stochastic capacitated arc routing problem - …
TRANSCRIPT
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������������ �������� �
����������������������������������� �!" ��#�$%&��
!��'�����!�(���)&�#*�++�,�������!���)�
� ���-.��/0����1�'� �����0���
2����������� �������� �
����������������������������������� �!" ��#�$%&��
!��'�����!�(���)&�#*�++�,�������!���)�
' ������.'0����0���
*�������������3��/�� �4������3��-�&��
��3�3������'�������5 6�!" ��2+*2�
�2&� ���������!����&����27#7&�51�77�7�3��-��!���)��5�������
'���.�0���
�
�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM
�
�������������
�� �����������2��������������������
*�
�
���� ������������������ �!"��
��'������277$�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
2� � �
�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
�
�
GÉRARD FLEURY
� �������� ��������-&�,'' ������/��������������-���� �!" ��##27�&�#*�++�,���8����5�������
PHILIPPE LACOMME
� �������� ��������-&�!��'��������������������-���� �!" ��#�$%�&�#*�++�,���8����5�������
CHRISTIAN PRINS
�������-����3��-�&�!��'��������������������-&��2����������1!����&��77�7�3��-���5�������
�
�
�
�
�
�
�
�
9�:�/������ ��������)������������������/������ ��:��
5 ���-�;0����������0&������!0&�6�� ������-�, 4���/���������/����,��� ����4����� ��0���������"!�0����":�*1$<712�*+%1*0�'0�$7��=�$�20&�"��#0��
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � *�
$�%���&� �������
�� ����������� ���������������������������������������������������������������������
!'!� ��� ����� ��(����&�������))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))*�
!'"� �����+�������&��������,����������������� ����� ��(��))))))))))))))))))))))))))))))))))-�
!'.� �������������� ����� ������/ ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))-�
�� ��� �����������������������������������������������������������������������������
"'!� ����0��1���������))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))2�
"'"� � ��������3��������� ��/����������/����� ������)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))2�
"'.� ����������3����������+����������)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!��20*0�� 3-'��� ��/�����������������/�������������(������������/������������ >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�7�20*02� ?!, �� ��@�����/���!, � >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>���20*0*� ��/������ ���� -� >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>���20*0<� A-�����;������, 4���/������/���!, � >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�$�
�� ���������������������������������������������������������������������������������
.'!� 4��� ���5������)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!*�*0�0�� ������������������4�/���'��������'/��>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�+�*0�02� ������������������4�/����' �������'/�� >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�+�*0�0*� "�����>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�+�
.'"� ����������� �))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!*�
.'.� ������������ � )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!-�
.'#� �� ������� � ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!2�
*0<0�� �������������� � >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�B�
*0<02� �������������� �� σ0�7+ >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�B�
.' � ���������6�������&����.������� ���&���7/��8�������� �)))))))))))))))))))))))))))))))"!�
.'9� 7&&� �� ���&������������ ���5���������&������:(����8�������� �))))))))))))))))))))))"!�
.'*� ���������������� )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))""�
!� ������"�����������"��������"���������������������������������������������������
�
�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
<� � �
���5��&�&�/���
5�;� 6��0�,�����3��"�5� �3A6�?!, �0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000%�5�;� 6�20�3A6��,�6�����3��"�5� �3A6��!, �000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000%�5�;� 6�*0�� �"!���6��5�3A6��!, �� 6����3��"��3A6�6C,��,3��"��, 3�!,"��6�!,"!6��6?�0000000000000000000000000000000000000000000000000B�5�;� 6�<0���3��"6��5�,��,��!��36 ,3�C6��6, !A�� �!6���5� �,��3�!A,�3�!�5�"!3��"���"���D,3��"000000000000000000000000000000000�7�5�;� 6�$0�;6"63�!�,�;� �3A����3��"60000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000�#�
���5��&���%���
3,��6��0�3A6�?�556 6"3�,�� �,!A6��E�3A�3A6���F6!3�C6�5�"!3��"00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000���3,��6�20�?!, ����"G6?�3��3A6��!, � 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000���3,��6�*0� ����3"6����5�����3��"���������,�� �,!A�000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000�%�3,��6�<0� ����3"6����5�����3��"��������,�� �,!A�000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000�%�
3,��6�$0� ����3"6����5�����3��"�����"���D,3��"��5� � � 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000�B�
3,��6�#0� ����3"6����5�����3��"�����"���D,3��"��5� ��0�7 �� σ+ � 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000027�
3,��6�+0�6;�6�6H���"�3,"!6��,"?�3A6�3E��,�� �,!A6� 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002��
3,��6�%0��6 5� �,"!6���5�3A6��,3A6�,3�!,��6I� 6����"��"�3A6��,E �,�� �,!A���"���D�";�� 00000000000000000000000000000000000022�
3,��6�B0��6 5� �,"!6���5�3A6��,3A6�,3�!,��6I� 6����"��"�3A6��,E �,�� �,!A���"���D�";� �� σ0�7+ 0000000000000000000000022�
3,��6��70�,C6 ,;6�!����3,3��"�3��6���"��6!�"?�� 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002*�
�
�
�
�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � $�
���5�
�
�
�
(�
,�� -�&�+&��7&���&��2&��+&��%&�2*�
,��&��&�2&�#&�+&�B&��2&��$&��#&�2*&�2<�
,����4�&�+&�B&��2&��*&��+&��%&��B&�27&�2�&�2*&�2<�
��
!/�������&��$&��#&��+�
! ���&��#�
!�&�#&�+&�%&�B&���&��2&��*&��<&��$&��#&��+&��%&��B&�27&�2�&�2*�
!������&�#&�B&��7&��*&��<&��$&��#&��+&��%&��B&�2*�
!������&��$&��#�
:�
?�'�&�#&�+&�%&���&��2&��*&��<&��$�
7�
6�4�&�#&�+&�%&��2&��$&��#�
6)'������&���&��+&�2��
;�
A;,&�+&�%&��$&��#&��+&�2*�
4�
"���&�#&�+&�%&��2&��*&��<�
��
������� �-&�B&��7&��2&��*&��<&��#&��B�
��
�� &�#&��#&��+&��%&��B&�27&�2�&�22&�2*�
�����&�#&�+&�B&��7&��2&��*&��$&��%&��B&�27&�2�&�2*&�2<�
��
�������-&�+�
��������&�#&�+&�%&��2&�2*�
$�
��'&�#&�+&�%&�B&���&��2&��*&��<&��$&��#&��%&��B&�27�
<�
C������ �-&��7&��2&��%&��B&�27�
C�������&�%&��2&��*�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
#� � �
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM
GÉRARD FLEURY
� �������� ��������-&�,'' ������/��������������-���� �!" ��##27�&��
#*�++�,���8����5�������
PHILIPPE LACOMME
� �������� ��������-&�!��'��������������������-���� �!" ��#�$%�&��
#*�++�,���8����5�������
CHRISTIAN PRINS
�������-����3��-�&�������������������3��/�� �4������ H��������������3��-�&��
�2����������1!����&��77�7�3��-���5�������
3/�� '�'��� ��� � J�/� /�� ���/���� !�'������� ,��� ����4� ���� ��� ��!, ��&� �������� �-� �������(��4�
����������� /������ ��� /��!, �0��'���(�����'��� ������� /���!, �������/�������(����-���������/�����������
J�/���@��J��4�/������ �����������0�5������ 1 ����'��� ��&�������'�������������� �������������������������
���/���������� ���� �������������/��������������/����������0�6�������������� ��������������������������
��'������ ���� -�����������/�� ����/����'������0�?��������������������'��'���������� �/���!, ���������������
�����'������4������� 4���/���'���(��4���/�������������������'�������0�3/����/���������/���@������/��J� 1
@��J���������'��'�����-�?�,����&�64 ��������� ��4���0�3/����� �'���������'��� ���������������� �����
J�/�����-��4���������� ��4��������/��� �������0�3/��� �J������4��������� ����'��� ������ ����4�������� �
4�� ������������� ��@�����������������/����������������� ����0�
/�� �������� ��� /�� '�'��� �� /�� ��� �����
���������� ���� ������� ��������� ��!, ���
J/��/� ���� �)������ ��� /�� ���������� ����
������� �������� �!, ��0� 3/�� !, �� �� �� ����������
'��� ��� ���������� �-� ;� ���� ���� E ��4� ��B%��� ����
��������������������������J��@� �&� ��� = �J/������ ����
���������������� � �������� � ���4�0�,�� ��������/�� ��
�����4�������'���-� � ������� �������'�� �������4��/���
������ � 0�,����� � � ��� � �����������4����� ��!��������
���������-�������/�� �0�,�-���4���������������������� �
����������/���4�� �&� "� �/����'��������� 7>�"� �������
�����4����� ��4�� ������� 7≥�"# � ������ �)������4� /��
��'���-� ����/����/�� �:� #�" ≤≤7 $�3/��!, �������
������������4���/�� ����'���������� ��� ������������4�
/����'�������������/�/�����/������������4����0�0�J�/���
'������������� 7>�"# �������������-��)�� -�������/�� �0�
3/������������'���/��������/��������������������4��
����������������������������4�'�/0�3/���'' ����������
!, �� ����� ��� ��� �� J���� ���4�� ��� '������ � �����4�
'��� ��� ��� ����4:�������J��� �� �����&� ��J�' �J��4&�
J��'��4� ���� 4����40� 3/�� ���������� ��J��@� '����� ��
��@ ����/�������������J/��/���������������������4�����
������ � ���� ��� ��-� ��������0� ���4� �� �������� ��J��@&�
���/������������� ������������������������/�������J�/�
�� ��)��� ��������� ���� ������0� ��� �� ���� /�� �����������
��J���������4�� �&� "� �������'��������''�������� �&� "� �����
�&� �" �����������J��@:�������'����������&����/����������
����� �������� �'���� -0���/� /�������������� ����������
!, �� �� "�1/���0� 5��/������� /�� ����1��/�� �� �����4�
'��� ��������������������������������"�1/���0�
��� ��� � ���� '��� ��� �������J��� �� ���������� �)��' ��&�
/�� ������� ���� ��� ��� �)�� -� ���������� ������� /�� ��'�
����' �����0�3/����������������� ����-�������������� �&�
�0�0� /�� '������ ����� 7>�"# ���� ��' ����� �-� '������
������� ������ �� 7>�" 0� 3/�� ����� ����������� !, ��
�?!, ������������-�����4��-��/��������������/����
'��� ��� ��!, ��0� 3/�� '��� ��� �� �� ����� � ����� � �
�)'�������'�������J� ��/����4��� �J���������'�����4���
3�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � +�
��� �����J/��������4� ���� ��������� ��� ������� ���� ��
�����������0��
3������@��J ��4�&�5 ���-�����$��2772�&�5 ���-�����$��277<��
5 ���-� �� ��$� �277$�� ��'��� /�� �� -� '������� '�� �/���
J��@� ��� /�� �!, �0� ,� /������� ���4-� ����� ��� ��
A-����� ;������ , 4���/�� �A;,�� �� ��' ������� ��
��'�����/������������� ����0�A�J�����/�-�'��'���
��������-���� -������ ����������������4�'��� ������
����'���(���������/����4-�����'�����������:�/�-�
�� -� � ��� �� �����(���?!, �� ��� /�� ��� �����'����0�
3/��'��'������/��'�'�������'�������/������������� -�
� ��� �!, �&� ���������4� /�4/1��� �-� � ����� ��
��4����/������������������������ �������0�3/��������
A-����� ;������ , 4���/�� �A;,�� /�� ����� �����4����
�������/��A;,��'��'�������������������$��277����/��
����� '������ �� ��� �� ���-� �����������/������� /��?!, ��
'�������4� �'��� � ��� ���� -� �'��� � � ����� J�/� ��
������� ��������������'������ ����0�
3/��������/��'�'�������4���(������� �J0�5��&��!, ��
'��� �����������������������/������ ���-���'��������
������ /-'�/��� ��� ������� ���� ��/�� �� ����4�����
�� �0� ,� 4����� � �����J��@� ���'���� ��� J�� '/��� ����
�'���(�����'/�����������' �������'/������'��'���0�3/��
@�-����'�������/�������J��@���������/���'���(�����
'/��� ����� ��� /�� 4������ � 4���/�� ���� ���������� �-�
��������� �� ��$&� 277��� ���� /�� ��/������ � ����� �0�
5��� -&� /�� ������� ��� /�� � ����� �������� �-� /��
'��'�����''����/������ ��������/�������������/���@�
����� �������0�
1 STOCHASTIC CARP
1.1 Stochastic CARP definition
,��!, ��'��� �������� �������?!, ��'��� ��&��)��'�
/�� '������ ������� �"# � /��� ������� '������ �������
������ �� �" 0�3����-��!, ��'��� ��&������������������
?!, �� '��� ��&� J/���� /�� ��/���� ������� �" � ����
��' ����� �-� /���� �)'������� �"�" # = 0� 3�� ������ ��-�
����4��-� J�� �� � K��/���L� ��� � ����� �'' ���� �� /��
�!, �� ���� K����������L� ��� � ����� �'' ���� �� ��
��������?!, �0�3/����M���������/��?!, ����������
���������4����������'��� ��������������� ��������/��
��M������ � ���4� /�� �!, �� ����� ��� ���������4� ��
����� �� ��� ��'� ��� ����� � �����0� � ����� ��� /��
���������� ��� F����� �277��&� ����� � ����� ���� � �����
�)'����� �� '������� J� � ����� ��������� ��� �������� ��
�� ��0���������:�
%� � /���������������� �� ����0�
� � � ��� ��������/��!, ����������������'�0�
� � /�����������'���-����/����/�� �����0��
�"� �� /���������������������/����4��&�'"(�& 7≥�"� (0�
�"# � /�������������������������4��&�'"(�� #�" ≤≤7 �0��
�" � /���������������������4��&�'"(�� �" ≤≤7 ���������
7>�"# �/��� 7>�" 0�
&�(� /�������������������������'���� � 0�
�&�(� /���������������������'���� � 0�
���� � /�������4��������������'���� � 0�
"� �� /�� ��'� " � ��� /�� � ����� ������� �������� ���
�����������4�&���4�����4����������4�����0��
& � (� /���������������������� ����� � 0�
�& � (� /��������������� ������4�/�������� � ��������/��
����������-���4�������-����/���/�� �&�J�/&�������&�
�)�����'���/����'������N�0�
���� �/�������4�������� � 0�
��� �� �������� �� ������������� � ����0� ��� /�� �������
������� �������� �-� �� ��'� ������� �� ��'����� /���
�)'����&�/���������������-&���&����/����/�� ���)/���
����'���-��������/���������/����'&������������������
����� �� ������� '������ ��� /�� ��J��@� �� /�� ��'�� �����
���� �� ������ �� /�� '������ �� ���' ��� /�� ��'� ����� -�
' �����0� ���/� �'������� ������ ��� �)��� ��'� ���� ��' -� ��
�'��� -� /�4��� ��������4� ��� /�� �� � ��0� ���/� �����
������ ��� ���-� �'' ������� �@�� J��� �� �����0� !� ��4�
���/��� ��/�� ����-� ��� ��'��� ������ ����� � �����:� /��
������� ���� ��� ������� /�� �� ��4��� ���� �� /�� ��@� ���
������������� -��&� /�� �/��� ������� ���� ��� �����
�������� � ��'�����'������������'��� � &� /��������� �� /��
�� -�����@��J��4�/������&���������0�3/�������&�������-�
� ����� � &�����/�� ���� � �� ≥ 0��
������������&������)��' �&���?!, ���������J�/��� -�B�
�@&�*���/�� ��J�/� �O�<���������������� ������������/�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
%� � �
�@0�,������� �����J�/����������������������O��77�
���� *� ��'� ���4������0� 3/�� �� � ���� �����/�� �� �&2&*� ����
��'����� -� ���� � �� *� ��������� �@� +&%&B�&� 2� ��@� �&2��
����<���@�*&<&$&#�0��
�
2
*
<
$#
+
%
B
�� �����J�/�*���'
�� ��������:��77 �
��/��!'�(���������&������:�(���
������ ����� ��������4� ��� '���������-� ������ �������
������0�,����/��������@�<&���/�� �� �������������*0$�
���� /�� ���� � ������� ���� �@� $� ���� #� ������� �02�
�����0<0�
��������/�� ���������:�27
�� ��������/�� ���������:��7
�
2
*
<
$#
+
%
B
�� �����J�/�<���'
�� ��������:��2$
�� ��������/�� ������
���:�$
�
��/��"'�$��������������&��������(���
�������/����/�� �����������������@�$&���������������
�������'���������������@�<����/����'����������������
���@���/����4�����4���������/���@�$������' �������'�
���4����2�0�3/����'�����������J���������������� ���'0�?���
�� /�� ��'��������� ����&� /�� � ����� ��� �������
�2$�&� =ω�� �J/��� �77�� =� 0�,�������/�� <�&� =ω�� �
J/���&�(O*0�
1.2 Modelization of random quantities in the
Stochastic CARP
�������������� �" �������� ����������4�� �&� "� ��� �J�
;������ �J0�������-� '������ � �'' ������&� /�� �������
��� ���/� ��4�� �� /�� ��� ��� �� ��4�� ������� ��� � ������-�
������&� ���� ������� J��� ��������� ��� ' ���� ��4� ���
������'� �J����� �����0���&�J/������/�������������
/�� ��� � ��� �� ��4�� ������ ��� �� &� ����'������ ������
�������/����4�������������������������&� /������� � ����
/������ �'' ��� ���� /�� ������������������ ��� �������� -�
���� ��� �-� ;������ ������� ������ �� �&�2�"�"#) σ � J�/�
J�� ��������:� �� ������� ��� ��� '������ ���� ���� ���
�)����� /�� ��'���-� � ��� /�� ��/�� �0� A����&� �"� ��
����������������/��������� ��������������������'��������
0����/�������������-�������J/����� �������� ���������0��
1.3 Literature on stochastic routing
3/�� �������������/������/�� �� �����4����������� ���
/�� ��/�� �� �����4� '��� ��� ��� ����&� J�/� �������
������� ���P��� ������� ����/���� C�/�� �� ����4�
���� ���&� ��� ���� ������� ;�������� �� ��$� ��BB#��� ���� ��
�����J&� ���� ��'���� ���� �������)� ��BBB�&� C��J��M� �� � �
�277��������������� �����������0�
3/���� ���� J������� �''����/������ �������� � ���4� ��� /��
��/���� '��� ��0� ��� !/����� !��������� ���4������4�
�!!��&� ���� �������� ���� ������� J�/� 4�����
'������ ���0� ��� ���/���� ���4������4� J�/� �������
��� �&���'�� ������-�� ����������'����J�/���@��J��4�
/�� ��� �(��������/��������������� �0�����&� ������������
������ ���������� �� �'' ���� J/��� �� �������� �� ��� ���0�
3/��������� ������''����/��������������/���4 ��'��
/������� ��/��� ���� �������� ��/��� ����� ����/� ����
�)��' ��0�
,�4��������������'�'������ �J�/�/�����/����C ��J�/�
��/���� ������� ���P��� ������� ���� ��'������ ���� ����
�)��' �� �������� �� ��$&� ��BB#�&� ��'���� �� ��$&� �2772�&�
�-�����������J� ���BB#��0�3��/������������@��J ��4�&�
���'�'���/�������'�� �/�������/���!, �0�����!, ��
�'' �������� ����������'�� ������-�� ����:�����������&�
��� ������ J��� �� �����&� /�� �� ����4� ��-� ��� /�� J��@�
��� ��� ���������� ��� �������� �� /�� '�'� ����0�
3/������� -&����!, ����� ����������������������C ��
���� � ���� ���� �� 0�������&� ���� A;,����� /�� !, ��J��
���4���� ���� ��4�� ������� ��B7� ���� �������� ����
�)������ �@�� ���������� ���� ���� ��)��� 4��'/0� 3/��
���������� ���� ��C �� �������� /�� '��� ��� �(�� ��� ��/�
��������:� �040&� ���/� �������� ��� ��' ������-� <� �������� �
����� �� /��� ������������ ���� '��'�� -0������� /�� ��4��
'��� ���� ���������� �/��+7�������&��� �����������
�����4��0� ���� ���� ���� ���� ���-� '������4� J��@�
��/������ ��� '��� ��� � ��� �� /�� C �0� ���� ���� �)��' ��
�J�/���������'���������BBB������/����J��@����/����4 �1
��/�� �� '��@1�'� ���� �� ����-� '��� ��&� ;�������� �� ��$�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � B�
��BB#��������� ��������/��)'���������������/��C ������
!/���4� ���� ��J� � ��BB#�� ���� �� ��-� ��� /�� �)'�����
�������� �������� ����� ��� �������� �����)�
�''��)������0�
������ '��� ��� ��� ������ ��� ���� �����4� ���� ��4�� �� ��
������� /�� ���4�� ��� ��������/������� �� '������40�
��� 5 ���-� �� ��$� �277��� ���� ������&� �� ��/����
���/������� �� '��'���� �� �'���(�� �� ������� ������ ��
J�/��� ��-� ��������� ���'���� ��� �� '������ �-�
���������0� ���� 4������ � 4���/�� /���� � �� �����
������ ���� �'' ���� �� /�� �������� ��� J�� ������ �:�
3���� ���� ;/�/� ��BB+�� ���� �� ����� �� /�� ��M������
�������&� J/� �� ����@�� �����@�&� �BB%�� '������� �� ����@�
��� ���������� ����/���������������/��/� �0�
3�� /�� ��� �������@��J ��4�&� /���� ������ -� J�� '�������
'�� �/��� '�'��� ��� /�� ���/���� !, �0� 5��&� 5 ���-� ��
��0� �2772�� '��'��� �� ������� ��� ������ ��� !, ��
� ����0� ������&� 5 ���-� �� ��0� �277*&� 277<�� '��'��� ��
/�������������''����/��J�/����������������/��4��/����
������� �� /�� �!, ��� �� ���'��� ����� � ����0� 3/��
'��'���� �''����/� �� ������ ������� /���� �� ��� �)' ����
������(����� ��� �� �������� ��@��� �� /�� ������� ���
� ����0�
����4�� ��������4�������/�������������������������4�
'��� ��� ���J/��/� ������� ���� ��/���'�����&� ��/� �� /��
������ ��� � � �� ��� '����� ���J����� 4����40� 3/��A-�����
;������ , 4���/�� '��'���� �-� �������� �� ��$� �277��� ��
/�� ��� '������� '�� �/��� ��/��� ���� /�� !, ��
��� ����0� 3/�� ���� ��� ������/� J�� '�����&� ����� ���
�����(��4�/�������J��@�'������ -����������-���������
����$��277�������/�������������!, �0�
2 SCARP RESOLUTION
5��� /�� �����J��@� J�� '��'���� �� ���� ��� ��� /�� ��)�
�����0� 3/�� �����J��@� �� ���'���� ��� J�� '��:� ���
�'���(�����'��������������'��0��������20*����������
/���'���(�����'�����J/��/� �� ����� �������/������ �
��� -������ ��������������/-�����4������� 4���/�0�
2.1 Framework proposal
,������J��@����� �!, ����� ��� ���'���� ��� J�� �'�
���4���� *�:� ��� �'���(����� �'� ���� ��� ��� ������ ��� /��
������� � ����0�3/�� ������ �'� ����� ��� ��� ����4�
/�� ������� ��� /�� ��� � ����������� �� /�� ���� ��� /��
�'���(����� '����0� 3/�� ��� � ����������� �� �������
�� �� ��' ������� '/��� /�� ����� ��� ��� � ��� �������
������&� � �J��4� ����� ��� ������ ��� �������
�������0�3/���������'�'������������-����/������ �����
��������/���������/���'���(�����'�����/��/�����������
'��'��������������0�
�
��/��.'����� �����&������(������������=���
6������������� ���%� �� ���>'�
2.2 Second phase: statistics gathered during replications
3/��������'/�����������4�/����4�����0����������
� � /������ ��������������� /���������/���'���(�����
'/��0� � � ��' ������� ���� ��� '��������� ���� �� ������ �
��� -������ �����'��'���������4������������������0�
3/�������������� �������������� �������:�
�&� ��� :� /�� �����4�� ��� ����� � � ����'������ ��� ������
��� �&� ω�� 0�3/��������/���)'������� ���� 0�
�&� ��� :� /�� �����4�� ������� ��� ��'� ����� � � ����'������
��� ��������� � 0�3/��������/���)'������� ���� 0�
�&� ��� :�/��'������4������ �����J�/��)�����'������ � �
����'������ ��� ������ ��� � 0� 3/�� ������ /��
'������ �-� { }���� ���� > 0�
�&� ���σ :� /�� ������� ��������� ��� /�� ��� ����� � �
����'������ ��� ������ ��� � 0� 3/�� ������ /�� �������
��������� [ ]���� ������� =σ 0�
�&� ���σ :�/���������������������/��������������'������
� � ����'������ ��� ������ ��� � 0� 3/�� ������ /��
���������������� [ ]���� ������� =σ 0�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
�7� � �
�&�
�&�
���
���σ:� /�� ������� �-� ��������4� �� /�� ���������� ���
������ �0�0� "��� /�� /�� ������� ���� ��� ���� � �� 7�
� /��4/�/��������� �-����
��
��
������ -�'�����0�
3/�� ��)� ������ ������ ��� /�� /-����� 4������ � 4���/��
���������4�/���'���(�����'����0��
2.3 First phase: the optimization phase
2.3.1 Typical scheme of iterative methods for minimization of a stochastic criterion
E�� ������ /�� J���1���4��4� '��� ��� ��� ������(��4� ��
������������� ��������������0������'������/������):�
� %������������&�
� ����-������%�������������������������� ���&�($�
3/�� '��� ��� �� ������(���� ���%� �� ��� J� � �������&�����
*�+,�-� ����&�+(,�&�-(L� �� �� ������� �� ����0� 3/�� ��� �
J�-� �� �� �������� /�� '��� ��� ���� �� ����������� ���&�
��' ����4�/��������������� �����-������������������ 0���
��� -���'��������� ������������������ �� � 0�3/��� ���
��� ����� J�/� /�� ���� ����� �� ��� J/���� /�� �������
������ �� � �������' ����&������)��' �&��-�/�����)'�������
�# 0� 3/�� /�� ����������� �������� � �� �� ��� ������(��0�
3/�� ��/������ ��-� ��� ���� ����� J/��� ���� ������ ������
���� ���4 -������-� /�� �� ��� ����0� 5��� �)��' �&�J/��� ��
�����������������&���� �����.����������������� �����$�$�
�&�(� ���� ������� �������� ���� ���-� ��4��� J�/� �� '������
'������ �-0�E/������� �������������)�&��������J�-�����
��' ���� ���� '��� ��� �� �� �� �-� �� �)'������� O � &� ���
���/�������������������-������������0����J/�����
��������������������������-�/�4/�&�������������� �������/�
� �����.���/��/��'������ �-� { }∞=�� �����/�������
4����� �� ��� ε� ���� ������� �������� ���� /��� ��� ������(��0�
5����)��' �� ����������/���/����������� ��)'������������
4����� { }∞<� � J/��� { } ε≤∞=�� � ��� �������� J/���
{ } ε>∞=�� 0� ��� /��� �� ���&� /�� ���� ����� �� ��
������ ����� �)��' �� �-� �&�� ��� � ������ ����� ��� �����
/�� ���� � ����� ��J�/� �� ��4�� ����4/&� �� �' -��4� /��
������(����� ���� ���� -� �-� �0�� 3/�� �� ���� ��� ��/� ���
������������/�'������5 ���-&��BB*������������������4����
<0� "��� -� � � ��/���� ���/������� J/��/� ����� �����
��� ���� ����� ��4&� ����� ����/N� /���� �)������ ��
��@ �� ������(����� ��� ��/���� �������� �3���� ����
;/�/&� �BB+�� �����@�&� �BB%�� ����13� � ���� "�����J@�&�
�BB%�0� 5��� ��� ����������� �� ��/���� �/��� ��4� ����
���4/���/�����������������''����/�������/��� ��4&���
��'��� �������������F����&�277��0�
�0�!��'����������� �� ����� �� ��
20�!��'��� �&�� ��� �
20������
*0�0�;���������� ����� 2� �
*020�!��'��� �&2� ��� �
*0*0��&� �&���&2� ������ ≤ �$���� 2� �� ← �
*0<0�7���&�
<0�?��������'�!���������
$0������ �� �
��/��#'��������&���%��� �������6���� ����� ���&�����
��� ����� �&� �����������+������
A�J����&� '�����4� /�� ������4����� ��� ��/� �� '����� �� ��
�/� ��4��4� '��� ��� ���� �� ������4����� ��������� J/��/�
/�4/ -� ��'���� ��� /�� �������� �� ������(�� ���� ��� /��
4��������� ��� ����������� � ����0� 5 ���-� ��� �BB*�
�5 ���-&��BB*�� /�� '������� ��� �)������ ��� /�� '�������
-'��� ��/�������J/��/�/��������������' ����������� ��
��� ���� �&� ��� � �������� ����� /�� �������� ��� /��
� 4���/�0�3/���)������'���������������/��'������ �-�
��� ������ ��� ����'��4� �� ��J� � ����� 2� � ����� '������4�
/��� �� 0�,���������������'������ �-���'��'����'�����4�
/�� ������ ���� ��������� /-'�/��� ��� /�� �������� ��
������(�� /�� �������� '����� ������4�� �J�/� /��
'������ �-�������J���������� ����0��
E/�������)����� �� ����������/�4/���� �-� �''��)�������
��� � � ���� �����/������ -� '��������&� /��������(�����
���� �� /��� ���4 -� �������0� ��� �� ���� /�� /�� ��� ���
��/������ � ��� -�� ������ ������ ��� ���'������ ���
�&� ��� 0�
3/�� ���� ��� ������/� J�� '������ ����� ��� ��/� ��
��/������ ���� -������ ������������������������/��4�
�/�������������/��!, �0��
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � ���
2.3.2 DCARPs linked to the SCARP
3/�� �� -� '������� J��@� J/��/� ���� ��� ��'����� ��� /��
���/����!, �� �������� /�� �� � ���� /�� ����!� �''����/�
����5 ���-�����$&� 277<�0�3/�� �''����/�J��'������ �������
�������������4������/�/����M����������/������ ����:�
� /�� �� � ������� � ����� ��� � ���4� /�� !, �� ���4�
��'���-� � ��� ��/�� �� ���� ������(��4� ��� 0� 3/��
�)'������������� -����� �� ������5 ���-�����0&�277<�0�
� 3/������!�������� ������������4��� -� ! �'����������
/����/�� ����'���-� �-��4���������(�� ��� 0����� �5 ���-�
����0&�277<���������� ����/���)'������0�
� 3/�� ��/� ������� 0� 3/�� �''����/� ����� ��� /��
������(�����������������������M��������'�����4���� /��
�J� ��� �������� �� �� ��&� ���� �)��' �� ���� � ���
���� �!�� �σ+ ����000�
3�� ��������'�/���''����/������/����M��������������
������������/��/������ ������''����/�0��
$�%��!'�$����&&���������� ���0��������%@ ��6�
&� �����
�<�� ��
��� �����%@ ��6�&� �����
��� �,''����/� � ��� �
����!�,''����/� !0 �P�
�7 << ! ���� �
��/�,''����/� � ���� �
��/�,''����/� � ���� �!�� �σ+ �
��/�,''����/� � N�
�
3/������!��''����/���������� ���4�/��?!, �� ��@�����
/���!, �����4� � �����/�������������� ������/������
���� /�� ��'���-� � ��� ��/�� �0�3/���������� ��������(��
�� -� ��'���� ��� � &� � ���� ��� /�� � ����� � 0� 3/��
� �������������� ��:� �&&� � #0 � �
3/���� ��''����/������ �����/��'������������)��'�����
/�� ��'���-� ��� /�� ��/�� �� H � ���� ���� �'���(�����
� <H 0�0�3/������������������(���: �&H&� � #0 � 0��
3/�� �J��''����/������ ���� ���4�/��?!, ��J�/� � �
���� �� ���������� �J� �� ���� �(�� � 0� 3/�� �������� ��
������(�� ��'���� ��� ( )� � &� ��� /�� ��/�� �� ��'���-� �
�������/��� �������� ��2�0�
$�%��"'�:�(������1����������(���
��(���
• ������������ ��� � ������������������ ��
• ��'���-� ����/����/�� ��������������&��• ( )� 0 � && ��'�������/����� �(��������/��������������� �� � �
,�������:�(��� !������
!������� -���������?!, �������!��''����/�� �� # = &� ����/��4��&���M������ �&&� � #0 � �
,�������?!, ����� ��''����/�� �� # = &� �������� <H &���M������ �&H&� � #0 � �
,�������?!, �����/���''����/���� # = &� ����/��4��&���M��������������
������ �&�&�� � � ����� �J/���� �� � ���� ���/�� �J���� � 0�
2.3.3 Mathematical analysis
Preliminary remarks.
�1 :��������� ���� ����� � �����&�������0�!��������4�/��
?!, ���������������!, �&����/���'� "� ������� �����
( )��� �""��
≤≤= � �����:� #
��!"
"! ≤�∈�&�
&� �� �������������
����� �∈ ��!"
"!�
�&�
0�3/���/�������������������/��� �����
���� � �= ∈
=��
� �&�
��
�
" �!�
�!
"
�� 0����/���!, �&�/����� "� ���� "� �
�� 4������ /��� �∈ ��!"
"!�
�&�
� �� ������
��!"
"! >�∈�&�
&��������
/�� ��/�� ����� /���4�� �� /����'��������� ��������4� ��
�@� ���� �� �J�&� /�� �� ����
��
�
� ���
�
"
" ≥=�=
0�A����&�����
��-�� ������&� &�(�����������J�����/�����'��� ���� ���
����&�(0�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
�2� � �
21 :&���������&������%�����'�����'��� ���������/���
/�����������
��
�
��
���/��������� �-�
��
��
��
����/���������
��� �� '������ �-� �� /��
{ } { }�������� �������� >=> O { }���� � ��� > &�
{ }����� +> ���� ����������)����12�&� { }ε>− ���� � ��� �
����� �� ��)��� 7>ε �� �����
���
��
���
>�∈= "�!�
"!
�
"
�����&�
��
�
&� ���� �� ��0�
3/����������� ������)�����-���J����2�������������
���� /�� �������� �'������ �������0� ��� /�� �� �J��4� /��
������� �-��
��
��
��σ� �� ���� ������ ��� �� ������� ���� �� ��
����� -� ������� ���� �� � �� ��� ��� ����σ � ���� ���
��������-�7�4����4�������������� �������/��������0�
*1 (�������&� ������������� ��0�0����/�������4���������
�� ����� J� � @��J�&� �� �)'������� �� ���� -� '����� -�
@��J�0����/���� �J��4&�J�/�����-� �����4����� �-&�/��
������� ��������� '�������� �� ������ �� ��'���� ��� �"# �
�������)'������-� �"#!0 �J�/�����)��������� ! 0�
<1 ������� � �&� ��� ������0� 3/�� ������� �������
��� ���/� ��4�� ���� ������ �� ��� ����'������ �������
������ �0� 5��� ������&� '�� ��� ����� ��������4�
��� ����� -� J��� �������� ��� ���� ��� /�� ���� ����
����@�������������0�5��� -&�/����������������� �����
���� /��� ���� ��� �-� ����'������ ������� ��������
;������ ( )22 0& �"�" #!#) ������� �� �"0��
Mathematical analysis of the trips.
�1 ���%�%�������&� �������������6�����������'� 5��� ��-�
��'� "� � ��� /�� �������� ?!, �&� /�� �� � ������ ���
������� �������� �� #
���"
"� ≤�∈�&�
0� ��� /�� �!, �&� /��
'������ �-� "� � ����'���������� ��/����'���������4�����
�-:���
��
�
��
��
�>= �
∈
��
"���
��"
�&�
0���� �∈ "���
��
�&�
� ����4� ��;������
������� ������ �� J�/� ��� �)'������� �� �∈ "���
��#
�&�
� ���� ��
��������� �∈ "���
��#!
�&�
22 0 &� �� /��
�
�����
� −
=�
�
∈
∈
"
"
���
��
���
��
"
#!
#
3�
�&�
2
�&�
0
� ϕ �
J/���� ϕ � �� /�� ���� ����� '������ �-� ��� )&2'+(:�
��..
002
��� 2
2
� ∞−
−=
πϕ 0�A����&��� ��'��� ������� ���&���
���� �� /�� ������� ���� ����'������ ;������ �������
������ �� �&� 22�!�! #!#) �/���� �J��4��/���������:�
� ������� �-� ��� �� /�� ��� ���� �������� � ��'� ��� /��
� ����� �� { } ����������
�
"
�
"
����� −−=> ∏=
� � J/��� "� � ��
�� �� �����������0�
� ������� �-� ��� �� /�� ��� �� �������� � ��'� ��� /��
� ����� �� { }����� +> ���� � � ����� ����)��� ���4��� �≥� ��
J/��/����� ������ 0�
� ,����4��������������'� �=
+=��
�
�����
""���� 0�
� ����������:� ( )�=
−=��
�
2���
"""� ������ �
21 ��������� ��� ����� �&� �� ����������� ��6� ��� ��� ����0�
,�������4���/����'���-����/����/�� �������4�/�������-�
�� ��� �� ����� ��� ���� ���&� �� ���� ������� �� �� �����
/����/������������������������������-���'0���������&�
J�/� �� /�4/� '������ �-&� /�� �������� � ����� �� /�� ��'��
����� J� � ������ �� /�� ���� ��� /�� ��'&� M�� ������� /�� ��
���������������/����'0�5����������� ����&�/��'������ �-�
������������'������ �J&�����/�������&���������J�/���/�4/�
'������ �-&� M�� ������� /�� �� ���0� ��� /�� �� �J��4&� J��
�������� -� ����� ��/� �� �J��4� /-'�/��� ����
������:�
�A� � � ��4����������������������� ������/������'�
�A� 2 � �� ������������5�� ���� ������ ���4� ��0���� �� ����
���5����������0� �����$�
��������� "� � /�������������'�������������������/��
������������������"���/����'�����������/����'����/��
��)� �������� ���� ��� �"0� ������ /�� /-'�/��� �A� � � ����
�A� 2 '� J�/� /�� '������ �-� +3 "� &� /�� ��'� ��� ��
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � �*�
�∈
="���
��" ��
�&�
� ���� J�/� /�� '������ �-� "� � �� ��
�∈
+="���
""�" ����&�
0�������/���/-'�/��&���'��� ����
���'��� ���� /� '�� � �/���������� ��� /�� ������� ��'�
��:�
� /�������4��������/����':� �∈
+="���
""��" ����
�&�
0 0�
� ����������� ( ) ( )220 """" ������� −= 0�
5��� �� � ����� ( )��� .""�.
≤≤= � ���'���� ��� &.(� ��'&�
�����4� /�� ����'�������� ��� ������&� /�� �� �J��4�
'��'��������������� �/��:�
� ?������������� � �= ∈
=��
� �&�
��
.
" ���
��
"
�. 0�
� ���/������� �=
=��
�
.
"
"��&.( 0�
� ,����4����� ��==
+==��
�
��
�
0����
.
"
""
.
"
" ��. �.� 0�
� C�����������/����� ( )�=
−=��
�
220���
""""� ������� �
SCARP objectives
��� /�� �����&� J�� ����� ���� ������� ��� /�� ���
��'��������� �������� �� �'���(�0� ��� ������ �� ����� �J�
���� ���������K����L�� ����&�/�����M������4�/���
�� ��� J���������0���J���� � ����� ���� ������K4���L�
� ����0�3J��@��������������������� ���������!, �:�
������ 1���3� ��� ����%������ �&� ��� �������'� �� ���� -�
�������� � &� ��/���� ��'��� ���� ������ � ������ � &�
���� ��������0����������/��������������� -��� ������
/������-�/��������������'0�
� ���� 1���3� ��� ��%������ �&� ��� �������'� �� ���� -�
�������� � � ����� /�� ������� ���� � �� − � ���� �σ &� ����
9������ ������ −≤− �J/���� 9 ���/���'���������/��
��������?!, ����������� -� �σ &����� ���������3������
� ����� � − �&����� �σ &����/��'������ �-���/������/�����
������������ ��������/����'�� { }�� > ����� { }�� > �������
��)��� 7≥� �����/��'������ �-����)�����/����'���-����/��
��/�� �������-���':� ε≤"� ���������-���'� "� &�J�/�����)���
7>ε �����
��
��
�
��
��
�≤= �
∈
��
"��
�" 0��
��� �� ���� /�� /�� '�������� �&� �3&� � &� � − &� �σ &�
{ }�� > � ���� { }�� > ���������)��� 7≥� ������ "� � ������ -�
�� ������������������/������-�/�������������������� �
�������/����'�0�
3/����M���������������������4�/��������������������0�
#$%���&� �' (��)�� � 0� E �/� ��/� ��� �''����/&� /��
� ����� ���� /���� ��'����� ������� ��������� �������
/�� �����4��'����������� ��� � ����� ���� ���������� �� -&�
/�4/ -��������� �������������������0�
#$%���&� �' (��)�� � ��"�� ��� ���"���
{ } 6�� ≤> �� 7>ε 0� 3/�� ���'���� � ����� ����
�)'�������/������'������4������4�����������'������ �-�
�����������������'�4������/�������������-� ε 0�3/���� ���
��� ε ���� ��� ��� �/���� ��� �� � �� � �J� /�� ���������
{ } 6�� ≤> ������'��� -��� �� ��0����4���+��������-�&���
�� '��� �� �� ��� ���� � � ���� �� ��' ���� /�� �� ��� ��� � �
�-� +∞ ���� εϕ >
�
�����
� −
�
�Π
∈
∈
=
"
"
��
�
��
��
" #!
#
2� 0
��0�0� ( ) ε>−∏=
�
"
"��
� 0����-�
�������������������4���:�
������(��4� � � ������ /�� ��������� { } 6��� ≤+> ����� ��
��)��� 7>� �
���M������20��0�
"��� /�� /�� ��������� { } 6��� ≤+> �� �� �� ��� J/���
{ } 6�� ≤> ������0�
������(��4� �������/����������� { } 6�� ≤> 0�
���M������202�0�
E �� ������ ���� ������� ��� � ����� '�������4� /�� �J��
���J�/���'������ �-����/����4������/��� � ��'���������
�-� ε 0� A���&� /�� ��� �������� �� /�� ��'�� ����� ���� ���
�����'���������/�������������'���(�:�/��������������'�
�� �� -� �@��� ���� ������&� ��� ���'���� ��+�� ���� ��-��
��������������0�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
�<� � �
������(��4� � ������ /�� ��������� { } 6��� ≤+> � ���� ��
��)��� 7>� �
���M������20*�0�
!���������� �� ��������M������2020���������� ��0�
��� ������ �� ������(�� /��� �������&� ��-� � 4���/��
'������4����'���(������������J�/��� ������ { }∞+∪ �
����������0����-�J� �@��J��� 4���/������/���������&�
�)��'&������)��' �&�/����� ��������� ��4����������������
/���� �������������������J����������� �����0�
#$%���&��'(��)�� �!� σ0+ ������� ���� ! �
�*��"��������0� 3/�� ��M������ 4�/��� ��/� ��M������ ��
������(�:� � � ���� ������ 0� � � ���� ������ � ���� ���
��� ����������4� �A� � ����� �A� 2 ������� ��0�3/���� ������
! �����4��/���� �����J��4/������/��������� � ����� �σ 0�
,�-� ��� � ����/� '��������� �� ���� �0� 3/�� ��M������
�������� '����� �� ������ � ����� J�/� �� �J� �������
��������&� J� � ���'��� J/��� �σ � /�4/ -� ��'���� ��� /��
�� ������/����'�������������� �� /����'������0�A����&�
�σ � ���� ��� ��' ����� �-� � � ��� �- ���σ � ���� ��������
�)������������������4���0�5����)��' �&�������(��4:��
�! σ0+ ���M������*0��0�
�!� 0+ ���M������*02�0�
�!� σ0+ � ���M������*0*�0�
�����/��� �J��4�������&� /������������� �� /����'��
����� ���� ��� ��� ����� ��� /�� �������� �� �'���(�:� /��
������������'����� -��@�������������&�������'����
��+��������-����������������:�
�! 0+ ���M������*0<�0�
�! σ0+ �
���M������*0$�0�
��������� ��������(��/���������������&���-���� �����/�
'��������������� �0����������/��/�������� ���������
����� ��� /�� ��' �� ��/��� ��� ��M������ J��4/��4�
�������������G� -����-&��BB<�����J/��/��� �' ����M������
�������� ���� ��������� ���� ���� ����� � ��M��������������
���4� J��4/� �/ � ��@��� �� ���/� ��M������ �������0� 3/��
'�������������� ���� ��M������ ���� ��� �/��4��� �-������-��4�
/�������'�����4�J��4/� �/ 0�
#$%���&�!'(��)�� � ��"��������"��� εσ ≤�
*���*��" 7>ε 0�3/���� ������ ε �����������/���� ���
�� ���� �J�/����������� εσ ≤� ������'��� -��� �� ��0�
���4� �A� � ����� �A� 2 &�����'��� ������� ���� � ���� �σ �
��������' ���� � ��-� +∞ ���� εσ >� 0��
,���)�������:��
������(��4� 0� �������/����������� εσ ≤� �
���M������<0��0�
��������&������ ����� ����:�
������(��4� �������/����������� εσ ≤� �
���M������<02�0��
������(��4� �������/����������� εσ ≤� �
���M������<0*�0�
5���/�� ����M�����&����'���� �A� � ����� �A� 2 ��������
��������&����/���������������� ������ ��/����'������
��� ����� -� ������(��0� ��� ������ �� ������(�� /��� �����
�������&� ��-� � 4���/�� '������4� �� �'���(�� ����������
J�/��� ������ { }∞+∪ �����������0�
#$%���&�+'(��)�� � ��"��������"���� ε≤"�
*�� ��, " �� � *��" 7>ε 0� E �/� ��/� ��� ��M������
�������&��� -�� �����J�/���������'������ �-��������)���
�������/����'��������������0�3/���� ������ ε ����������
�/��������� ���� �J�/������������������� �� ��0�,�
������&� ���� J/��/� ���'���� �A��� ���� �A2�� ���� ���
������-&����������
������(��4� �������/��/-'�/��� ε≤"� �������-� " ��
���M������$0��0�
3/���������)����������/����'���������������(��&����
/�����'�����A��������A2���������������-0�
��� ������ �� ������(�� /��� �������&� ��-� � 4���/��
'������4����'���(������������J�/��� ������ { }∞+∪ �
����������0�
$��%��� � ���������� ��%@ ��63� &� /�� �J�� '��� ��
�� ������� /�� ������� ����&� ���� � �� ��� ���:� �� /�������
� 4���/�� ������ ��� �5 ���-� �� ��$&� 277*�� ����� ���
��' ����4&� ��� /�� �������� ?!, �&� /�� ��'���-� ��� ��
��/�� �� � �-� !$ � ����� ����)��� !&� 7Q!Q��0�3/��� { }�� > � ��
�������0� 3/�� �� ������ ����!� �''����/0� �'���(����� ��
'��� �� �-� ��-� ��� � ����/� '��������� ���� ����
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � �$�
����� ��4&� 4������ � 4���/�� ���� �� ���0� ,�/��� ��'���
�4�������� ��'�������� ��� � ����� ������0� ��� /�-�
�� -�� ���/��?!, ������/���������'���� �-�������� �
/����M�����0�
2.3.4 Hybrid Genetic Algorithm for the SCARP
3/�� ������ ������(�� /�� ��������� A;,� '��'���� �-�
��������� �� ��$&� 277��� ���� '����� ���� �)������
��������� �� � ��� /�� �!, �0� � 3/�� 4������ � 4���/�� ����
/�����������/���/�����������/����� ������-�'�����' ��
��� /�� K������ � ��� /�� ���L:� �� '�'� ����� ��� � �����
������� �/��������� ��� ��� ����� ���� �-� ������4�
'/��:� ������������� ��� �/�������&� ������&� ����
��' ������0� ��� 4������ � 4���/�� ����)&� /�� �����
'��� ������������������4:��������4����/���/�������&�
/������� �'�'� ����&�/��4�������'����������/���''��4�
�������0�
Chromosomes and Fitness
3/�� A;,� ������� /�� ��J��@� �� �� �� -� �������� 4��'/�
J�/�J������'�����4�&������������-��������)����������2�0�
5������/������&���5������������/���''�����������/������
��4�0� 6��/� �/�������� �� �� �������� ��� � �@&� J�/���
��'��� �����&����J/��/����/��@��''���������������J��
�''�������0�3/�� �������� ����������J�������4���� ����
'��������� �-� ���� ��4 �� ��/�� �� J�/� �� ������ ��'���-0�
3/��/����'�/������/������J����J�������������@�
���� ��J���� /�� ��'�� ���� /�� ���� ���� �� �@0� 6��/�
�/�������� �� ��� ����� �-� �� /���� '�/� ��/��� /��
' �� �'��� -� /�� 4���� ���� ���� ��'0� 3/������� �� /��
�� �������/����� ��4�� ����0�
Population Structure and Initial Population
3/�� '�'� ����� �� ��� �������� �� ����� � ��� �� �
�/�������&����������������4���������0���������� �(���
J�/� ������� �������� ���� J�� /�4/1��� �-� � �����
���'���� �-� /�� ��/1�������4� ���� ,�4���1���4��
����������/�����������;� ��������E ��4���B%���0�
������� �� ������������� ������������� �J��&���/������
����� ��'������ ��� � ����� ���� �� ������ ��� ��� -�
������4����0� ,�� ��������� '� ��-� ��� ���� �� ���'������
��J���� '����������� ���� ���'������ ����� ����� ���
'��/�����4� � ����� J�/� ������� � ��0� 3/�� '��'��-�
/� ������/������� �'�'� ��������������/��������0�
Recombination of chromosomes
������ ���� �/���� �-� �����4� ��������� ��������� ����
�����4�� �� ��������� �I� �������0� 5��� J�� '����� [ ]��& �
���� �&� �������� � ��� ��4/� &� /�� �������� ���J� J��
������� ���@� � � ���� �&� !���� � J�/� #� ≤≤≤� 0� 3/��
�/� �� �� ������������-�������' �����4����4� �+← ������ �
���� R&000&S� #�� 0� 3�� ���' ��� �� &� 2� � �� ������� ��� ��
����� ���J�-�������#�������T����� � 0�6��/��@������-�����
�� � ��$�$&� �� ���� ��5���� ���� ��� ��� �� �� �� �''������ �� �� &�
����4�������#����� ��T��0�3/���/����/� ���2� �� ��������
�-��)�/��4��4�/���� �������������20�,�������������&�/��
;,������� -�@��'������/� ���������������/���/��0�����
��� ��������4�/��' ���4�'��������0�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
�#� � �
�0� ������������ ← U� ���������� � 77��������8������0������������������0�� ���������
20� 7←�� &� 7←��� �
*0������
*0�0� �2&�� ������� � � � 77�����������0�-��������
*020� �2&�� �������� ← � � 77�������5���&��������������0�� ���������(�
*0*0� ��2P���&�� ��������! ← � 77������������
*0<0��&� ��������≤ ����� � 77�/� ���0�.������������4�
���9���� ← � � 77���������4������������ �
�&� ������ ������� { }RSV !���������� ������
�� ← � � 77���/�������� ������������������0�����������������
7�����
*0$0�7���&�
*0#0��&� ������ ������� { }RSV !���������� �����
�+← ���� � � � PP������������������������'�����
�&� ������ �Q� R��S��������� �����
7←��� � � PP�������������������J�/�����'�����������/������ ����� 7←� �
7���
�+← ������ � PP������������� ���������J�/�����'�����������/������ �����
7���&�
�&� !���� � � � PP������/�����������/��'�'� �����
*0%0�7���&�
<0�?��������'�!���������
$0������ � �
��/�� '����� ���/�������������
Local Search as Mutation Operator
E�/� �� ��)��� ���� �� &� /�� �/� �� � � '�������� �-� /��
�������� �����4��� ������&� ��� ���� �� ��� � ����/� ���
����������4���)�/��4�0�6��/���������������� �� 2: �� �
'��� ������ ������������� �'��� ��'������������J��
���&� ��� /��������'������J���������� ��'0�6��/����� � �
�����������/��� ������������������������������ �����5 0�
3J��@�������21�'����������� �������4���0�
Replacement Method and Stopping Criteria
3/�� ��' ������� �� ��������� 0� ���� �/��������
RS!����� ��������� -�� ������� �J�/��������0�����������
������&� �� � � /�� ����� ��� ��4� ����� �/� �� � 0�
RS!����� �����' ������-� � �������� ������������0�����������
��� ���&����J/������������'' ���&� RS!����� �����' ������-�
�� &��������4������' ������0����/���'���������� ���&�/��
�����������������������'�������������/��A;,�'�������
J�/�/����)��������0�3/����/���@��'�/������ �����
R�S����� � ���� � �J� '������4� �/� ����� �� ��'�������
�������� -0�3/��4������� 4���/���'����������)�����
������� ��� �������� ��� &� ����� �� ��)��� � ������� ���
��'����������������� ���� &����J/����� �J��������������
������/��0�
Summary – General Structure
5�4���� $� 4���� �� /�4/� ��� � � 4���/���� �����'���� ��� /��
A;,0� ������� ����4� /�� � 4���/�&� /�� �� �J��4� 4 ��� �
'����������������)��:�
��� :���)��� �������������������'��������&�
�� :������������/�����������/��'�'� ����&�
�� :�����������&�
���� :���)��� �������������'����������������0�
��� /��� 4���/�&���� �� /�� ������� �����������������������
/�� ������� ������� ��� ��'��������� �������0� 3/��
���������� �����������-���� ��������/�������������������
��� ������ ����� � � ����0�E /��� /�� �����&� �� ������ ���
�'������� ���������0�5��/������� ����/��� 4���/���������
/�� ��� � �������� ��� !, �� ��� ����&� ���� ���� �� �� ���
������������$��277��0�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � �+�
3 COMPUTATIONAL EXPERIMENT
3.1 Numerical experiment
3/�� �)'������� /���� ����� �������� ��� ���4� /�� J� 1
@��J�� ������� ���������� �-� �� ��4���� ����
����������BB+�&� 64 ���
���� ��� ��BB#�� ����
?�,�������B%��0� 3/��� ���'������ � ��� ������ /����
�������/�������������������C��0%�;A(�J�/�2$#������4�
E ����J� 2777� �'�����4� -��0� 3/�� '��4���� /�� �����
���� �'������4�?� '/��#07�'��@�4�0�
3.1.1 Parameters used during the optimisation
phase
3/�� �� �J��4� �� ��� '�������� /�� ����� ���:� ��O70��
���O27777&�����O#7770� 3/��� '�������� ���� ������� � ��
'��������'������ -���������5 ���-�����$&�277*�0�
Chromosome and fitness: objective function
3/�� ����� ��� �/�������� ��'����� /�� �������� ��
�'���(�0�5���/�� �J��''����/�J�������������������� � �
���� �!� σ0+ 0� ,�� ��� ������ ��� � � ���'0� �!� σ0+ �� ��
��������������4�/����/������ ���� -��'����������/��
�������0������ ���� /�� ��/���/������ � ��� ������ ��
���-� ��������� ����� �� ���'������ � '���� ��� ���J� ����
'����� �� ������ �� ���� �������4� ��� ������ ��� /��
��'����� ��� ������ � ������0� �!� σ0+ �0�,��� �'�'� �����
��� *7=�� � � ����� �� ���0� 5��� �)'������� �7=! � /��
����� �/���� ���� /�� �������� �� ������(�� �� �� σ0�7+ 0�
3/���� ��� �7=! �'����������������'���� ���4����������
����/��������� � ����� �σ 0�
Stopping criteria of the HGA
5���/��?!, ��/�4/ -���������� �J����������������� �� ��
'�������4� '�J���� � �������� �� �'� /�� ����/� ��� ���
� ����0� 5��� /����/����!, ����/� ����������� �����
���� �� �����/����� �� ��0�3/��� 4���/���'���������
/�� ������� �� ��� �� ��������� /��� �07$� ���� /�� ��1@��J��
�� ������/��?!, �0�
Stopping criteria of the local search
,����/��������&�/��������'�����4���������)�����0�3/��
'����������������� �27���������/���������'������������
�����'��������������/��������)'��������0��
3.1.2 Parameters used during the replication phase
3�� ������ /�4/� ��� �-� ����� ��� ������ �777=� �
��' ������� ���� �������� ���J�/� /�� ��� � ����������� ��
/�� ���� ��� /�� �'���(����� '����0� 3/�� �� �J��4� �� ���
'�������� ���� ��� ����� �����4� ��' ������:� �&� ��� &�
�&� ��� &� �&� ��� &� �&� ���σ &� �&� ���σ 0�
3.1.3 Notations
3/�� ���'������ � ��� � '������� ��� /�� ��)� ������
�������� /�� ?!, �� ��� ����� ������ �� � �''����/0�
������� *0*� ������� /�� ?!, �� ��� ����� ��������4� ��
/�� ����!� �''����/0� ������� *0<0�� '����� ��� � ��� ��4�
J�/� ������(����� ��� /�� �����4�� ��� �� -0� ������� *0<02�
��� �J�/�/��������(����������/�/�������4���������/��
������� ��������� ��0� 5��� 4������ �����������&� ��� ����
�� �&� ?�,������ ������� ���� ������� ;��&� 64 ����
������������������64 ��������� ��4�����������������
�� �� ���� ������� C� 0� 3�� ������ ��-� ����4����&� /��
�� �J��4��)�����������������������:�
� � :����� �����������J�/�/���� ��''����/���/������
���/���'���(�����'����0�
� 7� :� ��� � �����������J�/� /�� ����!� �''����/��� /��
���� ��� /�� �'���(����� '����0� �������� /�� /�� �� �
�''����/�����/������!��''����/���������/��'���������� �
'�� �/����5 ���-�����0&�277<�����/���!, �0�
� �� :� ��� � ����� ������ J�/� /�� ��/� �''����/�
��������4� � 0�
� 2� :� ��� � ����� ������ J�/� /�� ��/� �''����/�
��������4� �� σ0�7+ 0�
3.2 Tight approach
3/�� ��� � ���� ���� ��� ��� �5 ���-� �� ��$&� 277<�� ���� ����
'������� ��� ,''����)� �0� 3/�� ��� � '����� /�� J/������
/������/���@����&�/��������4����������������' �������
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
�%� � �
J�/� �������� � ��'0� +7W� ��� ��' ������� �)'��� ���
�������� � ��'�����?�,������ ������&� B#W����� 64 ����
����������������/���$7W������� ��4�����������������
������� ��� �� *�0� 3/�� �����4�� ������� �-� ���� ���/�
����/���@���'������������ ���/������0�
$�%��.'���%�������&����������=����������� �>�
� ;��� 64 ��� C� �
��
���&�
�
� ��� −� %07$W� 2*0*$W� $0#+W�
�&� ��� � +7077W� B#0%+W� $*07#W�
�&� ���σ � �#07%� %<207<� �*0%7�
�&� ���σ � 70%<� �0#$� 70#%�
�&�
�&�
���
���σ� '! A � *'.9A � .'9*A �
3/��4�'���J���� ��� ����� �&� ��� ����������'����0�3/��
�����/���������/���'���(������'���*�#����� /��;����
������� �� ��4���� /�� �����4�� � ����� ��� ����� �777�
����'������ ��' ������� J/��/� �� *$�0� ���� ��� �������
������� �� ��� ���� � � /�� ������0� 3/�� ������� ���������
�����4������/����$�����?�,������������&�4������/���
%<7�����64 ������ ������4������/����*������� ��4��������
���������������0�
3/�� � ����� ���� /�4/ -� ������� J�/� �� ������� �-� ���
������� $W� ���� ?�,������ ������&� +W� ���� 64 ����
������� ���� *0#+W� ���� �� ��4���� ���� ���������
������0�
3.3 Slack approach
3/������!� �''����/� '��'���� �-� �5 ���-� �� ��$&� 277*�� �� ��
/������� ����� �''����/0� 3�� ������ � ����� ��� J/��/�
��/�� ����-������ -� �����&�/����/���'��'�������������
/�� ��/�� �� ��'���-� �-� � � '������ �����4� /�� �'���(�����
'����0�!��'�������/���� ��''����/&�/������!�������� �
�������?!, ��� �����J�/���/�4/���������������'�����
�������� /�� � ����� ��0� 3/�� ������� ��� /��� ����!�
� �������� ����� ������-���� ����&����4�/�������� �
��/�� ����'���-0�3/����� �'��������5 ���-�����$&�277<��
����������(�������� ��<0�
$�%��#'���%�������&����������=������������ �>�
� ;��� 64 ��� C� �
!��'������J�/��� ��''����/�
��
���7�
�
� � −� <0<*W� %0B2W� *02BW�
��
���&7�
�
� ��� −� <0$7W� B0$<W� *0*<W�
�&�
�&��&7�
���
������ −� 1*027W� 1��0<%W� 1�0BBW�
������
�7�
�7��&7�
�
� ��� −� 707#W� 70$+W� 707$W�
�&7� ��� � �07#W� �*0<%W� 70#$W�
�&7� ���σ � �0**� �+#0*#� �07��
�&7� ���σ � 707+� 70*<� 707<�
�&7�
�&7�
���
���σ� �'#�A � !' 2A � �'.�A �
�
���� ���� ���� /�� /���� �� �� �4�������� ��������� ��� /��
������� �-� �� ��4���� /�� ��� � ��� /�� �� � �''����/0�3/��
������� �-��&7�
�&7�
���
���� �����������������������&�
�&�
���
���� �������
��/��������������������������/�����/���@��0�
3/��'������4�������' �������J�/��������� ���'���/�4/ -�
�������������+7W����07#W�����?�,������������&������
B#W� �� �*0<%W� ���� 64 ���� ������� ���� ����� $*W� ��
70#$W������� ��4�����������������������0�
�/��� �������� '����� /�� ����� ��� /�� /������� �''����/�
J/��/� ���� �� 4������������ ����� � ����0�,����� /��
����������� ��� ��� /�� � ����� �� /�4/ -� �������&� ����
�)��' ������ ��/���BW�����64 ��������������'�����
�� /�� 2*W� ���� /�� �4/� �''����/0� 3/�� � ����� �������
� ��&� ����� �� ����������� '���� ��� ���J&� ��� /�� ?!, ��
���0�
3/�� �����4�� � ����� ��� �� /�4/ -� �������0� !��'����� ��
�&� ��� &� �&7� ��� ���'������4����������'�����������/��
� �������� �-0� �&7� ��� � �� �� /��� �&� ��� �J/������
/������/���@��������������-��4�������� ��'�����������
��W���������������/�����-�������� �64 ����������0�
���� ��� ������� ������� �� ��� ���� /�� �/��� �������� ���
������ '�����4� /�����������-���� /������!� �''����/0� 5��� ��
�� � ��� � ��� -�&� /�� ������� ���� ������ �� �5 ���-� �� ��$&�
277*�0�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � �B�
E/������ /����� �-����/����� &� /������!��''����/�����
/������� ����� �''����/&� ���� J/��/� �� �� ��� '��� �� ��
����� � /������� �������� �� �'���(�0�3/�� �''����/� � ���
�� -� /��?!, �0�3/����)� ������ ��'��� ��� ���������
�-�������(��������/�������4��� �������0�
3.4 Law approach
3.4.1 Minimisation of �
��������� -�/�������4��������/��� ���������� ��������
/����M�����&�� �����J�/� �J������������������� �J�
�����4�����J�� ������������0�3/��������������' �������
J�/��������� ���'�J�� �����/�4/ -�������������4����/��
�� ��''����/����J�� �����������'������J�/� /������!�
�''����/�������/�� ��@��������������������������(�����
��M�����0�3�� ��$���'���/����� ������������4�/�� � �
������(����� �������0� 3/�� J/� �� ��� � ���� '��'���� ���
,''����)0�
$�%�� 0� ���������� ������������(�������� � ��
� ;��� 64 ��� C� �
!��'������J�/��� ��''����/�
��
�����
�
� � −� �0%+W� #07*W� �0<2W�
��
���&��
�
� ��� −� *07+W� %0B%W� �0%2W�
�&�
�&��&��
���
������ −� 1<0$7W� 1��0B$W� 1*0<$W�
������
���
����&��
�
� ��� −� �0�+W� 20+BW� 70*BW�
�&�� ��� � 2<0B<W� #70�BW� �70*%W�
�&�� ���σ � <07$� **%0�*� *0<*�
�&�� ���σ � 70*<� 70%2� 702��
�&��
�&��
���
���σ� !'#�A � .'�2A � �'-.A �
�
E /������ -��4�/����� &�/���� �J��4���������������
����:�
� /��'������ �-����������)�����'���/�4/ -���������
�� ��4���� /�� ����� � �4/� �''����/������ +7W� �� 2$W�����
?�,������ ������&� ����� B#W� �� #7W� ���� 64 ����
������� ���� ����� $*W� �� �7W� ���� �� ��4���� ����
��������� ������0� E /����� /��� ��� � ��'��� ��
�4�������� ��'�������� ��� � ����&� /��� ��� � ���� ���
���'������ J�/� /�� ��� � '��'���� J�/� /�� ��@�
�''����/0�
� /�� ������� �-� ��� � ����� �� �������-0� E ��
�������� �� ������� �-� ��� �0<7W� ���� ?�,������ �������
�$0�$W� J�/� /�� �4/� �''����/�&� *07BW� ���� 64 ����
������� �+0*#W� J�/� /�� �4/� �''����/�� ���� 70%*W� ����
�� ��4���� ���� ��������� ������� �*0#+W�J�/� /�� �4/�
�''����/�0�3/������ ����������'������4���� �4/ -� ��
'������4� /��� /��� �������� J�/� /�� ��@� �''����/�
�70<7W&��0$BW�����70*7W�0�
� ���� ����4������� -������/��� �7�� �����/��4�'�
��J���� ���� ����� ��� � ���� -�����0%+W�����?�,������
������&� #07*W� ���� 64 ���� ������� ���� �0<2W� ����
�� ��4����������������� ������0�3/��� ��� �������
��� ���������4����/����� ����/�� ��@��''����/:�<0<*W�
���4�'���J���� �7�� ����� ��� �����?�,������������&�
%0B2W�����64 ���� �����������*02BW������� ��4��������
���������������0�
� ��� ������������������� ������� �&�� ��� �J/��/���
� ���� �� �&� ��� � /��� �� �&7� ��� 0� 3/�� 4�'� ��J����
�&�� ��� ����� �&� ��� �����1<0$7W&�1��0B$W�����1*0<$W0��
� /�� ��� � ������������ ��/� ������� ��������� ���
���� ������� ��������� ��� /��������� ��� ��'� ���' -�J�/�
/��'������������@0�3/������ ������ ����/�����������-�
��� /�� �����4�� ��� ������(����� ��� � �� '����� /��
�'���(����� '����� �� ��� ���4 -� ��@��� �� /��
������(�������� /������������������� /��4/��4��������
��'�������� ��� ������� /���� ����� �������� ��0� ��/�
������� ��������� ��� ���� ������� ��������� ��� /��
������������'�����4������/���/���� �����'���������� ��
<�����/�� ��@��''����/0�
3/����)�������'�����/����� ������������������(��4�
��/� /�� �����4�� � ����� ��� ���� /�� �����4�� �������
�����������0�
3.4.2 Minimisation of �� σ0�7+
3/�� ��� � �������� ���� ��'����� ��� �� �� #0� !��'����� ��
/�� ��� � �������� ��� ������(��4� � &� /�� � ����� ����
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
27� � �
���/� ����� ����� /��� � � � ����� '������ -� ���'����
���4�/��'��������''����/�0�
5�� -&����-� �J�������� �-�����������'���������� ������
������0� "��� /�� 707%W� �������� ���� ?�,������
������� ���'����� �� /�� �0<7W� �������� ��� ������(��4�
� 0� 5��� 64 ���� ������&� /�� �� ��� ��� /�� ������� �-� ��
����� 70<%W�J/��/� �� �)� ���� ����� /��� /�� ������� �-�
���'�������������(��4� � 0�5����� ��4�����������������
������&� /�� ������� �-� �� ��4/� ���� ����� ����/��4�
70�BW��� -0������������� /��J�� ������������� �� ���
/���/���� ������'�����-�/������!��''����/0�5���� ���
��� ������&� /�� ������� �-� �� ����� ���� ����� ���
������(��4� ��0�7 �� σ+ �/���������4�/������!��''����/0�
$�%��9'���%�������&����������=������+�������&�
��0�7 �� σ+ >�
� ;��� 64 ��� C� �
!��'������J�/��� ��''����/�
��
���2�
�
� � −� $&$�W� 2*&<<W� <&�$W�
��
���&2�
�
� ��� −� $&$�W� 2*&#�W� <&�%W�
�&�
�&��&2�
���
������ −� 12&2BW� 17&2*W� 1�&**W�
������
�2�
�2��&2�
�
� ��� −� 7&77W� 7&�$W� 7&72W�
�&2� ��� � 7&<#W� �+&##W� 2&2$W�
�&2� ���σ � 7&2�� #<&�2� 7&+2�
�&2� ���σ � 7&7*� 7&2#� 7&7#�
�&2�
�&2�
���
���σ� �B�-A � �B#-A � �B!2A �
�
������ -&��������/�������������������������� ��������
/������������������(�&�/���� ������ �&2� ���� ����������
/��� /�� �� ��� ��������J�/� ��/� /�� ����!� �''����/� ����
/�� �����4�� ��� ������(����� �''����/0� 3/�� �������
��������� ��� �� �� -� 702�� ���� ?�,������ �������
���'����� �� /�� <07$� �������� J�/� /�� � � ������(�����
���� �0**� J�/� /�� ����!� �''����/0� 3/�� ������� ���������
��� �� #<� ���� 64 ���� ������� J/��/� ��'������� /��
�� ������**%�����/�� � �������(����������+#�����/������!�
�''����/0�5����� ��4������������������������/����� �
���� ��� ��0�3/�� �� ��� ��� 70+2� �� ����� /�� /�� �� ��� *0<*�
��������J/���������(��4��� -� � ����������/��/���� ���
�07����������J�/�/������!��''����/0��
3/����� �����/���������������������/��������������'�
���������J/���������(��4� �� σ0�7+ �/���J/������4�/��
����!��''����/�������4��� -� � 0�,��� ������707+�����'�����
�-�/�� ��@��''����/�����?�,������������0�3/���� ���
����/�� 70*<� J/��� ������(��4� �� -� � � ���� �������� ��
707*� ������(��4� �� σ0�7+ 0� 5��� 64 ���� ������� /��
����!� �''����/� � ����� /���� �� ������� ��������� ��� /��
������� ��� ��'� J/��/� �� ��� 70*<0� E /��� ������(��4� � �
/���������������������/��������������'���J����/�4/���
��������/��70%20����������(��4� ��0�7 �� σ+ &�/���������
��������� ��� /�� ������� ��� ��'� �������� �� 702#0� 5���
�� ��4���� ������������� ������� /�� ������� ���������
��� /�� ������� ��� ��'� �� 707<0� 3/�� �� ��� �������� J/���
��������4� �� -� � � ���� ����/�� 702�0� ��� ������(��4�
�� σ0�7+ &� /�� ������� ��������� ��� /�� ������� ��� ��'�
����������������/��707#�J/��/������-�� �����/���� ���
��������������4�/������!��''����/0�
E/������'����4� ���� ����� �&� ���� &��� ��'��� ��������
/�����-� �J�4�'����4�/������!��''����/0�3/���� ����������
707#W� ���� ?�,������ ������&� 70$+W� ���� 64 ����
������� ���� 707$W� ���� �� ��4���� ���� ���������
������0� 3/��� �� ��� ���� ����� ��'����� J�/� /�� ��/�
�''����/�J/���������(��4� � ���0�+W&�20+BW�����70*BW�0�
3/��������(�������� �� σ0�7+ �'����������������-� �J�
�� ��:�7077W�����?�,������������&�70�$W�����64 ����
������� ���� 7072W� ���� �� ��4���� ���� ���������
������0�
E/��� ���'����4� ���� � �� ��� /�� ��� � '����� /�� /��
��� �������� �� /��?!, �� ��������J/���������(��4�
� � ���� �������� J/��� ������(��4� �� σ0�7+ 0� 5���
?�,������ ������&���
���7�
�
� � −� �� <0<*W0� 3/�� 4�'� ��
�������� �� �0%+W� J/��� ������(��4� � � ���� �������� ��
$0$�W� J/��� ������(��4� �� σ0�7+ 0� ������� -&� �� ��
�)' ���������� �J:�J/������ ����4�/������������������
������/����M��������������(�&������������ ���������
��������0�3����������/�� ����&�/��� ��������������
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � 2��
/�4/��0� 5��� /��/����64 ���� ������&� /�� ����!� �''����/�
��'��� �� 4�'� ��� %0B2W� ���� #07*W� J/��� ������(��4� � 0�
3/�� ������(����� ��� �� σ0�7+ � 4���� �� � ����� J�/� ��
��4��� 4�'� J/��/� ����/�� 2*W0� ���� ��� ������� �������
�� ��������� ��4�����������������������0�3/������ �
/�4/ �4/� /�� ����������� ��� /�� '/� ��'/-� ��� /�� J�� �J�
�''����/������ ���4�/���!, �0���� ����4��� -� � ����/��
��M������ '����� ������������� ��� ����� ���� ���� ��
���-��4���� �����/������������� ��������'�������
/�� � ����� �������� ��� ����4� ��/� �&� ���� � ����
�&� ���σ 0�3/������������������������J/���J����� -(��
��
���&�
�
� ���� −� ��� � J�/� ��/� �''����/�� '��'���� ��
� ���/���!, �0�
3/�� ��)� ������ ��� 64 ���� ������� ��� � ���'� ��
������ ��������� /�� /�� ������� '����������� ��� /��
� �������/�4/ -���'���������/������������������(�0�
3.5 Comparative study of the 3 approaches for
Eglese’s instances
3�� �� +� '����� /�� � ����� /���� ����� � '��'�����
��'�����4� ��� /�� �������� �� ������(�0� 5���� �� '������ �
'���� ��� ���J&� �� ������ ����� ����� � ����&� �� ��
������-������ ��������������������������/����M������
�������0��
$�%��*'�7/��C�������� ����������0�������� ���
�
����!�
�''����/�
��/�
�''����/�
������(��4�
� �
��/�
�''����/�
������(��4�
��0 �!� σ+ �
!��'������J�/��� ��''����/�
��
����
�
� �� −� %0B2W� #07*W� 2*0<<W�
��
���&�
�
� ���� −� B0$<W� %0B%W� 2*0#�W�
�&�
�&��&�
���
������� −1��0<%W� 1��0B$W� 1702*W�
������
��
���&�
��
�� ���� −� 70$+W� 20+BW� 70�$W�
�&� ���� � �*0<%W� #70�BW� �+0##W�
�&� ���σ � �+#0*#� **%0�*� #<0�2�
�&� ���σ � 70*<� 70%2� 702#�
�&�
�&�
���
���σ� !' 2A � .'�2A � �0#-A �
�
����������� �����/������/�4/����������������� ����
��
����
�
� �� −�� ���� �� /�4/��� �����4�� ��� ����
��
���&�
��
�� ���� −� ����
��
���&�
�
� ���� −�0� 3/�� ������ -� ����
�� /�� ��/����� ������� ��� ��� ��������4� ��/� �������
��M�������������-� �J�� �������0�
3/��'��� ���J�������4��&��������!, �&� �� � ���� �����
���'������ � ���� ���-� � ��� �� /�� ���'������ � ����
��'��������� ���4�/��?!, ������'�������������������
����$&�277��0�
3.6 Efficiency of the mathematical expressions
for the DeArmon’s instances
3�� ��� ���� /�� ��/������ � ����� �� �� �� '��� �� ��
���'���������4���� ������'���������/����' �������J�/�
/����/������ ��� ��0�3/����� ����������������/:�
� �&� ���� � /�� �����4�� ��� ����� � � ����'������
��� ��������� �&� ω��� �
� ����� ����'�����-�/����/������ ��)'�����0�
3/��4�'���J���� ����� ����� �&� ���� � ���� �� �������� /��
��/� �''����/� ��� ������(��4� � � ��� �� �� %� ���� /�� ��/�
�''����/����������(��4� �� σ0�7+ ����/���� ��B0�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
22� � �
$�%��-'���&����� ���&������������ ���5�����������
�����0������� ��������+��/� � �
� ����� �&�� ��� ���
�&�����
��
����� −
4���� **<� **2� 17&+2W�
4��2� *$#� *$<� 17&<#W�
4��*� 2B2� 2B7� 17&#+W�
4��<� *�*� *�*� 7&77W�
4��$� <7#� <7<� 17&$<W�
4��#� *2*� *2�� 17&$#W�
4��+� *<2� **B� 17&%$W�
4��%� *#*� *#2� 17&�%W�
4��B� *27� *27� 7&72W�
4���7� 2+B� 2+B� 17&22W�
4����� *B$� *B$� 7&72W�
4���2� <%7� <+B� 17&�7W�
4���*� $<<� $<<� 7&77W�
4���<� �77� �77� 7&7*W�
4���$� $%� $%� 7&7*W�
4���#� �2B� �2B� 7&72W�
4���+� B�� B�� 7&77W�
4���%� �#<� �#<� 7&72W�
4���B� $+� $+� 17&**W�
4��27� �2*� �2*� 7&72W�
4��2�� �$%� �$%� 7&7�W�
4��22� 272� 272� 7&77W�
4��2*� 2*#� 2*#� 17&7*W�
�����4�� 17027W�
�
������������/�� �4/�4�'���J���� ����� ����� �&�� ��� 0�
��� '������4�&� /�� 4�'� �� ����� 7027W� ��� �����4�� ���� /��
������� ��� �� B�0� ���� ��� ������� ������� �� ��� J/���
������(��4� σ0�7+� 0� 3/�� �����4�� 4�'� ��J���� �2��� �
���� �&2� ��� ���707$W0�
$�%��2'���&����� ���&������������ ���5�����������
�����0������� ��������+��/� �� σ0�7+ �
� �2��� �&2� ��� �2�
�&2��2�
��
����� −
4���� **+� **+� 7&77W�
4��2� *##� *##� 7&77W�
4��*� 2B#� 2B#� 7&77W�
4��<� *�*� *�*� 7&77W�
4��$� <7B� <7B� 7&77W�
4��#� *2<� *2<� 7&77W�
4��+� *$�� *$�� 7&77W�
4��%� *%%� *%%� 7&7*W�
4��B� **B� **$� 1�&7<W�
4���7� 2%*� 2%*� 7&77W�
4����� <7*� <7*� 7&77W�
4���2� $*<� $*<� 7&77W�
4���*� $$2� $$2� 7&77W�
4���<� �72� �72� 7&7<W�
4���$� $%� $%� 7&77W�
4���#� �2B� �2B� 7&77W�
4���+� B�� B�� 7&77W�
4���%� �#<� �#<� 7&7�W�
4���B� #*� #*� 7&77W�
4��27� �2*� �2*� 7&77W�
4��2�� �$%� �$%� 7&7�W�
4��22� 272� 272� 7&77W�
4��2*� 2*B� 2*%� 17&2$W�
�����4�� 1707$W�
�
E ������� ��� /�� �����4�� ��� ��� � ����� �� /�4/ �4/� /��
��� �-� ��� /����/������ � �)'������ ��� ��� ��� ��� �
���� ��� ��'����� ���:� �&� ���� � ���� ����� &� �&� ���� � ����
����� &� �&� ���σ � ���� ����σ &� �&� ���σ � ���� ����σ 0� 5���
/�� 64 ���� ������� ���� /�� �� ��4���� ���� ���������
������&���� ������ ����������'����0�
3.7 Computational time
3/��/�4/���� �-���� �'�������������/�����������������
J�/�/������������ 4���/��'����������/�������������
�������������$&�277���J/���� ���4�/��?!, �0�
3/�� ���'������ � ���� ��� � � /�� ������� ���� ���
,''����)0� 3�� �� �7� '����� /�� ���'������ � ����
�)'������������� ���������0��
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � 2*�
$�%��!�'�(6��/� ��������������=���� ����>�
,''����/� 3���� ;��� 64 ��� C� �
3�� � $0%7� 2+%0#*� **02*���� �
3����� <077� 2�#0+$� �#0*$�
3�� � 2*02+� 2+$0<�� ��$0<*�����!�
3����� �0*$� �+20#2� �<0B+�
3�� � +20<�� #BB0#�� 2%B0$7���/'�
����� � � 3����� �%07$� $270�B� B$0B��
3�� � +%0<B� +B�072� 2B+0$B���/&��
���� σ0�7+� ��3����� 2<0BB� 2*20#%� %<0�*�
�
4 CONCLUDING REMARKS AND
RECOMMENDATIONS
3/�� ��M������ ������� ��-�J�� �� �)'���������������� /��
�!, ����� �����J�/�/����' ��������������A;,0�3/��
'��� ��� � �� ���� ��� /�� �@��4� ���� ������� ��� /��
��������-�������������4�'��� ��0�,������4�/���!, ��
������� ��������/���� �������������������/����� �
������-��''��)����������������� �����������0�
E ��'�����������/������ ���� -�����/��'��� ����������4�
��/� �������� �� �'���(�� ���� ��� ������ ��� /�� �����
'��'����� ��� /�� � ����0�����'����4� /�� 4����� � �/����
���/��A;,�'��'�����-�������������$��277��&�J���������
��� �'���(����� ��/��� ���� �!, �0� 3/�� ��/������ �
���� ���������� ���������J�������4����������������'���(�0�
3/����/���������/���@������/��J� 1@��J������������
?�,����&��� ��4��������������������64 ��0�
3/����� �'�����/�����������-����/����/���������'���4�
� ���������J/��/�/������� �'��'������������������J�/�
�� ���-� �������� ��' ������� �0� 3/�� ���������-� ��� /��
�''����/�������������-����'���4������� ����0�
,����/���������/�����J����������:�
� ������ ��/������ � ����� ����� ��� /�� '��� ��0�
!��������� ������ �������-���� ���''��'����� ��� ��� ��4�
J�/� /�� �!, �� ���� ���/��� ������/�� ���� ���������
'�������4������ ������� ������������������ ��������0�
� �@������������������ -�/�������-�����������������
��� /�� �������� ��� ��������� ��@��� �� /��� �������0�
3/�� 6)������ ���/���� !, �� ��� �� ��� ���������� ���
���4�/������/���@����������������$��2772�0�
�
REFERENCES
���=3� � ,0� ���� "������@�� ,0� ��BB%�0� ����
!����)��'�������0�9� ��������0�:���������������� &�
2*�<�&�"��0��BB%&�'0�+#B1%7$0�
�� ��4���� F0�0� ���� �������� 60� �277*�� ,� ����4�
' ���� � 4���/�� ���� /�� ��'������� ���� �����4� '��� ��0�
�������������:���������������� 0�*7�$�&�'0�+7$1+2%0�
������� ?0F0� ���� ����/�1����� ?0� ��BB#�0� ,� ��J�
;��������� ��� C�/�� �� ����4� �����/:� ����
, 4���/�&� �������4� ��������-0�:��������� ������� 0�
<<�2�0�����/1,'�� ��BB#0�
����@��F0���BB%�0�!�����4������� ������-������
��� ��� ������-� � 4���/�0� ��:� 6����� ,6&� �X�@� 3&�
��/����������������/J��� �A�0����� � ����� ����� ���4�
����� "����� ����"�B%�&� �"!�� �<B%&� �'���4��&� ��� ��&� '0�
��B=�2%0�
64 ��� 0E 0� ���� ��� �0Y0�� ��BB#�� ,� ���� ����/�
�����/��������������������4�J�/�����'���-�������������
���� ���� ���0� ��� �0A0� ����� ���� F0�0� G� -� ���0�&�
9�� ��������;� ���4� ���� �����������&� G �J��&� '0� #**1
#$70�
!/���4&� 0G01�0� ���� ��J� � E 0�00� �BB#0� ,��
, 4���/�������� ��4��?-������"�J��@�J�/� ������
,��� !�'�����&� J�/� ��� ,'' ������� �� ?-������ 5 ���
����4����&�:���������������� '�<<�#�&�'0�B$�1B#*0�
?�,�����F0�0���B%���,�!��'���������A�����������
/��!�'�������!/��������������� ��0�����H�3/��&�
3/���������-�������- ������!� �4�����@&��?&���,0�
5 ���-� ;0� ��BB*�0� ��/���� ��/������ ��
����������'���� ��'��� 8���"�1?������ �0��/?�3/��&�
3/���������-�� �������� ����! �����15������&�5�����0�
>>>>>>>>>&� �������� �0&� ����� !0&� �277<�0�
6�� ������-� , 4���/�� ���� ���/���� ,��� ����4�
���� ��0� ������� �"!�0� ���":�*1$<712�*+%1*0� 277<0�
�'0�$7��=�$�20�
>>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>���� ������1
!/�����E 0��277$�0���'�����4������������ ����� ������
�����4�'��� ��0�<��������0�:����������������� ������4�
&<:��('�C� �$#&��0�$2#�1�$*%&�277$0��
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
2<� � �
>>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>0�
������ ��� ������ ��� � ��������� /��!�'�������,���
����4� ���� ��0� �2772�0� !���������&� ,�&� ���� ����� ����
� �����4� ��� A�4/� ,�����-� �-��&� '0� 2B712B$&� ������
�����4� �&�+1�7�,'�� �2772&�5��������F0�����������"������
;������� �6�0�&� !���������� ,��� &� ���"� �1$#$$$12<21*&�
27720�
>>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&�
!��'���4� ���� �� ����� ���� /�� ���/���� !, �0�
�277*�� ������� ���������� � E ��@/�'� ��� 5���4/�
3���'������� ���� ��4���� ����� �� ��� �����&�
�?Y��6���277*&����� -&��� -&���-�2+1*7&�277*0�
>>>>>>>>>&�;���4�����0� �������������00� �277��0�
���1A������� ���� /�� ���/���� A��� ��/��� ��4�
���� ��0� ������������ <������� �0� ���������� ������� �
��F� �0�*B��$�0�'0�*<�B1*<$+0�
;�������� �0&� ��'���� ;0� ���� ��4���� 00� ��BB#��0�
���/���� ��/�� �� �����40� ��������� <������� 0���
:����������������� $�%%&�'0�*1�20�
;���������0&���'����;0�������4���� 00���BB#��0�,�
3���������/�A�����������/��C�/�� �� ����4����� ���J�/�
���/����?������ ���� !�����0�:��������� ������� 0�
<<��*�&���-1F�����BB#0�
;� �����0�0�����E ��4� 030���B%��0�!�'�����������
�����4�'��� ��&�)�/��!�&���&�'0�*7$1*�$0�
F������030� �277��0� ���� ���� 5 �)�� �� �/��� ��4�
J�/� 6�� ������-� !��'�����0� �/?� ?�������&�
?�'������ ��� !��'���� �������&� �������-� ��� ,��/�&�
?�����@0�
�������� �0&� ����� !0� ���� ������1!/����� E 0�
�277��0�,�4������� 4���/������/��!�'�������,��� ����4�
���� ����������)�����0�'0�<+*1<%*&����Z,'' ����������
��� ������-� ���'���4Z&� 60F0E 0� ����� ���0�&� �"!�� 27*+&�
�'���4���C�� �40�
��'���� ;0� ���� �������)� 50C0� ��BBB�0� �� ���4�
��/���� �����4� '��� ��� J�/� /�� ���4��� �1/�'���
��/��0�=����9���������������������&�30;0�!�����������
;0���'�����6��&�G �J��&�'0��$B1�#+0�
>>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� ���� A����� �0C0� �2772�0�
,�����4����1�/�'��, 4���/������ /��!�'�������C�/�� ��
����4� ���� ��� J�/� ���/���� ?�����0� :���������
������� &�$7�*��<�$1<2*0�
�-����� G0!0� ���� ��J� � E 0�00� ��BB#�0� ,��
, 4���/�������� ��4��?-������"�J��@�J�/� ������
,��� !�'������ J�/� ��� ,'' ������� �� ?-������ 5 ���
����4����0�:���������������� 0�<<�#�&�"��P?��0��BB#0�
C��J��M��0&�,/�����0&�G �-J�4�,0&�"��/�����;0�
�����/�'����,0��277��0�3/�����' ��,����4��,''��)�������
��/��� ,'' ���� �� ���/���� ����4� ���� ��:� ,�
!��'������ � ���-0� 3��/���� � �'��&� 3/�� ��4����
�����&�;���4������������3��/�� �4-&���4��277�0�
�������� "0� ���� G� -����-� ?00� ��BB<�&�
�� ���M������ �'���(����� ���4� "����������� �����4�
���;������, 4���/�0��5��������4����������&� 2�*�&� '0�
22�12<%0�
�J�/��� �0 0� ���� ��'������� F0�?0� ��BBB�0� ,�
��/���������-���������� �����/����4 �1��/�� ��'��@1�'�
���� �� ����-� '��� ��0� ��������� <������� �0� :����������
������� &���<&�'0�<<+1<#<�
3����,0�����;/�/�,0���BB+�0�;������, 4���/��
J�/� �� ���� �� ����� �����/��4� ��/���0� �����
������������ ��� �5��������4� ���������&� ��*�&� '0� 27�1
27%0�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � 2$�
APPENDIX 1. DCARP RESOLUTION: TIGHT APPROACH
�
$�%��!' ?�,�������������
� ��� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ���σ �&� ���σ
4���� *�#� $� *$�02*� $0%2� ##027� *�0�+� 70#%�
4��2� **B� #� *%B0$7� %07%� B<027� 2%07#� �0�7�
4��*� 2+$� $� 2B20%2� $0%�� #<0<7� �$0*<� 70+7�
4��<� 2%+� <� *270B*� $02<� +B0+7� 2*0$%� 70%#�
4��$� *++� #� <<*0�+� %07B� B20+7� *+0#+� �0�2�
4��#� 2B%� $� **$077� #02$� +B0<7� 2+0B%� 70%#�
4��+� *2$� $� *$<0#+� $0%2� #$077� 2$02+� 70+7�
4��%� *$7� �7� *%$0�7� ��0BB� B20*7� 2�0�B� �07B�
4��B� *7*� �7� *#20B%� �*0$%� BB0*7� 2<0$%� �0<7�
4���7� 2+$� <� 2%#02B� <0<*� <*077� �*0�2� 70$7�
4����� *B$� $� <�202�� $0#+� $%0B7� �$0#*� 70#2�
4���2� <$%� +� $��0+#� %0�%� +%027� *B0B*� 70%$�
4���*� $*#� #� $%<0%�� %0%�� B+0#7� 2<0+�� �02��
4���<� �77� $� �720<$� $0<+� <70*7� *0+<� 70#*�
4���$� $%� <� $%07#� <07*� 20B7� 70*<� 70�+�
4���#� �2+� $� �*<0<#� #0#*� %%0$7� $02*� 70B<�
4���+� B�� #� B�022� #0��� ��0�7� 70#*� 70*��
4���%� �#<� $� �#+072� $0*7� 2%0+7� <0B�� 70<B�
4���B� $$� *� #70$7� *0#B� $B027� $0+%� 70#<�
4��27� �2�� <� �2B0<7� $0+<� B�077� $0*B� 70B$�
4��2�� �$#� #� �#<0$B� +0#B� B7027� $0*+� 70B$�
4��22� 277� %� 27$0%2� B0#<� %+0B7� *0#*� �072�
4��2*� 2**� �7� 2<%0+*� �*0+B� BB0*7� #0#B� �0$7�
�
$�%��"' ������>�����������
� ��� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ���σ �&� ���σ
�4 1��1,� *$<%� $� *B�#0#<�� #0�%�� +%0<7� 2B<0<�� 70%#��
�4 1��1�� <<B%� +� $2B#0�<�� %0#��� %#0*7� $*20$*� �072��
�4 1��1!� $$B$� �7� +�*%0+#�� �*0#%�� BB0*7� #<<0*%� �0<%��
�4 1�21,� $7�%� +� $%770<2�� %0%#�� B�0%7� <#<077� �07+��
�4 1�21�� #*<7� �7� +%+<0*��� �*0<2�� B%0B7� #+B0%#� �0<*��
�4 1�21!� %<�$� �<� �72�+0#+�� �+0B#�� BB0$7� +<$0#�� �0$*��
�4 1�*1,� $%B%� %� #+<#0%*�� �70*B�� B$027� <%70#$� �02*��
�4 1�*1�� +%22� �2� B+B#0+*�� �#0$7�� BB0%7� +�20B�� �0$*��
�4 1�*1!��7<**� �+� �**$*0B+�� 2*0�%�� �77077� B�20�*� �0%���
�4 1�<1,� #<#�� B� +#2B0$7�� ��0$7�� B$077� $B#0$<� �02#��
�4 1�<1�� B72�� �<� ��+#�07<�� �B0�+�� �77077� B770BB� �0#%��
�4 1�<1!���++B� 27� �<$*20$��� 2$0$��� BB0B7� B<$0++� �0%*��
�4 1�1,� $7�%� +� $B7%0++�� %0$*�� %$0<7� #2+0#<� 70BB��
�4 1�1�� #<*$� �7� ++*$0�$�� �20+$�� B#0+7� #$20+7� �02B��
�4 1�1!� %$�%� �<� �7%2�0$2�� �%077�� BB0�7� B7202+� �0$+��
�4 121,� BBB$� �<� �2*7%0%<�� �%0B��� BB0+7� %##02*� �0+���
�4 121���*�+<� 27� �+7#�0$$�� 2%0<��� �77077� ��2*0#7� 2022��
�4 121!��#+B$� 2+� 2�%$�0$7�� *#0B+�� �77077� �2+%07#� 20*B��
�4 1*1,��72B#� �$� �2%#<0<2�� 2707$�� BB0B7� B7*02%� �0#$��
�4 1*1���<7$*� 22� �+$7<0�2�� 2%0++�� �77077� �7+20�+� 2077��
�4 1*1!��+2B+� 2B� 22$�70%+�� *B0<+�� �77077� �2+#0*2� 20<2��
�4 1<1,��2<<2� �B� �<B7%02<�� 2*0+B�� �77077� B7B0�2� �0#%��
�4 1<1���#$*�� 2+� 27%%<0B+�� *#07*�� �77077� ��%*07$� 202#��
�4 1<1!�27%*2� *#� 2+�$#0%$�� <%0B7�� �77077� �$7<0+<� 20+#��
$�%��.' ������>�����������
� ��� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ���σ �&� ���σ �� ��� �+*� 2� �+*077� 2077� 7077� 7077� 7077�
�� ��� �+*� *� �B70#7� <02B� %20+7� �<07+� 70%<�
�� ��� 2<$� B� 2#�0<*� B0++� $%077� �+0*2� 70++�
�� 2�� 22+� 2� 22+07�� 2077� 70�7� 702$� 707*��� 2�� 2$B� *� 2%*0+7� *0<B� <B0<7� 2$077� 70$7�
�� 2�� <$+� %� $#702<� �70$7� B$0%7� $70+<� �022�
�� *�� %�� 2� %20<�� 20<B� <%0#7� 202B� 70$7��� *�� %+� *� %B0%7� *0<+� <+027� *0<7� 70$7�
�� *�� �*%� +� �#�0B*� B02$� B*0�7� �$0%%� �0�B��� <�� <77� *� <720��� *02�� 2�0�7� <0�7� 70<2�
�� <�� <�2� <� <�+0�#� <0<2� *+0$7� +0<B� 70$+�
�� <�� <2%� $� <<+0%2� $0BB� +*077� �$0+%� 70+#��� <�� $<�� B� $B<0B#� �70+*� B7027� *20BB� �077�
�� $�� <2*� *� <2%0%$� *0*7� 2B0<7� B0��� 70<#�
�� $�� <<#� <� <$#0B2� <0#+� $%0+7� �70B%� 70#*�
�� $�� <+<� $� <B70*B� $0+$� #�0$7� �<0B$� 70#B�
�� $�� $%�� B� #+$0��� �2072� B%027� <70%%� �02#�
�� #�� 22*� *� 22B0+<� *0<2� <20�7� +0B7� 70<B�
�� #�� 2**� <� 2<<0+B� <0#7� $#0+7� ��07B� 70$#�
�� #�� *�+� �7� *+#0<�� �*0��� B%0#7� 2%02<� �02+�
�� +�� 2+B� *� 2%*0B$� *0*#� *$0$7� #0+<� 70<%��� +�� 2%*� $� 2%<0�7� $0��� ��077� *0�*� 70*��
�� +�� **<� B� *#%0$B� �70%$� %%0*7� 2202%� �0���
�� %�� *%#� *� *%+0�+� *07#� #0$7� <0<2� 702$��� %�� *B$� <� *B#0*+� <0�+� �#0#7� *0$7� 70<7�
�� %�� $2+� B� #�20*%� ��0#B� B#0%7� <70$$� �02*�
�� B�� *2*� *� *2<0*B� *0�$� �<0+7� *0*B� 70*$��� B�� *2#� <� **$0$$� <0%+� #$0%7� %027� 70+#�
�� B�� **2� $� ***0%+� $02�� �B0%7� <07*� 70<*�
�� B�� *B�� �7� <2%0*+� �20$<� B#0�7� �B0B$� �02<�
�� �7�� <2%� *� <2%0%<� *0�2� �2027� 20*+� 70*<�
�� �7�� <*#� <� <<�0#�� <0<7� *B0#7� #0B#� 70<B�
�� �7�� <<#� $� <$$0%#� $0+B� #*0#7� %0$�� 70+7�
�� �7�� $*7� �7� $+*0#2� �20$�� B$0#7� 220$#� �02B�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
2#� � �
APPENDIX 2: DEARMON’S INSTANCES�
�
$�%��#' ����!��''����/�
� ��� �
����
�&� ����
�&� ����
�&� ����
�&� ���σ � �&� ���σ �
4���� **+� #� **+077� #077� 7077� 7077� 7077�
4��2� *$B� +� *$B077� +077� 7077� 7077� 7077�
4��*� 2B#� #� 2B#077� #077� 7077� 7077� 7077�
4��<� *�*� $� *�*077� $077� 7077� 7077� 7077�
4��$� <7B� +� <7B077� +077� 7077� 7077� 7077�
4��#� *2<� #� *2<077� #077� 7077� 7077� 7077�4��+� *$�� #� *$�077� #077� 7077� 7077� 7077�
4��%� *+7� ��� *+�0#$� ��07+� #0%7� #0*<� 702$�
4��B� **�� �2� **�0B*� �207$� <0+7� <0$%� 7022�4���7� 2%*� $� 2%*0��� $07�� 70+7� �0*2� 707%�
4����� <7*� #� <7*077� #077� 7077� 7077� 7077�
4���2� <+%� %� <%702�� %07<� <077� �20�*� 7027�4���*� $<<� +� $<<02*� +07�� �077� 20#7� 70�7�
4���<� �77� $� �7707$� $077� 70$7� 70+�� 707+�
4���$� $%� <� $%077� <077� 70�7� 707#� 707*�
4���#� �2B� #� �2B072� #07�� 70+7� 70*7� 707%�
4���+� B�� #� B�077� #077� 7077� 7077� 7077�
4���%� �#<� $� �#<07*� $077� 70<7� 70$7� 707#�
4���B� #*� <� #*077� <077� 7077� 7077� 7077�
4��27� �2*� $� �2*07$� $077� 70$7� 70+�� 707+�
4��2�� �$%� +� �$%07$� +07�� �027� 70<<� 70���4��22� 272� B� 2720�� B07*� 20+7� 70#�� 70�+�
4��2*� 2*+� �2� 2*+07*� �207�� �077� 702+� 70�7�
�
��
�
$�%�� ' �������������� � �
��� �
����
�&� ����
�&� ����
�&� ����
�&� ���σ � �&� ���σ �
*2*� $� **�0#7� $0+%� #�0#7� %07*� 70+��
*<$� #� *$<0*#� #0%#� ##0%7� %07<� 70+��
2+B� $� 2%B0$$� $0%*� ##077� B02%� 70+7�*�*� $� *�*077� $077� 7077� 7077� 7077�
*B$� #� <7*0%7� #0+B� #<077� +0%*� 70#%�
*�2� $� *2�027� $0%<� #$027� %0�7� 70+��
*2$� $� **B0�7� $0%<� ##0#7� �*0*$� 70#B�
*$%� �2� *#�0B<� �2022� 27077� %0<B� 70<$�
*�+� ��� *2707%� ��0�+� �$0+7� +0#<� 70<7�
2+$� <� 2+%0$%� <0<<� <*0<7� <02+� 70$7�
*B$� $� *B$07#� $07�� 70#7� 70B<� 707%�
<+%� %� <+B0*2� %07*� *077� %0�*� 70�+�$<<� +� $<<022� +07�� �077� 20$2� 70�7�
�77� $� �7707*� $077� 70$7� 70<2� 707+�
$%� <� $%072� <07�� 70B7� 70�B� 707B��2B� #� �2B07*� #07�� 70+7� 70*%� 707%�
B�� #� B�077� #077� 70�7� 707#� 707*�
�#<� $� �#<07*� $077� 70*7� 70$$� 707$�$$� *� $+02�� *0#B� $%0�7� 20##� 70#$�
�2*� $� �2*072� $077� 70$7� 702%� 707+�
�$%� +� �$%072� +07�� �0�7� 702�� 70�7�
272� B� 27207B� B07<� *0B7� 70<#� 70�B�
2*$� ��� 2*$0%*� ��0*B� **0+7� �0*$� 70#7�
�
�
�
�
�
�
�
$�%��9' �������������� ��0 �!� σ+ �
��� �
����
�&� ����
�&� ����
�&� ����
�&� ���σ � �&� ���σ �
**+� #� **+077� #077� 7077� 7077� 7077�
*##� +� *##077� +077� 7077� 7077� 7077�
2B#� #� 2B#077� #077� 7077� 7077� 7077�
*�*� $� *�*077� $077� 7077� 7077� 7077�<7B� +� <7B077� +077� 7077� 7077� 7077�
*2<� #� *2<077� #077� 7077� 7077� 7077�
*$�� #� *$�077� #077� 7077� 7077� 7077�
*%%� �*� *%%0�7� �*077� 70<7� �0$B� 707#�
**$� �2� **$07+� �207�� 70$7� �02*� 707+�2%*� $� 2%*077� $077� 7077� 7077� 7077�
<7*� #� <7*072� #077� 70�7� 70+7� 707*�
$*<� %� $*<077� %07<� <0�7� 7077� 7027�
$$2� %� $$2077� %077� 7077� 7077� 7077�
�72� $� �7207<� $07<� <077� 70$<� 7027�
$%� <� $%077� <077� 7077� 7077� 7077�
�2B� #� �2B077� #077� 7077� 7077� 7077�
B�� $� B�077� $077� 7077� 7077� 7077�
�#<� $� �#<07�� $077� 70�7� 702$� 707*�#*� <� #*077� <077� 7077� 7077� 7077�
�2*� $� �2*077� $077� 7077� 7077� 7077�
�$%� +� �$%07�� +077� 7027� 70*<� 707<�272� B� 272077� B077� 7027� 707B� 707<�
2*%� �2� 2*%07�� �207�� 70B7� 70�$� 707B�
�
�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � 2+�
APPENDIX�2: BELENGUER AND BENAVENT’S INSTANCES
�
$�%��*' ����!��''����/�
�� ��� �
����
�&� ����
�&� ����
�&� ����
�&� ���σ � �&� ���σ �
�� ��� �+*� 2� �+*07� 207� 707� 707� 7077�
�� ��� �+B� <� �+B07� <07� 702� 70#� 707<��� ��� 2#�� �7� 2#�02� �707� �0<� 207� 70�2�
�� 2�� 22+� 2� 22+07� 207� 707� 707� 7077�
�� 2�� 2#2� *� 2#207� *07� 707� 707� 7077��� 2�� <BB� B� $7�0%� B0�� %0%� �70$� 70*7�
�� *�� %�� 2� %�07� 207� 707� 707� 7077��� *�� %B� <� %B07� <07� 702� 702� 707<�
�� *�� �<#� %� �<+07� %0�� $0�� <0$� 702*�
�� <�� <7#� <� <7#07� <07� 707� 707� 7077��� <�� <�%� $� <�%07� $07� 707� 707� 7077�
�� <�� <<%� #� <<%07� #07� 707� 707� 7077�
�� <�� $#$� �7� $#$0$� �707� �07� <0B� 70�7��� $�� <<�� <� <<�07� <07� 707� 707� 7077�
�� $�� <##� $� <##07� $07� 707� 707� 7077�
�� $�� <B+� #� <B+07� #07� 707� 707� 7077�
�� $�� #�+� �7� #�+02� �707� 70%� 20+� 707B�
�� #�� 22*� *� 22*07� *07� 707� 707� 7077�
�� #�� 2<$� $� 2<$07� $07� 70�� 70*� 707*�
�� #�� **+� ��� **+0<� ��07� 20<� 20%� 70�$�
�� +�� 2+B� <� 2+B07� <07� 707� 707� 7077�
�� +�� 2%*� $� 2%*07� $07� 707� 707� 7077��� +�� *$2� �7� *$20�� �707� 70+� �0*� 707%�
�� %�� *B$� <� *B$07� <07� 707� 707� 7077�
�� %�� <7B� $� <7B07� $07� 707� 707� 7077��� %�� $#$� �7� $#$02� �707� 70+� 20<� 707%�
�� B�� *2#� <� *2#07� <07� 707� 707� 7077�
�� B�� **2� $� **207� $07� 707� 707� 7077��� B�� *<7� #� *<707� #07� 707� 707� 7077�
�� B�� <7B� ��� <7B0�� ��07� 70+� �0<� 707%�
�� �7�� <*#� <� <*#07� <07� 707� 707� 7077�
�� �7�� <<#� $� <<#07� $07� 707� 707� 7077�
�� �7�� <$B� #� <$B07� #07� 707� 707� 7077�
�� �7�� $$$� ��� $$$07� ��07� 70�� �07� 707*�
�
�
��
�
$�%��-' �������������� � �
��� � ��� � �&� ��� � �&� ��� � �&� ��� � �&� ���σ � �&� ���σ �
�+*� 2� �+*077� 2077� 7077� 7077� 7077�
�+B� <� �+B07*� <077� 70<7� 70<#� 707#�
2<%� B� 2$2022� B02%� 2$0�7� +0%#� 70$��
22+� 2� 22+077� 2077� 7077� 7077� 7077�2#7� *� 2#70�<� *077� 70*7� 20$2� 707$�
<B�� B� <B<0+�� B07B� %0*7� �20B�� 702B�
%�� 2� %�077� 2077� 7077� 7077� 7077�%+� *� %+07*� *077� 70$7� 70<2� 707+�
�<#� %� �<+072� %07$� $027� <0#+� 7022�
<77� *� <7707<� *077� 70<7� 70#%� 707#�<�2� <� <�207*� <077� 70$7� 70#2� 707+�
<<<� $� <$20<<� $0%2� #*0%7� B0$#� 70+$�
$<B� B� $#+0%%� B0%B� #%0�7� 2$077� 70+$�
<2*� *� <2*07<� *077� 70*7� 70%7� 707$�
<<#� <� <<#07B� <07�� �027� 70BB� 70���
<+<� $� <+#0*$� $02%� 2$0%7� #07+� 70<B�
#7$� B� #7#0+#� B0�7� B027� #0$B� 70*��
22*� *� 22*072� *077� 7027� 70$<� 707<�
2*$� <� 2*#0+$� <0**� *20+7� *0$%� 70<B�**�� �7� ***0%<� �70<<� *%077� <0%#� 70#��
2+B� <� 2+B077� <077� 7077� 7077� 7077�
2%*� $� 2%*072� $077� 70<7� 70*%� 707#�*<2� �7� *<<0B� �7022� 270*7� +0*B� 70<+�
*%#� *� *%#0�%� *072� �0%7� �0*#� 70�*�
*B$� <� *B$0$2� <07$� $0<7� 20<�� 702*�$$%� �7� $$B0�<� �707#� #077� $0#+� 702$�
*2*� *� *2*077� *077� 7077� 7077� 7077�*2#� <� *2#07<� <07�� 70#7� 70$+� 707%�
**2� $� **20�%� $072� 20*7� �02#� 70�$�
<7B� ��� <7B072� ��077� 70�7� 70$�� 707*�<2%� *� <2%07#� *07�� �0<7� 70<+� 70�2�
<*#� <� <*#077� <077� 7077� 7077� 7077�
<<%� $� <<%02*� $07<� *0#7� �0*+� 70�B�
$<�� �7� $<<0+B� �70*#� *70B7� +07*� 70$%�
�
�
�
�
�
�
�
$�%��2' �������������� ��0 �!� σ+ �
��� � ��� � �&� ��� � �&� ��� � �&� ��� � �&� ���σ � �&� ���σ �
�+*� 2� �+*077� 2077� 7077� 7077� 7077�
�+B� <� �+B077� <077� 7077� 7077� 7077�
2#%� �7� 2#%07*� �7077� 7027� 70#7� 707<�
22+� 2� 22+077� 2077� 7077� 7077� 7077�
2#7� *� 2#7077� *077� 7077� 7077� 7077�$#%� �7� $#%077� �7077� 7077� 7077� 7077�
%�� 2� %�077� 2077� 7077� 7077� 7077�
%+� *� %+072� *077� 70*7� 70*#� 707$��#2� B� �#207B� B077� 70<7� �0*B� 707#�
<77� *� <77077� *077� 7077� 7077� 7077�
<22� <� <2207*� <077� 70*7� 70#*� 707$�<$<� #� <$<07+� #077� 70*7� �0<7� 707$�
$+<� �7� $+#0<�� �702�� 270*7� %07<� 70<2�
<2%� *� <2%077� *077� 7077� 7077� 7077�
<$7� <� <$702<� <02�� 2�0$7� �0%<� 70<��
<B$� #� <B$077� #077� 7077� 7077� 7077�
#*�� �7� #*�0��� �7077� 70*7� 207+� 707$�
22*� *� 22*077� *077� 7077� 7077� 7077�
2<$� $� 2<$077� $077� 7077� 7077� 7077�
*<+� �2� *<+0�<� �2077� 70<7� 202#� 707#�2+B� <� 2+B077� <077� 7077� 7077� 7077�
2%*� $� 2%*077� $077� 7077� 7077� 7077�
*$2� �7� *$207*� �7077� 70*7� 70$$� 707$�*B2� *� *B20�B� *0*�� *�0*7� �022� 70<#�
<7B� $� <7B07%� $077� 70*7� �0<#� 707$�
$%*� ��� $%*07<� ��077� 70�7� �0**� 707*�*2*� *� *2*077� *077� 7077� 7077� 7077�
**2� $� **2077� $077� 7077� 7077� 7077�
*<7� #� *<7077� #077� 7077� 7077� 7077�
<2�� ��� <2�07#� ��077� 70<7� 70B2� 707#�
<2%� *� <2%072� *077� 7027� 70<#� 707<�
<*#� <� <*#077� <077� 7077� 7077� 7077�
<$B� #� <$B077� #077� 7077� 7077� 7077�
$#2� ��� $#2077� ��077� 7077� 7077� 7077�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
2%� � �
APPENDIX 3: EGLESE’S INSTANCES�
�
$�%��!�' ����!��''����/�
�
��� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ����
�&� ���� &� ����
�4 1��1,� *%2$� #� *%**0*�� #07�� �0$7� #%0*#� 70�2�
�4 1��1�� <%7$� %� <%220+B� %07<� <0<7� %$02$� 702��
�4 1��1!� #�#�� ��� #2�B0$%� ��0��� �70+7� �%#02B� 70*2�
�4 1�21,� $<�%� %� $<*70B<� %07*� 20#7� %*0%*� 70�#�
�4 1�21�� #+B�� ��� #%7B0�$� ��07<� <0*7� B7027� 7027�
�4 1�21!� B*#B� �#� B<#+07+� �#02� �%0+7� 22*0B7� 70<<�
�4 1�*1,� #*$$� B� #*#�0*�� B07�� �0*7� $%0BB� 70�*�
�4 1�*1�� %$B7� �*� %#$*0$*� �*0�<� �*0+7� �#+027� 70*+�
�4 1�*1!� ��<�2� �B� ��<%%0#2� �B0�+� �#077� �%+02+� 70<7�
�4 1�<1,� #B%B� �7� #BB%0*#� �7072� �0%7� +70#�� 70�*�
�4 1�<1�� B+B�� �#� B%#�022� �#0�$� �<0�7� �B�0#2� 70*+�
�4 1�<1!� �2%#<� 22� �*7*+0#%� 220*$� *7077� *7B0%7� 70#7�
�4 1�1,� $$72� %� $$��0�#� %072� 20<7� +20*+� 70�$�
�4 1�1�� #B�*� ��� #B*<07�� ��07$� <0#7� �720+�� 702��
�4 1�1!� B*�%� �#� B*$7022� �#07#� $0*7� �<#0+$� 702<�
�4 121,� �7B2+� �#� �7B*<0##� �#07�� �0<7� #$0+2� 70�2�
�4 121�� �<##7� 2*� �<+*%0#%� 2*0�2� ��0*7� 2*70$B� 70**�
�4 121!� �%2*%� *7� �%$�*0+� *70$�� <�0B7� <7#0#2� 70#%�
�4 1*1,� ���<B� �#� ���#20B<� �#07*� 20+7� B70<2� 70�#�
�4 1*1�� �$�<7� 2<� �$2��02#� 2<0�B� �#0B7� �%%0<$� 70<*�
�4 1*1!� �B7+#� *2� �B*�707+� *20$<� <20$7� *#B0*+� 70+��
�4 1<1,� �*<��� 2�� �*<*+0+#� 2�07$� $0<7� �2<07�� 702*�
�4 1<1�� �%��+� *7� �%27*02<� *7027� �+0+7� 2�20�<� 70<$�
�4 1<1!� 22%2+� <7� 2*7++0%*� <70$�� <70*7� *B202�� 70+��
�
�
$�%��!!' �������������� � �
��� ��� �&� ��� �&� ��� � �&� ��� �&� ���� �&� ����
*$#%� $� *#BB0*B� $0B�� ##0�7� �%*027� 70%��
<#$B� %� <+$20<*� %0*B� *<0+7� �<B0<2� 70$+�
#7<*� ��� #�*#0+B� ��0#�� $*027� �%<027� 70#*�
$�$2� +� $*$<0�2� %0�#� +$027� 22707<� 70B��
#$<�� ��� #+�B0%2� ��0%*� #<0�7� 2#%022� 70+$�
%+B<� �$� B�*<0*+� �$0+7� $*077� <7#0*�� 70+%�
#*%*� B� #*%*0�B� B077� 70*7� *0$7� 707$�
%*$+� �*� %+2#0#<� �*0$B� $*027� *#B0+2� 70#��
��<�%� �B� ��<%�0��� �B0�<� �*077� �+20B2� 70*+�
#%##� �7� #BB$0<2� �70##� $<0+7� �B20*2� 70#+�
B+*�� �$� B%<+0B2� �$0+%� $B077� �%+0<2� 70++�
�2+�+� 2�� �*�<$0<B� 220#�� %#027� *BB0#B� �07#�
$�#7� +� $**+0*<� +0#$� $70�7� 22<0+7� 70+<�
#+2#� �7� #B�20%#� �70BB� #$0*7� 2+B0�7� 70B2�
B7<<� �$� B<7*0#7� �$0++� $B027� <<�02+� 70++�
�7$7#� �$� �7#<#0*B� �$0*<� 2B0%7� 2<*07*� 70$+�
�<7#<� 22� �<*+$0+#� 220#<� <B0#7� <**0*+� 70+#�
�++*#� 2B� �%<#%0+#� *70%B� %%0<7� #220+#� �02*�
�7%+#� �$� ���7$0�#� �#0<*� %�0%7� 2$%0��� �077�
�<%$%� 2*� �$<<B02<� 2<0B<� B70#7� <#%02$� �0�%�
�%$%B� *�� �B*<B0+�� **0*B� B<0+7� $2%0$<� �02$�
�*<�%� 27� �*#<20$+� 270#2� <+0+7� *2*0$B� 70+$�
�+$7<� 2B� �%��20+�� *70$7� %<0#7� #��0$7� �07$�
22277� *%� 2**B<0%B� <70%%� B$0B7� +%%0B7� �0$%�
�
�
�
$�%��!"' �������������� ��0 �!� σ+ �
��� ��� �&� ��� �&� ��� � �&� ��� �&� ���� �&� ����
<7*#� #� <7*#077� #077� 7077� 7077� 7077�
<B*�� %� <B*20+7� %07�� 70+7� 2#0#�� 707%�
+72B� �2� +7*70%%� �207�� 70$7� 2%0#%� 707+�
$#2%� %� $#2B07%� %077� 70*7� �B0+<� 707$�
++�B� �2� ++270�7� �2077� 7027� 2<0<%� 707<�
�7$*<� �%� �7$*<0$#� �%077� 70�7� �+0+#� 707*�
##2$� B� ##2+0��� B07�� 70$7� *70�+� 707+�
�72#2� �$� �72#<0*7� �$07�� 70$7� *20+�� 707+�
�27#7� 27� �27##0*B� 2707�� �0<7� $<0$�� 70�2�
++$<� ��� ++$#0$<� ��077� 70<7� <�0$%� 707#�
���#<� �+� ���#%0<�� �+072� �0$7� <<02%� 70�2�
�$<2#� 2$� �$<2+0B+� 2$07�� �077� 2%02�� 70�7�
#*27� B� #*270$+� B077� 70�7� �%07%� 707*�
%�7B� ��� %��*0$<� ��0*+� *+0�7� *<0*+� 70<B�
�7B$+� �+� �7B$+0#�� �+077� 70$7� B0<B� 707+�
��2%B� �$� ��*B70+%� �#0*2� %*0B7� �<#02�� 70%<�
�+*+#� 2$� �+<7*0�%� 2$0$*� $�077� <�0#$� 70$<�
2�<�2� *2� 2�$7+0**� *20$$� <B0+7� �#70*<� 70#7�
�2�7+� �+� �2��%0#7� �+07#� #0�7� #B0B$� 702#�
�%+7%� 2+� �%+�+0#�� 2+072� 20�7� +<0*2� 70�<�
22%7*� *#� 22%<+0$%� *#0�*� �20B7� �*B0*+� 70*#�
�<*$$� 2�� �<<**0%�� 2�0B%� +�0#7� ��+0%7� 70+%�
2�<2�� **� 2�$7*0#+� **0*%� *#077� �%B0$*� 70$*�
2+�#%� <*� 2+22#0B$� <*0$�� <%077� �2<0BB� 70$$�
�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � 2B�
APPENDIX 4: COMPUTATIONAL TIME
$�%��!.' !��'������ �������������������?�,�������������
� ��������������� � �� ��������������� σ0!� + ��
� 3�� �3���� 3��������� 3�� �3���� 3���������
4���� #�07% %0%< <B0%< 70$#
4��2� #*0�* <0$B +$0** #0+*
4��*� $$0$# *0<< $+0+# �02
4��<� <<02* <70%� $70+$ <07$
4��$� #20*B *0#� #B0++ 20$%
4��#� $<0B2 +07% $B0*B 702
4��+� $*07% 70%* $<07% ��0+
4��%� �2* B702# �*70#� +<0%
4��B� �*+02$ <%0*+ �$B0#< �$B0*#
4���7� $<02# #0* $<0#+ 207*4����� ��#0$$ B0*# ��<0+$ <0##
4���2� $#0+$ 2�0%� #$0*B 70<+
4���*� #70B2 <�072 ##0<2 �<0$B4���<� <B0+2 *0B+ $70#B 2B07*
4���$� #%072 70�2 $%0$# 70$2
4���#� #707% �0#< +*0+ #0%�4���+� ##0B+ 70�2 +20* 70**
4���%� %�0#< 202* %#0%< 702%
4���B� *+0%% 707B *20$� 7072
4��27� <%0�2 �0$* $+07# �0<<
4��2�� +�0$$ �0%< B#0** �<0#24��22� �7%0<< 2$022 ��$ %#0<%
4��2*� �2B0%� B207$ �$*0+% �$20<�
,�40� +20<� �%07$ +%0<B 2<0BB
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
�
*7� � �
$�%��!#' !��'������ ��������������������� ��4������������������������
� ��������������� � �� ��������������� σ0!� + ��
� 3�� �3���� 3��������� 3�� �3���� 3���������
�� ��� 707$ 707* 707* 707*
�� ��� �770*# �02 ��70B2 702$�� ��� B$0+ *70$B �*702$ �702*
�� 2�� B202$ 70** BB0*B 702
�� 2�� %<0+$ 70+ B20*B 2#07*
�� 2�� %+0+% B0B2 ��%0$� �+0B%
�� *�� BB0% 70�B �7*02+ 702
�� *�� B*0�# *0<% �7�0%B �20+$
�� *�� %*0$2 $�0$# B�0*� �0#2
�� <�� 2#*0$B B0% 2#<0$* B02
�� <�� 2*<0<� +0## 2+�0** �*0*<�� <�� 22+0B+ %�0B� 2$+0B+ �$*0%*
�� <�� 22�0%B �#+0## 2<*07# 2+0*�
�� $�� 2*<0%B �< 2<202% �$0$%�� $�� 2<#0�+ $70%% 22+0%+ ��<07%
�� $�� 2�<0*� B�0B% 27+0$B #�0*#
�� $�� 2�$0+* %<0$$ 2�+0B2 �7<07*�� #�� �$+0%* +0%# �#20+ 70#2
�� #�� �<202+ �<0$% �<202% �0B<�� #�� �<*0#< ��#0#B �$$0B$ +0�*
�� +�� 22%0<2 20** 2<70�# $#07$
�� +�� 2�$0$* 20$# 22#02+ 20�B�� +�� �++0B� �++0<� �B+0<2 B%0�<
�� %�� 22%0�2 *%02 2220B% 27$07$
�� %�� 2�70B% 220#� 2�B0B$ �#0B$
�� %�� �#$0+ #20B+ 27%0* *70#*
�� B�� $<707% %702* $270$$ 2#$0$#
�� B�� <<<0$$ *%B0++ <*#022 $0*<
�� B�� <#<0#B #<0<2 *B%0+* 2<0�*
�� B�� *<%0++ �<B0*� *%70*B �+#
�� �7�� $%*07# $%07* $%20*# �<B0##�� �7�� <<<0B� 2#+0#B <+B02* *<0$#
�� �7�� <��0#� #<0** <+#07$ 2*022
�� �7�� *%B0$$ �B$0B� *B%0*# *#�0$2
,�40� 2%B0$7 B$0B� 2B+0$B %<0�*
�
�
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*
� � � *��
�
$�%��! ' !��'������ �������������������64 �����������
� ��������������� � �� ��������������� σ0!� + ��
� 3�� �3���� 3��������� 3�� �3���� 3���������
�4 1��1,� 2270*+ �7#07� �#%0*< �#$02+
�4 1��1�� �#%0*# �<+0%* �<202% %0<%
�4 1��1!� �#<0%* �*B0## �%707* �2%0B+�4 1�21,� 2#70%< B#0+ 2**0<� 2�20B+
�4 1�21�� 2B70B2 2+#0%* *+70+$ �%�0B�
�4 1�21!� 2%<0%� 2<+0+$ 2#<0% ��#0B<
�4 1�*1,� **%0#+ $$07B *$+02+ 2$+0++
�4 1�*1�� <<�0$* <<�0*< $%+072 #$02$
�4 1�*1!� *++0% *$�0<$ $+70*< �%+0**
�4 1�<1,� $*+0�� $*#0<% <<B02* �2�0*<
�4 1�<1�� $7*02* $770�+ <##0% *�B0$$
�4 1�<1!� <7%0<+ *220+< $#*07$ 2+0%B�4 1�1,� *<+0+# *7$0�* *2%0+* 22$07$
�4 1�1�� *7�02 �%B0$% *%#0%* B%0$%
�4 1�1!� *��07* �2+072 2B#07# 2��0B2�4 121,� ��**0<$ B7702% ��%B0�� +%�0#B
�4 121�� B#20+# %2%0+ B%+0*� B7%0<<
�4 121!� �<2$0%� <��0+ B*<0<2 +2<0%B�4 1*1,� ��+#0** #%707B �7�%0$B %270B�
�4 1*1�� B7#0%< %<20%B �2270%< ��$B0�+
�4 1*1!� ����0+2 $7�0B� �7#70�� �7<+0$B
�4 1<1,� �<#20<< �2*<0%# �*B%0$B $%$0�#
�4 1<1�� �<%B0%% �2%B02 *<#+0$ 2+2+0B��4 1<1!� �#%$02$ �$*+07$ �+270*# �**�0B2
,�40� #BB0#� $270�B +B�072 $*20#%
�
�