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8/16/2019 SS Ufpe Aula 08 Analise Sistemas Continuos Transformada Fourier

1/42

Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise de Sistemas Contínuos porTransformada de Fourier

Prof. Aluizio Fausto Ribeiro Araújo

Depto. of Sistemas de Computação

Centro de Informática - UFPE

ES 413 Sinais e Sistemas

Capítulo 7


2/42

1-2Sinais e SistemasEng. da Computação

Conteúdo• Introdução

• Representação de Sinal Aperiódico por Integral deFourier Trigonométrica

• Transformadas de Algumas Funções Úteis

• Propriedade da Transformada de Fourier

• Transmissão de Sinais através de Sistemas LTIC


3/42


Introdução (i) – A Transformada de Fourier pode ser intuída como um caso

especial de Transformada de Laplace onde s=j? .• Esta suposição nem sempre é verdadeira por causa da diferente

natureza da convergência das integrais de Laplace e de Fourier.

– A integral de Fourier, que dá origem a transformada de Fourier,estende o papel da série de Fourier, representar um sinal periódico por um somatório de funções senoidais ou exponenciais. Isto é, talintegral permite a representação espectral de sinais aperiódicos.

– A Transformada de Fourier de um sinal:

• Representa as componentes espectrais do sinal.

• Provê mapeamento 1-1 com sua inversa entre domínio notempo e na freqüência.


4/42


Representação de Sinal Aperiódico (i)• Preliminares

– Para representar um sinal aperiódico x(t ) por uma série de Fourier:• Repita x(t ) a cada T 0 segundos, evitando superposições das

repetições.

• Os coeficientes da série de Fourier são calculados para

componentes a cada intervalo ? 0 de freqüência.• Se T0→∞, as amostras no domínio da freqüência tornam-se um

sinal contínuo em ? .

x(t)

t

X( ? )

?-T0 0 T0

x p (t)

0

2p/T0 Xp(? )


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Representação de Sinal Aperiódico (ii)• Preliminares

– Um sinal aperiódico pode ser expresso por um somatório contínuo(integral) de exponenciais incessantes onde aplica-se operador delimite. Assim, o sinal aperiódico dá origem a um outro, periódico,que repete o sinal original a cada período.

)(1

:se-temequivalem,se)( e )(limComo

2,)(

1 onde ,)(

:acimacasosdoisosrepresentaFourierdesériemesmaumaAssim,

)()(lim : portantoinfinito,tempodeintervaloumapós

se-repete)( periódicosinalumentãoinfinito,atende)( periódooSe

0

00

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

2/

2/

0

0

∫

∫ ∑∞

∞−

−

∞→

−

−∞

−∞=

∞→

=

===

=

dt et xT

Dt xt x

T

dt et x

T

De Dt x

t xt x

xT

t jn

nT T

T

T

t jn

T n

n

t jn

nT

T T

T

ω

ωω πω


6/42


Representação de Sinal Aperiódico (iii)• Definição: Integral de Fourier

– Pode-se definir uma integral, função da freqüência ? :

– O espectro de Fourier se modifica, em número de amostras eamplitude das componentes, com o aumento do período.

)(1

logo ,)()( 00

ωω ω n X

T Ddt et x X n

t j == ∫ ∞

∞−

−


7/42


Representação de Sinal Aperiódico (iv)• Definição: Integral de Fourier

– Usando-se os coeficientes, escreve-se a série do sinal periódico:

∑

∑

∑

∞

−∞=

∆

→∆∞→

∞

−∞=∆

∞

−∞=

∆∆==

=→∞→∆∆∆

∆∆=

=∆

→∞→=

n

t jn

T T

T

n

t jnT

n

t jn

T

en X t xt x

t xt xT

n X n

en X

t x

T

T eT

n X t x

ωωπ

ω

πωωω

π

ωω

πωω

ωω

ω

ω

ω

ω

)(

0

00

)(

00

000

0

)(2

1lim)(lim)(

:)()(e0entãoQuando

.2/])([é)(freqüência

decomponenteumdeãocontribuiçasomatório,estePara

2

)()(

:se-rnaFourier todesérieae ,/2 porse-trocaLogo

.0entãose ,)(

)(

00

0

0

0

0


8/42


Representação de Sinal Aperiódico (iv)• Definição: Integral de Fourier

.0lfundamentafreqüênciacomFourierdesérieaequivaleintegralA

.)(aperiódicosinalorepresentaqueFourierdeintegralaéEsta

)()(

:funçãoasobáreaumacomoser visto podesomatórioO

→∆

= ∫ ∞

∞−

ω

ωω ω

t x

d e X t x t j


9/42


Representação de Sinal Aperiódico (v)• Definições: Transformada de Fourier e sua Inversa

– A Transformada de Fourier e sua inversa são definidas como:

– O conjugado pode ser escrito como:

– Exemplo de transformada e sua inversa:

ωωπ

ω

ω

ω

ω

ω

d e X X F t x

dt et xt x F X

X t x

t j

t j

∫

∫ ∞

∞−

−

∞

∞−

−

==

==⇔

)(21

)]([)(

)()]([)(

)()(

1

x(t)

t

X(?)

?

.conjugaçãodae propriedad- )()( logo

,)()]([)( se-temdefiniçãoPor

** >−⇔

==− ∫ ∞

∞−

ω

ω ω

X t x

dt et xt x F X t j


10/42


Representação de Sinal Aperiódico (vi)• A Transformada de Fourier

– A transformada de Fourier X (? ) é a especificação de x(t ) no

domínio da freqüência. – Pode-se traçar o espectro de X (? ) como função de ? :

– Para um sinal x(t ) real, o espectro de amplitude é uma função

par e o espectro de fase é uma função ímpar de ? .

– A transformada de Fourier é linear

)()()( ωωω X e X X ∠=

)()(

)()(

ωω

ωω

X X

X X

−∠=−∠

=−

)()()()( então )()( e )()( Sejam

22112211

2211

ωω

ωω

X a X at xat xa

X t t x

+⇔+⇔⇔


11/42


Representação de Sinal Aperiódico (vii)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier para o sinal:

−=∠

+==∠=

>+


12/42


Representação de Sinal Aperiódico (viii)• Transformada de Fourier

– Exemplo (continuação): Traçado dos espectros de amplitude

(função par) e fase (função ímpar):


13/42


Representação de Sinal Aperiódico (ix)• Existência da Transformada de Fourier

– A transformada de Fourier de uma função x(t ) tem garantias de

convergência se tal função satisfaz as condições de Dirichlet.Além disto, nos pontos de descontinuidade, x(t ) converge paraa média dos valores em cada lado da descontinuidade.

– As condições de Dirichlet (condições de suficiência) são:

finito.tempodeintervaloqualqueremmínimos

emáximosdefinitonúmeroterquetem)(funçãoA(iii)

finito.tempodeintervaloqualqueremfinitas

idadesdescontinudefinitonúmeroterquetem)(funçãoA(ii)

.)(:integrávelnteabsolutameé)(funçãoA(i)

t x

t x

dt t xt x ∞


14/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (i)• Função Portal Unitária (Unit Gate)

– Esta função, rect( x), é definida como um pulso de altura e largura

unitárias, centrada na origem:

– Função portal: unitária e ela expandida no eixo horizontal:

<

=

>

=

2/11

2/12/1

2/10

)(rect

x

x

x

x


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Transformadas de Algumas Funções Úteis (ii)• Função Triângulo Unitária (Triangular Gate)

– Esta função é definida como um pulso triangular de altura e largura

unitárias, centrada na origem:

– Função triângulo: unitária e expandida no eixo horizontal:


16/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (iii)• Função Interpolação ( Interpolation)

– Esta função, denotada por sinc ( x), é definida a razão entre um

seno e seu argumento. Ela também é conhecida como funçãofiltrante ou interpolante.

– Características da função:• É função par de x.

• sinc ( x)=0 quando sen x=0, exceto em x=0.

• Pela regra do L’Hôpital determina-se sinc (0)=1.

• Exibe oscilações amortecidas de período 2p, com amplitudecontinuamente decrescente como 1/ x.

x

x x

sen)(sinc =


17/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (iv)• Função Interpolação ( Interpolation)

– Gráfico da função sinc( x).


18/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (v)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier para o sinal:

⇔

=

=

∴

=−−==

=

==

−

−

−

∞

∞−

−

∞

∞−

−

∫

∫ ∫

2

sincrect finalmente ,

2

sinc

2

2)(

22 )(1

)(

:funçãodavaloresosdoconsideran ,)/(rect)( Logo,

)()(definição por),/(rect)(

2/2/2/

2/

ωττ

τ

ωττ

ωτ

ωτ

τω

ω

ωτ

τω

τω

ωτ

ωτωττ

τ

ω

ω

ω

t sen

X

senee

jdt e X

dt et X

dt et x X t t x

j jt j

t j

t j


19/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (vi)• Transformada de Fourier

– Exemplo (continuação): Traçado (a) da função x(t ) = rect (t/t ); (b)

da transformada de Fourier X (? ); (c) do espectro de amplitude(função par) e (d) do espectro de fase (função ímpar).

• A largura de banda de X (? ) é infinita, contudo, este é um filtro passa baixa, no qual a maior parte do espectro concentra-se nointervalo [0,2p/t]. Portanto, uma avaliação grosseira da largurade banda a determina como 2p/t rad/s ou 1/t Hz.


20/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (vii)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Determine a transformada de Fourier da entrada

impulso d (t ).

( )[ ] ( ) ( ) 1 sejaou,1 ⇔== ∫ ∞

∞−

−t dt et t F

t jδδδ

ω


21/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (viii)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Determine a transformada de Fourier inversa de d (? ).

( )[ ] ( ) ( )ωπδπ

ωωδπ

ωδ ω 21 sejaou,

2

1

2

11 ⇔== ∫ ∞

∞−

− d e F t j


22/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (ix)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Determine a transformada de Fourier inversa de d (? -

? 0).

( )[ ] ( )

( )

( )0

0

0

001

2

:estendidaser podeacimaequaçãoA

.emsimplesimpulsouméincessante

lexponenciafunçãoumadeespectrooquemostraresultadoEste

2 sejaou

,2

1

2

1

0

0

0

0

ωωπδ

ωω

ωωπδ

πωωωδ

πωωδ

ω

ω

ω

ωω

+⇔

=

−⇔

=−=−

−

∞

∞−

− ∫

t j

t j

t j

t jt j

e

e

e

ed e F

Ú


23/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (x)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier:

Sinal cosseno e seu espectro de Fourier

( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]000

00

0

cos :elinearidaddae propriedadPela

22 :anterior exemploDo

21cos :determinaEulerdefórmulaA

00

00

ωωδωωδπω

ωωπδωωπδ

ω

ωω

ωω

++−⇔+⇔−⇔

+=

−

−

t

ee

eet

t jt j

t jt j

Ú


24/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (xi)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier de um trem de

impulsos como mostrado na figura abaixo:

( )

( ),2)( :Fourierdeadatransformsuatem

2,)( :Fourier desérieemexpressosinalum

assim, ,2quese-mostrouanteriorexemplo No

0

0

0

0

0

0

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

==

−⇔

n

n

n

t jn

n

t j

n D X

T

e Dt x

e

ωωδπω

πω

ωωπδ

ω

ω

Ú


25/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (xii)• Transformada de Fourier

– Exemplo (continuação):

( ) ( )ωδωωωδπ

ω

δ

ω

ω

0

0

0

0

00

0

0

2/2/

0

2)(

:éFourierdesériedaFourierdeadatransforma Logo,

1)(1 :Fourier deecoeficientdoCálculo

=−=

==

∑

∫

∞

−∞=

−−

n

n

T

T

t jnn

n DT

X

T dt et

T D

Ú


26/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (xiii)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Calcule a T. F. da função degrau unitária u(t ).

( )

( ) ( )

)(lim)( se-faz problema,esteresolverPara

paraadoindeterminédesuperiorlimiteO

/1

)(:adaindeterminéintegralestadireta,integraçãoPor

0

00

t uet u

t e

e jdt eU

dt et uU

at

a

t j

t jt j

t j

−

→

−

∞−∞ −

∞

∞−

−

=

∞→

−==∴=

∫ ∫

ω

ωω

ω

ωω

ω

f d d Al Ú i ( i )


27/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (xiv)• Transformada de Fourier

– Exemplo (continuação):

( )

( )ω

ωπδω

ω

πω

ω

ωω

ωωω

ω

ωω

j

U

a

a

ad

a

a

a

a

ja

a

a j

a

aU

a

aa

1)(

0lim

tanésobÁrea

onde ,1

limlim

:comoexpressaser podeFourierdemadaA transfor

220

1

2222

22022220

+=

∴=

+

==++

+

+=

+−

+=

→

∞

∞−

−∞

∞−

→→

∫

T f d d Al F õ Ú i ( )


28/42


Transformadas de Algumas Funções Úteis (xv)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Calcule a transformada de Fourier da função sgn(t ):

ω jt

t ut t ut

2)sgn( anterioresresultadososse-Usando

1)(2)sgn()(21)sgn(

⇔

−=∴=+

P i d d d T f d d F i (i)


29/42


Propriedades da Transformada de Fourier (i)• Objetivo

– Estudar propriedades e conhecer suas implicações e aplicações.

• Propriedades Consideradas

– Propriedade de Dualidade Tempo-freqüência nas Operações comTransformadas: Para qualquer resultado entre x(t ) e X (? ) existeuma relação dual obtida pela trocas de papeis de x(t ) e X (? ), poisas duas expressões são aproximadamente idênticas.

– Propriedade de Linearidade: Respeita o teorema da superposição.Permite representar um sinal como a combinação linear de outrossinais com transformadas de Fourier conhecidas.

– Conjugação e Simetria Conjugada:

)()( conjugadodesimetriadee propriedadase-Segue )()( então )()( Se

*

**

ωω

ωω

X X

X t x X t x

=−−⇔⇔

P i d d d T f d d F i (ii)


30/42


Propriedades da Transformada de Fourier (ii) – Propriedade de Dualidade:

• Operações no tempo levam a operações duais na freqüência.

• Pares de transformadas de Fourier são mutuamente duais.

– Propriedade DC: Integral de um sinal é determinada por sua T.F.em ? =0.

– Relação de Parceval: A potência do sinal pode ser determinada a

partir do domínio do tempo ou do domínio da freqüência.

. porse-troca,)()(2

se-tem,tempo paraassim ,)(21)(

pois ),(2)( então )()( Se

ωπ

π

ωπω

t dueu X t x

-t dueu X t x

xt X t x

jut

jut

∫

∫ ∞

∞−

−

∞

∞−

=−

=

−⇔⇔

P i d d d T f d d F i (iii)


31/42


Propriedades da Transformada de Fourier (iii) – Propriedade de Escalonamento no Tempo:

( )

[ ]

espectral.o)(compressãexpansãoemresultafator pelo)(sinal

dotempono(expansão)compressãoqueafirmae propriedadEsta

)()( se-calcula:compressãodestaProva

real.constanteé ,//1)( então )()( Se

at x

dt eat xat x F

aa X aat x X t x

t j

∫ ∞

∞−−=

⇔⇔

ω

ωω

Propriedades da Transformada de Fo rier (i )


32/42


Propriedades da Transformada de Fourier (iv) – Propriedade de Escalonamento no Tempo (continuação):

• A largura de banda de um sinal é inversamente proporcional a

duração ou largura deste sinal. – Propriedade de inversão de Tempo e Freqüência:

– Propriedade de Deslocamento no Tempo:

[ ]

espectro.seuemlinearfasedetodeslocamen

um provocasinalumemtempo)(noatrasoo palavras,outrasEm

.emfasedeespectroseumudaeamplitudedeespectroseumodifica

nãosegundosem)(sinalumatrasarqueafirmae propriedadEsta

)()( se-calcula:Prova)()( então )()( Se

0

0

00

0 0

t

t t x

dt et t xt t x F

e X t t x X t xt j

t j

ω

ωω

ω

ω

−

−=−⇔−⇔

∫ ∞

∞−

−

−

( ) .1onde ,)( então )()( Se −=−⇔−⇔ a X t xt ωω

Propriedades da Transformada de Fourier (v)


33/42


Propriedades da Transformada de Fourier (v) – Propriedade de Deslocamento no Tempo (continuação):

– Exemplo: Encontre a T.F. do pulso portal da figura abaixo:

.4

3lineartermoumdeadicionadoéfasedeespectroO

)./(rectdemesmoo permaneceeamplitudaddeespectroO

2sinc

4

3rect logo ,

2sincrect

:temponotodeslocamendoe propriedadase-Aplicasegundos.4/3deatrasado)/(rect portal pulsooé)(sinalO

0

ωτ

τ

ωττ

τ

τ

ωττ

τ

ττ

ω

−

⇔

−

⇔

−

t

et t

t t x

t j

Propriedades da Transformada de Fourier (vi)


34/42


Propriedades da Transformada de Fourier (vi) – Propriedade de Deslocamento no Tempo (continuação):

Propriedades da Transformada de Fourier (vii)


35/42


Propriedades da Transformada de Fourier (vii) – Propriedade de Deslocamento na Freqüência:

[ ]

[ ] [ ])()(2

1)()(

2

1cos)(

:senoidaluma porsinalose-ndomultiplicaalcançadoéreal,mundoo

para,freqüêncianatodeslocamenoreal,funçãoumaénãoComo tempo.notodeslocamenaodualée propriedadEsta

.desinaldo

espectronotodeslocamencausa porsinalumdeçãomultiplicaA

)()( se-calculandoobtidaé provaA

)()( então ,)()(

000

0

0

00

0

0

00

0

ωωωωω

ωω

ωωω

ωω

ω

ω

ωωω

ω

++−⇔+=

=

=

−⇔⇔

−

∞

∞−

−∫

X X et xet xt t x

e

e

dt eet xet x F

X et x X t x

t jt j

t j

t j

t jt jt j

t j

Propriedades da Transformada de Fourier (viii)


36/42


Propriedades da Transformada de Fourier (viii) – Propriedade de Deslocamento na Freqüência (continuação):

Propriedades da Transformada de Fourier (ix)


37/42


Propriedades da Transformada de Fourier (ix) – Propriedade de Deslocamento na Freqüência (continuação):

• Multiplicação de um sinal senoidal cos ? 0t pelo sinal x(t )

modula a amplitude da senoidal. Esta operação é chamada demodulação em amplitude. A senoidal é chamada de portadora(carrier ) e o sinal é dito ser o sinal modulante ou modulador. O produto é chamado de sinal modulado.

• Aplicações de Modulação:

– Multiplexação por divisão de freqüência: transmissãosimultânea de alguns sinais sobre um mesmo canal porcompartilhamento da banda de freqüência. Na prática, umdado sinal tem vários portadores (e.g., estação de rádios).

– Redução do tamanho de antenas (que deve ter o tamanho daordem de grandeza do sinal a ser irradiado).

Propriedades da Transformada de Fourier (x)


38/42


Propriedades da Transformada de Fourier (x) – Propriedade de Convolução no Tempo e na Freqüência

– Propriedade de Diferenciação e Integração no Tempo:

( )[ ]

definição.daaplicação porse-Prova

)()(21)()( freqüêncianaConvolução )()()()( temponoConvolução

.)()( e)()(Se

2121

2121

2211

ωωπ

ωω

ωω

X X t xt x

X X t xt x

t xt x

∗⇔⇔∗

⇔⇔

+⇔

⇔

⇔

∫ ∞− temponointegração ),()0(

)()(

temponoçãodiferencia ),(

então

,)()(

ωδπ

ω

ωττ

ωω

ω

X

j

X d x

X jdt

dx

t x

t

Transmissão de Sinais por Sistemas LTIC (i)


39/42


Transmissão de Sinais por Sistemas LTIC (i)• Preliminares

– Sejam x(t ) e y(t ) entrada e saída de sistema LTIC com resposta ao

impulso h(t ), logo Y (? )= H (? ) X (? ) (prop. convolução no tempo).• Esta equação não se aplica a sistemas assintoticamente instáveis pois

neste caso h(t ) não é transformável por Fourier.

– Exemplo: Ache a resposta de estado zero para sist. LTIC (estável):

( )( )

( ) )()( logo ,2

1

1

1)(

12

1)()()( Portanto,

1

1)()( :Entrada

2

1

|)(2

1

)( :implusoaoResposta

2 t ueet y j j

Y

j j

X H Y

jt uet x

j s H s s H

t t

t

j s

−−

−

=

−=+

−+

=++

==

+⇔=

+=∴+=

ωωω

ωω

ωωω

ω

ωω

Transmissão de Sinais por Sistemas LTIC (ii)


40/42


Transmissão de Sinais por Sistemas LTIC (ii)• Entendimento Heurístico de Resposta de Sistema Linear

– Resposta de um sistema LITC emprega integral de convolução

(domínio do tempo) e integral de Fourier (domínio da freqüência):

sincessanteexp.àsrespostasde.....soma )()(2

1)(

sincessanteisexponenciade....soma.......... )(2

1)(

impulsoaosposta........re.................... )(

:freqüênciadaDomínioimpulsoaorespostasde......soma.......... )()()(

impulsosdea.......som.......... )()()(

impulsoaoosta......resp.............................. )()(

:temponoDomínio

-

-

-

-

∫ ∫

∫

∫

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

==

⇒

−=

−=

⇒

ωωωπ

ωω

π

ω

τττ

ττδτ

δ

ω

ω

ωω

d e H X t y

d e X t x

e H e

d t h xt y

d t xt x

t ht

t j

t j

t jt j

Filtros Ideais e Práticos


41/42


Filtros Ideais e Práticos• Entendimento Heurístico de Resposta de Sistema Linear

– Resposta de um sistema LITC emprega integral de convolução

(domínio do tempo) e integral de Fourier (domínio da freqüência):

sincessanteexp.àsrespostasde.....soma )()(2

1)(

sincessanteisexponenciade....soma.......... )(2

1)(

impulsoaosposta........re.................... )(

:freqüênciadaDomínioimpulsoaorespostasde......soma.......... )()()(

impulsosdea.......som.......... )()()(

impulsoaoosta......resp.............................. )()(

:temponoDomínio

-

-

-

-

∫ ∫

∫

∫

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

==

⇒

−=

−=

⇒

ωωωπ

ωω

π

ω

τττ

ττδτ

δ

ω

ω

ωω

d e H X t y

d e X t x

e H e

d t h xt y

d t xt x

t ht

t j

t j

t jt j

Exercícios Recomendados


42/42


Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB

– Todos• Problemas

– 7.1-3 até 7.1-7.

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