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8/18/2019 cinematica liceo.pdf

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CINEMATICA

La cinematica è lo studio del moto

dei corpi da un punto di vistapuramente matematico


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CINEMATICA

Grandezze fisiche importanti nellacinematica:

• spazio

• tempo

• velocità• accelerazione


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VELOCITA’

La velocità è il rapporto tra spaziopercorso e tempo impiegato a

percorrerlo

t

sv


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VELOCITA’

Unità di misura della velocità:

• metri al secondo m/s• chilometri orari km/h


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VELOCITA’

Bolt corre icento metri in

9 secondi e 58centesimi: qualè la suavelocità in m/se km/h?


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VELOCITA’

Il Frecciarossava da Milano a

Roma (632 Km)in 3 ore e 25minuti: calcolala velocità


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VELOCITA’

Il pianetaNettuno dista

dal sole 4,5miliardi di km ecompie la suaorbita in 164,9anni: calcola lavelocità


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VELOCITA’

La Terracompie un giro

su se stessa in24 ore: calcolala velocitàall’equatore e

ai poli


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MOTO UNIFORME

I primi tre casi presentano una sostanzialedifferenza con l’ultimo: infatti, nei primi tre

la velocità è una MEDIA, perché non èsempre uguale, mentre nell’ultimo caso lavelocità è fissa: si parla di MOTOUNIFORME


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MOTO UNIFORME

Un moto si dice uniforme se:

• la velocità è costante• gli spazi percorsi sono proporzionaliai tempi impiegati


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Legge oraria del m.u.

Una LEGGE ORARIA è una formula chepermette di calcolare lo spazio percorso da

un corpo al variare del tempo.

La legge oraria del moto uniforme derivadirettamente dalla definizione di velocità


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Legge oraria del m.u.

t v s Oppure, se al tempo t=0 il corpo ha giàpercorso una distanza So dal punto origine:

o st v s


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Grafico spazio-tempo

Graficamente, lalegge oraria delmoto uniforme èrappresentata dauna retta nel pianocartesiano in cui si

pone in ascisse iltempo e in ordinatelo spazio

0

10

20

30

40

5060

70

80

90

100

0 2 4 6 8

Tempo (secondi)

S p a z i o ( m

e t r i )


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Grafico spazio-tempo

La velocità puòessere così ricavatadal grafico:

preso un triangolocon cateti paralleliagli assi, la velocità

è il rapporto tracateto verticale eorizzontale

0

10

20

30

40

5060

70

80

90

100

0 2 4 6 8

Tempo (secondi)

S p a z i o ( m

e t r i )

L “ ” d l


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La “scoperta” del moto

uniforme

Il moto uniforme è una astrazionematematica.

Possiamo chiederci se esistono in naturamoti uniformi

L “ ” d l


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uniforme

La scienza anticariteneva che il moto deicorpi si esaurisse inmodo spontaneo (adesclusione di quello deicorpi celesti) e che

quindi un corpo in motonon più soggetto a forzedovesse prima o poifermarsi

L “ ” d l


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uniforme

Galileo Galilei nellaprima metà del ‘600ipotizzò, al contrario,che il moto di un corposu di un pianoorizzontale in assenza di

attrito dovessecontinuareindefinitamente senzamutare velocità.

L’ i l di


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L’esperimento mentale di

Galileo

Nel 1632 Galileo proposeun esperimento mentaleper provare la suateoria: in esso siimmaginava un pianoillimitato e privo di attriti

ed una sferaperfettamente liscia

L’ i t t l di


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Galileo

Se la sfera è posta sul piano in discesa questaaumenta gradualmente la sua velocità

L’ i t t l di


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Galileo

Se la sfera è lanciata sul piano in salitaquesta diminuisce gradualmente la suavelocità

L’ i t t l di


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Galileo

Infine, se il piano non è né in salita né indiscesa, la velocità non sarà né aumentatané diminuita, e quindi il moto sarà uniforme


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Il principio di inerzia

Basandosi sulle ideedi Galileo Newtonformulò in modo piùgenerale (ovverosenza riferimenti apiani e sfere) questa

ipotesi, che verràchiamata “principiodi inerzia”


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UN CORPO PERSEVERA NEL SUO

STATO DI QUIETE O DI MOTO

RETTILINEO UNIFORME FINCHE’ NON INTERVENGONO DELLE FORZE A

MODIFICARNE IL MOTO


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Questo non è un principio verificabilesperimentalmente in modo diretto; la

prova della sua validità sta nel fatto cheesso, insieme con gli altri principi delladinamica, consente di descrivere in modocorretto i fenomeni naturali


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La sonda spazialeVoyager 2 staviaggiando nello

spazio dal 1977,alla velocitàattuale di56000Km/h,

grazie alla solaspinta iniziale delrazzo vettore


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Relatività del moto

Strettamente connesso al principio diinerzia è quello della RELATIVITA’ DEL

MOTO, ovvero il fatto che il movimentonon è mai assoluto, ma va sempre riferitoa qualcos’altro.

Infatti nel principio di inerzia non sidistingue tra “quiete” e “moto rettilineouniforme”


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Relatività del moto

Ad esempio, la nostra scuola è ferma pernoi che stiamo sulla Terra, ma rispetto a

un osservatore posto, per esempio, sullaluna, si muove intorno all’asse terrestre auna velocità di quasi 1200 Km/h


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Sistema di riferimento: spazio

Lo studio di qualsiasi movimento devequindi sempre far riferimento a qualcosa

che assumiamo come abbastanza fisso darendere le nostre osservazioni utilizzabilianche in futuro e dal altre persone.

La posizione del corpo di cui stiamostudiando il moto verrà dunque sempreriferita a questa cosa


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Sistema di riferimento: tempo

Inoltre, poiché lo studio del moto implicaanche misure di tempo, dovremo anche

procurarci dei cronometri perfettamentetarati e tutti sincronizzati su una comuneORIGINE DEI TEMPI


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Sistema di riferimento

Un sistema di riferimento dovrà esserecostituito da:

• corpi estremamente stabili, a cui riferirela posizione nello spazio

• cronometri estremamente precisi e con

una comune origine dei tempi

Si t di if i t l


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Sistema di riferimento: la

monorotaia

Nell’esperimento della monorotaia ilsistema di riferimento è costituito:

• dalla riga graduata in cm posta sullarotaia stessa e con origine nel punto dipartenza del carrello, per gli spazi

• dai cronometri posti ai vari traguardi,tutti avviati nel momento del lancio delcarrello (origine dei tempi)

Si t di if i t l


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Sistema di riferimento: la

monorotaia

Nell’esperimento della monorotaia ilsistema di riferimento è costituito:

• dalla riga graduata in cm posta sullarotaia stessa e con origine nel punto dipartenza del carrello, per gli spazi

• dai cronometri posti ai vari traguardi,tutti avviati nel momento del lancio delcarrello (origine dei tempi)


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Sistema di riferimento: la Terra

Sulla Terra il sistema di riferimento è:

• per gli spazi il sistema dei meridiani e dei

paralleli, basati sul meridiano di Greenwiche sull’equatore come origine

• per i tempi una serie di orologi atomici

gestiti da diversi istituti (come il GalileoFerraris di Torino) con origine lamezzanotte di Greenwich


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Sistema di riferimento: la Terra

I due angoliPCP’ e PAO

sonolatitudine elongitudinedi P


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Sistema di riferimento: il cielo

Per i fenomeni celesti esistono diversisistemi di riferimento spaziali (il tempo è

misurato più o meno come per i fenomeniterrestri)

Uno di questi individua un astro con la suaaltezza sull’orizzonte (altezza) e con ladistanza angolare tra il meridianodell’astro e quello che passa per il nord


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Sistema di riferimento: il cielo


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Velocità media

Nel moto uniforme non importa quale sia iltratto di percorso su cui si misura la

velocità, perchè questa è costante.Invece, in un moto non uniforme lavelocità può variare a seconda del tratto dipercorso considerato


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Velocità media

Un automobilistapuò che va dalcentro di Milano aquello di Torino(142 km) in un’orae 50 minuti ha unavelocità di 77 KM/h,

ma questo solo sesi considera l’interotratto


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Velocità media

In effetti, iltachimetro avràregistrato velocitàmolto maggiori inautostrada e moltominori, perfinonulle nel traffico

cittadino o ai caselli


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Velocità media

Si dice VELOCITA’ MEDIA il rapporto traspazio percorso e tempo impiegato

La velocità complessiva registratadall’automobilista dell’esempio è unavelocità media

t svm


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Velocità istantanea

Si dice VELOCITA’ ISTANTANEA ilrapporto tra spazio percorso e tempoimpiegato, quando l’intervallo di tempo (o dispazio) è molto breve, al limite il più brevemisurabile con gli strumenti a disposizione

Il tachimetro dell’automobile registra la

velocità istantanea

t

s

v


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Velocità istantanea

La velocità istantanea richiederebbe untempo al limite tendente a zero: questosignifica che in effetti essa è soltanto

un’astrazione matematica, quelle che simisurano nella realtà sono sempre solovelocità medie


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Discesa su un piano inclinato

Il primo astudiare e acomprendere

il moto su unpianoinclinato fuGalileo


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Oggi l’esperimento di Galileo può essereripetuto facilmente con la monorotaia acuscino d’aria posta in leggera inclinazione


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Se si fa scendere un carrello su un piano

inclinato senza (quasi) attrito e se nestudia il moto ponendo a distanze ugualidei traguardi e rilevando i tempi si notanosubito due cose:


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1) Lo spaziopercorso èproporzionale

al quadrato deltempo

Spazio-tempo

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0

tempo

s p a z i o


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2) La velocitàmedia èproporzionale

al tempo

Velocità media

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0

tempo


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Queste due caratteristiche sono tipichedi un moto molto semplice ma anchemolto particolare che si chiama MOTO

UNIFORMEMENTE ACCELERATO


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Accelerazione

Il rapporto (che in questo caso ècostante) tra la variazione di velocità Δve il tempo t in cui questa variazione si è

attuata si dice ACCELERAZIONE

t

v

a


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Accelerazione

L’accelerazione è una delle grandezzefondamentali della meccanica, forse lapiù importante, perché essa è il prodotto

delle forze impresse ai corpi e quindi nedetermina il movimento


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Accelerazione: unità di misura

L’unità di misura dell’accelerazione è ilmetro al secondo al secondo (o metro alsecondo-quadrato)

2/ sm 2

sm


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Accelerazione: unità di misura

La Toyota Yarisva da 0 a 100Km/h in 15,3

secondi: calcolal’accelerazionein m/s2


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Caduta libera

Anche il moto dicaduta libera è unmoto uniformemente

accelerato: infattiesso può essereconsiderato un casolimite del piano

inclinato, coninclinazione 90°


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Caduta libera

Galileo fu il primo aipotizzare chel’accelerazione in

caduta libera èindipendente dallamassa. Secondo unaleggenda lo provò

facendo cadere corpidiversi dalla torre diPisa


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Caduta libera

In realtà fu Newton ilprimo a dare unaprova sperimentale

di questo fattodimostrando che ilperiodo dioscillazione di un

pendolo èindipendente dallanatura del coprooscillante


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Caduta libera

Un veicolo orbitante, come la ISS, ècostantemente in caduta libera; se le suediverse parti cadessero diversamente la

struttura si sbriciolerebbe


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Caduta libera

Oggi è possibileeffettuarel’esperimento

pensato da Galileo inassenza d’aria,utilizzando un tubodi vetro e una pompaa vuoto, come si puòvedere in questofilmato

http://www.youtube.com/watch?v=i-UCK6397_khttp://www.youtube.com/watch?v=i-UCK6397_khttp://www.youtube.com/watch?v=i-UCK6397_khttp://www.youtube.com/watch?v=i-UCK6397_k


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La velocità nel moto


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La velocità nel moto

uniformemente accelerato

Indicando con Vo la velocità iniziale èanche possibile scrivere questa formulacosì

Oppure:t avv 0

t avv 0

La velocità media nel moto


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ve oc ed e o o


La velocità media, secondo ladefinizione, è il rapporto tra spaziopercorso e tempo impiegato

Per cui, invertendo la formula:

t v s m

t svm


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Lo spazio percorso nel moto u.a.

Posiamo quindi calcolare sia la velocitàdel corpo sia lo spazio da esso percorsocon queste due formule

t v s m

t avv 0


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Lo spazio percorso nel moto u.a.

Questo, naturalmente, a patto di sapercalcolare la velocità media a partire daquella istantanea

t v s m

t avv 0

?

Velocità media = media delle


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velocità

Nel moto uniformemente accelerato,contrariamente ad altri tipi di moto, lavelocità media può essere calcolata

come media aritmetica di velocitàiniziale e finale

20

vvvm

Il problema del moto


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p


In questo modo abbiamo un insiemecompleto di formule per risolverequalunque problema sul moto


20

vvvm

t v s m

t avv 0

La legge oraria del moto


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gg


Tuttavia, per comodità, possiamocombinare queste formule per avernedue anziché una, evitando il calcolo della

velocità media

20

vvvm

t v s m

t avv 0



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gg


Sostituendo come indicato si ottiene:

t vt av

s

2

00

t vt a

s

2

20

t vt a s 0

2

2

1



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gg


Questa è la forma tipica della LEGGEORARIA DEL MOTO UNIFORMEMENTEACCELERATO

t vt a s 0

2

2

1



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gg


Abbinata alla formula della velocitàconsente di risolvere qualsiasi problemasul moto uniformemente accelerato

t vt a s 0

2

2

1

t avv 0


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Moto dei proiettili

Il moto dei proiettilifu a lungo dibattuto:il matematico Nicolò

Tartaglia, adesempio, ipotizzòche la traiettoriafosse un misto di

tratti rettilinei ecircolari


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Moto dei proiettili

Fu invece Galileoa dimostrare chein assenza

d’aria latraiettoria diun proiettile èuna parabola


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Moto dei proiettili

La dimostrazione siottiene scomponendoil moto nella

componenteorizzontale e inquella verticale econsiderandole in

modo indipendente

Componenteorizzontale

Componenteverticale

Moto vero


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Dimostrazione del moto

• Il moto in orizzontaleè un moto uniforme:infatti, tolta l’aria, non ci

sono ostacoli• Il moto in verticale èun moto uniformementeaccelerato: si tratta diuna caduta libera, conaccelerazione pari a g

Componenteorizzontale

Componenteverticale

Moto vero


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Per semplificaresupponiamo che ilproiettile sia lanciato

dall’origine,parallelamente all’asse x

Nella caduta indichiamocon x lo spazio percorsoin orizzontale, con yquello percorso inverticale

X

Y


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In orizzontale, legge delmoto uniforme:

In verticale, legge delmoto uniformementeaccelerato:

X

Y

t v x 0

2

2

1t g y


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E questa è, appunto,l’equazione di unaparabola con verticenell’origine

X

Y

2

2

02 xv

g

y


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Gittata

Per calcolare la gittata Ddel lancio, conoscendol’altezza h, bastasostituire h al posto di ye D al posto di x, einvertire la formula

Gittata D

Altezza h

2

2

02

Dv

g h


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Gittata

La gittata del lancio è quindi direttamenteproporzionale alla velocità orizzontale e allaradice quadrata dell’altezza del lancio.

g

hv D 2

0


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Gittata massima

Quindi:

• in un lancio verticale (Vo=0) la gittata èzero

• in un lancio “ad alzo zero” (h=0) la gittataè zero

Il miglior compromesso tra questi due

estremi, ovvero la gittatta massima, si haquando il lancio avviene a 45° rispetto alsuolo


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Dai proiettili ai satelliti

Newton fu il primo ateorizzare che unproiettile lanciato a

sufficiente velocitàpotesse fare il girodella Terra e tornareal punto iniziale,

restando così inorbita permanente


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Verne ipotizzò unviaggio sulla luna permezzo di una navicella-

proiettile sparata da uncannone: anche seteoricamente la cosa èpossibile, la fortissima

accelerazioneucciderebbe all’istantel’equipaggio


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Più di recente l’uso deisupercannoni è statoipotizzato per il lancio

in orbita di piccolisatelliti.

Il cannone HARP fu ingrado di lanciare unproiettile a 180Km diquota


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Il primo satelliteartificiale, lo Sputnik 1,fu messo in orbita 300

anni dopo lespeculazioni di Newton,nel 1957.

Fu però usato un razzovettore, che fornisceuna spinta costante peralcuni minuti

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