Diapositive 1

Suites de matricesQuelques usages rcurrentsEnseignement de spcialit en Terminale S compter de la rentre 2012

Acadmie de CrteilExtraits du nouveau programme : Introduction de Matrices et suitesIl sagit dtudier des exemples de processus discrets, dterministes ou stochastiques, laide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectus l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel.

Extraits du nouveau programme

Perspective de la prsentationUne entre spcifique par la rsolution de problmes : les matrices comme outil, une liste dexemples phares dans le libell du programme (liste non exhaustive).Phnomnes stochastiques et marches alatoires sur un graphe probabiliste : des ressorts communs et des variantes.

Un exemple contextualisUne petite station de ski dispose de 3 remontes mcaniques (1), (2) et (3).Pour un skieur adoptant un comportement alatoire, on note Xn la variable alatoire donnant le numro de la remonte utilise aprs n descentes.On note Ln la matrice ligne reprsentant la loi de Xn : Ln = (P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3))Ln est appel ltat probabiliste linstant n.

Donnes numriques

Arbre de probabilits conditionnelles

Graphe probabilisteLa transition de n n+1 (indpendante de n) peut se visualiser sur un graphe probabiliste.La somme des poids des artes orientes issues de chaque sommet est gale 1.

Matrice de transitionA partir de larbre :On note x1, x2, x3 les probabilits respectives que le skieur emprunte la remonte (1), (2), (3) lissue de sa nime descente.On note y1, y2, y3 les probabilits pour quil se dirige vers la remonte (1), (2), (3) aprs la descente suivante.On a alors : y1 = 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.5 x3 Et les deux autres relations analogues.

Matrice de transitionCes relations se traduisent matriciellement par :Ln+1 = Ln . T

O la matrice T =

se lit directement sur le tableau :

Interprtation de T2 PuisqueLn+2 = Ln . T2 les coefficients de T2 sinterprtent comme les probabilits de passer dune remonte une autre en 2 descentes.De mme pour Tk .Etat probabiliste aprs n descentesIl est alors facile de montrer par rcurrence que :

Ln = L0 . Tn

(L0 reprsente les probabilits de se diriger vers les remontes (1) , (2) et (3) en dbut de sjour).

Calculs de Tn sur logicielSur tableur : Ski T puissance n.xlsx[Syntaxe : PRODUITMAT(plage;plage) puis slectionner plage de rponse, puis f2, puis ctrl+maj+entre].Avec Xcas, en mode calcul approch, on observe une stabilisation partir de n=15 environ sur la matrice :

Une CS de convergence de Tn Une condition suffisante pour que (Tn) converge : On peut dmontrer que, dans le cas des matrices stochastiques,si T (ou une puissance de T) a tous ses coefficients non nuls, alors (Tn) converge vers une matrice stochastique T dont toutes les lignes sont gales entre elles [et gales un tat stable de T (tat alors unique)].

Convergence de (Ln) En admettant la convergence de (Tn ) vers une matrice dont toutes les lignes sont gales entre elles :Par passage la limite dans Ln = L0 . Tn , (Ln) converge vers L .Par passage la limite dans Ln+1 = Ln . T , L est stable pour T (autrement dit, L est un vecteur propre associ la valeur propre 1).On peut montrer que, dans ce cas, L ne dpend pas de L0.

Convergence de Ln

Lessence de la dmarcheLessence de la dmarcheEtude asymptotiqueRappel : une CS pour que (Tn) converge.Avec la CS : pas de zro (qui exige en particulier que la probabilit de stationner sur un sommet du graphe soit non nulle), on a la convergence vers une matrice aux lignes gales entre elles.Une condition suffisante moins restrictive : matrice rgulire : il existe une puissance de T dont tous les coefficients sont non nuls.Et sil ny a pas convergence ? Rle des tats stables.

Cas o (Tn) converge L . T = L signifie que L est vecteur propre de T associ la valeur propre 1. Si lespace propre est de dim 1, L est lunique vecteur propre stochastique.Pour dterminer L , on cherche donc rsoudre lquation V . T = V , soit V . (T Id) = 0.Autrement dit , on sintresse au noyau de la transpose de (T Id) en gardant en tte que lon cherche des vecteurs stochastiques.Note : le document ressource voque la diagonalisation ventuelle des matrices dordre 2.Des cas o (Tn) ne converge pasLa condition suffisante de convergence de (Tn) portant sur labsence de 0 ne se rencontre pas trs souvent dans la pratique mais nous allons voir que mme labsence de convergence de (Tn) nempche pas dexplorer le comportement asymptotique de (Ln).

Des cas o (Tn) ne converge pasDans ce cas :Lexistence dun tat stable reste possible, ce qui autorise la convergence occasionnelle de (Ln), cest--dire pour certaines valeurs de L0.On peut rencontrer des cas de convergence de suites extraites de (Tn).

Multiples applications de la dmarcheLes marches alatoires sur un graphe probabiliste peuvent tre dclines dans une multitude de contextes :Marche alatoire dans un labyrintheSurf alatoire sur un mini-rseau intranetLe problme du collectionneurLe modle des urnes dEhrenfest

Le labyrintheLa situation

Les hypothsesUn cochon dinde est lch dans le labyrinthe.Il se dplace en changeant de compartiment et, pour un dplacement donn, on note n le nombre de franchissements de porte quil a effectu depuis son point de dpart.Pour changer de compartiment, on considre que le cobaye choisit sa porte au hasard parmi celles qui lui sont accessibles, indpendamment de son parcours antrieur.

Traduction sur un graphe

Traduction matricielleDe nombreux zros

Calcul de puissances de TAvec Xcas :

Calcul de puissances de TEn mode approch pour n grand :

Ici (Tn) ne converge pas, mais Si on pose :L0 = (0.1 0.3 0.2 0.2 0.2) On a : L0 . T = L0 , autrement dit L0 est stable et la suite (Ln) constante pour ce L0.Ici, L0 est obtenu en cherchant un tat tel que la probabilit de prsence est proportionnelle au nombre de porte(s) de chaque case.

Un mini Page RankUn mini rseau intranetSurf alatoire sur un micro-rseau de 4 pages.

Ranger intuitivement ces 4 pages par ordre dcroissant de frquentation

Graphe probabiliste et matrice de transition associeOn pondre les arrtes orientes en supposant lquiprobabilit de choix des liens prsents sur chaque page.On obtient comme matrice de transition :

Ici, (Tn) converge, malgr les 0En calcul approch avec Xcas, on obtient une stabilisation sur :

Recherche de ltat limiteInterprtationLa page 4 est donc plus frquente que la page 2 par notre surfeur alatoire.Ce modle fournit une quantification possible de la pertinence de chacune des pages web du rseau.(Il est ais de comprendre que cette pertinence ne peut pas tre mesure par le nombre de liens pointant vers chaque page).

Cas du surf avec sautPour pallier la dshrence de la page 1, on va maintenant autoriser notre surfeur alatoire interrompre nimporte quel moment sa navigation prcdente pour la reprendre sur une page alatoirement choisie.(On intercale une preuve de Bernoulli chaque tape). Avecsaut, on se ramne ltude dune rcurrence matricielle du type :Un+1 = Un . A + B Le problme du collectionneurCollection des figurines dune quipe de Volley-BallUne marque de crales propose ses clients de constituer une collection de figurines de lquipe nationale Volley-Ball. La collection complte consiste en 6 figurines leffigie de chaque titulaire de lquipe.On a mis en place une stratgie pour viter tout change de figurines.On souhaite dterminer le nombre dachats moyen de produits effectuer pour esprer constituer une collection complte.

Ici, on cherche une espranceOn se ramne une marche alatoire sur un graphe probabiliste 7 tats (nombre de figurines diffrentes dj obtenues aprs n achats) du type :

La matrice de transition (7 7) est triangulaire.On sintresse ensuite au premier instant o on obtient un nouvelle figurine.On calcule enfin lesprance de complter la collection.

Le modle des urnes dEhrenfestLa situation n = 0

Objectifs de modlisationLe modle construire demande de respecter les proprits suivantes :la probabilit pour une particule donne de passer de A B (ou de B A) est la mme, gale 1/N .cette probabilit ne dpend pas du temps.le comportement dune particule est indpendant de celui des autres particules.

Modle stochastiqueOn considre deux urnes A et B, ainsi que N boules, numrotes de 1 N.Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associ consiste rpter de faon indpendante l'opration suivante :Tirer au hasard un numro i compris entre 1 et N, transfrer la boule ni dans l'urne o elle n'tait pas.La VAR observe est Xn, effectif de lurne A.Une simulation pour N = 10

Un autre rsultat pour N = 10Dbut dtude pour N = 3Graphe probabiliste : les probabilits figurant sur les flches reprsentent les probabilits conditionnelles de passage dune valeur de X une autre (indpendamment de n).

Sur un arbre pour N = 3(avec les probabilits conditionnelles prcdentes)

Loi de chaque Xn pour N = 3Pour tout n, on note Ln ltat probabiliste :Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3))On note tij = P(Xn+1 = j | Xn = i) indpendante de n.Ces relations se traduisent par : Ln+1 = Ln . T

O T est la matrice de transition : T =

Par rcurrence, Ln = L0 . TnLa suite (Ln) ne dpend que de T et de ltat initial L0

Rle de la paritIci, (Tn) ne converge pas. Cas N = 2

Rle de la paritPour N = 2, on a :pour tout k impair, Lk = (0 1 0) pour tout k pair diffrent de 0, Lk+1 = (0,5 0 0,5)(Deux suites extraites constantes distinctes)Limpact de la parit de k nest pas li la parit de N. Dans le cas N = 3, on voyait bien sur larbre que :P(Xk = 0) = P(Xk = 2) = 0 pour k pairP(Xk = 1) = P(Xk = 3) = 0 pour k impairCas N = 6 avec le logiciel XcasMme pour N petit, il nest pas raisonnable deffectuer les calculs la main ds que n grandit.Ais : L0 = (0 0 0 0 0 0 1) L1 = (0 0 0 0 0 1 0) L2 = (0 0 0 0 5/6 0 1/6) L3 = (0 0 0 25/36 0 11/36 0)Mais pour de plus grandes valeurs de n, Xcas donne :

(Xcas fournit les valeurs exactes).

Premire exploration asymptotiqueMatrice utile B = T2 Suite des Bk = T2k L2k = L0 . Bk ; L2k+1 = L0 . T . Bk B =En mode calcul approch, Bk semble se stabiliser vers Binf :

Premire exploration asymptotiqueOn admet que (Bn) converge vers Binf. = L0 . Binf = L0 . T . Binf B . Binf = B donc Z stable pour BT . Binf est la matrice obtenue en dcalant les lignes de Binf ; U est stable pour T . BinfOn passe la limite dans L2k = L0 . Bk et on obtient la convergence de L2k vers Z. De mme L2k+1 CV vers U.