sea ζm ∈ Y con d(ζm, ζm) < 1m ; recuerde que Y es

denso en X. Sea xm ∈ X tal que la sucesion constante igual a xm esta en ζm;es decir, ζm = f(xm) para cada m ≥ 1. Note que

d(ζm, ζm) = lımn→+∞

d(xmn , xm) <

1m. (3.18)

Afirmamos que la sucesion (ζm)m≥1 es de Cauchy en Y , por tanto en X. Seaε > 0, dado que (ζm)m≥1 es de Cauchy en X, existe M ≥ 1 tal que

d(ζm, ζp) = lımn→+∞

d(xmn , xpn) <

ε

2, para todo m, p ≥M.

Ahora tomamos un entero N1 ≥ 1 de forma que 1N1

< ε4 . Ası, cualesquiera sean

los enteros m, p ≥ N1 +M , se tiene

d(ζm, ζp) ≤ d(ζm, ζm) + d(ζm, ζp) + d(ζp, ζp)

<1m

+ε

2+

1p<ε

4+ε

2+ε

4= ε,

lo cual demuestra la afirmacion. Observe adicionalmente que esto tambien im-plica que la sucesion (xm)m≥1 es de Cauchy en X. Sea ζ ∈ X la clase deequivalencia asociada a esta sucesion de Cauchy. Mostraremos que la suce-sion (ζm)m≥1 converge a ζ, con lo cual se tiene la completitud de (X, d).Dado que d(ζm, ζ) = lımk→+∞ d(xm, xk) y (xm)m≥1 es de Cauchy, entoncesd(ζm, ζ) → 0 cuando m → +∞; esto es, (ζm)m≥1 converge a ζ. Por otro lado,como d(ζm, ζ) ≤ d(ζm, ζm) + d(ζm, ζ), entonces de lo anterior y (3.18) se tieneque (ζm)m≥1 converge a ζ, como deseado.

Finalmente, veamos que (X, d) es el unico completado metrico de (X, d),salvo isometrıas. Sea (X, d) es otro completado metrico de (X, d). Sin perdergeneralidad supongamos que X ⊂ X y la restriccion de d a X es d. Esto implicaque para cada x ∈ X existe una sucesion (xn)n≥0 en X que converge a x, esto esdebido a la densidad de X en X. Definamos ϕ : X → X por ϕ(x) = ζx, dondeζx es la clase de equivalencia asociada a cualquier sucesion (xn)n≥0 en X queconverge a x. Sean x, y ∈ X y (xn)n≥0, (yn)n≥0 sucesiones en X que convergen,respectivamente, a x e y. Entonces

d(ζx, ζy) = d(ϕ(x), ϕ(y)) = lımn→+∞

d(xn, yn).

Debido a la continuidad de la funcion d, sigue que d(ϕ(x), ϕ(y)) = d(x, y), porlo que ϕ es una inmersion isometrica. Sean ζ ∈ X y (xn)n≥0 una sucesion deCauchy en X (por tanto en X) tal que ζ = [(xn)]. Dado que (xn)n≥0 es deCauchy en X, existe x ∈ X de forma que (xn)n≥0 converge a x, entonces dela propia definicion de ϕ sigue que ϕ(x) = ζ, por tanto ϕ es sobreyectiva, y enconsecuencia (X, d) y (X, d) son isometricos. Ahora la demostracion del teoremaesta completa.


3.3.2. Consecuencias de la completitud

A continuacion presentaremos algunas propiedades basicas derivadas de lacompletitud de espacios metricos. La primera de ellas provee argumentos paragarantizar la completitud del espacio metrico Cb(X,Y ) del ejemplo 3.16 y la nocompletitud del subespacio P[0, 1].

Proposicion 3.15. Si (X, d) es un espacio metrico y A es un subconjunto novacıo de X tal que (A, d) es completo, entonces A es cerrado. Adicionalmente,si (X, d) es completo y A es un subconjunto no vacıo y cerrado de X, entonces(A, d) es completo.

Demostracion: Supongamos que A es un subconjunto no vacıo de X tal que(A, d) es completo. Sea x ∈ cl(A), entonces existe una sucesion (xn)n≥0 en A

tal que xn → x; ver teorema 3.3. Como (xn)n≥0 es de Cauchy y sus elementosestan en A, entonces x ∈ A. Con lo cual A es cerrado.

Sea A es un subconjunto no vacıo y cerrado de X, y sea (xn)n≥0 una sucesionde Cauchy en A. Dado que X es completo, existe x ∈ X tal que xn → x.Por ser A cerrado, nuevamente del teorema 3.3 sigue que x ∈ A; luego A escompleto.

En el teorema 3.4 mostramos condiciones suficientes que garantizan la exten-sion continua de funciones continuas a la clausura de su dominio. El resultado acontinuacion provee, esencialmente, hipotesis que implican esas condiciones desuficiencia.

Teorema 3.10 (Extension de funciones continuas). Sean (X, d), (Y, d′)espacios metricos y Z un subespacio denso en X. Si f : Z → Y es uniforme-mente continua y Y es completo, entonces el lımite lım

x→zf(x) existe para cada

z ∈ X; en consecuencia f : X → Y , con f(z) = lımx→z

f(x) para cada z ∈ X, esla unica funcion continua, de hecho uniformemente continua, que extiende a f .

Demostracion: Haciendo uso del teorema 3.4, si para cada z ∈ X existe ellımite lım

x→zf(x), entonces la funcion f : X → Y del enunciado es la unica que

extiende continuamente a f . Mostremos entonces que lımx→z

f(x) existe para cada

z ∈ X, y luego que f es uniformemente continua.Sean z ∈ X y (zn)n≥0 una sucesion en Z tal que zn → z; una tal sucesion

existe pues Z es denso en X. Como f es uniformemente continua, la proposicion3.14 garantiza que la sucesion (f(zn))n≥0 es de Cauchy en Y ya que (zn)n≥0 lo es.En virtud de la completitud de Y , (f(zn))n≥0 converge; luego de la proposicion3.12 sigue que el lımite lım

x→zf(x) existe. Veamos ahora la continuidad uniforme

de f . Sea ε > 0, de la continuidad uniforme de f existe δ > 0 tal que para todox, y ∈ Z con d(x, y) < δ se tiene d′(f(x), f(y)) < ε

3 . Tomemos z, w ∈ X, cond(z, w) < δ, (zn)n≥0 y (wn)n≥0 sucesiones en Z tales que zn → z y wn → w. Sea


N ≥ 0 tal que d(zn, wn) < δ, d′(f(zn), f(z)) < ε3 y d′(f(wn), f(w)) < ε

3 paratodo n ≥ N ; note que esto es posible pues d(z, w) < δ, las sucesiones (zn)n≥0 y(wn)n≥0 convergen a z y w, respectivamente, y los lımites lım

x→zf(x) y lım

x→wf(x)

existen. En estas condiciones:

d′(f(z), f(w)) ≤ d′(f(z), f(zn)) + d′(f(zn), f(wn)) + d′(f(wn), f(w)) < ε;

por lo que f es uniformemente continua.

Corolario 3.5. Sean (V, ‖ · ‖1) un espacio normado, D un subespacio denso deV , (W, ‖ · ‖2) un espacio de Banach y L : D → W una transformacion linealcontinua. Entonces L tiene una unica extension lineal y continua L : V →W .

Demostracion: Como toda transformacion lineal L : (D, ‖ · ‖1) → (W, ‖ · ‖2)entre espacios normados es continua si, y solo si, existe una constante α > 0 talque ‖L(u)‖2 ≤ α‖u‖1 para todo vector u ∈ D, entonces toda transformacionlineal y continua entre espacios normados es lipschitziana, y por tanto unifor-memente continua. Por tanto del teorema anterior sigue que L se extiende, deforma unica, continuamente a V . Resta mostrar que la extension L es tambienlineal. Sean u, v ∈ V y β un escalar. Consideremos sucesiones (un)n≥0 y (vn)n≥0

en D tales que un → u y vn → v. Obviamente la sucesion (un+βvn)n≥0 esta enD y un + βvn → u+ βv. Luego, de la proposicion 3.12:

L(u+ βv) = lımnL(un + βvn) = lım

n(L(un) + βL(vn))

= lımnL(un) + β lım

nL(vn) = L(u) + βL(v),

con lo que la demostracion esta completa.

Teorema 3.11 (Propiedad de encaje de Cantor). Un espacio metrico(X, d) es completo si, y solo si, tiene la propiedad de encaje de Cantor; quees, para cualquier sucesion (Cn)n≥0 de conjuntos cerrados no vacıos, encajados(Cn+1 ⊂ Cn para cada n ≥ 0) con ınf{diam(Cn) : n ≥ 0} = 0, la interseccion⋂n≥0 Cn es no vacıa y se reduce a un punto.

Demostracion: Supongamos que (X, d) es completo, y sea (Cn)n≥0 una suce-sion como en el enunciado. Note que como los conjuntos Cn estan encajados, lasucesion de numeros reales (diam(Cn))n≥0 es decreciente y tiende a 0. Para cadan ≥ 0 seleccionemos un punto xn ∈ Cn. Afirmamos que la sucesion (xn)n≥0 esde Cauchy. En efecto, dado que diam(Cn)→ 0 de forma monotona, para ε > 0dado, existe n ≥ 0 tal que diam(Cn) < ε para todo n ≥ 0. Esto implica qued(xn, xm) < ε para todo n ≥ N pues xn, xm ∈ Cn para cada n ≥ N . Mostradoque (xn)n≥0 es de Cauchy, existe x ∈ X tal que xn → x. Veamos que x ∈ Cnpara todo n ≥ 0. Supongamos que x /∈ Cm para algun m; como Cm es cerrado yCn ⊂ Cm para cada n ≥ m, entonces existe r > 0 tal que Br(x) ∩ Cn = ∅ paracada n ≥ m; en particular, d(xn, x) ≥ r para todo n ≥ m, lo cual contradice


la convergencia xn → x. De esta forma hemos demostrado que⋂n≥0 Cn 6= ∅.

Obviamente diam(⋂n≥0 Cn) ≤ diam(Cn) para todo n ≥ 0, lo cual implica que

diam(⋂n≥0 Cn) = 0, y por tanto esta interseccion se reduce a un punto.

Supongamos ahora que el espacio metrico (X, d) tiene la propiedad de encajede Cantor. Veamos que (X, d) es completo. Sea (xn)n≥0 una sucesion de Cauchyen X. Para cada n ≥ 0 sean An = {xm : m ≥ n} y Cn = cl(An). ObviamenteAn+1 ⊂ An para cada n ≥ 0, por tanto (Cn)n≥0 es una sucesion de cerradosno vacıos y encajados. Dado que (xn)n≥0 es de Cauchy, es simple mostrar queınf{diam(An) : n ≥ 0} = 0, y como diam(A) = diam(cl(A)) para cualquiersubconjunto de X, entonces

⋂n≥0 Cn = {x} para algun x ∈ X. Finalmente

mostremos que xn → x, con lo cual la demostracion estara completa. Sea ε > 0,entonces existe N ≥ 0 tal que diam(Cn) < ε, en vista que x y xn pertenecen aCn, d(xn, x) < ε para todo n ≥ 0, ası xn → x.

Las hipotesis de ser cerrado y diametro convergiendo a 0 son necesarias enel teorema anterior. En R con la metrica euclidiana consideremos en primerlugar la sucesion (Cn)n≥1 con Cn = (0, 1

n ) es encajada y diam(Cn) → 0, pero⋂n≥1 Cn = ∅; note que cada Cn no es cerrado. Ahora, si hacemos Cn = [n,+∞),

entonces la sucesion continua siendo encajada, los conjuntos son cerrados y noacotados, nuevamente

⋂n≥1 Cn = ∅.

El siguiente resultado es un clasico, trata sobre la existencia de puntos fijosde ciertas transformaciones continuas en espacios metricos; ademas, constituyeuna herramienta muy util en diversas areas de la Matematica, por ejemplo enlos sistemas dinamicos discretos y ecuaciones diferenciales.

Teorema 3.12 (Teorema de punto fijo de Banach 4). Sea (X, d) un espaciometrico completo. Si f : X → X es una contraccion; esto es, existe 0 < α < 1tal que d(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y) para todo x, y ∈ X, entonces existe un unicox? ∈ X tal que f(x?) = x?. Ademas, para cada x ∈ X se cumple que la sucesion(fn(x))n≥0 converge a x?, donde fn = f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸︷︷︸

n veces

.

Demostracion: Primero observe que toda contraccion es una funcion lipschit-ziana, por tanto uniformemente continua. Ademas no puede existir mas de unpunto fijo, pues si x, y ∈ X son tales que f(x) = x y f(y) = y, entonces de

d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y), con 0 < α < 1,

se tiene x = y.Veamos pues la existencia de puntos fijos para f , para ello emplearemos

el denominado metodo de aproximaciones sucesivas, el cual consiste en apro-ximarse a un punto fijo mediante iteraciones sucesivas de f sobre un puntoen X. Tomemos cualquier x ∈ X y hagamos xn = fn(x) para cada n ≥ 0;

4En la terminologıa de los sistemas dinamicos, este teorema dice que toda contraccion en

un espacio metrico completo tiene un unico punto fijo, que ademas es el atractor del sistema.


claramente x0 = x. Si mostramos que la sucesion (xn)n≥0 es de Cauchy, en-tonces esta converge a un punto x? por la completitud de X. Luego, dadoque f(xn) = xn+1 para cada n ≥ 0, la sucesion (xn+1)n≥0 tambien conver-ge a x?, por tanto f(x?) = x? gracias a la continuidad de f . Por otro lado,asumiendo la existencia del punto fijo x?, si x es cualquier punto en X, comod(fn(x), x?) = d(fn(x), fn(x?)) ≤ αnd(x, x?) para cada n ≥ 0 (¡verifıquelo!),entonces fn(x) → x?. Ası pues, solo debe mostrarse que la sucesion (xn)n≥0,como arriba definida, es de Cauchy.

Sean n,m ≥ 0 con n ≥ m, dado que

d(xn, xm) ≤ d(xm, xm+1) + d(xm+1, xm+2) + · · ·+ d(xn−1, xn)

=n−1∑j=m

d(xj , xj+1) =n−1∑j=m

d(f j(x0), f j(x1));

como la propiedad de contraccion de f ofrece la desigualdad

d(f j(x0), f j(x1)) ≤ αd(f j−1(x0), f j−1(x1)) ≤ · · · ≤ αjd(x0, x1),

entonces

d(xn, xm) ≤n−1∑j=m

αjd(x0, x1) ≤ αm

1− αd(x0, x1).

Esta ultima desigualdad implica que (xn)n≥0 es de Cauchy pues αm → 0 cuandom→ +∞.

Con argumentos similares a los empleados en el teorema anterior se demues-tra que el siguiente resultado; se dejan los detalles al lector.

Teorema 3.13. Si (X, d) es completo y f : X → X es una funcion para la cualexisten constantes c > 0 y 0 < α < 1 tales que d(fn(x), fn(y)) ≤ cαnd(x, y)para todo x, y ∈ X y cada n ≥ 0, entonces existe un unico punto fijo que es elatractor del sistema.

3.3.3. Espacios Baire

Pasaremos ahora a introducir otro concepto clasico, e importante, de la Topo-logıa: los espacios Baire, adjetivo este que fue adoptado en honor al matematicofrances Rene Baire, quien lo introdujo. Como veremos los espacios metricoscompletos son Baire; aunque en realidad se trata de una nocion meramentetopologica, antes que metrica, pues esta expresada en terminos de conjuntosabiertos, conjuntos cerrados, clausura e interior de conjuntos. Antes de precisarla definicion de espacio Baire recordemos que en un espacio topologico (X, T ),un subconjunto A se dice nunca denso si, y solo si, int(cl(A)) = ∅; lo cual equi-vale a que int(X \ A) sea denso; ver ultimo apartado de la seccion 2.4 en lapagina 70.


Definicion 3.16. Sea (X, T ) un espacio topologico. Un subconjunto A de X sedice: magro, o de primera categorıa, si, y solo si, es union numerable de conjuntosnunca densos; caso contrario, se dice no magro, o de segunda categorıa.

Los terminos primera y segunda categorıa fueron introducidos por Baireen su tesis doctoral en 1899; en la actualidad estan en desuso. La nocion deconjunto magro se refiere a conjuntos que, desde el punto de vista topologicoson insignificantes; se trata de la nocion topologica analoga a la nocion analıticade conjuntos de medida nula.

Proposicion 3.16. En cualquier espacio topologico (X, T ) se satisfacen laspropiedades:

(1) A ⊂ X es magro si, y solo si, A ⊂⋃n≥0 Cn, donde cada Cn es cerrado con

interior vacıo.

(2) Todo subconjunto de un conjunto magro es magro.

(3) La union numerable de conjuntos magros es magra.

Demostracion: Si A es magro existen conjuntos nunca densos Bn, n ≥ 0,tales que A =

⋃n≥0Bn; luego A ⊂

⋃n≥0 cl(Bn). Recıprocamente, supongamos

que A ⊂⋃n≥0 Cn, donde cada Cn es cerrado con interior vacıo. Dado que

A =⋃n≥0(A ∩ Cn) e int(cl(A ∩ Cn)) ⊂ int(cl(A) ∩ cl(Cn)) = int(cl(A)) ∩

int(Cn), entonces A es magro; esto demuestra (1). Las propiedades (2) y (3) sedemuestran muy facilmente.

En varias situaciones que presentaremos adelante estaremos requiriendo delespacio topologico cierta propiedad que definimos a continuacion.

Ejemplo 3.19.

1. Obviamente el conjunto vacıo ∅ es magro en cualquier espacio topologico.

2. Considere R con la topologıa usual. Sea A un subconjunto numerable de R.Dado que cada conjunto unitario {x}, x ∈ R, es cerrado y tiene interior vacıo,entonces A es magro. En particular, todo subconjunto A de Q es magro.

En terminos mas generales, si (X, T ) es un espacio topologico en el quetodo conjunto unitario es cerrado; es decir, (X, T ) es un espacio T1 (todoespacio metrico es T1), entonces un subconjunto numerable A de X es magrosi, y solo si, ningun punto de A es aislado. Recuerde que en un espaciotopologico (X, T ), un punto x ∈ X es aislado si, y solamente si, {x} es unconjunto abierto. Como caso particular, todo subconjunto numerable de unespacio metrico sin puntos aislados es magro. Note que cualquier subconjuntonumerable no vacıo de un espacio discreto es no magro.

3. Como consecuencia de la proposicion anterior y el teorema de Categorıa deBaire, que enunciaremos y demostraremos abajo, el conjunto I de los numerosirracionales es no magro en R con la topologıa usual.


4. Un ejemplo particularmente curioso de conjunto magro es el que se obtieneen la paradoja del divorcio, la cual surge del hecho que R con la topologıausual es union de un conjunto de medida cero (insignificante en el contextodel Analisis) y otro magro (insignificante desde el punto de vista topologico).El lector sin conocimiento intuitivo del concepto de medida puede obviar lalectura de este ejemplo.Vamos a construir este par de subconjuntos de R. Primero demos una nu-meracion de Q, digamos Q = {rj : j ≥ 1}. Para cada entero n ≥ 1, seaVn =

⋃j≥1

(rj − 1

2jn , rj + 12jn

). Obviamente cada Vn es abierto, y como la

longitud de cada intervalo abierto(rj − 1

2jn , rj + 12jn

)es 2

2jn , entonces la me-dida de Lebesgue de Vn es µ(Vn) ≤ 2

n

∑j≥1 2−j = 2

n . Sea V =⋂n≥1 Vn, dado

que cada Vn esta contenido en V , su medida de Lebesgue satisface µ(V ) ≤ 2n

para cada n ≥ 1; por tanto µ(V ) = 0. Ahora sea W = R\V =⋂n≥1(R\Vn).

Claramente R \ Vn es cerrado y tiene interior vacıo pues no contiene ningunnumero racional, luego W es magro y R = V ∪W .

Definicion 3.17. Un espacio topologico (X, T ) se dice Baire si, y solo si, paracualquier coleccion numerable {Cn : n ≥ 0} de conjuntos cerrados nunca densos,la union

⋃n≥0 Cn tiene interior vacıo.

Esta definicion es una de las formas modernas del significado de ser unespacio Baire. Existen varias maneras equivalentes para definir estos espaciostopologicos, es lo que muestra el resultado a continuacion. Antes destacamosque no toda estructura topologica es Baire, por ejemplo la topologıa indiscretaen cualquier conjunto no es una estructura Baire.

Teorema 3.14. Dado un espacio topologico (X, T ), son equivalentes:

(1) X es Baire.

(2) Si {Cn : n ≥ 0} es cualquier coleccion numerable de conjuntos cerradostal que

⋃n≥0 Cn tiene interior no vacıo, entonces existe n ≥ 0 tal que

int(Cn) 6= ∅.

(3) Si {Un : n ≥ 0} es cualquier coleccion numerable de abiertos y densos,entonces la interseccion

⋂n≥0 Un es densa.

(4) Todo abierto no vacıo es no magro.

Demostracion: Note que (1) ⇔ (2) pues el enunciado en (2) es el contra-rrecıproco del enunciado de la definicion de espacio Baire.

Supongamos que X es Baire, {Un : n ≥ 0} es una coleccion numerable deabiertos y densos. Entonces la coleccion {Cn : n ≥ 0}, con Cn = X \ Un, es talque int

(⋃n≥0 Cn

)= ∅, lo cual equivale a

⋂n≥0 Un densa, pues en cualquier

espacio topologico (X, T ) vale int(A) = ∅ si, y solo si, X \ A es denso. Ası,(1)⇒ (3). Observe que con los mismos argumentos (3)⇒ (1).


Si X es Baire y U es un abierto magro, entonces existen conjuntos nuncadensos tales que U =

⋃n≥0An. De donde, int

(⋃n≥0 cl(An)

)= ∅ y U = ∅.

Luego (1)⇒ (4). Recıprocamente, supongamos que todo abierto no vacıo es nomagro, y que {Cn : n ≥ 0} es una coleccion de conjuntos cerrados nunca densostales que

⋃n≥0 Cn tiene interior no vacıo. Luego, el abierto U = int

(⋃n≥0 Cn

)es no magro; pero U ⊂

⋃n≥0 Cn que es magro, contradiciendo el segundo item

de la proposicion anterior. Ahora la demostracion esta completa.

Teorema 3.15 (Teorema de Categorıa de Baire). Todo espacio metricocompleto es Baire.

Demostracion: Sea (X, d) un espacio metrico completo. Sea {Un : n ≥ 0} unacoleccion numerable de abiertos y densos en X, veamos que

⋂n≥0 Un es densa

en X; es decir, si B es cualquier bola abierta, entonces B ∩⋂n≥0 Un 6= ∅. Dado

que U0 es abierto y denso, B∩U0 es abierto y no vacıo, por tanto existe una bolaabierta B1 con diam(B1) ≤ 1

2diam(B) y tal que la bola cerrada B1 ⊂ B ∩ U0.Nuevamente, como U1 es abierto y denso, B1 ∩ U1 es abierto y no vacıo; luegohay una bola abierta B2 con diam(B2) ≤ 1

2diam(B1) y B2 ⊂ B1 ∩U1. Note que

B2 ⊂ B1, B2 ⊂ B ∩ U0 ∩ U1 y diam(B2) ≤ 122

diam(B).

Procediendo recursivamente se construye una coleccion numerable {Bn : n ≥ 1}de cerrados no vacıos y encajados, tales que Bn ⊂ B ∩ U0 ∩ U1 ∩ · · · ∩ Un−1 ydiam(Bn) ≤ 1

2n diam(B) para cada n ≥ 1. En estas condiciones, la propiedadde encaje de Cantor implica que

⋂n≥1Bn 6= ∅, de lo cual se concluye que la

interseccion B ∩⋂n≥0 Un es no vacıa, como es requerido.

Corolario 3.6. Todo espacio metrico completo es no magro.

Demostracion: Es consecuencia directa de la proposicion anterior y el Teore-ma de Categorıa de Baire.

Observe que este corolario nos permite demostrar lo que afirmamos en elapartado (3) del ejemplo 3.19; es decir, I es no magro, pues si lo fuese, dado queQ es magro y R = Q ∪ I, entonces R serıa magro.

La condicion de que un espacio topologico sea Baire tiene variadas consecuen-cias y aplicaciones, trataremos solo algunas de ellas; el lector podra consultarbuenos libros de Analisis Matematico y Analisis Funcional donde seguramenteconseguira otras.

Proposicion 3.17. Sea (X, T ) un espacio Baire. Si existen subconjuntos ce-rrados Cn (n ≥ 0, entero) tales que X =

⋃n≥0 Cn, entonces el conjunto

U =⋃n≥0 int(Cn) es denso en X.


Demostracion: Recordemos que un espacio es Baire si, y solo si, todos losabiertos no vacıos son no magros; en particular, todo abierto no vacıo en unespacio Baire es Baire con la topologıa relativa. Supongamos que V es un abiertono vacıo de X, mostraremos que V ∩U 6= ∅, lo que equivale a mostrar que existeun entero n ≥ 0 tal que V ∩ int(Cn) 6= ∅. Es claro que V =

⋃n≥0(V ∩Cn); como

V ∩Cn es cerrado en V para cada n ≥ 0, entonces intV (V ∩Cn) 6= ∅ para algunn ≥ 0, esto sigue del hecho que V es Baire. Ahora bien, dado que V es abiertoen X, intV (V ∩Cn) = int(V ∩Cn), y como int(V ∩Cn) esta contenido tanto enU como en Cn, entonces es simple verificar que int(V ∩Cn) = U ∩ int(Cn), portanto V ∩ int(Cn) 6= ∅.

Proposicion 3.18. Sea (X, T ) un espacio Baire, T1 y sin puntos aislados. SiA ⊂ X es numerable y denso, entonces X \A no es Fσ, y por tanto A no es Gδ.

Demostracion: Recuerde que un subconjunto de un espacio topologico es Fσ(resp. Gδ) si, y solo si, se escribe como union numerable de cerrados (resp.interseccion numerable de abiertos).

Supongamos que X \ A es Fσ; que es X \ A =⋃n≥1 Fn, donde Fn es un

conjunto cerrado en X, para cada n ≥ 1. Luego se tiene que X =⋃n≥1 Fn ∪⋃

a∈A{a}, y como X es Baire y sin puntos aislados, existe n ≥ 1 de forma queint(Fn) 6= ∅; pero por ser A denso en X, entonces A∩ int(Fn) 6= ∅, lo cual es unacontradiccion pues A ∩ X \ A = ∅. De esta complementaridad, y la propiedadde X \A no ser Fσ, sigue que A no es Gδ.

El siguiente corolario muestra un par de propiedades derivadas de la com-pletitud de los numeros reales.

Corolario 3.7. Si R es dotado con la topologıa usual, entonces:

(1) I no es Fσ y Q no es Gδ.

(2) No existe una funcion f : R → R cuyo conjunto de puntos de continuidadsea Q.

Demostracion: La demostracion de la primera propiedad sigue de la proposi-cion anterior pues Q es numerable y denso. En cuanto a la propiedad (2), estaes consecuencia de la primera propiedad del enunciado y de la proposicion 3.13en la pagina 113.

En atencion a la siguiente proposicion, recordemos que el conjunto de lasfunciones continuas de [0, 1] en R, C[0, 1], es un espacio metrico completo con ladistancia dsup(f, g) = max{|f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]}; ademas, es el completadometrico de P[0, 1], ver comentario 3.5. Denotemos por D[0, 1] al conjunto defunciones en C[0, 1] que son diferenciables en al menos un punto de [0, 1], debeentenderse la diferencial lateral cuando se trate de los extremos de [0, 1].

Proposicion 3.19. El conjunto D[0, 1] es magro en C[0, 1].


Demostracion: Para cada entero n ≥ 1 definamos el conjunto Dn de todaslas funciones f ∈ C[0, 1], tales que para algun x ∈ [0, 1− 1

n ] se cumple

|f(x+ h)− f(x)|h

≤ n, siempre que h ∈ (0, 1n ].

Note que si f ∈ C[0, 1] tiene derivada en algun punto de [0, 1], entonces paraalgun n suficientemente grande se tiene que f ∈ Dn (¡verifıquelo!), por tantoD[0, 1] ⊂

⋃n≥1Dn. De esta forma la demostracion de la proposicion estara com-

pleta si mostramos que cada Dn es cerrado y tiene interior vacıo.• Dn tiene interior vacıo.Dados f ∈ Dn y ε > 0, hallaremos una funcion g ∈ C[0, 1] tal que dsup(f, g) < ε

y g /∈ Dn; esto es, para todo x ∈ [0, 1 1n ], existe h ∈ (0, 1

n ] con |g(x+h)−g(x)|h > n.

En consecuencia en cualquier bola abierta centrada en f hay funciones continuasque no estan en Dn, por lo que este conjunto tiene interior vacıo.

Sea p ∈ P[0, 1] tal que dsup(f, p) < ε2 , recuerde que P[0, 1] es denso en C[0, 1].

Sea M el maximo valor de |p(x)|, con x recorriendo [0, 1]. Ahora consideremosuna funcion q ∈ C[0, 1] que es lineal a trozos, las inclinaciones de los segmentoslineales que conforman su grafica estan en el intervalo (−M −n− 1,M +n+ 1)y ademas max{|q(x)| : x ∈ [0, 1]} < ε

2 ; la figura a continuacion da muestra deuna tal funcion.

Figura 3.9: Ejemplo de una grafica para la funcion q

Sea g ∈ C[0, 1] definida, para cada x ∈ [0, 1] por g(x) = p(x) + q(x). Dela desigualdad triangular y las propiedades de p y q sigue inmediatamente quedsup(f, g) < ε. Por otro lado,

|g(x+ h)− g(x)|h

=|p(x+ h)− q(x+ h)− p(x)| − q(x)

h

≥ |q(x+ h)− q(x)|h

− |p(x+ h)− p(x)|h

.

Ası, para x ∈ [0, 1− 1n ] podemos encontrar h ∈ (0, 1

n ] de forma que

|g(x+ h)− g(x)|h

≥ n+ 1,

por lo que g /∈ Dn.• Dn es cerrado.


Sea e : C[0, 1] × [0, 1] → R definida, para cada f ∈ C[0, 1] y x ∈ [0, 1], pore(f, x) = f(x); esta funcion es conocida como funcion evaluacion. Al consideraren C[0, 1] × [0, 1] la metrica dmax del maximo generada por dsup en C[0, 1] yla metrica euclidiana en [0, 1], ver ejemplo 3.4 en la pagina 93, la funcion e escontinua. Ası, para cada h0 ∈ (0, 1

n ] fijo, eh0 : C[0, 1]× [0, 1− 1n ]→ R dada por

eh0(f, x) = |f(x+h0)−f(x)|h0

, es continua. Esto implica que el conjunto e−1h0

([0, n])es cerrado en C[0, 1]×[0, 1− 1

n ], por tanto en C[0, 1]×[0, 1]; ver ejercicio propuestonumero 11 en la pagina 119. Ahora consideremos el conjunto

Dh0 = {f ∈ C[0, 1] : existe x ∈ [0, 1− 1n ] con (f, x) ∈ e−1

h0([0, n])}.

Veamos que Dh0 es cerrado. Tomemos una sucesion (fk)k≥0 en Dh0 convergiendoa f ∈ C[0, 1], y para cada k ≥ 0, sea xk ∈ [0, 1− 1

n ] tal que (fk, xk) ∈ e−1h0

([0, n]),que es |fk(xk+h0)−fk(xk)|

h0≤ n. Sea x ∈ [0, 1 − 1

n ] tal que una subsucesion de

(xk)k≥0 converge a x. Por continuidad sigue que |f(x+h0)−f(x)|h0

≤ n; es decir,(f, x) ∈ e−1

h0([0, n]), por tanto f ∈ Dh0 . Mostrando de esta forma que Dh0 es

cerrado en C[0, 1].Finalmente, dado que Dn =

⋂h0∈(0, 1

n ]Dh0 , entonces Dn es cerrado; ası elconjunto D[0, 1] es magro en C[0, 1].

Comentario 3.6. Como consecuencia de esta proposicion tenemos que el con-junto C[0, 1] \D[0, 1] es no vacıo, de hecho no magro pues C[0, 1] es Baire. Estodice que existen funciones continuas f : [0, 1]→ R tal que, para cada x ∈ [0, 1],f no es diferenciable en x.

La existencia de funciones continuas y sin derivadas en cada punto marco unhito en la Matematica. Transcurrida buena parte del siglo XIX, la comunidadmatematica mundial acreditaba que toda funcion continua de variable real ya valores reales era diferenciable en la mayorıa de los puntos en su dominio;sin embargo, Karl Weierstrass mostro, ante la Real Academia de Ciencias deBerlin en 1872, un ejemplo de una funcion continua f : R → R tal que suderivada f ′(x) no existe, cualquiera sea x ∈ R. Aunque probablemente el primerejemplo de una funcion continua y nunca diferenciable se deba al matematicocheco Bernard Bolzano. Por desgracia, debido a circustancias polıticas, y exilio,el ejemplo de Bolzano, contenido en el manuscrito “Funstionenlehre” escritoalrededor de 1830, no fue publicado sino hasta 1930, gracias a su descubrimientoen la Biblioteca Nacional de Vienna por otro matematico checo, Martin Jasek.

El ejemplo de Weierstrass, conocido como funcion de Weierstrass, puedeencontrarse, por ejemplo, en el libro de Ian Stewart: The Problems of Mathema-tics, Oxford University Press (1987). Una interesante disertacion sobre funcionescontinuas y nunca diferenciables es el trabajo de Maestrıa de Johan Thim: Con-tinuous nowhere differentiable functions, Lulea University of Technology, LuleaSuecia (2003), la cual puede obtenerse en el sitio web:http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf


Para finalizar esta seccion mostraremos una version simplificada, a tıtulo deestımulo, de una clasico resultado del Analisis Funcional, se trata del denomi-nado Principio de acotacion uniforme.

Proposicion 3.20. Sean (X, d) un espacio metrico completo, (V, | · |) un espaciovectorial normado y F una familia cualquiera de funciones continuas de X enV . Si para cada f ∈ F y todo x ∈ X existe una constante Mx ≥ 0 tal que‖f(x)‖ ≤ Mx, entonces existen: un conjunto abierto no vacıo U ⊂ X y unaconstante M ≥ 0 tal que, para cada f ∈ F y todo x ∈ X vale ‖f(x)‖ ≤M .

Demostracion: Para cada entero n ≥ 0 consideremos el conjunto

Fn = {x ∈ X : ‖f(x)‖ ≤ n para toda f ∈ F}.

Afirmamos que cada Fn es un conjunto cerrado en X. En efecto, para cada f ∈F , sea f+ : X → R la funcion definida, para cada x ∈ X, por f+(x) = ‖f(x)‖.Dado que la norma ‖ · ‖ : V → R y f ∈ F son funciones continuas, entonces f+

tambien lo es. De donde, f−1+ ((−∞, n]) es un conjunto cerrado en X; y como

Fn =⋂f∈F f

−1+ ((−∞, n]), la afirmacion sigue.

Ahora bien, siendo Fn cerrado en X y ‖f(x)‖ acotado para cada f ∈ Fy todo x ∈ X, se tiene que X =

⋃n≥0 Fn. Finalmente, como X es un espacio

Baire, entonces existe n ≥ 0 tal que U = int(Fn) 6= ∅. Note que para cada x ∈ Uy cada funcion f ∈ F se cumple ‖f(x)‖ ≤ n. Por lo que la familia de funcionescontinuas F esta uniformemente acotada en el abierto no vacıo U .


1. Sean (X, d) un espacio metrico y (xn)n≥0 una sucesion en X. Para cadan ≥ 0 se define el conjunto Xn formado por todos los puntos de la sucesioncon ındice m ≥ n. Demostrar que:

a) Xn+1 ⊂ Xn para todo n ≥ 0, y si algun Xn es acotado, entonces todos loson; en tal caso diam(Xn) ≥ diam(Xn+1) para todo n ≥ 0.

b) (xn)n≥0 es de Cauchy si, y solo si, diam(Xn) → 0. Deducir que todasucesion de Cauchy es acotada; ver proposicion 3.14.

2. Considere a R con la metrica usual, y cada una de las sucesiones mencionadasen R. Demostrar cada una de las siguientes proposiciones:

a) Si (xn)n≥0 converge a x, entonces una sucesion (yn)n≥0 converge a x si,y solo si, lımn→∞ |xn − yn| = 0.

b) Si (xn)n≥0 es de Cauchy y (yn)n≥0 satisface lımn→∞ |xn − yn| = 0, en-tonces (yn)n≥0 es de Cauchy.

c) Si (xn)n≥0 converge a x y y < x, entonces existe N ≥ 0 tal que y < xnpara todo n ≥ N .


d) Si (xn)n≥0 converge a x 6= 0, entonces existe N ≥ 0 tal que xxn > 0 paratodo n ≥ N .

e) Si (xn)n≥0 y (yn)n≥0 son sucesiones convergiendo a x e y con x < y,entonces existe N ≥ 0 tal que xn < yn para todo n ≥ N .

f) Si (xn)n≥0 y (yn)n≥0 son sucesiones convergiendo a x e y, y ademas existeN ≥ 0 tal que xn < yn para cada n 6= N , entonces x ≥ y. ¿Puede ocurrirque x = y?

g) Si (xn)n≥0 es creciente (resp. decreciente) y acotada superiormente (resp.inferiormente), entonces (xn)n≥0 converge a supn≥0 xn (resp. ınfn≥0 xn)

h) Si∑n≥0 an es una serie convergente de reales positivos; esto es, para cada

n ≥ 0, an > 0 y la sucesion de sumas parciales (sn)n≥0, con sn =∑nk=0 ak

para cada n ≥ 0, es convergente, entonces toda sucesion (xn)n≥0 tal que|xn−xn+1| ≤ an para cada n ≥ 0, es de Cauchy, y por tanto convergente.

i) Una sucesion (xn)n≥0 se dice divergente a∞ si, y solo si, para cada K > 0existe NK ≥ 0 tal que |xn| > K para todo n ≥ Nk.

1) Demostrar que una sucesion divergente a ∞ no converge.

2) De un ejemplo de una sucesion real no convergente ni divergente a∞.

3) Demostrar que toda sucesion creciente (resp. decreciente) y no aco-tada superiormente (resp. inferiormente) es divergente a ∞.

4) Si A ⊂ R es no acotado, demostrar que en A hay al menos unasucesion divergente a ∞.

5) Demostrar que si (xn)n≥0 es divergente a ∞, entonces tambien locualquiera de sus subsucesiones.

3. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y f : X → Y una funcion. Demostrarque si f transforma sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy, entoncesf es continua.

4. (Criterio de Cauchy para convergencia uniforme). Sean X un conjuntono vacıo arbitrario, (Y, d) un espacio metrico completo y (fn)n≥0 una sucesionde funciones fn : X → Y , n ≥ 0. Una condicion necesaria y suficiente paraque (fn)n≥0 converja uniformemente (ver ejercicio propuesto numero 21 enpagina 120) es que para cada ε > 0, exista N ≥ 0 tal que para cada n,m ≥ Ny x ∈ X se cumple d(fn(x), fm(x)) < ε.

5. (Criterio de Cauchy para existencia de lımites). Sean (X, d), (Y, d′) unespacios metricos, Y completo, A ⊂ X no vacıo y f : A → Y una funcion.Dado a ∈ cl(A), una condicion necesaria y suficiente para que exista el lımitelımx→a f(x) es que para cada ε > 0, exista δ > 0 tal que para cada x, y ∈ Acon d(x, a) < δ y d(y, a) < δ se tenga d(f(x), f(y)) < ε.


6. Sean (X, d) un espacio metrico y e la metrica definida en la proposicion 3.3,ver pagina 92. Demostrar:

a) Si (xn)n≥0 es una sucesion de Cauchy en (X, d), entonces tambien lo esen (X, e).

b) Si (X, d) es completo, entonces (X, e) tambien es completo. ¿Es cierto elrecıproco?

7. Sean (X, d) un espacio metrico y D ⊂ X un conjunto denso. Demostrar quesi toda sucesion de Cauchy en D converge, entonces (X, d) es completo.

8. Para cada entero n ≥ 0 sea (Xn, dn) un espacio metrico completo. Considereel producto cartesiano X =

∏n≥0Xn; esto es, el conjunto de todas las fun-

ciones (sucesiones) x : N →⋃n≥0Xn tales que xn = x(n) ∈ Xn para cada

n ≥ 0. Para cada x = (xn)n≥0 y y = (yn)n≥0 en X se define la distanciaentre x e y como:

d(x, y) =∑n≥0

12n

dn(xn, yn)1 + dn(xn, yn)

. (3.19)

Demostrar que d es una metrica en X y (X, d) es completo.

9. Sean A ⊂ Rk no vacıo, cerrado y acotado. Demostrar que si f : A → R escontinua, entonces es acotada.

10. Sean (X, d) un espacio metrico y A un conjunto no vacıo tal que el espaciometrico Fb(A,X) es completo con la metrica dsup; ver ejercicio propuestonumero 16 en la pagina 102. Demostrar que (X, d) es completo.

11. Sean (X, d) un espacio metrico y Fb(N, X) el espacio de todas las sucesionesacotadas con valores en X. Demostrar que el conjunto de todas las sucesionesde Cauchy en X es un conjunto cerrado en Fb(N, X). Ademas, si (V, ‖ · ‖) esun espacio vectorial normado, entonces el conjunto de todas las sucesionesde Cauchy es un subespacio vectorial cerrado de V .

12. Sea (X, d) un espacio metrico completo. Demostrar:

a) Si X no tiene puntos aislados, entonces el conjunto de todas las sucesionesconvergentes es un conjunto cerrado con interior vacıo en Fb(N, X).

b) El conjunto de todas las sucesiones acotadas y divergentes es un conjuntoabierto y denso en Fb(N, X).

13. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos y f : X → Y una funcion conti-nua para la cual existe una constante ` > 0 tal que, para cada x, y ∈ X,d′(f(x), f(y)) ≥ `d(x, y). Demostrar que si A ⊂ X es completo, entoncesf(A) es completo. Deducir que si X es completo, entonces f es una aplica-cion cerrada; esto es, f mapea conjuntos cerrados en conjuntos cerrados.


14. Demostrar el teorema 3.13.

15. Sea (V, ‖ · ‖) es un espacio vectorial normado.Definicion: Dada una sucesion (vn)n≥0 en V , se la serie

∑n≥0 vn se dice:

convergente si, y solo si, la sucesion (sn)n≥0 de sumas parciales, consk =

∑nk=0 vk, converge en V ;

normalmente convergente si, y solo si, la serie∑n≥0 ‖vn‖ es convergente;

que es, la sucesion (tn)n≥0 de sumas parciales, con tk =∑nk=0 ‖vk‖,

convergen en R.

Suponga que (V, ‖ · ‖) es un espacio de Banach. Demostrar:

a) Toda serie normalmente convergente es convergente.

b) Si W es el espacio vectorial de todas las sucesiones (vn)n≥0 en V que sonnormalmente convergentes dotado con la norma ‖(vn)n≥0‖ =

∑n≥0 ‖vn‖

es de Banach.

16. Sean (V, ‖ · ‖1), (W, ‖ · ‖2) son espacio normados y L(V,W ) es el espaciovectorial de todas las transformaciones lineales continuas de V en W , verejemplo 3.17 de la pagina 130. Demostrar que si W es de Banach, entoncesL(V,W ) tambien lo es.

17. Sean (V, ‖ · ‖1) un espacio de Banach y L(V ) el espacio de Banach de todaslas transformaciones lineales y continuas de V en V .

a) Si L ∈ L(V ) es tal que ‖L‖ < 1, demostrar que la serie∑n≥0 L

n converge.Ademas, la transformacion lineal I − L (I operador identidad en V ) esinvertible.Sugerencia: Use el ejercicio 15, y muestre que si S =

Pn≥0 L

n, entonces S◦(I−L) =

(I − L) ◦ S = I.

b) Demostrar que el conjunto I(V ), de todas las L ∈ L(V ) invertibles talesque L−1 ∈ L(V ), es abierto en L(V ).Sugerencia: Para L ∈ I(V ) considere la bola abierta Br(L) de centro en L y radio

r = ‖L−1‖−1. Si T ∈ Br(L) y S = T − L, verıfique que T = L(I + L−1S) y que

I + L−1S ∈ I(V ).

c) Demuestre que la funcion ϕ : I(V ) → I(V ) dada por ϕ(L) = L−1 escontinua.Sugerencia: Mostrar la continuidad de ϕ en las bolas de radio r < 1.

18. Sean U y V espacios vectoriales normados, con U de dimension finita. De-mostrar que toda transformacion lineal L : U → V es continua.Sugerencia: Ver ejercicio propuesto numero 30 de la seccion anterior, y recuerde que

todas las normas en espacios finito dimensionales son equivalentes.


19. Demostrar que los espacios normados c0 , c, `∞ y `p, introducidos en el ejer-cicio propuesto numero 19 de la pagina 102, son de Banach.

20. Demostrar que el completado metrico de un espacio vectorial normado es unespacio de Banach.

21. Sea N? = N \ {0} dotado con la metrica d(n,m) =∣∣ 1n −

1m

∣∣, n,m ∈ N?.Demostrar que (N?, d) no es completo. ¿Cual es su completado metrico?

22. Sea C[0, 1] el espacio vectorial de todas las funciones continuas del intervalo[0, 1] en R. Es conocido que ‖f‖1 =

∫ 1

0|f(x)|dx define una norma en C[0, 1];

ver ejercicio propuesto numero 5 en la pagina 86. Para cada entero n ≥ 1, sea

fn ∈ C[0, 1] dada por fn(x) =

{1− (n+ 1)x, si 0 ≤ x ≤ 1

n+1

0, si 1n+1 ≤ x ≤ 1

. Demostrar

que la sucesion (fn)n≥1 es de Cauchy en (C[0, 1], ‖ · ‖1), pero no converge;por tanto este espacio no es completo. Describa su completado metrico. 5

23. Un espacio metrico (X, d) se dice totalmente acotado si, y solo si, para cadaε > 0 existe un numero finito de bolas abiertas de radio ε, Bε(x1), · · · , Bε(xn)que cubre a X. Demostrar:

a) Todo espacio metrico totalmente acotado es acotado. De un ejemplo dondeel recıproco no se cumpla.

b) (X, d) es totalmente acotado si, y solo si, cada sucesion tiene una subsu-cesion de Cauchy.

c) (X, d) es completo si, y solo si, cada subconjunto infinito y totalmenteacotado tiene un punto de acumulacion.

24. En un espacio topologico (X, T ) un subconjunto R de X se dice residual si, ysolo si, A contiene la interseccion numerable de conjuntos abiertos y densos.Demostrar que un subconjunto A de X es magro si, y solo si, su complementoes residual.

25. Sean (X, T ) un espacio Baire y Y ⊂ X un conjunto magro. Demostrar queY tiene interior vacıo. Deducir que X \ Y es no magro.

26. Si (X, T ) es un espacio Baire, T1 y numerable, entonces el conjunto de puntosaislados en X es abierto y denso.

27. Demostrar que un espacio topologico T1, numerable y sin puntos aislados nopuede ser Baire.

5Uno de los objetivos de la Teorıa de la Medida e Integracion es identificar el completado

metrico de (C[0, 1], ‖ · ‖1) con un espacio de “funciones”, el cual es denotado por L1([0, 1],R),

y se conoce con el nombre de espacio de funciones integrables


28. Si (X, d) es un espacio metrico completo y A es un subespacio cerrado einfinito numerable de X, entonces el conjunto de puntos aislados en A esinfinito.

29. Sean (X, d) es un espacio metrico completo y f : X → R (R con la metricausual) una funcion continua. Demostrar que para cada abierto no vacıo V deX existe un abierto no vacıo U ⊂ V tal que, para alguna constante M ≥ 0,se cumple |f(x)| ≤M para cada x ∈ U .

¿Continua siendo valido el enunciado si se cambia R por cualquier espaciovectorial normado (V, ‖ · ‖)?

30. Sean (X, d) y (Y, d′) espacios metricos, el primero de ellos completo. Si unasucesion (fn)n≥1 de funciones continuas de X en Y converge puntualmentea la funcion f : X → Y , demostrar que el conjunto de puntos de continuidadde f es residual; es decir, el conjunto de puntos de discontinuidad de f esmagro; en otras palabras, el el conjunto de puntos de discontinuidad de lafuncion lımite es topologicamente insignificante.Sugerencia: Para cada par de enteros p, k ≥ 1 considere los conjuntos:

Apk = {x ∈ X : d′(fp(x), f(x)) ≤ 1k}, Ak =

[p≥1

int(Apk), y

Bpk = {x ∈ X : d′(fp(x), fp+n(x)) ≤ 1k, para todo n ≥ 1}.

Muestre que f es continua en x equivale a que x ∈Tk≥1 Ak; ver ejercicio propuesto

numero 22 en la seccion 3.2. Finalmente, para verificar que cada Ak es denso, muestre que

Bpk ⊂ Apk y X =Sp≥1Bpk.

4Funciones continuas y homeomorfismos

“The existence of analogies between central features of various theories

implies the existence of a general theory which underlies the particular

theories and unifies them with respect to those central features”

Eliakim Moore (1862 - 1932)

En diferentes ramas de la matematica se estudian estructuras y sus morfismos,estos ultimos son funciones especiales definidas entre conjuntos dotados de unamisma estructura. Por ejemplo, en Algebra Lineal la estructura estudiada es lade espacio vectorial, sus morfismos son las transformaciones lineales; cuando seconsidera la estructura algebraica de anillo, o de grupo, los morfismos son loshomomorfirmos. En las estructuras topologicas los morfismos son las funcionescontinuas, las cuales ya hemos analizado en el particular contexto de los espaciosmetricos; en lo que sigue abordamos un estudio similar desde un punto de vistotopologico mas general.

4.1. Funciones continuas

El concepto clasico de continuidad de funciones entre espacios topologicosarbitrarios, la que estableceremos a continuacion, podrıa decirse que esta ins-pirado en la caracterizacion de la continuidad de una funcion entre espaciosmetricos, en la cual la nocion de distancia es obviada; ver ejercicio propuesto 11en la pagina 119.

4.1.1. Definicion y propiedades basicas

Definicion 4.1. Dados dos espacios topologicos (X, T ) e (Y,U), una funcionf : X → Y se dice continua si, y solo si, f−1(U) ∈ T para cada U ∈ U .

El siguiente teorema establece un listado, seguramente incompleto, de con-diciones que son equivalentes a la definicion de continuidad recien expuesta. Envista de ello constituye un importante conjunto de herramientas para demostrarcontinuidad de funciones entre espacios topologicos arbitrarios.

Teorema 4.1. Si (X, T ) e (Y,U) son espacios topologicos y f : X → Y es unafuncion, entonces son equivalentes:

(1) La funcion f es continua.

(2) Para cada x ∈ X y U ∈ U con f(x) ∈ U , existe V ∈ T tal que x ∈ V yf(V ) ⊂ U .

(3) Para cada cerrado C en Y , f−1(C) es cerrado en X.

151

152 4.1. Funciones continuas

(4) Para cualquier base B de U y cada B ∈ B, f−1(B) ∈ T .

(5) Para cualquier subbase S de U y cada S ∈ S, f−1(S) ∈ T .

(6) Para cada x ∈ X y cada vecindad U de f(x) en Y , f−1(U) es una vecindadde x.

(7) Para cada x ∈ X y cada vecindad U de f(x) en Y , existe una vecindad V

de x en X tal que f(V ) ⊂ U .

(8) Para cada A ⊂ X, f(cl(A)) ⊂ cl(f(A)).

(9) Para cada B ⊂ Y , cl(f−1(B)) ⊂ f−1(cl(B)).

Demostracion: Antes de ofrecer algunas partes de la demostracion del teore-ma, recordemos que para cualquier funcion g : A → B, cualesquiera sean losconjuntos A y B, la imagen y preimagen satisfacen:

a) g(g−1(C)) ⊂ C y D ⊂ g−1(g(D)), para todo D ⊂ A y C ⊂ B.

b) g−1(D \ E) = g−1(D) \ g−1(E), para todo D,E ⊂ B.

(1)⇔ (2). Supongamos que f es continua. Sean x ∈ X y U ∈ U tal que f(x) ∈ U ,luego es claro que x ∈ f−1(U) = V ∈ T y f(V ) ⊂ U , por tanto f cumple (2).Recıprocamente, supongamos que la funcion f satisface (2). Sea U ∈ U , veamosque f−1(U) es abierto en X. Tomemos x ∈ f−1(U); dado que f(x) ∈ U , existeV ∈ T tal que x ∈ V y f(V ) ⊂ U , de donde V ⊂ f−1(f(V )) ⊂ f−1(U), con locual x es punto interior de f−1(U), y por ser x arbitrario sigue que f−1(U) ∈ T ,con lo cual f es continua.

(1)⇔ (3). Es consecuencia inmediata del hecho que f−1(Y \B) = X \ f−1(B),para todo B ⊂ Y .

(1) ⇔ (4). Si f es continua, B es cualquier base de T y B ∈ B, entonces enparticular B ∈ T , en consecuencia f−1(B) ∈ T . Luego (4) se cumple. Suponga-mos ahora que f satisface la propiedad (4). Tomemos cualquier base B de T yU ∈ T . Entonces U se expresa como una union de conjuntos en B. Ahora bien,la imagen inversa preserva la union de conjuntos, por lo que f−1(U) es unionde conjuntos de la forma f−1(B), para ciertos B ∈ B. Dado que cada f−1(B)es abierto, sigue que f−1(U) tambien lo es. Ası, f es continua.

(3) ⇔ (8). Supongamos que la funcion f satisface (3). Sea B ⊂ Y ; dado queB ⊂ cl(B), entonces f−1(B) ⊂ f−1(cl(B)). Pero como cl(B) es cerrado en Y , setiene que f−1(cl(B)) es cerrado en X; de donde cl(f−1(B)) ⊂ f−1(cl(B)), puescl(f−1(B)) es el menor cerrado en X que contiene a f−1(B). Recıprocamente,supongamos que f satisface (8). Sea B un conjunto cerrado cualquiera de Y ; estoes, cl(B) = B. Entonces cl(f−1(B)) ⊂ f−1(B), por tanto cl(f−1(B)) = f−1(B);con lo cual f−1(B) es cerrado en X.

Dejamos los detalles restantes al lector.

4. Funciones continuas y homeomorfismos 153

En el capıtulo 3 mostramos varios ejemplos de funciones continuas entreespacios metricos; a seguir mostraremos otros clasicos ejemplos de funcionescontinuas entre espacios topologicos.

Ejemplo 4.1 (Funcion constante). Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologi-cos arbitrarios. Para cada y ∈ Y fijo, la funcion constante igual a y, es de-cir cy : X → Y con cy(x) = y para todo x ∈ X, es continua. Esto si-gue inmediatamente del siguiente hecho: dado cualquier subconjunto V de Y ,

c−1y (V ) =

{∅, si y /∈ VX, si y ∈ V

.

Ejemplo 4.2. Si X es un conjunto cualquiera dotado con la topologıa discretaD e (Y,U) es cualquier espacio topologico, entonces toda funcion f : X → Y escontinua. Esto es obvio pues todo subconjunto de X esta en D.

Ejemplo 4.3. Sean Y un conjunto cualquiera dotado con la topologıa indiscretaI, (X, T ) cualquier espacio topologico y f : X → Y cualquier funcion. Dadoque el unico abierto no vacıo en I es Y y f−1(Y ) = X, entonces la funcion f escontinua.

Ejemplo 4.4 (Funcion identidad e inclusion). Sea (X, T ) un espacio to-pologico. La funcion identidad; esto es, la funcion iX : X → X definida poriX(x) = x para cada x ∈ X, es claramente continua al considerar en X lamisma topologıa, pues para cada U ⊂ X, i−1

X (U) = U . Tambien es continua lafuncion inclusion; mas precisamente, sea A un subespacio de X, la inclusion deA en X es la funcion iA : A → X dada por iA(a) = a para todo a ∈ A. Lacontinuidad de iA sigue del hecho que i−1

A (U) = A ∩ U para todo U ⊂ X.En general iX no tiene porque ser continua si en el conjunto X se consideran

distintas topologıas. Por ejemplo, si en un conjunto X con mas de un elementoconsideramos las topologıas I y D (topologıas indiscreta y discreta), entoncesiX : (X, I)→ (X,D) no es continua. Ver ejercicio propuesto 2 de esta seccion.

Ejemplo 4.5 (Proyecciones). Sean (X1, T1), · · · , (Xn, Tn) espacios topologi-cos. Recordemos que la coleccion B formada por todos los conjuntos de la forma∏ni=1 Ui, con Ui abierto en Xi (i = 1, · · · , n), es una base de la topologıa pro-

ducto en∏ni=1Xi. Para cada j = 1, · · · , n se define la j-esima proyeccion de∏n

i=1Xi como la funcion πj :∏ni=1Xi → Xj dada por πj(x1, · · · , xn) = xj , para

cada (x1, · · · , xn) ∈∏ni=1Xi. Dado que para todo conjunto abierto Uj en Xj se

tiene que π−1j (Uj) =

∏ni=1 Ui, donde Ui = Xi si i 6= j, entonces la funcion pro-

yeccion πj es continua. Note que esto tambien indica que la coleccion de todoslos conjuntos de la forma π−1

j (Uj), con j = 1 · · · , n y Uj ∈ Tj , es una subbasepara la topologıa producto de

∏ni=1Xi. Adicionalmente a la continuidad, y la

obvia sobreyectividad, cada una de las proyecciones de∏ni=1Xi es una funcion

abierta; es decir, cada πj mapea conjuntos abiertos de∏ni=1Xi en conjuntos

abiertos en Xj . Esta ultima afirmacion de deduce muy facilmente del hecho que


la union de conjuntos es preservada por cualquier funcion, ver apartado 1.2.2en el capıtulo 1; ademas, si U =

∏ni=1 Ui, entonces πj(U) = Uj . En conclusion,

toda proyeccion de∏ni=1Xi es una funcion continua, sobreyectiva y abierta.

Ejemplo 4.6. Sea X un conjunto no vacıo dotado con la topologıa cofinita, verejemplo 2.4. Veamos que una funcion f : X → X es continua si, y solo si, f esconstante o f−1({x}) es un conjunto finito, cualquiera sea x ∈ X.

Supongamos que f es continua; es decir, para cualquier conjunto cerradoA de X, f−1(A) es un conjunto cerrado; recuerde que un conjunto A ⊂ X escerrado en la topologıa cofinita si, y solo si, A = X o A tiene cardinal finito. Enparticular, f−1({x}) es un conjunto cerrado, cualquiera sea x ∈ X. Por tanto,si f es no constante, f−1({x}) ( X para todo x ∈ X; esto significa que paracada x ∈ X, f−1({x}) es un conjunto con finitos elementos.

En el ejemplo 4.1 se mostro que toda funcion constante es continua. Vea-mos que tambien es continua toda funcion f tal que f−1({x}) es un conjuntofinito, cualquiera sea x ∈ X. Tomemos cualquier subconjunto cerrado A deX. Obviamente si A = X o A = ∅, entonces f−1(A) es cerrado. Por otrolado, si A = {a1, · · · , an} para ciertos elementos a1, · · · , an ∈ X, dado quef−1(A) =

⋃nk=1 f

−1({ak}) tiene cardinal finito, entonces f−1(A) es cerrado. Deesta forma la funcion f es continua.

A continuacion mostraremos un conjunto de propiedades basicas de la conti-nuidad de funciones entre espacios topologicos arbitrarios, algunas ya analizadasen el particular marco de espacios metricos.

Proposicion 4.1 (Continuidad sobre la imagen). Sean (X, T ), (Y,U) espa-cios topologicos y Z un subespacio de Y . Si f : X → Y es una funcion continuay f(X) ⊂ Z, entonces f : X → Z es continua.

Demostracion: Sea V un abierto en Z; esto es, V = Z ∩ U con U abierto enY . Dado que f−1(V ) = f−1(Z) ∩ f−1(U) = X ∩ f−1(U) = f−1(U) y f−1(U)es abierto en X, entonces f−1(V ) tambien es abierto en X, lo cual implica lacontinuidad de la funcion f : X → Z.

Proposicion 4.2 (Continuidad de la composicion). Sean (X, T ), (Y,U) y(Z,V) espacios topologicos. Si f : X → Y y g : Y → Z son funciones continuas,entonces la composicion g ◦ f : X → Z es continua.

Demostracion: Para la continuidad de la funcion g ◦ f basta verificar que(g ◦ f)−1(U) es abierto, cualquiera sea el abierto U de Z. Pero esto sigue in-mediatamente del hecho que (g ◦ f)−1(U) = f−1(g−1(U)), cualquiera sea elsubconjunto U de Z.

Corolario 4.1. Sean (X, T ), (Y,U) espacios topologicos y A un subespacio deX. Si f : X → Y es continua, entonces tambien lo es la restriccion f |A : A→ Y ,f |A(a) = f(a) para cada a ∈ A.


Demostracion: Sigue inmediatamente de la proposicion anterior pues clara-mente f |A = f ◦ iA, donde iA es la funcion inclusion de A en X.

El recıproco del corolario precedente es falso. Consideremos R con la topo-

logıa usual y f : R→ R la funcion dada por f(x) =

{0, si x ∈ Q1, si x /∈ Q

, para cada

x ∈ R. Obviamente f |Q es continua (¡es constante!), pero f no lo es.

A seguir mostramos un resultado que es una herramienta util para cons-truir funciones continuas a partir de funciones continuas definidas en trozos delespacio.

Proposicion 4.3 (Pegamiento de funciones continuas). Sean (X, T ), (Y,U)espacios topologicos tales que X = A ∪ B, con A y B son conjuntos abiertos(resp. cerrados) en X. Si f : A→ Y y g : B → Y son funciones continuas talesque f |A∩B = g|A∩B, entonces el pegamiento f ⊕ g : X → Y de f y g es una

funcion continua, donde (f ⊕ g)(x) =

{f(x), si x ∈ Ag(x), si x ∈ B

para cada x ∈ X.

Demostracion: Supongamos que A y B son conjuntos abiertos en X. Noteque de la coincidencia de f y g en A ∩ B, (f ⊕ g)−1(U) = f−1(U) ∪ g−1(U),cualquier sea el subconjunto U de Y . Por tanto, si U es abierto en Y , comof−1(U) y g−1(U) son abiertos en A y B, respectivamente, y estos conjuntosson abiertos en X, entonces (f ⊕ g)−1(U) es tambien abierto en X. Luego elpegamiento de f y g es una funcion continua.

La demostracion en el caso que A y B sean conjuntos cerrados de X esesencialmente la misma.

La siguiente proposicion es una extension de la proposicion 3.10, no obstantees requerida la propiedad de ser Hausdorff al espacio topologico de llegada dela funcion, ver definicion 3.3.

Proposicion 4.4 (Grafico cerrado). Sean (X, T ), (Y,U) espacios topologicoscon este ultimo Hausdorff. Si f : X → Y es una funcion continua, entonces sugrafico graf(f) = {(x, f(x)) : x ∈ X} es un conjunto cerrado en X × Y con latopologıa producto.

Demostracion: Mostraremos que el conjunto (X×Y )\graf(f) es un conjuntoabierto en X × Y . Tomemos un punto (x, y) ∈ (X × Y ) \ graf(f); note quey 6= f(x). Luego existen abiertos disjuntos V y W en Y tales que y ∈ V yf(x) ∈ W . Sea U un abierto en X tal que x ∈ U y f(U) ⊂ W . Veamos queU × V , el cual es abierto en X × Y , es disjunto de graf(f). En efecto, si existe(u, v) ∈ U × V con v = f(u), entonces como f(U) ⊂W , se tiene que f(u) ∈W ,lo cual es falso ya que V ∩W = ∅. Ası, cualquier punto en (X ×Y ) \ graf(f) esun punto interior de ese conjunto, por tanto graf(f) es cerrado en X × Y .


Comentario 4.1. En el capıtulo 3 mostramos dos resultados que involucran laextension, unica, de funciones continuas. Entre espacios topologicos arbitrariostambien pueden colocarse condiciones suficientes que garanticen la extension defunciones continuas. Este es un topico que no tratamos aca, el lector interesadopuede obtener una razonable informacion acerca de este tema en: [7] (ejercicioD del capıtulo 3); [2] (Teorema 1 del capıtulo 8) y [13] (teorema 39.10). Noes difıcil verificar que si X es un conjunto con mas de un elemento y dotadocon la topologıa indiscreta, entonces la funcion inclusion iA : X → X, conA = X \ {x} para algun x ∈ X, tiene al menos una extension continua distintade la identidad.

Para funciones entre espacios topologicos arbitrarios existe, al igual que parafunciones entre espacios metricos, una nocion de continuidad en un punto.

Definicion 4.2. Dados dos espacios topologicos (X, T ) e (Y,U), una funcionf : X → Y se dice continua en x ∈ X si, y solo si, para cada vecindad V def(x) en Y , existe una vecindad U de x en X tal que f(U) ⊂ V .

Aunque esta definicion luzca compleja, ella se ajusta a la intuicion puesrefleja que no importa cuan pequena sea la vecindad de f(x), siempre se puedeencontrar una vecindad de x de manera que la funcion f mapea esta vecindaddentro de la primera, lo cual recoge el espıritu de la nocion de continuidad enun punto para funciones entre espacios metricos. De hecho no es difıcil mostrarque si T y U , en la definicion anterior, son topologıas metricas, entonces lasdefiniciones 3.7 y 4.2 son equivalentes.

Proposicion 4.5. Si (X, T ) e (Y,U) son espacios topologicos y f : X → Y esuna funcion, entonces

(1) La funcion f es continua si, y solo si, es continua en cada uno de los puntosde X.


Figura 4.1: Continuidad de la funcion f en el punto x.

(2) La funcion f es continua en el punto x ∈ X si, y solo si, para cada vecindadV de f(x) en Y , el conjunto f−1(V ) es una vecindad de x en X.


Es importante mencionar que no es posible caracterizar la continuidad deuna funcion en un punto a partir de la abertura de cualquier preimagen decualquier abierto que contenga al punto. Por ejemplo, consideremos la funcion

f : R → R (R con la topologıa usual) definida por f(x) =

{0, si x ≤ 1

1, si x > 1,

para cada x ∈ R. El abierto V = (− 12 ,

12 ) contiene a f(0) = 0, sin embargo

f−1(V ) = (−∞, 1] no es un conjunto abierto en R.


1. Completar la demostracion del teorema 4.1.

2. Dadas dos topologıas T y U en un conjunto X, demostrar que la funcionidentidad iX : (X, T )→ (X,U) es continua si, y solo si T es mas fina que U ;es decir, U ⊂ T .

3. Sean (X, T ) un espacio topologico y A ⊂ X. La funcion caracterıstica de Aes χA : X → R con χA(x) = 1 siempre que x ∈ A, y χA(x) = 0 si x /∈ A.Demostrar que χA es continua si, y solo si, A es abierto y cerrado.

4. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos, A ⊂ X denso y f : X → Y

continua y sobreyectiva. Demostrar que f(A) es denso en Y . ¿Continua siendoverdadera esta propiedad si se sustituye denso por nunca denso?


5. Sea (X,�) un conjunto parcialmente ordenado dotado con la topologıa delorden parcial a derecha, ver ejercicio propuesto 16 en la pagina 57. Demostrarque una funcion f : X → X es continua si, y solo si, es creciente; es decir,para cada x, y ∈ X con x � y se tiene f(x) � f(y).

6. Sean (X, T ), (Y,U) espacios topologicos, A ⊂ X y f : X → Y una funcioncontinua. Demostrar que TA, la relativizacion de T a A, es la topologıa menosfina que hace a la restriccion f |A una funcion continua.


8. Sea (X, T ) un espacio topologico tal que para cualquier espacio topologico(Y,U) y cualquier funcion f : X → Y se tiene que f es continua, demostrarque T es la topologıa discreta. Comparar con el ejemplo 4.2.

9. Sea (Y,U) un espacio topologico tal que para cualquier espacio topologico(X, T ) y cualquier funcion f : X → Y se tiene que f es continua, demostrarque U es la topologıa indiscreta. Comparar con el ejemplo 4.3.

10. Sean (X, T ), (X1, T1), · · · , (Xn, Tn) espacios topologicos y∏ni=1Xi dotado

con la topologıa producto. Demostrar:

(a) Una funcion f : X →∏ni=1Xi es continua si, y solo si, para cada entero

j ∈ {1, · · · , n} la funcion πj ◦ f es continua, donde πj es la j-esimaproyeccion de

∏ni=1Xi.

(b) Si una funcion f :∏ni=1Xi → X es continua, entonces para cada entero

j ∈ {1, · · · , n} y cada xi ∈ Xi (i 6= j) fijos, la j-esima funcion parcialfj : Xj → X dada por fj(xj) = f(x1, · · · , xj−1, xj , xj+1, · · · , xn), paracada xj ∈ Xj , es continua.

11. Sean (X, T ), (X1, T1), · · · , (Xn, Tn) espacios topologicos y T cualquier to-pologıa en el producto cartesiano

∏ni=1Xi tal que cada proyeccion es una

funcion continua. Demostrar que si P es la topologıa producto en∏ni=1Xi,

entonces P ⊂ T ; es decir, la topologıa producto es la topologıa menos finaen∏ni=1Xi que hace a cada una de las proyecciones una funcion continua.

12. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos satisfaciendo el primer axioma denumerabilidad. Demostrar que una funcion f : X → Y es continua si, y solosi, para cada x ∈ X y cada sucesion (xn)n≥0 en X convergiendo a x se cumpleque la sucesion (f(xn))n≥0 converge a f(y). ¿Continua siendo verdadera estapropiedad si alguno de los espacios deja de ser primero numerable?

13. Sean (X, T ) un espacio topologico, R con la topologıa usual y f1, · · · , fnfunciones continuas de X en R. Demostrar que:

(a) {x ∈ X : f1(x) ≤ 0, · · · , fn(x) ≤ 0} es cerrado en X.

(b) {x ∈ X : f1(x) > 0, · · · , fn(x) > 0} es abierto en X.


¿Siguen siendo verdaderas las propiedades anteriores si se considera un nume-ro infinito de funciones continuas?

14. Sean (X, T ), (Y,U) espacios topologicos tales que X = A ∪ B, con A y B

son conjuntos abiertos (resp. cerrados) en X. Demostrar que si f : X → Y

es cualquier funcion con las restricciones f |A y f |B continuas, entonces f escontinua.

15. Mostrar un ejemplo que evidencie lo crucial de la hipotesis “A,B subconjun-tos abiertos (resp. subconjuntos cerrados) de X” en el ejercicio anterior.

16. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos, f : X → Y continua y sobreyectiva,y sea A ⊂ X denso. Demostrar que f(A) es denso en Y . ¿Continua siendocierta esta propiedad si se cambia la palabra denso por nunca denso?

17. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos, siendo el segundo Hausdorff. SiA ⊂ X es denso y g, f : X → Y son funciones continuas tales que f(x) = g(x)para cada x ∈ A, demostrar que f = g.

18. Sean (X, T ) un espacio topologico y C(X) el conjunto de todas las funcionescontinuas de X en R, este ultimo espacio con la topologıa usual. Para cadaf, g ∈ C(X) y α ∈ R se definen las funciones f+g, αf , f.g, f/g, |f |, max(f, g)y mın(f, g) como:

(f + g) : X → R por (f + g)(x) = f(x) + g(x), para cada x ∈ X,

αf : X → R por (αf)(x) = αf(x), para cada x ∈ X,

f.g : X → R por (f.g)(x) = f(x).g(x), para cada x ∈ X,

f/g : X → R, con g(x) 6= 0 para todo x ∈ X, por (f/g)(x) = f(x)g(x) ,

cualquiera sea x ∈ X,

|f | : X → R por |f |(x) = |f(x)|, para cada x ∈ X,

max(f, g) : X → R por max(f, g) = (f+g)+|f−g|2 , y

mın(f, g) : X → R por mın(f, g) = (f+g)−|f−g|2 .

Demostrar que cada una de las funciones anteriores en continua.

19. Sea (X, T ) un espacio topologico; considere el espacio vectorial normadoMn×m(R), cualesquiera sean los enteros n,m ≥ 1.

(a) Si f : X → Mn×m(R) y g : X → Mm×k(R) son funciones continuas,demostrar que x 7−→ f(x)g(x) define una funcion continua de X enMn×k(R).

(b) Sea GL(n) es abierto de las matrices invertibles de orden n × n. Si f :X → GL(n) es una funcion continua, demostrar que tambien lo es lafuncion g : X → GL(n), donde g(x) = (f(x))−1 para cada x ∈ X.

160 4.2. Homeomorfismos

20. Sean (X, T ) un espacio topologico y Cb(X) el conjunto de todas las funcio-nes continuas de X en R que son acotadas; es decir, f ∈ Cb(X) si, y solo si,f ∈ C(X) y existe M > 0 tal que, para cada x ∈ X, |f(x)| ≤M . Demostrarque Cb(X) con las anteriores operaciones de adicion de funciones y la multi-plicacion por escalares, junto a ‖f‖ = maxx∈X |f(x)|, es un espacio vectorialnormado.

21. Suministre un ejemplo de una funcion f : X → Y , continua en un puntox ∈ X, y de un cerrado U en Y con f(x) en su interior de forma que f−1(U)no sea cerrado en X.

4.2. Homeomorfismos

En esta seccion sera estudiada una clase especial de funciones continuas entreespacios topologicos, tratase de las funciones continuas mediante las cuales dosespacios topologicos son, desde el punto de vista de la topologıa, identicos. Losproceso de clasificacion de estructuras generalmente estan presentes tanto enla Matematica como en otras ciencias. Ejemplo de tales clasificaciones ya sonconocidas: las isometrıas hacen indistinguibles los espacios metricos desde elpunto de vista las metricas; mientras que los isomorfismos hacen lo propio conlos espacios vectoriales en el Algebra Lineal.

4.2.1. Definicion y propiedades basicas

Supongamos que f es una funcion del espacio topologico (X, T ) en el espaciotopologico (Y,U). A pesar de la continuidad, estos dos espacios pueden diferirprofundamente, no solo desde el punto de vista de la teorıa de conjuntos (X e Ypueden tener cardinalidad distinta), sino tambien topologicamente: la cantidadde conjuntos abiertos pueden ser distintas. Si suponemos que la funcion f esbiyectiva, entonces los conjuntos X e Y tienen la misma cantidad de elementos,no obstante la cantidad de abiertos en cada uno de ellos puede diferir. Por ejem-plo si card(X) = card(Y ) ≥ 2, T es la topologıa discreta y U es la indiscreta,entonces el numero de conjuntos abiertos en ambos espacios difieren. Ası que lacontinuidad y biyeccion no son condiciones suficientes para identificar biunıvo-camente las topologıas de ambos espacios; sin embargo si la funcion inversa f−1

es tambien continua, entonces ademas de la correspondencia biunıvoca entre lospuntos de ambos conjuntos, tambien sus conjuntos abiertos quedan identificadosuno a uno, lo cual puede verificarse sin dificultad.

Definicion 4.3. Dados dos espacios topologicos (X, T ) e (Y,U), una funcionf : X → Y se denomina homeomorfismo si, y solo si, f es continua, biyectivacon inversa continua.

Note que si f : X → Y es un homeomorfismo, entonces f−1 : Y → X

tambien lo es; por tanto diremos que los espacios topologicos (X, T ) e (Y,U)


son homeomorfos, o topologicamente equivalentes, lo que denotamos por X ∼ Y ,si, y solo si, existe un homeomorfismo entre ellos. Dado que la funcion identidaden cualquier espacio topologico es, obviamente, un homeomorfismo, y ademascomo la composicion de funciones continuas y biyectivas es tambien continua ybiyectiva, entonces ∼ define una relacion de equivalencia en la coleccion formadapor todos los espacios topologicos. Justamente los espacios topologicos en unamisma clase de equivalencia son los espacios topologicos homeomorfos entre sı,y por tanto identicos desde el punto de vista de la topologıa.

Si una funcion f : X → Y entre los espacios topologicos (X, T ) e (Y,U) escontinua e inyectiva, mas no sobreyectiva, entonces puede ocurrir que la funcionf−1 : f(X)→ Y , con f−1(y) = x siempre que f(x) = y para todo x ∈ X, tam-bien sea continua. En consecuencia X es homeomorfo a una parte de Y . Cuandoesto ocurra diremos que f es una inmersion topologica, o simplemente una in-mersion. En este caso se dice que el espacio topologico X esta topologicamenteinmerso en Y , lo cual denotaremos por X ↪→ Y .

El siguiente teorema caracteriza las funciones continuas y biyectivas que sonhomeomorfismos.

Teorema 4.2. Si (X, T ) e (Y,U) son espacios topologicos y f : X → Y es unafuncion continua y biyectiva, entonces son equivalentes:

(1) f es un homeomorfismo.

(2) Si U ⊂ X, entonces f(U) es abierto en Y si, y solo si, U es abierto en X.

(3) Si V ⊂ X, entonces f(V ) es cerrado en Y si, y solo si, V es cerrado en X.

(4) Si A ⊂ X, entonces f(cl(A)) = cl(f(A)).

Demostracion:

(1) ⇒ (2). Sea U un subconjunto de X. Dado que f−1(f(U)) = U por lasobreyectiva de f , entonces f(U) es abierto en Y equivale, por la continuidadde f , a que U sea abierto en X.(2) ⇒ (3). Sea V un subconjunto de X. Dado que f(V ) es cerrado en Y si, ysolamente si, Y \ f(V ) es abierto en Y ; pero Y \ f(V ) = f(X \ V ) (¿por que?),entonces f(V ) es cerrado en Y equivale a que X \ V sea abierto en X, lo cualdemuestra (3).(3)⇒ (4). Tomemos un subconjunto A de X. Primero recuerde que la continui-dad de f implica que f(cl(A)) ⊂ cl(f(A)), ver teorema 4.1. Por otra parte, esclaro que f(cl(A)) es un conjunto cerrado en Y , pues cl(A) es cerrado en X ycomo f(A) ⊂ f(cl(A)), entonces cl(f(A)) ⊂ f(cl(A)); luego (4) se cumple.(4)⇒ (1). Se deja al lector.

Comentario 4.2.


(i) Las funciones entre espacios topologicos que mapean conjuntos abiertos(resp. cerrados) en conjuntos abiertos (resp. cerrados) son conocidas comofunciones abiertas (resp. cerradas). Ası, el teorema anterior dice que unafuncion continua y biyectiva entre espacios topologicos es un homeomor-fismo si, y solo si, es abierta (resp. cerrada).

(ii) Existen otras formas de caracterizar las funciones continuas y biyectivasque son homeomorfismos, algunas de ellas se presentan en el ejercicio pro-puesto numero 5 de esta seccion.

La siguiente proposicion, cuya demostracion dejamos al lector, es bastanteutil pues ofrece homeomorfismos locales a partir de un homeomorfismo global;en particular la emplearemos en los ejemplos 4.8 y 4.10.

Proposicion 4.6. Una funcion f : X → Y es un homeomorfismo si, y solo si,para cada A ⊂ X, la restriccion f |A : A→ f(A) es un homeomorfismo.

A continuacion mostraremos una lista que contiene varios ejemplos clasicosde homeomorfismos y de funciones continuas y biyectivas que no son homeo-morfismos.

Ejemplo 4.7. El ejemplo mas simple de homeomorfismo, como lo anunciamosarriba, es la funcion identidad de un conjunto X dotado con la misma topo-logıa. De hecho esta es la unica forma posible para que la identidad sea unhomeomorfismo.

Ejemplo 4.8. Sea (V, ‖ · ‖) un espacio normado. Fijados un escalar α 6= 0y un vector u ∈ V , al operador lineal Hα : V → V , con Hα(v) = αv paracada v ∈ V , se le conoce con el nombre de homotecia; mientras que la funcionTu : V → V , definida por Tu(v) = v + u para cada v ∈ V , es denominadatraslacion. Observe que tanto Hα como Tu son biyectivas, de hecho sus inversasson, respectivamente, la homotecia Hα−1 y la traslacion T−u. Ademas, ambasson continuas pues: ‖Hα(v)‖ = |α|‖v‖ para todo v ∈ V , y si (vn)n≥0 es unasucesion en V con vn → v, entonces Tu(vn) → v + u = Tu(v). Ası pues, todahomotecia y toda traslacion en cualquier espacio normado son homeomorfismos.

Recordamos que 0V es el vector nulo en V . Consideremos las bolas abier-tas B1(0V ) = {v ∈ V : ‖v‖ < 1} y Bε(u) = {v ∈ V : ‖v − u‖ < ε}. Dadoque la traslacion T−u transforma a Bε(u) en Bε(0V ), y esta ultima bola abiertaes transformada en B1(0V ) por la homotecia Hε−1 (¡compruebe estas afirma-ciones!), entonces B1(0V ) y Bε(u) son homeomorfas, por tanto tambien lo soncualquier par de bolas abiertas en (V, ‖ · ‖). Esto en particular demuestra que eldiametro de conjuntos no es invariante por homeomorfismos.

Ejemplo 4.9. Todo espacio normado (V, ‖ · ‖) es homeomorfo a cualquiera desus bolas abiertas. Para demostrar esta afirmacion basta emplear el hecho que


todas las bolas abiertas en (V, ‖·‖) son homeomorfas entre sı y que las funcionesf : V → B1(0V ) y g : B1(0V )→ V dadas por:

f(v) =1

1 + ‖v‖v, v ∈ V, y g(w) =

11− ‖w‖

w, ‖w‖ < 1,

son continuas y una es la inversa de la otra.

Ejemplo 4.10. Sea R con la topologıa usual. Afirmamos que todos los intervalosabiertos en R son homeomorfos. Tomemos numeros reales cualesquiera a < b yconsideremos los homeomorfismos f, g, h : R→ R dados por:

f(x) =x− ab− a

, g(x) = x+ b− a y h(x) = −x.

Como f((a, b)) = (0, 1), g((a,+∞)) = (b,+∞) y h((a,+∞)) = (−∞,−a),entonces (a, b) ∼ (0, 1), (a,+∞) ∼ (b,+∞) y (a,+∞) ∼ (−∞,−a). Por otrolado, la funcion j : (0, 1) → (1,+∞), con j(x) = 1

x , es continua y su inversatiene la misma expresion; de allı que (0, 1) ∼ (1,+∞). Finalmente, del ejemploanterior tenemos que (−1, 1) ∼ R, por lo que al reunir todos estos hechos seobtiene una demostracion de la afirmacion.

De manera similar puede demostrase que los intervalos cerrado de longitudfinita, y no triviales, son homeomorfos entre sı. De igual forma lo son los inter-valos cerrados de longitud infinita. Resta averiguar si los intervalos en estas tresdistintas categorıas son o no homeomorfos. Retornaremos a este problema masadelante.

Ejemplo 4.11. No todas las transformaciones lineales, biyectivas y continuasson homeomorfismos. Sea RN

0 el espacio vectorial de todas las sucesiones (xn)n≥0

con valores en R que son eventualmente nulas; es decir, para cada (xn)n≥0 enRN

0 , existe n0 ≥ 0 tal que xn = 0 para todo n ≥ n0. En RN0 la funcion dada

por ‖(xn)n≥0‖ =√∑

n≥0 x2n define una norma. Consideremos sobre el espacio

normado (RN0 , ‖ · ‖) el operador lineal L dado por L((xn)n≥0) = (yn)n≥0, donde

y0 = x0, y yn = 1nxn para cada n ≥ 1. Obviamente para cada (xn)n≥0 en RN

0

se cumple ‖L((xn)n≥0)‖ ≤ ‖(xn)n≥0‖, por lo que L es continuo; ver ejerciciopropuesto numero 30 en la pagina 122. El operado lineal L es biyectivo pues eloperador lineal G : RN

0 → RN0 definido por G((yn)n≥0) = (xn)n≥0, con x0 = y0,

y xn = nyn para cada n ≥ 1, es tal que L ◦G = G ◦L = iRN0. Sin embargo, dado

que G no es continuo (¿por que?), L no es homeomorfismo.

La siguiente proposicion ofrece condiciones necesarias y suficientes para queuna transformacion lineal continua y biyectiva, entre espacios normados cuales-quiera, sea un homeomorfismo.

Proposicion 4.7. Si (V, ‖·‖1) y (W, ‖·‖2) son espacios normados y L : V →W

es lineal y biyectiva, entonces L es homeomorfismo si, y solo si, existen β, α > 0tales que β‖v‖1 ≤ ‖L(v)‖2 ≤ α‖v‖1 para todo v ∈ V .



Ejemplo 4.12. Del capıtulo anterior sabemos que las isometrıas entre espaciosmetricos hacen que los correspondientes espacios sean metricamente indistin-guibles. En realidad toda isometrıa es un homeomorfismo; ası que los espaciosmetricos isometricos son homeomorfos. El recıproco de esta propiedad no escierto. Consideremos a R con la topologıa usual y a (0, 1) con la respectiva to-pologıa relativa. En el ejemplo anterior mostramos que estos dos espacios conlas topologıas usuales son homeomorfos; sin embargo ellos no son isometricos.Pues si lo fuesen, entonces (0, 1) con la topologıa usual serıa completo, lo cualsabemos no es cierto. Recuerde que la completitud es preservada por isometrıas.

Observe que este ejemplo muestra que la completitud no es preservada porhomeomorfismos. No ocurre ası con la propiedad de ser metrizable, es lo quedemuestra la siguiente proposicion.

Proposicion 4.8. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos homeomorfos. Si(X, T ) es metrizable, entonces (Y,U) tambien lo es.

Demostracion: Sean f : Y → X un homeomorfismo y d una metrica en X

cuya topologıa es T . Definamos d′ : Y × Y → R por d′(x, y) = d(f(x), f(y)). Esmuy simple chequear que d′ define una metrica en Y , adicionalmente observeque para cada ε > 0 y x ∈ Y , Bd

′

ε (x) = f−1(Bdε (f(x))). Veamos que la topologıaV inducida por d′ es justamente U . Sean x ∈ Y y U ∈ U tal que x ∈ U . Dadoque f(U) es abierto en X, existe ε > 0 tal que Bdε (f(y)) ⊂ f(U), de dondeBd′

ε (x) ⊂ U ; luego U ⊂ V. Recıprocamente, tomemos una bola abierta Bd′

ε (x)en Y . Como f(Bd

′

ε (x)) = Bdε (f(x)) es abierto en X, entonces Bd′

ε (x) es abiertoen Y , de lo cual sigue que V ⊂ U .

Note que la metrica d′ en Y , la construida en la demostracion de la propo-sicion precedente, hace de f una isometrıa entre (Y, d′) y (X, d). En particular,existe una metrica d′ en el intervalo (0, 1), la cual induce la topologıa usual yhace que el espacio metrico ((0, 1), d′) sea completo.

Ejemplo 4.13. Sea S1 el cırculo unitario; esto es,

S1 = {(cos(2πx), sen(2πx)) : x ∈ [0, 1)} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

Consideremos en [0, 1) y S1 las topologıas inducidas por las topologıas usualesde R y R2 respectivamente. Definamos la funcion f : [0, 1) → S1 por f(x) =(cos(2πx), sen(2πx)) para cada x ∈ [0, 1). Dado que las funciones coseno y senoson continuas, entonces f tambien lo es; ademas, es simple verificar que f esbiyectiva. Veamos que f no es un homeomorfismo; es decir, su inversa no escontinua; de hecho mostraremos que f−1 no es continua en el punto p = (1, 0).En efecto, tomemos cualquier sucesion (xn)n≥0 en [0, 1) tal que para cada enteron ≥ 0 se cumplan las condiciones:


x2n <14 , x2(n+1) < x2n y x2n → 0, y

1 > x2n+1 >34 , x2n+3 > x2n+1 y x2n+1 → 1.

Claramente la sucesion (zn)n≥0 en S1, con zn = f(xn) para cada n ≥ 0, convergea p, sin embargo, la sucesion (xn)n≥0 es divergente; esto implica que la funcionf−1 no es continua en p.

Ejemplo 4.14 (Proyeccion estereografica). Sea S2 la esfera unitaria 2-dimensional; es decir, S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : ‖(x, y, z)‖ = 1}, donde ‖ · ‖ esla norma euclidiana en R3, denotemos por N = (0, 0, 1) su polo norte. La

Figura 4.2: Descripcion de la proyeccion estereografica en el hemisferio norte de S2.

proyeccion estereografica 2-dimensional es la funcion π : S2 \ {N} → R2 queasigna a cada p ∈ S2 \ {N} el punto π(p) ∈ R2, el cual es obtenido comodescribirmos a continuacion. Es claro que existe una unica recta LNp en R3

que pasa por los puntos N y p; ademas, esta recta intersecta R2 × {0} es ununico punto (xp, yp, 0); justamente, π(p) = (xp, yp). Note que para cada puntop = (p1, p2, 0) ∈ S2 (puntos en el ecuador de S2) se tiene π(p) = (p1, p2). Enadicion, los puntos del hemisferio norte de S2, excepto N , son mapeados porπ en el exterior del disco D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}; mientras que los puntosdel hemisferio sur son enviados en el interior de este disco. Mediante el uso decalculos lineales elementales es facil obtener:

π(p) =1

1− p3(p1, p2), para todo p = (p1, p2, p3) ∈ S2 \ {N}.


En vista que p3 6= 1, esta expresion para π(p) demuestra la continuidad de laproyeccion estereografica. Para verificar que esta funcion es un homeomorfismobasta proceder de manera inversa en la construccion de π, y emplear las mismasherramientas de calculo lineal para obtener la funcion g : R2 → S2 \ {N}, con

g(x, y) =1

x2 + y2 + 1(2x, 2y, x2 + y2 − 1), para cada (x, y) ∈ R2,

y que ademas satisface g ◦ f = iS2\{N} y f ◦ g = iR2 .En identica forma se demuestra que la esfera n-dimensional,

Sn = {(x1, · · · , xn+1) ∈ Rn+1 : ‖(x1, · · · , xn+1)‖ = 1},

menos su polo norte N = (0, · · · , 0, 1), es homeomorfa a Rn. Dejamos al lectorlos detalles para obtener una formula tanto para la proyeccion estereografican-dimensional como para su inversa.

Ejemplo 4.15. Consideremos espacios topologicos (X, T ) e (Y,U), y dotemosa X ×Y de la topologıa producto. Tomemos cualquier funcion continua f de Xen Y , mostraremos que X y el grafico graf(f) de f son homeomorfos.

Definamos g : X → X×Y por g(x) = (x, f(x)) para cada x ∈ X. Note que ges continua, ver ejercicio propuesto 10 en pagina 158; ademas, es biyectiva sobresu imagen, que es justamente graf(f). Por otra parte, dado que la restriccionπ1|graf(f) de la proyeccion π1 : X × Y → X es continua y satisface:

π1|graf(f) ◦ g = iX y g ◦ π1|graf(f) = igraf(f),

entonces X ∼ graf(f). Note que en realidad hemos demostrado que la funciong : X → X × Y es una inmersion topologica.

Como casos particulares tenemos:

el paraboloide P = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2} es homeomorfo a R2;

la hiperbola H = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1} es homeomorfa a R \ {0}; y

el hemisferio norte Sn+ = {(x1, · · · , xn+1) ∈ Sn : xn+1 > 0} de Sn eshomeomorfo a la bola abierta de Rn con centro en el origen y radio 1.

¿Cuales son las funciones continuas cuyos graficos son P,H y Sn+?

Ejemplo 4.16. Ahora demostraremos que todo rectangulo cerrado es homeo-morfo a cualquier disco cerrado. Salvo homotecias y traslaciones, es suficienteconstruir un homeomorfismo h : K → D, donde:

K = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} y D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.

Tomemos cualquier punto z en el borde de K, el segmento de recta Oz queune al origen O con z contiene el subsegmento Ow con extremos en O y


un punto w en el borde de D, el efecto geometrico de h sera transformar li-nealmente Oz en Ow de manera que el origen permanezca fijo. Sea (x, y) ∈K \ {O}, es simple verificar que los puntos z y w en los bordes de K y D

tal que (x, y) ∈ Oz son z =1

max{|x|, |y|}(x, y) y w =

1√x2 + y2

(x, y). Sea

` : [0,max{|x|, |y|}] → [0,√x2 + y2] el mapa lineal sobreyectivo con `(0) = 0;

es decir, `(s) =max{|x|, |y|}√

x2 + y2s, para cada s en el intervalo [0,max{|x|, |y|}].

Ası pues, la imagen de (x, y) por h es h(x, y) =max{|x|, |y|}√

x2 + y2(x, y). No es difıcil

chequear que h es continua, mas aun, usando la deformacion recıproca, la fun-

cion g : D → K, con g(x, y) =

√x2 + y2

max{|x|, |y|}(x, y) si (x, y) 6= O y g(O) = O, es

la inversa (tambien continua) de h.

En los anteriores ejemplos construimos de manera explıcita las funciones quedefinen los homeomorfismos entre las figuras geometricas consideradas. No siem-pre es simple, e incluso es generalmente imposible, ofrecer expresiones analıticaso algebraicas que describan la correspondencia homeomorfica entre dos objetosque, de acuerdo a nuestra intuicion geometrica, luzcan homeomorfas. Tal es el

caso, por ejemplo, del anillo circular y la figura a su lado, del disco cerrado yla silueta a su derecha, ası como la rosquilla y la tasa de cafe; estas representansolo una minuscula parte de la cantidad de ejemplos de figuras homeomorfas.Para un topologo, cada figura y su contraparte homeomorfa son el mismo obje-to, de allı la popular frase “un topologo es una persona que no distingue entreuna rosquilla y una tasa de cafe con una asa”.

El problema de mostrar si dos espacios topologicos son homeomorfos o no, esuna tarea que en general esta lejos de ser trivial. El lector podra descubir el nivelde esta dificultad intentando demostrar que R y R2, ambos con las topologıasusuales, no son homeomorfos. Las herramientas que son comunmente empleadas


para atacar este problema las proporciona la nocion de propiedad topologica,tambien conocida como invariante topologico.

Definicion 4.4. Una propiedad topologica es aquella que siendo satisfecha porun espacio topologico, esta presente en todo espacio homeomorfo a el; esto es,las propiedades topologicas son las propiedades en espacios topologicos que per-manecen invariantes por homeomorfismos.

En el resto de la monografıa abordaremos algunos invariantes topologicos.Note que si (X, T ) es un espacio topologico con una propiedad topologica P

y (Y,U) es otro espacio topologico que no satisface P , entonces X e Y nopueden ser homeomorfos. Ejemplos triviales de propiedades topologicas son: lacardinalidad de los conjuntos y la cardinalidad de las topologıas. Observe queninguno de estos dos invariantes topologicos sirve para mostrar que R y R2 noson homeomorfos. La proposicion 4.8 dice que ser metrizable es una propiedadtopologica; sin embargo la completitud no es una propiedad topologica. Estosigue del hecho que R y el intervalo (0, 1), ambos con las topologıas usuales, sonhomeomorfos, R es completo y (0, 1) no lo es. Son invariantes topologicos: serT1 (ver segundo item del ejemplo 3.19), ser T2, o Hausdorff (ver definicion 3.3),ser primero numerable, segundo numerable, separable y Lindelof (ver apartado2.4.5). Veamos el caso Lindelof. Sean (X, T ) e (Y,U) son espacios topologicos,con X Lindelof, y f : X → Y un homeomorfismos. Consideremos cualquiercubrimiento abierto de Y , digamos {Uα : α ∈ Γ}. Dado que {f−1(Uα) : α ∈ Γ}es un cubrimiento abierto de X, existe Γ0 ⊂ Γ con card(Γ0) ≤ ℵ0 tal que,{f−1(Uα) : α ∈ Γ0} es un cubrimiento de X. En vista que f(f−1(U)) = U

para todo U ⊂ Y , {Uα : α ∈ Γ0} es un cubrimiento de Y , luego Y es Lindelof.Observe que solamente se ha empleado la continuidad y sobreyectividad de f .


1. Construya un ejemplo de una funcion continua y biyectiva entre dos espaciostopologicos que no sea homeomorfismo.

2. Demostrar que f : X → Y define un homeomorfismo si, y solo si, existe unafuncion g : Y → X continua tal que g ◦ f y f ◦ g son las funciones identidaden X e Y , respectivamente.

3. Demuestre que X ↪→ Y si, y solo si, existe Z ⊂ Y tal que X ∼ Z.

4. Demostrar que dos topologıas T1 y T2 sobre un mismo conjunto X son igualessi, y solo si, la funcion identidad de (X, T1) en (X, T2) es un homeomorfismo.

5. Sea f una funcion continua y biyectiva de (X, T ) en (Y,U), demostrar que fes un homeomorfismo si, y solamente si, satisface cualquiera de las siguientespropiedades:

(a) Si U ⊂ X, entonces f(int(U)) = int(f(U)).


(b) Si U ⊂ X, entonces f(fr(U)) = fr(f(U)).

(c) Si A ⊂ X, entonces f(A) es una vecindad de f(x) si, y solo si, A esvecindad de x.

(d) B es base de T si, y solo si, {f(B) : B ∈ B} es base de U .

6. Suponga que (X, T ) es un espacio topologico discreto, o indiscreto, o X = Ry T es la topologıa cofinita. Demostrar que cualquier funcion biyectiva de Xen sı mismo es un homeomorfismo.


8. Construya un espacio metrico que posea dos bolas abiertas no homeomorfas.

9. Construya una metrica d en el intervalo (0, 1) tal que: la topologıa por ellagenerada sea la usual y ((0, 1), d) sea completo.

10. Demostrar la proposicion 4.7. Deducir que cualquier transformacion linealbiyectiva entre espacios vectoriales normados es un homeomorfismo.

11. Sean (V, ‖·‖1) y (W, ‖·‖2) espacios normados. Una transformacion L : V →W

se dice afın si existen una transformacion lineal L0 : V → W y un vectorw ∈ W tal que, L(v) = L0(v) + w para todo v ∈ V . Demostrar que unatransformacion afın es homeomorfismo si, y solo si, la transformacion linealasociada L0 tambien lo es.

12. Demuestre que el borde del cuadrado con el segmento interno (figura a) y elborde del cuadrado con el segmento externo (figura b), como subespacios deR2 con la topologıa usual, son homeomorfos. ¿Puede obtenerse una de la otra

por deformaciones continuas en el plano? ¿Y por deformaciones continuas enR3?

13. Demostrar que los operadores: interior, clausura, exterior y frontera son pre-servados por homeomorfismos.

14. Considere a R con la topologıa usual y cada uno de los intervalos con lasrespectivas topologıas relativas. Demostrar:

(a) Cualquier funcion f : [a, b]→ [c, d] sobreyectiva y estrictamente monoto-na es un homeomorfismo.


(b) Si f : R→ R es una funcion biyectiva, entonces f es homeomorfismos si,y solo si, es estrictamente monotona.

(c) Los siguientes intervalos, con a < b, son homeomorfos:

[a, b), [0, 1), (0, 1], (a, b], [0,+∞), (−∞, a].

(d) Los intervalos (0, 1) y [0, 1] no son homeomorfos.

(e) R y R con la topologıa cofinita no son homeomorfos.

15. Un cubrimiento C de un espacio topologico (X, T ) se dice fundamental si, ysolo si, cada U ⊂ X es abierto en X, siempre que U ∩ C sea un conjuntoabierto en C para todo A ∈ C. Ver la definicion 2.14 para recordar el conceptode cubrimiento.

(a) Demostrar que un cubrimiento C de (X, T ) es fundamental si, y solo si,cada U ⊂ X es cerrado en X, siempre que U ∩C sea un conjunto cerradoen C para todo A ∈ C.

(b) Sea (X, T ) un espacio topologico. Demostrar que:

1) El cubrimiento {{x} : x ∈ X} es fundamental si, y solo si, T es latopologıa discreta.

2) Todo cubrimiento abierto de X es fundamental.3) Todo cubrimiento cerrado y con finitos miembros es fundamental.4) Todo cubrimiento cerrado y localmente finito es fundamental.

(c) Dados (X, T ), (Y,U) espacios topologicos, una funcion f : X → Y y C uncubrimiento fundamental de X, tal que {f(C) : C ∈ C} es un cubrimientofundamental de Y . Suponga que f |C : C → f(C) es un homeomorfismopara cada C ∈ C. Demostrar que f es un homeomorfismo.

16. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos, X =⋃n≥0Xn y Y =

⋃n≥0 Yn,

Xn e Yn son abiertos en X e Y , respectivamente, para cada n ≥ 0; ademas,Xn ∩ Xm = ∅ e Yn ∩ Ym = ∅ para todo n 6= m. Demostrar que si Xn e Ynson homeomorfos para cada n ≥ 0, entonces X e Y tambien lo son.

17. Sean f, g : R → R dos funciones continuas tales que f(x) < g(x) para cadax ∈ R. Demostrar que la regiones del plano: A = {(x, y) : f(x) ≤ y ≤ g(x)}y B = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1} son homeomorfas con las respectivas topologıasrelativas a la usual de R2.

18. Sean (X1, T1), · · · , (Xn, Tn), (Y1,U1), · · · , (Yn,Un) espacios topologicos. De-mostrar que si Xi ∼ Yi para cada i = 1, · · · , n, entonces

∏ni=1Xi ∼

∏ni=1 Yi.

19. Demostrar que los conjuntos a continuacion, con las respectivas topologıasrelativas a la usual de R2, son homeomorfos dos a dos:

(a) el plano R2;


(b) cualquier disco abierto;

(c) la banda abierta {(x, y) : 0 < x < 1};

(d) el semiplano abierto {(x, y) : y > 0};

(e) la semibanda abierta {(x, y) : 0 < x < 1, y > 0};

20. Demostrar que los conjuntos a continuacion, con las respectivas topologıasrelativas a la usual de R2, son homeomorfos dos a dos:

(a) el cuadrante cerrado {(x, y) : x, y ≥ 0};

(b) el semiplano cerrado {(x, y) : x ≥ 0};

(c) la banda semiabierta {(x, y) : 0 ≤ x < 1};

(d) el cuadrado sin tres lados {(x, y) : 0 < x < 1, 0 ≤ y < 1};

(e) el disco sin un punto frontera {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1, y 6= 1};

(f) el semidisco sin el diametro {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1, y > 0};

(g) el disco sin el radio {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1} \ [0, 1]× {0}.

21. Demostrar que los conjuntos a continuacion, con las respectivas topologıasrelativas a la usual de R2 y R3, son homeomorfos dos a dos:

(a) el cilindro {(x, y, z) : x2 + y2 = 1};

(b) el plano sin un punto R2 \ {(0, 0)};

(c) el plano sin un disco cerrado R2 \ {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1};

(d) el disco abierto sin un punto {(x, y) : 0 < x2 + y2 < 1};

(e) el anillo abierto {(x, y) : 1 < x2 + y2 < 2};

(f) la esfera 2-dimensional sin sus polos S2 \ {S,N}, donde S = (0, 0,−1) yN = (0, 0, 1).

22. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos. Una funcion f : X → Y se dicehomeomorfismo local si, y solo si, para cada x ∈ X existen abiertos U en X

y V en Y , con x ∈ U y f(x) ∈ V , tales que f : U → V es un homeomorfismo.Demostrar que todo homeomorfismo local es una funcion continua y abierta.

23. Determine, salvo homeomorfismos, las posibles topologıas que pueden defi-nirse en el conjunto X = {a, b, c}.

24. Considere en Z y Q las topologıas relativas a la usual de R. Demostrar queestos subespacios no pueden ser homeomorfos. ¿Pueden ser homeomorfos I yQ?

25. Demuestre que ser T1, T2, primero numerable y segundo numerable son pro-piedades topologicas. De hecho, si (X, T ), (Y,U) son espacios topologicos yf : X → Y es una funcion, verificar:


(a) Si X es T1 y f es sobreyectiva y abierta, entonces Y es T1.

(b) Si X es T2 y f es biyectiva y abierta, entonces Y es T2.

(c) Si X es primero (resp. segundo) numerable y f es continua, sobreyectivay abierta, entonces Y es primero (resp. segundo) numerable.

(d) Si X es separable, f continua y sobreyectiva, entonces Y es separable.

26. Un espacio topologico (X, T ) se dice completamente metrizable, o topologica-mente completo, si, y solo si, es homeomorfo a un espacio metrico completo.Demostrar que ser completamente metrizable es una propiedad topologica.

27. Un espacio topologico (X, T ) se dice homogeneo si, y solo si, para cada x, y ∈X existe un homeomorfismo h : X → X tal que h(x) = y.

(a) Demostrar que son homogeneos: los espacios discretos e indiscretos, losconjunto con la topologıa cofinita, los espacios vectoriales normados.

(b) ¿Es homogeneo el espacio de Sierpinski, ver ejemplo 2.5?

28. Un espacio topologico (X, T ) se dice maximo determinable si, y solo si, paracada funcion continua f : X → R (R con la topologıa usual) existe x0 ∈ X talque f(x) ≤ f(x0), para todo x ∈ X. Demostrar que ser maximo determinablees una propiedad topologica.

29. Sea (X, T ) un espacio topologico. Se dice que X es 0-dimensional si, y solosi, para cada x ∈ X y cada abierto U en X con x ∈ U , existe un abierto Ven X con frontera vacıa tal que x ∈ V ⊂ U .

La dimension superior a 0 es definida inductivamente. Dado un entero n ≥ 1,se dice que X tiene dimension ≤ n si, y solo si, para cada x ∈ X y cada abiertoU en X conteniendo a x, existe un abierto V en X tal que x ∈ V ⊂ U y fr(V )(con la topologıa relativa) tiene dimension ≤ n− 1. X es n-dimensional si, ysolo si, X tiene dimension ≤ n y es falso que tenga dimension ≤ n− 1.

(a) Demostrar que son 0-dimensionales:

1) Todo espacio indiscreto.2) Todo espacio discreto.3) I y Q con las topologıas relativas a la usual de R.

(b) Demostrar que X es 0-dimensional si, y solo si, el sistema de vecindadesen cada punto tiene una base formada por conjuntos que simultaneamen-te son abiertos y cerrados.

(c) Demostrar que R con la topologıa usual es 1-dimensional.

(d) Demostrar que la frontera de todo disco en R2, con la topologıa relativaa la usual, es 1-dimensional.

(e) Demostrar que R2 con la topologıa usual es 2-dimensional.

(f) Demostrar que ser n-dimensional es una propiedad topologica.

5Topologıas Producto y Cociente

“If there is a God, he’s a great mathematician.”

Paul Dirac (1902 - 1984)

En este capıtulo introduciremos dos nuevas estructuras topologicas: la topologıaproducto, sobre productos arbitrarios de espacios topologicos, y la topologıa co-ciente; ambas pueden ser caracterizadas, como veremos, mediante propiedadesde continuidad de algunas funciones. Esto implica que estas topologıas son ob-tenidas a partir de otras.

5.1. Topologıa Producto

En el capıtulo 2 presentamos una topologıa en el producto finito de espaciostopologicos. Recordamos que si (X1, T1), · · · , (Xn, Tn) son espacios topologicos,la coleccion de todos los conjuntos de la forma

∏ni=1 Ui, donde cada Ui es un

abierto en Xi (i = 1, · · · , n), es base de una topologıa en el producto cartesiano∏ni=1Xi; esta topologıa es justamente la topologıa producto de

∏ni=1Xi. En

cierto sentido esta topologıa en∏ni=1Xi es considerada natural pues al tomar

en R la topologıa usual, la topologıa producto en Rn coincide con la topologıausual de Rn. De hecho, en el capıtulo 3 mostramos que si (X1, d1), · · · , (Xn, dn)son espacios metricos, entonces la topologıa producto en

∏ni=1Xi es la misma

que la topologıa metrica inducida por las metricas del maximo, Manhattan yeuclidiana; ver ejemplo 3.4.

El primer proposito de esta seccion es extender la nocion de producto carte-siano arbitrario de conjuntos. La clave de ello esta en entender que los elementosde un producto cartesiano finito de conjuntos estan en correspondencia biunıvo-ca con ciertas funciones. Mas explıcitamente, supongamos que A1, · · · , An sonconjuntos no vacıos cualesquiera. Los elementos del producto cartesiano

∏ni=1Ai

son las n-tuplas (a1, · · · , an), donde ai ∈ Ai para cada i = 1, · · · , n. Ahora con-sideremos el conjunto A1,··· ,n de todas las funciones f : {1, · · · , n} →

⋃ni=1Ai,

tales que f(i) ∈ Ai para cada i = 1, · · · , n. Definamos ϕ :∏ni=1Ai → A1,··· ,n

por ϕ(a1, · · · , an) = fa1,··· ,an , donde fa1,··· ,an es la funcion en A1,··· ,n tal quefa1,··· ,an(i) = ai para cada i = 1, · · · , n. Es muy simple verificar que ϕ es biyec-tiva, en consecuencia cada n-tupla en

∏ni=1Ai es identificada biunıvocamente

con una funcion en A1,··· ,n. Con esta identificacion en mente introduciremos elproducto cartesiano arbitrario de conjuntos.

Definicion 5.1. Sea Γ un conjunto arbitrario y no vacıo de ındices, si paracada α ∈ Γ, Aα es un conjunto no vacıo, entonces el producto cartesiano de la

173

174 5.1. Topologıa Producto

familia de conjuntos {Aα : α ∈ Γ} es el conjunto∏α∈Γ

Aα =

{a : Γ→

⋃α∈Γ

Aα : a(α) ∈ Aα, para todo α ∈ Γ

}. (5.1)

Obviamente esta definicion extiende la nocion de producto cartesiano definitos conjuntos no vacıos. Note que asumiendo el Axioma de Eleccion, verpagina 20, el producto cartesiano

∏α∈ΓAα es no vacıo; de hecho, el Axioma de

Eleccion y la propiedad∏α∈ΓAα 6= ∅ siempre que cada Aα, α ∈ Γ, sea no vacıo,

son equivalentes; ver Teorema 9.2 en el Capıtulo I de [4]. Convendremos que si almenos uno de los conjuntos Aα es el conjunto vacıo, entonces

∏α∈ΓAα = ∅. Por

otro lado, observe que si a, b ∈∏α∈ΓAα, entonces a = b si, y solo si, a(α) = b(α)

para todo α ∈ Γ. Obviamente si para cada α ∈ Γ se tiene un par de conjuntosAα y Bα tales que Bα ⊂ Aα, entonces

∏α∈ΓBα ⊂

∏α∈ΓAα.

Cuando no exista confusion en el empleo del conjunto de ındices Γ, escribi-remos

∏Aα para denotar al conjunto en (5.1). Para cada α ∈ Γ, Aα es conocido

como el α-esimo conjunto factor del producto cartesiano∏Aα; si a ∈

∏Aα y

α ∈ Γ, a(α) se denomina la α-esima coordenada de a, la cual acostumba deno-tarse por aα, y ası a = (aα)α∈Γ. Si todos los conjuntos factores del productocartesiano

∏Aα son iguales a un cierto conjunto no vacıo A, entonces

∏Aα

coincide con el conjunto de todas las funciones de Γ en A, en este caso escribire-mos AΓ. En particular: AN es el conjunto de todas las sucesiones (unilaterales)que toman valores en el conjunto A, AZ es el conjunto de todas las sucesionesbilaterales con valores en A y RR es el conjunto de todas las funciones realescon variable real; es decir, RR = {f : R→ R : f es funcion}.

Asociado a cada ındice β ∈ Γ se tiene la funcion πβ :∏Aα → Aβ , conocida

como β-esima proyeccion, la cual es definida en cada a ∈∏Aα por πβ(a) = aβ ;

esto es, la funcion πβ asocia a cada elemento a del producto cartesiano∏Aα su

β-esima coordenada aβ . Haciendo uso del Axioma de Eleccion sigue que cadaproyeccion πβ es una funcion sobreyectiva. Adicionalmente, para cada aβ ∈ Aβse cumple que π−1

β (aβ) =∏A′α, donde A′α = Aα para cada α ∈ Γ \ {β}, y

A′β = {aβ}. El conjunto π−1β (aβ) se conoce con el nombre de fibra de aβ . En

general, la fibra π−1β (B) de cualquier subconjunto B de Aβ es

∏A′α, donde

A′α = Aα para cada α ∈ Γ \ {β}, y A′β = B.

Supongamos ahora que tenemos una familiza {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} de espaciostopologicos. Procederemos a dotar al producto cartesiano

∏Xα de una estrutura

topologica que: extienda la topologıa producto en el caso de familias finitas deındices, y tenga la menor cantidad de conjuntos abiertos posibles. Para tal findebemos tener en consideracion las siguientes caracterısticas de la topologıaproducto en productos cartesianos finitos:

una subbase de la topologıa producto esta formada por la coleccion de to-das las imagenes inversas de conjuntos abiertos mediante cada proyeccion;ver ejemplos 2.9 y 2.16,

5. Topologıas Producto y Cociente 175

es la menos fina de todas las topologıas en el producto cartesiano que hagacontinua a cada una de las proyecciones; ver ejercicio propuesto 11 en laseccion 4.1.

Si sencillamente imitasemos la construccion hecha en el ejemplo 2.9 para pro-ductos cartesianos finitos, obtendrıamos una topologıa en

∏Xα, la cual coincide

con la topologıa producto en el caso que Γ es un conjunto finito, y en la cualcada una de las proyecciones es continua. Mas precisamente, sea Bc la coleccionde todos los conjuntos de la forma

∏Uα, donde Uα ∈ Tα para cada α ∈ Γ.

Afirmamos que Bc es base de una topologıa. Obviamente∏Xα ∈ Bc; ademas,

como para cada par de conjuntos U =∏Uα y V =

∏Vα en

∏Xα se cumple

U ∩ V =∏

(Uα ∩ Vα), entonces del teorema 2.2 sigue que Bc es base de algunatopologıa Pc en

∏Xα, la cual es conocida con el nombre de topologıa caja (box

topology en ingles) del producto cartesiano∏Xα. Observe que si card(Γ) es fi-

nito, Pc es justo la topologıa producto; por otro lado, dado que para cada α ∈ Γy cada abierto Uα en Xα, π−1

α (Uα) ∈ Bc, entonces cada proyeccion es continuaen Pc, sin importar cual sea el cardinal del conjunto de ındices Γ. No obstante,cuando Γ es un conjunto infinito, la topologıa caja tiene demasiados abiertos,como veremos, no es la menor la menor topologıa en la que las proyecciones sonfunciones continuas.

Para construir la topologıa que estamos procurando procederemos de la si-guiente forma. Sea S la coleccion de todos las fibras π−1

α (Uα) con α ∈ Γ yUα ∈ Tα. Dado que

∏Xα ∈ S, del teorema 2.3 se tiene que la coleccion BP

de todas las intersecciones finitas π−1α1

(Uα1) ∩ · · · ∩ π−1αn (Uαn) es base de una

topologıa P en∏Xα; dicho de otra forma, S es una subbase. La topologıa P,

conocida como topologıa producto (o topologıa de Tychonoff), es la topologıa queresponde a las exigencias arriba formuladas. Note que U ∈ BP si, y solamentesi, existe Γ0 ⊂ Γ finito tal que, para cada α ∈ Γ0, el α-esimo factor de U es unabierto Vα en Tα, mientras que para cada β ∈ Γ \ Γ0, el β-esimo factor de Ues Xβ . En otras palabras, la topologıa producto en

∏Xα es aquella que tiene

como una base a la coleccion BP de todos los conjuntos de la forma U =∏Uα,

siendo que:

(P1) Uα es abierto en Xα para cada α ∈ Γ, y

(P2) Uα es igual a Xα excepto para un numero finito de valores de α.

Es frecuente encontrar en la literatura el calificativo de cilindro para loselementos basicos en BP , tambien es usual la notacion CVα1 ,··· ,Vαn

α1,··· ,αn para designaral cilindro cuyos conjuntos factores con ındices en α1, · · · , αn (αi 6= αj , si i 6= j)son los abiertos Vα1 , · · · , Vαn , respectivamente; esto es

CVα1 ,··· ,Vαnα1,··· ,αn = Vα1 × · · · × Vαn ×

∏α∈Γ′

Xα, con Γ′ = Γ \ {α1, · · · , αn}

={x ∈

∏Xα : xαi ∈ Xαi , i = 1, · · · , n

}=

n⋂i=1

π−1αi (Vαi).


Ası que para todo ındice α /∈ {α1, · · · , αn} se tiene πα(CVα1 ,··· ,Vαnα1,··· ,αn

)= Xα,

mientras que παi(CVα1 ,··· ,Vαnα1,··· ,αn

)= Vαi para cada i = 1, · · · , n. Por otro lado,

dado que en cualquier espacio topologico todo abierto no vacıo es union deabiertos en alguna base de la topologıa, entonces para todo abierto no vacıo Uen la topologıa producto, existe Γ′ ⊂ Γ finito tal que, πα(U) = Xα para todoα ∈ Γ \ Γ′, pues U contiene al menos un cilindro.

Observe que si el conjunto de ındices Γ es finito, la topologıas productoy caja coinciden: ambas son generadas por la misma base. Un hecho general,independiente de la cardinalidad de Γ, es que siempre se cumple P ⊂ Pc. Masaun, en situaciones no triviales esta inclusion es estricta. Supongamos que losespacios topologicos Xα tienen al menos dos abiertos no vacıos (la topologıa Tαno es la indiscreta) para cada α ∈ Γ, y supongamos que Γ tiene infinitos ındices.Tomemos U =

∏Uα, donde cada Uα es abierto no vacıo y distinto de Xα. Es

claro que U es abierto en la topologıa caja; sin embargo, U no es abierto en latopologıa producto pues no puede contener un cilindro.

Teorema 5.1. Dada una familia {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} de espacios topologicos,la topologıa producto en

∏Xα es la menor topologıa que hace continua a cada

una de las proyecciones. Adicionalmente cada una de las proyecciones πα es unafuncion abierta.

Demostracion: Supongamos que T es cualquier topologıa en∏Xα tal que

cada proyeccion πα es continua. Esto implica que la fibra π−1α (Uα), cualesquiera

sean α ∈ Γ y Uα ∈ Tα, es un conjunto abierto en el producto cartesiano∏Xα

con la topologıa T , de aca que todo cilindro (interseccion finita de fibras) tam-bien es un elemento de T , luego todo abierto en la topologıa producto es unelemento de T ; ası que P ⊂ T ; es decir, P es la topologıa menos fina que hacecontinuas a todas las proyecciones en

∏Xα, como deseabamos.

Recordemos que una funcion f : X → Y entre espacios topologicos es abiertasi, y solo si, para cada abierto U en X, f(U) es un conjunto abierto en Y . Dadoque la imagen directa preserva la union de conjuntos, ver proposicion 1.2, paramostrar que las proyecciones son funciones abiertas basta verificar que la imagenmediante πβ , para cada β ∈ Γ, de cualquier abierto basico

∏Uα es un conjunto

abierto en Xβ . Pero esto es inmediato pues πβ (∏Uα) = Uβ .

Proposicion 5.1. Si {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} es una familia de espacios topologicosy para cada α ∈ Γ, Bα es una base de Tα, entonces la coleccion B de todos losconjuntos de la forma

∏Uα, donde

Uα esta en Bα para cada α ∈ Γ, y

Uα es igual a Xα excepto para un numero finito de valores de α,

es base de la topologıa producto P en∏Xα.


Demostracion: Es simple chequear que la coleccion B es base de alguna topo-logıa T en

∏Xα. Note que haciendo uso del teorema 4.1 se obtiene la continui-

dad de cada proyeccion πα en∏Xα con la topologıa T ; luego P ⊂ T . Por otro

lado, dado que todos los elementos en B son abiertos en la topologıa producto,entonces todo abierto en T es tambien abierto en P. De esta forma P = T .

Ejemplo 5.1 (Cantor ternario como un espacio producto). Consideremosel conjunto de Cantor ternario K, ver ejercicio propuesto 22c en la pagina 104;esto es, K =

⋂n≥1Kn, donde Kn es la union disjunta de 2n intervalos cerrados

Ij1···jn , j1, · · · , jn ∈ {0, 2}, Ij1···jn ⊂ Ij1···jn−1 , diam(Ij1···jn) = 13diam(Ij1···jn−1)

y el intervalo Ij1···jn−10 esta a la izquierda de Ij1···jn−12, siendo que el proceso deconstruccion de los Kn se inicia con el conjunto K1 = [0, 1

3 ]∪[ 23 , 1]. En el referido

ejercicio se pide demostrar que cada punto el conjunto de Cantor K admiteuna unica descripcion en terminos de la expansion ternaria con coeficientes en{0, 2}. Esta manera de expresar los puntos en K permite mostrar que K eshomeomorfo a un particular producto cartesiano con la topologıa producto. Eslo que demostraremos a continuacion. Primero haremos una pequena digresionsobre las topologıas caja y producto de AN (conjunto de todas las sucesionesx : N→ A), donde A = {0, 2} es dotado de la topologıa discreta.

Es claro que un conjunto abierto basico en la topologıa caja es cualquierconjunto de la forma

∏n∈N An, donde An es cualquier subconjunto no vacıo

de A; mientras que los cilindros no triviales (abiertos basicos en la topologıaproducto) son los conjuntos de la forma

C{a1},··· ,{am}n1,··· ,nm = {x : N→ A : x(nj) = aj , j = 1, · · · ,m},

donde 0 ≤ n1 < · · · < nm son enteros y a1, · · · , am toma valores en el conjuntoA. Note que el conjunto unitario {0}, donde 0 : N→ A es la sucesion constanteigual a 0, es un abierto en la topologıa caja; esto es consecuencia del hechoque {0} es abierto en A y {0} =

∏N{0}. Sin embargo {0} no es abierto en la

topologıa producto; de serlo, existirıa un cilindro conteniendo a 0 y contenido en{0}, lo cual es claramente imposible ya que cualquier cilindro contiene sucesionesno constantes. Esto muestra, una vez mas, que en AN la topologıa producto esestrictamente menos fina que la topologıa caja.

Retornemos al objetivo de este ejemplo. Debido a la notacion empleada paradescribir los intervalos cerrados cuya interseccion es K, se tiene que

K =⋃

j∈{0,2}N

(Ij(0) ∩ Ij(0)j(1) ∩ Ij(0)j(1)j(2) ∩ · · ·

).

Ahora bien, para cada j ∈ AN, Ij(0) ∩ Ij(0)j(1) ∩ Ij(0)j(1)j(2) ∩ · · · es un conjuntounitario, digamos {xj(0)j(1)j(2)···}; de hecho puede verificarse que

∑∞n=0

j(n)3n+1

es la expansion ternaria, arriba comentada, del punto xj(0)j(1)j(2)···. Definamosf : AN → K por f(j) = xj(0)j(1)j(2)··· para cada j ∈ AN. Obviamente f es


sobreyectiva. Ademas, si i, j ∈ AN son sucesiones distintas y n ≥ 0 es el primerentero en el que ambas sucesiones difieren, entonces

(Ii(0) ∩ Ii(0)i(1) ∩ Ii(0)i(1)i(2) ∩ · · · ) ∩ (Ij(0) ∩ Ij(0)j(1) ∩ Ij(0)j(1)j(2) ∩ · · · ) = ∅;

lo cual dice que f tambien es inyectiva. Veamos que f es un homeomorfismo alconsiderar: en AN la topologıa producto inducida por la topologıa discreta en A,y en K la topologıa relativa a la usual en R. Antes observe que la imagen median-te f de cualquier cilindro de la forma C{j0},{j1},··· ,{jn}0,1,··· ,n , con j0, j1, · · · , jn ∈ A, esjustamente el conjunto de puntos en K que estan en Ij0j1···jn ; en otras palabras:

f(C{j0},{j1},··· ,{jn}0,1,··· ,n

)= K ∩ Ij0j1···jn .

Pero para todo Ij0j1···jn , existe un intervalo abierto (a, b) tal que

Ij0j1···jn ⊂ (a, b) y ((a, b) \ Ij0j1···jn) ∩K = ∅.

Esto implica que f(C{j0},{j1},··· ,{jn}0,1,··· ,n

)= K∩(a, b) es abierto en K. Por otra par-

te, como cada cilindro en AN es union de cilindros de la forma C{j0},{j1},··· ,{jn}0,1,··· ,n ,entonces f es una funcion abierta. Resta mostrar que f es continua. Tomemosx ∈ K y j ∈ AN tal que x = xj(0)j(1)j(2)···. Consideremos cualquier abiertoV = (x− ε, x+ ε) ∩K. Sea n ≥ 1 entero tal que 1

3n < ε. Es claro que

Ij(0) ∩ Ij(0)j(1) ∩ · · · ∩ Ij(0)j(1)···j(n) = Ij(0)j(1)···j(n) ⊂ (x− ε, x+ ε);

luego, de la observacion anterior sigue que f(C{j(0)},{j(1)},··· ,{j(n)}0,1,··· ,n

)⊂ V , y por

tanto la continuidad de f .

Ejemplo 5.2. Consideremos el producto cartesiano RR (conjunto de funcionesde R en R) dotado de las topologıas caja y producto obtenidas a partir de latopologıa usual en R, la cual como sabemos tiene a la coleccion de todos losintervalos abiertos de longitud finita como una base.

Para cada valor α ∈ R escojamos un intervalo abierto de longitud finita Iα.El abierto basico en la topologıa caja generado por los intervalos Iα,

∏Iα, es

el conjunto de funciones f : R → R tales que, f(α) ∈ Iα para cada α ∈ R. Esmuy simple imaginarse a

∏Iα en terminos de graficas de funciones de R en R:

para cada ındice α, ubicado en el eje horizontal, y sobre la vertical que pasa porα se dibuja el intervalo Iα, obteniendose una banda infinita V en R2 tal quef ∈

∏Iα si, y solo si, la grafica de f esta contenida en V .

Veamos ahora como son los abiertos basicos en la topologıa producto. Pa-ra cada α ∈ R la proyeccion α-esima πα es definida, para cada f en RR, porπα(f) = f(α). Fijados un intervalo abierto J de longitud finita y un ındiceα ∈ R, entonces el abierto subbasico π−1

α (J) es el conjunto de funciones de R enR cuyo valor en α esta en J ; equivalentemente, π−1

α (J) =∏Jβ , donde Jα = J


y Jβ = R para cada β ∈ R \ {α}. Por tanto un cilindro basico es determina-do por un numero finito de ındices, α1 < · · · < αn ∈ R, e igual numero deintervalos abiertos de longitud finita, J1, · · · , Jn (no necesariamente distintos),y sus elementos son las funciones que en cada valor α1, · · · , αn toman valoresen los intervalos J1, · · · , Jn. Una representacion grafica de las funciones en estecilindro se expone en la figura a continuacion; hacemos notar que en el eje ho-rizontal del plano cartesiano ubicamos cada ındice α1, · · · , αn, y verticalmente,sobre cada uno de estos ındices, ubicamos los intervalos J1, · · · , Jn.

Figura 5.1: Ejemplo de una funcion en el abierto basicoT4i=1 π

−1αi (Ji)

Proposicion 5.2. Sea {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia de espacios topologicos.Para cada α ∈ Γ, sea Aα ⊂ Xα no vacıo. Si P es la topologıa producto en∏Xα, P

QAα es la topologıa producto en

∏Aα, generada por las topologıas

relativas en cada Aα, y PQAα es la topologıa relativa de P a

∏Aα, entonces

PQAα = PQ

Aα .

Demostracion: Claramente la proposicion sigue si verificamos que PQAα y

PQAα tienen una misma base. Recordemos que si (X, T ) es un espacio to-

pologico, A es un subconjunto no vacıo de A y B es una base de T , entonces{A ∩ V : V ∈ B} es base de la topologıa relativa de A. De aca que si Balpha esuna base de Tα para cada α ∈ Γ, entonces la coleccion de todos los conjuntosde la forma

∏Aα ∩

∏Uα, con Uα como en la proposicion anterior, es base de

PQAα . Por otro lado, dado que

∏Aα ∩

∏Uα =

∏(Aα ∩ Uα), se tiene que la

misma coleccion anterior es base de PQAα , pues

Aα ∩Uα es un elemento basico para la topologıa relativa de T en Aα paracada α ∈ Γ, y

Aα ∩ Uα = Aα excepto para un numero finito de valores de α.

Ası la demostracion de la proposicion esta completa.


Ejemplo 5.3. El toro 2-dimensional T2 se define como el espacio productoS1 × S1, donde S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} es el cırculo unitario. De loanterior tenemos que la topologıa producto en T2 es la relativa a la topologıaeuclidiana de R4. En este ejemplo mostraremos que T2 esta inmerso en R3,por lo que su topologıa es la misma que la topologıa euclidiana de un conjuntode R3. Para obtener una tal inmersion consideremos en el plano xz el cırculoC1 = {(x, 0, z) : (x − R)2 + z2 = r2} con R > r > 0; este cırculo lo giramosalrededor del eje z (siguiendo el cırculo C2 = {(x, y, 0) : x2 + y2 = (R − r)2})para ası obtener la superficie de revolucion

T = {(x, y, z) ∈ R3 : ((√x2 + y2 −R)2 + z2 = r2}.

La siguiente figura muestra una idea del procedimiento descrito. Ahora definimos

f : S1 × S1 → T por f(x, y, u, v) = ((R+ rx)u, (R+ rx)v, ry). Claramente f escontinua, y no es difıcil verificar que g : T → S1 × S1 con

g(x, y, z) =

(√x2 + y2 −R

r,z

r,

x√x2 + y2

,y√

x2 + y2

)

es la inversa de f . Lo cual demuestra que f es un inmersion, por lo que el toroT 2 lo podemos ver como la superfice de R3 dada por el borde de una rosquilla.

Examinaremos a continuacion algunas propiedades basicas de la topologıaproducto; otras aparecen en la lista de ejercicios propuestos de esta seccion.

Proposicion 5.3. Dada una familia de espacios topologicos {(Xα, Tα) : α ∈ Γ}y∏Xα con la topologıa producto. Se satisfacen:

(1) cl (∏Aα) =

∏cl(Aα), cualesquiera sean los conjuntos Aα ⊂ Xα y α ∈ Γ.

En particular, Aα es denso en Xα, si para cada α ∈ Γ, entonces∏Aα es

denso en∏Xα.

(2) Si para cada α ∈ Γ existe Aα ⊂ Xα tal que∏Aα tiene interior no vacıo,

entonces existen unicos valores α1, · · · , αn en Γ tales que Aα = Xα para ca-da α /∈ {α1, · · · , αn}, en tal caso vale la identidad int (

∏Aα) =

∏int(Aα),

la cual es falsa en general.


Demostracion: (1) Sea x ∈ cl (∏Aα). Supongamos que existen α ∈ Γ y Uα

abierto en Xα tales que, xα ∈ Uα y Uα ∩ Aα = ∅; esto es, x /∈∏

cl(Aα).Consideremos el cilindro CUαα , claramente x ∈ CUαα y CUαα ∩

∏Aα = ∅. Esto

contradice que x ∈ cl (∏Aα). De esta forma cl (

∏Aα) ⊂

∏cl(Aα).

Recıprocamente, sea x ∈∏

cl(Aα). Luego para cada α ∈ Γ y cada abiertoUα en Xα con xα ∈ Uα, se tiene Uα ∩ Aα 6= ∅. Consideremos ındices arbitrarioα1, · · · , αn en Γ y abiertos Vα1 , · · · , Vαn enXα1 , · · · , Xαn , respectivamente, talesque el cilindro CVα1 ,··· ,Vαn

α1,··· ,αn contenga a x. Dado que

CVα1 ,··· ,Vαnα1,··· ,αn ∩

∏Aα =

Vα1 × · · · × Vαn ×∏

α/∈{α1,··· ,αn}

Xα

∩∏Aα

= (Vα1 ∩Aα1)× · · · × (Vαn ∩Aαn)×∏

α/∈{α1,··· ,αn}

Xα,

entonces CVα1 ,··· ,Vαnα1,··· ,αn ∩

∏Aα 6= ∅, por lo que x ∈ cl (

∏Aα).

(2) Supongamos que∏Aα ⊂

∏Xα tiene interior no vacıo. Entonces

∏Aα

contiene algun cilindro CVα1 ,··· ,Vαnα1,··· ,αn . Esto implica que Aα = Xα para todo ındice

α /∈ {α1, · · · , αn}. En el peor de los casos (¡el no trivial!) tenemos∏Aα = Aα1 × · · · ×Aαn ×

∏α/∈{α1,··· ,αn}

Xα, (5.2)

donde Aαi ( Xαi para todo i = 1, · · · , n. Asumamos entonces que esta esla situacion. Note que en virtud de (5.2), el conjunto

∏int(Aα) es abierto, y

esta contenido en∏Aα; por tanto

∏int(Aα) ⊂ int (

∏Aα).

Para mostrar la inclusion recıproca procederemos por el absurdo. Si existex ∈ int (

∏Aα) \

∏int(Aα), entonces existen:

(a) un cilindro CUβ1 ,··· ,Uβmβ1,··· ,βm tal que x ∈ CUβ1 ,··· ,Uβm

β1,··· ,βm ⊂∏Aα, y

(b) un ındice α ∈ Γ tal que, para todo Wα ∈ Tα con xα ∈Wα, se tiene que Wα

no esta contenido Aα.

Note que {α1, · · · , αn} ⊂ {β1, · · · , βm}, de lo contrario existirıa j ∈ {1, · · · , n}tal que Aαj = Xαj , lo cual es imposible. Ası que para todo j ∈ {1, · · · , n}se tiene xαj ∈ Uαj ⊂ Aαj . De aca que el conjunto de ındices a los que serefiere (b) es disjunto de {α1, · · · , αn}; pero esto produce una contradiccionpues Aα = Xα para todo α /∈ {α1, · · · , αn}. Luego todo x ∈ int (

∏Aα) tambien

esta en∏

int(Aα).

Proposicion 5.4. Sean (X, T ), (Xα, Tα) espacios topologicos, α variando enel conjunto Γ, y

∏Xα con la topologıa producto. Una funcion f : X →

∏Xα

es continua si, y solamente si, πα ◦ f : X → Xα es continua para todo α ∈ Γ.


Demostracion: Si f es continua, dado que la composicion de funciones conti-nuas es continua, entonces πα ◦ f es continua para todo α ∈ Γ.

Supongamos ahora que la composicion πα ◦ f es continua para todo α ∈ Γ.Tomemos cualquier cilindro U = C

Uα1 ,··· ,Uαmα1,··· ,αm y veamos que f−1(U) es abierto

en X, cualesquiera sea el ındice α. Dado que

f−1(U) = f−1

(m⋂i=1

π−1αi (Uαi)

)=

m⋂i=1

f−1(π−1αi (Uαi)

)=

m⋂i=1

(παi ◦ f)−1 (Uαi),

del teorema 4.1 sigue la continuidad de f .

Definicion 5.2. Una propiedad se dice productiva si, y solo si, al ser satisfechapor cualquier familia {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} de espacios topologicos, tambien lacumple

∏Xα con la topologıa producto.

Proposicion 5.5. Ser Hausdorff es una propiedad productiva.

Demostracion: Sea {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} cualquier familia de espacios topologi-cos tal que, (Xα, Tα) es Hausdorff para cada α ∈ Γ, veamos que

∏Xα con la

topologıa producto es Hausdorff. Sean x, y ∈∏Xα con x 6= y, entonces existe

α ∈ Γ tal que xα 6= yα. Dado que Xα es Hausdorff, existen abiertos disjuntosUα y Vα en Xα tales que xα ∈ Uα y yα ∈ Vα. Luego como x ∈ CUαα , y ∈ CVαα yCUαα ∩ CVαα = ∅, se sigue que

∏Xα es Hausdorff.

Proposicion 5.6. Sean {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia de espacios topologicosy∏Xα dotado con la topologıa producto. Si (Xα, Tα) es primero numerable para

cada α ∈ Γ, entonces∏Xα es primero numerable si, y solamente si, todas las

topologıas Tα, excepto un numero numerable de ellas, son indiscretas.

Demostracion: Supongamos que cada espacio Xα es primero numerable y sea∆ ⊂ Γ un conjunto numerable tal que para cada α ∈ Γ \∆, Tα = {∅, Xα}. Paracada x ∈

∏Xα y α ∈ Γ escojamos una base local en xα, Bα, numerable. Note

que Bα = {Xα} siempre que α ∈ Γ \ ∆. Sea Bx la coleccion de los cilindrosCUα1 ,··· ,Uαnα1,··· ,αn , con Uαi ∈ Bαi para cada i = 1, · · · , n. Dado que ∆ es numerable y

π−1α (U) = Xα para todo U ∈ Bα y α ∈ Γ\∆, entonces Bx es numerable; ademas,

por construccion esta coleccion es base local de x. Ası que∏Xα satisface el

primer axioma de numerabilidad.Recıprocamente, si

∏Xα es primero numerable, entonces cada Xα tambien

lo es pues cada proyeccion es continua, abierta y sobreyectiva. Para mostrar quetodas las topologıas Tα, excepto un conjunto numerable de ellas, es la indiscreta,procederemos por el absurdo. Supongamos que existe ∆ ⊂ Γ no numerable talque, para cada α ∈ ∆, Tα no es la topologıa indiscreta. Ası, para cada α ∈ ∆existen xα ∈ Xα y un abierto Vα distinto de Xα que contiene a xα. Tomemoscualquier x ∈

∏Xα cuyas coordenadas xα con ındices en ∆ son como acabamos

de describir. Sea Bx una base numerable de x. Es claro que si U ∈ Bx, existe uncilindro CUα1 ,··· ,Uαn

α1,··· ,αn tal que CUα1 ,··· ,Uαnα1,··· ,αn ⊂ U ; por tanto, para todo U ∈ Bx se


tiene que πα(U) = Xα para todo α ∈ Γ, excepto un numero finito de ındices. Envista que Bx es numerable y ∆ no lo es, existe α ∈ ∆ tal que πα(U) = Xα paratodo U ∈ Bx. Para este ındice tomemos Vα como arriba, es claro que π−1

α (Vα)es abierto en

∏Xα y contiene a x, luego existe U ∈ Bx tal que U ⊂ π−1

α (Vα),pero esto implicarıa que Vα = Xα, lo cual no es cierto. Ahora la demostracionesta completa.

Corolario 5.1. La topologıa producto en el producto cartesiano no numerablede espacios topologicos metrizables no es metrizable.

Demostracion: Supongamos que {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} es una familia de espaciostopologicos metrizables, con Γ es no numerable, tal que la topologıa productoen∏Xα es metrizable. Esto implica que todas las topologıas Tα, excepto para

un conjunto numerable de ındices, son iguales a la topologıa indiscreta. Portanto en la familia de espacios topologicos considerada hay espacios que sonindiscretos; lo cual es imposible pues todos son metrizables.

Este corolario dice que ser metrizable no es una propiedad productiva; noobstante, es importante recordar que en el ejemplo 3.4 se mostro que cuan-do se trata de un producto cartesiano finito de espacios metricos, la topologıaproducto es metrizable; en realidad esto continua siendo cierto si el productocartesiano de espacios metrizables es numerable; ver ejercicio propuesto numero11 de esta seccion. A lo largo de los capıtulos subsiguientes iremos presentandomas ejemplos de propiedades productivas.

5.1.1. Ejercicios Propuestos

1. Sean {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia de espacios topologicos y P la topologıaproducto en

∏Xα. Si T es cualquier topologıa en

∏Xα tal que T P,

demostrar que existe al menos una proyeccion en∏Xα que no es continua

en T .

2. En el producto cartesiano RR considere las topologıas caja y producto. Ave-riguar si el producto (0, 1)R, de R veces el intervalo abierto (0, 1), es unconjunto abierto es esas topologıas.

3. Sean A = {0, 1, · · · , N} (N entero positivo) y AN con la topologıa producto.Demostrar que:

(a) AN es perfecto. Recuerde que un subconjunto A en un espacio topologicoX es perfecto si, y solo si, es cerrado y todos sus puntos son de acumu-lacion de sı mismo.

(b) Todo cilindro es tambien un conjunto cerrado.

(c) Deducir que el conjunto de Cantor ternario es un perfecto y 0-dimensional;ver ejercicio 29b en la pagina 172.


4. Sean {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia de espacios topologicos y Pc la topologıacaja en

∏Xα. Demostrar que Pc es la topologıas mas fina en la cual todas

las proyecciones en∏Xα son funciones abiertas.

5. Sean Γ un conjunto infinito de ındices, {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia deespacios topologicos,

∏Xα dotado con la topologıa producto y Γ′ un sub-

conjunto infinito de Γ. Si {Uα ∈ Tα : α ∈ Γ} es una familia de abiertos talesUα ∈ Tα \{∅, Xα} para cada α ∈ Γ′, demostrar que

∏Uα tiene interior vacıo.

¿Es el producto (0, 1)N abierto en RN?

6. Sean {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia de espacios topologicos,∏Xα dotado

con la topologıa producto y x0 ∈∏Xα fijo.

(a) Para cada ındice β ∈ Γ se define la tajada en∏Xα a traves x0 y paralela

a Xβ como el conjunto

X(x0, β) = {x ∈∏

Xα : xα = x0α si α 6= β}.

Demostrar que la funcion fβ : Xβ → X(x0, β) con fβ(xβ) = y, donde

yα =

{x0α, si α 6= β

xβ , si α = βpara cada α ∈ Γ, es un homeomorfismo.

(b) Suponga que card(Γ) ≥ k. Fijado un conjunto de k ındices {β1, · · · , βk}en Γ, se define la k-tajada en

∏Xα a traves x0 y paralela a

∏ki=1Xβi

como el subconjunto X(x0, {β1, · · · , βk}) de∏Xα dado por

X(x0, {β1, · · · , βk}) = {x ∈∏

Xα : xα = x0α si α /∈ {β1, · · · , βk}}.

Demostrar que X(x0, {β1, · · · , βk}) y∏ki=1Xβi son homeomorfos.

(c) Sea D(x0) el conjunto de todos los puntos x ∈∏Xα que difieren de x0

en a lo mas un numero finito de coordenadas, demostrar que D(x0) esdenso en

∏Xα.

7. Definicion. Sean X y Xα conjuntos no vacıos, α ∈ Γ. Dada una funcionf :∏Xα → X, para cada a ∈

∏Xα y ∆ ⊂ Γ, se denota por fa∆ la funcion

parcial fa∆ :∏α∈Γ\∆Xα → X definida, para cada x ∈

∏α∈Γ\∆Xα, por

fa∆(x) = f(y), donde yα =

{xα, si α /∈ ∆

aα, si α ∈ ∆.

Continuidad de las funciones parciales. Sean (X, T ), (Xα, Tα) espaciostopologicos, α variando en el conjunto Γ, y

∏Xα con la topologıa producto.

Si la funcion f :∏Xα → X es continua en a ∈

∏Xα, demostrar que para

todo ∆ ⊂ Γ la funcion parcial fa∆ es continua en el punto a∆ ∈∏α∈Γ\∆,

donde a∆α = aα para cada α ∈ Γ \∆.


8. Sean (X, T ), (Xα, Tα) espacios topologicos, α variando en el conjunto Γ, y∏Xα con la topologıa producto. Si para cada α ∈ Γ es dada una funcion

fα : X → Xα, se define la funcion fΓ : X →∏Xα por fΓ(x) = y, siendo

que yα = fα(x) para cada α ∈ Γ. Demostrar que fΓ es continua si, y solo si,cada fα lo es.

9. Funciones producto. Sean (X, T ), (Xα, Tα), (Yα,Uα) espacios topologicos,α variando en el conjunto Γ,

∏Xα y

∏Yα dotados con la topologıa producto.

Si para cada α ∈ Γ es dada una funcion fα : Xα → Yα, se define la funcionproducto

∏fα :

∏Xα →

∏Yα por (

∏fα) (x) = y, donde yα = fα(xα) para

cada α ∈ Γ. Demostrar que:

(a) si cada fα es continua, entonces tambien lo es∏fα;

(b) si cada fα es abierta, y fα(Xα) = Yα para todo ındice α ∈ Γ, excepto unnumero finito de ellos, entonces

∏fα es abierta.

10. Sea {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia de espacios topologicos tal que∏Xα con

la topologıa producto es Hausdorff. Demostrar que cada uno de los espacio(Xα, Tα) es Hausdorff.

11. Sea {(Xn, Tn) : n ≥ 0} una familia numerable de espacios topologicos metri-zables. En el ejercicio propuesto numero 8 de la seccion 3.3, ver pagina 146,se ofrece una metrica para el producto cartesiano

∏Xn:

d(x, y) =∑n≥0

12n

dn(xn, yn)1 + dn(xn, yn)

, para todo x, y ∈∏

Xn,

donde dn (para cada n ≥ 0) es una metrica que induce la topologıa Tn.Demostrar que d induce la topologıa producto en

∏Xn.

12. En el espacio AN, introducido en el ejercicio 3 anterior, se define

d(x, y) =

{0, si xn = yn para todo n ≥ 0

2−k, si x 6= y y k = mın{n ≥ 0 : xn 6= yn}.

Demostrar que d es una metrica e induce la topologıa producto en AN.

13. Considere el conjunto X = RR dotado con la topologıa producto inducida porla topologıa usual en R. Sea (fn)n≥0 una sucesion en X y f ∈ X. Demostrarque (fn)n≥0 converge puntualmente a f si, y solo si, (fn)n≥0 converge a f enla topologıa producto.

14. Topologıas iniciales. Sean X un conjunto no vacıo, {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} unafamilia de espacios topologicos, y para cada α ∈ Γ sea fα : X → Xα unafuncion. Demostrar:

186 5.2. Topologıa Cociente

(a) la coleccion S = {f−1(Uα) : α ∈ Γ y Uα ∈ Tα} es subbase de unatopologıa en X. La topologıa generada por S es conocida con el nombrede topologıa inicial (o topologıa debil) en X inducida por la familia defunciones {fα : α ∈ Γ}.

(b) la topologıa inicial en X, inducida por {fα : α ∈ Γ}, es la menos fina quehace continua a cada una de las funciones fα. Ademas, si (Y,U) es unespacio topologico y X es dotado con la topologıa inicial, entonces unafuncion f : Y → X es continua si, y solo si, fα ◦ f : Y → Xα es continuapara cada α ∈ Γ.

5.2. Topologıa Cociente

La topologıa que intriduciremos a continuacion es una especie de dual de latopologıa inicial definida en el ejercicio 14 de la seccion anterior, de la cual latopologıa producto es un caso particular.

Proposicion 5.7. Sean X un conjunto no vacıo, (Y,U) un espacio topologicoy f : Y → X una funcion sobreyectiva.

(1) La coleccion Tf = {U ⊂ X : f−1(U) ∈ U} es una topologıa en X, la cual esconocida con el nombre de topologıa cociente inducida por f ; al par (X, Tf )se le llama espacio cociente.

(2) Tf es la mayor de las topologıas en X que hacen continua a f .

(3) Sea X dotado con la topologıa cociente inducida por f . Si (Z,V) es cualquierespacio topologico, entonces una funcion g : X → Z es continua si, y solosi, g ◦ f lo es.

(4) Tf es la unica topologıa en X que satisface (3).

Demostracion: (1) Claramente ∅ y X son miembros de Tf ; ademas, como laimagen inversa de funciones preserva tanto la union como la interseccion deconjuntos, entonces para cada par U, V ∈ T y cualquier subfamilia F de Tf sesatisfacen: U ∩ V ∈ T y

⋃W∈F W ∈ T , con lo cual Tf es una topologıa en X.

(2) De la definicion de topologıa cociente es inmediato que la funcion f escontinua. Supongamos ahora que V es cualquier otra topologıa en X tal quef es continua; es decir, para cada V ∈ V, f−1(V ) ∈ U ; que es justamente lacondicion para pertenecer a Tf , ası que V ⊂ Tf .

(3) Es obvio que g ◦ f es continua si g lo es. Recıprocamente, supongamos queg ◦ f es continua. Sea W ∈ V, dado que

f−1(g−1(W )) = (g ◦ f)−1(W ) ∈ U ,

entonces g−1(W ) ∈ T , por tanto g es continua.

(4) Se deja al lector.


Comentario 5.1. Consideremos cualquier par de espacios topologicos (X, T )e (Y,U). Una funcion continua y sobreyectiva f : Y → X se dice una identifica-cion, o funcion cociente, si, y solo si, la topologıa T es la topologıa cociente Tfinducida por f ; es decir, U ∈ T , si, y solamente si, f−1(U) ∈ U .

Proposicion 5.8. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos. Toda funcion con-tinua, sobreyectiva y abierta (resp. cerrada) de Y en X es una identificacion.

Demostracion: Sea f : Y → X una funcion continua, sobreyectiva y abierta.De la proposicion anterior sigue que T ⊂ Tf . Por otra parte, tomemos cualquierabierto U en X con respecto a la topologıa cociente, lo cual equivale a decir quef−1(U) ∈ U . En vista que f es sobreyectiva y abierta, entonces f(f−1(U)) = U

es abierto en X con la topologıa T ; de allı que la topologıa cociente inducidapor f y T sean iguales.

La demostracion en el caso que f sea continua, sobreyectiva y cerrada esidentica.

Ejemplo 5.4. Consideremos el intervalo [0, 1] y el cırculo unitario S1 dotadoscon las topologıas relativas a las usuales en R y R2 respectivamente. Definamos lafuncion f : [0, 1]→ S1 por f(α) = (cos(2πα), sen(2πα)), cualquier sea α ∈ [0, 1].Claramente la funcion f es sobreyectiva y continua; mostraremos que tambienes cerrada, por lo que de la proposicion anterior, la topologıa usual de S1 es latopologıa cociente inducida por la funcion f .

Tomemos cualquier conjunto cerrado A en [0, 1] y z ∈ cl(f(A)), luego existeuna sucesion (zn)n≥0 en f(A) tal que zn → z. Para cada n ≥ 0 sea xn ∈ A talque f(xn) = zn. En vista que la sucesion (xn)n≥0 esta acotada, por el teoremade Bolzano-Weierstrass (ver pagina 127) existe una subsucesion (xnk)k≥0 de(xn)n≥0 que es convergente; digamos que xnk → α. Dado que A es cerrado,entonces α ∈ A. Luego la continuidad de f garantiza que z = f(α) ∈ f(A), porlo que f(A) es cerrado.

Comentario 5.2. La misma funcion f anterior pero con dominio igual a Rproduce la misma conclusion del ejemplo anterior: la topologıa usual de S1 es latopologıa cociente inducida por f : R → S1 y R dotado con la topologıa usual.En este caso f es una funcion abierta.

Existe una forma alternativa de introducir la nocion de espacios cocientes,esta esta conectada con particiones y relaciones de equivalencia en un conjunto.Recordemos que si X es un conjunto no vacıo, una particion P en X es cual-quier coleccion de subconjuntos disjuntos de X cuya union es X. Los conjuntoscocientes de relaciones de equivalencias en X son particiones en X, y recıpro-camente, dada una particion P en X, se define la relacion R en X por: xRy si,y solo si, x e y pertenecen a un mismo conjunto en la particion P. Es simpleverificar que R es de equivalencia; ademas, su conjunto cociente X/R es P; estosignifica: para cada x ∈ X existe U ∈ P tal que la clase de equivalencia R[x]


de x es U , y para cada U ∈ P existe x ∈ X tal que R[x] = U . Recordemos queasociada a cualquier particion P en X, o conjunto cociente X/R, esta definidala proyeccion natural P : X → P, o P : X → X/R, donde P (x) es el conjun-to en P que contiene a x; o equivalentemente, P (x) = R[x]. Obviamente P essobreyectiva.

Supongamos ahora que estamos en presencia de una particion P del espaciotopologico (X, T ). Sea TP la coleccion de subconjuntos de P caracterizados por:

F ⊂ P esta en TP si, y solo si,⋃A∈F

A esta en T .

Note que ∅,P ∈ TP . Por otra parte, tomemos dos elementos cualesquiera F1,F2

en TP ; esto es,⋃A∈F1

A y⋃B∈F2

B estan en T . Recuerde que par todo paraA,B ∈ P, se cumple A = B, o A ∩B = ∅. Ası pues,⋃

C∈(F1∩F2)

C =

( ⋃A∈F1

A

)∩

( ⋃B∈F2

B

),

de donde F1 ∩ F2 ∈ TP . Supongamos ahora que {Fα : α ∈ Γ} es cualquierfamilia en TP , esto significa que para cada ındice α ∈ Γ,

⋃A∈Fα A esta en T .

Entonces la familia F =⋃α∈Γ Fα es tambien un elemento en TP puesto que⋃

A∈F A =⋃α∈Γ

⋃A∈Fα A esta en T . De esta forma TP es una topologıa en P, la

cual es denominada topologıa de la particion inducida por T . En realidad TP esla topologıa cociente en P inducida por la proyeccion natural P . Esta afirmaciones muy simple que ser chequeada, basta notar que para todo elemento A ∈ Pes satisfecha la identidad P−1(A) = A; en consecuencia, para cada F ⊂ P,P−1(F) =

⋃A∈F A.

Ejemplo 5.5. Consideremos en R la relacion de equivalencia ∼ dada por

α ∼ β si, y solo si, α− β ∈ Z.

Para cada α ∈ R su clase de equivalencia es [α]∼ = α + Z = {α + n : n ∈ Z}.El conjunto cociente generado por esta relacion es generalmente denotado porR/Z (reales modulo Z). En esta particion de R con la topologıa usual tomemosla topologıa inducida por la proyeccion natural: α 7−→ [α]∼; que es, U ⊂ R/Z esabierto si, y solo si, P−1(U) es abierto en R. Tomemos ahora la identificacionf : R → S1 dada pors f(α) = (cos(2πα), sen(2πα)). Se demuestra que paracada z ∈ S1, f−1(z) = [α]∼, donde α es cualquier numero real tal que f(α) = z.En estas condiciones no es difıcil ver que la funcion h : S1 → R/Z definida,para cada z ∈ S1, por h(z) = f−1(z), es un homeomorfismo. Ası que el espaciocociente R/Z es topologicamente el mismo cırculo unitario con la topologıacociente inducida por la funcion f .

La situacion particular que acabamos de describir en este ejemplo es, enrealidad, una propiedad general de las topologıas cocientes, es lo que muestrael teorema a continuacion.


Teorema 5.2. Sean (Y,U), (X, T ) espacios topologicos y f : Y → X una iden-tificacion. Si la particion P = {f−1(x) : x ∈ X} de Y es dotada de la topologıacociente inducida por la proyeccion natural P : Y → P, entonces existe unhomeomorfismo h : X → P tal que P = h ◦ f .

Demostracion: Dado que la funcion f es sobreyectiva, el conjunto f−1(x)es no vacıo para cada x ∈ X; ademas, la proyeccion P restricta a f−1(x) esconstante. De hecho, P (y) = P (z) si, y solo si, f(y) = f(z). Definamos lafuncion h : X → P por h(x) = Ax, donde Ax = P (y), cualquiera sea y ∈ Y talque f(y) = x. Puesto que P es una particion de Y , f y P son sobreyectivas,entonces h es biyectiva; note tambien que para cada y ∈ Y , P (y) = h(f(y));que es, P = h ◦ f , de donde h−1 ◦ P = f y con lo cual h y h−1 son continuaspues P y f son funciones cocientes; ver proposicion 5.7.

A continuacion presentaremos algunos ejemplos clasicos de espacios topologi-cos cocientes, cada uno de ellos es obtenido mediante una particular particiondel cuadrado [0, 1]× [0, 1].

Ejemplo 5.6 (El cilindro). En el ejemplo 5.4 obtuvimos el cırculo unitario alidentificar los extremos de un intervalo cerrado acotado. Similarmente procede-remos con el cuadrado [0, 1]×[0, 1] dotado con la topologıa producto: cada punto(0, α) es identificado con (1, α), α ∈ [0, 1]. En otros terminos, consideramos la

Figura 5.2: S1: identificacion paralela de dos de los bordes paralelos de un cuadrado.

funcion f : [0, 1]×[0, 1]→ S1×[0, 1] dada por f(α, β) = ((cos(2πα), sen(2πα)), β)y a S1 × [0, 1] lo dotamos con la topologıa cociente inducida por f , la cual esjusto la topologıa producto en S1 × [0, 1].

Ejemplo 5.7 (El toro 2-dimensional). Consideremos nuevamente el cua-drado [0, 1] × [0, 1] dotado con la topologıa producto y definamos la funcionf : [0, 1]× [0, 1]→ S1 × S1 por

f(α, β) = ((cos(2πα), sen(2πα)), (cos(2πβ), sen(2πβ))), α, β ∈ [0, 1].

Observe que mediante f se esta identificando los a = (0, α) y b = (1, α), ytambien c = (β, 0) y d = (β, 1), cualesquiera sean los valores α, β ∈ [0, 1];esto es, f identifica entre sı tanto los bordes verticales como los horizontales del


Figura 5.3: T2: identificacion paralela de los bordes paralelos de un cuadrado.

cuadrado. Aunque S1×S1 es un objeto en R4, este es visualizado en R3 medianteestas identificaciones: al identificar los bordes verticales tenemos el cilindro, yluego al identificar los cırculos bordes del cilindro obtenemos la figura en R3

que presentamos en el ejemplo 5.3. Como antes, la funcion f satisface buenascondiciones para que las topologıas producto y cociente inducida por f en S1×S1

coincidan.

Ejemplo 5.8 (Banda de Mobius). La banda de Mobius es una de las famosassuperficies no orientables que son estudiadas en cualquier curso estandar degeometrıa. Consideremos en el cuadrado [0, 1]× [0, 1] la particion

M = {{(α, β)} : 0 ≤ α ≤ 1, 0 < β < 1} ∪ {{(α, 0), (1− α, 1)} : 0 ≤ α ≤ 1}.

La banda de Mobius es M con la topologıa de la particion inducida por la

Figura 5.4: Banda de Mobius: identificacion con torsion de dos de los lados paralelos

de un cuadrado.

topologıa producto en [0, 1] × [0, 1]; la cual no es facil visualizar. No obstante,si en el cuadrado [0, 1] × [0, 1] identificamos (pegamos), como dice la particionM, sus bordes horizontales con una torsion; que es, identificar (hacer coincidir)a = (α, 0) y b = (1 − α, 1), cualquiera sea α ∈ [0, 1], entonces se obtiene unasuperficie, en R3, como la que se ilustra en el lado derecho de la figura.

Ejemplo 5.9 (Botella de Klein). La botella de Klein, originalmente superficiede Klein, es otra superficie no orientable obtenida mediante ciertas identifica-ciones en el cuadrado [0, 1] × [0, 1]. Como en el caso de la banda de Mobius,


Figura 5.5: K: identificacion con torsion de dos de los lados paralelos de un cuadrado

e identificacion paralela en los otros dos lados.

consideremos particion K del cuadrado [0, 1]× [0, 1] dada por:

K = {{(α, β)} : 0 < α < 1, 0 < β < 1} ∪ {{(α, 0), (1− α, 1)} : 0 ≤ α ≤ 1}∪{{(0, β), (1, β)} : 0 ≤ β ≤ 1}.

Esta particion, con la topologıa de la particion inducida por la topologıa pro-ducto del cuadrado [0, 1]× [0, 1], es la botella de Klein. La particion K estableceuna identificacion de los bordes del cuadrado: los bordes verticales son iden-tificados paralelamente; es decir, a = (0, β) y b = (1, β), con β ∈ [0, 1], son elmismo punto. Mientras que los bordes horizontales son identificados con torsion,lo cual significa que para cada α ∈ [0, 1], c = (α, 0) y d = (1 − α, 1) son unosolo. Al hacer la identificacion de los lados verticales se obtiene un cilindro, peropara hacer la identificacion con torsion de los dos lados horizontales se requierede otra dimension: la botella de Klein “vive en R4”. Sin embargo existe unavisualizacion de K en R3; esta se obtiene mediante una autointerseccion queaparece al hacer la identificacion con torsion de los cırculos bordes del cilindro.Una ilustracion de la botella de Klein en R3 es mostrada en la figura.


1. Completar la demostracion de la proposicion 5.7.

2. Considere en R2 con la topologıa usual. Se definen en R2 las relaciones deequivalencia R1, R2 y R3:

(x, y)R1(u, v) si, y solo si, y = v,

(x, y)R2(u, v) si, y solo si, x− u ∈ Z y y = v,

(x, y)R3(u, v) si, y solo si, x2 + y2 = u2 + v2.

(a) Describa los elementos de la particion inducida por R1, R2 y R3.

(b) Demostrar: R2/R1 es homeomorfo a R, R2/R2 es homeomorfo a S1 × Ry R2/R3 es homeomorfo a [0,+∞).


3. En S1 con la topologıa usual considere la particion P cuyos elementos sonlos subconjuntos de S1 formados por los puntos diametralmente opuestos.Demostrar que el espacio cociente inducido por P es homeomorfo a S1.

4. En R con la topologıa usual considere la particion P = {(0,∞), (−∞, 0]}.Demostrar que el espacio cociente correspondiente no es Hausdorff.

5. Sean (Y,U) un espacio topologico, X no vacıo dotado con la topologıa co-ciente Tf inducida por la funcion sobreyectiva f : Y → X. Demostrar que Fes cerrado en X si, y solo si, f−1(F ) es es cerrado en Y .

6. Sean (X, T ) un espacio topologico, R una relacion de equivalencia en X, X/Rcon la topologıa cociente y P : X → X/R la proyeccion natural.

(a) Demostrar que si X es separable, entonces X/R tambien lo es.

(b) Demostrar que X/R es T1 (todo conjunto unitario es cerrado) si, y solosi, cada miembro de X/R es cerrado en X.

(c) Demostrar que son equivalentes:

1) P es una funcion abierta.2) Si A es abierto en X, entonces R[A] =

⋃x∈AR[x] es abierto en X.

3) Si A es cerrado en X, entonces⋃U∈FA U es cerrado en X, siendo

que FA = {F ∈ X/R : F ⊂ A}.(d) Un subconjunto A de X se dice saturado (segun R) si, y solo si, A es

union de elementos en X/R. La saturacion de un subconjunto de X esel menor conjunto saturado que lo contiene. Demostrar:

1) La saturacion de A ⊂ X es igual a P−1(P (A)); ademas, A es satu-rado si, y solo si, es igual a su saturacion.

2) Un subconjunto de X/R es abierto si, y solo si, es la imagen de unabierto saturado en X.

3) Un subconjunto de X/R es cerrado si, y solo si, su preimagen por Pes cerrado en X, si, y solo si, es la imagen de un cerrado saturadoen X.

4) El espacio cociente X/R es Hausdorff si, y solo si, cualquier par deelementos distintos de X/R tienen vecindades disjuntas saturadas.

(e) La particion P = X/R de X se dice superiormente semicontinua si, ysolo si, para cada F ∈ X/R y cada abierto U en X conteniendo a F ,existe V abierto y saturado en X tal que F ⊂ V ⊂ U .Demostrar que la proyeccion P es cerrada si, y solo si, P es superiormentesemicontinua.

7. Sea f : Rn → S1 × · · · × S1︸︷︷︸n factores

= (S1)n dada por

f(α1, · · · , αn) = ((cos(2πα1), sen(2πα1)), · · · , (cos(2παn), sen(2παn))).


(a) Demostrar que la topologıa cociente en (S1)n inducida por f es igual ala topologıa producto de (S1)n.

(b) En Rn (n ≥ 1) considere la relacion x ∼ y si, y solo si, x − y ∈ Zn.Demostrar que ∼ es de equivalencia y la particion Rn/Zn con la topologıade la particion es homeomorfa al espacio producto (S1)n.

Rn/Zn, o (S1)n, con la topologıa descrita es denominado toro n-dimensional.

8. Sea f : [0, 1]× [0, 1]→ R3 dada por f(x, y) = (u(x, y), v(x, y), w(x, y)), dondeu(x, y) = (1 + (x+ 1

2 ) cos(πy)) cos(2πy)v(x, y) = (1 + (x+ 1

2 ) cos(πy)) sen(2πy)w(x, y) = (x− 1

2 ) sen(πy).

Demostrar que M = f([0, 1] × [0, 1]) con la topologıa cociente inducida porf es la banda de Mobius.

9. Sean (X, T ), (Y,U) y (Z,V) espacios topologicos.

(a) Si f : Y → X es una identificacion y g : X → Z es una funcion de formaque g ◦ f es una identificacion, demostrar que g es una identificacion.

(b) Sea f : Y → X una funcion inyectiva. Demostrar que f es una identifi-cacion si, y solo si, f es un homeomorfismo.

(c) Si f : Y → X es una funcion continua y existe g : X → Y continua talque f ◦ g sea la identidad en X, demostrar que f es una identificacion.

10. Considere D2 = {x ∈ R2 : ‖x‖ ≤ 1} y S2 = {z ∈ R3 : ‖z‖ = 1} dotadoscon las topologıas relativas a las usuales. Sean N = (0, 0, 1) el polo norte deS2, π : S2 \ {N} → R2 la proyeccion estereografica y h : D2 \ S1 → R2 elhomeomorfismo dado por h(x) = 1

1−‖x‖ para cada x ∈ D2.

(a) Demostrar que la funcion f : D2 → S2 definida por

f(x) =

{N, si ‖x‖ = 1

(π−1 ◦ h)(x), si ‖x‖ < 1para cada x ∈ D2,

es una identificacion.

(b) Deducir que D2/R es homeomorfo a S2, siendo que R es la relacion deequivalencia en D2 dada por xRy si, y solo si, x = y, o bien x, y ∈ S1.

(c) Extender estas propiedades para cualquier entero n ≥ 2.

11. Subespacios y topologıas cocientes. Sean (X, T ), (Y,U) espacios to-pologicos, f : Y → X una identificacion y A ⊂ X no vacıo. Considereen A las topologıas: relativa TA y la topologıa cociente Tf (A) inducida porla restriccion f : f−1(A)→ A de f a f−1(A). Demostrar que:


(a) TA ⊂ Tf (A).

(b) Si A es abierto o cerrado en X; o si f es abierta o cerrada, entoncesTA = Tf (A).

12. Sean A el conjunto de numeros irracionales en el intervalo [0, 1], X = A∪{1}

y f : [0, 1] → X dada por f(x) =

{x, si x ∈ A1, si x ∈ [0, 1] \A

. Considere en [0, 1]

la topologıa relativa a la usual y en X la topologıa cociente inducida por f .

(a) Demostrar que los abiertos no triviales (distintos de X y ∅) en X son dela forma f(U), donde U es abierto en [0,1] y contiene a [0, 1] \A.

(b) Deducir que TA 6= Tf (A).

13. Topologıas finales. Sean X no vacıo, {(Yα,Uα) : α ∈ Γ} una familia deespacios topologicos y {fα : α ∈ Γ} una familia de funciones sobreyectivas deYα en X. Demostrar:

(a) La coleccion T{fα} = {U ⊂ X : f−1α (U) ∈ Uα para cada α ∈ Γ} es una

topologıa en X, la cual es denominada topologıa final, o topologıa fuerte,inducida por la familia de funciones {fα : α ∈ Γ}.

(b) T{fα} es la mayor de todas las topologıas en X que hacen continuas acada una de las funciones fα.

(c) Sea X dotado con T{fα}. Si (Z,V) es cualquier espacio topologico, en-tonces una funcion g : X → Z es continua si, y solo si, g ◦ fα es continuapara todo α ∈ Γ.

(d) T{fα} es la unica topologıa en X que satisface (c). 1

1Se le exige la sobreyectividad para evitar que aparezcan subconjuntos de X con la topo-

logıa discreta. Aun sin la sobreyectividad continuan siendo validas las propiedades descritas

6Conexidad y Compacidad

“Being a language, mathematics may be used not only to inform

but also, among other things, to seduce”

Benoıt Mandelbrot (1924 - )

Los conceptos topologicos que abordaremos en este capıtulo, la conexidad ycompacidad, son realmente parte esencial de cualquier curso basico de topo-logıa general; ambos tienen importantes repercusiones en distintas ramas de lamatematica y otras ciencias; incluso, aun sin ser expresamente definidos, am-bos tienen importante rol en diferentes teoremas clasicos del calculo diferencialelemental.

6.1. Conexidad

La idea intuitiva de conexidad se refiere a la propiedad de expresarse co-mo una sola pieza; es decir, no poder ser separado en partes propias disjuntasy no vacıas. En realidad esta es una idea muy vaga desde el punto de vistamatematico, es necesario enriquecerla. Al ubicarnos en el contexto topologico,dado que sus objetos esenciales son los conjuntos abiertos, luce natural exigiralguna condicion topologica a las partes mediante las cuales exista la posibili-dad que un espacio topologico pueda ser expresado o no en partes separadas.A continuacion presentamos la definicion moderna de conexidad, esencialmenteintroducida por el matematico frances Camille Jordan (1838-1922), aunque laprimera nocion topologica de conexidad es debida a Cantor.

6.1.1. Definicion y ejemplos

Definicion 6.1. Un espacio topologico (X, T ) se dice conexo si, y solo si, Xno puede expresarse como union disjunta de dos abiertos no vacıos en X. Unsubconjunto A de X se dice conexo si, y solo si, (A, TA) es conexo, donde TA esla topologıa relativa en A. Un subconjunto no conexo en un espacio topologicose denomina disconexo.

Un par de observaciones elementales siguen claramente a esta definicion. Laprimera de ellas es que un espacio topologico (X, T ) es disconexo si, y solo si,existen abiertos no vacıos y disjuntos A y B de X, tales que X = A ∪ B. Lasegunda es que un subconjunto A de X es conexo si, y solo si, para todo U, Vde abiertos disjuntos en X tales que A ⊂ U ∪ V , se cumple A ⊂ U , o A ⊂ V .

Existen varias formas equivalentes de expresar la conexidad de un espaciotopologico cualquiera; muestra de ello es lo que expresa el siguiente resultado.

195

196 6.1. Conexidad

Teorema 6.1. Dado un espacio topologico (X, T ), son equivalentes:

(1) X es conexo.

(2) Los unicos subconjuntos de X que son simultaneamente abiertos y cerradosson ∅ y X.

(3) Toda funcion continua de X en cualquier espacio topologico discreto esconstante.

(4) No existe una funcion continua y sobreyectiva de X en {0, 1} con la topologıadiscreta.

Demostracion:

(1)⇒ (2). Supongamos que A es un subconjunto propio no vacıo de X que es almismo tiempo abierto y cerrado, luego X\A tambien es no vacıo, distinto de X ysimultaneamente abierto y cerrado. Luego X es disconexo pues X = A∪(X \A).

(2)⇒ (3). Sean Y 6= ∅ dotado con la topologıa discreta D y f : X → Y continua.Si card(Y ) = 1, entonces obviamente f es constante. Ahora, si card(Y ) ≥ 2y f es no constante, existen x1, x2 ∈ X tales que f(x1) 6= f(x2). EntoncesA = f−1({f(x1)}) es abierto, cerrado, no vacıo y diferente de X.

(3)⇒ (4). Obvio.

(4)⇒ (1). Si X es no conexo, entonces X = A∪B, donde A y B son abiertos novacıos disjuntos. Entonces la funcion f : X → {0, 1} definida, para cada x ∈ X,

por f(x) =

{0, si x ∈ A1, si x ∈ B

es continua y sobreyectiva.

Ejemplo 6.1 (Ejemplos simples).

1. Todo conjunto X no vacıo dotado con la topologıa indiscreta es obviamen-te conexo. En contraposicion, si X es dotado con la topologıa indiscreta,entonces X es conexo si, y solo si, card(X) = 1.

2. El conjunto de numeros racionales Q es disconexo en R con la topologıa usual:Q = (Q ∩ (−∞, π)) ∪ (Q ∩ (π,+∞)).

3. Sea X un conjunto no finito dotado de la topologıa cofinita. Dado que cual-quier conjunto cerrado distinto de X tiene cardinal finito y todo abierto novacıo tiene es no finito, entonces X es conexo.

4. R dotado con la topologıa de Sorgenfrey es disconexo ya que los intervalos(−∞, 0) y [0,∞) son abiertos en esa topologıa.

5. R con la topologıa de rayos abiertos a derecha es conexo. Recuerde que estatopologıa tiene como una base a la familia B = {(x,+∞) : x ∈ R}. Luegodos abiertos no vacıos cualesquiera siempre se intersectan.

6. Conexidad y Compacidad 197

Ejemplo 6.2 (Conexos en RRR). Mostraremos aca que un subconjunto no vacıoA de R, con la topologıa usual, es conexo si, y solamente si, A es un intervalo.

Supongamos que A es conexo. Si A es unitario, entonces A = [x, x] paraalgun x ∈ R. Ahora bien, si A tiene mas de un elemento, tomamos x, y ∈ A yz ∈ R tales que x < z < y. Si z /∈ A, entonces A ⊂ (−∞, z) ∪ (z,+∞). Pero Aes conexo, por lo que A esta contenido en uno de los dos intervalos anteriores,lo cual no puede ser. De esta forma, todo punto entre x e y esta en A, paratodo x, y ∈ A: [mın{x, y},max{x, y}] ⊂ A para todo x, y ∈ A. Claramente estapropiedad implica que A es un intervalo.

Veamos que todo intervalo es un conjunto conexo en R. Sean I un intervalo,U y V abiertos disjuntos no vacıos en R tales que I ⊂ U ∪ V . Supongamosque I ∩ U 6= ∅, mostraremos I ∩ V = ∅, o equivalentemente I ⊂ U . Tomemoscualquier x ∈ I ∩ U y hagamos W = I ∩ V ∩ (x,+∞). Afirmamos que W =∅. Si W 6= ∅, consideramos α = ınf W , el cual existe pues W esta acotadoinferiormente. Note que x ≤ α ≤ w para todo w ∈ W . Como W ⊂ I, I es unintervalo y x ∈ I, entonces α ∈ I, con lo cual α ∈ U , o bien α ∈ V . Si α ∈ V ,entonces x < α, y ası α ∈ W . Dado que W es abierto en I, existe ε > 0 talque (−ε + α, α + ε) ∩ I ⊂ W y x < α − ε. Observe que [x, α] ⊂ I, de dondeα− ε

2 ∈ W , contradiciendo α = ınf W ; por lo que α /∈ V . Pero si α ∈ U , existeρ > 0 tal que (−ρ + α, ρ + α) ⊂ U , contradiciendo nuevamente α = ınf W .Por tanto concluimos que I ∩ V ∩ (x,+∞) = ∅. Similarmente se demuestra queI ∩ V ∩ (−∞, x) = ∅. Lo cual implica que I ∩ V = ∅, como deseabamos.

Como obvia consecuencia de este ejemplo tenemos que R dotado con latopologıa usual es un espacio conexo.

6.1.2. Propiedades basicas

A continuacion presentamos un conjunto de propiedades de la conexidad quese relacionan con diferentes conceptos topologicos: continuidad, union, clausura,producto, entre otros.

Teorema 6.2. Imagen continua de conexos es conexo.

Demostracion: Sean (X, T ) un espacio topologico conexo y f : X → Y unafuncion continua en el espacio topologico (Y,U). Supongamos que A = f(X)es disconexo, entonces podemos escoger B ( A no vacıo, abierto y cerrado enA con la topologıa relativa UA. Pero como la funcion f : X → A es tambiencontinua, ver proposicion 4.1, entonces f−1(A) es abierto, cerrado, no vacıo ydistinto de X, contradiciendo la conexidad de X.

Entras las consecuencias inmediatas de esta propiedad tenemos:

(1) La conexidad es una propiedad topologica.

198 6.1. Conexidad

(2) Teorema del valor intermedio. Sean (X, T ) un espacio topologico conexoy R con la topologıa usual. Si f : X → R es una funcion continua, entoncesf(X) es un intervalo.

De aca que si X es el intervalo [a, b] y α es un valor entre f(a) y f(b),entonces existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = α.

(3) Si (X, T ) es un espacio topologico conexo y R una relacion de equivalenciaen X, entonces el espacio cociente X/R es conexo.

(4) Si una familia de espacios topologicos {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} es tal que∏Xα

es conexo, entonces cada espacio factor Xα es conexo.

Definicion 6.2. Sea (X, T ) un espacio topologico. Dos subconjuntos F,G deX se dice mutuamente separados si, y solo si, F ∩ cl(G) = cl(F ) ∩G = ∅.

Teorema 6.3. Sea (X, T ) un espacio topologico. A ⊂ X es disconexo si, ysolamente si, existe subconjuntos no vacıos F,G de X mutuamente separadostales que A = F ∪G.

Demostracion: Supongamos que A es disconexo. Sean F y G abiertos disjun-tos no vacıos en A tales que A = F ∪G. Note que ambos conjuntos tambien soncerrados en A. Por otra parte, dado que

F ∩ cl(G) = (F ∩A) ∩ cl(G) = F ∩ (A ∩ cl(G)) = F ∩ clA(G) = ∅,

y analogamente cl(F ) ∩G = ∅, entonces F y G son mutuamente separados.Recıprocamente, si A = F ∪ G siendo F y G mutuamente separados, mos-

traremos que tanto F como G son abiertos no vacıos en A. Obviamente cadauno de ellos es el complemento del otro en A. Luego es suficiente verificar quecada uno de ellos es cerrado en A. En vista que

clA(F ) = cl(F ) ∩A = cl(F ) ∩ (F ∪G)

= (cl(F ) ∩ F ) ∪ (cl(F ) ∩G) = cl(F ) ∩ F = F,

entonces F es cerrado en A. De la misma manera clA(G) = G.

Teorema 6.4. Sea (X, T ) un espacio topologico. Si {Aα : α ∈ Γ} es una familiade subconjuntos conexos de X tales que Aα∩Aβ 6= ∅ para todo α, β ∈ Γ, entonces⋃α∈ΓAα es conexo.

Demostracion: Supongamos que existen dos abiertos disjuntos U y V en X

tales que⋃α∈ΓAα ⊂ U ∪ V . Fijemos un ındice β ∈ Γ. Dado que Aβ es conexo

y Aβ ⊂ U ∪ V , sigue que Aβ ⊂ U , o Aβ ⊂ V . Si Aβ ⊂ U , como Aα ∩ Aβ 6= ∅para todo α ∈ Γ, entonces Aα∩U 6= ∅, con lo cual Aα ⊂ U pues Aα es conexo yAα ⊂ U ∪V . De esta forma

⋃α∈ΓAα ⊂ U . Los mismos argumentos demuestran

que⋃α∈ΓAα ⊂ V si Aβ ⊂ V .


Este resultado es muy util; por ejemplo de ella se deduce que Rn con latopologıa usual es conexo: Rn es la union de todas las rectas que pasan por elorigen, y cada recta es homeomorfa a R.

Es necesario comentar que si el conjunto de ındices en el enunciado de esteteorema es numerable, entonces la hipotesis sobre la interseccion de los conexospuede debilitarse y continuar teniendo union conexa, ver ejercicio propuestonumero 6 de esta seccion. El siguiente ejemplo muestra que la interseccion deconexos no es bien comportada desde el punto de vista de la conexidad.

Ejemplo 6.3. Consideremos R2 con la topologıa usual los siguientes conjuntos:A = [0, 1]×{0} y B = ([0, 1]× [0, 1])\{(x, 0) : 1

3 < x < 23}. Ambos son conexos:

A es homeomorfo a [0, 1], mientras que B es union de segmentos (por tantoconexos) con uno de sus extremos en el punto (1, 1). Sin embargo A ∩ B esdisconexo por ser homeomorfo a [0, 1

3 ] ∪ [ 23 , 1].

Teorema 6.5. Sean (X, T ) un espacio topologico y A ⊂ X conexo. Si B es talque A ⊂ B ⊂ cl(A), entonces B es conexo; en particular la clausura de todoconexo es conexa.

Demostracion: Supongamos que existe f : B → {0, 1} continua. Dado queA ⊂ B y A es conexo, sigue del teorema 6.1 que f |A : A → {0, 1} no essobreyectiva. Note que B = B ∩ cl(A) = clB(A), luego la continuidad de f en Bdemuestra que f(B) = f(clB(A)) ⊂ cl(f(A)), ver teorema 4.1. Por otra parte,cl(f(A)) = f(A) pues la topologıa considerada en {0, 1} es la discreta. Por tantof no puede ser sobreyectiva, lo cual demuestra la conexidad de B.

Ejemplo 6.4. Consideremos en R2, dotado con la topologıa usual, el subespacioA constituido por todos los segmentos que unen el origen O con los puntos (1, 1

n ),donde n varıa en los enteros positivos. Del teorema 6.4 sigue que A es conexo,por lo que su clausura A ∪ {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1} es conexa. Igualmente es conexoel conjunto B = A ∪ {(x, 0) : 1

2 ≤ x ≤ 1}, pues B esta entre A y cl(A).

Figura 6.1: Conjuntos conexos: A, su clausura y B = A ∪ {(x, 0) : 12≤ x ≤ 1}

Adicionalmente observe que el conjunto D = A \ {O} es disconexo, los con-juntos abiertos U = {(x, y) ∈ R2 : y > 7

10x} y V = {(x, y) ∈ R2 : y < 710x} son

200 6.1. Conexidad

disjuntos y D = (U ∩D) ∪ (V ∩D).

A continuacion un clasico y exotico ejemplo de un conjunto conexo en elplano R2 con la topologıa usual: el sinusoide topologico.

Ejemplo 6.5. Sea f : (0,+∞) → R la funcion continua dada por f(x) =sen( 1

x ). El teorema 6.2 implica que S = {(x, sen( 1x )) : x > 0} es un subconjunto

conexo de R2 con la topologıa usual. Note que la grafica de f se aproxima

Figura 6.2: Grafica de la funcion x 7−→ sen( 1x

), x > 0

arbitrariamente a cualquier punto del segmento Y = {0} × [−1, 1]; mas aun,es simple verificar que cl(S) = S ∪ Y , conjunto que tambien es conexo por elteorema anterior.

La propia conexidad, ademas de ser una propiedad topologica, pueder serusada para demostrar que algunos espacios conexos son no homeomorfos. Antesde mostrar un ejemplo de ello es necesario mencionar que si una funcion f :X → Y es un homeomorfismo entre los espacios topologicos X e Y , entoncespara todo A ⊂ X, se tiene que X \A y Y \ f(A) son homeomorfos.

Ejemplo 6.6. R y R2 con las topologıas usuales no son homeomorfos. Si lofuesen existirıa un homeomorfismo f : R→ R2, luego R \ {a} serıa homeomorfoa R2\{f(a)}, lo cual es imposible pues R\{a} es disconexo (¡no es un intervalo!),mientras que R2 sin un punto es un conjunto conexo. Una forma de demostraresta afirmacion es la siguiente. Tomemos cualquier par de puntos p, q ∈ R2 y Lla recta que los une. Dado que R2 \ L es union de todas las rectas, excepto L,que pasan por q, entonces R2 \ L es conexo. Es claro que la clausura de R2 \ Les R2, por lo que cualquier conjunto que contenga a R2 \ L es conexo.

Es necesario mencionar que Rn y Rm, con las respectivas topologıas usuales,no son homeomorfos cualesquiera sean n,m ≥ 1 con n 6= m. Esto, aunquepudiese lucir ingenuo, es un resultado realmente profundo que se obtiene comoconsecuencia de otro relavante resultado conocido como teorema de la invarianzade dimension de Lebesgue-Brouwer; esto puede consultarse en el libro DimensionTheory, Princeton University Press (Revised edition, 1996) de W. Hurewicz yH. Wallman.

Teorema 6.6. El producto finito de espacios topologicos conexos es conexo.


Demostracion: Consideremos inicialmente dos espacios topologicos conexos(X, T ) e (Y,U). Dado que para todo x ∈ X y cada y ∈ Y , X×{y} es homeomorfoa X y {x} × Y es homeomorfo a Y , entonces X × {y} y {x} × Y son conjuntosconexos en X × Y . Por otro lado, como (X × {y}) ∩ ({x} × Y ) 6= ∅, la union(X ×{y})∪ ({x}×Y ) tambien es conexa. Fijado (x0, y0) ∈ X ×Y , cada conexo(X × {y0}) ∪ ({x} × Y ) contiene este punto, cualquiera sea x ∈ X. Pero

X × Y =⋃x∈X

(X × {y0}) ∪ ({x} × Y ),

luego del teorema 6.4 sigue la conexidad de X×Y . Procediendo por recurrencia,y usando el hecho que (X1 × · · · × Xn−1) × Xn es homeomorfo a X1 × · · · ×Xn, se obtiene la conexa de cualquier producto finito de espacios topologicosconexos.

En realidad el producto arbitrario de espacios topologicos conexos tambien esconexo, la demostracion que presentaremos de esta propiedad, ver teorema 6.8,requiere tanto del teorema anterior como de la nocion de componente conexa,la cual introducimos a continuacion.

Observe que en cualquier espacio topologico (X, T ) todo subconjunto uni-tario es conexo. De allı que para cada x ∈ X, la familia Cx de todos los subcon-juntos conexos en X que contienen a x es no vacıa. Sigue del teorema 6.4 quela union C(x) =

⋃C∈Cx C es un subconjunto conexo en X, el cual obviamente

contiene a x y es el mayor conjunto conexo en X que lo contiene. A este conjuntoC(x) se le denomina componente conexa de x.

Teorema 6.7. Sea (X, T ) un espacio topologico.

(1) Para cada par de puntos x, y ∈ X, se cumple C(x) ∩ C(y) = ∅, o bienC(x) = C(y).

(2) Para todo x ∈ X, C(x) es un conjunto cerrado.

Demostracion: Supongamos que x, y ∈ X son tales que C(x) ∩ C(y) 6= ∅.Dado que C(x) y C(y) son conjuntos conexos, entonces C(x) ∪ C(y) tambienes un conjunto conexo, que por contener tanto a x como a y se concluye queC(x) ∪ C(y) ⊂ C(x) y C(x) ∪ C(y) ⊂ C(y), de donde C(x) = C(y).

La segunda parte es consecuencia inmediata del teorema 6.5 y de la mismadefinicion de componente conexa.

Dado que todo punto en un espacio topologico X esta en una componenteconexa (de hecho unica), la primera parte del teorema anterior implica que lacoleccion de todas las componentes conexas es una particion de X. Esto puedetraducirse diciendo que la relacion:

xCy si, y solo si, x e y estan en una misma componente conexa,

202 6.1. Conexidad

es de equivalencia y su conjunto cociente X/C es constituido por las componen-tes conexas en X. Las componentes conexas de un espacio tambien son llamadascomponentes del espacio.

Es facil mostrar que un espacio topologico X es conexo si, y solamente si,X/C = {X}; es decir, X es conexo si, y solo si, X tiene una unica componente.Igualemente simple es verificar que las componentes en un espacio topologicosson bien comportadas por medio de funciones continuas, con esto queremos de-cir que si f : X → Y es una funcion continua, entonces f(C(x)) ⊂ C(f(x))para todo x ∈ X. En particular, si la funcion f es un homeomorfismo, enton-ces f(C(x)) = C(f(x)) para todo x ∈ X. Lo cual indica que el numero decomponentes es un invariante topologico.

Retornemos al producto de espacios conexos.

Teorema 6.8. Si {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} es una familia arbitraria de espaciostopologicos conexos, entonces

∏Xα con la topologıa producto es conexo.

Demostracion: Fijemos un punto arbitrario x0 ∈∏Xα y consideremos su

componente conexa C(x0). Para cada entero n ≥ 1, sea Cn(x0) el conjuntode todos los puntos x ∈

∏Xα tales que xα = x0

α para todo α ∈ Γ, exceptoposiblemente para un numero de ındices que no excede a n. Claramente Cn(x0)es la union de todas las n-tajadas X(x0, {β1, · · · , βn}) a traves x0. Recuerdeque X(x0, {β1, · · · , βn}) = {x ∈

∏Xα : xα = x0

α si α /∈ {β1, · · · , βn}} es unsubespacio homeomorfo a

∏ki=1Xβi , ver ejercicio 6b en la pagina 184. Como

el producto finito de conexos es conexo, cada X(x0, {β1, · · · , βn}) es conexo.Luego el teorema 6.4 garantiza que tanto Cn(x0) como D(x0) =

⋃n≥1 Cn(x0)

son subconjuntos conexos en∏Xα que contienen a x0. Ası que en particular

D(x0) ⊂ C(x0). Pero el conjunto D(x0) es denso en∏Xα, ver ejercicio 6c en

la pagina 184, de donde cl(D(x0)) =∏Xα ⊂ cl(C(x0)) = C(x0); ası pues el

espacio producto∏Xα tiene una unica componente.

En el extremo opuesto a la conexidad se situan los espacios topologicos quea continuacion definimos.

Definicion 6.3. Un espacio topologico (X, T ) se dice totalmente disconexo si,y solo si, las unicas componentes de X son los conjuntos unitarios.

Ejemplo 6.7. Si la topologıa en X es la discreta, entonces la componenteconexa C(x) = {x} pues todo conjunto con mas de dos elementos en disconexo;por tanto, todo espacio topologico discreto es totalmente disconexo. Existenespacios totalmente disconexos cuya topologıa es diferente de la discreta; tal esel caso de Q con la topologıa relativa usual: sea x ∈ Q, si existe y ∈ C(x) \ {x},digamos x < y, entonces para cualquier irracional x < r < y, se tiene que losabiertos Q∩ (−∞, r) y Q∩ (r,+∞) son disjuntos y ambos contienen puntos deC(x), lo cual es imposible ya que C(x) es conexo en Q.


Como consecuencia del buen comportamiento de las componentes conexasa traves de funciones continuas, ser totalmente disconexo es una propiedad to-pologica. Esto es inmediato pues si (X, T ) es totalmente disconexo y f : X → Y

es un continua, entonces para cada x ∈ X, la componente de f(x) en Y es jus-tamente {f(x)}.

Teorema 6.9. Ser totalmente disconexo es una propiedad productiva y heredi-taria; es decir, producto y subespacios de totalmente disconexo son totalmentedisconexos.

Demostracion: Supongamos que {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} es una familia de espaciostopologicos totalmente disconexos y consideremos

∏Xα dotado con la topologıa

producto. Sea C un subconjunto conexo en∏Xα. Entonces para cada α ∈ Γ,

πα(C) es un conjunto conexo en Xα, luego πα(C) es un conjunto unitario. Comoα es cualquier ındice, sigue que C es un conjunto unitario, por tanto el espacioproducto

∏Xα es totalmente disconexo.

La demostracion de ser hereditaria es consecuencia inmediata del hecho quela funcion inclusion es continua; detalles para el lector.

Ejemplo 6.8. Otra propiedad importante que posee el conjunto de Cantorternario K es la de ser totalmente disconexo. Recuerde que K es homeomorfoal espacio producto {0, 2}N, ver ejemplo 5.1. Del teorema anterior se desprendela disconexidad total de K pues {0, 2}N es totalmente disconexo, se trata de unproducto de espacios discretos.

6.1.3. Conexidad por caminos

Trataremos en este apartado un concepto ligado a la conexidad: conexidadpor caminos, el cual es una nocion mas fuerte que la conexidad, esto es debidoa que la conexidad es implicada por la conexidad por caminos.

Definicion 6.4. Sean (X, T ) un espacio topologico e I = [0, 1] dotado con latopologıa usual. Un camino en X es cualquier funcion continua α : I → X. Lospuntos α(0) y α(1) son conocidos, respectivamente, como punto inicial y puntofinal del camino; se dice ademas que α une α(0) a α(1).

204 6.1. Conexidad

Dado cualquier camino α en X, claramente su imagen {α(t) : t ∈ I} es unconjunto conexo en X, el cual es interpretado como una curva en el espacio Xque es recorrida de α(0) hacia α(1) siempre que el valor del parametro t searecorrido de 0 hacia 1. Una funcion constante de I en X se denomina caminoconstante, o estacionario. Si α : I → X es un camino que une el punto x alpunto y, la funcion β : I → X con β(t) = α(1 − t), para cada t ∈ I, es uncamino que une y a x. Intuitivamente, aunque los conjuntos imagenes de α y βson los mismos, el camino descrito por β realiza el recorrido de y hacia x, porello se acostumbra denominarlo camino inverso de α. Debe aclararse que no setrata de la inversa de la funcion α. Dados dos caminos α, β : I → X tales queα va de x hacia y, y β va de y hacia z, entonces la funcion α ∗ β : I → X, con

(α ∗ β)(t) =

{α(2t), si t ∈ [0, 1

2 ]

β(2t− 1), si t ∈ [ 12 , 1]

, es tambien un camino. En vista que

α(1) = β(0), el camino α ∗ β va de x a z a traves de y; este se conoce con elnombre de yuxtaposicion de α y β, o producto de α y β.

Figura 6.3: Yuxtaposicion α ∗ β de los caminos α y β

Definicion 6.5. Un espacio topologico (X, T ) se dice conexo por caminos, oarco conexo, si, y solo si, cualquier par de puntos en X pueden ser unido porun camino. Un conjunto conexo por caminos en X, o conjunto arco conexo, escualquier subconjunto de X que sea conexo por camino con la topolgıa relativa.

Es muy simple verificar (se dejan los detalles al lector) que haciendo usode la proposicion 4.1 se tiene que A ⊂ X es conexo por caminos si, y solo si,cualquier par de puntos en A pueden ser conectados por un camino α : I → X

tal que α(I) ⊂ A.

Ejemplo 6.9. Sea X 6= ∅ dotado con la topologıa discreta. Dado que cualquierfuncion f : I → X es continua si, y solo si, card(X) = 1, entonces X es conexopor caminos si, y solo si, card(X) = 1. En el extremo opuesto, dado que cualquierfuncion de I en X es continua al X ser dotado con la topologıa insdiscreta,entonces todo espacio indiscreto es conexo por caminos.

Ejemplo 6.10. Rn (n ≥ 1) con la topologıa usual es conexo por caminos puespara cualquier par de puntos p, q ∈ Rn, la funcion α : I → Rn, definida por


α(t) = (1 − t)p + tq para cada t ∈ I, es un camino que los une. Esta mismafuncion sirve para demostrar que todo subconjunto convexo de Rn es conexopor caminos. En particular lo es cualquier intervalo en R. Recuerde que unsubconjunto A de Rn es convexo si, y solo si, para cada par de puntos a, b ∈ A,el segmento que los une, {(1− t)a+ tb : t ∈ [0, 1]}, esta contenido en A.

Teorema 6.10. Todo espacio conexo por caminos es conexo.

Demostracion: Supongamos que el espacio topologico (X, T ) es conexo porcaminos. Fijemos x ∈ X. Para cada y ∈ Y existe un camino αxy : I → X queune x a y. Dado que αxy es continua e I es conexo, la imagen de I por αxy esun subconjunto Axy conexo en X. Como X =

⋃y∈X Axy, la conexidad de X

sigue del teorema 6.4.

Teorema 6.11. La imagen continua de un espacio conexo por caminos es co-nexo por caminos.

Demostracion: Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos y f : X → Y unafuncion continua. Supongamos que X es conexo por caminos. Sean p, q puntoscualesquiera en f(X). Tomemos x, y ∈ X tales que f(x) = p y f(y) = q. Seaα : I → X un camino que une x con y. Luego β = f ◦ α es un camino en f(X)que une p a q.

Obviamente este teorema implica que la conexidad por caminos es una pro-piedad topologica y que la imagen de cualquier camino es conexo por caminos.En realidad la conexidad por caminos y la conexidad comparten varias propieda-des similares, pero difieren en otras. El siguiente ejemplo muestra en particularque la clausura de un conjunto conexo por caminos puede no ser conexo porcaminos.

Ejemplo 6.11. Tomemos la funcion f del ejemplo 6.5 y S su grafica. Alla mos-tramos que cl(S) = S ∪ Y , con Y = {0} × [−1, 1], es un conjunto conexo deR2. Este mismo conjunto no es conexo por caminos. Consideremos los pun-tos p = (0, 0) ∈ Y y q = ( 1

π , 0) ∈ S. Supongamos que existe un caminoα : I → cl(S) tal que α(0) = p y α(1) = q. Si para cada t ∈ I hacemosα(t) = (α1(t), α2(t)), entonces las funciones α1, α2 : I → R son continuas y sa-tisfacen α1(0) = 0, α1(1) = 1

π , α2(0) = 0 y α2(1) = 0. Haciendo uso del teoremadel valos medio, existe t1 ∈ (0, 1) tal que α1(t1) = 2

3π . Con el mismo argumentose construye una sucesion (tn)n≥1 estrictamente decreciente y acotada inferior-mente por 0 de forma que α1(tn) = 2

(2n+1)π para todo n ≥ 1. Sea t? ≥ 0 el lımitede (tn)n≥1. Por continuidad tenemos que α(t?) = lımn→+∞(α1(tn), α2(tn)). Pe-ro como α(tn) ∈ S para cada n ≥ 1 y α1(tn) = 2

(2n+1)π , entonces α2(tn) tomaalternadamente los valores 1 y −1, lo cual es una contradiccion.

Teorema 6.12. Sea (X, T ) un espacio topologico. Si A = {Ai : i ∈ Γ} es unafamilia de conjuntos conexos por caminos en X tal que Ai ∩ Aj 6= ∅ para cadai.j ∈ Γ, entonces A =

⋃i∈ΓAi es conexo por caminos.

206 6.1. Conexidad

Demostracion: Tomemos x, y ∈ A. Sean Ai, Aj ∈ A tales que x ∈ Ai ey ∈ Aj . Si Ai = Aj , hay un camino en Ai que une x a y. Supongamos entoncesque Ai 6= Aj . Sean z ∈ Ai ∩Aj y α : I → Ai, β : I → Aj caminos que conectan,respectivamente, x con z y z con y. Luego la yuxtaposicion α ∗ β es un caminoen A que conecta x a y.


1. Sean (X, T ) un espacio topologico y A ⊂ X conexo.

(a) Si U un conjunto que es simultaneamente abierto y cerrado en X, de-mostrar que A ⊂ U , o bien A ⊂ (X \ U).

(b) Si F y G son mutuamente separados y A ⊂ F ∪G, demostrar que A ⊂ F ,o bien A ⊂ G.

2. Sean (X, T ) un espacio topologico y A ⊂ X no vacıo. Demostrar que sonequivalentes:

(a) A ⊂ X es conexo.

(b) Para cualquier par F y G de subconjuntos no vacıos, cerrados y disjuntosde X tales que A ⊂ F ∪G se tiene que A ⊂ F , o bien A ⊂ G.

3. Sean (X, T ) un espacio topologico y A ⊂ X no vacıo. Demostrar que sonequivalentes:

(a) A ⊂ X es disconexo.

(b) Existen F y G, subconjuntos no vacıos, cerrados y disjuntos en A, talesque A = F ∪G.

4. Demostrar que son conexos:

(a) La recta de Sorgenfrey.

(b) Cualquier conjunto no finito con la topologıa cofinita.

5. Sean R y S1 dotados con las topologıas usuales.

(a) Demostrar que los intervalos [0, 1], [0, 1) y (0, 1) no son homeomorfosentre sı.

(b) Si A ⊂ R, demostrar que los unicos conexos en A con la topologıa relativason los intervalos contenidos en A.

(c) ¿Pueden ser R y S1 homeomorfos?

(d) Demostrar que S1 no es homeomorfo a ningun subespacio de R.



(a) Si para cada par de puntos x, y ∈ X existe un Ax,y ⊂ X conexo tal quex, y ∈ Ax,y, demostrar que X es conexo.

(b) Si X =⋃n≥0An, donde cada An es conexo y An ∩ An+1 6= ∅ para todo

n ≥ 0, demostrar que X es conexo.Sugerencia: Demuestre que para cada n ≥ 1, A1 ∪ · · · ∪ An es conexo, luego use el

teorema 6.4.


(a) Demostrar que la union de todas las componentes conexas, excepto unnumero finito de ellas, es un conjunto abierto en X.

(b) Si A y B son subconjuntos conexos en X tales que A ∩ cl(B) 6= ∅, de-mostrar que A ∪B es conexo.

(c) Si X es conexo y A es un subconjunto propio no vacıo de X, demostrarque fr(A) 6= ∅.

(d) Si A,B ⊂ X son tales que A ∩B y A ∪B son conexos, demostrar que siA y B son abiertos (resp. cerrados) en X, entonces tanto A como B sonconexos.

8. Sean (X, T ) un espacio topologico conexo y A,B subconjuntos de X talesque: A es conexo, B ∩A = ∅ y B es simultaneamente abierto y cerrado en latopologıa relativa de X \A, demostrar que A ∪B es conexo.

9. Demostrar que todo espacio topologico 0-dimensional y T1 es totalmentedisconexo.Sugerencia: Recuerdar que T1 significa que todo conjunto unitario es cerrado; y 0-

dimensional equivale a que para cada punto x y todo cerrado A con x /∈ A, existe U

abierto y cerrado tal que x ∈ U y A ∩ U = ∅.

10. Teorema de Borsuk-Ulam. Sean Sn y R con las topologıas usuales. Sif : Sn → R es una funcion continua, existe p ∈ Sn tal que f(p) = f(−p).Sugerencia: Definir h : Sn → R por h(p) = f(p) − f(−p) para cada p ∈ Sn, demostrar

que existe p tal que h(p) = 0.

11. Considere Rn (n ≥ 2) con la topologıa usual. Sea A ⊂ Rn un conjuntonumerable.

(a) Demostrar que B = Rn \A es conexo.Sugerencia: Usar el ejercicio 6a de arriba. Para ello fije un punto p ∈ B, y para cada

q ∈ B \ {p} considere el segmento `pq que une a p y q. Tome cualquier segmento spq

que corte transversalmente a `pq . Para cada r ∈ spq considere el conexo cpqr formado

por la union de los segmentos que unen a p con r y r con q. Demuestre que para algun

r ∈ spq , cpqr ⊂ B.

(b) ¿Es cierta la propiedad anterior en R?

208 6.1. Conexidad

(c) Deducir de lo anterior que R y Rn no son homeomorfos, cualquiera seael entero n ≥ 2.

(d) ¿Pueden ser homeomorfos S1 y Sn (n ≥ 2) dotados con las topologıasusuales?

12. Averiguar si los siguientes espacios con las topologıas indicadas son conexospor caminos.

(a) La esfera n-dimensional Sn, n ≥ 1, con la topologıa usual.

(b) R con la topologıa cofinita.

(c) R2 \ A, A cualquier conjunto finito y R con la topologıa usual. ¿Ocurrelo mismo si A es numerable?

13. En R2 con la topologıa usual considere, para cada entero n, los conjuntosAn = (R× {0}) ∪ (R× {1}) ∪ {(x, y) : x ≥ n, y ∈ (0, 1)}.

(a) Demostrar que cada An es conexo por caminos.

(b) Observe que An+1 ⊂ An para cada n ∈ Z; verificar que⋂n∈Z An no es

conexo.

14. Sean (X, T ) un espacio topologico, A ⊂ X y α : I → X un camino que unep ∈ A a q ∈ X \A. Demostrar que existe t ∈ I tal que α(t) ∈ fr(A).

15. Sean (X, T ) un espacio topologico. Demostrar que si satisface alguna de lassiguientes condiciones, entonces X es conexo por caminos:

(a) Para cada par de puntos x, y ∈ X existe un conjunto conexo por caminosAxy ⊂ X que los contiene.

(b) Existe una familia numerable {An : n ≥ 0} de conjuntos conexos porcaminos en X tales que An∩An+1 6= ∅ para cada n ≥ 0 y

⋃n≥0An = X.

16. Sean {(Xi, Ti) : i ∈ Γ} una familia de espacios topologicos y X =∏Xi

dotado con la topologıa producto. Demostrar que X es conexo por caminossi, y solo si, cada espacio factor lo es.

17. Componentes por caminos. Sea (X, T ) un espacio topologico.

(a) Demostrar que cada punto x ∈ X esta contenido en al menos un subcon-junto de X que es conexo por caminos.

(b) Dado x ∈ X, sea Cx la familia de todos los conjuntos conexos por ca-minos en X que lo contienen. Demostrar que Cc(x) =

⋃C∈Cx C es el

mayor conexo por caminos que contiene a x; este conjunto es denomi-nado componente por camino de x. Verificar que toda componente porcaminos esta contenida en alguna componente conexa; ademas, para cadax, y ∈ X se cumple Cc(x) = Cc(y), o bien Cc(x) ∩ Cc(y) = ∅.


(c) Se define la relacion ∼ en X por: x ∼ y si, y solo si, existe un caminoα : I → X que conecta x a y. Demostrar que ∼ es de equivalencia yque el correspondiente conjunto cociente es justamente la coleccion decomponentes por caminos en X.

(d) Determine las componentes por caminos de la clausura del sinusoide to-pologico. Use este ejemplo para mostrar que no toda componente porcaminos es cerrada.

(e) Una componente por caminos es abierta si, y solo si, cada uno de suspuntos tiene una vecindad conexa por caminos.

(f) Demostrar que si las componentes por caminos en X son abiertas, en-tonces tambien son cerradas.

(g) Demostrar que si X es conexo y cada punto tiene un entorno conexo porcaminos, entonces X es conexo por caminos.

(h) Demostrar que si todo punto en X tiene un entorno conexo por cami-nos, entonces las componentes por caminos y las componentes conexascoinciden.

(i) Demostrar que todo abierto conexo en Rn con la topologıa usual es co-nexo por caminos.

18. Conexidad local.

Un espacio topologico (X, T ) se dice localmente conexo si, y solo si, el sistemade vecindades en cada punto de X tiene una base formada por conjuntosabiertos y conexos. Un subconjunto de X es localmente conexo si lo es conla topologıa relativa.

(a) Averiguar si los siguientes espacios con las topologıas indicadas son lo-calmente conexos.

1) Rn con la topologıa usual.2) X = (1, 2) ∪ (2, 3] con la topologıa relativa usual.3) R con la topologıa de Sorgenfrey.4) Un conjunto no vacıo X con la topologıa discreta. ¿Y con la indis-

creta?5) Q con la topologıa relativa usual. ¿Y A = {0} ∪ { 1

n : n ≥ 1} con latopologıa relativa usual?

(b) Considere el subespacio X de R2 con la topologıa discreta conformadopor la union de los segmentos verticales que unen (0,−1) con (0, 1),(1,−1) con (1, 1), los segmentos horizontales {(x, 1

n ) : 0 ≤ x ≤ 1} paracada entero n 6= 0 y {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}.1) Considere en X cualquier punto p = (α, 0) con α > 0. Verificar que

la base local en p dada por {Br(p)∩X : r > 0} no contiene conjuntosconexos. ¿Demuestra esto que X no es localmente conexo?

210 6.2. Compacidad

2) Verificar que para cualquier r > 0 existe r > t > 0 tal que la rectahorizontal Lt dada por y = t satisface Lt ∩ (Br(p) ∩X) = ∅.

3) Considere cualquier base local Bp en p. Muestre que Bp contieneabiertos no conexos. Esto sı demuestra que X no es localmente co-nexo.Sugerencia: Tome un abierto U = Bs(p) ∩ X. Mostrar que existen V ∈ Bp y

r > 0 tales que (Br(p) ∩X) ⊂ V ⊂ U , luego usar el item anterior para verificar

que V es no conexo.

(c) Demostrar que la clausura de la grafica del sinusoide topologico no eslocalmente conexo.

(d) Demostrar que la conexidad local es una propiedad topologica.

(e) Demostrar que las componentes conexas en un espacio topologico local-mente conexo son conjuntos abiertos.

(f) Dados cualquier subconjunto no vacıo A de X y a ∈ A, se define lacomponente conexa de a en A como el conjunto CA(a) = C(a) ∩A.Demostrar que un espacio topologico (X, T ) es localmente conexo si, ysolo si, para cada abierto U en X, CU (a) es abierto para todo a ∈ U .

(g) Usar el item anterior para demostrar que si f : X → Y es una funcioncociente y X es localmente conexo, entonces Y tambien lo es.

(h) Sean (X, T ), (Y,U) espacios topologicos con X localmente conexo. Sif : X → Y es una funcion continua y abierta, demostrar que f(X) eslocalmente conexo.

(i) Sea {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia de espacios topologicos y∏Xα

dotado con la topologıa producto. Demostrar que∏Xα es localmente

conexo si, y solo si se cumplen

(i) cada espacio factor es localmente conexo, y(ii) todos los espacios factores, excepto un numero finito de ellos son

conexos.

6.2. Compacidad

En esta seccion presentaremos una de las nociones mas importantes en laTopologıa General: la compacidad. Se trata de una propiedad topologica masfuerte que ser de Lindelof, que tiene distinguidos roles tanto en varias ramas de laMatematica como en otras ciencias. La definicion de compacidad que usualmentese maneja en la actualidad data del ano 1924 y es debida a los matematicos rusosPavel Aleksandrov1 (1896 - 1982) y Pavel Urysohn (1898 - 1924); sin embargoun concepto equivalente en el contexto de los espacios metricos ya habıa sidointroducida por Frechet en 1906.

1Otra forma de escribir con el alfabeto romano el apellido de este matematico es Alexandroff


En algunos distinguidos textos de Topologıa, por ejemplo [2] y [4], en elconcepto de compacidad es requerido que el espacio topologico sea Hausdorff,en estas notas no consideraremos esta propiedad en la definicion de compacidad.

6.2.1. Definicion, ejemplos y equivalencias

Definicion 6.6. Un espacio topologico (X, T ) se dice compacto si, y solo si, todocubrimiento abierto de X admite un subcubrimiento finito. Un subconjunto Ade X es compacto si, y solo si, A es compacto con la topologıa relativa.

Note que todo espacio compacto es Lindelof; ademas, dado que cualquierhomeomorfismo transporta cubrimientos abiertos en cubrimientos abiertos, lacompacidad es una propiedad topologica.

Ejemplo 6.12. Todo conjunto X con la topologıa indiscreta es compacto, noobstante al considerar la topologıa discreta, la compacidad se obtiene si, y sola-mente si, X tiene cardinal finito. Observe tambien que cualquier espacio to-pologico con un numero finito de abiertos es compacto.

Ejemplo 6.13. Consideremos cualquier conjunto X con infinitos puntos dotadocon la topologıa cofinita. Sea C un cubrimiento abierto de X. Tomemos U ∈ C,luego X \U es finito, por tanto existen finitos elementos en C mediante los cualesse cubre este conjunto finito; esto implica que C tiene un subcubrimiento finito,por tanto es compacto.

Ejemplo 6.14. R con la topologıa usual no es compacto, el cubrimiento abiertoformado por todos los intervalos (−n, n), n ≥ 1 entero, no admite un subcu-brimiento finito. En realidad esta es una propiedad mas general: si (X, d) esun espacio metrico y X es no acotado, diam(X) = +∞, entonces X no puedeser compacto; en otras palabras: Todo espacio metrico compacto es acotado.En efecto, sea (X, d) un espacio metrico compacto. Fijemos x0 ∈ X y consi-deremos la coleccion C = {Br(x0) : r > 0}; obviamente C es un cubrimientoabierto de X, luego es posible escoger existen numeros positivos r1, · · · , rn talesque X = Br1(x0) ∪ · · ·Brn(x0). Observe que para r = max{r1, · · · , rn} se tieneX = Br(x0), de donde diam(X) ≤ 2r.

Ejemplo 6.15. Consideremos R con la topologıa usual. Veremos que I = [0, 1](y por tanto cualquier intervalo cerrado de longitud finita) es compacto. La de-mostracion que presentaremos puede encontrarse en varios libros de Topologıa.

Tomemos cualquier familia C de abiertos en R tales que I ⊂⋃U∈C U . Sea

J =

{x ∈ I : existe D ⊂ C finita, tal que [0, x] ⊂

⋃U∈D

U

}.

Dado que 0 ∈ U para algun U ∈ C, que es un abierto en R, entonces J contienealgun intervalo de la forma [0, α] pues para algun α > 0, [0, α] ⊂ U . Note

212 6.2. Compacidad

ademas que si x ∈ J y 0 < y < x, entonces y ∈ J ; es decir, [0, x] ⊂ J . Seac = supJ . Dado que c ∈ I, existe U ∈ C tal que c ∈ U , por tanto existe ε > 0suficientemente pequeno tal que c − ε > 0 y (c − ε, c + ε) ⊂ U . Observe quepor definicion de supremo y del hecho que J contiene a todo intervalo [0, x]con x ∈ J , se tiene que c − ε ∈ J ; es decir, existen U1, · · · , Um ∈ C tales que[0, c− ε] ⊂ U1 ∪ · · · ∪Um, de donde c ∈ J ya que [0, c] ⊂ U1 ∪ · · · ∪Um ∪U . Si cfuese menor que 1, entonces existe 0 < δ < ε tal que c+ δ < 1 y [c, c+ δ] ⊂ U ,lo cual implica que c + δ ∈ J , contradiciendo la condicion de supremo para c.Ası que c = 1, y por tanto J = I.

Existen varias maneras de caracterizar la compacidad de espacios topologi-cos, algunas de ellas hacen uso de conceptos de filtros y redes, los cuales no sontratados aca. Aquı emplearemos la nocion de propiedad de interseccion finita ycubrimientos por abiertos basicos para caracterizar la compacidad.

Definicion 6.7. Una familia F de subconjuntos de X se dice que tiene lapropiedad de interseccion finita si, y solo si, la interseccion de los miembros decualquier subfamilia finita de F es no vacıa.

Teorema 6.13. En un espacio topologico (X, T ) cualquiera son equivalentes:

(1) X es compacto.

(2) Cualquier familia de conjuntos cerrados con la propiedad de interseccionfinita tiene interseccion no vacıa.

(3) Dada cualquier base B de T , todo cubrimiento de X por miembros de Btiene un subcubrimiento finito.

Demostracion:

(1)⇔ (2)Antes observe que si F es una familia de conjuntos cerrados no vacıos y C ={X \ F : F ∈ F}, como

⋃F∈F (X \ F ) = X \

⋂F∈F F , entonces C es un

cubrimiento abierto de X si, y solo si,⋂F∈F F = ∅

Supongamos que X es compacto. Sea F una familia de conjuntos cerradosen X con la propiedad de interseccion finita. Si

⋂F∈F F = ∅, existen F1, · · · , Fn

en F tales que X =⋃ni=1(X \ Fi). Pero

⋃ni=1(X \ Fi) = X \ (

⋂ni=1 Fi), de

donde⋂ni=1 Fi = ∅. Ası que (1)⇒ (2). Supongamos ahora que cualquier familia

de subconjuntos cerrados en X con la propiedad de interseccion finita tieneinterseccion no vacıa. Sea C una familia de conjuntos abiertos en X tal quecualquier subfamilia finita no cubre a X. Esto implica que la familia de conjuntoscerrados F = {X \U : U ∈ C} tiene la propiedad de la interseccion finita, luego⋂U∈C(X \ U) = X \

⋃U∈C U 6= ∅, lo cual equivale a decir que C no cubre a X.

Esto demuestra (2)⇒ (1).

(1) ⇔ (3). Es obvio que (1) ⇒ (3). Supongamos entonces que B es una basede T de forma que cualquier cubrimiento de X por miembros de B admite un


subcubrimiento finito. Sea C un cubrimiento abierto de X. Para cada U ∈ Cexiste BU ⊂ B tal que U =

⋃B∈BU B, luego D = {B : B ∈ BU , U ∈ C} es una

cubrimiento de X por miembros de B. Por tanto existen B1, · · · , Bn ∈ D talesque X =

⋃ni=1Bi. Si Ui ∈ C, i = 1, · · · , n, son tales que Bi ∈ BUi , entonces

X =⋃ni=1 Ui. De esta forma (3)⇒ (1).

Comentario 6.1. La compacidad tambien admite una caracterizacion median-te subbases; ella es debida al estadounidense J. W. Alexander (1888–1971). Lasdemostraciones conocidas hacen uso de afirmaciones equivalentes al Axioma deEleccion; el lector interesado podra encontrar una de ellas en el libro de Kelley,Teorema 6 del capıtulo 5. El enunciado exacto es el siguiente:

Teorema 6.14 (Teorema de subbase de Alexander). Un espacio topologico(X, T ) es compacto si, y solo si, para cualquier subbase S de T , todo cubrimientoC formado por miembros de S admite un subcubrimiento finito.

6.2.2. Propiedades basicas

En este apartado presentaremos varias propiedades de la compacidad quedenominamos como basicas, en realidad la lista de propiedades generales enun espacio topologico generadas de la compacidad es larga. Aca analizamos laexistencia de puntos de acumulacion a partir de la compacidad, ası como las rela-ciones de la compacidad tanto con conjuntos cerrados, como con la continuidadde funciones. Posteriormente analizamos la compacidad en espacios metricosdonde existen caracterizaciones especiales, finalmente abordaremos uno de losresultados mas importantes de la Topologıa general: el Teorema de Tychonoff.En la lista de ejercicios propuestos de esta seccion enunciamos otras propiedadesrelacionadas con la compacidad.

Definicion 6.8. Un espacio topologico (X, T ) tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass si, y solo si, todo subconjunto infinito tiene puntos de acumulacion.

Teorema 6.15 (Bolzano-Weierstrass). Todo espacio topologico compactotiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass.

Demostracion: Sean (X, T ) un espacio topologico compacto y A un subcon-junto no vacıo de X. Supongamos que A no tiene puntos de acumulacion, enton-ces para cada x ∈ X existe un abierto Ux tal que x ∈ Ux y (Ux \ {x}) ∩A = ∅.Dado que C = {Ux : x ∈ X} es un cubrimiento de X, entonces existen: un enteron ≥ 1 y puntos x1, · · · , xn ∈ X de forma que X = Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn , de dondeA = (Ux1 ∩ A) ∪ · · · ∪ (Uxn ∩ A), y como para cada abierto Ux, Ux ∩ A ⊂ {x},entonces A ⊂ {x1, · · · , xn}; es decir, A es finito.

Comentario 6.2. Con la misma estrategia de la demostracion anterior se veri-fica que en realidad la compacidad del espacio topologico implica que cada unade sus partes con infinitos puntos tiene puntos de ω-acumulacion, siendo que

214 6.2. Compacidad

x ∈ X es un punto de ω-acumulacion de A ⊂ X si, y solo si, todo abierto quecontenga a x contiene infinitos puntos de A.

Al inicio, cuando la Topologıa se estructuraba como una rama de la Ma-tematica, el concepto de compacidad estuvo reservado para aquellos espaciostopologicos que tuviesen la propiedad de Bolzano-Weierstrass, mientras que lacompacidad que hoy conocemos era denominada bicompacidad. Posteriormentese adopto se uso de compacidad en el sentido actual, y ası los espacios topologi-cos con la propiedad de Bolzano-Weierstrass pasaron a conocerse con varios ca-lificativos: espacios Bolzano-Weierstrass, espacios Frechet compactos, espacioscompactos por punto lımite y tambien como espacios contablemente compactos.

Analicemos ahora importantes relaciones entre la compacidad y los conjuntoscerrados de un espacio topologico, ası como la compacidad y funciones continuas.

Teorema 6.16. Sea (X, T ) un espacio topologico.

(1) Si X es compacto y A ⊂ X es cerrado, entonces A es compacto.

(2) Si X es Hausdorff y A es un subconjunto compacto en X, entonces paracualquier x ∈ X \ A, existen abiertos U y V disjuntos tales que A ⊂ U yx ∈ V . Consecuentemente A es cerrado en X.

Demostracion:

(1) Sea F una familia de conjuntos cerrados en A con la propiedad de la in-terseccion finita; es decir, para cada F ∈ F existe GF ⊂ X cerrado tal queF = A ∩ GF . Luego la familia G = {GF : F ∈ F} tambien tiene la propiedadde interseccion finita, con lo cual

⋂F∈F F =

⋂F∈F (A ∩ GF ) 6= ∅. De allı la

compacidad de A.

(2) Tomemos cualquier x ∈ X \A. Para cada y ∈ A existen abiertos disjuntos Uyy Vy tales que x ∈ Vy y y ∈ Uy. Dado que {Uy : y ∈ A} es una familia de abiertostales que cubre a A, existen y1, · · · , yn ∈ A tales que A ⊂ Uy1 ∪ · · · ∪ Uyn = U .Sea V = Vy1 ∩ · · · ∩ Vyn , que obviamente es abierto, contiene a x y es disjuntode U pues Vyi ∩Uyi = ∅ para todo i = 1, · · · , n. Esto demuestra que A y x estanseparados por U y V . Note que como x es un punto arbitario en el complementode A, todo punto de X \A es un punto interior; es decir, A es cerrado.

Como consecuencia inmediata de estas propiedades tenemos:

Corolario 6.1. En todo espacio topologico compacto y Hausdorff, las familiasde conjuntos cerrados y de conjuntos compactos son identicas.

Corolario 6.2. En cualquier espacio metrico todo conjunto compacto es cerradoy acotado.

Comentario 6.3. Pueden construirse ejemplos de espacios metricos con con-juntos cerrados y acotados que no son compactos; ver ejercicio 5 de esta seccion.


Note que la parte (2) del teorema anterior dice que en un espacio Hausdorffcualquier conjunto compacto y cualquier punto fuera de el son separados porabiertos; en realidad esta propiedad es mas fuerte, ver ejercicio 10 de esta sec-cion. Es importante mencionar que la condicion de ser Hausdorff en ese mismosegundo item es fundamental para tal propiedad. Considere un conjunto X coninfinitos elementos y dotado con la topologıa cofinita. Con similares argumentosa los utilizados en el ejemplo 6.13 se muestra que todo subconjunto A de X escompacto, por tanto en X hay conjuntos compactos no cerrados.

Teorema 6.17. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos con X compacto. Sif : X → Y es una funcion continua, entonces f(X) es compacto.

Demostracion: Sea C un cubrimiento abierto de f(X). De la continuidad sigueque f−1(C) = {f−1(U) : U ∈ C} es un cubrimiento abierto de X, luego existenU1, · · · , Un ∈ C tales que X =

⋃ni=1 f

−1(Ui), de donde f(X) =⋃ni=1 Ui.

De esta propiedad se derivan varias conclusiones interesantes:

Corolario 6.3. La compacidad es una propiedad topologica.

Demostracion: Aunque ya lo habıamos anunciado, esta propiedad es una con-clusion obvia del teorema anterior.

Corolario 6.4. Todo espacio cociente obtenido a partir de un espacio topologi-co compacto es compacto. Tambien son compactos los espacios factores de unespacio produto compacto.

Demostracion: Basta recordar que son continuas tanto las funciones cocientescomo las proyecciones sobre los espacios factores.

Corolario 6.5. Sean (X, T ) un espacio topologico compacto y f : X → R unafuncion continua. Entonces existen a, b ∈ X tales que f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) paratodo x ∈ X.

Demostracion: Claramente f(X) es cerrado y acotado. Luego la acotacionimplica que existen α < β tales que α ≤ f(x) ≤ β para todo x ∈ X; de hechopodemos tomar α = ınf{f(x) : x ∈ X} y β = sup{f(x) : x ∈ X}. Por otro lado,dado que f(X) es cerrado, entonces tanto α como β pertenecen a f(X), puescada uno de ellos es lımite de puntos en f(X).

Corolario 6.6. Sean (X, T ) e (Y,U) espacios topologicos, siendo que X escompacto e Y es Hausdorff. Si f : X → R una funcion continua, entonces:

(1) f es una funcion cerrada.

(2) f es un homeomorfismo si f sea biyectiva.

(3) f es una inmersion topologica si f es inyectiva.

216 6.2. Compacidad

Demostracion:

(1) Sea A ⊂ X un conjunto cerrado, por tanto compacto en X. Dado que f(A)es compacto e Y es Hausdorff, entonces f(A) es cerrado.

(2) De la primera parte, f es cerrada. Pero como f es biyectiva, f−1 es continua.

(3) Basta notar que f : X → f(X) es biyectiva y f(X) es Hausdorff.

Pasaremos a considerar ahora la compacidad en espacios metricos; en estecontexto esta propiedad topologica es caracterizada en terminos de sucesiones.Nuestro principal proposito en esta parte de las notas esta centrado en demos-trar las siguientes caracterizaciones de la compacidad topologica en espaciosmetricos.

Teorema 6.18. Dado un espacio metrico (X, d) son equivalentes:

(1) X es compacto.

(2) X tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass.

(3) Toda sucesion en X admite una subsucesion convergente.

(4) X es completo y totalmente acotado.

A objeto de demostrar parte sustancial de este resultado es requerido elsiguiente lema.

Lema 6.1 (Lema de cubrimiento de Lebesgue). Sea (X, d) un espaciometrico en el que toda sucesion admite una subsucesion convergente. Si C es uncubrimiento abierto de X, entonces existe λ > 0 tal que para cada x ∈ X, existeU ∈ C tal que Bλ(x) ⊂ U .

Demostracion: Sea C un cubrimiento abierto de X. Supongamos que paracada n ≥ 1 existe xn ∈ X tal que B 1

n(xn) no esta contenida en miembro alguno

de C. Por hipotesis, existen una subsucesion (xnk)k≥0 de (xn)n≥1 y x ∈ X talque xnk → x. Sean U ∈ C y ε > 0 tales que x ∈ U y Bε(x) ⊂ U . Dadoque xnk → x, existe ` ≥ 0 de forma que d(xnk , x) < ε

2 para todo k ≥ `;claramente podemos escoger ` de manera que 1

nk< ε

2 para todo k ≥ `. Haciendouso de la desigualdad triangular sigue inmediatamente que B 1

n(xn) ⊂ Bε(x),

contradiciendo lo supuesto. Ası pues, existe n ≥ 1 tal que para λ = 1n y cada

x ∈ X, Bλ(x) ⊂ U para algun U ∈ C.

El numero λ es conocido como numero de Lebesgue del cubrimiento C. Noteque para este numero, todo subconjunto de X con diametro menor o igual queλ esta contenido en algun miembro del cubrimiento C.

Demostracion del teorema 6.18. (1)⇒ (2) es justamente el teorema 6.15.

(2)⇒ (3). Sea ζ = (xn)n≥0 una sucesion en X. Si el rango de ζ es finito, existenm ≥ 0 y x ∈ X tal que xn = x para todo n ≥ m; por tanto ζ tiene una


subsucesion convergente. Supongamos entonces que ζ toma infinitos valores enX; sean A = {xn : n ≥ 0} su rango y x ∈ X un punto de acumulacion de A;es decir, para cada abierto U en X con x ∈ U se cumple (U \ {x}) ∩ A 6= ∅.Afirmamos que para cada ε > 0 la bola Bε(x) contiene infinitos puntos de A.Supongamos lo contrario; esto es, existe ε > 0 tal que (Bε(x)\{x})∩A es finito.Para este ε escogemos n0 ≥ 0 de forma que d(x, xn) ≥ ε siempre que n ≥ n0. Seaρ = mın{d(x, xn) : 0 ≤ n < n0 y xn 6= x}; observe que ρ > 0 pues x es punto deacumulacion de A. Luego para cualquier 0 < r < ρ se tiene Br(x) ∩ A ⊂ {x},lo cual es absurdo; esto demuestra la afirmacion. Como consecuencia, para cadaentero k ≥ 1 podemos elegir nk > k tal que d(xnk , x) < 1

k . La subsucesion(xnk)k≥0 ası obtenida converge a x pues si ε > 0, entonces para un enterok0 ≥ 1 con 1

k0< ε, se cumple d(xnk , x) < ε para todo k ≥ k0.

(3) ⇒ (1). Sean C un cubrimiento abierto de X y λ > 0 tal que para cadax ∈ X existe Ux ∈ C tal que Bλ(x) ⊂ Ux; ver lema 6.1. Supongamos que C noadmite un subcubrimiento finito. Tomemos x0 ∈ X, entonces podemos escogerx1 ∈ X \ Bλ(x0). Note que Bλ(x0) ∪ Bλ(x1) ⊂ Ux0 ∪ Ux1 , por lo que existex2 ∈ X \ Bλ(x0) ∪ Bλ(x1). Por recurrencia construimos una sucesion (xn)n≥0

tal que xn+1 ∈ X \⋃ni=0Bλ(xi). Note que d(xn, xm) ≥ λ para todo n 6= m. Lo

cual implica que esa sucesion no tiene subsucesiones convergentes.

(3)⇒ (4). Sea ζ = (xn)n≥0 una sucesion de Cauchy en X. Por hipotesis ζ tieneuna subsucesion covergente, luego ζ converge al mismo punto de esa subsucesion.Resta mostrar que X es totalmente acotado, lo cual equivale a decir que paracada ε > 0 existe una ε-red, que es un conjunto finito {x1, · · · , xn} de X talque las bolas abiertas Bε(x1), · · · , Bε(xn) cubren a X; en otras palabras, paracada x ∈ X existe j = 1, · · · , n tal que x ∈ Bε(xj). Supongamos que X no estotalmente acotado, entonces existe ε > 0 de forma que X esta desprovisto deε-redes. Elijamos x0 ∈ X, dado que {x0} no es ε-red, existe x1 ∈ X tal qued(x1, x0) ≥ ε. De la misma forma, como {x0, x1} no es ε-red, existe x2 ∈ X talque d(x2, xj) ≥ ε para j = 0, 1. Con este argumento se obtiene una sucesionζ = (xn)n≥0 tal que d(xn, xm) ≥ ε para todo n,m ≥ 0 con n 6= m. Obviamenteninguna subsucesion de ζ puede converger. Lo cual es contrario a (3).

(4) ⇒ (3). Sea ζ = (xn)n≥1 una sucesion en X de rango A = {xn : n ≥ 1}infinito, de lo contario ζ tiene subsucesiones convergentes. Para cada enteron ≥ 1 sea Rn una 1

n -red. Como X =⋃x∈R1

B1(x), escogemos y1 ∈ R1 deforma que A1 = B1(y1) ∩ A sea infinito. Por la misma razon, existe y2 ∈ R2

tal que A2 = B 12(y2) ∩ A1 es infinito. Procediendo recurrentemente tenemos

una sucesion (An)n≥1 de subconjuntos infinitos de A tales que An+1 ⊂ An ydiam(An) ≤ 2

n para todo n ≥ 1. Ahora tomamos el primer entero n1 tal quexn1 ∈ A1, y para cada k > 1 sea nk > nk−1 el primer entero tal que xnk ∈ Ak.Es simple chequear que la subsucesion (xnk)k≥1 es de Cauchy, por lo tantoconvergente. Esto demuestra (3).

218 6.2. Compacidad

Observe que de estas caracterizaciones el numero de Lebesgue se aplica a:espacios metricos compactos, espacios metricos con la propiedad de Bolzano-Weierstrass y espacios metricos completos y totalmente acotados. A continua-cion varias interesantes consecuencias de la compacidad en espacios metricos.

Corolario 6.7. Todo espacio metrico compacto es separable.

Demostracion: Para cada entero n ≥ 1 la familia Cn = {B 1n

(x) : x ∈ X} esun cubrimiento abierto de X. Por tanto existen: un entero Nn ≥ 1 y puntosx1,n, · · · , xNn,n ∈ X tales que {B 1

n(xk,n) : c} cubre a X. Verifiquemos que

D = {xk,n : n ≥ 1 y 1 ≤ k ≤ Nn} es denso en X. Sean x ∈ X y ε > 0 arbitrarios.Escojamos n ≥ 1 tal que 1

n < ε. Es claro que existe 1 ≤ k ≤ Nn de manera quex ∈ B 1

n(xk,n, de allı que d(xk,n, x) < 1

n < ε. Por lo que xk,n ∈ Bε(x).

De este corolario sigue que todo espacio metrico compacto tiene una basenumerable; es decir, todo espacio metrico compacto es segundo numerable; re-cuerde que en espacios metricos las propiedades de ser segundo numerable yseparable son equivalentes, ver ejercicio propuesto numero 12 en la pagina 101.

Corolario 6.8 (Heine – Borel). En Rn con la topologıa usual un subconjuntoA es compacto si, y solo si, es cerrado y acotado.

Demostracion: En virtud del corolario 6.2 solo resta mostrar que todo sub-conjunto cerrado y acotado de Rn es compacto. Ahora bien, si A es un conjuntocerrado y acotado de Rn y (xn)n≥0 es una sucesion es A, entonces esta tiene unasubsucesion convergente pues es acotada, es lo que dice el teorema 3.6; adicio-nalmente, como A es cerrado, el lımite de una tal subsucesion esta en A; por loque A tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Ası, todo cerrado y acotadode Rn es compacto.

Comentario 6.4.

(a) Se desprende de este corolario, por ejemplo, la compacidad de los siguientessubconjuntos en Rn: cualquier paralelepıpedo n-dimensional

∏ni=1[ai, bi],

todas las bolas cerradas, y esfera n-dimensional Sn = {x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1}.

(b) En Cn con la topologıa producto (que es la misma topologıa euclidiana)tambien es cierto el enunciado de Heine-Borel: A ⊂ Cn es compacto si, ysolo si, es cerrado y acotado.

(c) Recuerde que en todo espacio espacio vectorial V (real o complejo) de di-mension n ≥ 1 todas las normas son equivalentes, y dado que V y Kn

(K = R,C) son linealmente homeomorfos, entonces en particular todas lasbolas cerradas en cualquier norma en V son conjuntos compactos. Esta pro-piedad en realidad caracteriza la dimension en espacios normados, un clasicoresultado del Analisis Funcional establece que en un espacio vectorial nor-mado (V, ‖ · ‖) la bola cerrado de centro en el origen y radio 1 es compactosi, y solo si, V tiene dimension finita.


Corolario 6.9 (Continuidad uniforme). Sean (X, d) y (X ′, d′) dos espaciosmetricos siendo que (X, d) es compacto. Si f : X → X ′ es una funcion continua,entonces es uniformemente continua.

Demostracion: Para cada ε > 0 y z ∈ X ′ consideremos la bola abierta B′ε2(z)

de centro z y radio ε2 en X ′. Dado que f−1(B′ε

2(z)) es abierto en X, entonces

C = {B′ε2(z) : z ∈ X ′} es un cubrimiento abierto de X. Sea δ > 0 el numero de

Lebesgue asociado a C. Para todo x, y ∈ X con d(x, y) < δ, existe z ∈ X ′ talque x, y ∈ f−1(B′ε

2(z)), de allı que

d′(f(x), f(y)) ≤ d′(f(x), z) + d′(z, f(y)) <ε

2+ε

2= ε.

Lo cual implica que la funcion f es uniformemente continua.

6.2.3. Teorema de Tychonoff

Este apartado es dedicado exclusivamente al siguiente teorema.

Teorema 6.19 (Teorema de Tychonoff). Sean {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} unafamilia de espacios topologicos y

∏Xα dotado con la topologıa producto. Si

cada espacio Xα es compacto, entonces∏Xα tambien lo es.

El nombre de este importante resultado de la Topologıa General se debeal matematico ruso Andrei Nikolaevich Tychonoff (1906–1993), quien lo de-mostro para productos del intervalo [0, 1] en el ano 1930, aunque su formageneral aparecio publicada en un artıculo de Tychonoff en 1935; artıculo en elque por cierto se introduce el concepto de topologıa producto. El teorema deTychonoff tiene variadas y relevantes aplicaciones tanto en Topologıa como enotras ramas de la matematica; por ejemplo, es base fundamental de significa-tivos teoremas del Analisis Funcional, tal y como el denominado Teorema deBanach-Alaoglu.

Existen demostraciones simples del teorema de Tychonoff para los casos deproductos finitos de espacios topologicos compactos y de productos numerablesde espacios metricos compactos; en cierta forma, muchas de esas demostra-ciones resultan “naturales”. Para productos arbitrarios (no finito) de espaciostopologicos compactos, todas las demostraciones conocidas hacen uso, directa oindirectamente, de versiones equivalentes del Axioma de Eleccion. Es significa-tivo mencionar que John Kelly demostro en 1950 que el teorema de Tychonoffimplica el Axioma de Eleccion. A continuacion presentaremos demostracionesen los casos simples por considerarlas ilustrativas, y la demostracion del casogeneral es como la expuesta por Kelley en su clasico libro, la cual hace uso delteorema de subbase de Alexander, teorema 6.14.

Demostracion (producto finito de compactos): Es claro que es suficientedemostrarlo para el producto de dos espacios topologicos compactos (X1, T1) y

220 6.2. Compacidad

(X2, T2). Consideremos por tanto un cubrimiento C de X1 × X2 formado porabiertos de la forma U1×U2, donde Ui ∈ Ti para i = 1, 2; ver teorema 6.13. Paratodo (x, y) ∈ X1 ×X2 existe U1

(x,y) × U2(x,y) ∈ C tal que (x, y) ∈ U1

(x,y) × U2(x,y).

Para y fijo, la coleccion {U1(x,y) × {y} : x ∈ X1} es un cubrimiento abierto de

X1×{y}, que es compacto por ser homeomorfo aX1. Por tanto existen: un enteroN(y) y puntos x1, · · · , xN(y) ∈ X1 tales que {U1

(xk,y)×{y} : 1 ≤ k ≤ N(y)} cubre

a X1 ×{y}. Note que para cualquier y ∈ X2, el conjunto U2(y) =⋂N(y)k=1 U2

(xk,y)

es un abierto que contiene a y. Observe tambien que

X1 × U2(y) ⊂ (U1(x1,y) × U

2(x1,y)) ∪ · · · ∪ (U1

(xN(y),y) × U2(xN(y),y)).

Ahora bien, {U2(y) : y ∈ X2} es un cubrimiento abierto de X2, luego podemosseleccionar puntos y1, · · · , yN ∈ X2 tales que X2 =

⋃Ni=1 U

2(y). De esta forma

X1 ×X2 = X1 ×N⋃i=1

U2(yi) =N⋃i=1

(X1 × U2(yi))

⊂N⋃i=1

[(U1

(x1,yi)× U2

(x1,yi)) ∪ · · · ∪ (U1

(xN(yi),yi)× U2

(xN(yi),yi))]

=N⋃i=1

N(yi)⋃j=1

U1(xj ,yi)

× U2(xj ,yi)

,

lo cual implica la compacidad de X1 ×X2.

Demostracion (producto numerable de metricos compactos): Para ca-da entero n ≥ 0 consideremos un espacio metrico compacto (Xn, dn), y seaX =

∏Xn. Es bien sabido que la topologıa producto en X es metrizable, de

hecho, para cada x = (xn)n≥0, y = (yn)n≥0

d(x, y) =∑n≥0

2−ndn(xn, yn)

1 + dn(xn, yn)

define una metrica en X que induce su topologıa producto; ver ejercicio 11 enla pagina 185. Sea (xm)m≥0 una sucesion en X; es decir, para cada m ≥ 0,xm = (xmn )n≥0, donde xmn ∈ Xn para todo n ≥ 0. Empleando un proceso dediagonalizacion mostraremos que (xm)m≥0 tiene una subsucesion convergente.Dado que X0 es compacto y (xm0 )m≥0 es una sucesion en X0, existe k0 : N→ Nestrictamente creciente tal que la subsucesion (xk0(m)

0 )m≥0 de (xm0 )m≥0 convergea un punto c0 ∈ X0. Como (xk0(m)

1 )m≥0 es una sucesion en X1 (de hecho unasubsucesion de (xm1 )m≥0), la compacidad de este espacio implica que existe unafuncion k1 : N → {k0(m) : m ≥ 0} estrictamente creciente tal que (xk1(m)

1 )m≥0

converge a un punto c1 de X1. Procediendo recursivamente se construye, paracada n ≥ 1, una funcion estrictamente creciente kn : N → {kn−1(m) : m ≥ 0}tal que (xkn(m)

n )m≥0 converge a un punto cn de Xn. Ahora consideremos la


Figura 6.4: Ilustracion de la construccion de la subsucesion diagonal en la

demostracion, los puntos negros representan los elementos seleccinados en cada

sucesion (xmn )m≥0; en este caso: k0(0) = 1, k1(1) = k0(3) = 4 y k2(2) = k1(3) = 7.

subsucesion (xkm(m))m≥0 de (xm)m≥0; observe que xkm(m) = (xkm(m)n )n≥0 para

cada m ≥ 0. Veamos que (xkm(m))m≥0 converge a c = (cn)n≥0. Dado quepara cada n ≥ 0, (xkm(m)

n )m≥n es una subsucesion de (xkn(m)n )m≥0, por lo que

(xkm(m)n )m≥n converge a cn. Dado ε > 0, sea N ≥ 1 tal que

∑n>N 2−n < ε

2 .Para cada 0 ≤ n ≤ N sea Mn ≥ n de forma que dn(xkm(m)

n , cn) < ε4 para todo

m ≥Mn. Por otro lado, como

d(xkm(m), c) =N∑n≥0

2−ndn(xkm(m)

n , cn)

1 + dn(xkm(m)n , cn)

+∑n>N

2−ndn(xkm(m)

n , cn)

1 + dn(xkm(m)n , cn)

,

entonces para todo m ≥M = max{Mn : 0 ≤ n ≤ N} se tiene d(xkm(m), c) < ε.Con lo cual la demostracion esta completa.

Demostracion (caso general): Sean {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia de espa-cios topologicos compactos y X =

∏Xα dotado con la topologıa producto. Sea

C una familia de abiertos en X formada por elementos de la subbase constituidapor todos los conjuntos de la forma π−1

α (U), α ∈ Γ y U ∈ Tα. Supongamos queninguna parte finita de C cubre a X. Para cada α ∈ Γ, sea Bα la coleccion detodos los U ∈ Tα tales que π−1

α (U) ∈ C. Claramente para todo α ∈ Γ ningunaparte finita de Bα cubre a Xα, de lo contrario C admite un subcubrimiento finito.Ahora bien, dado que Xα es compacto, entonces Bα no cubre a Xα. Ası pues,para cada α ∈ Γ existe xa ∈ Xα tal que xa /∈ U cualquiera sea U ∈ Bα. Ahoratomamos x ∈ X dado por x(α) = xα para cada α ∈ Γ. Observe que x /∈W paratodo W ∈ C, de lo contrario existen α ∈ Γ y U ∈ Tα tales que π−1

α (U) ∈ C yx ∈ π−1

α (U); pero en tal caso, xα ∈ U , lo cual es imposible.De esta manera hemos demostrado que cualquier C familia de abiertos subbasi-

cos, si ninguna de sus partes finitas cubre aX, entonces C no cubre aX; haciendouso del teorema de subbase de Alexander sigue que X es compacto.

Ejemplo 6.16. El teorema de Tychonoff ofrece otra demostracion del teoremade Heine – Borel. Supongamos que A es un subconjunto no vacıo, cerrado y

222 6.2. Compacidad

acotado de Rk. El hecho de ser acotado implica que existen intervalos cerradosy acotados [a1, b1], [a2, b2], · · · , [ak, bk] tales que A ⊂

∏ki=1[ai, bi]. Luego como

A es cerrado en Rk, tambien lo es en ese producto, y por tanto es compacto yaque

∏ki=1[ai, bi] lo es.

Ejemplo 6.17. Cualquiera sea el conjunto de ındices Γ el producto [0, 1]Γ

es un conjunto compacto de RΓ dotado con la topologıa producto. Esto dejade ser verdadero si Γ es infinito y en [0, 1]Γ es considerada la topologıa caja.Supongamos por ejemplo que Γ = N. Sean U0 = [0, 1) y U1 = (0, 1], obviamenteestos dos conjuntos son abiertos en [0, 1]; por tanto, para cada sucesion σ de 0’sy 1’s, el conjunto Uσ =

∏n∈N Uσ(n) es abierto en [0, 1]N. Sin dificultad se verifica

que C = {Uσ : σ ∈ {0, 1}N} es un cubrimiento abierto de [0, 1]N; sin embargo, alextraer cualquier miembro de C ya no se cubre a [0, 1]N. De hecho, si se extraea Uσ, entonces σ /∈

⋃U∈C\{Uσ} U , ya que si σ ∈ Uρ para algun ρ ∈ {0, 1}N \ {σ},

entonces σ(n) ∈ Uρ(n), cualquiera sea n ≥ 0. Sea n ∈ N tal que σ(n) 6= ρ(n).Si σ(n) = 0 (resp. 1), entonces Uρ(n) = [0, 1) (resp. Uρ(n) = (0, 1]) con lo cualρ(n) = 0 (resp. ρ(n) = 1).

6.2.4. Compacidad y conjuntos de Cantor

Este apartado tiene como proposito fundamental presentar dos resultadosque son piezas clasicas de casi cualquier curso basico de topologıa general. Elprimero de ellos es una caracterizacion topologica del conjunto ternario de Can-tor K. El segundo resultado es referente a la propiedad de sobreyectividad uni-versal de K en los espacios metricos compactos. Los enunciados precisos de estosresultados son, respectivamente:

Teorema 6.20. Cualquier par de espacios topologicos metrizables, compactos,perfectos y totalmente disconexos son homeomorfos.

Evidentemente de este resultado sigue corolario:

Corolario 6.10. Un espacio topologico (X, T ) es homeomorfo a K si, y solosi, es compacto, metrizable, perfecto y totalmente disconexo.

Teorema 6.21. Todo espacio metrico compacto es imagen continua de K.

El primero de estos teoremas es debido al matematico holandes L. E. J.Brouwer (1881–1966) quien lo publico en 1910; el segundo fue demostrado in-dependientemente por Felix Hausdorff y Pavel Aleksandrov en 1927, razon porla cual es conocido como Teorema de Hausdorff – Aleksandrov.

Recordemos que K lo presentamos inicialmente como el subconjunto del in-tervalo I = [0, 1] que resulta del proceso iterativo que comienza retirando deI el intervalo abierto central de longitud 1

3 , posteriormente el proceso se repiterecursivamente: se retira el intervalo abierto central de longitud 1

3 la longitudde cada uno de los intervalos cerrados resultantes del paso anterior; el conjunto


residuo es K =⋂n≥1 Fn, donde Fn es union de 2n intervalos cerrados disjun-

tos, cada uno de ellos con longitud 3−n. Tambien comentamos que K admiteuna definicion numerica: x ∈ K si, y solo si, existe una sucesion (an)n≥1, conan ∈ {0, 2} para cada n ≥ 1, tal que x =

∑n≥1 an3−n. Adicionalmente mos-

tramos que K es homeomorfo al espacio producto {0, 1}N, con {0, 1} dotado dela topologıa discreta. De cualquier forma K se destaca por ser un espacio to-pologico metrizable, compacto, perfecto y totalmente disconexo. A continuacionejemplos de espacios topologicos que no satisfacen una de estas propiedades.

• No compacto. Q es metrizable, perfecto y totalmente disconexo, mas nocompacto.

• No metrizable. {0, 1}R es compacto, perfecto y totalmente disconexo, no esmetrizable pues no satisface el primer axioma de numerabilidad; ver proposi-cion 5.6.

• No perfecto. {0, 1} (o cualquier espacio topologico finito y discreto) es com-pacto, metrizable y totalmente disconexo, cada uno de sus puntos es aislado.

• No totalmente disconexo. [0, 1] es compacto, perfecto y metrizable; obvia-mente no es totalmente disconexo.

Previo a las demostraciones de los teoremas 6.20 y 6.21, presentaremos al-gunas propiedades en espacios compactos y Hausdorff relacionadas con la dis-conexidad total.

Teorema 6.22. Si (X, T ) es un espacio topologico compacto y Hausdorff, en-tonces para cada x ∈ X su componente conexa es dada por c(x) =

⋂F∈Fx F ,

donde Fx es la familia de todos los conjuntos que contienen a x y simultanea-mente son abiertos y cerrados.

Demostracion: La conexidad de c(x) implica que c(x) ⊂⋂F∈Fx F ; caso con-

trario, existe algun F ∈ Fx tal que F y X \ F contienen puntos de c(x). Paramostrar la inclusion recıproca basta verificar que

⋂F∈Fx F es conexo, pues este

conjunto contiene a x.Por comodidad hagamos Qx =

⋂F∈Fx F . Observe que si Qx = X, entonces

X es el unico abierto y cerrado no vacıo; es decir, X es conexo y por tantoc(x) = X. Supongamos entonces que Qx es un subconjunto propio de X yque Qx = F ∪ G, donde F y G son conjuntos no vacıos, cerrados y disjuntos.Por hipotesis podemos escoger abiertos y disjuntos U y V tales que F ⊂ U yG ⊂ V . Sea H = X \(U ∪V ), el cual es compacto. Luego para cada y ∈ H existeFy ∈ Fx tal que y ∈ X \ Fy. Por compacidad, existen y1, · · · , yn ∈ H tales queH ⊂

⋃ni=1(X \ Fyi). Por construccion A =

⋃ni=1(X \ Fyi) y B =

⋂ni=1 Fyi son

abiertos y cerrados simultaneamente y X = A ∪B; ademas, H ⊂ A y Qx ⊂ B.Ahora tomemos U ′ = U ∪ A y V ′ = V ∩ B; obviamente ambos son abiertos ycontienen puntos de Qx. Sin embargo no es difıcil chequear que X = U ′ ∪ V ′,

224 6.2. Compacidad

con lo cual ambos son cerrados. Esto contradice la definicion de Qx, pues o bienU ′, o bien V ′, contiene a x, con lo cual Qx esta enteramente contenido en eseconjunto.

Corolario 6.11. Un espacio topologico compacto y Hausdorff (X, T ) es total-mente disconexo si, y solo si, para todo x 6= y en X existe un conjunto abiertoy cerrado simultaneamente que contiene a x y no a y.

Demostracion: Observe que independientemente de que el espacio sea com-pacto y Hausdorff, si para todo x 6= y en X existe un conjunto abierto y cerradosimultaneamente que contiene a x y no a y, entonces X es totalmente disco-nexo pues esta propiedad implica c(x) = {x} para todo x ∈ X. Ahora bien, siX es compacto, Hausdorff y totalmente disconexo, del teorema anterior sigueque para cada x en X vale {x} =

⋂F∈Fx F , donde Fx es la misma familia en el

enunciado del teorema. Supongamos que existen x 6= y en X tales que para todoconjunto F simultaneamente abierto y cerrado, y que contenga a x, entonces Ftambien contiene a y, lo que implica y = x.

Corolario 6.12. Si (X, T ) es un espacio topologico compacto, Hausdorff y to-talmente disconexo, entonces para todo x ∈ X existe una base del sistema devecindades en x formada por conjuntos que son simultaneamente abiertos y ce-rrados. 2

Demostracion: Sean x ∈ X y U ∈ T con x ∈ U . Dado que A = X \ U escerrado, por tanto compacto, existen abiertos disjuntos V y W tales que x ∈ V yA ⊂W ; note que el compacto cl(V ) es disjunto de A. Como cl(V ) es totalmentedisconexo, para cada y ∈ fr(V ), existe un conjunto Vy simultaneamente abiertoy cerrado en cl(V ) que contiene a x y no a y. La compacidad de fr(V ) implicaque existen y1, · · · , yn ∈ fr(V ) tales que X \ Vy1 , · · · , X \ Vyn cubren a fr(V ).Observe que W = Vy1 ∩ · · ·Vyn es un abierto y cerrado en cl(V ), contiene a x yes disjunto de fr(V ), por lo que W ⊂ V . Adicionalmente note que W es cerradoen X y como W = cl(V )∩W ′, para algun abierto en X, de la inclusion W ⊂ Vsigue que W = V ∩W ′, con lo cual tambien es abierto en X. Esto demuestra elcorolario.

Obviamente este corolario implica que todo espacio topologico compacto,Hausdorff y totalmente disconexo tiene una base formada por conjuntos que sonsimultaneamente abiertos y cerrados: la reunion de las bases locales es una basede la topologıa. En particular todo espacio topologico de esta categorıa admitecubrimientos finitos por conjuntos que al mismo tiempo son abiertos y cerrados.Si se trata de un espacio metrico compacto y totalmente disconexo, se puedeser un poco mas especıficos en cuanto a las propiedades de estos cubrimientosfinitos; es lo que mostraremos a continuacion. Por comodidad emplearemos la

2Esta propiedad dice que todo espacio topologico compacto, Hausdorff y totalmente disco-

nexo es 0-dimensional


notacion rn ↘ 0 para sucesiones de reales positivos, estrictamente decrecientesy convergentes a 0, e introduciremos el concepto de sucesion de cubrimientosadaptados.

Definicion 6.9. Sean (X, d) un espacio metrico compacto, perfecto y total-mente disconexo, y rn ↘ 0. Una sucesion (Cn)n≥0 de cubrimientos de X se dicern-adaptada si, y solamente si, para todo n ≥ 0, Cn es una particion finita de X,sus miembros son subconjuntos no vacıos, abiertos y cerrados simultaneamente,con diametro menor que rn y Cn+1 refina a Cn; que es, cada miembro de Cn esunion de miembros de Cn+1.

Teorema 6.23. Si (X, d) es un espacio metrico compacto, perfecto y totalmentedisconexo, y rn ↘ 0, entonces existe una sucesion rn-adaptada de cubrimientosde X.

Demostracion: Sea (tn)n≥0 es una sucesion tal que 0 < rn+12 < tn <

rn2 para

cada n ≥ 0. Para todo x ∈ X consideremos la bola abierta Bt0(x) y Vt0(x) unconjunto abierto y cerrado tal que x ∈ Vt0(x) ⊂ Bt0(x) Dado que el conjunto{Vt0(x) : x ∈ X} cubre a X, existen finitos puntos x1, · · · , xn0 ∈ X tales que{Vt0(xi) : 1 ≤ i ≤ n0} cubre a X. Note que diam(Vt0(x)) < r0. Ahora si

F 10 = Vt0(x1), F 2

0 = Vt0(x2) \ Vt0(x1), · · · , Fn00 = Vt0(xn0) \

n0−1⋃i=1

Vt0(xi),

entonces C0 = {F 10 , · · · , F

n00 } es un cubrimiento de X como los deseados con

diam(F j0 ) < r0, 1 ≤ j ≤ n0.Dado que cada conjunto F j0 en C0 es compacto y totalmente disconexo,

podemos repetir el argumento y cubrir cada uno de ellos por un numero finitode conjuntos disjuntos dos a dos, simultaneamente abiertos y cerrados en X yde diametro menor que r1; basta iniciar el proceso en F j0 con bolas de radiot1, y recordar estos conjuntos son abiertos y cerrados, y que la disconexidadtotal es un propiedad hereditaria. Luego C1 es el cubrimiento mas fino que C0formado por la reunion de cada cubrimiento construido para los conjuntos en C0.Evidentemente el mismo proceso recursivo garantiza la sucesion de cubrimientosCn de X con las propiedades requeridas en el enunciado.

Comentario 6.5. Note que algunos de los conjuntos F pm construidos como in-dicado en la demostracion anterior pudiesen ser conjuntos unitarios; esto ocurresi X admite puntos aislados. Sin embargo, si el espacio es ademas perfecto, cadaproceso de subdivision es propio; esto significa que si F j1m+1, F

j1+1m+1 , · · · , F

j2m+1 son

los miembros de Cm+1 que cubren a F pm ∈ Cm, entonces cada F jm+1, j1 ≤ j ≤ j2,es no vacıo y contenido propiamente en F pm. De hecho la siguiente propiedad esbastante sugerente al respecto.

Teorema 6.24. Sea (X, T ) un espacio topologico compacto, Hausdorff, perfectoy totalmente disconexo. Si U ∈ T \{∅} y n es cualquier entero positivo, entonces

226 6.2. Compacidad

U = U1 ∪ · · · ∪Un, donde U1, · · · , Un son ciertos conjuntos abiertos no vacıos ydisjuntos dos a dos.

Demostracion: Es claro que es suficiente mostrar la propiedad para n = 2,el resto sigue por induccion. Dado que X es perfecto y U ∈ T \ {∅}, entoncesexiste x, y ∈ U distintos. Del corolario 6.11 sigue que existe un conjunto V

abierto y cerrado simultaneamente que contiene a x y no a y. Luego bastatomar U1 = U ∩ V y U2 = U \ V .

Otra herramienta que emplearemos para los propositos de este apartado esla nocion de lımite inverso. Para ello comenzaremos considerando, para cadaentero n ≥ 0, un espacio topologico (XnTn) y

∏Xn dotado con la topologıa

producto.

Definicion 6.10. Una sucesion lımite inverso en (Xn)n≥0 es cualquier sucesion(fn)n≥1 de funciones continuas fn : Xn → Xn−1; ello es denotado por 〈Xn, fn〉.El espacio lımite inverso asociado a 〈Xn, fn〉 es el subespacio de

∏Xn dado por

X∞ = {(xn)n≥0 : fn+1(xn+1) = xn, para todo n ≥ 0}.

Ejemplo 6.18. Sea (X, T ) un espacio topologico. Para cada n ≥ 0, sean Xn =X y fn+1 : Xn+1 → Xn la funcion identidad, entonces el espacio lımite inversoX∞ asociado a 〈Xn, fn〉 es el conjunto de todas las sucesiones (xn)n≥0 tales quexn+1 = xn para todo n ≥ 0; que es el conjunto de todas las sucesiones constantesen X. Veamos que X y X∞ son homeomorfos. En efecto, consideremos la funcionϕ : X → X∞ dada por ϕ(x) = (x, x, · · · ), para cualquier x ∈ X. Obviamente ϕes biyectiva; ademas, si V = X∞ ∩CUk es un elemento subbasico en X∞, CUk esel cilindro de todas las sucesiones (xn)n≥0 en X tales que xk esta en el abiertoU , entonces no es difıcil verificar que ϕ−1(V ) = U , con lo cual ϕ es continua.Igualmente simple es chequear que ϕ es abierta. X∞ es denominado espaciolımite inverso identidad.

Ejemplo 6.19. Sean (X, T ) un espacio topologico y (Cn)n≥0 una sucesion departiciones finitas de X tal que, para cada n ≥ 1, Cn es mas fina que Cn−1;es decir, para cada U ∈ Cn existe un unico V ∈ Cn−1 tal que U ⊂ V . Cadaparticion Cn es dotada con la topologıa discreta, con lo cual cada uno de estosespacios es compacto y Hausdorff; ademas, toda funcion definida entre elloses continua. Para todo n ≥ 1, sea fn : Cn → Cn−1 la funcion que asigna acada U ∈ Cn el unico fn(U) ∈ Cn−1 que lo contiene. Inspeccionemos el espaciolımite inverso C∞ asociado a 〈Cn, fn〉. Note que ζ = (ζ(n))n≥0 ∈

∏Cn es un

elemento de C∞ si, y solo si, ζ(n) = fn+1(ζ(n + 1)) para cada n ≥ 0; estoes, ζ(n) es el unico elemento de Cn que contiene a ζ(n + 1). En cuanto a latopologıa en C∞, que es la relativizacion a C∞ de la topologıa producto en∏Cn, como los cilindros basicos en

∏Cn son de la forma C

Un1 ,··· ,Unmn1,··· ,nm , con

0 ≤ n1 < · · · < nm y cada Uni ∈ Cni para cada i = 1, · · · ,m, entonces el


abierto basico correspondiente en C∞ es el conjunto de todas las sucesiones(ζ(n))n≥0 ∈

∏Cn tales que ζ(n) = fn+1(ζ(n+1)) para cada n ≥ 0 y ζ(ni) = Uni

para todo i = 1, · · · ,m. Observe que C∞ ∩ CUn1 ,··· ,Unmn1,··· ,nm puede ser vacıo, basta

que existan 1 ≤ i < j ≤ m tales que Unj no este incluido en Uni . De hecho,los cilindros CUn1 ,··· ,Unm

n1,··· ,nm que producen abiertos basicos no vacıos en C∞ sonaquellos en los cuales se cumple Uni = fni+1 ◦ fni+2 ◦ · · · ◦ fni+1(Uni+1) paratodo i = 1, · · · ,m. Note que C∞ es no vacıo, compacto y Hausdorff; este espacioes denominado espacio lımite inverso de las particiones (Cn)n≥0.

Teorema 6.25. Sea (X, d) un espacio metrico compacto, perfecto y totalmentedisconexo. Si (Cn)n≥0 es una sucesion 2−n-adaptada de cubrimientos de X,entonces X y el espacio lımite inverso C∞ asociado a (Cn)n≥0 son homeomorfos.

Demostracion: Tomemos, para cada entero n ≥ 0, la funcion ϕn : X → Cnque asocia a cada x ∈ X el unico miembro ϕn(x) ∈ Cn que contiene a x.Dado que ϕ−1

n (U) = U para cada U ∈ Cn, entonces ϕn es continua. Ahoradefinamos ϕ : X →

∏Cn por ϕ(x) = (ϕn(x))n≥0, cualquiera sea x ∈ X. Observe

que para cada n ≥ 1 y todo x ∈ X, fn(ϕn(x)) es el unico elemento de Cn−1

que contiene a ϕn(x), que es el unico elemento de Cn que contiene a x, deaca que para todo n ≥ 1 y cada x ∈ X se satisface fn(ϕn(x)) = ϕn−1(x).Esto implica que ϕ(X) ⊂ C∞. En realidad ϕ(X) = C∞; en efecto, tomemosζ = (Un)n≥0 ∈ C∞; es decir, Un ∈ Cn y Un+1) ⊂ Un para cada n ≥ 0, oequivalentemente fn+1(Un+1) ⊂ Un para todo n ≥ 0. Dado que cada Un escerrado, la propiedad de encaje de Cantor, ver teorema 3.11, implica que existeun unico x ∈ X tal que {x} =

⋂n≥0 Un. Ası que x es el unico punto en X

tal que ϕ(x) = ζ, lo cual demuestra que ϕ es una biyeccion de X en C∞. Paramostrar que es un homeomorfismo solo resta verificar que es continua pues X escompacto y C∞ Hausdorff. Tomemos un elemento subbasico C∞∩CUm; dado queζ = (ζ(n))n≥0 ∈ C∞ ∩ CUm si, y solo si, ζ(n) = fn+1(ζ(n + 1)) para cada n ≥ 0y ζ(m) = Um, entonces x ∈ ϕ−1(C∞ ∩ CUm) si, y solo si, ϕm(x) = U ; por tantode la propia definicion de ϕm se tiene ϕ−1(C∞ ∩ CUm) = U , de lo cual sigue lacontinuidad de ϕ.

Ahora estamos en condiciones de ofrecer una demostracion del teorema 6.20.

Demostracion del Teorema 6.20. Sean (X, d), (Y, d′) dos espacios metricoscompactos, perfectos y totalmente disconexos, y sean (Cn)n≥0 y (Dn)n≥0 suce-siones de cubrimientos de X e Y respectivamente, ambas 2−n-adaptadas, talesque: para cada n ≥ 0, Cn y Dn tienen el mismo numero de elementos, ver teo-rema 6.24; ademas, si Cn = {F 1

n , · · · , F knn } y Dn = {G1n, · · · , Gknn }, entonces

los miembros de Cn+1 y Dn+1 son enumerados parceladamente por la maneraen que cubren los miembros de Cn y Dn respectivamente; en otras palabras,escribimos Cn+1 =

⋃knj=1 C

jn+1 y Dn+1 =

⋃knj=1D

jn+1, siendo que

Cjn+1 = {F rj−1(n)+1n+1 , · · · , F rj(n)

n+1 } y Djn+1 = {Drj−1(n)+1n+1 , · · · , Drj(n)

n+1 }

228 6.2. Compacidad

cubren a F jn y Gjn, respectivamente, para cada j = 1, · · · , kn; en esta notacionr0(n) = 0 para todo n = 0. Note que para todo n ≥ 0 y j = 1, · · · , kn, Cjn+1 yDjn+1 tienen la misma cantidad de miembros, teorema 6.24, y rkn(n) = kn+1.

F 1n+1, · · · , F

r1(n)n+1︸︷︷︸

F 1n

, Fr1(n)+1n+1 , · · · , F r2(n)

n+1︸︷︷︸F 2n

, · · · , F rkn−1+1n+1 , · · · , F rkn (n)

n+1︸︷︷︸Fknn

G1n+1, · · · , G

r1(n)n+1︸︷︷︸

G1n

, Gr1(n)+1n+1 , · · · , Gr2(n)

n+1︸︷︷︸G2n

, · · · , Grkn−1+1n+1 , · · · , Grkn (n)

n+1︸︷︷︸Gknn


1. Sean (X, d) un espacio metrico y e la metrica en X definida, para cadax, y ∈ X, por e(x, y) = mın{1, d(x, y)}; ver proposicion 3.3. Si X es noacotado con la metrica d, ¿puede ser (X, e) compacto?


(a) ¿Es compacto el conjunto A = {0} ∪ { 1n : n ∈ N?}?

(b) Verificar que el intervalo (0, 1) con la topologıa relativa usual es no com-pacto. ¿Es la compacidad una propiedad hereditaria?

(c) ¿Puede ser compacto [0, 1] ∩Q?

3. Sean (X, T ) un espacio topologico y A un subconjunto no vacıo de X. De-mostrar que A es compacto si, y solo si, para cualquier coleccion C ⊂ Ttal que A ⊂

⋃U∈C U , existen finitos abiertos U1, · · · , Um ∈ C de forma que

A ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Um.

4. Sean (X, T ) un espacio topologico compacto y Γ un conjunto totalmenteordenado por la relacion -, en particular todo conjunto finito en Γ tiene unmınimo y un maximo. Si {Fα : α ∈ Γ} una coleccion de subconjuntos cerradosno vacıos tales que Fβ ⊂ Fα para cada α, β ∈ Γ con α - β. Demostrar que⋂α∈Γ Fα 6= ∅.

5. Considere a X = [0, 1) ∪ [2, 3] como subespacio de R con la topologıa usual.Demuestre que A = [0, 1) es cerrado, acotado y no compacto.

6. Demostrar que la union finita de conjuntos compactos en un espacio topologi-co es tambien un conjunto compacto.

7. Decidir acerca de la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes pro-posiciones:

(a) La union numerable e infinita de compactos es un conjunto compacto.


(b) La compacidad es una propiedad hereditaria.

(c) La imagen inversa mediante funciones continuas de conjuntos compactoses un conjunto compacto.

(d) Todo espacio topologico compacto tiene a lo mas un numero finito depuntos aislados.

(e) Todo espacio factor de un espacio producto compacto es compacto.

(f) El espacio cociente de un compacto es compacto.

8. Consideremos el conjunto X = [0,+∞) dotado con la topologıa T dada por∅, X y todos los intervalos de la forma (α,+∞).

(a) Verificar que [2, 6) es compacto. ¿Tambien lo sera (2, 6]?

(b) Demostrar que A es compacto en X si, y solo si, ınf(A) ∈ A.

(c) Construya dos compactos en X cuya interseccion no sea compacta.

9. Sean (X, T ) un espacio topologico Hausdorff y {Aα : α ∈ Γ} es una familiade subconjuntos no vacıos y compactos en X.

(a) Demostrar que⋂α∈ΓAα es compacto.

(b) Sea U un abierto tal que⋂α∈ΓAα ⊂ U . Demostrar que existe un sub-

conjunto finito Γ′ de Γ tal que⋂α∈Γ′ Aα ⊂ U .

Sugerencia: Fije cualquier ındice β ∈ Γ y note que {X \ Aα : α ∈ Γ} es un cubri-

miento abierto de Aβ \ U .

10. Sean (X, T ) un espacio topologico Hausdorff y A,B subconjuntos compactosdisjuntos en X. Demostrar que existen abiertos disjuntos U y V tales queA ⊂ U y B ⊂ V .

11. Sean (X, d) un espacio metrico y A un subconjunto compacto no vacıo de X.Demostrar:

(a) Para cada x ∈ X, d(x,A) = ınf{d(x, a) : a ∈ A} es alcanzada en A; esdecir, existe a? ∈ A tal que d(x,A) = d(x, a?).

(b) El diametro de A, diam(A) = sup{d(a, b) : a, b ∈ A}, es realizado porpuntos de A; esto es, existen a?, b? ∈ A tales que diam(A) = d(a?, b?).

12. Sea (X, T ) un espacio topologico compacto, Hausdorff y totalmente discone-xo. Demostrar que X admite un cubrimiento finito formado por conjuntosdisjuntos dos a dos, y que simultaneamente son abiertos y cerrados.

13. Sean {(Xα, Tα) : α ∈ Γ} una familia infinita de espacios topologicos y∏Xα

dotado con la topologıa producto. Demostrar que si B ⊂∏Xα es un conjunto

compacto con interior no vacıo, entonces para todo α ∈ Γ, excepto un numerofinito, el espacio Xα es compacto.

230 6.2. Compacidad

14. Sea (X, T ) un espacio topologico compacto. Si A es un subconjunto infinitode X, demostrar que A tiene puntos de ω-acumulacion; es decir, existe x ∈ Xtal que para cada U ∈ T con x ∈ U , U ∩A tiene infinitos elementos.

15. Sea (X, T ) un espacio topologico compacto. Si (Fn)n≥0 es una sucesion desubconjuntos cerrados no vacıos de X tales que Fn+1 ⊂ Fn para cada n ≥ 0,demostrar que

⋂n≥0 Fn 6= ∅.

16. Sea (X, T ) un espacio topologico compacto y Hausdorff.

(a) Si A es un subconjunto no vacıo y con puntos de acumulacion, entoncesA es infinito.

(b) Si A es un subconjunto no vacıo y perfecto de X, entonces A es nonumerable.Sugerencia: Suponga que A = {x1, x2, · · · }, construya una sucesion (Un)n≥1 de

abiertos tales que: Un+1 ⊂ Un, Un ∩A 6= ∅ y xn /∈ Un para cada n ≥ 1.

Indice alfabetico

T1, 138ultimo elemento, 17

Axioma de Eleccion, 20Axioma de Zermelo, 19

banda de Mobius, 190base, 37bola abierta, 87bola cerrada, 87buen orden, 18

cadena, 17camino, 203Cantor ternario, 105clausura, 59completamente metrizable, 172componente conexa, 201componente por caminos, 208conjunto

acotado, 97acotado inferiormente, 18acotado superiormente, 18conexo, 195denso, 71disconexo, 195estrictamente ordenado, 14nunca denso, 71parcialmente ordenado, 13

conjunto interior, 66conjuntos mutuamente separados, 198continuidad, 107continuidad en un punto, 105continuidad uniforme, 107convergencia puntual, 120convergencia uniforme, 120cota inferior, 18cota superior, 18Cubo de Hilbert, 103cubrimiento, 72

abierto, 73cerrado, 73localmente finito, 73

cubrimiento fundamental, 170

Desigualdad de Holder, 94Desigualdad de Minkowski, 95diametro, 97distancia, 85

entre conjuntos, 97entre un punto y un conjunto, 97

espaciocompacto, 211conexo por caminos, 204localmente conexo, 209metrico, 85metrico completo, 125normado, 86pseudometrico, 100totalmente disconexo, 202ultrametrico, 103

espacio lımite inverso, 226espacio topologico, 26

0-dimensional, 172, 224conexo, 195Hausdorff, 90homogeneo, 172Lindelof, 76maximo determinable, 172metrizable, 91primero numerable, 73segundo numerable, 73separables, 73

espaciosisometricos, 114

exterior, 68

frontera, 68funcion, 5

231

232 INDICE ALFABETICO

biyectiva, 6continua, 151coordenada, 6invertible, 7inyectiva, 6lipschitziana, 108parcial, 6sobreyectiva, 6

funcion cociente, 187

homeomorfismo, 160homotecia, 162

imagendirecta, 7inversa, 7

indentificacion, 187infimo, 18inmersion isometrica, 114inmersion topologica, 161isometrıa, 114

Lema de Kuratowsky, 19Lema de Tukey, 20Lema de Zorn, 19

metrica, 85p-adica, 103convergencia uniforme, 102discreta, 86equivalentes, 99euclidiana, 86topologicamente equivalentes, 92

maximal, 18minimal, 18

Numero de Lebesgue, 216norma, 86normas equivalentes, 99

orden lexicografico, 57

Postulado de Zermelo, 20primer elemento, 17Principio Maximal, 19

Principio Maximal de Hausdorff, 19Principio Minimal, 19producto cartesiano arbitrario, 173Propiedad de Bolzano – Weierstrass,

213propiedad de interseccion finita, 212propiedad hereditaria, 82propiedad productiva, 182proyeccion estereografica, 165pseudometrica, 100punto aislado, 64punto de ω-acumulacion, 214punto de acumulacion, 63punto de adherencia, 60punto exterior, 68punto interior, 66puntos de condensacion, 83

relacıonantisimetrica, 10asimetrica, 10irreflexiva, 10reflexiva, 10simetrica, 10transitiva, 11

relacion, 9composicion, 9equivalencia, 11idempotente, 11inversa, 9orden lineal, 16orden parcial, 13orden parcial estricto, 14orden total, 16

shift unilateral en dos sımbolos, 58subbase, 48sucesion

creciente, 126decreciente, 126monotona, 126

supremo, 18

Teorema

INDICE ALFABETICO 233

Bolzano – Weiestrass, 127Hausdorff – Aleksandrov, 222Heine – Borel, 218

topologıa, 26p-adica, 56cofinita, 30conumerable, 35debil, 58discreta, 28divisores, 34euclidiana, 30Furstenberg, 46indiscreta, 28inicial, 56mas fina, 32metrica, 88particion, 188primos relativos, 56producto, 44relativa, 32Sorgenfrey, 45, 76union disjunta, 36usual en R, 29

topologıa caja, 175topologıa de orden parcial a derecha,

57topologıa de rayos abiertos a izquierda,

57topologıa del orden, 47topologıa producto, 175traslacion, 162

vecindad de un punto, 50base, 52

234 INDICE ALFABETICO

Bibliografıa recomendada

[1] L. Arthur Steen and J. Arthur Seebach Jr. Counterexamples in Topology,Dover Publications (1995).

[2] N. Bourbaki. General Topology, Vol. 1. Addison-Wesley, Reading Mass.(1966).

[3] N. Bourbaki. Elements of the History of Mathematics, Springer (1998).

[4] J Dugundji. Topology, Allyn and Bacon (1966).

[5] F. Guenard & G. Lilievre. Complements d’analyse, Volume 1, Topologie,Premiere Partie. ENS Fontenay Ed. (1985).

[6] J. Hocking and G. Young. Topology, Courier Dover Publications (1961).

[7] J. Kelley. General Topology, ISHI Press International (2008).

[8] E. Lages Lima. Espacos metricos, Terceira Edicao. Projeto Euclides. IMPA(2003).

[9] G. Fleitas Morales y J. Margalef Roig. Problemas de Topologıa General.Editorial Alhambra, 1980.

[10] S. Morris. Topology without tears, Version of Octuber 14, 2007.http://www.e-booksdirectory.com/details.php?ebook=1867

[11] J. Munkres. Topologıa, Prentice Hall, Inc. 2a Edicion. (2002).

[12] O. Ya. Viro et al. Elementary Topology: problem textbook, AMS (2008).

[13] S. Willard. General Topology, Dover Publications (2004).

235

un primer curso de topologia general neptali romero

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ejercicios propuestos

ejemplos clasicos

ejemplos adicionales

propiedades fundamentales

propiedades basicas1514

propiedades basicas1604

espacios topologicos

teora de conjuntos