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11th  Grade  Mathematics  PSSA  Preparation  Program                                                      o  Mastered  On:  _____________________  

Order of Operations and Powers

Anchors  Addressed    M11.A.3.1.1   –   Simplify/evaluate   expressions   using   the   order   of   operations   to   solve   problems   (any   rational                                                            number  may  be  used.)  M11.A.2.2.1  –  Simplify/evaluate  expressions  involving  positive  and  negative  exponents,  roots  and/or  absolute                                                          value  (may  contain  all  types  of  real  numbers  –  exponents  should  not  exceed  power  of  10.)  M11.A.2.2.2  –  Simplify/evaluate  expressions  involving  multiplying  with  exponents  (e.g.  𝑥! ∙ 𝑥! = 𝑥!"),  powers                                                          of  powers  (e.g.   𝑥! ! = 𝑥!"),  and  powers  of  products   2𝑥! ! = 8𝑥!  (positive  exponents  only).    

                                                                                                         Concepts  Order  of  Operations    Explanation   The   order   of   operations   is   a   set   of   procedures   that,  when  followed,  ensures  that  all  problems  are  solved  the  same  way  to  get  the  same  answer.                  Example  1:  Find  the  value  of  the  expression:  3 ∙ 8− 4 + 6                                                      Solution:    STEP  1:    3 4 + 6              è Simplify  ().                                                                                            STEP  2:        12+ 6              è Multiply.                                                                                          STEP  3:                18                        è Add.                    Example  2:  Evaluate  the  expression  2𝑚 + 𝑛,  where  𝑚 = 2  and                                                                𝑛 = −3.                                                          Solution:     STEP   1:   Substitute   the   given   values   for                                                                                                                              each  variable.      

2𝑚 + 𝑛   → 2 2 + (−3)                                                                                                STEP  2:    Simplify  the  expression  by  using  the  order  of  operations.      

4+ −3 = 4− 3 = 1        

 Calculator  Tip:  Many  calculators  available  today  automatically  follow  the  order  of  operations.    All  graphing  calculators  do  as  well  as  many  scientific  calculators.    Before  you  take  a  test,  know  how  your  calculator  handles  the  order  of  operations  to  ensure  success.      

 

Multiplication  Involving  Powers    There  are  two  rules  involving  the  multiplication  of  powers:      

Multiplication  of  Powers   Raising  a  Power  to  a  Power  

𝑥! ∙ 𝑥! = 𝑥!!!   𝑥! ! = 𝑥!∙!  

             Example  3:  Simplify:  𝑥! ∙ 𝑥!                                                      Solution:    When  we  multiply  two  variables  of  the  same  base,  we  add  the  exponents:      

𝑥! ∙ 𝑥! = 𝑥!!! = 𝑥!    

         Example  4:  Simplify:   𝑥! !                                                      Solution:    When  raising  a  power  to  a  power,  we  multiple  the  exponents:    

 𝑥! ! = 𝑥!∙! = 𝑥!"  

           Example  5:  Simplify:   2𝑥! !                                                      Solution:    When  raising  a  power  to  a  power,  we  multiple  the  exponents:    

 2𝑥! ! = 2! ∙ 𝑥!∙! = 8𝑥!"  

 Division  Involving  Exponents    There  are  four  rules  for  the  division  of  exponents.    When  we  simplify  expressions  involving  division,  we  must  remove  negative  exponents  by  using  the  negative  exponent  rule.    

Dividing  Powers   Negative  Exponents   Zero  Exponents   Power  of  a  Quotient  

𝑥!

𝑥!= 𝑥!!!  

𝑥!! = !!!

     or      !

!!!= 𝑥!  

𝑥! = 1  𝑥𝑦

!=𝑥!

𝑦!

 

Example  6:  Simplify:  !!

!!  

                                                   Solution:    When  we  divide  two  variables  of  the  same  base,  we  subtract  the  exponents:      

𝑥!

𝑥! = 𝑥!!! = 𝑥!! =1𝑥!  

   

                                                                                     Since  the  solution  has  a  negative  exponent,  flip  the  fraction  and  remove  the  negative                                                                                          sign.    

 

         Example  7:  Simplify:   !!!!

!  

                                                   Solution:    When  raising  a  fraction  to  a  power,  the  power  applies  to  the  top  and  bottom  of  the                                                                                          fraction:    

 2𝑥4𝑥

!

=4𝑥!

16𝑥! =14 𝑥

!!! =14 𝑥

! =14  

 Since  the  exponents  are  equal  to  zero  when  subtracted,  the  x  values  are  removed.  

     Exercises  

A.  Simplify  the  following  expressions  without  a  calculator.    Then,  use  a  calculator  to  verify  your  answer.      

1.        3 2 − 4 + 12        2.         12 + 6 ÷ 2 + 15      

3.         8 − 12 ! − 16        4.         20 − 10 ! + 15  ×  10      

5.        (!"!!)!

+ 6(2 + 5)          6.        3 24 ÷ 12 − 4  ×  4  

 B.  Simplify  the  following  expressions.        

7.        3 𝑥 + 2 + 4 2𝑥 − 8                                                          9.        3𝑥 + 2 3𝑥 − 3 + 12                                                          11.      4𝑥! + 3𝑥 − 10 + 2(𝑥 − 1)  

 

   8.        5 2𝑥! + 4𝑥 − 6 + 6 − 2𝑥                                    10.          4𝑥 − 4𝑥 + 4 + 6                                                                  12.      2𝑥! − 3𝑥 𝑥 + 1 − 12𝑥  

 

 

C.    Evaluate  the  following  expressions  if  𝑚 = 4,  𝑛 = −12,  𝑝 = −2,  𝑞 = 7,  and  𝑟 = 5.  

13.    3 𝑞 − 𝑟 −𝑚  

14.     !!!!

+𝑚  

15.   𝑞 − 𝑟 ! + 𝑞𝑟  

16.    !"!+ !

!− 3  

17.    5𝑟 − 2𝑚 + 𝑛𝑝  

18.    !!!!!

− 3𝑞  

 

D.  Simplify  the  following  expressions.  

19.  𝑥! ∙ 𝑥!  

20.   𝑥! !  

21.   2𝑥! !  

22.  −4𝑥! ∙ 6𝑥!  

23.  3𝑥! ∙ −2𝑥! !  

24.  6𝑥! ∙ −𝑥! !  

25.  2𝑥! ∙ 4𝑥!  

26.  −5𝑥!𝑦 𝑥!𝑦!  

27.  4𝑥!𝑦! ∙ 3𝑥!𝑦!  

E.    Simplify  the  following  expressions.    

28.  !!

!!  

29.   !! !

!!"  

30.   4𝑥! !  

31.   !!

!!!  

32.   !!!! !

!!! !  

33.   −7𝑥! !!  

34.  !!!∙!!!

!!!  

35.    !!∙!!

!!  

36.      𝑥!! ∙ 𝑥!  

F.    Simplify  the  following  expressions.    Next  to  each  step,  describe  the  process(es)  used.    

37.       7! − 4 ÷ 9 + 10! !"!

!!  

 

38.      3𝑥! + !"!!!!

+ 𝑥! !!    

 

Steps   Explanation  

   

   

   

   

Steps   Explanation