stochastic capacitated arc routing problem - …

31
STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM* !" #$%& !’ !() & #*++ , !) -. /01’0 2 !" #$%& !’ !() & #*++ , !) . ’00 * 3/4 3-& 33’ 56 !" 2+*2 2& !& 27#7& 51777 3- !)5 ’. 0 STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM 2 * !" ’ 277$

Upload: others

Post on 20-Jun-2022

9 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

������������ �������� �

����������������������������������� �!" ��#�$%&��

!��'�����!�(���)&�#*�++�,�������!���)�

� ���-.��/0����1�'� �����0���

2����������� �������� �

����������������������������������� �!" ��#�$%&��

!��'�����!�(���)&�#*�++�,�������!���)�

' ������.'0����0���

*�������������3��/�� �4������3��-�&��

��3�3������'�������5 6�!" ��2+*2�

�2&� ���������!����&����27#7&�51�77�7�3��-��!���)��5�������

'���.�0���

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM

�������������

�� �����������2��������������������

*�

���� ������������������ �!"��

��'������277$�

Page 2: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

2� � �

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

GÉRARD FLEURY

� �������� ��������-&�,'' ������/��������������-���� �!" ��##27�&�#*�++�,���8����5�������

PHILIPPE LACOMME

� �������� ��������-&�!��'��������������������-���� �!" ��#�$%�&�#*�++�,���8����5�������

CHRISTIAN PRINS

�������-����3��-�&�!��'��������������������-&��2����������1!����&��77�7�3��-���5�������

9�:�/������ ��������)������������������/������ ��:��

5 ���-�;0����������0&������!0&�6�� ������-�, 4���/���������/����,��� ����4����� ��0���������"!�0����":�*1$<712�*+%1*0�'0�$7��=�$�20&�"��#0��

Page 3: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � *�

$�%���&� �������

�� ����������� ���������������������������������������������������������������������

!'!� ��� ����� ��(����&�������))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))*�

!'"� �����+�������&��������,����������������� ����� ��(��))))))))))))))))))))))))))))))))))-�

!'.� �������������� ����� ������/ ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))-�

�� ��� �����������������������������������������������������������������������������

"'!� ����0��1���������))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))2�

"'"� � ��������3��������� ��/����������/����� ������)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))2�

"'.� ����������3����������+����������)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!��20*0�� 3-'��� ��/�����������������/�������������(������������/������������ >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�7�20*02� ?!, �� ��@�����/���!, � >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>���20*0*� ��/������ ���� -� >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>���20*0<� A-�����;������, 4���/������/���!, � >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�$�

�� ���������������������������������������������������������������������������������

.'!� 4��� ���5������)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!*�*0�0�� ������������������4�/���'��������'/��>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�+�*0�02� ������������������4�/����' �������'/�� >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�+�*0�0*� "�����>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�+�

.'"� ����������� �))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!*�

.'.� ������������ � )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!-�

.'#� �� ������� � ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!2�

*0<0�� �������������� � >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�B�

*0<02� �������������� �� σ0�7+ >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>�B�

.' � ���������6�������&����.������� ���&���7/��8�������� �)))))))))))))))))))))))))))))))"!�

.'9� 7&&� �� ���&������������ ���5���������&������:(����8�������� �))))))))))))))))))))))"!�

.'*� ���������������� )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))""�

!� ������"�����������"��������"���������������������������������������������������

Page 4: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

<� � �

���5��&�&�/���

5�;� 6��0�,�����3��"�5� �3A6�?!, �0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000%�5�;� 6�20�3A6��,�6�����3��"�5� �3A6��!, �000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000%�5�;� 6�*0�� �"!���6��5�3A6��!, �� 6����3��"��3A6�6C,��,3��"��, 3�!,"��6�!,"!6��6?�0000000000000000000000000000000000000000000000000B�5�;� 6�<0���3��"6��5�,��,��!��36 ,3�C6��6, !A�� �!6���5� �,��3�!A,�3�!�5�"!3��"���"���D,3��"000000000000000000000000000000000�7�5�;� 6�$0�;6"63�!�,�;� �3A����3��"60000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000�#�

���5��&���%���

3,��6��0�3A6�?�556 6"3�,�� �,!A6��E�3A�3A6���F6!3�C6�5�"!3��"00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000���3,��6�20�?!, ����"G6?�3��3A6��!, � 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000���3,��6�*0� ����3"6����5�����3��"���������,�� �,!A�000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000�%�3,��6�<0� ����3"6����5�����3��"��������,�� �,!A�000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000�%�

3,��6�$0� ����3"6����5�����3��"�����"���D,3��"��5� � � 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000�B�

3,��6�#0� ����3"6����5�����3��"�����"���D,3��"��5� ��0�7 �� σ+ � 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000027�

3,��6�+0�6;�6�6H���"�3,"!6��,"?�3A6�3E��,�� �,!A6� 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002��

3,��6�%0��6 5� �,"!6���5�3A6��,3A6�,3�!,��6I� 6����"��"�3A6��,E �,�� �,!A���"���D�";�� 00000000000000000000000000000000000022�

3,��6�B0��6 5� �,"!6���5�3A6��,3A6�,3�!,��6I� 6����"��"�3A6��,E �,�� �,!A���"���D�";� �� σ0�7+ 0000000000000000000000022�

3,��6��70�,C6 ,;6�!����3,3��"�3��6���"��6!�"?�� 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002*�

Page 5: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � $�

���5�

(�

,�� -�&�+&��7&���&��2&��+&��%&�2*�

,��&��&�2&�#&�+&�B&��2&��$&��#&�2*&�2<�

,����4�&�+&�B&��2&��*&��+&��%&��B&�27&�2�&�2*&�2<�

��

!/�������&��$&��#&��+�

! ���&��#�

!�&�#&�+&�%&�B&���&��2&��*&��<&��$&��#&��+&��%&��B&�27&�2�&�2*�

!������&�#&�B&��7&��*&��<&��$&��#&��+&��%&��B&�2*�

!������&��$&��#�

:�

?�'�&�#&�+&�%&���&��2&��*&��<&��$�

7�

6�4�&�#&�+&�%&��2&��$&��#�

6)'������&���&��+&�2��

;�

A;,&�+&�%&��$&��#&��+&�2*�

4�

"���&�#&�+&�%&��2&��*&��<�

��

������� �-&�B&��7&��2&��*&��<&��#&��B�

��

�� &�#&��#&��+&��%&��B&�27&�2�&�22&�2*�

�����&�#&�+&�B&��7&��2&��*&��$&��%&��B&�27&�2�&�2*&�2<�

��

�������-&�+�

��������&�#&�+&�%&��2&�2*�

$�

��'&�#&�+&�%&�B&���&��2&��*&��<&��$&��#&��%&��B&�27�

<�

C������ �-&��7&��2&��%&��B&�27�

C�������&�%&��2&��*�

Page 6: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

#� � �

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM

GÉRARD FLEURY

� �������� ��������-&�,'' ������/��������������-���� �!" ��##27�&��

#*�++�,���8����5�������

PHILIPPE LACOMME

� �������� ��������-&�!��'��������������������-���� �!" ��#�$%�&��

#*�++�,���8����5�������

CHRISTIAN PRINS

�������-����3��-�&�������������������3��/�� �4������ H��������������3��-�&��

�2����������1!����&��77�7�3��-���5�������

3/�� '�'��� ��� � J�/� /�� ���/���� !�'������� ,��� ����4� ���� ��� ��!, ��&� �������� �-� �������(��4�

����������� /������ ��� /��!, �0��'���(�����'��� ������� /���!, �������/�������(����-���������/�����������

J�/���@��J��4�/������ �����������0�5������ 1 ����'��� ��&�������'�������������� �������������������������

���/���������� ���� �������������/��������������/����������0�6�������������� ��������������������������

��'������ ���� -�����������/�� ����/����'������0�?��������������������'��'���������� �/���!, ���������������

�����'������4������� 4���/���'���(��4���/�������������������'�������0�3/����/���������/���@������/��J� 1

@��J���������'��'�����-�?�,����&�64 ��������� ��4���0�3/����� �'���������'��� ���������������� �����

J�/�����-��4���������� ��4��������/��� �������0�3/��� �J������4��������� ����'��� ������ ����4�������� �

4�� ������������� ��@�����������������/����������������� ����0�

/�� �������� ��� /�� '�'��� �� /�� ��� �����

���������� ���� ������� ��������� ��!, ���

J/��/� ���� �)������ ��� /�� ���������� ����

������� �������� �!, ��0� 3/�� !, �� �� �� ����������

'��� ��� ���������� �-� ;� ���� ���� E ��4� ��B%��� ����

��������������������������J��@� �&� ��� = �J/������ ����

���������������� � �������� � ���4�0�,�� ��������/�� ��

�����4�������'���-� � ������� �������'�� �������4��/���

������ � 0�,����� � � ��� � �����������4����� ��!��������

���������-�������/�� �0�,�-���4���������������������� �

����������/���4�� �&� "� �/����'��������� 7>�"� �������

�����4����� ��4�� ������� 7≥�"# � ������ �)������4� /��

��'���-� ����/����/�� �:� #�" ≤≤7 $�3/��!, �������

������������4���/�� ����'���������� ��� ������������4�

/����'�������������/�/�����/������������4����0�0�J�/���

'������������� 7>�"# �������������-��)�� -�������/�� �0�

3/������������'���/��������/��������������������4��

����������������������������4�'�/0�3/���'' ����������

!, �� ����� ��� ��� �� J���� ���4�� ��� '������ � �����4�

'��� ��� ��� ����4:�������J��� �� �����&� ��J�' �J��4&�

J��'��4� ���� 4����40� 3/�� ���������� ��J��@� '����� ��

��@ ����/�������������J/��/���������������������4�����

������ � ���� ��� ��-� ��������0� ���4� �� �������� ��J��@&�

���/������������� ������������������������/�������J�/�

�� ��)��� ��������� ���� ������0� ��� �� ���� /�� �����������

��J���������4�� �&� "� �������'��������''�������� �&� "� �����

�&� �" �����������J��@:�������'����������&����/����������

����� �������� �'���� -0���/� /�������������� ����������

!, �� �� "�1/���0� 5��/������� /�� ����1��/�� �� �����4�

'��� ��������������������������������"�1/���0�

��� ��� � ���� '��� ��� �������J��� �� ���������� �)��' ��&�

/�� ������� ���� ��� ��� �)�� -� ���������� ������� /�� ��'�

����' �����0�3/����������������� ����-�������������� �&�

�0�0� /�� '������ ����� 7>�"# ���� ��' ����� �-� '������

������� ������ �� 7>�" 0� 3/�� ����� ����������� !, ��

�?!, ������������-�����4��-��/��������������/����

'��� ��� ��!, ��0� 3/�� '��� ��� �� �� ����� � ����� � �

�)'�������'�������J� ��/����4��� �J���������'�����4���

3�

Page 7: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � +�

��� �����J/��������4� ���� ��������� ��� ������� ���� ��

�����������0��

3������@��J ��4�&�5 ���-�����$��2772�&�5 ���-�����$��277<��

5 ���-� �� ��$� �277$�� ��'��� /�� �� -� '������� '�� �/���

J��@� ��� /�� �!, �0� ,� /������� ���4-� ����� ��� ��

A-����� ;������ , 4���/�� �A;,�� �� ��' ������� ��

��'�����/������������� ����0�A�J�����/�-�'��'���

��������-���� -������ ����������������4�'��� ������

����'���(���������/����4-�����'�����������:�/�-�

�� -� � ��� �� �����(���?!, �� ��� /�� ��� �����'����0�

3/��'��'������/��'�'�������'�������/������������� -�

� ��� �!, �&� ���������4� /�4/1��� �-� � ����� ��

��4����/������������������������ �������0�3/��������

A-����� ;������ , 4���/�� �A;,�� /�� ����� �����4����

�������/��A;,��'��'�������������������$��277����/��

����� '������ �� ��� �� ���-� �����������/������� /��?!, ��

'�������4� �'��� � ��� ���� -� �'��� � � ����� J�/� ��

������� ��������������'������ ����0�

3/��������/��'�'�������4���(������� �J0�5��&��!, ��

'��� �����������������������/������ ���-���'��������

������ /-'�/��� ��� ������� ���� ��/�� �� ����4�����

�� �0� ,� 4����� � �����J��@� ���'���� ��� J�� '/��� ����

�'���(�����'/�����������' �������'/������'��'���0�3/��

@�-����'�������/�������J��@���������/���'���(�����

'/��� ����� ��� /�� 4������ � 4���/�� ���� ���������� �-�

��������� �� ��$&� 277��� ���� /�� ��/������ � ����� �0�

5��� -&� /�� ������� ��� /�� � ����� �������� �-� /��

'��'�����''����/������ ��������/�������������/���@�

����� �������0�

1 STOCHASTIC CARP

1.1 Stochastic CARP definition

,��!, ��'��� �������� �������?!, ��'��� ��&��)��'�

/�� '������ ������� �"# � /��� ������� '������ �������

������ �� �" 0�3����-��!, ��'��� ��&������������������

?!, �� '��� ��&� J/���� /�� ��/���� ������� �" � ����

��' ����� �-� /���� �)'������� �"�" # = 0� 3�� ������ ��-�

����4��-� J�� �� � K��/���L� ��� � ����� �'' ���� �� /��

�!, �� ���� K����������L� ��� � ����� �'' ���� �� ��

��������?!, �0�3/����M���������/��?!, ����������

���������4����������'��� ��������������� ��������/��

��M������ � ���4� /�� �!, �� ����� ��� ���������4� ��

����� �� ��� ��'� ��� ����� � �����0� � ����� ��� /��

���������� ��� F����� �277��&� ����� � ����� ���� � �����

�)'����� �� '������� J� � ����� ��������� ��� �������� ��

�� ��0���������:�

%� � /���������������� �� ����0�

� � � ��� ��������/��!, ����������������'�0�

� � /�����������'���-����/����/�� �����0��

�"� �� /���������������������/����4��&�'"(�& 7≥�"� (0�

�"# � /�������������������������4��&�'"(�� #�" ≤≤7 �0��

�" � /���������������������4��&�'"(�� �" ≤≤7 ���������

7>�"# �/��� 7>�" 0�

&�(� /�������������������������'���� � 0�

�&�(� /���������������������'���� � 0�

���� � /�������4��������������'���� � 0�

"� �� /�� ��'� " � ��� /�� � ����� ������� �������� ���

�����������4�&���4�����4����������4�����0��

& � (� /���������������������� ����� � 0�

�& � (� /��������������� ������4�/�������� � ��������/��

����������-���4�������-����/���/�� �&�J�/&�������&�

�)�����'���/����'������N�0�

���� �/�������4�������� � 0�

��� �� �������� �� ������������� � ����0� ��� /�� �������

������� �������� �-� �� ��'� ������� �� ��'����� /���

�)'����&�/���������������-&���&����/����/�� ���)/���

����'���-��������/���������/����'&������������������

����� �� ������� '������ ��� /�� ��J��@� �� /�� ��'�� �����

���� �� ������ �� /�� '������ �� ���' ��� /�� ��'� ����� -�

' �����0� ���/� �'������� ������ ��� �)��� ��'� ���� ��' -� ��

�'��� -� /�4��� ��������4� ��� /�� �� � ��0� ���/� �����

������ ��� ���-� �'' ������� �@�� J��� �� �����0� !� ��4�

���/��� ��/�� ����-� ��� ��'��� ������ ����� � �����:� /��

������� ���� ��� ������� /�� �� ��4��� ���� �� /�� ��@� ���

������������� -��&� /�� �/��� ������� ���� ��� �����

�������� � ��'�����'������������'��� � &� /��������� �� /��

�� -�����@��J��4�/������&���������0�3/�������&�������-�

� ����� � &�����/�� ���� � �� ≥ 0��

������������&������)��' �&���?!, ���������J�/��� -�B�

�@&�*���/�� ��J�/� �O�<���������������� ������������/�

Page 8: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

%� � �

�@0�,������� �����J�/����������������������O��77�

���� *� ��'� ���4������0� 3/�� �� � ���� �����/�� �� �&2&*� ����

��'����� -� ���� � �� *� ��������� �@� +&%&B�&� 2� ��@� �&2��

����<���@�*&<&$&#�0��

2

*

<

$#

+

%

B

�� �����J�/�*���'

�� ��������:��77 �

��/��!'�(���������&������:�(���

������ ����� ��������4� ��� '���������-� ������ �������

������0�,����/��������@�<&���/�� �� �������������*0$�

���� /�� ���� � ������� ���� �@� $� ���� #� ������� �02�

�����0<0�

��������/�� ���������:�27

�� ��������/�� ���������:��7

2

*

<

$#

+

%

B

�� �����J�/�<���'

�� ��������:��2$

�� ��������/�� ������

���:�$

��/��"'�$��������������&��������(���

�������/����/�� �����������������@�$&���������������

�������'���������������@�<����/����'����������������

���@���/����4�����4���������/���@�$������' �������'�

���4����2�0�3/����'�����������J���������������� ���'0�?���

�� /�� ��'��������� ����&� /�� � ����� ��� �������

�2$�&� =ω�� �J/��� �77�� =� 0�,�������/�� <�&� =ω�� �

J/���&�(O*0�

1.2 Modelization of random quantities in the

Stochastic CARP

�������������� �" �������� ����������4�� �&� "� ��� �J�

;������ �J0�������-� '������ � �'' ������&� /�� �������

��� ���/� ��4�� �� /�� ��� ��� �� ��4�� ������� ��� � ������-�

������&� ���� ������� J��� ��������� ��� ' ���� ��4� ���

������'� �J����� �����0���&�J/������/�������������

/�� ��� � ��� �� ��4�� ������ ��� �� &� ����'������ ������

�������/����4�������������������������&� /������� � ����

/������ �'' ��� ���� /�� ������������������ ��� �������� -�

���� ��� �-� ;������ ������� ������ �� �&�2�"�"#) σ � J�/�

J�� ��������:� �� ������� ��� ��� '������ ���� ���� ���

�)����� /�� ��'���-� � ��� /�� ��/�� �0� A����&� �"� ��

����������������/��������� ��������������������'��������

0����/�������������-�������J/����� �������� ���������0��

1.3 Literature on stochastic routing

3/�� �������������/������/�� �� �����4����������� ���

/�� ��/�� �� �����4� '��� ��� ��� ����&� J�/� �������

������� ���P��� ������� ����/���� C�/�� �� ����4�

���� ���&� ��� ���� ������� ;�������� �� ��$� ��BB#��� ���� ��

�����J&� ���� ��'���� ���� �������)� ��BBB�&� C��J��M� �� � �

�277��������������� �����������0�

3/���� ���� J������� �''����/������ �������� � ���4� ��� /��

��/���� '��� ��0� ��� !/����� !��������� ���4������4�

�!!��&� ���� �������� ���� ������� J�/� 4�����

'������ ���0� ��� ���/���� ���4������4� J�/� �������

��� �&���'�� ������-�� ����������'����J�/���@��J��4�

/�� ��� �(��������/��������������� �0�����&� ������������

������ ���������� �� �'' ���� J/��� �� �������� �� ��� ���0�

3/��������� ������''����/��������������/���4 ��'��

/������� ��/��� ���� �������� ��/��� ����� ����/� ����

�)��' ��0�

,�4��������������'�'������ �J�/�/�����/����C ��J�/�

��/���� ������� ���P��� ������� ���� ��'������ ���� ����

�)��' �� �������� �� ��$&� ��BB#�&� ��'���� �� ��$&� �2772�&�

�-�����������J� ���BB#��0�3��/������������@��J ��4�&�

���'�'���/�������'�� �/�������/���!, �0�����!, ��

�'' �������� ����������'�� ������-�� ����:�����������&�

��� ������ J��� �� �����&� /�� �� ����4� ��-� ��� /�� J��@�

��� ��� ���������� ��� �������� �� /�� '�'� ����0�

3/������� -&����!, ����� ����������������������C ��

���� � ���� ���� �� 0�������&� ���� A;,����� /�� !, ��J��

���4���� ���� ��4�� ������� ��B7� ���� �������� ����

�)������ �@�� ���������� ���� ���� ��)��� 4��'/0� 3/��

���������� ���� ��C �� �������� /�� '��� ��� �(�� ��� ��/�

��������:� �040&� ���/� �������� ��� ��' ������-� <� �������� �

����� �� /��� ������������ ���� '��'�� -0������� /�� ��4��

'��� ���� ���������� �/��+7�������&��� �����������

�����4��0� ���� ���� ���� ���� ���-� '������4� J��@�

��/������ ��� '��� ��� � ��� �� /�� C �0� ���� ���� �)��' ��

�J�/���������'���������BBB������/����J��@����/����4 �1

��/�� �� '��@1�'� ���� �� ����-� '��� ��&� ;�������� �� ��$�

Page 9: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � B�

��BB#��������� ��������/��)'���������������/��C ������

!/���4� ���� ��J� � ��BB#�� ���� �� ��-� ��� /�� �)'�����

�������� �������� ����� ��� �������� �����)�

�''��)������0�

������ '��� ��� ��� ������ ��� ���� �����4� ���� ��4�� �� ��

������� /�� ���4�� ��� ��������/������� �� '������40�

��� 5 ���-� �� ��$� �277��� ���� ������&� �� ��/����

���/������� �� '��'���� �� �'���(�� �� ������� ������ ��

J�/��� ��-� ��������� ���'���� ��� �� '������ �-�

���������0� ���� 4������ � 4���/�� /���� � �� �����

������ ���� �'' ���� �� /�� �������� ��� J�� ������ �:�

3���� ���� ;/�/� ��BB+�� ���� �� ����� �� /�� ��M������

�������&� J/� �� ����@�� �����@�&� �BB%�� '������� �� ����@�

��� ���������� ����/���������������/��/� �0�

3�� /�� ��� �������@��J ��4�&� /���� ������ -� J�� '�������

'�� �/��� '�'��� ��� /�� ���/���� !, �0� 5��&� 5 ���-� ��

��0� �2772�� '��'��� �� ������� ��� ������ ��� !, ��

� ����0� ������&� 5 ���-� �� ��0� �277*&� 277<�� '��'��� ��

/�������������''����/��J�/����������������/��4��/����

������� �� /�� �!, ��� �� ���'��� ����� � ����0� 3/��

'��'���� �''����/� �� ������ ������� /���� �� ��� �)' ����

������(����� ��� �� �������� ��@��� �� /�� ������� ���

� ����0�

����4�� ��������4�������/�������������������������4�

'��� ��� ���J/��/� ������� ���� ��/���'�����&� ��/� �� /��

������ ��� � � �� ��� '����� ���J����� 4����40� 3/��A-�����

;������ , 4���/�� '��'���� �-� �������� �� ��$� �277��� ��

/�� ��� '������� '�� �/��� ��/��� ���� /�� !, ��

��� ����0� 3/�� ���� ��� ������/� J�� '�����&� ����� ���

�����(��4�/�������J��@�'������ -����������-���������

����$��277�������/�������������!, �0�

2 SCARP RESOLUTION

5��� /�� �����J��@� J�� '��'���� �� ���� ��� ��� /�� ��)�

�����0� 3/�� �����J��@� �� ���'���� ��� J�� '��:� ���

�'���(�����'��������������'��0��������20*����������

/���'���(�����'�����J/��/� �� ����� �������/������ �

��� -������ ��������������/-�����4������� 4���/�0�

2.1 Framework proposal

,������J��@����� �!, ����� ��� ���'���� ��� J�� �'�

���4���� *�:� ��� �'���(����� �'� ���� ��� ��� ������ ��� /��

������� � ����0�3/�� ������ �'� ����� ��� ��� ����4�

/�� ������� ��� /�� ��� � ����������� �� /�� ���� ��� /��

�'���(����� '����0� 3/�� ��� � ����������� �� �������

�� �� ��' ������� '/��� /�� ����� ��� ��� � ��� �������

������&� � �J��4� ����� ��� ������ ��� �������

�������0�3/���������'�'������������-����/������ �����

��������/���������/���'���(�����'�����/��/�����������

'��'��������������0�

��/��.'����� �����&������(������������=���

6������������� ���%� �� ���>'�

2.2 Second phase: statistics gathered during replications

3/��������'/�����������4�/����4�����0����������

� � /������ ��������������� /���������/���'���(�����

'/��0� � � ��' ������� ���� ��� '��������� ���� �� ������ �

��� -������ �����'��'���������4������������������0�

3/�������������� �������������� �������:�

�&� ��� :� /�� �����4�� ��� ����� � � ����'������ ��� ������

��� �&� ω�� 0�3/��������/���)'������� ���� 0�

�&� ��� :� /�� �����4�� ������� ��� ��'� ����� � � ����'������

��� ��������� � 0�3/��������/���)'������� ���� 0�

�&� ��� :�/��'������4������ �����J�/��)�����'������ � �

����'������ ��� ������ ��� � 0� 3/�� ������ /��

'������ �-� { }���� ���� > 0�

�&� ���σ :� /�� ������� ��������� ��� /�� ��� ����� � �

����'������ ��� ������ ��� � 0� 3/�� ������ /�� �������

��������� [ ]���� ������� =σ 0�

�&� ���σ :�/���������������������/��������������'������

� � ����'������ ��� ������ ��� � 0� 3/�� ������ /��

���������������� [ ]���� ������� =σ 0�

Page 10: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

�7� � �

�&�

�&�

���

���σ:� /�� ������� �-� ��������4� �� /�� ���������� ���

������ �0�0� "��� /�� /�� ������� ���� ��� ���� � �� 7�

� /��4/�/��������� �-����

��

��

������ -�'�����0�

3/�� ��)� ������ ������ ��� /�� /-����� 4������ � 4���/��

���������4�/���'���(�����'����0��

2.3 First phase: the optimization phase

2.3.1 Typical scheme of iterative methods for minimization of a stochastic criterion

E�� ������ /�� J���1���4��4� '��� ��� ��� ������(��4� ��

������������� ��������������0������'������/������):�

� %������������&�

� ����-������%�������������������������� ���&�($�

3/�� '��� ��� �� ������(���� ���%� �� ��� J� � �������&�����

*�+,�-� ����&�+(,�&�-(L� �� �� ������� �� ����0� 3/�� ��� �

J�-� �� �� �������� /�� '��� ��� ���� �� ����������� ���&�

��' ����4�/��������������� �����-������������������ 0���

��� -���'��������� ������������������ �� � 0�3/��� ���

��� ����� J�/� /�� ���� ����� �� ��� J/���� /�� �������

������ �� � �������' ����&������)��' �&��-�/�����)'�������

�# 0� 3/�� /�� ����������� �������� � �� �� ��� ������(��0�

3/�� ��/������ ��-� ��� ���� ����� J/��� ���� ������ ������

���� ���4 -������-� /�� �� ��� ����0� 5��� �)��' �&�J/��� ��

�����������������&���� �����.����������������� �����$�$�

�&�(� ���� ������� �������� ���� ���-� ��4��� J�/� �� '������

'������ �-0�E/������� �������������)�&��������J�-�����

��' ���� ���� '��� ��� �� �� �� �-� �� �)'������� O � &� ���

���/�������������������-������������0����J/�����

��������������������������-�/�4/�&�������������� �������/�

� �����.���/��/��'������ �-� { }∞=�� �����/�������

4����� �� ��� ε� ���� ������� �������� ���� /��� ��� ������(��0�

5����)��' �� ����������/���/����������� ��)'������������

4����� { }∞<� � J/��� { } ε≤∞=�� � ��� �������� J/���

{ } ε>∞=�� 0� ��� /��� �� ���&� /�� ���� ����� �� ��

������ ����� �)��' �� �-� �&�� ��� � ������ ����� ��� �����

/�� ���� � ����� ��J�/� �� ��4�� ����4/&� �� �' -��4� /��

������(����� ���� ���� -� �-� �0�� 3/�� �� ���� ��� ��/� ���

������������/�'������5 ���-&��BB*������������������4����

<0� "��� -� � � ��/���� ���/������� J/��/� ����� �����

��� ���� ����� ��4&� ����� ����/N� /���� �)������ ��

��@ �� ������(����� ��� ��/���� �������� �3���� ����

;/�/&� �BB+�� �����@�&� �BB%�� ����13� � ���� "�����J@�&�

�BB%�0� 5��� ��� ����������� �� ��/���� �/��� ��4� ����

���4/���/�����������������''����/�������/��� ��4&���

��'��� �������������F����&�277��0�

�0�!��'����������� �� ����� �� ��

20�!��'��� �&�� ��� �

20������

*0�0�;���������� ����� 2� �

*020�!��'��� �&2� ��� �

*0*0��&� �&���&2� ������ ≤ �$���� 2� �� ← �

*0<0�7���&�

<0�?��������'�!���������

$0������ �� �

��/��#'��������&���%��� �������6���� ����� ���&�����

��� ����� �&� �����������+������

A�J����&� '�����4� /�� ������4����� ��� ��/� �� '����� �� ��

�/� ��4��4� '��� ��� ���� �� ������4����� ��������� J/��/�

/�4/ -� ��'���� ��� /�� �������� �� ������(�� ���� ��� /��

4��������� ��� ����������� � ����0� 5 ���-� ��� �BB*�

�5 ���-&��BB*�� /�� '������� ��� �)������ ��� /�� '�������

-'��� ��/�������J/��/�/��������������' ����������� ��

��� ���� �&� ��� � �������� ����� /�� �������� ��� /��

� 4���/�0�3/���)������'���������������/��'������ �-�

��� ������ ��� ����'��4� �� ��J� � ����� 2� � ����� '������4�

/��� �� 0�,���������������'������ �-���'��'����'�����4�

/�� ������ ���� ��������� /-'�/��� ��� /�� �������� ��

������(�� /�� �������� '����� ������4�� �J�/� /��

'������ �-�������J���������� ����0��

E/�������)����� �� ����������/�4/���� �-� �''��)�������

��� � � ���� �����/������ -� '��������&� /��������(�����

���� �� /��� ���4 -� �������0� ��� �� ���� /�� /�� ��� ���

��/������ � ��� -�� ������ ������ ��� ���'������ ���

�&� ��� 0�

3/�� ���� ��� ������/� J�� '������ ����� ��� ��/� ��

��/������ ���� -������ ������������������������/��4�

�/�������������/��!, �0��

Page 11: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � ���

2.3.2 DCARPs linked to the SCARP

3/�� �� -� '������� J��@� J/��/� ���� ��� ��'����� ��� /��

���/����!, �� �������� /�� �� � ���� /�� ����!� �''����/�

����5 ���-�����$&� 277<�0�3/�� �''����/�J��'������ �������

�������������4������/�/����M����������/������ ����:�

� /�� �� � ������� � ����� ��� � ���4� /�� !, �� ���4�

��'���-� � ��� ��/�� �� ���� ������(��4� ��� 0� 3/��

�)'������������� -����� �� ������5 ���-�����0&�277<�0�

� 3/������!�������� ������������4��� -� ! �'����������

/����/�� ����'���-� �-��4���������(�� ��� 0����� �5 ���-�

����0&�277<���������� ����/���)'������0�

� 3/�� ��/� ������� 0� 3/�� �''����/� ����� ��� /��

������(�����������������������M��������'�����4���� /��

�J� ��� �������� �� �� ��&� ���� �)��' �� ���� � ���

���� �!�� �σ+ ����000�

3�� ��������'�/���''����/������/����M��������������

������������/��/������ ������''����/�0��

$�%��!'�$����&&���������� ���0��������%@ ��6�

&� �����

�<�� ��

��� �����%@ ��6�&� �����

��� �,''����/� � ��� �

����!�,''����/� !0 �P�

�7 << ! ���� �

��/�,''����/� � ���� �

��/�,''����/� � ���� �!�� �σ+ �

��/�,''����/� � N�

3/������!��''����/���������� ���4�/��?!, �� ��@�����

/���!, �����4� � �����/�������������� ������/������

���� /�� ��'���-� � ��� ��/�� �0�3/���������� ��������(��

�� -� ��'���� ��� � &� � ���� ��� /�� � ����� � 0� 3/��

� �������������� ��:� �&&� � #0 � �

3/���� ��''����/������ �����/��'������������)��'�����

/�� ��'���-� ��� /�� ��/�� �� H � ���� ���� �'���(�����

� <H 0�0�3/������������������(���: �&H&� � #0 � 0��

3/�� �J��''����/������ ���� ���4�/��?!, ��J�/� � �

���� �� ���������� �J� �� ���� �(�� � 0� 3/�� �������� ��

������(�� ��'���� ��� ( )� � &� ��� /�� ��/�� �� ��'���-� �

�������/��� �������� ��2�0�

$�%��"'�:�(������1����������(���

��(���

• ������������ ��� � ������������������ ��

• ��'���-� ����/����/�� ��������������&��• ( )� 0 � && ��'�������/����� �(��������/��������������� �� � �

,�������:�(��� !������

!������� -���������?!, �������!��''����/�� �� # = &� ����/��4��&���M������ �&&� � #0 � �

,�������?!, ����� ��''����/�� �� # = &� �������� <H &���M������ �&H&� � #0 � �

,�������?!, �����/���''����/���� # = &� ����/��4��&���M��������������

������ �&�&�� � � ����� �J/���� �� � ���� ���/�� �J���� � 0�

2.3.3 Mathematical analysis

Preliminary remarks.

�1 :��������� ���� ����� � �����&�������0�!��������4�/��

?!, ���������������!, �&����/���'� "� ������� �����

( )��� �""��

≤≤= � �����:� #

��!"

"! ≤�∈�&�

&� �� �������������

����� �∈ ��!"

"!�

�&�

0�3/���/�������������������/��� �����

���� � �= ∈

=��

� �&�

��

" �!�

�!

"

�� 0����/���!, �&�/����� "� ���� "� �

�� 4������ /��� �∈ ��!"

"!�

�&�

� �� ������

��!"

"! >�∈�&�

&��������

/�� ��/�� ����� /���4�� �� /����'��������� ��������4� ��

�@� ���� �� �J�&� /�� �� ����

��

� ���

"

" ≥=�=

0�A����&�����

��-�� ������&� &�(�����������J�����/�����'��� ���� ���

����&�(0�

Page 12: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

�2� � �

21 :&���������&������%�����'�����'��� ���������/���

/�����������

��

��

���/��������� �-�

��

��

��

����/���������

��� �� '������ �-� �� /��

{ } { }�������� �������� >=> O { }���� � ��� > &�

{ }����� +> ���� ����������)����12�&� { }ε>− ���� � ��� �

����� �� ��)��� 7>ε �� �����

���

��

���

>�∈= "�!�

"!

"

�����&�

��

&� ���� �� ��0�

3/����������� ������)�����-���J����2�������������

���� /�� �������� �'������ �������0� ��� /�� �� �J��4� /��

������� �-��

��

��

��σ� �� ���� ������ ��� �� ������� ���� �� ��

����� -� ������� ���� �� � �� ��� ��� ����σ � ���� ���

��������-�7�4����4�������������� �������/��������0�

*1 (�������&� ������������� ��0�0����/�������4���������

�� ����� J� � @��J�&� �� �)'������� �� ���� -� '����� -�

@��J�0����/���� �J��4&�J�/�����-� �����4����� �-&�/��

������� ��������� '�������� �� ������ �� ��'���� ��� �"# �

�������)'������-� �"#!0 �J�/�����)��������� ! 0�

<1 ������� � �&� ��� ������0� 3/�� ������� �������

��� ���/� ��4�� ���� ������ �� ��� ����'������ �������

������ �0� 5��� ������&� '�� ��� ����� ��������4�

��� ����� -� J��� �������� ��� ���� ��� /�� ���� ����

����@�������������0�5��� -&�/����������������� �����

���� /��� ���� ��� �-� ����'������ ������� ��������

;������ ( )22 0& �"�" #!#) ������� �� �"0��

Mathematical analysis of the trips.

�1 ���%�%�������&� �������������6�����������'� 5��� ��-�

��'� "� � ��� /�� �������� ?!, �&� /�� �� � ������ ���

������� �������� �� #

���"

"� ≤�∈�&�

0� ��� /�� �!, �&� /��

'������ �-� "� � ����'���������� ��/����'���������4�����

�-:���

��

��

��

�>= �

��

"���

��"

�&�

0���� �∈ "���

��

�&�

� ����4� ��;������

������� ������ �� J�/� ��� �)'������� �� �∈ "���

��#

�&�

� ���� ��

��������� �∈ "���

��#!

�&�

22 0 &� �� /��

�����

� −

=�

"

"

���

��

���

��

"

#!

#

3�

�&�

2

�&�

0

� ϕ �

J/���� ϕ � �� /�� ���� ����� '������ �-� ��� )&2'+(:�

��..

002

��� 2

2

� ∞−

−=

πϕ 0�A����&��� ��'��� ������� ���&���

���� �� /�� ������� ���� ����'������ ;������ �������

������ �� �&� 22�!�! #!#) �/���� �J��4��/���������:�

� ������� �-� ��� �� /�� ��� ���� �������� � ��'� ��� /��

� ����� �� { } ����������

"

"

����� −−=> ∏=

� � J/��� "� � ��

�� �� �����������0�

� ������� �-� ��� �� /�� ��� �� �������� � ��'� ��� /��

� ����� �� { }����� +> ���� � � ����� ����)��� ���4��� �≥� ��

J/��/����� ������ 0�

� ,����4��������������'� �=

+=��

�����

""���� 0�

� ����������:� ( )�=

−=��

2���

"""� ������ �

21 ��������� ��� ����� �&� �� ����������� ��6� ��� ��� ����0�

,�������4���/����'���-����/����/�� �������4�/�������-�

�� ��� �� ����� ��� ���� ���&� �� ���� ������� �� �� �����

/����/������������������������������-���'0���������&�

J�/� �� /�4/� '������ �-&� /�� �������� � ����� �� /�� ��'��

����� J� � ������ �� /�� ���� ��� /�� ��'&� M�� ������� /�� ��

���������������/����'0�5����������� ����&�/��'������ �-�

������������'������ �J&�����/�������&���������J�/���/�4/�

'������ �-&� M�� ������� /�� �� ���0� ��� /�� �� �J��4&� J��

�������� -� ����� ��/� �� �J��4� /-'�/��� ����

������:�

�A� � � ��4����������������������� ������/������'�

�A� 2 � �� ������������5�� ���� ������ ���4� ��0���� �� ����

���5����������0� �����$�

��������� "� � /�������������'�������������������/��

������������������"���/����'�����������/����'����/��

��)� �������� ���� ��� �"0� ������ /�� /-'�/��� �A� � � ����

�A� 2 '� J�/� /�� '������ �-� +3 "� &� /�� ��'� ��� ��

Page 13: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � �*�

�∈

="���

��" ��

�&�

� ���� J�/� /�� '������ �-� "� � �� ��

�∈

+="���

""�" ����&�

0�������/���/-'�/��&���'��� ����

���'��� ���� /� '�� � �/���������� ��� /�� ������� ��'�

��:�

� /�������4��������/����':� �∈

+="���

""��" ����

�&�

0 0�

� ����������� ( ) ( )220 """" ������� −= 0�

5��� �� � ����� ( )��� .""�.

≤≤= � ���'���� ��� &.(� ��'&�

�����4� /�� ����'�������� ��� ������&� /�� �� �J��4�

'��'��������������� �/��:�

� ?������������� � �= ∈

=��

� �&�

��

.

" ���

��

"

�. 0�

� ���/������� �=

=��

.

"

"��&.( 0�

� ,����4����� ��==

+==��

��

0����

.

"

""

.

"

" ��. �.� 0�

� C�����������/����� ( )�=

−=��

220���

""""� ������� �

SCARP objectives

��� /�� �����&� J�� ����� ���� ������� ��� /�� ���

��'��������� �������� �� �'���(�0� ��� ������ �� ����� �J�

���� ���������K����L�� ����&�/�����M������4�/���

�� ��� J���������0���J���� � ����� ���� ������K4���L�

� ����0�3J��@��������������������� ���������!, �:�

������ 1���3� ��� ����%������ �&� ��� �������'� �� ���� -�

�������� � &� ��/���� ��'��� ���� ������ � ������ � &�

���� ��������0����������/��������������� -��� ������

/������-�/��������������'0�

� ���� 1���3� ��� ��%������ �&� ��� �������'� �� ���� -�

�������� � � ����� /�� ������� ���� � �� − � ���� �σ &� ����

9������ ������ −≤− �J/���� 9 ���/���'���������/��

��������?!, ����������� -� �σ &����� ���������3������

� ����� � − �&����� �σ &����/��'������ �-���/������/�����

������������ ��������/����'�� { }�� > ����� { }�� > �������

��)��� 7≥� �����/��'������ �-����)�����/����'���-����/��

��/�� �������-���':� ε≤"� ���������-���'� "� &�J�/�����)���

7>ε �����

��

��

��

��

�≤= �

��

"��

�" 0��

��� �� ���� /�� /�� '�������� �&� �3&� � &� � − &� �σ &�

{ }�� > � ���� { }�� > ���������)��� 7≥� ������ "� � ������ -�

�� ������������������/������-�/�������������������� �

�������/����'�0�

3/����M���������������������4�/��������������������0�

#$%���&� �' (��)�� � 0� E �/� ��/� ��� �''����/&� /��

� ����� ���� /���� ��'����� ������� ��������� �������

/�� �����4��'����������� ��� � ����� ���� ���������� �� -&�

/�4/ -��������� �������������������0�

#$%���&� �' (��)�� � ��"�� ��� ���"���

{ } 6�� ≤> �� 7>ε 0� 3/�� ���'���� � ����� ����

�)'�������/������'������4������4�����������'������ �-�

�����������������'�4������/�������������-� ε 0�3/���� ���

��� ε ���� ��� ��� �/���� ��� �� � �� � �J� /�� ���������

{ } 6�� ≤> ������'��� -��� �� ��0����4���+��������-�&���

�� '��� �� �� ��� ���� � � ���� �� ��' ���� /�� �� ��� ��� � �

�-� +∞ ���� εϕ >

�����

� −

�Π

=

"

"

��

��

��

" #!

#

2� 0

��0�0� ( ) ε>−∏=

"

"��

� 0����-�

�������������������4���:�

������(��4� � � ������ /�� ��������� { } 6��� ≤+> ����� ��

��)��� 7>� �

���M������20��0�

"��� /�� /�� ��������� { } 6��� ≤+> �� �� �� ��� J/���

{ } 6�� ≤> ������0�

������(��4� �������/����������� { } 6�� ≤> 0�

���M������202�0�

E �� ������ ���� ������� ��� � ����� '�������4� /�� �J��

���J�/���'������ �-����/����4������/��� � ��'���������

�-� ε 0� A���&� /�� ��� �������� �� /�� ��'�� ����� ���� ���

�����'���������/�������������'���(�:�/��������������'�

�� �� -� �@��� ���� ������&� ��� ���'���� ��+�� ���� ��-��

��������������0�

Page 14: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

�<� � �

������(��4� � ������ /�� ��������� { } 6��� ≤+> � ���� ��

��)��� 7>� �

���M������20*�0�

!���������� �� ��������M������2020���������� ��0�

��� ������ �� ������(�� /��� �������&� ��-� � 4���/��

'������4����'���(������������J�/��� ������ { }∞+∪ �

����������0����-�J� �@��J��� 4���/������/���������&�

�)��'&������)��' �&�/����� ��������� ��4����������������

/���� �������������������J����������� �����0�

#$%���&��'(��)�� �!� σ0+ ������� ���� ! �

�*��"��������0� 3/�� ��M������ 4�/��� ��/� ��M������ ��

������(�:� � � ���� ������ 0� � � ���� ������ � ���� ���

��� ����������4� �A� � ����� �A� 2 ������� ��0�3/���� ������

! �����4��/���� �����J��4/������/��������� � ����� �σ 0�

,�-� ��� � ����/� '��������� �� ���� �0� 3/�� ��M������

�������� '����� �� ������ � ����� J�/� �� �J� �������

��������&� J� � ���'��� J/��� �σ � /�4/ -� ��'���� ��� /��

�� ������/����'�������������� �� /����'������0�A����&�

�σ � ���� ��� ��' ����� �-� � � ��� �- ���σ � ���� ��������

�)������������������4���0�5����)��' �&�������(��4:��

�! σ0+ ���M������*0��0�

�!� 0+ ���M������*02�0�

�!� σ0+ � ���M������*0*�0�

�����/��� �J��4�������&� /������������� �� /����'��

����� ���� ��� ��� ����� ��� /�� �������� �� �'���(�:� /��

������������'����� -��@�������������&�������'����

��+��������-����������������:�

�! 0+ ���M������*0<�0�

�! σ0+ �

���M������*0$�0�

��������� ��������(��/���������������&���-���� �����/�

'��������������� �0����������/��/�������� ���������

����� ��� /�� ��' �� ��/��� ��� ��M������ J��4/��4�

�������������G� -����-&��BB<�����J/��/��� �' ����M������

�������� ���� ��������� ���� ���� ����� � ��M��������������

���4� J��4/� �/ � ��@��� �� ���/� ��M������ �������0� 3/��

'�������������� ���� ��M������ ���� ��� �/��4��� �-������-��4�

/�������'�����4�J��4/� �/ 0�

#$%���&�!'(��)�� � ��"��������"��� εσ ≤�

*���*��" 7>ε 0�3/���� ������ ε �����������/���� ���

�� ���� �J�/����������� εσ ≤� ������'��� -��� �� ��0�

���4� �A� � ����� �A� 2 &�����'��� ������� ���� � ���� �σ �

��������' ���� � ��-� +∞ ���� εσ >� 0��

,���)�������:��

������(��4� 0� �������/����������� εσ ≤� �

���M������<0��0�

��������&������ ����� ����:�

������(��4� �������/����������� εσ ≤� �

���M������<02�0��

������(��4� �������/����������� εσ ≤� �

���M������<0*�0�

5���/�� ����M�����&����'���� �A� � ����� �A� 2 ��������

��������&����/���������������� ������ ��/����'������

��� ����� -� ������(��0� ��� ������ �� ������(�� /��� �����

�������&� ��-� � 4���/�� '������4� �� �'���(�� ����������

J�/��� ������ { }∞+∪ �����������0�

#$%���&�+'(��)�� � ��"��������"���� ε≤"�

*�� ��, " �� � *��" 7>ε 0� E �/� ��/� ��� ��M������

�������&��� -�� �����J�/���������'������ �-��������)���

�������/����'��������������0�3/���� ������ ε ����������

�/��������� ���� �J�/������������������� �� ��0�,�

������&� ���� J/��/� ���'���� �A��� ���� �A2�� ���� ���

������-&����������

������(��4� �������/��/-'�/��� ε≤"� �������-� " ��

���M������$0��0�

3/���������)����������/����'���������������(��&����

/�����'�����A��������A2���������������-0�

��� ������ �� ������(�� /��� �������&� ��-� � 4���/��

'������4����'���(������������J�/��� ������ { }∞+∪ �

����������0�

$��%��� � ���������� ��%@ ��63� &� /�� �J�� '��� ��

�� ������� /�� ������� ����&� ���� � �� ��� ���:� �� /�������

� 4���/�� ������ ��� �5 ���-� �� ��$&� 277*�� ����� ���

��' ����4&� ��� /�� �������� ?!, �&� /�� ��'���-� ��� ��

��/�� �� � �-� !$ � ����� ����)��� !&� 7Q!Q��0�3/��� { }�� > � ��

�������0� 3/�� �� ������ ����!� �''����/0� �'���(����� ��

'��� �� �-� ��-� ��� � ����/� '��������� ���� ����

Page 15: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � �$�

����� ��4&� 4������ � 4���/�� ���� �� ���0� ,�/��� ��'���

�4�������� ��'�������� ��� � ����� ������0� ��� /�-�

�� -�� ���/��?!, ������/���������'���� �-�������� �

/����M�����0�

2.3.4 Hybrid Genetic Algorithm for the SCARP

3/�� ������ ������(�� /�� ��������� A;,� '��'���� �-�

��������� �� ��$&� 277��� ���� '����� ���� �)������

��������� �� � ��� /�� �!, �0� � 3/�� 4������ � 4���/�� ����

/�����������/���/�����������/����� ������-�'�����' ��

��� /�� K������ � ��� /�� ���L:� �� '�'� ����� ��� � �����

������� �/��������� ��� ��� ����� ���� �-� ������4�

'/��:� ������������� ��� �/�������&� ������&� ����

��' ������0� ��� 4������ � 4���/�� ����)&� /�� �����

'��� ������������������4:��������4����/���/�������&�

/������� �'�'� ����&�/��4�������'����������/���''��4�

�������0�

Chromosomes and Fitness

3/�� A;,� ������� /�� ��J��@� �� �� �� -� �������� 4��'/�

J�/�J������'�����4�&������������-��������)����������2�0�

5������/������&���5������������/���''�����������/������

��4�0� 6��/� �/�������� �� �� �������� ��� � �@&� J�/���

��'��� �����&����J/��/����/��@��''���������������J��

�''�������0�3/�� �������� ����������J�������4���� ����

'��������� �-� ���� ��4 �� ��/�� �� J�/� �� ������ ��'���-0�

3/��/����'�/������/������J����J�������������@�

���� ��J���� /�� ��'�� ���� /�� ���� ���� �� �@0� 6��/�

�/�������� �� ��� ����� �-� �� /���� '�/� ��/��� /��

' �� �'��� -� /�� 4���� ���� ���� ��'0� 3/������� �� /��

�� �������/����� ��4�� ����0�

Population Structure and Initial Population

3/�� '�'� ����� �� ��� �������� �� ����� � ��� �� �

�/�������&����������������4���������0���������� �(���

J�/� ������� �������� ���� J�� /�4/1��� �-� � �����

���'���� �-� /�� ��/1�������4� ���� ,�4���1���4��

����������/�����������;� ��������E ��4���B%���0�

������� �� ������������� ������������� �J��&���/������

����� ��'������ ��� � ����� ���� �� ������ ��� ��� -�

������4����0� ,�� ��������� '� ��-� ��� ���� �� ���'������

��J���� '����������� ���� ���'������ ����� ����� ���

'��/�����4� � ����� J�/� ������� � ��0� 3/�� '��'��-�

/� ������/������� �'�'� ��������������/��������0�

Recombination of chromosomes

������ ���� �/���� �-� �����4� ��������� ��������� ����

�����4�� �� ��������� �I� �������0� 5��� J�� '����� [ ]��& �

���� �&� �������� � ��� ��4/� &� /�� �������� ���J� J��

������� ���@� � � ���� �&� !���� � J�/� #� ≤≤≤� 0� 3/��

�/� �� �� ������������-�������' �����4����4� �+← ������ �

���� R&000&S� #�� 0� 3�� ���' ��� �� &� 2� � �� ������� ��� ��

����� ���J�-�������#�������T����� � 0�6��/��@������-�����

�� � ��$�$&� �� ���� ��5���� ���� ��� ��� �� �� �� �''������ �� �� &�

����4�������#����� ��T��0�3/���/����/� ���2� �� ��������

�-��)�/��4��4�/���� �������������20�,�������������&�/��

;,������� -�@��'������/� ���������������/���/��0�����

��� ��������4�/��' ���4�'��������0�

Page 16: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

�#� � �

�0� ������������ ← U� ���������� � 77��������8������0������������������0�� ���������

20� 7←�� &� 7←��� �

*0������

*0�0� �2&�� ������� � � � 77�����������0�-��������

*020� �2&�� �������� ← � � 77�������5���&��������������0�� ���������(�

*0*0� ��2P���&�� ��������! ← � 77������������

*0<0��&� ��������≤ ����� � 77�/� ���0�.������������4�

���9���� ← � � 77���������4������������ �

�&� ������ ������� { }RSV !���������� ������

�� ← � � 77���/�������� ������������������0�����������������

7�����

*0$0�7���&�

*0#0��&� ������ ������� { }RSV !���������� �����

�+← ���� � � � PP������������������������'�����

�&� ������ �Q� R��S��������� �����

7←��� � � PP�������������������J�/�����'�����������/������ ����� 7←� �

7���

�+← ������ � PP������������� ���������J�/�����'�����������/������ �����

7���&�

�&� !���� � � � PP������/�����������/��'�'� �����

*0%0�7���&�

<0�?��������'�!���������

$0������ � �

��/�� '����� ���/�������������

Local Search as Mutation Operator

E�/� �� ��)��� ���� �� &� /�� �/� �� � � '�������� �-� /��

�������� �����4��� ������&� ��� ���� �� ��� � ����/� ���

����������4���)�/��4�0�6��/���������������� �� 2: �� �

'��� ������ ������������� �'��� ��'������������J��

���&� ��� /��������'������J���������� ��'0�6��/����� � �

�����������/��� ������������������������������ �����5 0�

3J��@�������21�'����������� �������4���0�

Replacement Method and Stopping Criteria

3/�� ��' ������� �� ��������� 0� ���� �/��������

RS!����� ��������� -�� ������� �J�/��������0�����������

������&� �� � � /�� ����� ��� ��4� ����� �/� �� � 0�

RS!����� �����' ������-� � �������� ������������0�����������

��� ���&����J/������������'' ���&� RS!����� �����' ������-�

�� &��������4������' ������0����/���'���������� ���&�/��

�����������������������'�������������/��A;,�'�������

J�/�/����)��������0�3/����/���@��'�/������ �����

R�S����� � ���� � �J� '������4� �/� ����� �� ��'�������

�������� -0�3/��4������� 4���/���'����������)�����

������� ��� �������� ��� &� ����� �� ��)��� � ������� ���

��'����������������� ���� &����J/����� �J��������������

������/��0�

Summary – General Structure

5�4���� $� 4���� �� /�4/� ��� � � 4���/���� �����'���� ��� /��

A;,0� ������� ����4� /�� � 4���/�&� /�� �� �J��4� 4 ��� �

'����������������)��:�

��� :���)��� �������������������'��������&�

�� :������������/�����������/��'�'� ����&�

�� :�����������&�

���� :���)��� �������������'����������������0�

��� /��� 4���/�&���� �� /�� ������� �����������������������

/�� ������� ������� ��� ��'��������� �������0� 3/��

���������� �����������-���� ��������/�������������������

��� ������ ����� � � ����0�E /��� /�� �����&� �� ������ ���

�'������� ���������0�5��/������� ����/��� 4���/���������

/�� ��� � �������� ��� !, �� ��� ����&� ���� ���� �� �� ���

������������$��277��0�

Page 17: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � �+�

3 COMPUTATIONAL EXPERIMENT

3.1 Numerical experiment

3/�� �)'������� /���� ����� �������� ��� ���4� /�� J� 1

@��J�� ������� ���������� �-� �� ��4���� ����

����������BB+�&� 64 ���

���� ��� ��BB#�� ����

?�,�������B%��0� 3/��� ���'������ � ��� ������ /����

�������/�������������������C��0%�;A(�J�/�2$#������4�

E ����J� 2777� �'�����4� -��0� 3/�� '��4���� /�� �����

���� �'������4�?� '/��#07�'��@�4�0�

3.1.1 Parameters used during the optimisation

phase

3/�� �� �J��4� �� ��� '�������� /�� ����� ���:� ��O70��

���O27777&�����O#7770� 3/��� '�������� ���� ������� � ��

'��������'������ -���������5 ���-�����$&�277*�0�

Chromosome and fitness: objective function

3/�� ����� ��� �/�������� ��'����� /�� �������� ��

�'���(�0�5���/�� �J��''����/�J�������������������� � �

���� �!� σ0+ 0� ,�� ��� ������ ��� � � ���'0� �!� σ0+ �� ��

��������������4�/����/������ ���� -��'����������/��

�������0������ ���� /�� ��/���/������ � ��� ������ ��

���-� ��������� ����� �� ���'������ � '���� ��� ���J� ����

'����� �� ������ �� ���� �������4� ��� ������ ��� /��

��'����� ��� ������ � ������0� �!� σ0+ �0�,��� �'�'� �����

��� *7=�� � � ����� �� ���0� 5��� �)'������� �7=! � /��

����� �/���� ���� /�� �������� �� ������(�� �� �� σ0�7+ 0�

3/���� ��� �7=! �'����������������'���� ���4����������

����/��������� � ����� �σ 0�

Stopping criteria of the HGA

5���/��?!, ��/�4/ -���������� �J����������������� �� ��

'�������4� '�J���� � �������� �� �'� /�� ����/� ��� ���

� ����0� 5��� /����/����!, ����/� ����������� �����

���� �� �����/����� �� ��0�3/��� 4���/���'���������

/�� ������� �� ��� �� ��������� /��� �07$� ���� /�� ��1@��J��

�� ������/��?!, �0�

Stopping criteria of the local search

,����/��������&�/��������'�����4���������)�����0�3/��

'����������������� �27���������/���������'������������

�����'��������������/��������)'��������0��

3.1.2 Parameters used during the replication phase

3�� ������ /�4/� ��� �-� ����� ��� ������ �777=� �

��' ������� ���� �������� ���J�/� /�� ��� � ����������� ��

/�� ���� ��� /�� �'���(����� '����0� 3/�� �� �J��4� �� ���

'�������� ���� ��� ����� �����4� ��' ������:� �&� ��� &�

�&� ��� &� �&� ��� &� �&� ���σ &� �&� ���σ 0�

3.1.3 Notations

3/�� ���'������ � ��� � '������� ��� /�� ��)� ������

�������� /�� ?!, �� ��� ����� ������ �� � �''����/0�

������� *0*� ������� /�� ?!, �� ��� ����� ��������4� ��

/�� ����!� �''����/0� ������� *0<0�� '����� ��� � ��� ��4�

J�/� ������(����� ��� /�� �����4�� ��� �� -0� ������� *0<02�

��� �J�/�/��������(����������/�/�������4���������/��

������� ��������� ��0� 5��� 4������ �����������&� ��� ����

�� �&� ?�,������ ������� ���� ������� ;��&� 64 ����

������������������64 ��������� ��4�����������������

�� �� ���� ������� C� 0� 3�� ������ ��-� ����4����&� /��

�� �J��4��)�����������������������:�

� � :����� �����������J�/�/���� ��''����/���/������

���/���'���(�����'����0�

� 7� :� ��� � �����������J�/� /�� ����!� �''����/��� /��

���� ��� /�� �'���(����� '����0� �������� /�� /�� �� �

�''����/�����/������!��''����/���������/��'���������� �

'�� �/����5 ���-�����0&�277<�����/���!, �0�

� �� :� ��� � ����� ������ J�/� /�� ��/� �''����/�

��������4� � 0�

� 2� :� ��� � ����� ������ J�/� /�� ��/� �''����/�

��������4� �� σ0�7+ 0�

3.2 Tight approach

3/�� ��� � ���� ���� ��� ��� �5 ���-� �� ��$&� 277<�� ���� ����

'������� ��� ,''����)� �0� 3/�� ��� � '����� /�� J/������

/������/���@����&�/��������4����������������' �������

Page 18: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

�%� � �

J�/� �������� � ��'0� +7W� ��� ��' ������� �)'��� ���

�������� � ��'�����?�,������ ������&� B#W����� 64 ����

����������������/���$7W������� ��4�����������������

������� ��� �� *�0� 3/�� �����4�� ������� �-� ���� ���/�

����/���@���'������������ ���/������0�

$�%��.'���%�������&����������=����������� �>�

� ;��� 64 ��� C� �

��

���&�

� ��� −� %07$W� 2*0*$W� $0#+W�

�&� ��� � +7077W� B#0%+W� $*07#W�

�&� ���σ � �#07%� %<207<� �*0%7�

�&� ���σ � 70%<� �0#$� 70#%�

�&�

�&�

���

���σ� '! A � *'.9A � .'9*A �

3/��4�'���J���� ��� ����� �&� ��� ����������'����0�3/��

�����/���������/���'���(������'���*�#����� /��;����

������� �� ��4���� /�� �����4�� � ����� ��� ����� �777�

����'������ ��' ������� J/��/� �� *$�0� ���� ��� �������

������� �� ��� ���� � � /�� ������0� 3/�� ������� ���������

�����4������/����$�����?�,������������&�4������/���

%<7�����64 ������ ������4������/����*������� ��4��������

���������������0�

3/�� � ����� ���� /�4/ -� ������� J�/� �� ������� �-� ���

������� $W� ���� ?�,������ ������&� +W� ���� 64 ����

������� ���� *0#+W� ���� �� ��4���� ���� ���������

������0�

3.3 Slack approach

3/������!� �''����/� '��'���� �-� �5 ���-� �� ��$&� 277*�� �� ��

/������� ����� �''����/0� 3�� ������ � ����� ��� J/��/�

��/�� ����-������ -� �����&�/����/���'��'�������������

/�� ��/�� �� ��'���-� �-� � � '������ �����4� /�� �'���(�����

'����0�!��'�������/���� ��''����/&�/������!�������� �

�������?!, ��� �����J�/���/�4/���������������'�����

�������� /�� � ����� ��0� 3/�� ������� ��� /��� ����!�

� �������� ����� ������-���� ����&����4�/�������� �

��/�� ����'���-0�3/����� �'��������5 ���-�����$&�277<��

����������(�������� ��<0�

$�%��#'���%�������&����������=������������ �>�

� ;��� 64 ��� C� �

!��'������J�/��� ��''����/�

��

���7�

� � −� <0<*W� %0B2W� *02BW�

��

���&7�

� ��� −� <0$7W� B0$<W� *0*<W�

�&�

�&��&7�

���

������ −� 1*027W� 1��0<%W� 1�0BBW�

������

�7�

�7��&7�

� ��� −� 707#W� 70$+W� 707$W�

�&7� ��� � �07#W� �*0<%W� 70#$W�

�&7� ���σ � �0**� �+#0*#� �07��

�&7� ���σ � 707+� 70*<� 707<�

�&7�

�&7�

���

���σ� �'#�A � !' 2A � �'.�A �

���� ���� ���� /�� /���� �� �� �4�������� ��������� ��� /��

������� �-� �� ��4���� /�� ��� � ��� /�� �� � �''����/0�3/��

������� �-��&7�

�&7�

���

���� �����������������������&�

�&�

���

���� �������

��/��������������������������/�����/���@��0�

3/��'������4�������' �������J�/��������� ���'���/�4/ -�

�������������+7W����07#W�����?�,������������&������

B#W� �� �*0<%W� ���� 64 ���� ������� ���� ����� $*W� ��

70#$W������� ��4�����������������������0�

�/��� �������� '����� /�� ����� ��� /�� /������� �''����/�

J/��/� ���� �� 4������������ ����� � ����0�,����� /��

����������� ��� ��� /�� � ����� �� /�4/ -� �������&� ����

�)��' ������ ��/���BW�����64 ��������������'�����

�� /�� 2*W� ���� /�� �4/� �''����/0� 3/�� � ����� �������

� ��&� ����� �� ����������� '���� ��� ���J&� ��� /�� ?!, ��

���0�

3/�� �����4�� � ����� ��� �� /�4/ -� �������0� !��'����� ��

�&� ��� &� �&7� ��� ���'������4����������'�����������/��

� �������� �-0� �&7� ��� � �� �� /��� �&� ��� �J/������

/������/���@��������������-��4�������� ��'�����������

��W���������������/�����-�������� �64 ����������0�

���� ��� ������� ������� �� ��� ���� /�� �/��� �������� ���

������ '�����4� /�����������-���� /������!� �''����/0� 5��� ��

�� � ��� � ��� -�&� /�� ������� ���� ������ �� �5 ���-� �� ��$&�

277*�0�

Page 19: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � �B�

E/������ /����� �-����/����� &� /������!��''����/�����

/������� ����� �''����/&� ���� J/��/� �� �� ��� '��� �� ��

����� � /������� �������� �� �'���(�0�3/�� �''����/� � ���

�� -� /��?!, �0�3/����)� ������ ��'��� ��� ���������

�-�������(��������/�������4��� �������0�

3.4 Law approach

3.4.1 Minimisation of �

��������� -�/�������4��������/��� ���������� ��������

/����M�����&�� �����J�/� �J������������������� �J�

�����4�����J�� ������������0�3/��������������' �������

J�/��������� ���'�J�� �����/�4/ -�������������4����/��

�� ��''����/����J�� �����������'������J�/� /������!�

�''����/�������/�� ��@��������������������������(�����

��M�����0�3�� ��$���'���/����� ������������4�/�� � �

������(����� �������0� 3/�� J/� �� ��� � ���� '��'���� ���

,''����)0�

$�%�� 0� ���������� ������������(�������� � ��

� ;��� 64 ��� C� �

!��'������J�/��� ��''����/�

��

�����

� � −� �0%+W� #07*W� �0<2W�

��

���&��

� ��� −� *07+W� %0B%W� �0%2W�

�&�

�&��&��

���

������ −� 1<0$7W� 1��0B$W� 1*0<$W�

������

���

����&��

� ��� −� �0�+W� 20+BW� 70*BW�

�&�� ��� � 2<0B<W� #70�BW� �70*%W�

�&�� ���σ � <07$� **%0�*� *0<*�

�&�� ���σ � 70*<� 70%2� 702��

�&��

�&��

���

���σ� !'#�A � .'�2A � �'-.A �

E /������ -��4�/����� &�/���� �J��4���������������

����:�

� /��'������ �-����������)�����'���/�4/ -���������

�� ��4���� /�� ����� � �4/� �''����/������ +7W� �� 2$W�����

?�,������ ������&� ����� B#W� �� #7W� ���� 64 ����

������� ���� ����� $*W� �� �7W� ���� �� ��4���� ����

��������� ������0� E /����� /��� ��� � ��'��� ��

�4�������� ��'�������� ��� � ����&� /��� ��� � ���� ���

���'������ J�/� /�� ��� � '��'���� J�/� /�� ��@�

�''����/0�

� /�� ������� �-� ��� � ����� �� �������-0� E ��

�������� �� ������� �-� ��� �0<7W� ���� ?�,������ �������

�$0�$W� J�/� /�� �4/� �''����/�&� *07BW� ���� 64 ����

������� �+0*#W� J�/� /�� �4/� �''����/�� ���� 70%*W� ����

�� ��4���� ���� ��������� ������� �*0#+W�J�/� /�� �4/�

�''����/�0�3/������ ����������'������4���� �4/ -� ��

'������4� /��� /��� �������� J�/� /�� ��@� �''����/�

�70<7W&��0$BW�����70*7W�0�

� ���� ����4������� -������/��� �7�� �����/��4�'�

��J���� ���� ����� ��� � ���� -�����0%+W�����?�,������

������&� #07*W� ���� 64 ���� ������� ���� �0<2W� ����

�� ��4����������������� ������0�3/��� ��� �������

��� ���������4����/����� ����/�� ��@��''����/:�<0<*W�

���4�'���J���� �7�� ����� ��� �����?�,������������&�

%0B2W�����64 ���� �����������*02BW������� ��4��������

���������������0�

� ��� ������������������� ������� �&�� ��� �J/��/���

� ���� �� �&� ��� � /��� �� �&7� ��� 0� 3/�� 4�'� ��J����

�&�� ��� ����� �&� ��� �����1<0$7W&�1��0B$W�����1*0<$W0��

� /�� ��� � ������������ ��/� ������� ��������� ���

���� ������� ��������� ��� /��������� ��� ��'� ���' -�J�/�

/��'������������@0�3/������ ������ ����/�����������-�

��� /�� �����4�� ��� ������(����� ��� � �� '����� /��

�'���(����� '����� �� ��� ���4 -� ��@��� �� /��

������(�������� /������������������� /��4/��4��������

��'�������� ��� ������� /���� ����� �������� ��0� ��/�

������� ��������� ��� ���� ������� ��������� ��� /��

������������'�����4������/���/���� �����'���������� ��

<�����/�� ��@��''����/0�

3/����)�������'�����/����� ������������������(��4�

��/� /�� �����4�� � ����� ��� ���� /�� �����4�� �������

�����������0�

3.4.2 Minimisation of �� σ0�7+

3/�� ��� � �������� ���� ��'����� ��� �� �� #0� !��'����� ��

/�� ��� � �������� ��� ������(��4� � &� /�� � ����� ����

Page 20: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

27� � �

���/� ����� ����� /��� � � � ����� '������ -� ���'����

���4�/��'��������''����/�0�

5�� -&����-� �J�������� �-�����������'���������� ������

������0� "��� /�� 707%W� �������� ���� ?�,������

������� ���'����� �� /�� �0<7W� �������� ��� ������(��4�

� 0� 5��� 64 ���� ������&� /�� �� ��� ��� /�� ������� �-� ��

����� 70<%W�J/��/� �� �)� ���� ����� /��� /�� ������� �-�

���'�������������(��4� � 0�5����� ��4�����������������

������&� /�� ������� �-� �� ��4/� ���� ����� ����/��4�

70�BW��� -0������������� /��J�� ������������� �� ���

/���/���� ������'�����-�/������!��''����/0�5���� ���

��� ������&� /�� ������� �-� �� ����� ���� ����� ���

������(��4� ��0�7 �� σ+ �/���������4�/������!��''����/0�

$�%��9'���%�������&����������=������+�������&�

��0�7 �� σ+ >�

� ;��� 64 ��� C� �

!��'������J�/��� ��''����/�

��

���2�

� � −� $&$�W� 2*&<<W� <&�$W�

��

���&2�

� ��� −� $&$�W� 2*&#�W� <&�%W�

�&�

�&��&2�

���

������ −� 12&2BW� 17&2*W� 1�&**W�

������

�2�

�2��&2�

� ��� −� 7&77W� 7&�$W� 7&72W�

�&2� ��� � 7&<#W� �+&##W� 2&2$W�

�&2� ���σ � 7&2�� #<&�2� 7&+2�

�&2� ���σ � 7&7*� 7&2#� 7&7#�

�&2�

�&2�

���

���σ� �B�-A � �B#-A � �B!2A �

������ -&��������/�������������������������� ��������

/������������������(�&�/���� ������ �&2� ���� ����������

/��� /�� �� ��� ��������J�/� ��/� /�� ����!� �''����/� ����

/�� �����4�� ��� ������(����� �''����/0� 3/�� �������

��������� ��� �� �� -� 702�� ���� ?�,������ �������

���'����� �� /�� <07$� �������� J�/� /�� � � ������(�����

���� �0**� J�/� /�� ����!� �''����/0� 3/�� ������� ���������

��� �� #<� ���� 64 ���� ������� J/��/� ��'������� /��

�� ������**%�����/�� � �������(����������+#�����/������!�

�''����/0�5����� ��4������������������������/����� �

���� ��� ��0�3/�� �� ��� ��� 70+2� �� ����� /�� /�� �� ��� *0<*�

��������J/���������(��4��� -� � ����������/��/���� ���

�07����������J�/�/������!��''����/0��

3/����� �����/���������������������/��������������'�

���������J/���������(��4� �� σ0�7+ �/���J/������4�/��

����!��''����/�������4��� -� � 0�,��� ������707+�����'�����

�-�/�� ��@��''����/�����?�,������������0�3/���� ���

����/�� 70*<� J/��� ������(��4� �� -� � � ���� �������� ��

707*� ������(��4� �� σ0�7+ 0� 5��� 64 ���� ������� /��

����!� �''����/� � ����� /���� �� ������� ��������� ��� /��

������� ��� ��'� J/��/� �� ��� 70*<0� E /��� ������(��4� � �

/���������������������/��������������'���J����/�4/���

��������/��70%20����������(��4� ��0�7 �� σ+ &�/���������

��������� ��� /�� ������� ��� ��'� �������� �� 702#0� 5���

�� ��4���� ������������� ������� /�� ������� ���������

��� /�� ������� ��� ��'� �� 707<0� 3/�� �� ��� �������� J/���

��������4� �� -� � � ���� ����/�� 702�0� ��� ������(��4�

�� σ0�7+ &� /�� ������� ��������� ��� /�� ������� ��� ��'�

����������������/��707#�J/��/������-�� �����/���� ���

��������������4�/������!��''����/0�

E/������'����4� ���� ����� �&� ���� &��� ��'��� ��������

/�����-� �J�4�'����4�/������!��''����/0�3/���� ����������

707#W� ���� ?�,������ ������&� 70$+W� ���� 64 ����

������� ���� 707$W� ���� �� ��4���� ���� ���������

������0� 3/��� �� ��� ���� ����� ��'����� J�/� /�� ��/�

�''����/�J/���������(��4� � ���0�+W&�20+BW�����70*BW�0�

3/��������(�������� �� σ0�7+ �'����������������-� �J�

�� ��:�7077W�����?�,������������&�70�$W�����64 ����

������� ���� 7072W� ���� �� ��4���� ���� ���������

������0�

E/��� ���'����4� ���� � �� ��� /�� ��� � '����� /�� /��

��� �������� �� /��?!, �� ��������J/���������(��4�

� � ���� �������� J/��� ������(��4� �� σ0�7+ 0� 5���

?�,������ ������&���

���7�

� � −� �� <0<*W0� 3/�� 4�'� ��

�������� �� �0%+W� J/��� ������(��4� � � ���� �������� ��

$0$�W� J/��� ������(��4� �� σ0�7+ 0� ������� -&� �� ��

�)' ���������� �J:�J/������ ����4�/������������������

������/����M��������������(�&������������ ���������

��������0�3����������/�� ����&�/��� ��������������

Page 21: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � 2��

/�4/��0� 5��� /��/����64 ���� ������&� /�� ����!� �''����/�

��'��� �� 4�'� ��� %0B2W� ���� #07*W� J/��� ������(��4� � 0�

3/�� ������(����� ��� �� σ0�7+ � 4���� �� � ����� J�/� ��

��4��� 4�'� J/��/� ����/�� 2*W0� ���� ��� ������� �������

�� ��������� ��4�����������������������0�3/������ �

/�4/ �4/� /�� ����������� ��� /�� '/� ��'/-� ��� /�� J�� �J�

�''����/������ ���4�/���!, �0���� ����4��� -� � ����/��

��M������ '����� ������������� ��� ����� ���� ���� ��

���-��4���� �����/������������� ��������'�������

/�� � ����� �������� ��� ����4� ��/� �&� ���� � ����

�&� ���σ 0�3/������������������������J/���J����� -(��

��

���&�

� ���� −� ��� � J�/� ��/� �''����/�� '��'���� ��

� ���/���!, �0�

3/�� ��)� ������ ��� 64 ���� ������� ��� � ���'� ��

������ ��������� /�� /�� ������� '����������� ��� /��

� �������/�4/ -���'���������/������������������(�0�

3.5 Comparative study of the 3 approaches for

Eglese’s instances

3�� �� +� '����� /�� � ����� /���� ����� � '��'�����

��'�����4� ��� /�� �������� �� ������(�0� 5���� �� '������ �

'���� ��� ���J&� �� ������ ����� ����� � ����&� �� ��

������-������ ��������������������������/����M������

�������0��

$�%��*'�7/��C�������� ����������0�������� ���

����!�

�''����/�

��/�

�''����/�

������(��4�

� �

��/�

�''����/�

������(��4�

��0 �!� σ+ �

!��'������J�/��� ��''����/�

��

����

� �� −� %0B2W� #07*W� 2*0<<W�

��

���&�

� ���� −� B0$<W� %0B%W� 2*0#�W�

�&�

�&��&�

���

������� −1��0<%W� 1��0B$W� 1702*W�

������

��

���&�

��

�� ���� −� 70$+W� 20+BW� 70�$W�

�&� ���� � �*0<%W� #70�BW� �+0##W�

�&� ���σ � �+#0*#� **%0�*� #<0�2�

�&� ���σ � 70*<� 70%2� 702#�

�&�

�&�

���

���σ� !' 2A � .'�2A � �0#-A �

����������� �����/������/�4/����������������� ����

��

����

� �� −�� ���� �� /�4/��� �����4�� ��� ����

��

���&�

��

�� ���� −� ����

��

���&�

� ���� −�0� 3/�� ������ -� ����

�� /�� ��/����� ������� ��� ��� ��������4� ��/� �������

��M�������������-� �J�� �������0�

3/��'��� ���J�������4��&��������!, �&� �� � ���� �����

���'������ � ���� ���-� � ��� �� /�� ���'������ � ����

��'��������� ���4�/��?!, ������'�������������������

����$&�277��0�

3.6 Efficiency of the mathematical expressions

for the DeArmon’s instances

3�� ��� ���� /�� ��/������ � ����� �� �� �� '��� �� ��

���'���������4���� ������'���������/����' �������J�/�

/����/������ ��� ��0�3/����� ����������������/:�

� �&� ���� � /�� �����4�� ��� ����� � � ����'������

��� ��������� �&� ω��� �

� ����� ����'�����-�/����/������ ��)'�����0�

3/��4�'���J���� ����� ����� �&� ���� � ���� �� �������� /��

��/� �''����/� ��� ������(��4� � � ��� �� �� %� ���� /�� ��/�

�''����/����������(��4� �� σ0�7+ ����/���� ��B0�

Page 22: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

22� � �

$�%��-'���&����� ���&������������ ���5�����������

�����0������� ��������+��/� � �

� ����� �&�� ��� ���

�&�����

��

����� −

4���� **<� **2� 17&+2W�

4��2� *$#� *$<� 17&<#W�

4��*� 2B2� 2B7� 17&#+W�

4��<� *�*� *�*� 7&77W�

4��$� <7#� <7<� 17&$<W�

4��#� *2*� *2�� 17&$#W�

4��+� *<2� **B� 17&%$W�

4��%� *#*� *#2� 17&�%W�

4��B� *27� *27� 7&72W�

4���7� 2+B� 2+B� 17&22W�

4����� *B$� *B$� 7&72W�

4���2� <%7� <+B� 17&�7W�

4���*� $<<� $<<� 7&77W�

4���<� �77� �77� 7&7*W�

4���$� $%� $%� 7&7*W�

4���#� �2B� �2B� 7&72W�

4���+� B�� B�� 7&77W�

4���%� �#<� �#<� 7&72W�

4���B� $+� $+� 17&**W�

4��27� �2*� �2*� 7&72W�

4��2�� �$%� �$%� 7&7�W�

4��22� 272� 272� 7&77W�

4��2*� 2*#� 2*#� 17&7*W�

�����4�� 17027W�

������������/�� �4/�4�'���J���� ����� ����� �&�� ��� 0�

��� '������4�&� /�� 4�'� �� ����� 7027W� ��� �����4�� ���� /��

������� ��� �� B�0� ���� ��� ������� ������� �� ��� J/���

������(��4� σ0�7+� 0� 3/�� �����4�� 4�'� ��J���� �2��� �

���� �&2� ��� ���707$W0�

$�%��2'���&����� ���&������������ ���5�����������

�����0������� ��������+��/� �� σ0�7+ �

� �2��� �&2� ��� �2�

�&2��2�

��

����� −

4���� **+� **+� 7&77W�

4��2� *##� *##� 7&77W�

4��*� 2B#� 2B#� 7&77W�

4��<� *�*� *�*� 7&77W�

4��$� <7B� <7B� 7&77W�

4��#� *2<� *2<� 7&77W�

4��+� *$�� *$�� 7&77W�

4��%� *%%� *%%� 7&7*W�

4��B� **B� **$� 1�&7<W�

4���7� 2%*� 2%*� 7&77W�

4����� <7*� <7*� 7&77W�

4���2� $*<� $*<� 7&77W�

4���*� $$2� $$2� 7&77W�

4���<� �72� �72� 7&7<W�

4���$� $%� $%� 7&77W�

4���#� �2B� �2B� 7&77W�

4���+� B�� B�� 7&77W�

4���%� �#<� �#<� 7&7�W�

4���B� #*� #*� 7&77W�

4��27� �2*� �2*� 7&77W�

4��2�� �$%� �$%� 7&7�W�

4��22� 272� 272� 7&77W�

4��2*� 2*B� 2*%� 17&2$W�

�����4�� 1707$W�

E ������� ��� /�� �����4�� ��� ��� � ����� �� /�4/ �4/� /��

��� �-� ��� /����/������ � �)'������ ��� ��� ��� ��� �

���� ��� ��'����� ���:� �&� ���� � ���� ����� &� �&� ���� � ����

����� &� �&� ���σ � ���� ����σ &� �&� ���σ � ���� ����σ 0� 5���

/�� 64 ���� ������� ���� /�� �� ��4���� ���� ���������

������&���� ������ ����������'����0�

3.7 Computational time

3/��/�4/���� �-���� �'�������������/�����������������

J�/�/������������ 4���/��'����������/�������������

�������������$&�277���J/���� ���4�/��?!, �0�

3/�� ���'������ � ���� ��� � � /�� ������� ���� ���

,''����)0� 3�� �� �7� '����� /�� ���'������ � ����

�)'������������� ���������0��

Page 23: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � 2*�

$�%��!�'�(6��/� ��������������=���� ����>�

,''����/� 3���� ;��� 64 ��� C� �

3�� � $0%7� 2+%0#*� **02*���� �

3����� <077� 2�#0+$� �#0*$�

3�� � 2*02+� 2+$0<�� ��$0<*�����!�

3����� �0*$� �+20#2� �<0B+�

3�� � +20<�� #BB0#�� 2%B0$7���/'�

����� � � 3����� �%07$� $270�B� B$0B��

3�� � +%0<B� +B�072� 2B+0$B���/&��

���� σ0�7+� ��3����� 2<0BB� 2*20#%� %<0�*�

4 CONCLUDING REMARKS AND

RECOMMENDATIONS

3/�� ��M������ ������� ��-�J�� �� �)'���������������� /��

�!, ����� �����J�/�/����' ��������������A;,0�3/��

'��� ��� � �� ���� ��� /�� �@��4� ���� ������� ��� /��

��������-�������������4�'��� ��0�,������4�/���!, ��

������� ��������/���� �������������������/����� �

������-��''��)����������������� �����������0�

E ��'�����������/������ ���� -�����/��'��� ����������4�

��/� �������� �� �'���(�� ���� ��� ������ ��� /�� �����

'��'����� ��� /�� � ����0�����'����4� /�� 4����� � �/����

���/��A;,�'��'�����-�������������$��277��&�J���������

��� �'���(����� ��/��� ���� �!, �0� 3/�� ��/������ �

���� ���������� ���������J�������4����������������'���(�0�

3/����/���������/���@������/��J� 1@��J������������

?�,����&��� ��4��������������������64 ��0�

3/����� �'�����/�����������-����/����/���������'���4�

� ���������J/��/�/������� �'��'������������������J�/�

�� ���-� �������� ��' ������� �0� 3/�� ���������-� ��� /��

�''����/�������������-����'���4������� ����0�

,����/���������/�����J����������:�

� ������ ��/������ � ����� ����� ��� /�� '��� ��0�

!��������� ������ �������-���� ���''��'����� ��� ��� ��4�

J�/� /�� �!, �� ���� ���/��� ������/�� ���� ���������

'�������4������ ������� ������������������ ��������0�

� �@������������������ -�/�������-�����������������

��� /�� �������� ��� ��������� ��@��� �� /��� �������0�

3/�� 6)������ ���/���� !, �� ��� �� ��� ���������� ���

���4�/������/���@����������������$��2772�0�

REFERENCES

���=3� � ,0� ���� "������@�� ,0� ��BB%�0� ����

!����)��'�������0�9� ��������0�:���������������� &�

2*�<�&�"��0��BB%&�'0�+#B1%7$0�

�� ��4���� F0�0� ���� �������� 60� �277*�� ,� ����4�

' ���� � 4���/�� ���� /�� ��'������� ���� �����4� '��� ��0�

�������������:���������������� 0�*7�$�&�'0�+7$1+2%0�

������� ?0F0� ���� ����/�1����� ?0� ��BB#�0� ,� ��J�

;��������� ��� C�/�� �� ����4� �����/:� ����

, 4���/�&� �������4� ��������-0�:��������� ������� 0�

<<�2�0�����/1,'�� ��BB#0�

����@��F0���BB%�0�!�����4������� ������-������

��� ��� ������-� � 4���/�0� ��:� 6����� ,6&� �X�@� 3&�

��/����������������/J��� �A�0����� � ����� ����� ���4�

����� "����� ����"�B%�&� �"!�� �<B%&� �'���4��&� ��� ��&� '0�

��B=�2%0�

64 ��� 0E 0� ���� ��� �0Y0�� ��BB#�� ,� ���� ����/�

�����/��������������������4�J�/�����'���-�������������

���� ���� ���0� ��� �0A0� ����� ���� F0�0� G� -� ���0�&�

9�� ��������;� ���4� ���� �����������&� G �J��&� '0� #**1

#$70�

!/���4&� 0G01�0� ���� ��J� � E 0�00� �BB#0� ,��

, 4���/�������� ��4��?-������"�J��@�J�/� ������

,��� !�'�����&� J�/� ��� ,'' ������� �� ?-������ 5 ���

����4����&�:���������������� '�<<�#�&�'0�B$�1B#*0�

?�,�����F0�0���B%���,�!��'���������A�����������

/��!�'�������!/��������������� ��0�����H�3/��&�

3/���������-�������- ������!� �4�����@&��?&���,0�

5 ���-� ;0� ��BB*�0� ��/���� ��/������ ��

����������'���� ��'��� 8���"�1?������ �0��/?�3/��&�

3/���������-�� �������� ����! �����15������&�5�����0�

>>>>>>>>>&� �������� �0&� ����� !0&� �277<�0�

6�� ������-� , 4���/�� ���� ���/���� ,��� ����4�

���� ��0� ������� �"!�0� ���":�*1$<712�*+%1*0� 277<0�

�'0�$7��=�$�20�

>>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>���� ������1

!/�����E 0��277$�0���'�����4������������ ����� ������

�����4�'��� ��0�<��������0�:����������������� ������4�

&<:��('�C� �$#&��0�$2#�1�$*%&�277$0��

Page 24: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

2<� � �

>>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>0�

������ ��� ������ ��� � ��������� /��!�'�������,���

����4� ���� ��0� �2772�0� !���������&� ,�&� ���� ����� ����

� �����4� ��� A�4/� ,�����-� �-��&� '0� 2B712B$&� ������

�����4� �&�+1�7�,'�� �2772&�5��������F0�����������"������

;������� �6�0�&� !���������� ,��� &� ���"� �1$#$$$12<21*&�

27720�

>>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&�

!��'���4� ���� �� ����� ���� /�� ���/���� !, �0�

�277*�� ������� ���������� � E ��@/�'� ��� 5���4/�

3���'������� ���� ��4���� ����� �� ��� �����&�

�?Y��6���277*&����� -&��� -&���-�2+1*7&�277*0�

>>>>>>>>>&�;���4�����0� �������������00� �277��0�

���1A������� ���� /�� ���/���� A��� ��/��� ��4�

���� ��0� ������������ <������� �0� ���������� ������� �

��F� �0�*B��$�0�'0�*<�B1*<$+0�

;�������� �0&� ��'���� ;0� ���� ��4���� 00� ��BB#��0�

���/���� ��/�� �� �����40� ��������� <������� 0���

:����������������� $�%%&�'0�*1�20�

;���������0&���'����;0�������4���� 00���BB#��0�,�

3���������/�A�����������/��C�/�� �� ����4����� ���J�/�

���/����?������ ���� !�����0�:��������� ������� 0�

<<��*�&���-1F�����BB#0�

;� �����0�0�����E ��4� 030���B%��0�!�'�����������

�����4�'��� ��&�)�/��!�&���&�'0�*7$1*�$0�

F������030� �277��0� ���� ���� 5 �)�� �� �/��� ��4�

J�/� 6�� ������-� !��'�����0� �/?� ?�������&�

?�'������ ��� !��'���� �������&� �������-� ��� ,��/�&�

?�����@0�

�������� �0&� ����� !0� ���� ������1!/����� E 0�

�277��0�,�4������� 4���/������/��!�'�������,��� ����4�

���� ����������)�����0�'0�<+*1<%*&����Z,'' ����������

��� ������-� ���'���4Z&� 60F0E 0� ����� ���0�&� �"!�� 27*+&�

�'���4���C�� �40�

��'���� ;0� ���� �������)� 50C0� ��BBB�0� �� ���4�

��/���� �����4� '��� ��� J�/� /�� ���4��� �1/�'���

��/��0�=����9���������������������&�30;0�!�����������

;0���'�����6��&�G �J��&�'0��$B1�#+0�

>>>>>>>>>&� >>>>>>>>>&� ���� A����� �0C0� �2772�0�

,�����4����1�/�'��, 4���/������ /��!�'�������C�/�� ��

����4� ���� ��� J�/� ���/���� ?�����0� :���������

������� &�$7�*��<�$1<2*0�

�-����� G0!0� ���� ��J� � E 0�00� ��BB#�0� ,��

, 4���/�������� ��4��?-������"�J��@�J�/� ������

,��� !�'������ J�/� ��� ,'' ������� �� ?-������ 5 ���

����4����0�:���������������� 0�<<�#�&�"��P?��0��BB#0�

C��J��M��0&�,/�����0&�G �-J�4�,0&�"��/�����;0�

�����/�'����,0��277��0�3/�����' ��,����4��,''��)�������

��/��� ,'' ���� �� ���/���� ����4� ���� ��:� ,�

!��'������ � ���-0� 3��/���� � �'��&� 3/�� ��4����

�����&�;���4������������3��/�� �4-&���4��277�0�

�������� "0� ���� G� -����-� ?00� ��BB<�&�

�� ���M������ �'���(����� ���4� "����������� �����4�

���;������, 4���/�0��5��������4����������&� 2�*�&� '0�

22�12<%0�

�J�/��� �0 0� ���� ��'������� F0�?0� ��BBB�0� ,�

��/���������-���������� �����/����4 �1��/�� ��'��@1�'�

���� �� ����-� '��� ��0� ��������� <������� �0� :����������

������� &���<&�'0�<<+1<#<�

3����,0�����;/�/�,0���BB+�0�;������, 4���/��

J�/� �� ���� �� ����� �����/��4� ��/���0� �����

������������ ��� �5��������4� ���������&� ��*�&� '0� 27�1

27%0�

Page 25: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � 2$�

APPENDIX 1. DCARP RESOLUTION: TIGHT APPROACH

$�%��!' ?�,�������������

� ��� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ���σ �&� ���σ

4���� *�#� $� *$�02*� $0%2� ##027� *�0�+� 70#%�

4��2� **B� #� *%B0$7� %07%� B<027� 2%07#� �0�7�

4��*� 2+$� $� 2B20%2� $0%�� #<0<7� �$0*<� 70+7�

4��<� 2%+� <� *270B*� $02<� +B0+7� 2*0$%� 70%#�

4��$� *++� #� <<*0�+� %07B� B20+7� *+0#+� �0�2�

4��#� 2B%� $� **$077� #02$� +B0<7� 2+0B%� 70%#�

4��+� *2$� $� *$<0#+� $0%2� #$077� 2$02+� 70+7�

4��%� *$7� �7� *%$0�7� ��0BB� B20*7� 2�0�B� �07B�

4��B� *7*� �7� *#20B%� �*0$%� BB0*7� 2<0$%� �0<7�

4���7� 2+$� <� 2%#02B� <0<*� <*077� �*0�2� 70$7�

4����� *B$� $� <�202�� $0#+� $%0B7� �$0#*� 70#2�

4���2� <$%� +� $��0+#� %0�%� +%027� *B0B*� 70%$�

4���*� $*#� #� $%<0%�� %0%�� B+0#7� 2<0+�� �02��

4���<� �77� $� �720<$� $0<+� <70*7� *0+<� 70#*�

4���$� $%� <� $%07#� <07*� 20B7� 70*<� 70�+�

4���#� �2+� $� �*<0<#� #0#*� %%0$7� $02*� 70B<�

4���+� B�� #� B�022� #0��� ��0�7� 70#*� 70*��

4���%� �#<� $� �#+072� $0*7� 2%0+7� <0B�� 70<B�

4���B� $$� *� #70$7� *0#B� $B027� $0+%� 70#<�

4��27� �2�� <� �2B0<7� $0+<� B�077� $0*B� 70B$�

4��2�� �$#� #� �#<0$B� +0#B� B7027� $0*+� 70B$�

4��22� 277� %� 27$0%2� B0#<� %+0B7� *0#*� �072�

4��2*� 2**� �7� 2<%0+*� �*0+B� BB0*7� #0#B� �0$7�

$�%��"' ������>�����������

� ��� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ���σ �&� ���σ

�4 1��1,� *$<%� $� *B�#0#<�� #0�%�� +%0<7� 2B<0<�� 70%#��

�4 1��1�� <<B%� +� $2B#0�<�� %0#��� %#0*7� $*20$*� �072��

�4 1��1!� $$B$� �7� +�*%0+#�� �*0#%�� BB0*7� #<<0*%� �0<%��

�4 1�21,� $7�%� +� $%770<2�� %0%#�� B�0%7� <#<077� �07+��

�4 1�21�� #*<7� �7� +%+<0*��� �*0<2�� B%0B7� #+B0%#� �0<*��

�4 1�21!� %<�$� �<� �72�+0#+�� �+0B#�� BB0$7� +<$0#�� �0$*��

�4 1�*1,� $%B%� %� #+<#0%*�� �70*B�� B$027� <%70#$� �02*��

�4 1�*1�� +%22� �2� B+B#0+*�� �#0$7�� BB0%7� +�20B�� �0$*��

�4 1�*1!��7<**� �+� �**$*0B+�� 2*0�%�� �77077� B�20�*� �0%���

�4 1�<1,� #<#�� B� +#2B0$7�� ��0$7�� B$077� $B#0$<� �02#��

�4 1�<1�� B72�� �<� ��+#�07<�� �B0�+�� �77077� B770BB� �0#%��

�4 1�<1!���++B� 27� �<$*20$��� 2$0$��� BB0B7� B<$0++� �0%*��

�4 1�1,� $7�%� +� $B7%0++�� %0$*�� %$0<7� #2+0#<� 70BB��

�4 1�1�� #<*$� �7� ++*$0�$�� �20+$�� B#0+7� #$20+7� �02B��

�4 1�1!� %$�%� �<� �7%2�0$2�� �%077�� BB0�7� B7202+� �0$+��

�4 121,� BBB$� �<� �2*7%0%<�� �%0B��� BB0+7� %##02*� �0+���

�4 121���*�+<� 27� �+7#�0$$�� 2%0<��� �77077� ��2*0#7� 2022��

�4 121!��#+B$� 2+� 2�%$�0$7�� *#0B+�� �77077� �2+%07#� 20*B��

�4 1*1,��72B#� �$� �2%#<0<2�� 2707$�� BB0B7� B7*02%� �0#$��

�4 1*1���<7$*� 22� �+$7<0�2�� 2%0++�� �77077� �7+20�+� 2077��

�4 1*1!��+2B+� 2B� 22$�70%+�� *B0<+�� �77077� �2+#0*2� 20<2��

�4 1<1,��2<<2� �B� �<B7%02<�� 2*0+B�� �77077� B7B0�2� �0#%��

�4 1<1���#$*�� 2+� 27%%<0B+�� *#07*�� �77077� ��%*07$� 202#��

�4 1<1!�27%*2� *#� 2+�$#0%$�� <%0B7�� �77077� �$7<0+<� 20+#��

$�%��.' ������>�����������

� ��� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ���σ �&� ���σ �� ��� �+*� 2� �+*077� 2077� 7077� 7077� 7077�

�� ��� �+*� *� �B70#7� <02B� %20+7� �<07+� 70%<�

�� ��� 2<$� B� 2#�0<*� B0++� $%077� �+0*2� 70++�

�� 2�� 22+� 2� 22+07�� 2077� 70�7� 702$� 707*��� 2�� 2$B� *� 2%*0+7� *0<B� <B0<7� 2$077� 70$7�

�� 2�� <$+� %� $#702<� �70$7� B$0%7� $70+<� �022�

�� *�� %�� 2� %20<�� 20<B� <%0#7� 202B� 70$7��� *�� %+� *� %B0%7� *0<+� <+027� *0<7� 70$7�

�� *�� �*%� +� �#�0B*� B02$� B*0�7� �$0%%� �0�B��� <�� <77� *� <720��� *02�� 2�0�7� <0�7� 70<2�

�� <�� <�2� <� <�+0�#� <0<2� *+0$7� +0<B� 70$+�

�� <�� <2%� $� <<+0%2� $0BB� +*077� �$0+%� 70+#��� <�� $<�� B� $B<0B#� �70+*� B7027� *20BB� �077�

�� $�� <2*� *� <2%0%$� *0*7� 2B0<7� B0��� 70<#�

�� $�� <<#� <� <$#0B2� <0#+� $%0+7� �70B%� 70#*�

�� $�� <+<� $� <B70*B� $0+$� #�0$7� �<0B$� 70#B�

�� $�� $%�� B� #+$0��� �2072� B%027� <70%%� �02#�

�� #�� 22*� *� 22B0+<� *0<2� <20�7� +0B7� 70<B�

�� #�� 2**� <� 2<<0+B� <0#7� $#0+7� ��07B� 70$#�

�� #�� *�+� �7� *+#0<�� �*0��� B%0#7� 2%02<� �02+�

�� +�� 2+B� *� 2%*0B$� *0*#� *$0$7� #0+<� 70<%��� +�� 2%*� $� 2%<0�7� $0��� ��077� *0�*� 70*��

�� +�� **<� B� *#%0$B� �70%$� %%0*7� 2202%� �0���

�� %�� *%#� *� *%+0�+� *07#� #0$7� <0<2� 702$��� %�� *B$� <� *B#0*+� <0�+� �#0#7� *0$7� 70<7�

�� %�� $2+� B� #�20*%� ��0#B� B#0%7� <70$$� �02*�

�� B�� *2*� *� *2<0*B� *0�$� �<0+7� *0*B� 70*$��� B�� *2#� <� **$0$$� <0%+� #$0%7� %027� 70+#�

�� B�� **2� $� ***0%+� $02�� �B0%7� <07*� 70<*�

�� B�� *B�� �7� <2%0*+� �20$<� B#0�7� �B0B$� �02<�

�� �7�� <2%� *� <2%0%<� *0�2� �2027� 20*+� 70*<�

�� �7�� <*#� <� <<�0#�� <0<7� *B0#7� #0B#� 70<B�

�� �7�� <<#� $� <$$0%#� $0+B� #*0#7� %0$�� 70+7�

�� �7�� $*7� �7� $+*0#2� �20$�� B$0#7� 220$#� �02B�

Page 26: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

2#� � �

APPENDIX 2: DEARMON’S INSTANCES�

$�%��#' ����!��''����/�

� ��� �

����

�&� ����

�&� ����

�&� ����

�&� ���σ � �&� ���σ �

4���� **+� #� **+077� #077� 7077� 7077� 7077�

4��2� *$B� +� *$B077� +077� 7077� 7077� 7077�

4��*� 2B#� #� 2B#077� #077� 7077� 7077� 7077�

4��<� *�*� $� *�*077� $077� 7077� 7077� 7077�

4��$� <7B� +� <7B077� +077� 7077� 7077� 7077�

4��#� *2<� #� *2<077� #077� 7077� 7077� 7077�4��+� *$�� #� *$�077� #077� 7077� 7077� 7077�

4��%� *+7� ��� *+�0#$� ��07+� #0%7� #0*<� 702$�

4��B� **�� �2� **�0B*� �207$� <0+7� <0$%� 7022�4���7� 2%*� $� 2%*0��� $07�� 70+7� �0*2� 707%�

4����� <7*� #� <7*077� #077� 7077� 7077� 7077�

4���2� <+%� %� <%702�� %07<� <077� �20�*� 7027�4���*� $<<� +� $<<02*� +07�� �077� 20#7� 70�7�

4���<� �77� $� �7707$� $077� 70$7� 70+�� 707+�

4���$� $%� <� $%077� <077� 70�7� 707#� 707*�

4���#� �2B� #� �2B072� #07�� 70+7� 70*7� 707%�

4���+� B�� #� B�077� #077� 7077� 7077� 7077�

4���%� �#<� $� �#<07*� $077� 70<7� 70$7� 707#�

4���B� #*� <� #*077� <077� 7077� 7077� 7077�

4��27� �2*� $� �2*07$� $077� 70$7� 70+�� 707+�

4��2�� �$%� +� �$%07$� +07�� �027� 70<<� 70���4��22� 272� B� 2720�� B07*� 20+7� 70#�� 70�+�

4��2*� 2*+� �2� 2*+07*� �207�� �077� 702+� 70�7�

��

$�%�� ' �������������� � �

��� �

����

�&� ����

�&� ����

�&� ����

�&� ���σ � �&� ���σ �

*2*� $� **�0#7� $0+%� #�0#7� %07*� 70+��

*<$� #� *$<0*#� #0%#� ##0%7� %07<� 70+��

2+B� $� 2%B0$$� $0%*� ##077� B02%� 70+7�*�*� $� *�*077� $077� 7077� 7077� 7077�

*B$� #� <7*0%7� #0+B� #<077� +0%*� 70#%�

*�2� $� *2�027� $0%<� #$027� %0�7� 70+��

*2$� $� **B0�7� $0%<� ##0#7� �*0*$� 70#B�

*$%� �2� *#�0B<� �2022� 27077� %0<B� 70<$�

*�+� ��� *2707%� ��0�+� �$0+7� +0#<� 70<7�

2+$� <� 2+%0$%� <0<<� <*0<7� <02+� 70$7�

*B$� $� *B$07#� $07�� 70#7� 70B<� 707%�

<+%� %� <+B0*2� %07*� *077� %0�*� 70�+�$<<� +� $<<022� +07�� �077� 20$2� 70�7�

�77� $� �7707*� $077� 70$7� 70<2� 707+�

$%� <� $%072� <07�� 70B7� 70�B� 707B��2B� #� �2B07*� #07�� 70+7� 70*%� 707%�

B�� #� B�077� #077� 70�7� 707#� 707*�

�#<� $� �#<07*� $077� 70*7� 70$$� 707$�$$� *� $+02�� *0#B� $%0�7� 20##� 70#$�

�2*� $� �2*072� $077� 70$7� 702%� 707+�

�$%� +� �$%072� +07�� �0�7� 702�� 70�7�

272� B� 27207B� B07<� *0B7� 70<#� 70�B�

2*$� ��� 2*$0%*� ��0*B� **0+7� �0*$� 70#7�

$�%��9' �������������� ��0 �!� σ+ �

��� �

����

�&� ����

�&� ����

�&� ����

�&� ���σ � �&� ���σ �

**+� #� **+077� #077� 7077� 7077� 7077�

*##� +� *##077� +077� 7077� 7077� 7077�

2B#� #� 2B#077� #077� 7077� 7077� 7077�

*�*� $� *�*077� $077� 7077� 7077� 7077�<7B� +� <7B077� +077� 7077� 7077� 7077�

*2<� #� *2<077� #077� 7077� 7077� 7077�

*$�� #� *$�077� #077� 7077� 7077� 7077�

*%%� �*� *%%0�7� �*077� 70<7� �0$B� 707#�

**$� �2� **$07+� �207�� 70$7� �02*� 707+�2%*� $� 2%*077� $077� 7077� 7077� 7077�

<7*� #� <7*072� #077� 70�7� 70+7� 707*�

$*<� %� $*<077� %07<� <0�7� 7077� 7027�

$$2� %� $$2077� %077� 7077� 7077� 7077�

�72� $� �7207<� $07<� <077� 70$<� 7027�

$%� <� $%077� <077� 7077� 7077� 7077�

�2B� #� �2B077� #077� 7077� 7077� 7077�

B�� $� B�077� $077� 7077� 7077� 7077�

�#<� $� �#<07�� $077� 70�7� 702$� 707*�#*� <� #*077� <077� 7077� 7077� 7077�

�2*� $� �2*077� $077� 7077� 7077� 7077�

�$%� +� �$%07�� +077� 7027� 70*<� 707<�272� B� 272077� B077� 7027� 707B� 707<�

2*%� �2� 2*%07�� �207�� 70B7� 70�$� 707B�

Page 27: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � 2+�

APPENDIX�2: BELENGUER AND BENAVENT’S INSTANCES

$�%��*' ����!��''����/�

�� ��� �

����

�&� ����

�&� ����

�&� ����

�&� ���σ � �&� ���σ �

�� ��� �+*� 2� �+*07� 207� 707� 707� 7077�

�� ��� �+B� <� �+B07� <07� 702� 70#� 707<��� ��� 2#�� �7� 2#�02� �707� �0<� 207� 70�2�

�� 2�� 22+� 2� 22+07� 207� 707� 707� 7077�

�� 2�� 2#2� *� 2#207� *07� 707� 707� 7077��� 2�� <BB� B� $7�0%� B0�� %0%� �70$� 70*7�

�� *�� %�� 2� %�07� 207� 707� 707� 7077��� *�� %B� <� %B07� <07� 702� 702� 707<�

�� *�� �<#� %� �<+07� %0�� $0�� <0$� 702*�

�� <�� <7#� <� <7#07� <07� 707� 707� 7077��� <�� <�%� $� <�%07� $07� 707� 707� 7077�

�� <�� <<%� #� <<%07� #07� 707� 707� 7077�

�� <�� $#$� �7� $#$0$� �707� �07� <0B� 70�7��� $�� <<�� <� <<�07� <07� 707� 707� 7077�

�� $�� <##� $� <##07� $07� 707� 707� 7077�

�� $�� <B+� #� <B+07� #07� 707� 707� 7077�

�� $�� #�+� �7� #�+02� �707� 70%� 20+� 707B�

�� #�� 22*� *� 22*07� *07� 707� 707� 7077�

�� #�� 2<$� $� 2<$07� $07� 70�� 70*� 707*�

�� #�� **+� ��� **+0<� ��07� 20<� 20%� 70�$�

�� +�� 2+B� <� 2+B07� <07� 707� 707� 7077�

�� +�� 2%*� $� 2%*07� $07� 707� 707� 7077��� +�� *$2� �7� *$20�� �707� 70+� �0*� 707%�

�� %�� *B$� <� *B$07� <07� 707� 707� 7077�

�� %�� <7B� $� <7B07� $07� 707� 707� 7077��� %�� $#$� �7� $#$02� �707� 70+� 20<� 707%�

�� B�� *2#� <� *2#07� <07� 707� 707� 7077�

�� B�� **2� $� **207� $07� 707� 707� 7077��� B�� *<7� #� *<707� #07� 707� 707� 7077�

�� B�� <7B� ��� <7B0�� ��07� 70+� �0<� 707%�

�� �7�� <*#� <� <*#07� <07� 707� 707� 7077�

�� �7�� <<#� $� <<#07� $07� 707� 707� 7077�

�� �7�� <$B� #� <$B07� #07� 707� 707� 7077�

�� �7�� $$$� ��� $$$07� ��07� 70�� �07� 707*�

��

$�%��-' �������������� � �

��� � ��� � �&� ��� � �&� ��� � �&� ��� � �&� ���σ � �&� ���σ �

�+*� 2� �+*077� 2077� 7077� 7077� 7077�

�+B� <� �+B07*� <077� 70<7� 70<#� 707#�

2<%� B� 2$2022� B02%� 2$0�7� +0%#� 70$��

22+� 2� 22+077� 2077� 7077� 7077� 7077�2#7� *� 2#70�<� *077� 70*7� 20$2� 707$�

<B�� B� <B<0+�� B07B� %0*7� �20B�� 702B�

%�� 2� %�077� 2077� 7077� 7077� 7077�%+� *� %+07*� *077� 70$7� 70<2� 707+�

�<#� %� �<+072� %07$� $027� <0#+� 7022�

<77� *� <7707<� *077� 70<7� 70#%� 707#�<�2� <� <�207*� <077� 70$7� 70#2� 707+�

<<<� $� <$20<<� $0%2� #*0%7� B0$#� 70+$�

$<B� B� $#+0%%� B0%B� #%0�7� 2$077� 70+$�

<2*� *� <2*07<� *077� 70*7� 70%7� 707$�

<<#� <� <<#07B� <07�� �027� 70BB� 70���

<+<� $� <+#0*$� $02%� 2$0%7� #07+� 70<B�

#7$� B� #7#0+#� B0�7� B027� #0$B� 70*��

22*� *� 22*072� *077� 7027� 70$<� 707<�

2*$� <� 2*#0+$� <0**� *20+7� *0$%� 70<B�**�� �7� ***0%<� �70<<� *%077� <0%#� 70#��

2+B� <� 2+B077� <077� 7077� 7077� 7077�

2%*� $� 2%*072� $077� 70<7� 70*%� 707#�*<2� �7� *<<0B� �7022� 270*7� +0*B� 70<+�

*%#� *� *%#0�%� *072� �0%7� �0*#� 70�*�

*B$� <� *B$0$2� <07$� $0<7� 20<�� 702*�$$%� �7� $$B0�<� �707#� #077� $0#+� 702$�

*2*� *� *2*077� *077� 7077� 7077� 7077�*2#� <� *2#07<� <07�� 70#7� 70$+� 707%�

**2� $� **20�%� $072� 20*7� �02#� 70�$�

<7B� ��� <7B072� ��077� 70�7� 70$�� 707*�<2%� *� <2%07#� *07�� �0<7� 70<+� 70�2�

<*#� <� <*#077� <077� 7077� 7077� 7077�

<<%� $� <<%02*� $07<� *0#7� �0*+� 70�B�

$<�� �7� $<<0+B� �70*#� *70B7� +07*� 70$%�

$�%��2' �������������� ��0 �!� σ+ �

��� � ��� � �&� ��� � �&� ��� � �&� ��� � �&� ���σ � �&� ���σ �

�+*� 2� �+*077� 2077� 7077� 7077� 7077�

�+B� <� �+B077� <077� 7077� 7077� 7077�

2#%� �7� 2#%07*� �7077� 7027� 70#7� 707<�

22+� 2� 22+077� 2077� 7077� 7077� 7077�

2#7� *� 2#7077� *077� 7077� 7077� 7077�$#%� �7� $#%077� �7077� 7077� 7077� 7077�

%�� 2� %�077� 2077� 7077� 7077� 7077�

%+� *� %+072� *077� 70*7� 70*#� 707$��#2� B� �#207B� B077� 70<7� �0*B� 707#�

<77� *� <77077� *077� 7077� 7077� 7077�

<22� <� <2207*� <077� 70*7� 70#*� 707$�<$<� #� <$<07+� #077� 70*7� �0<7� 707$�

$+<� �7� $+#0<�� �702�� 270*7� %07<� 70<2�

<2%� *� <2%077� *077� 7077� 7077� 7077�

<$7� <� <$702<� <02�� 2�0$7� �0%<� 70<��

<B$� #� <B$077� #077� 7077� 7077� 7077�

#*�� �7� #*�0��� �7077� 70*7� 207+� 707$�

22*� *� 22*077� *077� 7077� 7077� 7077�

2<$� $� 2<$077� $077� 7077� 7077� 7077�

*<+� �2� *<+0�<� �2077� 70<7� 202#� 707#�2+B� <� 2+B077� <077� 7077� 7077� 7077�

2%*� $� 2%*077� $077� 7077� 7077� 7077�

*$2� �7� *$207*� �7077� 70*7� 70$$� 707$�*B2� *� *B20�B� *0*�� *�0*7� �022� 70<#�

<7B� $� <7B07%� $077� 70*7� �0<#� 707$�

$%*� ��� $%*07<� ��077� 70�7� �0**� 707*�*2*� *� *2*077� *077� 7077� 7077� 7077�

**2� $� **2077� $077� 7077� 7077� 7077�

*<7� #� *<7077� #077� 7077� 7077� 7077�

<2�� ��� <2�07#� ��077� 70<7� 70B2� 707#�

<2%� *� <2%072� *077� 7027� 70<#� 707<�

<*#� <� <*#077� <077� 7077� 7077� 7077�

<$B� #� <$B077� #077� 7077� 7077� 7077�

$#2� ��� $#2077� ��077� 7077� 7077� 7077�

Page 28: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

2%� � �

APPENDIX 3: EGLESE’S INSTANCES�

$�%��!�' ����!��''����/�

��� ��� �&� ��� �&� ��� �&� ����

�&� ���� &� ����

�4 1��1,� *%2$� #� *%**0*�� #07�� �0$7� #%0*#� 70�2�

�4 1��1�� <%7$� %� <%220+B� %07<� <0<7� %$02$� 702��

�4 1��1!� #�#�� ��� #2�B0$%� ��0��� �70+7� �%#02B� 70*2�

�4 1�21,� $<�%� %� $<*70B<� %07*� 20#7� %*0%*� 70�#�

�4 1�21�� #+B�� ��� #%7B0�$� ��07<� <0*7� B7027� 7027�

�4 1�21!� B*#B� �#� B<#+07+� �#02� �%0+7� 22*0B7� 70<<�

�4 1�*1,� #*$$� B� #*#�0*�� B07�� �0*7� $%0BB� 70�*�

�4 1�*1�� %$B7� �*� %#$*0$*� �*0�<� �*0+7� �#+027� 70*+�

�4 1�*1!� ��<�2� �B� ��<%%0#2� �B0�+� �#077� �%+02+� 70<7�

�4 1�<1,� #B%B� �7� #BB%0*#� �7072� �0%7� +70#�� 70�*�

�4 1�<1�� B+B�� �#� B%#�022� �#0�$� �<0�7� �B�0#2� 70*+�

�4 1�<1!� �2%#<� 22� �*7*+0#%� 220*$� *7077� *7B0%7� 70#7�

�4 1�1,� $$72� %� $$��0�#� %072� 20<7� +20*+� 70�$�

�4 1�1�� #B�*� ��� #B*<07�� ��07$� <0#7� �720+�� 702��

�4 1�1!� B*�%� �#� B*$7022� �#07#� $0*7� �<#0+$� 702<�

�4 121,� �7B2+� �#� �7B*<0##� �#07�� �0<7� #$0+2� 70�2�

�4 121�� �<##7� 2*� �<+*%0#%� 2*0�2� ��0*7� 2*70$B� 70**�

�4 121!� �%2*%� *7� �%$�*0+� *70$�� <�0B7� <7#0#2� 70#%�

�4 1*1,� ���<B� �#� ���#20B<� �#07*� 20+7� B70<2� 70�#�

�4 1*1�� �$�<7� 2<� �$2��02#� 2<0�B� �#0B7� �%%0<$� 70<*�

�4 1*1!� �B7+#� *2� �B*�707+� *20$<� <20$7� *#B0*+� 70+��

�4 1<1,� �*<��� 2�� �*<*+0+#� 2�07$� $0<7� �2<07�� 702*�

�4 1<1�� �%��+� *7� �%27*02<� *7027� �+0+7� 2�20�<� 70<$�

�4 1<1!� 22%2+� <7� 2*7++0%*� <70$�� <70*7� *B202�� 70+��

$�%��!!' �������������� � �

��� ��� �&� ��� �&� ��� � �&� ��� �&� ���� �&� ����

*$#%� $� *#BB0*B� $0B�� ##0�7� �%*027� 70%��

<#$B� %� <+$20<*� %0*B� *<0+7� �<B0<2� 70$+�

#7<*� ��� #�*#0+B� ��0#�� $*027� �%<027� 70#*�

$�$2� +� $*$<0�2� %0�#� +$027� 22707<� 70B��

#$<�� ��� #+�B0%2� ��0%*� #<0�7� 2#%022� 70+$�

%+B<� �$� B�*<0*+� �$0+7� $*077� <7#0*�� 70+%�

#*%*� B� #*%*0�B� B077� 70*7� *0$7� 707$�

%*$+� �*� %+2#0#<� �*0$B� $*027� *#B0+2� 70#��

��<�%� �B� ��<%�0��� �B0�<� �*077� �+20B2� 70*+�

#%##� �7� #BB$0<2� �70##� $<0+7� �B20*2� 70#+�

B+*�� �$� B%<+0B2� �$0+%� $B077� �%+0<2� 70++�

�2+�+� 2�� �*�<$0<B� 220#�� %#027� *BB0#B� �07#�

$�#7� +� $**+0*<� +0#$� $70�7� 22<0+7� 70+<�

#+2#� �7� #B�20%#� �70BB� #$0*7� 2+B0�7� 70B2�

B7<<� �$� B<7*0#7� �$0++� $B027� <<�02+� 70++�

�7$7#� �$� �7#<#0*B� �$0*<� 2B0%7� 2<*07*� 70$+�

�<7#<� 22� �<*+$0+#� 220#<� <B0#7� <**0*+� 70+#�

�++*#� 2B� �%<#%0+#� *70%B� %%0<7� #220+#� �02*�

�7%+#� �$� ���7$0�#� �#0<*� %�0%7� 2$%0��� �077�

�<%$%� 2*� �$<<B02<� 2<0B<� B70#7� <#%02$� �0�%�

�%$%B� *�� �B*<B0+�� **0*B� B<0+7� $2%0$<� �02$�

�*<�%� 27� �*#<20$+� 270#2� <+0+7� *2*0$B� 70+$�

�+$7<� 2B� �%��20+�� *70$7� %<0#7� #��0$7� �07$�

22277� *%� 2**B<0%B� <70%%� B$0B7� +%%0B7� �0$%�

$�%��!"' �������������� ��0 �!� σ+ �

��� ��� �&� ��� �&� ��� � �&� ��� �&� ���� �&� ����

<7*#� #� <7*#077� #077� 7077� 7077� 7077�

<B*�� %� <B*20+7� %07�� 70+7� 2#0#�� 707%�

+72B� �2� +7*70%%� �207�� 70$7� 2%0#%� 707+�

$#2%� %� $#2B07%� %077� 70*7� �B0+<� 707$�

++�B� �2� ++270�7� �2077� 7027� 2<0<%� 707<�

�7$*<� �%� �7$*<0$#� �%077� 70�7� �+0+#� 707*�

##2$� B� ##2+0��� B07�� 70$7� *70�+� 707+�

�72#2� �$� �72#<0*7� �$07�� 70$7� *20+�� 707+�

�27#7� 27� �27##0*B� 2707�� �0<7� $<0$�� 70�2�

++$<� ��� ++$#0$<� ��077� 70<7� <�0$%� 707#�

���#<� �+� ���#%0<�� �+072� �0$7� <<02%� 70�2�

�$<2#� 2$� �$<2+0B+� 2$07�� �077� 2%02�� 70�7�

#*27� B� #*270$+� B077� 70�7� �%07%� 707*�

%�7B� ��� %��*0$<� ��0*+� *+0�7� *<0*+� 70<B�

�7B$+� �+� �7B$+0#�� �+077� 70$7� B0<B� 707+�

��2%B� �$� ��*B70+%� �#0*2� %*0B7� �<#02�� 70%<�

�+*+#� 2$� �+<7*0�%� 2$0$*� $�077� <�0#$� 70$<�

2�<�2� *2� 2�$7+0**� *20$$� <B0+7� �#70*<� 70#7�

�2�7+� �+� �2��%0#7� �+07#� #0�7� #B0B$� 702#�

�%+7%� 2+� �%+�+0#�� 2+072� 20�7� +<0*2� 70�<�

22%7*� *#� 22%<+0$%� *#0�*� �20B7� �*B0*+� 70*#�

�<*$$� 2�� �<<**0%�� 2�0B%� +�0#7� ��+0%7� 70+%�

2�<2�� **� 2�$7*0#+� **0*%� *#077� �%B0$*� 70$*�

2+�#%� <*� 2+22#0B$� <*0$�� <%077� �2<0BB� 70$$�

Page 29: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � 2B�

APPENDIX 4: COMPUTATIONAL TIME

$�%��!.' !��'������ �������������������?�,�������������

� ��������������� � �� ��������������� σ0!� + ��

� 3�� �3���� 3��������� 3�� �3���� 3���������

4���� #�07% %0%< <B0%< 70$#

4��2� #*0�* <0$B +$0** #0+*

4��*� $$0$# *0<< $+0+# �02

4��<� <<02* <70%� $70+$ <07$

4��$� #20*B *0#� #B0++ 20$%

4��#� $<0B2 +07% $B0*B 702

4��+� $*07% 70%* $<07% ��0+

4��%� �2* B702# �*70#� +<0%

4��B� �*+02$ <%0*+ �$B0#< �$B0*#

4���7� $<02# #0* $<0#+ 207*4����� ��#0$$ B0*# ��<0+$ <0##

4���2� $#0+$ 2�0%� #$0*B 70<+

4���*� #70B2 <�072 ##0<2 �<0$B4���<� <B0+2 *0B+ $70#B 2B07*

4���$� #%072 70�2 $%0$# 70$2

4���#� #707% �0#< +*0+ #0%�4���+� ##0B+ 70�2 +20* 70**

4���%� %�0#< 202* %#0%< 702%

4���B� *+0%% 707B *20$� 7072

4��27� <%0�2 �0$* $+07# �0<<

4��2�� +�0$$ �0%< B#0** �<0#24��22� �7%0<< 2$022 ��$ %#0<%

4��2*� �2B0%� B207$ �$*0+% �$20<�

,�40� +20<� �%07$ +%0<B 2<0BB

Page 30: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

*7� � �

$�%��!#' !��'������ ��������������������� ��4������������������������

� ��������������� � �� ��������������� σ0!� + ��

� 3�� �3���� 3��������� 3�� �3���� 3���������

�� ��� 707$ 707* 707* 707*

�� ��� �770*# �02 ��70B2 702$�� ��� B$0+ *70$B �*702$ �702*

�� 2�� B202$ 70** BB0*B 702

�� 2�� %<0+$ 70+ B20*B 2#07*

�� 2�� %+0+% B0B2 ��%0$� �+0B%

�� *�� BB0% 70�B �7*02+ 702

�� *�� B*0�# *0<% �7�0%B �20+$

�� *�� %*0$2 $�0$# B�0*� �0#2

�� <�� 2#*0$B B0% 2#<0$* B02

�� <�� 2*<0<� +0## 2+�0** �*0*<�� <�� 22+0B+ %�0B� 2$+0B+ �$*0%*

�� <�� 22�0%B �#+0## 2<*07# 2+0*�

�� $�� 2*<0%B �< 2<202% �$0$%�� $�� 2<#0�+ $70%% 22+0%+ ��<07%

�� $�� 2�<0*� B�0B% 27+0$B #�0*#

�� $�� 2�$0+* %<0$$ 2�+0B2 �7<07*�� #�� �$+0%* +0%# �#20+ 70#2

�� #�� �<202+ �<0$% �<202% �0B<�� #�� �<*0#< ��#0#B �$$0B$ +0�*

�� +�� 22%0<2 20** 2<70�# $#07$

�� +�� 2�$0$* 20$# 22#02+ 20�B�� +�� �++0B� �++0<� �B+0<2 B%0�<

�� %�� 22%0�2 *%02 2220B% 27$07$

�� %�� 2�70B% 220#� 2�B0B$ �#0B$

�� %�� �#$0+ #20B+ 27%0* *70#*

�� B�� $<707% %702* $270$$ 2#$0$#

�� B�� <<<0$$ *%B0++ <*#022 $0*<

�� B�� <#<0#B #<0<2 *B%0+* 2<0�*

�� B�� *<%0++ �<B0*� *%70*B �+#

�� �7�� $%*07# $%07* $%20*# �<B0##�� �7�� <<<0B� 2#+0#B <+B02* *<0$#

�� �7�� <��0#� #<0** <+#07$ 2*022

�� �7�� *%B0$$ �B$0B� *B%0*# *#�0$2

,�40� 2%B0$7 B$0B� 2B+0$B %<0�*

Page 31: STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM - …

STOCHASTIC CAPACITATED ARC ROUTING PROBLEM*

� � � *��

$�%��! ' !��'������ �������������������64 �����������

� ��������������� � �� ��������������� σ0!� + ��

� 3�� �3���� 3��������� 3�� �3���� 3���������

�4 1��1,� 2270*+ �7#07� �#%0*< �#$02+

�4 1��1�� �#%0*# �<+0%* �<202% %0<%

�4 1��1!� �#<0%* �*B0## �%707* �2%0B+�4 1�21,� 2#70%< B#0+ 2**0<� 2�20B+

�4 1�21�� 2B70B2 2+#0%* *+70+$ �%�0B�

�4 1�21!� 2%<0%� 2<+0+$ 2#<0% ��#0B<

�4 1�*1,� **%0#+ $$07B *$+02+ 2$+0++

�4 1�*1�� <<�0$* <<�0*< $%+072 #$02$

�4 1�*1!� *++0% *$�0<$ $+70*< �%+0**

�4 1�<1,� $*+0�� $*#0<% <<B02* �2�0*<

�4 1�<1�� $7*02* $770�+ <##0% *�B0$$

�4 1�<1!� <7%0<+ *220+< $#*07$ 2+0%B�4 1�1,� *<+0+# *7$0�* *2%0+* 22$07$

�4 1�1�� *7�02 �%B0$% *%#0%* B%0$%

�4 1�1!� *��07* �2+072 2B#07# 2��0B2�4 121,� ��**0<$ B7702% ��%B0�� +%�0#B

�4 121�� B#20+# %2%0+ B%+0*� B7%0<<

�4 121!� �<2$0%� <��0+ B*<0<2 +2<0%B�4 1*1,� ��+#0** #%707B �7�%0$B %270B�

�4 1*1�� B7#0%< %<20%B �2270%< ��$B0�+

�4 1*1!� ����0+2 $7�0B� �7#70�� �7<+0$B

�4 1<1,� �<#20<< �2*<0%# �*B%0$B $%$0�#

�4 1<1�� �<%B0%% �2%B02 *<#+0$ 2+2+0B��4 1<1!� �#%$02$ �$*+07$ �+270*# �**�0B2

,�40� #BB0#� $270�B +B�072 $*20#%