UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO DIPARTIMENTO DI PROGETTAZIONE E TECNOLOGIE
PFMKT - Progettazione Funzionale di Sistemi Meccanici e Meccatronici Andrea GINAMMI, Fabio CORTINOVIS
Sintesi Cinematica e Dinamica di un robot a cinematica
parallela a 3 g.d.l
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Descrizione progettoObiettivo:Nota la geometria del robot, definita da studi precedenti, e scelta una traiettoria limite con relativa legge di moto, si vuole caratterizzare il comportamento cinematico e dinamico del PKM lineare ad assi complanari e paralleli, attraverso Matlab e successiva validazione in Adams.
Attuazione ElettricaAttuazione Pneumatica
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Aspetti generali dei PKM• PKM: Parallel Kinematic Machine• Robot a cinematica parallela: costituiti da una base fissa, una base
mobile ed una serie di arti che le congiungono realizzando così catene cinematiche chiuse
• Principali caratteristiche:– Giunti motorizzati a terra– Distribuzione degli sforzi sulle varie catene cinematiche– Struttura rigida e leggera– Alto rapporto carico nominale/peso struttura– Elevati valori di accuratezza– Ridotto rapporto volume di lavoro/ingombro a terra– Punti di singolarità all'interno del volume di lavoro
• Campi d'impiego: operazioni di pick&place (linee di confezionamento), ambito medicale, ambito meccanico (macchine utensili)
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Aspetti generali dei PKM• PKM per moto traslatorio a 3 g.d.l. :
– Costituisce un compromesso che consente di beneficiare dei vantaggi dati da un architettura parallela senza limitare troppo l'area di lavoro, complicare eccessivamente la cinematica (spesso risolvibile in forma chiusa) e incorrere in problemi costruttivi
– Permette all'end-effector soltanto delle traslazioni lungo le tre direzioni principali, mantenendo sempre la terna mobile parallela a quella fissa
– Capostipite Delta di Clavel: robot a quattro gradi di libertà, di cui tre permettono la traslazione della piattaforma e il quarto permette la rotazione di un eventuale polso
– Nel Delta di Clavel l'estremità superiore di ogni parallelogramma descrive una traiettoria circolare in virtù dei motori rotativi impiegati; una modifica a questa soluzione consiste nell'utilizzare motori o attuatori lineari, in modo che la traiettoria descritta sia rettilinea
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Aspetti generali dei PKM• PKM per moto traslatorio a 3 g.d.l.
Delta di Clavel
Delta lineari
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Vincoli parallelogramma• L'end-effector del robot è in grado di compiere soltanto delle traslazioni nello spazio
lungo le tre coordinate x, y e z grazie alla presenza dei tre parallelogrammi articolati posti a 120° nel piano.
• Sostituzione dei giunti sferici con delle cerniere
Schema vincoli parallelogramma articolato
Schema costruttivo vincoli lato carrello
Latocarrello
Latoend-effector
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Volume di lavoro• Rappresenta tutti i punti raggiungibili dall'end-effector
• Il volume di lavoro dei PKM a 3g.d.l. per moto traslatorio ha solitamente la forma di una lente biconvessa
• Due differenti approcci:– Geometrico (attraverso strumenti CAD): intersezione dei luoghi dei punti
raggiungibili da ogni link
– Analitico (algoritmo): data una nuvola di punti si risolve la cinematica inversa e si confrontano i risultati con le posizioni min e max raggiungibili dai carrelli
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Volume di lavoro• I manipolatori paralleli, hanno come maggior difetto quello di avere un rapporto
sfavorevole tra volume di lavoro e volume della macchina• Il volume di lavoro dovrà essere massimizzato• Un manipolatore disegnato per avere un volume massimo potrebbe però avere
caratteristiche cinematiche indesiderate come destrezza e manipolabilità limitate• Risulta necessaria quindi la scelta di un indice che tenga conto anche della qualità del
volume di lavoro: numero di condizionamento k della matrice JJT
• Il volume di lavoro non è totalmente sfruttabile a causa delle singolarità
Limiti numero di Condizionamento (JJT)
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Matrice Jacobiana• Matrice Jacobiana:
1. Indicatore del comportamento cinematico di un meccanismo equazione di chiusura vettoriale
x=vettore coordinate nello spazio cartesiano q=vettore coordinate nello spazio dei giunti Differenziandola rispetto al tempo: con
Quindi è possibile ottenere le velocità ai giunti: con La matrice Jacobiana J risulta essere il prodotto di due matrici contenenti ciascuna
le derivate parziali della funzione di vincolo f rispetto alle coordinate dei giunti e rispetto alle coordinate cartesiane.
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Matrice Jacobiana• Matrice Jacobiana:
2. Legame statico tra le forze e coppie agenti sull'end-effector F e le forze e coppie generate dagli attuatori t.
Considerando il principio dei lavori virtuali: dx*=vettore spostamento virtuale end-effector dq*=vettore spostamento virtuale attuatori
Considerando che dq* = Jdx*:
Questo equivale a scrivere:
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Valori singolari• Un obbiettivo della progettazione di robot è quella di evitare configurazioni di
singolarità all'interno del volume di lavoro o fare in modo da essere sufficientemente lontane da queste.
• Quando si entra in singolarità la matrice J diventa singolare• Basta che una delle due matrici che compongono J sia singolare per avere singolarità:
– Incerta (cinematica diretta): la piattaforma mobile può compiere spostamenti infinitesimi in alcune direzioni, pur avendo gli attuatori completamente bloccati, cioè guadagnare uno o più gradi di libertà
– Stazionaria (cinematica inversa): il manipolatore resiste a forze o momenti in alcune direzioni senza la presenza di forze di contrasto degli attuatori
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Rapporto di Trasmissione• Numero di condizionamento k: rapporto tra il massimo (s
max) ed il minimo (s
min) valore
singolare di JJT:
• k è indice del grado di sfericità dell'iperelissoide
• Considerando il manipolatore come trasmissione meccanica è possibile rappresentare i rapporti di velocità e forza come elissoidi o in genere iperelissoidi.
• La relazione mostra come la matrice J è una trasformazione lineare che mappa la velocità dello spazio cartesiano Rn in velocità dei giunti Rm.
• Per il generico manipolatore l'ipersfera unitaria in Rn viene mappata nell'iperelissoide in Rm:
• Gli assi principali dell'iperelissoide coincidono con gli autovettori di (JJT)-1 e la lunghezza degli assi principali è uguale ai reciproci della radice quadrata degli autovalori, pari cioè ai valori singolari della matrice stessa.
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Rapporto di Trasmissione• Manipulability ellipsoid: utilizza il volume dell'elissoide come indice della distanza dalla
singolarità. Il rapporto di trasmissione di velocità può essere definito come:
varia con la direzione della velocità dell'end-effector ed assume un valore pari all'inverso della distanza tra il centro e la superficie dell'elissoide lungo tale direzione.– Elissoide poco sferico significa eccessiva variazione del rapporto di velocità con la
direzione del moto e vicinanza alla singolarità– Elissoide grande indica che una piccola velocità nello spazio di lavoro richiede una
velocità elevata nello spazio dei giunti– Indice dell'errore di posizionamento: integrando per un piccolo intervallo di tempo:
quindi la capacità di raggiungere alte velocità nello spazio di lavoro avviene a scapito della precisione di posizionamento.
integrando
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Rapporto di Trasmissione• Force ellipsoid (discorso duale a quello delle velocità)
Ipotesi: assenza di attrito nei giunti e assenza della forza peso– Come detto precedentemente:– La matrice JT svolge una funzione analoga a J nel caso delle velocità– In questo caso l'elissoide di forza è definito da:
– Analogamente al Tv è possibile definire il rapporto di trasmissione delle forze T
f:
– Un grande elissoide evidenzia che per ottenere piccole forze sull'end-effector bisogna esercitare grandi forze sugli attuatori
• La matrice (JJT)-1 e (JJT) che definiscono rispettivamente gli elissoidi di velocità e di forza hanno gli stessi autovettori; gli autovalori dell'una sono i reciproci dell'altra.
• La direzione di massima trasmissione di velocità possiede il minimo rapporto di trasmissione di forza.
• Gli elissoidi hanno la stessa forma e sono reciprocamente ruotati
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Dati del problema• Geometria del robot
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Dati del problema• Traiettoria d'interesse– Punto di partenza/deposito P0: [0.4m, 0.12m, -0.25m] – Punto di presa P1: [1.2m, -0.12m, -0.25m]– Alzata massima hz= 0.15m– Tempo totale di ciclo (comprese le pause) T
TOT= 1s
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Dati del problema• Legge di moto– Legge di moto costante a tratti del tipo 1/3, 1/3, 1/3 per tutte le
coordinate sia in andata che in ritorno
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Analisi Cinematica• Permette di ricavare informazioni relative a:– Velocità e accelerazioni dei carrelli/end-effector– Volume di lavoro– Punti di singolarità– Rapporto di trasmissione generalizzato
• Cinematica Inversa: permette di ricavare la posizione dei giunti a partire da quella della piattaforma mobile
q=g(x)• Cinematica Diretta: permette di ricavare la posizione della
piattaforma mobile a partire da quella dei giuntix=f(q)
x=[x, y, z] q=[d1, d2, d3]
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Analisi Cinematica Inversa• Si risolve attraverso un approccio geometrico considerando
separatamente ogni catena cinematica ed imponendone la chiusura attraverso l'equazione vettoriale:
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Analisi Cinematica Inversa• a
i distanza delle guide dall'origine della terna fissa
• bi distanza tra il punto di attacco superiore dei puntoni e l'origine della terna mobile
• di distanza in modulo del carrello dall'origine della propria guida
• ui versore delle guide
• li lunghezza in modulo dei puntoni
• wi versore dei puntoni
• x coordinate dell'end-effector• R matrice di rotazione
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Analisi Cinematica Inversa• Isolando il termine l
iw
i di cui è noto il modulo ma non la direzione:
Elevando al quadrato e risolvendo
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Analisi Cinematica Inversa• In funzione del segno considerato per ogni soluzione si ottengono 8 possibili
configurazioni di robot, tutte quante valide.• La scelta della configurazione più idonea può essere fatta in funzione della possible
interferenza tra i vari link e la distribuzione delle forze/coppie
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Analisi Cinematica Diretta• In generale per i PKM non è possibile ricavare le soluzioni della cinematica diretta in
forma chiusa• Data la semplicità del robot in esame è possibile determinare una soluzione analitica
utilizzando un approccio di tipo geometrico (intersezione delle tre sfere ottenute dalla rotazione di ogni coppia di puntoni rispetto al carrello)
• Anche in questo caso si parte dall'equazione di chiusura valida per ognuna delle tre catene cinematiche e si risolve rispetto ad x, y, z.
dove Ai, Yi e Xi sono funzione di parametri geometrici• La cinematica diretta può essere impiegata per la valutazione degli errori all'end-
effector dato un errore ai giunti
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Calcolo di J• Ricordando le seguenti relazioni:
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Analisi Dinamica●Dinamica Inversa: permette di ricavare le forze/coppie da applicare ai giunti per contrastare quelle applicate alla piattaforma mobile
●Dinamica Diretta: permette di ricavare le forze/coppie agenti sulla piattaforma mobile note le coppie/forze applicate ai giunti
●Approccio più utilizzato quello inverso: conoscere la coppia da applicare ai giunti data una traiettoria con una certa legge di moto
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Dinamica Inversa• Due differenti approcci
● Metodo di Newton – Eulero: scrittura delle equazioni del moto per ogni corpo; le equazioni necessarie (differenziali del secondo ordine) sono numerose dato il numero dei corpi, allungando notevolmente i tempi di calcolo
● Metodo di Lagrange: più elegante; si ricorre alla prima forma delle equazioni di Lagrange, in cui compaiono n equazioni quante sono le coordinate totali del sistema, associate a k moltiplicatori Lagrange. k, sono anche le relazioni che esprimono i vincoli che sono da aggiungere alle precedenti n. Ovviamente il numero di gradi di libertà del sistema sarà gdl = n-k.
dove Gi è l'i-esima equazione di vincolo, l
i è l'i-esimo moltiplicatore di Lagrange e L
la funzione lagrangiana:L=K-U
K=energia cinetica del robotU=energia potenziale del robot
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Dinamica Inversa• L'equazione viene suddivisa in due sottogruppi:
– dal primo gruppo si ricavano i moltiplicatori di Lagrange
– dal secondo gruppo, dati i moltiplicatori di Lagrange, si ricavano le forze nello spazio dei giunti
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Dinamica Inversa• Schematizzazione delle masse del modello:
– Si considerano tutte le masse concentrate nel baricentro di ogni componente, tranne per i puntoni per i quali si considera una massa distribuita per tutta la loro lunghezza
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Dinamica Inversa• Calcolo energia cinetica dei puntoni
Come è possibile intuire il generico puntone nello spazio compie una rototraslazione, quindi la sua energia cinetica si calcola come:
É necessario calcolare l'energia cinetica di ogni puntone considerando le componenti di velocità lungo le tre direzioni x, y, z.
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Dinamica Inversa• Calcolo energia cinetica end-effector
• Calcolo energia cinetica carrelli
• Calcolo energia cinetica trasmissione
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Dinamica Inversa• Calcolo energia totale
• Calcolo energia potenziale
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Dinamica Inversa• Calcolo della funzione lagrangiana L
• Essendo ora note sia la funzione Lagrangiana L, sia le equazioni di vincolo Gi, è possibile definire tutti i termini che compaiono nei due gruppi di equazioni di Lagrange
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Dinamica Inversa• Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange
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Dinamica Inversa• Calcolo delle forze richieste ai carrelli
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Funzioni Matlab• Le funzioni Matlab necessarie per l'analisi cinematica e dinamica sono:
– Funzione traiettoria– Funzione legge di moto– Funzione Cinematica Inversa– Funzione Jacobiano e Funzione Derivata Jacobiano– Funzione Dinamica Inversa– Funzione Plot Dati e confronto con Adams
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