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Sistemas LinearesAula 9 – Transformada de Fourier
Séries de Fourier
A Série de Fourier representa um sinal periódico como
uma combinação linear de exponenciais complexas
harmonicamente relacionadas.
Como consequência da periodicidade, estes sinais
possuem espectro de linha com linhas equidistantes.
O espaçamento entre linhas é igual à frequência
fundamental, a qual por sua vez determina a
quantidade de linhas do espectro por unidade de
frequência.
Séries de Fourier
Portanto, se o período cresce de modo ilimitado, o
espaçamento das linhas tende a zero.
No limite, quando o período for infinito, o sinal torna-se
não periódico e seu espectro torna-se contínuo, mais
especificamente, torna-se o envelope do espectro de
linha do sinal periódico correspondente
Operação transformada
A fim de se realizar uma operação de transformação, deve-se inicialmente modelar matematicamente o sinal.
Objetivo:
- Série de Fourier;
- Transformada de Fourier;
- Relação entre ambas.
Fasores e espectro de linhas
Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão:
Utilizando-se da relação de Euler, tal que:
)tcos(A)t(v o
)sen(j)cos(e j
Representação fasorial
Podemos expressar o sinal senoidal por um fasor, tal
como na figura abaixo:
)eRe(A)e.ARe()tcos(A
tjtj
ooo
Espectro de amplitudes e
espectro de fases
Alternativamente, pode-se representar o sinal
senoidal pelos seus espectros de amplitudes e de
fases, tal como na figura.
Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase
Observações:
A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser
sempre positiva . Assim, um sinal descrito por
deve ser re-escrito como . É indiferente se é
utilizado + ou -.
tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em radianos. Lembrar que = 2..f em rad/s e f em Hz.
Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido anti-horário.
Formas de onda cosseno e seno são genericamente denomina-das de forma de onda senoidais. Lembrar que ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado de /2 (ou, 900).
v t A t( ) cos( ) 0
)tcos(A)t(v 0
)2/tcos()t(sen
Exemplo Dado o sinal:
Cuja forma de onda é:
Determinar o seu espectro de frequência (amplitude e fase)
s t t t( ) cos( ) ( ) 7 10 40 60 4 120 sen
Solução
O sinal pode ser reescrito como:
Assim, o seu espectro de frequências será:
)90602cos(4)120202cos(10)02cos(7)( tttts
Transformada de Fourier
Seja uma função x(t) não periódica e de duração finita, têm-se
o par de Transformadas:
ℱ
𝑥 𝑡 𝑋 𝜔ℱ−1
𝑋 𝜔 = −∞∞𝑥 𝑡 . 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑥 𝑡 =1
2𝜋 −∞
∞
𝑋 𝜔 . 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
Para que as integrais convirjam, devem observadas as
condições de Dirichlet.
Condições de Dirichlet
As Séries e a Transformada de Fourier existirão se 𝑥(𝑡):
for integrável em módulo no intervalo de um período
tiver um número finito de máximos e mínimos dentro de
um intervalo de tempo
tem um número finito de descontinuidades (finitas) dentro
de qualquer intervalo de tempo
Estas condições são suficientes, mas não necessárias.
Exemplos
Exemplo 1: transformada direta
Exemplos
Exemplo 2: transformada inversa
Tabela de Transformadas
Tabela de Transformadas
Propriedades
Propriedades
Teorema de Parseval
De acordo com o Teorema de Parseval podemos determinar a
potência e a energia de um sinal através dos pares:
ℱ
𝑥 𝑡 𝑋 𝜔ℱ−1
Domínio do Tempo (t) Domínio da Frequência (ω)
𝑃𝑥 =1
𝑇𝑜 𝑇𝑜 𝑥 𝑡 ²𝑑𝑡 𝑃𝑥 = 𝑛=−∞
∞ 𝐷𝑛 ²
𝐸𝑥 = −∞∞𝑥 𝑡 ²𝑑𝑡 𝐸𝑥 =
1
2𝜋 −∞∞𝑋 𝜔 ²𝑑𝜔
Resposta em Frequência 𝐻 𝜔
Para um SLIT, temos:
𝑦 𝑡 = −∞∞𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡
ℱ
𝑦 𝑡 → 𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 .𝐻(𝜔)
𝐻 𝜔 =𝑌(𝜔)
𝑋 𝜔
→ 𝐻 𝜔 é 𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑚 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎.
𝐻 𝜔 = 𝐻 𝜔 𝑒𝑗𝜃 𝜔
Fase da resposta em frequência
Magnitude da resposta em frequência
𝐻 𝜔 = 𝑌 𝜔 / 𝑋 𝜔
𝜃𝐻 𝜔 = 𝜃𝑌 𝜔 − 𝜃𝑋 𝜔
Exercícios para estudo
Livro Lathi – Cap. 6
(Problemas):
6.1-2
6.1-3
6.1-7
6.3-1
6.3-2
6.3-8
6.4-1
6.4-2
Exemplos das seções 6.1 a 6.4
Livro Lathi – Cap. 7
(Problemas):
7.1-4
7.1-5
7.1-6
7.1-7
7.2-4
7.3-3
7.3-7
Exemplos das seções 7. 1 a 7.3
Bibliografia
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. Ed. Porto
Alegre: Bookman, 2007. 856 p. ISBN 9788560031139
HAYKIN, Simon S. Sinais e sistemas. Porto Alegre:
Bookman, 2001. 668 p.