Universit dArtois e Facult des Sciences Jean Perrin e

Sujet de th`se : e Couplage Fluide-Structure pour la simulation numrique des e coulements uides dans une conduite ` parois rigides ou lastiques, en e a e prsence dobstacles ou non. e

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Th`se prsente par : e e e Lahcen AIT MOUDID

Evalue par un jury compos des prsonnes suivantes : e e e M. Aziz Hamdouni Professeur, Univ. La Rochelle Mme. Elisabeth Longatte HDR, EDF Chatou M. Brahim Khelifa Professeur, Univ. Artois M. Mhamed Souli Professeur, USTL Lille1 M. Christian Mathieu Professeur, Univ. Artois M. Hakim Naceur HDR, UTC Compi`gne e M. Andrew Parry Dr. Ingnieur, Schlumberger Clamart e M. Pasquale Mammone Professeur, Univ. Artois M. Abdellatif Ouahsine Professeur, UTC Compi`gne e Rapporteur Rapporteur Prsident e Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur Codirecteur Directeur de th`se e

Th`se accepte le : 24 octobre 2007 e e

REMERCIEMENTS

Cette th`se a t eectue ` la fois au sein de lUniversit dArtois et aussi en e ee e a e collaboration avec lUniversit de Technologie Compi`gne. Je tiens tout dabord ` e e a remercier Abdellatif Ouahsine, Profeseur ` luniversit de Compi`gne qui a accept a e e e de diriger mes recherches. Ses grandes qualits humaines et scientiques ainsi que e sa disponibilit ont t essentielles ` la ralisation de cette th`se. e ee a e e Je remercie Madame elisabeth Longatte, HDR ` EDF Chatou, et Aziz Hamdouni, a

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Professeur ` luniversit de La Rochelle, pour avoir accept de rapporter sur ma a e e th`se. Je remercie aussi Monsieur Christian Mathieu, Professeur ` luniversit e a e dArtois, pour sa rigueur et pour sa prsence aux moments diciles. Je suis tr`s e e honor que Monsieur Brahim Khelifa, Professeur ` luniversit dartois, ait accept e a e e de prsider ce jury. e Mes vives remerciements vont galement ` Monsieurs les Professeurs Mhamed e a Souli, Andrew Parry et Pasquale Mammone pour leur aide, les multiples dicussions tr`s fructueuses et pour avoir accepts de juger mon travail. Je remercie e e galement Monsieur Hakim Naceur, Profeseur ` luniversit de Compi`gne, pour e a e e son aide et ses conseils. Je len remercie sinc`rement pour lintrt quil a manifest e ee e pour mon travail et pour avoir accept de le juger. e Mes remerciement vont galement ` toute ma famille, et en particulier ` mes pare a a ents, mes fr`res, mon pouse et ma lle Salma qui mont toujours soutenu dans les e e moments diciles. Je remercie galement Monsieur Adlanne Sayede, Ma de confrences ` luniversit e tre e a e dArtois, pour son aide et ses conseils. Que mes amis, Sami Kaidi, Bouras Raneme... soient ici vivement remercis pour leur fructueuse collaboration et leur aide matrielle e e pour la ralisation de ces travaux. e

RESUME

La simulation numrique de linteraction uide-structure par la mthode des lments e e ee nis a t tudie dans le cadre des quations de Navier-Stokes pour un uide ee e e e visqueux newtonien incompressible en interaction avec un solide lastique. e La formulation Euler-Lagrange Arbitraire (ALE) a t utilise, en considrant un ee e e maillage dynamique, o` le solide est dcrit par une formulation lagrangienne et u e le uide par une formulation eulrienne. e Le mod`le uide est valid en cone e

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sidrant des cas tests acadmiques et concernent les cas : de la marche, de la e e cavit, de lcoulement autour dun cylindre, etc... Le mod`le solide est valid en e e e e considrant le cas dune poutre encastre-libre et encastre-encastre, le cas dun e e e e cylindre soumis ` son poids propre et le cas dune arche elliptique. a Un algorithme de couplage est alors mis au point pour la mise en oeuvre de cette interaction uide-structure. Cet algorithme, bas sur un schma explicite, permet e e le transfert de champs de faon interactive. Lecacit de la mthode ALE et du c e e couplage uide-structure a t value en considrant plusieurs cas tests: solide ee e e e immerg dans un canal, o` scoule un uide en coulement transitoire ou statione u e e naire, coulement dun uide dans une canalisation ` parois lastiques, etc... e a e Les rsultats montrent que ce couplage explicite-interactif permet dutiliser un e maillage et un schma dirent pour le uide et la structure, et jouit de lavantage e e de ne pas utiliser de grosses matrices de stockage des donnes. e Mots-cls : e Fluide, Equation de Navier-Stokes, Structure, Elments nis de coque, formulation e ALE, interaction uide-structure.

ABSTRACT

The numerical simulation of uid-structure interaction by the nite element method has been studied in the context of The Navier-Stokes equations for an incompressible Newtonian viscous uid in interaction with an elastic solid. The formulation Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) was used, by considering a dynamic grid, where the solid is described by a Lagrangian formulation and the uid by a Eulerian formulation. The uid model validation is carried out by considering

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academic tests and concerns: ow around a step, the Cavity, the ow around a cylinder... The solid model is validated by considering the case of a cantilever beam and xed beam, the case of a cylinder subjected to its actual weight and the case of an elliptical arch. An algorithm of coupling is then developed for the implementation of this interaction uid-structure. This algorithm, based on an explicit schema, allows the transfer of elds in an interactive way. The eectiveness of the method ALE and the coupling uid-structure was evaluated by considering several cases tests: solid immersed in a channel, where runs out a transitory or stationary uid ow, ow of a uid in a drain with elastic walls... The results show that this coupling explicit-interactive makes it possible to use a dierent mesh and schemas for the uid and the structure, and enjoys the advantage of not using large matrices of data storage. Keywords : Fluid, Navier-Stokes equation, Structure, shell nite element model, ALE formulation, uid-structure interaction.

vi ` TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE 1: ETAT DE LART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 1.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluide-structure et probl`mes associs . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Mthodes de couplage Fluide-structure . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 1.3.2 1.4 Mthodes numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Mthodes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

1 4 4 6 7 7 10 11

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Formulation ALE des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . e

CHAPITRE 2: RESOLUTION DES EQUATIONS DECOULEMENT DE FLUIDES PAR ELEMENTS FINIS . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 Introduction : Mthode des lments nis e ee . . . . . . . . . . . . . . 13 13 14 16 16 16 17 18 18 18 19 20 22

Elments danalyse fonctionelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Mise en oeuve de la mthode des lments nis . . . . . . . . . . . . e ee 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Formulation variationnelle forte . . . . . . . . . . . . . . . . Formulation variationelle faible . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Les quation du mouvement des uides incompressible . . . . . . . e 2.4.1 2.4.2 Equation de continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Conservation de la quantit de mouvement . . . . . . . . . . e

2.5

Ecriture variationnelle faible dans le cas de uides incompressibles . 2.5.1 Discrtisation par lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . e ee

2.6

Mthodes de stabilit numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e

vii ` CHAPITRE 3: MODELE FLUIDE : TRAITEMENT NUMERIQUE ET VALIDATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Rsolution numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.1.1 3.1.2 3.1.3 Algorithmes de rsolution : Discrtisation Temporelle . . . . e e Linarisation : Mthode itrative de Newton-Raphson . . . e e e Stabilit de la solution : Condition de Ladysenskaya-Brezzie Babuska (LBB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Mthode SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) . . . . e 27 29 30 31 33 40 43 24 24 24 26

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3.2

Validation du module uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 Cas test de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas test dcoulement autour dun cylindre . . . . . . . . . . e Cas test dune Cavit carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Cas test dcoulement autour dun obstacle . . . . . . . . . . e

` CHAPITRE 4: MODELE SOLIDE : TRAITEMENT NUMERIQUE ET VALIDATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Synth`se bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Description des lments nis utiliss dans le mod`le structure . . . ee e e 4.3.1 4.3.2 4.3.3 Elments de coques de type Kirchho discret . . . . . . . . . e Elments de coques de type Reissner-Mindlin . . . . . . . . e Elment ` deux dimention en coordonnes cartisiennes, Elment e a e e triangulaire ` trois noeuds (T3) . . . . . . . . . . . . . . . . a 4.4 Rsultats numriques : tests de validation . . . . . . . . . . . . . . e e 4.4.1 4.4.2 4.4.3 Mod`les lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ee Panneau cylindrique soumis ` son poids propre. . . . . . . . a Poutre 2D encastr-libre, soumise ` un eort concentr : . . e a e 58 62 62 63 69 49 49 50 51 51 56

4.4.4 4.4.5

Poutre 2D en exion encastr-encastr. . . . . . . . . . . . . e e Dformation dune arche elliptique . . . . . . . . . . . . . . e

72 75 78 78 78 79 80 86 86 87 88 89

CHAPITRE 5: COUPLAGE FLUIDE-STRUCTURE . . . . . . . . 5.1 Formulations eulriennes, lagrangiennes et mixtes . . . . . . . . . . e 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2 Formulation eulrienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Formulation lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Formulation ALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Procdure du couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.1 5.2.2 Conditions de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorithme de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.3

Rsultats de la procdure de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5.3.1 5.3.2 5.3.3 Cas test dun canal plan en prsence dun obstacle vertical . e

Ecoulement dans un canal plan en prsence de deux obstacles 92 e Conduite en forme de T, avec une paroi exible . . . . . . . 96

CONCLUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

ix LISTE DES FIGURES

3.1

Domaine de calcul pour le probl`me de Poiseuille et Maillage (2000 e lments). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 31 32 32

3.2 3.3 3.4

Isovaleurs de vitesse u dans le canal. . . . . . . . . . . . . . . . . . Isovaleurs de pression correspondantes. . . . . . . . . . . . . . . . . Pression en fonction de x au milieu du canal, comparer avec la pression analytique et stabiliser par SUPG. . . . . . . . . . . . . . . . .

33 34 34 35 35 36 36 36

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3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Domaine de calcul et conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . Maillage du domaine, 11000 noeuds et 23000 lments. . . . . . . . ee Lignes de courant pour Re = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isovaleurs de la vitesse u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isovaleurs de la vitesse v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.10 Isovaleurs de la pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Lignes de courant pour Re = 100. Rsultats Filippone [48]. . . . . . e 3.12 Allure de vitesse et de la pression en amont de lobstacle (couleur jaune et rouge) et en aval de lobstacle (couleur verte). . . . . . . . 3.13 Maillage homog`ne, 2689 noeuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.14 Champ de vitesses, Re = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 Champ de vitesses, Re = 400. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 Champ de vitesses, Re = 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17 Champ de vitesses, Re = 2500. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18 Isovaleurs vitesses, step = 60, step = 65. . . . . . . . . . . . . . . . 3.19 Isovaleurs vitesses, step = 70, step = 75. . . . . . . . . . . . . . . . 3.20 Gomtrie de la cavit et le maillage (30 30). e e e . . . . . . . . . . .

37 37 38 38 38 39 39 39 40 41 41

3.21 A gauche : vitesse u. A droite : vitesse v pour Re = 1. . . . . . . . 3.22 A gauche : vitesse u. A droite : vitesse v pour Re = 100. . . . . . .

x 3.23 A gauche : vitesse u(y). A droite : vitesse v(x) pour Re = 100. . . . 3.24 Vitesse en fonction de nombre de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . 3.25 Maillage de domaine (4000 noeuds et 8000 lments) et conditions ee aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.26 Pression obtenue par notre mod`le, Re = 1. e . . . . . . . . . . . . . 44 44 44 45 45 45 45 46 46 47 47 48 42 42

3.27 Pression obtenue par TDYN, Re = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.28 Vitesse u obtenue par notre mod`le, Re = 10. . . . . . . . . . . . . e 3.29 Vitesse u obtenue par TDYN, Re = 10. . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.30 Les lignes de courant obtenues par notre mod`le Re = 10. . . . . . . e 3.31 Les lignes de courant obtenues par TDYN Re = 10. . . . . . . . . . 3.32 Domaine et conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.33 Les lignes de courant, Re = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.34 Les lignes de courant, Re = 250. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.35 Les lignes de courant, Re = 500. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.36 Coupe de la composante horizontale de la vitesse, nos rsultats. . . e 3.37 Coupe de la composante horizontale de la vitesse, rsultats Kouakou e [96]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Gomtrie et variables nodales de llment DKQ2. . . . . . . . . . e e ee Gomtrie et variables nodales de llment DKT 15. . . . . . . . . e e ee Elment de coque courbe Q420. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Elment de rfrence ` gauche et llment rel ` droite . . . . . . . e ee a ee e a Panneau cylindrique soumis ` son poids propre. . . . . . . . . . . . a Type de maillage utilis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

48 52 53 57 58 64 65

Convergence du dplacement W au bord libre B. Elments ` 3 noeuds. 65 e e a Convergence du dplacement W au centre C. Elments ` 3 noeuds. e e a 66

Convergence du dplacement W au bord libre B. Elments ` 4 noeuds. 67 e e a 67

4.10 Convergence du dplacement W au centre C. Elments ` 4 noeuds. e e a

xi 4.11 Dplacement V le long de DA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.12 Dplacement W le long de CB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.13 Domaine et maillage (707 noeuds, 600 lments). ee . . . . . . . . . . 68 68 69 69 70 71 72 74

4.14 Domaine dform, f est la `che). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 4.15 Vecteurs dplacements vy en mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.16 Lvolution de la solution y = f (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.17 Domaine et maillage (707 noeuds et 600 lments). . . . . . . . . . ee 4.18 Vecteurs dplacements et domaine dform (200). . . . . . . . . . e e e

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4.19 Lvolution de la solution calcule par notre mod`le et la solution e e e analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.20 Gomtrie et conditions aux limites dapr`s G. Dhatt [41]. . . . . . e e e 4.21 Maillage : 181 noeus et 150 lments. . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 4.22 Vecteurs dplacements (mm) suivant laxe y et maillage dform e e e (facteur= 200). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.23 Les dplacements suivant laxe y pour N1 , N2 et N3 . . . . . . . . . . e 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Evolution du maillage suivant la formulation utilise. . . . . . . . . e Transfert des donnes entre les deux codes. . . . . . . . . . . . . . . e Algorithme dinteraction uide-structure. . . . . . . . . . . . . . . . Domaine et conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maillage : 793 noeuds et 1400 lments. . . . . . . . . . . . . . . . . ee Zoom sur linterface uide-structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ de pression le long de la conduite. . . . . . . . . . . . . . . Dformation de la structure, E = 2.104 M P a. . . . . . . . . . . . . . e Les lignes de courant, Re = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 77 81 87 88 89 89 89 90 90 91 91 92 74 75 76

5.10 Module de Young= 104 M P a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Domaine de calcul et conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . .

5.12 Pression le long du canal : rouge ` travers le premier obstacle et a jaune ` travers le deuxi`me obstacle. . . . . . . . . . . . . . . . . . a e 5.13 Champs des pressions, Modude de Young E = 4.104 M P a. . . . . . 93 94

5.14 Dformation des structures avec un modude de Young E = 4.104 M P a. 94 e 5.15 Champs des pressions, Modude de Young E = 104 M P a. . . . . . . 94

5.16 Dformation des structures avec un modude de Young E = 104 M P a. 95 e 5.17 Lignes de courant, Modude de Young E = 4.104 M P a et Re 1. . . 95 96 96 97 97 97 98 98 98 99 99 99

5.18 Domaine et conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.19 Champ de pression (Pa), ( E = 104 M P a). . . . . . . . . . . . . . . 5.20 Vitesse u(m/s) de lcoulement (E = 104 M P a). . . . . . . . . . . . e 5.21 Vitesse v(m/s) de lcoulement ( E = 104 M P a). . . . . . . . . . . . e 5.22 Lignes de courants ( E = 104 M P a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.23 Dformation de la paroi ( E = 104 M P a). . . . . . . . . . . . . . . . e 5.24 Dformation de la paroi ( E = 75.103 M P a). . . . . . . . . . . . . . e 5.25 Dformation du paroi ( E = 50.103 M P a). . . . . . . . . . . . . . . e 5.26 Vecteurs dplacements (E = 104 M P a). . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.27 Vecteurs dplacements (E = 75.103 M P a). . . . . . . . . . . . . . . e 5.28 Vecteurs dplacements (E = 50.103 M P a). . . . . . . . . . . . . . . e

5.29 Positions des coupes longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.30 Evolution de la vitesse u(x), en fonction de la position de la coupe. 5.31 Evolution de la vitesse v(x), en fonction de la position de la coupe. 100 101

xiii LISTE DES NOTATIONS ET DES SYMBOLES

I J M

tenseur identit e matrice de prconditionnement de Jacobi e matrise masse viscosit cinmatique pour un uide newtonien e e domaine physique fronti`re du domaine physique e densit e coordonnes cartsiennes pour le passage ` llment de rference e e a ee e oprateur gradient e . norme vectorielle quantit dpendant du temps e e condition de Dirichlet en vitesse condition de Neumann en vitesse dimension dun espace quantit value sur un lment ee e ee quantit maximale e variable temps coordonnes cartsiennes e e vitesse du uide pression du uide viscosit dynamique du uide e nombre de degrs de librt par lment e e e ee nombre de degrs de librt total e e e coecient de Poisson

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(, , )

t D N d e max t x, y u, v p ndle ndlt

INTRODUCTION

Le couplage uide-structure appara systmatiquement d`s quune structure t e e vibrante est immerge dans un uide au repos ou vise versa. Il est d ` laccleration e ua e des particules du uide, au voisinage de la structure. La variation de pression qui en rsulte induit sur la structure, une force dinertie qui agit comme une masse ajoute e e xe au syst`me mcanique, et se dplaant solidairement avec lui. En prsence e e e e c e dun uide visqueux, un amortissement est induit par la viscosit et sajoute ` e a

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lamortissement propre de la structure. Avec le dveloppement des codes de calcul en mcanique des uides et laugmene e tation des ressources informatiques, la simulation numrique devient une alternae tive intressante et complmentaire pour ltude des couplages uide-structure. e e e En eet on peut envisager de reproduire numriquement les couplages uidee structure tudis exprimentalement et analytiquement. On est alors confront e e e e aux problmatiques suivantes : assurer la conservation de lnergie lors de la transe e mission des donnes entre les codes et grer linterface mobile o` schangent les e e u e donnes et o` se cre le couplage. Les couplages uide-structure sop`rent au niveau e u e e de linterface uide-structure. En thorie on suppose que lon a continuit des cone e traintes et des vitesses ` linterface entre le uide et la structure. La dicult est de a e trouver une formulation adapte pour la rsolution des quations uide-structure e e e qui tient compte des parois mobiles et permet de simuler des coulements fortee ment convectifs. La formulation Lagrangian-Eulrian Arbitraire (ALE) est une soe lution qui permet de grer des maillages mobiles avec des dplacements damplitude e e modre. Le couplage entre codes uide et structure se fait de la faon suivante ee c : on calcule dans un premier temps, les chargements uides exercs sur la struce ture. Ensuite ce chargement est utilis pour le calcul mcanique et on en dduit e e e le dplacement de la structure utilise comme condition limite du calcul uide ` e e a

2 litration suivante. Toutefois la gestion des conditions limites en particulier pour e la prise en compte de parois mobiles avec des coulements turbulents reste un e probl`me complexe. e Dans le cadre de cette th`se, le uide est considr incompressible et le solide e ee est un corps solide lastique. Pour le solide, la cinmatique de son mouvement peut e e tre dcompose en une translation (deux ou trois degrs de libert suivant que le e e e e e probl`me est plan ou tri-dimensionnel) et/ou une rotation (un ou trois degrs de e e libert suivant la dimension du probl`me) [60, 84, 95]. e e

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Une multitude de mthodes et de mod`les est utilise pour rsoudre linteraction e e e e uide-structure. Ceci rv`le lextrme complexit de ce type de probl`me, malgr e e e e e e lajout de certaines simplications. Linteraction entre le uide et le solide fait intervenir la continuit de la vitesse et la condition dquilibre mcanique ` linterface. e e e a Ces conditions sont tr`s largement utilises dans les dirents mod`les dinteraction. e e e e On a fait le choix dune formulation ALE pour le uide et dune formulation lagrangienne pour la structure, o` la simulation numrique est base sur la mthode u e e e des lments nis. ee Cette interaction est base sur une procdure de couplage instantan, o` ` e e e u a chaque itration la pression obtenue de mod`le numrique uide est utilise comme e e e e sollicitation externe pour le mod`le numrique solide. A cet eet, un mod`le de coue e e plage a t dvelopp pour le pilotage instantan des deux mod`les uide-structure. ee e e e e Un des avantages de cette procdure de couplage instantan est loptimisation e e du temps de calcul et de mmoire, contrairement au couplage fort, qui ncessite une e e grande capacit de stockage pour les matrices masse et rigidit. Lalgorithme proe e pos permet aussi facilement de modier sparment les codes uide ou structure e e e an denvisager des lois de comportement direntes. e Enn lutilisation de la mthode ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian method) e permet de rsoudre les quations du probl`me uide dans un domaine mobile e e e

sadaptant aux dformations de la structure. e La structure de cette de cette th`se est la suivante. Dans le premier chapitre, e nous prsentons ltat de lart sur linteraction uide-structure ainsi quune revue e e bibliographique sur le sujet. Le deuxi`me chapitre est consacr ` la formulation e ea mathmatique de la mthode des lments nis, son principe et quelques mthodes e e ee e de stabilit utiliss dans la programmation du mod`le uide-structure. Dans le e e e troisi`me chapitre, des tests de validation numrique de mod`le uide propos sont e e e e eectus et discuts. Ils concernent des Benchmark habituellement utiliss en e e e

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CFD. Dans le chapitre 4 une description dtaille du mod`le structure est prsente. e e e e e Des tests de validation de ce mod`le, qui concernent plus particuli`rement des coe e ques minces sont donns. Au chapitre 5 la couplage uide-structure est discut. e e Il contient des discutions sur les formulations numriques des interactions uidee structure. Apr`s une introduction des direntes formulations eulrienne, lagrange e e ienne et Lagrangian-Eulrian Arbitraire (ALE), nous avons dtaills les techniques e e e de couplage utilises dans les prsentes investigations, lalgorithme de couplage et e e enn des exemples tests. Ces exemples tests concernent les coulements de ue ide dans des conduite en prsence ou pas dobstacles. Les obstacles sont considrs e ee comme solides dformables. Les canalisations sont galement considres aussi bien e e ee comme des structures rigides ou exibles. Une synth`se des dirents rsultats et discutions obtenus dans cette th`se sont e e e e donnes dans la conclusion. e

4 CHAPITRE 1

ETAT DE LART

1.1

Introduction Linteraction uide-structure sintresse au comportement dun syst`me cone e

stitu par deux entits mcaniques considres comme distinctes : une structure e e e ee mobile (rigide ou dformable) et un uide (en coulement ou au repos) autour ou e e

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a ` lintrieur de la structure. Lvolution de chacune des deux entits dpendant de e e e e celle de lautre, un phnom`ne de couplage appara Plus prcisment, le mouvee e t. e e ment de la structure est inuenc par lcoulement du uide ` travers les eorts e e a transmis ` linterface, et rciproquement, le mouvement de la structure inuence a e lcoulement du uide par les dplacements de linterface qui entra le uide dans e e ne son mouvement. Dans la nature, nombre de situations rel`vent de ce type de probl`me, [36,99,110]. e e Nous nous intressons au cas o` la structure subit en prsence de lcoulement ue u e e ide des pressions qui modie sa gomtrie. Ce type de situation intervient par e e exemple dans les cas suivants : hautes chemines, gratte-ciels, ponts suspendus, cbles de tlphrique vibrant e a ee e sous leet du vent, ailes davion, ples dhlice, aubages de turbine, tuyauteries a e de rfrigration, rservoirs subissant leet de ballottement de la surface libre du e e e liquide, etc. En pratique, on suppose que la force uide exerce sur une structure peut se e dcomposer en trois contributions : e - une force, dite alatoire ou force indpendante du mouvement : elle dsigne e e e la force exerce par le uide sur la structure xe. Elle est due ` la perte de charge e a et aux frottements visqueux au niveau de la paroi xe. Elle peut tre stationnaire e

5 ou prsenter un caract`re alatoire lors de lcher de tourbillons ou en prsence e e e a e dcoulements turbulents ou diphasiques. e - une force uide-structure : elle appara lorsquon a une structure vibrante t dans un uide au repos sans coulement propre. e - une force uide-lastique : cette force est due au mouvement de la structure e dans un coulement uide. e Le couplage uide-lastique est un couplage dynamique non-conservatif. Les e ux dnergie changs entre le uide et la structure dpendent de la vitesse de e e e e

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convection de lcoulement moyen. Or, dans certaines congurations au del` dune e a certaine vitesse caractristique de lcoulement moyen, le uide transf`re ` la struce e e a ture plus dnergie quelle ne peut en dissiper. Le syst`me devient alors instable e e : la structure se met ` osciller fortement et peut ventuellement impacter les struca e tures avoisinantes. Ce type de comportement, quali de dpart en instabilit e e e uide-lastique, est en gnral suivi dun endomagement [16]. e e e De telles vibrations peuvent endommager la structure concerne. En eet, il e se peut, qu` partir dun seuil de vitesse du uide, des mcanismes de couplage a e instables apparaissent, o` une partie de lnergie cintique du uide se transforme u e e en nergie vibratoire de la structure. On observe alors une instabilit dite de e e ottement particuli`rement dangereuse pour la structure, pouvant mener ainsi ` la e a ruine de cette derni`re. e Parmi les syst`mes propices ` de telles instabilits, les lignes de tuyauteries e a e de refrigration dans les racteurs nuclaires ont t les premi`res tudies, [36]. e e e ee e e e Pa doussis, [ 110,97,13] traite du probl`me du ottement dun tube encastr en e e coulement interne. Dans le domaine de laronautique, on peut citer laccident e e du chasseur F117 lors dune rencontre arienne en 1997 aux Etats Unis. Lorigine e de cet accident a t attribu au ottement dun aileron, probl`me gnrique de ee e e e e cet avion qui semblait pourtant avoir t rsolu par le renforcement des strucee e

6 tures. La prsence dun coulement peut aussi conduire ` des instabilits dites de e e a e ambage, dintrt particulier en biomcanique pour les probl`mes de contraction ee e e de vaisseaux sanguins ou dasthme[80,130]. Dans ces phnom`nes, linstabilit est e e e dorigine gomtrique et est induite par la rotation de linterface et de la charge e e applique. e

1.2

Fluide-structure et probl`mes associs e e Il existe une grande varit de phnom`nes dinteraction uide-structure. On ee e e

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peut distinguer formellement les probl`mes instationnaires et stationnaires. Ces e derniers peuvent appara paradoxaux, comme la forme stationnaire dune voile tre dans un vent permanent, ou celle dun ballon de baudruche apr`s gonage. On e peut surtout distinguer les probl`mes par les quations rgissant chacun des sous e e e syst`mes uide ou structure. La distinction est moins naturelle quand on regarde les e quations rgissant la structure (mod`les linaires, en petits dplacements ou non, e e e e e en petites dformations ou non, etc...) Par contre, une classication en fonction de e mod`le retenu pour le uide prend plus de sens. e - Gnie Civil : un des premiers grands secteurs o` les simulations numriques e u e et exprimentales dinteractions uide-structure sont apparues est le Gnie Civil, e e notamment pour les structures tr`s lances (ponts suspendus) et faisceaux de e e e cbles. a - Gnie Maritime: dans ce domaine, de nombreuses tudes numriques concere e e nent dirents aspects des interactions uide-structure. La plupart des tudes font e e jouer un rle particulier ` la surface libre de la mer. Une des sollicitations les plus o a importantes pour des constructions portuaires ou des structures pour lextraction o-shore du ptrole est simplement la houle (ondes sans dplacement de mati`re ` e e e a la surface libre). - Hydrodynamique navale : est un autre champ dapplication essentiel. Il sagit

7 de concevoir et doptimiser des formes de coques et dautres lments sur dirents ee e vhicules. e - Gnie Biomdical : concerne linteraction entre des tissus biologiques. Dans e e de nombreux cas, les nombreux uides du corps humains (sang, liquides oculaires, etc...) peuvent interagir avec les environnants. Ceux-ci tant dformables, de e e vritables interactions uide-structure peuvent appara e tre naturellement (veines collabables, rupture danvrisme, etc...). Pour une meilleure comprhension de e e lapparition et de la rupture danvrisme, certaines quipes ont dj` propos des e e ea e

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cha nes plus ou moins automatiques allant de limagerie mdicale sur le patient e lui-mme, ` lextraction des parois des vaisseaux [49]. e a - Gnie Industriel : de nombreuses tudes sont menes dans ce domaine. Elles e e e concernent : les structures tr`s nes et tr`s lances comme les cbles ou les pane e e e a neaux, ou les rservoirs. Des calculs ont par exemple t mens sur des lignes haute e ee e tension (interaction avec le vent, chargement de neige ou de glace, etc...) ou plus simplement sur des cbles. a

1.3 1.3.1

Mthodes de couplage Fluide-structure e Mthodes numriques e e

La structure est, en gnral, rsolue par une formulation classique en lments e e e ee nis. Le probl`me du couplage uide-structure rside dans la recherche dune soe e lution numrique pour le probl`me uide. Une fois, cette solution trouve, il faut e e e la coupler ` la formulation en lments nis pour la structure an de rsoudre a ee e le probl`me dinteraction. Les mthodes numriques doivent tre conues pour e e e e c suivre les dformations du uide. Dans un premier temps, la formulation Lagrange ienne ou ALE en lments nis. Linteraction uide-structure est alors gre par ee ee des mthodes de contact. Dans ce cas, cette approche est limite par la distore e

8 sion des mailles. Des mthodes de remaillage peuvent tre envisages mais leur e e e cot CPU est tr`s important. Ensuite, les solutions apportes par la mthode des u e e e lments fronti`res (BEM) ou par la mthode SPH seront dcrites: elles permetee e e e tent de saranchir du maillage et donnent des rsultats tr`s proches des solutions e e physiques. 1.3.1.1 La mthode du Lagrangien augment (pnalisation) e e e

Le probl`me majeur des quations de Navier-Stokes est le traitement du coue e

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plage entre la pression et la vitesse. La dicult rside dans le fait de calculer e e un champ de pression rsultant dun coulement incompressible avec V qui vrie e e e lquation de continuit, le tout sans disposer dquation traduisant de mani`re e e e e explicite les volutions de la pression. En incompressible, plusieurs mthodes de e e rsolution existent, dont la relativement rcente mthode dite du Lagrangien auge e e ment. Cet algorithme a t labor dans un premier temps dans le but de rsoudre e e ee e e le couplage vitesse-pression induit par les quations de Navier-Stokes crites pour e e un coulement incompressible. Il repose sur une mthode de minimisation sous la e e contrainte de lquation de continuit, o` la pression, dcouple par rapport ` la e e u e e a vitesse, appara comme un multiplicateur de Lagrange [51]. La contrainte est en t fait directement introduite dans lquation du mouvement sous la forme du terme e de pnalisation qui couple les direntes composantes de la vitesse. Le calcul du e e couple vitesse-pression est eectu par lalgorithme itratif dUzawa [51, 58]. Les e e itrations de lagrangien augment (notes k) sont rptes jusqu` ce que la valeur e e e e ee a moyenne de la divergence de la vitesse, dans lensemble du domaine, soit suisamment petite. En notant K le nombre maximal ditrations ncessaires pour e e satisfaire le prcdent crit`re. e e e

9 1.3.1.2 Mthode des lments fronti`res (BEM method) e ee e

Longuet-Higgins et Cokelet [78] furent les premiers ` introduire cette technique a connue aussi sous le nom de mthode Euler-Lagrange mixte. Des variantes de e cette mthode ont t appliques ` une large gamme de probl`mes 2D et 3D par e ee e a e de nombreux auteurs tels que Faltinsen [47], Vinje et Brevig [127], Cointe [38],... La prsentation de cette approche est dtaille dans les travaux de Zhao et Faltine e e sen. Ils prsent`rent, dans [138], une mthode numrique permettant de calculer la e e e e rpartition de pression sur le di`dre ` partir dune mthode non-linaire dlments e e a e e ee

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fronti`res. Cette mthode numrique sapplique ` des probl`mes linaires ellipe e e a e e tiques dont les quations partielles peuvent tre reformules sous formes intgrales. e e e e 1.3.1.3 Mthode SPH e

En 1977, les travaux de Lucy et Monaghan [79] donnent lieu ` une nouvelle a mthode numrique: la mthode SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics). Cette e e e mthode particulaire saranchit dune connectivit gomtrique, contrairement e e e e aux formulations classiques. Les domaines physiques sont discrtiss par des partice e ules qui suivent le mouvement du matriau. Pour le tossage, la formation du jet ne e pose ainsi plus de probl`mes de modlisation. Cette mthode fut dabord applique e e e e en astrophysique, [79] et [57], avant dtre utilise par la suite en Mcanique, [85]. e e e Les particules reprsentent les points dinterpolation o` les inconnues mcaniques e u e du probl`mes sont dtermines. La mthode SPH se caractrise par la masse des e e e e e particules et par deux grandeurs de discrtisation, la distance interparticulaire et e la longueur de lissage. Le principe est dapproximer un champ sur un domaine par un ensemble de points de discrtisation appels particules. e e

10 1.3.1.4 Mthode VOF e

Cette mthode a t introduite la premi`re fois par Hirt et Nichols [89] dans e ee e un code appel SOLA-VOF pour traquer les interfaces matrielles dans une grille e e Eulrienne. La mthode est lie ` la rsolution des quations dEuler ou de Naviere e e a e e Stokes par un schma de dirences nies ou de volumes nis. Le principe du e e suivi dinterface est de dterminer la quantit de uide dans chaque volume de e e contrle (cellule) en valuant une quantit appele fraction volumique. Si cette o e e e derni`re vaut 1 alors la cellule est remplie de uide ; si elle vaut 0, la cellule e

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est soit vide, soit remplie dun autre uide. Les fractions volumiques comprises entre 0 et 1 dterminent la position de linterface matrielle ou de la surface libre. e e En connaissant la distribution de la fraction volumique dun uide, il est possible de dterminer les limites physiques du domaine uide dans un maillage. Pour e cela, Young [136] propose une technique pour calculer prcisment la position de e e linterface dans une cellule en utilisant les fractions volumiques des cellules voisines. La mthode VOF a les trois caractristiques ncessaires ` une technique de suivi des e e e a interfaces matrielles : un schma localisant linterface, un algorithme dterminant e e e prcisment la position de linterface dans le maillage et un algorithme appliquant e e les conditions aux limites sur cette fronti`re. e 1.3.2 Mthodes analytiques e

Pour prsenter les deux approches analytiques dominantes permettant la rsolution e e du probl`me dimpact, on peut eectuer un rapide parall`le entre elles en dnissant e e e leurs limites [137]. Chacune de ces mthodes a ses propres caractristiques : e e 1) La mthode des similitudes respecte les conditions de surface libre et elle e nest applicable que pour des di`dres entrant ` vitesse constante dans le uide. e a 2) La mthode asymptotique est limite ` des angles dincidence petits, infrieurs e e a e a ` 30 dapr`s [138]. Cette derni`re mthode est le fruit dune succession darticles e e e

11 dont le premier est [128]. Von karman fut, en eet, le pionnier dans ltude du e tossage. Comme les hypoth`ses sur lesquelles elle repose sav`rent restrictives, e e Wagner dveloppa une thorie plus volue [129] mais lexpression de la pression e e e e est singuli`re sur le bord du di`dre. Watanabe amliora cette thorie pour cone e e e trecarrer ce probl`me [131] et dveloppa lexpression de la pression en prenant en e e compte le jet : il raccorda la solution de Wagner avec la solution du jet sur une plaque. Cointe [37] donna, indpendamment, une thorie similaire. Zhao et Faltine e sen, dans larticle [137], reprirent aussi lexpression de la pression de Wagner pour

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la raccorder asymptotiquement avec une solution externe pour le jet. La mthode e des similitudes repose sur la thorie de Dobrovolskaya dveloppe dans [42]. Cette e e e thorie qui fut aussi lobjet des articles [100] et [54], consid`re que lcoulement e e e est autosimilaire rduisant ainsi ltude ` la rsolution dune quation intgrale e e a e e e non-linaire unidimensionnelle. e

1.4

Formulation ALE des quations de Navier-Stokes e En interaction uide-structure, les quation de Navier-Stokes sont rsolues dans e e

un domaine mobile ou dformable. Parmi les approches utilises, la mthode e e e Lagrangian-Eulrian Arbitraire (ALE) suscite beaucoup dintrt [117]. Lintrt e ee ee dutiliser une formulation ALE [44] pour dcrire les phnom`nes est de combiner e e e les avantages de la description Lagrangienne et ceux de la description Eulrienne. e Soit X les coordonnes Lagrangiennes dun point dans le rep`re matriel, x ses e e e coordonnes Eulriennes dans le rep`re spatial et ses coordonnes dans un rep`re e e e e e ALE. La relation de passage [19]. LALE traite le maillage comme un rep`re qui e se dplace avec une vitesse arbitraire w : e

f (x, t) = f (, t)

(1.1)

f f est donn par : e | = f |x + w. x f , cela nous permet t t t nalement dcrire la relation de passage, pour la quantit f entre le rep`re matriel e e e e La drive mixte e e et le rep`re ALE, soit : e f df = |x + u dt t o` u(x, t) = ux | t x

xf

=

f | + (u w) tx | t

xf

(1.2)

est la vitesse matrielle et w = e

est la vitesse arbitraire.

Cette proprit est tr`s utile dans le dveloppement dune description cinmatique ee e e e

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dans le rep`re ALE. e La loi de conservation de la quantit de mouvement exprime en ALE : e e 1 u | + (u. )u = t La relation 1.2 applique ` u donne : e a u u (, t) |x + (u. )u = | + ((u w) . ) u t t

p + u + f

(1.3)

u=

(1.4)

Enn, la relation fondamentale qui permet de passer dune loi exprime en e variable Eulrienne ` une loi quivalente exprime en variables mixtes (ALE) : e a e e u (, t) 1 | + ((u w) . ) u = t

p + u + f

(1.5)

On obtient donc lcriture des quations de Navier-Stokes dans la description e e ALE en incompressible : u + ((u w) . ) u t

=

p + u + f

(1.6)

Cette formulation assigne ` chaque point de lespace une vitesse de grille w, qui a dcrit un mouvement arbitraire du maillage et une vitesse matrielle u. e e

13 CHAPITRE 2 RESOLUTION DES EQUATIONS DECOULEMENT DE FLUIDES PAR ELEMENTS FINIS

2.1

Introduction : Mthode des lments nis e ee La mthode des lment nis est fonde sur deux ides principales : une mthode e ee e e e

dinterpolation et une mthode variationnelle. e

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Etant donns un domaine continu et une fonction u solution de L(u) = 0 , e a) la mthode dinterpolation fournira une fonction proche de u construite ` e a partir dun nombre nis de rels e b) la mthode variationnelle remplacera L(u) = 0 par un nombre ni dquations. e e Si lon suppose la fonction approche connue en un certain nombre de points de e llment, elle est value en nimporte quel point de llment par interpolation. ee e e ee La restriction de la fonction approche ` un lment K (triangle) du maillage, e a ee note K , est de la forme : e hNk

K h

(x, y) =

i Ni (x, y)i=1

(2.1)

o` i dsigne la valeur de la fonction approche h au point xi de coordonnes u e e e (xi , yi ), Ni la fonction dinterpolation asocie ` xi , Nk le nombre de fonctions e a utilises pour llment K. e ee Les coecients i de cette combinaison linaire sont les inconnues - ou degr e e de libert - du probl`me discret. Les fonctions dinterpolation sont les fonctions de e e base dun espace vectoriel de dimension nie Nh dans lequel on cherche ` priori la a solution discr`te h . e

14 An de dterminer les inconnus du probl`me discret, une mthode de rsidus e e e e pondrs est utilise : on minimise lerreur commise est minimise en remplaant ee e e c dans les quations aux drives partielles la fonction exacte par la fonction ape e e proche. Pour cela, on projette lerreur sur un espace de fonction h ` prciser. e a e La mthode de Galerkin est un cas particulier de la mthode des rsidus pondrs, e e e ee lespace de projection est le mme que lespace dapproximation de la solution du e probl`me, autrement dit h = Nh . e 2.2 Elments danalyse fonctionelle e Espace L1 () On note L1 () lespace vectoriel des classes de fonctions (on identie les fonctions qui sont gales presque partout) intgrables pour la mesure de Lebesgue dx. e e C est un espace de Banach (norm complet) lorsque lon prend pour norme de e f L1 () :

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f Espaces Lp () Soit 1 p . On dnit e

L1

=

|f (x)| dx

(2.2)

Lp () = f F (; R) : f est mesurable et |f |p L1 ()

(2.3)

c est un espace de Banach pour la norme1/p p

f

Lp

=

|f (x)| dx

(2.4)

15 c est un espace de Banach pour la norme

f

L

= inf { C : |f (x)| C p.p. sur }

(2.5)

Espaces de Sobolev On appelle espace de Sobolev sur , lespace fonctionnel

W k;,p () = {u Lp () Z, || k : D u Lp ()}

(2.6)

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o` D u est la drive de u au sens des distributions. u e e On note H k () = W k;2 (), en particulier H 1 () = . u L2 (). i {1; ....; d} : uxi L2 () . Soit lapplication H 1 () H 1 (). R+ , et soit (u, v)

(2.7)

(uv +

u. v) dx

(2.8)

est un produit scalaire et munit H 1 () dune structure despace de Hilbert. On note la norme associe par : e (u2 + | u|2 )dx

u

H 1 ()

=

(2.9)

Ingalit de Poincar e e e Soit un ouvert born de Rd , alors il existe une constante C() telle que e1 u H0 () :

u2 dx C()

| u|2 dx

(2.10)

16 Soit un ouvert born de Rd , alors e1/2 1/2

u

H 1 ()

=

(u + | u| )dx

2

2

et

u

1 H0 ()

=

| u| dx

2

(2.11)

1 sont des normes quivalentes sur H0 () . e

2.3 2.3.1

Mise en oeuve de la mthode des lments nis e ee Formulation variationnelle forte

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La formulation forte dun probl`me aux conditions aux limites scrit alors e e comme suit : Trouver u(x) espace des solutions US tel que

L(u) F = 0 x

B(u) = u0 x u0

(2.12)

On note que l espace U s dans lequel nous recherchons la fonction u , doit tre e dni judicieusement. e 2.3.2 Formulation variationelle faible

La formulation variationnelle faible peut tre obtenue par les tapes suivantes : e e 1. approcher la solution u, partout dans le domaine , par u telque :n

u=i=1

Ni ui

(2.13)

o` Ni =Ni (x, y) dsignent les fonctions de forme et ui des valeurs nodales u e indtermines. e e 2. introduire (2.13) dans (2.12) il en rsulte une erreur ou un rsidu e e tel que :

17

= L(u) F = 0 o` = 0, u = u c.`.d lorsquune solution exacte existe. u a 3. obtenir une valeur nulle de W tel que : Wk (L(u) F) d = 0, k = 1, 2...N

(2.14)

en introduisant une fonction de point arbitraire

(2.15)

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o` N Nombre dinconnues indpendants du syst`me (2.12). u e e En formulation de Galerkine les fonctions tests sont assimiles aux fonctions de e forme. On posen

Wk = Nk =

Nk .Li=1

Ni ui d = 0

(2.16)

1 On dit que u H0 () est une solution faible de (2.18) si :

1 v H0 () : a(u, v) =

f vd

(2.17)

a(: , :) est la forme bilinaire associe ` L Soit un ouvert born de Rd et e e a e est rgulier. On consid`re alors le probl`me : e e e

Lu = f 2.3.3

sur

et u = 0 sur

(2.18)

Conditions aux limites

Trouver la solution qui satisfait un syst`me dquations aux drives partielles e e e e et les conditions aux limites (conditions intiales et conditions fronti`res) forme un e probl`me bien pos si les trois conditions suivantes sont satisfaites. e e

18 La dnition correcte des conditions aux limites est un des lments essentiels e ee pour obtenir un probl`me bien pos, on rappel les dirents types des conditions e e e aux limites communment rencontres sont : e e condition de Dirichlet : condition de Neumann condition de Cauchy 2.4 u=f u,n = f u,n = f et u = g

Les quation du mouvement des uides incompressible e Equation de continuit e

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2.4.1

Dans un milieu continu en mouvement lquation de continuit doit tre vrie e e e e e pour tout volume , : + (u) + (v) = 0 t x y (2.19)

Dans le cas dun uide incompressible, le champs de vitesse vrie ncessairement e e : .u = 2.4.2 u v + =0 x y (2.20)

Conservation de la quantit de mouvement e

On consid`re un coulement dun uide viscqueux incompressible, irrotationnel, e e soumis ` des forces volumiques F et de surface . Lquation de quantit de a e e mouvement scrit : e

u u2 (uv) 1 p 2u 2u Fx + +v + + 2 =0 2 t x y x x y v (uv) v 2 1 p 2v 2v Fx +u + + + 2 =0 2 t x y y x y u v .u = + =0 x y

(2.21) (2.22)

19 2.5 Ecriture variationnelle faible dans le cas de uides incompressibles En choisissant les fonctions test sous la forme : u u = , u = v p w lcriture faible scrit : e e

(2.23)

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W = WN S + WCont

(2.24)

o` lindice N S dsigne les termes de conservation de la masse pour les quations u e e de Navier-Stokes et lindice Cont dsigne termes de continuit. e e De lquation 2.21 on obtient : e

WN S =

u

(uv) Fx u u2 + +v t x y

u u u u 1 u p+ + d+ x x x y y

v

(uv) Fy v v 2 + +v t y y u pnx ds

v v v v 1 v p+ + d+ y x x y y v

v pny ds +

u

u u nx + ny ds x y d

v v nx + ny ds x y (2.25)

WCont = p

u v + x y

avec u = us sur Su

n = (nx , ny ) tant la normale ` la fronti`re dirige vers lextrieur de la fronti`re e a e e e e S = . Conditions aux limites associes sont : ` la paroie Paroi Condition dadhrence e a e u a . u = 0, ` lEntre u = u et ` la Sortie p = p, a e

20 2.5.1 Discrtisation par lments nis e ee

1. Le domaine de calcul est reprsent par un ensemble de sous domaines e e lmentaires e , donc eeN elt N elt

=i=1

i e

= W =

Weii=1e

(2.26)

ee N elt =Nombre total dlements ,Wei : formulation faible lmentaire e 2. Approximation nodale des variables :

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Pour chaque lment on a : ee

u = N {un } , v = N {vn } , P = N {Pn }

(2.27)

La forme conservative des quations de Navier-Stokes est discrtise en utilisant e e e la mme approximation pour u, v et u2 , uv, v 2 , cest ` dire: e a

u = Ni {ui } v = Ni {vi } u2 = Ni {u2 } i

2 v 2 = Ni {vi }

vv = Ni vi {vi } uv = Ni ui {vi } (2.28)

uv = Ni {ui vi }

uu = Ni ui {ui } vu = Ni vi {ui }

3. Approximation nodale des fonctions test (Formulation Galerkine) Dans la formulation Galerkine, la fonction de forme est identique pour les fonctions test et les variables.

u = N {un } , v = N {vn } , p = N {Pn }

(2.29)

N sont des fonctions dinterpolation pour les vitesses et N sont des fonctions dinterpolation pour la pression.

21 {un } , {vn } et {Pn } sont les variables nodales associes ` chaque lment. e a ee 4. Formulation matricielle lmentaire ee Lintroduction des fonctions solution (u, v, P ) et des fonction tests (u , v , p ) dans la formulation faible lementaire, on obtient : e W e = [M]e {U } + [K]e {U } {F }e

=0

(2.30) (2.31)

= [M]e {U } + [K]e {U } {F }e = 0

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[M]e [ndle, ndle] : Matrice masse lmentaire ee [K]e [ndle, ndle] : Matrice de rigidit lmentaire eee {F }e [ndle] : Vecteur force lmentaire ee

La forme matricielle gnrale du probl`me est donne par : e e e e

N elt

W =

Wei = W = i=1e

[M]{U } + [K]{U } {F }

=0

(2.32)

Le syst`me ` rsoudre est alors : e a e

[M]{U } + [K]{U } = {F } {U (t0 )} = {U0 }

(2.33)

{U } : [M] [ndlt, ndlt] : [K] [ndlt, ndlt] : {F } [ndlt] :

Vecteur des variables globales Matrice masse globale Matrice de rigidit globale e Vecteur global des sollicitations extrieures. e

22 2.6 Mthodes de stabilit numrique e e e Pour mettre en vidence les direntes mthodes de stabilit on consid`re le e e e e e cas simple dun coulement incompressible stationnaire de uides newtoniens. Les e composantes des contraintes normales et tangantielles sexpriment en fonction de pression et des taux de dformation : e x = p + 2 u x v y = p + 2 x

(2.34)

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xy = yx = 0

Les quations linarises de mouvement du uide vrient : e e e e (u, p) + f = 0 u=0

, x

(2.35)

Avec les conditions aux limites suivantes :

(u, p).n = g, x n ; u = u0 , x D 2.6.0.1 Formulation faible mixte

(2.36)

< u( (u, p) + f >= 0, u U

(2.37)

En eectuant une intgration par parties et en utilisant le thor`me de la die e e vergence, on obtient :

< a(u, u) b(p, u, ) >= f (u) u U , p u = 0 p P a(u, u) =< (u), b(p, u, ) = p .u, f (u) = u.f + u.gn

(2.38)

2.6.0.2

Formulation discr`te e

La Formulation discr`te consiste ` crire une approximation de u et p sous la e ae

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forme suivanten n

u (x)=i=1

h

ui u (x), i

p (x)=i=1

h

pi p (x) i

(2.39)

o` ui et pi sont des valeurs nodales inconnues, tandis que u (x) et p (x) sont u i i des fonctions de forme spcies. On a volontairement utilis des fonctions de e e e forme de type dirent pour la pression et les dplacements. e e La formulation discr`te scrit : e e T rouver uh (x) et ph (x) U et P tels que : < a(uh , uh ) b(ph , uh ) >= f (uh ) uh U h h b(ph , uh ) ph P (2.40)

24 CHAPITRE 3 ` MODELE FLUIDE : TRAITEMENT NUMERIQUE ET VALIDATION

3.1

Rsolution numrique e e Le code que nous avons dvelopp pour les coulements de uides incompresse e e

ibles est conu suivant larchitecture du code Reex [10], dvelopp ` lUniversit c e ea e

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de Technologie de Compi`gne. Le maillage, le post-traitement et les graphes ont e t eectus et excuts ` laide du logiciel GID. ee e e e a 3.1.1 Algorithmes de rsolution : Discrtisation Temporelle e e

La Discrtisation Temporelle consiste en lutilisation du schma dEuler (1er e e Ordre). Ce schma consiste ` discrtiser (2.33) par la mthode de dirences nis e a e e e dcentres en introduisant le param`tre dimplicitation 0 1. e e e

{U t+t } =

1 ({Ut+t } {Ut }) t (3.1)

Ut+t = {Ut+t } + (1 ) {Ut }

Lorsque = 0, ce schma est explicite et son domaine de stabilit est ree e streint. Il est donc ncessaire de choisir un petit t e Lorsque = 0.5, ce schma est est appel Crank-Nocholson. Ce schma de e e e 2`me ordre assure une meilleur stabilit et une une excellente prcision. e e e Schma implicite e

25 soit s = t,ona :

[M]{U }s+1 + [K]{U }s+1 = {F }s+1

{U }s+1 =

{U }s+1 {U }s = (1 ){U }s + {U }s+1 ts+1 {U }s+1 {U }s (1 ) = {U }s+1 = {U }s ts+1

(3.2)

On introduisant lexpression de {U }s+1 dans lquation : e

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[M]{U }s+1 + [K]{U }s+1 = {F }s+1

(3.3)

On obtient :

[M]{U }s+1 [M]{U }s + ts+1 [K]{U }s+1 = [M]ts+1 (1 ){U }s + ts+1 {F }s+1 ([M]s+A + ts+1 [K]s+A ){U }s+1 = ([M]s (1 )[K]s ts+1 ){U }se [K]s+1 e [K]s

+ ((1 ){F }s + {F }s+1 ) ts+1e [F]s+1

[K]s+1 {U }s+1 = [K]s {U }s + [F]s+1

(3.4)

Le schma devient implicite car le calcul de la matrice K ncssite le cale e e cul pralable de la matrice Masse au pas de temps prcdent. Ce qui a pour e e e consquence daugmenter le temps de calcul. e La discrtisation du terme temporel, pour un pas de temps t, est faite par le e biais du schma dEuler explicite telle que : e

Ut

=

{Ut+t } {Ut } t

(3.5)

26 Ce schma est inconditionnellement stable et plus particuli`rement autorise des e e pas de temps plus grands. Nous obtenons nalement : ([M ] + t [K]) {Ut+t } = t {Ft+t } + [M ] {Ut }

Pour la partie uide, nous avons utilis essentiellement des lment triangue ee laires. La discrtisation des formulations faibles issus des quation de Naviente e Stokes conduit ` un syst`me global non linaire, mixte en (u,p). Ce syst`me est a e e e rsolu ` laide dune mthode itrative de Newton Raphson base sur une approche e a e e e

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asymptotique [62]. 3.1.2 Linarisation : Mthode itrative de Newton-Raphson e e e

Plusieurs mthodes peuvent tre utiliss pour traiter les termes non-linaires e e ee e de lquation (3.4). Dans les prsentes applications nous avons utiliss la mthode e e e e itrative de Newton-Raphson [62]. Elle consiste ` supposer dans un premier temps e a que le rsiduel R est nul, soit : e

R(U ) = [K({U })] {U } {F } = {0}

(3.6)

Ensuite on dveloppe cette derni`re quation en srie de Taylor en ne retenant e e e e que les termes dordre 1. Il vient :

R(U ) = {R}r +

{R}r ({U }r+1 {U }r ) + O({U }r+1 {U }r )2 {U } (3.7)

= {R}r + K T {U } + O( {U })2 = {0} KT = {R}r a {U } = {U }r : Matrice Tangente ` {U } : Solution incrmentale e

{U } = {U }r+1 {U }r

27 Enn, de lquation (3.7) on dduit que : e e {U } = K T1

{R}r = K T {U }r

1

({F } [K({U }r )] {U }r )

(3.8)

La solution ` litration (r+1)th est obtenue en utilisant : a e {U }r+1 = {U }r + {U }

(3.9)

3.1.3

Stabilit de la solution : Condition de Ladysenskaya-Brezzi-Babuska e (LBB)

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Considrons la formulation discr`te mixte (2.40) et analysons la stabilit de ce e e e probl`me. Une condition naturelle de stabilit numrique devrait snoncer comme e e e e suit. Il existe une constante C telle que si une solution (uh ; ph ) U h P h satisfait (2.40), alors : uh o` les normes . u1 1

+ ph

0

1 f C

1

(3.10)

et .

0

sont les normes des espace de Sobolev H1 et H01

= L2 . La norme dune forme b et la norme . respectivement dnies par les expressions e |f (u)| , uh 1

du vecteur u = (u; v; w) sont

f

1

= supuU h

uh

1

=

u

2 1

+ v

2 1

+ w

2 1

(3.11)

Intuitivement, on souhaite quune petite erreur sur les donnes (ici, f) nait e quune consquence nie sur la norme de la solution du probl`me mixte. e e Il est possible dobtenir une ingalit (3.10), si la condition suivante dite de e e Ladysenskaya-Brezzi-Babuska est satisfaite : Il existe une constante CLBB > 0 telle que :

28

(3.12)ph P h uh U h

inf

sup

b(ph , uh ) CLBB uh 1 p h 0

Pour simplier la dmonstration mathmatique, on supposera que : Uh = U h e e et Ph = P . Cela conduit ` prendre alors uh = uh et ph = ph dans la formulation a discr`te mixte (2.40) , on peut crire : e eh

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a(uh , uh ) + b(ph , uh ) = f (uh ) uh U h b(ph , uh ) ph P h

(3.13)

Lobtention de lingalit de stabilit ` partir de la condition LBB se ralise en e e ea e deux parties. - En soustrayant les deux lignes de (3.13), on obtient : a(uh , uh ) = f (uh ) a uh f1 2 1

a(uh , uh ) = f (uh )1

uh

uh

1

1 f a

1

(3.14)

- En ne considrant que la premi`re ligne de lquation (3.13) , on crit : e e e e

b(ph , uh ) = a(uh , uh ) + f (uh )

(3.15)

En vertu de la condition LBB (3.12), on obtient apr`s un calcul intermdiaire : e e

29

CLBB supuh U h

f (uh ) b(ph , uh ) a(uh , uh ) + sup sup uh 1 uh 1 uh 1 uh U h uh U h

(3.16)

c a

= f f1

1

ph

0

c ( + 1) f CLBB a

1

1

(3.17)

3.1.4

Mthode SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) e

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Cette mthode est utilise dans les prsentes applications. Elle consiste ` e e e a dcentrer les fonctions de poids suivant les lignes de courant de lcoulement. Pour e e le noeud i dun lment, la fonction de poids sexprime : ee Le 2 |V| Ni Ni + Vy x y

i = Ni +

Vx

(3.18)

o` Le est la longueur de llment suivant la direction de la vitesse et mesure u ee e en passant par le point dintgration de Gauss [74]. e Contrairement ` la mthode du produit, un seul facteur a est calcul pour tout a e e llment. Il fait intervenir Le et la norme de la vitesse : ee 1 Pe

= coth Pe

(3.19)

Cette mthode a dabord t introduite par lintermdiaire dune diusion artie ee e cielle anisotrope oriente dans le sens de lcoulement [74]. Elle prsente lavantage e e e de sappliquer indiremment ` des lments carrs et triangles. La mthode SUPG e a ee e e rduit linuence des noeuds situs perpendiculairement ` lcoulement par rapport e e a e a ` la mthode produit. Hughes et Brooks [68] montrent que la mthode produit tend e e a ` lisser exagrment les rsultats dans la direction perpendiculaire ` lcoulement. ee e a e Ils parlent de crosswind diusion.

30 Le dcentrement des termes convectifs est obtenu en lments nis par la e ee mthode SUPG (Streamline Upwind Petrov Galerkin). Pour cela on consid`re: e e

i = Ni + u.

Ni

(3.20)

o` Ni est la fonction de base choisi, un param`tre de stabilisation et u le u e champ de vitesse associ au terme convectif. e Pour un lment en amont du noeud i, u. ee Ni est positif. La fonction de

pondration associe sur cet lment au noeud i devient donc plus importante. e e ee

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3.2

Validation du module uide La phase de validation du module uide est eectue suivant trois tests acadmiques, e e

et concernent : Poiseuille, coulement dun uide autour dun cylindre xe, coulement e e dans une cavit carre, coulement dans une conduite ` section variable (2 tubes de e e e a diam`tres dirents), coulement ` travers une marche bas, tranglement du canal e e e a e et enn lcoulement dun uide dans une conduite o` lon a plac : un obstacle e u e vertical ou une bosse circulaire. Le test de Poiseuille permet dobtenir une solution stationnaire. Tandis que les autres tests sont eectus pour le cas transitoire. e An daider ` identier les caractristiques physiques des coulements les quations a e e e de Navier-Stokes sont adimensionalises, en remplaant la densit (constante) par e c e 1 et la viscosit dynamique par 1/Re. Le nombre de Reynolds Re reprsente le e e rapport des forces dinertie aux forces de viscosit et est dni par : e e

Re = U L/

(3.21)

o` U est une vitesse caractristique de lcoulement tudi (par exemple la u e e e e vitesse du mouvement dun corps ou la vitesse moyenne dans une section dtermine e e du canal, etc.), = / est la viscosit cinmatique du uide et L est une longueur e e

31 caractristique (par exemple le diam`tre ou la longueur dun corps, la largeur e e intrieure dun canal, etc...). e 3.2.1 Cas test de Poiseuille

Figure 3.1: Domaine de calcul pour le probl`me de Poiseuille et Maillage (2000 e

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lments). ee Il sagit de lcoulement dun uide dans un canal 1m 10m avec un prol e de vitesse parabolique impose en entre et dune viscosit = 0.002m2 /s. Ce e e e probl`me poss`de une solution analytique suivante : e e 4x 4y (H y), 0), et p = + constante. H2 H2

u=(

(3.22)

o` H est la hauteur du canal. u Le maillage et les direntes conditions aux limites du domaine sont prsentes e e e sur la gure 3.1. Lanalyse des rsultats des tests numriques montre que les champs de vitesses e e Figure 3.2 ont bien un aspect parabolique qui conrme lallure de la solution analytique Figure 3.22, ces rsultats sont obtenus au bout de 5P as. Quant ` la pression e a Figure 3.3 on constate que son allure perturbe nest pas linaire contrairement e e a ` la solution analytique (Figure 3.4). Pour pallier ` ce probl`me et amliorer la a e e stabilit de la solution concernant la pression on a utilis la mthode de stabit e e e e SUPG (le principe de la mthode est donn dans la section Figure 3.1.4). e e

32

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Figure 3.2: Isovaleurs de vitesse u dans le canal.

Figure 3.3: Isovaleurs de pression correspondantes.

33

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Figure 3.4: Pression en fonction de x au milieu du canal, comparer avec la pression analytique et stabiliser par SUPG.

3.2.2

Cas test dcoulement autour dun cylindre e

Ce probl`me est caractris par un coulement instationnaire et le dveloppement e e e e e dun dtachement tourbillonnaire ` larri`re du cylindre, connue sous le nom dalles e a e e de Von Karman. Ce probl`me a t tudi numriquement et exprimentalement e eee e e e par divers auteurs [27; 15]. Il est aussi considr comme un test de rfrence (benchee ee mark) pour valuer la performance des mthodes numriques pour la rsolution e e e e des quations de Navier-Stokes instationnaire. e En eet, selon les expriences e

numriques ralises par Buat en 1991, il sav`re que les schmas de discrtisation e e e e e e en temps trop diusifs (par exemple les schmas Upwind dordre 1) ne sont pas en e mesure de prdire correctement lvolution temporelle de la solution. e e

34 Description du probl`me et procdures de calcul e e La gure 3.5 prsente le domaine de calcul et les conditions aux limites. Le e domaine de calcul a pour dimensions 13m 7m units de longueur adimensionnelle e Figure 3.6 avec un cylindre de diam`tre gal ` 1. e e a

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Figure 3.5: Domaine de calcul et conditions aux limites.

Figure 3.6: Maillage du domaine, 11000 noeuds et 23000 lments. ee Un coulement uniforme (u = 1, v = 0) est impos ` lentre et aux fronti`res e ea e e suprieure et infrieure du domaine. Le uide adh`re ` la paroi du cylindre. A la e e e a sortie pas de condition. Le maillage est construit en tenant compte de la solution

35 du probl`me. Il est susamment ran dans le sillage du cylindre, an davoir un e e champ de vitesse et une pression correcte gures (3.8, 3.9 et 3.10) et de capturer la formation des tourbillons gure 3.7, compars avec les rsultats [48] gure 3.11. e e Le comportement de lcoulement est tudi en fonction du nombre de Reynolds e e e Re = DU/ o` D est le diam`tre du cylindre, U est la vitesse uniforme en entre u e e et est la viscosit cinmatique du uide tel que : = 0.01m2 /s. e e

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Figure 3.7: Lignes de courant pour Re = 100.

Figure 3.8: Isovaleurs de la vitesse u.

36

Figure 3.9: Isovaleurs de la vitesse v.

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Figure 3.10: Isovaleurs de la pression.

Figure 3.11: Lignes de courant pour Re = 100. Rsultats Filippone [48]. e

37

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Figure 3.12: Allure de vitesse et de la pression en amont de lobstacle (couleur jaune et rouge) et en aval de lobstacle (couleur verte). Pour tudier la sensibilit de notre mod`le au nombre de reynolds, nous avons e e e choisis le mme cas de cylindre avec un maillage homog`ne Figure 3.13, les champs e e de vitesses obtenus pour Re = 100, Re = 400, Re = 1000 et Re = 3000 sont donns e sur les gures 3.14, 3.15, 3.16 et 3.17. Ce cas test nous a permis dvaluer la e stabilit de notre lment. e ee

Figure 3.13: Maillage homog`ne, 2689 noeuds. e

38

Figure 3.14: Champ de vitesses, Re = 100.

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Figure 3.15: Champ de vitesses, Re = 400.

Figure 3.16: Champ de vitesses, Re = 1000.

39

Figure 3.17: Champ de vitesses, Re = 2500.

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Les gures 3.18 et 3.19 prsentent les isovaleurs vitesses en fonction de plusieurs e steps (60, 65, 70 et 75).

Figure 3.18: Isovaleurs vitesses, step = 60, step = 65.

Figure 3.19: Isovaleurs vitesses, step = 70, step = 75.

40 3.2.3 Cas test dune Cavit carre e e

Dans ce test, consiste en une cavit carre de dimension 1 1 et de longueur e e innie (Figure 3.20 ` gauche). La paroi suprieure se dplace ` une vitesse uniforme a e e a entra nant ainsi le uide. Celui-ci forme un large tourbillon dont le centre dpend e du nombre de reynolds. Cest un cas test classique utilis en simulation numrique e e des coulement laminaire de uide incompressible. Les rsultats seront confronts e e e aux rsultats de [67] et [19]. e Les conditions aux limites en vitesse-pression, sont les suivantes :

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u(x, y) = (0, 0) si (x, y) 0 u(x, y) = (1, 0) si (x, y) 1

(3.23)

Figure 3.20: Gomtrie de la cavit et le maillage (30 30). e e e Nous reprsentons sur les gures suivantes les champs des composantes de la e vitesse suivant les axes x et y gure 3.21 pour Re = 1 et gure 3.22 pour Re = 100.

41

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Figure 3.21: A gauche : vitesse u. A droite : vitesse v pour Re = 1.

Figure 3.22: A gauche : vitesse u. A droite : vitesse v pour Re = 100. Les variations des vitesses u, v en fonction de y, x respectivement pour plusieurs coupes Figure 3.23.

42

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Figure 3.23: A gauche : vitesse u(y). A droite : vitesse v(x) pour Re = 100. Sur la gure 3.24 ` droite, nous avons reprsents les prols de la composante a e e de la vitesse u en fonction de y pour x=0.5 et ce pour les nombres de Reynolds de 100 et 400. Les rsultats des simulations sont en bon accord avec les rsultats de e e [67] et [19].

Figure 3.24: Vitesse en fonction de nombre de Reynolds.

43 3.2.4 Cas test dcoulement autour dun obstacle e

Les probl`mes dcoulement autour dun obstacle font lobjet de plusieurs ape e plications. Des exemples de tels coulements se retrouvent dans des probl`mes e e dchangeurs de chaleur, dcoulement du vent autour de maison, coulement dans e e e les art`res en prsence de plaques, etc. Parmi cette classe dcoulement, le probl`me e e e e de lcoulement autour dun obstacle rectangulaire entre deux plaques est cone sidr dans cette tude. Le domaine de calcul est compos dun canal avec un ee e e rtrcissement (cas dune marche) suivi dun canal avec un largissement (cas dune e e e

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marche inverse) gure 3.25. Ce cas test a t choisi pour les raisons suivantes : dabord, la gometrie est ee e simple et lcoulement est caractris par la prsence de plusieurs zones de ree e e e circulation tel que les zones fermes et des alles [2]; et nalement, ` travers les e e a expriences numriques ralises par [86], il sav`re que ce probl`me est un test e e e e e e plus contraignant que les probl`me standard de la marche inverse. En eet, cone e trairement au probl`me de la marche inverse, les erreurs numriques provenant de e e e lavant de lobstacle peuvent inuencer de faon tr`s signicative la prdiction de c e e lcoulement dans tout le domaine. e Description du probl`me et procdures de calcul e e Le domaine de calcul est constitu dun canal ` lintrieur du quel se trouve un e a e obstacle de hauteur H et de largeur h, les conditions aux limites sont illustres sur e la gure 3.25. Le uide rentre dans le canal avec un prol de vitesse parabolique 3 u(y) = ( y(2 y), 0) pour 0 y 2, 2

(3.24)

adhr aux parois solides (condition de non-glissement). Le nombre de Reynolds ee est bas sur la vitesse moyenne ` lentre (U = 2 umax =0.1 m/s) et la hauteur H e a e 3 de lobstacle. Le maillage uilis (4000 noeuds et 8000 lments) est bien ran e ee e

44 autour de lobstacle an de capturer les caractristiques de base de lcoulement e e (vitesses, pression et lignes de courant). Les gures 3.26, 3.27, 3.28, 3.29, 3.30 et 3.31 reprsentent respectivement la pression, la vitesse u et les lignes de courant e obtenues par notre mod`le et compar aux rsultats obtenues par TDYN. e e e

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Figure 3.25: Maillage de domaine (4000 noeuds et 8000 lments) et conditions ee aux limites.

Figure 3.26: Pression obtenue par notre mod`le, Re = 1. e

Figure 3.27: Pression obtenue par TDYN, Re = 1.

45

Figure 3.28: Vitesse u obtenue par notre mod`le, Re = 10. e

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Figure 3.29: Vitesse u obtenue par TDYN, Re = 10.

Figure 3.30: Les lignes de courant obtenues par notre mod`le Re = 10. e

Figure 3.31: Les lignes de courant obtenues par TDYN Re = 10.

46 Dans ce test, on cherche ` prdire les caractristiques de lcoulement (zone a e e e de recirculation et la composante horizontale de la vitesse ` direntes stations en a e aval de lobstacle. Notre solution est compare aux rsultats numriques fournies e e e par NDri [96], Armaly [3] et Cruchaga [35]. Notre cas tests est compos de deux marche, nous avons choisis apr`s la marche e e pour valuer la longueur de la zone de recirculation. Pour cela nous considrons le e e domaine et les conditions aux limites donns sur la gure 3.32 e

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Figure 3.32: Domaine et conditions aux limites. La longueur de la zone de recirculation est estim selon les auteurs entre cinq e et six fois la hauteur h de la marche. Les rsulats obtenus pour Re = 100, 250, 500 e sont reprsents sur les gures 3.33, 3.34 et 3.35. Pour Re = 250 la longueur e e obtenue (5.66 h) par notre mod`le est rsonable par rapport aux rsultats de e e e Armaly [3] et Cruchaga [35].

Figure 3.33: Les lignes de courant, Re = 100.

47

Figure 3.34: Les lignes de courant, Re = 250.

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Figure 3.35: Les lignes de courant, Re = 500. Dans le canal avec lobstacle vertical on observe la prsence de zone de recire culation le long de paroi solide. Sur la gure 3.37 la distribution de vitesse est compare aux rsultats numriques et exprimentaux [96]. e e e e

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Figure 3.36: Coupe de la composante horizontale de la vitesse, nos rsultats. e

Figure 3.37: Coupe de la composante horizontale de la vitesse, rsultats Kouakou e [96].

49 CHAPITRE 4 ` MODELE SOLIDE : TRAITEMENT NUMERIQUE ET VALIDATION

4.1

Introduction Dans ce module, il a t considr le cas de structures minces (coque). Toute ee ee

fois, une coque est une structure tridimensionnelle caractrise par une paisseur e e e

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tr`s petite par rapport aux autres dimensions. Ce type de structures appara e t frquemment dans des constructions courantes (ponts, toits de btiments,...), dans e a la conception industrielle (turbines, pi`ces de mcanique, carrosserie de voiture), e e et mme en biomcanique (art`res, bronches,...). e e e An de simuler numriquement le comportement des structures minces, il est e important de formuler des mthodes dlments nis de coques qui soient roe ee bustes vis-`-vis du verrouillage numrique, mais aussi consistantes. On trouve a e frquemment des structures minces de gomtrie complexe qui ncessitent lutilisation e e e e de maillages surfaciques non-structurs qui incluent forcment des lments nis e e ee triangulaires [88]. Il est bien connu que les techniques dlements nis standards marchent bien e dans des situations ` membrane dominante, mais en gnral celles-ci donnent des a e e solutions approches trop rigides pour les probl`mes ` exion dominante, prine e a cipalement lorsque lpaisseur est tr`s petite, phnom`ne connu sous le nom de e e e e verrouillage numrique [32]. Le verrouillage numrique est lune des dicults e e e majeures dans la formulation dlments nis robustes pour lanalyse numrique ee e des structures minces, mais ce phnom`ne concerne aussi les formulations income e pressibles de la mcanique des milieux continus en particulier [9], [25], [10] et [69]. e Des nombreux travaux ont t raliss dans la recherche de rem`des contre cette ee e e e

50 pathologie. Les mthodes mixtes dont les fondements thoriques ont t tablis par e e e ee [6] et [25] constituent un outil ecace pour la conception et lanalyse rigoureuse des mthodes numriques qui chappent au verrouillage, en particulier dans la e e e mcanique des uides incompressibles et les mod`les de plaques [25], [33] et [112]. e e

4.2

Synth`se bibliographique e Lobtention des mod`les de plaques et coques a t un sujet de recherche prie ee

mordial en mcanique [28], [53], [91], [108], [124], [126] et [134]. Lide de base dans e e

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la thorie de ces mod`les est dutiliser des hypoth`ses et simplications physiquee e e ment justiables ` travers lpaisseur. Le but vis est dobtenir la dformation a e e e dune structure mince tridimensionnelle ` partir dun probl`me formul sur sa a e e surface moyenne. Par exemple, on nglige linuence de la composante normale e des contraintes, les eets des dformations ` travers lpaisseur, ou on utilise soue a e vent des hypoth`ses cinmatiques du type Reissner-Mindlin qui supposent que les e e composantes tangentielles u, v du dplacement sont linaires en z, tandis que la e e composante transversale est constante [77], [87], [92] et [109]. Mais on peut ausssi penser ` des hypoth`ses cinmatiques dordre plus lv, en particulier [31]. a e e ee e Les probl`mes de robustesse des mthodes dlments nis pour les coques, et e e ee notamment le phnom`ne de verrouillage numrique de cisaillement et de meme e e brane qui intervient lorsque la structure considre est mince, sont dsormais bien ee e compris, en particulier [32] et ses rfrences. Mme si lon ne conna pas, pour ee e t linstant, dlment dont on ait pu dmontrer quil serait parfaitement robuste, on ee e dispose de mthodologies dtailles et rigoureuses pour valuer la robustesse des e e e e lments de coques au moyen de cas-tests [14], [32]. De fait, certains lments exee ee istants comme llment quadrangulaire Q424 Elment de Coque [90] montrent ee e un tr`s bon comportement ` travers ces tests. Cet lment est dvelopp dans la e a ee e e prsente version de REFLEX , utilise dans le cadre des prsents travaux. e e e

51 4.3 4.3.1 Description des lments nis utiliss dans le mod`le structure ee e e Elments de coques de type Kirchho discret e

Les premiers lments de plaques et de coques dvelopps taient bass en ee e e e e grandes parties sur lhypoth`se de Kirchho-Love. Cette hypoth`se, qui consiste ` e e a annuler lenergie due aux dformations de cisaillement transverse, exige une contie nuit C 1 (pour un mod`le dplacement compatible). Ce mod`le, qui ne sapplique e e e e que pour des structures minces, a t utilis par [135]. La continuit C 1 , qui exige ee e e

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la continuit de w et des drives premi`res, est tr`s dicile ` assurer [140]. Pour e e e e e a viter ces dicults, plusieurs approches ont t proposes. Parmi ces approches, e e ee e on trouve la classe des lments de type Kirchho discret. Cette approche permet ee de satisfaire la continuit inter-lments des variables essentielles (u, v, w, x , y ) e ee et permet encore dobtenir des rsultats numriques tr`s satisfaisants. Les hye e e poth`ses de Kirchho sous forme discr`te furent introduites par Wempner et al. e e [133] et Dhatt [39]. En 1978 de nombreux chercheurs, dveloppeurs de codes et e dindustriels ont port un intrt marqu pour les lments triangulaires DKT et e ee e ee quadrilatraux DKQ. Ces lments ont t utiliss pour lanalyse des plaques et e ee ee e des coques minces dans les domaines linaires et non linaires , constitues de e e e matriaux isotropes ou composites et soumises ` des sollicitations statiques et dye a namiques Fafard et al. [46]. Les lments de type Kirchho discret ont t proposs ee ee e comme une alternative pour dnir des lments ` faible nombre de noeuds et de e ee a ddl sans utiliser la thorie continue de Kirchho. Dans ce cadre, nous prsentons e e deux lments nis de coques minces , lun de type quadrilatral nomm DKQ20 et ee e e lautre triangulaire not DKT 15. Ces derniers sont bass sur une approche tridie e mensionnelle dgnre qui tient compte de lhypoth`se de Kirchho sous forme e e ee e discr`te, et permettent de simuler le comportement des coques minces lastiques e e de formes quelconques.

52 4.3.1.1 Description gomtrique de DKQ20 et DKT 15 e e

Linterpolation gomtrique dun vecteur position dun point q sexprime en e e fonction des coordonnes et de llment de rfrence sous la forme suivante : e ee ee 1 Xq = Xp + hn 2 hi ni 2

(4.1)

Xq (, , ) =

Ni (, ) Xi + i=1,nd

Ni (, )i=1,nd

(4.2)

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nd : nombre de noeud (3 pour DKT 15 et 4 pour DKQ20) Ni : fonctions de formes linaire en et : e N1 N2 N3 = 1 N1 N2 N3 N4 =1 4

pour DKT 15

(1 ) (1 ) pour DKQ20

Figure 4.1: Gomtrie et variables nodales de llment DKQ2. e e ee

53

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Figure 4.2: Gomtrie et variables nodales de llment DKT 15. e e ee

4.3.1.2

Champs de dplacements e

Le champ de dplacements dun point quelconque de la coque scrit avec e e lhypoth`se de sections droites de Hencky/Mindlin/Reissner : e h Uq (, , ) = Up (, ) + (, ) 2 Up : vecteur dplacement du point p ( = 0) e (, ) : vecteur rotation orthogonal ` la normale, scrit galement : a e e

(4.3)

= n = (1 t1 + 2 t2 ) n = 2 t1 1 t2

(4.4)

Linterpolation des dplacements est faite ` partir des vecteurs dplacements e a e aux noeuds et des rotations autour des vecteurs tangents t1i et t2i :2nd

Uq = Ni Upi + 2 i=1,nd

Ni hi (2i t1i 1i t2i ) +i=1,nd

Pk tsk hk kk=nd+1

(4.5)

Pk sont des fonctions linaires et quadratiques compatibles associes respectivee e

54 ment aux lments DKT 15 et DKQ20, reprsentes sur le tableau ci-dessous. ee e e Elments e Pk (k = nd, 2nd) P4 = 4 (1 ) DKT 15 (k = 4 ` 6) a P5 = 4 P6 = 4 (1 ) P5 = 1 (1 2 ) (1 + ) 2 DKG20 (k = 5 ` 8) a1 P6 = 2 (1 2 ) (1 + ) 1 P7 = 2 (1 2 ) (1 )

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1 P8 = 2 (1 2 ) (1 )

4.3.1.3

Champs de dformations e

Les dformations en un point de coordonnes , , scrivent : e e e { s } = {e} + {} (4.6)

Pour DKQ20 et DKT 15 les expressions des composantes curvilignes de dformations e dans la base [Q] sont : dformations de membrane : e e = ex ey exy ex = t1 up,x ; ey = t2 up,y ; exy = t2 up,x + t1 up,y dformations de exion (courbures) : e = x y xy x = t1 (up, bc11 + up, bc21 ) + t1 y = t2 (up, bc12 + up, bc22 ) + t2h ,x 2 h ,y 2 h ,x 2

(4.7)

(4.8)

xy = t2 (up, bc11 + up, bc21 ) + t1 (up, bc12 + up, bc22 ) + t2

+ t1

h ,y 2

55 En tenant compte des hypoth`ses de Kirchho, les dformations de cisaillement e e transversal constantes en sont ngligeables. Les expressions xz = 0 et yz = 0 e peuvent tre utilises pour relier aux gradients de up . e e 4.3.1.4 Matrices de rigidit e

En introduisant les expressions des dformations en fonction des variables nodales, e on peut obtenir les matrices de rigidit en intgrant explicitement suivant tel que e e (1 1) :

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W (up , ) = Wint Wext Sachant que : Wm = int Wf =int

f m avec : Wint = Wint + Wint

(4.9)

Ae Ae 4 h2

e [Hm ] {e} dA = u [km ] {un } n [Hf ] {} dA = u [kf ] {un } n

(4.10)

avec : [km ] = [k ] =f

Ae

[Bm ]T [Hm ] [Bm ] dA [Bf ] [Hf ] [Bf ] dAT

(4.11)

4 Ae h2

o` dA = u

add

La matrice de rigidit lmentaire (DKT 15 ou DKQ20) sexprime par : eee [k e ] (1515) pour DKT 15 e [k ] = [km ] + [kf ] [k e ] (2020) pour DKQ20

(4.12)

56 Pour DKT 15 : * [km ] reprsente la rigidit de membrane. e e * [kf ] reprsente la rigidit de exion qui est obtenue en considrant un schma e e e e dintgration numrique de Hammer ` trois points suivant , . e e a * h reprsente l paisseur de la coque. e e Pour DKQ20 : * [km ] reprsente la rigidit de membrane. Cette matrice est relative ` Q4. e e a * [kf ] reprsente la rigidit de exion qui est obtenue en considrant un schma e e e e

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dintgration numrique de Gauss ` deux points suivant , . e e a Nous remarquons que les termes bcij dans lexpression des courbures de exion (x , y et xy ) interviennent que les lments soient coplanaires ou non. ee 4.3.2 Elments de coques de type Reissner-Mindlin e

La thorie de Reissner-Mindlin consiste ` tenir compte du cisaillement transvere a sal. Cette thorie permet de considrer une continuit C des dplacements (et e e e e rotations) alors quune continuit C 1 est ncessaire pour un lment conforme bas e e ee e sur la thorie de Kirchho. Elle ore aussi un domaine dapplication plus large e (coques minces et paisses). Plusieurs lments nis de coque de continuit C ont e ee e t construits selon cette thorie, et sont actuellement les plus utiliss mme dans ee e e e le cas o` la structure modlise vrie bien lhypoth`se de Kirchho. Parmi les u e e e e lments ` continuit C , la formulation introduite par Ahmad [1], [122] permet ee a e de formuler une famille dlments de coque isoparamtrique de faon commode et ee e c ecace qui assure la continuit gomtrique. En se basant sur cette cinmatique, e e e e nous avons dvelopp deux lments nis de coque avec cisaillement transverse, e e ee lun de type quadrilatral nomm Q420 et lautre triangulaire not T 315. Ces e e e derniers restent dans le cadre dune formulation en dplacement et sappuient sur e des techniques dites dinterpolation des distorsions transverses.

57 4.3.2.1 Elment Q420 e

Concerne la formulation de llment quadrilatral ` quatre noeuds non coplanaires ee e a ayant comme degrs de libert (ddl) : trois composantes de dplacement et deux e e e rotations. La formulation est inspire de llment Q424 dvelopp par Batoz e ee e e et Dhatt [11]. Cet lment est reprsente par la surface moyenne A et la bre ee e e paisseur hn. Le vecteur position dun point quelconque scrit en fonction des e e coordonnes isoparamtriques [12] : e e

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1 xq (, , ) = xp (, ) + hn 2 xp est le vecteur position du point p de la surface moyenne, dni par : e

(4.13)

xp (, ) =i=1,4

Ni (, ) xi

Figure 4.3: Elment de coque courbe Q420. e

58 4.3.2.2 Elment T 315 e

Nous prsentons bri`vement la dnition de llment triangulaire ` trois noeuds, e e e ee a simple et ecace mais qui nest pas parfait. Llment T 315 prsente une pseudoee e normale continue et donc une pseudo-courbure. Il est ainsi bien adapt aux gomtries e e e courbes, et il a comme ddl : trois composantes de dplacements et deux come posantes de rotations. Llment T 315 est inspir de llment dvelopp par ee e ee e e Boisse et al. [20], lui mme inspir de llment de Hughes et al. [71]. T 315 est e e ee compl`tement dnie par sa surface moyenne, sa bre paisseur hn. Le vecteur e e e

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position dun point quelconque scrit : e 1 xq (, , ) = xp (, ) + hn 2 4.3.3

(4.14)

Elment ` deux dimention en coordonnes cartisiennes, Elment e a e e triangulaire ` trois noeuds (T3) a

Figure 4.4: Elment de rfrence ` gauche et llment rel ` droite e ee a ee e a Les fonctions dinterpolation sont :

N = 1

59 La matrice jacobienne inverse [j] tant : e [j] = x y x y

= 1 2A x 31

y31

y21 x21

(4.15)

J = det[J] = 2A = y31 x21 x31 y21

Les dformations dans le plan x, y sont : e

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{} =

u,x v,y u,y + v,x

= [B] {un }

(4.16)

avec :

u n = u1 v 1 : u2 v 2 : u3 v 3

[B] =

y23

0

y31

0

y12

0

(4.17)

1 0 x32 0 x13 0 x21 2A x32 y23 x13 y31 x21 y12

Le domaine dintgration est : e1 1h 2

(...)dv =ve 0 0

(h 2

(...)dz)2Add

(4.18)

La matrice de rigidit est : e1 1

[k] = [B]T (0 0

[Hm ] dd) [B] 2A

(4.19)

avec :

60

h 2

[Hm ] =h 2

([H])dz

(4.20)

o` h est lpaisseur dans la direction z et [H] dpend des hypoth`ses (contraintes u e e e ou dformations planes) et du matriau . Pour un matriau isotrope : e e e H1 H2 0 (4.21)

[H] = H2 H1 0 0 0 G

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H1 =

E(1 a) (1 + ) (1 v a) H2 = H1 1 a

(4.22) (4.23)

Avec : E module dlasticit ; coecient de Poisson. e e E 2 (1 + )

G=

(4.24)

a = 0 en contraintes planes (CP) ; a = 1 en dformation planes (DP). e La matrice [k] est donne explicitement dans le tableau 2.6.4 (pour[H] dnie e e par 2.6.35 et h constant). La matrice[m] associe aux variables nodales u1, u2, u3 (idem pour v1, v2, v3) e est :1 1

[m] =0 0

m {N } N 2Add

avec :h 2

m =h 2

([H])dz

(4.25)

o` est la masse volumique en un point x, y, z. u Pour m constant :

61

2 1 1 1 [m] = m A 1 2 1 12 1 1 2 La matrice masse diagonale est simplement : [m] = m 1