sintesi cinematica e dinamica di un robot a cinematica...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO DIPARTIMENTO DI PROGETTAZIONE E TECNOLOGIE

PFMKT - Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici Andrea GINAMMI, Fabio CORTINOVIS

Sintesi Cinematica e Dinamica di un robot a cinematica

parallela a 3 g.d.l



Descrizione progettoObiettivo:Nota la geometria del robot, definita da studi precedenti, e scelta una traiettoria limite con relativa legge di moto, si vuole caratterizzare il comportamento cinematico e dinamico del PKM lineare ad assi complanari e paralleli, attraverso Matlab e successiva validazione in Adams.

Attuazione ElettricaAttuazione Pneumatica



Aspetti generali dei PKM• PKM: Parallel Kinematic Machine• Robot a cinematica parallela: costituiti da una base fissa, una base

mobile ed una serie di arti che le congiungono realizzando così catene cinematiche chiuse

• Principali caratteristiche:– Giunti motorizzati a terra– Distribuzione degli sforzi sulle varie catene cinematiche– Struttura rigida e leggera– Alto rapporto carico nominale/peso struttura– Elevati valori di accuratezza– Ridotto rapporto volume di lavoro/ingombro a terra– Punti di singolarità all'interno del volume di lavoro

• Campi d'impiego: operazioni di pick&place (linee di confezionamento), ambito medicale, ambito meccanico (macchine utensili)



Aspetti generali dei PKM• PKM per moto traslatorio a 3 g.d.l. :

– Costituisce un compromesso che consente di beneficiare dei vantaggi dati da un architettura parallela senza limitare troppo l'area di lavoro, complicare eccessivamente la cinematica (spesso risolvibile in forma chiusa) e incorrere in problemi costruttivi

– Permette all'end-effector soltanto delle traslazioni lungo le tre direzioni principali, mantenendo sempre la terna mobile parallela a quella fissa

– Capostipite Delta di Clavel: robot a quattro gradi di libertà, di cui tre permettono la traslazione della piattaforma e il quarto permette la rotazione di un eventuale polso

– Nel Delta di Clavel l'estremità superiore di ogni parallelogramma descrive una traiettoria circolare in virtù dei motori rotativi impiegati; una modifica a questa soluzione consiste nell'utilizzare motori o attuatori lineari, in modo che la traiettoria descritta sia rettilinea



Aspetti generali dei PKM• PKM per moto traslatorio a 3 g.d.l.

Delta di Clavel

Delta lineari



Vincoli parallelogramma• L'end-effector del robot è in grado di compiere soltanto delle traslazioni nello spazio

lungo le tre coordinate x, y e z grazie alla presenza dei tre parallelogrammi articolati posti a 120° nel piano.

• Sostituzione dei giunti sferici con delle cerniere

Schema vincoli parallelogramma articolato

Schema costruttivo vincoli lato carrello

Latocarrello

Latoend-effector



Volume di lavoro• Rappresenta tutti i punti raggiungibili dall'end-effector

• Il volume di lavoro dei PKM a 3g.d.l. per moto traslatorio ha solitamente la forma di una lente biconvessa

• Due differenti approcci:– Geometrico (attraverso strumenti CAD): intersezione dei luoghi dei punti

raggiungibili da ogni link

– Analitico (algoritmo): data una nuvola di punti si risolve la cinematica inversa e si confrontano i risultati con le posizioni min e max raggiungibili dai carrelli



Volume di lavoro• I manipolatori paralleli, hanno come maggior difetto quello di avere un rapporto

sfavorevole tra volume di lavoro e volume della macchina• Il volume di lavoro dovrà essere massimizzato• Un manipolatore disegnato per avere un volume massimo potrebbe però avere

caratteristiche cinematiche indesiderate come destrezza e manipolabilità limitate• Risulta necessaria quindi la scelta di un indice che tenga conto anche della qualità del

volume di lavoro: numero di condizionamento k della matrice JJT

• Il volume di lavoro non è totalmente sfruttabile a causa delle singolarità

Limiti numero di Condizionamento (JJT)



Matrice Jacobiana• Matrice Jacobiana:

1. Indicatore del comportamento cinematico di un meccanismo equazione di chiusura vettoriale

x=vettore coordinate nello spazio cartesiano q=vettore coordinate nello spazio dei giunti Differenziandola rispetto al tempo: con

Quindi è possibile ottenere le velocità ai giunti: con La matrice Jacobiana J risulta essere il prodotto di due matrici contenenti ciascuna

le derivate parziali della funzione di vincolo f rispetto alle coordinate dei giunti e rispetto alle coordinate cartesiane.



Matrice Jacobiana• Matrice Jacobiana:

2. Legame statico tra le forze e coppie agenti sull'end-effector F e le forze e coppie generate dagli attuatori t.

Considerando il principio dei lavori virtuali: dx*=vettore spostamento virtuale end-effector dq*=vettore spostamento virtuale attuatori

Considerando che dq* = Jdx*:

Questo equivale a scrivere:



Valori singolari• Un obbiettivo della progettazione di robot è quella di evitare configurazioni di

singolarità all'interno del volume di lavoro o fare in modo da essere sufficientemente lontane da queste.

• Quando si entra in singolarità la matrice J diventa singolare• Basta che una delle due matrici che compongono J sia singolare per avere singolarità:

– Incerta (cinematica diretta): la piattaforma mobile può compiere spostamenti infinitesimi in alcune direzioni, pur avendo gli attuatori completamente bloccati, cioè guadagnare uno o più gradi di libertà

– Stazionaria (cinematica inversa): il manipolatore resiste a forze o momenti in alcune direzioni senza la presenza di forze di contrasto degli attuatori



Rapporto di Trasmissione• Numero di condizionamento k: rapporto tra il massimo (s

max) ed il minimo (s

min) valore

singolare di JJT:

• k è indice del grado di sfericità dell'iperelissoide

• Considerando il manipolatore come trasmissione meccanica è possibile rappresentare i rapporti di velocità e forza come elissoidi o in genere iperelissoidi.

• La relazione mostra come la matrice J è una trasformazione lineare che mappa la velocità dello spazio cartesiano Rn in velocità dei giunti Rm.

• Per il generico manipolatore l'ipersfera unitaria in Rn viene mappata nell'iperelissoide in Rm:

• Gli assi principali dell'iperelissoide coincidono con gli autovettori di (JJT)-1 e la lunghezza degli assi principali è uguale ai reciproci della radice quadrata degli autovalori, pari cioè ai valori singolari della matrice stessa.



Rapporto di Trasmissione• Manipulability ellipsoid: utilizza il volume dell'elissoide come indice della distanza dalla

singolarità. Il rapporto di trasmissione di velocità può essere definito come:

varia con la direzione della velocità dell'end-effector ed assume un valore pari all'inverso della distanza tra il centro e la superficie dell'elissoide lungo tale direzione.– Elissoide poco sferico significa eccessiva variazione del rapporto di velocità con la

direzione del moto e vicinanza alla singolarità– Elissoide grande indica che una piccola velocità nello spazio di lavoro richiede una

velocità elevata nello spazio dei giunti– Indice dell'errore di posizionamento: integrando per un piccolo intervallo di tempo:

quindi la capacità di raggiungere alte velocità nello spazio di lavoro avviene a scapito della precisione di posizionamento.

integrando



Rapporto di Trasmissione• Force ellipsoid (discorso duale a quello delle velocità)

Ipotesi: assenza di attrito nei giunti e assenza della forza peso– Come detto precedentemente:– La matrice JT svolge una funzione analoga a J nel caso delle velocità– In questo caso l'elissoide di forza è definito da:

– Analogamente al Tv è possibile definire il rapporto di trasmissione delle forze T

f:

– Un grande elissoide evidenzia che per ottenere piccole forze sull'end-effector bisogna esercitare grandi forze sugli attuatori

• La matrice (JJT)-1 e (JJT) che definiscono rispettivamente gli elissoidi di velocità e di forza hanno gli stessi autovettori; gli autovalori dell'una sono i reciproci dell'altra.

• La direzione di massima trasmissione di velocità possiede il minimo rapporto di trasmissione di forza.

• Gli elissoidi hanno la stessa forma e sono reciprocamente ruotati



Dati del problema• Geometria del robot



Dati del problema• Traiettoria d'interesse– Punto di partenza/deposito P0: [0.4m, 0.12m, -0.25m] – Punto di presa P1: [1.2m, -0.12m, -0.25m]– Alzata massima hz= 0.15m– Tempo totale di ciclo (comprese le pause) T

TOT= 1s



Dati del problema• Legge di moto– Legge di moto costante a tratti del tipo 1/3, 1/3, 1/3 per tutte le

coordinate sia in andata che in ritorno



Analisi Cinematica• Permette di ricavare informazioni relative a:– Velocità e accelerazioni dei carrelli/end-effector– Volume di lavoro– Punti di singolarità– Rapporto di trasmissione generalizzato

• Cinematica Inversa: permette di ricavare la posizione dei giunti a partire da quella della piattaforma mobile

q=g(x)• Cinematica Diretta: permette di ricavare la posizione della

piattaforma mobile a partire da quella dei giuntix=f(q)

x=[x, y, z] q=[d1, d2, d3]



Analisi Cinematica Inversa• Si risolve attraverso un approccio geometrico considerando

separatamente ogni catena cinematica ed imponendone la chiusura attraverso l'equazione vettoriale:



Analisi Cinematica Inversa• a

i distanza delle guide dall'origine della terna fissa

• bi distanza tra il punto di attacco superiore dei puntoni e l'origine della terna mobile

• di distanza in modulo del carrello dall'origine della propria guida

• ui versore delle guide

• li lunghezza in modulo dei puntoni

• wi versore dei puntoni

• x coordinate dell'end-effector• R matrice di rotazione



Analisi Cinematica Inversa• Isolando il termine l

iw

i di cui è noto il modulo ma non la direzione:

Elevando al quadrato e risolvendo



Analisi Cinematica Inversa• In funzione del segno considerato per ogni soluzione si ottengono 8 possibili

configurazioni di robot, tutte quante valide.• La scelta della configurazione più idonea può essere fatta in funzione della possible

interferenza tra i vari link e la distribuzione delle forze/coppie



Analisi Cinematica Diretta• In generale per i PKM non è possibile ricavare le soluzioni della cinematica diretta in

forma chiusa• Data la semplicità del robot in esame è possibile determinare una soluzione analitica

utilizzando un approccio di tipo geometrico (intersezione delle tre sfere ottenute dalla rotazione di ogni coppia di puntoni rispetto al carrello)

• Anche in questo caso si parte dall'equazione di chiusura valida per ognuna delle tre catene cinematiche e si risolve rispetto ad x, y, z.

dove Ai, Yi e Xi sono funzione di parametri geometrici• La cinematica diretta può essere impiegata per la valutazione degli errori all'end-

effector dato un errore ai giunti



Calcolo di J• Ricordando le seguenti relazioni:



Analisi Dinamica●Dinamica Inversa: permette di ricavare le forze/coppie da applicare ai giunti per contrastare quelle applicate alla piattaforma mobile

●Dinamica Diretta: permette di ricavare le forze/coppie agenti sulla piattaforma mobile note le coppie/forze applicate ai giunti

●Approccio più utilizzato quello inverso: conoscere la coppia da applicare ai giunti data una traiettoria con una certa legge di moto



Dinamica Inversa• Due differenti approcci

● Metodo di Newton – Eulero: scrittura delle equazioni del moto per ogni corpo; le equazioni necessarie (differenziali del secondo ordine) sono numerose dato il numero dei corpi, allungando notevolmente i tempi di calcolo

● Metodo di Lagrange: più elegante; si ricorre alla prima forma delle equazioni di Lagrange, in cui compaiono n equazioni quante sono le coordinate totali del sistema, associate a k moltiplicatori Lagrange. k, sono anche le relazioni che esprimono i vincoli che sono da aggiungere alle precedenti n. Ovviamente il numero di gradi di libertà del sistema sarà gdl = n-k.

dove Gi è l'i-esima equazione di vincolo, l

i è l'i-esimo moltiplicatore di Lagrange e L

la funzione lagrangiana:L=K-U

K=energia cinetica del robotU=energia potenziale del robot



Dinamica Inversa• L'equazione viene suddivisa in due sottogruppi:

– dal primo gruppo si ricavano i moltiplicatori di Lagrange

– dal secondo gruppo, dati i moltiplicatori di Lagrange, si ricavano le forze nello spazio dei giunti



Dinamica Inversa• Schematizzazione delle masse del modello:

– Si considerano tutte le masse concentrate nel baricentro di ogni componente, tranne per i puntoni per i quali si considera una massa distribuita per tutta la loro lunghezza



Dinamica Inversa• Calcolo energia cinetica dei puntoni

Come è possibile intuire il generico puntone nello spazio compie una rototraslazione, quindi la sua energia cinetica si calcola come:

É necessario calcolare l'energia cinetica di ogni puntone considerando le componenti di velocità lungo le tre direzioni x, y, z.



Dinamica Inversa• Calcolo energia cinetica end-effector

• Calcolo energia cinetica carrelli

• Calcolo energia cinetica trasmissione



Dinamica Inversa• Calcolo energia totale

• Calcolo energia potenziale



Dinamica Inversa• Calcolo della funzione lagrangiana L

• Essendo ora note sia la funzione Lagrangiana L, sia le equazioni di vincolo Gi, è possibile definire tutti i termini che compaiono nei due gruppi di equazioni di Lagrange



Dinamica Inversa• Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange



Dinamica Inversa• Calcolo delle forze richieste ai carrelli



Funzioni Matlab• Le funzioni Matlab necessarie per l'analisi cinematica e dinamica sono:

– Funzione traiettoria– Funzione legge di moto– Funzione Cinematica Inversa– Funzione Jacobiano e Funzione Derivata Jacobiano– Funzione Dinamica Inversa– Funzione Plot Dati e confronto con Adams



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