topologia i

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALINSTITUTO POLITECNICO NACIONALSECRETARIA ACADEMICASECRETARIA ACADEMICA

DIRECCION DE ESTUDIOS PROFESIONALESDIRECCION DE ESTUDIOS PROFESIONALESESCUELA:ESCUELA:SUPERIOR DE FISICA Y MATEMATICASSUPERIOR DE FISICA Y MATEMATICASCARRERA:CARRERA:LIC. EN FISICA Y MATEMATICASLIC. EN FISICA Y MATEMATICASESPECIALIDAD:ESPECIALIDAD: MATEMATICAS MATEMATICASCOORDINACION:COORDINACION:ACADEMIA DE GEOMETRIAACADEMIA DE GEOMETRIADEPARTAMENTO:DEPARTAMENTO:MATEMATICASMATEMATICAS

ASIGNATURA: ASIGNATURA: TOPOLOGIA ITOPOLOGIA ICLAVE: CLAVE: 07150715 SEMESTRE: SEMESTRE: 7o.7o.CREDITOS: CREDITOS: 99 VIGENTE: VIGENTE: 1994/95. 1994/95.TIPO DE ASIGNATURA: TIPO DE ASIGNATURA: OBLIGATORIAOBLIGATORIAMODALIDAD: MODALIDAD: ESCOLARIZADOESCOLARIZADO

FUNDAMENTACION DE LA ASIGNATURAFUNDAMENTACION DE LA ASIGNATURA

La topología estudia las propiedades de posición de las figuras que se someten a deformaciones tan radicales que hagan cambiar su tamaño o forma.La topología estudia las propiedades de posición de las figuras que se someten a deformaciones tan radicales que hagan cambiar su tamaño o forma.Durante los últimos años los matemáticos aplicados y los ingenieros han utilizado la topología para atacar ciertos tipos de problemas, en particualrDurante los últimos años los matemáticos aplicados y los ingenieros han utilizado la topología para atacar ciertos tipos de problemas, en particualr aquellos que se refieren a ecuaciones diferenciales no lineales. La mayor parte de los fenómenos físicos se pueden describir matemáticamenteaquellos que se refieren a ecuaciones diferenciales no lineales. La mayor parte de los fenómenos físicos se pueden describir matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales.mediante ecuaciones diferenciales.La topología es una de las ramas más fundamentales de la matemática, cuya función es la de resolver ciertas cuestiones que aparecen en otrosLa topología es una de las ramas más fundamentales de la matemática, cuya función es la de resolver ciertas cuestiones que aparecen en otros campos de la matemática, por ejemplo en la Teoría de Funciones de variable compleja, análisis y ecuaciones diferenciales.campos de la matemática, por ejemplo en la Teoría de Funciones de variable compleja, análisis y ecuaciones diferenciales.La asignatura de Topología I tiene como antecedente de asignatura de análisis I, mientras que la asignatura de topología I, es antecedente de laLa asignatura de Topología I tiene como antecedente de asignatura de análisis I, mientras que la asignatura de topología I, es antecedente de la asignatura de Topología II.asignatura de Topología II.El desarrollo del curso es completamente teórica en donde la presentación de ejemplos prácticos darán el contenido geométrico esencial de losEl desarrollo del curso es completamente teórica en donde la presentación de ejemplos prácticos darán el contenido geométrico esencial de los detalles formales planteados.detalles formales planteados.

OBJETIVO DE LA ASIGNATURAOBJETIVO DE LA ASIGNATURA

Proporcionar al estudiante los conocimientos de la topología general para que pueda abordar temas superiores de topología y de análisis matemático.Proporcionar al estudiante los conocimientos de la topología general para que pueda abordar temas superiores de topología y de análisis matemático.

TIEMPOS TOTALES ASIGNADOS:TIEMPOS TOTALES ASIGNADOS:HRS./SEMESTRE HRS./SEMESTRE 85.585.5 HRS/SEMANAHRS/SEMANA 4.5 4.5HRS./TEORIA/SEMESTRE HRS./TEORIA/SEMESTRE 85.585.5HRS./PRACTICA/SEMESTREHRS./PRACTICA/SEMESTRE 0 0

PROGRAMA ELABORADO O PROGRAMA ELABORADO O ACTUALIZADOACTUALIZADOPOR: POR: ACADEMIA DE GEOMETRIAACADEMIA DE GEOMETRIAREVISADO POR: REVISADO POR: DEPTO. DE DEPTO. DE MATEMATICASMATEMATICASAPROBADO POR: APROBADO POR: C.T.C.C.T.C.

AUTORIZADO POR:AUTORIZADO POR:M. en C. OLGA LETICIA HDEZ. M. en C. OLGA LETICIA HDEZ. CHAVEZCHAVEZDIRECTORA DE LA E.S.F.M.DIRECTORA DE LA E.S.F.M.

ASIGNATURAASIGNATURA TOPOLOGIA I TOPOLOGIA I CLAVECLAVE 0715 0715 HOJAHOJA 2 2 DEDE 14 14 No.UNIDAD NOMBRE No.UNIDAD NOMBRE

I ESPACIOS TOPOLOGICOSI ESPACIOS TOPOLOGICOS

OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDADOBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD

Definir los conceptos elementales de un espacio topológico.Definir los conceptos elementales de un espacio topológico.Construir topologías a través de un sistema de generadores.Construir topologías a través de un sistema de generadores.Definir el concepto de las aplicaciones continuas y establecer sus equivalencias.Definir el concepto de las aplicaciones continuas y establecer sus equivalencias.

# DE# DE TEMATEMA

TEMASTEMAS INSTRUMENTACIONINSTRUMENTACION DIDACTICADIDACTICA

H/TH/T H/PH/P E C.E C. CLAVE B.CLAVE B.

1.11.1

1.21.2

1.31.3

1.41.41.51.5

Conjuntos abiertos, cerrados, vecindades,Conjuntos abiertos, cerrados, vecindades, interior, adherencia, frontera.interior, adherencia, frontera.Sistema de generadores y base de unaSistema de generadores y base de una topología.topología.Conjuntos densos. Espacis separables, teoremaConjuntos densos. Espacis separables, teorema de Lindelof.de Lindelof.Aplicaciones continuas.Aplicaciones continuas.Comparación de topologías.Comparación de topologías.

El maestro en el salón de clasesEl maestro en el salón de clases desarrollará los temas de la unidad,desarrollará los temas de la unidad, mientras que el alumno reafirmará susmientras que el alumno reafirmará sus conocimientos aprendidos bajo laconocimientos aprendidos bajo la ejecución de ejercicios correspondientesejecución de ejercicios correspondientes a la unidad.a la unidad.

4.54.5 33 1c1c

2c2c

3c3c

4c4c5c5c


II SUBESPACIOSII SUBESPACIOS


Construir subespacios topológicos en relación a un espacio topológico dado por medio de la topología inducida. En particular, estudiar los subespacios Construir subespacios topológicos en relación a un espacio topológico dado por medio de la topología inducida. En particular, estudiar los subespacios de un espacio métrico.de un espacio métrico.

# DE# DE TEMATEMA



2.12.1

2.22.2

2.32.3

Abiertos, cerrados, vecindades, adherencia en unAbiertos, cerrados, vecindades, adherencia en un subespacio.subespacio.Continuidad de una aplicación con respecto a unContinuidad de una aplicación con respecto a un subespacio.subespacio.Subespacios de espacios métricosSubespacios de espacios métricos

El maestro en el salón de clasesEl maestro en el salón de clases desarrollará los temas de la unidad,desarrollará los temas de la unidad, mientras que el alumno reafirmará susmientras que el alumno reafirmará sus conocimientos aprendidos bajo laconocimientos aprendidos bajo la ejecución de ejercicios correspondientesejecución de ejercicios correspondientes a la unidad.a la unidad.

4.54.5 33 1c1c2c2c3c3c4c4c5c5c


III SUMA DE ESPACIOS TOPOLOGICOSIII SUMA DE ESPACIOS TOPOLOGICOS


Construir la suma de una familia de espacios topológicos y analizar las propiedades de los mismos.Construir la suma de una familia de espacios topológicos y analizar las propiedades de los mismos.

# DE# DE TEMATEMA



3.13.1 Suma de espcios Topológicos.Suma de espcios Topológicos. El maestro en el salón de clasesEl maestro en el salón de clases desarrollará el tema de la unidaddesarrollará el tema de la unidad mientras que el alumno reafirmará susmientras que el alumno reafirmará sus conocimeintos aprendidos bajo laconocimeintos aprendidos bajo la ejecución de ejercicios correspondientesejecución de ejercicios correspondientes a la unidad.a la unidad.

4.54.5 33 2c2c4c4c

ASIGNATURAASIGNATURA TOPOLOGIA I TOPOLOGIA I CLAVECLAVE 0715 0715 HOJAHOJA 5 5 DEDE 14 14

No.UNIDAD NOMBRE No.UNIDAD NOMBRE

IV PRODUCTO DE ESPACIOS TOPOLOGICOSIV PRODUCTO DE ESPACIOS TOPOLOGICOS


Construir el espacio producto de una familia de espacios topológicos, analizando las propiedades del mismo. En particular, establecer el producto de Construir el espacio producto de una familia de espacios topológicos, analizando las propiedades del mismo. En particular, establecer el producto de un número finito de espacios métricos.un número finito de espacios métricos.

# DE# DE TEMATEMA



4.14.1

4.24.2

4.34.3

4.44.4

4.54.5

4.64.64.74.7

Las proyecciones son aplicaciones abiertas.Las proyecciones son aplicaciones abiertas.Adherencia y conjuntos cerrados en espaciosAdherencia y conjuntos cerrados en espacios productos.productos.Producto de un número finito de espaciosProducto de un número finito de espacios métricos.métricos.Aplicaciones continuas en un espacio producto.Aplicaciones continuas en un espacio producto.Asociatividad y conmutatividad de productos.Asociatividad y conmutatividad de productos.Cortes.Cortes.Separabilidad y metrizabilidad de espaciosSeparabilidad y metrizabilidad de espacios productos.productos.

El maestro en el salón de clasesEl maestro en el salón de clases desarrollará los temas de la unidaddesarrollará los temas de la unidad mientras que el alumno reafirmará susmientras que el alumno reafirmará sus conocimientos aprendidos bajo laconocimientos aprendidos bajo la ejecución de ejercicios correspondientesejecución de ejercicios correspondientes a la unidad.a la unidad.

4.54.5 33 1c1c2c2c

3c3c


V ESPACIOS COCIENTESV ESPACIOS COCIENTES


Construir el espacios cociente de un espacio topológico dotado de una relación de equivalencia, y analizar las propiedades del mismo.Construir el espacios cociente de un espacio topológico dotado de una relación de equivalencia, y analizar las propiedades del mismo.Analizar el producto de espacios cocientes.Analizar el producto de espacios cocientes.

# DE# DE TEMATEMA



5.15.15.25.2

5.35.3

5.45.4

5.55.55.65.6

Caracterización de abiertos y cerradosCaracterización de abiertos y cerradosAplicaciones continuas de espacios cocientesAplicaciones continuas de espacios cocientesRelación de equivalencia inducida en unRelación de equivalencia inducida en un subespacio.subespacio.Ejemplo: toros, espacios proyectivos, cinta deEjemplo: toros, espacios proyectivos, cinta de Möbius.Möbius.Relaciones de equivalencia abiertasRelaciones de equivalencia abiertasProductos de espacios cocientes.Productos de espacios cocientes.

El maestro en el salón de clasesEl maestro en el salón de clases desarrollará los temas de la unidaddesarrollará los temas de la unidad meintras que el alumno reafirmará susmeintras que el alumno reafirmará sus conocimientos aprendidos bajo laconocimientos aprendidos bajo la ejecución de ejercicios correspondientesejecución de ejercicios correspondientes a la unidad.a la unidad.

4.54.5 33 2c2c4c4c


VI FILTROSVI FILTROS


Definir y desarrollar las propiedades elementales de los filtros para establecer la convergencia, límites y continuidad en espacios topológicos.Definir y desarrollar las propiedades elementales de los filtros para establecer la convergencia, límites y continuidad en espacios topológicos.

# DE# DE TEMATEMA



6.16.1

6.26.26.36.36.46.46.56.56.66.66.76.76.86.86.96.9

Filtro engendrado por una familia de partes.Filtro engendrado por una familia de partes.Bases de filtrosBases de filtrosUltrafiltrosUltrafiltrosConvergenciaConvergenciaFiltros y topologíaFiltros y topologíaFiltros y continuidad.Filtros y continuidad.Sucesiones y filtros en espaciosSucesiones y filtros en espaciosLímite de una aplicación según un filtroLímite de una aplicación según un filtroPunto adherente a un filtroPunto adherente a un filtro

El maestro en el salón de clasesEl maestro en el salón de clases desarrollará los temas de la unidaddesarrollará los temas de la unidad mientras que el alumno reafirmará susmientras que el alumno reafirmará sus conocimientos aprendidos bajo laconocimientos aprendidos bajo la ejecución de ejercicios correspondientesejecución de ejercicios correspondientes a al unidad.a al unidad.

4.54.5 33 2c2c3c3c4c4c


VII ESPACIOS SEPARADOSVII ESPACIOS SEPARADOS


Desarrollar las propiedades de la separación en los espacios topológicos.Desarrollar las propiedades de la separación en los espacios topológicos.

# DE# DE TEMATEMA



7.17.17.27.27.37.3

Separación de subespaciosSeparación de subespaciosSeparación de espacios productosSeparación de espacios productosSeparación de espacios cocientesSeparación de espacios cocientes

El maestro en el salón de clasesEl maestro en el salón de clases desarrollará los temas de la unidaddesarrollará los temas de la unidad mientras que el alumno reafirmará susmientras que el alumno reafirmará sus conocimientos aprendidos bajo laconocimientos aprendidos bajo la ejecución de ejercicios correspondientesejecución de ejercicios correspondientes a la unidad.a la unidad.

4.54.5 33 2c2c3c3c4c4c


VIII ESPACIOS REGULARESVIII ESPACIOS REGULARES


Desarrollar las propiedades de los espacios regulares y demostrar el teorema de prolongación por continuidad.Desarrollar las propiedades de los espacios regulares y demostrar el teorema de prolongación por continuidad.

# DE# DE TEMATEMA



8.18.1 Teorema de prolongación por continuidad.Teorema de prolongación por continuidad. El maestro en el salón de clasesEl maestro en el salón de clases desarrollará el tema de la unidaddesarrollará el tema de la unidad mientras que el alumno reafirmará susmientras que el alumno reafirmará sus conocimientos aprendidos bajo laconocimientos aprendidos bajo la ejecución de ejercicios correspondientesejecución de ejercicios correspondientes a la unidad.a la unidad.

4.54.5 33 2c2c4c4c


IX ESPACIOS COMPACTOSIX ESPACIOS COMPACTOS


Definir compacidad y desarrollar las propiedades de los espacios compactos.Definir compacidad y desarrollar las propiedades de los espacios compactos.Demostrar que la propiedad de compacidad es invariante bajo aplicaciones continus. Demostrar el teorema de Tijonov, y demostrar la equivalencia deDemostrar que la propiedad de compacidad es invariante bajo aplicaciones continus. Demostrar el teorema de Tijonov, y demostrar la equivalencia de compacidad en espacios métricos.compacidad en espacios métricos.

# DE# DE TEMATEMA



9.19.1

9.29.2

9.39.3

9.49.4

9.59.59.69.6

9.79.7

9.89.89.99.9

Convergencia de filtros en espcios compactosConvergencia de filtros en espcios compactosRegularidad y normalidad de un espacioRegularidad y normalidad de un espacio compacto.compacto.Subconjuntso compactos y relativamenteSubconjuntso compactos y relativamente compactos.compactos.Funciones continuas en espacios compactos.Funciones continuas en espacios compactos.Teorema de Tijonov.Teorema de Tijonov.Extremos de funciones reales continuas yExtremos de funciones reales continuas y semicontinuas sobre espacios compactos.semicontinuas sobre espacios compactos.Un espacio métrico es compacto sí y sólo si esUn espacio métrico es compacto sí y sólo si es precompacto y completo.precompacto y completo.Uniforme continuidad.Uniforme continuidad.Ejemplo. Tarugo de Hilbert.Ejemplo. Tarugo de Hilbert.

El maestro en el salón de clasesEl maestro en el salón de clases desarrollará el tema de la unidaddesarrollará el tema de la unidad mientras que el alumno reafirmará susmientras que el alumno reafirmará sus conocimientos aprendidos bajo laconocimientos aprendidos bajo la ejecución de ejercicios correspondientesejecución de ejercicios correspondientes a la unidad.a la unidad.

4.54.5 33 1c1c2c2c3c3c4c4c5c5c

ASIGNATURAASIGNATURA TOPOLOGIA I TOPOLOGIA I CLAVECLAVE 0715 0715 HOJAHOJA 11 11 DEDE 14 14

No.UNIDAD NOMBRE No.UNIDAD NOMBRE

X ESPACIOS LOCALMENTE COMPACTOSX ESPACIOS LOCALMENTE COMPACTOS


Definir y establecer las propiedades de los espacios localmente compactos.Definir y establecer las propiedades de los espacios localmente compactos.Establecer la compactificación de Alexandrov.Establecer la compactificación de Alexandrov.

# DE# DE TEMATEMA



10.110.110.210.210.310.3

Compactificación de Alexandrov.Compactificación de Alexandrov.Ejemplo: Proyección estereográfica.Ejemplo: Proyección estereográfica.Espacios localmente compactos numerables enEspacios localmente compactos numerables en el infinito.el infinito.


4.54.5 33 2c2c4c4c


XI ESPACIOS CONVEXOSXI ESPACIOS CONVEXOS


Desarrollar la propiedad de conexidad en espacios topológicos.Desarrollar la propiedad de conexidad en espacios topológicos.Descomponer un espacio en componentes conexas. Analizar el producto de espacios convexos.Descomponer un espacio en componentes conexas. Analizar el producto de espacios convexos.

# DE# DE TEMATEMA



11.111.111.211.211.311.311.411.411.511.511.611.6

Conjuntos conexos en Conjuntos conexos en

Imagen continua de un espacio conexo.Imagen continua de un espacio conexo.Espacios conexos por arcos.Espacios conexos por arcos.Teorema del paso de la aduana.Teorema del paso de la aduana.Componentes conexas.Componentes conexas.Producto de espacios conexos.Producto de espacios conexos.


4.54.5 33 1c1c2c2c3c3c4c4c5c5c


XII ESPACIOS LOCALMENTE CONEXOSXII ESPACIOS LOCALMENTE CONEXOS


Definir espacios localmente conexos y obtener las relaciones que existan con la propiedad de conexidad del espacio.Definir espacios localmente conexos y obtener las relaciones que existan con la propiedad de conexidad del espacio.

# DE# DE TEMATEMA



12.112.1

12.212.2

Componentes conexas de un espacio localmenteComponentes conexas de un espacio localmente conexo.conexo.Espacios localmente conexos por arcos.Espacios localmente conexos por arcos.


4.54.5 33 2c2c4c4c

ASIGNATURA:ASIGNATURA: TOPOLOGIA I TOPOLOGIA I CLAVECLAVE 0715 0715 HOJAHOJA 14 14 DEDE 14 14 PERIODOPERIODO UNIDADESUNIDADES

TEMATICATEMATICASS

PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIONPROCEDIMIENTOS DE EVALUACION

1122

33

I,II,II,IVI,II,II,IV V,VI,VII, VIIV,VI,VII, VII

IX,X,XI,XIIIX,X,XI,XII

Examen escritoExamen escritoExamen escritoExamen escritoExamen escritoExamen escrito

CLAVECLAVE BB CC B I B L I O G R A F I A B I B L I O G R A F I A

11 XX Munkres, J. R., Topology, Prentice-Hall, inc., Englewood cliffs, N. J., 1975.Munkres, J. R., Topology, Prentice-Hall, inc., Englewood cliffs, N. J., 1975.

22 XX Dugundji, J., Topology, Allyn and Bacon, Boston, Mass, 1966.Dugundji, J., Topology, Allyn and Bacon, Boston, Mass, 1966.

33 XX Kelley, J. L., General Topology, Van nostrand, Nueva York, 1955.Kelley, J. L., General Topology, Van nostrand, Nueva York, 1955.

44 XX Bourbaki, N., General Topology (Parte I), Addison-Wesley, Reading, Mass., 1966.Bourbaki, N., General Topology (Parte I), Addison-Wesley, Reading, Mass., 1966.

55 XX Garcia-Maynez, A., y Tamariz Mascarua, A., Topología General, Editorial Porrua, S. A., México, D. F., 1988.Garcia-Maynez, A., y Tamariz Mascarua, A., Topología General, Editorial Porrua, S. A., México, D. F., 1988.

topologia i

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