UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTAD DE INGENIERAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELECTRNICA

CONTROL AUTOMTICOLABORATORIO N 3

Transformada inversa de LaplaceDesarrollo en programa Matlab

Docente:Ing. Luis VARGAS DAZ

Alumna:Est. Luca ESAINE LEN

VI CICLO

Trujillo 7 de Septiembre del 2014

GUIA DE LABORATORIO

LABORATORIO 03

TEMA: TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

I. Objetivos

Comprender la forma de operar la transformada inversa de Laplace en Matlab. Identificar las diferentes funciones utilizadas para el clculo de la transformada inversa.

II. Materiales y Equipos

Computador con software Matlab.

III. Procedimiento

1. Hallar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:

a) F(s)=

Desarrollo en Matlab:

>> syms t s>> f=1/(s+5);>> ilaplace(f) ans =

exp(-5*t)

>> simplify(ans) ans =

exp(-5*t) >> pretty(ans) exp(-5 t)

Resultado:

b)

Funcin en Matlab: F(s) = s/((s+3)^2+12)

Desarrollo en Matlab:>> syms t s >> f=s/((s+3)^2+12);>> ilaplace(f) ans = exp(-3*t)*(cos(2*3^(1/2)*t) - (3^(1/2)*sin(2*3^(1/2)*t))/2) >> simplify(ans) ans = exp(-3*t)*(cos(2*3^(1/2)*t) - (3^(1/2)*sin(2*3^(1/2)*t))/2) >> pretty(ans) / 1/2 1/2 \ | 1/2 3 sin(2 3 t) | exp(-3 t) | cos(2 3 t) - ------------------ | \ 2 /

Resultado:

Haciendo uso de las relaciones trigonomtricas:

Con:

Se puede decir que:

c)

Funcin en Matlab: F(s) = (s+8)/(s^2+3*s+5)

Desarrollo en Matlab:>> syms t s>> f=(s+8)/(s^2+3*s+5);>> ilaplace(f) ans = exp(-(3*t)/2)*(cos((11^(1/2)*t)/2) + (13*11^(1/2)*sin((11^(1/2)*t)/2))/11) >> simplify(ans) ans = exp(-(3*t)/2)*(cos((11^(1/2)*t)/2) + (13*11^(1/2)*sin((11^(1/2)*t)/2))/11) >> pretty(ans)

/ | | / 1/2 \ / 3 t \ | | 11 t | exp| - --- | | cos| ------- | + \ 2 / \ \ 2 / / 1/2 \ \ 1/2 | 11 t | | 13 11 sin| ------- | | \ 2 / | ----------------------- | 11 /

Resultado:

d) Funcin en Matlab: F(s)= (s-5)/(s*(s+2)^2);Desarrollo en Matlab:>> syms t s>> f=(s-5)/(s*(s+2)^2);>> ilaplace(f) ans = (5*exp(-2*t))/4 + (7*t*exp(-2*t))/2 - 5/4 >> simplify(ans) ans = (5*exp(-2*t))/4 + (7*t*exp(-2*t))/2 - 5/4 >> pretty(ans) 5 exp(-2 t) 7 t exp(-2 t) ----------- + ------------- - 5/4 4 2

Resultado:

e)

Funcin en Matlab: f(t)= f=(s+4)/(s^2+9*s+3);

Desarrollo en Matlab:>> syms t s>> f=(s+4)/(s^2+9*s+3);>> ilaplace(f) ans = exp(-(9*t)/2)*(cosh((69^(1/2)*t)/2) - (69^(1/2)*sinh((69^(1/2)*t)/2))/69) >> simplify(ans) ans = exp(-(9*t)/2)*(cosh((69^(1/2)*t)/2) - (69^(1/2)*sinh((69^(1/2)*t)/2))/69) >> pretty(ans) / | | / 1/2 \ / 9 t \ | | 69 t | exp| - --- | | cosh| ------- | - \ 2 / \ \ 2 / / 1/2 \ \ 1/2 | 69 t | | 69 sinh| ------- | | \ 2 / | --------------------- | 69 /

Resultado:

IV. CUESTIONARIO

1. Describa la funcin ilaplace.

a) Ilaplace:

El comando ilaplace, determina la transformada inversa de Laplace de una funcin de la forma F(s), es decir en funcin de la variable s, que posteriormente ser convertida de nuevo en funcin del tiempo f(t). Por ejemplo:

F= F(s) f=f(t)

Programa en Matlab:

Para la funcin: , hallar:

>> syms t s>> f=(1/s^2);>> ilaplace(f) ans = t

Resultado:

Primero, se definen las variables a utilizar; luego, se ingresa la funcin; y por ltimo se inserta el comando ilaplace (de la funcin ingresada).

Se concluye que la transformada inversa de Laplace est representada por: .

2. De qu otra manera se puede obtener la transformada inversa de Laplace?

Aparte del comando ilaplace ya descrito anteriormente, podemos obtener la transformada inversa de Laplace de la siguiente manera:

a) Simplificamos el polinomio F(s) desarrollndolo en fracciones parciales.b) Conocer las propiedades, tales como: Ejemplo: Para la funcin:

Hallar:

a) Programa en Matlab:

>> numerador =[2 5 3 6];>> denominador =[1 6 11 6];>> [a,b,c]=residue(numerador,denominador)

a =

-6.0000 -4.0000 3.0000

b =

-3.0000 -2.0000 -1.0000

c =

2

Determina los residuos (a) , polos (b) y la constante (c).

b) Dando forma a la funcin:

Por propiedad:

Entonces:

Con el comando ilaplace:>> syms t sf=((2*s^3+5*s^2+3*s+6)/(s^3+6*s^2+11*s+6));ilaplace(f)ans = 3*exp(-t) - 4*exp(-2*t) - 6*exp(-3*t) + 2*dirac(t)

3. Qu ventajas presenta el uso de la transformada de Laplace para el anlisis de ecuaciones con integrales y derivadas?

Hace ms sencillo el desarrollo de ecuaciones diferenciales y ecuaciones con integrales, ya que transforma las ecuaciones diferenciales lineales e integrales en ecuaciones algebraicas, donde la integracin y derivacin se transforman en divisin y multiplicacin respectivamente, todo esto mediante el uso de condiciones iniciales.

Como sabemos, las ecuaciones algebraicas son ms fciles de resolver y por lo tanto, se podr llegar a un resultado inmediato.

Transformada de una derivada:

Transformada de una integral:

V. Referencias Bibliogrficas

Matlab - help Herman Garca R., Apuntes del Taller Funcin de Transferencia. Santiago. Enero 2011.

Pginas Web:

http://www.uhu.es/dario.garcia/proregaut1-08.pdf