transformada fourier
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f (t)
1F() exp(i t) d
2
La transformada de
Fourier
F()
f (t) exp(it) dt
F ()
f (t)eit dt
f (t) 1 2
F ()eit d
La transformada de FourierSea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta acotada en R.
Se define su transformada de Fourier como:
Siendo la anti-transformada o transformada inversa
Estas expresiones nos permiten calcular laexpresión F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
2
Notación: A la función F() se le llamatransformada de Fourier de f(t) y sedenota por F o
fˆ, es decir
F[ f (t)]
F ()
f ̂()
f (t)eit dt
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
F 1[F ()] f
(t)
1 F ()eit d
F ( ) aK ( , t) f (t) dtb
Transformadas integrales
– K(,t): núcleo o kernel.– Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio .Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem in Transform space
Relatively easy solution
Solution in Transform space
Integral transform
Inverse transform
Original problem
Difficult solution
Solution of original problem
0
1 t2
Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
f(t)1
t-p/2
0 p/2
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
0f (t)
t p p p
2 2 p
2
Integrando: p / 2
F ()
f (t)eit dt
eit dt
1 it
p / 2 p / 2
1 ip / 2 ip / 2 i
e p / 2 i
(e e )
Usando la fórmulasen p e e
de Euler: ( / 2)
ip / 2 2i
ip / 2
F () p
sen(p / 2)
p sinc(p / 2)
p / 2
0
t p =1
F(w) c on p=1
En forma gráfica,la transformada es:
F () p sinc(p / 2)
1
0.5
0
-50 0 50 w
0 t p
2
f (t) 1
p p2 2
p 2
F(w
) t
2
Algunas funciones no poseen transformada de FourierLa condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F() exista es:
g(x) dx
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.
F 2r F 2 i
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) son ambas en general complejas.
Ff (x)
Fr (k )
iFi (k )
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
Ff (x)
F (k )
A(k )ei(k )
A F (k ) A amplitud o
magnitud espectral
ir2 FF
fase espectral
A2
F 2 2 espectro de
potencia
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
Fr (k )
Fi (k )
f (x) cos(kx)dx
f (x) sin(kx)dx
f (t)F.T . ˆf g(t)F.T . gˆ
f (t) g(t)F.T . fˆ gˆ
f (t)F.T . ˆf (a ib) f (t)F.T .(a ib) fˆ
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t) F()
t
g(t)
G() F{af (t) bg(t)}
t aF{ f
(t)}
bF{g(t)}
f(t) + g(t)
t
F() + G()
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función: 0 , t
a
2 b a
f (t)
1 ,
t 2 2 ; a b 0
2 , t b
2La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) g(t) h(t) a0 , t
b 0, t
donde g(t)
2 ; h(t) 2
1 , t a 1 , t
b
2 2
f̂ ( ) a 2 b 2sen(a ) sen(b )
a2
b2
Luego:
fˆ( )
gˆ()
hˆ()
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
1
0
-a -b 0 b a
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
0, t a1, a t b0, b t b1, b t a 0, t a
f t g(t) h(t)
g(t)
0 , t a1 , t a
; h(t)
0 , t b1 , t b
fˆ ( ) gˆ ( ) hˆ( ) 2a sen(a) 2b sen(b)a b
g(t)
h(t)
F.T
.
F.T
.
gˆ ( ) 2a
hˆ( ) 2b
sen ( a ) a
sen(b)b
0 , t a1 , t a
0 , t b1 , t b
Ff at 1a
f̂ a
Propiedades
2. Escalado:Ff t
fˆ ()
Ff at
f (at)eit dt
1f (at)e
ai
(at
)a
d (at)
1 f
(t')ei
t
'a
dt' 1 fˆ
a a a
t
t
Mientra más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
t
Efecto de la propiedad de escalado
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
Pulso corto
Pulso medio
Pulso largo
f(t) F
f (t) F.T . fˆ f (t a) F.T . eia fˆ
3. Traslación en el dominio de tiempos
f (t a) g(t)
gˆ g(t) eit
dt
f
(t a) eit dt
gˆ f (u) ei (u a)
du
eia
f
(u) eiu du
gˆ eia fˆ ()
f (t ) F.T . fˆ f (t ) eita F.T . fˆ a
4. Producto por exponencial compleja
f (t ) eita
g(t )
gˆ g(t) eit
dt
f
(t ) eita e it dt
gˆ f (t ) e i ( a )t
dt
fˆ (
a)
5. Producto por cos(at) o sin(at)
f (t ) cos(at )
( fˆ (
a) 2
f ̂(
a))
f (t ) sin(at )
( fˆ (
a) 2
f ̂(
a))i
6. Producto por t
dfˆd n fˆ
f (t ) t i ,d
f (t ) t n
i n
d n
ˆ
fˆ f (t ) e
it
dt ; df
d
i
tf
(t ) e it dt
f (t)dt 2
fˆ( )d2
7. Identidad de Parseval :
f *(t)g(t)dt
fˆ*()gˆ(
)d
ˆ * () it ˆ i 't
f e
d
g(') e
d'dt
* i ( 't )
d
fˆ
() d' gˆ (')
dt e
fˆ * ()gˆ ()d
En particular:
(' )
f (t) g(t)
it
dt
t
f̂ 2 f (t) cos(t)dt0
8. Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
0
fˆ
f (t) edt
f (t)
eit
f (t)
eit dt
it
0
it
f ̂()
f (t)
edt
f (t)
edt
f(t)ei
et
dt 0 0 0
i
it
it
f̂ 2i f (t)sen(t)dt0
9. Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
0 it it
fˆ
f (t) edt
f (t)
edt
f (t)
edt
0 it
it
f ̂()
f (t)
edt
f (t)
edt
f (t)eitedt
0 0 0
10. Transformadas de Fourier de la derivada, f’(t)
df (t) ) df (t
) it dt it f (t )
dt
dt
i f
(t ) e
itdt ifˆ
F e e
f g (t) f (u)g(t u)du
ConvoluciónSe define la integral de convolución de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:
f (t u)g(t)du
Ejemplo visual:
rect(x) * rect(x) = (x)
F f (t)* g(t) F (w) G(w)
El teorema de convolución o teorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a multiplicación en el espacio recíproco.