separata de mÉtodos_estadisticos-gp y educ..pdf

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Mag. Rosa Vilchez Vsquez

SEMESTRE 2015-II

SEDE HUARAZ

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INDICE

INTRODUCCION..03 I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA

1. LA ESTADISTICA. 04 2. POBLACION.. 04 3. PARAMETRO 04 4. MUESTRA.. 04 5. ESTADISTICO.. 04 6. VARIABLE.. 04 7. EL METODO ESTADISTICO 05

II. MUESTREO 1. VENTAJAS DEL MUESTREO.. 10 2. TIPO DE MUESTREO.. 11

A) MUESTREO NO PROBABILISTICO.. 11 B) MUESTREO PROBABILISTICO 12

3. TAMAOS DE MUESTRA 13 PARA LA MEDIA POBLACIONAL... 13 PARA LA PROPORCION POBLACIONAL.... 14

4. AGRUPACION Y PRESENTACION DE DATOS.... 15 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.... 16

5. REPRESENTACIONES GRAFICAS.. 17 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTAL. 25 7. MEDIDAS DE DISPERSION. 26

III. PROBABILIDADES 1. EXPERIMENTO ALEATORIO.. 36 2. ESPACIO MUESTRAL. 32 3. PROBABILIDAD DE UN EVENTO ALEATORIO.. 33 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL. 34 5. REGLA DE LA MULTIPLICACION 36 6. PRUEBA DE BAYES. 37

IV. PRUEBA DE HIPOTESIS 1. PRUEBA DE HIPOTESIS. 39 2. HIPOTESIS ESTADISTICAS 39 3. TIPOS DE ERRORES. 40 4. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL 41 5. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA COMPARACION DE MEDIAS DE DOS

POBLACIONALES.. 42 6. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCIN POBLACIONAL. 43 7. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA COMPARACION DE PROPORCIONES DE

DOS POBLACIONES... 44 8. PRUEBA DE INDEPENDENCIA... 45

V. REGRESION Y CORRELACION LINEAL 1. INTRODUCCION.. 47 2. REGRESION LINEAL SIMPLE.. 48 3. COEFICIENTE DE DETERMINACION.. 48 4. CORRELACION LINEAL 49 5. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA CORRELACION. 49 6. REGRESION LINEAL MULTIPLE 51

VI. TABLAS ESTADSTICAS: . 56

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INTRODUCCIN

La estadstica es una ciencia con base matemtica referente a la recoleccin, anlisis e interpretacin de

datos, que busca explicar condiciones regulares en fenmenos de tipo aleatorio. Se considera un eje

transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la fsica hasta las ciencias sociales, y es usada para

la toma de decisiones en reas de negocios e instituciones gubernamentales.

Es por ello que no existe posibilidad de tener sistemas eficientes de monitoreo y evaluacin de resultados

de la gestin pblica sin confiables y oportunos sistemas nacionales de estadstica, de all que esta

herramienta resulta fundamental para la Gerencia Pblica.

Existen bsicamente 4 niveles en la administracin pblica que producen y demandan informacin

estadstica: el estado, las comunidades autnomas, los estados y los municipios.

La estadstica mide intensidad, cambio, ubicacin y distribucin y su aplicabilidad permite generar,

formular, implementar y monitorear polticas, al mismo tiempo que sirve para declarar que una poltica

fue exitosa o que fue un fracaso.

La aplicabilidad de la estadstica permite obtener informacin oportuna, creble y relevante esencial para

mejorar el funcionamiento del sector pblico y privado en nuestro pas. La necesidad de datos de alta

calidad, producidos a tiempo, ampliamente accesibles, y que sean tiles para la gestin pblica se ha

vuelto una prioridad en la agenda del gobierno.

Este ejemplar se ha distribuido en ocho partes, que proporcionan los principios bsicos del curso de

Mtodos Estadsticos. Las primeras partes estn dedicadas a la Estadstica Descriptiva, la cual constituye

la base previa de cualquier anlisis estadstico considerando las Tcnicas de muestreo y la Regresin

Lineal y Correlacin.

En las dos ltimas partes, estn dedicadas al estudio de la Inferencia Estadstica, comprendiendo tcnicas

como loa estimacin por intervalos y el contraste de hiptesis, con objeto de proporcionar al participante

instrumentos para la toma de decisiones cuando prevalece el azar.

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I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA

1. LA ESTADSTICA: La Estadstica es una ciencia que trata de la recoleccin, organizacin, presentacin

y anlisis de datos con el fin de realizar una toma de decisiones ms adecuada.

2. POBLACIN: Una poblacin es un conjunto de elementos (que consiste de personas, objetos, etc.),

que contienen una o ms caractersticas observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa que se

pueden medir en ellos.

Las poblaciones se clasifican: por extensin y por el objeto de estudio;

POR EXTENSIN: las poblaciones pueden ser:

a) Poblacin finita: cuando los elementos son numerables.

b) Poblacin infinita: cuando no se puede determinar el ltimo elemento.

POR EL OBJETO DE ESTUDIO: las poblaciones pueden ser:

a) Poblacin objeto: es la totalidad de elementos en discusin y acerca de los cuales

necesitamos informacin. Ejemplo: Poblacin de estudiantes universitarios

b) Poblacin muestreada: Es la que restringe solo al conjunto de la cual se obtiene la muestra.

Ejemplo: Poblacin de estudiantes de pre-grado de contabilidad de la UNASAM

matriculados en el semestre 2014-I.

3. UNIDAD DE ANLISIS: Es el objeto del cual se desea obtener informacin. Muchas veces nos

referimos a las unidades de anlisis con el nombre de elementos. Una poblacin puede definirse

como el conjunto de unidades de anlisis.

4. PARAMETRO: Es una medida descriptiva que resume una caracterstica de la poblacin, tal como la

media poblacional (), la varianza poblacional (2) o la proporcin poblacional (P); calculado a partir

de los datos observados de toda la poblacin.

5. MUESTRA: Es un subconjunto que seleccionamos de la poblacin de acuerdo a un plan de muestreo

y cumple con dos caractersticas de ser representativo y adecuado.

6. ESTADISTICO: Es una medida descriptiva que resume una caracterstica de la muestra, tal como la

media muestral (), la varianza muestral (S2) o la proporcin muestral (), calculada a partir de los

datos observados de una muestra aleatoria.

7. VARIABLE: es una caracterstica definida en la poblacin por la investigacin estadstica, que puede

tomar dos o ms valores (cualidades o nmeros).

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Las variables pueden ser de dos tipos,

Segn su naturaleza:

7.1 Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numricamente (por ejemplo:

nacionalidad, color de la piel, sexo, ocupacin, opinin sobre un servicio, etc).

Nominal.- Los elementos solo pueden ser clasificados en categoras pero no se da un

orden o jerarqua.

Ordinal.- Existe un orden o jerarqua entre las categoras.

De intervalo.- Establece la distancia entre una medida y otra. Carece de un cero

absoluto.

De razn.- Es posible establecer la proporcionalidad. Existe el cero absoluto. Se permiten

todas las operaciones aritmticas.

7.2 Variables cuantitativas: utiliza un instrumento de medicin, tienen valor numrico

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

Discretas: slo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: tamao

familiar, nmero de empresas que no cumplen las normas de saneamiento ambiental,

etc.

Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo,

ingreso familiar, peso, talla, presin sangunea, temperatura, etc.

Segn su funcin:

7.3 Variable independiente: Es aquella caracterstica o propiedad que se supone es la causa

del fenmeno estudiado.

7.4 Variable dependiente: Es el factor que es observado y medido para determinar el efecto

de la variable independiente.

8. EL METODO ESTADISTICO:

Existe similitud entre el mtodo estadstico y el mtodo cientfico, por lo que consta de cuatro

etapas: planteamiento, recoleccin de datos, procesamiento y anlisis e interpretacin.

Etapa 1. PLANTEAMIENTO

En esta etapa se disea la investigacin en todos sus aspectos:

Formulacin del problema de investigacin

Se fijan los objetivos

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Se plantean las hiptesis

Definicin de trminos y variables

Se define la metodologa del estudio: tipo de estudio, poblacin, diseo muestral,

tcnicas de procesamiento y anlisis de datos.

Se define el cronograma, presupuesto y financiamiento del estudio.

DEFINICION DE TERMINOS Y VARIABLES (OPERACIONALIZACION DE VARIABLES)

Es la definicin conceptual y operacional de las variables, pasando de un nivel abstracto a un

nivel concreto y especifico a efectos de poder observarla, medirla o manipularla, con el

propsito de contrastar la hiptesis. Se debe de precisar el significado de las variables en estudio

y como se miden.

Las variables deben ser descompuestas en dimensiones y estas a su vez traducidas en

indicadores que permitan la observacin directa y la medicin

Procedimiento para operacionalizar las variables:

Identificacin de las variables (reconoce el tipo de variable)

Definicin conceptual (depende del enfoque terico y las hiptesis que se plantea)

Definicin operacional (seala su dimensin)

El indicador (sub-variable que se pueda observar, medir, controlar, manipular o evaluar.

Los indicadores cumplen las siguientes funciones:

- Sealar con exactitud la informacin que se desea recoger.

- Indicar las fuentes a las que se debe recurrir.

- Ayudar a determinar y a elaborar los instrumentos de recoleccin de datos.

Etapa 2. RECOLECCION DE DATOS

La recoleccin de datos se refiere a los mtodos usados para obtener informacin

pertinente de las unidades de anlisis introducidas en una muestra o en una poblacin.

A esta etapa tambin se le conoce como Recopilacin de datos

A) METODOS DE RECOLECCION DE DATOS

Se refiere a los instrumentos a aplicar en la poblacin o muestra.

Censo: Cuando se recoge datos de todos los elementos de la poblacin.

Encuesta: Cuando se recoge datos de una muestra de la poblacin.

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B) TECNICAS DE RECOLECCION DE DATOS

Son aquellas que provienen de las fuentes originales y se recopilan directamente en el campo

especfico. Las tcnicas que se emplean son:

Observacin

Entrevista (por cuestionario, por telfono, por correo)

Experimento

Registros documentarios, entre otros

C) FUENTES DE RECOLECCION DE DATOS

Primarias: Son aquellas que provienen de las fuentes originales y se recopilan directamente en

el campo especifico.

Secundarias: Cuando los datos obtenidos fueron previamente recogidos y procesados por

otros individuos (textos, revistas)

Ejemplos:

Portal del Estado Peruano. www.peru.gob.pe/

Instituto Nacional de Estadstica e Informtica. www.inei.gon.pe/

Ministerio de Trabajo. www.mintra.org.pe

Ministerio de Educacin. www.minedu.org.pe

D) ERRORES EN LA RECOLECCION DE DATOS

Los errores que pueden cometerse en la recoleccin de datos de una investigacin dependen

de:

El observador. Se refiere al nivel diferente de preparacin o entrenamiento de los

observadores, el estado fsico, condiciones de trabajo de la persona que realiza la

observacin; estos aspectos pueden distorsionar la medicin de los registros y

caractersticas estudiadas.

El mtodo de observacin. Se refiere a la calibracin y a la utilizacin de diferentes

mtodos y tcnicas de recoleccin de datos, tanto de los entrevistados como de los

instrumentos utilizados para realizar mediciones.

El objeto o individuo observado. En algunas ocasiones los individuos al sentirse

observados, cambian sus actitudes, hbitos o conductas.

E) INSTRUMENTOS DE RECOLECCION DE DATOS

Cuestionarios

Test

Fichas

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Guas

Listas de cotejo

F) DISEO DE CUESTIONARIOS

El cuestionario es un instrumento de investigacin, es un medio til y eficaz para recoger

informacin en un tiempo relativamente breve. Este instrumento se utiliza de un modo

preferente en el desarrollo de muchas investigaciones.

En su construccin pueden considerarse preguntas cerradas, abiertas o mixtas.

Preguntas abiertas (no estructuradas). El encuestado responde con sus propias palabras

a la pregunta formulada.

Ejemplos:

Qu opinin tiene de la biblioteca?..............................................................

Qu ms le gusta de la biblioteca?...............................................................

Preguntas cerradas (estructuradas). Cuando la pregunta establece varias respuestas, de

las cuales el encuestado elegir segn le corresponda.

Ejemplos:

Sexo: Femenino ( ) Masculino ( )

El personal de la biblioteca del colegio es amable al atender a los estudiantes y docentes

1) Muy en desacuerdo 2) En desacuerdo 3) Ni de acuerdo, ni en

desacuerdo 4) De acuerdo 5) Muy de acuerdo

G) REQUISITOS DEL INSTRUMENTO DE MEDICIN

VALIDEZ. Representa el grado en que un instrumento realmente mida la variable que

pretende medir. Medida por expertos o jueces

CONFIABILIDAD. Es una medida que asegura su repetitividad con los mismos resultados.

Mtodos de mitades partidas, coeficiente de Cronbach, coeficiente KR-20 (variable tipo

binomial-dicotmica)

Etapa 3. PROCESAMIENTO

Es necesario la depuracin de los datos recogidos Representarlos en tablas y grficos estadsticos para facilitar los anlisis.

Etapa 4. ANALISIS E INTERPRETACION

Determinacin de los parmetros y estadsticos muestrales para las estimaciones, el ajuste de modelos y las pruebas de las hiptesis planteadas

Establecer y redactar las conclusiones definitivas.

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Ejemplos de modelos de encuestas:

1. ENCUESTA DE LA COMERCIALIZADORA UNIPEZ S.R.

Se est realizando un estudio de mercado con el objetivo de analizar informacin para la toma de decisiones con respecto a la venta de la conserva de pescado BELLS con verduras. Para lo cual se ha encuestado a un grupo de amas de casa de una localidad urbana, para conocer el consumo de conservas enlatados. I. DATOS GENERALES

Edad: ________________

Sexo: Masculino.. 1 Femenino.. 2

Zona Geogrfica: Urbanizacin: __________________________

II. INSTRUCCIONES: Lea atentamente cada interrogante y conteste de manera clara y veraz. Gracias. 1. Consume usted conserva de pescado, es decir pescado en lata?

SI1 NO 2 2. Si su respuesta fuese SI Qu marca de conserva de pescado consume con mayor

frecuencia? A1.1 Gloria.4 Compass..2 Fanny.5 Campomar.3 Otros..6

3. Con respecto a la marca que Ud. utiliza, Cmo lo calificara su calidad?: Baja....1 Media... 2 Alta.... 3

4. Dnde adquiere Ud. dicha marca de conserva de pescado? Supermercados.1 Mercado.2 Bodegas....3

5. Indique Ud. en ORDEN DE IMPORTANCIA, los atributos que influyen en su decisin de compra, siendo : 1 Muy importante; 2 Importante; 3 Indiferente; 4 Poco importante; 5 Insignificante

1 2 3 4 5

Calidad

Precio

Presentacin

Sabor

Marca

6. Con qu frecuencia consume usted conserva de pescado? 1 2 veces a la semana..1 2 3 veces a la semana..2 3 4 veces al mes.....3 6 o ms veces al mes...4

7. En qu cantidad, en unidades, compra usted la conserva de pescado? 1 lata. 1 3 latas... 3 2 latas... 2 4 a ms..... 4

8. A qu precio compra usted la conserva de pescado?

10

s/.3.00 1 s/. 3.50 ... 2 s/.4.00 ... 3 s/.4.50 a ms 4

9. Con respecto al Producto que Ud. adquiere, su grado de satisfaccin es: Muy satisfechos...1 Poco satisfecho.4 Satisfecho..2 Insatisfecho.5 Indiferente.3

10. Usted ha probado una Conserva de Pescado con verduras, la cual est incluida dentro de la conserva?

SI..1 NO2

11. Si entrara al mercado una nuevo distribuidor UNIPEZ SRL, y este le ofreciera un producto de calidad, especficamente, conservas de pescado, pero que contenga verduras, estara dispuesto a adquirir este producto:

Muy dispuesto..1 Dispuesto..2 Indiferente..3 Poco Dispuesto.4 Indispuesto..5

12. Usted, comprara BELLS VERDURAS, a la distribuidora UNIPEZ SRL:

SI..1 NO.......2

13. Cunto estara dispuesto a pagar por este producto, sabiendo que es una conserva con trozos de pescado y vegetales, listo para comer?

s/.3.50 . 1 s/. 4.00 ... 2 s/.4.50 . 3 s/.5.00 a ms 4

14. Dnde le gustara encontrar este producto? Supermercados.....1 Mercado..2 Bodegas..3

15. Cul es el medio de comunicacin por el cual Ud. adquiere mayor informacin sobre las

conservas de pescado? a) Televisin ( ) d) Revistas ( ) b) Radio ( ) e) Afiches ( ) c) Boletines ( )

16. Qu tipo de promociones le gustara que se promoviera, para la adquisicin de dicho producto?

a) Ofertas ( ) c) Descuentos ( ) b) Degustaciones ( ) d) Sorteos ( ) e) Otros (especifique):.......................................................

II. MUESTREO

Es el proceso de seleccin de una parte representativa de la poblacin que permita estimar los

parmetros de la poblacin.

1. VENTAJAS DEL MUESTREO

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- Proporciona informacin confiable con costos mucho menores que las de un censo.

- Los datos se pueden reunir ms rpido.

- Las estimaciones con frecuencia son mucho ms precisas que las basadas en un censo.

- Permiten inferir la realidad sin necesidad de estar examinando a toda la poblacin.

2. TIPOS DE MUESTREO

A. MUESTREO NO PROBABILISTICO

En el proceso de seleccin de la muestra hay un juicio personal. No es posible evaluar la

probabilidad de inclusin de cada elemento en la muestra.

MUESTREO POR CONVENIENCIA

Se usa por razones de comodidad o por acceso factible. Por ejemplo realizar una

encuesta en una de las secciones de un determinado grado de estudios porque es la

seccin que tiene a su cargo el docente.

MUESTREO DE JUICIO O INTENCIONAL

Los elementos de la muestra se espera que sirvan para un propsito de la

investigacin.

Ejemplo una encuesta a personas de 20 a 25 aos referente a la msica de moda

juvenil.

MUESTREO DE CUOTA

Es una muestra no probabilstica de manera que la proporcin de elementos con

ciertas caractersticas estn representados en el grado que al investigador lo

considere. Por ejemplo a un entrevistador en una ciudad en particular se le asigna 100

entrevistas 45 para celulares de la empresa A 30 para celulares de la empresa B y 25

para celulares de la empresa C.

MUESTREO DE BOLA DE NIEVE:

En este tipo de muestreo cada unidad muestral es localizada por indicacin de otra

persona se caracteriza porque hay comodidad en la seleccin de la muestra no tiene

por qu ser rpida ni cmoda el muestre bola de nieve se emplea cuando se trata de

estudiar poblaciones muy especializadas, que son difciles de localizar por no existir

censos o ser inaccesibles y cuando se hacen estudios con poblaciones "marginales",

delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, etc. Se trata cuando se busca

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estudiar poblaciones pequeas y difcilmente localizables. Por ejemplo la poblacin de

personas que practican el deporte de esgrima en el puerto de Veracruz, puede no estar

censado, por lo cual se busca a una persona o profesor que practica dicho deporte, se

entrevista, y despus se le pregunta dnde y cmo localizar a otros que practican el

mismo deporte y as se contina el muestreo sucesivamente. Identificar una muestra de

dueos de perros pequineses. Identificar una muestra de aficionados al parapente.

B. MUESTREO PROBABILISTICO

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (MAS)

Es el muestreo mediante el cual todas las unidades de la poblacin tienen la misma

probabilidad de constituir la muestra, para evitar la participacin subjetiva, que cambien

la igualdad de oportunidad que tiene cada elemento, se utiliza los nmeros aleatorios o

cualquier tipo de proceso aleatorio.

Ventajas:

Sencillo y de fcil comprensin

Calculo rpido de medias y varianzas

Se basa en la teora estadstica y por tanto existe paquetes informticos para analizar

los datos.

MARCO MUESTRAL: la palabra marco se usa ampliamente en lugar de listas de muestreo

(poblacin muestreada)

NMEROS ALEATORIOS: Las tablas de nmeros aleatorios son tablas de dgitos del 0, 1,

2,, 9 donde cada digito tiene la misma probabilidad de ser elegido o seleccionado en cada

extraccin. Entre las tablas ms grandes estn las que publico la Rand Corporation (1955)

con milln de dgitos y las de Kendall y Smith (1938) con 100,000 dgitos.

USOS DE LA TABLA DE NMEROS ALEATORIOS: Cuando se usan las tablas de nmeros

aleatorios para seleccionar una muestra se debe tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Se determina el tamao de la poblacin N (cuantos dgitos tiene la poblacin).

2. La tabla de nmeros aleatorios se sectoriza en filas y columnas (nmero de dgitos de

la poblacin).

3. Se busca un inicio cualesquiera de la forma matricial.

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4. Los nmeros son seleccionados sin repeticin en el rango entre 1 y N

NUMEROS ALEATORIOS:

5692 9870 3583 8997 1533 6466 8830 7271 3809 4256

2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729 2235

1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501 8330

6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9002 2365

4554 6146 4846 4647 5034 4646 5139 5355 5249 2224

0772 2160 7236 0812 4195 5589 0830 8261 9232 0902

0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092 2390

7315 3365 7203 1231 0546 6612 1038 1425 2709 3092

5775 7517 8974 3961 2183 5295 3096 8536 9442 2392

5500 2276 6307 2346 1285 7000 5306 0414 3383 2303

3251 8902 8843 2103 8567 8131 8116 5270 5994 9092

3. TAMAOS DE MUESTRA:

Para determinar el tamao de muestra se debe tener en cuenta la ecuacin fundamental del

muestreo:

Precisin: Es la diferencia en trminos de probabilidad entre el parmetro y su estimador (e).

Nivel de confianza: Es la probabilidad de que la estimacin efectuada se ajusta a la realidad. Es

el punto crtico de la normal (z) que cuantifica la relatividad del error

Nivel de confianza (1-) 99.73% 99% 95% 90% 80%

Valores de Z 3.00 2.58 1.96 1.645 1.28

CALCULO DEL TAMAO MUESTRAL

Tamao de muestra para estimar la media poblacional :

Poblacin infinita o finita muy grande.

Poblacin finita, cuando se conoce el tamao de la poblacin.

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n : tamao de la muestra.

N : tamao de la poblacin

Z : valor crtico normal que depende del nivel de confianza.

2 : varianza poblacional.

E : margen de error o nivel de precisin.

Tamao de muestra para la estimacin de la proporcin poblacional:

Poblacin infinita o finita muy grande.

Poblacin finita, cuando se conoce el tamao de la poblacin.

n : tamao de la muestra

N : tamao de la poblacin

Z : valor crtico normal que depende del nivel de confianza.

P : proporcin de la poblacin que tienen la caracterstica de inters. Q = 1 - P

Ejemplos:

1. En una ciudad se desea conocer el nmero promedio de oportunidades de trabajo que los

pobladores mayores de 20 aos han intentado en diferentes instituciones hasta lograr un

trabajo estable. Por estudios anteriores se sabe que la desviacin estndar es 2 veces

(oportunidades) y que la poblacin para el estudio es 20550. Cuntas personas deben de

considerarse en la muestra para que con un error de 0,08 se obtenga los resultados con una

confianza del 95%?

Solucin:

N = 20500

Z = 1,96

E = 0,08

= 2

15

= 2150

Se requiere una muestra de 2150 personas, como mnimo.

2. Una organizacin de apoyo desea saber la proporcin de estudiantes con problemas de

aprendizaje en un determinado lugar para implementar un programa de actualizacin

educativa. Qu tamao de muestra ser necesario para realizar el estudio si se considera

un error de estimacin del 5%, P = 0,4 y una confianza del 95%?

Solucin:

P = 0,4; Q = 0,6

Z = 1,96

E = 0,05

n = 369

El tamao de muestra necesario es 369 estudiantes.

PROCEDIMIENTOS PARA OBTENER MUESTRAS PTIMAS

1. Primero se obtiene 0

2. si 0

10%, entonces 0 es optimo.

3. si 0

> 10%, entonces se corrige con el muestreo sin reemplazo donde n es

optimo

=0

1 +0

;

=0

1 +0 1

;

4. AGRUPACION Y PRESENTACION DE DATOS

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La informacin que se recolecta, antes de ser organizada y analizada se conoce como datos sin

procesar. Ejemplo la edad, condicin laboral, tiempo de servicio, sueldo mensual y actitud frente al

trabajo de los 150 empleados de una empresa. Una forma de organizar los datos es

presentndolos en una tabla o distribucin de frecuencias.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Es una forma de presentar los datos organizados en filas y columnas para facilitar la descripcin del

comportamiento de la variable de inters. Despus de recoger la informacin, se clasifica y ordena

en una tabla de frecuencias o tabla estadstica.

Ejemplo 1.

La informacin siguiente son edades de 30 profesionales que asisten a la Escuela de Postgrado de la

UCV.

45 32 43 40 28 36

47 41 50 37 34 59

25 45 48 42 51 50

30 48 41 35 40 55

37 24 45 47 45 49

Rango: R = max min = 59 24 = 35

El nmero de intervalos segn sturges es :

K = 1 + 3,3 log 30 (log 30 = 1.48)

K = 5,87 6 intervalos

Amplitud Intervlica: =

=

35

6= 5,83 6

Teniendo en cuenta esta amplitud formamos 6 intervalos o clases, en la primera columna de

la tabla y, si es necesario, se calculan los puntos medios o marcas de clase para cada clase.

=+

2

Li = lmite inferior de clase Ls = lmite superior de clase

Frecuencias absolutas

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Frecuencia absoluta simple (fi) es el nmero de veces que aparece cada observacin en el

conjunto de datos originales, la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamao de la

muestra o poblacin, segn sea el caso ( fi = n). Las frecuencias absolutas acumuladas (Fi) se

obtienen acumulando las frecuencias absolutas simples, excepto la primera frecuencia (F1 = f1).

Frecuencias relativas

Frecuencia relativa simple (hi) es la proporcin que existe entre la frecuencia absoluta simple y

el tamao de muestra hi = fi/n, hi = 1. Para obtener las frecuencias relativas acumuladas (Hi),

se acumulan las frecuencias relativas simples, excepto la primera frecuencia (H1 = h1).

Algo importante a tener en cuenta es que, en la prctica cuando se publica una tabla,

generalmente no se requieren utilizar o presentar los diferentes tipos de frecuencias

mencionados. Lo usual es considerar slo las frecuencias absolutas, los porcentajes simples y,

cuando es pertinente, los porcentajes acumulados. Asimismo, se debe utilizar la simbologa

estadstica slo cuando sea estrictamente necesaria y siempre indicar la fuente de origen de los

datos. Tambin es importante sealar que las tablas deben tener un nmero que las identifique

y su correspondiente ttulo, claro y preciso.

Tabla 1.

Edades de 30 profesionales de la Escuela de Postgrado de la Universidad Csar

Vallejo Edad Xi N de Profe-

sionales Fi hi Hi % %

acumulado 24 a menos de 30

30 a menos de 36

36 a menos de 42

42 a menos de 48

48 a menos de54

54 a menos de 60

27

33

39

45

51

57

3

4

7

8

6

2

3

7

14

22

28

30

0,10

0,13

0,23

0,27

0,20

0,07

0,10

0,23

0,46

0,73

0,93

1,00

10

13

23

27

20

7

10

23

46

73

93

100 Total 30 1,00 100

Fuente. Base de datos de la Escuela de Postgrado

Segn la informacin que presenta la tabla 1, la clase de edad ms frecuente es la de 42 a

menos de 48 aos, con el 27% de profesionales, le sigue la clase de 36 a menos de 42 aos con

el 23 % de profesionales y la clase de edad menos frecuente es la de 54 a menos de 60 aos con

un 7% de profesionales. Asimismo, el 73% de los profesionales tienen edad menor de 48 aos.

18

Como se dijo anteriormente, en la prctica al presentar esta tabla para difusin, se consideraran

slo la primera, tercera, penltima y ltima columna y se agregara la fuente de donde provienen

los datos. Adems se debe remplazar fi por n de profesionales.

5. REPRESENTACIONES GRFICAS

Histograma de frecuencias

Se caracterizan por considerar rectngulos adyacentes teniendo como base la amplitud de cada

intervalo y como altura las frecuencias. A continuacin se presenta el histograma de frecuencias

simples correspondiente a la tabla 1.

Polgono de frecuencias

Se grafica teniendo en cuenta los puntos medios o marcas de clase y las frecuencias

correspondientes. El polgono simple para la tabla 1 es el siguiente.

En su presentacin, para difusin, los grficos deben tener, como la tabla, n, ttulo y fuente.

Ejemplo 2.

3 24 0 36 42 48 54 X

fi

5

57 33 39 45 51 27

X

fi

5

19

Se ha clasificado a 20 individuos (n=20 y k=4), segn su nivel de estudios que puede

tomar valores: Nivel de estudios

1 Sin estudios

2 Primarios

3 Secundarios

4 Superiores

y se han obtenido los siguientes datos: 1 4 3 3 3 2 2 4 2 2 1 4 2 3 2 3 4 2 3

Frecuencias absolutas:

f1=3; f2=7; f3=6; f4=4

= + + + = + + + =

Frecuencias relativas:

=

= . ; =

= . ; =

= . ; =

= .

+ + + = . + . + . + . = .

Distribucin de frecuencias:

Tabla 2

Nivel de estudios de un grupo de individuos que

laboran en la UGEL. Huaraz Categoras fi hi Fi

Sin estudios 3 0,15 3

Primaria 7 0,35 10

Secundaria 6 0,3 16

Superior 4 0,2 20

Total n=20 1

Fuente: Resultados de encuesta aplicado a los individuos

La categora ms frecuente es la de estudios primarios y la menos frecuente la de sin estudios.

REPRESENTACIN GRFICA DE LA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

20

a) Grfico de barras: Cada barra representa una categora, puede representarse en forma

absoluta o porcentual; de la tabla 2 obtenemos la siguiente grfica de barras.

Grfico N 3. Nivel de estudios de un grupo de individuos que

laboran en la UGEL. Huaraz

b) Grfica Circular: Llamada tambin de sectores o de pastel, resulta til para representar una

distribucin de frecuencias porcentuales. Se puede preferir al grfico de barras, cuando el n de

categoras no es muy grande. A partir de la tabla 2, se obtiene el siguiente grfico circular.

Grfico N 4. Nivel de estudios de un grupo de individuos que laboran en la UGEL. Hz.

Ejemplo 3:

Se aplic una encuesta a 27 trabajadores de la empresa ANITA y se les pregunto su edad, los

datos obtenidos fueron:

30 26 29 27 31 22 29 17 21

36 41 30 21 36 26 18 31 23

27 29 19 17 23 29 30 24 29

a) Identificar: poblacin, muestra, unidad estadstica, variable y tipo de variable.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Sin estudios Primarios Secundarios Superiores

15%

35% 30%

20%

Sin estudios, 15%

Primarios, 35%

Secundarios, 30%

Superiores, 20%

21

Poblacin : Todos los trabajadores de la empresa Anita

Muestra : 27 trabajadores

Unidad estadstica : Un trabajador

Variable : Edad

Tipo de variable : Cuantitativa-continua.

b) Construir una tabla de distribucin de frecuencias adecuada.

Rango = Dato mayor-Dato menor, R= 41-17= 24

- Determinar el valor de k (nmero de intervalos):

Ley de Sturges: k = 1+3.3 log (n) (muestra)

K = 1+3.3 log (27)= 5.7 6 (redondeando al entero)

k= 5 < n

22

Creamos etiquetas:

Analizar Estadsticos descriptivos frecuencias

y arrastrar la nueva variable y aceptar

Edad de los trabajadores (agrupado)

Marca de

clase

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

vlido

Porcentaje

acumulado

Vlidos

17-21 19 4 14,8 14,8 14,8

21 - 25 23 6 22,2 22,2 37,0

25 - 29 27 4 14,8 14,8 51,9

29 - 33 31 10 37,0 37,0 88,9

33 - 37 35 2 7,4 7,4 96,3

37-41 39 1 3,7 3,7 100,0

Total 27 100,0 100,0

23

c) Interpretar: f2; h3 ; h1 % ; F4

f2 = 6 seis trabajadores tienen desde 21 aos pero menos de 25 aos

h3 = la proporcin de trabajadores que tienen de 25 aos pero menos de

29 aos es de 0.148

h1% = 14.8%, el 14.8% de los trabajadores tienen de 17 a menos de 21 aos.

Grfica del Histograma:

Analizar Estadsticos descriptivos Frecuencias

Seleccionar la variable a graficar y desactivar mostrar tabla de frecuencia

Seleccionar grficos Tipos de grficos Seleccionar Histogramas, mostrar

curva normal, continuar y aceptar.

POLIGONO DE FRECUENCIA

24

Segn la grfica se observa que del segundo y cuarto intervalo del grupo de edades de los

trabajadores, representados 21 a 25 aos y de 29 a 33 aos respectivamente; corresponden

a un 22.2% y 37.0% lo que equivalen a ms del 50% de los trabajadores.

EJERCICIOS DE REPASO N 1

1. Las edades de los 50 integrantes de un programa social municipal son:

75 92 65 64 82

94 74 83 78 51

80 78 44 88 84

60 65 63 76 68

51 72 40 83 70

56 60 91 61 45

66 67 51 64 50

75 62 85 69 48

42 41 88 95 70

53 55 71 80 43

a) Construir distribuciones de frecuencias con 7 clases y calcular los porcentajes simples y

acumulados.

b) Graficar los histogramas de frecuencias absolutas y porcentuales simples y los polgonos

correspondientes.

c) Interpretar la segunda frecuencia absoluta simple, el tercer % simple.

d) Interpretar los porcentajes acumulados tercero, cuarto y quinto.

2. El nmero de minutos que les toma a 30 empleados de una institucin en llegar desde su casa a su centro de trabajo son:

40.3 40.1 41.6 25.4 26.3

20.5 28.3 35.5 38.2 40.2

50.5 48.5 28.0 42.5 39.5

35.7 14.0 50.2 50.0 20.3

30.4 17.2 30.3 41.7 17.2

25.2 20.8 36.5 38.5 40.5

a) A partir de los datos elabore una distribucin de frecuencias con intervalos de clases iguales.

b) Calcular los porcentajes simples y acumulados.

25

c) Interpretar dos porcentajes simples y dos acumulados.

d) Graficar el histograma y polgono de frecuencias

3. Los siguientes datos representan los tamaos de 40 familias que residen en la ciudad.

4, 7,10, 8, 10, 6, 7, 5, 6, 10, 3, 2, 4, 3, 5, 4 5, 6, 6, 4,

12, 6, 8, 9, 3, 5, 8, 4, 5, 3, 7, 5, 10, 4, 6, 3, 12, 8, 4, 5.

a) Construya una tabla de frecuencias para estos datos.

b) Representar la informacin mediante el grfico de barras.

6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL:

MEDIA ARITMETICA.- La media aritmtica es la suma de los valores observados dividido entre el

nmero de observaciones. La media aritmtica de una muestra se obtiene mediante

=

datos no tabulados (I)

=

datos tabulados (II)

= valores de la variables o puntos medios

=

Debe tenerse presente que cuando se calcula la media aritmtica con la frmula (II) y los datos estn

agrupados en clases, el promedio que se obtiene es aproximado.

MODA.-Moda es el valor ms comn en una distribucin. Si se trata de una tabla de datos agrupados

en clases, tambin se puede hallar la clase modal.

MEDIANA

Se ubica en la posicin central que ocupa el orden de su magnitud, dividiendo la informacin en dos

partes iguales, dejando igual nmero de datos por encima y por debajo de la mediana.

CUARTILES

Son tres valores posicionales que dividen a la distribucin o conjunto de datos ordenado en cuatro

partes iguales: 1; 2 3

Ejemplo 4:

Las puntuaciones obtenidas en una muestra de 10 participantes en un torneo de ajedrez en base a 100

puntos como mximo son:

70, 80, 50, 95, 75, 65, 90, 85, 60, 90

26

a) La puntuacin promedio es:

= 76 puntos

b) El puntaje que se presenta con mayor frecuencia es 90 puntos que representa la moda.

c) Cul es la mediana?

Ordenando los datos en forma ascendente se obtiene:

50; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 90; 95

Como el tamao de muestra es 10 (n par) la mediana es:

Me =

El 50% de los participantes en el torneo de ajedrez obtuvieron puntajes menores de 77.5

7. MEDIDAS DE DISPERSIN

RANGO O RECORRIDO

Es la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo de la distribucin: R = max min.

VARIANZA

Es la media de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto a la media

aritmtica.

Varianza Poblacional:

2 =( )

2

Varianza Muestral:

2 =( )

2

1 , para datos no tabulados

2 =( )

2 1

, para datos tabulados

DESVIACION ESTANDAR

Es la raz cuadrada de la varianza. La desviacin estndar es: = 2

27

COEFICIENTE DE VARIACION

El coeficiente de variacin considera la desviacin estndar con la media aritmtica para

establecer un valor relativo que hace comparable el grado de dispersin entre dos o ms

variables o distribuciones de una misma variable. Se utiliza con frecuencia para medir el grado

de homogeneidad o heterogeneidad de un conjunto de datos.

S CV =

X

Para los datos del ejemplo 4:

2 =1940

9= 215.56

= 215.56 = 14.6818

=14.6818

76= 0.1932

La dispersin de las puntuaciones obtenidas por los participantes en ajedrez es

aproximadamente 15 puntos. La variacin relativa es 19,3%. Segn este resultado se puede

considerar que los datos del ejemplo 4 son homogneos.

MEDIDAS DE ASIMETRA

La asimetra o sesgo en una distribucin ocurre cuando los valores de la media aritmtica, la

moda y la mediana no son iguales por la presencia de algunos datos muy diferenciados. Una

medida para evaluar el sesgo o asimetra de la distribucin se denomina coeficiente de asimetra

(C.A.)

Coeficiente de Asimetra

Teniendo en cuenta la media aritmtica y moda el coeficiente de asimetra es:

CA =

Si se considera la media aritmtica con la mediana, el coeficiente de asimetra es:

28

CA =

Si CA < 0 la distribucin tiene asimetra negativa.

Si Ca > 0, la distribucin tiene asimetra positiva.

Si CA = 0, la distribucin es simtrica.

CURTOSIS

Mide el grado de apuntamiento de una distribucin en relacin con la distribucin normal.

Coeficiente De Curtosis El coeficiente de curtosis para analizar el apuntamiento en una muestra es:

=(

2)4/

(2)2

Si:

C < 3 La distribucin es Platicrtica.

C = 3 La distribucin es Mesocrtica.

C > 3 La distribucin es Leptocrtica.

Ejemplo 5

Una institucin investiga los tiempos en minutos por llamadas telefnicas que hace cada oficina

durante un da de trabajo. En una muestra de 40 oficinas obtiene lo siguiente:

Tiempo Xi N de

llamadas (fi) Fi xi*fi (xi-)2*fi

10 a menos de 13 11.5 3 3 34.5 113.4675

13 a menos de 16 14.5 11 14 159.5 109.1475

16 a menos de 19 17.5 12 26 210 0.27

19 a menos de 22 20.5 9 35 184.5 73.1025

22 a menos de 25 23.5 5 40 117.5 171.1125

Total 706 467.1

29

Las medidas estadsticas necesarias para calcular los coeficientes de asimetra y curtosis son:

S

S = 3,46

Mo = 16 + Mo = 16,75

Me = 16 + 3 Me = 17,5

El coeficiente de asimetra segn la Moda es:

CA = CA = 0,26

El coeficiente de asimetra segn la mediana es

CA = 3 CA = 0,13

Luego los dos coeficientes de asimetra nos indican que la distribucin tiene una asimetra

positiva. El coeficiente de curtosis es

C = C = 2,06

El valor 2,06 nos indica que la distribucin tiene forma platicurtica.

Usando el software estadstico SPSS. (Ejemplo de las edades de los trabajadores de la empresa ANITA)

30

MEDIDAS DESCRIPTIVAS PARA VARIABLES CUANTITATIVA CONTINUA:


1. Los siguientes datos (en miles de nuevos soles) representan las

rentas netas anuales de una muestra de 32 trabajadores de una

institucin.

15; 23; 18; 15; 20; 22; 19; 18; 16; 30; 25; 18; 17; 16; 37; 19

25; 28; 40; 35; 22; 21; 17; 21; 36; 30; 19; 26; 35. 20; 15; 35

a) Representa un histograma de frecuencias absolutas relativas

con 5 intervalos de clase.

b) Cul es la renta promedio de los contribuyentes. Cul su

dispersin.

c) Dividir, a partir de datos tabulados la distribucin en 2

categoras.

Estadsticos

Das de la semana

N Vlidos 89

Perdidos 0

Media 2,44

Mediana 2,00

Moda 2

Desv. tp. 1,215

Varianza 1,476

Asimetra ,692

Error tp. de asimetra ,255

Curtosis ,038

Error tp. de curtosis ,506

Rango 5

Mnimo 1

Mximo 6

Suma 217

Percentiles 25 1,50

50 2,00

75 3,00

Estadsticos

Edad de los trabajadores (agrupado)

N Vlidos 27

Perdidos 62

Media 3,11

Mediana 3,00

Moda 4

Desv. tp. 1,368

Varianza 1,872

Asimetra -,020

Error tp. de asimetra ,448

Curtosis -,753

Error tp. de curtosis ,872

Rango 5

Mnimo 1

Mximo 6

Suma 84

Percentiles 25 2,00

50 3,00

75 4,00

Perodo

de

atencin

(minutos)

Puntuacin

IQ

3,0

5,2

4,9

6,3

5,4

6,6

7,0

6,5

7,2

5,5

5,4

3,8

2,7

2,2

88

94

90

105

108

112

116

122

110

118

128

130

140

142

31

d) Es la distribucin simtrica?

2. Los datos siguientes se refieren al perodo de atencin (en minutos) y la puntuacin en un test de

inteligencia (IQ) de 14 nios en edad escolar.

a) Cules son los promedios del perodo de atencin y del coeficiente de inteligencia?

b) Calcular e interpretar comparativamente las dispersiones absolutas y relativas para cada

variable.

c) Calcular e interpretar el coeficiente de asimetra.

3. Una empresa que vende computadoras recopil datos con respecto al nmero de entrevistas que

requeran cada uno de los 40 vendedores para iniciar una venta. La tabla siguiente representa la

distribucin de frecuencias absolutas.

a) Graficar el polgono de frecuencias porcentuales simples. b) Cul es el nmero promedio de entrevistas que necesitaron los vendedores para iniciar su

venta.

c) Cul es su variacin absoluta y cul su variacin relativa. Interpretar.

d) Cul es el nmero de entrevistas que la mayora requiri.

e) Calcular e interpretar el coeficiente de asimetra.

4. La siguiente distribucin de frecuencias representa

el tiempo en segundos que los cajeros de un banco

necesitan para servir a una muestra de clientes en

el mes de diciembre.

Hacer el anlisis estadstico descriptivo.

N de entrevistas N de vendedores

0 4

5 9

10 14

15 19 20 -25

6 10 12 8 4

Tiempo (segundos) N de clientes

20 -29

30 39

40 49

50 59

60 69

70 79

80 89

90 99 100 109

110 119 120 -129

6 15 20 30 25 22 11 6 4 0 2

32

III. PROBABILIDADES

1. EXPERIMENTO ALEATORIO

Un experimento aleatorio es un proceso de medicin u observacin en el que los resultados no

se pueden predecir. Por ejemplo el lanzamiento de una moneda y observar si el resultado es

cara o sello, se fabrican artculos en una lnea de produccin y se cuentan el nmero de artculos

defectuosos producidos diariamente; observar el tiempo de servicio til en horas de una

computadora.

2. ESPACIO MUESTRAL

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A cada elemento, se

denomina punto muestral, se nombra por

S = {s1, s2, . . . , sn}

Ejemplo 1

Se lanzan dos monedas simultneamente, el espacio muestral correspondiente es S = {cc,

cs, sc, ss}

Ejemplo 2

Se entrevista a 10 personas preguntndoles la preferencia por determinado diario de

circulacin nacional. Se reporta el nmero de personas que leen el diario. El espacio muestral es:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

EVENTO ALEATORIO

Es un posible resultado o una combinacin de resultados de un experimento aleatorio. Es un

subconjunto del espacio muestral S, se conoce tambin como suceso aleatorio.

Ejemplo 3

Sea el experimento: lanzar un dado y observar el nmero que aparece en la cara superior. El

espacio muestral correspondiente es

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

De este experimento podemos definir los siguientes eventos:

A: Obtener exactamente el nmero 3

A = {3}

B : Obtener un nmero menor que 5

33

B = {1, 2, 3, 4}

C : Obtener un nmero par

C = {2, 4, 6}

D : Obtener un nmero mayor o igual que 4.

D = {4, 5, 6}

Evento simple. Consta de un elemento, llamado tambin evento elemental, cada resultado est

definido por la aparicin de un elemento sencillo, como muestra en el evento A del ejemplo 3.

Evento compuesto. Est formado por ms de un elemento o punto muestral. Los eventos B, C y D del

ejemplo 3 son eventos compuestos.

Eventos Incompatibles. Se llama tambin mutuamente exclusivos, no pueden suceder al mismo

tiempo, como ejemplo, considere obtener un nmero par e impar al tirar un solo dado una vez;

si ocurre uno de estos eventos no es posible que el otro evento ocurra.

Evento Complementario. Dos eventos aleatorios son complementarios si los resultados que no estn

contenidos en uno estn contenidos en el otro evento. En el ejemplo 3, el evento complementario

de D: obtener un nmero mayor o igual que 4 es D: obtener un nmero menor que 4.

D = {1, 2, 3}

3. PROBABILIDAD DE UN EVENTO ALEATORIO

Para determinar la probabilidad de un evento A en el espacio muestral S se divide el nmero

de resultados o elementos del evento A entre el nmero de resultados posibles del espacio

muestral S. Es decir

() =

La probabilidad de un evento A, es un nmero real P(A) que cumple las siguientes propiedades.

i) P(A) 0

ii) P(S) = 1

iii) Si A, A2, , An son eventos mutuamente excluyente de S, entonces

= (=1

=1 )

34

Propiedades de la probabilidad

1. Para cualquier evento A

0 P(A) 1

2. Si A y A son eventos complementarios del espacio muestral S, entonces P(A) = 1 P(A)

3. Si es un evento imposible o conjunto vaco, P () = 0 para cualquier espacio muestral S.

4. Si A, B son eventos de un espacio muestral S y A B, entonces P(A) P(B).

5. Regla de adicin

Si A, B dos eventos cualesquiera del espacio muestral S, entonces

P (AB) = P (A) + P (B) P (AB)

6. Si A, B eventos mutuamente excluyentes, entonces

P(AB) = P(A) + P (B)

Ejemplo 4

De 100 profesionales que solicitaron empleo en una institucin 50 tenan experiencia

profesional, 20 tenan maestra y 10 tenan experiencia profesional y maestra. Cul es la

probabilidad que un profesional aleatoriamente elegido tenga experiencia profesional o

maestra.

Solucin:

Sea E el evento que el profesional elegido tenga experiencia profesional.

Sea M el evento que el profesional elegido tenga maestra.

P(E M) = P(E) + P(M) P(E M)

= + - = 0.60

4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Una medida de probabilidad en el espacio muestral S de que ocurra el evento A, dado el

evento B ha ocurrido se llama probabilidad condicional para dos eventos, se denota P(A/B).

Definicin.-Si A, B dos eventos cualesquiera del espacio muestral S y P(B) > 0. La probabilidad condicional de A dado B es

(/) =( )

()

35

P(A B) se llama probabilidad conjunta de los eventos A y B, se simboliza tambin P(AB).

Ejemplo 5

La probabilidad que una computadora tenga alta selectividad y alta resolucin es 0.25 y la

probabilidad que tenga alta resolucin es 0.70. . Cul es la probabilidad de que una

computadora tenga alta selectividad dado que tiene alta resolucin? .

Solucin:

Sean los eventos:

A: La computadora tiene alta selectividad

B: La computadora tiene alta resolucin

(A B): La computadora tiene alta selectividad y alta resolucin.

(/) =( )

()=

0.25

0.70= 0.40

Ejemplo 6

Una empresa estudia dos grupos de industrias para invertir en sus acciones y clasifica como

industrias de alto costo o de costo moderado y de alimentos o de servicios. Los resultados

se muestran en la siguiente tabla:

Tipo de industria Costo moderado Alto costo Total

Alimentos

Servicios

12

15

9

14

21

29

Total 27 23 50

Si se elige al azar una empresa.

a) Cul es la probabilidad que sea de alimentos dado que es de costo moderado?

b) Cul es la probabilidad que sea de servicios dado que es de alto costo?

Solucin:

Sea: A el evento de elegir una empresa de alimentos.

B el evento de elegir una empresa de servicios.

C el evento de elegir una empresa de costo moderado.

C el evento de elegir una empresa de alto costo.

36

Entonces:

a) (/) =()

()=

0.24

0.54= 0.44

b) P(S/C) = = 0.61

5. REGLA DE MULTIPLICACIN

Definicin:

Si A, B dos eventos cualesquiera del espacio muestral y P(A) > 0, entonces

P (A.B) = P(A) P(B/A)

Esta regla se conoce a veces como el teorema de multiplicacin y se aplica al clculo de la

probabilidad de la ocurrencia simultnea de dos eventos A y B.

Ejemplo 7

Si se eligen al azar en sucesin dos gaseosas de determinada marca de un lote de 240

gaseosas de los cuales 12 tienen premio Cul es la probabilidad de que las dos gaseosas

estn premiadas?

Solucin:

Supongamos A, el evento de que la primera gaseosa tenga premio y B, el evento de que la

segunda gaseosa tenga premio.

La probabilidad de obtener dos gaseosas con premio es

P(A.B) = . = 0.0023

Ejemplo 8

Una caja de USB tiene 15 unidades de los cuales 5 estn con virus informtico. Si selecciona

al azar tres USB sin reemplazo. Cul es la probabilidad de que los tres USB estn con virus?

Solucin:

Si A es el evento de que el primer USB est con virus, B el evento de que el segundo USB

est con virus y C el evento de que el tercer USB tambin est con virus, entonces

P (A) = 5/15, P (A/B) = 4/14, P(C/A.B) = 3/13

37

P (A.B.C) = . . = 0.022

6. PROBABILIDAD DE BAYES

TEOREMA.-Sean A1, A2, An eventos que forman una particin del espacio muestral S y sea B un evento cualquiera en S, entonces.

(/) =()(/)

()

Ejemplo 9

El departamento de crdito de una empresa comercial inform que 20% de sus ventas son en

efectivo, 50% se pagan con cheque en el momento de la adquisicin y 30% son a crdito. Se

sabe que el 40% de las ventas en efectivo, 80% en cheques y 70% de las ventas a crdito son

artculos nacionales. Se elige aleatoriamente un cliente de la empresa y resulta que el artculo

vendido es nacional Cul es la probabilidad que la venta haya sido a crdito?

Solucin:

Sean los eventos de las ventas:

E: efectivo, CH: cheque, C: a crdito

N: articulo nacional

I: articulo importado

P(N) = P (EN + CHN + CN) = P(E) P(N/E) + P(CH) P(N/CH) + P(C) P(N/C)

= 0.20 (0.40) + 0.50 (0.80) + 0.30(0.70) = 0.69

Ahora se calcula mediante el teorema de Bayes.

(/) =()(/)

()=

0.30(0.70)

0.69 = 0.3043

38


1. Un encuesta a ejecutivos revel que 65% leen con regularidad la revista A, 45% leen la

Revista B y 30% leen ambas revistas.

a) Cul es la probabilidad que un ejecutivo especfico lea con regularidad la revista

A o la revista B.

b) Como se le denomina a la probabilidad 0,30.

c) Los eventos son mutuamente excluyentes? Explique la respuesta.

2. Explique la diferencia entre un evento colectivamente exhaustivo y uno mutuamente

excluyente. De un ejemplo de cada uno.

3. En los ltimos aos una compaa de tarjetas de crdito ha desarrollado una estrategia

para atraer nuevas cuentas a profesionales recin egresados de la Universidad. Una muestra

de 200 profesionales se entrevist para ver si posea una tarjeta de crdito bancaria o una

tarjeta de dbito obteniendo la siguiente informacin:

Tarjeta de crdito

Tarjeta de dbito

SI NO

SI 70 60

NO 40 30

a) De un ejemplo de evento simple.

b) De un ejemplo de evento conjunto.

c) Cul es el complemento de tener una tarjeta de crdito.

d) Si se sabe que el profesional tiene una tarjeta de crdito bancaria Cul es la

probabilidad de que tenga una tarjeta de dbito?

e) Si se sabe que el profesional no tiene tarjeta de dbito Cul es la probabilidad

que tenga una tarjeta de crdito?

4. Una caja de 10 CD, 6 son marca A y 4 marca B, todos estn en sobres de igual color.

Si se seleccionan 2 CD aleatoriamente de la caja sin reemplazo:

a) Cul es la probabilidad de que ambos CD sean de la marca A.

b) Cul es la probabilidad que un CD sea marca A y el otro CD marca B.

39

5. Un director de una organizacin de seguros distribuy solicitudes de afiliacin a nuevos

trabajadores durante una reunin de orientacin 55% de los que recibieron estas solicitudes

eran hombres y el 45% mujeres. Posteriormente el 8% de los hombres y el 10% de las

mujeres que recibieron la solicitud se afili a la organizacin.

a) Cul es la probabilidad de que un nuevo trabajador elegido al azar que recibe la

solicitud se afilie a la organizacin.

b) Cul es la probabilidad de que un nuevo trabajador elegido al azar que se afilia

a la organizacin despus de recibir la solicitud sea hombre.

IV. PRUEBA DE HIPOTESIS

1. PRUEBA DE HIPOTESIS

INTRODUCCIN

Mediante una prueba de hiptesis se puede decidir, a partir de la informacin que proporciona

una muestra aleatoria, si lo que se afirma respecto a un parmetro es verdadero o no.

El planteamiento y prueba de hiptesis son partes muy importantes del diseo metodolgico

de una investigacin cuantitativa.

2. HIPOTESIS ESTADISTICA

La hiptesis estadstica es un supuesto para tomar decisiones estadsticas referidas a uno o ms

parmetros poblacionales.

Hiptesis Nula y Alternativa

Hiptesis Nula: Se denomina hiptesis nula y se representa por Ho a la hiptesis que es

aceptada provisionalmente y cuya validez ser sometida a comprobacin.

Hiptesis Alternativa: Se designa por H1 y constituye una alternativa en caso que la hiptesis

nula no sea aceptada. En investigacin, generalmente corresponde a la hiptesis de

investigacin.

Ejemplo

Para probar si el rendimiento promedio de los alumnos de una institucin educativa es

mayor que 14, se toma una muestra aleatoria de los alumnos de la institucin y de acuerdo

40

a la informacin que sta proporciona se aceptar o rechazar una de las siguientes

afirmaciones.

Ho: El rendimiento acadmico promedio de los alumnos de la institucin educativa no es mayor

a 14.

H1: El rendimiento acadmico promedio de los alumnos de la institucin educativa es mayor a

14

3. TIPOS DE ERRORES QUE SE COMETEN EN UNA PRUEBA DE HIPTESIS

En todo proceso inferencial, por el hecho de trabajar con informacin muestral, se corre

el riego de cometer error. Este error en estadstica se mide en trminos de probabilidad

y se trata de minimizar.

Error tipo I: Consiste en tomar la decisin de rechazar la hiptesis nula cuando es cierta

en trminos de probabilidad.( nivel de significancia)

Error tipo II: Consiste en tomar la decisin de aceptar la hiptesis nula cuando sea falsa

en trminos de probabilidad. ( potencia de la prueba )

0 FALSA 0 CIERTO

RECHAZAR 0 CORRECTO ERROR I

ACEPTAR 0 ERROR II CORRECTO

.

Regin de aceptacin y Regin crtica

Prueba unilateral de cola a la izquierda.

Cuando la hiptesis alternativa es planteada usando la relacin menor que (). Dado

un nivel de significacin , 1- es la probabilidad de aceptar Ho. Se rechaza Ho si el

valor calculado de la estadstica de la prueba es mayor que el valor tabular.

41

Prueba bilateral

Cuando la hiptesis alternativa es planteada usando la relacin diferente (). Dado un

nivel de significacin , 1- es la probabilidad de aceptar Ho. Se acepta Ho si el valor

calculado de la estadstica de la prueba est entre los valores tabulares.

Procedimiento

El procedimiento general en una prueba de hiptesis es:

1. Formular la hiptesis nula Ho y la hiptesis alternativa Ha.

2. Especificar el nivel de significacin .

3. Determinar la estadstica de la prueba a usar.

4. Determinar la regin de aceptacin y la regin crtica o de rechazo.

5. Calcular el valor de la estadstica a partir de los datos de la muestra.

6. Tomar la decisin: rechazar Ho si el valor calculado de la estadstica est en la regin

de rechazo de H0 y por lo tanto, aceptar H1. En caso contrario no rechazar Ho y por lo

tanto no aceptar H1

4. PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIN ()

Ho: o Ho: o Ho: = o

Ha: < o Ha: > o Ha: o

1. Cuando se conoce la varianza poblacional.

La estadstica para la prueba es:

=

que tiene distribucin normal estndar.

2. Cuando no se conoce la varianza poblacional.

Para una muestra pequea, la estadstica para la prueba es:

=

que tiene distribucin t con n-1 grados de libertad.

Ejemplo 1. El director de una institucin educativa afirma que el ingreso mensual promedio de las

familias de los alumnos de su institucin es mayor de S/. 850. Para probar esta afirmacin

selecciona una muestra aleatoria de 25 familias y calcula que el ingreso promedio es S/. 870

42

con una desviacin estndar de S/. 50. Con un nivel de significacin del 5%, Cul es su

conclusin?

Solucin:

Ho: 850

Ha: > 850

= 0,05

La muestra es pequea y no se conoce la varianza poblacional, por lo tanto, la estadstica para

la prueba es:

=

=

=

(.;) = 1,729

Como tc es mayor que el valor tabular, es decir, se encuentra en la regin de rechazo de H0,

entonces se rechaza H0 y se acepta H1. Se concluye que la afirmacin del director se acepta,

al nivel de significacin del 5% o 0.05

5. PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA COMPARACIN DE MEDIAS DE DOS

POBLACIONES

Caso 1. Las varianzas de las poblaciones 2x, 2y se conocen

Ho: x y Ho: x y Ho: x = y

H1: x < y H1: x > y H1: x y La estadstica para la prueba es:

=

2

+

2

que tiene una distribucin normal estndar.

Caso 2. Las varianzas de las poblaciones 2x, 2y no se conocen

Ho: x y Ho: x y Ho: x = y

H1: x < y H1: x > y H1: x y

43

Varianzas desconocidas iguales: 2x = 2y = 2 La estadstica para

la prueba, para muestras pequeas, es:

=

( 1)

2 + ( 1)2

+ 2[

1

+1

]


que tiene distribucin t con nx + ny 2 grados de libertad.

Ejemplo 3.

En un sistema educativo se aplican dos mtodos de enseanza X, Y. En el primer grupo de

120 alumnos se aplic el mtodo X y en el segundo grupo de 250 alumnos se aplic el

mtodo Y. Las medias de las calificaciones obtenidas fueron = 12 y = 12,2

respectivamente Puede admitirse que los mtodos de enseanza no difieren en los

resultados y que las diferencias encontradas en las muestras se deben al azar? Por

experiencias anteriores se conoce que las varianzas poblacionales son 2x = 4 y 2y = 4,12

respectivamente. Use = 0,05.

Solucin: Ho: x = y

H1: x y = 0,05.

=

2

+

2

= 12 12.2

4120 +

4.12250

= 0.896

0.975 = 1.96

El valor de Z calculado (Zc) no cae en la regin de rechazo, podemos considerar que la

diferencia observada entre los valores promedios no es significativo al nivel 0,05.

6. PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA PROPORCIN DE UNA POBLACIN

Ho: P Po Ho: P Po Ho: P = Po

H1: P < Po H1: P > Po H1: P Po

44

=

que tiene distribucin normal estndar, por aproximacin.

Ejemplo 5.

Un profesor de educacin secundaria acus a una editorial diciendo que ms del 15% de los

textos que publica la editorial tienen algn defecto. Para continuar con la investigacin se tom

una m.a. de 50 textos de la produccin en circulacin de la editorial y se encontr que 10 de los

textos tenan por lo menos un defecto (falla) Cul es su conclusin? Use = 0,05

Solucin:

Ho: P 0,15

Ha: P > 0,15

= 0,10

=

= .

=

=. .

(. )(. )

= .

. = .

El valor de Z calculado es menor que el valor tabular por lo tanto la acusacin del profesor

no se acepta al nivel de 5% de significacin.

7. PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA COMPARACIN DE PROPORCIONES DE DOS POBLACIONES

Ho: Px Py Ho: Px Py Ho: Px = Py

H1: Px < Py H1: Px > Py H1: Px Py


=

+

tiene distribucin normal estndar.

Considerando el estimador de la proporcin comn ()

45

=

(

+

)

donde: = +

+=

+

+

Ejemplo 6.

Un escritor que promociona su novela afirma que su obra representa un atractivo igual para los

hombres que para las mujeres, pero el equipo de prensa piensa que es mayor el porcentaje de

hombres al de mujeres que leen la novela. En una muestra aleatoria de 200 hombres y 250

mujeres revel que 110 hombres y 110 mujeres leen la novela Puede considerarse que la

proporcin de lectores hombres es mayor que la proporcin de lectoras mujeres, para un nivel

de significacin del 5%?

Solucin:

Ho: Px Py Px : proporcin de lectores hombres

Ha: Px > Py Py : proporcin de lectoras mujeres

= 0,05

=

= . =

= .

= +

+ =

+

+ = .

=

(

+

)

=. .

(. )(. )(

+

)

= .

El valor calculado Zc pertenece a la regin crtica por lo tanto, se rechaza Ho y se acepta H1,

es decir, la proporcin de lectores hombres es mayor que la proporcin de lectoras mujeres,

al nivel de 5%

8. PRUEBA DE INDEPENDENCIA.

La prueba de independencia se utiliza en investigaciones donde interesa analizar la relacin o

la independencia de dos variables cualitativas X e Y.

46

Cada variable se divide en categoras o niveles de acuerdo a un criterio de clasificacin y los

datos se presentan en una tabla bidimensional o tabla de contingencia con r filas y c

columnas. Las hiptesis se suelen presentar de dos formas:

1) Ho: La variable X no est relacionada con la variable Y.

Ha: La variable X est relacionada con la variable Y, o

2) Ho: La variable X e Y son independientes.

Ha: La variable X e Y no son independientes.

La estadstica para la prueba es

2 = ( )

2

que tiene distribucin chi cuadrado con gl grados de libertad ( gl = (r-1)(c-1) ) .

Oij = valores observados, Eij = valores esperados, Eij = ri cj / n, ri: total de la fila i, cj: total de

la columna j, n: nmero de datos

Ejemplo 6.

Se aplic una encuesta a una muestra de 400 trabajadores de una empresa. Despus de

procesar los datos se obtuvo la siguiente tabla de contingencia para las variables gnero

y opinin sobre como avanzar en el trabajo. Al nivel de = 0,05 existe relacin entre la

opinin de los trabajadores y el gnero?

Gnero

Opinin

Total Trabajo duro

Trabajo duro y suerte

Suerte

Hombre

Mujer

145 48 40 233

115 32 20 167

Total 260 80 60 400

Solucin:

Ho: No existe relacin entre la opinin de los trabajadores y el gnero.

H1: Existe relacin entre la opinin de los trabajadores y el gnero.

= 0,05

2 = ( )

2

47

gl = (2-1)(3-1) = (1)(2) = 2

(2;0.05)2 = 5.99

Calculando los Eij :

E11 = 233x260/400 = 151.45 E21 = 167x260/400 = 108.55

E12 = 233x80/400 = 46.6 E22 = 167x80/400 = 33.4

E13 = 233x60/400 = 34.95

E23 = 167x60/400 = 25.05

X2c = (145-151.45)2 /151.45 + (48-46.6)2 / 46.6 + (40- 34.95)2 / 34.95 +

(115-108.55)2 / 108.55 + (32-33.4)2 / 33.4 + (20-25.05)2 / 25.05

X2c = 2.5

Considerando que el valor calculado de X2 = 2.5, es menor que el valor tabular 5.99, es

decir cae en la regin de aceptacin de H0 , no se puede rechazar Ho, es decir, se puede

concluir que no existe relacin entre la opinin de los trabajadores y el gnero al nivel de

significacin = 0,05.

V. REGRESIN Y CORRELACIN LINEAL

1. INTRODUCCIN

Mediante la regresin lineal se desarrolla una ecuacin para predecir el valor de la variable

dependiente (Y) dado el valor de una variable independiente (X) y para medir el grado en

que la variable dependiente puede ser explicada por la variable independiente. Mediante la

correlacin se mide el grado de asociacin entre las variables.

Por ejemplo, un investigador desea estimar la relacin existente entre los ingresos familiares

y sus gastos familiares en 30 profesores de la ciudad de Trujillo. Aplicando la correlacin se

medir en que medida estn correlacionadas estas variables. Asimismo, si se halla una

relacin funcional que se ajuste a los datos de las variables, ser posible medir en que medida

la variable dependiente explica el comportamiento de la variable dependiente.

48

2. REGRESIN LINEAL SIMPLE

Consideremos una variable dependiente (Y) y una variable independiente (X) La

forma general de la ecuacin de regresin poblacional es:

Yi = + xi + Ei

donde:

: ordenada en el origen

: pendiente de la ecuacin de regresin lineal

E : error

Diagrama de dispersin:

Es la grfica de los datos muestrales en el plano XY. Indica el patrn de comportamiento de

los datos. A partir de este grfico se puede tener una idea de la asociacin entre las variables

y la posible relacin funcional entre ellas.

Estimacin de la Ecuacin de Regresin Lineal:

Se utiliza el mtodo de mnimos cuadrados. Este mtodo consiste en calcular los estimadores

a y b de manera que la suma de los cuadrados de las distancias entre los valores verdaderos

y los valores estimados sea mnima.

La estimacin de la ecuacin de regresin poblacional o ecuacin de regresin muestral es:

i = a + b Xi i = + xi

Donde

=

2( )2

=

=

3. COEFICIENTE DE DETERMINACIN

El coeficiente de variacin R2 es la proporcin de variacin de la variable dependiente que se

explica por la variacin de la variable independiente.

Se puede describir en trminos de la variacin total en Y comparada con la variacin no explicada

en la variable dependiente (Y).

2 = 1 Variacin de los errores que no es explicada mediante la lnea de regresin

Variacin total de los valores de y

49

R 0 R2 1

4. CORRELACIN LINEAL

La correlacin lineal mide el grado de asociacin o relacin entre dos variables X, Y. Si al

aumentar X aumenta Y la correlacin lineal es directa. Si al aumentar X disminuye Y la

correlacin lineal es inversa. Si no existe ninguna relacin entre los datos graficados, las

variables no estn correlacionadas.

Coeficiente de Correlacin Lineal.

El coeficiente de correlacin lineal(r) de la muestra segn Pearson es:

=

2 ( )2

2 ( )2 1 1

r = 1 : correlacin perfecta r = 0 : correlacin nula

Criterios para interpretar r

Cuando r es positivo, la relacin entre las variables es directa.

Cuando r es negativo, la relacin entre las variables es

inversa

5. PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA CORRELACIN

Ho: = 0 : No existe correlacin

Ha: 0 : Existe correlacin

Para contrastar la hiptesis se aplica la prueba T de Student. El estadstico para la prueba es:

t , gl = n - 2

r interpretacin

0.80 0.99 Muy alta

0.60 0.79 Alta

0.40 0.59 Moderada

0.20 0.39 Baja

0.01 0.19 Muy baja

50

Ejemplo 1.

La informacin siguiente corresponde a puntajes obtenidos por 8 estudiantes en su examen

parcial de unidad y su nota promedio de unidad.

a) Determinar la ecuacin de regresin lineal. Hacer su grfica.

b) Calcular los coeficientes de determinacin y correlacin lineal.

c) Hacer una prueba de hiptesis para .

Examen parcial 10 16 15 14 12 11 17 14

Nota Promedio de unidad 11 15 14 12 12 12 16 15

Solucin:

Ex. Parcial

X

Pro. Unidad

Y

XY X 2 Y2

10

16

15

14

12

11

17

14

11

15

14

12

12

12

16

15

110

240

210

168

144

132

272

210

100

256

225

196

144

121

289

196

121

225

196

144

144

144

256

225

109 107 1486 1527 1455

=8(1468)(109)(107)

8(1527)(1096)2 = 4.224

= 1074

8 (4.224)

109

8= 0.672

La ecuacin de regresin lineal es: = 4,224 + 0,672 Xi

R2 = 0,7912

El 79% de la variacin en la nota promedio de unidad se explica est determinada mediante su

relacin lineal con el examen parcial. Tambin se puede decir que la nota promedio de la unidad se

explica en un 79% por la nota del examen parcial.

El coeficiente de correlacin lineal es:

r = 0,8895

51

Prueba de hiptesis para

Ho: = 0

Ha: 0

Se rechaza Ho.

Se concluye que existe una relacin lineal entre los puntajes del examen parcial y la nota

promedio de unidad.

Prueba de hiptesis para

Ho: = 0 Ha: 0

To

Se concluye que el coeficiente de correlacin calculado es significativo, es decir es diferente de cero. Como se puede observar las pruebas para el coeficiente de regresin y para el coeficiente de correlacin son equivalentes.

6. REGRESIN LINEAL MLTIPLE

La regresin mltiple estudia la relacin de una variable dependiente con dos o ms variables

independientes. El modelo de regresin mltiple es: y = 0 + 1X1 + 2X2 + + KXK +

donde: X1, X2, , XK son variables independientes

0, 1, , K parmetros

error aleatorio

El modelo de regresin mltiple estimado, denominado tambin ecuacin de regresin

mltiple estimada es: = b0, + b1x1 + + bK xk

Dnde: b0, b1, , bk son los estimadores de los parmetros.

52

Mediante el mtodo de mnimos cuadrados se obtienen los coeficientes b0, b1,, bk de tal manera

que la suma de los cuadrados de los residuos se hagan mnima.

Ejemplo 2.

El gerente de la empresa desea conocer el comportamiento de la demanda de laptops que la

empresa ofrece. Considera que la publicidad y el precio son los factores determinantes de la

demanda. Para ello toma informacin de los ltimos 10 meses, la informacin obtenida es la

siguiente:

Demanda

(unidades)

Publicidad (N de

anuncios)

Precio mensual promedio

($)

40

65

70

60

50

62

35

75

74

30

11

16

15

18

10

14

15

16

12

14

500

600

750

400

700

580

520

500

450

550

Utilizando la hoja de clculo Excel u otro software estadstico se obtienen los coeficientes de la

ecuacin de regresin lineal mltiple que determina el comportamiento de la demanda con

relacin a la publicidad y el precio. La ecuacin es: = 15, 92 + 2,08 x1 + 0,02 x2

Si el nmero de anuncio es 20 y el precio es $ 720, la demanda esperada es aproximadamente

72 laptops.


1. Un establecimiento de comida rpida tiene una venta media de $ 2000 por da. Para

contrastar si las cifras del negocio estn cambiando debido al deterioro de la economa,

la direccin ha decidido registrar cuidadosamente las cifras de negocio de los 8 das

prximos.

Si los valores fueron:

2050; 2212; 1880; 2121; 2205; 2018; 1980; 2188.

a) Cules son las hiptesis nula y alternativa?

b) Estos datos son lo suficientemente significativos para probar al nivel de 5% que se ha

producido un cambio?

53

c) Qu ocurre al nivel de significancia del 1%?

2. Hace 20 aos, los alumnos del curso de comunicacin en la universidad podan contestar

en promedio 24 preguntas buenas en 60 minutos. Para ver si esto contina igual en la

actualidad se ha seleccionado una muestra de 36 alumnos del curso de comunicacin. Si

la media muestral result ser de 25,5 preguntas buenas con una desviacin tpica de 3,5

Se puede concluir que el promedio de contestar preguntas buenas ha mejorado?. Utilice

el nivel de significacin de 5%.

3. Un comercio ha recibido un envo de artculos de cierto tipo. Si se puede establecer que

ms de 4% de los artculos recibidos son defectuosos, se devuelve el envo. Si en una

muestra de 90 artculos se encontr que 5 de ellos eran defectuosos Se debera devolver

el envo al proveedor? Utilice un nivel de significacin de 10%. Qu ocurrir al nivel de

5%?

4. Se recogen datos para determinar si existe una diferencia entre los resultados del test de

los estudiantes de la institucin A y los de la institucin B. Se toma una m.a. de 100

estudiantes de la institucin A, se obtuvo una puntuacin media de 102,2 y una

desviacin estndar de 11,8. Por parte de la institucin B se obtiene una m.a. de 60

estudiantes, la puntuacin media fue de 105,3 con una desviacin estndar de 10,6. Los

datos son suficientemente significativos al nivel de 5% para rechazar la hiptesis de que

las puntuaciones medias de los estudiantes de las instituciones A y B son iguales?

5. Una agencia de publicidad pretende determinar la composicin demogrfica del mercado

para un nuevo producto. Selecciona al azar una m.a., de 120 de los diferentes grupos de

edad segn su actitud de compra. Los resultados de la encuesta son los siguientes:

a) Existe relacin o independencia entre los grupos de edad y la actitud de compra, a un nivel de

significacin de 5%?

b) Qu ocurre si el nivel es de 10%?

6. Dado el siguiente conjunto de datos:

X 12 15 14 11 18 9 13 17 18 12

Y 6,2 8,6 7,2 4,5 9,0 3,5 6,5 9,3 9,5 5,7

a) Dibuje un diagrama de dispersin.

b) Estime la ecuacin de regresin lineal.

Actitud

Grupo de Edad

18 29 30 39 40 50

Compra frecuente 12 15 10

Compra alguna vez 20 25 18

Nunca compra 8 5 7

54

c) Pronostique Y para X = 10; 16; 20.

d) Calcular el coeficiente de correlacin lineal de la muestra.

A) Usando el SPSS:

Analizar > Regresin > Lineales

y vamos solicitando las diferentes opciones en los distintos botones de Estadsticos, Grficos,

Guardar y Opciones.

La salida correspondiente a las opciones marcadas, en primer lugar, nos seala el porcentaje de

varianza explicada, que es el coeficiente de determinacin

(Coeficiente de correlacin de Pearson al cuadrado), as como un ANOVA de la

Regresin

55

R cuadrado, es considerado el ndice de bondad de ajuste del modelo de regresin o que es

tambin llamado coeficiente de determinacin.

A continuacin nos indica las diferentes estimaciones de los parmetros de la ecuacin de

regresin de tal manera que Y = -13,628 + 0,038X + 22,75144

Posteriormente, se evalan los residuos mediante ndices numricos y grficos. Se tienen en

cuentan los residuos tipificados a partir de +3 y -3, que se dan en este caso.

Los datos no se ajustan al modelo lineal.

Como en guardar marcamos la opcin de valores

pronosticados no tipificados, en el fichero de datos

nos aparece una columna con los valores que tendra

la variable dependiente (Y), al aplicar la ecuacin de

regresin sobre la variable independiente (X), esto es,

56

VI. TABLAS ESTADISTICAS

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

57

TABLA DE LA DISTRIBUCIN t - STUDENT

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005

r

1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578

2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600

3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924

4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408

8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965

18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768

24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745

25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689

28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674

29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660

30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551

60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460

120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373

0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,290

58

TABLA DE LA DISTRIBUCIN CHI-CUADRADO

Chi-cuadrado rea de la cola,

/v 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.800 0.700 0.500

1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.06 0.15 0.45

2 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 0.45 0.71 1.39

3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.01 1.42 2.37

4 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 1.65 2.19 3.36

5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.34 3.00 4.35

6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 3.07 3.83 5.35

7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 3.82 4.67 6.35

8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 4.59 5.53 7.34

9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.38 6.39 8.34

10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.18 7.27 9.34

11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 6.99 8.15 10.34

12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 7.81 9.03 11.34

13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 8.63 9.93 12.34

14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 9.47 10.82 13.34

15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 10.31 11.72 14.34

16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.15 12.62 15.34

17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 12.00 13.53 16.34

18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 12.86 14.44 17.34

19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 13.72 15.35 18.34

20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 14.58 16.27 19.34

21 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 15.44 17.18 20.34

22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 16.31 18.10 21.34

23 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 17.19 19.02 22.34

separata de mÉtodos_estadisticos-gp y educ..pdf

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