59076241 fundamentos de topologia algebraic a rubiano

8/15/2019 59076241 Fundamentos de Topologia Algebraic a Rubiano

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Fundamentos de[Topologıa Algebraica]



Fundamentos de[Topologıa Algebraica]

Gustavo N. Rubiano O.Profesor Titular

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Sede Bogota



vi, 235 p. : 102 il. 00ISBN 958-701-613-0

1. Topologıa Algebraica

Gustavo N. Rubiano O.

Fundamentos de Topologıa Algebraica, 1a. edicion.

Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogota.Facultad de Ciencias, 2007

Mathematics Subject Classification 2000: 55-01.

c Edici´ on en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano OrtegonUniversidad Nacional de Colombia.

Diagramacion y diseno interior en LATEX:Gustavo RubianoGraficas interiores: el autor.

Primera impresion, 2007

Impresion:Pro-Offset Editorial S.A.Bogota, D. C.

COLOMBIA



Indice general

Prologo V

1. Conjuntos 1

1.1. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Relacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2. Relacion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Algebra 8

2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Subgrupo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Factorizacion de homomorfismos . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. Grupos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1. El subgrupo conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6. Construccion de nuevos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7.1. Grupos libres abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

i



Prologo

El fin ultimo de la topologıa algebraica es tener una manera de trasladarpreguntas de la topologıa conjuntista al algebra. La estructura algebraica queutilizamos en estas notas es la de grupo. El mecanismo consiste en “inventar”una construccion que a cada espacio topologico X que consideremos le asigneun grupo G(X ). A continuacion extender este mecanismo a las funcionescontinuas, de suerte que a una funcion f : X

→ Y le sea asignado un

homomorfismo de grupos G(f ) : G(F ) → G(Y ). Pero la construccion debesatisfacer condiciones de “buen comportamiento” como ser natural en lacomposicion, G(f g) = G(f ) G(g) y que a cada homeomorfismo le corres-ponda un isomorfismo, entre otras. En general lo que pedimos es lo llamadoun comportamiento functorial.

A manera de ilustracion, en topologıa la pregunta ¿R ≈ R2?, i.e. ¿esR topologicamente equivalente —homeomorfo— a R2? tiene una respuestainmediata y negativa dentro del contexto de un curso de topologıa gene-ral. Pero a una pregunta similar como ¿R2 ≈ R3? no tiene respuesta conlas propiedades usuales que conocemos de compacidad, conexidad, sepa-

racion, metrizabilidad, etc. ver la pagina 114. Lo mismo sucede para ¿S 2

≈toro? ¿toro ≈ botella de Klein? La respuestas a estas preguntas sonalgebraicas: consiste en asignar el grupo fundamental de homotopıa o lacadena de homologıa a cada uno de los espacios involucrados y observar queson diferentes, lo que implica que no son homeomorfos.

El texto requiere de conocimientos previos en conjuntos, topologıa gene-ral y algebra abstracta en el topico de los grupos. Estos conocimientos sonlos basicos y por ello son incluidos de manera sucinta en los capıtulos 1, 2 y 3donde en general se omiten las demostraciones, pues de otra manera el textose tornarıa extremadamente largo acercandose a lo ineficaz, pero a cambiose referencia en la bibliografıa las fuentes que pueden ser consultadas. Las

afirmaciones que al ser leıdas con poca atencion se puedan prestar a mal

v



vi INDICE GENERAL

entendidos son marcadas con el sımbolo

.Los capıtulos 4, 5 y 6 son la razon de este escrito y por tanto todo el

esfuerzo esta dirigido a hacer de ellos material auto contenido, explicado,demostrado en todo detalle y por supuesto, algo que no es comun poder

hacer en matematicas en general pero en este caso sı: dibujar.

La seccion de espacios de recubrimiento, muestra la hermosa conexionentre el algebra y la topologıa a traves de preguntas en la una y respuestasen la otra.

Por supuesto, y como en casi todo libro de texto, todo lo dicho aquı yaesta dicho en alguna otra parte, de suerte que, lo unico original es la eleccionde los temas y la presentacion de los mismos. Como estas notas son a manerade exposicion, he decidido no incluir los clasicos ejercicios.

Mi gratitud a la Universidad Nacional de Colombia por otorgarme esetiempo extra con el cual ya no pueden existir disculpas para no escribir lo

que he querido.

Gustavo Nevardo Rubiano Ortegon

Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia

Ciudad Universitaria, Bogota, [email protected]

Septiembre de 2006



Capıtulo 1

Conjuntos

Contenido

1.1. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . 11.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Relacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Relacion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

En este primer capıtulo presentamos de manera sucinta, los conceptosde la teorıa de conjuntos que el lector debe tener presente para la lectura deeste texto, con la finalidad de establecer un lenguaje comun entre el autory el lector con respecto a la notacion.

1.1. Operaciones entre conjuntos

Algunas veces es muy conveniente adjudicar un nombre o ındice a cadaelemento de una coleccion A de conjuntos.

Un conjunto J y una correspondencia f : J −→ A definida por j → A j—para cada j ∈ I , el conjunto f ( j) ∈ A es notado como f ( j) = A j — quehace corresponder a cada j ∈ J un conjunto A j constituye por definicionuna familia A indizada por J y brevemente la notamos

A = A j | j ∈ J .

1



2 CAPITULO 1. CONJUNTOS

Siempre olvidamos como se definio f y lo unico que registramos es quela familia quedo efectivamente indizada como A = A j j∈J . Definimos lossiguientes conjuntos:

1. Union de una familia de conjuntos,A =

j∈J

A j = x | x ∈ A j, algun j ∈ J .

2. Interseccion de una familia de conjuntos,A =

j∈J

A j = x | x ∈ A j, para cada j ∈ J .

3. Producto de una familia de conjuntos,

j∈J

A j = f : J −→ j∈J

A j | f ( j) ∈ A j.

4. Suma de una familia de conjuntos. Tambien se acostumbra notar como j∈J A j y llamarse entonces el coproducto de la familia.

j∈J

A j = (a, j) | a ∈ A j, j ∈ J .

Si A = A j | j ∈ J es tal que cada A j ⊆ X , decimos entonces que A esuna familia de subconjuntos de X .

Si J = ∅ —el conjunto vacıo— entonces

1. j∈J A j = ∅.

2. j∈J A j = X .

Decimos que la familia A = A j | j ∈ J es una particion de X si paratodo i, j ∈ J se tiene que

1. A j = ∅.

2. i = j implica Ai ∩ A j = ∅.



1.2. FUNCIONES 3

3. j∈J A j = X. Esta condicion dice que A es un cubrimiento de X .

Dadas las familias A = A j | j ∈ J , B = Bi | i ∈ I en X se tienen lassiguientes igualdades —Ac o A denota el complemento de A en X —.

1. ( j∈J A j)c = j∈J Ac j .2. (

j∈J A j)

c = j∈J A

c j .

3. ( j∈J A j)

(i∈I Bi) =

i∈I (

j∈J (A j

Bi)).

4. ( j∈J A j)

(i∈I Bi) =

j∈J (

i∈I (A j

Bi)).

El axioma de eleccion dice que j∈J A j = ∅ si y solo si A j = ∅ para

cada j ∈ J = ∅.

1. j∈J A j ⊆ j∈J B j si y solo si A j ⊆

B j para cada j ∈

J.

2. j∈J A j

j∈J B j =

j∈J (A j

Bj).

3. j∈J A j

j∈J B j ⊆ j∈J (A j

B j).

4. (i∈I Ai) × (

j∈J B j) =

(i,j)∈I ×J (Ai × B j).

1.2. Funciones

Dada la funcion f : X −→ Y definimos la imagen de A ⊆ X por f como el conjunto

f (A) := y ∈ Y | y = f (x) para algun x ∈ A.

La imagen inversa de B ⊆ Y por f es el conjunto

f −1(B) = x ∈ X | f (x) ∈ B.

Sean Ai | i ∈ I , B j | j ∈ J familias de conjuntos en X y Y respectiva-mente. Es un ejercicio verificar las siguientes propiedades:

1. f (

i∈I Ai) ⊆

i∈I f (Ai).

2. f (i∈I Ai) = i∈I f (Ai).



4 CAPITULO 1. CONJUNTOS

3. f −1( j∈J B j) =

j∈J f −1(B j).

4. f −1( j∈J B j) =

j∈J f −1(B j).

5. f −1(Bc j ) = [f −1(B j)]c.

6. f (f −1(Bi)) ⊆ Bi.

7. Ai ⊆ f −1(f (Ai)).

Notese que el comportamiento de f −1 —la imagen inversa por f — esimpecable.

Una funcion f : X −→ Y se dice sobre o sobreyectiva si f (X ) = Y ;f se dice uno a uno, o inyectiva si x = y implica f (x) = f (y).

Dada f : X −→ Y y cualesquiera A, B ⊆ X , C ⊆ Y tenemos que,

1. f es inyectiva si y solo si f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).

2. f es sobre si y solo si f −1(C ) = ∅ para todo C = ∅.

3. Si f es inyectiva y sobre —biyeccion— entonces f −1 es una biyeccionde Y en X .

4. Si f es biyeccion entonces f (Ac) = f (A)c.

5. f es sobre si y solo si f (f −1(C )) = C.

6. f es inyectiva si y solo si f −1(f (A)) = A.

7. f es biyeccion si y solo si para cada y ∈

Y , f −1(y) es un conjuntounitario de X . Caso para el cual f −1 : Y −→ X es una funcion biendefinida.

La siguiente afirmacion utiliza el concepto de composicion de funciones:Sean f : X −→ Y , g : Y −→ X dos funciones tales que g f = idX dondeidX : X −→ X es la funcion identidad, entonces g es sobre y f es uno a uno.

Tambien podemos considerar una familia H indizada de funciones

H = hi : X i −→ Y ii∈I .

La funcion h = i∈I hi : X i∈I −→ Y i∈I definida por h((xi)i) := (h(xi))i

es conocida como la funcion producto.



1.4. CARDINALIDAD 7

Teorema de Cantor. Si ℘(X ) (o 2X ) denota al conjunto de los sub-conjuntos de X = ∅, entonces el cardinal de X es menor que el cardinal de℘(X ).

Para una demostracion ver [21].

La aritmetica de los numeros cardinales se puede resumir como:

1. Sean d, e numeros cardinales con d ≤ e, d = 0 y e infinito. Entoncesd + e = e y d · e = e.

2.ab m ℵ0 c

n nm c 2c

ℵ0 ℵ0 c 2c

c c c 2c



Capıtulo 2

Algebra

Contenido

2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. Subgrup o normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5. Construccion de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 142.6. Grupos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7. Factorizacion de homomorfismos . . . . . . . . . 162.8. El subgrupo conmutador . . . . . . . . . . . . . . 172.9. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.10. Grupos libres abelianos . . . . . . . . . . . . . . . 192.11. Representacion de grupos libres . . . . . . . . . . 202.12. Producto libre de grupos . . . . . . . . . . . . . . 21

2.12.1. Producto amalgamado de dos grupos . . . . . . . . 23

Este capıtulo presenta los conceptos del algebra abstracta que en ade-lante seran utilizados. Los hemos aislado en este capıtulo con la finalidadque el lector tenga certeza de cuanto del algebra (y no mas) debe conocer.

2.1. Grupos

Definicion 2.1 (monoide). Sea A un conjunto no vacıo. Una funcion

∗ : A

×A

−→ A se llama una ley de composicion interna o una ope-

racion interna en A. Al par (A, ∗) se le denomina un monoide.

8



2.1. GRUPOS 9

Dados a,b, c ∈ A podemos calcular a ∗ (b ∗ c) y (a ∗ b) ∗ c, si queremosque este calculo sea igual, entonces lo que exigimos es que ∗ sea asociativo,es decir que para todo a,b, c ∈ A

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

Definicion 2.2 (grupo). Un monoide asociativo se llama semigrupo. Ungrupo (A, ∗) es un semigrupo en el cual

1. Existe e ∈ A tal que a ∗ e = a = e ∗ a para todo a ∈ A.

2. Para cada a ∈ A, existe b ∈ A tal que a ∗ b = e = b ∗ a.

La propiedad en 1 garantiza la existencia de un unico elemento neutropara la operacion ∗. La propiedad 2 garantiza la existencia del elementoinverso para cada a ∈ A. Este elemento se acostumbra a notar −a o a−1

segun utilicemos notacion aditiva o multiplicativa, es decir a∗a = a+a := 2ao a

∗a = aa := a2.

En lo posible utilizaremos notacion multiplicativa: a−1a−1 = a−2, e = 1,a0 = 1, a ∗ b = ab.

Si ab = ba para todo a, b ∈ A, decimos que el grupo A es abeliano. Ungrupo arbitrario lo notamos (G, ∗).

Ejemplo 2.3. S A. Dado un conjunto A el conjunto de todas las permuta-ciones (biyecciones) de A con la operacion de composicion forma un grupollamado el grupo simetrico y notado S A.

Si en particular A = 1, 2, . . . , n lo notamos S n y cada permutacionσ

∈ S n se puede expresar como un producto de transposiciones (una

transposicion es una clase especial de permutacion donde solo dos elementosson intercambiados y los demas n − 2 son dejados fijos) y el signo de σ es1 o −1 dependiendo que el numero de transposiciones sea par o impar.

Definicion 2.4. Sea (G, ∗) un grupo. Si H ⊆ G es tal que ∗ : H ×H → H esuna operacion de grupo, decimos que H es un subgrupo de G y lo notamosH ≤ G.

Ejemplo 2.5. El conjunto de todas las permutaciones pares en S n formanun subgrupo con n!2 elementos y llamado el subgrupo alternante de S n.

Sea (G, ∗) un grupo. Si A, B ⊆ G, definimos

AB = ab : a ∈ A, b ∈ B.



10 CAPITULO 2. ALGEBRA

(AB := A ∗B y como la operacion que utilizamos es multiplicacion notamossimplemente AB). Si A = a, entonces AB = aB. Notamos por A−1 =a−1 : a ∈ A. Con estas notaciones se verifica que H ⊆ G es un subgruposi y solo si H = ∅ y H H −1 ⊆ H .

Cuando H es un subgrupo de G, los subconjuntos de la forma aH (Ha)son llamados coclases a izquierda (derecha). La palabra coclase la jus-tificamos si tenemos una particion de G. En efecto, si aH ∩ bH = ∅ entoncesaH = bH y por tanto

R := aH : a ∈ Ges una particion de G, donde la relacion ∼ de equivalencia inducida es: a ∼ bsi y solo si a−1b ∈ H . Si G es abeliano, cada coclase a izquierda aH es coclasea derecha H a.

Si G es un grupo finito, entonces el orden |G| de G es el numero deelementos en G.

Definicion 2.6. Sea H un subgrupo de un grupo G de orden finito. Elındice (G : H ) de H en G es igual a |G|/|H |. Ası, el ındice es el numero decoclases a izquierda (derecha) de H .

Ejemplo 2.7. Sean G = C − 0 (los numeros complejos no nulos) y ∗ laoperacion (a, b)(c, d) := (ac − bd,ad + bc).

El elemento unidad es (1, 0).

(a, b)−1 =

a

a2 + b2,

−b

a2 + b2

.

Si z = (a, b), z−1 = z|z|2 donde z denota al conjugado y |z| = √

a2 + b2

es la distancia del punto al origen.

El subconjunto H = z : |z| = 1, es un subgru-po y se nota S 1 (la circunferencia unidad). Six ∈ G entonces xH es la circunferencia de cen-tro (0, 0) y radio |x| (para todo h ∈ H tenemos|xh| = |x||h| = |x|1 = |x|; ver la figura).

xH



2.2. HOMOMORFISMOS 11

2.2. Homomorfismos

Una vez definidos los grupos, la pregunta natural es como caracterizarlos:¿cuantos grupos “diferentes” existen? Por tanto definimos funciones entrelos grupos que relacionen los conjuntos y sus estructuras.

Definicion 2.8. Dados dos grupos G, H un homomorfismo es una funcionf : G → H (como conjuntos) que satisface f (ab) = f (a)f (b) (la operacion ala izquierda de la igualdad es en G y a la derecha es en H ).

Esta definicion puede ser representada diciendoque el siguiente diagrama conmuta. La exigenciapara un homomorfismo de preservar la identidady la inversa es intrınseca, f (e) = e, f (a−1) =f (a)−1. Ademas la imagen de un subgrupo esun subgrupo, en particular f (G) ≤ H .

G × G H × H

G H

f ×f

∗

∗

f

Ejemplo 2.9. La funcion f : (R, +) −→ (C− 0, ·) dada por

f (x) = (cos x, sen x) = eix

satisface

f (x + y) = (cos (x + y), sen(x + y))

= (cos x cos y − sen x sen y, sen x cos y + sen y cos x)

= (cos x, sen y)(cos y, sen x)

= f (x)f (y).

Si pensamos que en la circunferencia S 1 un punto en ella es un angulo,

entonces el producto f (x)f (y) es “geometricamente” la suma de los angulos.

2.3. Subgrupo normal

Definicion 2.10. Para cada homomorfismo f : G → H el conjunto f −1(1)es un subgrupo de G. f −1(1) ≤ G recibe el nombre de Ker(f) o nucleo def .

Un homomorfismo es inyectivo si y solo si K er(f ) = 1. Este subgruponucleo goza de la propiedad

gKer(f )g−1 = K er(f ) para todo g ∈ G.



2.3. SUBGRUPO NORMAL 13

La conjugacion es una relacion de equivalencia sobre el conjunto detodos los subgrupos de G y un subgrupo H es normal en G si la clase deequivalencia [H ] = H .

Teorema 2.15. Si H G y a, b ∈ H entonces ab ∈ H si y solo si ba ∈ H ,y en este caso aH = b−1H .

Dado un subconjunto S ⊆ G de un grupo G, el conjunto

N [S ] = x ∈ G | xSx−1 = S es un subgrupo de G. En particular, si H ≤ G entonces N [H ] es el mayorsubgrupo que tiene a H como un subgrupo normal, esto es H N [H ] ≤ Go dicho de otra manera, N [H ] es el subgrupo mas grande entre H y G parael cual H es normal. Por esta razon N [H ] es llamado el normalizador deH en G.

2.3.1. Factorizacion de homomorfismosSi f : G → H y g : H → J son homomorfismos (isomorfismos) de

grupos, la compuesta g f : G → J tambien es un homomorfismo (isomor-fismo). Recordemos que un homomorfismo f tiene un comportamiento ideal:la identidad va a la identidad, la imagen inversa de un subgrupo (normal)es un subgrupo (normal), la preimagen de la identidad es el nucleo de f .

El siguiente teorema muestra como factorizar homomorfismos utilizandoun isomorfismo.

Teorema 2.16 (cociente para grupos). Sea f : G → H un homomorfismo de grupos. f tiene una ´ unica factorizaci´ on f = i

r

q donde q es la

funci´ on cociente, r est´ a definida como r ([g]) := f (g), i es la inclusi´ on

G H

G/Ker(f ) Im(f )

f

q

r≈

i

El teorema del cociente para conjuntos (pag. 5), nos dice que tal fac-torizacion existe, falta verificar entonces que las condiciones algebraicas semantienen (homomorfismos). Notese que para este diagrama el homomorfis-mo r es un isomorfismo G/Ker(f )

≈ r(H ) si f es sobreyectiva (Teorema

fundamental de homomorfismo).




2.4. Grupos cıclicos

Dado un grupo G y un elemento a ∈ G, todos los elementos de la formaan, n ∈ Z tambien estan en G.

Definicion 2.17. Dado un grupo G y un elemento a ∈ G, el conjunto

a := an : n ∈ Z =i∈I

H i, H i ≤ G y a ∈ H i

es un subgrupo de G, de hecho el subgrupo mas pequeno que contiene alelemento a (recuerdese que la interseccion de subgrupos es un subgrupo) yes llamado el subgrupo cıclico generado por el elemento a.

Si G =< a > para algun a, decimos que G es cıclico generado por a.

Ejemplo 2.18. Si G = (Z, +) entonces G = 1; ademas, si H ≤ G, entoncesH tambien es cıclico, es decir, H = n para algun n ∈ Z, y lo notamosnZ := n (recordemos que la operacion es aditiva y que nZ := nk : k ∈Z). Como nZ ≤ Z dado un a ∈ Z, la coclase a + nZ := a + nk : k ∈ Z esel conjunto de los enteros que tienen residuo a al dividirlos por n.

Hay exactamente n−coclases diferentes, a saber:

nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ.

La relacion b−1a ∈ H se traduce en a ∼ b := aH = bH . Como q : G →G/H debe ser un morfismo de nuestra teorıa de grupos, q −1(0) = q −1[H ] =

Ker(q ) = H debe ser un subgrupo normal de G.

Notese que los grupos cıclicos son abelianos. Una caracterizacion recıpro-ca de la anterior implicacion se tiene de manera parcial si el grupo es “sufi-cientemente pequeno”.

Un grupo cıclico puede tener un numero infinito de elementos (el ordende un grupo G es o(G) := #(G) cardinal de G), caso en el cual G ≈ (Z, +),es decir, existe una funcion f : G → Z biyectiva y homomorfismo de grupos.Si G es cıclico y tiene un numero finito de elementos, entonces G ≈ (Zn, +)para algun n ∈ Z.

Nota . Zn := a : an = 0, el grupo generado como en la siguiente definicion.



2.5. GRUPOS GENERADOS 15

2.5. Grupos generados

Dados los elementos ai ∈ G con i ∈ I , la intersecci´ on de todos los sub-grupos de G que contienen a todos los ai con i ∈ I es de nuevo un subgruponotado

ai : i

∈ I

. Notese que

ai : i

∈ I

es el subgrupo mas pequeno

de G que contiene a ai : i ∈ I .

Definicion 2.19. Si G = ai : i ∈ I , decimos que G es generado por elconjunto ai : i ∈ I y que los ai son los generadores de G. Si #(I ) es finito,entonces G es generado finitamente.

Notese que un elemento g ∈ ai : i ∈ I es un producto finito depotencias enteras de elementos ai. Si el grupo no es abeliano, las potenciasde un ai pueden ocurrir varias veces.

Ejemplo 2.20. Z× Z2 es generado por (1, 0), (0, 1).

Definicion 2.21. El orden o(a) de un elemento de un grupo a ∈ G, es elmenor entero n tal que an = e. Si tal n no existe, decimos que el orden de aes infinito y en cierta manera a es “libre” de generar tantos elementos comoquiera.

Si en un grupo G cada elemento tiene orden finito, decimos que G es ungrupo con torsion.

Si ningun elemento en G (excepto la identidad) tienen orden finito, de-cimos que G es libre de torsion (por ejemplo Z).

Definicion 2.22. Si un grupo G es abeliano, el conjunto T G de los elementosde orden finito es un subgrupo de G llamado el subgrupo torsion de G.

Ejemplo 2.23. Si G = Z× Z2, entonces T G = (0, 0), (0, 1).

Lema 2.24 (Factorizacion). Si G es abeliano y generado finitamente entonces G ≈ T G× F , donde T G es el subgrupo de torsi´ on de G y F ≤ G es libre de torsi´ on.

Lema 2.25. Si G es abeliano, finitamente generado y libre de torsi´ on (nole quedan muchas posibilidades a G) G ≈ Z× · · · × Z ( m−veces, m ∈ Z+).

Lema 2.26. Si G es abeliano y de orden finito, entonces G es isomorfo a un producto directo de grupos cıclicos

G ≈ Z pr11

× · · · × Z prnn ,



2.6. CONSTRUCCION DE NUEVOS GRUPOS 17

2.6. Construccion de nuevos grupos

Definicion 2.30. Si G1, G2, . . . , Gn son grupos, al producto cartesiano

n

k=1

Gk = G1 × · · · × Gn

le damos una estructura de grupo al operar las n−tuplas ordenadas operandocomponente a componente,

(a1, . . . , an) ∗ (b1, . . . , bn) := (a1b1, . . . , anbn)

y se le llama el producto directo externode los grupos Gi. Esta definiciones extendible a cualquier familia de grupos no necesariamente finita.

Notese que cada Gk es isomorfo de una manera natural (sin esfuerzo) a un

subgrupo Gk de

nk=1Gk cuando identificamos cada g ∈ Gk con el elemento

(e1, . . . , ek−1, g , ek+1, . . . , en) ∈nk=1

Gk. Entonces decimos quenk=1

Gk es el

producto directo interno de estos subgrupos Gk a cambio de decir que erael producto directo externo de los Gk.

Ejemplo 2.31. Si m, n ∈ Z+ sin factores comunes diferentes de 1, entoncesZm × Zn ≈ Zmn; mas general aun, si m1, m2, . . . , mn ∈ Z+ con un maximocomun denominador MCD(m1, . . . , mn) = 1, entonces

nk=1 Zmk

es cıclicoy se tiene

n

k=1

Zmk

≈Zm1···mn .

Ejemplo 2.32. Z8 × Z9 ≈ Z72.

Ejemplo 2.33 (Teorema fundamental). Si n = pn11 · pn22 · · · · · pnrr seescribe como potencia de primos diferentes entonces Zn ≈ Z pn11 × · · ·×Z pnrr .

2.7. Grupos libres

Sea A un conjunto de cardinalidad a cuyos elementos a , b , c . . . ∈ Apueden ser sımbolos abstractos o pueden ser objetos provenientes de algun

otro contexto matematico. A es llamado un alfabeto y sus elementos letras.




Por una sılaba entendemos un sımbolo an donde a ∈ A y n ∈ Z. Unapalabra es definida como una sucesion ordenada de sılabas.

Por ejemplo b−3a0a1c2c2a0c1 es una palabra de siete (7) sılabas. En unapalabra las sılabas son escritas una tras de otra a la manera de un producto

formal. Cada sılaba en sı misma es una palabra (una uno–sılaba). Existeuna unica palabra que no tiene sılabas, la llamamos la palabra vacıa y sedenota por el sımbolo 1. Ası que tenemos las siguientes condiciones:

1. Si A = aii∈I es un alfabeto de letras ai, cualquier sımbolo de laforma ani con n ∈ Z es una sılaba.

2. Una sucesion finita de sılabas es una palabra.

3. La palabra vacıa es la palabra sin sılabas y notada por 1.

Notacion: a1i := ai, a0i := 1, ami ani := am+n

i . Estas dos ultimas condiciones

conducen a las llamadas palabras reducidas, es decir, aquellas donde noes posible reducir mas.

Ejemplo 2.34. a32a−12 a3a21a−71 a00 = a2

2a3a−51 .

El conjunto de todas las palabras reducidas del alfabeto A lo notamosL[A ].

Notese que L[A] tiene de manera natural una estructura de grupo: dadaslas palabras w1, w2 ∈ L[A] definimos : L[A] × L[A] → L[A] donde w1 w2

es la simple yuxtaposicion de w1 con w2.

Ejemplo 2.35. Para w1 = a32a−51 a23, w2 = a−22 , entonces w1w2 = a3

2a−31 a3a−22 .

Pareciera obvio que esta funcion esta bien definida, es asociativa, y tienea la palabra vacıa 1 como elemento identico. La inversa de una palabra wes la palabra w−1 obtenida al revertir el orden de las sılabas y cambiar elsigno del exponente en cada sılaba.

Ejemplo 2.36. Para w = a32a−41 a2 tenemos w−1 = a−12 a41a−3

2 .

Definicion 2.37. (L[A], ) es el grupo libre generado por A.

Si A = ∅ entonces L[A] = e.

Si A = a entonces L[A] es cıclico infinito.



2.7. GRUPOS LIBRES 19

Recordemos (ver seccion 2.5) que si G es un grupo y E ⊆ G, entoncesexiste el menor subgrupo de G que contiene a E y lo notamos E . Unelemento g ∈ E si y solo si g = en11 en22 · · · enkk , para elementos ei ∈ E ,ni ∈ Z. Si G = E , decimos que E es un subconjunto generador de G; siademas G =

E

para un conjunto E finito, decimos que G es generado

finitamente.

Dado un grupo G y un conjunto generador A = ai|i ∈ I de G, podemospreguntarnos si G es libre sobre el conjunto A = ai|i ∈ I , es decir, si G es“esencialmente” el grupo libre L[A].

Definicion 2.38. Si G es un grupo tal que G = A y existe un isomorfismo

φ : G ≈−→ L[A] tal que φ(ai) = ai, decimos que G es libre sobre A, y que los

elementos ai son los generadores libres de G. Un grupo es libre si eslibre sobre algun conjunto aii.

Notese que en la anterior definicion intervienen G, A y φ. Si A tiene

mas de un elemento entonces L(A) no es abeliano. De manera mas general,tenemos el siguiente hecho: Un grupo G es libre si y solo si G es isomorfo aL(A) para para algun A.

Ejemplo 2.39. Z = A es libre sobre A para A = 1. El isomorfismo φse define como:

φ : Z −→ L[A]

n −→ 1n := n · 1

donde en particular φ(1) = 11 := 1.

Por supuesto todo grupo libre es infinito a menos que A = ∅ y en estecaso L[A] = 1. En un grupo libre, ningun elemento excepto el elementoneutro tiene orden finito (i.e. la representacion de la unidad e es unica porla palabra vacıa). Ademas, “es claro” que los grupos libres son en efectolibres de torsion, pero lo contrario no es cierto: Z × Z es libre de torsionpero no es un grupo libre, pues es abeliano y no es cıclico.

Ademas, si G es libre tanto sobre A como sobre B , entonces #A = #B(#A denota el cardinal de A) y este cardinal se llama el rango del grupolibre G. (Algunos autores denominan al conjunto A una base libre ).

Proposicion 2.40 (Clasificacion). Dos grupos libres son isomorfos si y

s´ olo si tienen el mismo rango.




Teorema 2.41. Dados un conjunto A, un grupoH y una funci´ on f : A −→ H , existe un ´ unicohomomorfismo f : L[A] −→ H tal que para todoa, b ∈ A y todo n, m ∈ N se tiene que f (a) =

f (a) y f (a

m

b

n

) = f (a)

m

f (b)

n

.

A

H L[A]

g

f

f

“Un homomorfismo es determinado por las imagenes de un conjuntogenerador”.

2.7.1. Grupos libres abelianos

Los grupos libres como han sido definidos no son en general conmuta-tivos, pero al obtener la versi´ on abelianizada de este grupo libre, es decir,al formar el grupo cociente por el subgrupo conmutador L[A]/ [L[A]; L[A]],este resulta libre abeliano.

Definicion 2.42. Un grupo G es un grupo libre abeliano si

G ≈ L[A]/ [L[A]; L[A]] ,

para algun grupo libre L[A]. G se nota entonces como AbA.

Observese que para este cociente, i. e. para G, los elementos se puedenescribir como productos finitos

j∈N

anjij

, donde cada aij aparece una sola vez.

Es comun notar en este caso a los elementos de manera aditiva:

n1ai1 + n2ai2 + · · · + nkaik .

Para A = aii la coleccion de las coclases [ai] se llama una base enL[A]/ [L[A]; L[A]].

Ejemplo 2.43. Zn = Z× Z× · · · × Z (n-veces) es un grupo libre abeliano.

Ejemplo 2.44. Si A = a, b, L[A] puede ser representado como

anbm : n, m ∈ Z y ab = ba.

Por su parte AbA = Z× Z.

Si recordamos que para G

≈ H se tiene que G/[G; G]

≈ H/[H ; H ],

podemos clasificar los grupos abelianos libres de orden finito.



2.7. GRUPOS LIBRES 21

2.7.2. Representacion de grupos libres

El objeto de esta seccion es definir un grupo por medio de generadoresy relaciones entre los generadores. Por supuesto el conjunto de generadoressiempre existe, luego el merito es encontrar las relaciones.

Ejemplo 2.45. Si G = A para A = x, y y deseamos que G sea abelianoentonces la relacion entre los generadores es xyx−1y−1 = 1.

Ejemplo 2.46. Si G = A para A = a y an = 1, obtenemos que G ≈ Zn.

Sean H un grupo y K un subgrupo de H . Definimos K la clausuranormal de K como el menor subgrupo normal que contiene a K ; en otraspalabras, K es la interseccion de todos los subgrupos normales de H quecontienen a K ,

K =

M : M H y K ≤ M .

De manera particular, dado R ⊆ L[A] notemos por R la interseccion detodos los subgrupos normales de L[A] que contienen a R. R es un subgruponormal y el grupo cociente L[A]/R se conoce como el grupo generado porA sujeto a las condiciones R. En este nuevo grupo notado como [A; R]para toda palabra r ∈ R se tiene r = 1.

Definicion 2.47. Si un grupo G es tal que G ≈ [A; R] (isomorfos), decimosque [A; R] es una representacion de G.

Ejemplo 2.48. Por supuesto, la representacion de un grupo en general noes unica:

[x; ] = [x, y; x] son presentaciones para el grupo cıclico infinito.[x, y; xyx−1y−1] es una presentacion para el grupo libre abeliano condos generadores.

[a; a2] = [a, b; a2, b] son presentaciones para Z2.

[x, y; xyx−1y−1, x2, y3] = [a; a6] son presentaciones para Z6. Laprimera describe la estructura de Z6 como Z2 × Z3.

[x, y; x2, y2, (xy)n] es una presentacion para el grupo dihedrico deorden 2n.

K = [

i, j

: i4 = 1, i2 = j 2, ji = i3 j] es una presentacion del grupo,

en realidad cuerpo, de los cuaterniones de Hamilton (donde k = ij).




Sean G un grupo, [A, R] una presentacion de ungrupo y φ : L[A] → G un homomorfismo talque ker(φ) = R. Entonces φ determina unarepresentacion de G (ver el siguiente diagrama,

donde q es la proyeccion natural y ψ es definidade la manera obvia):

L[A]

[A, R] G

q

φ

ψ

Una presentacion [X, R] es generada finitamente si X es finito y esrelacionada finitamente si R es finito. [X, R] es finita si tanto X comoR son finitos.

2.8. Producto libre de grupos

Supongamos que nos es dada una coleccion

Gα

de grupos y deseamos

construir a partir de ella un grupo que contenga a cada grupo de la coleccioncomo un subgrupo. Una manera de hacer esto es tomar el grupo productoα Gα, cuyos elementos son las funciones α → gα ∈ Gα con la multiplicacion

definida por (gα)(f α) = (gαf α) —esta definicion generaliza a la definicion2.30—. O podemos restringirnos a funciones que toman un valor diferente ala unidad a lo mas en un numero finito de ındices, formando el grupo

αGα

llamado la suma directa.

Dados homomorfismos Θα : Gα → H α, la funcion

αΘα :

αGα →

αH α definida por

Θα(gα) = (Θα(gα))

es un homomorfismo, y si cada Θα es un isomorfismo, ası lo esα Θα.

Cada una de las dos construcciones anteriores produce un grupo con-teniendo a cada uno de los Gα como un subgrupo pero con la propie-dad de que elementos en diferentes subgrupos Gα conmutan; por ejemplo(g1, e , e , . . .) ∗ (e, g2, e , . . .) = (g1, g2, e , . . .) = (e, g2, e , . . .) ∗ (g1, e , e , . . .) (alfin y al cabo se multiplica en esa coordenada por la unidad). Pero fueradel contexto de los grupos abelianos esta conmutatividad es no natural, ypor tanto requerimos una version no abeliana de

αGα o

αGα. Como

la suma en el segundo grupo es mas pequena y simple que en el primero,construimos la version para αGα, y es lo que llamaremos el producto

libre (externo) ∗αGα de los Gα.



2.8. PRODUCTO LIBRE DE GRUPOS 23

Definicion 2.49. El producto libre de una coleccion Gα de grupos es elconjunto ∗αGα, el cual consta de todas las palabras g1g2 · · · gm de longitudm para cualquier m ∈ Z, donde cada letra gi pertenece a uno de los gruposGα y sujeto a las siguientes dos condiciones:

1. Dos terminos de la palabra que sean sucesivos pertenecen a gruposdiferentes, y

2. Ningun termino es el elemento identidad de algun Gα.

Ası que si hay terminos sucesivos que pertenecen al mismo grupo los multi-plicamos, y si hay terminos que son identidades los cancelamos, para obtenerlas palabras reducidas . La palabra vacıa es tambien permitida y sera la iden-tidad de ∗αGα.

La operacion ∗ de grupo es definida por yuxtaposicion (hemos decididoobviar las comas y parentesis cuando la notacion sea clara)

g1g2 · · · gm ∗ h1h2 · · · hn = g1g2 · · · gmh1h2 · · · hn

donde en este producto reducimos si es necesario, es decir, si gm, h1 perte-necen al mismo grupo Gα, ellos son remplazados por el unico elemento gmh1

en Gα, y si llegare a ser la identidad, la cancelamos. El inverso de g1g2 · · · gmsera la palabra g−1

m · · · g−11 .

Ejemplo 2.50. (Un producto libre de grupos que no es un grupolibre.) Sean G1 = 1, a, G2 = 1, b grupos cıclicos de orden 2 (cada unode ellos homeomorfo a Z2). Cada elemento g = 1 ∈ Z2 ∗Z2 puede ser escrito

solo como palabras con a y b (puesto que las potencias mayores de 1 no sonnecesarias ya que a2 = 1 = b2), con los factores a y b de manera alternante:a, ab, aba, abab, etc., o b, ba, bab, baba, etc. Notese que los elementos ab, bason ambos de orden infinito, y son diferentes.

Por supuesto que Z2 ∗Z2 = Z2 ⊕Z2, pues este ultimo (el producto debilo producto directo) es un grupo abeliano de orden 4, mientras que el grupolibre Z2 ∗Z2 es no abeliano con elementos de orden infinito. Tambien Z2 ∗Z2es diferente del grupo libre L[a, b].

Si consideramos las aplicaciones θα : Gα → ∗αGα con θα(g) = g, cadasubgrupo Gα esta inmerso de manera natural en

∗αGα como el subgrupo

formado por la palabra vacıa mas las 1–palabras g ∈ Gα.




Dada una coleccion de homomorfimos Θα : Gα → H , ella se extiende aun homomorfismo Θ : ∗αGα → H definido por

Θ(gα1gα2 · · · gαm) = Θ(gα1)Θ(gα2) · · · Θ(gαm).

Por ejemplo, las inclusiones G1

→ G1

× G2, G2

→ G1

× G2 inducen un

homomorfismo sobreyectivo G1 ∗ G2 → G1 × G2.

Tenemos una relacion importante entre presentaciones y producto libre:

Teorema 2.51. Si x1, . . . , xm; r1, . . . , rn y y1, . . . , y p; s1, . . . , sq son re-presentaciones de los grupos G y H , respectivamente, entonces G ∗H es iso-morfo al grupo con representaci´ on x1, . . . , xm, y1, . . . , y p; r1, . . . , rn, s1, . . . , sq.

2.8.1. Producto amalgamado de dos grupos

A manera de ejemplo, y por su utilidad en la demostracion del Teoremade Seifert—VanKampen de la seccion 4.62, estudiaremos en detalle el pro-

ducto amalgamado de dos grupos, el cual es un grupo cociente del productolibre de los grupos obtenido al “amalgamar” o identificar subgrupos.

Dados los grupos G0, G1, G2 y los morfismosϕ1 : G0 → G1, ϕ2 : G0 → G2, consideremos elmenor subgrupo normal N ≤ G1∗G2 que contie-ne todos los elementos de la forma ϕ1(g)ϕ2(g)−1

y ϕ2(g)ϕ1(g)−1 para g ∈ G0 (para g ∈ G0 loselementos ϕ1(g) y ϕ2(g) se han igualado).

G0

G1 G2

ϕ2

ϕ1

El grupo cociente G1 ∗ G2/N := G1 ∗G0 G2 se llama el producto de G1

y G2 amalgamado por G0.

Si q : G1 ∗ G2 → G1 ∗ G2/N es la funcion cociente, para las aplicacionesθ1 : G1 → G1 ∗ G2 y θ2 : G2 → G1 ∗ G2 tenemos que los homomorfismosq 1 = q θ1 : G1 → G1 ∗ G2 → G1 ∗ G2/N y q 2 = q θ2 satisfacen la relacionq 1 ϕ1 = q 2 ϕ2 ya que para g ∈ G0 tenemos que los elementos θ1(ϕ1(g)) yθ2(ϕ2(g)) difieren en un elemento que esta en N = ker(q ).

G1

G0 G1 ∗ G2 G1 ∗ G2/N

G2

θ1

q1

ϕ2

ϕ1

q

θ2

q2



26 CAPITULO 3. TOPOLOGIA

3.1. Construccion de espacios topologicos

Esta seccion esta dedicada a presentar las construcciones que permitenla creacion de nuevos espacios topologicos a partir de espacios dados.

Recordemos que si f : X → Y es continua entonces sus restriccionesf |A a A ⊆ X son continuas si damos las correspondientes topologıas desubespacios.

3.1.1. Suma topologica o union libre de espacios topologicos

Definicion 3.1. Si (X α,T α)α∈Λ es una coleccion de espacios topologicosdisyuntos, para el conjunto

X =

α∈ΛX α =

α∈ΛX α =

X α (el sımbolo

por lo disyuntos)

definimos una topologıa T =

T α como: U ⊆ X es abierto si y solo siU ∩ X α es abierto en X α para cada α ∈ Λ.

Esta topologıa es conocida como la topologıa de la union disyunta,o la union libre de los espacios X α, y el espacio

X α es llamado la suma

de los espacios X α.

Ejemplo 3.2. Usando la topologıa usual de Rn en cada uno de los sub-espacios.

= + = En X el subconjunto Y es abierto.

El requerir que los espacios involucrados sean disyuntos entre sı puedeser evitado, dado que cualquier coleccion de conjuntos puede ser reempla-zada por una coleccion disyunta. En efecto, si X αα∈Λ es una familia deconjuntos, para cada α ∈ Λ definimos

Xα := X α × α (X es pintado de color α).

La familia Xαα∈Λ es disyunta y los espacios respectivos X α y Xα sonhomeomorfos si Xα tiene la topologıa producto, es decir, U α

×α

es abierto

si y solo si U α es abierto en X α.



3.1. CONSTRUCCION DE ESPACIOS TOPOLOGICOS 27

La union libre (o union disyunta) de la familia X αα∈Λ es entoncesel espacio

X α :=

X α =α∈Λ

Xα = (xα, α) : xα ∈ X α, α ∈ Λ.

Notese que las inclusiones iβ : X β →X α definidas por x → (x, β ) tambiendefinen los abiertos de

X α como aquellos subconjuntos para los cuales

todas sus preimagenes por las inclusiones iα son abiertas. Esta topologıa es la final, la mas fina o mas grande (mayor numero de

abiertos), o la “mejor” para la cual todas las inclusiones iα son continuas;de hecho, las iα son inmersiones y sus imagenes son tanto abiertas comocerradas en

X α.

Topologıa coherente con una coleccion

Si X es un conjunto que es la union de una familia de conjuntos A =Aαα∈Λ donde cada Aα tiene su propia topologıa, pero no son necesaria-mente disyuntos, y tampoco queremos dar a X la anterior topologıa de launion disyunta, entonces, para dejar a X intacto como conjunto, es posibledar a X otra topologıa llamada la topologıa suma debil o coherente conla coleccion A, la cual tendra la propiedad de preservar las topologıas delos Aα, es decir que cuando Aα obtenga la topologıa de subespacio de X ,esta coincida con la que tenıa al inicio.

Pero para poder considerar la existencia y poder definir esta topologıa, requerimos cierto buen comportamiento entre los espacios Aα; precisamenterequerimos que:

1. Las topologıas de Aα y Aβ coincidan sobre Aα∩Aβ para todo α, β ∈ Λ,es decir, que la topologıa de Aα ∩ Aβ como subespacio de Aα sea lamisma que como subespacio de Aβ y,

2. O bien suceda que:

a ) Aα∩ Aβ sea abierto tanto en Aα como en Aβ para todo α, β ∈ Λ,o,

b) Aα∩Aβ sae cerrado tanto en Aα como en Aβ para todo α, β ∈ Λ.

Si 1 y 2 se satisfacen, la coleccion

T (A) = U ⊆ X : U ∩ Aα es abierto en Aα, para todo α ∈ Λ




es una topologıa llamada la top ologıa debil para X asociada con (o indu-cida por) la coleccion de espacios Aαα∈Λ, o la topologıa suma debil delos Aα, o la topologıa coherente con los Aα. Un subconjunto C de X escerrado en X si C ∩ Aα es cerrado en Aα para cada α.

La fuerza de la condicion 2 es garantizar que cada Aα como subespacio deT (A) retiene a su topologıa original; en caso de a) cada Aα es un subconjuntoabierto en X ; en el caso de b) cada Aα es un subconjunto cerrado del espacioX .

Notese que T (A) es la topologıa mas grande en X que preserva la topo-logıa de cada uno de los Aα, es decir, en cualquier otra topologıa T para lacual U ∈ T implica U ∩ Aα es abierto en Aα para cada α, se cumple queU ∈ T (A). En otras palabras, T (A) es la topologıa final para la familia defunciones inclusion Aα → X α.

Debe quedar ademas claro que la topologıa de la union libre (definicion3.1) es simplemente un caso especial de esta topologıa T (

A).

Ejemplo 3.3 (No se tienen las condiciones requeridas para la cons-truccion). En el caso siguiente, donde los Ai tienen la topologıa de sub-espacios de R2, no se verifica la condicion 1 puesto que A1∩A2 no es abiertoen A1 pero sı lo es en A2.

A1 A2

=

X

A1 ∩ A2

Ejemplo 3.4 (Construccion de complejos hechos de celdas). La to-pologıa coherente es especialmente util en la construccion de los espaciosllamados complejos celulares, los que a su vez son espacios fundamen-tales en la topologıa algebraica. La idea de la construccion basicamente escomo sigue: construyamos un espacio X anadiendo a un punto un intervalo,al intervalo un triangulo, al triangulo un tetraedro, etc. Es decir, en cada pa-so anadimos un subconjunto de Rn con la topologıa euclideana, y al espaciofinal X le damos la topologıa coherente (ver figura 3.1).

Ejemplo 3.5 (Arete con infinitos aros). Sea X = n∈N

C n donde C n ⊆ R2

es la circunferencia de centro 1n , 0 y radio 1n . X es como un arete de infinitos

aros cada vez mas pequenos y unidos por un punto. Ver figura 3.2.




Figura 3.1: Construccion de complejos celulares.

La topologıa usual de X como subespacio del espacio euclidiano ⊆ R2

no es coherente con la coleccion C nn∈N; en efecto, consideremos

F =

1

n, 0

∈ R2 : n ∈ N

.

F

∩C n =

( 1n , 0)

es un conjunto cerrado, pero F no es cerrado en X pues el

punto (0, 0) es un punto adherente a F y (0, 0) /∈ F . Por tanto, la topologıacoherente difiere de la topologıa usual de subespacio, pues F sı es cerradoen la coherente.

(1, 0)

Figura 3.2: Arete con infinitos aros.

Cuando una funcion tiene como dominio un espacio con una topologıacoherente, la continuidad es facil de revisar en terminos de los subespacios.

Proposicion 3.6. Sean X un espacio con la topologıa T (A) coherente con la colecci´ on

A =

Aα

α∈Λ y Y un espacio cualquiera. Una funci´ on f : X

−→ Y

es continua si y s´ olo si f |Aα : Aα −→ Y es continua para cada α ∈ Λ.




3.1.2. Topologıa cociente o identificacion

En un curso de algebra abstracta se encuentran los conceptos de grupocociente o anillo cociente , en los cuales la idea es dar una estructura alge-braica al conjunto de coclases de un subgrupo o un ideal. Estos conceptos

(basados en una relacion de equivalencia) dan una estructura algebraica auna particion del grupo o del anillo. En lo concerniente a la topologıa, elconcepto equivalente es el de espacio cociente al dar una topologıa a unaparticion del espacio, donde los elementos seran ahora las clases de equiva-lencia inherentes a la particion.

Un subconjunto de X que es union de elementos de la particion (clases)se llama saturado. El conjunto saturado mas pequeno que contiene a unsubconjunto dado A de X se denomina la saturacion de A y coincide conq −1(q (A)).

Si R es una relacion de equivalencia en X , ¿como dar una topologıa al

conjunto X/R (de las clases de equivalencia) a partir de una topologıa enel espacio X ?

La funcion cociente q : X −→ X/R definida por x −→ [x] debe ser porsupuesto continua y de la mejor manera, i. e., de manera que X/R tenga lamayor cantidad posible de abiertos.

Definicion 3.7. Definimos la top ologıa cociente T /R para X/R como

T /R := U ⊆ X/R : q −1(U ) es un abierto de X .

B ⊆ X/R es abierto si B = q (A) para algun A abierto y saturado.

Ejemplo 3.8 (Cinta de Mobius1). Muchos espacios son construidos atraves de otro identificando algunos puntos; por ejemplo, la construccionde la cinta de M¨ obius . A partir del rectangulo X = [0, 3] × [0, 1] con latopologıa T de subespacio de R2 hacemos la identificacion R esquematizadapor la figura 3.3 (observar la orientacion de las flechas) donde (0, y)R(3, 1−y)y los demas puntos solo se relacionan consigo mismo.

1Esta superficie fue encontrada por el matematico y astronomo, August Mobius 1790–1868.




Figura 3.3: Esquema para la construccion de una cinta de Mobius.

(0, y)

(3, 1 − y)

Figura 3.4: La imagen inversa de un abierto en la cinta de M obius

La preimagen de un disco abierto en la cinta es: obien el conjunto formado por los dos semidiscosabiertos, o un disco abierto interior al rectangu-lo como en la figura 3.4. En todo caso se tratade un abierto en X/R pues su preimagen porq corresponde a un abierto en la topologıa delrectangulo.

A continuacion generalizamos la construccion anterior hecha sobre unarelacion de equivalencia.

Definicion 3.9. Sean (X, T ) un espacio topologico y R = Ai una par-tici´ on o descomposici´ on de X . Formamos un nuevo espacio Y llamado elespacio identificacion o cociente como sigue. Los puntos de Y son losmiembros de R y si q : X −→ Y es la funcion cociente q (x) → Ai si x ∈ Ai,la topologıa para Y es la mas grande para la cual q es continua; es decir,U ⊆ Y es abierto si y solo si q −1(U ) es abierto en X . Esta topologıa se llamala topologıa identificacion o cociente para la particion R y la notamosT /R

T /R := U ⊆ Y : q −1(U ) es un abierto de X .

Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identificados

a un solo punto por medio de R. Como cada particion R genera una relacion




de equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Y tambien esnotado como Y = X/R. De suerte que,

U es abierto en X/R si y solo si q −1(U ) =

[x]∈U [x] ∈ T .

La continuidad para estos espacios identificacion esta determinada porla continuidad desde el espacio inicial, como lo afirma el siguiente teoremade gran utilidad en topologıa.

Teorema 3.10. Sean X/R un espacio identificaci´ on y W un espacio topol´ ogico. Una funci´ on f : X/R −→ W es continua si y s´ olo si f q es continua para q : X −→X/R.

X X/R

W

q

f q

f

Descomposicion canonica por una funcion

Vimos en la seccion 1.3.1 que dada una funcion sobreyectiva f : X −→ Y entre conjuntos, la coleccion Rf := f −1(y)y∈Y determina una particionen X .

En este caso la funcion cociente q : X −→ X/Rf satisface q (x) = [x] = f −1(f (x)); luego la fun-cion hf : X/Rf −→ Y dada por hf ([x]) := f (x)o hf (f −1(y)) = y esta bien definida y es unabiyeccion.

X X/Rf

Y

q

f

hf

Si X , Y son ademas espacios topologicos y f es continua entonces te-

nemos que hf : X/Rf −→ Y es continua.

Podemos ahora preguntarnos que tanto se identifica, i. e., ¿cuando hf esun homeomorfismo? o ¿cuando h−1f (y) = f −1(y) es continua?

Teorema 3.11. Sean (X,T ), (Y, H) espacios topol´ ogicos y f : X −→ Y una funci´ on continua y sobreyectiva. Si f es abierta o cerrada entonces hf : X/Rf −→ Y es un homeomorfismo.

Funcion identificacion o funcion cociente

Las funciones cociente q : X

−→ X/

R se generalizan de la manera si-

guiente.




Definicion 3.12. Sean (X, T ), (Y, H) espacios topologicos y f : X −→ Y una funcion sobreyectiva. Si Y tiene la mejor topologıa para la cual f escontinua, es decir

H = T Y f = V ⊆ Y | f −1(V ) ∈ T ,

decimos que f es una funcion identificacion, que T Y f es la topologıaidentificacion o cociente y que Y es un espacio identificacion —larazon para este nombre es porque Y puede ser mirado como un espaciocociente—.

Claramente toda funcion cociente es una identificacion y el siguientehecho generaliza la caracterizacion de continuidad que ya tenıamos en elteorema 3.10.

Teorema 3.13. Si f : X −→ Y es una funci´ on identificaci´ on, entonces g : Y

−→ W es continua si y s´ olo si g

f lo es.

Esta topologıa T Y f es mucho mas que requerir la continuidad, pues la precisade la “mejor” manera, por eso algunas veces es conocida como la topologıade continuidad fuerte. El siguiente teorema es la razon por la cual losespacios identificacion son tambien llamados cociente.

Teorema 3.14. Si f : X −→ Y es una funci´ on identificaci´ on entonces Y ≈ X/Rf —homeomorfos—.

¿Como podemos entonces reconocer las identificaciones? esto es, ¿bajoque condiciones una topologıa dada proviene de una identificacion? Parte de

la respuesta es el siguiente teorema que muestra ademas que todo homeo-morfismo es una funcion identificacion.

Teorema 3.15. Sea f : (X,G) −→ (Y, H) una funci´ on continua y sobre. Si adem´ as f es abierta o cerrada, entonces f es una identificaci´ on. La topologıa identificaci´ on T Y f sobre Y determinada por f coincide con la topologıa H.

Finalmente hemos llegado a un resultado fundamental que sera de repe-tida aplicacion en este texto.

Corolario 3.16. Sea f : X −→ Y una funci´ on continua y sobre. Si X es compacto y Y es de Hausdorff, entonces f es una funci´ on cerrada y, por

tanto, una identificaci´ on.




Ejemplo 3.17 (El toro). Sea X = [0, 1] × [0, 1] con la topologıa de sub-espacio usual de R2. Se hace una particion de X en cuatro clases mediantela siguiente relacion R (ver figura 3.5).

1.

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)

: las esquinas se identifican .

2. (x, 0), (x, 1) para cada x ∈ (0, 1): “pegamos” el borde inferior con el borde superior .

3. (0, y), (1, y) para cada y ∈ (0, 1): “pegamos” los lados .

4. (x, y) para x ∈ (0, 1) y y ∈ (0, 1): el interior no cambia .

Figura 3.5: Una particion sobre I × I que conduce al toro.

El espacio T asociado a esta particion es el Toro, descrito tambien comoT = S 1 × S 1, el producto de dos circunferencias. ¿Coinciden estas dos des-cripciones? Sı. En efecto, definamos

f : [0, 1] × [0, 1] −→ S 1 × S 1

(x, y) −→ f (x, y) =

e2πix, e2πiy

donde e2πix := (cos 2πx, sen2πx) y e2πiy := (cos 2πy, sen2πy). La relacionRf en [0, 1]×[0, 1] definida por la funcion f , es decir, Rf = f −1(a) : a ∈ T ,es exactamente la particion inicial R; luego, por el teorema 3.14,

[0, 1] × [0, 1]/Rf ≈ S 1 × S 1

puesto que [0, 1]

× [0, 1] es compacto, S 1

× S 1 es Hausdorff y f es una

identificacion.




Figura 3.6: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro.

La figura 3.6 nos da la motivacion para definir el concepto de manija:Un Toro al que le es removido el interior de un disco. Por otra parte, laesfera S 2 a la cual se le ha removido el interior de n-discos se llama unaesfera con n-huecos. Una esfera con 2 huecos es un cilindro. Una esfera conuna manija es un Toro.

Identificando un subconjunto a un punto

Si en un espacio (X,T ) un subconjunto M ⊆

X se identifica a un unicopunto, entonces la relacion de equivalencia inducida es

R/M := ∆X ∪ (M × M ) = (x, x) : x ∈ X ∪ (a, b) : a, b ∈ M y al espacio topologico lo notamos (X/M,T /M ).

Notese que x ∼M

y :⇔ x = y o x, y ∈ M . En este espacio cociente, todo

el espacio M es identificado o colapsado a una sola clase [x] para x ∈ M ,i. e., a un punto.

Ejemplo 3.18. El ejemplo mas sencillo es to-mar X = [0, 1] y M =

0, 1

; ası las cosas,

[0, 1]/0, 1 se puede visualizar como en la figuray obtenemos a S 1. De manera mas general, paraX = [0, 1] y A = ∂ (X ) tenemos que X/A ≈ S n.(A es el borde de la respectiva caja).

0

1

Ejemplo 3.19. Para este ejemplo, consideremos el espacio X obtenido alagregarle a la esfera S 2 un arco externo A desde un polo hasta el otro (verfigura 3.7). Sea B el arco en la esfera que uno los polos. La siguiente figuramuestra una descripcion de lo que son X/A y X/B (ver figura 3.7).

Notese que si el ecuador C de la esfera S 2 es colapsado en un puntoobtenemos dos esferas unidas por un unico punto (este ejemplo sera util en

la definicion de Πn(X, x0)).




B

X/A

X/B

X/C

A

Figura 3.7: Tres identificaciones en una esfera.

Ejemplo 3.20. El espacio X = R/Z resulta ser un “bouquet” de infinitascircunferencias.

Ejemplo 3.21. Es posible que la construccion no aporte nada nuevo; porejemplo, [0, 1]/[13 , 13 ] ≈ [0, 1]. Pero muy por el contrario [0, 1]/1

3 , 13 ≈ P (laletra P).

Identificando varios subconjuntos a un punto

Tambien podemos colapsar varios subespacios a puntos. Si X es un su-bespacio topologico y A1, . . . , An ⊆ X son disyuntos no vacıos, entoncesX/A1, . . . , An es el espacio obtenido de la relacion de equivalencia definidapor

x ∼ y :⇔ x = y, o existe i tal que x, y ∈ Ai.

Ejemplo 3.22. X es el toro al cual le hemos anadido cuatro discos A1, A2,A3, A4, cerrados meriodionales; al colapsar cada uno de los Ai en un puntoobtenemos el espacio X/A1, . . . , A4, consta de cuatro esferas tangentes (verfigura 3.8).

Ejemplo 3.23 (Dn/S n−1 ≈ S n ). Veamos de manera explıcita que para




X/A1, . . . , A4

Figura 3.8: En el toro se identifican cuatro discos.

cada n ∈ N, se tiene el homeomorfismo Dn/S n−1 ≈ S n (el cascaron del discocerrado Dn es identificado a un solo punto; ver ejemplo 3.24).

En el caso n = 1, se identifican los puntos extremos del intervalo cerrado[0, 1], obteniendo S 1. En el caso n = 2 del disco cerrado se identifica el borde

S 1 (se lleva un solo punto para cerrar la bolsa ) para formar la esfera S 2.

S 1D2/S 1 ≈ S 2

Figura 3.9: En el disco D2 se identifica el borde S 1.

De manera general, sabemos que Rn ≈ Dn − S n−1, viala implosion

j : Rn −→ Dn − S n−1 dada por x −→ 1

1 − xx.

donde x = (x1, . . . , xn).

Por otra parte, Rn ≈ S n− p, mediante la proyeccion estereograficadesde el polo norte p

h : S n − p −→ Rn dada por x −→ 1

1 − xn+1(x1, . . . , xn)

donde x = (x1, . . . , xn+1) (la grafica muestra el caso n = 2).




S 2 − p p

R2

Sean j−1, h−1 los inversos de tales homeomorfimos, con h−1 : Dn −S n−1 −→ Rn y h−1 : Rn −→ S n − p.

Definamos f : Dn −→ S n como

f (x) =

h−1 j−1(x) para x ∈ Dn − S n−1,

p para x

∈ S n−1.

f es una biyeccion continua y ademas es una identificacion (pues va de uncompacto a un Hausdorff); por tanto, Dn/Rf ≈ S n.

Construcciones por funciones: funciones que pegan espacios

Sean X , Y espacios topologicos y A ⊆ X . Dada f : A −→ Y intentaremospegarle a Y el espacio X utilizando a f para identificar puntos en X conpuntos de Y , para ası formar un nuevo espacio notado como Y

f,A X (el

espacio Y con el espacio X pegado a lo largo de A viaf ).

X Y

f

A f (A)

Figura 3.10: Se identifican los puntos en A con los puntos en f (A).




La manera de pegar es identificar los puntos en A con los puntos enf (A). Comenzamos tomando la union disjunta (o la union libre) X Y ,donde W ⊆ X Y es abierto si y solo si W ∩ X y W ∩ Y son abiertos en X y Y respectivamente. La relacion de equivalencia R es definida por

x ∼ y :⇔ x ∈ f −1(y), i. e. f (x) = y.

En particular, x ∼ f (x) para todo x ∈ A. Al espacio X f,A Y le damos latopologıa cociente o identificacion de (X Y )/R (ver figura 3.10).

Ejemplo 3.24. Si X = S 1, Y = [0, 1], A =(1, 0) y f : (1, 0) −→ [0, 1] con (1, 0) −→ 1,obtenemos como espacio a la siguiente figura.

S 1 f,A [0, 1]

Ejemplo 3.25. Si X = D2, Y = x0, A = S 1 y f : S 1 −→ x0, obtenemosla figura 3.11. Si X = Dn, Y = x0, A = S n−1 y f : S n−1 −→ x0 obtene-

mos a Dn

f,x0 S n−1

= S n

. Es como colapsar S n−1

a un unico punto x0,Dn/S n−1 ≈ S n.

D2x0

D2 f x0 = S 2

Figura 3.11: Un globo al identificar el borde en un disco

Ejemplo 3.26. Cuando X = Dn y A = S n−1, decimos que pegamos unan-bola o una n-celda a Y vıa f : S n−1 −→ Y .

En particular, cuando n = 1 se obtiene una “manija” y cuando n = 2obtenemos una “bolsa”(ver figura 3.12).

D1f

Y




Ejemplo 3.27. Si X = Dn y A = S n−1, decimos que pegamos una n-bolao una n-celda a Y vıa f : S n−1 −→ Y .

En particular cuando n = 1 se obtiene una “manija” y cuando n = 2obtenemos una “bolsa”. Ver figura 3.12

D2

Y

f (S 1)

Y

Figura 3.12: Adjuntando una manija y una bolsa.

El espacio Y siempre esta contenido en Y f X de una manera canonica,pues nunca se han identificado dos puntos diferentes de Y , esto es

q i2 : Y i2−→ X + Y −→ Y f X

es inyectiva. Ademas, Y es un subespacio de Y f X de manera natural, puesla topologıa de Y como subespacio de Y f X coincide con la original de Y .Lo anterior no es necesariamente cierto para X , que es la parte “pegada”.Por ejemplo, si Y = p, para f : A → p tenemos que p f X esexactamente X/A (nuestro espacio cociente que identifica un subconjunto Acon un punto).

Ejemplo 3.28. Sean X = Dn, A = S n−1, Y = Dn y consideremos lafuncion identidad id: S n−1 −→ S n−1. El espacio cociente resulta ser la esferan − 1–dimensional, i. e., Dn id Dn ≈ S n.

En el caso n=2 pegamos los bordes S 1 de cada uno de los cascarones D2

como en la figura 3.13.

Figura 3.13: Pegando dos cascarones.




Ejemplo 3.31. CS n ≈ Dn+1. El cono sobre la n-esfera unitaria es homeo-morfo a la bola unitaria cerrada n + 1–dimensional.

Demostraci´ on : La funcion f : S n × [0, 1] −→Dn+1 con f (x, t) = (1− t)x es sobreyectiva, con-tinua y cerrada, y por tanto una identificacion,

con lo cual hf ([x]) = f (x) es un homeomorfismo.Notese que (S n × [0, 1])/Rf ≈ Dn+1 donde Rf es exactamente identificar S n × 1 a un pun-to.

S n × [0, 1] Dn+1

C (S n)

f

q

hf

La construcci´ on cono tiene la siguiente propie-dad categ´ orica : dados los espacios topologicos X ,Y y f : X −→ Y continua, existe una unica apli-cacion C (f ) : C (X ) −→ C (Y ) tal que el siguien-te diagrama conmuta, i. e. tenemos un funtorcovariante de T op en T op (ver seccion 4.3.2).

X C (X )

Y C (Y )

C

f

C (f )

C

Ejemplo 3.32 (Doble cono). Dado un espaciotopologico X , el espacio cociente

S (X ) := (X × [0, 1])/(X × 0, X × 1)

se llama la suspension o doble cono de X .Notese que S (X ) = C (X )/(X ×0). Por ejem-plo, la suspension de las esferas incrementa sudimension en una unidad

S (S n) = S n+1.

Esquema de la demostraci´ on : La funcion f : S n × [0, 1] −→ S n+1 dadapor f (x, t) = (

1 − (2t − 1)2x, 2t − 1) es una identificacion y por lo tanto

S n/Rf ≈ S n+1.

Ejemplo 3.33 (Cilindro de una aplicacion). La nocion de funcion cilin-dro —debida a J. H. Whitehead— es importante en la teorıa de homotopıa.Sea f : X −→ Y una funcion continua. Se trata de pegar al espacio Y elcilindro X × [0, 1]. Esta “pega” la hacemos por la base X ×0 del cilindroutilizando la funcion f : X × 0 −→ Y dada por f (x, 0) = f (x).

Ası, obtenemos el espacio cociente

M f := Y ∪f (X × [0, 1])




el cual puede ser visto como un “cilindro” con X ≈ X × 1 en la tapasuperior y con la tapa inferior sobre el espacio Y ; cada uno de los segmentosque unen x con f (x) son los encargados de generar al “cilindro”.

X × I

M f f (X )

Y

Si q : (X × I ) + Y → M f es la funcion cociente, entonces p : M f → Y dada por p(x, t) → f (x) y p(y) → y es continua y colapsa al cilindro sobreY . Esto nos mostrara que M f y Y tienen el mismo tipo de homotopıa (ver

pagina 117).

Cercana a la construccion de la funcion cilindro M f esta la funcioncono C f = C (X ) ∪f Y donde identificamos los puntos (x, 0) ∼ f (x), parauna f : X −→ Y .

Ejemplo 3.34 (Producto cuna ∨). Un espacio topologico punteado espor definicion un espacio topologico con un punto de el elegido. Sean (X, x0),(Y, y0) espacios punteados, con x0 ∈ X , y0 ∈ Y . Definimos el producto cunade los espacios X y Y como

X

∨Y := (X + Y )/

x0, y0

.

Si X = Y = [0, 1], con 0 como el punto base, entonces X ∨Y es homeomorfocon el intervalo cerrado [−1, 1] cuyo punto base esta en el medio, en 0. Si

dibujamos este producto cuna obtenemos ∨ el cual explica el por que delsımbolo.

Aparentemente esta construccion es trivial, pero a cambio es muy util.S 1 ∨ S 1 es homeomorfo a la figura formada por el numero “8”(dos circun-ferencias tangentes en un punto). De manera mas general, es posible definirel producto cuna ∨αX α para una coleccion arbitraria de espacios punteados(X α, xα).

Notese que X

∨Y es homeomorfo al subespacio (X

× yo

)

∪(

x0

×Y )

del producto X × Y .




x0

y0

Ejemplo 3.35 (Producto ∧). El producto ∧ entre dos espacios es definidocomo el espacio cociente X ∧Y = X ×Y /X ∨Y . Es como una version reducidadel producto X ×Y al identificar los factores X y Y . Por ejemplo, S m∧S n =S m+n, con lo que S 1∧S 1 = S 2 equivale a colapsar las circunferencias longitudy meridiano de un toro.

Espacios proyectivos RP n

Por su importancia como ejemplo, a continuacion presentamos tres ma-neras equivalentes de construir el espacio real proyectivo n–dimensionalRP n. (Existen construcciones similares FP n donde F puede ser C o H).

1. En Rn+1 − 0 identificamos dos puntos si ellos estan sobre la mismarecta que pasa por el origen, es decir, para un punto x = x0, . . . , xn ∈Rn+1 − 0 tenemos

[x] = (tx0, tx1, . . . , t xn) : t ∈ R, xi ∈ R.

Definimos RP n := (Rn+1 −0)/R donde xRy :⇔ x = ty para algunt

∈R.

Esta manera de construir a RP n se puede generalizar a espacios vec-toriales E, definiendo EP n como el conjunto de todas sus rectas quepasan a traves del vector 0. Si E es un espacio vectorial topologicoentonces a EP n le damos la topologıa cociente.

2. Consideremos la esfera S n ⊆ Rn+1 y la particionamos en clases dis-yuntas, donde cada clase consta exactamente de dos puntos: los puntos antıpodas (puntos opuestos por el vertice),

RP n = S n/R, donde xRy :⇔ y = −x.

Ası que RP n =

x,

−x

: x

∈ S n

y q : S n

→ RP n es la funcion

creciente con q (x) = −x, x. La topologıa que damos a RP n es la




topologıa cociente: V ⊆ RP n es abierto si q −1(V ) es abierto en S n.Por tanto, RP n es de Hausdorff y compacto. En este caso q resulta serno solo continua sino abierta, puesto que, dado un abierto U ⊆ S n elconjunto q (U ) es abierto: en efecto q −1(q (U )) = U ∪ (−U ) (donde −U es el antıpoda de U ) es un abierto en S n.

De lo anterior, es facil concluir que cada punto p ∈ RP n posee unavecindad abierta V p cuya imagen inversa q −1(V ) es reunion de dosabiertos disyuntos, cada uno de los cuales se aplica por q de manerahomeomorfa sobre V p.

3. El espacio RP n es homeomorfo al cociente del disco Dn por la particionen conjuntos unitarios x para puntos x en el interior del disco, ypares de puntos antıpodas x,−x en la esfera frontera S n−1.

S 2

RP 2

Figura 3.15: RP 2 representado como un cociente de un disco: los puntos antipodalesdel borde se identifican.

RP 0 es un punto.

RP 1 ≈ S 1.

RP 2

≈ Plano proyectivo. [Re-vision] La construccion en el numeral 2 para el disco D2. Este espacio no puede ser inmerso en R3 y portanto no podemos dibujarlo, pero sı esquematizarlo como el resultadode “pegar” por el borde una cinta de Mobius al borde de un discocerrado.

Notese que al considerar las lıneas rectas que pasan por el origen en R3

no obtenemos puntos de R3 sino subconjuntos de R3 y por tanto no podemosusar la topologıa de subespacio para hacerlo un espacio topologico. Por estarazon hemos usado la topologıa cociente.

Puede mostrarse ademas que el espacio RP n es homeomorfo de manera

canonica al espacio metrico cuyos puntos son las lıneas de Rn+1 que pasan




por el origen 0 = (0,..., 0), y la distancia es definida como el angulo maspequeno entre ellas (la cual toma valores en [0, π2 ]).

O tambien puede verse que la topologıa cociente de RP n proviene de lasiguiente metrica en RP n. Dados p = x, −x, q = y, −y en RP n definimos

d( p, q ) = mın|x − y|, |x + y|. Tomamos el lado menor del rectangulo convertices x, −x,y, −y.

Para ver que la metrica d induce a la topologıacociente, notemos que de acuerdo al teorema3.10 el diagrama implica que q es continua si q lo es. Pero q es una contraccion d(q (x), q (y)) ≤|x − y| y por tanto es continua. Ahora, q no esmas que la identidad y como RP n es compactoy (RP n, d) es de Hausdorff, q es un homeomor-fismo.

S n RP n

(RP n, d)

q

q

q

3.2. Grupos topologicos

Algunos objetos geometricos se utilizan tanto como ejemplos de espaciostopologicos como de grupos. La lista incluye entre otros a R, R − 0, C,C − 0, S 1, S 1 × S 1, etc.; o aun mas, cualquier grupo G si le damos latopologıa discreta.

Pero la relacion entre la estructura algebraica y la estructura topologicava mucho mas alla, por ejemplo las funciones suma + : R× R −→ R donde(r, s) −→ r + s e inverso aditivo − : R −→ R donde r −→ −r, son funcionescontinuas si los espacios tienen la topologıa euclidiana usual. Esto signi-

fica que estos dos tipos de estructuras son “compatibles”: las operaciones algebraicas son continuas .

Definicion 3.36. Un grupo G (con notacion multiplicativa) que es tambienun espacio topologico se llama grupo topologico si las operaciones

G × G −→ G con (a, b) −→ ab

y

G → G con a −→ a−1

son continuas. Algunas veces notamos (G,m,T ) para hacer enfasis en la

operacion m y la topologıa T .



3.2. GRUPOS TOPOLOGICOS 47

Ejemplo 3.37. Rn con la operacion a+ b = (ai + bi)i y la topologıa eucli-diana es un grupo topologico.

Veamos que las funciones adicion e inversion son continuas. Para mos-trar que + : Rn × Rn −→ Rn es continua, tomemos una bola abierta

Bε((a1 + b1, . . . , an + bn)) en el codominio con centro un punto imagen;observemos que

Bε/2n((a1, . . . , an)) + Bε/2n((b1, . . . , bn)) ⊆ Bε((a1 + b1, . . . , an + bn))

ya que si

|(x1, . . . , xn) − (a1, . . . , an)| < ε/2n y |(w1, . . . , wn) − (b1, . . . , bn)| < ε/2n

entonces |xi − ai| < ε/2n, |wi − bi| < ε/2n para i = 1, . . . , n, y por tanto,

|(x1 + w1, . . . , xn + wn) − (a1 + b1, . . . , an + bn) =

|xi + wi − ai − bi|212

≤ (|xi − ai| + |wi − bi|)212

<(|ε/2n + ε/2n)2

12

= ε.

Por otra parte, la funcion inversa i(a) := −a es continua ya que

i(Bε((a1, . . . , an))) = Bε((−a1, . . . , −an)).

Como un corolario a este ejemplo tenemos que la suma y diferencia de fun-ciones continuas f, g : Rn → Rn son tambien operaciones continuas, puesf + g es la compuesta de dos funciones continuas

Rn (f,g)−−−−→ Rn ×Rn +−→ Rn.

Ejemplo 3.38. (R− 0, ·) los reales no nulos con la multiplicacion son ungrupo topologico si R − 0 tiene la topologıa de subespacio de R con lametrica euclidiana.

En efecto, mostremos que la operacion en el grupo es continua:

: (R− 0) × (R− 0) −→ R− 0 donde (x, y) −→ xy.

Dado un abierto N con xy ∈ N ⊆ (R−0), veamos que existen abiertosS, T

⊆ (R

−0

) con (x, y)

∈ S

×T tales que ST =

st : (s, t)

∈ S

×T

⊆ N .

Existe ε > 0 tal que el intervalo (xy − ε,xy + ε) ⊆ N ∪0; si definimos α =




mınε, |xy| tenemos que (xy−α,xy+α) ⊆ N . Para δ = mın α3|x| ,

α3|y| ,

α3

los intervalos S = (x − δ, x + δ ) y T = (y − δ, y + δ ) satisfacen ST ⊆ N . Enefecto, sean z ∈ S y w ∈ T con z = x + a y w = y + b con (|a| < δ, |b| < δ ),luego

|zw − xy| = |ay + bx + ab| ≤ |ay| + |bx| + |ab| < α3

+ α3

+ α3 ≤ ε

entonces zw ∈ N .

Ademas, la funcion x → x−1 es continua pues revierte intervalos abiertosen intervalos abiertos.

Ejemplo 3.39 (Los complejos2). (C−0, ·) donde (x, y) · (a, b) = (xa −yb,ya + xb), con elemento identidad (1, 0) es un grupo topologico. (Lastopologıas son las inducidas de R2). La multiplicacion

R4 − 0 = (C − 0) × (C− 0) −→ C− 0 = R− 0 × R− 0

es continua, pues las funciones proyeccion

p1(x,y,a,b) = xz − yw, p2(x,y,a,b) = ya + xb

son continuas en virtud del ejemplo anterior.

La funcion inversa C − 0 −→ C− 0 dada por

(x, y) −→ (x, y)−1 =

x

x2 + y2, − y

x2 + y2

=

z

z2 donde z = x + iy

es claramente continua.

Cuando de manipular numeros complejos se trata, lo mejor es emigrar delas coordenadas cartesianas de un punto P = z = (x, y) a las coordena-das polares (r, θ), donde r es la distancia al origen (o modulo o valorabsoluto |z| del complejo z) y θ = arg z = arctan y/x es el angulo (llamadoargumento) que forman la lınea que une a P con el origen O y el eje x.De suerte que ahora se tiene z = |z|(cos θ + i sen θ).

Ahora resulta que el producto zw de dos numeros complejos z y w esmas facil: es el numero complejo cuyo modulo es el producto de los modulosy cuyo argumento es la suma de los argumentos.

2El mundo de los complejos conduce a conexiones elegantes y profundas entre la geo-metrıa, el algebra y el analisis.




Ejemplo 3.40. S 1 ⊆ C − 0 es un grupo topologico; en este caso lasoperaciones pueden ser descritas como

S 1 × S 1 −→ S 1 con

eiθ , eiφ

−→ ei(θ+φ)

yS 1 −→ S 1 con eiθ −→ e−iθ

y claramente son continuas.

La relacion entre numeros complejos y exponenciacion es expresada enuna formula maravillosa de Euler3:

eiθ = cos θ + i sen θ.

El punto es que ella hace consistente la clasica ley de exponentes axay =ax+y con la formula para multiplicar complejos arg(zw) = arg z + arg w desuerte que eiθ

×eiφ = ei(θ+φ).

El ejemplo 3.40 se puede generalizar con el siguiente resultado.

Sea H ≤ G un subgrupo (en el sentido algebraico) del grupo G. Si G esademas un grupo topologico, entonces H es un subgrupo topologico de G siH lleva la topologıa de subespacio de G.

La demostracion de este hecho es inmediata si recordamos que la restric-cion de una funcion continua a un subconjunto de su dominio es de nuevocontinua.

Ejemplo 3.41 (Grupo lineal general GLn o GL(n,R)). Denotemospor M n(R) el conjunto de las matrices de tamano n × n con entradas en R.

Una matriz A es invertible si existe una matriz B tal que AB = I = B A,o de manera equivalente Det(A) = 0 (determinante distinto de cero).

En M n(R) se distingue el subconjunto GL(n,R) o GLn(R) de las matri-ces invertibles y es un grupo con la operacion multiplicacion.

Para la topologıa, cada matriz A = (aij) se identifica con el punto

(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, . . . , ann) ∈ Rn2

y le damos a GL(n,R) la topologıa de subespacio.

Podrıa pensarse en dar otras topologıas al conjunto M n(R):

3Leonardo Euler (1707–1783) fue un maestro del calculo —en la acepcion de calcular—utilizando los numeros complejos, los cuales llevo a nuevas alturas.




Para el caso 1–dimensional SO1, tenemos que SL1 = SO1 = 1, elgrupo trivial.

Caso 2–dimensional SO2. Dado un angulo θ, definimos las matrices

Rθ = cos θ − sen θsen θ cos θ S θ = cos θ sen θsen θ −cos θ .

Estas matrices son ortogonales y det(Rθ) = 1, det(S θ) = −1. Por tantoRθ ∈ SO2 y S θ ∈ O2 − SO2. Pero mucho mas, cualquier matriz A ∈SO2 es de la forma Rθ para algun θ y cualquier matriz A ∈ O2 − SO2

es de la forma S θ para algun θ.

Rθ representa una rotacion de medida θ en sentido contrario a lasmanecillas del reloj.

S θ representa una reflexion por la lınea que pasa por el origen en anguloθ/2 con respecto al eje x.

Caso 3–dimensional SO3 ≈ RP 3.

Sea X ⊆ Rn. Para cada A ∈ On la imagen de X por A es AX = Ax|x ∈ X .Definimos el grupo simetrico de X como Sim(X ) = A ∈ On|AX = X y el grupo simetrico directo como

Dir(X ) = A ∈ SOn|AX = X = Sim(X ) ∩ SOn.

X 2 X 3 X 4 X 5 X 6

Figura 3.16: Simetrıa de los polıgonos regulares.

En el caso del plano n = 2 y el n–polıgono regular X n se satisface que:

1. Dir(X n) ≈ C n (el grupo cıclico), y

2. Sim(X n) ≈ Dn (el grupo dihedrico).

Una isometrıa de Rn es una funcion f : Rn

→Rn de la forma f (x) = Ax+a

para alguna matriz ortogonal A ∈ On y algun vector a ∈ Rn. Denotamos




por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indica su nombre, unaisometrıa f preserva distancias, esto es, d(f (x), f (y)) = d(x, y) para todox, y ∈ Rn. De manera recıproca, para cualquier funcion f : Rn → Rn quepreserva distancias existen A ∈ On y a ∈ Rn tal que f (x) = Ax + a paratodo x

∈Rn.

El conjunto Isomn es un grupo con la composicion de funciones. Si nohacemos distincion entre una matriz A ∈ On y la isometrıa correspondientef (x) = Ax, entonces On ≤ Isomn (On puede ser mirado como un subgrupode Isomn) y definimos Ω : Isomn → On como Ω(f ) = A.

Finalmente (hay que concluir este hermoso ejemplo) cada a ∈ Rn defineuna isometrıa T a dada por T a(x) = x + a y llamada una traslacion. Lastraslaciones forman un subgrupo T rasn abeliano y T rasn ≤ Isomn (exac-tamente Trasn = kernel(Ω)); tenemos,

Isomn/Trasn ≈ On.

Espacios homogeneos

Recordemos que G/H := gH : g ∈ G = Lg(H ) : g ∈ G dondeLg : G −→ G es la traslacion a izquierda dada por Lg(x) = gx. Lg esbiyeccion y es continua pues es compuesta de aplicaciones continuas

Lg : G −→ G × G −→ G donde x −→ (g, x) −→ gx.

Su inversa es la funcion L−1g que tambien es continua. Luego Lg es un

homeomorfismo. (Similarmente, las funciones Rg, traslaciones a derecha sonhomeomorfismos).

Por tanto, el producto AU de un subconjunto A ⊆ G por un conjuntoabierto U ⊆ G es abierto pues AU = au|a ∈ A, u ∈ U =

La(U )|a ∈ A.(En particular, la multiplicacion de grupo es una funcion abierta).

Ejemplo 3.45. Si G = (R, +) entonces L5(x) = 5 + x es la funcion quetraslada todo en cinco unidades.

Luego un grupo topologico tiene cierta “homogeneidad” como espaciotopologico, pues si g, h ∈ G existe un homeomorfismo de G que enviag en h,Lhg−1(g) = h; esto es, G exhibe la misma estructura topologica de manera

local para cada punto.




Corolario 3.49. q : G → G/H es abierta. En efecto, si U ⊆ G es un abierto, entonces q −1(q (U )) = HU (la saturaci´ on de U ) es abierto en G y por tanto q (U ) es abierto por definici´ on de la topologıa cociente.

A

⊆ G se llama simetrico si A = A−1 =

x−1 : x

∈ A

.

Proposicion 3.50. Si U e es una vecindad de e en el grupo topol´ ogico (G, m)entonces existe una vecindad abierta y simetrica V e tal que V V = V V −1 ⊆ U y V ⊆ U .

Definicion 3.51. Homomorfismos entre grupos topologicos

Los homomorfismos entre grupos topologicos son funciones quepreservan ambas estructuras: la topologica y la algebraica, ası: f : G −→H es un homomorfismo (de grupos topologicos) si es tanto continua comohomomorfismo de grupos.

Ejemplo 3.52. La aplicacion (C − 0, ·) −→ (R − 0, ·) con z −→ |z| esun homomorfismo de grupos topologicos.

En los grupos topologicos un homomorfismo de grupo (solo a nivel alge-braico) que sea continuo en el punto e, lo es en todo otro punto g ∈ G, y deesta manera es un morfismo entre grupos topologicos (solo hay que verificarla continuidad en el origen, lo cual es un gran ahorro de energıa).

Si f : G → H es un homomorfismo de grupos topologicos, tambienpodemos traer a contexto un teorema de cocientes para grupos to-pologicos. Como f es un morfismo algebraico, ya sabemos que existe una

unica factorizacionG H

G/Ker(f ) f (G)

f

q

hf

i

y si miramos a f como una funcion en topologıa, los espacios G/Ker(f )y f (G) son grupos topologicos y f , q , i son homomorfismos de grupos to-pologicos. No podemos garantizar que hf sea un homeomorfismo a menosque f sea abierta.

Para verificar la continuidad de un homomorfismo entre las estructuras

algebraicas f : G → H es suficiente con mostrar continuidad en el punto




e de su dominio. Una bonita interacci´ on entre las estructuras algebraica y topol´ ogica .

3.2.1. G-espacios y espacios orbita

El grupo cıclico infinito con un unico generador, es decir, Z puede servisto como un grupo de homeomorfismos de R en R. En efecto, dadon ∈ Z, asociamos la traslacion de R en R definida como Z ×R −→ R,(n, x) −→ n + x, y si Z tiene la topologıa discreta, esta funcion escontinua.

El grupo O(n) de matrices ortogonales se representa como transfor-maciones lineales de Rn en Rn. Si nos restringimos a S n−1 ellas sonhomeomorfismos (pues tienen inversa, preservan la distancia, preservanlos vectores unitarios). La operacion de matrices induce una funcionO(n) × S n−1 −→ S n−1 con (A, x) −→ Ax, la cual es continua (compa-

tible con las topologıas de O(n) y S n−1

, es decir la topologıa en O(n)es admisible). Se dice entonces que O(n) “actua” sobre la esfera S n−1

como un grupo de homeomorfismos.

Si G = Homeo(X, X ) es el grupo de los homeomorfismos de un espaciotopologico X con la operacion de composicion, para cada g ∈ G laaccion (g, x) → g(x) define una funcion G × X → X .

Definicion 3.53. Un grupo topologico G actua como un grupo dehomeomorfismos sobre un espacio topologico X y decimos que X es unG–espacio si existe una funcion µ : G × X −→ X continua, (g, x) −→ g(x)tal que

1. Para cada elemento del grupo g ∈ G la restriccion µ|g×X = Lginduce un homeomorfismo en X notado como Lg((g, x)) = g(x).

2. e(x) = x para todo x ∈ X (e es la identidad en G).

3. hg(x) = h(g(x)) para todo h, g ∈ G y x ∈ X .

G × G × X G × X

G × X X

idG×µ

µ×idX

µ

µ




Notese que cada elemento g ∈ G “actua” como si fuese un homeomorfismog : X → X y la multiplicacion se comporta entonces como la composicionde funciones, con lo cual los miembros de G deben ser homeomorfismos enX ya que como grupo G contiene los inversos de sus elementos; ademas, µresulta ser una evaluacion y se llama la accion de G sobre X .

Algunos autores no exigen que el grupo G sea topologico y por tanto norequieren que la funcion µ sea continua, pero sı que lo sean las funciones Lglo cual conlleva a que sean homeomorfismos.

En cualquier caso, las condiciones en la definicion obligan a que el ho-momorfismo

L : G −→ Homeo(X, X ) donde g −→ Lg, Lg : X −→ X y Lg(x) := g(x)

sea un homomorfismo de grupos, esto es

L(e) = idX por la condicion (2).

L(gh) = L(g) L(h) por la condicion (3).

Por la condicion (1) la imagen de L esta contenida en los homeomor-fismos de X en X .

Podemos definir ahora una relacion de equivalencia ∼ sobre el G–espacioX como

x ∼ y :⇔ g(x) = y para algun g ∈ G.

El espacio cociente X/

∼ lo notamos X/G y, con la topologıa cociente, es

llamado el espacio cociente de X por G.

Si X es un G–espacio, la funcion cociente q : X → X/G es una funcionabierta, pues para un abierto U ⊆ X tenemos que

q −1(q (U )) =g∈G

g(U )

lo que es una union de abiertos pues cada Lg es un homeomorfismo. Si G esfinito, entonces q es ademas cerrada.

Podemos redefinir al espacio cociente. El conjunto O(x) := gx | g ∈ Gde todas las posibles imagenes del punto x se llama la orbita de x (el

conjunto de elementos en X a los cuales x puede ser llevado por la accion de




Las orbitas son entonces las circunferencias delatitud (paralelas) y los dos polos. Ası queS 2/SO(2) ∼= [−1, 1].Demostraci´ on : Sea p3 : S 2 → [−1, 1] la proyec-cion sobre el eje x3 (eje z usual). Como p3 es

constante sobre cada orbita, tenemos la funcioninducida f 3 : S 2/SO(2) → [−1, 1] y el diagra-ma indica que f 3 es un homeomorfismo (de uncompacto a un Hausdorff)

z

S 2 S 2/SO(2)

[−1, 1]

q

p3

f 3

A partir del ejemplo anterior genere otro G-espacio ¿A que es igualS n/SO(n)?

3.3. Espacios de funciones

Si X , Y son dos espacios, recordemos la siguiente notacion para conjun-tos:

Y X = f | f : X → Y es el conjunto de todas las funciones del

conjunto X al conjunto Y (no se requiere que sean espacios).

C (X, Y ) = f : X → Y | f es continua.

B(X, Y ) = f : X → Y | f es acotada en caso que Y sea metrizable.

Homeo(X, Y ) = f : X → Y | f es un homeomorfismo.

Notese que el conjunto Y X puede ser interpretado como el conjuntox∈X Y x

donde Y x = Y para cada x ∈ X . Existen topologıas naturales para losanteriores conjuntos de funciones y entonces los espacios seran llamados

espacios de funciones.




Proposicion 3.57. Sea (f n) una sucesi´ on en Y X p.a..

f n → f si y s´ olo si f n(x) → f (x) para cada x ∈ X.

Demostraci´ on. Recuerdese que en la topologıa producto Tychonoff (xn)

→ x

si y solo si pi(xn) → pi(x) para cada ındice i ( pi es la proyeccion).

Desafortunadamente esta topologıa dejamucho que desear con respecto a la con-tinuidad; es decir, una sucesion de fun-ciones continuas puede converger a unano continua, por ejemplo en R[0,1], la su-cesion definida por f n(x) = xn conver-ge a la funcion no continua dada por

f (x) = 0 si x ∈ [0, 1)

1 si x = 1.0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Esto es, el conjunto C (I,R) no es cerrado en RI p.a., pues f es un puntoadherente que no pertenece al conjunto.

Si Y es ademas un espacio metrico Y = (Y, d), tenemos otra topologıametrizable para el conjunto Y X .

Para definirla, consideremos a cambio de la metrica d en Y , la metricaequivalente d(a, b) := min1, d(a, b) la cual es acotada; ahora, dadas dosfunciones f , g ∈ Y X definimos

ρ(f, g) := supx∈X

d(f (x), g(x)),

conocida como la metrica uniforme sobre Y X y la topologıa inducidacomo la topologıa de la convergencia uniforme o sup–topologıa.

Es tal su utilidad, que algunas definiciones se dan tomandola con explıcitareferencia: “(f n) converge uniformemente a f si y solo si lımn ρ(f n, f ) = 0”.

Si nos restringimos al conjunto de las funciones acotadas

B(X, Y ) := f ∈ C (X, Y ) | f es acotada

podemos definir directamente a ρ como ρ(f, g) := supx∈X d(f (x), g(x)). (Co-

mo en el caso que (Y, d) sea acotado o X sea compacto y Y sea metrizable).



3.3. ESPACIOS DE FUNCIONES 63

Esta metrica tiene la bondad de hacer de Y X ρ =(Y X , ρ) un espacio com-pleto cuando (Y, d) es completo. Pero hay algo mas: si consideramosC (X, Y ) ⊆ Y X ρ , entonces C ρ(X, Y ) como subespacio tambien es comple-to. Lo mismo sucede para Bρ(X, Y ) := f : X → Y | f es acotada y larazon es porque estos subconjuntos son cerrados en Y X ρ . Por tanto tenemos

el siguiente teorema.

Teorema 3.58 (Teorema del lımite uniforme). Si (f n) es una sucesi´ on en C ρ(X, Y ) y f n → f en el espacio Y X ρ , entonces f ∈ C ρ(X, Y ).

La razon del nombre metrica uniforme es por lo siguiente. Si (f n) esuna sucesion en Y X tal que f n → f , entonces f n → f de manera uniforme(uniformemente) en el sentido de la siguiente definicion, donde dado el > 0,el entero N es “uniforme” para todos los puntos x.

Definicion 3.59. Dada f n : X → (Y, d) una sucesion de funciones, decimosque (f n) converge uniformemente a f : X → (Y, d) si dado > 0 existe

un entero N tal que d(f n(x), f (x)) < para todo n > N y todo x ∈ X .

3.3.2. La topologıa compacto–abierto

¿Como generalizar la topologıa uniforme a fin de evitar la condicion deque Y sea metrizable? La respuesta es restringir el espacio de definicion Y X

al subconjunto C (X, Y ).

La siguiente es una topologıa para C (X, Y ) que sı tiene en cuenta latopologıa tanto en X como en Y , y ademas generaliza la topologıa punto–abierto. La introduce Ralph H. Fox en 1945, [13].

Notese que los abiertos son de tama~no mas pequeno que en la pa−topologıa,la cual aumente por supuesto el tamano de la topologıa. La topologıa resul-tante esta entonces entre la pa y la cu -topologıas

Definicion 3.60. Sean X, Y espacios topologicos. Dado K subespacio com-pacto de X compacto y U subconjunto abierto de Y , definimos

S (K, U ) := f ∈ C (X, Y ) : f (K ) ⊆ U .

La coleccion S (K, U )K,U forma una subbase para una topologıa sobreC (X, Y ) llamada la topologıa compacto–abierto, la cual notamos comoc.a.–topologıa, o simplemente c.a., y al espacio lo notamos C c.a.(X, Y ).

Por ejemplo, si X es un espacio discreto formado por n puntos, entonces

C (X, Y ) ≈ Y × · · · × Y (n veces).



3.3. ESPACIOS DE FUNCIONES 65

Si definimos V f = V 1f ∩ · · · ∩ V nf , entonces V f ⊆ S (K, U ) pues dadosg ∈ V f y k ∈ K tenemos que (g, k) ∈ V f × W i para algun i con lo cualg(k) = e(g, k) ∈ e(V f × W i) ⊆ e(V if × W i) ⊆ U , y como esto se tiene paracada k ∈ K , entonces g(K ) ⊆ U . Por tanto S (K, U ) es reunion de vecindadesV f en C J (X, Y ), es decir, es abierto en C J (X, Y ).

El teorema anterior se puede “mejorar” diciendo que la topologıa c.a.

es la mas pequena de las admisibles si se demuestra que c.a. es en sı mismaadmisible (al menos sobre cierta clase de espacios).

Teorema 3.63. Sea X un espacio Hausdorff y localmente compacto. Si en C (X, Y ) consideramos la c.a.–topologıa, entonces la funci´ on evaluaci´ on

e : C (X, Y ) × X → Y

dada por e(f, x) = f (x) es continua. (De manera m´ as general podemos escribir

e : Y X

× X → Y si nos restringimos al universo de las funciones continuas).

Demostraci´ on. Sea U ⊆ Y un abierto y veamos que e−1(U ) tambien es unabierto (de hecho que es reunion de vecindades abiertas). Tomemos (f, x) ∈e−1(U ); como e(f, x) = f (x) ∈ U y f es continua, existe una vecindadW x ⊆ X tal que f (W ) ⊆ U . Como X es Hausdorff y localmente compacto,existe una vecindad abierta V para la cual V es compacta y x ∈ V ⊆ V ⊆ W .

Por tanto, (f, x) ∈ U V ×V , el cual es un abierto en C (X, Y )×X . Veamos

finalmente que U V × V ⊆ e−1(U ). En efecto, si g ∈ U V y t ∈ V entoncesg(t)

∈ U , es decir, e(g, t)

∈ U .

La topologıa compacto–abierto para C (X, Y ) hace que la funcion evalua-cion e sea continua en ambas variables f , x de manera simultanea, y latopologıa compacto–abierta es la “mejor” (mas pequena) de las topologıasadmisibles. De manera trivial la topologıa discreta es admisible.

Lema 3.64. Sean X,Y, Z espacios topol´ ogicos y en cada uno de los espacios de funciones consideremos la c.a.–topologıa. Entonces la funci´ on composi-ci´ on

T : C (X, Y ) × C (Y, Z ) → C (X, Z ) dada por (f, g) → g f

es continua si Y es Hausdorff y localmente compacto.




3.3.3. ¿Z X×Y ≈ (Z Y )X?

Si X,Y,Z son conjuntos, es bien conocido que existe una biyeccion ϕque establece la equivalencia entre los conjuntos de funciones

Z

X ×Y

≡ (Z

Y

)

X

.En efecto, ϕ : Z X ×Y → (Z Y )X esta definida como ϕ(f )(x)(y) = f (x, y) ysu inversa ϕ−1(g)(x, y) = g(x)(y).

Por supuesto, tenemos una equivalencia analoga si nos restringimos a losconjuntos de funciones continuas.

Definicion 3.65. Sean X , Y , Z espacios topologicos y f : X × Y → Z unafuncion continua. La funcion inducida correspondiente es definida como

F := ϕ(f ) : X → C (Y, Z ) donde F (x)(y) := f (x, y)

o

F := ϕ(f ) : X → Z

Y

en el universo de las continuas.Por supuesto, y de manera dual, dada F : X → C (Y, Z ) existe

f := ϕ−1(F ) : X × Y → Z dada por f (x, y) := F (x)(y).

La influencia de la topologıa compacto–abierto es la siguiente.

Teorema 3.66 (Fox). Si f : X × Y → Z es continua entonces tambien lo es la funci´ on inducida F : X → C (Y, Z ) — F : X → Z Y — cuandoC (Y, Z ) tiene la c.o.–topologıa. El recıproco es cierto cuando X es Hausdorff y localmente compacto.

Demostraci´ on. Sea f : X ×

Y →

Z continua. Para mostrar la continuidadde F : X → C (Y, Z ) es suficiente ver que para cada elemento S (K, U ) ⊆C (Y, Z ) de la subbase, el conjunto F −1(S (K, U )) = x ∈ X |f (K, x) ⊆ U es abierto en X , y para ello es suficiente mostrar que el es vecindad de cadauno de sus puntos.

Sea x ∈ F −1(S (K, U )). Como f −1(U ) es una vecindad abierta del com-pacto K × x, existen abiertos V ⊆ X , W ⊆ Y cuyo producto V × W satisface K × x ⊆ V × W ⊆ f −1(U ).

Para la recıproca, notemos que F puede ser vista como la compuesta

X × Y F ×idY −−−−−→ Z Y × Y

e−−→ Z

de dos funciones continuas.



3.4. CONEXIDAD 67

Ejemplo 3.67 (homotopıas). Esta es la motivacion para que en 1930Hurewicks le formule la siguiente pregunta a Fox:

¿Es posible dar una topologıa al espacio de funciones continuas

Y X tal que h : X × [0, 1] → Y sea continua, si y solamente si,

H : [0, 1] → Y X con H (t) = H t tambien lo es? (Ver [5])

Dada una funcion f : X × [0, 1] → Y obtenemos la funcion inducida F :[0, 1] → C (X, Y ) con F t : X → Y dada por F t(x) = f (x, t).

Una homotopıa entre las funciones f, g : X → Y es una funcion continuah : X × [0, 1] → Y tal que h(x, 0) = f (x) y h(x, 1) = g(x), para todo x ∈ X ;esto es, una homotopıa es una familia de funciones H t a un parametro quees continua, H : [0, 1] → C (X, Y ).

Luego una homotopıa no es mas que un camino en el espacio C (X, Y )desde el punto f hasta el punto g .

Finalmente, y como consecuencia de la c.a.–topologıa (para esto fue in-troducida), tenemos los dos homeomorfismos siguientes:

Corolario 3.68. Sean X,Y,Z espacios topol´ ogicos tales que X y Y son Hausdorff y Y es localmente compacto. Entonces

C (X, Y × Z ) ≈ C (X, Y ) × C (X, Z ) — Y × Z X ≈ Y X × Z X —

Z X ×Y ≈ (Z Y )X (si de funciones continuas se trata).

Demostraci´ on. El ultimo isomorfismo es vıa la funcion f → ϕ(f ) = F .

3.4. Conexidad

Algunos espacios topologicos como el intervalo unidad, la recta real, eltoro, con las topologıas usuales parecen que estan formados de una sola piezao literalmente sus partes constituyentes no estan desconectadas o separadas,

como sucede en contraste con subespacios en R2 como:




1. El constituido por dos segmentos de lıneaque no se interceptan.

2. El complemento de una circunferencia enel plano, el cual resulta ser union disyuntade dos subespacios abiertos.

3. Dos globos en R3.

Precisemos este concepto de conexidad y veamos que resulta ser de valortopologico; es decir, es un invariante.

Definicion 3.69. Dado un espacio topologico (X,G), una separacion paraX la constituye un par A, B de subconjuntos no vacıos, abiertos y tales queA ∪ B = X y A ∩ B = ∅.

En la definicion anterior es equivalente el requerir que A, B sean ambos

cerrados a cambio de abiertos, o que exista A ⊆ X no vacıo, abierto y cerrado(aberrado). Ademas, no es suficiente exigir solo que A, B sean disyuntos, puestodo espacio con mas de un punto serıa trivialmente no conexo. Queremosque realmente A y B sean dos piezas separadas; esto es, que no hayan puntosde A adherentes a B o viceversa. Luego A debe estar contenida en Bc,A ⊆ Bc, y como A = Bc, concluimos que A y B deben de ser amboscerrados o, equivalentemente, ambos abiertos.

Definicion 3.70. Un espacio topologico X es conexo si no existe una sepa-racion para X .

Por supuesto un subespacio sera conexo si visto como espacio es conexo;

claramente, la posible conexidad del subespacio unicamente depende de el yno del espacio que lo contiene. Este concepto de conexidad es muy geometricoo visualizable, en oposicion al concepto de compacidad. Ademas, resultacurioso notar que su naturaleza es de caracter negativo: niega la existenciade una separacion.

En la figura 3.18, (a) es una region circular conexa y (b) es un subespaciode R2 formado por las circunferencias de centro el origen y radio 1 − 1/n,(n ∈N) atadas por el segmento de recta [1/2, 1), y a este conjunto le agrega-mos S 1. Notese que aunque esta ultima figura es conexa, ella pareciera estarformada por dos partes disyuntas: las circunferencias atadas y la circunfe-rencia exterior S 1. Pareciera que requerimos de una nocion de conexidad

mas sutil (ver definicion 3.79).



3.4. CONEXIDAD 71

3.4.1. Subespacios conexos maximales

Un espacio no conexo obviamente puede tener subespacios que sı son co-nexos (los pedazos); entre estos, vamos a analizar a aquellos que son ma-ximales con respecto a la relacion de inclusion, los cuales nos brindan unamanera natural de definir una particion sobre el espacio topologico hacien-do uso del concepto de conexidad. En otras palabras, vamos a definir unarelacion de equivalencia.

Definicion 3.76. Sean X un espacio topologico y A un subespacio de X .Decimos que A es una componente conexa de X o un subespacio conexomaximal en X si A es conexo y no es subconjunto propio de algun otrosubespacio conexo de X .

Como la adherencia de un conexo es de nuevo conexa, entonces las com-ponentes son subconjuntos cerrados del espacio, y cada punto x ∈ X perte-nece a una unica componente: exactamente a la union de todos los conexosque contienen al punto x (el mayor subespacio conexo que contiene a x).Por todo lo anterior, el conjunto de las componentes conexas de un espacioX determinan una particion ∼ sobre X :

x ∼ y :⇔ ∃A ⊆ X conexo, con x, y ∈ A.

En el caso en que las componentes sean unicamente conjuntos unitarios alespacio se le llama totalmente desconectado.

Ejemplo 3.77. Cada espacio discreto es totalmente desconectado, peroexisten espacios totalmente desconectados que no son discretos; por ejemplo,X = 0 ∪ 1/n | n ∈ N o X = Q como subespacios de (R, usual).

Por supuesto todo espacio totalmente desconectado es T 1. Mas aun, cual-quier subconjunto contable de un espacio metrico, visto como subespacioes desconectado totalmente (y algunos no contables como los irracionales

I ⊆ (R, usual)).




3.5. Caminos

La primera nocion de “conexidad” fue dada por K.Weierstrass en 1.880, la cual en el contexto de R2 intui-tivamente significa lo siguiente: un conjunto M

⊆ R2

es conexo, si dos puntos cualesquiera de M pueden serconectados por un camino que no se sale de M . Porejemplo, el subespacio W conformado por la union deun disco y una circunferencia concentricos (ver figura)es no-conexo segun este criterio, ya que todo “camino”que vaya del disco a la circunferencia tiene que pasarpor “fuera” del conjunto W .

Claro que, en este ejemplo, el criterio de conexidad de Wierstrass y ladefinicion usual de conexidad que vimos en la seccion anterior, coinciden;pero infortunadamente veremos que no siempre este es el caso.

Una partıcula que se mueve en el espacio durante cierto intervalo de

tiempo describe un camino. Es conveniente asumir que el movimiento co-mienza en el tiempo t = 0 y continua hasta el momento de parar, digamost = 1. Esta nocion de camino la generalizamos a espacios topologicos de lamanera siguiente.

Definicion 3.78. Dado un espacio topologico X , un camino en X es unafuncion continua f : [0, 1] −→ X . Si f (0) = a, f (1) = b, decimos que f esun camino desde a hasta b con punto inicial en a y punto final en b.

Los caminos son utiles para dar la otra nocion de conexidad.

3.5.1. Conexo por caminos

Definicion 3.79. Un espacio topologico X es conexo por caminos sidados x, y ∈ X , existe un camino f con punto inicial en x y punto final eny —esto es, cada par de puntos en X pueden ser unidos por un camino—.

Esta definicion es topologica en el sentido que la imagen por una funcioncontinua de un espacio conexo por caminos es conexa por caminos.

Definicion 3.80 (multiplicacion de caminos). Dado un espacio X , en elconjunto C ([0, 1], X ) (subconjunto de X I ) de los caminos sobre X , podemosintroducir una operacion interna ası: dados dos caminos f, g tales que

f (1) = g(0), definimos otro camino f g como



3.5. CAMINOS 75

3.5.2. Componentes conexas por caminos

Es posible que un espacio X no sea conexo por caminos, pero una partede el sı lo sea. La siguiente relacion en X nos permite reconocer estas partes.

xRy :⇔ existe un camino que conecta a x con y.

Esta relacion es reflexiva (camino constante), simetrica (camino inverso) ytransitiva (producto ); por tanto de equivalencia.

Para cada x ∈ X la clase C x = [x] (el conjunto de puntos que pueden ser conectados a x) se llama la componente conexa por caminos para elpunto x y la notamos C x. Esta componente conexa por caminos es maximal,ya que si dos subconjuntos conexos por caminos se interceptan, entoncessu union es tambien conexa por caminos. Como f (I ) es conexo para cadacamino f , [x] es la union de una familia de conjuntos conexos con un puntoen comun, luego [x] es conexa.

Las componentes conexas por caminos no tienen por que ser las mismascomponentes conexas; probablemente, las componentes conexas por cami-nos se acercan mas a la idea intuitiva de los pedazos que constituyen a X (por ejemplo en la curva seno del topologo). Pero en el caso de los espacioslocalmente conexos por caminos ellas sı coinciden (ver la subseccion 3.5.3).

Definicion 3.85. El conjunto de clases C x = [x] (las componentes conexaspor caminos) del espacio X lo notamos Π0(X )4.

En el caso de la curva seno del topologo (figura 3.20), tenemos dos clases

de equivalencia: el segmento de recta vertical y el grafo de la funcion sen(

1

x).Evidentemente, X es conexo por caminos si Π0(X ) es un conjunto uni-

tario. Si g : X −→ Y es continua, entonces un camino f de x a y en X induce el camino g f : I −→ Y de f (x) a f (y) en Y . Por tanto, tenemosuna funcion inducida entre los espacios cociente

Π0(f ) : Π0(X ) → Π0(Y ); dada por Π0(f )([x]) := [f (x)].

Π0 tiene la bondad de preservar tanto la composicion de funciones como lasidentidades, es decir, Π0(f g) = Π0(f ) Π0(g) y Π0(1X ) = 1Π0(X ).

4La notacion Π0(X ) en la cual 0 actua como subındice para la letra Π es el preludiode una sucesion de conjuntos Πn(X ) que iremos desarrollando a lo largo de este texto.



Capıtulo 4

Homotopıa

Contenido

4.1. Deformaciones continuas de funciones . . . . . . 724.2. Caminos homotopos . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1. El conjunto Π0(Ω(X, x0)) . . . . . . . . . . . . . 774.2.2. Caminos homotopos rel 0, 1 . . . . . . . . . . . 794.2.3. Clases de homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.4. Cambio del punto base . . . . . . . . . . . . . . . . 884.2.5. Π1(S 1), lo intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3. El Grupo fundamental y las funciones. . . . . . 1004.3.1. Homomorfismos inducidos . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.2. Retracciones y retractos . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3.3. Equivalencias para homotopıa . . . . . . . . . . . . 1104.3.4. Retractos por deformacion . . . . . . . . . . . . . . 113

4.4. Teorema de Seifert—Van Kampen . . . . . . . . 122

Con este capıtulo comenzamos el estudio de la topologıa algebraica y, enesta primera parte introducimos con todo detalle al conjunto Π1(X,x0) yprobamos de manera exhaustiva (y grafica) que posee una estructura alge-braica de grupo.

4.1. Deformacion continua de una funcion

Dadas dos funciones continuas f, g : X

→ Y entre espacios topologicos,

en esta seccion veremos que significa deformar de manera continua a f en g.

78



4.1. DEFORMACION CONTINUA DE UNA FUNCION 79

Definicion 4.1. Sean f, g : X → Y dos funciones continuas. Una ho-motopıa de f a g es una funcion continua H : X × [0, 1] → Y tal queH (x, 0) = f (x) y H (x, 1) = g(x) para cada x ∈ X . Las funciones f y g sonllamadas homotopas y las notamos como H : f g.

Cambiemos la notacion y, para cada x ∈ X , t ∈ I notemos H (x, t) comoht(x). Este cambio nos permite ver a H de una manera diferente: paracada t fijo, la formula x → ht(x) define una funcion ht : X → Y de suerteque H = htt puede ser mirada como familia de funciones continuas htparametrizada por t ∈ I que conecta de manera continua a h0 = f conh1 = g, i.e., H es un camino de f a g en el espacio C (X, Y ).

La siguiente homotopıa, llamada lineal, sera de uso reiterativo en estecapıtulo; por esta razon y a manera de ejemplo daremos una demostraciondetallada de su continuidad.

Ejemplo 4.2 (Homotopıa lineal). Sean X un espacio topologico cualquiera, Y ⊆ Rn yf, g : X −→ Y dos funciones continuas. Sipara cada punto x ∈ X , las imagenes f (x)y g(x) pueden ser unidas por medio de unsegmento de recta en Y entonces f g. Defi-nimos la homotopıa lineal F : X × I −→Y ⊆ Rn como F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x).

Durante esta homotopıa cada punto f t(x) viaja por el segmento —para-metrizado— de lınea recta que une a f (x) con g(x); es decir, f va a gpor medio de los segmentos de recta. Es inmediato que F (x, 0) = f (x) yF (x, 1) = g(x), luego solo nos resta verificar la continuidad de F .

Sobre el conjunto producto X × [0, 1], la topologıa dada es la topologıaproducto usual de Tychonoff; en otras palabras, los abiertos basicos son dela forma W × (a, b) para W ⊆ X abierto y (a, b) en I .

Dados (x, t) ∈ X × [0, 1] y Bξ(F (x, y)) encontremos una vecindad W con(x, t) ∈ W ⊆ X × [0, 1] tal que F (W ) ⊆ BξF (x, t).

Para (x, t), (x1, t1) ∈ X × [0, 1] se tiene que:

F (x1, t1) − F (x, t) = (t1 − t)(g(x1) − f (x1))

+ (1 − t)(f (x1) − f (x)) + t(g(x1) − g(x)),



82 CAPITULO 4. HOMOTOPIA

Homotopıa relativa

Existe una definicion mas general de homotopıa (homotopıa relativa),la cual presentamos solo a manera de informacion para el lector y con el finde que no exista desconcierto si se consultan otros textos.

Definicion 4.4. Un par topologico es un par ordenado (X, A), donde X es un espacio topologico y A es un subespacio de X . Si (X, A) y (Y, B) sonpares topologicos y f : X → Y es una funcion tal que f (A) ⊆ B escribimosf : (X, A) −→ (Y, B).

Notese que la anterior definicion nos define una categorıa la cual notamosTop pares.

Definicion 4.5. Sean (X, A), (Y, B) pares topologicos y f, g : (X, A) −→(Y, B) funciones continuas. Decimos que f es homotopa a g relativa a Asi existe una funcion continua F : (X × I, A × I ) → (Y, B) tal que:

1. F (x, 0) = f (x) para cada x ∈ X ,

2. F (x, 1) = g(x) para cada x ∈ X ,

3. F (a, t) = f (a) = g(a) para todo a ∈ A, todo t ∈ I .

En particular se tiene que f |A = g|A y ademas F se mantiene “fija” sobreA, i.e. F t|A = f |A para cada t ∈ I . Esta relacion la notamos f g (rel A).La funcion F es llamada una homotopıa relativa a A entre f y g.

Si A = ∅ estamos en el caso de la definicion 4.1. Si B = Y no hay restriccionsobre el codominio. La definicion 4.8 es el caso A =

0, 1

⊆ I .

Nuevamente podemos hacer la siguiente observacion. Dada una homo-topıa F : (X × I , A × I ) → (Y, B) entre funciones f, g, para cada t ∈ I ,definimos la funcion F t : (X, A) → (Y, B) como F t = F (x, t); ası F 0 = f ,F 1 = g . Una homotopıa es una familia (a un parametro) de funciones con-tinuas F t : (X, A) → (Y, B).

Por supuesto la definicion de homotopıa relativa es mas exigente y poreso podemos tener funciones homotopas que no lo son de manera relativa,ver ejemplo 4.10, donde f g rel 0, 1.

Proposicion 4.6. La relaci´ on de homotopıa relativa a A es una relaci´ on de equivalencia en C ((X, A), (Y, B)). La clase de una funci´ on f la notamos

[f ] y se llama la clase de homotopıa de f relativa a A .



4.2. CAMINOS HOMOTOPOS 83

Y

t1

t2

F

A

I

X

B

f (x) = F 0(x)

F t2(x)

F t1(x)

g(x) = F 1(x) F t(A) = f (A) = g(A)

Figura 4.1: Homotopıa (rel A).

Demostraci´ on. Segun la proposicion 4.3 solo basta observar que si todas lasfunciones involucradas estan de acuerdo sobre A, entonces las homotopıasya definidas tambien son relativas a A.

En particular, y casi que de manera excluyente, en este capıtulo esta-remos interesados (con todos los detalles) en el caso en que las funcionesinvolucradas sean caminos cerrados (ver la seccion 4.2.2).

4.2. Caminos homotopos

Recordemos que dado un espacio topologi-co X y un punto x0 ∈ X al par (X, x0) lollamamos un espacio punteado. Un cami-

no cerrado o bucle en x0 es un caminof : [0, 1] −→ X tal que f (0) = x0 = f (1),es decir que f comienza y termina en x0.

4.2.1. El conjunto Π0(Ω(X,x0))

El conjunto Ω(X,x0) es por definicion el conjunto de todos los caminoscerrados de X en x0; el es un subconjunto del espacio C ([0, 1], X ) de todos loscaminos en X , y por tanto le podemos heredar la c.a.–topologıa (compacto–abierto; ver definicion 3.60) para tener ası una estructura topologica.

Ademas, hereda la operacion f g de multiplicacion de caminos (caminar

a paso doble; ver definicion 3.80) la cual es cerrada en Ω(X, x0) pues f g es




Notese que (Ω(X, x0), m) tiene una estructura de monoide “topologi-co”(una operacion interna que es continua). Ciertamente no existe un ele-mento identico, y por tanto no hay inversos, pues al multiplicar un caminocerrado f por el camino cx0 (constante en x0) aunque tengamos el mismografo las funciones son diferentes f

= f cx0; tampoco tenemos asociativi-

dad, (f g) h = f (g h) donde la diferencia esta en las velocidades alrecorrer tramos de la misma ruta. El lector debe describirse explıcitamentelas funciones f , f cx0, (f g) h, f (g h).

Como el conjunto Ω(X, x0) tiene una estructura topologica, es entoncesnatural preguntarse por los caminos en el; es decir, por una funcion continua

F : [0, 1] −→ Ω(X, x0).

F a su vez puede ser mirada como una familiaparametrizada (funcion inducida) f tt∈[0,1] decaminos en X cerrados en x0, donde el camino

f t cambia de manera continua cuando t recorrea [0, 1]. Decimos que F representa una defor-macion continua del camino f 0 = F (0) en elcamino f 1 = F (1).

Por tanto, una componente conexa por caminos de Ω(X, x0) es un conjunto de caminos cerrados en x0, donde cada uno de ellos puede ser deformado de manera continua en cualquier otro de esa componente. De acuerdocon la definicion 3.85 denotamos por Π0(Ω(X,x0)) el conjunto de las com-ponentes conexas por caminos de Ω(X, x0).

4.2.2. Caminos homotopos rel0, 1

El grupo fundamental de un espacio X sera definido en terminos de ca-minos cerrados y deformaciones continuas de caminos. Generalmente es utilconsiderar caminos mas generales (no necesariamente cerrados) y sus defor-maciones, ası que comenzamos haciendo explıcita esta ligera generalidad.

Definicion 4.8. Una homotopıa de caminos rel0, 1 en X es una familiade funciones f t : [0, 1] −→ X con 0 ≤ t ≤ 1 tal que

1. Los puntos finales de cada camino f t(0) = x0 y f t(1) = x1 son los

mismos para todo t.




x0 x1

f 1

f 0

f t

2. La funcion asociada F : [0, 1]×[0, 1] −→ X definida por F (s, t) = f t(s)es continua.

x0 x1

f 1

f 0

f t

t

t

s

1

10

Figura 4.2: Una homotopıa

Notese que si fijamos un s ∈ I la funcion restringida f s : [0, 1] −→ X dada por f s(t) = f t(s) es un camino que conecta a f 0(s) con f 1(s) y a f s sele llama un arco de deformacion (ver figura 4.3).

x0 x1

f 1(s)

f 0(s)

f t(s)

t

t

ss

1

10

Figura 4.3: Un arco de deformacion de f 0(s) a f 1(s)




Corolario 4.14. Si f g : X → Y vıa la homotopıa F y h : Y → Z ,entonces

(h f ) (h g) : X → Z

vıa la homotopıa h F .

El monoide Π1(X,x0)

De manera particular, si nos restringimos al conjunto Ω(X, x0) de cami-nos cerrados en el punto base x0 ∈ X del espacio punteado (X, x0), hemosvisto hasta ahora que la operacion [f ] [g] = [f g] produce una estructuraalgebraica de monoide (una operacion interna) para el conjunto de todas lasclases de equivalencia por homotopıa (ya veremos que tenemos mucho mas,tenemos toda una estructura de grupo, teorema 4.16). Este ultimo monoidelo notamos

Π1(X,x0) := [f ] : f ∈ Ω(X, x0).

¿Por que el ındice 1 en la notacion Π1(X, x0)? Veremos posteriormenteque Π1(X, x0) es el primero de una sucesion de grupos Πn(X, x0), llamadoslos grupos de homotopıa, los cuales seran definidos de manera completa-mente analoga, usando el cubo n−dimensional I n en lugar de I . Este grupo(ındice 1) fue introducido en 1894 por Henri Poincare (1854–1912) y por esoalgunas veces es llamado tambien el grupo de Poincare. La letra Π en sunotacion tambien es debida a Poincare.

Treinta anos despues los grupos de homotopıa superior (ındices n ≥ 0)fueron definidos por Witold Hurewicz (1904–1956) en 1935. Recordemos queexiste tambien la notacion Π0(X, x0) pero en general no es un grupo, es el

conjunto de componentes conexas por caminos del espacio X . Aunque noexiste una multiplicacion natural en el, a menos que X sea equipado conestructuras adicionales especiales, existe una unidad natural, la componenteconteniendo a x0.

Existe otra manera elegante de probar la homotopıa entre funciones: vıa lanocion de reparametrizacion.

Definicion 4.15. Por una reparametrizacion de un camino f : [0, 1] −→X entenderemos la composicion f α, con un camino α : [0, 1] −→ [0, 1] talque α(0) = 0 y α(1) = 1 (su grafo esta en el cuadrado [0, 1] × [0, 1]).

Esta composicion es de nuevo un camino cerrado si f ası lo era. Basica-

mente la diferencia entre f y f α es que cambia la “velocidad” o “ritmo”




con que vamos dibujando el mismo grafo (ocupan el mismo lugar fısico) paraambos caminos.

Cuando un camino se reparametriza se conserva su clase de homotopıaya que f α f vıa la homotopıa H : [0, 1] × [0, 1] → X con ht = f αt

donde αt(s) := (1 − t)α(s) + ts, con lo que α0 = α y α1(s) = s; es decir,H (s, t) = f ((1− t)α(s) + ts) con H (s, 0) = f (α0(s)) = (f α)(s) y H (s, 1) =f (α1(s)) = f (s).

Notese que (1 − t)α(s) + ts esta entre α(s) y s y por tanto esta en [0, 1],con lo cual la compuesta f αt esta bien definida.

Teorema 4.16. Π1(X, x0) es un grupo con la operaci´ on [f ] [g] = [f g].Este grupo se llama el grupo fundamental del espacio X en el punto base x0.

Demostraci´ on. Ya vimos con amplio detalle que el producto esta bien defi-nido dado que los caminos son cerrados y no depende del representante de

la clase, es decir, si f f y g g entonces f g f g.

Asociatividad. Dados los caminos f ,g ,h con f (1) = g(0) y g(1) = h(0)los productos f (g h) y (f g) h estan definidos por el uso repetido de laecuacion 4.1. El producto de caminos introduce cambios en la velocidad ylo que necesitamos es una homotopıa correctora que los controle.

El camino f (g h) es el resultado de componer primero g con h y luegocomponer con f . Ası que, para 0 ≤ s ≤ 1

2 esta funcion vale f (2s). Para12 ≤ s ≤ 1 esta funcion vale (g h)(2s − 1) el cual a su vez se descomponeen dos valores: para 0 ≤ 2s − 1 ≤ 1

2 , o lo que es igual 12 ≤ s ≤ 34 tenemos

(g h)(2s − 1) = g(2(2s − 1) − 1) = g(4s − 2), mientras que para 34 ≤ s ≤ 1

tenemos (gh)(2s−1) = h(2(2s−1)−1) = h(4s−3). En resumidas tenemosque:

f (g h)(s) =

f (2s), 0 ≤ s ≤ 1/2

g(4s − 2), 1/2 ≤ s ≤ 3/4

h(4s − 3), 3/4 ≤ s ≤ 1.

De manera similar podemos ver que:

(f g) h(s) =

f (4s), 0 ≤ s ≤ 1/4

g(4s − 1), 1/4 ≤ s ≤ 1/2

h(2s − 1), 1/2 ≤ s ≤ 1.

f (g h) es una reparametrizacion de (f g) h por medio de la funcion lineal

a trozos α : [0, 1] −→ [0, 1] donde




Consideremos la homotopıa H definida en el momento t como un caminoque comienza en x0, va hasta el punto f (t) y permanece allı por un intervalode tiempo luego del cual regresa a x0 por medio de f r.

Una manera de describir la homotopıa H es utilizar la descomposicion del cuadrado[0, 1] × [0, 1] por medio de las lıneas t =1 − 2s y t = 2s − 1 en una V–forma comolo muestra la figura. En el nivel [0, 1]×tdefinimos por medio del sector sombreadoel tiempo durante el cual ht se detiene enf (t) (es decir la funcion se hace constantea f (t) en un intervalo de tiempo cada vezmayor), de suerte que cada vez se andamenos y se regresa al punto inicial x0.

t

s

f f r

H (s, t) = f r(2s), s

∈ [0, 1−t2 ];

f (t), s ∈ [ 1−t2 , 1+t2 ];

f (2s − 1), s ∈ [ 1+t2 , 1].

En la parte inferior del cuadrado obtenemos para t = 0 que el tiempo depermanencia en f (0) es [12 , 12 ] y tenemos h0 = f r f mientras que para t = 1la primera parte del intervalo correspondiente al recorrido de f r es [0, 0],es decir, no hay tal recorrido y de igual manera para f con lo que todo eltiempo transcurre en f (1) = x0, es decir, h1 = cx0 .

La demostracion que f r tambien actua como inverso a derecha es com-pletamente similar. O si se prefiere, invocamos un hecho simple de la teorıa

de grupos: “La existencia de identidad e inversos a izquierda, implica laexistencia a derecha”.

Ejemplo 4.17. Para un subconjunto convexoX ⊆ Rn con punto base x0 ∈ X se tiene queΠ1(X, x0) = 0 (el grupo trivial con unico ele-mento el neutro). En efecto, cualquier caminocerrado f es homotopo al camino constante vıaf t(s) = (1−t)cx0+tf (s) la homotopıa lineal, conlo cual, no existe sino una sola clase de equiva-

lencia [cx0].

f

x0




demostracion a mano, a fin de continuar con el proposito de tener demos-traciones detalladas y motivadas.

Figura 4.5: Diferentes clases de caminos en S 1.

La circunferencia S 1 es quizas uno de los ejemplos mas intuitivos de unespacio que no es simplemente conexo, pues si tomamos como punto basex0 al punto (1, 0), el grupo Π1(S 1, x0) va a contener muchas clases de ho-motopıa; por ejemplo, un camino cerrado que da una vuelta, difıcilmente

(imposible) puede ser llevado al camino constante sin soltar una de las pun-tas, pues soltar una de las puntas es violar las condiciones de la homotopıarelativa H = htt∈[0,1] que debe mantener los extremos de cada camino htatado a sus extremos.

En la figura 4.5 dibujamos varias clases de caminos un poco separadosde la circunferencia para poderlos visualizar. El primero da una vuelta, elsegundo dos vueltas, el tercero no completa una vuelta y finalmente tenemosuno que anda en el sentido contrario de los demas.

Si un camino cerrado f : [0, 1] −→ S 1 no essobreyectivo (no da al menos una vuelta) eshomotopo–nulo, es decir, homotopo al cami-no constante. En efecto, si x ∈ im(f ), entoncesS 1 − x es homeomorfo a (0, 1) en el cual todocamino es homotopo al camino constante (ho-motopıa lineal en convexo).

Si el camino f : [0, 1] −→ S 1 es sobreyectivo entonces contamos el nume-ro de vueltas (y el sentido), ¿pero como hacerlo? Este es el papel del puntobase (0, 1) y la principal dificultad en la demostracion.

Identifiquemos a S 1 con el cırculo unitario en el plano complejo y sea p : R −→ S 1 la funcion exponencial p(t) := e(2πit) = (cos 2πt, sen2πt).Todos los numeros enteros son identificados con el punto 1 = (1, 0) por la

funcion exponencial, y escogemos este punto como el punto base.




R

S 1

p

Figura 4.6: R sobre S 1.

Cada intervalo unitario [0, 1], [1, 2], . . . , [n, n + 1], . . . da una vuelta alre-dedor de S 1. Esta funcion puede ser visualizada como: se “sumerge” a R enR3 pero en forma de helice (o escalera en caracol) por medio de la parame-

trizacion t → (cos 2πt, sen2πt,t) con lo que p es la restriccion a la helice dela proyeccion R3 −→ R2 dada por (x,y,z) −→ (x, y) (la funcion p enrrollaa R alrededor de S 1 un numero infinito de veces).

Para cada n ∈ Z definimos el camino cerradoωn : [0, 1] −→ S 1 como

ωn(t) := p(nt) = (cos 2πnt, sen2πnt).

ωn es la compuesta p ωn donde ωn(t) = nt es elcamino que comienza en 0 y termina en n (estira a[0, 1] n–veces).

R

[0, 1] S 1

p

ωnωn

El efecto de p ωn es enrollar al intervalo [0, 1] n-veces alrededor de lacircunferencia en sentido contrario de las manecillas del reloj si n es positivo,o en el sentido de las manecillas del reloj si n es negativo.

La relacion ωn = pωn se expresa diciendo que ωn es un levantamientode ωn (o que levanta a ωn).

De manera mas general, si p : X → B y f : A → B sonfunciones cualesquiera, una funcion g : A → X tal que p g = f se llama un levantamiento de f . Una grancantidad de problemas topologicos —algunos de ellosya resueltos y ahora llamados teoremas— pueden ser

planteados en terminos de existencia de levantamien-tos, problemas de levantamiento.

X

A B p

g

f




0

1

2

Figura 4.7: Las dos vueltas de ω2 en S 1 se convierten en dos pasos del espiral R.

Notese que, ωn(0) = p(0) = (1, 0) y ωn(1) = p(1) = (1, 0) con lo queωn es un camino cerrado con punto base (1, 0), y ası define un elemento

[ωn] ∈ Π1(S 1

). El objetivo sera utilizar este hecho para mostrar la existenciade un isomorfismo de grupos φ : Π S 1, (1, 0) −→ Z. Por supuesto estorequerira toda la energıa siguiente de definiciones, lemas y teoremas.

La propiedad especial de la funcion proyeccion p : R −→ S 1 que utilizaremos es la siguiente.Sea U 1, U 2 el cubrimiento abierto de S 1 dadopor U 1 = S 1 − (−1, 0), U 2 = S 1 − (1, 0) elcual notamos de manera general como U ii∈I .El conjunto p−1(U 1) ⊆ R consiste de la uniondisyunta de infinitos intervalos

n − 1

2 , n + 12

,

(n

∈ Z), y la restriccion de p sobre uno cual-

quiera de ellos

U 1

U 2

p(n−1

2,n+ 1

2) :

n − 1

2, n +

1

2

≈−→ U 1

es un homeomorfismo local de un intervalo abierto de longitud 1 a unarco de circunferencia abierto de longitud 2π.

De manera similar sucede que p−1(U 2) = n∈Z(n, n + 1) es una union

de conjuntos abiertos disyuntos, cada uno de ellos homeomorfo a U 2.

La estrategia en la demostracion sera la siguiente: dado un camino enS 1 cerrado en el punto base, subdividimos el intervalo [0, 1] en segmentos

0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1 de tal manera que la imagen de cada segmento




· · · · · ·| | | | |

-2 -1 0 1 2

p−1(U 1) =

n − 12 n + 1

2

este en U 1 o U 2, y entonces levantamos a cada uno de estos segmentos ala parte en R correspondiente en p−1(U 1) o p−1(U 2) por medio del homeo-morfismo local. Luego, se debe tener cuidado a fin de que el punto final deun segmento pegue correctamente con el punto inicial del levantamiento delsegmento siguiente (ver figura 4.8).

La construccion hara uso del siguiente hecho sobre cubrimientos en es-

pacios metricos compactos.Lema 4.22 (Lema de Lebesgue). Sean f : X → Y es una funci´ on continua de un espacio metrico compacto X a un espacio topol´ ogico Y y U es un cubrimiento abierto de Y . Entonces existe un n´ umero δ > 0 tal que para cualquier A ⊆ X con diam( A)< δ la imagen f (A) est´ a contenida en alg´ un elemento de U .

El siguiente teorema garantiza unicidad a fin de tener futuras “bue-nas”definiciones, como la de la funcion grado (pagina 103).

Teorema 4.23 (Levantamiento unico de ca-minos). Si f es un camino en S 1 que comienza en (1, 0), existe un ´ unico f en R que comienza en 0 y satisface p f = f .

R

[0, 1] S 1

p

f f

Demostraci´ on. (Por inducci´ on en la definici´ on de f ). Se puede pensar enf como si se cortara al camino f por el punto base y se desenrollara haciaarriba en R (ver figura 4.7). Aunque no podemos escribir f = p−1 f porque p no es inyectiva, si lo podemos hacer en los intervalos donde tenıamoshomeomorfismo local y este es el hecho con el cual levantaremos pequenos

trozos [ti, ti+1] de [0, 1].




Dado que [0, 1] es compacto, por el lema de Lebesgue aplicado al cubrimi-ento f −1(U 1), f −1(U 2) de [0, 1], existen puntos 0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1tales que para cada [ti, ti+1] se tiene f ([ti, ti+1]) ⊆ U 1 o f ([ti, ti+1]) ⊆ U 2, esdecir, [ti, ti+1] esta en f −1(U 1) o f −1(U 2).

f

f

p |−1

0 t1 1

Figura 4.8: Paso inicial en el proceso de levantamiento

Primero definimos f en el intervalo [0, t1]; como f comienza en f (0) =(1, 0) entonces f ([0, t1]) ⊆ U 1 y ademas la restriccion p |(− 1

2, 12):−1

2 , 12 −→

U 1 es un homeomorfismo local con inversa p |−1(−1

2, 12)

. Definimos

f : [0, t1]

f −→ U 1 ⊆ S 1 p|−1−−−→ R como

f (s) := p |−1

(−12, 12)

(f (s)),

para 0 ≤ s ≤ t1, es decir, f := p |−1

(−12, 12)

f .

Como hip´ otesis de inducci´ on (sobre k) suponemos que f ya esta definidasobre [0, tk] y veamos que podemos extender la definicion a [tk, tk+1] (estoes, sobre [t0, tk+1]).

El punto f (tk) esta en U 1 o en U 2. Si f ([tk, tk+1]) ⊆ U 1 y si el punto inicialdel levantamiento f (tk) ∈

n − 12 , n + 1

2

, entonces para el homeomorfismo

p |(n− 12,n+ 1

2):

n − 12 , n + 1

2

≈−→ U 1 consideramos su inversa p |−1

(n− 12,n+ 1

2) y

definimos

f (s) := p |−1(n− 12,n+ 1

2) f (s) para s ∈ [tk, tk+1].




fila. Notese, que en cada paso la funcion F ya definida es continua (pe-gamiento de funciones) y que con un numero finito de pasos agotamos aI × I .

La unicidad se sigue del hecho de que cada

F |nδ×I es unica, de hecho,

una vez el valor de F en (0, 0) es definido, toda F es determinada comple-tamente.

Como p F = F y F 0 = f donde F 0(s) = f (s), sabemos que F (0, t)y F (1, t) pertenecen a p−1((1, 0)) para todo t – p−1((1, 0)) es un conjuntodiscreto, exactamente Z– luego todo el camino F (0 × I ) va al mismopunto 0 ya que F (s, 0) = f 0(s) = f 1(s) = g(0) = 0. Como el camino 1 × I es conexo, ası lo es su imagen F (1 × I ) = f (1).

Continuemos la demostracion de la buena definicion de φ:

Ademas, como p

F 0 = F 0 = f y p

F 1 = F 1 = g tenemos que

F 0 =

f y

F 1 = g (levantamiento unico de caminos) y por tantof (1) = F (0, 1) = F (1, 1) = g(1). (4.2)

Lazos homotopos tienen levantamientos homotopos y, por tanto, con losmismos extremos.

φ es un homomorfismo de grupos. Si [f ], [g] ∈ Π

S 1, (1, 0)

, veamosque

φ([f ][g]) = φ([f ]) + φ([g]).

Sean φ([f ]) = f (1) = m y φ([g]) = g(1) = n. Definimos la traslacionτ m : [0, 1] −→ R como τ m(t) =

g(t) + m y ası τ m(0) = m y τ m(1) =

m + n. Ademas ( p

τ m)(t) = p(g(t) + m) = g(t) y aunque menos

obvio tenemos que p( f τ m) = f g ( f τ m esta bien definido puesτ m(0) = g(0) + m = 0 + m = f (1)), luego f τ m es un levantamientode f g y, como el levantamiento es unico, tenemos

φ([f ][g]) = φ([f g]) = f g(1) = ( f τ m)(1) = τ m(1)

puesto que f τ m termina donde termina τ m, y finalmente

φ([f ][g]) = m + n = φ([f ]) + φ([g]).

φ es inyectiva. En efecto, veamos que el nucleo de φ es el subgrupotrivial c(0,1). Si φ([f ]) = 0 es porque

f (1) = 0 y por tanto

f es un

camino en R cerrado en x0 = 0, luego la homotopıa

ht : I −→ R dada por ht(s) = f (s)(1 − t)



4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES 107

entonces h (f g) es el camino definido por

h (f g)(t) =

h(f (2t)), si 0 ≤ t ≤ 1

2 ,

h(g(2t − 1)), si 12 ≤ t ≤ 1.

= (h f )(2t), si 0 ≤ t ≤ 12 ,

(h g)(2t − 1), si 12 ≤ t ≤ 1.

= ((h f ) (h g))(t),

ası que h (f g) = (h f ) (h g).

h∗ es un homomorfismo de grupos. Basta notar que

h∗([f ][g]) =h∗([f g]) = [h (f g)]

=[(h f ) (h g)] = [(h f )][(h g)] = h∗([f ])h∗([g]).

Luego hemos demostrado el siguiente resultado, que aunque sencillo, es cen-

tro de la teorıa.

Teorema 4.26. Dada una funci´ on h : (X, x0) −→ (Y, y0) continua en-tre espacios punteados, la funci´ on h∗ : Π(X, x0) −→ Π(Y, y0) definida por h∗([f ]) = [hf ] es un homomorfismo de grupos, llamado el homomorfismo

inducido por h).

En el lenguaje de la teorıa de categorıas tenemos el siguiente diagramay las siguientes propiedades de funtorialidad, donde el funtor es en estecaso la manera de asignar a cada objeto de la categorıa de los espaciostopologicos punteados, un objeto de la categorıa de los grupos, de suerte

que la composicion de morfismos sea respetada.

(X, x0) Π1(X, x0)

(Y, y0) Π1(Y, y0)

Π1

h

h∗

Π1

Para funciones (X, x0) n−→ (Y, y0)

m−→ (Z, z0) tenemos que:

1. (m n)∗ = m∗ n∗.

2. m∗[f ]−1 = (m∗[f ])−1 para [f ] ∈ Π1(X, x0).




3. Si m n relx0, entonces m∗ = n∗.

4. idX ∗ = idΠ : Π1(X, x0) −→ Π1(X, x0).

La propiedad 1 es consecuencia de que la composicion de funciones esasociativa. La propiedad 4 es aun mas evidente pues id∗(f ) = id∗

f =

f .

5. Sean f : X → Y una funcion continua, x0 y x1 puntos en X conectadospor un camino s : I → X . Notemos a f (x0) como y0 y a f (x1) por y1.Entonces el siguiente diagrama es conmutativo, i. e., T f sf ∗ = f ∗T s.

Π1(X, x0) Π1(Y, y0)

Π1(X, x1) Π1(Y, y1)

f ∗

T s

T f s

f ∗

6. Si h : X → Y es un homeomorfismo entre espacios topologicos, en-tonces el homomorfismo: inducido h∗ : Π1(X, x0) → Π1(Y, y0) es unisomorfismo h∗ h−1

∗ = (h h−1)∗ = id∗, es decir, h∗ es biyectiva.

El recıproco de esta ultima propiedad no es cierto en general; por ejem-plo, veremos que Π1(R2, x0) = Π1(S 2, y0) pero R2 no es homeomorfoa S 2. En lenguaje categorico decimos que el funtor no es completa-mente fiel, i. e. el grupo no caracteriza al espacio.

La propiedad que h sea monomorfismo o epimorfismo esta lejos de reflejarse

en que h∗ lo sea. Por ejemplo, si m : [0, 1] −→ S 1

es un camino sobreyectivo,el homomorfismo m∗ : 0 −→ Z es el unico posible.

Veamos a continuacion dos ejemplos que ilustren como usar los homo-morfismos inducidos para resolver problemas topologicos.

Ejemplo 4.27 (Un espacio que no essimplemente conexo). Consideremos el es-pacio A dado por la union de dos circun-ferencias tangentes (x, y) : (x + 1)2 + y2 =

1 ∪ (x, y) : (x − 1)2 + y2 = 1 y la funcion

f : A −→ S 1

dada por f (x, y) = (|x| − 1, y).




4.3.2. Retracciones y retractos

Definicion 4.29. Una retraccion de un espacio topologico X sobre unsubespacio A ⊆ X es una funcion r : X −→ A continua y tal que r|A = idA.A se llama entonces un retracto de X , en el sentido de que el espacio se ha

retraıdo de manera continua a un subespacio.

Si r : X −→ A una funcion continua de un espacio topologico X sobreun subespacio A ⊆ X , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. r es una retraccion.

2. r(a) = a para todo a ∈ A.

3. r i = idA para A i→ X

r−→ A donde i es la inclusion.

4. r : X −→ A es una extension de idA : A −→ A.

5. En terminos categoricos r admite un inverso a derecha.

6. Cualquier funcion continua A → Y para cualquier espacio Y puede serextendida a una funcion continua X → Y .

Si no tenemos la igualdad entre las funciones, sino tan solo la relacion dehomotopıa, esto es, r i idA, decimos que A es un retracto debil de X .

Ejemplo 4.30.

Para todo espacio X , los subespacios unitarios A = x son un retrac-to.

Un intervalo cerrado [a, b] es un retracto de R.

a b

a

b




Un intervalo abierto (a, b) no es un retracto de R. En efecto, si X esun espacio de Hausdorff, todo retracto A de X es un conjunto cerrado,ya que A es el subconjunto de X donde coinciden las dos funcionescontinuas idX y r.

Si X = I × I y A = I × 0, entonces

r : I × I −→ I × 0

dada por la proyeccion r((x, y)) = (x, 0) esuna retraccion.

Sea D2 ⊆ R2 el disco unitario cerrado. El disco perforado D2 − 0se retrae (retracta) sobre S 1 por medio de la funcion f (x) = x

x .Notese que la definicion de f depende de que el disco sea punteado en(0, 0).

Una de las propiedades mas importantes de una retraccion es que ellainduce un homomorfismo sobreyectivo entre los grupos fundamentales.

Proposicion 4.31. Si r : X → A es una retracci´ on, i : A → X es la inclusi´ on y x0 ∈ A, entonces r∗ : Π1(X, x0) → Π1(A, x0) es un epimorfismoy i∗ : Π1(A, x0) → Π1(X, x0) es un monomorfismo.

Demostraci´ on. Como r i = idA para A i→ X

r−→ A, tenemos que loshomomorfismos inducidos

Π1(A, x0) i∗−−→ Π1(X, x0)

r∗−−→ Π1(A, x0)

satisfacen r∗ i∗ = idΠ1(A,x0), con lo que r∗ es epimorfismo y i∗ es mono-morfismo.

La anterior proposicion nos permite conocer la no existencia de retrac-ciones como en el siguiente teorema.

Teorema 4.32 (Teorema de Borsuk en dimension 2). S 1 no es un retracto de D2.

Demostraci´ on. En caso de existir una retraccion r : D2 −→ S 1 del disco ensu borde, tenemos que existe un epimorfismo Π1(D2, x0)

r∗

−−→ Π1(S 1, x0) o

en otras palabras, r∗ : 0 → Z es sobreyectivo, lo cual es falso.




El teorema anterior podrıa llamarse un teorema de no existencia. ¿Puedeun tal teorema ser util en topologıa? Sı, y la respuesta es poder demostrarel teorema 4.33.

Recordemos que un espacio topologico X tiene la PPF o propiedaddel punto fijo

si toda funcion continua f : X −→ X tiene un punto fijo,i. e., existe x ∈ X con f (x) = x. (La PPF es un invariante topologico y esheredable a los retractos).

Teorema 4.33 (Teorema del punto fijo de Brower). D2 tiene la pro-piedad del punto fijo.

Demostraci´ on. Sea h : D2 −→ D2 unafuncion continua. Si h(x) = x para todox ∈ D2 definimos r : D2 −→ S 1 comor(x) igual al punto de S 1 donde la semi-

recta −−−−→h(x), x corta a S 1. Como h es conti-nua (puntos cercanos tienen imagenes cer-canas) r es continua, y ademas si x ∈ S 1

entonces r(x) = x, luego r es una retrac-cion y esto es una contradiccion en virtuddel teorema 4.32.

r(x) = x

h(x)

r(x)x h(x)

La version n–dimensional de este teorema fue probada por L. Brower en1910.

Funtores

Hemos llegado a un buen momento para revisar los conceptos de cate-gorıas y funtores.

Una categorıa (O, M) consiste de una coleccion O llamada los objetosde la categorıa, y de una coleccion M de conjuntos cuyos elementos sonllamados los morfismos o las flechas de la categorıa, con la propiedad quepara cada par de objetos A, B ∈ O existe un conjunto M or(A, B) ∈ M quesatisface:

1. Para cada trıo A, B,C de objetos, existe la composicion de morfismosdenotada por

, tal que si f

∈ M or(A, B), g

∈ Mor(B, C ) entonces

g f ∈ M or(A, C ).




Ejemplo 4.37 (El toro). T = S 1 × S 1 tienecomo grupo fundamental

Π1(S 1 × S 1) = Π1(S 1) × Π1(S 1) = Z× Z.

Notese que el grupo (Z × Z, +) tiene dos gene-radores (0,1) y (1,0), los cuales corresponden alas clases de homotopıa de los caminos cerradosa, b : [0, 1] → S 1 × S 1 como en la figura. ComoΠ1(S 1) no depende del punto base, igual sucedepara Π1(T ).

Ejemplo 4.38 (Plano perforado). R2−0 es homeomorfo a (0, ∞)×S 1

Figura 4.10: Plano perforado.

por medio de la funcion f (x) = (x

, x

x), la cual tiene como inversa la

funcion g(t,y) = ty. Por el homeomorfismo tenemos que Π1(R2 − 0) =Z× 0 ∼= Z. Notese que la primera variable es introducida para garantizarla unicidad de f (ver ejemplos 4.28 y 4.30).

Este mismo homeomorfismo puede ser definido para mostrar queRn − 0 ∼= (0, ∞) × S n−1.

4.3.3. Equivalencias para homotopıa

Recordemos (ver definicion 4.34) que en la categorıa Top de los espaciostopologicos y las funciones continuas, dos espacios X , Y son equivalentes

X ≡ Y si existen f : X → Y , g : Y → X continuas y tales que f




g = idY , g f = idX . A los elementos de una clase de equivalencia losllamamos homeomorfos o del mismo tipo topologico y lo notamos X ≈Y . Designamos por [X ]≈ la clase de espacios homeomorfos a X .

Que X , Y sean equivalentes en la categorıa TopH , donde los objetos

son los espacios topologicos y M orH (X, Y ) := [X, Y ] = [f ] : las clases dehomotopıa para funciones f : X → Y significa que:

Definicion 4.39. Sean X , Y espacios topologicos. Decimos que X es equi-valente homotopicamente a Y , o que X es del mismo tipo de homo-topıa que Y si existen funciones f : X → Y , g : Y → X , tales que

f g idX , g f idY .

La relacion X ≡ Y en T opH la notamos X Y . Notese que g es unainversa homotopa a izquierda de f (y viceversa), es decir, g es inversible

por homotopıa. f se llama una equivalencia para homotopıa.La relacion X Y es en efecto una relacion de equivalencia en Top: Las

propiedades reflexiva y simetrica son inmediatas. La relacion es transitiva,pues dadas f, g equivalencias para X Y y u, v para Y Z entonces(seccion 4.3.1)

g v u f g idY f = g f idX

y

u f g v u idY v = u v idZ .

Luego X y Z son del mismo tipo de homotopıa. Pero hemos probado masde la cuenta, esto es, que la composicion de dos equivalencias de homotopıaes una equivalencia de homotopıa con inverso de homotopıa la composicion delos inversos de homotopıa.

Notemos por [X ] la clase de todos los espacios equivalentes homotopica-mente a X . Por supuesto, si X ≈ Y (i. e. son homeomorfos) tenemos queX Y , esto es [X ]≈ ⊆ [X ], pero en sentido contrario estamos lejos de laigualdad. Luego la clasificacion de espacios por medio de es mas gruesaque por ≈. Veamos el ejemplo siguiente.

Ejemplo 4.40 (Equivalencias no equivalentes). En R2 consideremos

los subespacios X = S 1 y Y = S 1(x, 0)|1 < x < 2 como en la figura.




Ejemplo 4.44. El plano perforado R2 − 0es del mismo tipo de homotopıa que S 1. Defi-namos g : R2 − 0 → S 1 como g(x) = x

xla cual tiene como inversa la funcion inclusion

i : S 1

→ R2

− 0. Es claro que g f = idS 1 yque idR2−0 f g vıa la homotopıa G(x, t) =

(1−t)x+t

x

x

. Las flechas en el dibujo indi-

can de que manera se mueven los puntos durantela homotopıa.

Este mismo trabajo funciona para mostrar que Rn − 0 S n−1.

Notese que en estos ejemplos 4.40 y 4.44 las funciones involucradas son unaretraccion r : X → A y la inclusion i : A → X (para los apropiados X yA). Como r es retraccion, r i = idA. La otra condicion dice que i r idX .La generalizacion de este hecho nos motiva la siguiente seccion.

4.3.4. Retractos por deformacion

La nocion intuitiva de una deformacion es la siguiente. Un espacio es defor-mable (retraıble de manera continua) a un subespacio A ⊆ X si X puedeser “aplastado poco a poco” o contraıdo de manera continua a Y . “Aplas-tado poco a poco” significa que tenemos una especie de homotopıa perocon espacios topologicos en lugar de caminos. Por ejemplo un cuadrado escontraıble de manera continua a uno de sus lados, o la letra en “negrilla”O (es como una corona) es contraıble a la letra “normal” O (es como una

circunferencia), o la cinta de Mobius a su circunferencia interior.

Notese que las retracciones por deformacion son faciles de visualizar yson un tipo muy particular de equivalencias homotopicas. La definicion esla siguiente.

Definicion 4.45. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X . Decimos que Aes retracto por deformacion de X si existe una retraccion r : X → A quees inversa homotopicamente a la inclusion i : A → X . En otras palabras,r i idA y i r idX (rel A) (ver definicion 4.5). Esto es, existe unahomotopıa H : X × I → X para la cual

1. Cada punto a ∈ A permanece fijo durante la deformacion, H (a, t) = a




Ejemplo 4.46.

1. Una corona se retracta a S 1. (Ver figura 4.11) La circunferencia S 1

es un retracto por deformacion de la coronaC =

(x, y)

|14 < x2 + y2 < 4

mediante la homotopıa H (x, t) =

(1 − t)x+ t xx .

2. S n−1 es un retracto por deformacion de Rn − 0. Nuevamente el

trabajo lo hacen las homotopıas lineales H (x, t) = (1 − t)x + t x

x .

3. El origen 0 ∈ Rn es un retracto de deformacionde Rn o del disco cerrado Dn.

4. Sea A es un espacio topologico. El espa-cio X = A × Dn (una especie de cilindrorelleno en torno a A) satisface X A.

A

5. Por el ejemplo anterior, para el toro soli-do X = S 1 × D2 tenemos que X S 1 ypor tanto X S 1.

6. Dado un espacio X el cono C (X ) es con-tractil: C (X ) x0

7. Este ejemplo, figura 4.13, nos produce tres espacios que son retrac-ciones por deformacion de un disco con dos agujeros: la union por unpunto de dos circunferencias, dos circunferencias unidas por un seg-mento de recta y finalmente a la union de tres arcos con puntos finales

en comun (algo ası como la letra θ). Curiosamente estos retractos por




generadores ya que T − p 8 (figura 4.14).

Nota: Es importante que la homotopıa H —como en toda homotopıa—se mantenga en el espacio X , es decir, que en los pasos intermedios de ladeformacion al retracto no nos salgamos del espacio en que estamos. Si en

el ejemplo 4.46, a la corona le anadimos el punto (4, 0) (o cualquier otropunto que no este en ella) obtenemos un nuevo espacio C ∪ (4, 0) el cualya no es un retracto por deformacion a S 1 pues para llevar al punto (4, 0)hasta S 1 tendremos que pasar en la deformacion por fuera del codominioX = C ∪ (4, 0) de H .

Los retractos por deformacion son utiles cuando se trata de calcular gruposfundamentales.

Corolario 4.47. Si X A, entonces X A.

Demostraci´ on. Es consecuencia directa de la definicion 4.45.

Corolario 4.48. Si X A y x0 ∈ A, entonces Π1(X, x0) Π1(A, xo).

Demostraci´ on. Por el teorema 4.42 tenemos que r∗ : Π1(X, x0) → Π1(A, x0)y i∗ : Π1(A, x0) → Π1(X, x0) son isomorfismos cada uno inverso del otro.

Ejemplo 4.49. Π1(R2 − 0, x0) ∼= Π1(S 1, x0) ∼= Z para x0 = (1, 0).

Esto implica que R2 − 0 y R2 no son homeomorfos.

Ejemplo 4.50. La homotopıa H : Rn+1

×[0, 1]

→Rn+1 dada por

H ((x1, x2, . . . , xn+1), t) = (x1, x2, . . . , xn, (1 − t)xn+1)

muestra que Rn es un retracto de deformacion de Rn+1.

Cuando en la practica se trata de trabajar con homotopıa, es importante“desarrollar el ojo” para los espacios con el mismo tipo de homotopıa. Enlo general se evita (hasta donde es posible) tener una mirada “laboriosa”para dos funciones f : X −→ Y , g : X −→ Y y homotopıas f g 1X y g f 1X , ademas de escribir las homotopıas en detalle. Quisieramospoder decir en un vistazo si los espacios son del mismo tipo de homotopıao no.




Espacio Grupo fundamental

Convexo en Rn Trivial

Circunferencia ZPlano punteado Z

Corona ZCilindro Z

Cinta de Mobius ZS n, n ≥ 2 Trivial (ver ej. 4.66)

Toro Z× ZToro solido ZRP n, n ≥ 2 Z2, ejemplo 5.27

Toro perforado [a, b; ] grupo libre con 2 generadores

θ [a, b; ] grupo libre con 2 generadores

Cuadro 4.1: Primeros calculos.

Ejemplo 4.59. Pensemos en la figura “ocho”(dada por el numero 8), esto es S 1 ∨ S 1 =(S 1

S 1)/(1, 0), (0, 1). ¿Como serıa su grupo

fundamental? Existen dos caminos cerrados enx0 que a primera vista no son homotopos, el ca-mino a y el camino b.

a b

x0

Los caminos cerrados en x0 son reducibles (de manera natural) a la forma· · · ∗am∗bn∗a p∗bq ∗ · · · donde un camino se descompone en viajes alternadosde un numero finito de veces alrededor de a y b (am := a ∗ · · · ∗ a m–veces).

Por tanto es razonable concluir que para este espacio Π1(X, x0) es el grupolibre de dos generadores a y b (ver el ejemplo 2.44, o de manera equivalente:el grupo libre de dos grupos cıclicos infinitos).

Para el calculo del grupo fundamental de espacios mas complicados comola botella de Klein, el plano proyectivo, complementos de nudos, etc. sonnecesarios resultados mas bien complicados. Una tactica comun es dividirel espacio X en pedazos apropiados (cuyos grupos fundamentales sean yaconocidos) y a partir de ellos calcular el grupo para todo el espacio.

Sea (X, x0) un espacio punteado, el cual podemos expresar como la unionX = X 1 ∪ X 2 con X 1, X 2 abiertos y con x0 ∈ X 0 := X 1 ∩ X 2. Usamos elpunto x0 como punto base para X 1 y X 2. Supongamos que ya sabemos como

es el grupo fundamental de los espacios X 1 y X 2. ¿Que podemos entonces




X 1 X 2

a

u0(t) = u(rt) y u1(t) = u(r + (1 − r)t) con lo cual u0 es un camino de x0 a y, u1 es un camino de y a x1. Entonces, si v = u0 u1 tenemos que [u] = [v] = [u0 u1] = [u0][u1].

Demostraci´ on. Para v tenemos que

u0 u1(t) = u0(2t) t

∈ [0, 12 ],

u1 (2t − 1) t ∈ [ 12 , 1], = u(2rt) t

∈ [0, 12 ],

u(r + (1 − r)(2t − 1)) t ∈ [ 12 , 1].

En otras palabras, la reparametrizacion f : [0, 1] → [0, 1] con f (t) = 2rt para0 ≤ t ≤ 1

2 y f (t) = r + (1 − r)(2t − 1) para t ≥ 12 satisface v(t) = u(f (t)).

Ademas, f es continua con f (0) = 0 y f (1) = 1. Por tanto la funcionh : I × I → X dada por h(s, t) = u((1 − s)t + sf (t)) es una homotopıah : u v rel0, 1.

Corolario 4.61. Sea u : [0, 1] → X un camino de x0 a xn, y supongamos que 0 = r0 < r1 < . . . < rn = 1. Sea xi el punto xi := u(ri) y definamos ui : [0, 1] → X como ui(t) = u(ri + t(1 − ri)), con lo que ui es un camino de xi a xi+1. Entonces [u] = [u0][u1]

· · ·[un−1].

Demostraci´ on. Por el lema anterior podemos hacer induccion sobre n.

Por el Lema de Lebesgue, dado el camino cerrado a en X , para elcubrimiento abierto X 0, X 1, X 2 de X existe una particio n 0 = p0 < p1 < p2 < · · · < pm = 1 de [0, 1] tal que ai := a([ pi−1, pi]) ⊆ X 1 oai := a([ pi−1, pi]) ⊆ X 2, y ademas, a = a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ am; como X 0 es conexopor caminos podemos conectar a x0 con cada uno de los puntos a( pi) pormedio del camino bi.

Ahora consideremos el camino cerrado

(a1 ∗ br1) ∗ (b1 ∗ a2 ∗ br2) ∗ · · · ∗ (bm−1 ∗ am)



4.4. TEOREMA DE SEIFERT—VAN KAMPEN 133

Demostraci´ on. Si existiera un homeomorfismo f : R2 → Rn entoncesR2−0 ≈Rn−f (0); pero como S 1 y S n−1 son, respectivamente retractospor deformacion de estos dos ultimos espacios tenemos queZ = Π1(R2 − 0, 1) = Π1(Rn − f (0), 1) = Π1(S n−1, 1) = e.

Ejemplo 4.68. R2

− dos puntos es equivalente homotopicamente a lafigura “ocho” o θ, ası que Π1(R2 − dos puntos) es tambien el grupo librecon dos generadores. Mas aun, puede ser mostrado que Π1(R2−n puntos)es el grupo libre con n generadores (ver ejemplo 4.69).

Version general del teorema de Seifert—Van Kampen

Supongamos que un espacio (con punto base) se descompone como launion de una coleccion de subconjuntos abiertos Aα conexos por caminosy x0 ∈ Aα para cada Aα. Los homomorfismos inducidos jα : Π1(Aα) −→Π1(X ) (inducidos por las funciones inclusion Aα

→ X ) se extienden a un

homomorfismo φ : ∗αΠ1(Aα) −→ Π1(X ). El teorema afirma que φ es sobre-yectivo y podemos esperar en general que su kernel no sea trivial, pues siiαβ : Π1(Aα∩Aβ ) −→ Π1(Aα) es el homomorfismo inducido por la inclusionAα ∩ Aβ → Aα entonces jα iαβ = jβ iβα , para los dos homomorfismosinducidos por Aα∩Aβ → X ası que kernel(φ) contiene a todos los elementosde la forma iαβ ([a])iβα([a])−1 para [a] ∈ Π1(Aα ∩ Aβ ).

El teorema asegura entonces que esta es una buena descripcion de φ.

Sea (X, x0) la union de abiertos Aα conexos por caminos y cada uno con-teniendo al punto x0. Si cada una de las intersecciones Aα ∩ Aβ es conexapor caminos, entonces el homomorfismo φ : ∗αΠ1(Aα) −→ Π1(X ) es sobre-yectivo. Si ademas cada interseccion A

α ∩Aβ ∩

Aγ

es conexa por caminos,el Ker(φ) es un subgrupo normal N generado por los elementos de la for-ma iαβ ([a])iβα([a])−1 para [a] ∈ Π1(Aα ∩ Aβ ), y φ induce un isomorfismoΠ1(X ) ≈ ∗αΠ1(Aα)/N .

Recordemos que el producto cuna ∨αX α de una coleccion de espaciospunteados (X α, xα) es el espacio cociente de la union disyunta ΣαX α de losespacios, donde los puntos base xα son identificados a un solo punto. Si cadapunto xα es un retracto por deformacion de una vecindad abierta U α ⊆ X αentonces X α es un retracto de deformacion de su vecindad abierta Aα =X α

β =α

U β . La interseccion de dos o mas vecindades Aα esαU α la cual es

un retracto de deformacion a un punto. Entonces el teorema de Seifert—Van

Kampen implica que φ : ∗αΠ1(X α) −→ Π1(∨αX α), es un isomorfismo.



4.5. ΠN (X), UNA GENERALIZACION 135

relacion de homotopıa.

Si remedamos esta definicion para S n a cambio de S 1 tenemos,

Πn(X, x0) := [(S n, 1), (X, x0)].

En otras palabras, el n–esimo grupo de homotopıa es el conjunto de todaslas funciones punteadas α : (S n, 1) → (X, x0) —donde α(1) = x0 para1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ S n— modulo la relacion de equivalencia dada por lahomotopıa punteada

α β :⇔ existe H : S 1 × [0, 1] → X tal que H 0 = α, H 1 = β.

Figura 4.16: El camino se deforma de manera continua en otro, mientras que elglobo no.

Revisemos, desde este punto de vista el caso n = 0. Π0(X ) es en generaltan solo un conjunto (sin estructura algebraica). Por definicion S 0 es lafrontera del disco 1–dimensional D1 = [−1, 1]. Ası que, S 0 = −1, 1 tienedos puntos y necesitamos fijar uno de ellos, digamos 1 como el punto base. Six0 es el punto base en X y α : S 0 → X es una funcion punteada con α(1) =x0 y α(−1) ∈ X un punto cualquiera, tenemos entonces una biyeccion entreel conjunto de funciones punteadas C ∗(S 0, X ) y X viala funcion α → α(−1).

Si α, β ∈ C ∗(S 0, X ) son tales que α β , esto significa que existeH : S 0 × [0, 1] → X tal que H 0(−1) = α(−1) y H 1(−1) = β (−1) para−1 ∈ S 0, H t(1) = x0 pata todo t ∈ [0, 1] y, H (−1, ) : [0, 1] → X conH (

−1, )(t) = H (

−1, t) es continua con H (

−1, 0) = α(1) y H (

−1, 1)) =

β (1), i.e., H (−1, ) es un camino en X de α(1) a β (1). Por tanto, α β



4.5. ΠN (X), UNA GENERALIZACION 137

Demostraci´ on. Las demostraciones se siguen de manera similar al caso delgrupo fundamental, pero teniendo cuidado de trabajar sobre la primera coor-denada x1 del punto x. A manera de ejemplo demostramos el item 1 tomandocomo referencia la homotopıa construida en la proposicion 4.12. Si F : f f

y G : g

g definimos

H ((x1, . . . , xn), t) =

F ((2x1, x2, . . . , xn), t), si 0 ≤ x1 ≤ 1

2 ,

G((2x1 − 1, x2, . . . , xn), t), si 12 ≤ x1 ≤ 1.

La operacion f + g pasa al cociente si definimos la multiplicacion de clasescomo [f ] + [g] = [f + g], y en este caso tenemos una estructura de grupoabeliano —esta es la razon por la que hemos elegido la notacion + para laoperacion— sobre

Πn(X, x0) := [(I n, ∂I n), (X, x0)].

Como por paso al cociente tenemos el homeomorfismo I n/∂I n

≈ S n, las

funciones f : (I n, ∂I n) → (X, x0) son lo mismo que las funcionesα : (S 1, 1) → (X, x0) puesto que el punto base 1 = ∂I n/∂I n va en x0.Esto reconcilia las dos presentaciones que hemos dado para Πn(X, x0).

Re–visemos, desde este punto de vista, el caso n = 0. Π0(X, x0) es denuevo el conjunto da las componentes conexas por caminos ya que I 0 es unpunto y ∂ I 0 = ∅.

Para n ≥ 2 el grupo Πn(X, x0) resulta ser abeliano y es por supuesto uninvariante topologico.

El calculo de los grupos Πn(X, x0) es una dura tarea en matematicas.Aun sobre espacios simples como las esferas S n, este es un problema abierto.A manera de ejemplo hacemos algunos comentarios.

Si n > 1, entonces Πi(S n) = 0 para i < n.

Πn(S n) = Z.

Sobre Πi(S n) para i > n hay mucho por decir; a manera de ejemploΠ3(S 2) = Z fue calculado por Heinz Hopf en los anos 1930 y representael interes por la teorıa de homotopıa. En general, Πi(S n) es “general-mente” no nulo si i > n.

Por supuesto, la construccion de Πn(X, x0) es functorial en el sentido que

tenemos homomorfismos inducidos a partir de funciones punteadas entre



Capıtulo 5

Espacios recubridores

Contenido

5.1. Teoremas de levantamiento de caminos . . . . . 1355.2. Homomorfismos inducidos por proyecciones re-

cubridoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.2.1. Criterio para el levantamiento de funciones. . . . . 144

5.3. Clasificacion de los recubrimientos sobre un es-pacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Cuando calculamos el grupo Π1(S 1) utilizamos un espacio recubridor de lacircunferencia S 1. Este espacio fue R por medio de la funcion p : R −→ S 1

la cual visualizamos como la proyeccion de una helice infinita que yace sobrela circunferencia, cubriendola.

La definicion de un espacio recubridor sera la generalizacion de esteejemplo y de sus propiedades; de suerte que, algunos de los hechos queprobamos para la funcion p (por ejemplo, los levantamientos de caminos yde homotopıas) seran validos en la teorıa general, y por tanto tendremosmas herramientas para calcular grupos fundamentales. Ası como R es mas“sencillo” que S 1, en general, los espacios que cubren seran mas sencillosque los espacios cubiertos aunque localmente sean similares. Ademas, seenriquecera la relacion entre el algebra y la topologıa.

La teorıa de espacios de recubrimiento es una teorıa clasica y hermosa,cuyos orıgenes estan tanto en el analisis como en la topologıa. ¿Por que in-cluir este tema en un texto sobre topologıa y algebra? La razon es algo

mas bien sorprendente: la clasificacion de los espacios recubridores de un

139



140 CAPITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

espacio X dado depende sobre el grupo fundamental Π1(X, x0): hay tantosespacios recubridores diferentes como subgrupos diferentes tenga Π1(X, x0).Otra oportunidad es la de poder efectuar algunos calculos de grupos funda-mentales.

Definicion 5.1. Un espacio recubridor o recubrimiento de un espacioX es un espacio X (lo notamos ası, para recordar que la cubre a X ) junto con una funcion continua p : X −→ X sobreyectiva ( p es la funcionrecubridora, X el espacio base) la cual localmente alrededor de cadapunto del espacio base X luce esencialmente como la funcion canonica deuna union disyunta de copias del espacio sobre el original. Esta propiedad

p

U ×A

U |

1

local se define formalmente como:

Existe un recubrimiento abierto U αα de X tal que para cada α, elconjunto p−1(U α) es una union disyunta de conjuntos abiertos en X , cadauno de los cuales es enviado de manera homeomorfa sobre U α, i.e.,

1. p−1(U α) = i∈I U αi con U αi

∩U αj =

∅ para i

= j.

2. p|U αi : U αi ≈ U α (homeomorfismo local).

Dicho de otra manera, para cada x ∈ X existe una vecindad abiertaU x (llamada vecindad elemental) tal que p−1(U x) = ΣU j, ( j ∈ J ) esuna union disyunta de conjuntos (llamados las sabanas sobre los U j) con p(U j) ≈ U x —localmente la preimagen de U x es union disyunta de copias deU x, es decir, p−1(U x) ≈ U x×(conjunto discreto)—; este conjunto discreto esprecisamente p−1(x).

Definicion 5.2. Si p :

X −→ X es un recubrimiento, el cardinal # p−1(x)

de una fibra sobre x es llamado la multiplicidad del cubrimiento en el

punto x.



141

La multiplicidad es obviamente localmente constante y si la base X delcubrimiento es conexa entonces es globalmente constante, i. e., el cardinalde las fibras es el mismo, y se puede hablar del numero de hojas delcubrimiento.

Ejemplo 5.3 (Recubrimiento trivial). Si X es un espacio topologico yD es un espacio discreto, entonces la funcion proyeccion p : X = D×X → X con p(d, x) = x es un recubrimiento.

Ejemplo 5.4. p : R −→ S 1 con p(t) = (cos 2πt, sen2πt). El cubrimientoU αα∈1,2 utilizado en la demostracion del teorema 4.23 consistio de launion de dos arcos abiertos cuya union era S 1 y p−1(U α) era una unioninfinita de intervalos abiertos disyuntos homeomorfos a U α. Este en un cu-brimiento con un numero infinito y enumerable de hojas.

Ejemplo 5.5. Si X ≈ X —homeomorfos— entonces X es un espacio derecubrimiento de una sola hoja.

Ejemplo 5.6. La proyeccion natural q : S n → RP n esun espacio de recubrimiento de dos hojas. De maneraparticular dibujamos el caso n = 2, donde mostramosun abierto fundamental U del espacio base y su res-pectivo recubrimiento por dos hojas (ver el ejemplo5.27 para el calculo de su grupo fundamental). U

Ejemplo 5.7. Para cada n ∈ N definimos la funcion pn : S 1 −→ S 1 como pn(z) = zn para z ∈ C con z = 1. Si en R2 utilizamos coordenadas polares(r, θ) la circunferencia esta definida por la condicion r = 1 y la funcion se

puede describir como pn(1, θ) = (1, nθ).Todo intervalo abierto de S 1 es una vecindad elemental y se tiene un

recubrimiento de n–hojas. Por supuesto esta funcion no la podemos realizaren un mundo tridimensional pero sı la podemos visualizar como la proyeccionen R3 de una circunferencia que se enrolla n-veces alrededor de un cilindroque se intercepta en n − 1 puntos, pero uno “piensa” que no se intercepta(como en la botella de Klein).

Ejemplo 5.8. Si p : X −→ X y q : Y −→ Y son funciones de recubrimiento,entonces p × q : X × Y −→ X × Y es una funcion de recubrimiento. Enefecto, el producto de vecindades elementales es una vecindad elemental, con( p

×q )−1(V x

×V y) = (α,β ) V α

×V β donde p−1(V x) = α V α y q −1(V y) =β V β .



143

espacios topologicos; exactamente, las llamadas propiamente discontinuas.Por ejemplo µ : Z × R → R con µ(n, x) = n + x. De R/Z ≡ S 1 tenemosΠ1(R/Z) = Π1(S 1).

Ejemplo 5.10. Las figuras 5.4 y 5.3 muestran dos espacios recubridores delespacio 8 = S 1

∨S 1 formado por las dos circunferencias A y B y el punto q

en comun.

Figura 5.3: Un cubrimiento de tres sabanas

En la segunda figura 5.4, la proyeccion p enrolla la primera circunferencia(de izquierda a derecha) en X una vez alrededor de la circunferencia A, lasegunda dos veces alrededor de B, la tercera dos veces al rededor de A, yası sucesivamente, como se indica. Notese que la fibra en cada punto x ∈ X consta exactamente de cuatro puntos y que se trata de un cubrimiento decuatro hojas.

X =

A B

2B

q

W x

p

U 1

U 3

U 2 U 4

Figura 5.4: W x es una vecindad elemental y U i, i = 1, 2, 3, 4 son sus vecindadeshomeomorfas.

Ejemplo 5.11. Si p :

X −→ X es una funcion recubridora, X 0 es un sub-

espacio de X y X 0 = p−1(X 0), entonces la restriccion p0| : X 0

−→ X 0 es

tambien una funcion recubridora.



5.1. TEOREMAS DE LEVANTAMIENTO DE CAMINOS 145

dominio herede las propiedades topologicas que son locales en el codominioX (conexidad local, compacidad local, etc.). Si ademas f es sobreyectiva, X tambien hereda las propiedades locales de M .

Corolario 5.14. Para cada recubrimiento p :

X −→ X la funci´ on p es una

funci´ on cociente; esto es, la topologıa sobre X es la topologıa cociente con respecto a p.

Demostraci´ on. En efecto, p es continua, abierta y sobreyectiva; por tantoV ⊆ X es abierto si y solo si p−1(V ) es abierto en X .

Ejemplo 5.15. El hecho de que una funcionf : M → X sea un homeomorfismo local so-breyectivo no implica que tenemos un recubri-miento del espacio X . Por ejemplo, si M es elintervalo abierto (0, 2)

⊂R y X = S 1 la funcion

f (x) = exp(x) : (0, 2) → S 1 no garantiza la exis-tencia de vecindades elementales para el punto1 ∈ S 1 y por tanto no se trata de una funcionde recubrimiento.

f

5.1. Teoremas de levantamiento de caminos

El buen comportamiento de los espacios recubri-dores con respecto a los levantamientos es una desus cualidades. Recordemos que dado un recu-

brimiento p : X −→ X un levantamiento de unafuncion continua f : Y −→ X es una funcioncontinua f : Y −→ X tal que p f = f .

X

Y X p

f f

Por supuesto no toda funcion tiene porque admitir levantamientos; porejemplo, la funcion id : S 1 → S 1 no admite un levantamiento con respectoal recubrimiento p : R → S 1 con p(x) = e2πix. En otras palabras, no existeuna funcion continua g : S 1 → R tal que p g = idS 1.

Veremos que, con respecto a los caminos en el espacio base, sı podemosestar tranquilos.

En general sabemos que si p : X

−→ X es un espacio de recubrimiento y

g : [0, 1] −→ X es un camino en X , entonces p g es un camino en X . Ahora,




en cuanto a homotopıas tenemos que, si g0, g1 : [0, 1] −→ X con g0 g1entonces p g0 p g1.

Podemos preguntarnos por una especie de resultado inverso, es decir,

Si f : [0, 1] −→ X es un camino en X , ¿existe un camino g : [0, 1] −→X (levantamiento de f ) tal que p g = f ?

Si g0, g1 : [0, 1] −→ X y p g0 p g1 ¿podemos concluir que g0 g1?

En efecto, la respuesta a estas preguntas es afirmativa, y esta dada por dosteoremas.

Teorema 5.16 (Levantamiento de caminos). Sean p : X −→ X un recubrimiento y f : [0, 1] −→ X un camino con punto inicial f (0) = x0.Dado un punto

x0 en la fibra de x0 —

x0 ∈ p−1(x0)— existe entonces un

´ unico camino f : [0, 1] −→ X comenzando en x0 y que levanta a f , i.e.

p f = f . (Una vez fijemos el punto inicial sobre x0, esto es a x0, el caminoes entonces levantado de manera ´ unica).

•

•

f f

x0

•

•

x0f

1

Figura 5.5: Construccion del levantamiento

Demostraci´ on. Si el camino f esta contenido en una vecindad elementalU α no hay ningun problema para obtener el levantamiento, puesto que siV ∈ p−1(U α) es tal que x0 ∈ V entonces la restriccion p |V : V ≈ U α nosproduce el levantamiento al tomar p |−1

V f .

Como f en general no esta contenida en una unica vecindad elemental

U α entonces procedemos de la manera siguiente: f se puede expresar como el



5.1. TEOREMAS DE LEVANTAMIENTO DE CAMINOS 149

Por definicion, p H = H ; el problema es mostrarla continuidad. La demostracion se basa en elhecho de que, para cada punto y ∈ Y existe unavecindad N y tal que sobre la vecindad N y×I (un

tubo alrededor de

y

×I ) la funcion H

|N y×[0,1] :

N y × [0, 1] → X es continua y por tanto H :

Y ×[0, 1] → X lo es, al serlo sobre cada miembrode un cubrimiento abierto de Y × [0, 1]. y0

Y

I

I t

Sea U = U αα el cubrimiento por vecindades elementales de X . Dadoun punto y0 ∈ Y para cada t ∈ [0, 1] sean I t = (at, bt) una vecindad det y N t una vecindad conexa de y0 tales que la vecindad producto N t × I tsatisface H (N t × I t) ⊆ U α para algun U α ∈ U (continuidad de H en (y, t)).Como y0 × I es compacto, finitos productos de la forma N ti × I ti cubrena y0× I . Sean N ti las correspondientes vecindades de y0 para estas finitasvecindades I ti . Sean N una vecindad conexa de y0 tal que Y

⊆ ni=1 N ti y

δ es el numero de Lebesgue para el cubrimiento abierto I tini=1, existe unaparticion 0 = a0 < a1 < .. . < an = 1 del intervalo [0, 1] tal que ai+1−ai < δ ,y por tanto H (N × [ai, ai+1]) esta contenida en alguna vecindad elementalU α la cual denotamos por U i+1.

Como p h0 = h0 y N × 0 es conexo, h0(N × 0) esta contenido enuna unica componente (son disyuntas) U 1 de p−1(U 1) y entonces H (N ×[a0, a1]) ⊆ U 1. Ahora, p |U 1 proyecta de manera homeomorfa U 1 en U 1 y por

tanto la funcion F : N × [a0, a1] → X dada por F (y, t) = p |−1U 1

H (y, t)esta bien definida y es continua.

Ahora (y de manera constructiva) extendemos la definicion de F al in-

tervalo [0, a2], esto es, a N × [0, a2]. Seleccionamos una vecindad elementalU 2 en X tal que

H (N × [a1, a2]) ⊆ U 2 y

F (N × a1) ⊆ U 2 para U 2 componente de p−1(U 2).

F puede ser extendida a N × [a1, a2] si definimos F (y, t) = p |−1U 2

H (y, t).Notese que en el punto de interseccion t = a1 las dos definiciones por F coinciden. Repitiendo este proceso para cada intervalo [ai, ai+1], obtenemosuna funcion F : N × [0, 1] →

X con la propiedad que F (y, t) = hy(t) para

cada y

∈ N y t

∈ I . Por tanto, F = H

|N ×I , y como F es continua, ası lo esH .




Corolario 5.19. Sean p : X −→ X un espacio de recubrimiento, x0 ∈ X ,x0 ∈ p−1(x0). Si H : f g rel0, 1 : I → X son caminos hom´ otopos con punto inicial x0 y f , g : I → X son sus levantamientos comenzando en el mismo punto

x0 entonces

f

g, y tienen el mismo punto final

f (1) =

g(1).

Demostraci´ on. La restriccion de la homotopıa H |1×[0,1] : 1 × [0, 1] → p−1(x0) dada por t → ht(1) es una funcion continua que llega a la fibradiscreta y por tanto se trata de una funcion constante.

5.2. Grupo fundamental y espacios recubridores

X

↓

X

Figura 5.7: Los levantamientos de caminos homotopos llegan al mismo punto de lafibra, f (1) = g(1).

5.2.1. Homomorfismo inducido por una proyeccion recubri-dora.

Lema 5.20. Sea p : ( X, x0) −→ (X, x0) un espacio de recubrimiento. En-tonces la funci´ on

ϕ : Π1(X, x0) → p−1(x0) dada por ϕ([α]) =

α(1)

donde α es el ´ unico levantamiento de α con la condici´ on α(0) = x0.



5.2. GRUPO FUNDAMENTAL Y ESPACIOS RECUBRIDORES 153

2. Si C ∈ C y g ∈ Π1(X, x0), entonces g−1Cg ∈ C.

3. Cada subgrupo conjugado de G( X,x0) en Π1(X, x0) es de la forma G(

X,

x1) para

x1 ∈ p−1(x0).

Demostraci´ on. Primero veamos que C es una clase conjugada de subgrupos.Supongamos que G( X,x0), G( X,x1) ∈ C.

Sea τ : I → X un camino que conecta a x0 conx1 con lo que p τ es un camino en X cerradoen x0; ademas, [ p τ ]−1 = [ p τ r]. Mostremosque para g = [ p τ ] se tiene que G( X,x0) =g−1G( X,x1)g. Para ello, dado [α] ∈ Π1( X,x0),entonces para [β ]:=T τ [α] = [τ ατ r ] ∈ Π1( X,x1)se tiene que x0

x0

x1

τ

↓ p

p∗([β ]) = p∗([τ ατ r]) = [ pτ ][ pα][ pτ r ] = [ pτ ][ pα][ pτ ]−1 = gp∗([α])g−1

con lo que los subgrupos G( X,x0), G( X,x1) son conjugados y seran igualessi g ∈ N [G( X,x0)] en Π1(X, x0) (ver definicion de normalizador en la pagina13).

El diagrama 5 de la pagina 108 se aplica en esta situacion y nos produceel siguiente diagrama donde T τ y T pτ son isomorfismos

Π1( X,

x0) Π1(X, x0)

Π1( X,x1) Π1(X, x0)

p∗

≈

T τ

T pτ

≈

p∗

Supongamos ahora que, p∗(Π1( X, x)) ∈ C y g = [β ] ∈ Π1(X, x0). El caminoβ tiene un unico levantamiento τ = β que comienza en x terminando enalgun punto x1 ∈ p−1(x0). Entonces

g−1 p∗(Π1( X, x))g = p∗(Π1( X, x1)) ∈ C

ya que si [α] ∈ Π1(

X,

x), entonces g−1 p∗([α])g = p∗([τ r ατ ]) ∈ p∗(Π1(

X,

x1))

y de manera contraria, si [γ ]

∈ Π1( X, x1), entonces para [α] = [τ α τ r] se

verifica que p∗([γ ]) = g−1 p∗([α])g.



5.4. CLASIFICACION DE LOS RECUBRIMIENTOS SOBRE UN ESPACIO 159

Notese que efectivamente la composicionϕ2 ϕ1 de dos morfismos es de nuevo un mor-fismo puesto que p3 (ϕ2 ϕ1)= ( p3 ϕ2) ϕ1

= p2

ϕ1 = p1, y existe para cada objeto el

morfismo identidad id : X → X .

X 1 X 2 X 3

X

p1

ϕ1 ϕ2

p2

p3

Proposicion 5.29. Cada morfismo ϕ : X 1 → X 2 es sobreyectivo.

coinciden

x0

x1 x

ϕ

X 1 X 2

h = p2 f = g

g = p2 f

f

p2 p1

x2

y

ϕ h(1) = f (1)

Figura 5.9: Coinciden.

Demostraci´ on. Sea y ∈ X 2 y veamos que existe x ∈ X 1 tal que ϕ(x) = y. Seax1 punto base en X 1 y x2 = ϕ(x1) con x0 = p1(x1) = p2(x2) — recuerdeseque p2 ϕ = p1—. Tomemos un camino f en X 2 con origen en x2 y extremo

en y . Si g es el camino g = p2 f en X , entonces el levantamiento h = p2 f con punto inicial en x1 y con punto final, digamos x, satisface que tanto f como ϕ

h tienen punto inicial en x2 y por tanto sus extremos (y todo por

el teorema 5.16) deben coincidir ϕh(1) = f (1), es decir, ϕ(x) = y.




Pero el cono C (X ) (sobre el espacio X ⊆ R2),como subespacio de R3 si es semi–localmentesimplemente conexo. En efecto, dada una vecin-dad V x del punto de tangencia x (los demas pun-tos tienen una vecindad homeomorfa al intervalo

abierto (0, 1)), consideremos entonces una bolaabierta suficientemente pequena para no conte-ner al punto P vertice del cono. x

P

Un camino α cerrado en el punto x puede ser deformado al punto x siconsideramos a “todo” el espacio C (X ), pues lo levantamos hasta el punto P y luego lo contraemos a x por el cono mas exterior (al fin y al cabo C (X ) escontractil y los espacios contractiles son simplemente conexos, lo que implicaque son semi–localmente simplemente conexos).

Notese que C (X ) no es localmente simplemente conexo, lo es semi–localmente (hay que abandonar la vecindad!).

Definicion 5.40. Sea n un entero no–negativo. Un espacio topologico X se llama un espacio localmente euclidiano de dimension n si cadapunto de X tiene una vecindad homeomorfa a Rn o Rn+. Recordemos queRn+ = x ∈Rn : x1 ≥ 0, si n ≥ 1.

Ejemplo 5.41. Los espacios localmente euclidianos 0–dimensionales sonlos espacios topologicos discretos. Los siguientes son ejemplos de espacioslocalmente euclidianos: Rn, cualquier subconjunto abierto de Rn, S n, RP n,CP n, Rn+, cualquier subconjunto abierto de Rn+, Dn, toro, esferas, manijas,botella de Klein, Cinta de Mobius, etc.

Un punto a de un espacio localmente euclidiano de dimension n sellama un punto interior de X , si a tiene una vecindad (en X ) ho-meomorfa a Rn. Un punto a ∈ X que no es interior se llama un puntofrontera. El conjunto de todos los puntos frontera lo notamos ∂X ylo llamamos la frontera de X .

Puede mostrarse que para un espacio localmente euclidiano el interiorde X es un conjunto abierto y denso en X , mientras que ∂X es uncerrado denso en ninguna parte.

El interior de un espacio localmente euclidiano de dimension n es un

espacio localmente euclidiano de dimension n sin frontera.




Demostraci´ on. La desarrollaremos en cinco pasos:

1. ¿Quien es Y como conjunto y p como funcion?

2. Construccion de una base

B para una topologıa en Y .

3. (Y, p) trabaja bien como recubrimiento.

4. Y es conexo por caminos.

5. Demostracion del isomorfismo G(Y, y0) ≈ G.

1. Si ya tuvieramos una funcion de recubrimien-to p : (Y, y0) → (X, x0) como deseamos, ¿comopodrıamos entonces caracterizar los puntos de lafibra Y x como objetos expresados en terminos delo que hasta ahora poseemos: (X, x0) y G? Bien,

a cada camino α de x0 a x corresponde un puntoperfectamente determinado en la fibra sobre x,dado por el punto α(1) donde termina el unicolevantamiento de α que comienza en y0.

x0 x

y0

xα

α

↓ p

Todos los puntos en Y x serıan obtenidos de esta manera y, dos caminosα, β determinarıan el mismo punto si y solo si el camino cerrado α · β r

representa un elemento de G.

Sea Ω(X, x0, x) el conjunto de todos los caminos en X de x0 a x. Defini-mos para este conjunto una relacion de equivalencia α ∼ β :⇔ [α β r] ∈ Gy definimos los conjuntos Y x y Y como

Y x := Ω(X, x0, x)/ ∼ ; Y := x∈X

Y x.

Ademas, definimos a y0 como la clase del camino constante en Ω(X, x0, x0)y a p : Y → X como Y x → x, de suerte que p es sobreyectiva y p(y0) = x0.La clase de α en Ω(X, x0, x)/ ∼ la notamos [α]∼ para distinguirla de [α] laclase por homotopıa.

2. Demos a Y una topologıa que lo haga conexo por caminos y p :(Y, y0) → (X, x0) una funcion de recubrimiento. Notese ahora que, ademasde p y Y tenemos los levantamiento de caminos.

Para t

∈ [0, 1] sea αt

∈ Ω(X, x0, α(t)) el camino “parcial” dado por

s → α(ts) —solo recorremos una parte del camino, desde x0 hasta α(t)—.



6.1. COMPLEJOS SIMPLICIALES 175

lineales,

ni=0

tivi con 0 ≤ ti ≤ 1 yni=0

ti = 1.

Los coeficientes t0, . . . , tk son numeros reales llamados las coordenadasbaricentricas del respectivo punto

ni=0 tivi.

Por supuesto, dada una celda [v0, . . . , vk], cualquier subconjunto de susvertices tambien determina una celda de menor dimension y llamada unasubcelda de la celda dada. De manera mas general, una r−subcelda de σ =[v0 · · · vk] es la r-celda generada por cualquier subcoleccion de v0, · · · , vkque consta de r + 1 vertices. Si τ es una r-subcelda de σ , escribimos τ < σ.En particular, cuando se omite un solo vertice de la celda dada, la subcelda

[v0, v1, . . . ,

vi, . . . , vk]

(esta notacion significa que el vertice vi ha sido omitido) es una k−1–celda yes llamada simplemente una cara de la celda [v0, . . . , vk]. Ası que una k-celdatiene k + 1 caras (una por cada vertice omitido) y 2k+1 − 1 subceldas. Launion de todas las caras se llama el borde o frontera de la celda. Si k > 0,llamamos interior de la celda a la celda menos el borde (el complementodel borde). Para el caso k = 0 definimos definimos el interior como la misma0-celda.

Ejemplo 6.3. Una 2-celda [v0, v1, v2] tiene 7subceldas de las cuales 3 son caras: [

v0, v1, v2] =

[v1, v2], [v0, v1, v2] = [v0, v2], [v0, v1, v2] = [v0, v1]

y corresponden a los lados de la region triangu-lar. Por supuesto el borde seran las lıneas queconforman el triangulo. v0 v2

v1

Un complejo simplicial es entonces un conjunto finito de celdas unidas deuna manera coherente a fin de no tener problemas tecnicos con la topologıaque le asignamos a esta union.

Definicion 6.4. Un complejo simplicial o complejo celular K es unsubespacio de Rn junto con una lista finita de celdas que satisfacen:

1. La union de las celdas es el conjunto K .



178 CAPITULO 6. HOMOLOGIA

6.2. Homologıa sin orientacion, i.e. mod 2

6.2.1. Cadenas, ciclos y fronteras

Uno de los pasos fundamentales para introducir los grupos de homo-logıa es poder describir el borde o frontera para las celdas y los complejossimpliciales.

v0v0 v1 v0 v1

v2

v0

v1

v2

v3

Figura 6.7: Las primeras celdas...

v0 v1 v0 v1

v2

v0

no es s´ olido

v1

v2

v3

Figura 6.8: Los bordes de las primeras celdas...

Recordemos que cuando se omite un solo vertice de una celda, la subcelda[v0, v1, . . . , vi, . . . , vk] es una (k − 1)–celda, y es llamada simplemente unacara de la celda [v0, . . . , vk].

Ahora, dado un complejo celular K , el conjunto de todas las celdas dedimension n lo notamos como S n(K ), de suerte que el borde de cada cel-da en S n(K ) es un conjunto de elementos en S n−1(K ). Estamos entonces apunto de definir una funcion “borde” la cual asigna a cada celda su borde,

pero el borde ¡no es una celda! es un conjunto de celdas, por tanto debe-




Definicion 6.15. Los elementos de C n(K ) en el kernel de ∂ n son los n–ciclos y, a este subgrupo nuevamente lo notamos Z n(K ). La palabra cicloproviene del caso n = 2 donde los ciclos corresponden a caminos cerradosalrededor de un triangulo con vertices v0, v1, v2.

Definicion 6.16. Los elementos de C n−1(K ) que son la imagen de ∂ n sonlos (n−1)–bordes y a este subgrupo nuevamente lo notamos Bn−1(K ). Sonlas (n − 1)–cadenas que son borde de alguna n–cadena.

Ejemplo 6.17. Sea K la superfi-cie del tetraedro. Cada elemento deC 2(K ) es de la forma m1[v1, v2, v3]+m2[v0, v2, v3]+m3[v0, v1, v3]+m4[v0, v1, v2]con mi ∈ Z.Como el sımplice de mayor dimension es 2,entonces C 3(K ) = 0, y por tanto B2(K ) =

∂ 3(C 3(K )) = 0.

v1

v2

v3

v0

Por definicion, C −1(K ) = 0 y ası Z 0(K ) = C 0(K ); es decir, Z 0(K ) esel grupo libre abeliano con cuatro generadores v0, v1, v2, v3. Como C 1(K )es a su vez generado por los 6 lados [v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v1, v2], [v1, v3]y [v2, v3] entonces B0(K ) es generado por la imagen de estos generadoresv1 − v0, v2 − v0, v3 − v0, v2 − v1, v3 − v1 y v3 − v2 —en un homomorfismo, laimagen de un grupo esta generada por la imagen de los generadores—. Peroesto no implica que la imagen sea libre sobre estos generadores, por ejemplov2 − v1= (v2 − v0) − (v1− v0), pero sı es libre sobre v1 − v0, v2− v0 y v3 − v0.

Si σ

∈ C 1(K ), entonces

σ = m1[v0, v1] + m2[v0, v2] + m3[v0, v3] + m4[v1, v2] + m5[v1, v3] + m6[v2, v3]

y ∂ 1(K ) = 0 si cada vertice se anula y para ello es necesario que aparezcael mismo numero de veces y con la misma multiplicidad tanto positivo co-mo negativo; en otras palabras, aparecer una vez como punto inicial de unsegmento y otra vez como punto final de otro.

Las siguientes cadenas son 1-ciclos, son los lados o bordes de los cuatrotriangulos del tetraedro, y demostraremos que ellos son los generadores delnucleo Z 1(K ).

σ1 = [v1, v2] + [v2, v3] + [v3, v1],



6.3. HOMOLOGIA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z— 191

6.3.1. Grupos de homologıa

Definicion 6.20. El grupo cociente H n(K ) = Z n(K )/Bn(K ) es el n-esimogrupo de homologıa con coeficientes enteros asociado al complejosimplicial K , n > 0. H 0(K ) = C 0(K )/B0(K ). La homologıa para K es

entonces la sucesion

H ∗(K ) = H 0(K ), H 1(K ), H 2(K ), H 3(K ), . . ..

Si queremos ser enfaticos acerca de que grupo estamos usando para nuestroscalculos, H n(K ) es notado como H n(K ;Z). Dos n–ciclos σ1, σ2 son llamadoshomologos si su diferencia es un n–borde, i.e. si σ1−σ2 ∈ B(K ) con lo quepertenecen a la misma clase de equivalencia.

Un grupo de homologıa H n(K ) es por definicion un grupo abeliano generadofinitamente. Por tanto y de acuerdo con el teorema 2.28 el puede ser escritode la forma F

T , donde F es un grupo libre abeliano finitamente generado

(la suma directa de copias de Z), y T es un grupo abeliano finito. Loselementos de T son precisamente estos elementos del grupo de homologıaque tienen orden finito, y son llamados los elementos con torsi on. El rangode F , esto es, el numero de sumandos de Z, es llamado el numero deBetti de K y se nota β n.

Ejemplo 6.21. Sea K la circunferencia simpli-cial orientada como se muestra en la figura y lacual es una triangulacion de S 1.Si σ ∈ C 1(K ), entonces∂ 1(σ) = ∂ 1(m0[v0, v1]+m1[v1, v2]+m2[v2, v0]) =m0(v1

− v0) + m1(v2

− v1) + m2(v0

− v2) =

(m2 − m0)v0 + (m0 − m1)v1 + (m1 − m2)v2 = 0. v0 v1

v2

Esto implica que los coeficientes deben de ser iguales, m0 = m1 = m2.Por lo tanto, el Ker(∂ 1) consta de todas las cadenas multiple enteras de σ ,i.e. Z 1(K ) = Z. Como ∂ 2 = 0, obtenemos H 1(K ) = Z.

El calculo que hemos hecho de ∂ 1 tambien nos muestra que la imagen de∂ 1 consiste de todas las expresiones (m2−m0)v0+(m0−m1)v1+(m1−m2)v2,y como m1 − m2 = −(m2 − m0) − (m0 − m1), esto es equivalente a todas lasexpresiones de la forma t0v0 + t1v1 + t2v2 con t2 = −(t0 + t1). Por lo tanto,

t0v0 + t1v1 + t2v2 = t0v0 + t1v1

−(t0

−t1)v2 (6.4)

= t0(v0 − v2) + t1(v1 − v2). (6.5)




Esto implica que B0(K ) = ∂ 1(C 1) = Z× Z.

Por otra parte, si σ ∈ C 0(K ), entonces σ = a0v0 + a1v1 + a2v2 lo que esequivalente a expresarlo como a0(v0−v2)+a1(v1−v2)+(a2+a1+a0)v2, estoes, como un elemento en B0(K ) mas un multiplo de v2 (ver ecuacion 6.4).

Por lo tanto, el grupo cociente C 0/B0 esta generado por v2 y es isomorfo aZ. En resumen, tenemos:

H 0(S 1) = Z, H 1(S 1) = Z y H i(S 1) = 0 para i > 1.

Estas igualdades nos dicen que efectivamente, y como lo indica el sentidocomun, existe un hueco 1–dimensional, i.e. un 1–ciclo que no es borde deningun 2–sımplice o 2–cadena existente en el espacio S 1. Veremos en elteorema 6.23 que H 0(S 1) = Z significa que el espacio es conexo por caminos

Ejemplo 6.22. Sea K la superficie del tetrae-dro como en el ejemplo 6.17, la cual es una trian-

gulacion de la esfera S 2 y calculemos los gruposde homologıa H n(S 2,Z).Los unicos posibles grupos no triviales son paran = 0, 1, 2, 3. Ya hemos encontrado que Z 0(K )es el grupo libre abeliano con cuatro generadoresv0, v1, v2, v3, B2(K ) = 0, Z 1(K ) = B1(K )Z 2(K ) = Z.m1[v1, v2, v3]+ m2[v0, v2, v3] + m3[v0, v1, v3] +m4[v0, v1, v2] con mi ∈ Z.

v1

v2

v3

v0

Como el sımplice de mayor dimension es 2, entonces C 3(K ) = 0, y por

tanto B2(K ) = ∂ 3(C 3(K )) = 0.Ya tenıamos en el ejemplo 6.17 que Z 2(K ) = Z y B2(K ) = 0; por tanto,

H 2(K ) = Z con lo que

H 2(S 2) = Z.

Vimos que B1(K ) = Z 1(K ), ası que el grupo cociente H 1(S 2) = 0 es elgrupo trivial.

Estas ultimas igualdades nos dicen que efectivamente y como lo indica elsentido comun, existe un hueco 2–dimensional, i.e. un 2–ciclo que no esborde de ningun 3–sımplice o 3–cadena existente en el espacio S 2 y, que noexisten huecos 1–dimensionales al estilo del que posee la circunferencia.

El siguiente teorema nos muestra una bonita relacion entre H 0(K ) y




Π0(K ).

Teorema 6.23. H 0(K ) es un grupo libre abeliano cuyo rango es el n´ umerode componentes conexas por caminos de K .

Demostraci´ on. La idea es mostrar que dos vertices v, w estan en la mismacomponente conexa si y solo si resultan ser homologos. En efecto, si v y wpueden ser conectados por una sucesion de lados vv1v2 . . . vkw tales que dosvertices consecutivos no son iguales, entonces

v − w = ∂ 1([v, v1] + [v1, v2] + · · · + [vk, w]).

Finalmente, dos vertices que se encuentren en diferentes componentes de K no son homologos ya que no existen lados unidos que los puedan conectar.Ası que, seleccionar un vertice por cada componente es equivalente a escogeruna coclase en H 0(K ).

Los anteriores dos ejemplos nos dan una informacion sobre las esferas S 1

y S 2: tienen diferentes grupos de homologıa y esto implica que no sonhomeomorfas. En general veremos que H n(S n) = Z y H 0(S n) = Z, peroH k(S n) = 0 para 0 < k < n. Como consecuencia tenemos, por ejemplo, queS 3 y S 4 no son homeomorfas, respuesta que no pudimos obtener a partirdel grupo fundamental.

Ejemplo 6.24 (Homologıa de la re-gion anular). Sea A la superficie de laregion anular comprendida entre dos cir-

cunferencias y con la triangulacion indica-da por la figura. Como A es conexa porcaminos tenemos H 0(A) = Z.Los unicos posibles grupos no triviales sonpara n = 0, 1, 2.Si σ es un 1–ciclo, y si [ p1, p2] tienecoeficiente r en σ, entonces α = σ −r∂ 2([ p1, p2, v1]) es una cadena que no con-tiene el lado [ p1, p2] y es homologo a σ, i.e.σ − α es un borde.

v1

v2

v3

v4

v5

p1 p2

p3 p4

p5

Notese que lo que hemos hecho es dar un desvıo por los lados [ p2, v1]

y [v1, p1] a fin de evitar el paso por [ p1, p2]. Un calculo rapido muestra que




a

1 34

5

2

b c

b c

d e f d

a

g h i g

a a

a

b

c

Figura 6.13: El toro y una triangulacion.

Si miramos una curva A cerrada y orientada como en la figura 6.12,claramente su borde es 0 y ademas no encierra, no es borde de ningunaregion que pertenezca al toro; mientras que B representa una curva tambiencerrada, pero en este caso aunque tampoco tiene borde, sı es el borde de laregion del toro conformada por las tres areas triangulares orientadas como enla figura. Ambos son elementos de Z 1(T ) pero B tambien lo es de B1(T ). Bes precisamente la clase de 1–ciclo que no proporciona informacion adicionaly especıfica sobre el toro —el comportamiento de B es el mismo para todasuperficie— y por ello es eliminado al pasar al cociente en Z 1(T ) y conformara H 1(T ) = Z 1(T )/B1(T ).

Un buen ejemplo de ciclos homologos lo constituyen α y σ, ya que su

diferencia α−σ es el borde de la region tubular C mostrada en la figura 6.12,y por tanto, pertenecen a la misma clase en H 1(T ) puesto que α−σ ∈ B1(T ).

Examinemos en detalle la situacion para los dos caminos cerrados α1 =[a, b] + [b, c] + [c, a] y σ1 = [d, e] + [e, f ] + [f, d] dados por la triangulacion ylos cuales corresponden en la figura 6.13 a un camino en la base y el caminosuperior. Si a un ciclo le a˜ nadimos cualquier frontera su clase no cambia ,por tanto podemos anadir los bordes de los triangulos [a,e,b], [b ,f ,c], [c,d,a],lo cual produce la cadena en forma de zig–zag:

[a, e] + [e, b] + [b, f ] + [f, c] + [c, d] + [d, a]

a la cual podemos anadir los bordes de los 2–sımplices [a,d,e], [b,e,f ], [c,d,f ]




a b c a

e f d

Figura 6.14: Un paso en la construccion de caminos homologos.

y obtener a σ1:

[a, d]+[d, e]+[e, b]+[b, e]+[e, f ]+[f, c]+[c, f ]+[f, d]+[d, a] = [d, e]+[e, f ]+[f, d].

Dado σ un 1–ciclo, obtenemos un ciclo α homologo que no contengala hipotenusa [g, b] del triangulo [g,b,h] —notado 1— en la triangulacion,al multiplicar el borde del triangulo por el multiplo apropiado (esta fue latecnica utilizada en el ejemplo 6.24) y anadirlo a σ, i.e. α = σ − r∂ ([g,b,h]),pues al fin y al cabo al anadir bordes a un ciclo se obtienen ciclos homologos.Ahora, de este nuevo ciclo α obtenemos uno homologo y que no contiene ellado [h, b] del triangulo [h,b,c], al sumar un multiplo del borde del triangulonotado como 2.

Continuando de esta manera sobre losdiferentes triangulos, obtenemos un ciclohomologo a σ que solo puede tener lados enel esquema siguiente. Pero de existir tal ci-clo, el no puede contener alguno de los lados[h, i], [i, g],[e, f ], [f, d] interiores al cuadrado,pues entonces su borde no serıa 0.

h

f e

i

d

g

Por tanto, σ resulta homologo a un 1–cicloteniendo lados unicamente en las circunferen-cias σ1, σ2 que resultan de identificar los ladosdel cuadrado (ver figura). Pero al tomar unade estas circunferencias, cada lado que apare-ce en ella debe aparecer el mismo numero deveces que los otros lados o no habrıa formade obtener que su borde sea 0.

σ1

σ2

Por supuesto un lado en σ1 no tiene por que aparecer el mismo numerode veces con que otro aparece en σ2, solo se obliga a los que estan en lamisma circunferencia. Si el borde de una 2–cadena tiene lados en σ1 y σ2

todos los triangulos en la 2–cadena deben tener el mismo coeficiente a fin de




que el lado comun pueda ser cancelado y por tanto su borde es cero. Estoimplica que los 1–ciclos σ1 y σ2 son suficientes y necesarios para generar acada clase de homologıa, i.e. [σ] = rσ1 + sσ2 para cada 1–ciclo σ. Por tanto,

H 1(T ) = Z× Z.

Si hacemos la suma de todos los 2–sımplices orientados como en la figura6.12, tenemos un ejemplo de una 2–cadena α; y si calculamos el borde de estasuma, entonces cada lado de la triangulacion ocurre exactamente dos vecesen el resultado —una vez con cada una de sus dos posibles orientaciones—y por tanto el borde es 0 y tenemos ası que α es un 2–ciclo.

Si tomamos cualquier otro 2–ciclo, es facil observar que el debe ser unmultiplo de este primer 2–ciclo α. En efecto, si el triangulo [a,b,c] esta en el2–ciclo con coeficiente r entonces r [b, c] aparece en su borde. Este lado debeser entonces parte de otro triangulo en T cuyo tercer vertice lo notamos d ypara poder cancelar a r[b, c] debemos orientar al triangulo adyacente como

[d,c,b] —compatible ası con [a,b,c]— y ademas debe estar incluido en nues-tro 2–ciclo con el mismo coeficiente r. Lo propio ocurre para cada par detriangulos adyacentes, lo que obliga a que todos los tri angulos —orientadoscomo en la figura 6.12 deben aparecer el mismo numero de veces. Por tan-to, Z 2(T ) = Z y como B2(T ) = 0 —puesto que no existen 3–sımplices—obtenemos que,

H 2(T ) = Z.

Como T es conexo por caminos,

H 0(T ) Z.

Ejemplo 6.26 (Homologıa de la botella de Klein). Si K es la botellade Klein, ya tenemos por la conexidad que H 0(K ) = Z.

A diferencia —y en realidad como contraste— del toro, ahora tenemosque Z 2(K ) = 0, i.e. no hay 2–ciclos. En efecto, notese que cada 1–sımpliceocurre como cara de exactamente dos 2–sımplices; por ejemplo [a, b] ocurrecomo cara con la misma orientacion para los dos triangulos [a,b,e] y [a,b,i](ver la figura 6.15).

Por tanto, si uno de los dos triangulos es un sumando de un 2–ciclo σ,el otro debe estar en σ y ademas con el mismo coeficiente; pero esto a suvez obliga a que este [a,i,g] a fin de poder cancelar a [a, i] y continuandode esta manera obtenemos que cada 2–sımplice debe estar en σ y con el

mismo coeficiente; por tanto σ es un multiplo de esta cadena formada por




H 1(K ) = Z× Z2.

El cual es nuestro primer ejemplo de un grupo con coeficiente de torsi on 2y numero de Betti 1.

a

b c

c

b

a b

ac

1 3 42

Figura 6.16: La cinta de Moebius y una triangulacion

Ejemplo 6.27 (Homologıa de la cinta de Mobius). Dado un 1–ciclo σ,al restarle multiplos de los bordes de los triangulos 2, 3 o 4 podemos llevarlohasta un ciclo homologo σ teniendo lados solo en los bordes superior einferior del rectangulo y en el lado [a, b], i.e., en la circunferencia que rodeala cinta o el segmento de pega [a, b] (ver figura 6.16), donde los lados queaparecen en la circunferencia deben tener el mismo coeficiente —eliminamoslos lados en la parte interior al rectangulo—.

Ahora, la 2–cadena δ formada por la suma de todos los triangulos tienecomo borde ∂ 2(δ ) a los lados superior e inferior en el rectangulo mas 2[a, b], ycomo los lados [a, c] y [c, b] en la parte superior del rectangulo deben aparecerel mismo numero de veces, podemos sustraer a σ cierto multiplo adecuado

de ∂ 2(δ ) y obtener ası un ciclo homologo con lados unicamente en el ladoinferior del rectangulo y [a, b] —este ciclo generador es mostrado por laslıneas punteadas en ambas figuras— y por supuesto estos lados orientadosdeben aparecer el mismo numero de veces en el nuevo ciclo, lo que implicaque

H 1(K ) = Z.

Para calcular a H 2(K ), notese que todo 2–ciclo debe contener a los triangu-los 1, 2, 3 y 4 el mismo numero de veces (con la orientacion ), y esteciclo no podrıa entonces tener borde 0 ya que su borde serıa k(2[a, b] +lado superior + lado inferior = 0. Por tanto

H 2(K ) = 0.



6.4. HOMOLOGIA SINGULAR 201

Definicion 6.30. Un n–sımplice singular enun espacio X es entonces definido como una fun-cion σ : ∆n → X (en la figura aparece la imagen∆1). Como σ es tan solo una funcion continua,

no tiene entonces por que preservar la topologıade ∆n a la manera de una inmersion, i.e. puedetener “singularidades” y esta es la razon de lapalabra singular.

Definimos S n(X ) como el conjunto de todos los n–sımplices singulares enX . Como en el caso de la homologıa simplicial, para poder hablar de homo-logıa singular debemos tener un operador borde y para definir este ultimodebemos a su vez tener el concepto de caras para un sımplice regular.

Si n ∈ N, definimos para cada i = 0, 1, . . . , n un homeomorfismodi : ∆n−1 → ∆ni como

di((x0, . . . , xn−1)) = (x0, . . . , xi−1, 0, xi, . . . , xn−1)

para cada (x0, . . . , xi, . . . , xn−1) ∈ ∆n−1. Notese que di es una inmersion de∆n−1 en ∆n —di(∆n−1) es una cara de ∆n—.

Definicion 6.31. Dado un n–sımplice regular σ : ∆n → X al componercon cada una de la n + 1 funciones di obtenemos n + 1 diferentes (n − 1)–sımplices regulares σ di : ∆n−1 → X y cada una de estas funciones σ di

la llamamos la i–esima cara de σ notada como σ i. Hemos definido ası unafuncion ∂ i : S n(X ) → S n−1(X ) dada por ∂ i(σ) = σi para cada σ ∈ S n(X ) yllamado el operador i–esima cara.

6.4.2. Cadenas regulares

Para cada entero n ≥ 0 definimos C n(X ) como el grupo libre abelianosobre S n(X ). Los elementos de C n(X ), llamados n –cadenas singularesson combinaciones lineales de la forma

f = m1σ1 + m2σ2 + · · · + mkσk con mi ∈ Z, σi ∈ S n(X ).

Definicion 6.32. Para cada n –sımplice regular σ ∈ S n(X ) definimos suborde o frontera como la suma alternada de sus caras ∂ n(σ) =

ni=0(−1)iσi.

Extendemos esta definicion de manera lineal (o aditiva) a un homomor-

fismo ∂ n : C n(X ) → C n−1(X ) llamado el operador borde singular o




operador frontera singular; de suerte que, si f = k

i=1 miσi ∈ C n(X )entonces

∂ n(f ) =

ni=0

(−1)imi∂ (σi).

La frontera de una 0–cadena se define como 0, es decir, convenimos en queC −1(X ) = 0.

Por tanto, para cada espacio X tenemos el complejo de cadenas sin-gulares C n(X ), ∂ n —ver recuadro de la seccion 6.2.1—

· · · ∂ n+2−−−→ C n+1(X ) ∂ n+1−−−→ C n(X )

∂ n−→ C n−1(X ) ∂ n−1−−−→ · · · −→ C 1(X )

∂ 1−→ C 0(X )

Solo nos resta verificar el siguiente teorema.

Teorema 6.33. Para cada n ≥ 1 la composici´ on

∂ n−1 ∂ n : C n(X ) ∂ n−→ C n−1(X )

∂ n−1−−−→ C n−2(X )

es el homomorfismo nulo, es decir Im(∂ n) ⊆

K er(∂ n−1).

Demostraci´ on. Por la definicion de homomorfismo es suficiente verificar lacondicion para cada σ ∈ S n(X ).

Antes de todo, observemos que las funciones di : ∆n−1 → ∆n yd j : ∆n → ∆n+1 satisfacen d j di = di d j−1 si 0 ≤ i < j ≤ n.

Esto a su vez implica que al componer con la funcion σ ∈ S n(X ) tenemos

(σ j)i = (σi) j−1.

Ahora bien,

∂ n−1 ∂ n(σ) = ∂ n−1 (∂ n(σ)) = ∂ n−1 n

i=0

(−1)i

σi

=ni=0

(−1)i∂ n−1(σi) =ni=0

(−1)in−1 j=0

(−1) j(σi) j

=

0≤ j<i≤n

(−1)i+ j(σi) j +

0≤i≤ j<n

(−1)i+ j(σi) j

=

0≤ j<i≤n

(−1)i+ j(σ j)i−1 +

0≤i≤ j<n

(−1)i+ j(σi) j

= (−1)

0≤i≤ j≤n

(−1)i+ j(σi) j +

0≤i≤ j<n

(−1)i+ j(σi) j

= 0.



6.4. HOMOLOGIA SINGULAR 203

Como en todo complejo de cadenas tenemos las siguientes definiciones:

1. Una cadena regular f ∈ C n(X ) es un n –ciclo si ∂ n(f ) = 0, i.e. sif ∈ K er(∂ n) = Z n(X ).

2. Si existe f

∈ S n+1(X ) tal que ∂ n+1(f

) = f , decimos que f es unn –borde; esto es, f ∈ I m(∂ n+1) = Bn(X ).

3. El grupo cociente H n(K ) = Z n(K )/Bn(K ) es el n -esimo grupo dehomologıa singular con coeficientes en Z.

4. Queda definida una relacion de equivalencia sobre C n(X ) como:

dos cadenas f 1, f 2 son n –cadenas homologas si f 1 y f 2 difieren enun borde, esto es, si f 1 − f 2 ∈ B(K ), i.e.

f 1 ∼ f 2 :⇔ existe f 3 tal que f 1 − f 2 = ∂ n+1(f 3).

5. X se llama acıclico si H i(X ) = 0, para i > 0.

Ejemplo 6.34. Si X se reduce a un punto, H 0(X ) = Z, y si n > 0 entoncesH n(X ) = 0, es decir X es acıclico.

En efecto, para cada n > 0 existe una sola funcion ∆n → X . Por tantoS n(X ) es unitario y C n(X ) = Z. Para cada sımplice σ : ∆n → X se tiene quetodas las caras σi son iguales digamos a σ0. Por tanto, todos los sumandos en∂ n(σ) =

ni=0(−1)iσi son iguales y tenemos que la suma es: 0 si n es impar

o σ0 si n es par. Luego, ∂ n : C n(X ) → C n−1(X ) es la funcion identidadid(Z) para n par, y la constante a 0 para n impar y ası Z n(X ) = Z si nes impar, y 0 si n es par. Por tanto, H i(X ) = 0 para i > 0 —acıclico— y

H 0(X ) = C 0(X )/Im(∂ 1) = Z/0 = Z.

Proposicion 6.35. Si Π0(X ) = X λλ ∈ Λ es el conjunto de las com-ponentes conexas por caminos de X , entonces para cada n ≥ 0 existe un isomorfismo can´ onico

H n(X ) =λ∈Λ

H n(X λ).

Demostraci´ on. Como ∆n es conexo por caminos, un n –sımplice de X es unn –sımplice de X λ para algun λ ∈ Λ, y ası, una n –cadena σ de X puede serexpresada como una suma

λ σλ donde cada σλ es una n –cadena en X λ.

Por tanto C n(X ) se expresa como una suma directa

⊕λ∈ΛC n(X λ). Como la

imagen de un n –sımplice σ : ∆n → X esta contenida en X λ para algun λ,




Teorema 6.39. Dadas dos funciones continuas f : X → Y y f : Y → Z los homomorfismos inducidos f ∗ y g∗ satisfacen (g f )∗ = g∗ f ∗.

Demostraci´ on. Si [α] ∈ H n(X ) entonces

(g f )∗([α]) = [(g f )#(α)] = [g# f #(α)] = g∗([f #(α)]) = g∗ f ∗([α]).

Corolario 6.40. Para la funci´ on identidad id X : X → X se tiene que id X ∗ = id H n(X ) : H n(X ) → H n(X ).

Demostraci´ on. Es inmediato ya que las construcciones estan basadas en lacomposicion de funciones.

Corolario 6.41. Para cada n ≥ 0, : H n es un funtor de Top en Ab .

Corolario 6.42. Los grupos de homologıa singular son invariantes topol´ ogi-cos, i.e., si X

≈ Y entonces H n(X ) = H n(Y ) (si f es un homeomorfismo

entonces f ∗ es un isomorfismo).

Invarianza por homotopıa

Veamos que los grupos de homologıa no son tan solo invariantes topologicos,sino tambien invariantes homotopicos, i.e. veamos que espacios equivalenteshomotopicamente tienen grupos de homologıa isomorfos. De tal manera quela homologıa es una propiedad topologica m´ss debil que la homotopıa, dadoque existen espacios que tienen los mismos grupos de homologıa, pero noson equivalentes homotopicamente —H n(toro) ≈ H n(toro perforado)—

Teorema 6.43. Si f, g : X → Y son dos funciones continuas hom´ otopas,entonces f ∗ = g∗ : H n(X ) → H n(Y ).

Demostraci´ on. El ingrediente esencial es definir un homomorfismoP n : C n(X ) → C n+1(Y ) conocido como el operador prisma que satisfacela llamada relacion prismatica,

∂ Y n+1 P n + P n−1 ∂ X n = g∗ − f ∗, (6.6)

la cual implica que H n(f ) = H n(g).

Para ello subdividimos el prisma ∆n

×I en (n + 1)–sımplices. La “tapa”

inferior de ∆n × I es ∆n × 0 = [v0, · · · , vn] mientras que la superior



214 BIBLIOGRAFIA

[12] Eilenberg, S., Steenrod, N., Foundations of Algebraic Topology , Princeton Uni-versity Press, Princeton, NJ, 1952.

El primer libro en presentar una teorıa axiomatizada de homologıa y cohomologıa.

[13] Fox, R. H. On topologies for function spaces , Bull. American Math. Soc., 51,

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[15] Gamelin, T. W., Greene, R. E., Introduction to Topology , Second edition, Do-ver Publ., Inc., Mineola, NY, 1999.

[16] Garcıa Marrero, M. Topologıa , Alhambra, Madrid, Vol. 5, 1975.

Un esfuerzo enciclopedico que consta de cinco volumenes.

[17] Greenberg, J. M., Lectures on Algebraic Topology , W. A. Benjamin, NY, 1967.

Una buena introduccion a homotopıa y homologıa, que incluye un tratamientopara los grupos de homotopıa de orden superior.

[18] Janich, K. Topology . Springer, 1984.

Este hermoso libro debe ser leıdo ya! Contents: Introduction. - Fundamental Con-cepts. - Topological Vector Spaces.- The Quotient Topology. - Completion of Metric Spaces. - Homotopy. - The Two Countability Axioms. - CW-Complexes. -Construction of Continuous Functions on Topological Spaces. - Covering Spaces.- The Theorem of Tychonoff. - Set Theory (by T. Brecker). - References. - Tableof Symbols. -Index.

[19] Hatcher, Allen, Algebraic Topology , Cambridge University Press, New York,NY, 2001.

Por fortuna existe una version electronica de este excelente texto en:

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf

[20] Hilton, P. J., Wylie, S., Homology theory: An introduction to algebraic topology ,Cambridge University Press, New York, NY, 1960.

[21] Hrbacek, K., Jech, T., Introduction to set theory , Monographs and Textbooksin Pure and Applied Series, Vol. 220, Marcel Dekker, New York, NY, 1999.

Este es uno de los pocos libro solidos en la moderna teorıa de conjuntos. Curio-samente su primer intento de publicacion, por parte de sus autores Checos, fuefallido.

[22] Kahn, D. W., Topology: An Introduction to the Point Set and Algebraic Areas ,Dover Publ. Inc., Mineola, NY, 1995.

[23] Lefschetz, S., Topology , AMS Coll. Publ. 12, Providence, RI, 1930.



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[26] Lima, Elon Lages, Grupo fundamental e espacos de recobrimento, IMPA, Co-leccion Proyecto Euclides, 1993.

Como dice el autor, “se trata de un libro–texto de caracter introductorio, sinpretenciones de ser una obra de referencia”.

[27] Massey, W. S., Algebraic Topology: An Introduction , Springer Verlag, NewYork, 1967.

Aunque no hace una discusion previa de topologıa ganeral, contiene un tratamientobastante completo de la clasificacion de superficies, el grupo fundamental y losespacios de recubrimiento. este libro ha sido una referencia “estandar”para elteorema de clasificacion de superficies.

[28] Maunder, C. R. F., Algebraic Topology , Dover Publ., Mineola, NY, 1996.[29] Munkres, James R., Topology: a first course , second edition, PrenticeHall, Inc.,

Englewood Cliffs, NJ, 1999.

514 M966top 21. Deberıa ser el texto guıa en muchos cursos.

[30] Munkres, James, Elements of Algebraic Topology , Addison Wesley Publ. Co.,Menlo Park, CA, 1984.

514.2 M966e Aunque no tan exitoso como el texto anterior.

[31] Rubiano O., Gustavo N. Topologıa general , Universidad Nacional de Colombia,2002.

Como material introductorio a la topologıa general es mi favorito.

[32] Spanier, E. H., Algebraic Topology , SpringerVerlag, Berlin Heidelberg NewYork, 1994.

[33] Steen, L. A., Seebach, J. A., Counterexamples in Topology , Dover Publ. Inc.,Mineola, NY, 1995.

Una referencia obligada.

[34] Vassiliev, V. A., Introduction to Topology (Student Mathematical Library, V.14), A. Sossinski (Translator), American Mathematical Society, Providence,RI, 2001.

[35] Viro, O. et al., Elementary Topology, a first course , 2005.

Puede y debe consultarse en: http://www.math.uu.se/~oleg/2topoman.pdf

59076241 fundamentos de topologia algebraic a rubiano

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